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1 Geson des oks e Fle d'aene Guy Aé TANONKOU ndusal Engneeng & oue ene NRA-Loane le du auly, Bâ.A GM 5745 Mez ede Fane hone offe : Eal : /

2 Table des aèes. La Geson des oks...3. Les olques de Geson des soks...3. oûs assoés au oks Geson alendae des oks à oaon nulle as où la eande su une lo dsèe as où la eande su une lo onnue as d une lo de deande onnue as d une lo de deande dsèe...9. Fle d aene.... Evaluaon de efoane.... Ea du sysèe Quelques as aules Réféene...

3 . La Geson des oks Une oduon sans sok es quas nonevable vu les nobeuses fonons que elssen les soks. Nous ésenons dans les lgnes qu suven, l éude ons déallée que nous avons fae en e qu onene la geson des soks. Nous avons éudé les oblèes lés au sokages e néessé de onsue un sok e us les olques de Geson des soks qu feon l obje de noe éude.. Les olques de Geson des soks ee olque vse à éonde à deu gandes quesons : Quand délenhe l aovsonneen du sok? oben oande? La éonse à es deu quesons déend de la olque de geson adoée. Nous nous soes néessés à deu olques :. La olque de geson de sok a on de oande : dans e as, l aovsonneen du sok es délenhé losque l on obseve que le sok desend en dessous d un nveau s aelé on de oande. On oande une quané fe noée Q e aelée «quané éonoque de oande». a déenaon ésule d un alul d osaon.. La olque de geson alendae : dans e as, l aovsonneen du sok es délenhé à nevalles égules T, a eele, haque jou ou haque seane. La quané oandée es égale à la dfféene ene le sok ésduel obsevé R e le nveau de eolèeen du sok es à de le nveau voulu du sok en débu de éode T. Nous avons fa une éude lus déallée su es deu olques de geson adoée, suvan que la lo de deande es dsèe ou onnue.. oûs assoés au oks Tou d abod, nous ésenons, les dfféens oûs obsevés e assoés au soks : On ose deande obsevée au ous d une éode 3

4 Un sok es onsué ou sasfae une deande fuue. En as de deande aléaoe, l eu y avo non oïndene ene la deande e le sok. ans ee suaon, deu as de fgue se ésene. - so la deande > sok alos on ale de Ruue de sok - so la deande < sok alos l y a un sok ésduel R ans le as où > sok, on a le oû de uue où nobe oyen de deandes non sasfaes au ous d une oû unae de uue éode Le oû de oande en as de sok de fabaon, l s ag du oû de laneen de la oduon. a eele, églages des ahnes, e. En as de sok d aovsonneen, l s ag des oûs adnsafs. a eele, éablsseen d un bodeeau, onôle de lvason, e. où nobe oyen de oande oû unae de oande assée au ous d une éode Le oû de ossesson l s ag des oûs de déenon d un ale en sok duan une eane éode en fonon des ondons fnanèes d aquson e des évenuelles ondons de ese, des oûs de sokage qu son les déenses logsques, onsevaon du sok, oû de loaon d eneô, oû de anuenon, e.. On a où nobe de sok ossédé au ous d une oû unae de ossesson éode Le oû oal de geson eu s ée oe fonon de es os vaables d éa, so Le èe généaleen eenu en geson des oks es elu de l osaon des oûs qu son fonon des vaables de oande du sysèe. 4

5 En Geson alendae des soks, la seule vaable de oande du sysèe es, le nveau de eolèeen du sok, es à de le sok que l on hehe à aende en fn de éode. ans e as, le oû oal de geson es En Geson a on de oande, les deu vaables de oande du sysèe son Q, la quané éonoque de oande e s le on de oande. ans e as, le oû oal de geson es Q, s Q, s Q, s Q, s oe nous l avons enonné lus hau, une éude lus déallée su es deu olques de geson adoées, a éé éudée suvan que la lo de deande es dsèe ou onnue. On a vu que > sok uue de sok < sok ésene d un sok ésduel Le as sok ne ose auun oblèe ans le as où on a un sok ésduel non nulle, deu as de fgues se ésenen : - o l n y a as de eo ossble des nvendus au éodes suvanes es à de que la vene es edu. es le as des âsses e des ahands de jounau. On ale de sok à oaon nulle - o les nvendus d une éode son vendus au éodes suvanes. es le as le lus éandu. On ale de sok à oaon non nulle.3 Geson alendae des oks à oaon nulle L aovsonneen du sok es délenhé à nevalles égules T oblèe : éene le nveau de sok nal qu nse le oû de geson oal. o la vaable de déson : nveau de sok voulu ou nveau de eolèeen du sok.3. as où la eande su une lo dsèe On ose deande obsevée au ous d une éode 5

6 6 usqu on asse une oande su une éode On a don Le nobe oyen de uue es Le sok oyen ossédé es a le sok oyen ossédé en fn de éode oesond à l nvendu. On one que _ 3 ondon d oalé Le oû de geson éan une fonon onvee, le sok oal es elu ou lequel le oû de geson es nféeu à elu des soks édaeen nféeu ou suéeu es à de que < < 4 En elaen 3 dans l eesson du oû de geson, on obseve que > _ 5 On fa don une éude de la dfféene des oûs de soks suessfs, on ouve > > 6 En enan oe des ondons d oalé 4 On hehe elle > < < > 7

7 .3. as où la eande su une lo onnue ans e as, on onsdèe f la densé de obablé de. On fa un ésonneen analogue au as dse en elaçan le sgne soe a l négale. On one que d d f d > On eu anenan asse à la déenaon de la soluon oale. On hehe ans d d elle que e es oal s > Geson alendae des oks à Roaon non nulle Nous aelons dans ee suaon que, les nvendus son vendus à une éode suvane. L aovsonneen du sok es délenhé à nevalles égules T. La oande à asse endan la éode T n es lus fe. oblèe : éene le nveau de sok nal qu nse le oû de geson oal. Vaable de déson : nveau de sok voulu ou nveau de eolèeen du sok On a deu as de fgues : - le sok ésduel es osf, on oande la dfféene ene e le sok ésduel - le sok ésduel es nul, on oande augené des deandes non sasfaes de la éode éédene qu on u êe eoées. deande obsevée au ous d une éode On a oujous ou le alul du sok oyen ossédé, l fau dsngue deu as : Le as où < e le as > 7

8 8 as où < as où > - T - T τ ans le as où > on eu ée l équaon d évoluon du sok T on T τ Le sok oyen ossédé su τ es, don su la éode T on a en oyenne so T, τ ans le as où <, on a en oyenne en sok, so.3.3 as d une lo de deande onnue d f d f 8 d f Le alul du oû de Geson es eêeen olqué Le ésula analyque de e alul ese un hallenge. es la ason ou laquelle, on fa une hyohèse slfae à savo que la uue se fa en fn de éode. ans e as on a en sok en oyenne e on a d f d f On one que _ e _

9 es oal s >.3.4 as d une lo de deande dsèe 9 On fa un asonneen analogue en hangean le sgne négal a le sgne soe. Geson a on de oande On aelle que la olque de geson de sok a on de oande es adoée losque l on obseve que le sok desend en dessous d un nveau s aelé on de oande. On oande une quané fe noée Q aelé «quané éonoque de oande». Vaable de déson Q, s On a deu as de fgues : - eande eane : dans e as, on oande avan uue de sok e l y a as de oû de uue. ela suose que le on de oande s es onnu à l avane. La seule vaable de déson es don Q quané de la oande, déene de anèe à nse le oû oal de geson Q Q Q o la deande su une année a eele L déla de éaovsonneen suosé onnu évoluon du sok endan la éode Q s on de oande τ L Q τ e le sok oyen ossédé endan la éode τ es 9

10 τ τq d Q On a en dédu le sok oyen ossédé annuel es le nobe de oande a an. On a don Q Q Q où Q Q Q Q Q Q Q Q es oal s Q Foule de Wlson En généal s L - eande neane : dans e as, la quané de oande e le on de oande ne son as onnus, de e fa, l y a ossblé de uue de sok. Le oû oal de geson es don une fonon à deu vaables Q, s défne a Q, s Q, s Q, s Q, s Une éude analyque de e as s avèe ès olqué. es la ason ou laquelle l on oède a des aoaons e a sulaon. l fau dsngue le as où la deande es aléaoe e L ean e elu où la deande es aléaoe e L aléaoe. Nous éudeons ohaneen les aoaons ulsées ou aohe le oblèe e les ésulas obenus a sulaon. e ahève l éude que nous avons effeué en Geson des oks.. Fle d aene Nous avons fa une éude su les noons de fles d aene e leus alaons au sysèes ndusels. On s'néesse au hénoène d'aene qu eu êe aené de façon généale au oblèe suvan : des lens/èes se ésenen dans un leu donné ou oben un seve. La fgue ésene le odèle de base.

11 Enée soe Fle d aene eveu Fgue. Model de. Evaluaon de efoane Nous nous soes éoués au quesons suvanes Mesues de efoanes : - oben y a l ouaen de lens ou èes dans le sysèe en aene ou an d êe sevs? - oben y a l de lens ou èes dans la queue? - Quel es, en oyenne, le es assé a un len ou èe dans le sysèe? - Quel es, en oyenne, le es assé a un len à aende dans la queue? - Quel es le au d ouaon du seveu? - Quel es le au de soe du sysèe? La éonse à es quesons néesse un lan d éude qu su :. eson des oessus. - oessus des avées les lens ou èes aven de anèe déense selon un lannng donné, ou ben aven de anèe aléaoe - oessus de seve le es de seve eu êe déense ou aléaoe, es à de le es de seve es ndéendan de l hsoque assé e eu ans êe dé a la dsbuon eonenelle négave Les as ouaen enonés son eu où l avée des èes su une dsbuon de osson e le es de seve une dsbuon Eonenelle.

12 . Geson de la fle d aene - La aaé de la fle d aene eu êe lée a eele la salle d aene d un abne édal ou llé a eele les éages de l auooue - slne de seve. Les lens euven êe sev suvan les ègles de geson. o FFO ee enée ee soe o LFO ene enée ee soe o ho suvan les ègles de oé e e. - ooeen des lens o Les lens euven êe aens s ls aenden aeen leu ou o Les lens euven êe aens s ls efusen à jonde la fle longue o Reaeen des èes non onfoes 3. Ogansaon du sysèe On eu avo les as suvan : o Une fle d aene e un seveu o Une fle d aene e luseus seveus o luseus fles d aene e un seveu o Un Réseau de fles d aene onvenonnelleen, on eésene une fle d aene a la noaon de Kendall A / B / / n Où A dé le oessus des avées ; B dé le oessus de seve ; le nobe de seveu ; e n le nobe de lens dans la fle. On eu avo n, ouaen, losque le oessus es Eonenelle, on ulse la lee M, e losqu l es déense on ulse la lee, e enfn losque le oessus su une lo de dsbuon généale, on ulse la lee G

13 . Ea du sysèe l es oan de dée l éa du sysèe. En généal, es le nobe de lens ou de èes dans le sysèe, en seve e en aene. o M nobe de lens / èes dans le sysèe en seve e en aene ou dée le ooeen du sysèe, on ulse n M n On suose au débu que le sysèe es dans un éa onnu. es à de que à l nsan, l n y a as de èes lens dans le sysèe. On a alos M, ans les nsans édas qu suven, un len eu ave, as sûeen as deu. ans e as, s l on fa une édon su l éa du sysèe en ès e, on aua, > Losque deven gand, les obablés des éas,3,... devennen non nulles. Queson : Quel es le ooeen de losque ou éonde à ee queson, nous fasons ael à la Théoe su les oessus aléaoes, en aule le oessus de Nassane e de Mo. «Une odélsaon e deson éalse d un sysèe de fle d aene do évdeen en oe à la fos des nassanes e des os des lens/èes qu la oose» uosons le au d avée des lens/èes e le au de seve losque le sysèe es à l éa. ans un e nevalle de es, la anson de oesond à une nassane ave la obablé e la anson de oesond à un déès ave la obablé, e en ne se odu ave une obablé. On d que le oessus des avées 3

14 es un oessus de nassane. on M es un oessus de nassane e de o. On a le dagae de anson d éa suvan : 3 Fgue. agae de Tanson d éa e dagae de anson es une haîne de Makov. Le flu soan à l éa es égal au flu enan à l éa. Flu enan Flu soan : Equaons d éa d équlbe Les au de nassane,... e les au de o,... son elles que, >, En fasan vae,,...,, La ésoluon de e sysèe donne j. j j E enan oe de la ondon, 4

15 On ouve j j j, 5 Qu ese s la sée j j j < ondon de sablé A a de es ésulas, on eu ans défn l éa du sysèe e, alule les esues de efoanes..3 Quelques as aules Fle d aene M / M // : Le au d avée des lens/èes a uné de es. eésene don l nevalle de es oyen ene deu avées dans le sysèe : Le au de seve a uné de es. eésene don la duée oyenne de seve. On a un seveu e une nfné de lens dans le sysèe. On a don, e, e En osan, on a, La sée du dénonaeu onvege s < Qu es une ondon néessae ou que l équaon d équlbe so asyoqueen sable. e aaèe es aelé nensé de af. ans ee ondon, on a, Afn de alule les esues de efoanes du sysèe, défnssons les gandeus suvanes : 6 5

16 es de seve W es s a le len / èe dans la queue avan le seve R es s a le len / èe dans le sysèe seve nlus N N Q nobe de len / èe dans le seve nobe de len / èe dans la queue elus les lens enan d êe sevs On eu alos alule le Nobe oyen de lens/èes dans le sysèe en osan : E [ M ]. On ulse la foule de Lle ou ouve le Tes assé a un len/èe dans le sysèe E [R]. Foule de Lle : E[ M ] E[ R] où E[ R] E[ M ] W R E[ W ] E[ R] E[ ]. on le Tes oyen s a le len/èe avan le seve es E [ W ] E[ M ], où E[ ], aès la foule de Lle alquée au seveu, E[ N ]. E[ ] qu es le Nobe oyen de lens/èes dans le seve. aès la foule de Lle alquée à la queue, E[ N Q ]. E[ W ] qu es le Nobe oyen de lens/èes dans la queue Fle d aene M / M // K oe éédeen, on défn : Le au d avée des lens/èes a uné de es. eésene don l nevalle de es oyen ene deu avées dans le sysèe : Le au de seve a uné de es. eésene don la duée oyenne de seve. On a un seveu e une aaé fne K de lens/èes dans la fle. es à de que losqu un len es enan d êe sev, K 6

17 lens/èes aenden dans la fle e oue avée dans la fle es nede efusée. Le au de oessus de nassane e de o eu êe défne dans e as a : osons On a les obablés de anson < K K, j K > K En enan oe de la ondon de noalsaon héoe de la obablé on vo que, 8 K E on ouve don que ou une Fle d aene de aaé fne 7 K K > K On eu don alule les esues de efoanes du sysèe M / M // K. 9 Fle d aene M / M / / Le au d avée des lens/èes es une onsane e le au de seve déend de. On a seveus e une aaé nfne de lens/èes dans la fle. Losqu un seveu es vde, l es édaeen oué a le len en aene. seveus Le au de oessus de nassane e de o eu êe défne a : 7

18 8, < < On a les obablés de anson < j j k j j,., On ose nensé de af <,, En enan oe de la ondon de noalsaon héoe de la obablé e la ondon de sablé de l équaon d équlbe <, on a En effeuan un hangeen de vaable k, on obseve que On eu alule les esues de efoane du sysèe / / / M M. Fle d aene / M / M Le au d avée des lens/èes es une onsane e le au de seve déend du nobe de lens dans le sysèe. On a une nfné de lens/èes dans la fle e une nfné de seveus. Le au de oessus de nassane e de o eu êe défne a :

19 9 On a les obablés de anson j j 3 En enan oe de la ondon de noalsaon héoe de la obablé e la ondon de sablé de l équaon d équlbe <, on a e e e 4 Qu n es en d aue que la Lo de obablé d une sbuon de osson de aaèe On eu alule les esues de efoane du sysèe / M / M. Aue aohe On a vu lus hau que dans un nevalle de es e la anson de oesond à une nassane ave la obablé e la anson de oesond à un déès ave la obablé, e en ne se odu ave une obablé. on a le héoèe des obablés oales, on eu ée o M M o M M o M M 5 Où l o osons M On a les elaons > so

20 > En enan la le quand, on oben le sysèe d équaon dfféenelle lnéae, d d d > d e oe enu du fa que la vaaon de flu à l nfn dans un oessus de d nassane e de o es nulle, es à de que l,,,... d On eouve ben les ondons d éa d équlbe Reaque : alos le seveu ne eu sasfae la deande de seve. E la fle es ondanée à aoîe défnveen. La ègle de seve éudée dans e ao es FFO es à de le ee len/èe avé es le ee sev. Les esues de efoane du sysèe hangen s l on ulse une aue ègle de seve e s l on en oe du ooeen des lens aens ou aens. Nous ouvons ulse le oessus de nassane e de o ou évalue les efoanes des sysèes M/G/, G/G/ où M es le oessus des avées suvan une Lo Eonenelle ou une lo de sbuon généal, e G une Lo de sbuon généal. Les aluls s avèen ès olque e n es as s en hage dans le ésen ao. L une des asons de ee dffulé oven du fa que le ne d équlbe n es lus alable a le oessus de duée de seve n es lus sans éoe. Un oessus T es sans éoe s T > s T > s T >. es à de que les ouenes des événeens son ndéendanes les unes des aues ou que l'ouene d'événeens avan la dae n'nflue en en su l'ouene

21 d'événeens aès. eule la lo Eonenelle à la oéé d absene de éoe. Une éude lus oussée des haînes de Makov e des éseau de fle d aene es néessae ou aéloe e eu évalue les efoanes des sysèes nfoaques, des éseau de ounaon e des sysèes de oduon don e dene as es l essenelle de noe hèse. Nous ousuvons nos avau a l alaon des fles d aene ou la sulaon des as sles des sysèes de oduon. 3. Réféene []. «Foundaons of nvenoy Manageen» by aul H. Zkn []. «noduon à la Geson des oks» a anel Wolf [3]. «An noduon o Queueng syse» by anjay K. Bose

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