Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

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1 Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles d eau de marques A et B. O ote :, la variable aléatoire mesurat le ombre de packs d eau de marque A achetés ;, la variable aléatoire mesurat le ombre de packs d eau de marque B achetés ; La probabilité P( = x i et = y i ) est doée das le tableau suivat Totaux 1 0,1 0,2 0,2 2 0,1 0,3 0,1 Totaux Défiitio. Soit et deux variables aléatoires discrètes O pose : (Ω) = {x 1, x 2,..., x i,..., x } (Ω) = {y 1, y 2,..., y j,..., x m } et sot deux variables aléatoires idépedates si et seulemet si : P( = x i et = y j ) = P( = x i ) P( = y j ) Ce qui s écrit ecore : P(( = x i ) ( = y j )) = P( = x i ) P( = y j ) Exemple 2. Repreos l exemple 1. Les variables et sot-elles idépedates? Calculos par exemple P( = 1) P( = 2) et comparos avec P( = 1 et = 2) Coclusio : Les deux résultats sot, les variables aléatoires et

2 Exemple 3. O doe la loi de probabilité du couple de variables aléatoires et Totaux 10 0,08 0, ,20 0, ,12 0,18 Totaux 1 Compléter le tableau. 2 Pour tout i {1, 2, 3} et j {1, 2} comparer P( = x i et = y j ) P( = x i ) P( = y j ) 3 Coclusio : B. Opératios sur les variables aléatoires. B.1. Somme de deux variables aléatoires. Exemple 4. Repreos l exemple1. O s itéresse au ombre de packs d eau achetés par le cliet O obtiet ue ouvelle variable aléatoire S égale à la somme des variables et. Défiissos cette variable aléatoire S. Das le tableau iséros das chaque case la somme : s = 2 0,1 s = 3 0,2 s = 4 0,2 2 s = 3 0,1 s = 4 0,3 s = 5 0,1 Les valeurs de S sot 2, 3, 4 et 5. O associe à chacue de ces valeurs la somme des probabilités qui lui correspodet. O défii aisi la loi de probabilité de S présetée das u tableau Valeurs de s i P(S = s i )

3 B1.1. Défiitio. Soit et deux variables aléatoires. La somme + est ue variable aléatoire S : S = +. La loi de probabilité de S est obteue e associat à chaque valeur s de S, la somme des probabilités correspodats à tous les couples dot la somme des termes est égale à s. B.1.2. Espérace mathématique de la somme de deux variables aléatoires. Propriété. Soit et deux variables aléatoires. Exemple 5. L espérace mathématique de la somme + est égale à la somme des espéraces mathématiques de et de. E( + ) = E( ) + E() Repreos l exemple1 et calculos E(), E() et E( + ). E() = E() = E( + ) = Coclusio : Exercice 6. Repreos l exercice 3 ; s = 0,08 s = 0,12 20 s = 0,20 s = 0,30 30 s = 0,12 s = 0,18 1 Défiir la loi de probabilité de S = +. 2 Calculer E(), E() et E( + ), et vérifier l égalité E( + ) = E( ) + E() 1 O précise d abord la loi de probabilité de la somme S = + par le tableau suivat : Valeurs de s i P(S = s i ) 2 E() = E() = E( + ) = Coclusio :

4 B.1.3. Variace de la somme de deux variables aléatoires. Propriété. Si et sot deux variables aléatoires idépedates, alors la variace de la somme + est égale à la somme des variaces de et de. V( + ) = V( ) + V() {La réciproque est fausse!} Exercice 7. 1 Repreos l exemple1 et calculos V(), V() et V( + ). 2 L égalité V( + ) = V( ) + V() est- elle vérifiée. Que peut-o coclure? 1 V() = E(²) [E()] 2 = Σ p i x 2 i [E()] 2 = V() = E(²) [E()] 2 = Σ q i y i 2 [E()] 2 = V( + ) = Σ P(S = s i ) s 2 i [E( + )] 2 2 Exercice 8. Repreos l exemple 2. Calculer V( ), V() et V( + ) V() = E(²) [E()] 2 = Σ p i x 2 i [E()] 2 = V() = E(²) [E()] 2 = Σ q i y i 2 [E()] 2 = V( + ) = Σ P(S = s i ) s i 2 [E( + )] 2 = B.2. Différece de deux variables aléatoires. Défiitio. Soit et deux variables aléatoires. La différece est ue variable aléatoire D. La loi de probabilité de D est obteue e associat à chaque valeur d de D, la somme des probabilités correspodats à tous les couples dot la différece des termes est égale à d. Propriété. Soit et deux variables aléatoires. E( ) = E( ) E() Si et sot idépedates, alors V( ) = V( ) + V()

5 Exercice 9. La loi de probabilité du couple (, ) est doée par le tableau Totaux 0 0,12 0,24 0,24 1 0,08 0,16 0,16 Totaux 1 Détermier la loi de probabilité de. 2 Calculer les ombres E( ), E() et E( ) et les comparer. 3 Calculer les ombres V( ), V() et V( ) et les comparer. Justifier Lerésultat.

6 C. Lois limites. C.1.Théorèmes admis.. Théorème de Beroulli (Loi faible des grads ombres). Soit ue variable aléatoire et variables 1, 2,....,, de même loi de probabilité que celle de. Si o pose : S = et = S. alors pour tout ε > 0, lim P( E() < ε) = 1. + Sigificatio de ce théorème. Soit ue expériece aléatoire qui coduit à deux résultats : succès échec O lace u dé. Si o obtiet 6, c est gagé et o marque 1 poit, sio c est perdu, o marque 0 poits. O lui associe la variable aléatoire suivate : Ω [0 ; 1] ω 1 {succès} ω 0 {échec} E() = p ombre fixé e théorie O répète fois cette même expériece. (6) = 1 (1) = (2) = (3) = (4) = (5) = 0. O lace u dé 30 fois E() = 1 6 Les variables aléatoires 1, 2,....,, ot la même loi de probabilité. E( 1 ) = E( 2 ) =.... = E( ) = E() = p. Pour coaître le ombre de succès, o étudie la variable aléatoire : : «Fréquece des succès» = Nombre de succès Nombre d'éxpérieces aléatoires = Nombre de 6 Nombre de lacers = E( ) = E( 1) + E( 2 ) E( ) Est-o éloigé du résultat théorique? = p p = p Pour le savoir, o étudie la différece p Soit ε u réel positif tel que p < ε Il y a peu de chace que l o trouve le résultat théorique 1 6. O lace le dé 1000 fois : 1000 = Nombre de Le théorème affirme que : lim + P( E() < ε) = 1 Le théorème dit que plus est grad, plus se rapproche de la valeur théorique p. Ituitivemet, ce résultat semble simple.

7 Théorème de la limite cetrée. Si 1, 2,....,, sot des variables aléatoires idépedates de même loi de probabilité, de même espérace mathématique m et de même variace σ 2, alors lorsque est «suffisammet grad» o admet : La loi de probabilité de la variable aléatoire S = , qui mesure la somme des variables aléatoires suit approximativemet «la loi ormale de moyee m et d écart type σ, otée N( m, σ ) La loi de probabilité de la variable aléatoire = S qui mesure la moyee des variables aléatoires suit approximativemet «la loi ormale» N m, σ. C.2. Applicatio : lois d échatilloage. E statistique, il est e gééral impossible d étudier u caractère sur toute ue populatio de taille N élevée. Avat d aborder le problème de l estimatio de valeurs caractéristiques icoues das la populatio (ce problème sera traité das le chapitre qui suit : statistique iféretielle), il est idispesable de commecer par l étude de la théorie de l échatilloage. Das ce cas les paramètres du caractère étudié das la populatio sot cous et o e déduit les propriétés sur l esemble des échatillos prélevés das la populatio. Nous evisageros das cette partie que des échatillos aléatoires, c'est-à-dire que tout élémet de l échatillo est choisi au hasard, et de plus, les choix sot idépedats car supposés avec remise. L esemble des échatillos de taille est appelé échatilloage de taille. C.2.1. Loi d échatilloage des moyees. État doé ue populatio de taille N et ue variable aléatoire défiissat le caractère étudié telle que : E() = m et σ() = σ. Pour prélever les échatillos de taille, o a procédé à épreuves idépedates auxquelles correspodet variables aléatoires 1, 2,...., de même loi que. La variable aléatoire = échatillo. associe à tout échatillo de taille la moyee de cette Populatio (N, m, σ) Echatillos x 1 x 2... x k σ 1 σ 2 σ k

8 Quad est suffisammet grad, la loi d échatilloage de la variable aléatoire = qui mesure la moyee des échatillos de taille suit d après le théorème de la limite cetrée, approximativemet ue loi ormale. O retrouve les valeurs caractéristiques de cette loi e calculat E( ) et σ( ). E( ) = E V( ) = V = 1 E( ) = 1 [ E( 1) + E( ] 2 ) E( ) = 1 E() E( ) = E() = m = 1 2 V( ) = 1 [ ] 2 V( 1 ) + V( 2 ) V( ) V( ) = 1 2 V() = = 1 V() = 1 σ2 d où σ() = σ Théorème. La loi d échatilloage de taille de la moyee, quad deviet grad ( 30), peut être approchée par la loi ormale N m, σ C.2.2. Loi d échatilloage des fréqueces. O étudie sur ue populatio de taille N Soit u caractère à deux résultats : O cosidère la variable aléatoire associée : Ω [0 ; 1] ω 1 si ω possède le caractère {succès} ω 0 sio Das cette situatio : E() = p est la probabilité de succès et V() = p(1 p) Pour costituer chacu des échatillos de taille, o répète fois la même épreuve de maière idépedate. O obtiet variables aléatoires 1, 2,...., de même loi que. Cosidéros la variable aléatoire S = qui mesure le ombre succès O a : E(S ) = E() = p et V(S ) = V() = p(1 p) Quad deviet suffisammet grad, la loi d échatilloage de f = S qui mesure la fréquece des succès das les échatillos de taille peut être approchée par ue loi ormale d après le théorème de la limite cetrée. O retrouve les valeurs caractéristiques de cette loi e calculat : E(f ) = E S = 1 E(S ) = 1 p = p V(f ) = V S = 1 2 V(S ) = 1 2 p(1 p) = p(1 p) = pq avec q = (1 p) et doc σ(f ) = pq Théorème. La loi d échatilloage de taille de la fréquece f, quad deviet grad ( 30), peut être approchée par la loi ormale N pq p,

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