MATHEMATIQUES GENERALES partim A

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1 Fculté des Sciences MATHEMATIQUES GENERALES prtim A Première nnée de bchelier en Biologie, Chimie, Géogrphie, Géologie, Physique et Informtique, Philosophie Année cdémique Frnçoise BASTIN

2 Introduction u cours Mthémtiques générles, prtim A Aperçu générl du cours Composntes indispensbles de l boîte à outils des sciences, les mthémtiques sont présentes prtout. Un cours de mthémtiques générles ssurnt une formtion de bse solide en connissnces se révèle donc indispensble dns le cursus d un futur scientifique. Mis u-delà de l pprentissge de l outil et des techniques d utilistion, c est ussi une formtion à l esprit critique, à l rigueur, à l nlyse et synthèse dont il est question. Dns cette optique, le cours de mthémtiques du premier qudrimestre du premier bchelier en sciences ser conscré à l présenttion des notions de bse qu il est indispensble de connître pour ppréhender plusieurs spects des cours de sciences dns des conditions optimles. Bien sûr, il ne s gir ps uniquement de donner des recettes ; il ser question ussi de démrches logiques et rigoureuses permettnt de comprendre, reconnître, utiliser et ppliquer les notions et résultts fondmentux : comprendre, nlyser pour mieux gérer et progresser. Il ser notmment question des thèmes suivnts : Rppels introductifs Nombres réels et complexes, équtions du er degré et du second degré Vecteurs Droites, coniques Cercle trigonométrique (fonctions trigonométriques) Produits sclire et vectoriel Limites, continuité, dérivtion, primitivtion Fonctions élémentires (propriétés générles, en fonction des notions précédentes) Clcul intégrl, pplictions (longueurs de courbes, intégrles le long de courbes,...) Equtions di érentielles. Ces thèmes seront enseignés vec une structure invitnt à fire les ponts vec les utres cours de sciences, en prticulier vec le cours de physique. Objectifs du cours En bref, le cours s rticule utour de deux objectifs principux : d une prt fournir les outils et techniques de bse de l nlyse réelle et de l lgèbre linéire utilisés régulièrement dns les études en sciences ; d utre prt mener à un pprentissge de l rigueur, de l précision, de l esprit critique, de l esprit d nlyse et de synthèse. Ce sont donc à l fois connissnces et démrches scientifiques dont il ser question. Pre-requis Aucune formtion ou connissnce spécifique n est requise. L formtion de bse en mthémtique de l enseignement secondire permet d border le cours dns de bonnes conditions. Cependnt, dès le début de l nnée, il est indispensble que l étudint remédie ux éventuelles lcunes qui serient décelées dns ses connissnces, que ce soit u niveu mtière ou u niveu méthode de trvil et utoévlution. Des tests, des sénces de mise à niveu et de remédition sont orgnisés à cette fin ; il importe cependnt que chque étudint pprenne à se prendre en chrge rpidement et utilise donc fructueusement les ctivités mises en plce pour l ider à l trnsition secondire-université. Pr illeurs, des rppels de bse de mtières de l enseignement secondire ont été rédigés pr Mdme Crsborn, ssistnt pédgogique. L dresse http :// y donne ccès. Bien sûr, une bonne connissnce de l lngue est indispensble pour comprendre, trnsmettre et communiquer orlement et pr écrit.

3 Le contrt pédgogique ou enggements réciproques Du côté des enseignnts. Chque nnée, tout enseignnt est tenu de décrire l mnière dont il orgnise ses cours dns une rubrique ppelée enggements pédgogiques. Le texte de cette rubrique est repris dns le Journl de bord et on le trouve églement dns le progrmme des cours (version ppier et version électronique). Ces enggements pédgogiques reflètent l esprit du cours et détillent les spects fondmentux de son orgnistion. Ils constituent un chier des chrges que l enseignnt s engge à tenir envers l étudint pour ssurer s formtion et le guider dns son trvil en vue de l réussite. Et plus spécifiquement...du côté des encdrnts pour le cours de mthémtique Le cours de mths dns un cursus d études en sciences joue un rôle centrl. C est en e et l endroit où les outils de bse de techniques de clcul de tout scientifique seront enseignés (ou revus) de mnière à ce que leur utilistion puisse être optimle lorsqu il en ser question dns diverses situtions concrètes d utres cours. Ce n est cependnt ps à ce rôle d pprentissge de techniques que le cours de mths est restreint. Son utre rôle fondmentl est ussi d sseoir des processus de risonnement rigoureux et scientifiques dns un contexte optiml. L mtière vue dns ce cours relève en e et d un cours de clculus tout à fit clssique, ne fit ps ppel à des théories sophistiquées et bstrites et les utilistions directes dns les cours de sciences sont immédites et nombreuses. C est dns ce contexte fertile que peuvent venir se gre er et se développer des pprentissges de processus visnt à susciter l esprit critique, l utoévlution, le sens du risonnement rigoureux et de l expression structurée... Mtière élémentire, oui, permettnt justement de mettre l ccent sur des mnques de connissnces ou compétences diverses (lnggières, structurles, esprit critique, risonnement, techniques rudimentires oubliées ou erronément mnipulées...), pourtnt indispensbles dns un prcours universitire... Les techniques mises en oeuvre dns l encdrement visent à rencontrer ces divers spects. Du côté des étudints. Si tout est mis en œuvre pour pporter guide, ide et soutien à l étudint, s réussite dépend évidemment de l utilistion qu il fer de l encdrement dont il dispose. Pour réussir, il ne su t ps de se lisser fire ; il fut ussi gir, prticiper, devenir utonome et utiliser à bon escient les moyens o erts. L utoévlution et l esprit critique sont des touts mjeurs sur le chemin de l réussite. Ce sont des compétences à cquérir rpidement. C est vec un contrt pédgogique réciproque, uquel les deux prties prennent prt ctivement et dns lequel elles diloguent, que le chemin de l réussite est le plus sûr. Petit guide de l étudint qui veut réussir à l Université Voici un petit mémo de points essentiels concernnt l ttitude à dopter.... J ssiste u cours en étnt présent d esprit et ps seulement de corps. Je remets mes cours à jour de mnière quotidienne si possible ou de mnière hebdomdire u plus trd 3. Je trville chque jour, même si je rentre chez moi près 9h 4. Je profite des jours de congé pour fire des révisions globles de chpitres et évluer le temps nécessire pour les ssimiler (pour pouvoir, le moment venu, gérer m période de bloque) 5. Je prépre vec ssiduité les répétitions, les interrogtions et les exmens 6. Je ne suis ps ftliste, mis volontire : conscient que m réussite dépend de moi et non de l chnce ou du professeur, je fis tout pour y ccéder 7. J pprends à répondre ux questions pr moi-même en les identifint clirement et en cherchnt l réponse dns les cquis 8. Je m interdis de mémoriser une mtière si je ne l i ps comprise u prélble et je cherche l ide dont j i besoin 9. Je fis des synthèses comportnt l structure du cours et ce qu il fut nécessirement mémoriser 0. Je consulte toujours m copie près une interrogtion ou un exmen et je fis l e ort de comprendre l nture de mes erreurs fin de pouvoir les corriger

4 Filières concernées Ce cours s dresse ux étudints de premier bchelier des sections de biologie, chimie, géologie, géogrphie, physique, dns le cdre du tronc commun du projet,,3...sciences en Fculté des Sciences. Au deuxième qudrimestre, il ser suivi d un second cours dont les crédits sont di érents selon les filières. Les étudints de premier bchelier en informtique le suivent églement ; une suite est prévue u second qudrimestre. Divers spects de l mtière seront pprofondis soit à l occsion de certins cours, soit à l occsion des sénces d exercices et de trvux dirigés (suites, séries, pproximtions...) Il est églement inscrit u progrmme du premier bchelier en philosophie, option sciences. Descriptif plus précis du contenu du cours Comme nnoncé dns ce qui précède, des liens, des ponts, vec les utres cours de sciences sont présents prtout, que ce soit dns les cours et sénces théoriques ou dns les sénces d exercices (répétitions). Un bref perçu de ces liens, présenté dns l ordre chronologique de l vncée du cours, est nnexé dns les pges qui suivent (et/ou est disponible vi les pges web reltives u cours). Le premier chpitre rppelle tout d bord les outils de bse concernnt les nombres réels et complexes, les équtions du premier et du second degré. Il consiste ensuite en une étude du cercle et des fonctions trigonométriques, insi qu en une présenttion du clcul vectoriel (vecteurs, droites, plns, produit sclire, produit vectoriel,...). Des représenttions grphiques, nlytiques, prmétriques de divers ensembles du pln sont ussi u progrmme. Le deuxième chpitre consiste en une présenttion générle de l étude des fonctions, de l notion de limite, de continuité, de dérivtion, de primitivtion. Le troisième chpitre est lors conscré ux fonctions élémentires : on rppelle leur définition et on en étudie les propriétés essentielles, sur bse du socle mis en plce u chpitre précédent. Ce sont insi les polynômes, les frctions rtionnelles et irrtionnelles, les fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses, les fonctions exponentielle et logrithme, qui sont u progrmme. Le qutrième chpitre trite du clcul intégrl à une vrible. Dns un souci d interpréttion, de modélistion très visuelle, c est pr les sommes de Riemnn qu est introduite l notion d intégrbilité et d intégrle sur un intervlle fermé borné. C est en fit vers l intégrle selon l théorie de Lebesgue que s oriente ensuite le contenu du chpitre, cr celle-ci est beucoup plus mnipulble et e cce en prtique (surtout pour l suite où il est question d intégrtion à plusieurs vribles). Prtnt d une introduction très directe et visuelle, le chpitre prend soin de bâtir une théorie sur un socle rigoureux, en énonçnt les propriétés utiles pour que les notions introduites rencontrent à l fois l e ccité de l outil et l solidité de l théorie et des notions mthémtiques sous-jcentes. Le cinquième chpitre contient une étude des équtions di érentielles linéires à coe cients constnts d ordre et. Il présente ussi quelques utres exemples d équtions di érentielles. Petit guide d utilistion des notes de cours Le présent fscicule de Théorie Il contient l mtière présentée ci-dessus. Il s git vriment d une mtière de bse de Clculus, présentée de mnière logique et déductive mis sns bstrction ou sophistiction inutile. Nombreux sont les explictions, les exemples et les grphiques (d où le nombre de pges reltivement élevé). L ssistnce d esprit! et l préprtion ux cours et répétitions est un moyen sûr et concret pour obtenir guide et soutien qunt à l structurtion (résumé!) et l pprentissge des notions et risonnements fondmentux que ces notes renferment. Et les exercices? Répétons-le : les exercices et les présenttions de thèmes de théorie (selon l ordre décrit ci-dessus) sont indissocibles. Les pprentissges doivent se fire en synergie, l compréhension et l résolution des exercices s ppuynt sur l théorie et l théorie montrnt directement son utilité pour l ppréhension des situtions concrètes et des exercices qui y sont liés. Les exercices font l objet de listes disponibles sur les pges web (de cette nnée cdémique et des 3

5 4 nnées ntérieures). Depuis 0-0, un syllbus spécifique été prépré. Il reprend les listes du premier qudrimestre, des résolutions détillées insi que de nombreux compléments. Il est indispensble de se munir des notes (syllbi de théorie et d exercices) pour ssister ux sénces de répétitions. Des rppels de bse de mtières de l enseignement secondire ont été rédigés pr Mdme Crsborn, ssistnt pédgogique. L dresse http :// vous y donne ccès. Les pges web de,,3...sciences et le Journl de bord. Il ne fut certes ps oublier toutes les informtions et données disponibles dns le Journl de Bord et sur les pges de l Fculté (dresses reltives à celles-ci disponibles dns le Journl de Bord.) Compléments Pour des compléments d informtion, des exemples, des exercices supplémentires, je conseille l ouvrge - CALCULUS, with nlytic geometry, R. Ellis, D. Gulick, Hrcourt Brce Jovnovich Inc. 993 et, pour les curieux, le fntstique - WHAT IS MATHEMATICS? An elementry pproch to ides nd methods, Richrd Cournt nd Herbert Robbins, Oxford University Press (plusieurs éditions). Ces livres se trouvent notmment à l bibliothèque des sciences. Je remercie sincèrement tous les ssistnts qui m ident dns l encdrement des étudints, dns l préprtion des exercices et de leurs solutions. Sns l équipe, rien ne serit possible! Merci à vous de toujours répondre présent! Je tiens à exprimer un merci prticulier à Jcqueline Crsborn pour ses relectures, ses vis et suggestions pertinents, et pour ses enthousisme et dynmisme permnents, fcteurs si importnts u sein d une équipe. Enfin, et non des moindres, je remercie mille fois ceux qui me sont les plus proches et dont l perspiccité, l finesse, l intelligence des choses, l expérience de choses, o ertes de fçon si frnche et subtile à l fois, à trvers l mitié ou utre, me poussent constmment à ller de l vnt. Frnçoise Bstin, 6 oût 04(V 3 oût 008)

6 Tble des mtières Quelques rppels d outils de bse. Les réels Définitions-Nottions Quelques propriétés de l reltion d ordre u sein des nombres réels Intervlles Somme et produit ; utilistion des symboles usuels Une formule utile Vleur bsolue, puissnces entières, rcines Anlyse combintoire et binôme de Newton Anlyse combintoire Le binôme de Newton Equtions de degré et Définitions Résolution Une introduction u clcul vectoriel et nlytique Définitions Opértions entre vecteurs L droite (définition vectorielle) Notions nlytiques : composntes, coordonnées, équtions prmétriques, équtions crtésiennes Le cercle trigonométrique et les fonctions trigonométriques Fonctions sinus (sin) et cosinus (cos) Fonctions tngente (tg) et cotngente (cotg) Vleurs usuelles Reltions dns les tringles Coordonnées polires Complément de clcul vectoriel et nlytique Rppels Produit sclire de deux vecteurs Angle entre deux droites Distnces Le produit vectoriel de deux vecteurs Les coniques Prémbule et doption d une définition Une brève étude des coniques Nombres complexes Définitions Propriétés Introduction du complexe i et nottions prtiques Module et conjugué d un complexe Rcines crrées d un nombre complexe Trinôme du second degré

7 TABLE DES MATIERES Forme trigonométrique des complexes Représenttions grphiques Cs générl Points symétriques pr rpport à l première bissectrice Bornes Etude des fonctions d une vrible réelle 55. Définitions de bse Fonction, domine, imge, grphe, grphique Trois exemples fondmentux Opértions sur les fonctions Quelques types de fonctions Fonction inverse Fonctions élémentires Polynômes Frctions rtionnelles Frctions irrtionnelles Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques inverses Fonctions exponentielle et logrithme Suites de réels (complexes) ; convergence de suites Définitions Deux propriétés très utilisées Exemples fondmentux Limite des vleurs d une fonction Exemples Définition de l limite en un réel, à prtir des suites Définition de l limite en l infini, à prtir des suites Forme équivlente des définitions de limites Propriétés Illustrtion des cs indéterminés Asymptotes Limites des vleurs d une fonction monotone Continuité Définitions Propriétés Exemples fondmentux Théorèmes reltifs à l continuité Dérivtion Définitions Propriétés importntes Dérivées multiples et formule de Leibniz Interpréttion et utilistion de l dérivée Le grdient, l dérivtion implicite Applictions de l dérivtion Le théorème des ccroissements finis et le développement limité de Tylor Le théorème de l Hospitl Monotonie, concvité, extrem Grphiques de fonctions Théorème prtique de l fonction inverse Primitivtion Définition et résultts d existence Propriétés Primitives immédites

8 TABLE DES MATIERES Techniques de primitivtion Retour ux fonctions élémentires 8 3. Limites des fonctions élémentires Polynômes et frctions rtionnelles Rcines mièmes Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques inverses Fonctions exponentielle et logrithme Continuité Dérivtion et fonctions élémentires Polynômes et frctions rtionnelles Fonctions trigonométriques Fonction exponentielle Fonctions trigonométriques inverses Fonction logrithme népérien Primitivtion Fonction exponentielle Définition Propriétés fondmentles Exponentielle complexe Clcul intégrl 8 4. Intégrle d une fonction sur [, b] Introduction Définition et exemples fondmentux Propriétés de l intégrle sur [, b] Interpréttions de l intégrle Intégrle d une fonction continue sur [, b[, ], b], ], b[ Définition lorsque f est de signe constnt sur [, b[ Introduction u cs où f n est ps de signe constnt sur [, b[ Définition lorsque f n est ps de signe constnt sur [, b[ Remrques et propriétés Exemples fondmentux, de référence Critères d intégrbilité Méthodes d intégrtion Vrition de primitive Intégrtion pr prties Intégrtion pr chngement de vribles Exemples Applictions Clcul de longueurs de courbes Intégrle sur une courbe (ou intégrle sur un chemin) Intégrle curviligne (ou intégrle le long d un chemin ou d une courbe ) Aire d une surfce de révolution Quelques clculs de volumes L projection (cylindrique conforme) de Merctor Annexes Annexe : Deux résultts utiles Annexe : Définition de l intégrle Annexe Annexe Annexe 5 : critère d intégrtion pr prties Annexe 6 : l formule intégrle de Tylor

9 TABLE DES MATIERES 0 5 Equtions di érentielles Introduction EDLCC Définitions Forme générle des solutions Solutions de l éqution homogène d ordre Solutions de l éqution homogène d ordre Solutions de l éqution non homogène d ordre Solutions de l éqution non homogène d ordre Equtions di érentielles linéires à coe cients constnts Quelques utres équtions et exemples Equtions à second membre sépré Equtions homogènes Equtions linéires du premier ordre Equtions d Euler d ordre Quelques utres exemples

10 Chpitre Quelques rppels d outils de bse. Les réels.. Définitions-Nottions Commençons pr rppeler quelques définitions et propriétés des nombres. Cel nous permet de réinstller quelques terminologies et nottions usuelles dns l trduction frnçise de certines reltions mthémtiques. Les nombres nturels Considérons l ensemble des nombres nturels positifs ou nuls {0,,,...}, noté N. Dns cet ensemble, l ddition est bien définie et 0 joue le rôle d élement neutre, c est-à-dire qu il n ucun e et qund on l dditionne à un utre : n +0=0+n = n quel que soit le nturel n. Pr contre, étnt donné un nturel non nul, on ne peut ps lui trouver de symétrique pour l ddition, c est-à-dire qu étnt donné un nturel n, on ne peut ps trouver de nturel n 0 tel que n + n 0 = 0. C est l rison pour lquelle on introduit l ensemble des nombres entiers. Les nombres entiers L ensemble des nombres entiers {0,,,,, 3, 3,...}, est noté Z. Dns cet ensemble, on étend l ddition et insi, tout entier possède un symétrique pour l ddition c està-dire 8k Z, 9k 0 Z : k + k 0 = k 0 + k = 0; k étnt donné, k 0 est unique et est noté k ;celui-ciest ppelé l opposé de k. Mis, outre l ddition, une utre opértion entre ces nombres est ussi définie : l multipliction. Pour celle-ci, c est le nturel qui joue le rôle d élément neutre, c est-à-dire qu il n ucun e et qund on multiplie un nombre pr cet élément :.k = k. =k quel que soit l entier k. Pr contre, étnt donné un entier di érent de, on ne peut ps trouver d entier k 0 tel que k.k 0 =. C est l rison pour lquelle on définit l ensemble des nombres rtionnels. Les nombres rtionnels L ensemble des nombres rtionnels est l ensemble { p q Q. : p, q Z, q 6= 0}, noté Dns cet ensemble, on étend l ddition et l multipliction. Toutes les propriétés précédentes de l ddition sont conservées et, en plus, tout rtionnel non nul possède un symétrique pour l multipliction c est-àdire 8k Q, k 6= 0, 9k 0 Q : k.k 0 = k 0.k = ; k étnt donné, k 0 est unique et est noté k ;celui-ciest ppelé l inverse de k pour l multipliction.. Plus précisément et correctement, on peut définir un rtionnel comme l clsse d équivlence d une pire ordonnée d entiers (notés ici, b), pr l reltion d équivlence b R c, d = bc d

11 .. LES RÉELS Les nombres rtionnels peuvent s écrire sous forme décimle limitée ou illimitée périodique, pr exemple 4 =0.5 (rtionnel limité) et 7 = (rtionnel illimité périodique). Les nombres réels L ensemble des nombres réels 3, noté R, est formé de l ensemble des nombres décimux limités ou illimités périodiques (c est-à-dire des rtionnels) et de l ensemble des nombres illimités non périodiques, ces derniers étnt ppelés nombres irrtionnels. Dns l ensemble des nombres réels, l ddition et l multipliction sont ussi définies, comme prolongement des mêmes opértions dns Q et vec les mêmes propriétés. On donc rppelé les définitions des ensembles fondmentux N, Z, Q, R, distincts et qui sont tels que N Z Q R. Dns l ensemble des réels R, on définit ussi une notion fondmentle : l ensemble des nombres réels est muni d une reltion d ordre 4, notée pple, qui possède notmment l propriété suivnte 5 8x, y R, on x pple y ou y pple x. L terminologie employée est (dns ce qui suit x et y sont des réels) x est plus petit ou égl à y ou y est plus grnd ou égl à x pour x pple y x est plus grnd ou égl à y ou y est plus petit ou égl à x pour x y Rppelons ussi que x<ysignifie que x est plus petit que y (ou que y est plus grnd que x) etest di é r e n t d ey. On dit ussi que x est strictement plus petit que y (ou que y est strictement plus grnd que x). Les réels négtifs sont ceux qui sont inférieurs ou égux à 0 ; les réels positifs sont ceux qui sont supérieurs ou égux à 0. On ussi d utres propriétés fort importntes, qui sont rppelées ci-dessous. Les nombres complexes Si, dns l ensemble des nombres réels, il est possible de résoudre toutes les équtions du type x = r, vec r 0, ce n est plus possible lorsque le réel r donné est strictement négtif. C est notmment pour cette rison qu on introduit l ensemble des nombres complexes noté C où une telle éqution peut toujours être résolue. Une prtie de ce chpitre est conscrée ux nombres complexes. Signlons déjà le fit très importnt suivnt : dns l ensemble des complexes, il n y plus de reltion d ordre! 6 L seule comprison entre deux complexes se limite donc à égl ou di érent. Nottions Dns l suite, les nottions désigneront donc respectivement N, Z, Q, R, C l ensemble des nombres nturels, entiers, rtionnels, réels, complexes.. on convient ussi d identifier le nombre s écrivnt, b...b N u nombre, b...(b N +) 3. Les nombres réels non rtionnels ont permis de résoudre certins problèmes géométriques simples qui ne pouvient être résolus dns Q. Prexemplellongueurdeldigonled uncrrédecôté,llongueurdelcirconférencefont intervenir respectivement p et, nombresquel ondémontreêtredesnombresirrtionnels. Les nombres réels peuvent être définis en toute rigueur vi l notion de coupure de Dedekind. Voir ussi pr exemple sur google vec nombres réels comme mot clef. 4. Une reltion d ordre sur un ensemble X est une reltion qui possède les propriétés suivntes : ) x pple x 8x X, b) si x, y X sont tels que x pple y et y pple x lors x = y c) si x, y, z X sont tels que x pple y et y pple z lors x pple z 5. on dit lors que l ordre est totl 6. Ce fit se démontre de fçon reltivement directe.

12 .. LES RÉELS 3 Ces ensembles, privés de 0 (le neutre pour l ddition), seront notés respectivement N 0, Z 0, Q 0, R 0, C 0. Nous utiliserons essentiellement l ensemble des nombres réels. Les nombres complexes seront utilisés dns l étude de l fonction exponentielle complexe (chpitre 4) insi que dns le chpitre conscré ux équtions di é r e n t i e l l e s... Quelques propriétés de l reltion d ordre u sein des nombres réels Rppelons brièvement quelques règles élémentires concernnt les inéglités entre nombres réels. Voici une propriété d ddition r <r r 0 <r 0 ) r + r 0 <r + r 0 que l on peut illustrer sur des exemples. Dns ceux-ci, on prendr bien soin d exminer le signe des réels considérés vnt de donner une représenttion de leur somme ; ce n est en e et que lorsque le réel est positif que l on peut l ssocier u sens strict à une longueur de segment. r + r 0 r r r 0 0 r r 0 + r 0 - On ussi les propriétés suivntes, fisnt intervenir des signes d inéglités non strictes r pple r r 0 <r 0 ) r + r 0 <r + r 0, r pple r r 0 pple r 0 ) r + r 0 pple r + r 0. Voici des propriétés de multipliction r <r r pple 0 ) r r r r; r <r r<0 ) r r>r r. Ces propriétés signifient que si l on multiplie les deux membres d une inéglité pr un même réel négtif, on doit chnger le sens de l inéglité. On peut les illustrer sur des exemples de l mnière suivnte. Cs r < 0, r > 0 et r<0 r 0 r - rr 0 rr - Cs r > 0, r > 0 et r<0-0 r r rr rr 0 - Cs r < 0, r < 0 et r<0

13 .. LES RÉELS 4 r r 0-0 rr rr - Voici des propriétés nlogues ux précédentes, dns lesquelles, cette fois, le fcteur qui multiplie les deux membres de l inéglité est positif r <r r <r ) r r 0 r pple r r; ) r r>0 r<r r. Ces propriétés signifient que si l on multiplie les deux membres d une inéglité pr même un réel positif, on grde le sens de l inéglité...3 Intervlles Les intervlles de R sont les ensembles définis ci-dessous 7.. Les intervlles bornés sont les ensembles [r,r ]={x R : r pple x pple r } r ]r,r [={x R : r <x<r } r - r r [r,r [={x R : r pple x<r } - r ]r,r ]={x R : r <xpple r } r - - r r où r,r sont des réels tels que r <r. Le premier est qulifié d intervlle fermé borné, le second d ouvert borné et les deux derniers d intervlles mixtes (ou semi-ouverts ou semi-fermés) bornés.. Les intervlles non bornés sont les ensembles ], +[ =R ]r, +[ ={x R : r<x} - ],r[={x R : x<r} [r, +[ ={x R : r pple x} ],r]={x R : x pple r} r r r Les notions de fermés, ouverts ont une significtion mthémtique précise liée à l topologie nturelle définie sur R.

14 .. LES RÉELS 5 - r où r R ; les trois premiers sont qulifiés d ouverts, les deux derniers de fermés...4 Somme et produit ; utilistion des symboles usuels L somme (resp. le produit) de deux réels r,r (ou de deux complexes) est un réel (un complexe) noté r + r (resp. r.r ou même r r ). Lorsqu on doit dditionner ou multiplier plus de deux réels (complexes), cette nottion devient lourde à mnipuler. C est l rison pour lquelle on introduit les nottions suivntes (en fit définition de symboles). Soit J un nturel strictement positif et soient les réels (complexes) r,...,r J. L somme r + r r J de ces réels (complexes) est notée JX j= r j et leur produit r r...r J est noté JY r j. j= Dns ces nottions, l indice j est un indice muet, ce qui signifie que le résultt de l opértion (somme ou produit) ne dépend ps de j ; on peut le remplcer pr n importe quelle utre lettre (ou symbole). Dns le cs de l somme, un tel indice s ppelle indice sommtoire. Pr exemple, X00 X00 X99 X = j = k = (l + ) = (k + ), j= k= n=0 l=0 k= k=0 NX NX NX N = n = k = k, 6X m= m = m X j= j, k=0 =+++++=6. =, {z } 6termes NX m=0 =+...+= N +, {z } N+ termes..3...n= ny j j=

15 .. LES RÉELS 6..5 Une formule utile L formule que nous llons présenter ici est très utilisée. Nous y reviendrons plus loin qund nous étudierons les suites (voir sections suivntes pour définitions). Soit un réel (ou un complexe) q et soit un nturel non nul N. On se propose de clculer l somme que nous noterons +q + q q N = NX n=0 q n S N pour simplifier. On remrque que les termes de cette somme sont obtenus successivement pr multipliction pr le nombre q (ppelé l rison). Propriété.. Soit un réel (ou un complexe) q et soit un nturel non nul N. On NX n=0 8 < q n = : q N si q 6= q N si q =. Preuve. Puisque S N =+q q N + q N, on qs N = q + q q N + q N donc qs N S N =(q + q q N + q N ) ( + q q N )=q N. Dès lors, on obtient (q )S N = q N ce qui donne, si q 6= : S N =+q + q q N = NX n=0 q n = qn q = qn q. L somme S N est donc égle, dns ce cs, u quotient des deux fcteurs suivnts : un moins l rison exposnt le nombre de termes u numérteur et un moins l rison u dénominteur. Lorsque q =, en reprennt directement l définition, on trouve S N =++...+= N. {z } N termes Cette formule se générlise fcilement comme suit. Si N,M sont des nturels tels que M<Net si q est un réel di érent de, on q M + q M q N = q M ( + q q N M )=q M qn M+ q.

16 .. LES RÉELS 7..6 Vleur bsolue, puissnces entières, rcines Module ou vleur bsolue d un réel Le module (ou vleur bsolue) d un réel est le nombre lui-même s il est positif et son opposé s il est négtif. Autrement dit, si on désigne pr x le module du réel x, on x si x 0 x = x si x pple 0. Pr exemple, =, /3 = /3. L vleur bsolue d un réel est toujours un réel positif ; cel s écrit x 0, 8x R. L vleur bsolue d un réel est nulle si et seulement si ce réel est nul ; cel s écrit x =0, x =0. Puissnces entières Soit m N 0. L fonction puissnce m est l loi x R 7! x m = x...x {z }. m fcteurs Si m =0etx R, on pose x m =. Si x est di é r e n t d e 0 l e r é e xl est noté x m. m Si m est pir, lors x m est un réel positif pour tout réel x. Pr contre, si m est impir, lors x m le signe de x. Extrction de rcines de réels 8 Il s git en fit de l opértion inverse (fonction réciproque) de l précédente. Soit m un nturel pir. On définit l fonction rcine m-ième de l mnière suivnte : si x est un réel positif, l rcine m-ième de x, notée mp x, est le réel positif dont l m-ième puissnce est x. Autrement dit, l fonction rcine m-ième est l loi définie pr x [0, +[ 7! mp x = y [0, +[ tel que y m = x. Si m =, on utilise plutôt l nottion p x u lieu de p x. Soit m un nturel impir. On définit l fonction rcine m-ième de l même mnière que dns le cs précédent, à l exception du domine de définition : si x est un réel, l rcine m-ième de x, notée mp x,est le réel dont l m-ième puissnce est x. Autrement dit, l fonction rcine m-ième est l loi définie pr x R 7! mp x = y R tel que y m = x. Si m =, on bien sûr p x = x. Une rcine d indice pir d un réel positif est toujours un réel positif. Une rcine d indice impir d un réel toujours le signe de ce réel. Propriétés Rppelons encore les quelques propriétés suivntes. Les démonstrtions sont élémentires et sont lissées u lecteur à titre d exercice. Pour tous réels, b, on =, pple, pple, b = b, p =, =. 8. Nous reverrons plus loin cette notion de fonction inverse (fonction réciproque) ; de même nous étendrons cette définition à des rcines non entières, c est-à -dire que l on v définir f(x) =x l fonction,vecx réel strictement positif et réel.

17 .. ANALYSE COMBINATOIRE ET BINÔME DE NEWTON 8 Pour tous réels, b, on + b pple + b et b pple b. Pour tous réels, b, on = b, = b ou = b. Pour tous réels positifs, b, on pple b, pple b Comme x = x, 8x R, obtient pple b, pple b. pour tous réels, b. Soient r un réel positif et x un réel. On x pple r, x pple r x pple r, r pple x pple r. Cel signifie que le réel x est en module inférieur ou égl à r si et seulement si x pprtient à l intervlle [ r, r]. x - r 0 r Plus générlement, si, x, r sont des réels et si r est positif, on x pple r, r pple x pple + r. Cel signifie qu étnt donné un réel positif r, l distnce entre les réels x et est inférieure ou égle à r si et seulement si x est dns l intervlle [ r, + r]. x - r + r Rppel de quelques produits remrqubles. Pour tous réels, b, on ( ± b) = ± b + b, ( ± b) 3 = 3 ± 3 b +3b ± b 3 b =( b) ( + b), 3 ± b 3 =( ± b) ( b + b ).. Anlyse combintoire et binôme de Newton.. Anlyse combintoire Considérons un comité formé de six personnes. Imginons les situtions suivntes. ) Les membres du comité doivent s sseoir en rngée sur une estrde fin d être présentés. Combien y -t-il de possibilités de groupements? Réponse : on choisit une personne prmi les six du comité et on l plce sur le premier siège ; on choisit ensuite une personne prmi les cinq qui restent et on l instlle sur le second siège et insi de suite. On épuise insi tous les cs possibles. On trouve qu il y possibilités. Plus générlement, le nombre de réprtitions possibles de M éléments, c est-à-dire le nombre de permuttions de M éléments est P M = M (M )... =M! = ) Il fut choisir un bureu formé d un président et d un secrétire. Quel est le nombre de bureux possibles? Réponse : il fut choisir deux personnes prmi six personnes ; on en choisit une u hsrd puis, prmi les cinq personnes restntes, on en choisit encore une. On insi tous les cs possibles ; on 6 5 possibilités. MY i. i=

18 .. ANALYSE COMBINATOIRE ET BINÔME DE NEWTON 9 Plus générlement, le nombre de choix possibles de p éléments prmi M éléments, choix dns lequel l nture et l ordre des éléments de l importnce est le nombre d rrngements de M éléments pris p à p, soit A p M = M...(M (p )) = {z } p fcteurs py (M i). 3) Il fut choisir un bureu formé d un président et d un secrétire. Quel est le nombre de bureux possibles si on ne distingue ps le secrétire et le président? Réponse : on commence comme précédemment. Il fut choisir deux personnes prmi six personnes ; on en choisit une puis, prmi les cinq personnes restntes, on en choisit encore une. Prmi les groupes formés, il y chque fois deux groupes constitués des mêmes personnes ; vu l question posée, on n en grde qu un. Au totl, on formé 6 5 = 5 bureux di érents. Plus générlement, le nombre de choix possibles de p éléments prmi M éléments, choix dns lequel seule l nture des éléments de l importnce est le nombre de combinisons de M éléments pris p à p, soit C p M = M...(M p + ) p! i=0 = Ap M p!. (Etnt donné p éléments fixés, il y en e et p! permuttions possibles de ces éléments ; ces groupes ne peuvent compter que pour un seul qund on envisge les combinisons ; d où l division pr p! du nombre d rrngements de M éléments pris p à p.) On donc, pour des entiers strictement positifs M et p tels que p<m : P M = M! A p M = M (M )...(M p + ) = M! (M p)! C p M = Ap M p! = M! M (M )...(M p + ) = (M p)!p! p! Remrques. ) En posnt 0! =, on grde les deuxième et troisième lignes ci-dessus pour p = M. Pour p = 0, on pose C 0 M = ; insi C p M = M! 8M N 0,p N, 0 pple p pple M. (M p)!p! M ) Certins uteurs utilisent l nottion en lieu et plce de C p p M. Propriétés Pour tous M N 0,p N, p pple M, on ) C p M = CM p M ; ) C0 M = CM M =, CM = C M M = M et, si p +pple M : Preuve. ) On ) On 3) C p M + Cp+ M = Cp+ M+ C p M = M! (M p)!p! = M! (M (M p))!(m p)! = CM p M. C 0 M = CM M = M! M!0! = ; C M = CM M = M! (M )!! = M.

19 .. ANALYSE COMBINATOIRE ET BINÔME DE NEWTON 0 3) On successivement C p M + Cp+ M = = = M! M! (M p)!p! + (M p )!(p + )! M! (M (p ++M p)!(p + )! p) (M + )! (M p)!(p + )! = (M + )! ((M + ) (p + ))!(p + )! = C p+ M+ p. Le tringle de Pscl illustre l troisième formule. Les lignes sont indicées pr M et les colonnes pr C p M + Cp+ M C p+ M+.. Le binôme de Newton Proposition.. Pour tous réels 9, x et pour tout nturel strictement positif 0 M,on (x + ) M = MX j=0 C j M xm j j Il s git donc de l formule donnnt le développement de (x + ) M en termes de puissnces nturelles de x et de. Si on considère l expression (x + ) M comme une fonction de l vrible x, l formule donne donc l expression du polynôme (x + ) M de degré M N 0 sous forme d une combinison linéire des puissnces entières positives successives de x. Remrquons que pour M = etm = 3 on retrouve des produits remrqubles rppelés plus hut. Preuve. L démonstrtion se fit pr récurrence sur M. Pour M =, l églité est vrie cr X C j x j j = Cx Cx 0 = x +. j=0 Supposons à présent que l églité soit vrie pour,...,m et démontrons-l pour M +. On (x + ) M+ = (x + ) (x + ) M 0 MX = (x + = = j=0 C j M xm MX C j M xm+ j j + j=0 MX C j M xm+ j j + j=0 j j A MX C j M xm j j+ j=0 M+ X j= C j M xm+ j j 9. (L formule est ussi vlble si et x sont des complexes 0. L formule est ussi vlble pour M =0misneprésenteucunintérêt.

20 .3. EQUATIONS DE DEGRÉ ET D où l conclusion. = x M+ + = x M+ + = x M+ + MX C j M xm+ j j + j= MX j= C j M + Cj M MX j= C j M xm+ j j + M+ x M+ j j + M+ MX C j M+ xm+ j j + M+ j= = C 0 M+x M+ + = M+ X j=0 MX j= C j M+ xm+ j j. C j M+ xm+ j j + C M+ M+ M+.3 Résolution d équtions du premier et du second degré à une inconnue AVERTISSEMENT Dns cette section, nous nous plçons dns le cdre des nombres réels. En ce qui concerne les équtions du premier degré, leur résolution est nlogue dns le cdre des nombres complexes, suf bien sûr qund il s git d étudier le signe d expressions. Qunt ux équtions du second degré, leur résolution dns le cdre des nombres complexes est en fit bien plus directe (voir plus loin), mis il importe encore une fois de ne plus être tenté de considérer les signes des diverses grndeurs qui sont impliquées..3. Définitions ) Une éqution du premier degré à coe cients et vrible réels est une reltion du type x + b = 0 () où, b sont des réels donnés, 6= 0 et x est l inconnue réelle. ) Une éqution du second degré à coe cients et vrible réels est une reltion du type x + bx + c = 0 () où, b, c sont des réels donnés, 6= 0 et x est l inconnue réelle. Une solution réelle de l éqution () (resp. ()) est un réel x vérifint cette reltion..3. Résolution ) L éqution () ci-dessus toujours une solution unique, à svoir x = Attention toutefois lorsqu on donne l éqution x + b = 0 sns spécifier si est nul ou ps ; en e et, si et b sont nuls, l ensemble des solutions est R ;si =0etb 6= 0, il n y ps de solution. De plus, on obtient ussi le signe du polynôme B(x) =x + b en fonction de x : B(x) le même signe que si x> b B(x) le signe contrire de si x< b. b.

21 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE ) Pour résoudre l éqution () ci-dessus, on définit = b 4c. Trois cs peuvent lors se présenter : > 0 : l éqution deux solutions di érentes, à svoir les réels x = b p, x = b + p = 0 : l éqution deux solutions égles : x = x = < 0 : l éqution n ps de solution réelle. De plus, on obtient ussi le signe du polynôme T (x) =x + bx + c en fonction de x : > 0:T (x) toujours le même signe que, suf dns l intervlle borné déterminé pr les deux solutions x,x. =0:T (x) est du signe de pour tout x 6= b. < 0:T (x) est du signe de pour tout réel x. Preuve. On b. T (x) = x + bx + c = x + b x + c! = x + b x + b b c = (x + b! b 4c ) 4 = (x + b ). 4.Dnslecs < 0, on conclut directement. Lorsque =0,onobtient T (x) = x + b. et on conclut ussi directement. Dns le cs > 0, on T (x) = (x + b ) p! (x + b p! )+ = x b + p! x b p! et on conclut pr une étude des signes des di érents fcteurs. L représenttion grphique de ces fonctions ser revue dns l suite..4 Une introduction u clcul vectoriel et nlytique.4. Définitions Etnt donné deux points P,P de l espce, le segment orienté qu ils déterminent est ppelé vecteur lié d origine P et d extrémité P. Si les deux points sont confondus, on prle du vecteur nul. L nottion utilisée pour désigner le vecteur d origine P et d extrémité P est! P P.! Soit le vecteur P P,vecP 6= P. On ppelle support du vecteur l droite contennt ces deux points. On ppelle longueur du vecteur ou encore norme du vecteur l longueur du segment joignnt P et P ;! celle-ci est notée kp P k. On ppelle sens du vecteur, le sens de prcours du segment (de P vers P ). Un vecteur lié est déterminé pr son origine et son extrémité ou encore pr son origine, son support, son sens et s longueur.

22 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 3 P P L ensemble des vecteurs liés obtenus en déplçnt un vecteur lié non nul prllèlement à lui-même (en conservnt son sens) est ppelé un vecteur libre. L nottion hbituelle pour désigner un vecteur libre est une lettre (souvent minuscule) surmontée d une flèche, ~v. On dit que chcun de ces vecteurs liés représente ou est un représentnt du vecteur libre. Le vecteur libre nul est formé de tous les vecteurs liés nuls. Etnt donné le vecteur libre non nul ~v, on ppelle direction du vecteur l ensemble des multiples non nuls de ce vecteur, longueur du vecteur, notée k~vk, l longueur (ou norme) d un vecteur lié servnt à définir ~v, sens du vecteur, le sens d un vecteur lié servnt à définir ~v. Un vecteur libre est crctérisé pr s direction, son sens et s longueur. ~v ~v ~v ~v ~v.4. Opértions entre vecteurs On définit de mnière géométrique, dns l ensemble des vecteurs liés en un même point puis dns l ensemble des vecteurs libres, l multipliction d un vecteur pr un réel et l ddition (ou somme) de deux vecteurs (règle du prllélogrmme).. voir ci-dessous pour un rppel des opértions définies dns l ensemble des vecteurs

23 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 4 Multipliction d un vecteur pr un réel! Etnt donné le vecteur PQ (P 6= Q) liéenp et le réel r, levecteurr PQ!! est le vecteur PR lié en P! dont l longueur est égle à r fois l longueur de PQ, dont le support est l droite déterminée pr les! points P, Q et dont le sens est celui de PQ si r>0 et l opposé si r<0 ; dns le cs r = 0, le vecteur r PQ! est le vecteur nul. Si P = Q, lors r PQ! est le vecteur nul églement. Si ~v est un vecteur libre et si r est un réel, le vecteur libre r~v est le vecteur libre défini pr le vecteur (lié en P ) r PQ ~ lorsque PQ ~ définit ~v. - ~v - 3 ~v Des vecteurs ~u, ~v sont dits multiples l un de l utre s il existe r R tel que ~u = r~v ou s il existe s R tel que ~v = s~u. Deux vecteurs sont dits prllèles si l un est un multiple de l utre. Somme de deux vecteurs Etnt donné deux vecteurs non prllèles et liés u même point P, on définit leur somme de fçon!! géométrique pr l règle du prllélogrmme : si les deux vecteurs sont PQ et PR, lors leur somme! PQ+ PR!! est le vecteur PM où M est digonlement opposé à P dns le prllélogrmme construit à!! prtir des vecteurs PQ et PR. On définit de même l somme de deux vecteurs prllèles (voir cours).!! Si ~v et ~u sont deux vecteurs libres, respectivement définis pr les vecteurs (liés en P ) PQ et PR,leur! somme ~v + ~u est le vecteur libre défini pr PQ+ PR.! On remrquer que, pour dditionner deux vecteurs libres, il su t d en fixer un, de déplcer le second de fçon rigide et prllèlement à lui-même de telle sorte que son origine coïncide vec l extrémité du premier ; l somme des deux vecteurs est lors le segment orienté dont l origine est l origine du premier vecteur et dont l extrémité est l extrémité du second. R ~v M : ~u ~u ~u + ~v - P Q ~v Lorsque les deux vecteurs à dditionner sont prllèles, on peut ussi utiliser l règle du prllélogrmme (dptée) pour définir leur somme. Il est cependnt plus isé de définir cette somme de l fçon suivnte : on fixe un vecteur et on déplce le second de fçon rigide et prllèlement à lui-même de telle sorte que son origine coïncide vec l extrémité du premier ; l somme des deux vecteurs est lors le segment orienté dont l origine est l origine du premier vecteur et dont l extrémité est l extrémité du second. ~v ~u - ~v ~u - ~u + ~v Propriétés Citons quelques propriétés de ces opértions (vlbles ussi bien pour l ensemble des vecteurs liés en un point que pour l ensemble des vecteurs libres) ; elles se démontrent géométriquement, à prtir des définitions.

24 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 5 L ddition entre vecteurs est ssocitive : ~u +(~v + ~w) =(~u + ~v)+ ~w pour tous vecteurs ~u, ~v, ~w. Si~0 désigne le vecteur nul, on ~u + ~0 =~0+~u = ~u pour tout vecteur ~u. On dit que le vecteur nul est neutre pour l ddition. Pour tout vecteur ~u on ~u +( ~u) =~0. On dit que tout vecteur possède un symétrique pour l ddition et le vecteur du vecteur ~u. l ddition entre vecteurs est commuttive : ~u est ppelé l opposé ~u + ~v = ~v + ~u pour tous vecteurs ~u, ~v. Qunt ux propriétés reltives u produit pr un nombre et à l ddition entre vecteurs, on, pour tous réels r, s et tous vecteurs ~u, ~v r (~u + ~v) =r~u + r~v (r + s)~u = r~u + s~u ~u = ~u (rs)~u = r(s~u) Remrques et définition L propriété d ssocitivité permet de donner un sens à une expression telle que JX r j ~u j = r ~u r J ~u J j= où les r j (j =,...J) sont des réels et ~u j (j =,...,J) sont des vecteurs. Cette expression est ppelée combinison linéire des vecteurs ~u,...,~u J. Pr convention, une combinison linéire de 0 vecteur est le vecteur nul. Notons que les propriétés citées ci-dessus sont en fit celles qui sont requises pour qu un ensemble muni d une ddition et d une multipliction (pr des sclires) soit qulifié d espce vectoriel. Nous rencontrerons d utres exemples d espces vectoriels dns l suite..4.3 L droite (définition vectorielle) Vu l introduction u clcul vectoriel que nous venons d e ectuer, on peut introduire l notion de droite sous l forme suivnte. On donne un point P 0 et un vecteur libre non nul ~v. L ensemble des points P pour lesquels il existe r R tel que! P 0 P = r~v est l droite d 0 pssnt pr P 0 et de vecteur directeur ~v. On donc, pr définition, d 0 = {P : 9r R tel que! P 0 P = r~v}.

25 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 6 ~v P 0 P d 0 On voit directement que cette droite ussi comme vecteur directeur tout multiple non nul de ~v. De plus, le vecteur déterminé pr deux points distincts P et P de d 0 est ussi un vecteur directeur de l droite. ~v P 0 P P d 0 Deux droites sont dites prllèles si elles sont déterminées pr un même vecteur directeur. Elles sont dites orthogonles si deux de leurs vecteurs directeurs forment un ngle droit Notions nlytiques : composntes, coordonnées, équtions prmétriques, équtions crtésiennes L notion de vecteur vient d être définie de mnière tout à fit géométrique (intrinsèque). Pour une mnipultion prtique très isée de cette notion, de même que pour celle de certins ensembles du pln (définis géométriquement), il est utile de recourir ux notions de composntes d un vecteur dns une bse, de coordonnées crtésiennes d un point dns un repère, d éqution crtésienne d un ensemble de points dns un repère. C est ce qu on ppelle lors mnipuler nlytiquement des notions géométriques. Composntes d un vecteur Considérons tout d bord les vecteurs d un pln. Une démrche nlogue peut être e ectuée pour les vecteurs de l espce 4. Si, dns ce pln, on fixe deux vecteurs non prllèles ~u, ~v, tout utre vecteur ~x du pln peut se décomposer de mnière unique comme une combinison linéire de ces deux vecteurs. Vu nos définitions, on démontre cette propriété de mnière géométrique. Cette propriété permet d introduire les notions de bse et de composntes.. ou perpendiculires 3. l notion d orthogonlité de deux droites nécessite en fit l introduction de l notion de produit sclire de deux vecteurs, notion que nous borderons dns une des sections suivntes 4. Dns ce cs, une bse est formée de trois vecteurs n pprtennt ps à un même pln et un vecteur ur trois composntes et non plus deux.

26 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 7 Deux vecteurs non prllèles ~u, ~v du pln forment une bse du pln ;si~x s écrit ~x = r~u + s~v les nombres r, s sont les composntes du vecteur ~x dns l bse @ @ ~u Le vecteur r~u est en fit l projection du vecteur ~x sur l droite engendrée pr ~u prllèlement à ~v. De même, le vecteur s~v est l projection du vecteur ~x sur l droite engendrée pr ~v prllèlement à ~u. Dns le cs prticulier où les deux vecteurs ~u, ~v sont orthogonux ( forment un ngle droit, voir plus loin vec le produit sclire) et de longueur, on dit que l bse ~u, ~v est orthonormée. Dns ce cs, les composntes de ~x dns cette bse sont les mesures lgébriques (c est-à-dire les longueurs prises vec le signe correspondnt u sens du vecteur obtenu pr projection) des projections orthogonles du vecteur ~x sur les droites engendrées pr les deux vecteurs de bse. s~v ~v 6 ~x * - ~u r~u Soulignons que, dns le cs ci-dessus, l longueur de r~u est r et celle du vecteur s~v est s ; r et s sont les mesures lgébriques des projections orthogonles de ~x sur les droites engendrées pr ~u et ~v respectivement.

27 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET @ r~u @ 6 6 ~v ~u - Dns ce cs-ci, l longueur de r~u est r et celle du vecteur s~v est s ; r et s sont les mesures lgébriques des projections orthogonles de ~x sur les droites engendrées pr ~u et ~v respectivement. Propriété vis-à-vis des combinisons linéires Signlons l importnte propriété suivnte, qui se démontre ussi de mnière géométrique, en repssnt ux définitions : les composntes d une combinison linéire de vecteurs sont les combinisons linéires des composntes de ces vecteurs. Cel signifie que si r, r 0 sont les premières (resp. deuxièmes) composntes des vecteurs ~u, ~v lors r + br 0 est l première (resp. deuxième) composnte du vecteur ~u + b~v. ~v ~u ~u + ~v - Repère, coordonnées crtésiennes d un point Notre but est mintennt d introduire une mnière de repérer un point quelconque du pln en se servnt des nombres réels. L même chose peut être fite tout ussi isément dns l espce. Considérons deux vecteurs non prllèles du pln insi qu un point O, c est-à-dire que l on se fixe une bse du pln, insi qu un point du pln. Ces éléments constituent ce que l on ppelle un repère du pln et le point O est ppelé l origine du repère. Dns ce repère, on définit les coordonnées crtésiennes d un point quelconque P comme suit : les coordonnées crtésiennes de P dns le repère donné sont les! composntes du vecteur OP dns l bse ssociée u repère. Les xes du repère sont les droites pssnt pr l origine, dont l direction est donnée pr les vecteurs de bse ; sur chque xe, on fixe une unité de mesure (pour l identifier ux réels), celle-ci étnt égle à l longueur du vecteur de bse correspondnt. On désigne les xes le plus souvent pr X et Y. Ainsi, à tout point P du pln on ssocie un couple unique de réels, à svoir les composntes du vecteur! OP ; l première composnte est ppelée l bscisse de P et l seconde l ordonnée de P. De même, à tout! couple de réels, on ssocie un point du pln, à svoir le point P tel que les composntes du vecteur OP soient justement ce couple de réels. L ensemble des couples de réels est noté R : R = {(x, y) : x R et y R}.

28 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 9 Pr l intermédiire d un repère, l ensemble des points du pln est donc identifié à R. Si le point P pour coordonnées crtésiennes les réels r, s, on utilise souvent l nottion (ps d églité!) P (r, s). Y s P ~v O ~u - r On! OP = r~u + s~v ; les coordonnées de P sont r (bscisse) et s (ordonnée) - X Si les coordonnées du point P sont (x,y ) et si celles du point Q sont (x,y ), à prtir de l reltion! PQ = OQ!! OP on obtient que l première composnte de! PQ est x x, c est-à-dire l di érence entre les bscisses de Q et P, dns l ordre. De même l seconde composnte du vecteur c est-à-dire l di érence entre les ordonnées de Q et P, dns l ordre.! PQ est y y Y y y P Q ) O ~v ~u - x x - X Dns le cs où les vecteurs de bse sont orthonormés, c est-à-dire lorsque ils forment un ngle droit (i.e. leur produit sclire est nul) et que leur norme est égle à, on dit que le repère est orthonormé. Lorsque les vecteurs sont uniquement orthogonux, sns voir l même longueur, on dit que le repère est orthogonl.

29 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 0 Y 6 s ~v 6 P O ~u - Le repère est orthonormé. On! OP = r~u + s~v. Les coordonnées de P sont r (bscisse) et s (ordonnée) r - X Dès qu il est question d orthogonlité, du théorème de Pythgore, il fut utiliser des repères orthonormés cr beucoup de formules lint des vecteurs et leurs composntes ne sont vlbles que dns ceux-ci. Equtions d une droite dns le pln Equtions prmétriques Les reltions vectorielles constituent des! P 0 P = r~v, r R équtions prmétriques vectorielles de l droite d 0 pssnt pr P 0 et de vecteur directeur ~v. Si on fixé un repère, ces équtions s écrivent ussi à l ide des composntes des vecteurs : x x0 = rv y y 0 = rv, r R où (x, y) sont les coordonnées d un point P quelconque de l droite, où (x 0,y 0 ) sont les coordonnées de P 0 et où (v,v ) sont les composntes du vecteur ~v. Ici, on prle plus spécifiquement de d 0. d équtions prmétriques crtésiennes Eqution crtésienne Pour rppel, on ppelle éqution crtésienne d un ensemble l ou les reltions entre les coordonnées crtésiennes qui crctérisent l pprtennce d un point à l ensemble. On fixe un repère et on reprend les nottions de l section précédente. ) Lorsque v et v di èrent de 0, l élimintion de r dns les équtions prmétriques crtésiennes ci-dessus conduit à l reltion x x 0 v = y y 0 v. Lorsque v = 0, c est-à-dire lorsque l droite est prllèle à l xe Y, l élimintion de r conduit à l reltion x x 0 =0. Lorsque v = 0, c est-à-dire lorsque l droite est prllèle à l xe X, l élimintion de r conduit à l reltion

30 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE y y 0 =0. Dns chque cs, l reltion encdrée s ppelle l éqution crtésienne de l droite. Pour conclure, chcune des trois formes précédentes de l éqution crtésienne peut s écrire sous l forme x + by + c =0 où, b, c R et, b ne sont ps simultnément nuls. ) Réciproquement, toute éqution de cette forme est l éqution crtésienne d une droite. De fit, si et b di è r e n t d e 0 e t s ix 0,y 0 sont tels que x 0 + by 0 + c = 0 lors on vérifie directement que x + by + c =0, x + by x 0 by 0 =0, x x 0 b = y y 0 ce qui signifie que l éqution x + by + c = 0 est celle de l droite pssnt pr le point de coordonnées crtésiennes (x 0,y 0 ) et dont un vecteur directeur pour composntes ( b, ). Si = 0 lors x + by + c =0, y = c b. L éqution y = c b X. Si b = 0 lors L éqution x = c Y. est celle de l droite pssnt pr le point de coordonnées (0, c/b) et prllèle à l xe x + by + c =0, x = c. est celle de l droite pssnt pr le point de coordonnées ( c/, 0) et prllèle à l xe 3) Soit une droite d non prllèle à l xe des ordonnées Y. On donc v 6= 0. L éqution crtésienne devient lors y = y 0 si v =0 et y = v v (x x 0 )+y 0 si v 6=0. Ces équtions s écrivent encore y = mx + p où p = v v x 0 + y 0 et m = v v. Le réel m s ppelle le coe cient ngulire de l droite ;leréelp est l ordonnée du point d intersection de l droite et de l xe Y. Comme le vecteur joignnt deux points distincts de d en est un vecteur directeur, on ussi m = y y x x si (x,y )et(x,y ) sont les coordonnées de deux points distincts de d. Multiple non nul de ~v, le vecteur de composntes (, v v )=(,m) est donc ussi un vecteur directeur de d. On déduit de là une utre expression du prllélisme : si d et d 0 sont deux droites qui ne sont ps prllèles à Y, elles sont prllèles entre elles si et seulement si elles ont le même coe cient ngulire. Prmétrge d un segment de droite Soit d déterminé pr les deux points distincts P,P, respectivement de coordonnées (x,y )et(x,y ). Rppelons que des équtions prmétriques de d s écrivent x = x + r(x x ) r R y = y + r(y y )

31 .5. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Un point situé sur le segment de droite entre P et P des coordonnées comme ci-dessus, mis vec r [0, ]. En prticulier, le point milieu du segment pour coordonnées x + x, y + y.! Les points de l droite situés à guche du vecteur P P ont des coordonnées correspondnt à r pple 0 et les points situés à droite ont des coordonnées correspondnt à r. Y 6 P P!! P P = rp P vec r [0, ]!! P P P = rp P vec r!! P P = rp P vec r pple 0 P d P - X Coe cient ngulire et orthogonlité Nous vons rppelé que deux droites étient dites orthogonles si deux de leurs vecteurs directeurs forment un ngle droit ; cette notion v être réétudiée grâce u produit sclire de vecteurs et à son expression nlytique. Signlons cependnt déjà l propriété fort prtique suivnte : dns un repère orthonormé, deux droites d, d non prllèles ux xes sont orthogonles si le produit de leurs coe cients ngulires vut. Il s ensuit que si d pour éqution x + by + c = 0, vec, b, c R et, b non simultnément nuls, lors les composntes d un vecteur directeur d une droite du pln orthogonle à d sont (, b). Equtions d utres ensembles Dns ce qui suit, nous urons mintes fois l occsion de décrire un ensemble de points du pln pr l intermédiire d équtions. Nous rencontrerons des équtions prmétriques crtésiennes et des équtions crtésiennes : des équtions prmétriques crtésiennes d un ensemble sont des reltions qui permettent d obtenir les coordonnées crtésiennes des points de cet ensemble à l ide d un (ou de plusieurs) prmètres ; une éqution crtésienne d un ensemble est une reltion entre les coordonnées crtésiennes des points de cet ensemble permettnt de le décrire..5 Le cercle trigonométrique et les fonctions trigonométriques C est en fit l notion de fonction sinus, cosinus 5 que l on introduit, à svoir l définition géométrique de deux fonctions dont le domine de définition est l ensemble des réels. Une étude tout à fit générle de l notion de fonction ser e ectuée dns le chpitre suivnt..5. Fonctions sinus (sin) et cosinus (cos) Introduction Les fonctions sin et cos sont définies sur R. L définition géométrique de ces fonctions s e ectue à l ide du cercle trigonométrique. 5. et pr suite tngente, cotngente

32 .5. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 3 Dns un repère orthonormé, on trce le cercle dont le centre est l origine des xes du repère et le ryon pour mesure l unité de longueur ( cercle trigonométrique ). Le sens trigonométrique utilisé en prtique est celui qui correspond u sens de prcours du cercle dns le sens inverse des iguilles d une montre, lorsque les xes sont orientés comme suit. L longueur d un rc de ce 6 cercle vrie de 0 à. Si on e ectue en plus un nombre entier n de tours complets du cercle, l longueur de l rc prcouru doit être ugmentée de n si n est positif et de n si n est négtif. Cel étnt, à tout réel x, ssocions un point du cercle de l mnière suivnte. Si x 0, le point qui correspond à ce réel est obtenu en prcournt le cercle, à prtir du point P 0 de coordonnées (, 0) et dns le sens trigonométrique, jusqu à ce que l rc décrit soit de longueur x. Six<0, le point qui correspond à ce réel est ussi obtenu en prcournt le cercle, à prtir du point P 0 de coordonnées (, 0) mis dns le sens trigonométrique inverse, jusqu à ce que l rc décrit soit de longueur x. O 6 P lorsque / >x>0 x - X O 6 P lorsque <x< / x On remrque imméditement que si x R et si k Z, le point P ssocié à x +k est celui qui est ssocié à x. Ces préliminires étnt fits, pssons à l définition géométrique des fonctions sinus et cosinus. Définitions (géométriques) Soit x R ; on définit le point P du cercle trigonométrique ssocié à ce réel x comme décrit dns le prgrphe précédent. L bscisse de P est le réel cos x et son ordonnée est le réel sin x. Pour un réel x de [0, ], on donc les situtions suivntes. -Six [0, ] lors P est dns le premier qudrnt ; son bscisse (cos x) et son ordonnée (sin x) sont donc positives. Y 6 - X sin x O cos x x - X 6. L longueur d un rc de cercle de ryon R>0vriede0à R.

33 .5. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 4 -Six [, ] lors P est dns le second qudrnt ; son bscisse (cos x) est donc négtive et son ordonnée (sin x) est positive. Y 6 sin x cos x O x - X -Six [, 3 ] lors P est dns le troisième qudrnt ; son bscisse (cos x) et son ordonnée sont donc négtives. Y 6 x cos x O sin x - X -Six [ 3, ] lors P est dns le qutrième qudrnt ; son bscisse (cos x) est donc positive et son ordonnée (sin x) est négtive. Y 6 x O cos x sin x - X Mesure des ngles Bien qu intuitivement ssez isées à ppréhender, les notions d ngle et de mesure d un ngle (orienté, non orienté) sont des notions très délictes à introduire rigoureusement 7. Cependnt, on peut dès à présent en donner une première idée. Nous signlerons simplement ici que, dns notre définition géométrique précédente de sin x, cos x, le réel x correspond à l mesure en rdins de l ngle orienté 8 formé pr le vecteur joignnt l origine u point de coordonnées (, 0) et le vecteur joignnt l origine u point P. On peut donc dire que Un rdin (le réel ) est l mesure de l ngle orienté qui intercepte un rc de longueur sur le cercle trigonométrique. Bien sûr, il existe d utres mesures d ngles. Outre le rdin, une mesure cournte est celle en degré. Une mesure de rdins correspond à 360 degrés ; les utres correspondnces se trouvent selon l règle hbituelle des proportions ( / = /4 rdins correspond à 360/4 = 90 degrés, etc). 7. On fit notmment ppel à des connissnces d nlyse réelle et d lgèbre linéire qui ne sont ps encore cquises ici. 8. pour utnt que l on se limite à un intervlle de longueur

34 .5. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 5 Premières propriétés des fonctions sinus et cosinus Si x R, le fit que, quel que soit l entier k, leréelx +k définisse le même point P se trduit pr cos(x +k ) = cos x, sin(x +k ) =sinx k Z, c est-à-dire donne l -périodicité des fonctions sin et cos. On en déduit le signe des fonctions cosinus et sinus dns R. De même, l définition géométrique permet d étudier isément l prité, l monotonie, et d utres propriétés remrqubles (ngles ssociés etc). Un résumé de reltions fondmentles figure à l fin de cette section. Nous reviendrons sur ces notions dns le chpitre conscré à l étude générle des fonctions élémentires, une fois les outils déquts instllés. Voici les représenttions grphiques (domine réduit) et propriétés fondmentles des fonctions cosinus et sinus ; il s git en fit de représenter l ensemble des points du pln dont les coordonnées crtésiennes s écrivent (x, cos x), x R et (x, sin x), x R. Notons déjà (nous y reviendrons) que les sous-ensembles de R (x, cos x) : x R, (x, sin x) : x R sont ppelés grphes respectivement des fonctions cos et sin. Profitons-en pour donner les exemples suivnts d équtions prmétriques et crtésiennes : les équtions prmétriques x = t t R y = cos t sont des équtions prmétriques du grphique (dessin) de l fonction cosinus et y = cos x en est l éqution crtésienne (dns le repère fixé). Bien sûr, l nlogue peut être fit vec le sinus. Y X cos x, x R Y X sin x, x R Lien entre ces fonctions et reltions utiles ) L reltion fondmentle de l trigonométrie est cos x +sin x =, x R. Elle s interprète isément : l somme des crrés des côtés d un tringle rectngle est égle u crré de l hypoténuse (Pythgore). ) Il urit su t de définir l une des fonctions sin, cos ; on en e et sin x = cos( x), x R;

35 .5. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 6 de mnière équivlente, on ussi sin( x) = cos x, x R 3) Rppelons encore les reltions fondmentles suivntes. Formules d ddition et de multipliction sin(x ± y) = sinx cos y ± sin y cos x cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y cos(x + y) + cos(x y) = cos x cos y cos(x y) cos(x + y) = sinx siny sin(x + y)+sin(x y) = sinx cos y Des trois dernières reltions, on déduit les suivntes x ± y x y sin x ± sin y = sin cos x + y x y cos x + cos y = cos cos x + y y x cos x cos y = sin sin De même, en prennt x = y dns les premières reltions encdrées, on obtient Formules des ngles ssociés sin(x) = sinx cos x cos(x) = cos x sin x + cos(x) = cos x cos(x) = sin x sin(x + ) = sinx cos(x + ) = cos x sin( x) = sin x cos( x) = cos x sin( x) = sinx cos( x) = cos x sin( x) = cos x cos( x) = sinx.5. Fonctions tngente (tg) et cotngente (cotg) Définition Les fonctions tngente et cotngente sont définies à prtir des fonctions sinus et cosinus de l mnière suivnte : tg x = sin x cos x, cos x cotg x = sin x = tg x. Vu s définition, le domine de définition de l fonction tngente est donc l ensemble des réels exception fite de ceux qui nnulent le cosinus, à svoir / et tous les réels obtenus en joutnt un multiple entier de à /. On obtient donc dom(tg) = {x R : x 6= + k, 8k Z} = R \{ + k, k Z}.

36 .5. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 7 De même, vu s définition, le domine de définition de l fonction cotngente est l ensemble des réels à l exception de ceux qui nnulent l fonction sinus, à svoir tous les multiples entiers de. On obtient donc dom(cotg) = {x R : x 6= k, 8k Z} = R \{k : k Z}. L interpréttion géométrique de tg x et cotg x est l suivnte. Y 6 cotg x 6 sin x O cos x - tg x - x - X Propriétés Les propriétés de ces fonctions se déduisent de celles des fonctions sinus et cosinus (souvent directement, prfois en utilisnt des propriétés générles des fonctions que nous verrons plus loin). ) L fonction tg est définie sur x R : x 6= (k + ) = + k, 8k Z et son imge est R. L fonction cotg est définie sur x R : x 6= k, 8k Z et son imge est R. ) Les fonctions tg et cotg sont des fonctions impires. Ces fonctions sont périodiques de période ; hbituellement, on étudie l fonction tg sur, et l fonction cotg sur l intervlle ]0, [. 3) Soit x,.on Soit x ]0, [. On tg x =0, x =0, tg x =, x = 4, tg x =, x = 4. cotg x =0, x =, cotg x =, x = 4, cotg x =, x = ) Voici les représenttions grphiques des fonctions tg et cotg (dns l ordre). Le domine été réduit. Des remrques nlogues à celles fites pour le cosinus (grphe, équtions prmétriques et crtésiennes des grphiques) peuvent bien sûr être fites ici. Y Y X X ) Les reltions fondmentles (ddition, multipliction, ngles ssociés) se déduisent des propriétés nlogues pour les fonctions sinus et cosinus. L vérifiction est directe. On obtient les reltions suivntes. Pour déterminer l ensemble des réels où elles sont vlbles, il fut bien sûr tenir compte des domines de définition des fonctions qui interviennent.

37 .5. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 8 Formules d ddition On tg(x ± y) = tg x ± tg y tg x tg y pour x, y R tels que tg(x ± y), tg x, tg y soient définis ; en prticulier De même tg(x) = cotg(x ± y) = tgx tg x. cotg x cotg y cotg y ± cotg x pour x, y R tels que cotg(x ± y), cotg x, cotg y soient définis. Angles ssociés tg(x + ) = tgx; cotg(x + ) = cotg x; tg( x) = tg x; cotg( x) = cotg x; tg( x) = cotg x; cotg( x) = tgx. Signlons encore un lien fort utile entre les fonctions tngente et cosinus (le clcul est direct!) : De mnière nlogue, on +tg x = cos x, x 6= + k, 8k Z. + cotg x = sin, x 6= k, 8k Z. x.5.3 Vleurs usuelles Il est déqut de se rppeler les vleurs que prennent les fonctions cos, sin, tg, cotg en les réels 0, 6, 4, 3,. On n oublier ps bien sûr les ngles ssociés pour en déduire les vleurs en 3 4, 5 6,..., de même que l périodicité de ces fonctions. x 0 /6 /4 /3 / sin 0 / p / p 3/ cos tg 0 cotg p 3/ p / / 0 p 3/3 p 3 p 3 p 3/ Reltions dns les tringles On désigne les sommets d un tringle pr A, B, C, les longueurs des côtés pr, b, c (opposés respectivement à A, B, C) et les mesures des ngles (orientés positivement) de ce tringle pr,, (ngles ux sommets A, B, C respectivement). Ces mesures sont prises en rdins. A c α b β γ B C

38 .5. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ET LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 9 Rppelons les formules fondmentles lint les ngles et les côtés d un tringle. + + = = b + c bc cos b = + c c cos c = + b b cos sin = b = c sin sin Dns le cs d un tringle rectngle (un ngle est égl à /, le côté opposé est ppelé hypoténuse), ces formules deviennent A c α b β γ B C + + = et un des ngles est égl à / ; dns l exemple, il s git de = c cos = c sin = b tg = b cotg b = c cos = c sin = cotg = tg c = + b Les dernières formules se trduisent en toute générlité de l fçon suivnte : - dns un tringle rectngle, un côté est égl à l hypoténuse multipliée pr le cosinus de l ngle djcent (resp. fois le sinus de l ngle opposé) ; - dns un tringle rectngle, un côté est égl à l utre côté multiplié pr l cotngente de l ngle djcent (resp. fois l tngente de l ngle opposé)..5.5 Coordonnées polires Dns le pln muni d un repère orthonormé, on sit qu à tout point on ssocie un couple de réels, (x, y), ppelés coordonnées crtésiennes du point ; x s ppelle l bscisse et y l ordonnée du point. Et réciproquement, tout couple de réels détermine un et un seul point du pln. Si le point est di érent de l origine des xes, lors on peut ussi le crctériser pr l intermédiire de ses coordonnées polires. Définition On ppelle coordonnées polires d un point P di érent de l origine et de coordonnées crtésiennes (x, y) le réel strictement positif r (ppelé ryon polire) etl unique 9 [0, [, ppelé ngle polire ou rgument, telsque x = r cos, y = r sin. On peut bien sûr trouver les coordonnées polires (r, ) à prtir des coordonnées crtésiennes : r = p x + y cos = x r sin = y r. Lorsque les fonctions trigonométriques inverses seront réintroduites, nous exprimerons l ngle polire à prtir de l fonction inverse de l fonction tngente. 9. En fit, on peut choisir l rgument dns un utre intervlle de longueur fixé u déprt.

39 .6. COMPLÉMENT DE CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 30.6 Complément de clcul vectoriel et nlytique Des notions fondmentles de clcul vectoriel telles que le produit sclire et le produit vectoriel, l notion d ngle entre deux droites..., font intervenir les fonctions trigonométriques. Mintennt que ces fonctions ont été réintroduites, nous pouvons présenter ces notions reltives à l géométrie vectorielle..6. Rppels Dns ce qui précède, une introduction ux vecteurs été présentée. On y notmment défini les notions de vecteur lié, libre, d ddition de vecteurs, de multipliction d un vecteur pr un réel. On y ussi défini l notion de bse et de composntes d un vecteur dns une bse. On introduit églement les notions suivntes. Prllélisme de deux vecteurs : deux vecteurs sont dits prllèles si l un est multiple de l utre 0. Droite de l espce ou du pln : il s git de l même définition vectorielle. On donne un point P 0 et un vecteur non nul ~v. L droite déterminée pr P 0 et ~v est l ensemble des points de l espce pour! lesquels il existe r R tel que P 0 P = r~v. CEPENDANT, l éqution crtésienne d une droite de l espce n est ps celle que nous vons obtenue dns le pln. Support d un vecteur lié non nul : droite déterminée pr l origine et l extrémité du vecteur. Droite vectorielle : ensemble des multiples d un vecteur non nul. Direction déterminée pr un vecteur non nul : ensemble des multiples non nuls de ce vecteur ; cette direction est notée souvent ~v ; on donc ~v = {r~v : r R 0 }. Deux vecteurs ynt l même direction sont donc prllèles. Sens d un vecteur et orienttion d une droite vectorielle : intuitivement, c est clir cr on considère que l on prcourt le segment de l origine vers l extrémité. si les vecteurs non nuls ~u et ~v sont prllèles, lors il existe r R 0 tel que ~u = r~v (resp. il existe s R 0 tel que ~v = s~u) ; on dit lors que ~u et ~v ont le même sens si r>0 (resp. s>0) et le sens contrire ou opposé si r<0 (resp. s<0). Cel étnt rppelé ou défini, nous pouvons psser à l étude du produit sclire et du produit vectoriel de deux vecteurs de l espce..6. Produit sclire de deux vecteurs Définition Définissons géométriquement le produit sclire. En guise d exemple, signlons que le trvil d une force constnte F ~ gissnt sur un objet se déplçnt d un point P vers un point Q est le produit sclire de F ~ et PQ ~ Trvil de ~ F = ~ F! PQ. Définition.6. Le produit sclire des vecteurs (libres) non nuls ~u, ~v est le réel ~u ~v = k~uk k~vk cos où [0, ] est l mesure de l ngle non orienté entre les deux vecteurs. Si l un des vecteurs est nul, on dit que le produit sclire est le réel le vecteur nul et un utre vecteur sont donc toujours prllèles. L éqution d une droite de l espce est en fit formée pr un système de deux équtions de ce type. Ces notions seront (re)vues dns le cdre de l géométrie nlytique dns l espce (prtim B du cours).. Rigoureusement si ~v 6= ~0 définitldroitevectorielle,onconsidèreldirection ~v = {r~v : r R 0 } comme union disjointe des deux ensembles {r~v : r>0} et {r~v : r<0} ;orienterldroite,c estchoisirl undecesdeuxensembles.

40 .6. COMPLÉMENT DE CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 3 Le produit sclire est donc un réel qui peut être positif, négtif ou nul. S il n est ps nul, son signe est celui du cosinus de l ngle entre les deux vecteurs. ~u ~v >0 cr [0, /[ ~u ~v <0 cr ] /, ] On dit que deux vecteurs sont orthogonux si leur produit sclire est nul. Un vecteur et le vecteur nul sont donc toujours orthogonux. Pr contre, le produit sclire de deux vecteurs non nuls est nul si et seulement si cos = 0 ; cel revient à dire que deux vecteurs non nuls sont orthogonux si et seulement si l ngle non orienté qu ils forment pour mesure /. Produit sclire et projection orthogonle Nous supposons connue d un point de vue géométrique l notion de projection orthogonle d un vecteur sur une droite vectorielle. Relions les notions de produit sclire et de projection orthogonle. Notre objectif est de trouver une expression vectorielle permettnt de clculer isément l projection orthogonle d un vecteur ~u sur l droite vectorielle engendrée pr un vecteur non nul ~v. Supposons voir deux vecteurs non nuls ~u et ~v. Soit l ngle entre ~u et ~v et soit l projection orthogonle de ~u sur l droite vectorielle déterminée pr ~v. ~u 0 Montrons que ~u 0 = ~u ~v k~vk ~v. De fit, notons l mesure de l ngle non orienté entre ces deux vecteurs. Si = / lors ~u 0 = ~0 et ~u ~v = k~uk k~vk cos = 0. Dès lors l églité est vrie. Si [0, /[, on k~u 0 k = k~uk cos = k~uk cos et, si ] /, ], on Dès lors k~u 0 k = k~uk cos = k~u 0 k = k~uk k~vk cos k~vk k~uk cos = k~uk cos. = 8 ~u ~v >< k~vk = >: ~u ~v k~vk ~u ~v k~vk si [0, /[ si ] /, ].

41 .6. COMPLÉMENT DE CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 3 D utre prt, comme le vecteur ~u 0 est un vecteur de même direction que ~v, demêmesenssi [0, /[ et de sens opposé si ] /, ], on il s ensuit que ~u 0 = k~u 0 k ~v k~vk si [0, /[, ~u 0 = k~u 0 k ~v k~vk ~u 0 = ~u ~v k~vk ~v. si ] /, ]; Cette reltion reste vlble même si ~u ou ~v est nul cr les deux membres sont nuls. Propriétés Le produit sclire entre deux vecteurs possède en outre les propriétés remrqubles suivntes. Elles se démontrent géométriquement, à l ide de ce qui précède. Propriété.6.. Positivité : ~u ~u = k~uk 0, k~uk =0si et seulement si ~u = ~0,. Symétrie : ~u ~v = ~v ~u, 3. Bilinérité : (r ~u + r ~u ) (s ~v + s ~v )=r s ~u ~v + r s ~u ~v + r s ~u ~v + r s ~u ~v pour tous vecteurs ~u, ~v,~u, ~u, ~v, ~v et tous réels r,r,s,s. Composntes et produit sclire On vu que dns le pln, étnt donné deux vecteurs non prllèles ~u, ~v, tout utre vecteur du pln se décompose de mnière unique comme une combinison linéire de ceux-ci. On insi introduit les notions de bse du pln et de composntes d un vecteur dns une bse. Dns l espce, on procède de mnière nlogue. On montre qu étnt donné trois vecteurs ~u, ~v, ~w qui ne sont ps dns un même pln, tout utre vecteur ~x de l espce se décompose de mnière unique en une somme de multiples de ces vecteurs ~u, ~v, ~w. On dit que ces trois vecteurs forment une bse de l espce et que les coe cients de l combinison linéire sont les composntes du vecteur ~x dns cette bse. En guise de bse de l espce, on utilise souvent une bse orthonormée. Il s git de trois vecteurs de norme qui sont orthogonux deux à deux : ~e, ~e, ~e 3 forment une bse orthonormée de l espce si k~e k = k~e k = k~e 3 k =, ~e ~e =0, ~e ~e 3 =0, ~e ~e 3 =0. On décompose lors un vecteur ~x en fonction de ~e, ~e, ~e 3 de l mnière suivnte (c est une générlistion de ce qui se psse dns le pln) : où les trois vecteurs ~x = x ~e + x ~e + x 3 ~e 3 x ~e, x ~e, x 3 ~e 3 sont les projections orthogonles du vecteur ~x sur les droites vectorielles déterminées pr les vecteurs de bse (c est-à-dire les droites déterminnt les xes du repère). Les nombres réels (x,x,x 3 ) sont les composntes du vecteur ~x dns l bse ~e, ~e, ~e 3 et on, en vertu des liens entre produit sclire et projection orthogonle Donc on x = ~x ~e, x = ~x ~e, x 3 = ~x ~e 3. ~x =(~x ~e )~e +(~x ~e )~e +(~x ~e 3 )~e 3

42 .6. COMPLÉMENT DE CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 33 Grâce à cette décomposition, on obtient l expression suivnte du produit sclire de deux vecteurs en fonction de leurs composntes dns une bse orthonormée. Propriété.6.3 Soit ~e, ~e, ~e 3 une bse orthonormée de l espce. Si ~x et ~y sont deux vecteurs de composntes respectivement (x,x,x 3 ) et (y,y,y 3 ) dns l bse orthonormée ~e, ~e, ~e 3 lors Preuve. On et ~x ~y = x y + x y + x 3 y 3. ~x = x ~e + x ~e + x 3 ~e 3, ~y = y ~e + y ~e + y 3 ~e 3 x i = ~x ~e i, y i = ~y ~e i, 8i =,, 3. Dès lors, en utilisnt l propriété de bilinérité du produit sclire ~x ~y = ~x (y ~e + y ~e + y 3 ~e 3 )=y (~x ~e )+y (~x ~e )+y 3 (~x ~e 3 ) = y x + y x + y 3 x 3. Dns une bse orthonormée ~e, ~e d un pln, on de même ~x ~y = x y + x y si ~x, ~y sont des vecteurs du pln et (x,x ), (y,y ) leurs composntes respectives dns cette bse. Droites orthogonles On introduit précédemment l notion de droites orthogonles dns un pln en disnt que deux droites non prllèles ux xes étient orthogonles si le produit de leurs coe cients ngulires étit égl à. En fit, l vrie définition de l orthogonlité de deux droites est celle-ci (et est vlble ussi dns l espce) : d de vecteur directeur ~v et d 0 de vecteur directeur ~v 0 sont orthogonles si les vecteurs ~v et ~v 0 sont orthogonux, utrement dit, si leur produit sclire est nul. Montrons que l on retrouve bien l reltion lint les coe cients ngulires si ceux-ci existent. Supposons les deux droites dns un pln muni d un repère orthonormé. Alors, si d pour éqution y = mx + p et d 0 pour éqution y = m 0 x + p 0, des vecteurs directeurs de ces droites ont respectivement pour composntes (dns l bse orthonormée du pln choisie) (,m)et(,m 0 ). Vu l propriété précédente, le produit sclire des vecteurs directeurs est donc donné pr + mm 0. D où l conclusion..6.3 Angle entre deux droites Définition Soient d, d 0 deux droites de vecteurs directeurs respectivement ~v,~v 0. Soit l ngle non orienté 3 entre ~v et ~v 0 et soit 0 l ngle non orienté entre ~v et ~v 0. Pr définition de l mesure des ngles non orientés (cf l définition du produit sclire), on 3. en rélité l mesure de l ngle non orienté, 0 [0, ], + 0 =.

43 .6. COMPLÉMENT DE CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 34 v d' d v' v' θ v v θ' -v' Pr définition, l ngle entre d et d 0 est le plus petit des deux ngles 4 et 0. L ngle entre deux droites est donc toujours compris dns l intervlle 0,. On obtient donc que l ngle entre les deux droites d et d 0 est le réel [0, /] tel que Cs de deux droites dns le pln cos = ~v ~v0 k~vk k~v 0 k. Donnons une formule utile permettnt de trouver l ngle entre deux droites du pln à l ide de leurs équtions crtésiennes. Soient d et d 0 respectivement d éqution dns un repère orthonormé du pln. y = mx + p, y = m 0 x + p 0 Propriété.6.4 Si mm 0 6= lors l ngle entre d et d 0 est le réel 0, tel que L preuve est un simple clcul. tg = m m0 +mm 0. Si on mm 0 =, les deux droites sont orthogonles donc l ngle qu elles forment vut /. Si d est prllèle à Y et ps d 0, l ngle qu elles forment vut / moins l ngle formé pr X et d 0.Si d et d 0 sont prllèles, l ngle qu elles forment vut 0. On remrque que l définition donnée est symétrique : l ngle entre d et d 0 est l ngle entre d 0 et d. On voit ussi géométriquement que deux droites déterminent en fit deux ngles ; l définition que l on donne est un choix : on décide de prendre l ngle igu. Dns le cs prticulier où d 0 est l xe X, on m 0 = 0 donc m si m 0 tg = m = m si m pple 0 4. Que se psse-t-il si on considère ~v et ~v 0 u lieu de ~v et ~v 0?

44 .6. COMPLÉMENT DE CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE Distnces L notion de distnce entre deux ensembles non vides repose sur l notion de borne inférieure de réels, notion que nous n vons ps encore étudiée rigoureusement (de même pour l borne supérieure). L borne inférieure d un ensemble de réels est en fit le plus grnd nombre qui est plus petit que tous les nombres de l ensemble. Il ne s git ps toujours du plus petit des nombres de l ensemble, ce cs ne se présentnt que lorsque l borne inférieure est tteinte, c est-à-dire lorsqu il s git d un nombre qui pprtient à l ensemble. Dns l utilistion que nous llons en fire ci-dessous, cette borne ser toujours tteinte et s exprimer en fit sous l forme de l longueur (norme) d un vecteur. L distnce entre deux points est l longueur du vecteur joignnt ces deux points. L distnce entre une droite et un point est l longueur du vecteur joignnt le point et s projection orthogonle sur cette droite. Ces distnces ont une expression nlytique simple, utilisnt coordonnées et éqution crtésiennes des données. Cs de l distnce entre deux points Dns un repère orthonormé de l espce, si les points sont donnés pr leurs coordonnées crtésiennes, P (x,y,z ), P (x,y,z ) on! dist(p,p )=kp P k = p (x x ) +(y y ) +(z z ). Y 6 y P H HHHH longueur de ce segment=dist(p,p ) y 6 ~v longueur de ce segment= y y H HHH H P Hj?longueur de ce segment= x x O - ~u x x - X Cs de l distnce entre un point P 0 et une droite d Puisque cette distnce revient à déterminer l distnce entre deux points, à svoir le point donné P 0 et s projection orthogonle P sur l droite, il su rit bien sûr de déterminer les coordonnées crtésiennes de l projection orthogonle sur l droite, puis d utiliser le résultt précédent. Cependnt, on peut procéder de mnière plus directe. E ectuons le clcul dns le cs du pln. P 0 A A A A A d P P A A A A A AA d

45 .6. COMPLÉMENT DE CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 36 Propriété.6.5 Si d pour éqution crtésienne x + by + c = 0(où, b ne sont ps simultnément nuls) et si P 0 pour coordonnées (x 0,y 0 ),on dist(p 0,d)= x 0 + by 0 + c p + b. Preuve. Un vecteur ~n orthogonl à d pour composntes (, b). Fixons un point quelconque P de d.!! Comme le vecteur P 0 P est ussi l projection orthogonle de P 0 P sur l droite vectorielle engendrée pr ~n, on!! P 0 P ~n P 0 P = k~nk ~n donc! P 0 P = Cel étnt, si x, y sont les coordonnées de P, on! P 0 P =! P 0 P ~n k~nk! P 0 P ~n k~nk. = (x x 0) +(y y 0 )b p + b = x 0 + by 0 + c p + b en utilisnt l expression nlytique du produit sclire et l pprtennce du point P à l droite d..6.5 Le produit vectoriel de deux vecteurs Orienttion de l espce L définition du produit vectoriel nécessite l introduction de l notion d orienttion de l espce. Considérons les deux bses orthonormées suivntes. 3 On visse le long de 3: se rbt sur On visse le long de 3: se rbt sur () (b) 3 Toute utre bse orthonormée peut se rmener sur l une ou (ou exclusif) l utre de celles-ci pr de simples déplcements dns l espce (déplcements qui n ectent ps s rigidité : rottions, trnsltions). Si on choisit une des deux bses () ou (b) (et toutes celles qui s y rmènent), on dit que l on orienté l espce ; si c est l bse () qui été choisie, on dit que l espce est orienté à droite ; dns le cs où l on choisit (b), on dit que l espce (ou le repère) est orienté à guche. Pour déterminer prtiquement l orienttion d une bse, on peut procéder de plusieurs mnières. Pr exemple, on imgine un tire-bouchon que l on enfonce le long de l xe 3. Si, dns cette mnipultion, l xe se rbt sur l xe (pr le plus court chemin), on est dns l orienttion droite ; dns le cs contrire, on est dns l orienttion guche. On peut ussi visser le long de l xe : si l xe se rbt sur l xe 3, on est dns l orienttion droite ; l bse est orientée à guche si 3 se rbt sur. Bien sûr, on peut ussi procéder vec l xe u déprt. En résumé 5 : 5. En fit, tout ceci est lié à l réprtition des 6 permuttions de {,, 3} en permuttions pires et impires.

46 .6. COMPLÉMENT DE CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 37 orienttion droite : - on visse le long de : se rbt sur 3 (3) - on visse le long de : 3 se rbt sur (3) - on visse le long de 3 : se rbt sur (3) ; orienttion guche : - on visse le long de : 3 se rbt sur (3) - on visse le long de : se rbt sur 3 (3) - on visse le long de 3 : se rbt sur (3). Etnt donné trois vecteurs ~u, ~u, ~u 3 qui ne sont ps dns un même pln (mis ps nécessirement orthonormés), on dir ussi que l bse (~u, ~u, ~u 3 ) est d orienttion droite (resp. guche) si, qund on visse le long de ~u 3, ~u se rbt sur ~u (resp. ~u se rbt sur ~u ). ) Etnt donné une orienttion de l espce, on peut mintennt définir le produit vectoriel de deux vecteurs (libres) ; c est un vecteur dont le sens dépend de l orienttion de l espce ; on prle de vecteur xil ou encore de pseudo-vecteur. Les vecteurs (géométriques, ne dépendnt ps du repère) sont pr opposition ppelés vecteurs polires. Définition du produit vectoriel Définition.6.6 Le produit vectoriel de deux vecteurs est défini géométriquement comme suit. u u v (or. guche) u v (or. droite) θ v Si ~u et ~v ne sont ps prllèles, ~u ^ ~v est un vecteur (xil) qui est défini comme suit norme donnée pr fois l ire du tringle construit sur ~u et ~v, c est-à-dire de norme égle u réel positif k~uk k~vk sin direction orthogonle u pln défini pr ~u et ~v, sens tel que (~u, ~v,~u ^ ~v) constitue une bse orientée comme l espce. Si ~u et ~v sont prllèles, le produit vectoriel de ces vecteurs, ~u ^ ~v, est pr définition le vecteur nul. On donc directement l propriété suivnte : le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si les deux vecteurs sont linéirement dépendnts. Suf mention explicite du contrire, on suppose être dns le cs d un espce orienté à droite. Propriétés Le produit vectoriel de deux vecteurs possède les propriétés importntes suivntes. Elles se démontrent géométriquement, à l ide de l définition. Propriété.6.7 ) Représenttion de ~u ^ ~e lorsque k~ek =et ~u, ~e orthogonux : le vecteur ~u ^ ~e est obtenu en ppliqunt u vecteur ~u une rottion de / dns le pln L orthogonl à ~e. ) Soient ~u, ~v deux vecteurs, ~u 6= ~0 et soit L le pln orthogonl à ~u. Si~v L désigne l projection orthogonle de ~v sur L, on ~u ^ ~v = ~u ^ ~v L. A prtir de ce qui précède, on démontre lors les propriétés suivntes (à comprer vec celles du produit sclire). Propriété.6.8 ) On ~u ^ ~u = ~0, ~u ^ ~v = (~v ^ ~u) propriété d ntisymétrie (r ~u + r ~u ) ^ ~v = r (~u ^ ~v)+r (~u ^ ~v), ~u ^ (r ~v + r ~v )=r (~u ^ ~v )+r (~u ^ ~v ).

47 .7. LES CONIQUES 38 Ces deux dernières propriétés se générlisent u cs des combinisons linéires de plus de deux vecteurs. Elle est ppelée propriété de bilinérité du produit vectoriel. ) Si ~e, ~e, ~e 3 désigne une bse orthonormée orientée comme l espce, on Composntes et produit vectoriel ~e ^ ~e = ~0 ~e ^ ~e = ~e 3 ~e ^ ~e 3 = ~e ~e ^ ~e = ~e 3 ~e ^ ~e = ~0 ~e ^ ~e 3 = ~e ~e 3 ^ ~e = ~e ~e 3 ^ ~e = ~e ~e 3 ^ ~e 3 = ~0. On vu que le produit sclire de deux vecteurs étit un réel qui, vu les propriétés du produit sclire, pouvit s exprimer fcilement en fonction des composntes des vecteurs dns une bse orthonormée. On une propriété nlogue dns le cs du produit vectoriel : on utilise les composntes des vecteurs ~u, ~v pour trouver les composntes du vecteur ~u ^ ~v, tout cel dns une bse orthonormée. Propriété.6.9 Dns une bse orthonormée ~e, ~e, ~e 3 orientée comme l espce, on ~u ^ ~v =(u v 3 u 3 v )~e +(u 3 v u v 3 )~e +(u v u v )~e 3, où les u i (resp. les v i ) sont les composntes de ~u (resp. ~v) dns cette bse. Preuve. Cel se démontre en utilisnt l propriété de bilinérité du produit vectoriel et les vleurs de ~e i ^ ~e j pour i, j =,, 3..7 Les coniques.7. Prémbule et doption d une définition Prémbule Les coniques...vste sujet! Il s git de courbes plnes, qui furent étudiées déjà dns l Grèce ntique. Leurs propriétés géométriques sont remrqubles et interviennent dns de nombreuses situtions et phénomènes cournts. Pour découvrir les coniques en s musnt, rien de tel que de surfer un peu sur le web. Vous trouverez dns ce qui suit un petit exemple...qui en cche de nombreux utres! On peut insi fcilement trouver de nombreuses représenttions ou photos sur lesquelles le rôle des coniques et de leurs propriétés géométriques est clirement mis en évidence. Mis présentons ussi ici un résumé succinct d un point de vue très prtique qunt à l description vi des équtions crtésiennes. Avec cette pproche, les utres descriptions des coniques pprissent comme des exercices d nlyse et de géométrie nlytique plne (donc pouvnt être bordés d un point de vue très clcultoire pr description et interpréttion correctes d une représenttion grphique). Définition vi équtions crtésiennes. Rppelons que dns le pln muni d un repère, on ppelle éqution crtésienne d un ensemble, l 6 reltion 7 entre les coordonnées crtésiennes (x, y) crctérisnt l pprtennce d un point de coordonnées (x, y) à l ensemble ; utrement dit, dire que E(x, y) = 0 est l éqution crtésienne de l ensemble L signifie qu un point de coordonnées (x, y) pprtient à L si et seulement si E(x, y) = 0. Dns notre pproche, nous définissons donc une conique comme un ensemble de points du pln dont l description vi éqution crtésienne est donnée vi un polynôme du second degré à coe cients et vribles réelles, à svoir E(x, y) =x +bxy + cy +dx +ey + f 6. signlons toutefois que, dns un même repère, cette reltion n est ps nécessirement unique ; on utilise cependnt l rticle défini cr bien souvent, l unicité est obtenue à une constnte multiplictive non nulle près 7. ou des reltions, en toute générlité

48 .7. LES CONIQUES 39 où les coe cients des termes du second degré ne sont ps tous nuls. En toute générlité, l éqution d une conique est donc du type x +bxy + cy +dx +ey + f =0 vec l condition mentionnée sur les coe cients. Un chngement de repère permet toujours d obtenir une forme beucoup plus simple pour l éqution crtésienne 8. Suf dns le cs où l conique est vide, réduite à un point ou formée de droites (cs dits dégénérés ), cette forme est de l un des trois types ci-dessous, dns lesquels les vribles x et y peuvent être éventuellement permutées (i) x + y b =, x y (ii) b =, (iii)y =px où et b sont des réels strictement positifs et où p est un réel non nul. On ppelle ces formes d équtions des équtions cnoniques ou encore réduites..7. Une brève étude des coniques Première description Commençons pr une petite description immédite des coniques, données vi les équtions cnoniques ci-dessus. L ellipse L éqution crtésienne cnonique x + y b = est celle d une conique que l on ppelle ellipse. On constte directement que les points de cet ensemble constituent un ensemble borné et on trouve directement ses intersections vec les xes du repère. D utres pproches du grphique peuvent être envisgées. q q x Quoi qu il en soit, en étudint les fonctions x 7! b x et x 7! b et les symétries (fin de rmener l étude u premier qudrnt) on peut obtenir une représenttion plus précise (mis cel implique l étude de l représenttion grphique des fonctions, voir chpitre suivnt) Lorsque >bl représenttion est l suivnte Y (0,b) 6* (, 0) AK A A (, 0) * - X 8. Pour le montrer, on utilise des procédés tout à fit stndrds mis que nous ne présenterons ps ici, en première lecture. L littérture bonde de références sur le sujet.

49 .7. LES CONIQUES 40 Lorsque <bon obtient Y 6 * (0,b) (, 0) - X Qund = b, l ellipse est le cercle centré à l origine et de ryon = b. L hyperbole L éqution crtésienne cnonique x y b = est celle d une conique que l on ppelle hyperbole. On constte directement que cet ensemble de points n est ps borné et on trouve imméditement ses intersections vec les xes du repère. D utres pproches du grphique peuvent être envisgées. q q x Quoi qu il en soit, en étudint les fonctions x 7! b x et x 7! b et les symétries (pour se rmener u premier qudrnt), on peut obtenir une représenttion plus précise (mis cel implique l étude de l représenttion grphique des fonctions, voir chpitre suivnt). On voit notmment pprître les deux symptotes d équtions crtésiennes y = b x y = b x. Une hyperbole dont les symptotes sont orthogonles est ppelée hyperbole équiltère. Y y = b 6 y = b x x Z (0,b) ZZ (, 0) Z ZZ Z ZZ Z - X Dns le cs où le rôle des vribles est permuté, c est-à-dire si on considère l hyperbole d éqution y x b =

50 .7. LES CONIQUES 4 l conique intersecte cette fois l xe Y ux points de coordonnées (0,) et(0, pour éqution crtésienne y = b x, y = b x. ) et les symptotes ont Y X - -4 L prbole L éqution crtésienne cnonique y =px est celle d une conique que l on ppelle prbole. On constte directement que cet ensemble de points n est ps borné et que s seule intersection vec les xes du repère est l origine. D utres pproches du grphique peuvent être envisgées. On constte notmment directement que tout point de cette prbole des coordonnées (x, y) quivérifient x p + y = x + p ce qui signifie que les points de l prbole d éqution y =px sont situés à égle distnce du point de p coordonnées, 0 et de l droite d éqution x = p. Ces point et droite prticuliers sont respectivement ppelés foyer et directrice de l prbole (notés respectivement F et d ci-dessous). Nous llons revenir sur ceci dns l suite. Lorsque p est strictement positif, on les représenttions grphiques qui suivent. Y 6 - F (p/, 0) X d : x = p Lorsque l on permute les vribles, c est-à-dire qund on étudie l prbole d éqution x =py on obtient bien sûr une description tout à fit semblble

51 .7. LES CONIQUES 4 Y 6 o F (0,p/) - X d : y = p Axes, foyers, directrices, excentricité Présentons quelques utres éléments clefs des coniques, à prtir de l définition doptée. L ellipse Considérons l éqution x + y b = lorsque >b. Dns ce cs, définissons c = p b, e = c = s b. On 0 pple e< et ces grndeurs s interprètent sur le grphique comme décrit ci-dessous (se rppeler que = b + c ). Les cs où l excentricité est nulle correspond u cercle. Les points F et F 0, respectivement de coordonnées (c, 0) et ( c, 0) sont ppelés foyers de l ellipse et le réel e est ppelé excentricité. L droite pssnt pr les foyers est ppelée grnd xe. Il s git ici de l xe des bscisses. Le centre de l ellipse est le point milieu du segment joignnt les deux foyers. c F F 0 (, 0) * - X Si on considère l droite d d éqution crtésienne (qund e 6= 0) d : x = c = e on démontre (exercice) que pour tout point P de l ellipse, l distnce entre P et le foyer F est égl à l excentricité multipliée pr l distnce entre P et l droite d : dist(p, F) = edist(p, d) Pour bien percevoir ce que signifie l excentricité, il est utile de remrquer ceci : lorsque l vleur est constnte, l excentricié ugmente lorsque le réel c ugmente (ce qui correspond à un écrtement plus grnd entre les foyers), c est-à-dire lorsque le réel b diminue. Sur l représenttion grphique, cel se trduit donc pr le fit que l ellipse devient de plus en plus écrsée lorsque l excentricité se rpproche de et ressemble de plus en plus d un cercle lorsque l excentricité se rpproche de 0. Bien sûr, on peut fire un risonnement nlogue vec F 0 et d 0 : x = ppelées directrices de l ellipse. /e. Les droites d et d 0 sont

52 .7. LES CONIQUES 43.5 Y.5 Y d d 0.5 F o X 0.5 F o X Lorsque <b, on c = p b, e = c b = r b, F(0,c), F 0 (0, c) et le grnd xe est cette fois l xe des ordonnées. On définit de même des directrices et on bien sûr les mêmes propriétés que dns le cs précédent. L hyperbole Considérons l éqution x fit nlogue. Définissons y b =. Le cs où on permuté le rôle de x et y se trite de mnière tout c = p + b, e = c = s+ b. On e> et ces grndeurs s interprètent sur le grphique comme décrit dns ce qui suit. Les points F et F 0, respectivement de coordonnées (c, 0) et ( c, 0) sont ppelés foyers de l hyperbole et le réel e est ppelé excentricité. L droite pssnt pr les foyers est ppelée xe principl. Il s git ici de l xe des bscisses. Le centre de l hyperbole est le point milieu du segment joignnt les deux foyers. Y 6 y = b Z Z F 0 ( c, 0) c Z F (c, 0) (, 0) - X Si on considère l droite d d éqution crtésienne d : x = c = e on démontre (exercice) que pour tout point P de l hyperbole, l distnce entre P et le foyer F est égle à l excentricité multipliée pr l distnce entre P et l droite d : dist(p, F) = edist(p, d) Pour bien percevoir ce que signifie l excentricité dns ce cs ussi, il est utile de remrquer ceci : lorsque l vleur est constnte, l excentricié ugmente lorsque le réel c ugmente (ce qui correspond à un écrt plus grnd entre les foyers), c est-à-dire lorsque le réel b ugmente. Sur l représenttion

53 .7. LES CONIQUES 44 grphique, cel se trduit donc pr le fit que l hyperbole devient de plus en plus écrsée lorsque l excentricité se rpproche de (ce qui correspond à b qui se rpproche de 0) et s ouvre de plus en plus lorsque l excentricité ugmente (ce qui correspond ussi à une ugmenttion de b. On peut bien sûr fire un risonnement nlogue vec F et d 0 : x = ppelées directrices de l hyperbole. /e. Les droites d et d 0 sont Y Y d d F o X - F o X L prbole Considérons l éqution y =px vec p>0. Soient c = p, F (c, 0) d : x = c, e =. Le point F est ppelé foyer de l prbole et l droite d directrice de l prbole. On vu que les points P de l prbole se trouvent à égle distnce du foyer et de l directrice : dist(p, F) =dist(p, d) =edist(p, d). L excentricité est ici égle à. L xe de l prbole est l droite pssnt pr le foyer et orthogonle à l directrice. Propriété supplémentire de l ellipse et de l hyperbole Reprenons le cs de l ellipse trité ci-dessus. On démontre que les points de l ellipse sont tels que l somme de leurs distnces ux foyers est une constnte, égle à (on ppelle ussi ce nombre l longueur du grnd xe, bien qu il s gisse bien sûr de l longuuer d un segment de ce grnd xe). dist(f, P)+dist(F 0,P)= pour tout point P de l P F 0 Pssons à l hyperbole. On démontre que les points de l hyperbole sont tels que l vleur bsolue de l di érence de leurs distnces ux foyers est une constnte, égle à : dist(p, F) dist(p, F 0 ) = pour tout point P de l hyperbole..

54 .7. LES CONIQUES 45 P XXX XX X XXX X F 0 F Définition des coniques comme lieux géométriques Les propriétés que nous venons de voir peuvent être prises comme point de déprt pour définir les coniques. En choisissnt un repère de mnière déqute, on retrouve lors les équtions dont nous sommes prtis. Utilistions prtiques de propriétés spécifiques des coniques Les utilistions des coniques, leurs occurrences dns les phénomènes nturels sont nombreuses. Signlons simplement les multiples usges en optique 9, et, bien sûr, les trvux de Kepler 30 décrivnt les orbites des plnètes utour du soleil! 9. Propriété de l ellipse et de l hyperbole dns le domine de l optique : un ryon lumineux émis à prtir d un foyer est réfléchi vers l utre foyer ; propriété de l prbole, fort utilisée en prtique (rdrs, phres, téléscope,...) : un ryon lumineux émis à prtir du foyer d une prbole est réfléchi selon une droite prllèle à l xe de l prbole (voir pr exemple Ellis-Gullick p667 et lentours. 30. Johnnes Kepler (ou Keppler), né le 7 décembre 57 à Weil der Stdt dns le Bde-Wurtemberg et mort le 5 novembre 630 à Rtisbonne en Bvière, est un stronome célèbre pour voir étudié et confirmé l hypothèse héliocentrique (l Terre tourne utour du Soleil) de Nicols Copernic, et surtout pour voir découvert que les plnètes ne tournent ps en cercle prfit utour du Soleil mis en suivnt des ellipses. Il découvert les reltions mthémtiques (dites Lois de Kepler) qui régissent les mouvements des plnètes sur leur orbite. Ces reltions sont fondmentles cr elles furent plus trd exploitées pr Isc Newton pour élborer l théorie de l grvittion universelle.

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58 .8. NOMBRES COMPLEXES 46.8 Introduction des nombres complexes et résolution des équtions du second degré.8. Définitions Définition.8. L ensemble des nombres complexes, noté C, est l ensemble des couples de réels C = {(, b) :, b R}. On directement à notre disposition une représenttion grphique de C : si on considère le pln muni d un repère orthonormé, tout point du pln définit un complexe et tout complexe définit un point du pln. Pr définition, deux complexes (, b) et( 0,b 0 ) sont égux lorsque = 0 et b = b 0. Si z =(, b) est un complexe, le réel s ppelle l prtie réelle du complexe et le réel b s ppelle l prtie imginire du complexe. On utilise les nottions <z =, =z = b. 6 b = =z z =(, b) O = <z - On dit que l ensemble R des réels est inclus dns l ensemble C des complexes en identifint les réels ux couples (, 0), R. Les réels sont donc les complexes dont l prtie imginire est nulle. Le complexe nul est le couple (0, 0). Un nombre complexe dont l prtie réelle est nulle et dont l prtie imginire est non nulle est ppelé nombre complexe imginire pur. Dns l ensemble des nombres complexes, on définit deux opértions fondmentles, l ddition de deux complexes et l multipliction de deux complexes. L ddition ur imméditement une interpréttion clire (elle se trduir pr l ddition de deux vecteurs du pln). Qunt à l multipliction, on verr son interpréttion plus trd, à l ide de rottions ; il fut bien se grder de l interpréter à l ide d un produit quelconque de vecteurs!! Définition.8. ADDITION DE DEUX COMPLEXES, notée + : (, b)+(c, d) =( + c, b + d). MULTIPLICATION DE DEUX COMPLEXES, notée (ou encore pr un blnc, comme dns le cdre réel) : (, b) (c, d) =(c bd, d + bc). Insistons sur le fit que, dns C, il n y ps de reltion d ordre.

59 .8. NOMBRES COMPLEXES Propriétés L première propriété est une générlistion de ce qui se psse dns R. Propriété.8.3 Soient (, b) et (c, d) deux complexes. On (, b) (c, d) =(0, 0) si et seulement si (, b) =(0, 0) ou (c, d) =(0, 0). Preuve. On si et seulement si (, b) (c, d) =(c bd, d + bc) =(0, 0) c bd =0 d + bc =0 Si 6= 0, en exprimnt c en fonction de dns l première reltion et en l introduisnt dns l seconde, on voit que le système est équivlent à c = bd d( + b )=0 donc est équivlent à d = c = 0. Si =0etb 6= 0, on est conduit à l même conclusion. Pssons ux propriétés essentielles des opértions introduites. Propriété.8.4 Pour l ddition et l multipliction entre deux complexes, on les propriétés suivntes l ensemble C muni de l ddition est un groupe commuttif de neutre 0=(0, 0) 3 l ensemble C \{(0, 0)} muni de l multipliction est un groupe commuttif de neutre (, 0) 3 l multipliction distribue l ddition 33 On dit que C muni de l ddition + et de l multipliction est un corps commuttif. Preuve. Tout se vérifie en ppliqunt les définitions. Prmi les propriétés ci-dessus, revenons sur celle qui dit que pour tout complexe non nul existe une complexe (c, d) tel que (, b) (c, d) =(, 0). (, b), il On dit que tout complexe non nul possède un inverse pour l multipliction. L inverse du complexe non nul z =(, b) est noté z ou encore z ; il est donné pr + b, b + b. 3. Cel signifie que l ddition possède les propriétés suivntes ssocitivité : pour tous complexes z,z,z 3,on(z + z )+z 3 = z +(z + z 3 ) existence d un neutre : le complexe e =(0, 0) est tel que e + z = z + e = z pour tout complexe z tout complexe possède un symétrique (ici, on prle ussi d opposé) : pour tout z il existe z 0 tel que z + z 0 = e commuttivité : pour tous complexes z, z 0 on z + z 0 = z 0 + z. 3. Cel signifie que l multipliction possède les propriétés suivntes ssocitivité : pour tous complexes z,z,z 3,on(z z ) z 3 = z (z z 3 ) existence d un neutre : le complexe e =(, 0) est tel que e z = z e = z pour tout complexe z tout complexe non nul possède un symétrique (ici, on prle plutôt d inverse) : pour tout z 6= 0ilexistez 0 tel que z z 0 = e commuttivité : pour tous complexes z, z 0 on z z 0 = z 0 z. 33. Cel signifie que pour tous complexes c, z,z,onc (z + z )=c z + c z

60 .8. NOMBRES COMPLEXES Introduction du complexe i et nottions prtiques Avec l convention d écriture d un blnc en lieu et plce du signe et l identifiction d un réel comme étnt un complexe prticulier, l reltion s écrit (r, 0) (, b) =(, b) (r, 0) rz = zr, z = z =z si r = vec z =(, b). De même, les opértions d ddition et de multipliction que l on vient de définir, restreintes à R, rendent les opértions usuelles de R. Définition.8.5 On pose i =(0, ). Propriété.8.6 ) En tennt compte de l identifiction de R comme sous-espce de C, tout nombre complexe (, b) s écrit z =(, b) = + bi. ) On i =(0, ) (0, ) =. Preuve. ) On en e et z =(, b) =(, 0) + (0,b)= + b(0, ) = + bi. ) Il su t d ppliquer l définition du produit entre complexes. Grâce à l introduction du complexe i et ux propriétés vérifiées pr l ddition et l multipliction, le clcul entre complexes pprît comme une générlistion nturelle du clcul dns R en tennt compte de i =. Ainsi pr exemple (, b) (c, d) =(c bd, d + bc) pr définition. Si l on écrit z =(, b) = + bi, z 0 =(c, d) =c + di et que l on pplique les propriétés des opértions (d bord l distributivité), on ( + ib) (c + id) =c + id + ibc + i bd = c bd + i(bc + d) ce qui est bien le complexe de prtie réelle c bd et de prtie imginire bc + d comme nnoncé. L inverse du complexe non nul z = + ib s écrit donc Pr exemple, on z = + bi = + b b + b i. (3i + ) i ( i) = (3i + )(i i )=(3i + )(i + ) = 3i +3i + i + = 3+3i + i + = +4i. De mnière nlogue, les prties réelles et imginires de z = En e et z = i i = 5 5 i. i i i i = i i = i i +( ) = ( i). 5 sont /5 et /5, c est-à-dire

61 .8. NOMBRES COMPLEXES Module et conjugué d un complexe Définition.8.7 Soit z =(, b) = + bi un complexe (, b R). Le complexe conjugué de z, noté z, est le complexe z =(, b) = bi c est-à-dire le complexe qui l même prtie réelle que z mis dont l prtie imginire est l opposé de celle de z. Le module du complexe z, noté z, est le nombre réel positif z = p + b c est-à-dire l longueur du vecteur d origine O et dont l extrémité est le point du pln de coordonnées (, b). b = =z 6 z =(, b) = + bi z O = <z = < z - b = = z z =(, b) = bi On vérifie directement les propriétés suivntes. Propriété.8.8 z = z pour tout complexe z <z pple z, =z pple z pour tout complexe z z = z z pour tout complexe z z = z z pour tout complexe non nul z z z = z z, z + z pple z + z pour tous complexes z,z z z = z z, z + z = z + z pour tous complexes z,z. On voit ussi directement que pour tout nombre complexe z. z + z = <z, z z i = =z.8.5 Rcines crrées d un nombre complexe Théorème.8.9 On z =0si et seulement si z =0. Si u est un complexe non nul, lors il possède deux rcines crrées opposées. Cel signifie que l éqution en l inconnue z u = z possède exctement deux solutions, qui sont des complexes opposés. Preuve. Comme le produit de deux complexes est nul si et seulement si l un d entre eux est nul, on obtient bien z =0sietseulementsiz = 0. Dns le cs u 6= 0, écrivons u = + bi, = <u R, b = =u R.

62 .8. NOMBRES COMPLEXES 50 (z Si b =0et>0, on z = u = si et seulement si z ( p p p ) = 0, ou encore si et seulement si )(z + ) = 0. L éqution z = vec >0 donc les deux solutions réelles p p et. Si b =0et<0, on z = u =, z + i =0, z i ( p ) =0, (z i p )(z + i p )=0. L éqution z = vec <0 donc les deux solutions i p et i p, lesquelles sont des nombres complexes imginires purs. Considérons mintennt le cs b 6= 0. On cherche x, y R tels que, en posnt z = x + iy : z =(x + iy) = u = + ib. Comme (x + iy) = x y +ixy, on obtient z = x y = u, b =xy, y = b x = x y = b, x b 4x 4 4x b =0. 4x L éqution 4x 4 4x b = 0 se résout en posnt X = x.on 4X 4X b =0, X = + p + b ou X = p + b cr = 6( + b ) > 0. Comme p + b < 0, on trouve finlement 4x 4 4x b =0, X = x = + p + b. Il s ensuit que l éqution de déprt possède bien deux solutions opposées. En guise d exemples, cherchons les rcines crrées des complexes z = 4, z = i, z 3 = 5 + i. On z =4i ;dèslors,lesrcinescrréesdez sont i et i. Cherchons x, y R tels que (x + iy) = i. On (x + iy) = i,,, 0=x y =xy x = y =x ou x = y =x x = y = x Les deux rcines crrées de i sont donc p ( + i) et p ( + i). Cherchons x, y R tels que (x + iy) = 5+i. On (x + iy) 5=x = 5+i, 6=xy y En remplçnt y pr 6/x dns l première éqution, on trouve x 4 +5x 36 = 0. Comme = = 69 = 3,cetteéqutioncommesolutionsx =etx =. Dès lors, les deux rcines crrées de 5+i sont + 3i et ( + 3i).

63 .9. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES Trinôme du second degré Propriété.8.0 Le polynôme P (z) =z +bz +c où, b, c sont des complexes et 6= 0dmet toujours deux zéros (deux zéros distincts ou un zéro double). Plus précisément, si on pose = b 4c et si z 0 est un complexe tel que z0 = lors les zéros de ce polynôme sont b + z 0 b z 0,. Si, b, c sont réels, et si < 0 lors les zéros sont des complexes conjugués. Preuve. On P (z) = (z + b z + c )= z + b z + b 4 + c b 4 = (z + b b 4c ) 4 = (z + b ) 4 = (z + b z ) 0 4 = z + b z 0 z + b + z 0 = (z z )(z z ) vec z 0 C tel que z 0 = et z = b + z 0, z = b z 0. On z = z si et seulement si = 0, uquel cs z = z = b. Si, b, c sont réels et < 0 lors z 0 est imginire pur. Vu l forme de z et z on bien z = z..8.7 Forme trigonométrique des complexes Cette prtie ser vue lorsque l fonction exponentielle ser présentée (les fonctions sinus et cosinus s introduisent en toute rigueur, sns dessin, à prtir de l fonction exponentielle ; bien sûr leur interpréttion grphique sur un cercle trigonométrique permet de retrouver l définition géométrique que nous vons donnée précédemment)..9 Représenttions grphiques Insistons encore sur l importnce de pouvoir mnipuler les descriptions géométriques (dessins, lieux) et nlytiques (à l ide de coordonnées crtésiennes, prfois en utilisnt ussi un, plusieurs prmètres) d ensembles. Dns toute sitution prtique, c est le pssge entre les deux descriptions qui permet de bien comprendre et de résoudre u mieux les problèmes (voir dns les utres cours, dns les listes d exercices, dns l suite du cours, notmment le clcul intégrl à une et plusieurs vribles,...).9. Cs générl Un ensemble de points du pln peut être représenté géométriquement (c est-à-dire pr un dessin) ou encore nlytiquement (c est-à-dire en utilisnt des coordonnées crtésiennes), lorsqu un repère est fixé. Il est importnt de pouvoir psser d une représenttion à l utre. Pr exemple, nous venons de définir ce que l on entend pr ellipse.

64 .9. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES 5 Lorsque le repère est bien choisi, l ensemble des points de l ellipse E est l ensemble des points du pln dont les coordonnées crtésiennes (x, y) vérifient l éqution x + y b = c est-à-dire que l ellipse E est décrite nlytiquement pr (x, y) : x, y R et x + y b =. Qunt ux ensembles décrits nlytiquement pr (x, y) : x, y R et x + y b pple (x, y) : x, y R et x + y b ils se représentent géométriquement respectivement pr les prties hchurées ci-dessous Considérons un utre exemple : on fixe un repère orthonormé et on considère l ensemble E des points situés dns le premier qudrnt et dont l somme des coordonnées est inférieure ou égle à. L représenttion nlytique de cet ensemble est {(x, y) : x 0,y 0,x+ y pple }. L représenttion géométrique (grphique) est l prtie du pln hchurée ci-dessous X.9. Points symétriques pr rpport à l première bissectrice Il est ussi fort importnt (cf définition et propriétés de l fonction inverse dns le chpitre suivnt) de bien se représenter géométriquement dns un repère orthonormé les points de coordonnées (, b) et (b, ). Il s git en fit de deux points symétriques (orthogonlement) pr rpport à l droite d éqution crtésienne y = x (encore ppelée première bissectrice des xes).

65 .0. BORNES 53 Y 6 x = y (b, ) - crré de côté b b (, b) 0 b - X.0 Bornes supérieure et inférieure Définir l borne supérieure ou inférieure d un ensemble de réels contennt un nombre fini d éléments se fit de fçon très nturelle et isée. Soit {r,...,r J } un ensemble contennt un nombre fini de réels. Si on compre ces nombres les uns ux utres, on peut toujours en trouver un plus grnd que tous les utres. De même, on peut toujours en trouver un plus petit que tous les utres. Dns le premier cs, le nombre sélectionné est ppelé l borne supérieure de {r,...,r J } et, dns le second cs, l borne inférieure de {r,...,r J }. Les nottions utilisées sont sup r j ou sup{r,...,r J } pplejpplej pour l borne supérieure et pour l borne inférieure. inf r j ou inf{r,...,r J } pplejpplej L notion générle de borne supérieure ou inférieure d un ensemble quelconque de réels est plus délicte à introduire. Si l idée est toujours d ller chercher le plus grnd ou le plus petit des nombres de l ensemble, on voit en e et intuitivement que les choses ne se pssent ps ussi fcilement. Pour s en convincre, il su t pr exemple de se poser cette question pour les ensembles ]0, ], [, +[, ], ], { m : m N 0}. Comme on l idée d ller chercher le plus grnd (resp. le plus petit ) nombre d un ensemble non vide A de réels, il est nturel de demnder que A soit mjoré (resp. minoré). On donne les définitions précises suivntes. Définition.0. Soit A un sous-ensemble non vide de R. On dit que ) A est mjoré s il existe un réel R tel que A ],R], c est-à-dire tel que x pple R, 8x A. Un tel nombre R est lors ppelé un mjornt (ou une mjornte) de A ; b) A est minoré s il existe un réel r tel que A [r, +[, c est-à-dire tel que x r, 8x A.

66 .0. BORNES 54 Un tel nombre r est lors ppelé un minornt (ou une minornte) de A ; c) A est borné si A est à l fois mjoré et minoré 34. Cel étnt, si R (resp. r) est un mjornt (resp. minornt) de A, tout réel plus grnd (resp. plus petit) l est ussi. Mis il n en v ps nécessirement de même pour des réels plus petits (resp. plus grnds). On en rrive lors ux définitions suivntes. Définition.0. Soit A une prtie non vide de R qui est mjorée. Un réel M est ppelé borne supérieure de A lorsque les deux conditions suivntes sont remplies M est un mjornt de A pour tout utre mjornt R de A, onm pple R. Définition.0.3 Si A une prtie non vide de R qui est minorée, un réel m est ppelé borne inférieure de A lorsque les deux conditions suivntes sont remplies m est un minornt de A pour tout utre minornt r de A, onm r. On démontre qu une prtie non vide et mjorée (resp. minorée) de R possède toujours une borne supérieure (resp. inférieure) unique. Les nottions employées pour désigner les bornes supérieure et inférieure de A sont respectivement sup =sup{ : A}, A inf =inf{ : A}. A En d utres termes, on peut ussi trduire les définitions précédentes de l mnière suivnte : M est l borne supérieure de A si M est le plus petit des mjornts de A ; m est l borne inférieure de A si m est le plus grnd des minornts de A. Exemples L ensemble ]0, ] est minoré et mjoré, donc borné. S borne inférieure est 0 et s borne supérieure est. Remrquons que l borne inférieure n pprtient ps à l ensemble mis que l borne supérieure lui pprtient bien. L ensemble [, +[ est minoré et non mjoré. Il dmet l borne inférieure (qui est un élément de l ensemble). L ensemble { m : m N 0} est minoré et mjoré, donc borné. S borne inférieure est 0 (qui n est ps un élément de l ensemble) et s borne supérieure est (qui est un élément de l ensemble). L ensemble N des nturels est minoré et non mjoré. S borne inférieure est 0 (qui est un élément de l ensemble). L ensemble Q \ [ p, 4] (c est-à-dire l ensemble des rtionnels compris entre p et 4) est minoré et mjoré, donc borné. S borne inférieure est p (qui n est ps un élément de l ensemble) et s borne supérieure est 4 (qui est un élément de l ensemble). Les définitions précédentes permettent d obtenir fcilement les propriétés suivntes. Propriété.0.4 ) S il existe A qui soit mjornt de A, lors est l borne supérieure de A. ) S il existe A qui soit minornt de A, lors est l borne inférieure de A. Dns ces cs, on dit que l borne supérieure (resp. inférieure) est rélisée. Dns le premier cs, on dit ussi que est un mximum de A et, dns le second, que est un minimum de A. 34. Vu les définitions précédentes, il est direct de voir que A est borné si et seulement s il existe un réel R>0telque x pple R pour tout x A.

67 Chpitre Etude des fonctions d une vrible réelle. Définitions de bse.. Fonction, domine, imge, grphe, grphique Une fonction réelle d une vrible réelle est une loi, une règle qui, à tout élément d une prtie A de R ssocie un réel unique. On dit que l fonction est définie sur A et que A est le domine de définition de l fonction. Si l fonction est notée f, on désigne souvent ce domine pr l nottion dom(f). Pr exemple, l fonction qui, à tout réel, ssocie son double diminué d une unité est l loi ou encore, pr exemple, R! R : x 7! x R! R : y 7! y. L fonction qui, à tout réel, ssocie l rcine crrée de son crré ugmenté de deux unités est l loi ou encore R! R : x 7! p x + R! R : t 7! p t +. L fonction qui, à tout réel strictement inférieur à, ssocie son opposé et qui, à tout réel supérieur ou égl à ssocie son crré est l loi x si x< R! R : x 7! x si x ou encore R! R : u 7! u si u< u si u. On désigne une fonction en toute générlité de l fçon suivnte f : A! R : x 7! f(x) ou tout simplement f si le contexte est clir. Il fut bien souligner que l nottion pour l vrible est totlement libre ; on prle de nottion ou de vrible muette. Une fonction f définie sur A est insi notée églement f(x), x A ou encore f(y), y A,... 55

68 .. DÉFINITIONS DE BASE 56 Il fut bien insister sur le fit que l fonction n est ps f(x) ; cette nottion est utilisée pour représenter l vleur de l fonction f u point x de son domine ; f(x) est donc un réel. L imge d une fonction f de domine A = dom(f) estl ensembledesréelsf(x) lorsque x pprtient u domine de l fonction ; on désigne cet ensemble pr im(f) : im(f) ={f(x) : x dom(f)}. Le grphe de f est l ensemble des couples de réels {(x, f(x)) : x dom(f)}. L représenttion grphique, ou simplement grphique de f, est l représenttion géométrique de son grphe (i.e. le dessin ). Dns le pln muni d un repère, on peut voir fcilement si une figure G donnée est en fit l représenttion grphique d une fonction dont le domine est une prtie de X. On considère l ensemble A des bscisses des points représentés ; d un réel quelconque x A, on mène l prllèle à l xe Y ; pour que l figure soit l représenttion d une fonction de domine A, il fut et il su t que chque prllèle rencontre l figure une et une seule fois X -0.5 Y X Y Ceci n est ps le grphique d une fonction. Ceci est le grphique d une fonction. Deux fonctions f,g définies sur A sont égles sur A lorsqu elles prennent les mêmes vleurs en tout point de A ; ceci s exprime donc pr f(x) =g(x), x A... Trois exemples fondmentux ) L représenttion grphique d une fonction constnte (on prler ussi de polynôme de degré 0) est une droite prllèle à l xe des X. Y 6 f(x) =c, x R O - X ) Un polynôme du premier degré (à coe cients et vrible réels) est une fonction du type f(x) =x + b, x R où, b R et 6= 0. L représenttion grphique de f est une droite non prllèle ux xes ; le coe cient ngulire de cette droite est. Voici les divers cs qui peuvent se présenter en fonction du signe du réel.

69 .. DÉFINITIONS DE BASE 57 Y 6 H HHH (0,b) Y 6 O H HHHH ( b/, 0) H 6 HHH - XH O 6 - (0,b) ( b/, 0) - X Représenttion de l fonction f(x) =x + b, x R ; l figure de guche correspond u cs <0etcellededroiteucs>0. 3) Un polynôme du deuxième degré (à coe cients et vrible réels) est une fonction du type f(x) =x + bx + c, x R où, b, c R et 6= 0 ; dns ce cs, on prle souvent de trinôme (du second degré). L représenttion grphique de f est une prbole d xe prllèle à Y. Voici les divers cs qui peuvent se présenter en fonction du signe de et de = b 4c. Y Y Y X X X Cs >0et,respectivement, > 0, < 0, = 0. Y X Y X Y X Cs <0et,respectivement, > 0, < 0, = Opértions sur les fonctions Somme, produit, quotient Soient f,g deux fonctions définies sur une prtie A de R. L somme de ces deux fonctions est l loi qui, à tout réel x de A, ssocie le réel f(x)+g(x). On note cette nouvelle fonction f + g. Autrement dit, l somme des fonctions f et g définies sur A est l fonction. Voir l nnexe pour l preuve. f + g : x A 7! f(x)+g(x).

70 .. DÉFINITIONS DE BASE 58 Le produit de ces deux fonctions est l loi qui, à tout réel x de A, ssocie le réel f(x)g(x). On note cette nouvelle fonction f.g ou encore fg. Autrement dit, le produit des fonctions f et g définies sur A est l fonction fg : x A 7! f(x)g(x). Dns le cs où f est constnt, pr exemple f(x) =c, x A, leproduitfg est simplement cg : x A 7! cg(x). Si g ne s nnule ps sur A, le quotient de f et g est l loi qui, à tout réel de A, ssocie le réel f(x)/g(x). On note cette nouvelle fonction f/g ou encore f g. Autrement dit, le quotient des fonctions f et g définies sur A, en supposnt que g ne s y nnule ps, est l fonction f g f(x) : x A 7! g(x). Fonction de fonction ou composition de fonctions dns le cdre d une vrible. Soit une fonction f de domine dom(f) et une fonction g définie sur une prtie B du domine de définition de g de telle sorte que lorsque x est un élément de B, le nombre g(x) pprtienne u domine de définition de f. Autrement dit, on l inclusion {g(x) : x B} dom(f). Dns ces conditions, on définit l fonction qui, à tout réel x de B ssocie le réel f(g(x)) = (fog)(x). On note cette nouvelle fonction fog. On dit que cette fonction est une fonction de fonction ou encore une fonction composée cr on l définit à prtir de f que l on évlue en les réels qui s écrivent g(x), c est-à-dire en des réels qui font prtie de l imge de g. On donc fog : x B 7! f(g(x)). En prtique, on donne f et g de fçon nlytique ; on doit lors déterminer les domines de définition de chcune de ces fonctions et l ensemble B de telle sorte que l condition d inclusion ci-dessus soit remplie. Le plus grnd ensemble B possible est B = {x dom(g) : g(x) dom(f)}. Ainsi pr exemple, soit à chercher le domine de définition de F (x) = p x +x 3. On ici g(x) =x +x 3, fonction définie sur R et f(x) = p x,fonctiondéfiniesur[0, +[. On B = {x dom(g) =R : g(x) =x +x 3 dom(f) =[0, +[}. L étude du signe du polynôme x +x 3permetdedireque B =], 3] [ [, +[...4 Quelques types de fonctions Il est bien utile de distinguer des propriétés prticulières des fonctions que l on doit étudier ; l étude en est bien souvent fcilitée, llégée.

71 .. DÉFINITIONS DE BASE 59 Fonction monotone Soit f une fonction réelle définie sur un sous-ensemble A de R. On dit que cette fonction est monotone sur A lorsqu elle y est soit croissnte, soit décroissnte. Les définitions de l croissnce et de l décroissnce figurent ci-dessous. L fonction f est croissnte sur A lorsque x, y A et x<y ) f(x) pple f(y). Cel signifie que chque fois que l on prend deux réels distincts de A, lors l reltion d ordre entre ces réels est conservée entre leurs imges. Elle est strictement croissnte lorsque x, y A et x<y ) f(x) <f(y). L fonction f est décroissnte sur A lorsque x, y A et x<y ) f(x) f(y). Cel signifie que chque fois que l on prend deux réels distincts de A, lors l reltion d ordre entre ces réels est renversée entre leurs imges. Elle est strictement décroissnte lorsque x, y A et x<y ) f(x) >f(y). On montre directement que f est croissnt sur A si et seulement si f est décroissnt sur A.

72 .. DÉFINITIONS DE BASE 60 Fonction concve ; fonction convexe. Soit f une fonction réelle définie sur un sous-ensemble A de R et soit I un intervlle inclus dns A. L fonction f est convexe sur I lorsque x 0,x I et r [0, ] ) f(x 0 + r(x x 0 )) pple f(x 0 )+r(f(x ) f(x 0 )). Interprétons cette définition. Lorsque x 0 6= x, l droite d joignnt les points Q, R du grphique de f d bscisse x 0 et d bcsisse x pour équtions prmétriques crtésiennes x = x0 + r(x x 0 ) r R; y = f(x 0 )+r(f(x ) f(x 0 )) pour x = x 0 +r(x x 0 ), l ordonnée du point P d bscisse x de cette droite est donc f(x 0 )+r (f(x ) f(x 0 )). Dès lors, l définition de l convexité signifie que, quels que soient les points x 0,x de l intervlle I où f est défini et quel que soit le réel x compris entre ceux-ci, l vleur de l ordonnée du point S du grphique de f d bscisse x est inférieure ou égle à l vleur de l ordonnée du point P d bscisse x de d. Intuitivement on peut dire que entre deux points, le grphique de f est en dessous de l sécnte joignnt ces deux points. L fonction f est concve sur I lorsque x 0,x I et r [0, ] ) f(x 0 + r(x x 0 )) f(x 0 )+r(f(x ) f(x 0 )). Interprétons cette définition. De même que ci-dessus, l ordonnée du point P d bscisse x de d est f(x 0 )+r (f(x ) f(x 0 )). Dès lors, l définition de l concvité signifie que, quels que soient les points x 0,x de l intervlle I où f est défini et quel que soit le réel x compris entre ceux-ci, l vleur de l ordonnée du point S du grphique de f d bscisse x est supérieure ou égle à l vleur de l ordonnée du point P d bscisse x de d. Intuitivement on peut dire que entre deux points, le grphique de f est u-dessus de l sécnte joignnt ces deux points. On montre directement que f est convexe sur I si et seulement si f est concve sur I. Fonction périodique Une fonction f définie sur un sous-ensemble A de R est dite périodique de période T lorsque x + T A, 8x A et f(x) =f(x + T ), 8x A.

73 .. DÉFINITIONS DE BASE Fonction définie sur R périodique de période (il s git de l fonction sin( x)) L période est le plus petit réel positif vérifint l propriété ci-dessus. Fonction pire ; fonction impire Une fonction f de domine A est - pire si x A ) x A et si f(x) =f( x) pour tout x A - impire si x A ) x A et si f(x) = f( x) pour tout x A. Toute fonction se décompose de fçon unique en une somme entre une fonction pire et une fonction impire. L démonstrtion est lissée u lecteur. L représenttion grphique d une fonction pire est symétrique pr rpport à l xe Y ;celle d une fonction impire est symétrique pr rpport à l origine du repère..0 Y X Fonction pire. Il s git ici de f(x) =x x [, ] ; cette fonction est convexe..0 Y X Fonction impire. Il s git de f(x) =sin( x) x [, ] ; cette fonction est convexe sur [, 0] et concve sur [0, ]..5 Fonction inverse Introduction Dns diverses situtions, qund on une fonction f, on imerit pouvoir exprimer x en fonction de y lorsque y = f(x) et insi définir une nouvelle fonction, que nous ppellerons fonction inverse, ou réciproque, de l fonction f. Ce n est ps toujours possible, comme le montrent les exemples suivnts. ) L ensemble de guche représente le domine d une fonction f et l ensemble de droite son imge.

74 .. DÉFINITIONS DE BASE 6 domine de f imge de f Il n est ps possible de définir l fonction inverse de f domine de f imge de f Il est possible de définir l fonction inverse de f ) Voici l représenttion de l fonction f(x) =x,x R puis de l fonction f(x) =x,x [0, +[ dns un repère orthonormé. Dns le premier cs, il n est ps possible de définir l fonction inverse. Dns le second cs, il est possible de l définir. Y 6 f(x) =f(u) u x - X Y 6 f(u) (u, f(u)) 3) Ainsi, pour définir l inverse d une fonction, il fut et il su tque u - X

75 .. DÉFINITIONS DE BASE 63 les imges de deux réels distincts du domine soient dictinctes ou encore, de mnière équivlente, il fut et il su Mthémtiquement, cel s écrit ou, de mnière équivlente tque tout réel de l imge provienne d un et d un seul réel du domine. 8x, y dom(f) : x 6= y ) f(x) 6= f(y) 8x, y dom(f) : f(x) =f(y) ) x = y. Grphiquement, cel signifie que toute droite prllèle à l xe X rencontre le grphique de f en un point u plus. Définition : fonction injective Une fonction f de domine A = dom(f) quiesttelleque est ppelée une On dit ussi que f : A! R est une injection. 8x, y dom(f) : f(x) =f(y) ) x = y fonction injective sur A. Ainsi, dns le prgrphe précédent, l fonction représentée en second lieu en ) et l fonction f(x) = x, x [0, +[ donnée dns ) sont injectives. Définition : fonction inverse Vu ce qui précède, on peut donner l définition de l inverse d une fonction injective. Soit f une fonction injective de domine dom(f). L fonction inverse de f est l fonction dont le domine est l imge de f et qui, à tout réel y im(f) ssocie le réel x dom(f) telquey = f(x). On désigne souvent cette fonction pr f. En d utres termes, y im(f) ety = f(x),x dom(f) ) f (y) =x. Cette définition bien un sens cr l fonction f est une injection. Pr exemple, l fonction f(x) =x, x [0, +[ est injective cr si x, y sont deux réels positifs tels que x = y lors x = y ; l imge de f est l intervlle [0, +[ cr f est à vleurs positives et tout réel positif peut s écrire comme le crré d un réel positif. Cel étnt, l fonction inverse de f est l fonction cr y = x et x ou encore, pr exemple, De même, l fonction f(x) =3x est l fonction cr si y =3x lors x = y im(f) =[0, +[! R y 7! p y 0 implique x = p y. Bien sûr, cet inverse se note ussi im(f) =[0, +[! R x 7! p x im(f) =[0, +[! R t 7! p t., x R est injective et son imge 3 est R. Cel étnt, son inverse R! R x 7! x Insistons ici fortement sur le fit que l inverse de l fonction f n est PAS l fonction f!!!. cr si x, y sont des réels tels que 3x =3y lors3x =3y donc x = y 3. cr elle est à vleurs réelles et tout réel u s écrit u =3(u/3+/3) =f(u/3+/3)

76 .. DÉFINITIONS DE BASE 64 Définition : fonction surjective, bijection Soit f une fonction de domine A, à vleurs dns un sous-ensemble B de R. Pr définition, on dit que f : A! B est une fonction surjective ou encore est une surjection si B =im(f). On voit donc qu il est très isé de rendre une fonction surjective : il su pour toute fonction f de domine dom(f), l fonction t de spécifier son imge! Ainsi, f : dom(f)! im(f) est surjective. On dit que f : A! B est une bijection ou encore une fonction bijective si f est une injection de domine A et d imge égle à B. Dès lors, si f est une fonction injective de domine A = dom(f), l fonction f : dom(f)! im(f) est une bijection. Rechercher l fonction inverse de l fonction injective f : A! R revient donc à rechercher l fonction inverse de l fonction bijective f : A! im(f). Voici quelques exemples supplémentires. L fonction f : R! R x 7! x n est ni injective ni surjective. L fonction f : R! [0, +[ x 7! x n est ps injective mis est surjective. L fonction f :], 0]! R x 7! x est injective mis n est ps surjective. L fonction f :], 0]! [0, +[ x 7! x est injective et surjective. Propriétés de l fonction inverse d une fonction injective Etudions les propriétés immédites de l fonction inverse de f. Elles se démontrent directement à prtir de l définition. ) Vu l définition on obtient directement (f of)(x) =x 8x dom(f). ( ) En ppliqunt f à l dernière églité de l définition, on trouve ussi (fof )(y) =y 8y im(f). ( ) ) Voici d utres propriétés, lesquelles se démontrent ussi de mnière immédite. Le domine de f est l imge de f (c est-à-dire dom(f )=im(f)). L imge de f est le domine de f (c est-à-dire im(f ) = dom(f)). L fonction f est une injection. En e et : si f (u) =f (v) vecu, v im(f) lorsu = f(f (u)) = f(f (v)) = v vu (**).

77 .. DÉFINITIONS DE BASE 65 L fonction f(x), x dom(f) est l fonction inverse de f (x), x im(f). On donc (f ) = f. En e et, soit y im(f )=dom(f); si x dom(f )=im(f) esttelquef (x) =y lors, pr (**), on (f ) (y) = x = f(y). Dns un repère orthonormé, le grphique de f est l figure symétrique du grphique de f pr rpport à l première bissectrice. Pour s en convincre, il su tene et d écrire le grphe de f de l mnière suivnte : {(x, f(x)) : x dom(f)} = {(f (f(x)),f(x)) : x dom(f)} = {(f (y),y) : y = f(x),x dom(f)} = {(f (y),y) : y im(f)} et de se rppeler que le symétrique pr rpport à l première bissectrice du point du pln de coordonnées (, b) estlepoint du pln de cordonnées (b, ). Une étude prtique des fonctions injectives et des fonctions inverses ser e ectuée dns l suite du cours. 3) Pour trouver l inverse d une fonction dns de nombreux cs, on peut utiliser tout simplement le résultt suivnt, qui résulte imméditement d un exmen un peu pprofondi de l définition de l inverse. Propriété.. Soit f : dom(f)! im(f). ) Si g est une fonction dont le domine est égl à l imge de f et qui vérifie lors g est l inverse de f. ) Si g est une fonction vérifint 4 lors g est l inverse de f. (gof)(x) =x 8x dom(f) () (i) (gof)(x) =x 8x dom(f) et (ii) (fog)(x) =x 8x dom(g) Preuve. ) L reltion () implique l injectivité de f. De plus, comme le domine de g est im(f), cette reltion entrîne églement que g = f, pr définition de l inverse. ) L reltion (i) sous-entend que im(f) dom(g) ; l reltion (ii) implique que dom(g) im(f). Dès lors dom(g) =im(f) et on pplique ). Remrquons que les conditions (i), (ii) ci-dessus peuvent ussi s écrire y = f(x), x dom(f), x = g(y), y dom(g). Fisons encore quelques remrques, à démontrer en guise d exercice. Si f est strictement monotone sur un intervlle lors f est injectif sur cet intervlle. Si f est bijectif et monotone, il s git nécessirement d une monotonie stricte et l inverse de f l même propriété. Cependnt, pour l concvité, cel dépend de l monotonie de f. Exemples supplémentires A titre d exemple, cherchons (si elle existe) l fonction inverse de chcune des fonctions suivntes f (x) =x, f (x) =x, f 3 (x) =x, f 4 (x) = x +. On pplique chque fois l propriété... Le domine de f est R, demêmequesonimge.comme(f of )(x) =x, x R, onf = f. Le domine de f est R et son imge est [0, +[. Comme p x = x pour tout réel x, on p p x = x si x 0et x = x si x pple 0. L imge de f,restreinteudomine[0, +[ ou], 0] est encore [0, +[. L fonction g(x) = p x,dedomine[0, +[, est donc l inverse de f restreinte u domine [0, +[; de même l fonction g(x) = p x,dedomine[0, +[, est l inverse de f restreinte u domine ], 0]. L fonction f n donc ps d inverse lorsqu on l considère de domine R, nilorsqu onlrestreint à u n d o m i n e d u t y p e, [ b] ou], b[ vec<0 <b(on voit d illeurs imméditement qu elle n est ps injective sur ces domines). 4. ce qui sous-entend que le domine de g contient l imge de f et que le domine de f contient l imge de g

78 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 66 Le domine de f 3 est R, de même que son imge. On f 3(x) +=x pour tout réel x ;ils ensuitquel inversedef 3 est l fonction g(x) =x +, x R. Le domine de f 4 est R \{ }. Sionprendx 6= etquel onposey = f 4(x) = x+,ony 6= 0etx = y. L fonction g(y) = y, de domine R 0 est donc l inverse de f 4,pourutntque 5 l imge de f 4 soit exctement R 0 = dom(g) (sinonilfut restreindre le domine de g). Comme on (fog)(y) =y pour tout y R 0 = dom(g) onconclut.. Fonctions élémentires Mintennt que les premiers concepts et définitions fondmentux reltifs ux fonctions ont été présentés, il est nturel de donner les exemples des fonctions élémentires. Nous urons l occsion d y revenir très bientôt et d en ner l étude lorsque les notions de limite, de dérivée, de primitive, uront été clirement définis et lorsque leurs propriétés de bse uront été démontrées (prfois lissées sous forme d exercices, ou de seconde lecture). En bref, les fonctions dites élémentires sont les suivntes polynômes frctions rtionnelles fonctions irrtionnelles fonctions trigonométriques fonctions trigonométriques inverses fonctions exponentielle et logrithme Dns ce qui précède, nous vons déjà rencontré des polynômes, frctions rtionnelles, fonctions irrtionnelles, fonctions trigonométriques ; grâce à l notion d inverse de fonction (section précédente), nous llons définir les fonctions trigonométriques inverses. Qund à l fonction exponentielle, nous en donnerons une définition rigoureuse dns un des chpitres qui suivent (à prtir des séries). Ici, nous nous contentons d en rppeler les premières propriétés et d en déduire l définition de l fonction logrithme (fonction inverse de l fonction exponentielle). Insistons encore sur le fit que ces fonctions élémentires seront étudiées plus en détils dns ce qui suit, en utilisnt les outils que nous llons introduire (limite, dérivée, primitive)... Polynômes Définitions Dns le cdre des fonctions d une vrible réelle et à vleurs réelles, on ppelle polynôme une fonction définie comme étnt une somme finie de multiples réels de puissnces entières positives d une vrible réelle 6. Un polynôme est donc toujours défini sur R. Suf dns le cs où tous les coe cients sont nuls, il s écrit P (x) = 0 + x N x N, x R ou encore NX P (x) = j x j, j=0 x R vec j R 80 pple j pple N, N 6=0;N est lors le degré du polynôme. Pr extension, on dit que l fonction 0 (cs où tous les coe cients sont nuls) est un polynôme de degré 0. On démontre que les coe cients d un polynôme sont uniques. En prticulier on donc 0 + x N x N =0, 8x R, j =08j =0,...,N. 5. Pr exemple, l inverse de l fonction f(x) =x, x [0, ] est l fonction g(x) = p x, x [0, 4] et non ps l fonction p de domine [0, +[; cel ser très importnt notmment dns le clcul d intégrles. 6. Lorsqu on trville dns le cdre complexe, on définit un polynôme comme étnt une somme (finie) de multiples complexes de puissnces entières positives d une vrible complexe.

79 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 67 Un zéro réel d un polynôme (on dit ussi prfois rcine réelle) est un réel qui nnule P c est-à-dire tel que P () =0. Un polynôme non nul de degré 0 n ps de zéro. Tout réel est un zéro du polynôme nul. Soit P un polynôme de degré N et soit R un zéro de P. On démontre qu il existe toujours un nturel strictement positif et un polynôme Q de degré N tels que P (x) =(x ) Q(x), x R et Q() 6= 0. (.) On dit lors que est un zéro de P de multiplicité. Nous démontrons plus loin un critère prtique pour l recherche de l multiplicité 7. Pr exemple, le polynôme P (x) =x 3 3x +=(x ) (x + ) possède comme zéro de multiplicité et commezérodemultiplicité. Propriétés Une propriété fondmentle des polynômes qui possède de nombreuses pplictions, est celle-ci. Nous ne l démontrerons ps ici (c est une conséquence du théorème fondmentl de l lgèbre). Proposition.. Deux polynômes de degré inférieur ou égl à N qui sont égux en N + points distincts sont égux prtout. On peut démontrer ussi les propriétés suivntes. Certines découlent directement de l théorie générle de l étude des polynômes à coe cients et vrible complexes. Certines seront e ectivement démontrées dns le cdre réel lorsque le théorème des vleurs intermédiires ser étudié. Un polynôme à coe cients réels de degré impir u moins un zéro réel. Un polynôme à coe cients réels de degré impir (resp. pir) un nombre impir (resp. pir) de zéros réels, ces zéros étnt comptés vec leur multiplicité. Voici quelques exemples : -lepolynômex 4 + est de degré 4 et n ps de zéro réel ; -lepolynômex 3 + est de degré 3 et se fctorise de l mnière suivnte : x 3 +=(x + ) (x seul zéro réel ; -lepolynômex (x + ) est de degré 4 et un zéro réel (0) de multiplicité. Un polynôme à coe cients réels x + ) ; il n donc qu un P (x) = N x N + N x N x + 0 de degré N se fctorise toujours de l mnière suivnte (*) : P (x) = N (x r )...(x r J ) J (x + b x + c )...(x + b K x + c K ) K où les trinômes qui pprissent ont des coe cients réels, n ont ps de zéro réel, où les r j sont les zéros réels du polynôme P et où JX KX j + k = N. Voici quelques exemples : P (x) =x 4 +=x 4 +x + x =(x + ) x =(x p x + )(x + p x + ), P (x) =x 3 +=(x + )(x x + ), P (x) =x (x + ), P (x) =x x 6=(x + 3 )(x ). j= k= 7. Critère pour l recherche de l multiplicité : soient P un polynôme de degré u moins et un nturel strictement positif ; lors est un zéro de multiplicité pour P si et seulement si D j P () =0pourj =0,..., etd P () 6= 0.

80 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 68 Recherche des zéros L méthode pour rechercher les zéros des polynômes du premier et du second degré est bien définie et isée (cf Résolution d équtions du premier et du second degré). Pour les polynômes du troisième et qutrième degré, des méthodes de résolution existent mis deviennent très lourdes. On peut ussi montrer (Glois) que pour des polynômes de degré 5 et plus, il n existe ps de méthode générle de résolution à l ide de formules fisnt intervenir uniquement des fonctions rtionnelles et des rdicux. On utilise en fit des méthodes numériques (pproximtions successives). Représenttion grphique Les représenttions grphiques des polynômes du premier et du second degré ont été présentées u début de ce chpitre (dns Trois exemples fondmentux de représenttions grphiques de fonctions). Pour les polynômes de degré supérieur ou égl à trois, des outils supplémentires sont nécessires pour une étude complète de l représenttion grphique (ppliction de l dérivtion à l étude des fonctions ; TVI ;...) ; ils seront étudiés dns l suite et permettront d illeurs une étude complète de l représenttion grphique des fonctions définies à prtir des fonctions élémentires stndrds. Division des polynômes On démontre de fçon directe (et l preuve fournit une méthode prtique de clcul) le résultt suivnt. Proposition.. Etnt donné des polynômes P, D (diviseur) de degré respectivement N et d vec N d, il existe des polynômes uniques Q (quotient) et R (reste) de degré respectivement N d et strictement inférieur à d tels que P (x) =D(x)Q(x)+R(x), x R. Si R = 0 on dit que le polynôme D divise P ou que P est divisible pr D. Ainsi, en utilisnt ce qui précède et l propriété (.), on voit directement que le polynôme P est divisible pr (x ) sietseulementsip () =0 le polynôme P est divisible pr (x )(x b) vec 6= b si et seulement si P () =0etP (b) = 0. Lorsque le degré du diviseur est, l méthode pour clculer le quotient et le reste s ppelle l méthode de Horner. Voici un exemple de division de polynômes. Considérons les polynômes P (x) =3x 4 x 3 +x +etd(x) =x. E ectuons l division de P pr D. Onpeute ectivement le fire cr le degré de D est inférieur à celui de P. Les termes de plus hut degré de chcun des polynômes sont, respectivement, 3x 4 et x. C est pr 3x qu il fut multiplier x pour obtenir 3x 4 (*). On multiplie lors le diviseur pr ce monôme 3x et on retrnche de P le résultt obtenu. On trouve un polynôme dont le degré est strictement inférieur à celui de P. On pplique le même processus à ce nouveu polynôme. Ce processus s rrête qund le degré du nouveu polynôme est strictement inférieur à celui du diviseur ; il s git lors du reste R de l division ; le quotient Q est le polynôme obtenu en dditionnnt successivement les monômes obtenus u cours du stde (*) du processus. L disposition prtique est l suivnte. Première étpe. Deuxième étpe. 3x 4 x 3 +0x +x + x 3x 4 3x 3x x 3 +3x +x +

81 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 69 Troisième étpe. 3x 4 x 3 +0x +x + x 3x 4 3x 3x x x 3 +3x +x + x 3 +x +3x 3x 4 x 3 +0x +x + x 3x 4 3x 3x x +3 x 3 +3x +x + x 3 +x +3x +3x 3 Comme le degré du nouveu polynôme (ici 4) est 0, donc strictement inférieur à celui du diviseur D(x) =x, le processus s rrête. Finlement, on obtenu Quotient = Q(x) =3x x +3, Reste = R(x) =4 4 donc ou encore P (x) =3x 4 x 3 +x + = (x )(3x x + 3) + 4 = D(x)Q(x)+R(x) 3x 4 x 3 +x + x =3x x x, x R \{, }... Frctions rtionnelles Définitions Une frction rtionnelle est une fonction définie comme étnt le quotient de deux polynômes. Son domine de définition est donc le complémentire des zéros du dénominteur. Une frction rtionnelle F F (x) = N(x), x R \{x R : D(x) =0} D(x) est dite propre lorsque le degré du numérteur N est strictement inférieur à celui du dénominteur D et que ces deux polynômes N(x),D(x), x R n ont ps de zéro commun. Propriété fondmentle Dns le cdre réel, ppelons frction rtionnelle simple une frction du type r (x + s) ou dx + e (x + bx + c) vec, N 0, r, s, d, e, b, c R et b 4c < 0. Ces frctions ont une grnde importnce pour l primitivtion et le clcul intégrl notmment. Il est donc utile de pouvoir disposer d un résultt permettnt d écrire toute frction rtionnelle sous l forme d une somme de frctions simples. Pr exemple, l frction rtionnelle propre 5 (x + )x (x + )

82 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 70 peut se décomposer selon 5 (x + )x (x + ) = 0 x + 5 x + x x x +. Donnons un utre exemple : l frction rtionnelle propre donnée pr peut toujours s écrire sous l forme F (x) = P (x) (x ) 3 (x + x + ) F (x) = c x + c (x ) + c 3 (x ) 3 + c 4x + d 4 x + x + + c 5x + d 5 (x + x + ) où les c j,d j sont des nombres réels déterminés univoquement. Afin d être en mesure de triter tous les cs, il est bon d voir à s disposition un résultt générl. Il s git en fit de l générlistion de l dernière décomposition présentée. Nous ne démontrerons ps ce théorème dns le cdre de ce cours. Signlons églement que le résultt présenté ici n est ps le plus fort ; c est celui le plus utilisé en prtique, pour des frctions rtionnelles à coe cients et vrible réels. On l ppelle le théorème de décomposition d une frction rtionnelle propre en frctions rtionnelles simples dns le cdre réel. Nous renvoyons à des références clssiques pour un énoncé complet. Signlons simplement que dns le cs réel, il s git d un résultt qui permet d rmer que toute frction rtionnelle propre se décompose de fçon unique en une somme de frctions rtionnelles simples, les nombre et type de frctions simples étnt crctérisés pr l fctoristion du dénominteur en puissnces de polynômes du premier et du second degré, selon le résultt énoncé dns l section conscrée ux polynômes (*). Tritons trois exemples. ) Décomposer l frction suivnte en frctions rtionnelles simples x 4 +3x 3 +x + x. (x + ) Comme le degré du numérteur est supérieur à celui du dénominteur, on e ectue d bord l division. On trouve On sit ensuite qu il existe des réels uniques A, B, C tels que x 4 +3x 3 +x + = x ++ x (x + ) x (x + ). x (x + ) = A x + B x + C, x + x R \{0, }. Déterminons ces réels. L églité précédente est équivlente à = Ax(x + ) + B(x + ) + Cx, x R \{0, } donc à (propriété des polynômes) =Ax(x + ) + B(x + ) + Cx, x R. Si on évlue cette reltion en x =0,x = Ce système dmet pour solution unique,x = on obtient le système 8 < : B = 4C = 3A +3B + C = A = 4, B =, C = 4. Finlement, l réponse est x 4 +3x 3 +x + x (x + ) = x + 4x + x +, x R \{, 0}. 4(x + )

83 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 7 ) Décomposer l frction suivnte en frctions rtionnelles simples Il existe des réels uniques A, B, C tels que x 3 +. x 3 + = A x + + Bx + C, x R \{ }. x x + En procédnt de mnière nlogue u cs précédent, on trouve finlement A = 3, B = 3, C = 3. Finlement, l réponse est x 3 + = 3(x + ) + x + 3(x, x R \{ }. x + ) 3) Décomposer l frction suivnte en frctions rtionnelles simples On sit qu il existe des réels uniques A, B tels que On trouve imméditement l solution cr x(x + ) = A x + x(x + ). B, x + x R \{, 0}. x(x + ) = +x x x(x + ) = x, x + x R \{, 0}. Représenttion grphique L représenttion grphique des frctions rtionnelles s inscrit dns le cdre de l représenttion grphique des fonctions élémentires ; dns l suite du cours, nous llons instller les outils su snts pour une telle étude...3 Frctions irrtionnelles Rppelons que l on introduit les fonctions rcines m-iemes : x! mp x, [0, +[ (resp.r)! [0, +[ (resp.r) si m est un nturel pir (resp. impir). Une frction irrtionnelle est une fonction dont l expression ne fit intervenir que les opértions lgébriques fondmentles 8 et l extrction de rcines sur des polynômes. Pr exemple, les expressions suivntes définissent des frctions irrtionnelles r 3 x + x +3 4x 4 +5, r 5x6 + x 3 + x 3, + p 5 x4 + x x +x +3r + x 5 + x 3 + 3; +8 comme cs prticulier, on bien sûr les rcines de polynômes. Le domine de définition d une telle fonction composée se détermine de fçon nturelle à prtir des domines de définition des fonctions qui interviennent dns son expression. 8. c est-à-dire l ddition, l multipliction, l division

84 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 7..4 Fonctions trigonométriques Nous renvoyons u chpitre précédent, dns lequel ont été introduites les notions de sinus, cosinus, tngente, cotngente. C est un bon exercice que de rssembler les définitions et propriétés générles vues précédemment, explicitées mintennt en utilisnt les définitions et termes déquts de l première section de ce chpitre (domine, imge, monotonie, représenttion grphique, vleurs usuelles, etc). En fit, les fonctions trigonométriques sin, cos sont définies en toute rigueur, sns se servir de dessins, (et on peut insi démontrer leurs propriétés) à prtir de l fonction exponentielle (complexe). Ceci ser revu en temps utile...5 Fonctions trigonométriques inverses Définitions L fonction cos est une bijection de [0, ] sur[, ] ; son inverse (fonction réciproque) est notée rcos ; on donc cos : [0, ]! [, ] bijection (cos) = rcos : [, ]! [0, ] cos (rcos x) =x, 8x [, ] et rcos (cos x) =x, 8x [0, ]. L fonction sin est une bijection de [ /, /] sur [, ] ; son inverse (fonction réciproque) est notée rcsin ; on donc sin : [ /, /]! [, ] bijection (sin) = rcsin : [, ]! [ /, /] sin (rcsin x) =x, 8x [, ] et rcsin (sin x) =x, 8x [ /, /]. L fonction tg est une bijection de ] rctg ; on donc /, /[ sur R ; son inverse (fonction réciproque) est notée tg : ] /, /[! R bijection (tg) = rctg : R! ] /, /[ tg (rctg x) =x, 8x R et rctg (tg x) =x, 8x ] /, /[. L fonction cotg est une bijection de ]0, [ surr ; son inverse (fonction réciproque) est notée rcotg ; on donc cotg : ]0, [! R bijection (cotg) = rcotg : R! ]0, [ cotg (rcotg x) =x, 8x R et rcotg (cotg x) =x, 8x ]0, [. Propriétés Les propriétés de ces fonctions se déduisent de l théorie générle des fonctions inverses (réciproques) et des propriétés des fonctions trigonométriques. Elles seront complétées pr l suite (continuité, dérivtion). Citons-en seulement quelques-unes qui se déduisent de ce que nous vons rppelé précédemment. Représenttion grphique Voici (figure ci-dessous) l représenttion de cos x, x [0, ] (en pointillés) et de rcos x, x [, ].

85 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 73 3 Y - 3 X - Voici (figure ci-dessous) l représenttion de sin x, x [ rcsin x, x [, ]. /, /] (en pointillés) et de.5 Y X Voici (figure ci-dessous) l représenttion de tg x, x ] rctg x, x [ 0, 0]. /, /[ (en pointillés) et de Y X Voici (figure ci-dessous) l représenttion de cotg x, x ]0, [ (en pointillés) et de rcotg x, x [ 0, 0]. Y X Signe et monotonie Les fonctions rcos, rcotg sont strictement décroissntes sur leur domine de définition ; les fonctions rcsin, rctg sont strictement croissntes sur leur domine de définition.

86 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 74 L fonction rcos est toujours à vleurs positives (à vleurs dns [0, ]) ; l fonction rcsin est à vleurs positives sur [0, ] et négtives [, 0] ; l fonction rctg est à vleurs négtives sur ], 0] et positives sur [0, +[ ; l fonction rcotg est toujours à vleurs positives (à vleurs dns ]0, [). Remrque Bien sûr, comme les fonctions trigonométriques sont liées entre elles pr plusieurs reltions, il en est de même pour les fonctions trigonométriques inverses. Etblissons un exemple 9 (d utres sont proposés dns les exercices). On rcsin x = rcos x 8x [, ]. En e et, soit x [, ]. On sin(rcsin x) =x, sin( rcos x) =cos(rcosx) =x donc sin(rcsin x) =sin( rcos x). Comme les réels rcsin x et rcos x pprtiennent à l intervlle [ /, /] et que l fonction sin est injective sur cet intervlle, on en déduit rcsin x = rcos x. Retour ux coordonnées polires Dns un prgrphe précédent, on introduit les coordonnées polires r>0 et [0, [ d un point di érent de l origine. L expression de ces coordonnées à prtir des coordonnées crtésiennes sont et, pour l rgument cos = x/r r = p x + y sin = y/r. Exprimons mintennt directement en fonction des coordonnées x, y. Pour x 6= 0, on rctg(tg( )) = rctg( y x ). Ainsi, en fonction de l position du point dns le pln (en fit selon son pprtennce à tel ou tel qudrnt), on obtient les expression suivntes. 8 < rctg( y x ) si x>0,y 0 = + rctg( y : x ) si x<0,y R + rctg( y x ) si x>0,y <0 Pour x = 0, on obtient = si y>0, = 3 si y<0...6 Fonctions exponentielle et logrithme L fonction exponentielle L définition de cette fonction à prtir des séries de puissnces ser vue dns un prochin chpitre ; ses propriétés seront démontrées à prtir de là. Cependnt, vu l importnce de cette fonction dns l prtique, rppelons ici ses propriétés fondmentles. L fonction exponentielle est définie en tout réel ; on l désigne pr exp(x), x R 9. On verr plus loin que l églité entre fonctions dérivbles sur un intervlle peut ussi être obtenue en dérivnt les fonctions et en montrnt l églité en un point.

87 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 75 ou encore exp x si ucune confusion sur l vrible n pprît, ou encore e x, x R. Pour cette dernière nottion : ATTENTION! Il ne s git PAS d un nombre (e, non défini) exposnt le réel x (on n ps défini ce que signifie un réel exposnt un réel!). Ses premières propriétés fondmentles sont les suivntes. Le domine de définition de exp est R et son imge est l intervlle ]0, +[. L fonction exp est strictement croissnte sur R ; l fonction est donc une bijection. On Pour tous x, y R, on exp : R! ]0, +[ exp(0) =. exp(x + y) =exp(x) exp(y) ce qui s écrit encore e x+y = e x e y. Voici l représenttion grphique de l fonction exponentielle. L première représenttion est dns un repère orthonormé ; l seconde représenttion est dns un repère orthogonl non normé. 7 6 Y X Y X pr 0 On définit le nombre e e = exp(). Signlons ussi un cs prticulier très utile de l propriété exp(x + y) = exp(x) exp(y) (x, y R) : = exp(0) = exp(x)exp( x) =e x e x donc e x =exp( x) = De même, cette propriété implique que, lorsque n N 0, on exp(x) = e x. exp(n) =exp(+...+)=exp()...exp() = (exp()) {z } n = e n. {z } n termes n fcteurs Ceci explique l rison de l nottion e x pour exp(x). Signlons encore les propriétés suivntes (démontrées lorsque l fonction exponentielle ur été définie pr une série) : 0. Ce nombre est irrtionnel ; il est même trnscendnt, ce qui signifie qu il ne peut être zéro d un polynôme à coe cients entiers sur R.

88 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 76 - on l estimtion e = exp() ' on il s ensuit que exp(x) x M M! exp(x) pple M! x M 8M N,x 0; 8M N,x<0. L dernière propriété montre que cette fonction devient très vite très grnde lorsque x devient grnd ; elle croît plus vite que tout polynôme ; on prle de croissnce exponentielle. Y X Représenttions de exp(x) (x 0) (trit plein), de x M /M!(x 0) pour M =, 5, 0 (trits pointillés de plus en plus fins lorsque M ugmente) dns un repère orthogonl non normé L fonction logrithme népérien L fonction logrithme népérien, notée ln, est définie comme l fonction inverse de l fonction exponentielle. Les propriétés de cette fonction se déduisent donc de celles de l fonction exponentielle. Les justifictions de ces propriétés sont directes et lissées u lecteur. L fonction logrithme népérien est définie sur l imge de l fonction exponentielle, c està-dire sur l intervlle ]0, +[. On exp(ln x) =x 8x > 0; ln(exp(x)) = x 8x R. L imge de l fonction ln est R (= le domine de l fonction exponentielle) et ln : ]0, +[! R est une bijection. L fonction ln est strictement croissnte sur ]0, +[. On ln() = 0, ln(x) < 0 pour x ]0, [, ln(x) > 0 pour x>. Pour tous x, y ]0, +[, on ln(xy) =ln(x)+ln(y). En prticulier, on ln(x M )=M ln(x), ln( x )= ln(x) 8x >0,M N 0.. (Petit Lrousse 99.) Npier ou Neper John, brondemerchiston;mthémticienécossis, onluidoit l invention des logrithmes (64).

89 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 77 Dns un repère orthonormé, l représenttion grphique de l fonction logrithme népérien est l suivnte. Y X - -4 Dns un repère orthonormé, les représenttions de exp et ln sont les suivntes (grphiques symétriques pr rpport à l première bissectrice) Y X - -4 Exponentielle et logrithme de bse Grâce ux fonctions exponentielle et logrithme népérien rpppelées ci-dessus, on définit le logrithme de bse et l exponentielle de bse. Tout comme les fonctions ln et exp, ces fonctions sont inverses l une de l utre. Si on prend = e, on retrouve les fonctions exponentielle et logrithme népérien hbituelles. Introduction Le système déciml est utilisé de mnière cournte dns beucoup de domines. Les nombres nturels y sont représentés à prtir des puissnces de 0 : 35 est en fit Un utre système souvent employé, notmment en informtique, est le système binire, qui consiste à utiliser des puissnces de u lieu de puissnces de 0 : 35 s écrit = = Dns l un et l utre cs, près voir choisi une bse (ici 0 ou ), on écrit le nturel comme somme de puissnces successives de l bse. Ainsi, on peut dire que ce qui permet de compter, ce sont les exposnts de l bse. Si n est un nturel, on insi introduit les fonctions 0 n! n, n! n et on dit que si x = 0 n (resp. x = n ) lors le logrithme en bse 0 de x est n (resp. le logrithme en bse de x est n). Il est tentnt de générliser les fonctions introduites ci-dessus (0 n, n N, logrithme en bse nturelle) ux nombres réels. L suite de cette prtie y est conscrée. Exponentielle de bse Soit >0 ; l fonction exponentielle de bse est définie de l mnière suivnte x =exp(x ln ) =e x ln, x R. Remrquons que pour =, cette fonction est l fonction constnte. Remrquons ussi que si x = n est un nturel, lors on retrouve les puissnces hbituelles : n = e n ln = e ln...e {z ln } =... {z }. n fcteurs n fcteurs

90 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 78 L représenttion de cette fonction s e ectue à prtir de l représenttion de exp, en tennt compte du signe de ln (donc de l position de pr rpport à ). Ainsi, si ]0, [ cette fonction est strictement décroissnte et si >, elle est strictement croissnte. Bien sûr, on 0 =8 >0, exp(x ln e) =exp(x), 8x R. Y X Représenttion de f(x) = x (x R) (enpointillé)etdeg(x) =( )x (x R) Les représenttions qui suivent comprent les fonctions x pour di érentes vleurs de. Il s git des fonctions x, 4 x, (/5) x, (/3) x (x R). A titre d exercice, on demnde de les identifier. Y X Remrquons que l définition donne imméditement les propriétés fondmentles x+y = x y, ( x ) y = xy. Logrithme de bse Soit >0, 6= ; l fonction logrithme de bse est définie de l mnière suivnte

91 .. FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 79 log (x) = ln x, x ]0, +[. ln Remrquons que l on générlise bien les exemples donnés : si est un nturel, on log ( n )= ln(n ) ln = n ln ln = n. L représenttion de cette fonction s e ectue à prtir de l représenttion de ln, en tennt compte du signe de ln() (donc de l position de pr rpport à ). Ainsi, si ]0, [ cette fonction est strictement décroissnte et si >, elle est strictement croissnte. Bien sûr, on log () = 0 8 ]0, [ [ ], +[, log e (x) =ln(x), 8x >0. Voici les représenttions de log (x), log / (x),x]0, +[. A titre d exercice, on demnde de les identifier. Y X - -4 Remrquons que l définition donne imméditement l propriété fondmentle log (xy) =log (x) + log (y), x,y ]0, +[ Pour terminer, signlons que pour >0, 6=, les fonctions logrithme de bse et exponentielle de bse sont des fonctions inverses l une de l utre. On en e et log ( x ln(exp(x ln )) )= = x, 8x R, et log ln x x =exp ln ln ln = x, 8x >0. Ainsi, pour x>0 et y R, on y = x, y = log (x). Y.5 0 Y X X Représenttion des fonctions x,x R, log (x),x > 0d uneprt; représenttion des fonctions (/) x,x R, log / (x),x > 0d utreprt.

92 .3. SUITES DE RÉELS (COMPLEXES) ; CONVERGENCE DE SUITES 80 Fonction puissnce, vec R Définition Afin de générliser l fonction puissnce hbituelle (x m vec m nombre nturel) insi que les puissnces négtives (x m, m N) et frctionnires ( mp x, m nturel), on introduit l fonction puissnce en toute générlité. Soit R. Ondéfinitlfonction puissnce, notée x, comme suit : x =exp( ln x) =e ln x, x > 0. Propriétés Pour étudier les propriétés de cette fonction, on utilise celles des fonctions exponentielle et logrithme népérien. ) L définition précédente générlise l fonction puissnce. En e et, si m N, on x m =exp(m ln x) =exp(lnx)...exp(ln x) = x...x {z } {z }. m fcteurs m fcteurs ) Voici quelques représenttions pour di érentes vleurs de (Si >0, l fonction est croissnte ; si <0, elle est décroissnte). Y X Représenttion de xp 7, x /6. 3) Soulignons que l introduction de cette fonction conduit ux reltions suivntes, qui se justifient directement à l ide de l définition. On ln(x )= ln x 8 R,x>0. En e et : ln(x )=ln(exp( ln x)) = ln x. On c est-à-dire En e et : (exp(x)) = exp( ln(exp(x))) = exp(x). (exp x) =exp(x) 8 R,x R (e x ) = e x 8, x R..3 Suites de réels (complexes) ; convergence de suites Notre but est d introduire l notion délicte de limite des vleurs d une fonction. L histoire des limites, de l doption d une définition rigoureuse, de son utilistion systémtique, consiste en une longue épopée, fisnt prtie d illeurs de l petite histoire de l discipline. Pour en voir une idée, il su td un peu surfer sur internet ; les récits à ce propos ne mnquent ps!, de même que les nombreuses références à d utres sources. Ici, étnt donné l importnce que revêt en elle-même cette notion, nous vons choisi de commencer pr l notion de suite, de convergence de suite.. Remrquons que pour et x fixés, on x =fonctionexponentielledebsex clculée en

93 .3. SUITES DE RÉELS (COMPLEXES) ; CONVERGENCE DE SUITES 8.3. Définitions Suites Commençons pr définir l notion de suite. On peut l introduire à prtir de l notion de fonction comme suit. Une suite est une fonction dont le domine de définition est l ensemble des nturels ou des entiers, ou un sous-ensemble infini de ceux-ci. Exemples ) L suite qui, à tout entier, ssocie son crré est l suite Z! N k 7! k. ) L suite qui, à tout nturel strictement positif, ssocie son inverse pour l multipliction est l suite N 0!]0, +[ n 7! n. 3) L suite qui, à tout nturel strictement positif N ssocie l somme des N premiers nturels est 4) Si q est un complexe, l suite N 0! N 0 N 7! N = N! C n 7! q n NX n. est ppelée suite géométrique de rison q et de premier terme égl à. Si q 6=, l suite qui, à tout nturel strictement positif N, ssocie l somme des N premiers termes de l suite précédente est l suite n= introduite u chpitre. N 0! C N 7! NX n=0 qn q n = q Nottion Tout comme pour les fonctions, on utilise une nottion générique pour les suites. Ainsi, rppelons qu une fonction f de domine A, à vleurs réelles, est notée f : A! R x 7! f(x) ou encore f(x), x A. Une suite indicée pr les nturels (resp. les nturels strictement positifs, les entiers) est notée en générl x m, m N (resp. m N 0, m Z). On dit souvent que x m est un élément (ou un terme) de l suite. Ainsi, pour les suites données dns les exemples, on successivement ()x m = m, (m Z), ()x m = m, (m N 0), (3)x m = Convergence mx j, (m N 0 ), (4)x m = q m, (m N). Si l nottion 3, 4 est clire et représente le réel , l nottion l est moins. En fit, elle signifie que l on considère l suite j= 0.3, 0.33, 0.333, ,... c est-à-dire l suite x m =0. 33 {z...3 } = m. mnombres

94 .3. SUITES DE RÉELS (COMPLEXES) ; CONVERGENCE DE SUITES 8 L suite x m = m, (m N 0) églement un comportement typique : ses éléments sont positifs et sont de plus en plus petits ; en fit, ils se rpprochent de plus en plus de 0 tout en étnt strictement plus grnds. Qunt à l suite x m = m, (m Z), elle ussi un comportement typique : ses éléments sont positifs et sont de plus en plus grnds. Toutes ces remrques formulées en termes intuitifs sur divers comportements des termes d une suite, vont mintennt fire l objet de définitions fin de bien modéliser le phénomène et de pouvoir le mnipuler isément. Définition.3. Soit x m (m N 0 ) une suite de réels (ou de complexes). On dit que cette suite converge vers un nombre r si, pour tout " > 0, il existe M N 0 tel que Cel s écrit x m r pple ", 8m M. lim x m = r. m!+ Le nombre r est ppelé l limite de l suite. On dit que cette suite converge vers l infini si, pour tout R>0, il existe M N 0 tel que Cel s écrit x m R, 8m M. lim x m =. m!+ Lorsque les éléments de l suite sont positifs (resp. négtifs), on peut enlever les modules et on dit que l suite converge vers + (resp. ). On démontre que si une suite converge, s limite est unique. L première définition signifie que, quel que soit l intervlle de longueur " centré sur r, leséléments de l suite finissent pr être dns celui-ci pour utnt que leurs indices soient su smment grnds, ou encore que l distnce de x m à r est ussi petite que l on veut pour utnt que m soit su smment grnd. L seconde signifie que, quel que soit le nombre R>0, les termes de l suite ont une vleur bsolue plus grnde que ce nombre pour utnt que leurs indices soient su smment grnds, ou encore que l vleur bsolue de x m est ussi grnde que l on veut pour utnt que m soit su smment grnd.? x M r " r r + " x M+??x M? x - 0 x R x M x M.3. Deux propriétés très utilisées ) On démontre que si l suite x m (m N 0 ) de complexes non nuls converge vers 0 (resp. l infini) lors l suite /x m (m N 0 ) converge vers l infini (resp. vers 0). ) Appelons sous-suite de l suite x m (m N 0 ) une suite dont les éléments sont pris dns l ensemble {x m : m N 0 }, en conservnt l croissnce stricte des indices. Pr exemple, on considère l sous-suite x,x 4,x 6,x 8,...Précisément, -

95 .3. SUITES DE RÉELS (COMPLEXES) ; CONVERGENCE DE SUITES 83 est une suite qui s écrit une sous-suite de l suite x m (m N 0 ) x k(m) m N 0 vec k(m) <k(m + ) pour tout m. On démontre le résultt suivnt : l suite x m (m N 0 ) converge vers l (pouvnt être infini) si et seulement si toute sous-suite de l suite x m converge vers l. Ce résultt fournit un critère très prtique pour démontrer qu une suite ne converge ps : il su ten e et d en extrire deux sous-suites qui convergent vers des limites di érentes..3.3 Exemples fondmentux Exemple. Soit R. Si < l suite m (m N 0 ) converge vers 0, c est-à-dire lim m!+ m = 0. Si > l suite m (m N 0 ) converge vers l infini, c est-à-dire lim m!+ m =. Si =lsuite m (m N 0 ) converge vers, c est-à-dire lim m!+ m =. Si = l suite m (m N 0 ) ne converge ps. Preuve. Considérons le cs >. On peut lors écrire =+r vec r = > 0. En développnt m = m =(+r) m selon l formule du binôme de Newton, on obtient mx m = Cmr j j j=0 C mr = mr pour tout m. Comme l suite mr (m N 0 ) converge vers +, on en déduit que l suite m (m N 0 ) converge vers + donc que l suite m (m N 0 ) converge vers l infini. Considérons le cs <. Si = 0, il est clir que l suite dont tous les éléments sont nuls converge vers 0. Si 6= 0, on pose b =/ et on pplique le cs précédent. On obtient que l suite b m =/ m (m N 0 ) converge vers l infini, donc l suite m (m N 0 ) converge vers 0. Les cs =et = sont clirs. Exemple. Fixons q ], [. On considère l suite mx x m = q j =+q + q q m, m N 0 j=0 L limite de cette suite est /( q), c est-à-dire lim x m = m!+ q. Preuve. En e et, pour tout m, on x m = qm+, lim q m!+ qm =0. Dns l suite considérée ci-dessus, que se psse-t-il si on prend q ], ] [ [, +[? Exemple 3. Soit R. On considère l suite x m = m m!, m N 0. Démontrons que cette suite converge vers 0, ce que l on note lim x m =0. m!+

96 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION 84 Preuve. Remrquons que, si est tel que pple, cette propriété est clire. Si >, c est moins clir et nécessite un peu de trvil. L preuve qui suit convient en fit pour toutes les vleurs de. Comme R est fixé, il existe M N 0 tel que pple M. Il s ensuit que, pour m>m, on m m! =... M M +... pple m... M M + m M pple C M + où C est une constnte strictement positive qui ne dépend ps de m (cette constnte ne dépend que de m et de M). Comme M+ [0, [, l suite M+ (m N0 ), converge vers 0, donc l suite m m! (m N 0 ), converge ussi vers 0. m.4 Limite des vleurs d une fonction.4. Exemples Considérons les fonctions suivntes : 0 si x pple f (x) = si x>, f (x) =x +, x R, f 3 (x) = x, x R 0, f 4 (x) =sin( si x 6= x ), x R 0, f 5 (x) = 0 si x =, f 6(x) = sin x x, x R 0. 6 Y 6 Y - - X X f f 5 Y X Y X f f 4

97 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION f 3 f 6 Sur ces exemples, on voit di érents comportements u voisinge de 0, de, de et en l infini. L expression de ces comportements peut être comprée à celle de suites, excepté le fit qu ici, on ne trville plus vec seulement des suites de points, mis vec toutes les vleurs d une fonction. Il fut donc dpter les définitions de convergence, de limite, introduites dns le contexte des suites..4. Définition de l limite en un réel, à prtir des suites Soit x 0 un réel tel que tout intervlle ouvert uquel il pprtient rencontre le domine de définition 3 A de f. Qund on trville vec des limites à droite (resp. à guche), on suppose que tout intervlle ouvert contennt x 0 rencontre A\]x 0, +[ (resp.a\],x 0 [). On utiliser souvent l locution suivnte : pour x voisin de x 0 ou pour x dns un voisinge de x 0. Cel signifie précisément pour x dns un intervlle ouvert contennt x 0. Définition.4. On dit que f dmet une limite finie en x 0 s il existe un nombre r tel que l suite f(x m )(m N 0 ) converge vers r quelle que soit l suite x m (m N 0 ) de A qui converge vers x 0. On ppelle r l limite de f en x 0 (on démontre que r est unique). On utilise lors l nottion lim f(x) =r x!x 0,xA ou tout simplement s il n y ps d mbiguïté sur A. lim f(x) =r x!x 0 Définition.4. On dit que f dmet une limite infinie en x 0 si l suite f(x m )(m N 0 ) converge vers l infini quelle que soit l suite x m (m N 0 )dea qui converge vers x 0. On utilise lors l nottion ou tout simplement s il n y ps d mbiguïté sur A. lim f(x) = x!x 0,xA lim f(x) = x!x 0 Remrques ) Lorsqu on se rpproche de x 0 uniquement pr vleurs strictement plus grndes (resp. strictement plus petites), c est-à-dire lorsque l on ne considère que des suites telles que x m >x 0 (resp. x m <x 0 ), on prle de limite à droite (resp. à guche) de x 0 et on écrit lim f(x) =r (resp. lim f(x) =r) x!x + 0,xA x!x 0,xA 3. Cette hypothèse permet de dire qu il y u moins une suite du domine de f qui converge vers x 0

98 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION 86 ou encore ou encore lim f(x) =r (resp. lim f(x) =r) x!x 0,x>x 0,xA x!x 0,x<x 0,xA lim f(x) = lim f(x) =r (resp. lim f(x) = lim f(x) =r) x!x 0,x>x 0 x!x + x!x 0 0,x<x 0 x!x 0 s il n y ps d mbiguïté sur A, dns le cs d une limite finie. On peut donner les mêmes précisions dns le cs où l limite est infinie. ) Lorsque les vleurs de f peuvent être comprées à r de l même mnière pour des réels voisins de x 0, on précise ussi r +, r lorsque, respectivement, f(x) r et f(x) pple r pour x voisin de x 0. Dns le cs de l infini, on peut préciser ussi s il s git de + ou de pour x voisin de x 0. en fonction du signe de f(x) Retour ux exemples Ainsi, on -lim x! + f (x) =, lim x! f (x) = 0, l limite de f en n existe ps ; -lim x! f 5 (x) = = lim x! + f 5 (x) mis l limite de f 5 en n existe ps cr, pr exemple, les suites x m = (m N 0 )ety m = +/m (m N 0 ) convergent vers lors que les suites f(x m )=0(m N 0 )etf(y m )=(m N 0 ) convergent vers des limites di é r e n t e s ; -lim x!0 f (x) =lim x!0 + f (x) =lim x!0 f (x) = + ; -lim x!0 f 3 (x) =, lim x!0 + f 3 (x) =+, lim x!0 f 3 (x) = ; -lim x!0 f 4 (x) n existe ps (de même pour les limites en 0 + et en 0 ). En e et, les suites x m =/m (m N 0 )ety m =/( +m ) (m N 0) convergent vers 0 mis les suites f 4 (x m )(m N 0 )etf 4 (y m )(m N 0 ) convergent vers des limites di érentes, à svoir 0 et..4.3 Définition de l limite en l infini, à prtir des suites Qund on considère l limite en l infini des vleurs de f, on doit vérifier que le domine de définition A de f n est ps borné ; qund on considère l limite en plus l infini, on doit vérifier que A n est ps mjoré ; qund on considère l limite en moins l infini, on doit vérifier que A n est ps minoré. Définition.4.3 On dit que f dmet une limite finie en l 0 infini s il existe un nombre r tel que l suite f(x m )(m N 0 ) converge vers r quelle que soit l suite x m (m N 0 ) de A qui converge vers l infini. On ppelle r l limite de f en l infini (on démontre que r est unique). On utilise lors l nottion lim f(x) =r x!,xa ou tout simplement s il n y ps d mbiguïté sur A. lim f(x) =r x! Définition.4.4 On dit que f dmet une limite infinie en l 0 infini si l suite f(x m )(m N 0 ) converge vers l infini quelle que soit l suite x m (m N 0 ) de A qui converge vers l 0 infini. On utilise lors l nottion ou tout simplement s il n y ps d mbiguïté sur A. lim f(x) = x!,xa lim f(x) = x! Remrques

99 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION 87 ) Exminer l limite en + (resp. en ) consiste à ne considérer que des suites de nombres positifs (resp. négtifs). On prle de limite en plus l infini (resp. en moins l infini ) et on écrit ou encore lim f(x) =r (resp. lim f(x) =r) x!+,xa x!,xa lim f(x) =r (resp. lim f(x) =r) x!+ x! s il n y ps d mbiguïté sur A. On peut donner les mêmes précisions dns le cs où l limite est infinie. ) Lorsque les vleurs de f peuvent être comprées à r de l même mnière pour des réels de module ssez grnd, on précise ussi r +, r lorsque, respectivement, f(x) r et f(x) pple r pour x de module ssez grnd. Dns le cs de l infini, on peut préciser ussi s il s git de + ou de en fonction du signe des vleurs de f. Retour ux exemples Ainsi, on -lim x! f (x) =+ ; -lim x! f 4 (x) =0 + ; -lim x! f 3 (x) =0, lim x!+ f 3 (x) =0 +, lim x! f 3 (x) =0 ; -lim x! f 6 (x) =0, lim x!+ f 6 (x) =0, lim x! f 6 (x) = 0. Donnons quelques utres exemples, fréquemment utilisés. Les limites suivntes n existent ps lim sin x, lim x!+ sin x, lim cos x, lim x! x!+ cos x x! En e et, considérons, pr exemple, l première de ces limites. Les suites x m = m (m N 0 )et y m = +m (m N 0) convergent vers + mis les suites sin(x m )(m N 0 )etsin(y m )(m N 0 ) convergent vers des limites di érentes, à svoir 0 et..4.4 Forme équivlente des définitions de limites Nous llons donner sns démonstrtion (lissée à titre d exercice) des propriétés permettnt en fit de définir les limites d une utre mnière. On se plce chque fois sous les mêmes hypothèses que dns l section précédente. Cs d une limite en un réel Propriété.4.5 ) On si et seulement si 8" > 0, 9 > 0 tel que lim f(x) =r x!x 0 x x 0 pple x A ) f(x) r pple ". ) On si et seulement si 8R >0, 9 > 0 tel que lim f(x) = x!x 0 x x 0 pple x A ) f(x) R.

100 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION 88 L première propriété signifie que si l on choisit de fçon quelconque un intervlle centré sur r (à svoir [r ",r+ "]), lors on peut trouver un intervlle centré sur x 0 dont tous les points (pour utnt qu ils soient dns le domine de f) ont une imge dns l intervlle choisi u déprt. Y r + " r f(x) r " x 0 x 0 x x 0 + X Illustrtion de lim xa,x!x0 f(x) =r. De l même mnière, l seconde propriété signifie que si l on choisit un nombre R strictement positif de fçon quelconque, lors on peut trouver un intervlle centré sur x 0 dont tous les points (pour utnt qu ils soient dns le domine de f) ont une imge de module plus grnd que le nombre R de déprt.

101 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION 89 Y f(x) R x 0 x x 0 x 0 + X Illustrtion de lim xa,x!x0 f(x) =+. Les limites à guche, à droite, se crctérisent de l même mnière, vec les petits chngements nturels déquts. Propriété.4.6 ) On si et seulement si lim f(x) =r (resp. lim f(x) =r) x!x 0 x!x + 0 8" > 0, 9 > 0 tel que 0 <x 0 x pple (resp.0 <x x 0 pple ) x A ) f(x) r pple ". ) On si et seulement si lim f(x) = (resp. lim f(x) =) x!x 0 x!x + 0 8R >0, 9 > 0 tel que 0 <x 0 x pple (resp.0 <x x 0 pple ) x A ) f(x) R. Dns le cs où l on en outre f(x) r (resp. f(x) pple r) pour x dns un voisinge de x 0 (c est-à-dire qund les limites sont r + (resp. r )), les propriétés précédentes se réécrivent en spécifint simplement 0 pple f(x) r pple " (resp. 0 pple r f(x) pple "). On des précisions nlogues dns le cs de +l infini et de -l infini.

102 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION 90 Cs d une limite en l infini On des propriétés tout à fit nlogues ux précédentes dns ce cs. Propriété.4.7 ) On si et seulement si ) On si et seulement si 8" > 0, 9N >0 tel que 8R >0, 9N >0 tel que lim f(x) =r x! x N x A lim f(x) = x! x N x A ) f(x) r pple ". ) f(x) R. L première propriété signifie que si l on choisit de fçon quelconque un intervlle centré sur r (à svoir [r ",r+ "]), lors on peut trouver un réel strictement positif N tel que, pour tout x de module plus grnd que N et dns le domine de f, l vleur de f en x est dns l intervlle choisi u déprt. De l même mnière, l seconde propriété signifie que si l on choisit un nombre R strictement positif de fçon quelconque, lors on peut trouver un réel strictement positif N tel que, pour tout x de module plus grnd que N et dns le domine de f, l vleur de f en x est de module plus grnd que le nombre choisi u déprt. Les limites en plus l infini, en moins l infini, se crctérisent de l même mnière, vec les petits chngements nturels déquts. Propriété.4.8 ) On si et seulement si lim f(x) =r (resp. lim f(x) =r) x! x!+ 8" > 0, 9N >0 tel que x pple N (resp. x N) x A ) f(x) r pple ". ) On si et seulement si lim f(x) = (resp. lim f(x) =) x! x!+ 8R >0, 9N >0 tel que x pple N (resp. x N) x A ) f(x) R. Dns le cs où on en outre f(x) r (resp. f(x) pple r) pour x de module ssez grnd (ou ssez grnd, ssez petit dns le cs +, respectivement), c est-à-dire qund les limites sont r + (resp. r ), les propriétés précédentes se réécrivent en spécifint simplement 0 pple f(x) r pple " (resp. 0 pple r f(x) pple "). On des précisions nlogues dns le cs infini..4.5 Propriétés Les propriétés suivntes se démontrent de fçon directe en utilisnt les définitions introduites ci-dessus. Elles constituent un bon exercice pour le lecteur intéressé. Dns les énoncés qui suivent, nous omettons d indiquer précisément les domines de définition et les limites considérées ; les précisions à pporter ux énoncés sont clires pr le contexte et ne ferient qu lourdir l énoncé de cette succession de propriétés. Si f dmet une limite, cette limite est unique. Sif dmet l limite 0 (resp. ) lors /f dmet l limite (resp. 0).

103 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION 9 Cs de limites finies. Une combinison linéire de fonctions qui dmettent chcune une limite finie dmet une limite finie égle à l combinison linéire des limites. Un produit de fonctions qui dmettent chcune une limite finie dmet une limite finie égle u produit des limites. Cs d une limite finie et d une limite infinie. Sif dmet une limite finie et si g dmet une limite infinie, lors l fonction f + g dmet une limite infinie. Sif dmet une limite finie non nulle et si g dmet une limite infinie, lors l fonction fg dmet une limite infinie. Attention : ps de conclusion si f dmet 0 comme limite ; c est le cs indéterminé 0. Cs de deux limites infinies. Sif et g dmettent l limite + lors l fonction f + g dmet l limite +. Sif et g dmettent l limite lors l fonction f + g dmet l limite. Attention : ps de conclusion si f dmet l limite + et g dmet l limite ; c est le cs indéterminé +. Sif et g dmettent l limite lors l fonction fg dmet l limite. Résultts concernnt les inéglités entre fonctions. Si les fonctions f et g dmettent des limites finies en x 0,respectivementr et s et si f pple g ou f<gu voisinge de x 0, lors r pple s. Une propriété nlogue concerne le cs où on prend l limite en l infini plutôt qu en x 0. Le résultt suivnt porte le nom de théorème de l étu. Si f,g,h sont trois fonctions telles que g pple f pple h u voisinge de x 0 et si lim x!x0 g(x) =lim x!x0 h(x) =r R lors lim x!x0 f(x) =r. Un résultt nlogue existe lorsqu on prend l limite en l infini plutôt qu en x 0. Sif pple g u voisinge de x 0 et si lim x!x0 f(x) = + (resp. lim x!x0 g(x) = ) lors lim x!x0 g(x) =+ (resp. lim x!x0 f(x) = ). Un résultt nlogue existe lorsqu on prend l limite en l infini plutôt qu en x 0. Silim x!x0 f(x) >l(resp. <l) lors il existe > 0 tel que f(x) >l(resp. f(x) <l) pour tout x A \ ]x 0,x 0 + [. Un résultt nlogue existe lorsqu on prend l limite en l infini plutôt qu en x 0. Résultts concernnt les limites à guche et à droite. Silim x!x0 f(x) existe (et est fini ou infini), lors les limites lim x!x + f(x)etlim 0 x!x0 f(x)existent et sont égles à lim x!x0 f(x). Soit x 0 6 A.Sileslimiteslim x!x + f(x)etlim 0 x!x0 f(x) existent et sont égles, lors lim x!x0 f(x) existe et est égl à l vleur commune des limites à guche et à droite de x 0. Soit x 0 A. Sileslimiteslim x!x + f(x) etlim 0 x!x0 f(x) existent et sont égles à f(x 0 ), lors lim x!x0 f(x) existe et est égl à f(x 0 ). Résultt concernnt les limites lorsque x 0 A et utilisé dns l étude de l continuité. Soit x 0 A. Alors lim x!x0 f(x) di ère toujours de l infini. De plus, si lim x!x0 f(x) existe, lors on nécessirement lim x!x0 f(x) =f(x 0 ) Les dernières propriétés sont illustrées pr l exemple de f 5. Résultts concernnt les fonctions de fonctions. Dns cet énoncé, l, l 0 désignent des réels,, + ou. Si lim x!l f(x) =l 0,silim x!x0 g(x) =l lors lim x!x0 f(g(x)) = l 0. Un résultt nlogue existe lorsqu on prend l limite en l infini plutôt qu en x Illustrtion des cs indéterminés Illustrons pr des exemples les cs indéterminés rencontrés ci-dessus. Dns ce qui suit, r R.

104 .4. LIMITE DES VALEURS D UNE FONCTION 9 Cs 0. f(x) g(x) (f.g)(x) lim x!0 f(x) lim x!0 g(x) lim x!0 (f.g)(x) rx x x x sin( x ) x x x Cs + Remrquons que, si f(x) 6= 0, on f(x) rmène u cs d indétermintion précédent. r 0 r 0 sin( ) 0 n existe ps x g(x) =f(x) g(x) f(x) ; dès lors, si g/f!, on se f(x) g(x) (f + g)(x) lim x!+ lim g(x) x!+ lim (f + g)(x) x!+ r + x x r + r x + x x x + + x + sinx x sin x + n existe ps Les cs et 0 0 se rmènent u cs 0. et vice-vers. Les cs 00, 0, se rmènent ux cs précédents cr, pr définition, f(x) g(x) =exp(g(x)ln(f(x)))..4.7 Asymptotes Soit x 0 ], b[ etf défini sur ], b[ \{x 0 }. Pr définition, l droite d éqution crtésienne x = x 0 est symptote verticle à droite (resp. à guche) u grphique de f si lim x!x + f(x) =+ ou lim 0 x!x + f(x) = (resp. lim 0 x!x0 f(x) =+ ou lim x!x0 f(x) = ). En brégé, on dit que f dmet l droite d éqution x = x 0 comme symptote verticle à droite (resp. à guche). Soit f défini sur ], +[ (resp.sur],[). Pr définition, l droite d éqution crtésienne y = mx + p est symptote oblique en + (resp. en ) u grphique de f lorsque lim (f(x) mx p) =0 (resp. lim (f(x) mx p) = 0). x!+ x! En brégé, on dit que f dmet l droite d éqution y = mx + p comme symptote oblique en + (resp. en ). On démontre que f défini sur ], +[ (resp.sur],[) dmet l droite d éqution y = mx+p comme symptote oblique en + (resp. en ) sietseulementsi (resp. f(x) lim = m et lim (f(x) mx) =p x!+ x x!+ f(x) lim = m et lim (f(x) mx) =p). x! x x!.4.8 Limites des vleurs d une fonction monotone Le résultt suivnt donne des propriétés très utiles concernnt les limites des fonctions monotones ux bords de leur domine de définition. Nous llons notmment l utiliser dns un résultt prtique concernnt les fonctions inverses. Sur une représenttion grphique, on se convinc isément que ces propriétés semblent vries. Cependnt, l observtion d un dessin n jmis été et ne ser jmis une démonstrtion. Une vrie preuve est donc nécessire mis, dns le contexte de ce cours, nous l omettrons et dmettrons donc ce résultt.

105 .5. CONTINUITÉ 93 Proposition.4.9 ) Soit f une fonction réelle croissnte sur I =], b[. Alors pour tout y I, les limites lim x!y,x>y f(x) et lim x!y,x<y f(x) existent et sont finies, les limites lim x!,x> f(x) et lim x!b,x<b f(x) existent, pour tout y I, on lim f(x) pple lim x!,x> si f est strictement croissnt, on même lim f(x) < x!,x> f(x) pple f(y) pple lim x!y,x<y lim f(x) pple f(y) pple lim x!y,x<y f(x) pple lim x!y,x>y f(x) < x!y,x>y f(x) x!b,x<b lim f(x) x!b,x<b ) Soit f une fonction réelle décroissnte sur I =], b[. Alors pour tout y I, les limites lim x!y,x>y f(x) et lim x!y,x<y f(x) existent et sont finies, les limites lim x!,x> f(x) et lim x!b,x<b f(x) existent, pour tout y I, on lim f(x) pple lim x!b,x<b f(x) pple f(y) pple lim x!y,x>y si f est strictement décroissnt, on même lim f(x) < x!b,x<b Preuve. Résultt dmis. lim f(x) pple f(y) pple lim x!y,x>y f(x) pple lim x!y,x<y f(x) < x!y,x<y f(x) x!,x> lim f(x) x!,x>.5 Continuité L continuité d une fonction f s interprète de l fçon suivnte : on peut trcer le grphique de f sns lever le cryon. Donnons une définition rigoureuse ynt ce fit comme interpréttion..5. Définitions Soit f une fonction définie sur A R et soit x 0 un point de A. On dit que f est continu en x 0 ou que x 0 est un point de continuité pour f si lim x!x0 f(x) existe. Etnt donné les résultts précédents concernnt les limites des vleurs d une fonction, cette limite est lors nécessirement finie et égle à f(x 0 ). Onditquef est continu à guche en x 0 si lim x!x0 f(x) existe et vut f(x 0 ) ; de mnière nlogue on dit que f est continu à droite en x 0 si lim x!x0 + f(x) existe et vut f(x 0 ). Soit f défini sur A. Le domine de continuité de f est le sous-ensemble de A constitué des points où f est continu. Soit f défini sur A. On dit que l fonction f est continue sur A si elle est continue en tout point de A. L ensemble des fonctions continues sur A est noté C 0 (A). Ainsi, l notion de continuité est tout simplement l notion de limite utilisée dns un cdre précis..5. Propriétés En utilisnt l définition de l limite et ses crctéristions, on obtient directement le résultt suivnt. Propriété.5. Soit f défini sur A et soit x 0 A. Les propositions suivntes sont équivlentes l fonction f est continue en x 0 8" > 0, 9 > 0: f(x) f(x 0 ) pple ", 8x A, x x 0 pple

106 .5. CONTINUITÉ 94 pour toute suite x m (m N 0 ) d éléments de A qui converge vers x 0,lsuitef(x m )(m N 0 ) converge vers f(x 0 ). A prtir des définitions précédentes, on obtient églement le résultt suivnt. Propriété.5. Soit f défini sur A et soit x 0 A. L fonction f est continue en x 0 si et seulement si elle est continue à guche et à droite en x 0 (pour utnt que ces limites puissent être définies). Preuve. Un coup d oeil ux définitions montre imméditement que si f est continu en x 0, lors f est continu à guche et à droite en x 0 (le même convient). Si f est continu à guche et à droite en x 0, lors étnt donné " > 0, il existe, > 0 tels que Dès lors, comme x 0 A, on f(x) f(x 0 ) pple " 8x A, 0 <x x 0 pple ou 0 <x 0 x pple. et on conclut en prennt =inf{, }. De plus, on l importnt résultt suivnt. f(x) f(x 0 ) pple " 8x A, x x 0 pple inf{, } Propriété.5.3 Si f est défini sur A, continu en x 0 A et si le réel r est tel que lors il existe > 0 tel que f(x 0 ) <r(resp. f(x 0 ) >r) f(x) <r(resp. f(x) >r)pourtoutx A \ ]x 0,x 0 + [. Preuve. On procède pr l bsurde : s il n existe ps de tel, lors pour tout m N 0,ilexiste tel que x m A\]x 0 m,x 0 + m [ f(x m ) r (resp. f(x m ) pple r). L suite x m (m N 0 )estunesuited élémentsdea qui converge vers x 0. L continuité de f en x 0 donne lors lim m!+ f(x m)=f(x 0 ) donc ce qui est en contrdiction vec l hypothèse. f(x 0 ) r (resp. f(x 0 ) pple r).5.3 Exemples fondmentux On démontre directement les résultts de continuité suivnts. L fonction f(x) = x, x R est continue sur R. Les fonctions élémentires introduites précédemment sont continues sur leur domine de définition : polynômes, frctions rtionnelles, fonctions rcine n-ieme, fonctions trigonométriques, fonctions trigonométriques inverses, fonction exponentielle, fonction logrithme. Toute combinison linéire, tout produit de fonctions continues est une fonction continue. Sif est continu sur A et ne s nnule en ucun point de A lors /f est une fonction continue sur A.

107 .5. CONTINUITÉ 95 Sif est continu sur A, sig est continu sur B et si {g(x) :x B} A lors l fonction de fonction f(g) =fog est continue sur B. Soit x 0 A et f défini et continu sur A \{x 0 }.Silim x!x0 f(x) =r R lors l fonction f(x) si x A \{x0 } F (x) = r si x = x 0 est continue sur A et égle à f sur A \{x 0 }.OnditqueF est le prolongement continu de f sur A..5.4 Théorèmes reltifs à l continuité Le résultt suivnt est ppelé théorème des vleurs intermédiires, en brégé TVI et est d une très grnde importnce dns l étude des fonctions continues à vleurs réelles. Théorème.5.4 (Théorème des vleurs intermédiires) Soit f une fonction réelle continue sur un intervlle ], b[ de R. Si les limites A = lim x! + f(x), B = lim x!b f(x) existent (A, B pouvnt être infinis) et di èrent, lors, pour tout réel R compris strictement entre A et B, il existe r ], b[ tel que f(r) =R. Preuve. Résultt dmis. Un cs prticulier de ce résultt est fort utilisé en prtique, notmment dns l recherche des zéros d une fonction continue à vleurs réelles. Nous l énonçons ci-dessous. Corollire.5.5 Si f est continu sur [, b] et si f() f(b) < 0 lors il existe x 0 ], b[ tel que f(x 0 )=0. Y 4 x X - -4 A prtir de ce théorème, on déduit les résultts suivnts.

108 .6. DÉRIVATION 96 Corollire.5.6 ) Toute fonction réelle, continue et injective sur un intervlle I de R est strictement monotone sur cet intervlle. 4 ) Soient I,I 0 deux intervlles de R. Sif : I! I 0 est continu et bijectif, lors f : I 0! I est continu. 3) Tout polynôme de degré impir et à coe cients réels dmet u moins un zéro réel. Preuve. ) Résultt dmis. ) Si f est une bijection continue de I sur I 0 lors elle est strictement monotone (vu s bijectivité et le résultt )). L inverse est donc ussi strictement monotone. En utilisnt le critère pr les suites, on démontre lors que cet inverse est ussi continu. 3) Supposons le polynôme P de degré N, vecn impir ; soit N le coe cient de x N.Si N > 0 (resp. N < 0) lors lim P (x) =+ (resp. ), lim P (x) = (resp. + ). x!+ x! Comme R =0 ], +[, le théorème des vleurs intermédiires donne un réel r IR tel que P (r) = 0. D où l conclusion. Le théorème qui suit porte le nom de théorème des limites tteintes ou des bornes tteintes. Ce résultt indique tout simplement que im(f) ={f(x) :x [, b]} est minoré et mjoré et que les bornes inférieure et supérieure sont tteintes, c est-à-dire rélisées. Il est d une grnde utilité dns l étude des fonctions continues à vleurs réelles. Théorème.5.7 (Théorème des bornes tteintes) Soient, b R, < b.si f est une fonction réelle continue sur [, b], lors il existe m, M [, b] tels que Preuve. Résultt dmis. f(m) pple f(x) pple f(m), 8x [, b]. Dns le résultt précédent, le fit que l on trville vec un intervlle borné fermé [, b] estessentiel; en e et si nous considérons pr exemple l fonction f(x) = x, définie et continue sur ]0, ], on constte imméditement que l imge de f, à svoir l intervlle [, +[ n est ps mjoré..6 Dérivtion.6. Définitions ) Soit f une fonction définie sur l intervlle ouvert I de R et soit x 0 un point de cet intervlle. On dit que f est dérivble en x 0 4. Une fonction strictement monotone est bien sûr injective ; le résultt énoncé en ) est une réciproque.

109 .6. DÉRIVATION 97 si l limite cette limite est lors notée et est ppelée f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) lim = lim existe et est finie; h!0 h x!x 0 x x 0 D x f(x 0 ) ou Df(x 0 ) ou df dx (x 0) dérivée de f u point x 0 ou encore nombre dérivé de f u point x 0. Y 6 f d h - (x 0 + h, f(x 0 + h)) - (x0,f(x 0 )) Pour tout h ssez petit, l droite sécnte d h est l droite pssnt pr les points de l représenttion de f d bscisses x 0 et x 0 + h ; cette droite donc pour coe cient ngulire le réel f(x 0 +h) h f(x 0 ). L limite donnée comme définition de l dérivée de f en x 0 est donc l limite des coe cients ngulires de ces sécntes. On dit que f est dérivble dns I si elle est dérivble en tout point de I. On définit insi l fonction Df : I! R x 7! Df(x) = lim h!0 f(x + h) f(x) h ppelée fonction dérivée de f ou tout simplement dérivée de f. ) L droite pssnt pr le point (x 0,f(x 0 )) et de coe cient ngulire Df(x 0 ) est ppelée tngente à l représenttion grphique de f u point x 0. Son éqution crtésienne 5 est y f(x 0 )=Df(x 0 )(x x 0 ). Y 6 f d h - (x 0 + h, f(x 0 + h)) d : y - f(x 0 )=Df(x 0 )(x X x 0 (x0,f(x 0 )) 5. On verr que f(x 0 )+Df(x 0 )(x x 0 )estl pproximtionpolynomileàl ordredef en x 0.

110 .6. DÉRIVATION 98 3) Comme nous vons déjà introduit l notion de limite à guche et à droite, il est fcile ici de définir de fçon nlogue les notions de dérivée à guche, à droite de f. On dit que lorsque l limite f :[x 0,b[! R est dérivble à droite en x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) lim existe et est finie. h!0 + h On définit lors ussi l tngente à droite à l représenttion grphique de f en x 0. Si on note d(x 0 )l limite précédente, il s git de l droite d éqution crtésienne De même on dit que y f(x 0 )=d(x 0 )(x x 0 ). f :], x 0 ]! R est dérivble à guche en x 0 lorsque l limite f(x 0 + h) f(x 0 ) lim existe et est finie. h!0 h On définit lors ussi l tngente à guche à l représenttion grphique de f en x 0. Si on note g(x 0 )l limite précédente, il s git de l droite d éqution crtésienne y f(x 0 )=g(x 0 )(x x 0 ). Si f, défini dns ], b[, dmet une dérivée à droite et une dérivée à guche en x 0 ], b[ quidi èrent, on dit que le point d bscisse x 0 du grphique de f est un point nguleux Propriétés importntes Propriétés L propriété suivnte est importnte ; elle relie les notions de dérivbilité et de continuité. Cependnt, elle n est vrie que si l on trville vec une seule vrible. Propriété.6. Si l fonction f est dérivble sur ], b[ lors f est continue sur ], b[. L réciproque de cette propriété est fusse. Preuve. Soit f dérivble sur I =], b[ et soit x 0 I. Pour tout x I, x 6= x 0, on peut écrire Comme on obtient f(x) f(x 0 )=(x x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0. f(x) f(x 0 ) lim = Df(x 0 ) R, x!x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) lim (f(x) f(x 0 )) = lim (x x 0 ) lim x!x 0 x!x 0 x!x 0 x x 0 = 0 Df(x 0 )=0 d où l conclusion. L réciproque de cette propriété est fusse cr, pr exemple, l fonction f(x) = x est continue sur R mis n est ps dérivble sur R (elle est dérivble sur R 0 mis elle n est ps dérivble en 0). Les propriétés suivntes sont démontrées isément en utilisnt l définition de l dérivbilité.

111 .6. DÉRIVATION 99 Propriété.6. Si f et g sont dérivbles sur I =], b[ et si r, s R lors l fonction rf + sg est dérivble sur I et l fonction fg est dérivble sur I et D(rf + sg)(x) =rdf(x)+sdg(x), x I D(fg)(x) =Df(x) g(x)+f(x) Dg(x), x I si g(x) 6= 0pour tout x I, lorsf/g est dérivble sur I et D( f f(x)dg(x) )(x) =g(x)df(x) g (g(x)), x I; en prticulier D g(x) = Dg(x) (g(x)), D x = x. Cs fondmentux Exminons à présent quelques cs fondmentux. Proposition.6.3 ) Une fonction constnte est dérivble sur R et s dérivée est l fonction nulle. ) Soit m N 0.LepolynômeP (x) =x m est dérivble sur R et Dx m = mx m, x R; en prticulier Dx =pour tout x R. 3) Soit m N 0.Sim est pir, l fonction f(x) = mp x est dérivble sur ]0, +[ et D mp x = m m p x x = m x m, x ]0, +[. Si m est impir, l fonction f(x) = mp x est dérivble sur R 0 et D mp x = m m p x x = m x m, x R 0. 4) Soit f une fonction dérivble sur un intervlle ouvert J et soit g une fonction définie et dérivble sur I =], b[ telle que {g(x) : x ], b[} J. Alors l fonction de fonction F (x) =f(g(x)) = fog(x) = (fog)(x), x ], b[ est dérivble sur ], b[ et on ce qui s écrit encore D(fog)(x) =(Df)(g(x)) Dg(x) Df(g)(x) =D(fog)(x) =(Df)(g(x)) Dg(x) =D X f(x) X=g(x) Dg(x). Pour lléger l écriture, on écrit ussi D(fog)=(Df)og Dg. 5) L fonction f(x) = x, x R, est dérivble sur R 0 mis n est ps dérivble en 0. Preuve. ) est immédit en utilisnt l définition de l dérivée. ) Soit x 0 R. Le polynôme P (x) =x m x m 0 est divisible pr x x 0 ; on P (x) =(x x 0 )(x m + x 0 x m x m 0 x + x m 0 ). Il s ensuit que 0 x m x m 0 lim = m + x 0 x m x m x!x 0 x x 0 x!x 0 x + x m A 0 = mx m 0 {z } mtermes 0.

112 .6. DÉRIVATION 00 3) Tritons le cs m pir. Soit x 0 > 0. Posons y 0 = mp x 0 et, pour x>0, posons y = mp x. Le polynôme P (y) =y m y m 0 est divisible pr y y 0 et on Il s ensuit que P (y) =(y y 0 )(y m + y 0 y m y m 0 y + y m 0 ). m p x m p x 0 x x 0 = = y m + y 0 y m y0 m y + y0 m ( mp x) m + mp x 0 ( mp x) m +...+( mp x 0 ) m mp x +( mp x 0 ) m donc lim x!x 0 p m x p m x 0 = x x 0 m( mp x 0 ) m = mp x0. mx 0 4) Soit x 0 I. Posons y 0 = g(x 0 ). On, pour x I, x 6= x 0, f(g(x)) f(y 0 ) x x 0 = ( f(g(x)) f(y0) g(x) g(x 0) (g(x) y 0) g(x0) x x 0 si g(x) 6= g(x 0 ) Df(y 0 ) g(x) x x 0 si g(x) =g(x 0 ). Comme lim x!x0 g(x) =g(x 0 )=y 0 (cr une fonction dérivble est continue), on obtient que f(g(x)) f(y 0 ) lim = Df(y 0 ) Dg(x 0 ), x!x 0 x x 0 c est-à-dire l thèse. On peut ussi démontrer ce résultt en se servnt de suites. 5) Comme f(x) =x (resp. f(x) = x) sur l intervlle ]0, +[ (resp.], 0[) on Df(x) =sur ]0, +[ etdf(x) = sur ], 0[. De plus, comme f(0 + h) f(0) h lim = lim h!0 + h h!0 + h = et lim h!0 l fonction n est ps dérivble en 0. f(0 + h) f(0) h = lim h!0 h h = Dérivtion et fonction inverse Voici à présent un résultt très importnt relint l dérivée d une fonction bijective et l dérivée de son inverse. Propriété.6.4 Si f : I =], b[! J =]c, d[ est une bijection dérivble et telle que 6 Df(x) 6= 0pour tout x I lors l fonction inverse f : J! I est dérivble sur J et on Df (x) = Df(y), vec y = f (x). Preuve. Soit x 0 J et soit x J, x 6= x 0. Avec y, y 0 I, f(y) =x, f(y 0 )=x 0, on f (x) f (x 0 ) = f (f(y)) f (f(y 0 )) y y 0 = x x 0 f(y) f(y 0 ) f(y) f(y 0 ) =. ( ) f(y) f(y 0) y y 0 6. Noter que f(x) = x 3 est une bijection dérivble sur R, d imger ;lfonctioninversedecelle-ciestlfonction g(x) = 3p x,quiestseulementdérivblesurr 0 ;l hypothèsedenonnnultiondeldérivéedef est donc importnte.

113 .6. DÉRIVATION 0 Comme f est dérivble sur I, cette fonction f est continue sur I ; pr conséquent, son inverse est ussi continue sur J. Ainsi, on obtient comme on ussi lim y = lim f (x) =f (x 0 )=y 0 ; x!x 0 x!x 0 f(y) f(y 0 ) lim = Df(y 0 ) y!y 0 y y 0 le résultt concernnt les limites de fonctions de fonction donne f(f (x)) f(y 0 ) lim x!x 0 f = Df(y 0 ). (x) y 0 Pr hypothèse, cette limite est un réel non nul ; on donc, en reprennt (*) f (x) f (x 0 ) lim = x!x 0 x x 0 = f(y) f(y lim 0) x!x0 y y 0 On peut ussi démontrer ce résultt en se servnt de suites. Df(y 0 )..6.3 Dérivées multiples et formule de Leibniz Définitions L dérivée d une fonction est ussi ppelée dérivée d ordre de cette fonction et on utilise l nottion D f = Df ; l fonction elle-même est ppelée dérivée d ordre 0 et on utilise l nottion D 0 f = f. Pr définition, une fonction f est deux fois dérivble sur I =], b[ si elle est dérivble sur I et si s dérivée Df est encore dérivble sur I. Dns ces conditions, l dérivée de l dérivée est notée D f (ou D xf(x), x I) ; cette fonction est ppelée l dérivée d ordre de f. Pour p N 0, on introduit de l même mnière l notion de fonction p fois dérivble sur I, donc de dérivée d ordre p de f. L nottion C (I) désigne l ensemble des fonctions qui sont dérivbles sur I et dont l dérivée est continue sur I. OnC (I) C 0 (I). Une fonction pprtennt à C (I) est dite fonction une fois continûment dérivble sur I. De même, l nottion C p (I) (vecp N 0 ) désigne l ensemble des fonctions qui sont p fois dérivbles sur I et dont l dérivée d ordre p est continue ; l ensemble C p (I) est donc l ensemble des fonctions p fois dérivbles sur I dont les dérivées jusqu à l ordre p sont continues sur I. Une fonction de C p (I) est ppelée fonction p fois continûment dérivble sur I. L nottion C (I) désigne l ensemble des fonctions qui sont p fois dérivbles quel que soit p N 0 et telles que D p f C 0 (I) quel que soit p N 0. C est l ensemble des fonctions indéfiniment continûment dérivbles sur I. Remrque importnte Il fut bien noter qu une fonction dérivble n est ps nécessirement continûment dérivble! Pr exemple, on vérifie que l fonction x f(x) = sin( x ) x R 0 0 x =0 est dérivble sur R mis que s dérivée Df(x) = n est ps une fonction continue en 0. x sin( x ) cos( x ) x R 0 0 x =0

114 .6. DÉRIVATION 0 L formule de Leibniz Propriété.6.5 (Formule de Leibniz.) Soit p N 0 et soient f,g deux fonctions p fois dérivbles sur I. Alorsleproduitfg est une fonction p fois dérivble sur I et on D p (fg)(x) = px CpD j j f(x)d p j g(x), x I. j=0 Preuve. On démontre ce résultt pr récurrence. Pour p =, le produit de deux fonctions dérivbles est dérivble et on (propriété vue précédemment) Comme D(fg)(x) =f(x) Dg(x)+g(x) Df(x), x I. X C j Dj f(x)d j=0 j g(x) =C 0 f(x)dg(x)+c Df(x)g(x) =f(x)dg(x)+df(x)g(x) on en déduit que l églité nnoncée est vrie pour p =. Supposons l propriété vrie pour p et démontrons-l pour p. Pr hypothèse de récurrence, on sit donc que le produit fg est p fois dérivble sur I et que l on Xp D p (fg)(x) = C j p Dj f(x)d p j g(x), x I. j=0 Vu l hypothèse sur f et g, on en déduit donc que D p (fg) est encore dérivble sur I et que D p (fg)(x) =DD p (fg)(x) = Xp C j p D Dj f(x)d p j g(x), x I j=0 =... px = CpD j j f(x)d p j g(x), x I. j=0 (le clcul qui doit être fit à l endroit... est nlogue à celui e ectué dns le cdre du binôme de Newton)..6.4 Interpréttion et utilistion de l dérivée ) Nous vons déjà vu (cf Définition.6.) l interpréttion géométrique de l notion de dérivée d une fonction en un point. L notion de dérivée intervient dns de nombreux utres contextes : en e et, le quotient f(x) f(x 0 ) x x 0 représente le tux de chngement moyen d une quntité f évluée en x et en x 0 ; le pssge à l limite lim x!x0 est interprété comme le tux de chngement ( instntné ) en x 0. Ainsi pr exemple, si f représente une longueur, fonction du temps t, le quotient f(t) f(t 0 ) t t 0 représente l vitesse moyenne entre les moments t 0 et t ; l limite, à svoir Df(t 0 )= lim t!t0 f(t) f(t 0 ) t t 0

115 .6. DÉRIVATION 03 représente l vitesse u moment t 0 (tux de chngement de l distnce prcourue en fonction du temps). L exemple qui vient nturellement à l esprit près l vitesse est l ccélértion : l ccélértion en t 0 est l dérivée de l vitesse en t 0 (l ccélértion est le tux de chngement de l vitesse). ) L utilistion d une seule fonction à vleurs réelles pour décrire le mouvement d un point, d un objet, ne se fit que si ce point se déplce dns une seule direction. Qund on doit repérer le mouvement complet dns le pln, dns l espce, on utilise non plus une seule fonction à vleurs réelles mis deux (pour le pln) ou trois (pour l espce) : les coordonnées crtésiennes du point qui se déplce, exprimées en fonction du temps (pr exemple) sont ces fonctions. Un point est donc repéré pr un vecteur (vecteur position), celui dont les composntes sont les fonctions réelles dont il est question ci-dessus ; l vitesse et l ccélértion sont ussi des vecteurs, obtenus pr dérivtion du vecteur position (dérivée d ordre un pour l vitesse, deux pour l ccélértion). Prenons un exemple concret et complet (cf Mécnique rtionnelle, R. Simon, éditions Derouux, Liège). Les coordonnées crtésiennes d un point soumis à l seule force de pesnteur sont fonction du temps ; elles s écrivent (cf cours de physique : problème de l chute libre d un corps) 8 < : x(t) =v t y(t) =v t z(t) =v 3 t gt lorsqu on suppose qu u déprt (c est-à-dire u temps t = 0) le point se trouve à l origine des xes (vecteur position initile nul), où v,v,v 3 sont les trois composntes de l vitesse initile (u temps t = 0) du point et où g est une constnte strictement positive (g est l norme de l ccélértion de l pesnteur, c est-à-dire l grvité ; pour rppel : g ' 98cm/s ). Lorsqu on choisit les xes X, Y de telle sorte que l vitesse initile selon Y soit nulle, à svoir v = 0, on trouve finlement que le point évolue dns le pln verticl formé pr X, Z et que ses coordonnées dns ce pln sont x(t) =v t, z(t) =v 3 t gt,t 0. L élimintion du prmètre t indique lors que le point P évolue sur l courbe d éqution crtésienne z = v 3 v x g x ; l ensemble des points vérifint une telle éqution est une prbole de concvité tournée vers le bs. Z 6 ~v 0 S v O A - X Le point S, sommet de l prbole, pour coordonnées (v v 3 /g, v3/(g)) ; ce point est tteint u temps t = v 3 /g. Le point A pour bscisse le réel v v 3 /g ; il est tteint u temps t =v 3 /g. On imgine l importnce de ce problème pour l blistique. Il permet en e et de clculer l vitesse initile permettnt d tteindre un point de coordonnées connues. Imginons en e et que l on désire tteindre A vec une vitesse initile ~v 0 de longueur donnée k~v 0 k = v 0 ; on lors v = v 0 cos 0, v 3 = v 0 sin 0 et, pour connître cette vitesse, il su t donc de déterminer 0 [0, /]. Comme l bscisse de A est v v 3 /g = v0 sin( 0 )/g, on voit donc qu tteindre A, fixé u déprt (pr son bscisse, pr exemple r>0), consiste à trouver 0 [0, /] tel que v 0 sin( 0 )=rg. L résolution de cette éqution (lorsqu elle est résoluble) fournit deux ngles possibles. Deux tirs sont donc progrmmbles pour tteindre A.

116 .7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION Le grdient, l dérivtion implicite.7 Applictions de l dérivtion.7. Le théorème des ccroissements finis et le développement limité de Tylor Le théorème des ccroissements finis est très importnt cr il permet d obtenir des estimtions lors de l étude des pproximtions linéires de fonctions. Pour le démontrer, deux résultts sont nécessires : un lemme concernnt les bornes supérieure (et inférieure), insi qu une propriété su smment importnte pour qu elle porte le nom de théorème (théorème de Rolle). Nous verrons ensuite que le théorème des ccroissements finis est en fit une ppliction du théorème de Rolle. Lemme.7. Soit un intervlle ouvert ], b[ de R et soit f une fonction à vleurs réelles, dérivble sur ], b[. Six 0 ], b[ est tel que f(x 0 ) pple f(x) 8x ], b[ (resp. f(x 0 ) f(x) 8x ], b[), lors Df(x 0 )=0. Preuve. Pr les propriétés des limites, on sit que Df(x 0 )= lim x!x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = lim x!x + 0 Supposons pr exemple que f(x 0 ) pple f(x) pour tout x ], b[. Alors f(x) f(x 0 ) x x 0 0, 8x ], b[, x > x 0 ; f(x) f(x 0 ) x x 0 = lim x!x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. f(x) f(x 0 ) x x 0 pple 0, 8x ], b[, x < x 0. Le pssge à l limite sur x dns les deux inéglités précédentes conduit à donc Df(x 0 )=0. Df(x 0 ) 0, et Df(x 0 ) pple 0 Théorème.7. (Rolle) Soient des réels, b tels que <bet soit f une fonction à vleurs réelles, continue sur l intervlle fermé [, b] et dérivble sur l intervlle ouvert ], b[. Si on f() =f(b), lors il existe x 0 ], b[ tel que Df(x 0 )=0. Preuve. Vu le lemme précédent, il su t de prouver qu il existe x 0 ], b[ telquef(x 0 ) pple f(x) pour tout x ], b[ ou tel que f(x 0 ) f(x) pour tout x ], b[. Pr le théorème des bornes tteintes, il existe m, M [, b] telsque f(m) pple f(x) pple f(m) 8x [, b]. Si m ou M pprtient à ], b[, on conclut. Sinon, on m, M {, b}. Dns ce cs, si m = M, lors f est constnt sur [, b] etdf est identiquement nul ; si m 6= M, on pr exemple m = et M = b (l utre cs est m = b, M = ). Comme f() =f(b) pr hypothèse, on obtient f() =f(m) pple f(x) pple f(b) =f(m), 8x [, b] donc f est ussi constnt sur [, b] etdf est donc identiquement nul sur ], b[. Théorème.7.3 (Théorème des ccroissements finis, en brégé TAF) Soient des réels, b tels que <bet soit f une fonction à vleurs réelles, continue sur l intervlle fermé [, b] et dérivble sur l intervlle ouvert ], b[. Alors il existe un point x 0 ], b[ tel que f(b) =f()+(b )Df(x 0 ) ou encore f(b) b f() = Df(x 0 ).

117 .7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION 05 Preuve. Définissons le réel k pr et l fonction F pr k = f(b) b f() F (x) =f(x) kx, x [, b]. Montrons que cette fonction vérifie les hypothèses du théorème de Rolle : - F C 0 ([, b]) comme combinison linéire de fonctions continues sur [, b] - F () =F (b) cr on successivement F () =f() k, F(b) =f(b) kb F () F (b) = f() f(b) k( b) f(b) f() = f() f(b) ( b) b = f() f(b)+f(b) f() = 0. - F est dérivble sur ], b[ comme combinison linéire de fonctions dérivbles sur cet intervlle. Dès lors, pr le théorème de Rolle, il existe un réel x 0 ], b[ telque DF(x 0 )=0. Comme on obtient que donc DF(x) =Df(x) k, x ], b[ DF(x 0 )=Df(x 0 ) k =0 Df(x 0 )=k = f(b) f(). b L interpréttion grphique est l suivnte : Y f x 0 b X Le réel k = f(b) f() b est le coe cient ngulire de l droite pssnt pr les points du grphique de f dont les bscisses sont, b ; le théorème des ccroissements finis dit qu il existe un réel de l intervlle ], b[ quiesttelqueltngenteugrphiquedef u point dont l bscisse est ce réel est prllèle à l droite sécnte mentionnée plus hut. Théorème.7.4 (TAF sur un ouvert) Soit f une fonction réelle et dérivble sur l intervlle ouvert I =], b[ de R. Pourtousx, y I il existe un point u compris entre x et y tel que f(x) =f(y)+(x y)df(u). Si x 6= y, on peut supposer u strictement compris entre x et y.

118 .7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION 06 Ce théorème est en fit une conséquence du résultt précédent. Preuve. Si x = y lors u = x = y convient. Si x 6= y, on pplique le théorème des ccroissements finis vec = x, b = y si x<yet vec = y, b = x si y<x. Grâce u théorème des ccroissements finis, on peut démontrer que, sur un intervlle, seules les fonctions constntes ont une dérivée nulle. Ce résultt ser utilisé lors de l crctéristion des primitives d une fonction. Théorème.7.5 Si f est une fonction réelle et dérivble sur l intervlle ], b[ lors Df =0sur ], b[ si et seulement s il existe une constnte c telle que f(x) =c pour tout x ], b[. Preuve. On sit déjà que l dérivée d une constnte est l fonction nulle. Démontrons l réciproque. Soit f une fonction dérivble sur ], b[ tellequedf = 0sur], b[. Fixons x 0 ], b[. Pour tout réel x ], b[ l ppliction du TAF ux points x, x 0 fournit un réel u compris entre x et x 0 tel que f(x) =f(x 0 )+(x x 0 )Df(u). Comme l dérivée de f est nulle dns ], b[, on obtient f(x) =f(x 0 ). Le résultt qui suit est une générlistion du théorème des ccroissements finis ; il correspond en e et à ce théorème lorsque n =. Théorème.7.6 (Développement limité de Tylor) Soient n un nturel strictement positif et f une fonction réelle n fois dérivble sur ], b[. Pourtousx, x 0 ], b[, x 6= x 0 il existe un point u compris strictement entre x 0 et x tel que f(x) = nx j=0 (x x 0 ) j D j f(x 0 )+ (x j! x 0) n D n f(u). n! Si x = x 0 le résultt est encore vri vec u quelconque dns l intervlle (en prticulier égl à x 0 ). Preuve. Pour n =, il s git du théorème des ccroissements finis. Pour démontrer ce résultt lorsque 7 n>, on procède de l mnière suivnte. De mnière nlogue à ce qui été fit pour l preuve du TAF, définissons l constnte k pr k = f(x) f(x 0 ) (x x 0 )Df(x 0 ) (x x 0 ) D f(x 0 )...! et l fonction F dns l intervlle fermé d extrémités x 0,x pr (x x 0 ) n D n n! f(x 0 ) (n )! (x x 0 ) n F (u) =f(x) f(u) (x u)df(u) (x u) D f(u)...! (x u) n D n (n )! f(u) (x u) n k. n! Vu les hypothèses sur f, cette fonction est continue sur l intervlle fermé d extrémités x 0,x, dérivble sur l intervlle ouvert correspondnt. De plus, on F (x) =0, F(x 0 )=0. Le théorème de Rolle donne donc un point u 0 strictement compris entre x 0 et x tel que D u F (u 0 )=0. Comme on D u (x u) j D j j! uf(u) = (x u)j D j (j )! uf(u)+ (x u)j j! Du j+ f(u) 7. L preuve du TAF, c est-à-dire le cs n =,peutussiêtree ectuée en suivnt l même preuve

119 .7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION 07 pour j =,...,n, on obtient D u F (u) = (x u)n D n (n )! uf(u)+ (x u)n (x u)n k = (n )! (n )! ( D n uf(u)+k) donc k = D n f(u 0 ); dès lors l thèse est démontrée..7. Le théorème de l Hospitl Introduction Ce résultt mthémtique (que nous dmettrons) est très utile dns le clcul de plusieurs limites. Il permet de lever de nombreuses indétermintions. Brièvement, ce résultt est le suivnt : f(x) si ( lim x! g(x) = 0 0 ou ) et si lim Df(x) x! Dg(x) = l f(x) lors lim x! g(x) = l. Mis fisons imméditement quelques remrques. Silim x! f(x) g(x) = l on ne peut ps dire que lim x! Df(x) Dg(x) f(x) =x +sin(x), g(x) =x, =+. Df(x) On peut voir lim x! Dg(x) = l+ et lim x! f(x) g(x) = l comme le montre l exemple de = l comme le montre l exemple de f(x) =x, g(x) = p +x, =+. Dns l levée d indétermintion, l utilistion du théorème de l Hospitl ne permet ps toujours de conclure comme le montre l exemple de f(x) =x, g(x) = p +x, =+. (Cette limite se clcule isément pr des moyens lgébriques clssiques.) Théorème Soit un réel r. On désigne pr soit r +, soit r, soit +, soit R pour lequel il existe - " > 0 tel que V ]r, r + "[ si on clcule lim x!r +, - " > 0 tel que V ]r ",r[ si on clcule lim x!r, - N>0 tel que V ]N,+[ si on clcule lim x!+, - N>0 tel que V ], N[ si on clcule lim x!. et pr V un intervlle ouvert de Théorème.7.7 (Théorème de l Hospitl) Si f et g sont des fonctions réelles dérivbles sur V et si g et Dg di èrent de 0 en tout point de V (*) on le cs noté 0 0 (c est-à-dire lim x! f(x) =0et lim x! g(x) =0)oulecsnoté (c està - d i r elim x! g(x) =) (**) on (l pouvnt être réel ou encore +, ) Df(x) lim x! Dg(x) = l lors f(x) lim x! g(x) = l. Preuve. Résultt dmis.

120 .7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION 08 Remrques ) Dns l énoncé du théorème, commentons les points (*) et (**). Cs (*) Si Dg di ère de 0 en tout point de V, lors, pr le théorème de Rolle, g ne peut s nnuler qu une seule fois dns V. On peut donc se psser de l hypothèse g di ère de 0 en tout point de V, quitte à restreindre V u déprt. Cs (**) Le cs r/, vecr R n est ps indéterminé ; l utilistion du théorème de l Hospitl n est donc justifiée que dns les cs où f dmet une limite infinie ou n dmet ps de limite en. Pr exemple sin(x) i) lim x!+ x = 0 ; le théorème de l Hospitl ne permet ps de conclure ; sin(x) ii) lim x!+ x = 0 ; clcul direct mis le théorème de l Hospitl permet ussi de conclure. ) Si on cherche l limite en x 0 (resp. l infini) sns que ce soit x + 0,x 0 (resp. +, ), on peut églement ppliquer le théorème de l Hospitl. Pour le justifier, il su t de constter qu on pplique deux fois le théorème (une fois pour +, une fois pour ) puisqu on utilise le résultt donnnt l limite lorsqu on l même limite à guche et à droite (le point où on clcule l limite n étnt ps dns le domine). Exemples fondmentux En utilisnt le théorème de l Hospitl, on étblit les résultts très importnts suivnts. lim x!0 sin x x = rcsin x lim = x!0 x rctg x lim = x!0 x lim xr ln x = 0; lim x!0 + x!+ lim x x = ; lim x!0 + exp x lim x!+ x r =+; lim lim x!+ ln x x r x!+ x/x = x!+ xr exp( = 0 pour r>0fixé + x x =exp pour IR fixé. x) = 0 pour r>0fixé.7.3 Monotonie, concvité, extrem Rppelons que les notions de monotonie (fonction croissnte, décroissnte), de concvité (fonction convexe, concve) ont été introduites dns ce chpitre. Dns l prtie du chpitre conscrée ux limites, nous vons églement énoncé plusieurs propriétés reltives à l limite des vleurs d une fonction monotone ; ces propriétés vont être utilisées dns ce qui suit. Démontreons les propriétés fondmentles relint les notions de monotonie, concvité, extrem à celle de dérivée. Monotonie Proposition.7.8 (Lien entre dérivtion et monotonie) Soit f une fonction réelle dérivble sur I =], b[. On les propriétés suivntes. ) f est croissnt (respectivement décroissnt) sur I, Df est une fonction positive (resp. négtive) sur I. ) Si Df est strictement positif (resp. strictement négtif) sur I, lors f est strictement croissnt (resp. décroissnt) sur I. L réciproque de cette propriété est fusse.

121 .7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION 09 Preuve. ) Supposons f croissnt. Alors, pour tout x I, on f(x + h) f(x) Df(x) = lim = lim h!0 h h!0,h>0 f(x + h) h Réciproquement, supposons que Df soit une fonction positive. Soient x, y I tels que x pple y. Pr ppliction du théorème des ccroissements finis, on sit qu il existe un nombre u [x, y] telquef(y) = f(x)+(y x)df(u). Les deux nombres y x et Df(u) étnt positifs, on en déduit que f(y) f(x). ) L démonstrtion s e ectue exctement comme celle du cs ). L réciproque est fusse : en e et, l fonction f(x) =x 3 est strictement croissnte sur R mis s dérivée Df(x) =3x n est ps strictement positive sur R. Lorsque f est continu sur [, b] (ce qui implique nécessirement que et b sont des réels), on les méliortions suivntes (qui se démontrent de fçon directe en utilisnt ce qui précède). Corollire.7.9 Soit f une fonction réelle continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. On les résultts suivnts. ) f est croissnt (resp. décroissnt) sur [, b] si et seulement si Df 0 (resp. Df pple 0) sur], b[ ; ) si Df > 0 (resp. Df < 0) sur], b[ lors f est strictement croissnt (resp. décroissnt) sur [, b]. Concvité Exminons mintennt le cs de l concvité. Proposition.7.0 (Lien entre dérivtion et concvité) Soit f une fonction réelle dérivble sur I =], b[. ) f est convexe (respectivement concve) sur I, Df est une fonction croissnte (resp. décroissnte) sur I. ) Si f est deux fois dérivble sur I, lorsf est convexe (respectivement concve) sur I, D f est une fonction positive (resp. négtive) sur I. Preuve. ) Résultt dmis. ) Cel résulte de ) et de l première prtie du résultt concernnt le lien entre l dérivtion et l monotonie. f(x) 0. Extrem Les définitions qui suivent sont celles des extrem (minimum, mximum) de fonctions à vleurs réelles. Comme on v le voir dns l définition, un extremum locl (resp. globl) d une fonction f pprît comme étnt un point du domine de définition de f en lequel l vleur de f rélise l borne supérieure ou inférieure des vleurs de f dns un voisinge de ce point (resp. dns A). Définition.7. Soit f une fonction réelle définie sur un sous-ensemble A de R et soit x 0 un point de cet ensemble. Le point x 0 est ppelé mximum locl de f dns A s il existe r>0 tel que f(x) pple f(x 0 )( ) 8x [x 0 r, x 0 + r] \ A. Le point x 0 est même qulifié de mximum locl strict si l inéglité (*) est stricte pour tout point x tel que x [x 0 r, x 0 + r] \ A, x 6= x 0. L vleur du mximum est f(x 0 ). Le point x 0 est ppelé minimum locl de f dns A s il existe r>0 tel que f(x) f(x 0 )( ) 8x [x 0 r, x 0 + r] \ A. Le point x 0 est même qulifié de minimum locl strict si l inéglité (**) est stricte pour tout point x tel que x [x 0 r, x 0 + r] \ A, x 6= x 0. L vleur du minimum est f(x 0 ).

122 .7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION 0 Un extremum locl de f est un mximum ou un minimum locl. Si, dns le premier point (resp. le second point), l inéglité (*) (resp. (**)) est vérifiée pour tout x A, on dit que x 0 est un mximum (resp. minimum) globl de f dns A. Comment rechercher les extrem de fçon prtique? Si f est dérivble, on v voir ci-dessous une méthode permettnt de les trouver. Si f n est ps dérivble ou si une utre di culté se présente, on penser à revenir à l définition. Proposition.7. Soit f une fonction dérivble sur I =], b[ et soit x 0 I. ) Si x 0 est un extremum locl de f sur I, lorsdf(x 0 )=0. ) S il existe r>0 tel que Df(x) (>)0 8x ]x 0 r, x 0 [ et Df(x) pple (<)0 8x ]x 0,x 0 + r[, lors x 0 est un mximum locl (strict) de f dns I. Preuve. ) est connu : nous l vons en fit démontré dns le lemme qui précède le théorème de Rolle. ) Pr hypothèse, l fonction est croissnte (strictement) sur ]x 0 r, x 0 [ ; dès lors, pour tout x ]x 0 r, x 0 [, on f(x) pple (<) lim f(t) =f(x 0 ) t!x 0,t<x 0 L églité ci-dessus provient du fit que f est continu en x 0. De même, l fonction est décroissnte (strictement) sur ]x 0,x 0 + r[ ; dès lors, pour tout réel x ]x 0,x 0 + r[, on f(x) pple (<) lim f(t) =f(x 0 ) t!x 0,t>x 0 L églité ci-dessus provient du fit que f est continu en x 0. Remrque.7.3 ) On obtient un énoncé nlogue à celui de l propriété ) pour un minimum locl. b) L propriété ) ci-dessus reste vrie pour f dérivble dns I suf en x 0 et f continu dns I. c) L réciproque de l propriété ) est fusse (exemple : f(x) =x 3, x 0 =0). d) Lorsque l fonction pprtient à C (I), pour crctériser un extremum, on peut donner un critère utilisnt l vleur de l dérivée seconde : si Df(x 0 )=0et D f(x 0 ) < 0 lors x 0 est un mximum locl ; si Df(x 0 )=0et D f(x 0 ) > 0 lors x 0 un minimum locl. L preuve s obtient à prtir du développement limité de Tylor, que l on verr dns un prochin chpitre. L réciproque est fusse (exemple : f(x) =x 4 en x 0 =0). e) L réciproque de l propriété ) ci-dessus est fusse (exemple : f(x) =x ( + sin (/x)) si x 6= 0, f(0) = 0), représenttion ci-dessous, vec un zoom et Df) x Représenttions de l fonction (le grphique de droite est un zoom) f(x) = ( + sin (/x)) si x 6= 0 0 si x =

123 .7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION L fonction f est dérivble sur R ;legrphiqueci-dessusestunereprésenttiondedf. Définition.7.4 On ppelle point d inflexion u grphique d une fonction f définie sur ], b[ un point (x 0,f(x 0 )) de son grphe pour lequel il existe " > 0 tel que l fonction soit convexe (resp. concve) sur ]x 0 ",x 0 [ et concve (resp. convexe) sur ]x 0,x 0 + "[. On démontre isément que si l fonction est deux fois dérivble sur ], b[ et si elle dmet (x 0,f(x 0 )) comme point d inflexion, lors D f(x 0 ) = 0. L réciproque est fusse. Souvent, on utiliser l locution x 0 est un point d inflexion pour f u lieu de (x 0,f(x 0 )) est un point d inflexion u grphique de f. Pour terminer cette prtie, énonçons encore un résultt lint concvité et continuité d une fonction. Proposition.7.5 Toute fonction réelle et convexe (resp. concve) sur un intervlle ouvert de R est continue sur cet intervlle. Preuve. Résultt dmis. Le résultt précédent ne s étend ps u cs des intervlles non ouverts. Pr exemple, considérer l fonction définie sur [0, [ pr f(x) =0six ]0, [ et f(0) = : celle-ci est convexe sur l intervlle considéré mis certinement ps continue en Grphiques de fonctions Soit une fonction réelle f. Pour représenter cette fonction, on mintennt à notre disposition beucoup d outils. Voici un pln d étude de fonction. Il fut bien sûr l dpter u cs étudié, fin de répondre u mieux à l question posée.. Détermintion des domines de définition, de continuité, de dérivbilité (tngentes, demi-tngentes), de continue dérivbilité.. Exminer si l fonction est pire, impire, périodique,...fin d voir une idée générle de s représenttion (symétries,...) 3. Etude de l fonction ux extrémités du domine de définition (limites, symptotes). 4. Etude de l monotonie et de l concvité de l fonction (étude du signe de l dérivée première et de l dérivée seconde). 5. Grphique..7.5 Théorème prtique de l fonction inverse Le résultt intitulé théorème prtique de l fonction inverse donne des conditions très fciles à vérifier sous lesquelles une fonction est une bijection d un intervlle I =], b[ sur un intervlle I 0 =] 0,b 0 [. Il fit intervenir l dérivbilité, c est l rison pour lquelle il est question d intervlles ouverts dns l énoncé. On démontre ce résultt en utilisnt des propriétés qui figurent dns les précédentes sections de ce chpitre. Il ser d une grnde utilité pour l primitivtion et pour l intégrtion (méthode de primitivtion et d intégrtion pr chngement de vrible c est-à-dire pr intervention d une fonction bijective dérivble d inverse ussi dérivble). Théorème.7.6 (Théorème prtique de l fonction inverse) Soit f une fonction réelle, dérivble sur ], b[ et telle que D x f(x) > 0 8x ], b[ (resp. D x f(x) < 0 8x ], b[). Alors. f est une fonction strictement croissnte (resp. décroissnte ) donc injective sur ], b[. les limites existent et di èrent 0 = lim x! + f(x), b 0 = lim x!b f(x)

124 .8. PRIMITIVATION 3. f :], b[! ] 0,b 0 [ (resp. f :], b[! ]b 0, 0 [ ) est une bijection 4. f :] 0,b 0 [! ], b[ (resp. f :]b 0, 0 [! ], b[ ) est une bijection dérivble et on Df (x) = D y f(y), y = f (x) lim f (x) =, x! 0 lim f (x) =b x!b 0 5. si f C p (I) lors f C p (I 0 ) où I =], b[ et I 0 =] 0,b 0 [ (resp. I 0 =]b 0, 0 [)..8 Primitivtion.8. Définition et résultts d existence Définition.8. Soit f une fonction définie sur un intervlle ouvert I de R. On ppelle primitive de f sur I toute fonction dérivble F sur I telle que DF(x) =f(x), x I. Si f dmet une primitive sur I on dit que f est primitivble sur I. On utilise souvent l nottion Z f(x) dx pour désigner une primitive de f(x), x I. Remrquons qu il est fux d rmer que toute fonction définie sur un intervlle ], b[ dmet une primitive sur cet intervlle. Pr exemple, l fonction suivnte, définie sur R : si x 0 f(x) = 0 si x<0 n dmet ps de primitive sur R. 8 Le résultt suivnt donne une condition su snte pour qu une fonction dmette une primitive. Théorème.8. Une fonction continue sur ], b[ dmet toujours une primitive sur cet intervlle. Preuve. Résultt dmis. Insistons sur le fit que ce résultt donne une condition su condition n est ps nécessire. 9 snte d existence de primitive ; mis cette 8. En e et, si F est une primitive de f sur R, ondf(x) =pourx>0etdf =0pourx<0. Il s ensuit qu il existe deux constntes r, r 0 R telles que F (x) =x+r pour x>0etf (x) =r 0 pour x<0(cf.7.5).ondonclim x!0 + F (x) =r et lim x!0 F (x) =r 0 ;commef est continu sur R (cr dérivble), on r = r 0 = F (0). On trouve donc finlement x + r si x 0 F (x) = r si x<0. F (x) F (0) F (x) F (0) Or une telle fonction n est ps dérivble en 0 cr lim x!0 + =, lim x x!0 =0. x 9. Toute fonction qui est l dérivée d une fonction dérivble non continûment dérivble est un exemple ; citons l fonction x sin(/x) cos(/x) six 6= 0 f(x) = 0six =0 qui est définie mis non continue sur R et qui est l dérivée de x F (x) = sin(/x) six 6= 0 0six =0.

125 .8. PRIMITIVATION 3.8. Propriétés Si une fonction dmet une primitive, elle en dmet une infinité ; on peut crctériser ces primitives de l mnière précise suivnte. Propriété.8.3 ) Si F est une primitive de f sur ], b[, lorspourtouteconstntec, l fonction F + c est ussi une primitive de f sur ], b[. Réciproquement, si F et F sont deux primitives de f sur ], b[, il existe une constnte c telle que F (x) =F (x)+c pour tout x ], b[. ) Soit f une fonction primitivble sur ], b[ et soit x 0 ], b[. Pourtoutr R, il existe une primitive unique F de f qui vérifie F (x 0 )=r. Preuve. ) Comme l dérivée d une fonction constnte est nulle, on D x (F (x)+c) =f(x), x ], b[. Réciproquement, comme D x (F (x) F (x)) = 0 sur l intervlle ], b[, on obtient que F F est en fit constnt sur cet intervlle (cf résultt (.7.5). ) Montrons l unicité. Soient F et F deux primitives de f sur ], b[ quivérifientf (x 0 )=r = F (x 0 ). Vu ), il existe c R tel que F (x) =F (x) +c pour tout x ], b[ ; en prticulier, cette églité est vérifiée pour x 0, ce qui donne c = 0 cr F (x 0 )=F (x 0 ). L existence est fcile à prouver : si g est une primitive de f sur l intervlle ], b[ lors l fonction F (x) =g(x) g(x 0 )+r (x ], b[) répond à l question. Si F et F sont deux fonctions définies sur un même intervlle I, on utilise l nottion F ' F pour signifier qu il existe une constnte R telle que F (x) =F (x) +r, x I. Sif est primitivble sur I =], b[ etsif est une primitive de f sur cet intervlle, on écrit donc Z F (x) ' f(x) dx. Le résultt suivnt donne des indictions sur le comportement des primitives ux bords du domine. S preuve est directe et lissée à titre d exercice. Proposition.8.4 Soient, b R, < b. Sif est continu sur [, b], lors toute primitive F de f sur ], b[ dmet des limites finies en + et en b. Il s ensuit que l fonction 8 < F (x) si x ], b[ G(x) = lim : y! + F (y) si x = lim y!b F (y) si x = b est une fonction continue sur [, b] qui prolonge F..8.3 Primitives immédites L liste de primitives qui suit s obtient directement à prtir de l connissnce des fonctions élémentires et de leur dérivée. C est l rison pour lquelle on les nomme primitives immédites.. Primitives immédites de polynômes. Soient R, m N. On Z (x ) m (x )m+ dx ', x R m +. Primitives immédites de frctions rtionnelles. Soient R, m N 0, m 6=. On Z (x ) m dx ' ( m)(x ) m x ],[ (resp. x ], +[) Z x dx ' ln( x ) x ],[ (resp. x ], +[) 3. On Z exp xdx ' exp x, x R.

126 .8. PRIMITIVATION 4 4. Si m est un nturel pir strictement positif, on Z p Z m xdx = Z Z p m x dx = si m est un nturel impir, on Z p Z m xdx = x /m dx ' x+/m +/m = x /m dx ' x mp x, x [0, +[; +/m /m x /m = x ( /m) mp, x ]0, +[; x x /m dx ' x+/m +/m = x mp x +/m, x R; si m est un nturel impir strictement plus grnd que, on Z Z p m x dx = x /m /m x dx ' /m = x ( /m) mp x, x R Primitive de l fonction puissnce x r en toute générlité. Soit r R \{ }. On Z x r dx ' xr+, x ]0, +[. r + 6. On Z sin xdx' cos x x R Z cos xdx' sin x x R 7. On 8. On Z Z cos dx ' tg x x ] /, /[ x sin dx ' cotg x x ]0, [ x Z p dx ' rcsin x x ], [ x Z dx ' rctg x x R +x.8.4 Techniques de primitivtion Les techniques suivntes reposent sur des résultts directs à démontrer et dont les hypothèses sont fciles à vérifier. Pour l primitivtion pr prties et pr substitution, les hypothèses sont utomtiquement vérifiées pour les fonctions qui sont continûment dérivbles (sur des domines à préciser). Primitivtion de combinisons linéires Propriété.8.5 Si f et g sont primitivbles sur I =], b[ et si r, s R lors l fonction rf + sg est primitivble sur I et on Z Z Z (rf(x)+sg(x)) dx ' r f(x) dx + s g(x) dx. Preuve. En e et, l fonction r R f(x) dx + s R g(x) dx est dérivble sur I et s dérivée est l fonction rf(x)+sg(x), x I.

127 .8. PRIMITIVATION 5 Primitivtion pr prties Propriété.8.6 Si f et g sont dérivbles sur I =], b[ et si fdgest primitivble sur I lors gdfest primitivble sur I et on Z Z g(x) Df(x) dx ' f(x)g(x) f(x) Dg(x) dx. Preuve. C est direct cr l fonction f(x)g(x) g(x) Df(x). R f(x) Dg(x) dx est dérivble sur ], b[ de dérivée Exemple. On Z x sin xdx= Z Z xd x cos xdx' x cos x + cos xdx' x cos x + sin x vec I = R, g(x) =x, f(x) = cos x. Primitivtion pr substitution Ce résultt fournit une technique de clcul de primitive d une fonction qui s écrit sous l forme (fog)(x) Dg(x) en utilisnt l primitivtion de f. Propriété.8.7 Si f est primitivble sur J =], b[ et si g est dérivble sur I et vérifie l inclusion {g(x) :x I} J, lors(fog)(x) Dg(x) est primitivble sur I et on Z Z (fog)(x) Dg(x)dx ' f(t) dt. ( ) t=g(x) Preuve. C est direct cr le résultt de dérivtion des fonctions de fonctions donne l dérivbilité de R f(t) dt t=g(x) sur I et l expression suivnte pour l dérivée : f(g(x)) Dg(x). Exemples. ) On Z x p +x dx = Z p+x D x( + x ) dx ' Z ptdt t=+x ' q ( + x ) 3 = 3 3 ( + x ) 3/. vec I = R,J = ]0, +[, g(x) =+x,f(t) = p t. ) On Z rcsin xdx = ' Z D xx rcsin xdx Z x x rcsin x p dx x ' x rcsin x + Z D( x ) p dx x ' x rcsin x + Z pt dt t= x ' x rcsin x + p x pour x ], [. Primitivtion pr chngement de vribles L énoncé (*) de l technique de clcul pr chngement de vribles est proche de l énoncé (**) relevnt de l primitivtion pr substitution. Mis ici, on donne une technique de clcul d une primitive de f qui utilise l primitivtion d une fonction du type fog Dg. L idée est d écrire f(t) sous l forme f(g(x)) vec t = g(x) puis de repsser à une expression en terme de t ;cels e ectue à l ide de g, bijection qu il fut déterminer u mieux pour donner une forme qui permette e ectivement le clcul ; l di culté est de trouver une bonne fonction g.

128 .8. PRIMITIVATION 6 Appelons chngement de vribles de clsse C une fonction bijective g :], b[! ] 0,b 0 [ qui pprtient à C (], b[) et dont l inverse pprtient à C (] 0,b 0 [). Remrquons que dns ce cs, Dg (resp. Dg )est une fonction qui ne s nnule ps sur ], b[ (resp.] 0,b 0 [) donc grde un signe constnt sur cet intervlle (pr ppliction du TVI). Propriété.8.8 Soit f défini sur J =] 0,b 0 [.Sig : I =], b[! J est un chngement de vribles, si l fonction (fog)(x) Dg(x) est primitivble sur I lors f est primitivble sur J et on Z Z f(t) dt ' (fog)(x) Dg(x)dx. ( ) x=g (t) Preuve. Vu les hypothèses, le résultt de dérivtion des fonctions de fonctions donne l dérivbilité de l fonction R (fog)(x) Dg(x)dx x=g sur J et l expression suivnte pour l dérivée : (t) ((fog)(x)dg(x)) x=g (t) D tg (t). Comme g(g (t)) = t sur J et que les fonctions g et g sont dérivbles, on trouve finlement (en ppliqunt le résultt reltif à l dérivtion des fonctions de fonctions) donc et finlement l thèse. Exemples. ) Primitiver l fonction (D x g(x)) x=g (t) D tg = ((fog)(x)dg(x)) x=g (t) D tg (t) =(fog)(g (t)) = f(t). f(t) = p t. Suggestion. L fonction f est continue sur [, ], elle est donc primitivble sur ], [. Considérons le chngement de vribles g(x) =cosx entre ]0, [ et], [. On f(g(x)) D xg(x) = p cos x sin x = sin x = cos(x) donc Z f(g(x)) D xg(x) dx ' sin(x) 4 x = (sin x cos x x) et finlement Z p t dt ' t p t rcos t, t ], [. ) Clculer Suggestion. L fonction f(t) = +sin t Z +sint dt. est une fonction continue sur R. ElleestdoncprimitivblesurR. Une méthode stndrd de clcul de cette primitive (et d utres du même type) consiste à exprimer sin t en fonction de tg(t/) puis à e ectuer une primitivtion pr chngement de vribles en posnt x = h(t) =tg(t/). L fonction h est e ectivement une bijection de ], [ surr, quipprtientàc (], [) et dont l inverse pprtient ussi à C (R). On sin t = sin( t )cos(t )=tg(t )cos ( t )= tg(t ) +tg ( t ) pour t tel que cos( t ) 6= 0. Avec g(x) =h (x) =rctgx, on f(t) = +sint = +tg (t/) +tg(t/) + tg (t/) = +x, x = tg(t/) = h(t) +x + x pour t ], [ donc fog(x) D xg(x) = +x + x pour x R. Pourterminer,ilsu t mintennt de clculer une primitive de +x+x puis de l exprimer en fonction de t. On +x + x = (x + ) = 4 3 ( p 3 (x + )) + = p D x rctg 3 p3 (x + ).

129 .8. PRIMITIVATION 7 Ainsi, une primitivtion pr substitution donne directement Il s ensuit que Z Z +x + x dx ' p 3 +sint dt ' p 3 rctg p3 (x + ), x IR. rctg p3 (tg( t )+ ), t ], [. Si on désire obtenir une primitive sur R, ilfutprolongerlfonctionrctg p 3 (tg( t )+, ) t ], [. Si, pour tout k Z, on définit on obtient de l sorte une primitive sur R. ( p3 rctg p F (t) = 3 (tg( t )+ ) + k t ](k ), (k + ) [ p 3 + k t = (k ) 3) Il existe des méthodes générles pour le clcul pr chngement de vribles des primitives des frctions irrtionnelles trinômes (c est-à-dire des frctions qui font intervenir des rcines de polynômes du second degré).

130 Chpitre 3 Retour ux fonctions élémentires Dns ce chpitre, nous reprenons l étude des fonctions élémentires en utilisnt les outils instllés u chpitre précédent : limite, continuité, dérivtion, primitivtion. Il s git donc en fit d une collecte, d un formulire, d une boîte à outils reltifs ux propriétés à connître u sujet de ces fonctions, et à svoir ppliquer dns les situtions qui le requièrent. Pr illeurs, il est tout ussi importnt de svoir d où ces propriétés sont tirées : elles ne tombent ps du ciel mis peuvent être démontrées à prtir des définitions et notions introduites précédemment. 3. Limites des fonctions élémentires 3.. Polynômes et frctions rtionnelles Pr des procédés directs, on montre qu en un réel x 0, l limite des vleurs d un polynôme est égle à l vleur du polynôme en ce point. On le même résultt pour une frction rtionnelle pour utnt que x 0 pprtienne à son domine de définition. Cel étnt, on le résultt suivnt en l infini. Proposition 3.. Soient P (x) = 0 + x+...+ N x N et Q(x) =b 0 +b x+...+b M x M deux polynômes de degré respectivement N et M. On lim P (x) = lim N x N + si N > 0 = x!+ x!+ si N < 0, 8 >< lim P (x) = lim N x N = x! x! >: P (x) lim x! Q(x) = lim N x N x! b M x M = + si N est pir et N > 0 si N est pir et N < 0 si N est impir et N > 0 + si N est impir et N < 0 8 >< >: N b M si M = N 0 si N<M si N>M Si on considère lim x!+ P (x)/q(x) ou lim x! P (x)/q(x), on peut préciser si l limite est 0 + ou 0 (cs N<M)etsillimiteest+ ou (cs N>M) en fonction de l prité de l di é r e n c e N M et du signe du produit N b M. Preuve. D une prt, on P (x) =x N N + N x x N + 0 x N donc P s écrit sous l forme d un produit de deux fonctions f, g vec f(x) =x N, g(x) = N + N x x N + 0 x N

131 3.. LIMITES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 9 et lim f(x) =, lim g(x) = N 6= 0. x! x! D utre prt, on P (x) Q(x) = N x N + b M x M N N x N x N + 0 N x N + b M b M x b, b M + b0 x M b M x M donc l frction rtionnelle P/Q s écrit vec P (x) Q(x) = N x N b M x M lim g(x) =. x! g(x) On conclut directement en étudint le signe de l entier N M. 3.. Rcines mièmes On montre fcilement que l limite des vleurs d une fonction rcine en un point de son domine de définition est égle à l vleur de l fonction en ce point. On démontre églement de fçon directe que lim p m x =+ x!+ si m est pir et que si m est impir. lim p m x =+, x!+ lim p m x = x! 3..3 Fonctions trigonométriques ) L limite des vleurs des fonctions trigonométriques sin et cos en un point x 0 de leur domine de définition est égle à l vleur de l fonction en ce point. Cel résulte des propriétés générles de l fonction exponentielle complexe à prtir de lquelle les fonctions sin et cos sont définies (voir plus loin). Rppelons que nous vons déjà vu que les limites lim sin x, lim x!+ sin x, lim cos x, lim x! x!+ cos x x! n existent ps. ) A prtir des propriétés générles des limites et des propriétés prticulières des fonctions sin et cos, on déduit les propriétés suivntes, reltives ux fonctions tngente et cotngente. L limite des vleurs des fonctions trigonométriques tg et cotg en un point x 0 de leur domine de définition est égle à l vleur de l fonction en ce point. On lim tg x =+, lim tg x =, lim cotg x =+, lim x!( ) x!( )+ x!0 + x! cotg x =. En utilisnt l définition des limites (pr les suites), on démontre imméditement que les limites lim tg x, lim x!+ tg x, lim cotg x, lim x! x!+ cotg x x! n existent ps.

132 3.. CONTINUITÉ Fonctions trigonométriques inverses Les propriétés reltives ux fonctions trigonométriques inverses s obtiennent à prtir des propriétés des fonctions trigonométriques et de résultts générux concernnt les fonctions inverses. L limite des vleurs des fonctions trigonométriques inverses en un point x 0 de leur domine de définition est égle à l vleur de l fonction en ce point. On ussi + lim rctg x =, x! lim rctg x = x!+ lim rcotg x =, lim rcotg x =0+ x! x! Fonctions exponentielle et logrithme Citons les propriétés fondmentles de l fonction exponentielle reltives ux limites ; elles seront démontrées dns l suite, lorsque l définition de l fonction exponentielle ser étudiée. Les propriétés fondmentles de l fonction logrithme se déduisent de celles de l fonction exponentielle en utilisnt le fit que l fonction logrithme est définie comme étnt l fonction inverse de l fonction exponentielle et le théorème prtique de l fonction inverse. L limite des vleurs des fonctions exponentielle et logrithme en un point x 0 de leur domine de définition est égle à l vleur de l fonction en ce point. On On 3. Continuité lim exp x =+, lim x!+ lim ln x =+, lim x!+ exp x =0 x! ln x =. x!0 + On démontre directement les résultts de continuité suivnts. L fonction f(x) = x, x R est continue sur R. Les fonctions élémentires introduites dns le chpitre précédent sont continues sur leur domine de définition : polynômes, frctions rtionnelles, fonctions rcine n-ieme, fonctions trigonométriques, fonctions trigonométriques inverses, fonction exponentielle, fonction logrithme. 3.3 Dérivtion et fonctions élémentires L dérivbilité et l dérivée des polynômes et des frctions rtionnelles s obtiennent directement en utilisnt les propriétés précédentes vues u chpitre précédent. L dérivbilité et l expression de l dérivée des fonctions trigonométriques sin et cos peuvent être étblies en utilisnt l fonction exponentielle (exponentielle complexe ; voir l suite). L dérivbilité et l expression de l dérivée des fonctions tg et cotg s obtiennent à prtir de l définition de ces fonctions. L dérivbilité de l fonction exponentielle et l expression de s dérivée seront étblies dns l prtie conscrée à l définition de l fonction exponentielle (pr utilistion des séries). L dérivbilité et l expression de l dérivée des fonctions inverses (trigonométriques inverses, logrithme népérien) s obtiennent en utilisnt les propriétés précédentes Polynômes et frctions rtionnelles Pour rppel, tout polynôme est dérivble sur R, toute frction rtionnelle P (x)/d(x) est dérivble dns le complémentire des zéros du dénominteur D(x) ; l expression des dérivées de ces fonctions s obtient en utilisnt les résultts Si c R lors D x x m = mx m, m N 0,x R

133 3.3. DÉRIVATION ET FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES D x c =0, x R et les propriétés régissnt l dérivée d une combinison linéire de fonctions et d un quotient de fonctions Fonctions trigonométriques Les fonctions sin et cos sont dérivbles sur R et on D x cos x = sin x, x R; D x sin x = cos x, x R. En utilisnt le fit que les fonctions tg et cotg sont des quotients des fonctions sin et cos, on obtient que - l fonction tg est dérivble sur son domine de définition A = R \{ + k : k Z}, - l fonction cotg est dérivble sur son domine de définition B = R \{k : k Z} et D x tg x = D x sin x cos x = cos x, x A; Fonction exponentielle L fonction exponentielle est dérivble sur R et D x exp x =expx, 8x R. D x cotg x = D x cos x sin x = sin x, x B. Il s ensuit que pour >0, l fonction x =exp(x ln ), x R est dérivble sur R et D x x = D x exp(x ln ) =exp(x ln ) ln =ln x, x R Fonctions trigonométriques inverses Fonction rcos. L fonction cos est une bijection dérivble de ]0, [ dns ], [ et D cos x = sin x 6= 0 pour tout x ]0, [. Il s ensuit que rcos : ], [! ]0, [ est dérivble sur ], [ et D x rcos x = p x, x ], [. En e et, l ppliction du résultt concernnt l dérivtion des fonctions inverses donne D x rcos x = = = =, vec y = rcos x, x ], [ D y cos y sin(rcos(x)) p cr rcos(x) ]0, [ cos (rcos(x)) p x Fonction rcsin. L fonction sin est une bijection dérivble de, dns ], [ et D sin x = cos x 6= 0 pour tout x,.ils ensuitque i rcsin : ], [!, h est dérivble sur ], [ et

134 3.3. DÉRIVATION ET FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES D x rcsin x = p x, x ], [. En e et, l ppliction du résultt concernnt l dérivtion des fonctions inverses donne D x rcsin x = = = =, vec y = rcsin x, x ], [ D y sin y cos(rcsin(x)) i q cr rcsin(x) sin (rcsin(x)), h p x On urit pu ussi démontrer ce résultt en utilisnt l reltion rcsin x + rcos x =, 8x [, ] et en utilisnt les propriétés de dérivbilité de l fonction rcos étblies juste ci-dessus. Fonction rctg. L fonction tg est une bijection dérivble de, dns R et D tg x = cos x x,.ils ensuitque i rctg : R!, h est dérivble sur R et D x rctg x = +x, x R. En e et, l ppliction du résultt concernnt l dérivtion des fonctions inverses donne Fonction rcotg. D x rctg x =, vec y = rctg x, x R D y tg y = cos (rctg(x)) = +tg (rctg(x)) = +x. L fonction cotg est une bijection dérivble de ]0, [ dns R et D cotg x = x ]0, [. Il s ensuit que rcotg : R! ]0, [ est dérivble sur R et D x rcotg x = +x, x R. sin x En e et, l ppliction du résultt concernnt l dérivtion des fonctions inverses donne D x rcotg x =, en prennt y = rcotg x, x R D y cotg y = sin (rcotg(x)) = + cotg (rcotg(x)) = +x. 6= 0 pour tout 6= 0 pour tout

135 3.4. PRIMITIVATION 3 On urit pu ussi démontrer ce résultt en utilisnt l reltion rcotg x + rctg x =, 8x R et en utilisnt les propriétés de dérivbilité de l fonction rctg étblies juste ci-dessus Fonction logrithme népérien On f(x) =lnx dérivble sur ]0, +[ et D ln x = x, x > 0. En e et, en utilisnt le résultt reltif à l dérivtion des fonctions inverses, on obtient que l fonction logrithme népérien est dérivble sur son domine de définition et D x ln x = = D y exp y exp(ln x) en prennt y =lnx = x. On déduit de là que, - pour >0, 6=, l fonction log x = ln x ln, x ]0, +[ est dérivble sur ]0, +[ et D x log x =, x ]0, +[ x ln - pour R, l fonction x =exp( ln x), x ]0, +[ est dérivble sur ]0, +[ etque D x x = D x exp( ln x) = x exp( ln x) = exp(ln x) finlement, en repssnt à l définition de l fonction puissnce : D x x = x, x ]0, +[. exp( ln x) = exp(( ) ln x); Rppelons que cette formule s étend à R 0 dns le cs =/m vec m nturel impir et à R dns le cs = m vec m nturel. 3.4 Primitivtion Nous renvoyons u chpitre précédent pour une liste de primitives immédites. 3.5 Fonction exponentielle Une fois l convergence des suites étudiée, on peut s ttquer à l notion de convergence de séries, qui sont en fit des suites bien prticulières. C est lors grâce à elles que l on peut définir l fonction exponentielle et ensuite en démontrer les propriétés fondmentles. Cette fonction en fit pour domine l ensemble des complexes et permet de définir mthémtiquement les fonctions sinus et cosinus. Dns le cdre du cours du premier qudrimestre, nous n étudierons ps les séries ; nous y reviendrons dns l suite. Cependnt, comme les suites ont été étudiées, nous pouvons dès à présent définir ce que l on entend pr série.

136 3.5. FONCTION EXPONENTIELLE 4 Etnt donné une suite de réels ou de complexes r m (m N 0 ), on construit l suite des sommes prtielles ssociée, à svoir l suite c est-à-dire S = r, S = r + r, S 3 = r + r + r 3,... S M = MX r m, M N 0. m= Il est clir que l nouvelle suite construite est très prticulière. Comme nous l vons dit plus hut, une étude des séries et de leur convergence ser fite plus trd. Dns ce cdre, on dit qu une série est convergente si l suite des sommes prtielles converge vers une limite finie. On utilise l nottion suivnte 3.5. Définition lim M!+ m= MX r m = Etnt donné x R (ou C), on considère l suite r m = xm m! (m N) et on construit l suite des sommes prtielles (l série) ssociée ; c est ce processus qui définit l fonction exponentielle. Définition 3.5. L fonction exponentielle réelle est l fonction définie sur R pr exp(x) = lim MX M!+ m=0 +X m= x m + m! = X m=0 r m. x m m!, x R On définit de l même mnière l fonction exp(z), vec z nombre complexe quelconque. On démontre évidemment que cette définition un sens, c est-à-dire que l suite des sommes prtielles converge quel que soit le complexe x. MX m=0 x m m!, M N Propriétés fondmentles A l ide de cette définition et des propriétés reltives ux séries, on est en mesure de démontrer les propriétés fondmentles de l fonction exponentielle (voir les chpitres et sections précédentes pour une liste complète). Nous le ferons plus trd Exponentielle complexe Définitions et propriétés Comme déjà nnoncé ci-dessus, on définit exp z = lim MX M!+ m=0 z m + m! = X m=0 z m m!, z C. L fonction exponentielle de domine R en est l restriction. De nombreuses propriétés sont encore vérifiées pr cette fonction complexe MAIS plus question de prler de croissnce, ni de positivité,...cr il s git d une fonction définie dns C et à vleurs dns C.

137 3.5. FONCTION EXPONENTIELLE 5 Propriété 3.5. ) On exp(z + z 0 )=exp(z) exp(z 0 ) 8z,z 0 CI. ) On exp(z) =exp( z) 8z CI. 3) On D t exp(z 0 t)=z 0 exp(z 0 t) 8t R et z 0 CI fi x é. 4) On exp(z) =exp(z 0 ),9k Z : z = z 0 +ik. En prticulier, pour x, x 0 R, on exp(ix) =exp(ix 0 ),9k Z : x = x 0 +k. Preuve. Résultt dmis. On utilise encore l nottion exp(z) =e z, Définissons à présent les fonctions sin et cos sur R. z CI. Définition On définit cos x = <(e ix ), sin x = =(e ix ), x R On en déduit que pour tout réel x. De plus, comme <z = z+ z et =z = z z i cos x + i sin x =exp(ix) =e ix, cos x i sin x = e ix = e ix pour tout complexe z, on déduit ussi de l définition que On les propriétés suivntes. cos x = eix + e ix sin x = eix e ix. i Propriété ) Pour tout x R, on e ix =. ) cos x +sin x =pour tout réel x. 3) On (cos x + i sin x) m = cos(mx)+i sin(mx) pour tout nturel m et tout réel x. 4) Pour tout z CI tel que z =, il existe x [0, [ unique tel que z = e ix. Preuve. ) On z z = z pour tout complexe z. Ils ensuitque e ix = e ix e ix = e ix e ix = e ix ix = d où l conclusion cr le module d un complexe est un réel positif ou nul. ) On = e ix =(<(e ix )) +(=(e ix )) = cos x +sin x. 3) On 4) Résultt dmis. (cos x + i sin x) m = e ix m = e imx = cos(mx)+i sin(mx).

138 3.5. FONCTION EXPONENTIELLE 6 Complexes et trigonométrie ) Etnt donné un complexe z de module, c est-à-dire un point du pln situé sur le cercle centré à l origine et de ryon, on sit qu il existe un réel unique x [0, [ telquez = e ix. On montre ussi que l longueur de l rc de cercle joignnt le complexe u complexe z vut x. On obtient donc l représenttion suivnte. Y 6 z = e ix sin x O cos x x - X ) L forme trigonométrique d un nombre complexe consiste simplement à écrire celui-ci en se servnt des coordonnées polires du point du pln qu il détermine. Etnt donné z C, z 6= 0, on sit qu il existe une réel x [0, [, unique, tel que En posnt r = z on z z = eix. z = re ix ; c est ce que l on ppelle l forme trigonométrique du complexe z. Les réels r et x constituent églement les coordonnées polires du point P d bscisse <z et d ordonnée =z. 3) Interprétons à présent l multipliction de deux complexes. Soient z,z 0 deux complexes non nuls. On peut écrire z = re ix, z 0 = r 0 e ix0 donc zz 0 = rr 0 e i(x+x0). L multipliction de z pr z 0 consiste donc en une multipliction pr le réel r 0 (qui s interprète comme l multipliction d un vecteur pr un réel) et en une rottion d un ngle x 0. Y 6 longueur de l rc entre z et z 0 : rx 0 zz 0 HY z lorsque z 0 = r - longueur de l rc : - O X Hj cercle de centre O et de ryon z = r 4) Grâce à l forme trigonométrique des complexes, on peut ussi démontrer que, pour tout complexe non nul z et tout nturel n, il existe n complexes distincts z 0,z,...,z n tels que z n k = z. On dit que les complexes z k (k =0,...,n ) sont les rcines n-ièmes du complexe z. L preuve est constructive : si z = re ix, r > 0,x [0, [

139 3.5. FONCTION EXPONENTIELLE 7 on obtient en e et z k = np re ix0 k, x 0 k = x +k, k =0,...,n. n Les n rcines n ièmes d un complexe sont donc les sommets d un polygone régulier à n côtés inscrit dns un cercle centré à l origine et de ryon np r ; l mesure des ngles entre les vecteurs joignnt l origine à deux rcines consécutives est n rdin(s). Voici trois exemples. Les rcines cubiques de = e i0 sont z 0 =,z = e i 3,z = e i 4 3. Leur représenttion est l suivnte. Y z 6 b b b b b b b - O z0 = X " """ z " "" Représenttion des rcines cubiques de Les rcines qutrièmes de = e i0 sont z 0 =, z = e i = i, z = e i =, z 3 = e i 3 = i. Leur représenttion est l suivnte. - O z0 @@ z 3 Représenttion des rcines qutrièmes de Les rcines qutrièmes de =e i sont z 0 = e i 4, z = e i 3 4, z = e i 5 4, z 3 = e i 7 4. Leur représenttion est l suivnte. Y 6 z z 0 z O z3 - X Représenttion des rcines qutrièmes de

140 Chpitre 4 Clcul intégrl 4. Intégrle d une fonction sur [, b] 4.. Introduction Soit f une fonction définie sur un intervlle borné fermé I =[, b] (vec, b IR et <b). Appelons découpge à l Riemnn de [, b] l donnée (i) d un nturel strictement positif n, den points x <x <...<x n de ], b[ (ii)den points r [, x ],r [x,x ],...,r n [x n,b]. On note un tel découpge ou plus précisément : {[, x,...,x n,b], (r j ) pplejpplen }. Plus simplement, un découpge est l donnée du seul point (i) ci-dessus. Pr bus de lngge, on utiliser souvent uniquement le substntif découpge pour désigner un découpge ou un découpge à l Riemnn. Etnt donné un découpge, l lrgeur du découpge est le nombre L( ):=sup{x, x x,...,b x n }. Pour simplifier les nottions, posons ussi x 0 =, x n = b. Y r x r x r x = r x =r x 3 4 = r b X Sur ce dessin on n = 6,r 3 = x 3,r 5 = x 4,r 6 = x 5 et l somme S(,f) correspond à l somme des ires des rectngles qui pprissent (en trits pleins). Considérons l expression suivnte S(,f)= nx f(r k )(x k x k ). k=. Si n =,onnedonnepsdepointssupplémentires 8

141 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION SUR [A, B] 9 Cette somme S(,f) dépend du choix des x k,desr k et de f. Elle représente l somme des ires des rectngles (vec leur signe, cr f(r k ) peut être négtif) de côtés x k x k et f(r k )(k =,...,n). L idée est de regrder ce qui se psse lorsqu on prend des découpges de plus en plus fins, pour coller u mieux à l représenttion grphique. Et si, à un certin sens que nous llons définir, tout se psse bien qund on psse à l limite, on dir que cette limite est l intégrle de l fonction f sur l intervlle [, b]. Vu l construction géométrique, si f est à vleurs positives, l ire de l surfce délimitée pr le grphique de f, l xe X et les droites verticles x =, x = b ser définie comme étnt l intégrle de f sur [, b]. En toute générlité, on v considérer une suite de découpges de [, b] c est-à-dire l donnée de N = {[ = x 0,x,...,x J(N),b= x J(N) ], (r N j ) pplejpplej(n) }, (N IN 0 ) où J(N) IN 0, <x <...<x J(N) <b, r N j [x j,x j ] (j =,...,J(N)) et où les lrgeurs L( N ) des découpges forment une suite qui tend vers Définition et exemples fondmentux Définition Définition 4.. Soit f une fonction définie sur [, b], à vleurs réelles ou complexes. On dit qu elle est Riemnn- intégrble sur [, b] si, pour toute suite de découpges N (N N 0 ) de [, b] tels que lim N!+ L( N )=0,lsuiteS( N,f)(N N 0 ) converge vers une limite finie. Dns ce cs, on montre que toutes ces limites sont les mêmes. Définition 4.. L vleur commune de ces limites est ppelée intégrle de Riemnn de f sur [, b]. L intégrle de Riemnn de f sur [, b] est notée Z b ou même simplement R b fdxsi le contexte est clir. f(x) dx Dns l suite, on omettr souvent de signler Riemnn-intégrble ; on dir plus simplement intégrble. Exemples fondmentux En guise de premier exemple et comme illustrtion directe de l introduction que nous vons donnée, montrons le résultt suivnt. Exemple 4..3 Toute fonction constnte est Riemnn-intégrble sur [, b] et si f(x) =C pour tout x [, b]. Z b f(x) dx = C(b ) Preuve. De fit, pour tout découpge {[x 0,x,...,x J(N) ], (r N j ) pplejpplej(n)} de [, b], on d où l conclusion. S( N,f)= J(N) X j= J(N) X f(rj N )(x j x j )=C j= (x j x j )=C(b )

142 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION SUR [A, B] 30 Y C C=f( r ) pour tout j j r x r j x j b X On le résultt fort importnt suivnt ; il donne de nombreux exemples de fonctions Riemnnintégrbles. Proposition 4..4 Une fonction continue (resp. monotone) sur [, b] est Riemnn-intégrble sur [, b]. Preuve. Résultt dmis. Nénmoins, remrquons qu il existe des fonctions Riemnn-intégrbles qui ne sont ni monotones ni continues. Première pproximtion de l intégrle L proposition précédente donne imméditement l propriété suivnte d pproximtion 3. Propriété 4..5 Si f est continu sur [, b] lors pour tout " > 0 il existe > 0 tel que, pour tout découpge {[, x,x,...,x n,b], (r j ) pplejpplen } de [, b] de lrgeur inférieure ou égle à, on Z b f(x) dx nx f(r j )(x j x j ) pple ". j= Preuve. Résultt dmis 4 Ce résultt d pproximtion dit qu une pproximtion de l intégrle de f est obtenue pr l intégrle de f A,oùf A est une fonction constnte pr morceux définie à prtir de vleurs de f. D utres pproximtions sont ussi courntes. Citons - l méthode du trpèze : on remplce f pr une fonction f A linéire pr morceux et une pproximtion de l intégrle de f est fournie pr l intégrle de f A - l méthode de Simpson : on remplce f pr un polynôme du second degré f A pr morceux et une pproximtion de l intégrle de f est fournie pr l intégrle de f A. Remrques importntes ) Il fut bien remrquer que si f est à vleurs réelles (resp. complexes) lors R b f(x) dx est un nombre réel (resp. complexe) qui ne dépend que de f,,b et que, dns cette expression, x est une vrible muette c est-à-dire que l on Z b f(x) dx = Z b f(y) dy = Z b f(t) dt =.... Pr exemple l fonction f définie sur [0, ] pr f(/m) =0pourtoutnturelm et f(x) =sinon;plussimplement, l fonction définie sur [0, ] pr f(x) =six [0, /] et f(x) = sinon. 3. Pour ceux qui sont hbitués à l intégrle de Lebesgue, ceci est ppelé interpréttion de Riemnn de l intégrle. 4. Ceci est dû u fit que ce sont des fonctions bornées pour lesquelles l ensemble des points où elles ne sont ps continues est dénombrble, donc négligeble. Dns ce cs, l intégrle de Riemnn coïncide vec l intégrle de Lebesgue. On peut ussi le montrer directement en pssnt à l intégrle de Drboux.

143 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION SUR [A, B] 3 (L nottion fit penser ux primitives ; cel v être justifié dns ce qui suit.) Signlons encore que, lorsque = b on pose et Z b fdx= Z fdx=0 Z b fdx si >b (repenser à l indice sommtoire muet dns le cs des sommes du chpitre ). ) Toutes les fonctions ne sont ps Riemnn-intégrbles. Pr exemple, l fonction f définie sur [0, ] qui vut en tout rtionnel de [0, ] et 0 en tout irrtionnel de [0, ] (le grphique de f est très di cile à représenter!) n est ps Riemnn-intégrble. En e et, si on considère les découpges n (n IN 0 ) définis pr on L( n )= n donc lim n!+ L( n )=0et 0=x 0,x = n,...,n n, =n n, r k = k n S( n,f)= nx f(r k )(x k x k )= k= (k =,...n) nx (x k x k )=. k= Pr contre, si on considère les découpges 0 n (n IN 0 ) définis pr 0=x 0,x = n,...,n n, =n n, r k = k + p / n on L( n)= 0 n donc lim n!+ L( n)=0et 0 (k =,...n) nx S( n,f)= 0 f(r k )(x k x k )=0. k= Compléments Il existe en fit plusieurs définitions de l intégrle. L plus prtique (cr elle peut être directement considérée sur un ensemble mesurble, et ps seulement sur un intervlle borné fermé de IR), l mieux dptée u cs de plusieurs vribles, l plus utilisée, est celle de Lebesgue. Cependnt, son introduction nécessite des préprtifs qu il serit trop long de développer ici (notion d ensemble négligeble, d ensemble mesurble,...). L définition de Riemnn de l intégrle est, qunt à elle, fcilement introduite dns le contexte d un cours de mthémtiques générles ; c est l rison pour lquelle nous vons dopté l définition précédente. Signlons toutefois que les notions de Riemnn-intégrbilité et Lebesgueintégrbilité coïncident pour l pluprt des fonctions usuelles sur des intervlles bornés fermés ; dns l suite, qund on v générliser l notion d intégrle à des intervlles plus générux, c est l notion de Lebesgue-intégrbilité qui guider nos ps. Pour des compléments d informtion concernnt l définition de l intégrle, on renvoie àux nnexes Propriétés de l intégrle sur [, b] On démontre les propriétés fort utiles suivntes sur l intégrle introduite dns l section précédente. Propriété 4..6 ) (Linérité de l intégrle) Si f et g sont des fonctions Riemnn-intégrbles sur [, b] et si c CI lors les fonctions f + g et cf sont ussi Riemnn-intégrbles et on Z b (f + g) dx = Z b fdx+ Z b g dx, Z b (cf) dx = c Z b fdx.

144 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION SUR [A, B] 3 ) (Comprison) Si f,g sont Riemnn-intégrbles sur [, b], à vleurs réelles et telles que f pple g sur [, b] lors Z b fdxpple En prticulier, si g 0 sur [, b] lors R b g dx 0. 3) (Sous-intervlles) Soit f une fonction définie sur [, b] et soit c ], b[. Alorsf est Riemnnintégrble sur [, b] si et seulement si elle est Riemnn-intégrble sur [, c] et sur [c, b]. Dns ce cs, on Z b fdx = Z c Z b fdx+ g dx. Z b c fdx. 4) Si f est une fonction Riemnn-intégrble sur [, b], l fonction f est ussi Riemnn-intégrble sur [, b] et on Z b fdx pple Z b f dx. 5) Si f est Riemnn-intégrble sur [, b] lors f est Riemnn-intégrble sur tout intervlle [c, d] [, b] et on lim t! + Z b t f(x) dx = lim t!b Z t f(x) dx = Z b f(x) dx. Preuve. ),),3),4),5) : preuves directes mis qui seront dmises en première lecture. Pour 4), signlons que l réciproque est fusse : l fonction f définie sur [0, ] pr f(x) = en tout rtionnel et f(x) = en tout irrtionnel n est ps Riemnn-intégrble sur [0, ] lors que f l est. Le théorème qui suit, ppelé théorème de l moyenne (pour les intégrles), exprime que l intégrle d une fonction continue et positive sur un intervlle fermé borné [, b] est l ire d un rectngle de bse [, b] et de huteur f(c), pour un réel c convenblement choisi dns l intervlle [, b]. Théorème 4..7 (Théorème de l moyenne) Si f est à vleurs réelles, continu sur [, b] lors il existe c [, b] tel que Z b f(x) dx = (b )f(c). Y c b X Preuve. Si = b, le résultt est immédit. Supposons <b. Comme f est continu sur [, b], il existe 5 m, M [, b] telsque f(m) = inf f(x) f(m) = sup f(x). x[,b] x[,b] On donc Puisque <b, on en déduit que f(m)(b ) pple Z b f(x) dx pple f(m)(b ). f(m) pple b Z b f(x) dx pple f(m). 5. utilistion du théorème des bornes tteintes énoncé précédemment

145 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION SUR [A, B] 33 R Si f(m) = b b R b f(x) dx ou f(m) = b f(x) dx on conclut. Sinon, on f(m) < b Z b f(x) dx < f(m). Pr le théorème des vleurs intermédiires, on obtient l existence de c pprtennt à l intervlle formé pr m et M tel que f(c) = Z b f(x). b D où l conclusion. Signlons que si f est à vleurs réelles et continu sur [, b], on définit l moyenne de f sur [, b] pr le réel Z b f(x) dx. b Le théorème qui suit donne une méthode simple pour clculer l intégrle en utilisnt les primitives. Théorème 4..8 (Intégrtion pr vrition de primitive) Si f est continu sur [, b] lors où F est une primitive de f sur ], b[. Z b f(x) dx = F (b) Preuve. Rppelons d bord que toute primitive de f sur ], b[ dmet des limites finies en, b, notées respectivement F () etf (b) (cf un résultt du chpitre ). Fixons n IN 0 et des points x k ], b[ (k =,...,n ) tels que = x 0 <x <x...<x n <b= x n.onpeutécrire F (b) F () = nx (F (x k ) F (x k nx )) = DF(r k )(x k x k ) = k= nx f(r k )(x k x k ) k= = S( n,f) vec n = {[, x,...,x n,b], (r k ) pplekpplen } où les r k ]x k,x k [ sont obtenus pr le théorème des ccroissements finis. Si on prend lors une suite de découpges {x (n) k :pple k pple n } (n IN 0 )de[, b] dont l lrgeur tend vers 0, on obtient donc Z b On utilise souvent l nottion lim S( n,f)= n!+ f(x) dx = Z b F () k= f(x) dx lim S( n,f)=f (b) n!+ [F ] b pour F (b) F (). F (). Corollire 4..9 Si f est continu 6 sur ], b[ lors pour tout x 0 ], b[ l fonction G définie pr G(t) = Z t x 0 f(x) dx, t ], b[ est une primitive de f sur ], b[ ; c est même l primitive qui s nnule pour t = x si f est continu sur [, b], on peut prendre G(t) = R t f(x) dx

146 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION SUR [A, B] 34 Preuve. Soit F une primitive de f sur ], b[ et soit x 0 ], b[. L fonction F est donc ussi une primitive de f sur l intervlle d extrémités x 0,t quel que soit t ], b[ etf est continu sur l intervlle fermé correspondnt. Vu le théorème précédent, on donc dès lors, Z t x 0 f(x) dx = F (t) F (x 0 ), t ], b[ Z t est une primitive de f sur ], b[ cr F en est une. x 0 f(x) dx, t ], b[ Remrque. L démonstrtion du théorème d intégrtion pr vrition de primitive donnée ci-dessus présente l vntge de se bser sur l définition de l intégrle et du théorème des ccroissements finis uniquement. En première lecture, on peut donc omettre le théorème de l moyenne. Une utre preuve est présentée dns les nnexes. Elle se bse sur le théorème de l moyenne Interpréttions de l intégrle Rppelons que si f est une fonction continue et positive sur [, b] on ppelé ire de l surfce délimitée pr le grphique de f, l xe X et les droites prllèles à Y d équtions x =, x = b, leréel De l même mnière Z b f(x) dx. f c d b Aire hchurée = R c R f(x) dx d c f(x) dx + R b d f(x) dx Y f g b X Aire hchurée = R b (f(x) g(x)) dx Avertissement Dns ce qui suit, fin de générliser isément l notion d intégrle qui vient d être définie 7 nous considérons des fonctions continues sur des intervlles. Cependnt, si f est continu sur I suf en un nombre fini de points, on scinde I (moins les points de discontinuité) en une union finie d intervlles disjoints I,...,I N où f est continu et on étudie l intégrbilité sur chcun de ces intervlles I n. L fonction f est lors dite intégrble sur I si et seulement si elle l est sur chcun des I n et son intégrle sur I est égle à l somme des intégrles sur les I n. 7. les notions d intégrbilité s entendront lors u sens de Lebesgue, ce qui coïncide vec l intégrle de Riemnn dns le cs de fonctions continues sur [, b]

147 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE SUR [A, B[, ]A, B], ]A, B[ Intégrle d une fonction continue sur [, b[, ], b], ], b[ Considérons le cs des intervlles [, b[ ( IR, b IR, ou b =+) ], b] (b IR, IR, ou = ) et ussi des intervlles ], b[, bornés ou non. Supposons que f soit continu sur I =[, b[. Le cs ], b] se trite de même. Le cs des intervlles ouverts se trite en coupnt l intervlle en deux prties. Remrquons d bord que, sous cette hypothèse de continuité, les fonctions f et f sont intégrbles sur l intervlle [, t] quel que soit t pprtennt à [, b[. Cel signifie que Z t f(x) dx et Z t f(x) dx représentent bien des nombres quel que soit t dns [, b[. 4.. Définition lorsque f est de signe constnt sur [, b[ Considérons l fonction F (t) = Z t f(x) dx, t [, b[. Cette fonction étnt monotone sur [, b[ (elle est croissnte si f est positif et décroissnte si f est négtif), elle dmet une limite en b. Deux cs peuvent donc se présenter : soit l limite est finie, soit elle est infinie. Définition 4.. Si on dit que Z t lim t!b f(x) dx est fini ou tout simplement que f est intégrble en b suivnte pour cette limite : lim t!b f est intégrble sur [, b[ Z t si b IR, en + si b =+. Onutiliselorslnottion f(x) dx = Z b f(x) dx. 4.. Introduction u cs où f n est ps de signe constnt sur [, b[ Les comportements des fonctions Z t f(x) dx, t [, b[ peuvent être très di érent, comme nous llons le voir ci-dessous. et Z t f(x) dx, t [, b[ Exemple Pr le grphique suivnt, on donne une fonction f définie et continue sur [0, +[, linéire pr morceux. Montrons que, pour cette fonction, on Z m lim m!+ 0 f(x) dx = + Z m lim m!+ 0 f(x) dx = ln. -/ 3 m m+

148 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE SUR [A, B[, ]A, B], ]A, B[ 36 On, pour tout m IN 0 Z m 0 f(x) dx = mx k= Z k k f(x) dx = mx ( ) k k= k donc (voir les nnexes pour le clcul de cette limite) Z m lim m!+ 0 f(x) dx = lim m!+ k= mx ( ) k k = ln. Cel peut s interpréter de l mnière suivnte : lorsque l on fit l somme de l ire d un tringle situé u-dessus de l xe X puis qu on lui retrnche l ire du tringle suivnt situé sous l xe X et qu on itère ce clcul, on trouve finlement un réel. L représenttion de f est l suivnte / m m+ On, pour tout m IN 0 Z m 0 f(x) dx = mx k= Z k k f(x) dx = mx k= k ln(m + ) (voir les nnexes pour une preuve de l dernière inéglité) donc Z m lim m!+ 0 f(x) dx =+. Cel peut s interpréter de l mnière suivnte : lorsque l on fit l somme infinie des ires des tringles formés pr f on trouve +. Exemple Le second exemple concerne l fonction f(x) = sin x x, x ]0, +[ prolongée continûment en 0 pr. On 8 Z t (i) lim t!+ 0 sin x dx =+ x Z t (ii) lim t!+ 0 sin x dx existe et est fini. x Grphique (en repère orthogonl non normé) de x 7! sin x x, x 7! x à g u c h e e t d ex 7! sin x x, x 7! x à d r o i t e. L interpréttion de ces résultts en termes d ires est nlogue u cs précédent : le résultt (i) signifie que l ire délimitée pr le grphique de l fonction sin x /x (x >0) et l xe X est infinie ; le résultt (ii) signifie que l somme infinie des di érences entre les ires délimitées d une prt pr le 8. Plus trd dns le cours, en étudint les intégrles multiples, on démontr que lim t!+ R t 0 sin x dx = /. x

149 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE SUR [A, B[, ]A, B], ]A, B[ 37 grphique de l fonction sin x/x, x [k, (k + ) ] etx, d utre prt pr le grphique de sin x/x, x [(k + ), (k + ) ] etx est un réel. Pour une preuve de ces résultts, nous renvoyons ux nnexes. On peut ussi trouver des exemples de fonctions pour lesquelles lim t!b Z t f(x) dx n est ps fini et lim t!b Z t f(x) dx =+. Cependnt, on démontre que si lim t!b R t f(x) dx est fini lors lim t!b R t f(x) dx existe et est fini Définition lorsque f n est ps de signe constnt sur [, b[ Comme on vient de le voir dns l introduction, le comportement des intégrles Z t f(x)dx et Z t f(x) dx peut être di érent lorsque t tend vers b. On est lors mené à fire l distinction entre di érentes situtions. Cette distinction est contenue dns les définitions qui suivent. Considérons l fonction F (t) = Z t f(x), t [, b[. Cette fonction étnt croissnte sur [, b[, elle dmet une limite en b. Deux cs peuvent donc se présenter : soit l limite est finie, soit elle est infinie. On introduit lors les définitions suivntes. Définition 4.. Si on dit que Z t lim t!b f(x) dx est fini f est intégrble sur [, b[ ou tout simplement que f est intégrble en b si b IR, en + si b =+. Pr contre, si lim t!b Z t f(x) dx =+ et lim t!b on dit que f dmet une intégrle fléchée en b sur [, b[. Z t f(x) dx existe et est fini On remrque tout de suite que l définition de l intégrbilité dns le cs où f un signe constnt est un cs prticulier de l intégrbilité définie en toute générlité ici. Si les comportements de R t f(x), t [, b[ etder t f(x), t [, b[ peuventêtredi é r e n t s, i l e x i s t e cependnt toujours un lien entre eux comme l énonce l propriété suivnte. Propriété 4..3 Si f est intégrble sur [, b[ c est-à-dire si lors Z t lim t!b Z t lim t!b f(x) dx f(x) dx est fini existe et est fini.

150 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE SUR [A, B[, ]A, B], ]A, B[ 38 Preuve. Résultt dmis. L définition de l intégrle d une fonction f est lors donnée ci-dessous. Définition 4..4 Si f est intégrble sur [, b[ c est-à-dire si Z t lim t!b f(x) dx est fini lors on note et on ppelle ce nombre Z t lim t!b f(x) dx = Z b f(x) dx l intégrle de f sur [, b[. Envisgeons mintennt l utre cs. Définition 4..5 Si lim t!b Z t f(x) dx =+ et lim t!b Z t f(x) dx existe et est fini on dit que On utilise l nottion f dmet une intégrle fléchée en b. Z t lim t!b f(x) dx = Z!b f(x) dx et cette limite est ppelée intégrle fléchée de f en b si b IR en + si b = Remrques et propriétés Remrquons tout de suite que comme f = f lors f est intégrble sur I si et seulement si f est intégrble sur I Cel étnt, rppelons que R t f(x) dx, t ], b[ estuneprimitivedef sur ], b[. ) Remrquons que l définition donne imméditement lieu u résultt suivnt : si f est continu sur R t [, b[ lors lim t!b f(x) dx existe et est fini si et seulement si une (resp. toute) primitive de f sur ], b[ dmet une limite finie en b. ) Remrquons que si f est une fonction qui grde un signe constnt u voisinge de b, lors elle est intégrble en b si et seulement si elle dmet une intégrle fléchée en b. 3) On démontre ussi fcilement que les propriétés de linérité énoncées pour l intégrbilité sur [, b] sont ussi vlbles dns ce cs. On démontre ussi que si f est intégrble sur I lors f est intégrble sur J I. De même, on le résultt suivnt : si f est continu sur I lors f y est intégrble si et seulement si f l est ; dns ce cs on Z Z f(x)dx pple f(x) dx. I I

151 4.. INTÉGRALE D UNE FONCTION CONTINUE SUR [A, B[, ]A, B], ]A, B[ Exemples fondmentux, de référence Nous llons donner ici des exemples fondmentux de fonctions intégrbles (qui seront les fonctions de référence pour les critères d intégrbilité). Proposition 4..6 Soit s IR. L fonction f définie pr f(x) = x s est intégrble sur ]0, ] si et seulement si s< est intégrble sur [, +[ si et seulement si s>. Preuve. On f(x) = f(x) pour tout x>0. On exmine si les limites suivntes sont finies (on sit déjà qu elles existent) Z Z t lim t!0 + t x s dx, lim t!+ x s dx. Pour s =, on comme Z t x dx =ln ln t = ln t, Z t x lim ln t =, lim ln t =+, t!0 + t!+ l fonction /x n est intégrble ni en 0, ni en +. Pour s 6=, comme une primitive de x s sur ]0, +[ est x s+ s, on dx =lnt ln = ln t; Z t s+ t dx = xs s +, Z t x s dx = t s+ s +. Il s ensuit que et que Z lim dx est fini si et seulement si s>0 t!0 + t xs Z t lim dx est fini si et seulement si t!+ xs s<0. Bien sûr, si IR, des résultts nlogues existent pour /(x ) s et pour /( x) s : /(x ) s est intégrble en + si et seulement si s<; /( x) s est intégrble en si et seulement si s<; /(x ) s est intégrble en + si et seulement si s>; /( x) s est intégrble en si et seulement si s>. Voici des représenttions des fonctions f (x) = /x, f (x) = / p x, f 3 (x) = /x (x > 0) ; les grphiques des fonctions f,f 3 sont en pointillés (plus fins pour f ). L interpréttion du résultt précédent est celle-ci : - pour tout >0, l ire comprise sous l courbe de f :]0,]! IR (resp. f :[, +[! IR) est infinie ; - pour tout >0, l ire comprise sous l courbe de f :]0,]! IR (resp. f :[, +[! IR) est finie (resp. infinie) ; - pour tout >0, l ire comprise sous l courbe de f 3 :]0,]! IR (resp. f 3 :[, +[! IR) est infinie (resp. finie).

152 4.3. CRITÈRES D INTÉGRABILITÉ 40 Y X f,f,f 3 sur ]0, +[ 4.3 Critères d intégrbilité Afin de reconnître si une fonction continue sur un intervlle y est intégrble, on dispose des critères suivnts (les preuves sont isées : elles découlent de quelques mnipultions clssiques et des exemples fondmentux ; l propriété 4 découle même directement de l définition). Cependnt, en première lecture, nous considérons que ces résultts sont dmis. Dns ce qui suit, on considère le cs de f continu sur [, b[ ; le cs des intervlles ], b] et], b[ se trite de même. Propriété 4.3. ) Si g est continu et intégrble sur [, b[ et si f(x) pple g(x) sur [, b[ lors f est intégrble sur [, b[. ) Si, b IR, <bet si l limite lim x!b f(x) existe et est finie, lors f dmet un prolongement continu sur [, b] et y est donc intégrble. 3) Si b IR et s il existe C>0, < tels que f(x) pple C sur [, b[ lors f est intégrble sur (b x) [, b[. Cel rrive notmment s il existe < tel que l limite lim x!b f(x) (b x) existe et est finie. 4) Si b =+ et s il existe C>0, > tels que f(x) pple C x sur [, +[ lors f est intégrble sur [, +[. Cel rrive notmment s il existe > tel que l limite lim f(x) x!+ x existe et est finie. 5) Si f grde un signe constnt sur [, b[ et une primitive qui dmet une limite finie en b,lorsf est intégrble sur [, b[. 6) Si b IR et si lors f n est ps intégrble en b. Si b =+ et si lim x!b lors f n est ps intégrble en +. (b x) f(x) existe et di è r e d e 0 lim x f(x) existe et di è r e d e 0 x!+

153 4.4. MÉTHODES D INTÉGRATION Méthodes d intégrtion 4.4. Vrition de primitive Propriété 4.4. Si f est continu et intégrble sur ], b[ lors Z b f(x) dx = lim x!b F (x) lim F (x) x! + pour toute primitive F de f sur ], b[. Preuve. Soit c ], b[. Si F est une primitive de f sur ], b[, vu ce qui précède, on Dès lors, comme pr définition F (t) = Z t c f(x) dx + F (c), t ], b[. on obtient et on conclut. Z b Z b f(x) dx = f(x) dx = lim t! + Z c t f(x) dx + lim t!b Z t c f(x) dx lim t! +(F (t) F (c)) + lim (F (t) F (c)) t!b On utilise souvent l nottion suivnte en lieu et plce de lim x!b F (x) [F ] b lim F (x). x! Intégrtion pr prties Enonçons et démontrons le résultt prtique d intégrtion pr prties. Le cs générl est cité en nnexe (l preuve est nlogue). Propriété 4.4. Si f,g C (], b[) et si fdg et gdf sont intégrbles sur ], b[, lorsfg dmet des limites finies en + et en b et on Z b f(x)dg(x) dx + Z b Df(x)g(x) dx = f(b)g(b) f()g() où on écrit f()g() (resp. f(b)g(b)) u lieu de lim x! + f(x)g(x) (resp. lim x!b Preuve. On donc Z t D(fg)=fDg + gdf f(x)g(x)). f(t)g(t) f(t 0 )g(t 0 )= D x (fg)(x) dx = fdg(x) dx + gdf(x) dx t 0 t 0 t 0 pour tous t, t 0 ], b[. Comme le membre de droite dmet une limite finie si t tend vers b (de même si t 0 tend vers ), on conclut que lim f(t)g(t) t! + et lim f(t 0 )(g(t 0 ) t 0!b existent et sont finies. En pssnt à l définition de l intégrle, on obtient ussi l formule nnoncée. Z t Z t

154 4.4. MÉTHODES D INTÉGRATION Intégrtion pr chngement de vribles Propriété Soit g : ], b[! IR une fonction qui pprtient à C (], b[) et dont l dérivée est strictement positive (resp. négtive) sur ], b[. Posons 0 = lim g(x), b0 = lim g(x). x! + x!b Si f est une fonction définie sur ] 0,b 0 [ (resp. ]b 0, 0 [)lorsf est intégrble sur ] 0,b 0 [ (resp. ]b 0, 0 [)si et seulement fog Dg est intégrble sur ], b[ uquel cs on Z b 0 0 f(x 0 )dx 0 = Z b (fog)(x)dg(x)dx. Preuve. Résultt dmis. Un moyen simple (et qui n est ps rigoureux mis dont l justifiction est justement le résultt cidessus) pour utiliser cette formule consiste à poser x 0 = g(x), à remplcer dx 0 pr Dg(x)dx et à remplcer les bornes d intégrtion de mnière correspondnte ( pour 0 et b pour b 0 ). L di culté de cette méthode consiste à trouver une fonction g qui v permettre de mener à bien les clculs. Définition Une fonction g vec les propriétés énoncées dns l propriété précédente ser ppelée un chngement de vribles entre ], b[ et ] 0,b 0 [ (resp. ]b 0, 0 [) Exemples Bien souvent, on se pose uniquement l question f est-elle intégrble sur ], b[? On commence pr vérifier que f est continu sur I =], b[. Sinon, on scinde l intervlle en une union d intervlles où f est continu (cf vertissement) et on étudie l intégrbilité sur chcun des intervlles où f est continu. Cel étnt, si IR (resp. b IR) et si f est continu en (resp. en b), bien sûr il ne fut regrder l intégrbilité qu en b (resp. ). Il est vriment importnt de vérifier l continuité de f sur ], b[. Pr exemple, pour f =/x sur ], [, il est FAUX d écrire R x =[ /x] = cr l fonction /x n est ps intégrble en 0. D illeurs le résultt est bsurde cr on trouve un nombre négtif ( ) comme vleur de l intégrle d une fonction positive. 0) Montrer que l fonction x 7! ln x est intégrble sur ]0, ] - en utilisnt l défintion de l intégrbilité - en utilisnt les critères d intégrbilité. ) L fonction f(x) = ln(+x) +x est intégrble sur [0, ] cr elle y est continue. ) L fonction f(x) = sin x x p x est intégrble sur ]0, [ (et sur ]0, ]) cr elle est continue sur ]0, ] et p lim xf(x) =. x!0 + 3) L fonction f(x) = ln x +x est intégrble sur ]0, +[ cr elle y est continue et p -lim x!0 + xf(x) =0 -lim x!+ x 3/ x f(x) =lim ln x x!+ +x p x =0 4) Etblir que l fonction ln( + x ) est intégrble sur ]0, +[ et clculer son intégrle.

155 4.5. APPLICATIONS 43 L fonction est continue sur ]0, +[ et on (ppliquer pr exemple le théorème de l Hospitl) p lim x ln( + x!0 + x )=0 lim x!+ x ln( + x )=. Au totl, f est bien intégrble sur ]0, +[. On pplique le résultt d intégrtion pr prties vec f(x) =x et g(x) = ln( + x ). Comme fdg = x +,lfonctionfdg est intégrble sur ]0, +[; il s ensuit que Z + ln( + Z + 0 x )dx = Dfg dx 0 = lim f(x)g(x) x!+ Z + = 0 x + dx = ( lim rctg x x!+ = Z + lim f(x)g(x) + x!0 + 0 x + dx lim rctg x) x!0 + 5) Soient, b IR, <b. Etblir que l fonction p est intégrble sur ], b[ et clculer son (x )(b x) intégrle u moyen du chngement de vribles g(t) = cos t + b sin t. L fonction p est intégrble p sur ], b[ crelleyestcontinueet -lim x! + x f(x) =/ b p p -lim x!b b xf(x) =/ b. L fonction g est indéfiniment continûment dérivble sur IR et Dg(t) =(b )sin(t). Comme Dg(t) > 0pourtoutt ]0, /[ et que g(0) =, g( /) = b, lfonctiong est un chngement de vribles de I 0 = ]0, /[ sur I =], b[. On obtient insi Z b f(x) dx = Z / 0 Z / (fog)(t)dg(t) dt = 0 Z (b )sin(t) / p (b ) sin t cos t dt = dt = Applictions 4.5. Clcul de longueurs de courbes Définition et interpréttion Considérons l représenttion grphique d une fonction f telle que Df existe et soit continu sur [, b]. Considérons une succession de segments de droite qui pprochent l courbe représenttive. Y f x x b X Ces segments sont construits à prtir de points x 0 = <x <x <...<x n <b= x n. L longueur du segment dont les extrémités sont les points du grphique de f dont les bscisses sont x k et x k est l k = p (x k x k ) +(f(x k ) f(x k ))

156 4.5. APPLICATIONS 44 et l somme des longueurs de ces segments est S n = nx l k. Pr ppliction du théorème des ccroissements finis, il existe r k ]x k Dès lors vec S n = k= f(x k ) f(x k )=Df(r k )(x k x k ). nx p +(Df(rk )) (x k x k )= k=,x k [(k =,...,n)telsque nx F (r k )(x k x k ) k= F (x) = p +(Df(x)). Cette fonction F est, pr hypothèse, continue sur [, b]. Si on prend successivement des points t 0,...t n tels que l suite sup k=,...,n (x k x k )(n IN 0 ) converge vers 0, l définition de l intégrle fournit lim S n = n!+ Z b On est insi mené à l définition suivnte. F (x) dx = Z b p +(Df(x)) dt. Définition 4.5. Soit une fonction f dont l dérivée est continue sur [, b]. L longueur de l courbe qui représente f est définie pr Z b p L = +(Df(x)) dx. L définition donnée ci-dessus se générlise u cs où x 7! p +(Df(x)) est une fonction intégrble sur ], b[. Exemple Pr exemple, clculons l longueur d un rc de cercle. Y θ 0 θ x 0 x R X Supposons que l courbe soit une prtie de l représenttion grphique de f(x) = p R Df(x) = x p R x. x.on Si 0, [0, ] sont tels que R cos 0 = x 0, Rcos = x lors L = = Z x x Z 0 x = R x 0 Z x p +(Df(x)) dx R p R x 0 = R ( 0 ). x dx D rcos( x R ) dx = R rcos( x 0 R ) rcos(x R )

157 4.5. APPLICATIONS 45 Si l rc n est ps entièrement compris u-dessus de l xe des X, on juste le clcul. L expression reste correcte. Définition dns le cs générl Dns le cs d une courbe C qui est l représenttion grphique d une fonction f, on écrit C = {(x, f(x)) : x I} et dns ce cs, les points de l courbe sont simplement prmétrés pr les couples (x, f(x)) lorsque x vrie dns l intervlle I. Mis on générlise bien sûr l définition de l longueur dns le cs de courbes qui ne sont ps des représenttions grphiques de fonctions. Ainsi, dns l espce, si on considère l courbe C = {(f (t),f (t),f 3 (t)) : t ], b[} et si t 7! p (Df ) +(Df ) +(Df 3 ) est intégrble sur ], b[ lors l longueur de C est donnée pr L = Z b si ~ f(t) pour composntes f (t),f (t),f 3 (t). p (Df (t)) +(Df (t)) +(Df 3 (t)) dt = Pr exemple, l longueur de l hélice circulire C = {(r cos t, r sin t, Rt) : t [t 0,t ]} Z b kd ~ f(t)k dt est L = Z t t 0 p Z t r sin t + r cos t + R dt = p r + R dt = p r + R (t t 0 ). t On peut e ectuer le clcul de l longueur d un rc de cercle en toute générlité en utilisnt l description suivnte d un rc de cercle : C = {(R cos,rsin ) : [ 0, ]}. Dns ce cs, on L = Z 0 p ( R sin ) +(R cos ) d = R( 0 ).

158 4.5. APPLICATIONS Intégrle sur une courbe (ou intégrle sur un chemin) L nottion hbituelle pour désigner l longueur d une courbe C(ou d un chemin) est 9 Z L = En fit, si g est une fonction continue définie sur l courbe C et si ~ f(t) (t [, b]) est un prmétrge de cette courbe, on définit l intégrle de g sur l courbe C pr Z C g(s) ds = Z b C ds g( ~ f(t)) kd ~ f(t)k dt. L longueur de l courbe correspond donc tout simplement u cs où g = Intégrle curviligne (ou intégrle le long d un chemin ou d une courbe ) Nous tritons ici un cs un peu di érent du précédent. Dns le cs qui précède, les intégrles ne dépendent ps de l orienttion que l on donne à l courbe. Ici, elles en dépendent. On considère une courbe C prmétrée comme expliqué précédemment. Cependnt, fin d lléger les nottions, écrivons f (t) =x(t), f (t) =y(t), f 3 (t) =z(t), t I. On impose (souvent) que l courbe soit régulière (u moins pr morceux), c est-à-dire que les fonctions t 7! x(t),y(t),z(t) sont supposées continûment dérivbles et telles que (Dx(t),Dy(t),Dz(t)) ne soit nul pour ucun t (on dit dns ce cs que l courbe possède un vecteur tngent en chque point). Etnt donné une fonction à vleurs vectorielles F ~ (c est-à-dire l donnée de trois fonctions à vleurs réelles F,F,F 3 ) définie dns un ensemble de l espce contennt l courbe, on peut prfitement considérer l fonction d une vrible réelle, toujours à vleurs vectorielles ~F (t) = F (x(t),y(t),z(t)) F (x(t),y(t),z(t)) F 3 (x(t),y(t),z(t)) ce qui revient à considérer trois fonctions d une vrible réelle, à vleurs réelles. Pour peu que l intégrbilité soit ssurée sur I =[, b] (ou I =], b[), on peut lors considérer l intégrle Z b F (t)dx(t)+f (t)dy(t)+f 3 (t)dz(t) où on utilisé l nottion brégée F j (t) =F j (x(t),y(t),z(t)). Cette intégrle s ppelle l intégrle de ~ F le long de l courbe C, ou plutôt le long du prmétrge (ou du chemin) donné. A dt Il s git en fit de l modélistion d une grndeur physique très importnte : le trvil d une force ~ F qui se déplce le long de l courbe C. Expliquons pourquoi le trvil s exprime pr cette intégrle, prtnt du fit que trvil d une force constnte F ~ qui se déplce d un point P à un point Q est le produit sclire de F ~! vec le vecteur PQ. Si l on imgine que l force F ~ se déplce non plus le long d un segment, mis le long d une courbe (prmétrée pr f(t) ~ =(x(t),y(t),z(t)), t I) et que cette force n est plus constnte mis dépend du point P où elle s pplique (donc du prmètre t), le trvil totl est l l somme du trvil e ectué sur chque petit morceu de courbe, ce qui se modélise pr une somme de Riemnn, donc pr l intégrle 9. s désigne en fit l bscisse curviligne

159 4.5. APPLICATIONS 47 telle que nous l vons présentée dns le chpitre précédent. En e et, considérons des points P k de l courbe, repérés pr les vleurs t k du prmètre (k vrie pr exemple de 0 à n). En utilisnt le théorème des ccroissements finis on trouve x (t k+ ) x(t k )=Dx(s k ) (t k+ t k ) pour une vleur s k du prmètre comprise entre t k et t k+ ; de même bien sûr pour les utres composntes. Cel étnt, on sit que le produit sclire de F ~! (t k )veclevecteurp k P k+ s exprime pr F (t k ) (x(t k+ ) x(t k )) + F (t k ) (y(t k+ ) y(t k )) + F 3 (t k ) (z(t k+ ) z(t k )). En supposnt que ~ F est continu sur l courbe, on considère que ce vecteur est constnt sur le segment 0 joignnt P k à P k+. Ainsi, on ssimile l somme des premiers termes (on fit de même pour les termes reltifs ux utres composntes) à nx nx F (s k ) (x(t k+ ) x(t k )) = F (s k ) Dx(s k )(t k+ t k ), k=0 ce qui est bien une somme de Riemnn telle que présentée u chpitre précédent. En supposnt que l lrgeur des découpges tend vers 0 et en pssnt à l limite sur n, on obtient donc finlement Trvil le long du chemin = nx = lim F (t k ) (x(t k+ ) x(t k )) + F (t k ) (y(t k+ ) y(t k )) + F 3 (t k ) (z(t k+ ) z(t k )) = = n!+ k=0 Z b Z b F (t)dx(t)+f (t)dy(t)+f 3 (t)dz(t)! F (t) D ~ f(t) dt On se rpeller ussi que D f(t), ~ de composntes Dx(t), Dy(t), Dz(t), est le vecteur tngent u chemin considéré, u point prmétré pr t. Les nottions usuelles (souvent on utilise l nottion ~r u lieu de f) ~ sont les suivntes Z b Z b! F (t) D f(t) ~ dt = F (t)dx(t)+f (t)dy(t)+f 3 (t)dz(t) dt Z = F dx + F dy + F 3 dz C Z!! = F d f Z C k=0 dt! 6 F 6! : F 3 P k P k P k+ Y * O - X 0. On peut montrer isément que cette pproximtion se justifie de fçon correcte mthémtiquement

160 4.5. APPLICATIONS Aire d une surfce de révolution Aire ltérle d un tronc de cône Commençons pr clculer l ire ltérle d un cône droit de bse circulire. A 3 dimensions l H r θ Visulistion de l surfce ltérle l rc de cercle de longueur πr=π(r/l)l donc thet=πr/l L ire complète du disque de ryon l est l donc l ire du secteur représenté ci-dessus, c est-à-dire l ire ltérle du cône, est l = rl. Cel étnt, un tronc de cône de longueur d rête l et de sections circulires de ryons r,r peut être vu comme l di érence entre deux cônes, l un d rête L et de bse de ryon r, l utre de longueur d rête L et de bse de ryon r (cf représenttion grphique). l r r l L r r L L ire ltérle S de ce tronc de cône est donc S = (r L r L ). L utilistion de tringles semblbles donne lieu à l églité L r = L r. Il s ensuit qu en utilisnt cel et l = L L, on trouve donc r L r L = r l + r L r L = r l + r L r L =(r + r )l l ire ltérle du tronc de cône d rête l et de bses de ryons r,r est S = (r + r )l. Aire ltérle d une surfce de révolution Soit une fonction f telle que Df existe, soit continue sur [, b] etf 0 sur [, b]. Considérons l surfce obtenue en fisnt tourner l représenttion grphique de f utour de l xe X.

161 4.5. APPLICATIONS 49 Y f Z X Considérons une succession de tronc de cônes (droits, de bses circulires) qui pprochent l surfce. Ces troncs sont construits à prtir de points x 0 = <x <x <...<x n <b= x n. Y Z X x k- x k Pour k fixé, il s git du tronc de cône de longueur d rête égle à l longueur du segment joignnt les points du grphique de f d bscisses x k et x k et de bses de ryons f(x k )etf(x k ). L ire ltérle de ce tronc de cône est donc (f(x k )+f(x k )) p (x k x k ) +(f(x k ) f(x k )). Pr ppliction du théorème des ccroissements finis, il existe r k ]x k,x k [telque f(x k ) f(x k )=Df(r k )(x k x k ). De plus, comme f est continu, f(x k )etf(x k ) sont des réels proches de f(r k ) donc f(x k )+f(x k )estprochedef(r k ). Dès lors, l somme des ires des troncs de cône insi construits est pproximtivement donnée pr vec A n = nx f(r k )(x k x k ) p nx +(Df(r k )) = F (r k )(x k x k ) k= k= F (x) = f(x) p +(Df(x)). Cette fonction F est, pr hypothèse, continue sur [, b]. Si on prend successivement des points x 0,...x n tels que l suite sup k=,...,n (x k x k )(n IN 0 ) converge vers 0, l définition de l intégrle fournit lim A n = n!+ Z b F (x) dx = On est insi mené à l définition suivnte. Z b f(x) p +(Df(x)) dx. Définition 4.5. Soit une fonction f dont l dérivée est continue sur [, b]. L ire ltérle de l surfce obtenue en fisnt tourner le grphique de f utour de X est définie pr S = Z b f(x) p +(Df(x)) dx.

162 4.5. APPLICATIONS 50 Exemples Pr exemple, clculons l ire ltérle de l surfce obtenue en fisnt tourner le grphique de f(x) =x 3, x [0, ], utour de l xe X. Y X On Df(x) =3x donc Comme D( + 9x 4 ) = 36x 3, on Z S = Z 0 x 3p +9x 4 dx. Z pxdx donc S = x 3p +9x 4 dx = 36 Z 0 = 36 x 3p +9x 4 dx = 7 X=+9x 4 p ( + 9x4 ) 3 3 = p ( + 9x4 ) 54 3 hp ( + 9x4 ) 3 i 0 = 7 (p 0 3 ) Quelques clculs de volumes Un cs générl Considérons un corps ynt l description suivnte. Pour tout x [, b], le pln orthogonl à X intersecte l objet selon une surfce d ire A(x). On suppose ussi que A C 0 ([, b]). Considérons une succession de cylindres qui pprochent le volume du corps. Ces cylindres sont construits à prtir de points x 0 = <x <x <...<x n <b= x n. Y b X Pour k fixé, le cylindre k comme volume (x k x k )A(x k ). L somme des volumes des cylindres vut V n = nx (x k x k ) A(x k ). k= Si on prend successivement des points x 0,...x n tels que l suite sup k=,...,n (x k x k )(n IN 0 ) converge vers 0, l définition de l intégrle fournit lim V n = n!+ On est insi mené à l définition suivnte. Z b A(x) dx.

163 4.5. APPLICATIONS 5 Définition Le volume d un corps dont les sections perpendiculires à X, pour x [, b], ont une ire donnée pr A(x), vec A C 0 ([, b]), est défini pr V = Cs du volume d un corps de révolution Z b A(x) dx. Dns le cs où le corps est obtenu en fisnt tourner le grphique d une fonction positive et continue f sur [, b] utour de l xe X, l fonction A(x) est donnée pr Il s ensuit que le volume du corps est égl à A(x) = f (x). V = Z b f (x) dx. On peut insi clculer le volume d un corps de révolution obtenu en fisnt tourner utour d un xe l prtie du pln située entre le grphique de deux fonctions continues f,g sur [, b] : il est égl à Z b f (x) g (x) dx lorsque f g sur [, b]. Exemples ) Clculons le volume d une pyrmide de huteur h et de bse crrée de côté. h Clculons l ire de l surfce obtenue en coupnt l pyrmide pr un pln orthogonl à s huteur. A une distnce z de l bse, on doit donc clculer x. x h z O On utilise les tringles suivnts : (l est l longueur de l rête du tronc de pyrmide, L est l longueur totle de l rête de l pyrmide) h z L l l L x

164 4.5. APPLICATIONS 5 donc On Le volume de cette pyrmide est donc h z h = L l L x = h z h = L l L = x z. h V = h Z h 0 pple (h z) dz = (z h) 3 h 3 h 0 = 3 h. ) Clculons le volume d une boule de ryon R. Plçons le centre de l boule à l origine d un repère orthonormé. L ire de l surfce obtenue en coupnt l boule pr un pln orthogonl à Z à une distnce z de l origine est égl à r (z) oùr(z) = p R z. Ici, on fit vrier z de R à R. Z r(z) R z Y O X On donc V = Z R = r (z) dz = R Z R 0 Z R R (R z ) dz = (R z ) dz pple R z z 3 3 R 0 = (R 3 R 3 3 )=4 3 R L projection (cylindrique conforme) de Merctor Cet exemple est tiré du cours de crtogrphie mthémtique du Professeur J.-P. Donny. Nous renvoyons à cet ouvrge pour de plus mples informtions. Le texte ci-dessous n engge que son uteur. On considère une projection des points de l surfce de l Terre sur un cylindre tngent à l terre à l équteur (projection cylindrique, cs direct). On l suppose telle que, lorsqu on ouvre le cylindre pour en fire un pln, on obtient un qudrillge du pln où les lignes horizontles sont les imges des prllèles et les lignes verticles les imges des méridiens. L ltértion h selon un méridien est donnée pr (' est l ltitude, l longitude, x, y les coordonnées crtésiennes) et l ltértion k selon un prllèle est donnée pr k = h = R D 'y R cos ' D x. L ltértion peut être vue comme une mesure de l vrition entre les di é r e n t e s é c h e l l e s, s u r l T e r r e e t s u r l c r t e

165 4.6. ANNEXES 53 Le principe de l projection de Merctor (dite conforme) demnde en outre que les ltértions (d échelles) soient conservées dns toutes les directions. L projection de Merctor (qui demnde k = h) conduit, à proximité de l équteur, à l reltion suivnte D ' y = cos ' D x = R cos ' cr on considère que x = R à proximité de l équteur (reltion excte à l équteur). On obtient donc que l ordonnée d un point proche de l équteur et dont l ltitude est ', est donnée, sur une crte de Merctor, pr Z ' y(') =R 0 cos u du. Le clcul de cette intégrle peut s e ectuer pr le chngement de vribles On u = g(t) = rctg t et D t g(t) = +t et donc t = g (u) =tg( u ),u ], [. cos u = tg (u/) +tg (u/) Z tg('/) y = R = R 0 Z tg('/) 0 = R ln +t t +t dt t + +t. +tg('/) tg('/) dt Comme tg( + b) = tg +tgb tg tg b et comme ' est petit en module, on obtient finlement y = R ln tg( ' + 4 ). 4.6 Annexes 4.6. Annexe : Deux résultts utiles Propriété 4.6. Pour tout x,,on lim m!+ k= mx ( ) k x k =ln(+x). k En prticulier, on lim m!+ k= mx ( ) k k =ln.. Ce résultt est en fit vlble pour tout x ], ]

166 4.6. ANNEXES 54 Preuve. Ceci se démontre en utilisnt le développement limité de Tylor. L fonction f : t 7! ln( + t) est indéfiniment continûment dérivble sur ] Dès lors, pour tout x> Pour tout m, posons D k k (k )! f(t) =( ) ( + t) k, t >., +[ et et tout m N 0,ilexisteunréelu = u(x, m) compris entre 0 et x tel que f(x) =ln(+x) = mx ( ) k k= k R m = ( )m m + x k + ( )m m + x m+ ( + u) m+. Pour conclure, il su t de prouver que lim m!+ R m =0. Si x est positif, lors u est positif ussi, donc + u ; il s ensuit que R m pple m + Dès lors, si x [0, ], on bien lim m!+ R m = 0. Si x est négtif, lors u x donc R m pple m + Cel étnt, puisque x est négtif, on Il s ensuit que pour x [ donc ussi lim m!+ R m = 0. x m+ xm+ pple ( + u) m+ m +. x m+ pple ( + u) m+ m + x m+ ( + u) m+. x m+ ( + x) m+. x +x pple, x pple +x, pple x. /, 0], on encore R m pple m + Propriété 4.6. Pour tout nturel strictement positif m, on mx ln(m + ). k Preuve. Démontrons d bord que l on k= x ln(x + ) 8x >0. L fonction x 7! f(x) =x ln(x + ) est dérivble sur ], +[ etvérifiedf(x) = pour tout x ]0, +[. Il s ensuit que f est strictement croissnt sur ]0, +[ et, dès lors, x+ = x x+ > 0 f(x) =x ln(x + ) > lim f(y) =0, 8x >0. y!0 + Utilisons ce résultt 3 pour toutes les vleurs x =/k (k N 0 ) : on Il s ensuit que mx k= k k ln( k + ) = ln(k + ) ln k, 8k N 0. mx (ln(k + ) ln k) ln(m + ), 8m N 0. k= 3. Voir ussi Clculus, R.EllisndD.Gulick,994,p.57

167 4.6. ANNEXES Annexe : Définition de l intégrle Remrque : intégrle de Drboux. Si on reprend l exemple d introduction de l intégrle, on se dit qu u lieu de considérer des vleurs de f en des points prticuliers des intervlles [x i,x i+ ], on pourrit tout ussi bien prendre sup x[xi,x i+] f(x) ou de l même mnière l borne inférieure. C est ce que l on fit si l on veut introduire l intégrle dite u sens de Drboux. Plus précisément, on introduit les notions et démontre les résultts suivnts. Soit f une fonction réelle et bornée sur l intervlle [, b]. Pour tout découpge (noté D) = x 0 <x <...<x n <b= x n de [, b] on peut considérer les sommes S + (f,d) = nx sup j= x[x j,x j] f(x) (x j x j ), S (f,d) = nx inf f(x) (x j x j ). x[x j,x j] j= Comme S + (f,d) inf f(x) (b ), S (f,d) pple sup f(x) (b ) x[,b] x[,b] on peut ussi définir D (f [, b]) = sup{s (f,d) :D découpge de [, b]}, D + (f [, b]) = inf{s +(f,d) :D découpge de [, b]}. De plus, on ussi S (f,d ) pple S + (f,d ) quels que soient les découpges D, D de [, b]. Dès lors D (f [, b]) pple D + (f [, b]). On donne lors l définition suivnte : si l fonction f est réelle et bornée sur [, b], elle est Drbouxintégrble sur [, b] sid (f [, b]) = D + (f [, b]) ; ce nombre est lors ppelé l intégrle de Drboux de f sur [, b]. On démontre lors qu une fonction réelle et continue (resp. monotone) sur [, b] est Drbouxintégrble sur cet intervlle. Le résultt lint les intégrles de Riemnn et de Drboux est le suivnt. Une fonction réelle sur [, b] est Riemnn-intégrble sur cet intervlle si et seulement si elle y est bornée et Drboux-intégrble. Dns ce cs, on l églité des intégrles. Remrque : intégrle de Lebesgue. Et en ce qui concerne l intégrle de Lebesgue, on le résultt suivnt, ppelé critère de Riemnnintégrbilité de Lebesgue. Il nécessite l notion d ensemble (Lebesgue-) négligeble (dont les exemples qui seront le plus rencontrés ici sont les ensembles dénombrbles). Une fonction f définie sur [, b] est Riemnn-intégrble si et seulement si elle est bornée sur [, b] et telle que l ensemble des points où elle n est ps continue soit négligeble ; dns ce cs les intégrles de Lebesgue et de Riemnn coïncident Annexe 3 Preuve du théorème d intégrtion pr vrition de primitive se bsnt sur le théorème de l moyenne. Théorème Soit f une fonction continue sur [, b]. L fonction F (t) = est une primitive de f sur ], b[. Z t f(x) dx, t [, b]

168 4.6. ANNEXES 56 Preuve. Soit t ], b[. Nous devons montrer que lim h!0 F (t + h) h F (t) = f(t). On, pour h de module ssez petit F (t + h) F (t) = Z t+h t f(x) dx; pr le théorème de l moyenne, il existe donc c, compris entre t et t + h tel que F (t + h) F (t) = hf(c). Qund h tend vers 0, c tend vers t cr c est toujours entre t et t + h. Vu l continuité de l fonction f, on donc lim h!0 f(c) =f(t) d où lim h!0 F (t + h) h F (t) =lim h!0 f(c) =f(t). Théorème (Intégrtion pr vrition de primitive) Si f est continu sur [, b] lors Z b f(x) dx = F (b) F () où F est une primitive de f sur ], b[. Preuve. Vu le résultt précédent, si F est une primitive de f sur ], b[, lors il existe une constnte r telle que Z t f(x) dx = F (t)+r, t ], b[. Il s ensuit que F dmet une limite finie en + et en b, dont l vleur est notée F (),F(b) respectivement. Cel étnt on obtient r = F () cr R f(x) dx = 0 donc Z b f(x) dx = F (b)+r = F (b) F () Annexe 4 On Preuve. Pour t Z t (i) lim t!+ 0 0, posons sin x dx =+ x F (t) = Z t 0 Z t sin x (ii) lim t!+ 0 x dx =. sin x dx. x Démontrons (i). L fonction F (t)(t 0) est une fonction croissnte sur [0, +[ ; elle dmet donc une limite en +. Pour trouver cette limite, il su t donc de clculer lim m!+ F (m ) =lim m!+ 0 x R m sin x dx.

169 4.6. ANNEXES Pour tout nturel m on F (m ) = = Z m 0 mx k=0 sin x dx = x Z (k+) k sin x x Z 0 dx sin x x Z m sin x dx (m ) x dx et, si k <xpple (k + ), on x (k+),(k IN). Dès lors F (m ) = mx k=0 Z (k+) k sin x x dx mx k=0 Z (k+) k sin x (k + ) dx. Pour tout nturel k, on R (k+) sin x dx = donc k F (m ) mx k=0 Z (k+) k m sin x (k + ) dx X k + k=0 ln(m + ) (voir nnexe pour l dernière inéglité). D où l conclusion. Pour (ii), nous renvoyons à l seconde prtie du cours (utilistion de l intégrtion à plusieurs vribles) Annexe 5 : critère d intégrtion pr prties Propriété Si f et g sont des fonctions qui pprtiennent à C (], b[) et si deux des trois ssertions suivntes sont vérifiées - l fonction fdg dmet une intégrle fléchée en + et en b - l fonction gdf dmet une intégrle fléchée en + et en b - l fonction fg dmet une limite finie en + et en b lors l troisième est vérifiée et on Z!b f(x)dg(x) dx + Z!b!! Df(x)g(x) dx = lim x!b f(x)g(x) lim f(x)g(x). x! + Preuve. Elle est nlogue à celle e ectuée dns le cs prtique Annexe 6 : l formule intégrle de Tylor On peut donner une formultion intégrle du développement de Tylor ; elle consiste à exprimer le reste à l ide d une intégrle. Cette expression peut se révéler très utile dns plusieurs cdres de l nlyse.

170 4.6. ANNEXES 58 Propriété Soient, b IR, <b, p IN 0 et soit f une fonction qui pprtient à C p (], b[) telle que 4 D k f C 0 ([, b]) pour tout k =0,...,p.On f(b) = Xp k=0 (b ) k Z D k f() + (b ) p k! Preuve. L preuve s e ectue pr récurrence sur p. En prticulier, pour p =, successivement, cette formule s écrit 0 ( x) p (D p f) +x(b ) dx. (p )! f(b) =f()+(b ) Z (Df) +x(b 0 ) dx Z f(b) =f()+(b )Df()+(b ) ( x)(d f) +x(b ) dx ce qui signifie que les dérivées de f sur ], b[ dmettentunprolongementcontinusur[, b]; le prolongement est noté de l même mnière que l fonction

171 Chpitre 5 Equtions di érentielles 5. Introduction Les équtions di érentielles interviennent dns toutes les disciplines des sciences. Elles permettent de trduire, de modéliser des phénomènes (de physique, de chimie, d océnogrphie, d évolution de popultion, de finnce, d ssurnce,...) et d obtenir, de prévoir des réponses. Si l inconnue (l réponse cherchée) est modélisée pr une fonction f définie sur une prtie de IR, le phénomène à décrire fit souvent intervenir non seulement f, mis ussi ses dérivées (vitesse, tux d ccroissement,...) d ordre,...,p. Une éqution di érentielle est une reltion lint l inconnue f et ses dérivées. Résoudre l éqution, c est trouver f et un intervlle ouvert I, telsquef soit p fois dérivble sur I et vérifie l reltion demndée sur I. L fonction f est lors bien sûr ppelée solution de l éqution sur I. Pr exemple, l éqution Dxf(x)+ x D xf(x)+ x f(x) =0 où est un nombre donné et où l fonction inconnue est f est une éqution di érentielle que l on rencontre beucoup. Elle porte le nom d éqution de Bessel et ses solutions sont ppelées fonctions de Bessel. L éqution précédente est une éqution di érentielle d ordre (cr des dérivées secondes pprissent) linéire (cr une combinison linéire de solutions est encore solution) à coe cients non constnts (les coe cients devnt les dérivées de l inconnue f sont des fonctions). Mis un type d éqution, plus simple à résoudre, pprît ussi fréquemment dns une première pproche des phénomènes physiques, chimiques, biologiques. Il s git d équtions di érentielles linéires à coe cients constnts. Ce chpitre présente notmment l théorie de ce type d équtions pour l ordre et. Le but essentiel est de montrer que toutes les fonctions d un certin type sont solutions de ces équtions, mis ussi et surtout de prouver que toutes les solutions sont de ce type! On s ttche ussi à montrer que sous certines conditions (dites initiles), l solution d une éqution di érentielle est unique!, ce qui est essentiel pour l description de phénomènes. Voici quelques utres exemples. Mouvement d une msse ttchée u bout d un ressort Nous renvoyons u cours de physique pour l expliction et l modélistion de ce mouvement. Nous ne donnons ici que l éqution qui régit ce mouvement. Dns ce qui suit, t est l vrible (le temps), f représente le déplcement du point P de msse m. Fixe. Chngement de vribles et séprtion de vribles dns l éqution ux dérivées prtielles de Lplce. P 59

172 5.. INTRODUCTION 60 Mouvement hrmonique simple du ressort : D f(t)+ k f(t) =0 m où m est l msse ttchée u ressort, k l constnte de rideur du ressort (k >0). Mouvement hrmonique morti : D f(t)+ Df(t)+ k f(t) =0 m m où m est l msse ttchée u ressort, k l constnte de rideur du ressort (k >0), d mortissement ( > 0). Mouvement entretenu : l constnte D f(t)+ m Df(t)+ k m f(t) =F 0 m cos(! 0t) où m est l msse ttchée, k l constnte de rideur du ressort, l constnte d mortissement et où F (t) =F 0 cos(! 0 t) est une force extérieure ppliquée u ressort. Vrition de popultion Considérons pr exemple une popultion de cellules dns une culture. Supposons qu une cellule donne nissnce à une cellule supplémentire toutes les s 0 secondes et que les cellules ne meurent ps. En h seconde(s), une cellule donne donc nissnce à h/s 0 cellules. Soit P (t) le nombre de cellules à l instnt t. Si h est petit, on peut donc considérer que l ccroissement de popultion (c est-à-dire P (t + h) P (t)) est donné pr L popultion vérifie donc l reltion P (t + h) P (t) =P (t) h s 0. lim h!0 P (t + h) h P (t) = P (t) s 0 c est-à-dire DP(t) = s 0 P (t). Pour terminer cette introduction, citons un utre exemple simple d éqution di érentielle. Il s git d une éqution rencontrée dns l étude du gel de l eu d un lc 3 ; cette fois elle n est plus linéire à coefficients constnts. ir eu gelée eu non gelée z temp. θ temp. 0 Soit z(t) l épisseur de l couche de glce à l instnt t. Si le système est sous crctéristiques thermiques constntes, on Flux de chleur = Q = K 0 z. Si F est l force extérieure (fonction du temps), elle peut se développer, sous de fibles hypothèses, en une série trigonométrique de Fourier c est-à-dire, sous forme réelle, en une somme de deux séries, l une fisnt pprître des sin(! nt), l utre des cos(! nt). Pr linérité, il su tdoncdeconsidéreruneseulefonctionsinusetcosinus;c estlrisonpourlquelle on pris cette forme pour F dns l exemple 3. Wilson A.G, Kirbly M.G., Mthemtics for geogrphers nd plners, ClrendonPressOxford975

173 5.. EDLCC 6 où K est une constnte thermique. Cette perte d énergie v provoquer l solidifiction de l eu (c est-à-dire z v ugmenter u cours du temps) selon l loi D t z(t) = Q L où L est l chleur ltente dns l trnsformtion. Dès lors, on obtient que le système est régi pr l éqution D t z(t) = K L z dont on donner une méthode de résolution plus loin. 5. Equtions di érentielles linéires à coe cients constnts (en brégé EDLCC) d ordre et 5.. Définitions Il s git d équtions di érentielles qui s écrivent D x f(x)+bf(x) =g(x) (ordre ) D f(x)+bdf(x)+cf(x) =g(x) (ordre ) où, b, c sont des constntes complexes, où 6= 0 et où g est une fonction continue sur un intervlle ouvert I de IR. Lorsque g =0 on dit que l éqution est homogène. Etnt donné une éqution générle d ordre ou, on dir que l même éqution, mis vec le second membre g égl à 0, est l éqution homogène ssociée à l éqution de déprt. L propriété ci-dessous justifie l ppelltion linéire de ce type d équtions. Propriété 5.. Si f,f sont solutions de l éqution homogène () (ou ()) et si r, s sont des complexes, lors l fonction rf + sf est ussi solution de l même éqution. Preuve. Considérons le cs de l éqution d ordre. L ordre se trite de même. On D(rf (x)+sf (x)) + b(rf (x)+sf (x)) = r(df (x)+bf (x)) + s(df (x)+bf (x)) = r.0+s.0 = Forme générle des solutions Proposition 5.. Soit f 0 une solution de l éqution générle d ordre (resp. d ordre ) encdrée cidessus. Si f est une solution de l même éqution, lors f f 0 est une solution de l éqution homogène ssociée. Réciproquement, si h est une solution de l éqution homogène ssociée, lors l fonction f = f 0 + h est solution de l même éqution que f 0.

174 5.. EDLCC 6 Preuve. Considérons le cs de l éqution d ordre. Celui de l éqution d ordre est tout à fit nlogue. D une prt, si f 0 et f sont solutions de l éqution générle d ordre lors D (f(x) f 0 (x)) + bd(f(x) f 0 (x)) + c(f(x) f 0 (x)) = D f(x) D f 0 (x)+bdf(x) bdf 0 (x)+cf(x) cf 0 (x) = D f(x)+bdf(x)+cf(x) D f 0 (x)+bdf 0 (x)+cf 0 (x) = g(x) g(x) = 0 D utre prt, si h est une solution de l éqution homogène, on D (f 0 (x)+h(x)) + bd(f 0 (x)+h(x)) + c(f 0 (x)+h(x)) = D f 0 (x)+d h(x)+bdf 0 (x)+bdh(x)+cf 0 (x)+ch(x) = D f 0 (x)+bdf 0 (x)+cf 0 (x)+ D h(x)+bdh(x)+ch(x) = g(x)+0 = g(x) 5..3 Solutions de l éqution homogène d ordre Nous llons donner l ensemble des solutions de l éqution homogène d ordre. Théorème 5..3 L ensemble des solutions de l éqution homogène d ordre Df + bf =0 (, b CI,6= 0) est l ensemble des fonctions définies sur IR qui s écrivent f(x) =ce où c est une constnte rbitrire complexe. Si, b sont réels et si on cherche uniquement les solutions réelles de l éqution, on ne prendr que c IR. b x Preuve. Si f est solution sur I, lors F (x) =exp( b x)f(x) vérifie DF(x) = b exp( b x)f(x)+exp(b x)df(x) =exp(b x) b f(x) b f(x) =0. Il s ensuit 4 qu il existe une constnte c telle que c = F (x) =exp( b x)f(x), x I donc b f(x) =c exp( x), x I. Réciproquement, on vérifie directement qu une telle fonction est toujours solution. En e et : donc D(c exp( D exp( b b x)) + b(c exp( b x)= b exp( b x) x)) = cb exp( b b x)+cb exp( x)=0. 4. Le résultt démontré dns le cdre des fonctions à vleurs réelles est ussi vlble dns le cdre des fonctions à vleurs complexes (l même démonstrtion convient)

175 5.. EDLCC 63 Remrquons que le coe cient qui pprît dns l exponentielle de l solution, à svoir b/, estl solution de l éqution z + b =0 ppelée ssociée à l éqution di érentielle Df + bf = 0. est ppelé ssocié à l éqution di érentielle. éqution crctéristique Le polynôme z + b polynôme crctéristique Théorème 5..4 On considère l éqution homogène Df(x)+bf(x) =0où, b CI,6= 0. Soit x 0 IR et soit un complexe u 0. L éqution Df(x) +bf(x) =0dmet une solution unique vérifint f(x 0 )=u 0. Preuve. On cherche c tel que f(x 0 )=u 0 vec f(x) =ce b x. Le complexe c = u 0 e b x0 convient. Supposons mintennt que f et f 0 soient deux solutions de l éqution vérifint f(x 0 )=f 0 (x 0 )=u 0. Alors F = f f 0 est encore solution de l éqution et s nnule en x 0 ; il existe donc c CI t e l q u e F (x) =ce b x et 0 = ce b x0 ; dès lors c = 0 donc F = f f 0 = 0. A titre d exemple, déterminons les solutions des équtions homogènes d ordre suivntes : () 3Df(x)+f(x) =0, () idf(x)+ f(x) =0. Solution. () L éqution crctéristique ssociée est 3z + = 0 ; elle dmet comme unique solution le réel l ensemble des solutions de l éqution 3Df(x) +f(x) =0estl ensembledesfonctionsquis écrivent /3. Il s ensuit que f(x) =ce 3 x, c CI. () L éqution crctéristique ssociée est iz + = 0 ; elle dmet comme unique solution le complexe i. L ensemble des solutions de l éqution () est donc l ensemble des fonctions qui s écrivent f(x) =ce i x,c CI Solutions de l éqution homogène d ordre Zéros d un polynôme du second degré Rppelons le résultt suivnt, démontré dns le chpitre. Propriété 5..5 Le polynôme P (z) =z + bz + c où, b, c sont des complexes et 6= 0dmet toujours deux zéros (deux zéros distincts de multiplicité ou un zéro de multiplicité ). Si, b, c sont réels, et si b 4c < 0 lors les zéros sont des complexes conjugués. Rppelons ussi l forme de ces zéros : si on définit = b 4c et si z 0 est un complexe qui vérifie z0 =, lors les zéros sont donnés pr b + z 0, b z 0.

176 5.. EDLCC 64 Solutions de l éqution homogène (cs générl) Considérons l éqution D f + bdf + cf =0 vec, b, c complexes, 6= 0. Le polynôme z + bz + c est ppelé polynôme crctéristique ssocié à l éqution di érentielle et l éqution z + bz + c =0 est ppelée éqution crctéristique ssociée à l éqution di érentielle. On pose = b 4c et on désigne pr z,z les zéros du polynôme crctéristique. Théorème 5..6 Lorsque = 0,onz = z = b/() ; l ensemble des solutions de l éqution homogène d ordre est l ensemble des fonctions qui s écrivent b f(x) =(c x + c )e x, x IR où c,c sont des constntes complexes rbitrires. Lorsque 6= 0,onz 6= z ; l ensemble des solutions de l éqution homogène d ordre est l ensemble des fonctions qui s écrivent f(x) =c e zx + c e zx, x IR où c,c sont des constntes complexes rbitrires. b Preuve. Cs =0. Posons u (x) =xe x b et u (x) =e x. D une prt, montrons que les fonctions u (x) etu (x) sont des solutions. Pr l propriété 5.., l fonction f(x) =c u (x)+c u (x) (c,c CI ) est donc églement solution. Posons z 0 = b.on donc Du (x) =e z0x + z 0 xe z0x, D u (x) =z 0 e z0x + z 0xe z0x, Du (x) =z 0 e z0x, D u (x) =z 0e z0x D u (x)+bdu (x)+cu (x) = ( b + b 4 x + b b x + cx) ez0x = 0 D u (x)+bdu (x)+cu (x) = ( b b + c) ez0x 4 = 0 cr b =4c. D utre prt, montrons que si f est une fonction deux fois dérivble sur un intervlle ouvert I de IR qui vérifie D f(x)+bdf(x)+cf(x) = 0 lors il existe des constntes c,c telles que f(x) =c u (x)+c u (x), x I (donc f est en fit ussi défini sur IR).

177 5.. EDLCC 65 Définissons F (x) =e b x f(x). Cette fonction est deux fois dérivble sur I et on, en utilisnt l formule de Leibniz et b =4c : D F (x) = b 4 e b x f(x)+ b e b x Df(x)+e b x D f(x) c = f(x)+ b Df(x)+D f(x) e b x = cf(x)+bdf(x)+d f(x) e b x = 0. Dès lors, il existe une constnte c telle que DF(x) =c, x I donc D(F (x) c x)=0, x I. Il s ensuit qu il existe encore une constnte c telle que F (x) c x = c, x I. Finlement, comme f(x) = e b x F (x), on f(x) =(c x + c )e b x = c u (x)+c u (x). Cs 6= 0. Posons u (x) =e zx et u (x) =e zx. D une prt, montrons que u et u sont des solutions de l éqution. Pr l propriété 5.., l fonction f(x) =c u (x)+c u (x) (c,c CI ) est donc églement solution. E ectuons le clcul pour u ; l utre cs est le même. On Du (x) =z u (x), D u (x) =zu (x) donc D u (x)+bdu (x)+cu (x) =(z + bz + c) u (x) =0 cr z est solution de l éqution crctéristique. D utre prt, montrons que si f est une fonction deux fois dérivble sur un intervlle ouvert I de IR qui vérifie D f(x)+bdf(x)+cf(x) = 0 lors il existe des constntes c,c telles que f(x) =c u (x)+c u (x), x I (donc f est en fit ussi défini sur IR). On peut écrire f sous l forme suivnte : Posons On f(x) = z z (Df(x) z f(x)) z z (Df(x) z f(x)), x I. f (x) =Df(x) z f(x), f (x) =Df(x) z f(x). Df (x) z f (x) = D f(x) z Df(x) z Df(x)+z z f(x) = D f(x)+ b Df(x)+ c f(x) = 0 Df (x) z f (x) = D f(x) z Df(x) z Df(x)+z z f(x) = D f(x)+ b Df(x)+ c f(x) = 0. En utilisnt le résultt reltif ux solutions des équtions homogènes d ordre, on obtient donc qu il existe des constntes c 0,c 0 telles que f (x) =c 0 e zx, f (x) =c 0 e zx.

178 5.. EDLCC 66 Finlement, f(x) = z f (x) z z z f (x) = c0 z z e zx + c0 z z e zx = c e zx + c e zx. Solutions de l éqution homogène dns le cs où lescoefficientssontréels Lorsque, b, c sont réels, = b 4c est positif ou négtif. S il est positif, lors z et z sont réels. S il est négtif, on vu que les zéros z,z de P (z) =z + bz + c sont complexes conjugués. Il s ensuit que les combinisons linéires de e zx et e zx vont s écrire comme combinisons linéires de deux fonctions fisnt intervenir les fonctions sinus et cosinus prises en le même rgument. Propriété 5..7 Supposons, b, c IR. Si = b 4c > 0 lors l ensemble des solutions réelles de l éqution homogène d ordre est l ensemble des fonctions qui s écrivent f(x) =r e zx + r e zx où r,r sont des constntes réelles rbitrires. Si = b 4c = 0 lors l ensemble des solutions réelles de l éqution homogène d ordre est l ensemble des fonctions qui s écrivent b x + r e f(x) =r xe où r,r sont des constntes réelles rbitrires. Si = b 4c < 0 lors l ensemble des solutions réelles de l éqution homogène d ordre est l ensemble des fonctions qui s écrivent f(x) =e b x r cos( p x)+r sin( p x) où r,r sont des constntes réelles rbitrires. Preuve. Le cs correspondnt à > 0 est immédit à prtir du Théorème Lorsque < 0, les zéros du polynôme crctéristique sont z = b p + i, z = z. Il s ensuit que l ensemble des solutions de l éqution homogène est l ensemble des fonctions qui s écrivent (en reprennt l forme donnée pr le Théorème 5..6) f(x) = c e b x e i p = (c + c )e b x cos( x + c e b x e i p p b x x x) +i(c c )e b x sin( p x) où c,c sont des constntes complexes rbitrires. De fçon équivlente on obtient l forme f(x) =c 0 e b x cos( p x) +c0 e b x sin( p x) où c 0,c 0 sont des constntes complexes rbitrires. Qund on ne considère que les solutions réelles, on ne doit prendre que des constntes réelles dns cette expression. Définition 5..8 On ppelle solutions fondmentles (ou bse de solutions) de l éqution homogène D f + bdf + cf =0(, b, c CI,6= 0) des fonctions u,u définies et deux fois dérivbles sur IR qui sont solutions de l éqution et qui sont telles que toute utre solution de l éqution s écrive comme une somme de multiples de ces fonctions.

179 5.. EDLCC 67 b Pr exemple, dns le cs = 0, les fonctions u (x) =e x b,u (x) =xe x sont des solutions fondmentles de l éqution homogène. Dns le cs 6= 0, les fonctions u (x) =e zx,u (x) =e zx sont des solutions fondmentles de l éqution homogène. Lorsque z = ir, z = ir vec r IR, les fonctions u (x) = cos(rx),u (x) =sin(rx) sont ussi des solutions fondmentles de l éqution homogène. Remrque. Pour tous réels r,r il existe des réels A, ' tels que r = A sin ', r = A cos '. Les solutions ci-dessus peuvent donc ussi s écrire p p f(x) = e b A x sin ' cos( x)+a cos ' sin( x) p = Ae b x sin ' + x où A, ' sont des constntes réelles rbitrires. Unicité Théorème 5..9 On considère l éqution homogène d ordre D f(x)+bdf(x)+cf(x) =0 (, b, c CI,6= 0). Soit x 0 IR et soient deux complexes d et d. Dns chcun des cs cités précédemment (cs =0 et 6= 0), il existe une solution unique f telle que f(x 0 )=d et Df(x 0 )=d. En prticulier, l fonction nulle est l seule qui vérifie f(x 0 )=0,Df(x 0 )=0. Preuve. Notons u,u des solutions fondmentles de l éqution homogène d ordre. Démontrons l unicité : soient f et f 0 des solutions de l éqution homogène vérifint f(x 0 )=f 0 (x 0 )= d et Df(x 0 ) = Df 0 (x 0 ) = d. Dès lors F = f f 0 est solution de l éqution homogène et vérifie F (x 0 )=0,DF(x 0 ) = 0. Il existe insi des constntes c,c telles que F (x) =c u (x)+c u (x) vec c u (x 0 )+c u (x 0 )=0 c Du (x 0 )+c Du (x 0 )=0. Il s git d un système de deux équtions linéires à deux inconnues, homogène. Après quelques clculs, on trouve que l unique solution est c = c = 0 ; dès lors F est nul et finlement f = f 0. L démonstrtion de l existence s e ectue de l même mnière : on doit trouver c,c tels que c u (x 0 )+c u (x 0 )=d c Du (x 0 )+c Du (x 0 )=d ; l fonction f = c u + c u répondr donc à l question. Et en e et, le système ci-dessus dmet bien une solution (unique) cr il s git d un système de Crmer (vu ce qui été dit dns le cs de l unicité). Exemples ) Déterminer l ensemble des solutions des équtions homogènes d ordre suivntes () D f(x)+df(x)+f(x) =0, () D f(x)+idf(x) =0. Solution. () Cette éqution est homogène d ordre. L éqution crctéristique ssociée est z +z +=(z + ) = 0 ; elle dmet l solution double. L ensemble des solutions de l éqution () est donc {c xe x + c e x : c,c CI};

180 5.. EDLCC 68 l ensemble des solutions réelles est {c xe x + c e x : c,c IR}. () Cette éqution est homogène d ordre. L éqution crctéristique ssociée est z +iz = 0 ; elle dmet les solutions 0 et i. L ensembledessolutionsdel éqution()estdonc {c + c e ix : c,c CI}. Résolvons complètement les équtions di érentielles linéires à coe l introduction. ) DP(t) = s 0 P (t). cients constnts données dns Solution. Cette éqution est homogène d ordre. L éqution crctéristique est z s = 0. L ensemble des solutions est donc 0 {ce s 0 t : c C}. 3) Considérons le cs de l oscillteur hrmonique simple, à svoir l éqution D f(t)+ k f(t) =0 m vec k, m > 0. C est une éqution homogène. L éqution crctéristique ssociée est z + k m =0. Comme k/m est strictement positif, on peut écrire k m =! vec! = p k/m > 0ppeléfréquence propre de l oscillteur. Les zéros du polynôme crctéristique sont donc z = i! z = i!. Finlement, l ensemble des solutions réelles de l éqution est l ensemble des fonctions qui s écrivent f(t) =r cos(!t) +r sin(!t) où r,r sont des constntes réelles rbitrires, ou encore l ensemble des fonctions où A, ' sont des constntes réelles rbitrires. f(t) =A sin(!t + ') Voici une représenttion de f(t) =A sin(!t + ') (poura =,! =3, ' =, sur l intervlle [0, 5]). Y X 3) Considérons le cs de l oscillteur hrmonique morti 5, c est-à-dire l éqution D f(t)+ Df(t)+ k f(t) =0 m m 5. Ce cs se présente pr exemple si le point mtériel lié u ressort est contrint de se déplcer dns un milieu fluide.

181 5.. EDLCC 69 vec k, m, > 0. C est une éqution homogène. L éqution crctéristique ssociée est z + m z + k m =0. Posons! = p k/m et = m 4!.Plusieurscssontàenvisger: Lorsque < 0c est-à-direlorsque m <! (on prle d mortissement fible), les zéros du polynôme crctéristique sont L solution générle de l éqution s écrit donc z = m + i p, z = z. f(t) =e m t (r cos( t) +r sin( t)), r,r IR ou encore vec f(t) =e m t A sin( t + '), = p. A,' IR On constte donc que le mouvement est une oscilltion (présence du sinus) dont l mplitude décroît exponentiellement u cours du temps (présence de l exponentielle décroissnte). Lorsque > 0c est-à-direlorsque m >! (on prle d mortissement fort), les zéros du polynôme crctéristique sont L solution générle de l éqution s écrit donc z = + p p, z =. m m f(t) =r e z t + r e z t = e m t (r e t + r e t ), r,r IR vec = p. Comme z et z sont strictement négtifs, le mouvement n est plus une oscilltion mis est simplement morti u cours du temps. Lorsque =0c est-à-direlorsque m =! (on prle d mortissement critique), les zéros du polynôme crctéristique sont L solution générle de l éqution s écrit donc z = z = m =!. f(t) =(r + r t)e!t, r,r IR. Comme dns le cs précédent, le mouvement est simplement morti u cours du temps, sns oscilltion. Ae m t, Voici une représenttion de f(t) = Ae m t sin(!t + ') (poura =,! = 3, ' =, Ae m t sur le même intervlle. /m =, sur l intervlle [0, 5]) et de Y X 4) Pour le mouvement entretenu, à svoir pour l éqution D f(t)+ Df(t)+ k m m f(t) =F 0 m cos(! 0t) où k, m > 0 et 0, nous consttons que nous devons ussi trouver une solution prticulière cr l éqution n est ps homogène. Des méthodes pour trouver une telle solution font l objet d une des sections suivntes. L résolution de l éqution homogène déjà été fite : il s git en e et de l exemple précédent. C est dns ce cs que peuvent pprître des phénomènes de résonnce.

182 5.. EDLCC Solutions de l éqution non homogène d ordre Remrques importntes ) Si les coe cients de l éqution sont réels, si g = RG et si F vérifie D x F (x)+bf (x) =G(x), x I lors f = RF vérifie D x f(x)+bf(x) =g(x), x I. On peut ussi procéder de même vec l prtie imginire. ) Si le second membre g s écrit g = g g J,etsif,...,f J sont respectivement des solutions de l éqution vec second membre g,...,g J, lors l fonction f = f f J est une solution prticulière de l éqution vec second membre g. Méthode générle : l vrition des constntes Proposition 5..0 Soit l éqution di érentielle (d ordre ) Df(x)+bf(x) =g(x), où, b CI, 6= 0et g est continu sur un intervlle ouvert I. Pour tout x I, désignons pr C(x) l solution 6 de l éqution C(x)e b x = g(x). Si P est une primitive de C sur I lors les solutions de l éqution di érentielle s écrivent où c est une constnte rbitrire. (P (x)+c) e b x, x I Preuve. Pour toute constnte c, l fonction f(x) =(P (x)+c) e b x est e ectivement dérivble sur I et donc Df(x) = g(x) b e b x (P (x)+c) = g(x) b f(x) Df(x)+bf(x) =g(x), x I. Réciproquement, toute solution est de cette forme. En e et, une solution est une somme d une solution prticulière et d une solution de l éqution homogène. Dès lors, comme l fonction P (x)e b/x, x I, est une solution prticulière de l éqution, on conclut. Méthode lorsque le second membre est une fonction exponentielle polynôme Lorsque le second membre g est une fonction qui s écrit comme le produit d un polynôme pr une exponentielle e x, il existe toujours une solution qui une forme semblble. 6. On ppelle cette méthode l vrition des constntes (ici en fit, de l constnte) cr elle consiste à exprimer, à prtir de l solution générle de l éqution homogène f(x) =ce (b/)x,lconstntec comme une fonction (de x).

183 5.. EDLCC 7 Propriété 5.. Soit l éqution Df(x)+bf(x) =P (x)e x vec, b CI, 6= 0, P polynôme et CI. Si 6=, il existe un polynôme Q de même degré que celui de P tel que b f(x) =Q(x)e x vérifie l éqution non homogène. Si =, il existe un polynôme Q de même degré que celui de P tel que b f(x) =xq(x)e b x vérifie l éqution non homogène. Preuve. Résultt dmis. Unicité Le résultt d existence et d unicité qui suit est fondmentl cr il permet d rmer que si l évolution d un système est gouvernée pr une éqution di érentielle de type étudié ici, lors l évolution s e ectue de mnière unique une fois que l on déterminé l condition initile. Théorème 5.. On considère l éqution Df(x)+bf(x) =g(x) où, b CI,6= 0et g C 0 (I). Soit x 0 I et soit un complexe u 0. L éqution Df(x) +bf(x) =g(x) dmet une solution unique vérifint f(x 0 )=u 0. Preuve. Notons f une solution prticulière de cette éqution. On cherche c tel que f(x 0 )=u 0 vec f(x) =f (x)+ce b x. Le complexe c =(u 0 f (x 0 ))e b x0 convient. Supposons mintennt que f et f 0 soient deux solutions de l éqution vérifint f(x 0 )=f 0 (x 0 )=u 0. Alors F = f f 0 est solution de l éqution homogène et s nnule en x 0 ; il existe donc c CI t e l q u e F (x) =ce b x et 0 = ce b x0 ; dès lors c = 0 donc F = f f 0 = 0. Exemples Déterminer l ensemble des solutions des équtions suivntes () Df(x)+f(x) = +e x, () Df(x)+f(x) =xex. Solution. () L éqution crctéristique est z + = 0 ; le réel est l unique solution. L ensemble des solutions de l éqution homogène est donc {ce x : c CI}. Cherchons à présent une solution prticulière. L fonction g(x) = est continue sur IR ; déterminons une primitive sur IR e x + de l fonction ex e x + :lfonctionln(+ex )convient. Il s ensuit que l ensemble des solutions de l éqution () est l ensemble des fonctions définies sur IR n o e x c + ln(e x + ) : c C. () L éqution crctéristique est z + = 0 ; le réel est l unique solution. L ensemble des solutions de l éqution homogène est donc {ce x : c CI}. Le second membre xe x = xe.x est une fonction exponentielle polynôme. Comme n est ps solution de l éqution crctéristique et que x est un polynôme de degré, on sit qu il existe une solution prticulière de l forme f(x) =(Ax + B)e x.ilfut mintennt déterminer A, B. On Df(x) =Ae x +(Ax + B)e x =(A + B + Ax)e x donc si et seulement si Df +f = xe x A + B + Ax +Ax +B = x

184 5.. EDLCC 7 ou encore si et seulement si A +3B =0 3A =. Ce système fournit les solutions A = 3 et B = 9. Finlement, l ensemble des solutions de () est ce x + 3 x e x : c CI Solutions de l éqution non homogène d ordre Les méthodes de l ordre s dptent ussi ux équtions d ordre. Les mêmes remrques préliminires peuvent ussi être fites. Méthode générle : l vrition des constntes Proposition 5..3 Soit l éqution di érentielle (d ordre ) D f(x)+bdf(x)+cf(x) =g(x), où, b, c CI,6= 0et g est continu sur un intervlle ouvert I. Notonsu,u des solutions fondmentles de cette éqution. Soient C,C les fonctions de x I uniques solutions 7 continues du système (en fit un système d équtions linéires pour chque x I) C (x)u (x)+c (x)u (x) = 0 C (x)du (x)+c (x)d x u (x) = g(x). Si P,P désignent deux primitives respectivement de C,C lors les solutions de l éqution di érentielle s écrivent (P (x)+c )) u (x)+(p (x)+c ) u (x), x I où c,c CI. Preuve. Nous dmettrons 8 l existence et l continuité des fonctions C,C. Cel étnt, démontrons que pour toutes constntes c,c, l fonction f(x) =(P (x)+c )) u (x)+(p (x)+c ) u (x), x I, est bien solution de l éqution non homogène. Cette fonction est, pr construction, dérivble sur I et on Df(x) = C (x)u (x)+(p (x)+c )Du (x)+c (x)u (x)+(p (x)+c )Du (x) = (P (x)+c )Du (x)+(p (x)+c )Du (x). L fonction Df est donc encore dérivble sur I et on D f(x) = C (x)du (x)+(p (x)+c )D u (x)+c (x)du (x)+(p (x)+c )D u (x) = g(x) +(P (x)+c )D u (x)+(p (x)+c )D u (x). 7. On ppelle cette méthode l vrition des constntes cr elle consiste à exprimer, à prtir de l solution générle de l éqution homogène f(x) =c e z x + c e z x ou f(x) =c xe z x + c e z x,lesconstntesc,c comme des fonctions (de x). 8. En fit, il su tderésoudreexplicitement,pourtoutx I, cesystèmededeuxéqutionslinéiresàdeuxinconnues.

185 5.. EDLCC 73 Dès lors D f(x)+bdf(x)+cf(x) = g(x) +(P (x)+c )D u (x)+(p (x)+c )D u (x) + b ((P (x)+c )Du (x)+(p (x)+c )Du (x)) + c (P (x)+c ) u (x)+(p (x)+c ) u (x)) = g(x)+(p (x)+c )(D u (x)+bdu (x)+cu (x)) = g(x). +(P (x)+c )(D u (x)+bdu (x)+cu (x)) Réciproquement, une solution est nécessirement une fonction de ce type. En e et, une telle fonction est l somme d une solution prticulière et d une solution de l éqution homogène. Comme une solution prticulière s écrit (vu ce qui précède) P (x)u (x)+p (x)u (x), x I, et comme les solutions de l éqution homogène s écrivent c u (x)+c (x)u (x), x IR, on conclut. Méthode lorsque le second membre est une fonction exponentielle polynôme. Lorsque le second membre g est une fonction qui s écrit comme le produit d un polynôme pr une exponentielle e x, il existe toujours une solution qui une forme semblble. Propriété 5..4 Soit l éqution D f(x)+bdf(x)+cf(x) =P (x)e x vec, b, c CI, 6= 0, P polynôme et CI. Si n est ps un zéro du polynôme crctéristique, il existe un polynôme Q de même degré que celui de P tel que f(x) =Q(x)e x vérifie l éqution non homogène. Si est un zéro simple du polynôme crctéristique, il existe un polynôme Q de même degré que celui de P tel que f(x) =xq(x)e x vérifie l éqution non homogène. Si est un zéro double du polynôme crctéristique, il existe un polynôme Q de même degré que celui de P tel que f(x) =x Q(x)e x vérifie l éqution non homogène. Preuve. Résultt dmis. Unicité Le résultt d existence et d unicité qui suit est fondmentl cr il permet d rmer que si l évolution d un système est gouvernée pr une éqution di érentielle de type étudié ici, lors l évolution s e ectue de mnière unique une fois que l on déterminé les conditions initiles. Théorème 5..5 On considère l éqution d ordre D f(x)+bdf(x)+cf(x) =g(x) (, b, c CI,6= 0, g C 0 (I)). Soit x 0 I et soient deux complexes d et d. Il existe une solution unique f de l éqution telle que f(x 0 )=d et Df(x 0 )=d.

186 5.. EDLCC 74 Preuve. Unicité. Si f,f sont deux solutions sur I qui vérifient les conditions initiles, lors l fonction h(x) =f (x) f (x) est solution de l éqution homogène sur I et vérifie les conditions initiles h(x 0 )= 0,Dh(x 0 ) = 0. Vu le résultt reltif à l unicité des solutions dns le cs homogène, on conclut que f = f sur I. Existence. Soit f 0 une solution de l éqution (son existence est ssurée pr le résultt reltif à l méthode de vrition des constntes). Vu le résultt reltif à l existence des solutions de l éqution homogène vérifint des conditions initiles, il existe une solution h de l éqution homogène vérifint h(x 0 )=d f 0 (x 0 ),Dh(x 0 )=d Df 0 (x 0 ). Il s ensuit que l fonction f = f 0 + h remplit les conditions de l énoncé : c est une solution de l éqution qui possède les conditions initiles demndées. Exemples ) Déterminer l ensemble des solutions réelles de l éqution D f(x)+df(x) =3. Rechercher ensuite l solution qui vérifie f(0) = 0, Df(0) =. ) On commence pr résoudre complètement l éqution homogène D f(x) +Df(x) =0. Le polynôme crctéristique de cette éqution est z + z ;seszérossontdonc0et. L ensemble des solutions réelles de l éqution homogène est donc l ensemble des fonctions f(x) =r + r e x où r,r sont des constntes réelles rbitrires. b) Une solution prticulière de l éqution s obtient ici directement : on voit imméditement que f(x) =3x vérifie D f(x) + Df(x) =3. Si on ne voit ps imméditement cette solution, on peut procéder comme suit. Le second membre est une exponentielle polynôme ; l exponentielle qui intervient est exp(0x). Comme 0 est un zéro simple du polynôme crctéristique, il existe donc une solution prticulière qui s écrit f(x) = Ax où A est une constnte à déterminer. On Df(x) = A, D f(x) = 0 donc f vérifie l éqution si et seulement si A = 3 et on trouve finlement qu une solution prticulière est donnée pr f(x) =3x. c) L ensemble des solutions réelles de l éqution D f(x) +Df(x) =3estdoncl ensembledesfonctionsquis écrivent f(x) =r + r e x +3x où r,r sont des constntes réelles rbitrires. d) Cherchons lors f(x) =r + r e x +3x qui vérifie f(0) = 0 et Df(0) =. On f(0) = r + r et Df(0) = r + 3. Il s ensuit que f répond ux conditions si et seulement si r + r =0 et r +3=. On trouve r =etr = donc l fonction qui répond à l dernière question est f(x) = +e x +3x, x IR. ) Déterminer l ensemble des solutions réelles de l éqution D f(x)+f(x) =sinx, x IR. ) On commence pr résoudre l éqution homogène D f + f = 0. L éqution crctéristique ssociée est z + = 0. Elle dmet donc comme solutions les complexes i et l ensemble des solutions complexes de cette éqution est i. Ils ensuitque et que l ensemble des solutions réelles est {c e ix + c e ix : c,c CI} = {c cos x + c sin x : c,c CI} {c cos x + c sin x : c,c IR}. b) Déterminons une solution prticulière sur IR (cr le second membre est défini et continu sur IR). Comme l éqution est à coe cients réels et que sin x = =(e ix ), une solution prticulière ser fournie pr l prtie imginire d une solution prticulière de l éqution D f(x) +f(x) =e ix. Le second membre de cette dernière éqution étnt l exponentielle polynôme.e ix, i é t n t z é r o d u p o l y n ô m e c r c t é r i s t i q u e, o n sit qu une solution prticulière est du type f(x) =Axe ix. On D f(x) =Aie ix Axe ix donc D f(x) +f(x) =e ix

187 5.. EDLCC 75 si et seulement si c est-à-dire si et seulement si ia Ax + Ax = A = i. Il s ensuit que l fonction =( i xeix )= x cos x est solution prticulière de l éqution de déprt. Finlement, l ensemble des solutions de D f(x) +f(x) =sinx est l ensemble des fonctions et que l ensemble des solutions réelles est { x cos x + c cos x + c sin x : c,c CI} { x cos x + c cos x + c sin x : c,c IR}. 3) Déterminer l ensemble des solutions réelles de l éqution D f(x)+f(x) =, x ] /, /[. cos x Solution. ) On commence pr résoudre l éqution homogène D f + f = 0. L éqution crctéristique ssociée est z + = 0. Elle dmet donc comme solutions les complexes i et l ensemble des solutions complexes de cette éqution est i. Ils ensuitque et que l ensemble des solutions réelles est {c e ix + c e ix : c,c CI} = {c cos x + c sin x : c,c CI} {c cos x + c sin x : c,c IR}. b) Pr l méthode de vrition des constntes, cherchons une solution prticulière. Pour tout x ] /, /[, résolvons le système C(x)cosx + C (x)sinx =0 C sin x + C cos x = cos x. Si x 6= 0, en multiplint l première éqution pr sin x et l seconde pr cos x, puis en dditionnnt les deux, on trouve donc C(x) = C (x)cosx + C (x)sinx =0 C (x) =, C (x) = tg x. Pour x = 0, on trouve C (x) =0,C (x) =,cequipeutêtreécritussisouslformeprécédente. Cel étnt, une primitive de C sur IR est x, etuneprimitivedec (x) sur] /, /[ est ln(cos x). Il s ensuit que l ensemble des solutions réelles de l éqution D f(x)+f(x) = cos x définies sur ] /, /[ est l ensemble des fonctions {ln(cos x) cosx + x sin x + c cos x + c sin x : c,c IR}. 4) Reprenons l exemple de l oscillteur entretenu c est--dire de l éqution D f(t)+ m Df(t)+ k m f(t) =F 0 m cos(! 0t). Recherchons une solution prticulière de cette éqution. Cette éqution est une éqution à coe réels et le second membre g(t) = F 0 m cos(! 0t) est l prtie réelle de cients G(t) = F 0 m ei!0t. Si 6= 0, l prtie réelle des zéros du polynôme crctéristique est non nulle ; i! 0 n est donc ps zéro du polynôme crctéristique. Si = 0, on = 4k/m < 0 ; les zéros du polynôme crctéristique sont i! et i! (où! = p k/m). Dès lors, plusieurs cs se présentent.

188 5.. EDLCC 76 Cs 6= 0. Cherchons une solution prticulière F de l éqution D F (t) + DF(t) + k F (t) =G(t) m m sous l forme où c est une constnte à déterminer. On F (t) =ce i! 0 t DF(t) =ci! 0e i! 0 t, D F (t) = c! 0 ei! 0 t donc D F (t) + m DF(t) + k m F (t) =ei! 0 t ( c! 0 + ci!0 m + c! ). Dès lors D F (t) + m DF(t) + k m F (t) =G(t) sietseulementsi F 0 m = c! 0 + ci!0 m + c! = c(!! 0 + i!0 m ) donc si et seulement si L fonction c = F0 m!! 0 i! 0 m. (!! 0 ) +! 0 m f(t) =R(F (t)) = R(ce i! 0 t )=Rc cos(! 0t) Ic sin(! 0t) est donc une solution prticulière du problème de déprt. Cs = 0. Deux cs se présentent. er cs :! =! 0. Cherchons une solution prticulière F de l éqution D F (t) + k F (t) =G(t) m sous l forme F (t) =cte i! 0 t = cte i!t où c est une constnte à déterminer. On D F (t) = ct! e i!t +ci!e i!t donc Dès lors on D F (t) + k m F (t) =ei!t ( ct! +ci! +! ct) =ci!e i!t. D F (t) + k F (t) =G(t) m si et seulement si donc si et seulement si L fonction ci! = F0 m c = i F0 m!. f(t) =R(F (t)) = R(cte i!t )= est donc une solution prticulière de l éqution de déprt. ème cs :! 6=! 0. Cherchons une solution prticulière F de l éqution F0 m! t sin(!t) D F (t) + k F (t) =G(t) m sous l forme F (t) =ce i! 0 t où c est une constnte à déterminer. On D F (t) = c! 0 ei! 0 t donc Dès lors on D F (t) + k m F (t) =ei! 0 t ( c! 0 + k m c)=ei! 0 t c(! 0 +! ). D F (t) + k F (t) =G(t) m

189 5.3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES À COEFFICIENTS CONSTANTS 77 si et seulement si L fonction c = F 0 m(!! 0 ) f(t) =R(F (t)) = R(ce i! 0 t F 0 )= m(!! 0 ) cos(!0t) est donc une solution prticulière de l éqution de déprt. Signlons que l on voit pprître ici (c est-à-dire dns l exemple de l oscillteur entretenu) des phénomènes de résonnce. Pr exemple, lorsque = 0 (c est-à-dire qund on ne tient ps compte de l mortissement de l oscillteur) et! =! 0,lsolution l plus générle de l éqution est Lorsque t est grnd, f se comporte donc comme f(t) = F0 t sin(!t) +c cos(!t) +c sin(!t). m! f A (t) = F0 m! t sin(!t); insi, l mplitude du mouvement, à svoir l fonction F 0 m! t croît proportionnellement u temps. C est ce qu on ppelle un phénomène de résonnce. Lorsque 6= 0, un phénomène de résonnce pprît églement lorsque l mortissement est reltivement fible ( petit devnt!). Après un certin temps (près lequel l solution de l éqution homogène devient négligeble pr rpport à l solution prticulière), on obtient un mximum de l mplitude du mouvement pour une donnée extérieure! 0 = p! /m. De plus mples détils et explictions peuvent être trouvés notmment dns le livre Mécnique rtionnelle, R. Simon, ULg, Editions Derouux. 5.3 Equtions di érentielles linéires à coe cients constnts Il s git d équtions du type p D p f(x)+ p D p f(x)+...+ Df(x)+ 0 f(x) =g(x) où p est un nturel strictement positif, g est une fonction donnée, continue sur un intervlle ouvert I de IR, où les j (j =0,...,p) sont des constntes complexes vec p 6=0etoùf est l inconnue (fonction p fois continûment dérivble sur I). C est l générlistion nturelle des équtions d ordre et que nous vons tritées dns l section précédente. Ici encore, on crctérise complètement l ensemble des solutions. Ici ussi, les solutions s écrivent f = f 0 + f H où f 0 est une solution prticulière de l éqution et où f H est l solution l plus générle de l éqution homogène (f H dépend ici de p constntes). On démontre encore que l ensemble des solutions de l éqution homogène est formé des combinisons linéires de fonctions exponentielle-polynôme et qu il existe toujours une solution à l éqution. 5.4 Quelques utres équtions et exemples Pour les équtions qui ne sont ps linéires à coe cients constnts, les démonstrtions de théorèmes d existence et d unicité de solutions sortent du cdre de ce cours. Signlons simplement et formellement que, loclement, une éqution d ordre dmet des solutions qui dépendent d un prmètre, une éqution d ordre dmet des solutions qui dépendent de deux prmètres,... Dns ce qui suit, pour lléger l présenttion, nous omettons d écrire les domines de définition des di érentes fonctions Equtions à second membre sépré ) Il s git d équtions di érentielles qui s écrivent D x f = F (x) G(f(x))

190 5.4. QUELQUES AUTRES ÉQUATIONS ET EXEMPLES 78 où les fonctions sont à vleurs réelles. Méthode de résolution. -SiG(y 0 ) = 0 lors f(x) =y 0 (sur l intervlle où est défini F ) est une solution. -Sif est une solution sur I telle que G(f(x)) 6= 0 pour tout x I lors Dxf(x) comme on obtient Z Z D x f(x) G(f(x)) = D x ( G(u) du u=f(x) = Z G(u) du) u=f(x) F (x)dx + C, x I G(f(x)) vec C IR. Si G 0 (u) := R G(u) du et F 0 est une primitive de F sur I, cette reltion s écrit Si G 0 est bijectif, lors G 0 (f(x)) = F 0 (x), x I. f(x) =G 0 (F 0(x)), x I. = F (x) pour x I ; Réciproquement, si G 0 est une primitive de /G, estbijectif,etsif 0 est une primitive de F, lors f(x) =G 0 (F 0(x)), x I convient. En conclusion, on doit donc trouver f en fonction de x à prtir de l églité vec C IR. ) Exemples Z G(f) df = Exemple. Considérons l éqution di érentielle Z F (x)dx + C, x I v(x)d x v(x) = gr (R + x). Cette éqution est en fit l reltion que vérifie l vitesse v d un engin sptil. Plus précisément, v est l vitesse de l engin évluée comme fonction de l distnce de cet engin pr rpport à l surfce de l Terre (distnce notée x), R est le ryon de l Terre et g est l grvité à l surfce de l Terre ; si on ne considère que les forces grvittionnelles (et ps le frottement de l ir), l vitesse de l engin vérifie l éqution ci-dessus. On i) Pour résoudre cette éqution, on doit exprimer v en fonction de x à prtir de Z vdv = Z gr dx + C. (R + x) (v(x)) = gr x + R + C où C est une constnte réelle rbitrire. On obtient lors v en fonction de x en prennt l rcine crrée du second membre ou son opposé. ii) Considérons mintennt le cs où l vitesse de l engin est initilement de kms pr seconde (43.00kms/h), initilement signifint à l surfce de l Terre. Dns ce cs on obtient =gr + C

191 5.4. QUELQUES AUTRES ÉQUATIONS ET EXEMPLES 79 donc C = 44 On constte donc que gr et finlement, si on considère l vitesse positive, r r gr grx v(x) = + 44 gr = 44 x + R R + x. lim v(x) =p 44 x!+ ce qui donne, en tennt compte des vleurs de g et de R (g ' 9, kms/s, R ' 6, kms), gr lim v(x) ' 4.4 (kms/s). x!+ Exemple. Reprenons l éqution introduite u début du chpitre, à propos du gel. L inconnue z(t) vérifie l éqution D t z = K L z. Supposons que soit une fonction de t (l tempérture extérieure à l eu évolue). Il s git d une éqution à second membre sépré. Pour l résoudre, on doit trouver z en fonction de t à prtir de Z zdz = K Z (t) dt + C. L On z = K L Z (t) dt + C et on extrit z à prtir de là, une fois et C connus (l fonction est donnée pr le problème, c est-à-dire est l expression de l vrition de l tempérture extérieure ; C est donné pr l condition initile) Equtions homogènes ) Il s git d équtions di érentielles qui s écrivent D x f = F ( f(x) x ) Méthode de résolution. -SiF (y) =y (donc F (f/x) =f/x) lors on est dns le cs d une éqution à second membre sépré. - En toute générlité, on introduit l fonction uxiliire h(x) = f(x)/x. L éqution devient lors qui est une éqution à second membre sépré. D x h(x) = F (h) x h ) Pr exemple, résolvons l éqution Df(x) = x + f(x). x C est une éqution homogène cr elle s écrit Df(x) =F (f/x) vecf (y) =+y. Posons h(x) = f(x)/x et résolvons l éqution On directement donc f(x) = x(ln( x ) + C). D x h(x) = F (h) h = x x. h(x) =ln( x )+C

192 5.4. QUELQUES AUTRES ÉQUATIONS ET EXEMPLES Equtions linéires du premier ordre ) Il s git d équtions di érentielles qui s écrivent D x f + b(x)f(x) =g(x) où b et g sont des fonctions données et continues sur un intervlle ouvert I de IR. Ce cs est l générlistion des équtions di érentielles linéires à coe cients constnts d ordre rencontré uprvnt et se trite de mnière nlogue ; en prticulier, l solution générle est l somme entre une solution prticulière et l solution générle de l éqution homogène. Méthode de résolution. On démontre directement (cf le cs des équtions à coe cients constnts) que l solution générle de l éqution ci-dessus est Z f(x) =e B(x) g(x)e B(x) dx + C où B(x) est une primitive de b(x) sur I et où C est une constnte rbitrire. ) Pr exemple, résolvons l éqution Sur ]0, +[ (ou sur ] xdf(x)+f(x) =x 3., 0[), cette éqution s écrit Df(x)+ f(x) =x x donc l solution générle est f(x) =e ln( x ) Z x e ln( x ) dx + C. En e ectunt les clculs on obtient f(x) = Z x x dx + C x = Z x 3 dx + C 0 x où C est une constnte rbitrire. = x3 4 + C0 x Equtions d Euler d ordre Il s git d équtions di érentielles qui s écrivent x D xf + bxd x f + cf(x) =g(x) où b, c sont des constntes, g est une fonction continue sur un intervlle ouvert I =]r, R[ deir,vec R>r>0. Méthode de résolution. En fit, cette méthode consiste à se rmener à une éqution différentielle linéire à coefficients constnts d ordre Si f est solution de cette éqution lors, pour tout y I 0 vec I 0 =] 0,b 0 [, 0 =lim y!r ln y, b 0 =lim y!r ln y, on e y (D f) x=e y + be y (Df) x=e y + cf(e y )=g(e y ). Définissons F (y) =f(e y ), y I 0. On lors D y F (y) =e y (D x f) x=e y, D F (y) =e y (D xf) x=e y + e y (D x f) x=e y

193 5.4. QUELQUES AUTRES ÉQUATIONS ET EXEMPLES 8 donc F est solution de l éqution di érentielle linéire à coe cients constnts d ordre suivnte D F (y)+(b )DF(y)+cF (y) =G(y) où G(y) =g(e y ). Réciproquement, si F est solution de l éqution précédente sur I 0 lors f(x) =F (ln x) est solution de l éqution sur I Quelques utres exemples Exemple Un câble (inflexible) est ttché en deux points A, B et est soumis à l seule force de grvité. On montre que l courbe qu il forme est le grphique de f où f est solution de l éqution di érentielle du second ordre D f(x) =c p +(Df(x)) où c est une constnte strictement positive qui dépend de l msse du câble et de l tension en A, B. Représenter l courbe formée pr le câble. Résolution complète de ce problème. Si f(x),x I est une solution du problème, lors F (x) =Df(x),x I est solution de l éqution du premier ordre q DF(x) =c +F (x). On donc c = DF(x) p +F (x), x I. L primitivtion du second membre pr substitution x 0 = F (x) conduitàdéterminer Z dx 0 p x 0 +. Après quelques clculs, on obtient qu il existe c IR tel que F (x) = (exp(cx + c) exp( cx c)), x I Dès lors il existe c IR tel que f(x) =c + (exp(cx + c) + exp( cx c)), x I. c Réciproquement, pour tous c,c IR, l fonction f(x) =c + c (exp(cx + c) + exp( cx c)), x IR est solution du problème. Ces fonctions sont ppelées chînettes ; Y X Exemple Dns certines conditions, pr ppliction de l loi de Kirchho en électricité, on LD t I + RI = V (t) où R est l résistnce, L l inductnce, V le voltge d un circuit électrique fermé et I l intensité du cournt électrique à trvers le circuit. Cette éqution est une éqution linéire du premier ordre. Si on considère que L et R sont des constntes, on obtient une éqution di érentielle à coe cients constnts qu il est isé de résoudre.

194 5.4. QUELQUES AUTRES ÉQUATIONS ET EXEMPLES 8 Exemple 3 Evolution d une popultion-présence de fcteurs limitnts. Dns l nture, l ccroissement d une popultion est modulée pr l disponibilité des ressources limentires, pr l prédtion, pr les fcteurs du milieu. Tous ces éléments peuvent voir un e et défvorble sur l croissnce de l popultion et fire vrier les tux de ntlité et de mortlité. C est ce que l on ppelle fcteurs limitnts. Un modèle lrgement utilisé en écologie se présente comme suit (modèle de Verhulst, 838). Comme présenté ci-dessus, on se plce dns le cs où une présence de divers fcteurs (fcteurs limitnts ), trduisnt l résistnce du milieu, v modifier le tux d ccroissement de l popultion, pr exemple en diminunt l ntlité et en ugmentnt l mortlité. Notons N(t) l popultion u temps t, N 0 l popultion initile, K son e ectif mximum dns le milieu (K est encore ppelé cpcité biotique du milieu ) et r une constnte strictement positive reltive à l espèce considérée (r est ppelé tux d ccroissement intrinsèque 9 ). Le modèle propose que le tux de croissnce R de l popultion dns le cdre étudié prenne en compte l cpcité biotique mximle qui est fonction des fcteurs limitnts du milieu. D près ce modèle, le tux de croissnce réel R est donné pr R = r N. K On constte que ce modèle rend compte du fit que lorsque N est petit, R est proche de r et que qund N est proche de K, R est proche de 0. L vitesse D t N(t) d ccroissement de l popultion est lors donnée pr D t N(t) =R(t) N(t) =r N(t) K N(t). Il s git d une éqution di érentielle du premier ordre, non linéire, dont l séprtion de l inconnue N et de l vrible t utorise une résolution rigoureuse (voir dns une des sections qui précède : Eqution à second membre sépré ). Après quelques développements, on trouve insi que l solution de cette éqution, tennt compte de l condition initile (l popultion vut N 0 u déprt, c est-à-dire ici pour t = 0), est donnée pr vec N(t) = K +c 0 e rt, t 0 c 0 = K N 0 N 0. Voici plusieurs représenttions de N, l diversité étnt liée ux di érentes vleurs considérées pour c 0. Y X 9. il s git du coe cient multiplicteur de l popultion à chque génértion s il n y ucune contrinte du milieu sur l évolution de l densité de popultion

195 5.4. QUELQUES AUTRES ÉQUATIONS ET EXEMPLES 83 Cette éqution et ses solutions sont lrgement exploitées dns des cours d écologie (notmment). Dns le cdre du cours de mth, nous étudierons ces fonctions N selon plusieurs spects mthémtiques, qui ont leur trduction spécifique pour l biologie ; les limites, croissnce, concvité, extrem, etc, seront discutés, notmment en fonction de l vleur de c 0 (donc des données du mileu). Résolution. Comme cette éqution est à second membre sépré, les solutions N peuvent être obtenues en procédnt comme suit. On Z t vec 0 N(s) DN(s) N(s) K ds = Il s ensuit que N est donné pr l reltion ou encore pr ln Z t 0 DN(s) N(s) = lnn(t) ln N(t) N(t) K N(t) C 0 =ln N(t) K! = C 0 + = N 0 + /K N 0 N 0 K N 0 K Z t 0 N(t) K!. N(s) K DN(s)! C 0 =ln rds= C 0 + rt e rt, t 0 On en déduit l expression explicite de N suivnte, vec c 0 = K N(t) = N0 N 0 K +c 0 e rt, t 0 Discussion. L dérivée de N est l vitesse d ccroissement de l e ectif. On N(t) N (t) DN(t) = r N(t) =r N(t) K K D N(t) N(t) = r DN(t) =r N(t) N K K ds N(t) N(t) K! N(t) K et comme 0 <N(t) <Kquel que soit t, cette expression ne peut s nnuler que lorsque N(t) =K c est-à-dire lorsque t = K r ln. N 0 N(t) Cette vleur est positive si et seulement si K N 0. Notons-l t 0. Comme K < 0 lorsque t<t 0 N(t) et K > 0 lorsque t>t 0, on bien un temps t 0 uquel l vitesse d ccroissement de l e ectif est mximle, pour utnt que K N 0. Lorsque K<N 0, D N est toujours strictement négtif pour des temps positifs, donc l vitesse d ccroissement DN est strictement décroissnte. Y 6 C X