Chapitre I : L espace des états. Le formalisme de Dirac

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1 Chaptre I : L espace des états. Le formalsme de Drac 1 I) Espace des états et espace dal kets, bras, prodt scalare II) Les Opératers Opératers, commtaters, projecter, opératers adjonts, opératers hermtqes III) Conjgason hermtqe dans les notatons de Drac : récaptlatf IV) Représentaton Formalsme matrcel, représentaton «r» et le retor a concept de foncton d onde V) Eqatons ax valers propres et Observables

2 Chaptre I : L espace des états. Le formalsme de Drac Idée On a v qe l état qantqe d n système est spécfé par la donnée de sa foncton d onde r) 3 ( rr en tot pont r La foncton d onde n est en fat q ne représentaton d n objet pls général, le vecter o «ket» (vocablare de Drac) q défnt complètement l état d système Analoge En géométre Vecter V Coordonnées de V dans base (e x, e y, e z ): (V x, V y, V z ) La donnée de (V x, V y, V z ) constte ne représentaton de V. S on change de base, les coordonnées changent et on dot donner (W x, W y, W z ) q est ne atre représentaton d même vecter V

3 En mécanqe qantqe, nos allons vor qe la donnée des valers de la foncton d onde r) en tot pont r correspond à la donnée des coordonnées d ket 3 ( rr dans ne base partclère (qe l on précsera ltérerement) 3 (r) I) Espace des états et espace dal : 1) On note l espace des états d système. C est n espace vectorel Tote combnason lnéare de vecters de appartent à 1,, 1,, 1 1 Exemple de systèmes à états o à n états

4 4 ) Prodt scalare sr sot et On défnt le prodt scalare, (r) et (r) assocées à partr des fonctons d ondes 3 ( r) ( r) d r, R 3 Le prodt scalare est défn à partr de la somme d prodt des coordonnées (o de ler conjgé ) des dex vecters et Analoge avec le prodt scalare en géométre sr R 3 : Sot ( x, y, z ) et v (v x, v y, v z ), on a :.v = x.v x + y. v y + z. v y Le prodt scalare est défn à partr de la somme d prodt des coordonnées des dex vecters

5 Dans la ste, on notera le prodt scalare 5, Notaton «bra-ket» de Drac est appelé n «bra» Pal Drac ( ) Prx Nobel ) Défnton de l espace dal de l espace des états : L ensemble des bras forment l espace dal de noté

6 4) Les proprétés d prodt scalare en notaton «bra-ket» (notatons de Drac) 6 Prodt scalare de par noté Bra Ket a) Proprétés : Lnéarté de par rapport à, lnéarté de par rapport à, Norme : est réel, postf

7 b) Conjgason hermtqe: à tot ket on pet assocer n bra Le fat d assocer n bra à n ket est ne opératon de conjgason hermtqe noté + 7 Règles: 11 conjgé L opératon de conjgason est dte ant-lnare Cette opératon de conjgason hermtqe est très tle dans les calcls de prodts scalares (Vor exemple) De même, à tot bra Règle: II) Les Opératers 1) Opératers défns sr on pet assocer n ket  A A A lnéarté L opératon de conjgason est ant-lnare

8 Prodt : A B A( B ) 8 Commtater: A, B AB BA Elément de matrce: sot dex kets et on appelle élément de matrce de  entre C est n scalare ) Un opérater partcler : le projecter et le prodt scalare A A noté  Sot n ket normé, c est à dre 1 On défnt l opérater P Coté nttf de la notaton de Drac Calclons P P P P P P 1 C est la défnton même d n projecter

9 Sot n ket qelconqe P 9 Prodt scalare Analoge avec la géométre dans R 3 v P (v) = (.v) ) Opérater adjont o opérater conjgé hermtqe défn sr Sot l opérater  A: conjgason '? ' A conjgason

10 a) On note  + l opérater q permet de fare passer de à ' 10 Notaton : A '  + agt sr les bras dans.  + est appelé l opérater adjont de  Sot l opérater Â. L opérater conjgé  + est l opérater q applqé à n bras ' l assoce le bras conjgé d ket ' mage par  d ket conjgé d bra conjgason Â+  ' ' A A conjgason A

11  A A A A 1 1 A A A donc  + est lnéare conjgason conjgason c) Relaton mportante  ' Sot Qelqe sot, (proprété d prodt scalare) ' ' A A 11  ' De pls b)  + est lnéare? 1 1 A Cette relaton est tle car elle permet de calcler tos les éléments de matrce de s on connat les éléments de matrce de  Â

12 d) Proprétés de A + A A A A A B A B A B B A tot cec est démontrable grâce à la relaton c) (l ordre change) 1 4) Défnton d n opérater hermtqe Opérater tel qe  + =  Ces opératers joent n rôle fondamental en MQ

13 III) Conjgason hermtqe dans les notatons de Drac : récaptlatf 13 Por obtenr l adjont o le conjgé hermtqe d ne expresson qelconqe contenant des constantes, des kets, des bras et des opératers, l fat remplacer : -les constantes par les valers complexes conjgées -les kets par les bras assocés -les bras par les kets assocés -les opératers par lers opératers adjonts Il fat de pls nverser l ordre des termes (sele la place des constantes n a pas d mportance) IV) Représentaton 1) Le chox d ne représentaton constte le chox d ne base orthonormée (dscrète o contne) sr laqelle on projette les kets La représentaton est donnée par l ensemble des coordonnées d ket dans la base chose

14 ) Bases orthonormées (dscrètes o contnes) 14 a) Base dscrète N j j c c C avecc Base contne R ' ' ( ) c R d avecc b) Tote base orthonormée obét à ne relaton dte de» fermetre» Base dscrète Id Îd est l opérater dentté Base contne R d Id

15 Démonstraton: c Id 3) Représentaton de et de dans la base N Représentaton d ket donnée des composantes en colonne Représentaton d bra j j j j j j j j j 15

16 Par conventon, on donne les coordonnées d bra en lgne 16 j Avec cette conventon, le prodt scalare j est le prodt matrcel de la matrce lgne par la matrce colonne Prodt des dex matrces :

17 4) Représentaton d n opérater  dans ne base N Éléments de matrce: Base dscrète Base contne A A j A j A 17 La représentaton de l opérater  est donnée par la matrce contenant les j A j Aj 5) Représentaton de l opérater adjont  + A j A j j A A j donc s  + est l adjont de  : A j A j s  est hermtqe : AjA j

18 6) La représentaton r 18 a) La représentaton r : on retrove le formalsme de la foncton d onde!! Base des kets r 0 0 r assocés ax fonctons ( r ) ( rr r 0 ) 0 0 r ' 3 ' base orthonormée 0 r0 ( r) ( r) d r ( r0 r ) r' 0 relaton de fermetre composante d n ket r r R R r 0 r 0 d R 3 3 r 0 r0 r r0 ( r) ( r) d r ( rr 0) ( r) d r ( r R 3 r 0 R r ( 0 ) 0 r 3 Les composantes d ket dans la base sont les valers 0 de la foncton d onde ( r 0 ) prses en tot pont r r 0 d ^ Id 3 r 0 r 0 0 )

19 Les valers de la foncton d onde consttent les coordonnées d ket (r) prses en tot pont r dans la base r r (r) dans la base r r 19 Rq) l exste n atre type de représentaton appelée la représentaton «p» La base tlsée est la base des kets assocés à des fonctons d onde planes et le ket s exprme alors par la donnée des la valer de la transformée de Forrer de Ψ(r) en tot pont V) Eqatons ax valers propres et Observables 1) Valers et vecters propres Sot n opérater  est valer propre de  por le ket propre  L ensemble des valers propres d n opérater  est le spectre de Â

20 Lorsq à ne valer propre sont assocés dfférents vecters propres, on parle de valer propre dégénérée. La dégénérescence est le nombre de vecters propres ndépendants assocés à ne même valer propre ) Eqaton caractérstqe On chost la base de représentaton Sot N ket propre de  assocée à la valer propre  ^ ^ det ( A Id) 0 Éqaton caractérstqe q permet de calcler les valers de Les valers propres d n opérater sont les racnes de son éqaton caractérstqe 3) Proprétés des opératers hermtqes d n pont de ve des valers propres et des vecters propres Opérater hermtqe :  + =  0

21 Les valers propres d n opérater hermtqe sont réelles 1 vecters propres d n opérater hermtqe assocés à des valers propres dfférentes sont orthogonax Le degré de dégénérescence d ne valer propre est égal à sa mltplcté comme racne de l éqaton caractérstqe Conséqence : Dans n espace de dmenson fne N, n opérater hermtqe a tojors N vecters propres ndépendants q consttent ne base. On pet orthonormalser cette base. Dans n espace de dmenson nfne, les vecters propres ne consttent pas forcément ne base. 4) Noton d Observable Défnton: On appellera Observable n opérater hermtqe dont les vecters propres consttent ne base orthonormée de l espace des états

22 j j Id Conclson : L ntrodcton des vecters d états kets et de l espace des états permettra ne smplfcaton d formalsme v dans le cors Nanophysqe A basé sr les fonctons d onde. Il s agt également d ne généralsaton : En effet, l exste des systèmes physqes dont la descrpton qantqe ne pet pas se fare à partr de la foncton d onde. C est le cas par exemple des partcles dont on tent compte d degré de lberté de spn.

23 Systèmes à états o à nveax L espace des états est de dmenson E Etat E 1 1 Etat 1 photon Etat E 1 Etat 1 E 1

24 Les boîtes qantqes sem-condctrces Intensté PL(nté. arb) J.P. Mc Caffey et al., JAP 88, 7(000) hater ~ 6 nm, damètre~ 0 nm GaAs photon GaAs Etat E 1 Etat 1 E 1 InAs Electron confné dans les 3 D de l espace Etats d énerge dscrets: «atomes artfcels» 1,8 1,9 Energe (ev)

25 Vers le tratement qantqe de l nformaton Degré de lberté exploté: le spn de l électron InAs 1 «bt qantqe» GaAs = S 1/ Etat z Bt «1» Spn d électron InAs GaAs 1 = S 1/ Etat 1 z Bt «0» InAs GaAs S z 1/ S 1/? Pas d éqvalent classqe!!! z

26 Intensté de lmnescence Les nano-partcles d InP Exemple de nanopartcles de InP/CdS InP O O (CH ) 14 CH 3 Image MET de Nanopartcles d InP élaborées a LPCNO CdS photon Nanopartcles d InP en solton Etat E E 1 Etat 1 1 La longer d onde d émsson des nanopartcles pet être ajstée en contrôlant la talle des objets L. ERADES, C. NAYRAL, K. SOULANTICA, et al., New J. Chem., 1, , (006) F. DELPECH, C. NAYRAL, N. EL HAWI. French Patent n 07/08107, date de dépôt 19 nov 007

27 Objectf: cblage et detecton n-vvo de cellles tmorales CdSe-PSMA Image d'orgne Sgnal à l NP "sgnal de fond" Image analysée Chox d InP por des rasons de toxcologe Préparaton de partcles d InP de talle proche de 10 nm Optmser la lmnescence ax frontères de l nfraroge (transmssvté physologqe élevée entre 800 et 1300 nm). détecton sensble

28 Systèmes à n états E=-13,6eV/n l=0, 1, n-1 m=-l, -l+1, l-1,l m=0 n=, l=0 m=-1 m=0 m=-1 n=, l=1 l=0,m=0 état s x état p z Orbtales de l atome d hydrogène