Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique

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1 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 1/10 Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fiis de joit couplés hydromécaique Résumé : Cette documetatio porte sur la descriptio des élémets fiis de joit mécaique liéaire et quadratique. Les modélisatios e mécaique pure (xxx_joint) supportet les deux types de maillaes, tadis que les modélisatios couplés hydromécaiques (xxx_joint_hyme) e sot implémetées que pour des maillaes quadratique. O procède à l'élimiatio de derés de liberté fictifs de pressio pour les modélisatios quadratiques e mécaique pure. Ces modélisatios permettet de simuler l évolutio d ue fissure le lo d u chemi prédétermié. Le secod type d'élémet pred éalemet e compte l'iteractio de la mécaique avec u écoulemet de fluide à l'itérieur de la fissure. O présete successivemet les poits suivats : 1) éométrie des élémets 2) repère local au joit et matrice de passae du repère lobal au repère local 3) saut de déplacemet das le joit 4) radiet de pressio de fluide 5) vecteur odal des efforts itérieurs aisi que la matrice taete élémetaire Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

2 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 2/10 1 Géométrie des élémets 1.1 Géométrie du joit liéaire 2D L élémet de joit e 2D est u quadrale à quatre œuds (QUAD4) avec deux petits côtés et deux rads côtés [12] et [34] (voir fiure 1) qui représetet les deux semets + et - d ue iterface (ou lèvres d ue fissure) etre deux sous domaies bidimesioels. Pour distiuer les côtés + et -, la umérotatio locale des œuds doit se faire obliatoiremet comme sur la fiure ci dessous : t Y X Fiure 1 : Élémet de joit 2D avec la boe umérotatio locale. Par covetio la face - est doée par les œuds 3 et 4 et la face + par les œuds 1 et 2. La ormale est diriée de la face - vers la face Géométrie du joit quadratique 2D Ces élémets sot quadrale à 8 œuds (QUAD8), les œuds 1, 2, 3, 4, 5, 7 portet des derés de liberté mécaiques de déplacemet. Les œuds 6 et 8 portet des derés de liberté de pressio afi représeter l'écoulemet de fluide pour la modélisatio couplée hydromécaique. Ils sot élimiés pour les modélisatios mécaiques pures. 6 t 5 Y 7 X 8 Fiure 2 : Élémet de joit HYME 2D avec la boe umérotatio locale. Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

3 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 3/10 Par covetio la face - est doée par les œuds 3, 4, 7 et la face + par les œuds 1, 2, 5. La ormale est diriée de la face - vers la face Géométrie du joit liéaire 3D Les élémets de joit e 3D permettet de représeter ue surface S etre deux sous domaies volumiques + et -. Ils sot compatibles avec le maillae des sous domaies. Si le volume est maillé avec des HEXA8, les joits à utiliser sot éalemet des HEXA8 (hexaèdres à huit œuds). Si le volume est maillé avec des PENTA6 ou des TETRA4, les joits à utiliser sot des PENTA6 (petaèdres à six œuds). Pour distiuer les surfaces supérieures S + (liée à + ) et iférieure S - (liée à - ), il est écessaire d imposer ue umérotatio locale des œuds bie spécifique (voir fiure 3) Fiure 3 : Schéma des élémets de joit 3D HEXA8 et PENTA6 avec la boe umérotatio locale. Par covetio la face - est doée par les œuds 1,2, 3, 4 pour l'hexa8 (ou 1, 2, 3 pour le PENTA6) et la face + par les œuds 5, 6,7, 8 pour l'hexa8 (ou 4, 5, 6 pour le PENTA6). La ormale est diriée de la face - vers la face Géométrie du joit quadratique 3D Ces élémets de joit sot utilisables pour les modélisatios couplés HYME ou pour les modélisatios e mécaique pure par l'élimiatio de DDL de pressio. E 3D ils permettet de représeter ue surface S etre deux sous domaies volumiques e mécaique pure + et -. Ils sot compatibles avec le maillae des sous domaies. Si le volume est maillé avec des HEXA20, les joits à utiliser sot éalemet des HEXA20 (hexaèdres à vit œuds). Si le volume est maillé avec des PENTA15 ou des TETRA4, les joits à utiliser sot des PENTA15 (petaèdres à 15 œuds). Pour distiuer les surfaces supérieures S + (liée à + ) et iférieure S - (liée à - ) il est écessaire d imposer ue umérotatio locale des œuds bie spécifique (voir fiure 4). Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

4 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 4/ Fiure 4 : Schéma des élémets de joit couplés HYME e 3D HEXA20 et PENTA15 avec la boe umérotatio locale. Pour l'hexa20, les œuds milieu 13, 14, 15, 16 portet des derés de liberté de pressio pour l'écoulemet de fluide, et tous les autres portet des derés de liberté mécaiques de déplacemet. Pour le PENTA15, les œuds milieu 10, 11, 12 portet des derés de liberté de pressio pour l'écoulemet de fluide, et tous les autres portet des derés de liberté mécaiques de déplacemet. Par covetio la face - est doée par les œuds 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12 pour l'hexa20 (ou 1, 2, 3, 7, 8, 9 pour le PENTA15) et la face + par les œuds 5, 6,7, 8, 17, 18, 19, 20 pour l'hexa20 (ou 4, 5, 6, 13, 14, 15 pour le PENTA15). La ormale est diriée de la face - vers la face Costructio automatique de mailles de joit La commade MODI_MAILLAGE utilisée avec le mot clé ORIE_FISSURE permet d imposer la boe umérotatio locale des mailles de joit e 2D ou 3D (voir doc. [U ]). Par ailleurs des techiques sot dispoibles pour créer automatiquemet des élémets de joit das u maillae qui e est dépourvu (voir [U ]). 2 Repère local et matrice de passae Il est écessaire de costruire u repère local à l élémet pour défiir le saut de déplacemet (doée d etrée des lois de comportemet : voir [R ] et [R ]). Par ailleurs, o défiit la matrice passae R du repère lobal au repère local. Cette partie est valable pour les modélisatios de joit e mécaique pure et pour les modélisatios couplées hydromécaique. 2.1 Cas 2D Soit X, Y le repère lobal. La directio doée par les rads côtés [12] et [34] de l élémet de joit 2D permet de défiir u repère local,t à l élémet de joit (voir fiure 1) : 12 t = 12, =t X Y La matrice de passae du repère lobal au repère local s exprime : Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

5 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 5/10 R=[ x y t x t y ] 2.2 Cas 3D O ote X,Y,Z le repère lobal. Pour la costructio du repère local à l élémet de joit, o utilise la base covariate de l élémet surfacique correspodat. Si o ote s 1, 2 la positio paramétrée d u poit de l élémet surfacique : Nb s 1, 2 = =1 N 1, 2 s où N et s désiet respectivemet la foctio de forme et la positio éométrique du œud, et Nb le ombre de œuds de l élémet surfacique. O défiit la base locale covariate a 1, a 2 de la maière suivate : a 1 = s Nb a 2 = s Nb 1 = =1 N 1 s 2 = =1 N 2 s Ces deux vecteurs sot e fait des vecteurs taet à l élémet e u poit doé. La base orthoormée directe locale,t, est alors costruite de la maière suivate : t = a 1 a 1 = t a 2 a 2 = t La matrice de passae du repère lobal au repère local est doée par : x y z t R=[ ] x t y t z x y z 3 Saut de déplacemet Les joits ot vocatio à représeter deux faces e reard, ils e fot iterveir que les foctios d iterpolatio et les poits d itératio des élémets surfaciques (e 3D) ou liéique (e 2D) correspodat : E 2D : pour le joit QUAD4 (ou le joit HYME QUAD8), l élémet liéique est le SEG2 E 3D : pour le joit PENTA6 (ou le joit HYME PENTA15) l élémet surfacique est le TRIA3 pour le joit HEXA8 (ou le joit HYME HEXA20) l élémet surfacique est le QUAD4. O appelle N la foctio de forme du œud de l élémet surfacique 1. U + et U - désiet respectivemet les déplacemets odaux des semets + et - e 2D ou des faces S + et S - e 3D. Das le repère local, le saut de déplacemet est discrétisé à partir des foctios de forme N. Au poit de auss, il s exprime comme la différece des déplacemets des faces (ou semets) + et - : Nb = R U U N =1 1 Par la suite, o utilise le terme éérique : «surfacique» pour le 2D comme pour le 3D. Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

6 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 6/10 où Nb est le ombre de œuds de l élémet surfacique et où R matrice de passae e 2D, e 3D, qui permet d exprimer les déplacemets odaux das le repère local. O peut sythétiser l expressio précédete das ue matrice M U qui ait sur le vecteur des déplacemets odaux de l élémet : U, pour costruire le saut de déplacemet das le repère local : =M U U La matrice M U est de dimesio dim, avec ombre de derés de liberté mécaique : =8 pour le joit 2D, =24 pour le joit 3D HEXA =18 pour le joit 3D PENTA =12 pour le joit HYME 2D =48 pour le joit HYME 3D HEXA =36 pour le joit HYME 3D PENTA 4 Gradiet de la pressio de fluide Les élémets de joit HYME ot, e plus des derés de liberté mécaiques U, des derés de liberté de pressio de fluide odaux (u par œud) otés P. Pour le QUAD8, les œuds œuds suivats 6,7,8 portet ces derés de liberté de pressio. L'élémet quadratique de référece utilisé pour l'approximatio de la pressios est le SEG3. Pour l'hexa20, les œuds 13,14,15,16,17,18,19,20 portet ces derés de liberté de pressio. L'élémet surfacique de référece utilisé pour l'approximatio de la pressios est le QUAD8. Pour le PENTA15, les œuds suivat 10,11,12,13,14,15 portet ces derés de liberté de pressio. L'élémet surfacique de référece utilisé pour l'approximatio de la pressios est le TRIA6. La loi d'écoulemet du fluide (loi cubique, voir [R ]) fait iterveir le radiet de pressio das la directio de l'écoulemet estimé au poit de auss de faço classique : Nb p = P N =1 où Nb est le ombre de œuds de pressio et N la valeur de la foctio de forme du œud au poit de auss. Pour simplifier l'écriture o ote : p =M P P La matrice M U est de dimesio dim 1 Nddl P : avec Nddl P ombre de derés de liberté fluide : Nddl P =3 pour le joit HYME 2D Nddl P =8 pour le joit HYME 3D HEXA Nddl P =6 pour le joit HYME 3D PENTA 5 Efforts itérieurs et matrice taete 5.1 Cas mécaique pure Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

7 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 7/10 La formulatio du problème mécaique (voir [R ] et [R ]) fait iterveir le travail des efforts le lo de la discotiuité, qui est autre que l éerie de surface liée à la fissuratio de la structure : W s = avec desité d éerie de surface et poids du poit de auss. Cela permet de défiir le vecteur des efforts itérieurs : U = W s U = F it U Das l expressio précédete, le premier terme est doé par la loi de comportemet cohésive (voir [R ]). Cela correspod au vecteur cotraite (ou force cohésive) au poit de auss : = Le secod terme est issue de la défiitio du saut déplacemet das la partie 5 : U = M U Le vecteur odal des forces itérieures s exprime doc de la maière suivate : F it U = M U t Das le cadre d u alorithme de Newto, pour résoudre le problème d équilibre o liéaire, il est utile de disposer de la matrice taete élémetaire, c est-à-dire la dérivée des forces itérieures par rapport aux déplacemets odaux. Das le cas de l élémet de joit, elle s exprime simplemet : K UU = F U it U = M U t U M Cette derière s appuie sur l'opérateur taet : adoptée (voir [R ]). spécifique à la loi de comportemet cohésive 5.2 Cas couplé hydromécaique U Les joits HYME, e plus des efforts odaux liés à la mécaique F it sur lesquels o reporte 2 la pressio de fluide au poit de auss sur la composate ormale p = p,0,0 (exprimé das le repère local à la fissure) : F it U = M U t p possèdet des efforts odaux pour l'écoulemet de fluide sur les œuds qui portet des ddl de pressio. 2 Pour predre e compte le couplae HM Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

8 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 8/10 La formulatio du problème hydraulique (voir [R ]) fait iterveir le travail des efforts du fluide le lo du trajet de l'écoulemet (à l'itérieur de la fissure) : W F p = H p avec H desité d éerie de surface et poids du poit de auss. Cela permet de défiir le vecteur des efforts itérieurs : P = W p F P F it = H p p P Das l expressio précédete, le premier terme est doé par la loi de comportemet cubique du fluide (voir [R ]). Cela correspod au flux hydraulique w au poit de auss : H p = w D'après la défiitio du radiet de pressio das 6. Le secod terme est doé par : p P =M P Le vecteur odal des forces itérieures s exprime doc de la maière suivate : F it P = M Pt w Das le cadre d u alorithme de Newto, pour résoudre le problème d équilibre o liéaire, il est utile de disposer de la matrice taete, c est-à-dire la dérivée des forces itérieures par rapport aux derés de liberté. La dérivée des effort itérieur sur les derés de liberté de déplacemet par rapport aux déplacemet odaux doe le terme idetique à celui de la matrice obteue e mécaique pure das 6 : K UU = F U it U = M Ut U M U Das le cas du couplae hydraulique, les F it expressio ci-dessus) d'où : U K UP = F it P = M Ut X dépedet explicitemet de la pressio (voir avec X = p P = N i,0,0 avec i=1 à Nb, Nb ombre de œuds de pressio (ou ecore ombre de derés de liberté de pressio par élémet) et N œud au poit de auss. la valeur de la foctio de forme du La dérivée des efforts itérieurs sur les derés de liberté de pressio par rapport aux déplacemet odaux doe : P K PU = F it U = M w P t U M Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

9 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 9/10 Efi, la dérivée des efforts itérieurs sur les derés de liberté de pressio par rapport aux pressios odales doe : K PP = F P it P = Pt w M P M p La matrice taete élémetaire (o symétrique) s'exprime de la maière suivate : =[ K K UU K UP ] K PU K PP w Cette derière s appuie sur les composates de l'opérateur taet :, spécifiques à la loi de comportemet cohésive adoptée (voir [R ]). et w p 6 Foctioalités et validatio Voir documetatios [R ] et [R ]. Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

10 Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 10/10 7 Descriptio des versios du documet Idice docume t Aster Auteur(s) Oraisme(s) Descriptio des modificatios B 7.2 J.Lavere, EDF-R&D/AMA C 8.4 J.Lavere, EDF-R&D/AMA D 9.1 J.Lavere, EDF-R&D/AMA fiche 9807 itératio des élémets de joit 3D E 10.4 J.Lavere, EDF-R&D/AMA Fiche ajout des modélisatios couplées *_HYME F 11.4 K.Kazymyreko, J.Lavere EDF-R&D/AMA F 12.2 K.Kazymyreko, J.Lavere EDF-R&D/AMA Fiche activatio des modélisatios quadratiques e mécaique pure Fiche modélisatio P2P2 pour la partie hydromécaique Copyriht 2015 EDF R&D - Documet diffusé sous licece GNU FDL (http://www.u.or/copyleft/fdl.html)

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