MATHEMATIQUES GENERALES partim A

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1 Fculté des Sciences MATHEMATIQUES GENERALES prtim A Première nnée de bchelier en Biologie, Chimie, Géogrphie, Géologie, Physique et Informtique, Philosophie Année cdémique Frnçoise BASTIN

2 Introduction u cours Mthémtiques générles, prtim A Aperçu générl du cours Composntes indispensbles de l boîte à outils des sciences, les mthémtiques sont présentes prtout. Un cours de mthémtiques générles ssurnt une formtion de bse solide en connissnces se révèle donc indispensble dns le cursus d un futur scientifique. Mis u-delà de l pprentissge de l outil et des techniques d utilistion, c est ussi une formtion à l esprit critique, à l rigueur, à l nlyse et synthèse dont il est question. Dns cette optique, le cours de mthémtiques du premier qudrimestre du premier bchelier en sciences ser conscré à l présenttion des notions de bse qu il est indispensble de connître pour ppréhender plusieurs spects des cours de sciences dns des conditions optimles. Bien sûr, il ne s gir ps uniquement de donner des recettes ; il ser question ussi de démrches logiques et rigoureuses permettnt de comprendre, reconnître, utiliser et ppliquer les notions et résultts fondmentux : comprendre, nlyser pour mieux gérer et progresser. Il ser notmment question des thèmes suivnts : Rppels introductifs Nombres réels et complexes, équtions du er degré et du second degré Vecteurs Droites, coniques Cercle trigonométrique (fonctions trigonométriques) Produits sclire et vectoriel Limites, continuité, dérivtion, primitivtion Fonctions élémentires (propriétés générles, en fonction des notions précédentes) Clcul intégrl, pplictions (longueurs de courbes, intégrles le long de courbes,...) Equtions di érentielles. Ces thèmes seront enseignés vec une structure invitnt à fire les ponts vec les utres cours de sciences, en prticulier vec le cours de physique. Objectifs du cours En bref, le cours s rticule utour de deux objectifs principux : d une prt fournir les outils et techniques de bse de l nlyse réelle et de l lgèbre linéire utilisés régulièrement dns les études en sciences ; d utre prt mener à un pprentissge de l rigueur, de l précision, de l esprit critique, de l esprit d nlyse et de synthèse. Ce sont donc à l fois connissnces et démrches scientifiques dont il ser question. Pre-requis Aucune formtion ou connissnce spécifique n est requise. L formtion de bse en mthémtique de l enseignement secondire permet d border le cours dns de bonnes conditions. Cependnt, dès le début de l nnée, il est indispensble que l étudint remédie ux éventuelles lcunes qui serient décelées dns ses connissnces, que ce soit u niveu mtière ou u niveu méthode de trvil et utoévlution. Des tests, des sénces de mise à niveu et de remédition sont orgnisés à cette fin ; il importe cependnt que chque étudint pprenne à se prendre en chrge rpidement et utilise donc fructueusement les ctivités mises en plce pour l ider à l trnsition secondire-université. Pr illeurs, des rppels de bse de mtières de l enseignement secondire ont été rédigés pr Mdme Crsborn, ssistnt pédgogique. L dresse http :// y donne ccès. Bien sûr, une bonne connissnce de l lngue est indispensble pour comprendre, trnsmettre et communiquer orlement et pr écrit.

3 Le contrt pédgogique ou enggements réciproques Du côté des enseignnts. Chque nnée, tout enseignnt est tenu de décrire l mnière dont il orgnise ses cours dns une rubrique ppelée enggements pédgogiques. Le texte de cette rubrique est repris dns le Journl de bord et on le trouve églement dns le progrmme des cours (version ppier et version électronique). Ces enggements pédgogiques reflètent l esprit du cours et détillent les spects fondmentux de son orgnistion. Ils constituent un chier des chrges que l enseignnt s engge à tenir envers l étudint pour ssurer s formtion et le guider dns son trvil en vue de l réussite. Et plus spécifiquement...du côté des encdrnts pour le cours de mthémtique Le cours de mths dns un cursus d études en sciences joue un rôle centrl. C est en e et l endroit où les outils de bse de techniques de clcul de tout scientifique seront enseignés (ou revus) de mnière à ce que leur utilistion puisse être optimle lorsqu il en ser question dns diverses situtions concrètes d utres cours. Ce n est cependnt ps à ce rôle d pprentissge de techniques que le cours de mths est restreint. Son utre rôle fondmentl est ussi d sseoir des processus de risonnement rigoureux et scientifiques dns un contexte optiml. L mtière vue dns ce cours relève en e et d un cours de clculus tout à fit clssique, ne fit ps ppel à des théories sophistiquées et bstrites et les utilistions directes dns les cours de sciences sont immédites et nombreuses. C est dns ce contexte fertile que peuvent venir se gre er et se développer des pprentissges de processus visnt à susciter l esprit critique, l utoévlution, le sens du risonnement rigoureux et de l expression structurée... Mtière élémentire, oui, permettnt justement de mettre l ccent sur des mnques de connissnces ou compétences diverses (lnggières, structurles, esprit critique, risonnement, techniques rudimentires oubliées ou erronément mnipulées...), pourtnt indispensbles dns un prcours universitire... Les techniques mises en oeuvre dns l encdrement visent à rencontrer ces divers spects. Du côté des étudints. Si tout est mis en œuvre pour pporter guide, ide et soutien à l étudint, s réussite dépend évidemment de l utilistion qu il fer de l encdrement dont il dispose. Pour réussir, il ne su t ps de se lisser fire ; il fut ussi gir, prticiper, devenir utonome et utiliser à bon escient les moyens o erts. L utoévlution et l esprit critique sont des touts mjeurs sur le chemin de l réussite. Ce sont des compétences à cquérir rpidement. C est vec un contrt pédgogique réciproque, uquel les deux prties prennent prt ctivement et dns lequel elles diloguent, que le chemin de l réussite est le plus sûr. Petit guide de l étudint qui veut réussir à l Université Voici un petit mémo de points essentiels concernnt l ttitude à dopter.... J ssiste u cours en étnt présent d esprit et ps seulement de corps. Je remets mes cours à jour de mnière quotidienne si possible ou de mnière hebdomdire u plus trd 3. Je trville chque jour, même si je rentre chez moi près 9h 4. Je profite des jours de congé pour fire des révisions globles de chpitres et évluer le temps nécessire pour les ssimiler (pour pouvoir, le moment venu, gérer m période de bloque) 5. Je prépre vec ssiduité les répétitions, les interrogtions et les exmens 6. Je ne suis ps ftliste, mis volontire : conscient que m réussite dépend de moi et non de l chnce ou du professeur, je fis tout pour y ccéder 7. J pprends à répondre ux questions pr moi-même en les identifint clirement et en cherchnt l réponse dns les cquis 8. Je m interdis de mémoriser une mtière si je ne l i ps comprise u prélble et je cherche l ide dont j i besoin 9. Je fis des synthèses comportnt l structure du cours et ce qu il fut nécessirement mémoriser 0. Je consulte toujours m copie près une interrogtion ou un exmen et je fis l e ort de comprendre l nture de mes erreurs fin de pouvoir les corriger

4 Filières concernées Ce cours s dresse ux étudints de premier bchelier des sections de biologie, chimie, géologie, géogrphie, physique, dns le cdre du tronc commun du projet,,3...sciences en Fculté des Sciences. Au deuxième qudrimestre, il ser suivi d un second cours dont les crédits sont di érents selon les filières. Les étudints de premier bchelier en informtique le suivent églement ; une suite est prévue u second qudrimestre. Divers spects de l mtière seront pprofondis soit à l occsion de certins cours, soit à l occsion des sénces d exercices et de trvux dirigés (suites, séries, pproximtions...) Il est églement inscrit u progrmme du premier bchelier en philosophie, option sciences. Descriptif plus précis du contenu du cours Comme nnoncé dns ce qui précède, des liens, des ponts, vec les utres cours de sciences sont présents prtout, que ce soit dns les cours et sénces théoriques ou dns les sénces d exercices (répétitions). Un bref perçu de ces liens, présenté dns l ordre chronologique de l vncée du cours, est nnexé dns les pges qui suivent (et/ou est disponible vi les pges web reltives u cours). Le premier chpitre rppelle tout d bord les outils de bse concernnt les nombres réels et complexes, les équtions du premier et du second degré. Il consiste ensuite en une étude du cercle et des fonctions trigonométriques, insi qu en une présenttion du clcul vectoriel (vecteurs, droites, plns, produit sclire, produit vectoriel,...). Des représenttions grphiques, nlytiques, prmétriques de divers ensembles du pln sont ussi u progrmme. Le deuxième chpitre consiste en une présenttion générle de l étude des fonctions, de l notion de limite, de continuité, de dérivtion, de primitivtion. Le troisième chpitre est lors conscré ux fonctions élémentires : on rppelle leur définition et on en étudie les propriétés essentielles, sur bse du socle mis en plce u chpitre précédent. Ce sont insi les polynômes, les frctions rtionnelles et irrtionnelles, les fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses, les fonctions exponentielle et logrithme, qui sont u progrmme. Le qutrième chpitre trite du clcul intégrl à une vrible. Dns un souci d interpréttion, de modélistion très visuelle, c est pr les sommes de Riemnn qu est introduite l notion d intégrbilité et d intégrle sur un intervlle fermé borné. C est en fit vers l intégrle selon l théorie de Lebesgue que s oriente ensuite le contenu du chpitre, cr celle-ci est beucoup plus mnipulble et e cce en prtique (surtout pour l suite où il est question d intégrtion à plusieurs vribles). Prtnt d une introduction très directe et visuelle, le chpitre prend soin de bâtir une théorie sur un socle rigoureux, en énonçnt les propriétés utiles pour que les notions introduites rencontrent à l fois l e ccité de l outil et l solidité de l théorie et des notions mthémtiques sous-jcentes. Le cinquième chpitre contient une étude des équtions di érentielles linéires à coe cients constnts d ordre et. Il présente ussi quelques utres exemples d équtions di érentielles. Petit guide d utilistion des notes de cours Le présent fscicule de Théorie Il contient l mtière présentée ci-dessus. Il s git vriment d une mtière de bse de Clculus, présentée de mnière logique et déductive mis sns bstrction ou sophistiction inutile. Nombreux sont les explictions, les exemples et les grphiques (d où le nombre de pges reltivement élevé). L ssistnce d esprit! et l préprtion ux cours et répétitions est un moyen sûr et concret pour obtenir guide et soutien qunt à l structurtion (résumé!) et l pprentissge des notions et risonnements fondmentux que ces notes renferment. Et les exercices? Répétons-le : les exercices et les présenttions de thèmes de théorie (selon l ordre décrit ci-dessus) sont indissocibles. Les pprentissges doivent se fire en synergie, l compréhension et l résolution des exercices s ppuynt sur l théorie et l théorie montrnt directement son utilité pour l ppréhension des situtions concrètes et des exercices qui y sont liés. Les exercices font l objet de listes disponibles sur les pges web (de cette nnée cdémique et des 3

5 4 nnées ntérieures). Depuis 0-0, un syllbus spécifique été prépré. Il reprend les listes du premier qudrimestre, des résolutions détillées insi que de nombreux compléments. Il est indispensble de se munir des notes (syllbi de théorie et d exercices) pour ssister ux sénces de répétitions. Des rppels de bse de mtières de l enseignement secondire ont été rédigés pr Mdme Crsborn, ssistnt pédgogique. L dresse http :// vous y donne ccès. Les pges web de,,3...sciences et le Journl de bord. Il ne fut certes ps oublier toutes les informtions et données disponibles dns le Journl de Bord et sur les pges de l Fculté (dresses reltives à celles-ci disponibles dns le Journl de Bord.) Compléments Pour des compléments d informtion, des exemples, des exercices supplémentires, je conseille l ouvrge - CALCULUS, with nlytic geometry, R. Ellis, D. Gulick, Hrcourt Brce Jovnovich Inc. 993 et, pour les curieux, le fntstique - WHAT IS MATHEMATICS? An elementry pproch to ides nd methods, Richrd Cournt nd Herbert Robbins, Oxford University Press (plusieurs éditions). Ces livres se trouvent notmment à l bibliothèque des sciences. Je remercie sincèrement tous les ssistnts qui m ident dns l encdrement des étudints, dns l préprtion des exercices et de leurs solutions. Sns l équipe, rien ne serit possible! Merci à vous de toujours répondre présent! Je tiens à exprimer un merci prticulier à Jcqueline Crsborn pour ses relectures, ses vis et suggestions pertinents, et pour ses enthousisme et dynmisme permnents, fcteurs si importnts u sein d une équipe. Enfin, et non des moindres, je remercie mille fois ceux qui me sont les plus proches et dont l perspiccité, l finesse, l intelligence des choses, l expérience de choses, o ertes de fçon si frnche et subtile à l fois, à trvers l mitié ou utre, me poussent constmment à ller de l vnt. Frnçoise Bstin, 6 oût 04(V 3 oût 008)

6 Tble des mtières Quelques rppels d outils de bse. Les réels Définitions-Nottions Quelques propriétés de l reltion d ordre u sein des nombres réels Intervlles Somme et produit ; utilistion des symboles usuels Une formule utile Vleur bsolue, puissnces entières, rcines Anlyse combintoire et binôme de Newton Anlyse combintoire Le binôme de Newton Equtions de degré et Définitions Résolution Une introduction u clcul vectoriel et nlytique Définitions Opértions entre vecteurs L droite (définition vectorielle) Notions nlytiques : composntes, coordonnées, équtions prmétriques, équtions crtésiennes Le cercle trigonométrique et les fonctions trigonométriques Fonctions sinus (sin) et cosinus (cos) Fonctions tngente (tg) et cotngente (cotg) Vleurs usuelles Reltions dns les tringles Coordonnées polires Complément de clcul vectoriel et nlytique Rppels Produit sclire de deux vecteurs Angle entre deux droites Distnces Le produit vectoriel de deux vecteurs Les coniques Prémbule et doption d une définition Une brève étude des coniques Nombres complexes Définitions Propriétés Introduction du complexe i et nottions prtiques Module et conjugué d un complexe Rcines crrées d un nombre complexe Trinôme du second degré

7 TABLE DES MATIERES Forme trigonométrique des complexes Représenttions grphiques Cs générl Points symétriques pr rpport à l première bissectrice Bornes Etude des fonctions d une vrible réelle 55. Définitions de bse Fonction, domine, imge, grphe, grphique Trois exemples fondmentux Opértions sur les fonctions Quelques types de fonctions Fonction inverse Fonctions élémentires Polynômes Frctions rtionnelles Frctions irrtionnelles Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques inverses Fonctions exponentielle et logrithme Suites de réels (complexes) ; convergence de suites Définitions Deux propriétés très utilisées Exemples fondmentux Limite des vleurs d une fonction Exemples Définition de l limite en un réel, à prtir des suites Définition de l limite en l infini, à prtir des suites Forme équivlente des définitions de limites Propriétés Illustrtion des cs indéterminés Asymptotes Limites des vleurs d une fonction monotone Continuité Définitions Propriétés Exemples fondmentux Théorèmes reltifs à l continuité Dérivtion Définitions Propriétés importntes Dérivées multiples et formule de Leibniz Interpréttion et utilistion de l dérivée Le grdient, l dérivtion implicite Applictions de l dérivtion Le théorème des ccroissements finis et le développement limité de Tylor Le théorème de l Hospitl Monotonie, concvité, extrem Grphiques de fonctions Théorème prtique de l fonction inverse Primitivtion Définition et résultts d existence Propriétés Primitives immédites

8 TABLE DES MATIERES Techniques de primitivtion Retour ux fonctions élémentires 8 3. Limites des fonctions élémentires Polynômes et frctions rtionnelles Rcines mièmes Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques inverses Fonctions exponentielle et logrithme Continuité Dérivtion et fonctions élémentires Polynômes et frctions rtionnelles Fonctions trigonométriques Fonction exponentielle Fonctions trigonométriques inverses Fonction logrithme népérien Primitivtion Fonction exponentielle Définition Propriétés fondmentles Exponentielle complexe Clcul intégrl 8 4. Intégrle d une fonction sur [, b] Introduction Définition et exemples fondmentux Propriétés de l intégrle sur [, b] Interpréttions de l intégrle Intégrle d une fonction continue sur [, b[, ], b], ], b[ Définition lorsque f est de signe constnt sur [, b[ Introduction u cs où f n est ps de signe constnt sur [, b[ Définition lorsque f n est ps de signe constnt sur [, b[ Remrques et propriétés Exemples fondmentux, de référence Critères d intégrbilité Méthodes d intégrtion Vrition de primitive Intégrtion pr prties Intégrtion pr chngement de vribles Exemples Applictions Clcul de longueurs de courbes Intégrle sur une courbe (ou intégrle sur un chemin) Intégrle curviligne (ou intégrle le long d un chemin ou d une courbe ) Aire d une surfce de révolution Quelques clculs de volumes L projection (cylindrique conforme) de Merctor Annexes Annexe : Deux résultts utiles Annexe : Définition de l intégrle Annexe Annexe Annexe 5 : critère d intégrtion pr prties Annexe 6 : l formule intégrle de Tylor

9 TABLE DES MATIERES 0 5 Equtions di érentielles Introduction EDLCC Définitions Forme générle des solutions Solutions de l éqution homogène d ordre Solutions de l éqution homogène d ordre Solutions de l éqution non homogène d ordre Solutions de l éqution non homogène d ordre Equtions di érentielles linéires à coe cients constnts Quelques utres équtions et exemples Equtions à second membre sépré Equtions homogènes Equtions linéires du premier ordre Equtions d Euler d ordre Quelques utres exemples

10 Chpitre Quelques rppels d outils de bse. Les réels.. Définitions-Nottions Commençons pr rppeler quelques définitions et propriétés des nombres. Cel nous permet de réinstller quelques terminologies et nottions usuelles dns l trduction frnçise de certines reltions mthémtiques. Les nombres nturels Considérons l ensemble des nombres nturels positifs ou nuls {0,,,...}, noté N. Dns cet ensemble, l ddition est bien définie et 0 joue le rôle d élement neutre, c est-à-dire qu il n ucun e et qund on l dditionne à un utre : n +0=0+n = n quel que soit le nturel n. Pr contre, étnt donné un nturel non nul, on ne peut ps lui trouver de symétrique pour l ddition, c est-à-dire qu étnt donné un nturel n, on ne peut ps trouver de nturel n 0 tel que n + n 0 = 0. C est l rison pour lquelle on introduit l ensemble des nombres entiers. Les nombres entiers L ensemble des nombres entiers {0,,,,, 3, 3,...}, est noté Z. Dns cet ensemble, on étend l ddition et insi, tout entier possède un symétrique pour l ddition c està-dire 8k Z, 9k 0 Z : k + k 0 = k 0 + k = 0; k étnt donné, k 0 est unique et est noté k ;celui-ciest ppelé l opposé de k. Mis, outre l ddition, une utre opértion entre ces nombres est ussi définie : l multipliction. Pour celle-ci, c est le nturel qui joue le rôle d élément neutre, c est-à-dire qu il n ucun e et qund on multiplie un nombre pr cet élément :.k = k. =k quel que soit l entier k. Pr contre, étnt donné un entier di érent de, on ne peut ps trouver d entier k 0 tel que k.k 0 =. C est l rison pour lquelle on définit l ensemble des nombres rtionnels. Les nombres rtionnels L ensemble des nombres rtionnels est l ensemble { p q Q. : p, q Z, q 6= 0}, noté Dns cet ensemble, on étend l ddition et l multipliction. Toutes les propriétés précédentes de l ddition sont conservées et, en plus, tout rtionnel non nul possède un symétrique pour l multipliction c est-àdire 8k Q, k 6= 0, 9k 0 Q : k.k 0 = k 0.k = ; k étnt donné, k 0 est unique et est noté k ;celui-ciest ppelé l inverse de k pour l multipliction.. Plus précisément et correctement, on peut définir un rtionnel comme l clsse d équivlence d une pire ordonnée d entiers (notés ici, b), pr l reltion d équivlence b R c, d = bc d

11 .. LES RÉELS Les nombres rtionnels peuvent s écrire sous forme décimle limitée ou illimitée périodique, pr exemple 4 =0.5 (rtionnel limité) et 7 = (rtionnel illimité périodique). Les nombres réels L ensemble des nombres réels 3, noté R, est formé de l ensemble des nombres décimux limités ou illimités périodiques (c est-à-dire des rtionnels) et de l ensemble des nombres illimités non périodiques, ces derniers étnt ppelés nombres irrtionnels. Dns l ensemble des nombres réels, l ddition et l multipliction sont ussi définies, comme prolongement des mêmes opértions dns Q et vec les mêmes propriétés. On donc rppelé les définitions des ensembles fondmentux N, Z, Q, R, distincts et qui sont tels que N Z Q R. Dns l ensemble des réels R, on définit ussi une notion fondmentle : l ensemble des nombres réels est muni d une reltion d ordre 4, notée pple, qui possède notmment l propriété suivnte 5 8x, y R, on x pple y ou y pple x. L terminologie employée est (dns ce qui suit x et y sont des réels) x est plus petit ou égl à y ou y est plus grnd ou égl à x pour x pple y x est plus grnd ou égl à y ou y est plus petit ou égl à x pour x y Rppelons ussi que x<ysignifie que x est plus petit que y (ou que y est plus grnd que x) etest di é r e n t d ey. On dit ussi que x est strictement plus petit que y (ou que y est strictement plus grnd que x). Les réels négtifs sont ceux qui sont inférieurs ou égux à 0 ; les réels positifs sont ceux qui sont supérieurs ou égux à 0. On ussi d utres propriétés fort importntes, qui sont rppelées ci-dessous. Les nombres complexes Si, dns l ensemble des nombres réels, il est possible de résoudre toutes les équtions du type x = r, vec r 0, ce n est plus possible lorsque le réel r donné est strictement négtif. C est notmment pour cette rison qu on introduit l ensemble des nombres complexes noté C où une telle éqution peut toujours être résolue. Une prtie de ce chpitre est conscrée ux nombres complexes. Signlons déjà le fit très importnt suivnt : dns l ensemble des complexes, il n y plus de reltion d ordre! 6 L seule comprison entre deux complexes se limite donc à égl ou di érent. Nottions Dns l suite, les nottions désigneront donc respectivement N, Z, Q, R, C l ensemble des nombres nturels, entiers, rtionnels, réels, complexes.. on convient ussi d identifier le nombre s écrivnt, b...b N u nombre, b...(b N +) 3. Les nombres réels non rtionnels ont permis de résoudre certins problèmes géométriques simples qui ne pouvient être résolus dns Q. Prexemplellongueurdeldigonled uncrrédecôté,llongueurdelcirconférencefont intervenir respectivement p et, nombresquel ondémontreêtredesnombresirrtionnels. Les nombres réels peuvent être définis en toute rigueur vi l notion de coupure de Dedekind. Voir ussi pr exemple sur google vec nombres réels comme mot clef. 4. Une reltion d ordre sur un ensemble X est une reltion qui possède les propriétés suivntes : ) x pple x 8x X, b) si x, y X sont tels que x pple y et y pple x lors x = y c) si x, y, z X sont tels que x pple y et y pple z lors x pple z 5. on dit lors que l ordre est totl 6. Ce fit se démontre de fçon reltivement directe.

12 .. LES RÉELS 3 Ces ensembles, privés de 0 (le neutre pour l ddition), seront notés respectivement N 0, Z 0, Q 0, R 0, C 0. Nous utiliserons essentiellement l ensemble des nombres réels. Les nombres complexes seront utilisés dns l étude de l fonction exponentielle complexe (chpitre 4) insi que dns le chpitre conscré ux équtions di é r e n t i e l l e s... Quelques propriétés de l reltion d ordre u sein des nombres réels Rppelons brièvement quelques règles élémentires concernnt les inéglités entre nombres réels. Voici une propriété d ddition r <r r 0 <r 0 ) r + r 0 <r + r 0 que l on peut illustrer sur des exemples. Dns ceux-ci, on prendr bien soin d exminer le signe des réels considérés vnt de donner une représenttion de leur somme ; ce n est en e et que lorsque le réel est positif que l on peut l ssocier u sens strict à une longueur de segment. r + r 0 r r r 0 0 r r 0 + r 0 - On ussi les propriétés suivntes, fisnt intervenir des signes d inéglités non strictes r pple r r 0 <r 0 ) r + r 0 <r + r 0, r pple r r 0 pple r 0 ) r + r 0 pple r + r 0. Voici des propriétés de multipliction r <r r pple 0 ) r r r r; r <r r<0 ) r r>r r. Ces propriétés signifient que si l on multiplie les deux membres d une inéglité pr un même réel négtif, on doit chnger le sens de l inéglité. On peut les illustrer sur des exemples de l mnière suivnte. Cs r < 0, r > 0 et r<0 r 0 r - rr 0 rr - Cs r > 0, r > 0 et r<0-0 r r rr rr 0 - Cs r < 0, r < 0 et r<0

13 .. LES RÉELS 4 r r 0-0 rr rr - Voici des propriétés nlogues ux précédentes, dns lesquelles, cette fois, le fcteur qui multiplie les deux membres de l inéglité est positif r <r r <r ) r r 0 r pple r r; ) r r>0 r<r r. Ces propriétés signifient que si l on multiplie les deux membres d une inéglité pr même un réel positif, on grde le sens de l inéglité...3 Intervlles Les intervlles de R sont les ensembles définis ci-dessous 7.. Les intervlles bornés sont les ensembles [r,r ]={x R : r pple x pple r } r ]r,r [={x R : r <x<r } r - r r [r,r [={x R : r pple x<r } - r ]r,r ]={x R : r <xpple r } r - - r r où r,r sont des réels tels que r <r. Le premier est qulifié d intervlle fermé borné, le second d ouvert borné et les deux derniers d intervlles mixtes (ou semi-ouverts ou semi-fermés) bornés.. Les intervlles non bornés sont les ensembles ], +[ =R ]r, +[ ={x R : r<x} - ],r[={x R : x<r} [r, +[ ={x R : r pple x} ],r]={x R : x pple r} r r r Les notions de fermés, ouverts ont une significtion mthémtique précise liée à l topologie nturelle définie sur R.

14 .. LES RÉELS 5 - r où r R ; les trois premiers sont qulifiés d ouverts, les deux derniers de fermés...4 Somme et produit ; utilistion des symboles usuels L somme (resp. le produit) de deux réels r,r (ou de deux complexes) est un réel (un complexe) noté r + r (resp. r.r ou même r r ). Lorsqu on doit dditionner ou multiplier plus de deux réels (complexes), cette nottion devient lourde à mnipuler. C est l rison pour lquelle on introduit les nottions suivntes (en fit définition de symboles). Soit J un nturel strictement positif et soient les réels (complexes) r,...,r J. L somme r + r r J de ces réels (complexes) est notée JX j= r j et leur produit r r...r J est noté JY r j. j= Dns ces nottions, l indice j est un indice muet, ce qui signifie que le résultt de l opértion (somme ou produit) ne dépend ps de j ; on peut le remplcer pr n importe quelle utre lettre (ou symbole). Dns le cs de l somme, un tel indice s ppelle indice sommtoire. Pr exemple, X00 X00 X99 X = j = k = (l + ) = (k + ), j= k= n=0 l=0 k= k=0 NX NX NX N = n = k = k, 6X m= m = m X j= j, k=0 =+++++=6. =, {z } 6termes NX m=0 =+...+= N +, {z } N+ termes..3...n= ny j j=

15 .. LES RÉELS 6..5 Une formule utile L formule que nous llons présenter ici est très utilisée. Nous y reviendrons plus loin qund nous étudierons les suites (voir sections suivntes pour définitions). Soit un réel (ou un complexe) q et soit un nturel non nul N. On se propose de clculer l somme que nous noterons +q + q q N = NX n=0 q n S N pour simplifier. On remrque que les termes de cette somme sont obtenus successivement pr multipliction pr le nombre q (ppelé l rison). Propriété.. Soit un réel (ou un complexe) q et soit un nturel non nul N. On NX n=0 8 < q n = : q N si q 6= q N si q =. Preuve. Puisque S N =+q q N + q N, on qs N = q + q q N + q N donc qs N S N =(q + q q N + q N ) ( + q q N )=q N. Dès lors, on obtient (q )S N = q N ce qui donne, si q 6= : S N =+q + q q N = NX n=0 q n = qn q = qn q. L somme S N est donc égle, dns ce cs, u quotient des deux fcteurs suivnts : un moins l rison exposnt le nombre de termes u numérteur et un moins l rison u dénominteur. Lorsque q =, en reprennt directement l définition, on trouve S N =++...+= N. {z } N termes Cette formule se générlise fcilement comme suit. Si N,M sont des nturels tels que M<Net si q est un réel di érent de, on q M + q M q N = q M ( + q q N M )=q M qn M+ q.

16 .. LES RÉELS 7..6 Vleur bsolue, puissnces entières, rcines Module ou vleur bsolue d un réel Le module (ou vleur bsolue) d un réel est le nombre lui-même s il est positif et son opposé s il est négtif. Autrement dit, si on désigne pr x le module du réel x, on x si x 0 x = x si x pple 0. Pr exemple, =, /3 = /3. L vleur bsolue d un réel est toujours un réel positif ; cel s écrit x 0, 8x R. L vleur bsolue d un réel est nulle si et seulement si ce réel est nul ; cel s écrit x =0, x =0. Puissnces entières Soit m N 0. L fonction puissnce m est l loi x R 7! x m = x...x {z }. m fcteurs Si m =0etx R, on pose x m =. Si x est di é r e n t d e 0 l e r é e xl est noté x m. m Si m est pir, lors x m est un réel positif pour tout réel x. Pr contre, si m est impir, lors x m le signe de x. Extrction de rcines de réels 8 Il s git en fit de l opértion inverse (fonction réciproque) de l précédente. Soit m un nturel pir. On définit l fonction rcine m-ième de l mnière suivnte : si x est un réel positif, l rcine m-ième de x, notée mp x, est le réel positif dont l m-ième puissnce est x. Autrement dit, l fonction rcine m-ième est l loi définie pr x [0, +[ 7! mp x = y [0, +[ tel que y m = x. Si m =, on utilise plutôt l nottion p x u lieu de p x. Soit m un nturel impir. On définit l fonction rcine m-ième de l même mnière que dns le cs précédent, à l exception du domine de définition : si x est un réel, l rcine m-ième de x, notée mp x,est le réel dont l m-ième puissnce est x. Autrement dit, l fonction rcine m-ième est l loi définie pr x R 7! mp x = y R tel que y m = x. Si m =, on bien sûr p x = x. Une rcine d indice pir d un réel positif est toujours un réel positif. Une rcine d indice impir d un réel toujours le signe de ce réel. Propriétés Rppelons encore les quelques propriétés suivntes. Les démonstrtions sont élémentires et sont lissées u lecteur à titre d exercice. Pour tous réels, b, on =, pple, pple, b = b, p =, =. 8. Nous reverrons plus loin cette notion de fonction inverse (fonction réciproque) ; de même nous étendrons cette définition à des rcines non entières, c est-à -dire que l on v définir f(x) =x l fonction,vecx réel strictement positif et réel.

17 .. ANALYSE COMBINATOIRE ET BINÔME DE NEWTON 8 Pour tous réels, b, on + b pple + b et b pple b. Pour tous réels, b, on = b, = b ou = b. Pour tous réels positifs, b, on pple b, pple b Comme x = x, 8x R, obtient pple b, pple b. pour tous réels, b. Soient r un réel positif et x un réel. On x pple r, x pple r x pple r, r pple x pple r. Cel signifie que le réel x est en module inférieur ou égl à r si et seulement si x pprtient à l intervlle [ r, r]. x - r 0 r Plus générlement, si, x, r sont des réels et si r est positif, on x pple r, r pple x pple + r. Cel signifie qu étnt donné un réel positif r, l distnce entre les réels x et est inférieure ou égle à r si et seulement si x est dns l intervlle [ r, + r]. x - r + r Rppel de quelques produits remrqubles. Pour tous réels, b, on ( ± b) = ± b + b, ( ± b) 3 = 3 ± 3 b +3b ± b 3 b =( b) ( + b), 3 ± b 3 =( ± b) ( b + b ).. Anlyse combintoire et binôme de Newton.. Anlyse combintoire Considérons un comité formé de six personnes. Imginons les situtions suivntes. ) Les membres du comité doivent s sseoir en rngée sur une estrde fin d être présentés. Combien y -t-il de possibilités de groupements? Réponse : on choisit une personne prmi les six du comité et on l plce sur le premier siège ; on choisit ensuite une personne prmi les cinq qui restent et on l instlle sur le second siège et insi de suite. On épuise insi tous les cs possibles. On trouve qu il y possibilités. Plus générlement, le nombre de réprtitions possibles de M éléments, c est-à-dire le nombre de permuttions de M éléments est P M = M (M )... =M! = ) Il fut choisir un bureu formé d un président et d un secrétire. Quel est le nombre de bureux possibles? Réponse : il fut choisir deux personnes prmi six personnes ; on en choisit une u hsrd puis, prmi les cinq personnes restntes, on en choisit encore une. On insi tous les cs possibles ; on 6 5 possibilités. MY i. i=

18 .. ANALYSE COMBINATOIRE ET BINÔME DE NEWTON 9 Plus générlement, le nombre de choix possibles de p éléments prmi M éléments, choix dns lequel l nture et l ordre des éléments de l importnce est le nombre d rrngements de M éléments pris p à p, soit A p M = M...(M (p )) = {z } p fcteurs py (M i). 3) Il fut choisir un bureu formé d un président et d un secrétire. Quel est le nombre de bureux possibles si on ne distingue ps le secrétire et le président? Réponse : on commence comme précédemment. Il fut choisir deux personnes prmi six personnes ; on en choisit une puis, prmi les cinq personnes restntes, on en choisit encore une. Prmi les groupes formés, il y chque fois deux groupes constitués des mêmes personnes ; vu l question posée, on n en grde qu un. Au totl, on formé 6 5 = 5 bureux di érents. Plus générlement, le nombre de choix possibles de p éléments prmi M éléments, choix dns lequel seule l nture des éléments de l importnce est le nombre de combinisons de M éléments pris p à p, soit C p M = M...(M p + ) p! i=0 = Ap M p!. (Etnt donné p éléments fixés, il y en e et p! permuttions possibles de ces éléments ; ces groupes ne peuvent compter que pour un seul qund on envisge les combinisons ; d où l division pr p! du nombre d rrngements de M éléments pris p à p.) On donc, pour des entiers strictement positifs M et p tels que p<m : P M = M! A p M = M (M )...(M p + ) = M! (M p)! C p M = Ap M p! = M! M (M )...(M p + ) = (M p)!p! p! Remrques. ) En posnt 0! =, on grde les deuxième et troisième lignes ci-dessus pour p = M. Pour p = 0, on pose C 0 M = ; insi C p M = M! 8M N 0,p N, 0 pple p pple M. (M p)!p! M ) Certins uteurs utilisent l nottion en lieu et plce de C p p M. Propriétés Pour tous M N 0,p N, p pple M, on ) C p M = CM p M ; ) C0 M = CM M =, CM = C M M = M et, si p +pple M : Preuve. ) On ) On 3) C p M + Cp+ M = Cp+ M+ C p M = M! (M p)!p! = M! (M (M p))!(m p)! = CM p M. C 0 M = CM M = M! M!0! = ; C M = CM M = M! (M )!! = M.

19 .. ANALYSE COMBINATOIRE ET BINÔME DE NEWTON 0 3) On successivement C p M + Cp+ M = = = M! M! (M p)!p! + (M p )!(p + )! M! (M (p ++M p)!(p + )! p) (M + )! (M p)!(p + )! = (M + )! ((M + ) (p + ))!(p + )! = C p+ M+ p. Le tringle de Pscl illustre l troisième formule. Les lignes sont indicées pr M et les colonnes pr C p M + Cp+ M C p+ M+.. Le binôme de Newton Proposition.. Pour tous réels 9, x et pour tout nturel strictement positif 0 M,on (x + ) M = MX j=0 C j M xm j j Il s git donc de l formule donnnt le développement de (x + ) M en termes de puissnces nturelles de x et de. Si on considère l expression (x + ) M comme une fonction de l vrible x, l formule donne donc l expression du polynôme (x + ) M de degré M N 0 sous forme d une combinison linéire des puissnces entières positives successives de x. Remrquons que pour M = etm = 3 on retrouve des produits remrqubles rppelés plus hut. Preuve. L démonstrtion se fit pr récurrence sur M. Pour M =, l églité est vrie cr X C j x j j = Cx Cx 0 = x +. j=0 Supposons à présent que l églité soit vrie pour,...,m et démontrons-l pour M +. On (x + ) M+ = (x + ) (x + ) M 0 MX = (x + = = j=0 C j M xm MX C j M xm+ j j + j=0 MX C j M xm+ j j + j=0 j j A MX C j M xm j j+ j=0 M+ X j= C j M xm+ j j 9. (L formule est ussi vlble si et x sont des complexes 0. L formule est ussi vlble pour M =0misneprésenteucunintérêt.

20 .3. EQUATIONS DE DEGRÉ ET D où l conclusion. = x M+ + = x M+ + = x M+ + MX C j M xm+ j j + j= MX j= C j M + Cj M MX j= C j M xm+ j j + M+ x M+ j j + M+ MX C j M+ xm+ j j + M+ j= = C 0 M+x M+ + = M+ X j=0 MX j= C j M+ xm+ j j. C j M+ xm+ j j + C M+ M+ M+.3 Résolution d équtions du premier et du second degré à une inconnue AVERTISSEMENT Dns cette section, nous nous plçons dns le cdre des nombres réels. En ce qui concerne les équtions du premier degré, leur résolution est nlogue dns le cdre des nombres complexes, suf bien sûr qund il s git d étudier le signe d expressions. Qunt ux équtions du second degré, leur résolution dns le cdre des nombres complexes est en fit bien plus directe (voir plus loin), mis il importe encore une fois de ne plus être tenté de considérer les signes des diverses grndeurs qui sont impliquées..3. Définitions ) Une éqution du premier degré à coe cients et vrible réels est une reltion du type x + b = 0 () où, b sont des réels donnés, 6= 0 et x est l inconnue réelle. ) Une éqution du second degré à coe cients et vrible réels est une reltion du type x + bx + c = 0 () où, b, c sont des réels donnés, 6= 0 et x est l inconnue réelle. Une solution réelle de l éqution () (resp. ()) est un réel x vérifint cette reltion..3. Résolution ) L éqution () ci-dessus toujours une solution unique, à svoir x = Attention toutefois lorsqu on donne l éqution x + b = 0 sns spécifier si est nul ou ps ; en e et, si et b sont nuls, l ensemble des solutions est R ;si =0etb 6= 0, il n y ps de solution. De plus, on obtient ussi le signe du polynôme B(x) =x + b en fonction de x : B(x) le même signe que si x> b B(x) le signe contrire de si x< b. b.

21 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE ) Pour résoudre l éqution () ci-dessus, on définit = b 4c. Trois cs peuvent lors se présenter : > 0 : l éqution deux solutions di érentes, à svoir les réels x = b p, x = b + p = 0 : l éqution deux solutions égles : x = x = < 0 : l éqution n ps de solution réelle. De plus, on obtient ussi le signe du polynôme T (x) =x + bx + c en fonction de x : > 0:T (x) toujours le même signe que, suf dns l intervlle borné déterminé pr les deux solutions x,x. =0:T (x) est du signe de pour tout x 6= b. < 0:T (x) est du signe de pour tout réel x. Preuve. On b. T (x) = x + bx + c = x + b x + c! = x + b x + b b c = (x + b! b 4c ) 4 = (x + b ). 4.Dnslecs < 0, on conclut directement. Lorsque =0,onobtient T (x) = x + b. et on conclut ussi directement. Dns le cs > 0, on T (x) = (x + b ) p! (x + b p! )+ = x b + p! x b p! et on conclut pr une étude des signes des di érents fcteurs. L représenttion grphique de ces fonctions ser revue dns l suite..4 Une introduction u clcul vectoriel et nlytique.4. Définitions Etnt donné deux points P,P de l espce, le segment orienté qu ils déterminent est ppelé vecteur lié d origine P et d extrémité P. Si les deux points sont confondus, on prle du vecteur nul. L nottion utilisée pour désigner le vecteur d origine P et d extrémité P est! P P.! Soit le vecteur P P,vecP 6= P. On ppelle support du vecteur l droite contennt ces deux points. On ppelle longueur du vecteur ou encore norme du vecteur l longueur du segment joignnt P et P ;! celle-ci est notée kp P k. On ppelle sens du vecteur, le sens de prcours du segment (de P vers P ). Un vecteur lié est déterminé pr son origine et son extrémité ou encore pr son origine, son support, son sens et s longueur.

22 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 3 P P L ensemble des vecteurs liés obtenus en déplçnt un vecteur lié non nul prllèlement à lui-même (en conservnt son sens) est ppelé un vecteur libre. L nottion hbituelle pour désigner un vecteur libre est une lettre (souvent minuscule) surmontée d une flèche, ~v. On dit que chcun de ces vecteurs liés représente ou est un représentnt du vecteur libre. Le vecteur libre nul est formé de tous les vecteurs liés nuls. Etnt donné le vecteur libre non nul ~v, on ppelle direction du vecteur l ensemble des multiples non nuls de ce vecteur, longueur du vecteur, notée k~vk, l longueur (ou norme) d un vecteur lié servnt à définir ~v, sens du vecteur, le sens d un vecteur lié servnt à définir ~v. Un vecteur libre est crctérisé pr s direction, son sens et s longueur. ~v ~v ~v ~v ~v.4. Opértions entre vecteurs On définit de mnière géométrique, dns l ensemble des vecteurs liés en un même point puis dns l ensemble des vecteurs libres, l multipliction d un vecteur pr un réel et l ddition (ou somme) de deux vecteurs (règle du prllélogrmme).. voir ci-dessous pour un rppel des opértions définies dns l ensemble des vecteurs

23 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 4 Multipliction d un vecteur pr un réel! Etnt donné le vecteur PQ (P 6= Q) liéenp et le réel r, levecteurr PQ!! est le vecteur PR lié en P! dont l longueur est égle à r fois l longueur de PQ, dont le support est l droite déterminée pr les! points P, Q et dont le sens est celui de PQ si r>0 et l opposé si r<0 ; dns le cs r = 0, le vecteur r PQ! est le vecteur nul. Si P = Q, lors r PQ! est le vecteur nul églement. Si ~v est un vecteur libre et si r est un réel, le vecteur libre r~v est le vecteur libre défini pr le vecteur (lié en P ) r PQ ~ lorsque PQ ~ définit ~v. - ~v - 3 ~v Des vecteurs ~u, ~v sont dits multiples l un de l utre s il existe r R tel que ~u = r~v ou s il existe s R tel que ~v = s~u. Deux vecteurs sont dits prllèles si l un est un multiple de l utre. Somme de deux vecteurs Etnt donné deux vecteurs non prllèles et liés u même point P, on définit leur somme de fçon!! géométrique pr l règle du prllélogrmme : si les deux vecteurs sont PQ et PR, lors leur somme! PQ+ PR!! est le vecteur PM où M est digonlement opposé à P dns le prllélogrmme construit à!! prtir des vecteurs PQ et PR. On définit de même l somme de deux vecteurs prllèles (voir cours).!! Si ~v et ~u sont deux vecteurs libres, respectivement définis pr les vecteurs (liés en P ) PQ et PR,leur! somme ~v + ~u est le vecteur libre défini pr PQ+ PR.! On remrquer que, pour dditionner deux vecteurs libres, il su t d en fixer un, de déplcer le second de fçon rigide et prllèlement à lui-même de telle sorte que son origine coïncide vec l extrémité du premier ; l somme des deux vecteurs est lors le segment orienté dont l origine est l origine du premier vecteur et dont l extrémité est l extrémité du second. R ~v M : ~u ~u ~u + ~v - P Q ~v Lorsque les deux vecteurs à dditionner sont prllèles, on peut ussi utiliser l règle du prllélogrmme (dptée) pour définir leur somme. Il est cependnt plus isé de définir cette somme de l fçon suivnte : on fixe un vecteur et on déplce le second de fçon rigide et prllèlement à lui-même de telle sorte que son origine coïncide vec l extrémité du premier ; l somme des deux vecteurs est lors le segment orienté dont l origine est l origine du premier vecteur et dont l extrémité est l extrémité du second. ~v ~u - ~v ~u - ~u + ~v Propriétés Citons quelques propriétés de ces opértions (vlbles ussi bien pour l ensemble des vecteurs liés en un point que pour l ensemble des vecteurs libres) ; elles se démontrent géométriquement, à prtir des définitions.

24 .4. UNE INTRODUCTION AU CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE 5 L ddition entre vecteurs est ssocitive : ~u +(~v + ~w) =(~u + ~v)+ ~w pour tous vecteurs ~u, ~v, ~w. Si~0 désigne le vecteur nul, on ~u + ~0 =~0+~u = ~u pour tout vecteur ~u. On dit que le vecteur nul est neutre pour l ddition. Pour tout vecteur ~u on ~u +( ~u) =~0. On dit que tout vecteur possède un symétrique pour l ddition et le vecteur du vecteur ~u. l ddition entre vecteurs est commuttive : ~u est ppelé l opposé ~u + ~v = ~v + ~u pour tous vecteurs ~u, ~v. Qunt ux propriétés reltives u produit pr un nombre et à l ddition entre vecteurs, on, pour tous réels r, s et tous vecteurs ~u, ~v r (~u + ~v) =r~u + r~v (r + s)~u = r~u + s~u ~u = ~u (rs)~u = r(s~u) Remrques et définition L propriété d ssocitivité permet de donner un sens à une expression telle que JX r j ~u j = r ~u r J ~u J j= où les r j (j =,...J) sont des réels et ~u j (j =,...,J) sont des vecteurs. Cette expression est ppelée combinison linéire des vecteurs ~u,...,~u J. Pr convention, une combinison linéire de 0 vecteur est le vecteur nul. Notons que les propriétés citées ci-dessus sont en fit celles qui sont requises pour qu un ensemble muni d une ddition et d une multipliction (pr des sclires) soit qulifié d espce vectoriel. Nous rencontrerons d utres exemples d espces vectoriels dns l suite..4.3 L droite (définition vectorielle) Vu l introduction u clcul vectoriel que nous venons d e ectuer, on peut introduire l notion de droite sous l forme suivnte. On donne un point P 0 et un vecteur libre non nul ~v. L ensemble des points P pour lesquels il existe r R tel que! P 0 P = r~v est l droite d 0 pssnt pr P 0 et de vecteur directeur ~v. On donc, pr définition, d 0 = {P : 9r R tel que! P 0 P = r~v}.