Fonction logarithme népérien

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1 Foctio logrithm épéri C H A P I T R E Itrod ductio Progrmm Cotus Cpcités ttdus Commtirs Foctio logrithm épéri Coîtr l ss d vritio, ls limits O put itroduir l octio logrithm t l rprésttio grphiqu d l épéri grâc u propriétés d l Foctio 7 l octio logrithm épéri octio potill ou à prtir d l équtio octioll Rltio octioll, dérivé Utilisr, pour rél strictmt positi t b O soulig ds ls cdrs lgébriqu t b rél, l équivlc l b grphiqu qu ls octios logrithm Utilisr l rltio octioll pour épéri t potill sot réciproqus trsormr u écritur l u d l utr Tout dévloppmt Coîtr t ploitr lim l théoriqu sur ls octios réciproqus st " clu O it l li tr l ombr dérivé d l octio logrithm t l limit d l O évoqu l octio logrithm déciml pour so utilité ds ls utrs disciplis E [SI] Gi lié à u octio d trsrt E [SPC] Itsité soor, mgitud d u séism, échll ds ph AP Équtios octiolls Clcul d dérivés : complémts Dérivé d 7 l^u ^ hh Ittios ds uturs C chpitr it suit u chpitr coscré à l octio potill Coormémt u progrmm, l li d réciprocité tr ls du octios st u cœur ds ctivités d itroductio t ds rcics Ls rcics t TP proposés poursuivt u doubl objcti : ir cquérir u élèvs u crti isc ds ls étuds d octios ist itrvir l potill t l logrithm épéri ; proposr d ombruss pplictios ou problèms issus d situtios cocrèts qui ot itrvir l octio logrithm épéri (décibl, ph, tc) Ls outils iormtiqus ou l utilistio d logicils d clcul orml ot u plc privilégié ds ls résolutios ds diérts problèms Hchtt Livr Déclic T l S Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

2 O obtit qu l 8,8 à près O put doc déiir l, pour tout rél strict Prtir d u bo pid Objcti Ls ctivités d ctt pg ot été coçus pour réctivr ls coisscs cocrt l octio potill (A) t préprr à l'étud d'u octio réciproqu (B t C) A c c B E : b b lim t lim y, y " " doc lim ^ h,,79,89,,6 6, 8, c O put cojcturr, u rrodis près, qu : l l l 6 t # l l 8 O put cojcturr qu lim l " t lim l " " E : lim t lim y, " " Pour tout rél : l^ h L octio st cotiu strictmt croisst lim ^ h t " U pproch grphiqu du logrithm épéri Activité y " doc lim ^ h sur R, mt positi, comm étt l uiqu técédt d pr l octio potill b l l6 l8 l, l, l l lim ^ h Doc, " Objcti : O prépr l li tr ls courbs d du octios réciproqus y d près l théorèm ds vlurs itrmédiirs, l équtio ^ h dmt u uiqu solutio sur R Pr blygs succssis, o obtit,69,7 C Trcé d l courb à mi lvé b c st cotiu, strictmt croisst sur 6 D plus, ^ h 6 t ^h Doc, pr l théorèm ds vlurs itrmédiirs, chqu élémt d 6 6 bi u uiqu técédt pr b 6 g^ h, g^ h, Découvrir U pproch umériqu du logrithm épéri Activité Objcti Ls ctivités sot coçus pour mr u découvrt progrssiv d l octio logrithm épéri t d ss propriétés, vrit ls typs d'pproch (umériqu, grphiqu, octioll ) O itroduit l ottio vi l'étud d l'équtio Voir l cours Hchtt Livr Déclic Tl S ^h t O rmrqu qu ls du courbs sot symé triqus pr rpport à l droit d équtio y Activité Imgs d suits umériqus Objcti : O motr qu l octio potill trsorm u progrssio rithmétiqu u progrssio géométriqu, isi qu l résultt corrspodt pour l octio logrithm épéri u b v # ^h v st doc u suit géométriqu d prmir trm t d riso c L octio potill trsorm u suit rithmétiqu d riso r u suit géométriqu d riso r g # b L octio potill étt cotiu, strictmt croisst sur R, o justii l istc d l soutio pr l théorèm ds vlurs itrmédiirs b Pr blygs succssis, o obtit :,69 l,69 O put doc prdr,69 comm vlur pproché B S l J K E G H A C g Livr du prossur CHAPITRE L suit st rithmétiqu d prmir trm l t d riso l Foctio logrithm épéri

3 c L octio logrithm épéri trsorm u suit géométriqu d riso r u suit rithmétiqu d riso lr Activité Rltio octioll t octios logrithms Objcti O mt plc ls propriétés qu l o put déduir d l équtio octioll ^h ^h ^h D où ^h ^h k ^h D où : k ^ h O obtit y l ^y h l ^h b E ppliqut l rltio à, o déduit qu : l^ h l^ yh y Activité Loi d Kplr Objcti Grâc u tblur, o mt lumièr u loi d Kplr, qu l o vérii à l drièr qustio d O put cojcturr u rltio i tr l T t l R, du typ : l T, 987 # l R,,, 987 # lr D où T # O utilis l régrssio liéir : T 6, jours ; c qui smbl bi vlidr l loi étbli à l qustio ^h ; ^ h # doc l^ h ^ h ^ h ^ h ^ h O t ^ h, doc o étudi l sig d H G G l G l G l O obtit l tblu d vritios suivt : l l^h ^h Svoir ir Étudir u octio comportt u logrithm épéri liml t " lim l " D où : lim ^h lim ^h " " l b t c l^h Doc l^h st du sig d l O doc : l^h ^h Hchtt Livr Déclic T l S Ercics d pplictio Svoir ir Utilisr l logrithm épéri pour résoudr ds équtios ou ds iéqutios l ; b l ; c l ; d il y ps d solutio ; b ; c il y ucu solutio ; d il y ucu solutio st dérivbl sur R t o l^ h ^ h O H 6 l ; 6 O obtit l tblu d vritios suivt : l l l^h ^h 6 Pr somm, d limits, lim ^h " b liml t lim ^ l h " " D où, pr produit d limits : lim ^h " l l c l^h l^h st du sig d l l^hh l H l H H O doc : l^h ^h 7 E liml t lim D où " lim ^h " " Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

4 E, d près l cours, lim ^h " l b l^h l^h st du sig d l O doc : l^h ^h 8 Pr diérc d limits, lim ^h " b D près l cours, lim l, " l d où lim c m Doc, pr produit : " lim " c l^h O doc : ^h l^h ^h Il s git du coicit dirctur, d l pt d l droit ^ABh b 6,9 ;,8 ;,9 ;,6 ;, Il smbl qu l tu d vritios décroiss vrs c Pr mpl, pour l^ hl d O vut D où l k D où O voit doc bi qu l tu d ccroissmt put êtr rdu ussi proch d qu l o vut U pproimtio d l u u v v O u G l t v H l Ls iéglités sot stricts, cr ls suits sot strictmt mootos Voici u mpl vc Xcs, t u pplictio vc O obtit u cdrmt à, près, c qui st vrimt très moy! Trvu u prtiqus Hchtt Livr Déclic T l S 9 Qui st l plus grd? Étp 9 O t b O put cojcturr qu b l t l L cojctur smbl doc vériié Étp O vu (Svoir Fir, rcic 7) qu : l^h ^h L octio st doc décroisst sur 6 ; 6 L suit l st doc décroisst pour H Pour, o costt qu, t pour, Étp O pour H, ^ h Et l résultt st ivrsé pour t «Vitss d croissc» d l octio l Alors qu ls bscisss vrit d à, ls vlurs ds ordoés vrit à pi d à, Logrithm déciml Prti A log, log, log, O cdr pr du puisscs d cosécutivs, t o utilis l croissc du logrithm épéri O obtit : log789 log 66 log,9 L dérivé st égl à L octio st doc l strictmt croisst ; 6 Prti B L 7 db L L l $ l I I,W$ m I I W m ^ h Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

5 b ^h logc m ^l l h l log c l^h L octio st doc strictmt croisst ; 6 C st vri, o rtrouv u propriété clssiqu du logrithm déciml l 8 $ 6 I l I W$ m I I W m L itsité soor st doc d,# W$ m, c qui corrspod à u ivu soor d 8, db O rtrouv qusimt l ivu soor d l mchi l plus bruyt Fir l poit 6 b b c c 6 7 b c c 8 Fu Vri Fu Fu 9 Fu Vri Vri Vri Esmbl d déiitio ; 6 ; u solutio : b Esmbl d déiitio ; 6 ; ps d solutio c Esmbl d déiitio 6 ; ; du solutios : t 6 d Esmbl d déiitio : C ; 9 ; du solutios : t 6 ; b l k ; c Ps d solutio ; d 7 l ; l b ; c l 8 X ou X ou ; b ou l 9 X! 6 6 ou 6 b l 6 Ercics cs d pplictio p t io L octio logrithm épéri Fu Fu Vri ;@ ; ; 6 ;, c! 6 ; 6 ; d! 6 ; 6 Vri Fu Fu Fu Fu ; b ; c ; d l ; b ; c ; d ou ; 9 ; 6 l ; b l ; l c ; d ps d solutio 8 Esmbl d déiitio ; 6, solutio b Esmbl d déiitio ; 6, ps d solutio c Esmbl d déiitio ;6, solutio :! 6 ; 6 ; b l ; c l ; d ; b l ; c ; d Propriétés lgébriqus Hchtt Livr Déclic T l S Esmbl d déiitio ; 6 ; u solutio : b Esmbl d déiitio : C ; 9 ; u solutio : c Esmbl d déiitio ;6 ; u solutio : d Esmbl d déiitio ; 6 ; ps d solutio c b b 6 Fu Fu Vri Vri 7 Vri (propriété odmtl du logrithm) Fu, cr sul vérii t c st ps u élémt d l smbl d déiitio d ctt équtio Vri, pr strict croissc du logrithm, cr pour Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

6 Vri, pr strict croissc du logrithm épéri Vri : 8 Vri Vri Fu Vri Fu 6 Vri 9 l l ; b l ; c l ; d l l ; l ; l l l ; b l l ; c l l ; d l l ; l ; l l, l ; b l ; c l ; d l ; l, ; l, 6 l ; b l ; c l ; 7 d l 6 ; l ; l l 7 ; b l ; c l ; 9 l ; l 6 l ; b l ; c l ; d l ; l ; l^ h Étud d l octio logrithm épéri Vri Vri Fu Vri Vri b O déduit l tblu d vritios suivt : l^h ^h y Pour k! C ; 9 : du solutios Pour k : u solutio Pour k! C ; 9 : ucu solutio c m p, c m L probbilité cosidéré st égl à,, si o choisit orditurs O doit doc résoudr : l,,,999,, l, O doit doc choisir u mois 8 orditurs l^h l l l^ h ^l h l^h l l^h si l cos Hchtt Livr Déclic T l S 6 Fu Vri Fu Fu 7 Vri Fu Fu Fu 8 Vri b Fu c Fu d Vri 9 b c ou l, P H,99 k G, H 6 l 6 D où H, 6 O doit lcr u mois 6 ois ^h l ^ l h D où lim ^h t lim ^h " " l l l^h l H G liml t lim l " " D où : lim ^h lim ^h " " l^h l Doc l^h st du sig d l O doc : l^h ^h Il s git d u pplictio du théorèm ds vlurs itrmédiirs sur ls ; 6 ; 6 ^h k l! k k 6 L prmièr tré mt mémoir l octio, l duièm clcul s dérivé, l troisièm prmt d résoudr l^h t d déduir doc ls vritios d, ls du drièrs d détrmir ls limits d l iii 6 Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

7 Pour l sig d l^h, cllci st du sig d Pour ls limits, l compositio ds limits do l résultt, cr td vrs! O rtrouv bi ls vritios Suls ls limits sot ps évidts, du it d l croissc «lt» du logrithm 7 Au bout d és, l cpitl sr d #, ; il ur doublé lorsqu : l #,, l, Doc, il udr ttdr s b O rtrouv l mêm résultt Il suit d rir l clcul du vc u cpitl d déprt d C Si o ppll t l tu d plcmt, o : l l^ th 8 st déii ; ; 6 lim ^h lim ^h " " lim ^ h t lim ^h " " l^ h ^l h O déduit l tblu d vritios suivt : l^h ^h 9 liml t lim " " D où, pr somm : lim g ^ h ; " lim l t lim " " D où lim g^h " g st dérivbl ; 6 t gl^h Pr l théorèm ds vlurs itrmédiirs o obtit lors l istc d u uiqu solutio à l équtio g^h L cdrmt st obtu pr blyg # l ^h 6 y,6 L équtio d l tgt à l courb M^ ; yh st : y l l ^ h D où l résultt pr idtiictio vc l équtio réduit d D O, pr l duièm équtio,, cr st ps solutio du systèm Doc 6, Et ls coordoés d M sot ; k Ls résultts sot doc bi cohérts 6 ^h pport ucu iormtio ; ^h b b O l^h l Doc l^ h b L tgt cosidéré ds l éocé pour équtio : y ^ bh^ h D où b O déduit doc qu t b 6 l^h ; b l^h ; c l^ h ^ h ; d l^ h l^ h 6 l^h l ; b l^h ; c l^h ; d l^h cos si 6 l^h ; b l^h t ; c l^h Hchtt Livr Déclic T l S À l id du logicil, o cojctur qu 6,, pour u poit d cotct d coordoés ^, ;, h 6 u, u Doc comm u st u suit à trms positis, ll st croisst l u H, H H l, Il ut doc qu dépss Vri Fu Vri Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri 7

8 67 O cojctur qu ^h sur l itrvll cosidéré Il suit d rmrqur qu pour, d où, d où l résultt l^h O déduit l tblu d vritios d : l^h l ^h dmt u mimum strictmt égti, ll st doc bi strictmt égtiv Hchtt Livr Déclic T l S Croisscs comprés 68 Fu b Vri c Vri d Vri 69 Vri b Vri c Fu 7 ; b ; c ; d ; 7 l l L limit st doc b # l l l L limit st doc l l c # L limit st doc l^ h l d L limit st doc 7 ^l h X Comm X td vrs, pr croisscs comprés, l limit dmdé st 7 l l # Or, pour H, G, d où l résultt pr compriso d limits l X l X Or, lim X D où l résultt pr compositio ds " limits, utilist l ( ctorist pr ) ; b ( ctorist pr ) ; c ( dévloppt) # 7 L limit st doc, pr l l produit d limits b l l c m L limit st doc l l l c # L limit st doc 7 L limit st (ps d orm idétrmié) l ^h c m O rtrouv doc l résultt, pr produit d limits 76 lim ^h t lim ^h " " l^h D où l tblu : l^h ^h O ppliqu l théorèm ds vlurs itrmédiirs à l octio strictmt croisst cotiu Il suit d rmrqur grâc à l clcultric qu ^, 7h ; ^, 8h 77 lim ^ h t lim ^ h, " " l cr ^ h ^ h ^ hc m l^h D où l tblu : l^h ^h y st l miimum d, doc ^h pour!!, doc k, d où l résultt O déduit l k, d où : l k k 8 Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

9 78 Fu, il suit d prdr u Vri, cr l^uq h l^uh l^qh l^ h l Vri, cr l l k, ^ h puisqu l umértur td vrs t l déomitur vrs Vri : u / ^l^kh l kh l l k Doc u divrg vrs ^h Prti B OM ^lh # l ^h hl^ h Doc hl st du sig d ; 6 Doc : hl^h h^h Hchtt Livr Déclic T l S Prép Bc Ercics guidés 79 u ; u ; u b C sot ls mêms c O motr qu u w pour tout tir turl Iitilistio : l propriété st vri pour Hérédité : o suppos l propriété vri pour u tir turl ; u u w L propriété st doc vériié u rg L propriété st doc vri pour tout tir turl v v v l l l # # l l l # # # # # b S l l^ h # # ^ h Doc lim S " 8 Prti A l^h Pr opértios sur ls limits, o : lim ^h t lim ^h " D où l tblu d vritios : " l^h ^h st cotiu t strictmt croisst ; d plus, lim ^h t lim ^h " " O put ppliqur l théorèm ds vlurs itrmédiirs, d où l istc t l uicité d Pr blygs succssis, o obtit 8, b L octio h possèd u miimum qui st ttit qu pour Or, OM h Doc l distc OM st miiml pour l poit A^, g^hh T A pour équtio : y gl^h^ h g^h L coicit dirctur d ctt tgt st doc gl^h Or, l coicit dirctur d ^OAh st g ^h g^ l Et h ^ h L produit ds coicits dircturs st doc égl à l^ h, cr, comm ^ h,o : l^h 8 d g st cotiu t strictmt croisst ; d plus, lim g^h t lim g^h " " O put ppliqur l théorèm ds vlurs itrmédiirs, d où l istc t l uicité d O obtit l cdrmt pr blygs succssis g^h ^h l #, c qui prmt d justiir qu lim ^h " ^h l #, c qui prmt d justiir qu lim ^h " ^ l h^ h l l^h ^ h D où l résultt g^h ^ h Ercics d trîmt 8 Fu Vri Vri Fu Fu 6 Vri 7 Vri 8 Fu 8 l ^ l h Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri 9

10 Hchtt Livr Déclic T l S b L tblu do l sig d ^h g^h O déduit qu st udssus d ; 6, dssous ; ; 6 t qu ls du courbs s coupt u poits A^; h t B^ ; h l hl^h ; hl^h st du sig d l hl^h H l H l G G O doc : hl^h h^h b Sur ct itrvll, o, du it d l positio rltiv ds courbs, MN h^h L distc miml st doc d t ll st obtu pour 8 l^ h ^h O utilis l it qu lim l ^ hh h " h b O doc lim ^h ", vc h c ^h ^h l^ ^ hh l^ h O utilis lors qu lim t qu lim Xl X, vc X D où lim ^h " " X " d Du symptots horizotls y t y t g^th ^ th t ^ th D où g^th pour t D où l résultt b g^h Doc g^th pour t pr strict décroissc d g l^ h l^ h # # g^ h Or, Doc g^ h Doc l^h D où l tblu d vritios suivt : l^h ^h y 8 lim, doc liml k " " Doc lim ^h " lim, doc pr cotiuité du logrithm, " lim l k l " Doc lim " ^h b l^ h ^ h ^ h Or, u discrimit strictmt égti, doc sur R Doc l^h ; 6 D où l résultt océ c L octio st cotiu t strictmt décroisst ; 6, lim ^h t lim ^h " " Pr l théorèm ds vlurs itrmédiirs, il ist u uiqu rél pprtt ; 6 tl qu ^ h Pr blyg, o obtit, 86 b y,, c O utilis l cotiuité d g pour irmr qu g^u h covrg vrs g ^, h t l it qu u covrg vrs, D où l résultt, cr u g^uh d L résultt st immédit pr l c 86 Vri, cr ^h l Vri, cr ^h l # Fu, cr l ^h l^ h t l ^h l! Fu, cr ^h ^h l^ h^ h Doc ^h ^h ; 6 Probl lèms 87 Trcé à ir à mi lvé M^ ; h b D st l méditric d 6 MN@, d où l résultt du c t du d Posos N ^ ; bh b O d près l c O ^ h ^b h D où b * b D où N^ ; h O bi l^ h y 888 l b l l b b l # k l l k N N Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

11 D où l résultt puisqu l # k l c l k l l l l b b b l c l^ c # ch l^ ch D où l résultt b L propriété st vri pour O l suppos vri pour u tir turl ; l l^# h l l l l ^h l D où l propriété u rg O put doc déduir qu l propriété st vri pour tout tir turl 89,7 uros O vut p p t kk, l, D où t lc m 6, 7 és Au bout d 7 s 9 liml t lim ", " d où lim ^h ; " lim ^h pr croisscs comprés " Vériictio l ^h st du sig d l l ^h l l O doc l tblu d vritios suivt : l ^h Hchtt Livr Déclic T l S m^ ^ th h O C uros t étt u ombr tir d mois, o put utilisr l clcultric ou résoudr u équtio utilist l logrithm O trouv 6 : il ut ciq s 9 lim ^h t lim ^h " " l l^h l^h st du sig d l E post, o obtit doc l tblu suivt : l ^h y ^h Avc y y Doc A pprtit à l courb d l octio ivrs 9 O k ^ h Doc D où k k t l^t h p k p kk, cr k D où l résultt ^h O doc # b O cojctur qu A^ ; h pprtit à touts ls courbs, qu u limit ii tdis qu b td vrs l iii 6 ^h Doc A^ ; h pprtit à touts ls courbs covrg vrs L potill étt cotiu, covrg vrs Doc covrg vrs, doc b td vrs 9 u ; u 7 ; u 7 6 ; u 8 u u ^ h ^ h^ h l^h O l tblu d vritios suivt : l^h ^h D où ^h G pour D où l résultt b O pour tout : l k G D où l H p O ppliqu l t l b à p Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

12 Hchtt Livr Déclic T l S / / / t b G l^p hl p G p p p D où : u G l l G u D où l résultt c O déduit qu : p G l u G D où l résultt pr l théorèm d cdrmt ds limits 9 Comm st strictmt positi, l limit d ou st D plus, lim l X, doc o obtit : X " lim l^ h t lim l^ h " " ^ h l^^ h h l^ h ^h, doc st pir l^h t comm t, o ur pour tout rél strictmt positi, l^h t st croisst ; 6 l^h ^h L poit M smbl voir u ordoé miiml lorsqu Vlidtio ds cojcturs ( A ) : y ^ h l^ h ( B ) : y ^ h l^ h b Lorsqu, y l^ h, c qui prouv qu ls du tgts s coupt sur l ds ordoés c D près ls clculs précédts, o bi : Mc ; l^ hm gl^h ^ h gl^h g ^ h l b D près l tblu d vritios d g, l ordoé d M dmt bi u miimum lorsqu c Ctt ordoé miiml vut l 9 Avc l logicil, il smbl qu l img d ist, pourtt ctt octio st ps déii So smbl d déiitio smbl êtr C ; 9, l octio smbl décroisst sur ct smbl p O résout, o obtit ; d plus, st diért d, doc : C ; ; 6 l^x h lim ^h lim # " X " X O doit dor à l octio l vlur pour qu ll soit cotiu lim ^h, cr lim l^ h t " " st égti lim l ^ h l l k lim X " " lim l l k X p " L courb rprésttiv d dmt du symptots : l u vrticl d équtio, l utr horizotl, d équtio y l ^ h l ^ h ^ hl^ h b gl ^h ^l^ h h l^ h gl ^h g^h L octio g st égtiv sur so smbl d déiitio O coclut qu l octio st décroisst sur so smbl d déiitio 96 Ell st égl à 7 O put dir qu ll st supériur à 7 l^ # h ph, l^h l6 C st vri, cr ph l Doc si o pos 6 phl^ h l 97 Prti A l^h st doc strictmt croisst ; 6 b O lim ^h t lim ^h " " L octio étt pr illurs cotiu t strictmt croisst ; 6, pr l théorèm ds vlurs itrmédiirs, il ist u uiqu rél pprtt ; 6 tl qu ^ h d ^h t lim ^h Doc " Prti B gl^h Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

13 Hchtt Livr Déclic T l S O déduit l tblu d vritios suivt : gl^h g ^ h l b g st strictmt croisst sur 9 ; C Doc, si G G, g k G g^hg g^h l Or, g^h t g k, O doc bi l résultt océ c Soit g^h l l Pour : u t u! 6, pr l b O suppos l propriété vri u rg Comm g st croisst, o déduit : g^, h G g^uhg g^u hg g^h Or, g^, h! 6, t g^h! 6, d près l b Pr illurs, g^uh u t g^u h u O obtit doc bi l propriété u rg Doc l propriété st vri pour tout tir turl b L suit u st croisst t mjoré pr d près l qustio précédt Ell covrg doc vrs u poit i d g compris tr t qui st, d près l c, u solutio d ^ h Doc u covrg vrs u, 67 Doc,67, Pr déiitio, o 8 m, l Doc m 8 Au bout d 6 jours : 6 l m m m m m, g O doit résoudr : m l t, t 9, m 8 Au bout d 6 jours y, m 999 b d c b v l^uh v l^ h v L octio logrithm épéri étt strictmt croisst, l^ v v h l^ h v D où l^u h v v v Prti A l^ h l^ h ^ h ^ l^ ^ h h h Nl^h, or u discrimit strictmt égti, doc c polyôm st ^ h toujours strictmt positi ; doc l octio N st strictmt croisst ; 6 b N^h, doc pr strict croissc d N, ctt octio st égtiv t positiv sur 6 ; 6 c O déduit l ss d vritios d puisqu l st du sig d N : l^h ^h O résout ^h l^ h O obtit l^ h L poit d itrsctio d l courb t d l droit st l poit Prti B Si G G, lors pr croissc d, o ur ^hg ^hg ^h, c stàdir : l G ^h G G Pr récurrc : Iitilistio : o bi u! Hérédité : supposos qu pour u tir, o u! démotros qu u! D près l qustio, o ^u h! doc u! Pr récurrc sur, o prouvé l propriété l^ uh b u u G, cr u H u L suit ^u h st décroisst c L suit ^u h st décroisst t mioré pr, doc ll covrg vrs u limit, d O résout ^, h, ; o obtit, lim ^h t lim ^h " " pr somm d limits l^h pour l^h ^h st cotiu, strictmt croisst : lim ^h t lim ^h " Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri " Doc, pr l théorèm ds vlurs itrmédiirs, l équtio ^h dmt u uiqu solutio ; 6 Or, ^h, t ^h l Doc Ct lgorithm ppliqu l méthod d dichotomi pour détrmir u vlur pproché d à près

14 l^h ^h l^ h ^ h Doc st strictmt croisst sur R Ls svoirir du chpitr b c ^l 7 l h d g h i l^h l l^h Hchtt Livr Déclic T l S l l^ h ^ h6 ^ ^hh@ b vérii (E) si, t sulmt si, pour tout t! 6 ; 6 : l^th ^th6 l^ ^t hh@ l^ t h l^ ^t hh ^t h gl^th g^th Pour tout t! 6 ; 6 : t gl^th g^th ^th p^g^thh p^ C t h D plus, ^h, doc C t Doc ^t h p^ h b lim t " t Doc lim ^t h t " c O vut p p t kk, l, D où t lc m 6, 7 és Doc u bout d 7 s Pists pour l ccompgmt co g m t prsolisé s Rvoir ls outils d bs l^ h ; l^ h ^ h l^ h ^ h l^ h ^ h l^h st du sig d ; l^h ^h l 6 b l c d l Esmbl d déiitio : E ; ; ; smbl solutio : ", b Esmbl d déiitio : E ; ; ; smbl solutio ; 6 c Esmbl d déiitio ; 6 ; smbl solu tio : ", d Esmbl d déiitio ; 6 ; smbl solutio : Q 7 b c d 8 l l l 9 l^h si Doc st strictmt croisst sur R b l^h l ; l^h l^h l^h ^h l c l^h l^h st du sig d l l^h ; l^h l^h ^h Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri

15 d l^h st du sig d, doc st décroisst ;6 t croisst sur 6 ; 6 Approodissmt L courb st qusi rctilig, c qui smbl idiqur qu l logrithm déciml du ombr d séisms st u octio i d l mgitud Pour M, o N #, d où : log^n h log Pour M 6, o N #, d où : log^nh log O déduit qu b log * 6b log D où b 9, t, t b O put utilisr u uill d tblur : Il s git d vériir qu ds ls chirs présts ds l déclrtio du cotribubl, l réprtitio suit u loi d Bord, c qui st géérlmt ps l cs lorsqu ls chirs ot été «ivtés» kl^# yh k^l l yh kl kl y g^h O pos ^h Soit t y ds réls strictmt positis, o : g^yh g^yh yg^h g^yh g^yh g^h y y ^yh ^h ^yh Cci étt vri pour tous t y, ds réls strictmt positis, cci sigii qu st solutio d (E), cr st bi cotiu ; 6 D où ^h kl D où g^h k l Vrs l Supériur C^h c 7, millirs d uros ; C^h, millirs d uros L coût d octiomt ps doublé, il y ps proportiolité #,,, l^ h, O déduit doc l tblu suivt : 6 l^h 7 7, ^h b L coût st miiml pour btu, il st égl à 7, millirs d uros, à uros près Bq ^ h q C^qh q l^, q h b Il ut lour u mois btu l^h si o pos ^h l Doc T pour équtio : y ^ l l h y b v ; k st u vctur dirctur OA t v sot orthogou si, t sulmt si : # l # l l^h si b st cotiu strictmt croisst ; 6 D plus, lim ^h t lim ^h " " D où l résultt, pr pplictio du théorèm ds vlurs itrmédiirs c Pr blyg, o obtit qu l uiqu solutio d ^h st c, 6 D où A^, 6 ;, 6h Hchtt Livr Déclic T l S Livr du prossur CHAPITRE Foctio logrithm épéri