P(1) 1 (1 2cos ) 1 (1 2cos ) cos 1 2cos cos cos

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1 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja EXERCICE Pour tout ombr compl z o a : P(z) z ( cos )z ( cos )z où ;..a) Calcul d P(): P() ( cos ) ( cos ) cos cos Pour résoudr, das, l équatiop(z), o factoris P(z) t pour cla o put utilisr la divisio uclidi, u idtificatio,ou bi l tablau d Horr : st u raci du polyôm P cos cos cos cos Alors Pour tout ombr compl z o a : P(z) (z )(z cos z ) soit z z = ou z cos z Résolvos l équatio : z cos z ' ( cos) = cos ( cos ) =(isi ) P(z) (z )(z cos z ) Doc cos isi z' cos isi cos isi z'' cos isi Si si, Im(z ) z z' cos isi si, Alors : z cos isi. Doc l smbl d solutios d l équatio P(z) das st : S ;cos isi ;cos isi. ) Das l pla compl mui d u rpèr orthoormé (O,u, v) ls ombrs z,z t z sot ls affis rspctivs d M,M tm Détrmir ls liu géométriqus d M, M lors qu décrit, : M cos M ( M ; M ) y M si M y M, Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

2 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja Autrmt : ) M Décrit l crcl d ctr O t d rayo i OM z, ; Doc M décrit l crcl d ctr O t d rayo D mêm pour M : M décrit l crcl d ctr O t d rayo G=bar M M - a) L liu géométriqu du poit G : Calculos z G l affi du poit G : z z z cos i si (cos i si ) zg z cos 4i si G cos cos, y 4si si y 4 y 4 Alors l liu géométriqu d G st l'llips d'équatio rpèr (O,u, v). y das l 4 b) Soit (,y) ls coordoés d G das l rpèr (O,u, v) t cosidéros l poit (,); alors das l rpèr (,u, v) ls X Y cordoé (X;Y)d G vérifit : car 4 X Y y Alors l liu géométriqu d G st l'llips dot l équatio réduit das l rpèr (,u, v) X Y M 4 Comm b 4 a, alors ls élémts caractéristiqus (das l rpèr (O,u, v)sot : L ctr (,), Ls sommts: - Das l rpèr (,u, v) ls sommts sot A(,) ; A'(-,), B(,4) t B'(,-4) +- A' y B C A B' M Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

3 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja X Or Y y - Doc das l rpèr (O,u, v)) ls sommts sot A(,), A'(,),B( ;4) t B'(, 4) c b a 4 c L ctricité : b 4 Costructio d 4) a) Si alors z M (,) z cos isi M (,) z cos isi M (, ); Alors zg cos 4i si 4i G(, 4) E particulir, G st u sommt d : G B. b) ' st l smbl d poits Mdu pla tls qu MM MM MM C st la lig d ivau d la foctio scalair d Libiz (M) MM MM MM (M,),(M,),(M, ) dot associé au systm l baryctr st G. Doc, par réductio d écritur : (G) GM GM GM O G GM z z ( ) ( 4 ) G GM z z () ( 4) O G GM z z () ( 4) ' st l crcl d ctr G passat par M car Autr méthod M ' MG (G) Alors (G) Doc M ' MG d où ' st l crcl d ctr G t d rayo GM GM. (M ) M M M M M M ( ) ( ) ( ) ( ) Alors M '. Doc ' ctr G passat par M. t ' G. Par suit ' st l crcl d Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

4 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja EXERCICE f() ( l ) si > Soit f la foctio défii par, f()= (C) sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormé (O,u, v) ) a)- Cotiuité d f à droit : lim f() lim ( l) lim( l) Comm lim f() f(), alors f st cotiu - Dérivabilité d f à droit : f() f() ( l ) lim lim lim( l ) Doc f 'st pas dérivabl. Itrprétatio graphiqu: la courb d f admt, à droit d, u dmitagt vrtical dirigé vrs l haut. b- Ls variatios d f : Ls limits d f au bors d so domai d défiitio: lim lim f(): lim f() lim( l) lim f() La dérivé d f : f '() l l l f '(), D où f '(),, f '() tf() ( l) Tablau d variatio d f : + f () + - f() - f() c- Calcul d lim f() ( l ) lim lim lim( l ) - Doc la courb d f admt, au voisiag d, u brach paraboliqu d dirctio (Oy) - L'itrsctio d (C) avc l'a (O): l l f() ( l ) ou Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi 4

5 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja ) Soit f la foctio dé fii pour par f () f () ( l) > courb rpréstativ das u rpèr orthoormé (O,u, v) a)- La cotiuité d f à droit, pour lim f () lim ( l) lim( l) Doc comm lim f () f () alors f st cotiu - La dérivabilité d f à droit, pour f () f () ( l) lim lim lim l Doc f st pas dérivabl. Itrprétatio graphiqu: la courb d f admt, à droit d, u dmi-tagt horizotal d'équatio y. b- Ls variatios d f : Ls limits d f au bors d so domai d défiitio: lim f () : lim f () lim lim f () lim( l) La dérivé d f D où: soit l l, f '() f '() ( l ) ( l ) ou bi f l ( ) t (C ) sa Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

6 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja Tablau d variatio d f : f ' () + - f () + - ) a- Motros qu touts ls courbs (C ) passt par trois poits fis, pour cla il suffit d motrr qu ls courbs (C ) t (C ) ot trois poits commus: f () f () ( l ) ( l ) ( l )( ) ou ou Doc touts ls courbs (C ) passt par ls trois poits d coordoés,f (),,f () t,f () Alors ls poits d coordoés,,, t, sot commus à touts ls courbs (C ). b- Pour étudir ls positios rlativs d (C ) t (C ) o étudi l sig d f () f () Alors d'après la qustio ) a- o put établir l tablau suivat: + f () f () + - Positios rlativs PI C /C PI C /C C /C PI 4) Pour tout pour o défiit la suit U f ()d a- L'itrprétatio géométriqu d l'itégral U : Comm (C ) st au-dssus d (OX) sur l'itrvall ; alors U st l'air du domai pla limité par (C ), (OX) t ls droits d'équatios ; b- Motros sas calcul qu la suit (U )st positiv t décroissat: D'après l tablau d variatio f st positiv sur l'itrvall ;, d plus alors U f ()d U U f ()d f ()d f () f () d Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

7 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja Or t d'après la qustio )b- o a f () f () st égativ sur l'itrvall ; alors (U )st décroissat. c- L'prssio d U foctio d t la limit d Calculos (U ): utilisat u itégratio U f ()d ( l )d par partis: u() l u'() v'() v() Alors U ( l ) d U ( l) ( l ) d U U La limit d (U ) lim Comm, alors lim U lim EXERCICE La foctio f défii sur par f() ) a- Calcul d limits d f: lim f() lim lim f() lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) Itrprétatio graphiqu: la courb d f admt du asymptots horizotals, l'u d'équatio y au voisiag d, l'autr d'équatio y au voisiag d. b- Démostratio qu f st impair t l tablau d variatio d f Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi 7

8 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja Df Df; Df alors f st u foctio impair. f( ) f() Ls variatios d f ( )( ) ( )( ) f '() ( ) ( f '() ) ( ( ) 4 4 f '() ( ) ( ) Alors f a l tablau d variatio suivat - + f () + f() - c- La courb (C) rpréstativ d f das u rpèr orthoormé (O,i, j) d'uité cm ) y d- Calcul d A, l'air du domai pla limité par la courb(c), l'a (O) t ls droits d'équatios t l ; o rmarqu qu (C) st au-dssus d l'a (O) sur ;l l l l A f()d d l( ) l( ) l( ) l ) O défiit la suit umériqu (U ) par U a) Calcul d U U l f(t)dt A l l (f(t)) dt Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi 8

9 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja 4 b) Motros qu pour tout tir aturl, o a: U l : O sait qu f st croissat sur l'itrvall ;l Alors t ;l f() f(t) f(l) (f(t)) 4 l l l 4 dt (f(t)) dt dt 4 U t Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi 9 4 Doc U l 4 Comm lim alors d'après l théorèm ds gdarms c) Vérifios qu pour tout, f '() (f()) : l lim U 4 ( ) 4 4 f '() ( ) ( ) ( ) ( ) (f()) ( ) ( ) 4 Motros qu, U U l l U U (f(t)) dt (f(t)) dt l l l (f(t)) (f(t)) dt l f (t) (f(t)) dt f (t) f '(t) dt f '(t) f (t) dt f (t) l (f(l)) (f()) 4 4 Alors, U U d) Pour tout tir aturl strictmt positiv Motros qu U 4 l pp p

10 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja O appliqu la rlatio démotré das la qustio ) c): k 4 k Uk Uk suit pour ls trms cosécutifs d'idics pairs d la k (U ), trms d'idics k p t k p, p 4 Doc p Up Up p 4 p : U U 4 p : U4 U 4 p : U U p : U U p E additioat t simplifiat mmbrs à mmbrs o obtit: U 4 U pp Doc U p or l 4 l pp p l U (f(t)) dt t l 4 U l p p Motros d mêm qu : O appliqu la rlatio démotré das la qustio ) c): k 4 k Uk Uk suit Alors pour ls trms succssifs d'idics impairs d la k (U ), trms d'idics k p t k p, p doc 4 Up U p p p p p Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

11 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja 4 p : U U 4 p : U U 4 p : U7 U p : U U E additioat t simplifiat mmbrs à mmbrs o obtit: U 4 U pp or U l p 4 Doc U l p p d) Pour tout tir aturl strictmt positif o pos p 4 p S... 4 pp Calcul d limit d la suit S p p p O a S p p p p p p Or, d'après la qustio ) d) o a p p 4 U l pp t 4 U l pp Alors S U l U l l Et comm lim U alors lim S l Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

12 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja EXERCICE 4 ) a) La figur b) Motros qu'il ist u sul rotatio r qui trasform I A t B J : a AJ IB Comm alors il ist u uiqu rotatio r qui trasform I AJ IB A t B J c) l'agl d r (IB, AJ) (CB, AC) (CB, AC) md IA md BJ L ctr K Coclusio r (K; ) ) Soit r la rotatio d ctr I t d'agl a) Détrmios r (C)t r (J) Comm ICJ st équilatéral dirct alors r (C) J D mêm IJK st équilatéral dirct d'ou r (J) K b) L'imag d la droit (AC) : O a (AC) (CJ) doc r (AC) r (CJ) (JK) ) Soit h l'homothéti d ctr G t d rapport t o pos s r h Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

13 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja a) l'imag du triagl ABC par h(g; ) : Comm GI GA alors h(a) I Comm GJ GB alors h(b) J Comm GK GC alors h(c) K Alors h(abc) IJK b) Natur t caractérisatio d s: s r h st la composé u rotatio d'agl t d'u homothéti d rapport égatif, doc S st u similitud dirct d rapport k t d'agl c) Détrmiatio d s(a) O a s(a) r h(a) r (I) A Comm s(a) A o put dir qu A st l ctr d la similitud s. d) La form réduit d s : c'st la composé d l'homothéti d rapport k t d ctr A t la rotatio d'agl t d ctr A : Soit h'(a; ) t r'(a; ) alors s r' h' h' r' 4) O pos s s t s s s a) Caractérisatio d s s st la composé ds similituds d mêm ctr A t dot la somm ds agls Doc s st u homothéti d rapport égatif t d ctr A 8 s H(A, ) 8 b) O pos p motros qu p s st u homothéti d rapport égatif, pour cla il suffit d motrr qu l'agl d la similitud p st u multipl impair d : p fois fois Doc p st u multipl impair d 9 t par coséqut p 9(k ), k p Doc l'agl d s : s Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

14 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja (p )( ) 9(k )( ) (k ) Autr méthod p ( ) 9 Or st la somm d trms cosécutifs d la suit géométriqu d raiso t d prmir trm :... p 9... Alors o put écrir Et comm pour tout tir aturl,... st impair C qui sigifi qu'il ist k tl qu D où p 9(k ). p Doc l'agl d s : (p )( ) 9(k )( ) st pair alors l'tir... k p Coclusio: si p alors s st u similitud d'agl, doc c'st u homothéti d rapport égatif ) Pour tout poit M du pla, o pos r (M) M, r (M) M ts(m) M' (voir la figur). a) Détrmiatio d M t M M r (I) A Si M I: alors M r (I) I M r (K) K Si M K: alors M r (K) B M r (A) J' tl qu J' S K(J) Si M A: alors M r (A) I' tl qu I' S BK(I) b) Motros qu l triagl AMM' st rctagl M': AM' AM O a s(m) M' alors (AM, AM') D'après la rlatio d'alkashi MM' AM AM' AM.AM'cos( ) Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi 4

15 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja MM' AM AM AM. AM 4 MM' AM 4 Doc o trouv AM' MM' AM AM 4 4 AM Comm AM' MM' AM doc d'après l réciproqu d Pythagor l triagl AMM'st rctagl M' c) Détrmios l'smbl d poits M du pla tl qu M, M t M soit aligés: D'après Chasls (MM,MM ) (MM,MK) (MK,MI) (MI,MM ) r (K; ):M M Doc l triagl KMM st isocèl dirct K; t (KM,KM ) Par coséqut (MM,MK) r (I; ):M MDoc l triagl IMM st équilatéral dirct. Par coséqut (MI,MM ) Doc rmplaçat das la rlatio o obtit: (MM,MM ) (MK,MI) (MK,MI) Alors ls poits M, M t M soit aligés si t sulmt si: (MM,MM ) (MK,MI) (MK,MI) Et comm (AK,AI) alors (AK,AI) (MK,MI) D où M, K, I t A sot cocycliqus, alors M appartit au crcl d diamètr AC Alors L'smbl d poits M du pla tl qu M, M t M soit aligés st l crcl d diamètr AC Privé d K t I. ) O suppos das ctt qustio qu M st situé sur l crcl d diamètr AC privé d A Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi

16 Corrigé du sujt Bac s Equip d Maths Ecols privés Elmaarif&Erraja a) Motros qu la droit (MM ) pass par u poit fi: O sait qu M st situé sur l crcl d diamètr AC privé d A Doc D où (MI,MA) (MI,MA) (CI,CA) Das l triagl MIM équilatéral idirct o a D où Alors d Chasls o a: (MI,MA) (MI,MM ) (MI,MA) (MI,MM ) (MI,MA) (MM,MI) (MM,MA) (MI,MM ) doc ls poits M,A t M sot aligés. Coclusio; la droit (MM )pass par l poit fi A. b) Motros qu la droit (MM') pass par u poit fi: O sait qu l triagl AMM'rctagl M' o a (AM,AM') D où: (MM',MA) Or M st sur l crcl d diamètr AC alors o a (MA,MK) (CA,CK) E sommat mmbrs à mmbrs ls du drièrs rlatios o obtit: (MM',MA) (MA,MK) (MM',MK) Alors Coclusio: la droit (MM') pass par l poit fi K. c) Motros qu l'agl (MM,MM') a u msur costat, t détrmios ctt msur: AC alors ls poits M, M t M - O sait qu M st sur l crcl d diamètr sot aligés t ls poits A, M t M l sot aussi. Alors ls poits A, M, M t M sot aligés, d où ls vcturs MA t MM sot coliéairs - O sait qu ls poits M,M' t K sot aligés, doc ls vcturs MM' t MK sot coliéairs. Alors (MM,MM') (MA,MK) : coliéarité Doc (CA,CK) : cocyclicité (MM,MM') Coclusio: L agl (MM,MM') gard la msur costat si M décrit l crcl d diamètr AC privé d A. Ecols Privés Elmaarif t Erraja Sujts corrigés d Maths 7C Sujt : N Corrigé par Md Yahya O. Md Abdllahi