CSMA e Colloque National en Calcul des Structures Mai 2013

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1 CSMA 13 11e Colloque Natioal e Calcul des Structures Mai 13 Méthodes rapides pour l'évaluatio de la variabilité de fréqueces propres d'ue caisse ue automobile Frédéric DRUESNE *, Mohamed Bader BOUBAKER, Pascal LARDEUR Uiversité de Techologie de Compiège, Dpt GSM Laboratoire Roberval {frederic.druese, mohamed-bader.boubaker, pascal.lardeur}@utc.fr Résumé Deux méthodes rapides et o itrusives sot ici proposées pour évaluer la variabilité de fréqueces propres, due à des propriétés physiques ou matériau aléatoires. L'hypothèse de stabilité modale est exploitée meat à la méthode Modal Stability Procedure (), et à la méthode au premier ordre First Order (FO) utilisat le calcul de sesibilité. Le modèle étudié est celui d'ue caisse ue automobile à grad ombre de degrés de liberté et à grad ombre de variables aléatoires. Pour cette applicatio, les coûts des méthodes sot au maximum de l'ordre de 4 calculs par élémets fiis détermiistes, et elles fourisset de très boes prédictios des quatités statistiques. Mots clés stabilité modale, sesibilité, variabilité, fréquece propre 1. Itroductio De ombreuses études ot motré que le comportemet vibro-acoustique des véhicules présete u iveau de variabilité élevé [1]. La prise e compte des icertitudes das les calculs vibratoires par élémets fiis est doc écessaire et elle permet de reproduire umériquemet la variabilité observée expérimetalemet. Parmi les méthodes probabilistes, la méthode de référece est la simulatio de Mote-Carlo (). Elle permet d'itroduire ue approche statistique, e réalisat u très grad ombre de tirages afi de pouvoir estimer ue variabilité. Cette méthode est fiable mais très coûteuse e temps de calcul pour u modèle idustriel. Plusieurs approches ot aisi été développées. Parmi les techiques proposées pour réduire le ombre de calculs, o peut citer les approches avec perturbatio, au premier et secod ordre []. La techique de meta-modèle est égalemet utilisée par Pichler et al. [3] pour approximer des quatités modales par des polyômes. Hike et al. [4] utiliset des méthodes de sythèse modale pour l'aalyse vibratoire de répose e fréquece e réduisat le ombre de degrés de liberté du modèle élémets fiis. Ces recherches e dyamique des structures de système icertai ot permis de proposer des approches variées afi de réduire le coût de calcul, ce qui red possible l'étude de modèles idustriels. L'objectif de ce papier est d'estimer la variabilité des fréqueces propres sur u modèle de caisse automobile à grad ombre de degrés de liberté et à grad ombre de variables aléatoires. Ces variables sot le module d'élasticité, la masse volumique et l'épaisseur de tôle. Pour atteidre l'objectif, il s'agit doc de proposer ue approche très rapide et robuste. Pour cela, deux méthodes o itrusives sot proposées, elles sot compatibles avec les codes idustriels de calcul par élémets fiis, et elles sot comparées à la méthode de référece.. Présetatio des méthodes et FO.1. La méthode Modal Stability Procedure La méthode Modal Stability Procedure () est ue approche umérique permettat de predre e compte la variabilité das les calculs vibratoires de type aalyse modale et répose e fréquece. Les grades liges de cette méthode ot été proposées par Martii [5]. La méthode repose sur l'hypothèse mécaique de stabilité modale, supposat que la déformée modale de la structure est très 1

2 peu ifluecée par la perturbatio des paramètres d'etrée. Pour l'aalyse modale, le problème détermiiste aux valeurs propres peut s'écrire de la maière suivate pour u mode cosidéré : K ϕ =λ M ϕ -(1) avec K la matrice de rigidité omiale, M la matrice de masse omiale, λ la valeur propre omiale associé au mode cosidéré et φ le vecteur modal omial. Le système perturbé par la variabilité de paramètres peut aisi s'écrire sous ue forme (1) perturbée. E cosidérat la théorie des matrices perturbées et e exprimat les vecteurs propres perturbés sous la forme φ p =φ + φ p, l'expressio du quotiet de Rayleigh s'écrit sous la forme suivate, e teat compte de l'hypothèse de stabilité modale : λ p = (ϕ +Δ ϕ p ) T K p (ϕ +Δ ϕ p ) (ϕ +Δϕ p ) T M p (ϕ +Δϕ p ) = ϕ T K p ϕ ϕ T M p ϕ -(). L'obtetio des matrices élémetaires de rigidité et de masse das les codes élémets fiis est coûteuse (extractio à chaque tirage) et parfois impossible avec certais logiciels. Le umérateur de l équatio () est costitué de l'éergie itere de déformatio, et so déomiateur est proportioel à l'éergie ciétique. Le umérateur peut aisi être modifié e mettat e évidece les déformatios modales das les élémets, et le déomiateur peut être simplifié e cosidérat ue matrice de masse cocetrée. Aisi, pour u mode doé et pour u maillage à élémets, l'expressio du carré de la pulsatio propre perturbée s'écrit : ω p = T ε p, j j=1 V p, j j=1 ϕ T, j H p, j ε p, j dv m p, j ϕ, j -(3) avec ε p, j le vecteur des déformatios modales de l élémet j, V p, j le volume fii de l élémet j, H p, j la matrice de loi costitutive de l élémet j, m p, j la matrice de masse de l élémet j, φ, j le vecteur propre omial de l élémet j omial. La méthode requiert doc ue aalyse élémets fiis sur la cofiguratio omiale, afi de récupérer les déformées modales et les déformatios modales élémetaires. Puis, des tirages rapides de Mote-Carlo sot esuite réalisés e exploitat l équatio (3) pour calculer les fréqueces perturbées, et doc estimer la variabilité des fréqueces propres d'ue structure. Cette méthode a déjà démotré ses qualités de méthode rapide et précise, otammet sur u modèle de pare-brise automobile [6] composé d'élémets fiis de type triagle à 3 oeuds. La formulatio a été ici étedue e preat e compte les élémets de types quadragle à 4 oeuds, hexaèdre à 8 oeuds, aisi que les élémets ressort et masse, afi de pouvoir appliquer cette méthode au modèle de caisse ue [7]... La méthode de premier ordre Il est préseté ici ue autre méthode rapide, ommée First Order (FO), basée sur le calcul de la sesibilité de la fréquece propre à chaque variable aléatoire v i. Le développemet limité au premier ordre d'ue fréquece perturbée f peut e effet s'écrire : f f = f + Δ v i=1 v i -(4) i avec f la fréquece propre omiale, et f / v i la sesibilité de la fréquece à la variable aléatoire v i. Il est cosidéré ici que les variables sot idépedates, et que la distributio des paramètres icertais est symétrique par rapport à la valeur omiale. Ceci mèe aux expressios suivates pour

3 la moyee et l écart-type de la fréquece propre : σ( f )= i=1 m( f )= f ( f v i).σ (v i ) L'approche au premier ordre proposée approxime doc la moyee des fréqueces perturbées comme état la fréquece omiale, et l'écart-type est approximé par ue expressio faisat apparaître la sesibilité de la fréquece aux variables aléatoires. L'évaluatio de cette sesibilité peut se réaliser avec ue méthode aalytique, ue méthode semi-aalytique, ou ue méthode umérique. Les travaux de Due [8] comparet la méthode de Mote-Carlo et ue aalyse de sesibilité au premier ordre, pour la répose e fréquece d'ue structure. Cette approximatio au premier ordre doe de très bos résultats et elle est implémetée das le logiciel commercial CDH/VAO [9] pour l'optimisatio et la variabilité vibro-acoustiques. Cepedat, ces développemets e permettet pas de calculer la variabilité des fréqueces propres. La méthode FO que ous proposos ici, estime la variabilité de la fréquece propre. La sesibilité, pour l'expressio de l'écart-type (5), est approximée par différeces fiies décetrées à droite. Suite à des tests umériques, le iveau de perturbatio reteu est égal à 1-3. Le calcul de sesibilité écessite deux évaluatios, pour calculer ue fréquece perturbée et la fréquece omiale : -(5). f Δ f = f (v i +Δv i ) f (v i ) -(6). v i Δ v i Δ v i 3. Applicatio L'applicatio proposée est ue caisse ue automobile. Cette structure est composée de 14 pièces de tôlerie reliées etre elles par 3 poits de soudure. Le modèle élémets fiis compred 84 degrés de liberté, et possiblemet 64 variables aléatoires. Ces variables sot le module d'élasticité, la masse volumique et l'épaisseur sur chaque pièce. Les 15 premiers modes et fréqueces propres sot étudiés, soit ue plage de 3 à 95 (Fig.1). Mode 1 Mode Mode 3 Mode 4 Fig. 1. Modes propres 1 à 4 de la caisse ue 3

4 3.1. Evaluatio de l hypothèse de stabilité modale L'hypothèse de stabilité modale utilisée par la méthode est tout d'abord vérifiée à l'aide de l'idicateur MAC (Modal Assurace Criterio). Cet idicateur est utilisé depuis de ombreuses aées pour évaluer la corrélatio etre des modes propres [1]. La valeur parfaite du MAC est 1, ue valeur supérieure à.9 idique ue très boe corrélatio. Dix tirages aléatoires sot réalisés pour former des vecteurs propres perturbés. L'idicateur MAC est calculé, pour chaque mode k, etre le vecteur propre omial φ k et chaque vecteur propre perturbé φ p k : MAC k = (ϕ k p ϕ k ) (ϕ k p ϕ k p )(ϕ k ϕ k ) -(7). Le coefficiet de variatio () appliqué est ici 5% sur les variables d'épaisseur. Les valeurs moyees de MAC obteues sot idiquées das le tableau 1. Ces valeurs moyees de MAC sot excelletes jusqu'au mode 7, puis pour les modes suivats elles sot comprises etre.8 et.9. Sur les 15 premiers modes, le MAC moye est toujours supérieur ou égal à.8, ce qui costitue u bo iveau pour cet idicateur. Das la plage des basses fréqueces, l'hypothèse de stabilité modale est doc vérifiée d'ue maière satisfaisate. Mode 1,,3,4 5,6, ,15 11,1 MAC moye Tableau 1. Valeurs moyees de MAC etre les vecteurs propres omiaux et perturbés (h)=5% 3.. Résultats de la méthode La méthode est comparée ici à la méthode de référece, e cosidérat comme icertaies les épaisseurs de tôles, soit 14 variables aléatoires. Le iveau de variabilité d etrée est modéré (=5%). Les distributios et des quatre premières fréqueces sot tracées sur la figure. 1 tirages sot effectués pour tracer les distributios et. Pour ces quatre fréqueces propres étudiées, les distributios et sot quasi-gaussiees et très proches l'ue de l'autre. Fréquece 1 Fréquece 1 Fréquece Fréquece Fréquece 3 Fréquece 3 38,5 39,5 4,5 Fréquece 4 Fréquece Fig.. Distributio et des fréqueces 1,, 3 et 4 - (h)=5% - 14 variables aléatoires 4

5 Les erreurs sur la moyee et l'écart-type sot décrites das le tableau. L'erreur sur la moyee est iférieure à 1% pour les 4 premières fréqueces. L'erreur sur l'écart-type est légèremet supérieure, de l'ordre de 1% pour les fréqueces, 3 et 4, et de l'ordre de 4% cocerat la fréquece 1 (mode local Fig.1). Les prédictios statistiques de sot doc précises pour ce modèle de caisse ue, e moyee et e écart-type. Mode Erreur sur la moyee des fréqueces Erreur sur l'écart-type des fréqueces erreur sur l'écart-type (%) Tableau. Erreurs / - (h)=5% - 14 variables aléatoires 3.3. Comparaiso / FO Les performaces des deux méthodes et FO sot ici comparées etre elles. Pour ce faire, les erreurs sur l'écart-type des fréqueces et 4 sot tracées (Fig. 3). Ces fréqueces correspodet respectivemet à u mode global de torsio et à u mode global de flexio (Fig. 1). Les deux méthodes se comportet de la même maière par rapport à la référece, l'écart maximum etre ces deux méthodes est faible, il est de l'ordre de %. Et elles fourisset toutes deux des erreurs gééralemet très faibles par rapport à la référece. Ue exceptio est à relever : l erreur sur l écart-type de la quatrième fréquece propre est supérieure à 1%, pour (h) = %, ce qui correspod à u iveau de variabilité très élevé. Mode FO erreur sur l'écart-type (%) Mode 4 Fig. 3. Erreurs et FO sur l'écart-type des fréqueces et 4 FO Il a été égalemet vérifié pour le mode 1 (mode très semblable au mode 1 de la figure 1), pour lequel le MAC est légèremet mois bo (Tableau 1), que les méthodes et FO fourisset ecore des résultats acceptables (Fig. 4). L'erreur sur la moyee FO reste très faible, iférieure à %. La méthode est ecore plus précise, l'erreur sur la moyee est iférieure à 1%. Cocerat les erreurs des méthodes FO et sur l'écart-type de la fréquece 1, des écarts importats par rapport à sot costatés. Pour u compris etre 1% et %, les erreurs e écart-type variet de 1% à %. Ce mode 1, qui est u mode local, a été choisi car sur l esemble des modes étudiés, c est celui qui mèe aux erreurs les plus élevées pour l écart-type. E coclusio, même lorsque l'hypothèse de stabilité modale est légèremet dégradée (c est souvet le cas pour u mode local), les prédictios des méthodes rapides restet très précises pour la fréquece moyee. Par cotre, pour ce type de mode, les résultats obteus avec les méthodes et FO sot mois bos pour l écart-type. 5

6 erreur sur la fréquece moyee (%) -1 - Mode 1 FO erreur sur l'écart-type (%) Mode 1 FO Fig. 4. Mode 1 - Erreurs et FO / 3.4. Coûts de calcul des méthodes et FO Les coûts de calcul des méthodes, et FO pour le modèle élémets fiis de caisse ue (84 ddl et 14 variables aléatoires) sot présetés das le tableau 3. Ils ot été obteus sur u ordiateur mui d'u processeur Itel(R) Core(TM) i5 M48 3,67Ghz avec 8Go de RAM. Le temps CPU d'ue aalyse élémets fiis pour ce modèle est 36 secodes. Les gais pour les méthodes et FO par rapport à la référece sot très importats. Les coûts des méthodes et FO sot respectivemet ceux de 4 et aalyses élémets fiis détermiistes. Temps CPU Facteur d accélératio / Nombre équivalet de calculs EF détermiistes (1 trials) 1 x 36s / 1 (1 trials) 14s +36s 571 eviro 4 FO 478s + 36s 496 eviro Tableau 3. Caisse ue Coûts de calcul des méthodes (84 ddl) 4. Coclusio La méthode s'appuyat sur l'hypothèse mécaique de stabilité modale et la méthode du premier ordre FO utilisat le calcul de sesibilité, ot été proposées das cet article pour estimer la variabilité d'ue fréquece propre, due à des épaisseurs de tôles aléatoires. Ces deux méthodes o itrusives ot été appliquées à u modèle de caisse ue caractérisé par u grad ombre de degrés de liberté et u grad ombre de variables aléatoires. La comparaiso des méthodes et FO à la méthode a permis de mettre e évidece de très boes prédictios des quatités statistiques. Les erreurs calculées sur la moyee, l écart-type et les distributios, sot e effet très faibles et motret la fiabilité de ces deux méthodes proposées. U autre avatage de ces méthodes est de pouvoir traiter des modèles idustriels à grad ombre de degrés de liberté et à grad ombre de variables aléatoires. Ces méthodes ot e effet l'avatage d'être très rapides, et aisi redet possible la prise e compte des icertitudes das ce type de modèle élémets fiis idustriels. Les perspectives de ces travaux das le domaie vibratoire sot de développer et d'appliquer ces méthodes et FO à la répose e fréquece, pour des exemples idustriels tels qu ue caisse automobile. 6

7 Remerciemets Ce travail a été réalisé das le cotexte du projet de recherche MADIAV, souteu fiacièremet par la régio Picardie et l'uio Européee (FEDER). La société Reault est remerciée d'avoir fouri u modèle élémets fiis de caisse ue, aisi que so expériece. Référeces [1] L.A. Wood, C.A. Joachim, Variability of iterior oise levels i passegers cars, Coferece o vehicle oise ad vibratio, The Istitutio of Mechaical Egieers, Lodres, pages 197-6, [] M. Kamiski, Stochastic secod order perturbatio approach to the stress based fiite elemet method, Iteratioal Joural of Solids ad Structures, 38 (1), pages , 1. [3] L. Pichler, A. Gallia, T. Uhl, L.A. Bergma, A meta-modelig techique for the atural frequecies based o the approximatio of the characteristic polyomial, Computers ad Structures, pages , 1. [4] L. Hike, F. Dohal, B.R. Mace, T.P. Waters, N.S. Ferguso, Compoet mode sythesis as a framework for ucertaity aalysis, Joural of Soud ad Vibratio, 34, pages , 9. [5] L. Martii, Développemet et évaluatio de l'hypothèse de stabilité modale pour la variabilité du comportemet vibratoire des structures mices modélisées par élémets fiis, thèse de doctorat, Uiversité de Techologie de Compiège, Frace, 8. [6] E. Aroult, P. Lardeur, L. Martii, The modal stability procedure for dyamic ad liear fiite elemet aalysis with variability, Fiite Elemets i Aalysis ad Desig, 47(1) pages 3-45, 11. [7] M.B. Boubaker, F. Druese, P. Lardeur, F. Barillo, P. Mordillat, Ucertai vibratio aalysis of a automotive car body modeled by fiite elemets with the Modal Stability Procedure, Iteratioal coferece o oise ad vibratio egieerig (ISMA), & Iteratioal coferece o Ucertaity i Structural Dyamics (USD), Leuve, Belgique 1. [8] L.W. Due, Modal correctio methods i acoustic reliability aalysis of vehicles, Soud ad Vibratio, 6. [9] [1] D.J. Ewis, Modal testig: theory ad practice, Research Studies Press, Baldock, Hertfordshire, U.K.,