David Cardinaux. To cite this version: HAL Id: tel

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1 Étude et modélsaton numéque 3D pa éléments fns d un pocédé de tatement themque de tôles emboutes apès chauffage pa nducton : Applcaton à un enfot de ped cental automoble Davd Cadnaux To cte ths veson: Davd Cadnaux. Étude et modélsaton numéque 3D pa éléments fns d un pocédé de tatement themque de tôles emboutes apès chauffage pa nducton : Applcaton à un enfot de ped cental automoble. Mechancs. École Natonale Supéeue des Mnes de Pas, 008. Fench. <NNT : 008ENMP560>. <tel > HAL Id: tel Submtted on 8 Dec 008 HAL s a mult-dscplnay open access achve fo the depost and dssemnaton of scentfc eseach documents, whethe they ae publshed o not. The documents may come fom teachng and eseach nsttutons n Fance o aboad, o fom publc o pvate eseach centes. L achve ouvete pludscplnae HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau echeche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de echeche fanças ou étanges, des laboatoes publcs ou pvés.

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3 Ecole Doctoale 364 : Scences Fondamentales et Applquées N attbué pa la bblothèque T H E S E pou obten le gade de Docteu de l Ecole Natonale Supéeue des Mnes de Pas Spécalté «Mécanque Numéque» pésentée et soutenue publquement pa Davd CARDINAUX ETUDE ET MODELISATION NUMERIQUE 3D PAR ELEMENTS FINIS D UN PROCEDE DE TRAITEMENT THERMIQUE DE TOLES EMBOUTIES APRES CHAUFFAGE PAR INDUCTION : APPLICATION A UN RENFORT DE PIED CENTRAL AUTOMOBILE. 7 Novembe 008 Juy : M. Yves FAUTRELLE Pésdent M. Koen Van REUSEL Rappoteu M. Jean-Claude GELIN Rappoteu M. Yvan CHASTEL Decteu de thèse M. Fanços BAY Decteu de thèse M. Julen FERAILLE Invté

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5 REMERCIEMENTS Je souhate tout d abod emece le CEMEF et PSA-Peugeot-Ctoën pou m avo poposé ce sujet de echeche nnovant et motvant, et pou m avo accuells. Je dése expme toute ma gattude à mes decteus de thèse : Fanços BAY et Yvan CHASTEL. Mec à Fanços pou avo suv avec attenton mon taval, avo su se monte dsponble et motvé et sutout pou sa bonne humeu et sa sympathe. Mec également à Yvan pou m avo fat confance et avo suv mon taval avec petnence ben que se fut avec un peu plus de dstance. Ce fut un mmense plas pou mo de tavalle ces quelques années avec vous, années pendant lesquelles j a beaucoup apps, autant d un pont de vue scentfque que elatonnel. Je souhate également expme ma econnassance à Julen FERAILLE, mon decteu ndustel, pou m avo toujous fat confance, m avo donné autant de son temps que possble et pou sa sympathe. Je emece tès sncèement Yves FAUTRELLE, Koen VAN REUSEL et Jean-Claude GELIN pou avo accepté de fae pate de mon juy de thèse. C est un honneu pou mo que vous ayez jugé mon taval. Je tens également à emece toutes les pesonnes qu m ont adé à avance dans mon taval. Je pense pncpalement à «l équpe TABOO» et notamment à Lonel FREIRE, Smon BECKER, Glbet FIORUCCI, Yoann DAHAN, Fancs FOURNIER et Alan LE FLOC H. Je pense également à Benad TRIGER, Suzanne JACOMET et Mchel-Yves PERRIN pou leu ade en mcogaphe, et enfn, à Mac BOUYSSOU et Eck BROTONS pou l usnage des épouvettes. Mec également à toutes les pesonnes de PSA à Belchamp et de EFD Inducton à Genoble qu m on adé los des campagnes d essa. Mec aux stagaes que j a pu encade, Jéôme, Lab et Chstophe, pou le taval qu ls ont éalsé et leu sympathe. Mec à Mac, Olve et Ele pou la bonne ambance, la bonne humeu et la convvalté qu égnat au bueau DE 6 (the best). Je souhate témogne mon amté à tous les doctoants avec qu j a passé de fomdables moments au laboatoe et en dehos. Je pense patculèement à Alce qu est pate top tôt, Fab pou ses blagues oentées, Geg avec qu j a patagé d ntenses moments d aventue, Maco pou sa camaadee et ses caquages devant son PC, Mathlde pou les moments patagés, Gand-Seb pou son flegme et Pett-Seb pou son humou. J envoe également une pensée à mes paents sans qu en n auat été. Et, une tende pensée à Jule I

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7 TABLE DES MATIERES Intoducton CH : Contexte ndustel et scentfque 5.. Contexte ndustel 6... Objectfs 6... La pèce étudée Etudes antéeues 8.. Les 4 phases du pocédé ndustel 9... Le bdage 9... Le chauffage pa nducton La tempe Le débdage 0.3. Un poblème multphysque couplé.3.. Composantes électomagnétques.3.. Composantes themques Composantes métallugques Composantes mécanques Les dstosons et contantes ésduelles 4 Bblogaphe 6 CH : Essas expémentaux : démonstateu ndustel et cas sem-ndustel 3.. Essas su démonstateu ndustel 3... Objectfs 3... Moyens Résultats des essas avec les paamètes de éféence Influence des paamètes de chauffage Influence des paamètes de bdage Conclusons su les essas su démonstateu ndustel 43.. Mse au pont d essas su une confguaton smplfée Pésentaton du cas d étude Plan d expéences Résultats themques Résultats métallugques Résultats mécanques Conclusons 54 Bblogaphe 55 CH 3 : Smulaton themo-électomagnétque Smulaton électomagnétque Equatons de Maxwell Fomulaton potentel vecteu / potentel scalae Appoxmaton hamonque Calcul du couant souce Calcul du champ potentel magnétque Le feomagnétsme 7 III

8 3.. Smulaton themque Equaton de la chaleu Résoluton numéque Poblèmes lés aux tatements themques Couplages ente électomagnétsme et themque Le couplage «ulta fable» Effets du champ magnétque su la tempéatue Effets de la tempéatue su la ésoluton électomagnétque Pocédue du couplage themo électomagnétque Applcaton au pocédé sem-ndustel Paamètes électomagnétques Paamètes themophysques Résultats de calcul 94 Bblogaphe 96 CH 4 : Modélsaton du couplage themomécanque Modélsaton du poblème mécanque Rappels su les tenseus de contantes et défomatons Expesson locale du poblème mécanque Expesson globale et dscétsaton du poblème mécanque Lo héologque, compotement THEVP Equaton de Pandtl-Reuss, domanes élastque et nélastque Lo héologque (THEVP) Résoluton numéque des équatons de Pandtl-Reuss Couplage themomécanque 4.4. Applcaton au pocédé sem-ndustel Mesue du coeffcent lnéque de dlataton Modules de Young et de Posson Résultats de calcul 4 Bblogaphe 6 CH 5 : Modélsaton couplée themomécanque et métalluge Cnétques de tansfomaton de phases en tempe Modèle de cnétques de tansfomaton de phases Appoche des cnétques ansothemes pa le fomalsme d Avam Calcul de la tansfomaton d austénte en fete, pelte, bante et matenste Tansfomatons de phases au cous du chauffage apde Pocessus de l austéntsaton Effets du chauffage apde su la tempe Modélsaton des cnétques d austéntsaton Calcul themomécanque multphasée Les défomatons métallugques Lo héologque THEVP multphasée Effets des contantes su les temps de tansfomaton Couplage themo métallugque Dagamme des couplages themomécanques et métallugques Conclusons et hypothèses su les couplages multphysques Applcaton au pocédé sem-ndustel Etudes antéeues su le HR Paamètes de la lo THEVP Dagammes TTA, TTT et paamètes des couplages métallugques Résultats de calcul 7 Bblogaphe 73 IV

9 CH 6 : Smulaton numéque du pocédé sem-ndustel Mse en données du code de calcul Plan d expéence numéque Compaason des ésultats numéques à l expéence Smulaton du bdage de la tôle emboute Résultats en tempéatue Etude métallugque Pédcton de la géométe fnale Etude des dstosons mécanques au cous du pocédé Elongaton des pèces Ouvetue de la fome en «U» Etats de contantes et défomatons Concluson su les ésultats numéques 97 Bblogaphe 98 Conclusons et pespectves 99 Conclusons 99 Pespectves 0 Annexes 03 Annexe : Le feomagnétsme 04 Annexe : Plan du suppot de bdage 06 Annexe 3 : Attaque chmque en vue de l obsevaton mcoscopque 07 Annexe 4 : Appoxmaton des égmes quas-pemanents 08 Annexe 5 : Etude du solveu et pécondton-neu du système lnéae 0 Bblogaphe des annexes 0 V

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11 INTRODUCTION Le taval pésenté dans ce appot s nsct dans le cade d un pojet de echeche mené pa PSA Peugeot Ctoën, su le tatement themque localsé de tôles mnces. L objectf est d augmente la ésstance mécanque du matéau dans des zones cblées des pèces de casse en blanc gâce à l nducton magnétque, dans le but de enfoce la stuctue globale et ans augmente les pestatons de sécuté d un véhcule tout en l allégeant et en dmnuant les coûts de matèe et de poducton. De cet objectf ambteux ésulte la nécessté de maîtse un nouveau pocédé et d avo un appu numéque. C est pouquo PSA Peugeot Ctoën a motvé une collaboaton sous la fome d une conventon CIFRE, avec le CEMEF, laboatoe spécalsé dans le domane des pocédés lés à la mse en fome. L aspect expémental du taval demande la mse au pont d essas à l échelle ndustelle ou sem-ndustelle, et donc de s entoue de spécalstes de la tempe pa nducton. Le taval pésenté dans ce appot se stue ans au cœu d un éseau de patenaes et de sous-tatants pésenté en Fgue : EFD Inducton : concepteu de généateus et de machnes automatsées dédées au chauffage pa nducton basé à Genoble. Concepteu du démonstateu ndustel pou les essas expémentaux. Inducto-Outllage : fabcant d nducteus de fome basé à Sant-Étenne. Founsseu des nducteus su mesues pou les essas expémentaux. PCI : concepteu mécanque basé à Rennes. Concepteu et fabquant d un suppot pou le bdage pou les pèces du démonstateu. CRITT METAL-T de Nancy : caactésatons themques et métallugques du matéau. EFD Inducton Inducto-Outllage PSA Peugeot Ctoën CEMEF (Mnes de Pas) PCI CRITT de Nancy Fgue : Schéma epésentant les nteactons ente PSA et le Cemef, les deux patenaes de la thèse, et l ensemble des sous-tatants.

12 Ce appot est dvsé en 6 chaptes qu exposent le taval éalsé dans le cade de ce pojet : Le peme chapte détalle dans une pemèe pate, le contexte du pojet, ses objectfs et son hstoe. Une seconde pate détalle plus patculèement le pocédé ndustel, ses dfféentes phases et ses dfféentes physques. La tosème et denèe pate est une ntoducton à chacun des 4 domanes physques encontés dans le pocédé : électomagnétsme, themque, métalluge et mécanque. Le chapte suvant potea en peme leu, su la pésentaton du cas ndustel, les objectfs expémentaux, les moyens ms en œuve et les campagnes d essas qu ont été éalsées su le démonstateu ndustel. Les pemes ésultats et les pemèes conclusons su le pocédé qu sont donnés nous conduont à la seconde pate de ce chapte, qu tate d un cas d étude sem-ndustel smplfé. Les essas éalsés su ce cas ans que les ésultats et les conclusons feont éféence pou la sute de l étude. Ce chapte soulgne la complexté du pocédé et soulgne l ntéêt que peut appote la smulaton numéque. Les chaptes 3, 4 et 5 exposent les dfféents chox de modèles, les hypothèses et les développements qu ont été éalsés en vue de la smulaton numéque du pocédé. Le chapte 3 tate de la smulaton électomagnétque, de la smulaton themque et de leus couplages. Les hypothèses su les données électomagnétques et la caactésaton des données themophysques sont pésentées, et un exemple de calcul est donné. Le chapte 4 pésente le modèle themomécanque. Une pemèe pate pésente le modèle mécanque seul. Une seconde pate pésente le modèle héologque etenu et sa méthode de ésoluton. Pus, une tosème pate tate des couplages ente le modèle mécanque et le modèle themque. Enfn, une denèe pate popose des hypothèses su le compotement élastque du matéau et pésente la caactésaton du compotement themo-élastque. Un exemple de calcul themomécanque couplé est donné. Le chapte 5, dene chapte exposant le modèle numéque, pote su les couplages avec la métalluge. Il se dvse en quate pates : les deux pemèes pésentent le modèle métallugque (tempe et austéntsaton), la tosème pésente les couplages en themomécanque multphasée, et la denèe dscute les paamètes d entée du code, qu ls concenent le pocédé ou le matéau, et pésente des ésultats de calcul. Une étude plus appofonde et une dscusson des ésultats numéques su le pocédé semndustel se touvent dans le chapte 6. Ce dene chapte est scndé en pates. L une fat une compaason avec les elevés expémentaux et analyse les dfféences. L aute étude ce que nous appotent les ésultats numéques, en plus de ce que l expéence peut nous appende.

13 CHAPITRE 3

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15 Chapte CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE..Contexte ndustel 6... Objectfs 6... La pèce étudée Etudes antéeues 8..Les 4 phases du pocédé ndustel 9... Le bdage 9... Le chauffage pa nducton La tempe Le débdage 0.3.Un poblème multphysque couplé.3.. Composantes électomagnétques.3... Le chauffage pa nducton.3... Spécfctés technques.3.. Composantes themques Tansfet de chaleu pa conducton Tansfet de chaleu pa convecton Tansfet de chaleu pa adaton La tempe dans les lqudes Composantes métallugques Contexte Rappels de base en métalluge Les dagammes de changements de phase.3.4. Composantes mécanques Les dstosons et contantes ésduelles Noton de contantes ésduelles Conséquences des contantes ésduelles 5 Bblogaphe 6 5

16 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE.. CONTEXTE INDUSTRIEL... Objectfs L nduste automoble est confontée à de constants objectfs d améloaton tant au nveau de la potecton des passages que pou la dmnuton de la consommaton. On vot depus pluseus années augmente le pods des véhcules du fat de la pésence d abags, de enfots ant-ntuson pou avo de melleues pestatons en cas de choc, et d une améloaton généale du confot des utlsateus. Tout cec nut à la dmnuton de la consommaton des véhcules et pa conséquent à l écologe. Il est donc mpotant de touve d autes matéaux ou d autes technologes pemettant de dmnue la quantté de matèe de cetanes pèces voe même de suppme cetans enfots. PSA Peugeot Ctoën s attelle à cette tâche en développant de nouveaux pocédés de fabcaton pemettant d augmente les popétés mécanques de cetanes pates de casse en blanc (pèces emboutes) sans ajoute de matèe n même modfe le type d ace utlsé. Dans cette optque, le chox d un tatement themque local pemet un bon compoms ente bonnes popétés mécanque fnales et ductlté ntale acceptable du matéau avant tatement themque. Le chauffage pa nducton est une technologe pafatement appopée au tatement themque local de l ace gâce à sa faculté de maîtse pécsément les zones affectées themquement (ZAT).... La pèce étudée Nous nous ntéesseons dans cette étude du pocédé à une pèce chose pa PSA Peugeot Ctöen mettant en évdence le gan que le tatement themque appote en teme de masse et de coût de event du pocédé. Il s agt d un ped mleu type A7, c'est-à-de le montant que l on etouve ente les potèes avant et aèe d une Peugeot 07 cnq potes (Fgue ). Cette pèce emboute possède une géométe tdmensonnelle complexe de pa sa fome que nous nommeons «en U», son galbe tout le long de la zone tatée themquement et ses peçages, notamment les tous de fxaton de la centue de sécuté (plan de la pèce Fgue 3). Le système de coodonnées donné en Fgue 3 est le éféentel véhcule. Nous utlseons tout au long de ce mémoe l axe Z pou l axe vetcal pa appot au véhcule, l axe X pou l axe allant de l avant à l aèe du véhcule et enfn l axe Y de façon à compléte le éféentel othonomal. Le ped mleu est obtenu à pat d une tôle d ace de mm d épasseu en ace éféencé HR45 fetque (ace hypoeutectoïde au manganèse de type C5). Cette tôle est dans un peme temps emboute pus dans un second temps, détouée au lase. La stuctue obtenue sut un cahe des chages stct d un pont de vue des dspesons géométques afn de pouvo ête fxée en chaîne de montage automatque, pa pont de soudue, avec les autes éléments de la casse en blanc. Elle compote en fn de mse en fome un champ de contante ntene qu deva ête ps en compte pou modélse pécsément les dstosons los du tatement themque. 6

17 . Contexte ndustel Fgue : Ped mleu d une Peugeot 07 Fgue 3 : Plan d un ped mleu type A7 et zone de tatement themque 7

18 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE..3. Etudes antéeues Le pocédé de tatement themque local de tôles emboutes est à l étude depus pluseus années chez PSA Peugeot Ctoën. Tout d abod, une étude technco-économque s est potée su les peds mleux ca cette pèce est actuellement sot doublée d un enfot, sot aboutée (une tôle est soudée bout à bout à la pemèe avant emboutssage) d un ace à haute ésstance mécanque. La tempe locale pemet donc de édue le pods de la pèce en suppmant la pésence d ace (plus dense), et de édue les coûts de poductons dues sot à l emboutssage et soudage d un enfot, sot au aboutage et emboutssage d un flanc avec soudue. En 000, une estmaton des gans a été fate su un enfot de ped cental de Peugeot 306 : 750g pa pèce et coût de poducton dmnué de plus de 40% [GASPAR-000]. Sute à cette étude économque encouageante, des études de sques ont été effectuées su dfféents ponts comme la tenue de la pentue su l ace, les sques d oxydaton, la soudablté, etc. Fnalement, un sque a été levé su la géométe de la pèce. En effet, l a été emaqué empquement une fote dspeson des dstosons los du tatement themque. C est alos que l dée de bde la pèce los du tatement themque fut poposée et testée. Ces essas ont pems de coge les défomatons apès tempe de façon tès sgnfcatve pa appot aux essas sans pécontantes [ZANETTI-00]. En complément de ces essas expémentaux, une étude de la pestaton en chocs du ped mleu de 306 sans enfot a été menée. La Fgue 4 pésente deux pèces, une tatée et l aute non tatée, sute au même test ant-ntuson. Le but de ce test est de vsualse la popété de la pèce à potége la tête des passages los d un choc latéal. Le pocédé de tatement themque pa nducton de tôles emboutes étant un pocédé complexe (couplant phénomènes themques, mécanques, métallugques et électomagnétques), les études empques ne sont pas asées. C est pouquo nous nous ntéessons aujoud hu à une melleue compéhenson des phénomènes à l ade de la smulaton numéque. Fgue 4 : Test ant-ntuson en cas de choc latéal su un ped mleu de 306 avant et apès tatement themque. La pèce tatée ésste au test alos que l aute pèce pésente un sque pou le passage 8

19 . Les 4 phases du pocédé ndustel.. LES 4 PHASES DU PROCEDE INDUSTRIEL Le pocédé de tatement themque a pou but de s nsée dans la chaîne de fabcaton juste apès l emboutssage. Il peut ête décomposé en quate étapes : un bdage de la pèce su un suppot, un chauffage local pa nducton électomagnétque, une tempe pa mmeson en ban d eau et un débdage de la pèce.... Le bdage La tôle emboute est placée su un suppot doté d outls de bdage pemettant d mpose un déplacement à des ponts défns de la pèce. Cette étape a pou but de cée un champ de contantes ntenes dans la pèce supeposé au champ de contantes ésduelles dû à l emboutssage. Ces contantes du domane élastque ou élasto-plastque pouont ête ndectement souces d un champ de défomatons plastques en fn de tatement themque. Une bonne maîtse du bdage nous pemetta d obten apès tatement, un champs de défomaton plastque total (contantes ésduelles d emboutssage + bdage + gadents themques et métallugques + plastcté de tansfomaton etc. ) n mplquant aucun changement de la géométe globale de la pèce. Cette étape, assocée à une bonne estmaton des dstosons los du tatement themque, est captale dans la maîtse de la géométe fnale de la pèce tatée, et donc dans la possblté de montage de la pèce su l ensemble de la casse en blanc.... Le chauffage pa nducton La pèce et son suppot de bdage se placent sous un nducteu de fome. La concepton de l nducteu et son entefe avec la pèce défnont pécsément les zones chauffées et pa conséquent les zones tempées à l étape suvante (Zone Affectée Themquement : ZAT). Pou une tempéatue maxmale à attende (donc une énege donnée foune au système), le couple ente la pussance foune pa le généateu et le temps de chauffage va détemne les effets espectfs de la pussance dsspée pa effet Joule pa appot à l effet de la dffuson themque. Dans le domane des couples pussance - temps de chauffage acceptables pa l nstallaton, l vaut meux pvlége les temps de chauffage les plus couts pou une melleue pécson de la ZAT...3. La tempe Smultanément à l aêt du généateu, la pèce bdée su son suppot est plongée dans un ban d eau à tempéatue ambante. Le fot coeffcent d échange themque ente l eau et l ace assocé à la fable épasseu des tôles de casse en blanc (jusqu à mm) povoque une chute butale de la tempéatue du matéau dans l ensemble de la pèce. L austénte, nstable en dessous de la tempéatue A C, va se tansfome en une phase themo-dynamquement hos équlbe. La phase ésultante de la tempe dépenda des popétés métallugques du matéau et de la vtesse de efodssement. On obtenda, pou des vtesses de efodssement cossantes, de la fete (tansfomaton poche de l équlbe), de la pelte (fete + Fe 3 C), une bante, de la matenste, ou un mélange de pluseus de ces phases (vo paagaphe.3.3 de ce chapte). L appaton d une nouvelle phase, telle que l austénte au chauffage, mplquea un changement de densté volumque dans la ZAT. De plus, au efodssement, une défomaton plastque spécfque aux changements de phase sous contantes (même tès nféeues au 9

20 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE seul de plastcté) appelée plastcté de tansfomaton peut nteven. Ces phénomènes généeont un champ de contante qu dot ête équlbé pa les outls de bdage...4. Le débdage Une fos la pèce tatée descendue à la tempéatue du flude de tempe, l ensemble pèce plus suppot de bdage sont sots du ban et la pèce est elâchée. Los de cette opéaton le champ de contantes ntenes s équlbe, les contantes ésduelles se développent en généant des dstosons (vo paagaphe.3.4) et la géométe de la pèce peut en ête fotement affectée. a) b) Fgue 5 : Systèmes de chauffage pa nducton : (a) chauffage dans la masse et (b) chauffage localsé Fgue 6 : Tôle d ace en sote de fou à nducton en fn de pocédé de lamnage 0

21 .3 Un poblème multphysque couplé.3. UN PROBLEME MULTIPHYSIQUE COUPLE.3.. Composantes électomagnétques.3... Le chauffage pa nducton L nduste cheche toujous à te les melleus avantages des tatements themques. C est pouquo on s ntéesse aujoud hu de plus en plus au tatement themque obtenu ente autes avec le chauffage pa nducton [BARRERE-99 ; NICLAS-998 ; PASCAL-003]. Le chauffage pa nducton est tès utlsé dans les pocédés ndustels de tatement themque des métaux comme la tempe, le ducssement en suface, le basage, la chauffe avant fogeage, les applcatons de evêtements, ou la fuson en ceusets et auto-ceusets [RUDNEV-003]. Les pncpaux avantages des pocédés de chauffage pa nducton sont une augmentaton de tempéatue tès apde (fote poductvté), un chauffage local et pécs (tatement supefcel ou en masse), une tès fable nete du système (économe d énege), la faclté de contôle et d automatsaton, la popeté nhéente à son mode de fonctonnement, et une tès bonne epoductblté. Les pemes systèmes de chauffage pa nducton sont appaus au cous des années 90 avec la mse en place de convetsseus pouvant foun la pussance électque nécessae. A la fn des années 960, des équpements de chauffage apde ont été développés. Aujoud hu, avec l évoluton de la technologe, les systèmes électomagnétques de chauffage pa nducton sont devenus tès complexes et tès couants. Dès les années 980, le ecous aux technques de smulatons numéques a pems de substtue le calcul à une lage pat des essas. Les nstallatons de chauffage pa nducton compennent généalement : un ou pluseus nducteus de chauffage, une souce à basse ou moyenne féquence assocant un convetsseu de féquence (généateu ou onduleu) à un coffet d adaptaton et de compensaton pa battee de condensateu (ccut RLC), un système de efodssement pa eau de la souce de pussance, du coffet d adaptaton et de l nducteu, un système de manutenton des pèces à chauffe, éventuellement un ensemble de commande-contôle de l nstallaton. Suvant le type d applcaton echechée (tempe dans la masse, supefcelle ou localsée), dfféents types d nducteus seont choss. Pa exemple, les bobnes solénoïdes nductces (Fgue 5.a) seont péféées pou des tempes dans la masse alos que les nducteus de fome (Fgue 5.b) seont meux adaptés aux tempes supefcelles ou localsées. D autes types d nducteus exstent, comme les bobnages ectangulaes tès utlsés los des pocédés de lamnage (Fgue 6) Spécfctés technques Le chauffage pa nducton est une applcaton decte de deux los fondamentales de la physque : la lo de Lenz et l effet Joule. En almentant un nducteu en couant altenatf à une féquence donnée (souvent ente 50Hz et quelques centanes de khz), un champ électomagnétque est céé au vosnage de cet nducteu. Quand un cops conducteu est plongé dans ces champs, l est tavesé pa un flux magnétque dont les vaatons ndusent,

22 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE d apès la lo de Lenz, une foce électomotce donnant nassance à des couants de Foucault [GIÉ-985]. Ces couants nduts podusent de la chaleu pa effet Joule, et le cops s échauffe. Ce mécansme est l unque souce de poducton de chaleu pou les matéaux non magnétques ou paamagnétques (ex. : alumnum, cuve, aces de tempéatue supéeue à leu tempéatue de Cue). En ce qu concene les matéaux feomagnétques, de la chaleu est également podute pa pésence d un effet d hystééss dans la coube d amantaton (nducton magnétque B en foncton du champ magnétque H). Ce second mécansme est généalement d effet beaucoup plus fable que le peme ; le appot este dffcle à quantfe ca l s avèe tès dépendant du matéau et des paamètes. Feomagnétsme et peméablté magnétque elatve : Etant donné qu une chage électque en mouvement engende un champ magnétque autou d elle-même, les électons qu tounent su eux-mêmes (spn) et autou du noyau (obtale) foment de petts dpôles magnétques [DORLOT-986]. Ces dpôles éagssent à l applcaton d un champ magnétque extéeu H et cette éacton du matéau est caactésée pa l nducton magnétque B. En effet, les moments magnétques des atomes tendent à s algne avec le champ extéeu et à le enfoce de leu pope champ. B epésente alos l ntensté du champ magnétque extéeu H, à l ntéeu du matéau. Losqu une substance (gazeuse, lqude ou solde) est placée dans un champ magnétque, celu-c gade la même valeu qu en absence de la substance. Toutefos, l nducton magnétque dans ce matéau devent popotonnelle à la somme du champ extéeu et du moment magnétque ndut dans la substance : 7 ( H + M ) avec µ 0 = 4π.0 Wb. A B = µ m () 0. µ 0 est une constante appelée peméablté magnétque du vde et le vecteu M est appelé magnétsaton du matéau. Il epésente le moment magnétque dpolae ésultant (pa unté de volume) algné avec le champ H. Pou de nombeuses substances, M est elé à H pa la susceptblté magnétque χ. M = χ H () On peut alos éce à pat des elatons () et (), l expesson d une peméablté magnétque µ pope au matéau mas on péfèe généalement caactése le compotement magnétque d un matéau pa sa peméablté elatve µ, qu expme son compotement pa appot au vde : B = H avec µ = µ + χ = µ µ (3) ( ) µ 0 0 Dans une modélsaton macoscopque du compotement magnétque, on epésente alos la éacton du matéau (mesuée pa B) à l applcaton d un champ magnétque H de façon popotonnelle à la éacton du vde au même champ H. Dans le vde : B 7 0 = µ 0 H avec µ 0 = 4π.0 Wb. A. m (4) Dans le matéau : B = H avec µ = µ µ (5) µ 0

23 .3 Un poblème multphysque couplé Les matéaux feomagnétques (Fe, Co, N, Gd, Dy, Ho, Tm, etc.) sont ceux pou lesquels µ est tès supéeue à. La Fgue 7 pésente la coube d amantaton de dfféents aces feomagnétques. On peut y constate que l nducton magnétque B évolue de façon non lnéae pa appot au champ magnétque H. Cec est dû à l algnement de la magnétsaton du matéau avec le champ magnétque. Sous l effet d une agtaton themque suffsamment mpotante (due à une augmentaton de tempéatue), les moments magnétques se désogansent et la peméablté magnétque elatve chute à : le matéau devent paamagnétque. Ce phénomène appaaît avant une tempéatue donnée appelée tempéatue de Cue (ou pont de Cue) epésentée en Fgue 8. Pou le lecteu ntéessé, de plus amples détals sont donnés en annexe su les aspects physques du feomagnétsme. Fgue 7 : Boucle d hystééss de la coube d amantaton pou un ace fetque (XC0), peltque (XC80), matenstque (XC55), et matenstque ecut (XC55) [SAQUET-999] Fgue 8 : Effet de la tempéatue su la peméablté magnétque elatve d un ace au cabone [RUDNEV-003] Effet de peau : Losqu un couant altenatf tavese un conducteu, la dstbuton du couant su la secton tavesée n est pas unfome. La valeu maxmum de la densté de couant est toujous stuée à la suface du conducteu et décoît à l ntéeu du conducteu. Ce phénomène de nonunfomté de la dstbuton de couant au taves d une secton du conducteu est appelé effet de peau. On vot c toute l ognalté du chauffage pa nducton pusque pa ces effets, une gande pate de la pussance ndute est concentée su une fne épasseu en suface de la pèce (Fgue 9). Une gandeu caactéstque appelée épasseu de peau ou pofondeu de pénétaton et notée δ pemet de quantfe l mpotance de ce phénomène qu dépend des popétés électomagnétques du matéau et de la féquence de la souce de couant : 3

24 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE δ = (6) π. f. σ. µ Il est tès mpotant dans un système de chauffage pa nducton, qu l sot conçu à des fns de tempe supefcelle ou de chauffage dans la masse, de maîtse ce paamète, pncpalement en modulant la féquence du couant souce pa une battee de condensateus adaptés. Cetans systèmes vont encoe plus lon dans la maîtse de ce paamète, en supeposant deux épasseus de peau dfféentes pa l applcaton d un couant mult-féquence à l nducteu. Effet de bod et de bout : L hétéogénété en tempéatue dans une pèce chauffée pa nducton est due d une pat à l effet de peau pou les gadents ente suface et cœu, et d aute pat aux effets de bod et de bout pou les gadents en suface. J 0 86% de la pussance J en A.m - Epasseu de peau 0,37 J 0 Densté de couant Dstance à la suface Fgue 9 : Repésentaton de la pofondeu de peau S on consdèe une pèce cylndque plongée dans un champ homogène (comme à l ntéeu d un nducteu solénoïde long) la pésence de la pèce conductce ndut une dstoson du champ électomagnétque (Fgue 0). Ces dstosons de champ, entaînant des vaatons de dstbutons de densté de couant ndut et de pussances, sont qualfées d effet de bod. Dans la éalté des cas ndustels, les nducteus solénoïdes peuvent aement ête consdéés comme nfnment longs. Dans ces condtons, on obseve à chaque extémté un écatement des lgnes de champ : l effet de bout. Les effets de bout et de bod étant tès smlaes et ls nfluent souvent l un su l aute ; on dstngue aement l un de l aute. Ils sont essentellement gouvenés pa quate vaables : l effet de peau, la pofondeu jusqu à laquelle va la pèce dans l nducteu (s elle ne tavese pas totalement l nducteu), le appot du damète ntéeu de l nducteu et du damète de la pèce, et le facteu d espacement des spes. Ce dene facteu epésente le appot ente l espace sépaant deux spes et la lageu d une spe. Dans le cas d un nducteu monospe, le facteu est égal à. Une combnason de ces quate facteus ncoecte peut entaîne un su-chauffage ou un sous-chauffage de l extémté de la pèce. Il est donc nécessae de ben les maîtse afn d obseve un champ de tempéatue homogène, ou dans le cas de chauffage localsés, de contôle les gadents de tempéatue en suface. 4

25 .3 Un poblème multphysque couplé Fgue 0 : Lgnes de champ et dstbuton de pussance le long d un cylnde plongé dans un champ magnétque céé pa un nducteu solénoïde [RUDNEV-003].3.. Composantes themques La themque est une scence ben connue dans l étude des mleux contnus mas peut deven un vétable poblème los d nteactons ente pluseus mleux. Elle est gouvenée pa les peme et second pncpes de la themodynamque qu se tadusent sous la fome de l équaton de la chaleu : dt ρ C = q + W& (7) dt T est la tempéatue, ρ la densté volumque du mleu, C sa chaleu spécfque, W le taval mécanque (ou tout aute teme de couplage souce de chaleu ntene) et q le flux de chaleu. Le flux de chaleu a pou ogne un tansfet themque qu peut se fae sous 3 modes, ou toute combnason de ces 3 modes : conducton, convecton et adaton Tansfet de chaleu pa conducton Il s agt d un échange d'énege spontané pa contact d une égon de tempéatue élevée ves une égon de tempéatue plus basse. Dans un gaz ou un lqude, l'énege se popage pa contact dect ente molécules sans déplacement notable de molécules. Dans un solde, la vbaton des atomes autou de leu poston (agtaton themque) se tansmet de poche en poche. Dans le cas des matéaux cstallns, les vbatons du éseau nteagssent avec les électons lbes, ce qu explque que la conductvté themque et électque soent lées (nous pésentons la lo de Wedemann-Fanz dans le chapte 3, paagaphe ). Ce mode de tansfet obét à la lo de Foue qu le le flux de chaleu au gadent themque dans la matèe, va un paamète matéau : la conductvté themque k. 5

26 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE q = k T (8).3... Tansfet de chaleu pa convecton Ce mode de tansfet appaaît en pésence d un flude en mouvement, ce mouvement pouvant ête natuel ou focé. C est le mode de tansfet de chaleu le plus mpotant dans les échanges d énege d une pèce tempée ves l extéeu. Nous tateons les poblèmes lés à la tempe dans un lqude au paagaphe Le flux de chaleu sotant de la pèce pa convecton à taves sa suface sut la lo : φ = q n = h( T ) (9) sotant T ext Le coeffcent d échange themque h dépend du couple matéau/flude mas auss de la vtesse elatve du flude pa appot au matéau au nveau de leu nteface. C est pouquo on dstngue la convecton natuelle de la convecton focée :. la convecton natuelle est due au mouvement céé pa la dfféence de densté volumque ente le flude chaud au contact de la pèce et le flude mons chaud autou. La convecton natuelle appaaît spontanément losque la poussée d Achmède dépasse une lmte dépendante du matéau (nombe de Raylegh).. la convecton focée est due à un mouvement mposé pa un système mécanque extéeu. Le coeffcent d échange themque est alos beaucoup plus élevé Tansfet de chaleu pa adaton Le tansfet de chaleu pa adaton ou ayonnement est un tansfet d énege sans contact. En effet, l exste auss dans le vde comme, pa exemple, le ayonnement solae. Le tansfet d énege s effectue alos pa voe électomagnétque à tès hautes féquences (env Hz pou les nfaouges poches). Le flux de chaleu sotant d un mleu à taves sa suface sut alos la lo de Stefan-Boltzmann : 4 4 φ = q n = εσ T T (0) sotant SB ( ) ext σ SB est la constante de Stafan-Boltzmann et ε l émssvté du matéau ayonnant. ε = pou les cops nos (cops absobant toutes les féquences électomagnétques) et dmnue ves 0 avec la ugosté de la suface. Pou les aces, on les consdèe généalement comme des cops nos (toutes les féquences de ayonnement contbuent à l équlbe themque) d émssvté égale à La tempe dans les lqudes Nous avons vu que le mode de tansfet de chaleu pédomnant dans les échanges avec l extéeu los de la tempe d un ace est la convecton. Selon les pocédés, on peut effectue des tempes à l a, à l eau, à l hule, avec ou sans agtaton (convecton focée). Dans les cas sans agtaton pncpalement, l étude des échanges themques devent vte poblématque. En effet, J.G. Ledenfost [LEIDENFROST-966] monte que la duée de ve d une goutte d eau su une plaque chaude (au dessus de la tempéatue d ébullton de l eau) dépend de la tempéatue de la plaque. Ce phénomène est du à l effet Ledenfost qu met la goutte en «lévtaton» au dessus de la plaque pa généaton d une couche de vapeu ente la plaque et l eau. C est cette couche de vapeu, agssant comme un solant themque ente la plaque chaude et l eau fode, qu augmente la duée de ve de la goutte d eau. 6

27 .3 Un poblème multphysque couplé Dans le cas de la tempe des aces, dfféents phénomènes peuvent appaaîte selon la dfféence de tempéatue ente la suface chaude et la vaposaton du lqude de tempe [BELL-984]. Au début de la tempe, la suface du solde est tès chaude et est alos totalement ecouvete d une couche de vapeu. Il s agt de la caléfacton (flm bolng). Le mode de tansfet est pncpalement adatf voe conductf (coeffcent de tansfet fable et quas-constant) et le flux de chaleu dmnue avec la tempéatue (Fgue ). Fgue : Coubes typques de flux de chaleu et de coeffcent d échange themque pou un solde chaud plongé dans un ban lqude [BELL-984] Losque la dfféence de tempéatue ente la suface du solde et la vaposaton du lqude attent une valeu ctque, la fomaton de vapeu n est plus contnue et des colonnes de vapeu se foment au dessus des leux de nucléaton. Le lqude epend alos contact avec la pèce et est actvté d une tès gande vtesse de convecton due au déplacement des patcules de vapeu. Il s agt de l ébullton nucléée (nucleate bolng). C est au pont ctque qu sépae la caléfacton de l ébullton nucléée que le coeffcent de tansfet de chaleu est le plus élevé (ponts B et B ). Le flux themque sotant de la pèce est alos mpotant et la tempéatue de suface du solde dmnue apdement. Pa conséquent, la vaposaton du lqude dmnue, édusant ans la convecton en suface de la pèce. Le coeffcent d échange themque dmnue alos. Ces obsevatons nous font compende que la caactésaton du coeffcent d échange de chaleu los de la tempe n est pas asée. Notons qu l exste des méthodes d analyse nvese (pa exemple [BUCZEK-004]) pou s attaque à ces poblèmes. L étude de ses phénomènes ne fea pas le sujet de ce taval mas l est mpotant d ête conscent des hypothèses que nous feons alos. Le sujet des tansfets themques en tempe est actuellement tès actf dans la echeche. Nous envoyons le lecteu aux tavaux de Jéôme Glles et Bahm Bououga pou plus de détals [BOUROUGA-007 ; GILLES-004]. 7

28 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE.3.3. Composantes métallugques Contexte A l Age du Bonze, la qualté des poduts métallques dépendat sutout du savo-fae des fondeus pa la composton obtenue en phase lqude. Avec l Age du Fe, le savo-fae a gagné l at du fogeon avec une cetane maîtse de la themque en phase solde. C est quelques sècles avant note èe qu appaassent les pemes ducssements pa tempe sute à un chauffage du métal dans du chabon de bos. Dans le but d améloe les popétés des allages feeux, seules cetanes égons d Euope centale patculèement ches en mneas de manganèses (donc avec une cetane mage de tempablté) patquaent ces tous de man plus ou mons heueux. Les technques de la foge évoluent peu jusqu aux pemes tavaux scentfques su les tatements themques au 8 ème sècle, notamment avec l'at de convet le fe fogé en ace et l'at d'adouc le fe fondu de Réaumu, en 7. Aujoud hu, nous connassons et maîtsons les phénomènes métallugques esponsables des changements de popétés et on ne pale de tatement themque que losque le cycle themque en phase solde est éalsé à des fns stuctuales pécses. Nous pouvons cte dfféents types de tatements themques comme le ecut, la tempe, les evenus, les vellssements, les tatements themochmques,. Le pncpal ntéêt de l nduste pou ces pocédés est de pemette une mse en œuve asée technquement et/ou économquement de la pèce métallque, pus de lu confée des popétés d emplo optmales. A tte d exemple, une tempe pemet de notablement augmente la ésstance et donc d améloe la tenue en sevce d une pèce de caossee automoble qu a été pécédemment emboute. L emboutssage n auat pu ête éalsé su le matéau duc. On dstngue dfféents types de tempes : les tempes dans la masse, les tempes supefcelles et les tempes localsées. Dans cette thèse, nous nous ntéessons unquement aux tempes localsées. Les nstallatons pemettant leu éalsaton nécesstent des moyens de chauffage et de efodssement tès apde pou lmte la dffuson themque. Les souces de chaleu à densté de pussance suffsante sont pncpalement les chalumeaux (de mons en mons utlsés), les nducteus à moyenne et haute féquence (selon la pofondeu de tempe souhatée), les fasceaux lase CO ou YAG (quelques kw), les fasceaux d électons, les toches à plasma,. Le chauffage est généalement suv d une tempe sévèe comme une douche d eau [DESALOS-003] Rappels de base en métalluge Afn de compende les pncpes de la tempe des aces, l est nécessae de s ntéesse à la mcostuctue du fe. Aux tempéatues usuelles, le fe peut pésente dfféentes stuctues cstallnes. On peut classe ces stuctues soldes pa tempéatue cossante à l ade d un dagamme d équlbe (Fgue ) : le fe-α (fete), le fe-γ (austénte) et le fe-δ. Le fe-δ n exstant dans les ace qu à tès fable teneu en cabone (nféeu à 0,5%) et à tès haute tempéatue (supéeue à 394 C), nous ne nous ntéesseons qu à la fete et l austénte. Pou le fe pu, la fome la plus stable à haute tempéatue est une fome cubque centée (feδ) et devent cubque face centé (austénte) en passant au dessous de 394 C (Fgue 3), mas en efodssant davantage (nféeu à 9 C), l epend une fome cubque centé (fete). Le lecteu ntéessé pa l aspect themodynamque des domanes de stablté et des tempéatues de changement de phase peut se éfée à [FOCT-997]. 8

29 .3 Un poblème multphysque couplé Fgue : Schéma du dagamme d équlbe de phase bnae Fe-Fe 3 C [MURRY-998] Fgue 3 : Stuctue cubque face centé c.f.c et cubque centé c.c [DORLOT-986] De pa le volume des stes ntesttels octaédques de ces deux types de malle, les éléments d allages comme le cabone sont plus solubles dans l austénte (Tableau ). Pou des teneus en cabone supéeues à la solublté dans le fe, un pécpté métastable appaaît : la cémentte Fe3C. Tempéatue Solublté ( C) Masse % Atomque % C dans Fe γ 50,04 8,8 73 0,80 3,6 C dans Fe α 73 0,0 0,095 0 < <,.0-4 Tableau : Solublté du cabone dans l austénte et la fete [BÉRANGER-997] Le pncpe des tatements themques de ducssement est de pége les atomes de cabone dssous dans la matce de fe los sa tansfomaton γ α pa un efodssement butal ne lassant pas le temps aux atomes de cabone de dffuse su de gandes dstances. D un pont de vue métallugque, on appelle alos «tempe» les pocédés de tansfomaton d austénte en matenste ou bante (la pelte étant une stuctue aangée Fe + Fe 3 C pouvant se touve dans un état poche de l équlbe). 9

30 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE La matenste : Los de tempes tès apdes, le cabone en soluton dans l austénte peut ne pas avo le temps de dffuse d une dstance supéeue à la dstance nte atomque. Dans ce cas, on obtent un consttuant fetque susatué en cabone, la matenste (fe α ), de stuctue cstallne quadatque centée. Cette malle matenstque se dédut de la malle cubque à faces centées de l austénte pa une défomaton de csallement couplée à une légèe dstoson : tansfomaton de Ban (Fgue 4). Cette tansfomaton ndut un changement de volume qu condut à l appaton de contantes ntenes autou des zones tansfomées. Il est à note qu une matenste hexagonale ε peut auss exste, d autant plus faclement en pésence d éléments d allage stablsant la fome hexagonale du fe (Co, Mn, N, ). Fgue 4 : Ogne de la malle quadatque centée α selon Ban [MURRY-998] La tansfomaton matenstque étant une tansfomaton dsplacve donc sans dffuson, sa cnétque est quasment ndépendante du temps. Elle débute losque l austénte nstable passe en dessous d une tempéatue seul M S (Matenste Stat) et évolue unquement en foncton de la tempéatue attente. L austénte est entèement tansfomée en matenste à la tempéatue M f. S la tempéatue ambante est compse ente M S et M f, l subsste une cetane facton d austénte dte «ésduelle». Pou cetans matéaux, la tempéatue M S peut ête nféeue à l ambante. Dans ce cas, on ne peut obten de la matenste qu en efodssant la pèce tatée à tès basse tempéatue et la matenste suba un evenu dès le etou de la pèce à la tempéatue ambante. La métallogaphe monte que la matenste pésente des mcostuctues vaées avec deux mophologes domnantes : en lattes ou en agulles (Fgue 5). a) b) Fgue 5 : Mcogaphe de stuctues matenstques en a) lattes et b) en plaquettes [THOMAS-00] 0

31 Les bantes :.3 Un poblème multphysque couplé La bante est podute los de efodssements à vtesse légèement plus fables ou pa mantent sotheme supéeu à M S et nféeu à la lmte de la tansfomaton peltque. Cette tansfomaton est le ésultat d une successon de phénomènes dsplacfs (comme pou la matenste) et dffusonnels (comme pou la pelte). L mpotance de chacun de ces deux mécansmes condut à une gande vaété de mcostuctues, d où le teme bantes au pluel. De pa les phénomènes dffusfs, la tansfomaton bantque est dépendante du temps et nécesste un temps de gemnaton. D un aute coté, les phénomènes dsplacfs mposent une plage de tempéatue en dehos de laquelle la bante ne poua se fome. Cette plage de tempéatue débute à la tempéatue B S (envon 500 C dans les aces au cabone) qu dmnue avec la teneu en éléments d allage (C, Mn, N, C, Mo), et la tempéatue B f poche de M S. De manèe généale, les bantes sont consttuées d un fn mélange macoscopquement non lamellae de fete, cabue et/ou austénte. On dstngue couamment deux aangements typques de bante selon les tempéatues de tansfomaton : la bante supéeue pou les tempéatues les plus élevées, et la bante nféeue pou des tempéatues plus basses. Notons néanmons qu l exste d autes types de bantes auxquelles nous ne nous ntéesseons pas dans ce mémoe comme la fete acculae (mcostuctue chaotque plus susceptble d évte la popagaton des fssues) ou la bante ganulae (mcostuctue dépouvue de cabues) [BRAMFITT-990 ; HONGSHENG-986]. De façon généale, la tansfomaton bantque débute pa la gemnaton dsplacve d une entté fetque au nveau des jonts de gans de l austénte mèe. Dans un second temps appaaît la dffuson du cabone pa pécptaton de cabues. Celle-c s opèe dans ou au contact de l envonnement austéntque ench pa le cabone des gemes. La bante supéeue se pésente sous fome de goupement de lattes de fete paallèles et d oentaton cstallogaphques vosnes, sépaées de patcules allongées de cémentte et/ou d austénte etenue. La bante nféeue est consttuée de plaquettes de fete et de petts cabues nte ou nta plaquette. Les patcules de cémentte nta plaquettes sont de tès pettes dmensons (épasseu de quelques nanomètes) [FOCT-997]. La Fgue 6 poposée pa Foct et Tallad epésente la fomaton mophologque de ces deux bantes et la Fgue 7 epésente deux mcogaphes de bantes d aces dfféents. Fgue 6 : Mophologe et chonologe de fomaton (,,, v) de la bante a) supéeue et b) nféeue [FOCT-997]

32 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE Fgue 7 : Stuctues bantques d un ace a) 6MnCB5 tempé à l eau et b) 35MNV7 tempé à l a [AUCLAIR-997] Les dagammes de changements de phase Dans les condtons de efodssement sévèe de la tempe, le métallugste ne peut plus s appuye su des abaques tels que les dagammes de phase epésentant un état d équlbe (Fgue ). Il est alos nécessae de constue d autes dagammes epésentant les domanes de tansfomaton de l austénte en fete, pelte, bante ou matenste, dépendant de l allage obsevé, des condtons de efodssements, des condtons d austéntsaton péalable, de la talle des gans austéntques, etc. T C Ac 3 AUSTENITE PERLITE BAINITE FERRITE Ac TH B S Ac tempéatue de début d austéntsaton ; Ac 3 tempéatue de fn d austéntsaton ; TH tempéatue d Hultgen (lmte de tansfomaton fetque) ; B S tempéatue de début de tansfomaton bantque ; M S tempéatue de début de tansfomaton matenstque M S MARTENSITE Log (t) Fgue 8 : Schéma de dagamme TTT avec domanes de tansfomaton Dans les années 0, E.C. Ban magne une étude de la tansfomaton de l austénte en condtons sothemes pemettant de déce avec pécson le ou les consttuants caactéstques de la tansfomaton sotheme à une tempéatue donnée. Le pncpe est dans un peme temps de pote un échantllon à haute tempéatue pou obten de l austénte homogène. Cet échantllon est ensute tempé dans un ban mantenu à tempéatue constante. L austénte est ans efode tès apdement à la tempéatue de manten et la pogesson de sa tansfomaton est étudée los de ce manten. On constate généalement que la tansfomaton ne débute qu apès un cetan temps appelé «temps d ncubaton». Les

33 .3 Un poblème multphysque couplé obsevatons de tansfomaton de phase sont alos epotées su un dagamme TTT (Tansfomaton Temps Tempéatue), ayant pou abscsse le logathme du temps et pou odonnée la tempéatue (Fgue 8). On touve généalement su ce dagamme des coubes T(t) epésentant le début et la fn des tansfomatons. La pésence d une ou pluseus autes coubes (comme la tansfomaton à 50% pa exemple) sont des ndcatons supplémentaes su les cnétques de tansfomaton. Les dagammes TTT peuvent ête dffcles à caactése dans le cas des aces dont le temps d ncubaton est tès fable. En effet, le temps de descente en tempéatue jusqu au manten dot ête tès fable, voe néglgeable devant le temps d ncubaton afn de pouvo consdée une tansfomaton sotheme. Un aute dagamme caactéstque des tansfomatons de l austénte en tempe a été ms au pont pou les efodssements contnus. Le dagamme TRC (Tansfomatons en Refodssement Contnue) est établ en efodssant à dfféentes vtesses un échantllon péalablement austéntsé. On peut vo su la Fgue 9 que la fome des coubes T(t) défnssant les zones de tansfomaton essemblent aux dagammes TTT (Fgue 8). Néanmons, l faut ben dstngue ces deux types de dagammes qu ne epésentent pas les mêmes condtons de tempe. On peut asément appoxme un dagamme TRC à pat d un dagamme TTT à l ade du fomalsme de Johnson-Mehl-Avam [JOHNSON-939], du pncpe d addtvté et de la somme de Schel (vo Chapte 5). Austéntsaton à 900 C duant 30mn, talle de gan 7-9 Fgue 9 : Dagamme TRC d un ace 5CMo4 [BÉGUINOT-997] Il exste également le même type de dagammes losqu l s agt de la tansfomaton austéntque au chauffage (Fgue 0). Nous appelleons dagamme TTA (Temps Tempéatue Austéntsaton) les dagammes établs en condtons sothemes (Fgue 0a) et TCC (Tansfomaton en Chauffage Contnu) les dagammes établs avec des vtesses de chauffages données (Fgue 0b). 3

34 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE a) b) Fgue 0 : Dagamme de tansfomaton d un ace 34CMo4 a) au chauffage contnu et b) en chauffage sotheme [FARIAS-99].3.4. Composantes mécanques Les dstosons et contantes ésduelles Noton de contantes ésduelles Les contantes ésduelles sont des contantes auto-équlbées qu exstent dans un matéau ps à tempéatue unfome et qu n est soums à aucune sollctaton mécanque extéeue. Ces contantes ésduelles appaassent losqu l exste dans le matéau des hétéogénétés de défomatons pemanentes qu condusent à des ncompatbltés de défomatons [SIMON- 997]. Usuellement, les contantes ésduelles sont classfées selon l échelle à laquelle est tatée l hétéogénété de défomaton : échelle macoscopque de l ode du mm (peme ode σ I ), échelle mcoscopque de l ode de la talle du gan (second ode σ II ), échelle submcoscopque de l ode de quelques dstances nteatomques ou défauts de stuctue (tosème ode σ III ) (Fgue ). Fgue : Supeposton des tos odes de gandeu de contantes [MAEDER-990] 4

35 .3 Un poblème multphysque couplé Dans cette étude, nous nous ntéesseons unquement aux hétéogénétés à l échelle de la stuctue donc aux contantes ésduelles du peme ode. La Fgue schématse la tacton unaxale d une épouvette hétéogène en compotement mécanque (pate ) suve d un etou à l état d équlbe (pate ). La Fgue c monte que le matéau est alos sous contantes de tacton et compesson équlbées (pate 3). Su cet exemple, c est une sollctaton mécanque qu a entaîné la plastfcaton du matéau. Fgue : Cas de la défomaton pa tacton un axale d une épouvette dont les caactéstques mécanques à cœu et en peau sont dfféentes [ALIAGA-000] Los de tatements themques de tempe localsée, les contantes ntenes peuvent ête généées pa les gadents themques, les dlatatons ou contactons los des changements de phase, les gadents métallugques qu ndusent des gadents de popétés mécanques, la plastcté de tansfomaton ou toute combnason de ces phénomènes Conséquences des contantes ésduelles Les contantes ésduelles ont deux conséquences majeues. La pemèe se pote su le compotement mécanque du matéau et de la pèce du fat que localement, la sollctaton sube est une supeposton des contantes applquées et des contantes ésduelles. La seconde conséquence est une modfcaton géométque de la pèce povenant des défomatons et défauts généés pa les contantes ésduelles et toute l hstoe de la genèse des contantes ntenes. C est pa cette altéaton de la géométe d une stuctue que nous entendons le teme de dstoson. Les dstosons sont mpotantes à maîtse ca elles peuvent nuent à l utlsaton ndustelle d une pèce tatée qu sotat des côtes autosées dans le cahe des chages, ou dans le pe des cas, condue à une uptue locale de la pèce pa appaton de fssues. Une manfestaton spectaculae de cet effet peut se enconte los de la tempe des aces avec l appaton de tapues [BODSON-975]. 5

36 CONTEXTE INDUSTRIEL ET SCIENTIFIQUE BIBLIOGRAPHIE [ALIAGA-000] - Alaga C., Smulaton numéque pa éléments fns 3D du compotement themomécanque au cous du tatement themque d aces : applcaton à la tempe de pèces fogées ou coulées, Thèse de doctoat, ENSMP, 000. [AUCLAIR-997] - Aucla G., Badad A., Bégunot J. et al, "Les gandes famlles d aces spécaux", Les Aces Spécaux,, Lavose - Technques et Documentaton, p. -74, 997. [BARRERE-99] - Baee E., Contbuton à la modélsaton des contantes ésduelles los de la tempe supefcelle au déflé apès un chauffage pa nducton, Thèse de doctoat, ENSAM Bodeaux, 99. [BÉGUINOT-997] - Bégunot J., Bellus J., Gaute E. et al, "Pncpes de base du tatement themque des aces spécaux", Les Aces Spécaux, Lavose - Technques et Documentaton, p , 997. [BELL-984] - Bell K.J., Muelle A.C., Wolvene engneeng data book, Wolvene Dvson of UOP nc., vol., p. 305, 984. [BÉRANGER-997] - Béange G., Schmtt J., "Stuctues cstallogaphques et dagammes d équlbe", Les Aces Spécaux, Lavose - Technques et Documentaton, p. 79-7, 997. [BODSON-975] - Bodson, Flahaut, Femot et al, "Detecton des tapues de tempe pa émsson acoustque", Revue patque du contôle ndustel, n 73, 975. [BOUROUGA-007] - Bououga B., Glles J., "The Tanston Fom Nucleate Bolng Towads the Convecton: Applcaton to the Quenchng of Metallc Massve Pats", AIP Conf. Poc., vol. 907, p. 7-0, 007. [BRAMFITT-990] - Bamftt B., Spee J., "A pespectve on the mophology of bante", Metallugcal and Mateals Tansactons A, vol., n 3, p , 990. [BUCZEK-004] - Buczek A., Telejko T., "Invese detemnaton of bounday condtons dung bolng wate heat tansfe n quenchng opeaton", J.Mate.Pocess.Technol., vol , p , 004. [DESALOS-003] - Desalos Y., "Intoducton aux tatements themques des métaux et allages", Technques de l Ingéneu - taté Matéaux métallques, n M05, 003. [DORLOT-986] - Dolot J., Baïlon J., Masounave J., Des Matéaux ème édton, Edton de l'ecole Polytechnque de Montéal, 986. [FARIAS-99] - Faas D., Tatement themque lase de l ace XC4 et modélsaton des tansfomatons de phases en cycles apdes au chauffage et au efodssement, Thèse de doctoat, INPL, 99. [FOCT-997] - Foct J., Tallad R., "Changements de phases à l état solde", Les Aces Spécaux, Lavose - Technques et Documentaton, p ,

37 Bblogaphe [GASPAR-000] - Gaspa V., Evaluaton économque du enfot de ped cental de T5 taté pa nducton, note ntene DRIA/PPIQ/ASL/ARRP/VV/VG00NT068, PSA Peugeot Ctoën, 000. [GIÉ-985] - Gé H., Samant J., Electomagnétsme, Lavose - Technques et Documentaton, vol. et, 985. [GILLES-004] - Glles J., Bououga B., Son A., "Quenchng opeaton of alumnum alloys: measuments and numécal smulatons", Revue de Métalluge, vol. 9, p , 004. [HONGSHENG-986] - Hongsheng F., Yankang Z., Bngzhe B., "The fomaton and mophology of ganula bante and ganula stuctue", HSLA Steels: Metallugy and Applcatons, vol. 986, p , 986. [JOHNSON-939] - Johnson W.A., Mehl R.F., "Reacton knetcs n pocesses of nucleaton and gowth", tans. AIMME, vol. 35, p. 46, 939. [LEIDENFROST-966] - Ledenfost J.G., "On the fxaton of wate n dvese fe", Int.J.Heat Mass Tansfe, vol. 9, n, p , 966. [MAEDER-990] - Maede G., Lebun J.L., Spauel J.M., "Détemnaton pa dffacton des ayons X des contantes ntenes. Aspect maco- et mcoscopque", Physque et mécanque de la mse en fome des métaux - Ecole d été d Oléon, Pesse du CNRS/IRSID, p , 990. [MURRY-998] - Muy G., "Tansfomaton dans les aces", Technques de l Ingéneu - taté Matéaux métallques, n M5, 998. [NICLAS-998] - Nclas A., Pse en compte des gadents de popétés lés au tatement themque dans le dmensonnement des pèces mécanques, Thèse de doctoat, ENSAM Pas, 998. [PASCAL-003] - Pascal R., Modélsaton du tatement themque supefcel pa nducton, Thèse de doctoat, Ecole Centale de Lyon, 003. [RUDNEV-003] - Rudnev V., Loveless D., Cook R. et al, Handbook of Inducton Heatng, Macel Dekke, 003. [SAQUET-999] - Saquet O., Chcos J., Vncent A., "Bakhausen nose fom plan cabon steels: analyss of the nfluence of mcostuctue", Mat. Sc. And Eng., vol. 69, n, p. 73-8, 999. [SIMON-997] - Smon A., "Intoducton au thème contantes ésduelles", La Revue de Métalluge-CIT/Scence et Géne des matéaux, p. 5-56, 997. [THOMAS-00] - Thomas B., Schmtt J., "Ducssement des aces Rôle de la mcostuctue", Technques de l Ingéneu - taté Matéaux métallques, n M434, 00. [ZANETTI-00] - Zanett T., Renhadt A., Zandona M., Tatement themque pa nducton su tôles mnces emboutes, note ntene DMOV/MXP/CEB/MMF/n 0.VY.0, PSA Peugeot Ctoën, 00. 7

38 8

39 CHAPITRE 9

40 30

41 Chapte ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI-INDUSTRIEL..Essas su démonstateu ndustel 3... Objectfs 3... Moyens Suppot de bdage et moyen de seage Suppot de contôle Résultats des essas avec les paamètes de éféence Influence des paamètes de chauffage Paamètes de chauffage : 7s / 60kW Paamètes de chauffage : s / 69kW Paamètes de chauffage : 5s / 53kW Concluson su les paamète du généateu Influence des paamètes de bdage Dfféentaton des touches d appu avant et aèe Augmentaton du galbe (déplacement de 7mm) Augmentaton du galbe et de la toson Concluson su les paamète de bdage Conclusons su les essas su démonstateu ndustel 43..Mse au pont d essas su une confguaton smplfée Pésentaton du cas d étude Plan d expéences Résultats themques Chauffage dans les ayons ponçon Effet d un peçage su la tempéatue Résultats métallugques Etude pélmnae de la métalluge du matéau Etude d une épouvette sem-ndustelle Résultats mécanques Conclusons 54 Bblogaphe 55 3

42 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL.. ESSAIS SUR DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL... Objectfs Le démonstateu ndustel est un pototype nstumenté du pocédé éel utlsé en chaîne de poducton (schéma en Fgue 3). Le but de ces essas est d obseve les évolutons themques, mécanques et métallugques dans un ped mleu (RPC A7) los du tatement themque localsé et de compende quels sont les mécansmes les plus nfluents su la géométe fnale de la pèce (apès équlbage des contantes los du débdage). Fgue 3 : Schéma du système démonstateu. Une machne à commande numéque actonne et coupe le généateu, pus descend l ensemble pèce + suppot de bdage dans le ban Les essas seont éalsés à condtons de efodssement dentques (tempéatue de ban à l ambante, temps de tempe jusqu à efodssement complet de la pèce, sans agtaton). Dans un peme temps, nous étudeons l nfluence des paamètes du généateu almentant l nducteu su les dstosons des pèces. Quate couples pussance / temps de chauffage seont testés (pou appots d énege dfféents, 800kJ et 030kJ, et chacun pendant des temps dfféents - Fgue 4) pou des condtons de bdage données, fxes. La féquence du couant foun à l nducteu est fxée à 7,4kHz afn d avo une épasseu de peau (env. 3 mm) supéeue à l épasseu de tôle ( mm) selon les possbltés qu offent les battees de condensateu du généateu. Dans un second temps, nous modfeons les paamètes de bdage afn de mnmse les dstosons avec des paamètes de chauffage (pussance foune et temps de chauffage) fxes. Fgue 4 : Schéma des dfféentes confguatons de chauffage testée 3

43 . Essas su démonstateu ndustel Les photos en Fgue 5 montent un ped mleu avant et apès le tatement themque. Fgue 5 : Ped mleu RPC A7 avant et apès tatement themque... Moyens Pou cette campagne d essas su cas ndustel nous dsposons de 40 pototypes de peds mleux ssus de la même sée. Ces peds mleux ont été embouts à pat de flans découpés dans le même appovsonnement de matèe, pus détoués au lase. Nous dsposons également du système démonstateu pésenté en Fgue 3, de themocouples de type K et d une cate d acquston elée à un odnateu, d un suppot de bdage églable, d un système de mse en place de la pèce su le suppot de bdage pou une bonne epoductblté du seage et du desseage et d un suppot de contôle de la géométe. Pou tous les essas éalsés, la épétablté des chauffages est véfée pa l évoluton de tempéatue enegstée en 7 ponts dfféents.... Suppot de bdage et moyen de seage Le suppot de bdage (plan en annexe ) est composé de 8 touches d appu églables en hauteu su l axe tansvese Y, chacune pouvant ête décte cnématquement pa un appu ectlgne lnéae. Ces touches d appu sont dsposées deux pa deux su des sectons de plan (X ; Y) pou bloque en otaton su l axe Z et en tanslaton su l axe Y les feullues du ped mleu. La Fgue 6 pésente une touche d appu et leu emplacement su la pèce. La pate haute de la touche d appu est seée de façon à bloque la tanslaton des feullues su Y avec un lége jeu afn de ne pas bloque pa fottement les tanslatons en X et en Z. Chaque touche étant églable en hauteu, elles peuvent ête utlsées pou augmente ou dmnue le galbe comme pou mpose une toson su l axe longtudnal de la pèce. L nducteu, également églable, a été ms en place de manèe à gade un entefe constant losque la pèce est bdée. Pou chaque modfcaton du bdage, une nouvelle mse au pont de l nducteu est nécessae. La concepton et le églage d un tel nducteu n étant pas asée, l entefe avec la pèce peut légèement vae d un endot à un aute mas este dentque à chaque essa. 33

44 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL a) b) Fgue 6 : système de bdage des peds mleux en vue du tatement themque : a) schéma d une touche d appu églable et b) poston des sectons où sont placées les touches d appu pa su les feullues Afn que le seage de la pèce se fasse de manèe homogène et épétable, le ped mleu est dans un peme temps placé su le suppot, pus galbé pa un système de volant applquant une pesson nomale à la suface (Fgue 7). La pate supéeue des touches d appu est mse en place une fos la pèce mantenue pa le dspostf. Ce volant seva également los du débdage dans le but de este épétable dans les nteventons manuelles. Y X Z Fgue 7 : Système de seage : la pèce est plaquée conte les pates basses touches d appu à l ade d un volant pus mantenue dans cette poston à l ade des pates hautes. 34

45 . Essas su démonstateu ndustel... Suppot de contôle Un système de contôle a été conçu afn de pouvo compae cetanes côtes avant et apès tatement themque. Ce suppot pemet de mesue la coodonnée Y en des ponts tès pécs de la pèce et à l ade d un compaateu. Nous avons chos 5 ponts de mesue dont l emplacement coespond aux zones les plus sensbles dans le cahe des chages en teme de toléance des côtes : le dessus des feullues pou le soudage de la pèce avec l ensemble de la casse en blanc. La Fgue 8 pésente une pèce dans le suppot de contôle et les emplacements numéotés de à 5 des ponts de mesue. a) b) Fgue 8 : Suppot de contôle : a) suppot et tous de mantent du compaateu, b) emplacement des 5 ponts numéotés Les ponts 3, 8 et 3 nous donnent le galbe généal de la pèce. Les ponts et étant tès écatés du pont 3, vont nous pemette d obseve d éventuelles dstosons en toson autou de l axe Z. Tous les autes ponts nous donneont à la fos une évoluton pécse du galbe et, en compaason avec les ponts 3, 8 et 3, nous donneont une dée de l augmentaton ou de la dmnuton des ayons ponçon (ayon tatés themquement). Chaque pototype de ped mleu sea mesué à l ade du suppot avant et apès chaque tatement themque. 3 pototypes de ped mleu ont été mesués avant le tatement themque. Les ésultats du Tableau donnent l écat moyen en mm pa appot au nomnal su la coodonnée Y pou chaque pont et l écat type des mesues. Ce tableau monte que les pototypes ont des géométes dspesées qu peuvent ête élognées de la géométe nomnale. Les ésultats que nous donneons dans ce chapte seont des moyennes des écats de dmenson ente les mesues avant tatement themque et apès tatement themque, calculée su l ensemble des pèces ayant sub le même tatement. 35

46 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL Pont de mesue Moyenne Ecat type Tableau : Dfféence en coodonnée Y pa appot au nomnal su le suppot de contôle..3. Résultats des essas avec les paamètes de éféence Les paamètes de chauffage (pussance foune pa le généateu et temps de chauffage) que nous avons utlsé pou cette sée d essas ont été choss gâce à l expéence acquse los des études pécédentes su peds mleux [ZANETTI-000] ; ls ont ensute été affné de manèe empque, le but étant d avo un bon contôle de la ZAT en mnmsant le temps de dffuson themque tout en contôlant pafatement la tempéatue maxmum attente (env. 00 C), poche de la tempéatue de fuson. Nous avons etenu un chauffage de 5 secondes avec une pussance foune pa le généateu de 69 klowatts, confguaton qu nous paaît ête poche de la confguaton optmale. Les paamètes de bdage ont été choss de façon à augmente le galbe de la pèce. Les touches des sectons 5 à 9 (vo Fgue 6) sont églées de manèe à manten les feullues à leu côte nomnale su l axe Y. Ce sont les touches des secton 4, 3, et qu augmentent le galbe de la pèce en mposant des déplacements su l axe Y espectvement de -3mm, -5mm, -7mm et -0mm. Fgue 9 : Déplacement selon Y des ponts de mesue apès un tatement themque dont le chauffage a été effectué en 5s avec une pussance de 69kW Les ésultats donnés en Fgue 9 sont une moyenne obsevée su 0 pototypes de peds mleux. La pemèe chose que nous pouvons constate sont les déplacements de -.9 et -.4 mm espectvement aux ponts 9 et 6. Ces ponts de mesue se touvent ente les bdages 4 et 36

47 . Essas su démonstateu ndustel 5, c'est-à-de ente le dene bdage mposant un déplacement et le peme se touvant à la côte nomnale de la pèce. Cette constataton peut amene à deux conclusons : sot le galbage de la pèce n est pas assez pogessf dans cette zone, sot l faudat mpose des déplacements dfféencés ente la pate avant (plus pette coodonnée X) et la pate aèe (plus gande coodonnée X) de la pèce. Le fat que nous obsevons des déplacements beaucoup plus fables aux ponts 7 et 0 (espectvement -.7 et -.0 mm) tend à confme la seconde hypothèse mas ne nous pemet pas d exclue une combnason des deux hypothèses. La Fgue 30 monte zooms su les ponts d appu du 5 ème bdage ( e bdage à la côte nomnale de la pèce). Nous obsevons que la pèce est maquée pa le bdage su sa pate avant et encoe d avantage su sa pate aèe. Cela semble sgnfe que l augmentaton du galbe est top busque ente les bdes 4 et 5 et qu l faut dfféence l avant de l aèe de la pèce los du églage du suppot de bdage. Nous modfeons les paamètes de bdage dans la campagne d essa vsant à étude leu nfluence (paagaphe..5). Avant Aèe X Z Aèe Fgue 30 : Généaton du «pl» au nveau du 5 ème bdage du ped mleu Intéessons nous mantenant aux ponts centaux 3, 8 et 3 (espectvement -0.7mm, -0.7mm et -0.mm). Ils nous montent que le galbe de la pèce est augmenté los du tatement themque bdé. Ce phénomène n étant pas désé, on peut ête amené à pense d un peme abod qu une augmentaton du galbe coespondant à 0mm de déplacement à la pemèe bde est top mpotante. Enfn, le dene pont ntéessant de cette pemèe sée d essa est le ésultat des ponts de mesue,, et 3 (espectvement 0.0, -0.7 et -.5 mm) qu fat appaaîte des dstosons en toson autou de l axe longtudnal de la pèce. Ce phénomène est dffclement explcable de pme abod mas nous pouvons magne qu une augmentaton ou dmnuton des ayons ponçon de la pèce (ouvetue ou femetue de la fome en «U») peut explque, pa le caactèe tès tdmensonnel de la pèce, la toson obsevée. Cette hypothèse est confotée pa le fat qu on obseve, en moyenne, des valeus de déplacement plus élevées su les feullues qu au cente de la pèce, cec pouvant ête le ésultat d une femetue de la fome en «U». De plus, nous pouvons asément magne qu un phénomène de femetue (ou d ouvetue) de la fome en «U» seat étotement lé à une augmentaton ou une dmnuton globale du galbe de la pèce sute à un phénomène de flambage des flans (Fgue 3). Toutes ces obsevatons su la défomaton globale de la pèce au tatement themque sont ssues d une combnason complexe de phénomènes de dstosons locales s nfluençant mutuellement. 37

48 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL Fgue 3 : Schéma du mécansme de flambage qu appaaît su les flans losqu on augmente le galbe...4. Influence des paamètes de chauffage Afn d étude l nfluence des paamètes du généateu su les dstosons de la pèce, nous compaeons les ésultats de 4 jeux de paamètes dfféents (Fgue 4), avec pou ésultat de éféence une pussance de chauffage de 69kW pendant une duée de 5s. Fgue 3 : Compaason des ésultats de déplacements apès des tatements themques dont les paamètes de chauffage sont 7s / 60kW (bleu) et 5s / 69kW (ouge)..4.. Paamètes de chauffage : 7s / 60kW La Fgue 3 pésente les déplacements su la coodonnée Y des ponts de mesue apès la tempe dans les condtons de chauffage de éféence (5s / 69kW) en ouge et dans le cas d un chauffage plus long avec le même appot d énege (7s / 60kW 030kJ) en bleu. On emaque que les ésultats sont smlaes dans la pate basse du ped mleu (ponts de mesue 6 à 5) et que tès légèement dfféents au nveau des ponts 4 et 5. C est dans la tête de la pèce (ponts, et 3) que la dfféence ente les deux chauffages devent éellement sgnfcatve et ben que le galbe paasse légèement dfféent, c est sutout au nveau de la toson que l on obseve un changement. En effet, les 3 pèces ayant sub le chauffage de 7 secondes avant tempe pésentent une dstoson de otaton autou de l axe longtudnal de la pèce beaucoup plus pononcée que ce qu on peut obseve su les 0 pèces chauffées dans un temps plus cout. Le temps de chauffage étant plus long, la dffuson themque pend une place plus mpotante dans le pocédé. Pa conséquent, la ZAT est plus gande et les cnétques de tansfomaton de phase accomples su une zone plus lage. Cec paaît affecte 38

49 . Essas su démonstateu ndustel les dstosons en toson, cetanement de manèe ndect, pa une plus gande femetue ou ouvetue de la fome en «U» (non vsble su les ésultats) ou pa une épatton dfféente des modfcatons du galbe de la pèce (ésultats dentques au ponts 3 et 8 mas pas au pont 3). Pou le moment, gadons pésent à l espt qu une même énege foune dans un temps plus long accoît l effet des défomatons locales su une toson globale de la pèce Paamètes de chauffage : s / 69kW Cet essa coespond à un essa où la tempe seat éalsée avant compléton du chauffage (pa appot à la éféence de 69kW pendant 5s). L énege foune pa le généateu est dans ce cas de 800kJ. La ZAT est alos plus pette que dans le cas de éféence et les tempéatues attentes étant de 50 C (au leu de 0 C), nous pouvons consdée que l austéntsaton est complète dans les zones poche de l nducteu. La Fgue 33 pésente les déplacements aux ponts de mesue compaés au cas de éféence. La pncpale constataton ne pote pas cette fos c su les dstosons en toson (même ode de gandeu dans la dfféence ente le déplacement au pont et au pont ) mas su l évoluton du galbe de la pèce. En effet, dans la pemèe pate de la pèce (ente les ponts 3 et 8) le tatement themque augmente légèement mons le galbe que dans le cas de éféence et dans la seconde pate (ente 8 et 3) l est plus fable que dans l état d ogne de la pèce. Nous etendons que la dmnuton d appot d énege pou une même pussance foune pa le généateu entaîne une fote dmnuton du galbe dans la pate haute du ped mleu. Fgue 33 : Compaason des ésultats de déplacements apès des tatements themques dont les paamètes de chauffage sont s / 69kW (bleu) et 5s / 69kW (ouge) Paamètes de chauffage : 5s / 53kW Dans ce jeu de paamètes, nous consevons la même énege que dans le cas pécédent mas nous dmnuons la pussance foune. La Fgue 34 nous monte la compaasons ente s / 69kW (bleu) et 5s / 53kW (vet). Nous pouvons constate, comme dans le paagaphe..4., une augmentaton de la toson de la pèce sans changement sgnfcatf de l évoluton du galbe. Ces ésultats nous confment qu une même énege foune dans un temps plus long accoît la toson constatée su la pèce. Ce cas peut auss ête vu pa appot au cas de éféence comme l addton des deux pécédents : une dmnuton de pussance en consevant la même énege (ce seat 9s / 53kW), plus une dmnuton de l énege pa dmnuton du temps (ce qu nous amène à 5s / 39

50 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL 53kW). Dans cette hypothèse, nous devons constate, pa appot au cas de éféence, une otaton de la tête de la pèce autou de son axe longtudnal plus maquée (ponts de mesue et ) ans qu une augmentaton du galbe plus fable dans la pate basse du ped mleu (ente les ponts 8 et 3), et sutout une dmnuton du galbe dans la pate haute (ente les ponts 3 et 8). C est ce que nous monte la Fgue 35 pésentant les déplacements en coodonnée Y des ponts de mesue los du tatement de tempe compotant un chauffage de 5 secondes avec une pussance foune pa le généateu de 69kW en compaason aux mêmes ésultats dans le cas d une pussance foune pa le généateu de 53kW. Fgue 34 : Compaason des ésultats de déplacements apès des tatements themques dont les paamètes de chauffage sont s / 69kW (bleu) et 5s / 53kW (vet) Fgue 35 : Compaason des ésultats de déplacements apès des tatements themques dont les paamètes de chauffage sont 5s / 53kW (vet) et 5s / 69kW (ouge) Concluson su les paamète du généateu Des 4 confguatons de paamètes du généateu, on constate deux tendances majeues :. s on augmente le temps de chauffage tout en founssant une même énege, on obseve un phénomène de toson plus pononcé dans le haut de la pèce,. s on nteompt le chauffage plus tôt, le galbe de la pèce à la fn du tatement sea plus fable. La pemèe constataton peut ête ntepétée comme l nfluence de la dffuson themque et de l élagssement de la ZAT, mas elle ne nous pemet pas de fae le len dect ente les causes et la conséquence. La seconde constataton semble sgnfe que la fn du chauffage ou la compléton de l austéntsaton dans cetanes zones en mage de la ZAT a un effet détemnant su le galbe fnal de la pèce. 40

51 ..5. Influence des paamètes de bdage. Essas su démonstateu ndustel Los de cette campagne d essa, nous allons utlse les paamètes de chauffage qu nous ont sev de éféence dans la campagne pécédente et nous allons modfe les paamètes de bdage. De la même manèe que pécédemment, les ésultats que nous donneons seont un déplacement suvant l axe Y des ponts de mesue du suppot de contôle los du tatement themque. Nous allons teste deux bdages dfféents et pou chacun d eux, nous moyenneons les ésultats su 5 essas. Les écats types attegnent un maxmum de mm su les ponts et Dfféentaton des touches d appu avant et aèe Nous avons vu pécédemment (paagaphe..3) que le bdage utlsé mposat un galbe qu n état pas «natuel» pou la pèce, c'est-à-de qu l mposat des défomatons tès localsées en cetanes zones comme ves les ponts de mesue 6 et 9. Dans cette campagne d essa, nous mettons en place une pèce su le suppot de bdage et lu mposons un déplacement donné au nveau du bdage (Fgue 6). Le églage des autes touches de bdage (de à 9) est fat de manèe à ce que la pèce sot en contact su chacune d elle losqu elle est mantenue pa les bdes et 5. En églant ans les touches de bdage une pa une, nous constatons que nous devons dfféente celles mantenant les feullues avant (plus pettes coodonnées en X) et celles mantenant les feullues aèes (plus gandes coodonnées en X) du ped mleu. Une fos le suppot de bdage églé, l est nécessae de efae le églage de l entefe avec l nducteu. Nous mposons un entefe de 6mm comme l l état dans la èe campagne d essas. Secton de bdage Avant aèe Tableau 3 : Réglage de chaque touche de bdage pou 7mm de galbe supplémentae..5.. Augmentaton du galbe (déplacement de 7mm) Le Tableau 3 pésente le églage de chaque touche de bdage pa appot au nomnal des sectons, dans le cas où nous souhatons mpose envon 7mm de galbe supplémentae pa appot au nomnal. La Fgue 36 monte en ouge les valeus de déplacement mesuées los de cet essa. Nous constatons dans un peme temps, qu un bon églage du bdage pemet de suppme le «pl» que nous avons obsevé los des essas pécédents (au nveau des ponts 6 et 9). Dans un second temps, nous pouvons confme l hypothèse du paagaphe..3, qu un déplacement mposé plus mpotant en bout de pèce (bdage ) pendant le tatement themque donne un galbe plus maqué en fn de pocédé. De plus, nous obsevons également la même otaton de la tête de la pèce gâce aux ponts, et 3, mas légèement plus maquée. Enfn, nous pouvons confme en egadant les ponts 6 à 0 que la fome en «U» a tendance à se efeme, ben que cette tendance ne paasse pas véfée patout (ponts 3, 4 et 5). 4

52 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL Fgue 36 : Compaason des ésultats de déplacements pou deux condtons de bdage dfféentes : un galbe mpotant (en ouge) et le même galbe global complété d une otaton autou de l axe longtudnal (bleu) Augmentaton du galbe et de la toson Une tosème condton de bdage a été testée. Il s agt d mpose un galbe équvalent au pécédent mas cette fos c en essayant de attape la otaton que l on obseve aux ponts et. Pou cec, nous déplaçons suvant Y la touche d appu à l avant de la pèce de -mm et touche d appu à l aèe de +mm. Ensute, nous pocédons de la même manèe que dans le bdage pécédent pou que la pèce se pose natuellement su les touches à 4 et 6 à 9. Le Tableau 4 donne le églage de chaque touche d appu et la Fgue 36 pemet de compae les ésultats de ce nouveau bdage (en bleu) pa appot au pécédent (en ouge). Tout d abod, d un pont de vue de la otaton, le lége décalage de mm que nous avons céé ente l avant et l aèe véhcule a pou conséquence une nveson du sens de otaton los du tatement themque. De plus, cette otaton a une nfluence tès mpotante su le galbe de la pèce qu est alos beaucoup plus fable et même plus fable que dans la géométe ntale de la pèce ente les ponts 3 et 8. Les conséquences sont également vsbles su les déplacements obsevés aux feullues. Ces ésultats montent d une pat toute la sensblté du pocédé au bdage et d aute pat le len étot ente les tos types de dstosons que nous avons obsevé tout au long de ce paagaphe : la modfcaton globale du galbe, la otaton de la tête autou de l axe longtudnal et la défomaton de la fome d embout en «U». Secton de bdage Avant aèe Tableau 4 : Réglage de chaque touche de bdage pou 7mm de galbe moyen supplémentae et une otaton de la tête de la pèce 4

53 . Essas su démonstateu ndustel Concluson su les paamète de bdage Tout d abod, nous avons monté l mpotance d mpose un galbe qu este natuel pa appot à la géométe de la pèce afn de ne pas cée de localsaton des défomatons et d ans cée un pl. Ensute, nous avons monté qu en mposant un galbe plus maqué on peut ave à gade un galbe suffsamment mpotant en fn de tatement, mas en même temps, on augmente légèement le phénomène de toson et on modfe la fome en «U» de la pèce. Enfn, nous avons essayé d antcpe les phénomènes de toson en mposant une toson nvesée los du tatement themque. Cet essa nous monte l extême sensblté du églage su la géométe fnale mas auss qu l est possble de attape les phénomènes de dstoson los du tatement themque en les antcpant pa le bdage. Seulement, cette antcpaton n est pas asée à cause des nteactons mutuelles ente la fome du galbe, le phénomène de toson et l ouvetue ou femetue de la fome en «U»...6. Conclusons su les essas su démonstateu ndustel Deux conclusons pncpales se dégagent de ces essas. La pemèe concene l extême sensblté aux paamètes du pocédé de la géométe fnale des peds mleux, qu l s agsse des paamètes électomagnétques ou mécanques. La seconde est l nteacton des tos modes de défomaton obsevés (galbe, otaton, et fome en «U»). Une étude empque plus poussée du pocédé dans le but de touve un jeu de paamètes mnmsant les dstosons de la pèce paat alos délcate, d autant plus que le caactèe tès tdmensonnel de la pèce s ajoute à la complexté des phénomènes mult physques du pocédé. Il est mpotant pou l nduste de ben compende et ben sent les mécansmes qu jouent su les dstosons d une tôle emboute tempée apès un chauffage pa nducton. Une pèce plus smple pouat alos ête étudée et fae l objet de smulatons numéques avant d alle plus en avant su des cas ndustels éels. Nous avons donc décdé de mette au pont un cas sem ndustel epésentant au meux le cas ndustel et de géométe smple. Pou cela, nous fasons l hypothèse qu un des 3 modes de défomaton est à l ogne des deux aute, et qu l s agt de l ouvetue ou la femetue de la fome en «U» de la pèce. Le chox de cette hypothèse est dgé pa le pocédé de tempe lu-même qu se pote su les ayons ponçon des peds mleux. Il paat alos légtme de pense que le tatement themque at un effet dect su la fome de «U» plus que su le galbe ou la otaton qu ne vendaent que dans un second plan. Le cas sem ndustel est pésenté au paagaphe suvant. 43

54 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL.. MISE AU POINT D ESSAIS SUR UNE CONFIGURATION SIMPLIFIEE... Pésentaton du cas d étude Comme l a été vu pécédemment, les dstosons obsevées su le ped mleu, notamment au nveau du galbe de la pèce, sont consdéées comme pncpalement gouvenées pa une ouvetue ou une femetue de la fome emboute en «U». C est pouquo nous nous ntéessons à l étude du tatement themque de tôles emboutes en fome de «U» (Fgue 37). Pou cette étude, un dspostf expémental a été ms en place su le ste de PSA à Belchamp (Fgue 38). Fgue 37 : Géométe des échantllons sem ndustels : emboute en «U» Banc d essa (nduc. + tempe) Système d acquston 8 voes Fgue 38 : Dspostf expémental du banc d essa en «U» 44

55 . Mse au pont d essas su une confguaton smplfée Le chauffage pa nducton est éalsé de la même manèe que pou les essas su le démonstateu : un nducteu de fome est placé à envon 3mm d entefe de chaque coté de chacun des deux ayons ponçon. A contao, pou des questons de commodté technque, la tempe sea éalsée dfféemment : système de douche ecouvant l ensemble de la pèce. Ente le moment où l almentaton de l nducteu est coupée et le moment où la douche est mse en oute, un temps de latence appelé «etad douche» epésente le temps de descente de la pèce dans le ban du démonstateu. L nducteu mesue 50 mm de long et est placé au mleu de la longueu de la pèce. Afn d étude l nfluence du tatement themque su la fome de l emboute en «U», un nouveau système de manten et de seage de la pèce est ms en place (Fgue 39). Un suppot ans qu un appu supéeu et un appu nféeu pemettent de manten la pèce en poston (outls en ouge). Le système de manten de l embout pa ces 3 pèces est conçu de manèe a bloque tout mouvement de cops gde suvant Y tout en pemettant les dlatatons su l axe Z. Deux pèces de seage que nous appelleons see-flans (outls en bleu) seont utlsées pou cetans essas dans le but d applque un champ de contante et défomaton péalable. Nous dsposons de themocouples K et d une base d acquston pou contôle que les chauffages soent épétables pa compaason des évolutons de tempéatues. Fgue 39 : Système de suppot et de seage développé pou l étude du cas sem ndustel... Plan d expéences Le but de ces essas étant d obseve l nfluence de dfféents paamètes du pocédé su les dstosons de la pèce apès tatement themque, nous allons teste deux confguatons de bdage. La pemèe consstea à lasse le «U» de la fome emboute lbe de s ouv comme de se feme (sans les sees flans). La seconde sea de mette sous contante l embout en mposant un déplacement de mm au nveau de chaque see flan. Nous allons auss teste l nfluence de la dffuson themque en utlsant deux temps de etad douche dfféents. Nous obseveons un temps poche du temps nécessae à la descente du démonstateu dans le ban d eau ( seconde) ans qu un temps plus long que celu du pocédé (3 secondes). Enfn, le tosème et dene paamète obsevé concene la pésence ou non d un tou de peçage dans la pèce pou étude, pa exemple, s le tou de fxaton de la centue de sécuté 45

56 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL peut ête sège de contantes élevées faglsant la stuctue. Un tou de 0 mm de damète sea pecé au cente de la pèce. D autes paamètes du pocédé sont fxés pou tous les essas comme : la tempéatue de l eau de tempe à 8 C, les paamètes du généateu (temps de chauffe de 0s, pussance de 4.5 kw et féquence de 9500 Hz choss en foncton des possbltés du généateu pou attende la même tempéatue maxmum que dans le cas du démonstateu), le temps de tempe (env..5s) jusqu à homogénésaton de la tempéatue de la pèce à celle du ban, vaant peu d un essa à l aute. Les paamètes du généateu sont sensblement dfféents de ceux que nous avons utlsé pou le tatement themque des peds mleux. Cec est dû d une pat au système pèce/nducteu qu est plus pett (énege nécessae plus fable) et qu, en paallèle avec une battee de condensateus, n a pas la même féquence de ésonance. D aute pat, le généateu utlsé pou ces tests n est pas le même que pou les peds mleux. L nfluence de la féquence est amonde pa le fat que l épasseu de peau (env. 3 mm) est tès lagement supéeue à l épasseu de la tôle ( mm). Il faudat une féquence supéeue à 0kHz pou que l épasseu de peau devenne éellement nfluente (épasseu de peau nféeue à mm). Nous éalseons 6 essas dfféents, éalsés chacun 3 fos. Ces 6 essas sont épats comme sut (Tableau 5) : le bdage lbe (sans sees flans) ou seé (sees flans ms en appu pus déplacés de mm su l axe X pou efeme le «U»), la pèce pecée en son cente (tou) ou non (plen), le temps de etad douche de seconde ou 3 secondes. Bdage Lbe Seé Peçage Ou Non Ou Non Retad douche s LT LP ST SP 3s LT3 LP3 X X Tableau 5 : Plan d expéence et numéo des essas su cas sem ndustel..3. Résultats themques 7 themocouples K (φ 50µm) ont été soudés à la suface de chaque épouvette. Afn d avo un maxmum de ensegnements su le champ de tempéatue et son évoluton au cous du temps, leu poston est dfféente ms à pat deux themocouples fxes : un est à m-hauteu de l nducteu (A Fgue 40) et le second au quat de la hauteu (B Fgue 40). En tenant compte de l nfluence qu un lége écat de poston de la soudue peut avo dans une zone à fots gadents themques, nous obtenons des ésultats d une bonne épétablté. Su un échantllon de 4 épouvettes, le themocouple A donne une tempéatue maxmale (au bout des 0s de chauffage) moyenne de 34 C avec un écat type de 4 C. On obtent le même ode de gandeu de dspesons avec le themocouple B qu donne des ésultats moyen de 93 C avec un écat type de 3 C. 46

57 . Mse au pont d essas su une confguaton smplfée Fgue 40 : Instumentaton des épouvettes de themocouple et poston des themocouples de éféence A et B, et du themocouple C en bod de tou La Fgue 4 monte une évoluton de tempéatue elevée pa le themocouple A los du tatement themque. Elle se décompose en 3 pate : le chauffage (0s), le etad douche (c 3s) et la tempe. Les dscontnutés de la coube de mesue de tempéatue los de la tempe sont pobablement dues à l écoulement tubulent de la douche qu met en contact les fls des themocouples ente eux ou avec la tôle, la tempéatue d appaton de ces dscontnutés n étant pas épétables. Fgue 4 : Evoluton dans le temps de la tempéatue mesuée pa le themocouple A los du tatement themque du U Chauffage dans les ayons ponçon En ce qu concene l évoluton du champ de tempéatues, nous pouvons nous apecevo en egadant la Fgue 4 que les ayons ponçon sont chauffés pa dffuson themque et non dectement pa effet Joule. Pa conséquent, le chauffage est plus lent et la tempéatue n attent que 800 C. Nous veons dans le paagaphe..4 que le chauffage ne pemet pas une austéntsaton complète de la zone des ayons ponçon. 47

58 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL Poston des themocouples I I Inducteus Fgue 4 : Evoluton des tempéatues de chaque coté et au mleu d un ayon ponçon..3.. Effet d un peçage su la tempéatue Nous avons évoqué dans le chapte, un effet électomagnétque que nous avons appelé effet de bod. Nous pouvons l obseve dans cette étude en compaant une pèce qu a été pecée avec une pèce qu ne l a pas été apès le tatement themque (Fgue 43). La Fgue 44 donne l évoluton de la tempéatue aux themocouples de éféence A et B ans qu au themocouple C (Fgue 40) pou les essas ST (tôle pecée) et SP (tôle non pecée). Dans le cas où la pèce est pecée, la tempéatue monte d envon 50 C de plus que s l n y a pas de tou. Cela est suffsant pou altée le evêtement de Znc (tempéatue de fuson d envon 40 C) mas n aua sûement que peu de conséquences su la métalluge. Fgue 43 : Effet électomagnétque de bod (antagonste à l effet themque) céé pa un tou pecé dans une pèce vsble apès tatement themque Fgue 44 : Compaason des évolutons de tempéatue dans le cas d une épouvette pecée (gauche) et d une épouvette non pecée (dote) 48

59 ..4. Résultats métallugques. Mse au pont d essas su une confguaton smplfée..4.. Etude pélmnae de la métalluge du matéau Afn de ben dentfe les stuctues que nous obtenons los du tatement themque des épouvettes sem ndustelles, nous avons d abod éalsé une étude mcogaphque et de dueté su des échantllons de matèe. Pou chaque échantllon, nous fasons une pemèe sée d opéaton de polssage jusqu à un gan de 0µm pus nous opéons des essas de mcodueté. Il s agt d essas de dueté Vckes sous une masse de 00g éalsés avec un mcoduomète Buehle. La dagonale de la tace lassée pa la ponte de damant est de 30µm pou une dueté d envon 50HV et 0µm pou une dueté d envon 450HV. 5 ndentatons aléatoes sont effectuées su chaque échantllon et une moyenne est calculée. Ensute, les échantllons sont epols jusqu à un gan de 3 µm pus attaqués dans un ban d acde. Pluseus bans d acde ont été testés su des échantllons à l état de écepton de la matèe et à un état tempé à l eau. Sute à ces tests, nous avons etenu un ban d attaque de 5 secondes dans un mélange à 50% de Mashal et 50% de Vllelal. Les compostons de ces deux acdes sont données en annexe 3. Fgue 45 : Mcoscope optque de l état de écepton (dueté 68HV) à deux échelles dfféentes Les opéatons c-dessus ont été éalsées dans un peme temps su des échantllons à l état de écepton. La Fgue 45 monte des clchés de mcoscope optque su ces échantllons à deux échelles dfféentes. La dueté mesuée moyenne est de 68HV (écat type de HV). La stuctue ne peut ête unquement fetque pusque la solublté du cabone dans le fe α est de 0.0% [BÉRRANGER-997] alos que le HR45 content envon 0.4% de cabone. Il semble tout de même que ce sot une stuctue tès poche de la fete [BERGE-998] avec des nclusons de cabue aux jons de gans voe pou cetans gans en pécpté ou en soluton. Dans la sute de nos tavaux nous attbueons les popétés themques, mécanques et métallugques de l état ntal à de la fete. L étude de l état ntal à été effectué dans le sens de lamnage comme dans le sens tansvese, dans le plans des tôles comme dans l épasseu, et en ne nous à pems d dentfe une ansotope due au lamnage de la tôle. Dans un second temps, nous avons découpé dans des tôles HR45 de mm d épasseu, 6 épouvettes de 5x80 mm² sans fae dstncton du sens de lamnage. Les 6 épouvettes ont été placées dans un fou à 950 C pus etées au bout de 5 mn. Dès la sote du fou, 3 épouvettes ont été mmédatement plongées dans un ban d eau à tempéatue ambante, tands que les 3 autes ont été efodes à l a. La pocédue d étude décte c-dessus a été applquée su chacune des 6 épouvettes. 49

60 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL Fgue 46 : Mcoscope optque sute à une tempe à l a (dueté 49HV) à deux échelles dfféentes La Fgue 46 pésente deux mcogaphes à échelles dfféentes d une épouvette efode à l a. La stuctue essemble vsuellement à celle de l état ntal ben que les cabues semblent plus concentés dans de petts gans. La dueté moyenne est un peu plus fable pusqu elle est en moyenne de 49HV (écat type HV) su les 3 épouvettes. Ne connassant pas les pocédés de fabcaton des tôles HR45, l est dffcle de donne une ogne à cet écat de 0HV. Nous pouvons néanmons en magne quelques unes comme un efodssement apès lamnage à chaud plus apde que celu de nos essas, un ducssement nhéent à la galvansaton des tôles ou smplement une légèe dfféence de composton chmque ente deux tôles ssues de coulées dfféentes. L étude des épouvettes tempées à l eau nous donnea une pemèe dée de la stuctue que nous obtenons los des pocédés ndustels et sem ndustels. La Fgue 47 en pésente deux mcogaphes. La pésence de lattes tès dstnctes lasse à pense qu l s agt d une bante ou de matenste. Le clché à gossssement le plus fable monte que les lattes sont elatvement ben ogansées essemblant à une bante supéeue (Chapte ). La dueté de 38HV (écat type 37HV) élmne l hypothèse de la matenste et semble confme celle d une bante peu due. Nous nous touvons cetanement avec une stuctue ente bante supéeue et nféeue, ce qu pouat explque la dspeson des ésultats de dueté. Fgue 47 : Mcoscope optque sute à une tempe à l eau (dueté 38HV) à deux échelles dfféentes..4.. Etude d une épouvette sem-ndustelle Des échantllons d épouvettes sem ndustelles tempées ont été obsevés de la même manèe que los des études pélmnaes. La Fgue 48 monte l évoluton de la dueté (homogène dans l épasseu de la tôle) dans le plan médan (X ; Y) d une épouvette de l essa LP3. 5 ponts sont épetoés su ce gaphque et 5 clchés de mcoscope optque coespondants, montent les mcostuctues dfféentes qu on peut obseve su la pèce. 50

61 . Mse au pont d essas su une confguaton smplfée Fgue 48 : Evoluton de dueté Vckes su le plan médan d une épouvette sem ndustelle et mcoscope optque de 5 zones dfféentes Le pont coespond à une zone vege de tout tatement pusque sa tempéatue este poche de l ambant. Malgé cela, sa dueté est plus élevée pusqu elle attent 50HV. Cela peut ête dû au fat que la matèe dans lesquels ont étés embouts les pèces est ssue d un aute appovsonnement du founsseu. La composton chmque et l état stuctual n est donc peut-ête pas goueusement dentque. Mas la dfféence de dueté est mpotante et la défomaton sube los de l emboutssage, notamment dans les flans du «U», peut explque l augmentaton de dueté. Le pont 4 coespond à une tempe à l eau pusque, stué juste de l aute côté de l épasseu de la tôle pa appot à l nducteu, l s agt donc de la zone où la tempéatue a été la plus élevée et où l austéntsaton a été complète. La stuctue obtenue est alos une bante mas de dueté supéeu à l étude pécédente, su échantllon. En effet, c la dueté est d envon 450HV avec des ponts à 500HV. Il s agt cetanement d une bante nféeue. 5

62 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL Les ponts 3 et 5 se touvent dans des zones métallugques ntemédaes. Les mcogaphes montent des gans de bante dans une matce fettque. Ces gans sont la conséquence d une austéntsaton ncomplète qu, sute à la gemnaton et la fable cossance des gans austéntques, a sub la tempe. L austénte qu a été fomée a alos été tansfomée en bante, ce qu explque le gadent de dueté qu augmente avec la popoton de bante pa appot à la fete autou du pont 3. La tempéatue de ces zones se touve compse ente A et A3. Pou le pont 5, l a été monté en Fgue 4 que le ayon ponçon est mons chaud que les zones en face des nducteus et qu l n attent que 800 C. A3 est alos supéeu à 800 C et A est nféeu à cette tempéatue. Nous pouvons alos pense qu en opéant la même étude su une épouvette d un essa LP, dont le temps de etad douche est plus cout, nous obseveons une stuctue encoe mons due et mons che en bante. Le test a été effectué et les ésultats ne sont pas sensblement dfféents. Le pont est dans une tès pette zone dont la tempéatue n attent pas la tempéatue de début d austéntsaton A, mas semble suffe à opée un ecut pusque la mcostuctue s oente de façon fbeuse suvant l axe Y. La dueté n en est pas affectée ce qu semble sgnfe qu l s agt unquement d une éogansaton des cabues et de la fete (dû aux contantes?) sans changement stuctual. Fgue 49 : Schéma d une épouvette sem ndustelle et des 6 côtes mesuées..5. Résultats mécanques Afn de contôle l évoluton géométque que subssent les épouvettes los du tatement themque, 6 côtes sont mesuées (Fgue 49). La côte nous pemet de connaîte l évoluton de la talle de la pèce su l axe Z, alos que les côtes, 3 et 4 nous donnent l évoluton de la fome en «U». Les côtes 5 et 6, mesuées unquement pou les essas LT, LT3 et ST, pemettent d dentfe une éventuelle ovalsaton du tou. Le Tableau 6 compote la dfféence ente la mesue apès TTH et avant TTH à chaque côte, pou chaque essa. L essa LP est un essa lbe, sans peçage et avec le etad douche le plus cout (Tableau 5). Il ne pésente pas de défomaton notable su l axe Z et juste une légèe femetue de la fome 5

63 . Mse au pont d essas su une confguaton smplfée en «U». Nous elevons appoxmatvement les mêmes ésultats pou l essa LT qu est éalsé dans les mêmes condtons ms à pat que l épouvette est pecée. Dmenson Essa LP Essa LP3 Essa LT Essa LT3 Essa ST Essa SP Moyenne Ecat type Moyenne Ecat type Moyenne Ecat type Moyenne Ecat type Moyenne Ecat type Moyenne Ecat type Tableau 6 : Ecat en mm des côtes mesuées ente la pèce tempée et la pèce avant TTH. Moyenne et écat type su les 3 épouvettes de chaque essa. L essa LP3 et l essa LT3 bénéfcent d un etad douche plus long (3s). Les constatatons sont les mêmes que pou les essas LP et LT, ben que la femetue du «U» sot plus maquée. La pésence du tou semble pemette une dlataton plus mpotante su l axe Z, mas le tou ne s ovalse pas pou autant. Les essas ST et SP ont été éalsés sous contantes. Il est à note que le bdage défome la pèce de façon évesble du pont de vue de la stuctue. C'est-à-de qu une pèce bdée pus débdée pésente les mêmes valeus aux côtes, 3 et 4 qu avant le bdage, mas cela n exclut pas la possblté d une fable défomaton plastque localsée. Le Tableau 7 monte les déplacements mposés aux côtes, 3 et 4 los du bdage. Le fat que ces défomatons soent évesbles et qu apès tatement themque une pate sot pemanente (Tableau 6) monte qu une éogansaton totale des contantes s opèe los du tatement themque. 53

64 ESSAIS EXPERIMENTAUX : DEMONSTRATEUR INDUSTRIEL ET CAS SEMI INDUSTRIEL Côte 3 4 Moyenne Ecat type Tableau 7 : Ecat moyen en mm des côtes ente les pèces avant bdage et bdées En compaant les ésultats des essas ST et SP avec ceux des essas LP, LP3, LT et LT3, nous pouvons conclue que la pésence du bdage mposé augmente consdéablement les effets du tatement themque su la fome de «U». Notons que los des expéences, l état même dffcle de sot les pèces du suppot apès qu elles aent sub le tatement themque en étant bdées. De même qu l a été obsevé pécédemment, l nfluence d un peçage n est pas évdente d un pont de vue de la géométe mas le tou a une légèe tendance à s ovalse pou l essa ST...6. Conclusons Ces essas su un cas sem ndustel, de fome mons complexe que le démonstateu ndustel, nous ont pems de dégage cetanes tendances des effets des paamètes du pocédé su les dstosons globales de la stuctue. Pa exemple, lasse plus de temps à la dffuson themque mplque des dstosons plus mpotantes pusque la ZAT sea plus gande et le ayon ponçon aua un plus gand taux de bante. D aute pat, la pésence d un peçage telle qu elle a été testée los de ces essas a une légèe conséquence su le champ de tempéatue mas non sgnfcatve su la métalluge de la pèce ou les dstosons qu elle sube. Le éaangement des champs de contantes et défomatons semble alos pncpalement ête dû aux tansfomatons métallugques de la pèce qu au champ themque dectement. Il auat été ntéessant de pouvo pende les mesues géométques ente le chauffage et la douche afn de meux connaîte l évoluton de la géométe dans le temps. Enfn, un bdage mposant un champ de contantes fables (domane élastque ou, localement, fablement plastque) a un mpact tès net su les dstosons. On peut dstngue encoe une fos deux phases dans le pocédé, le chauffage et la tempe, et se demande laquelle a le plus d nfluence su la éogansaton des contantes. Au chauffage, l appaton de l austénte va elâche les contantes de la ZAT mas mette sous contante les zones adjacentes pa le changement de volume au changement de phase. Evdemment, la céaton d un fot gadent themque metta auss cetanes zones en compesson et d autes en tacton. Au efodssement, les mêmes phénomènes de changement de volume au changement de phase appaaîtont mas cette fos ce sea une dlataton et non une contacton. De plus, des phénomènes popes à la tempe peuvent appaaîte comme la plastcté de tansfomaton. Cependant, la plastcté de tansfomaton a été obsevée pou des efodssements lents [DENIS-987] mas l appaaît que la plastcté classque a une nfluence pépondéante dans le cas pécs des efodssements apdes [BARRERE-99]. La smulaton numéque nous donnea cetanement plus d éléments, notamment pou les phénomènes locaux et pou les évolutons dans le temps, nécessaes à une bonne compéhenson de l nfluence de chaque mécansme physque su la fome généale de la pèce. Pou ces calculs numéques, les essas expémentaux sont la souce d une base de donnée tès mpotante à la mse en donnée et la valdaton des calculs. 54

65 Bblogaphe BIBLIOGRAPHIE [BARRERE-99] - Baee E., Contbuton à la modélsaton des contantes ésduelles los de la tempe supefcelle au déflé apès un chauffage pa nducton, Thèse de doctoat, ENSAM Bodeaux, 99. [BERGE-998] - Bege D., Matéaux et pocédés véhcule, note ntene DVHL/MXP/CEB/MMF/n 98.VY.7, PSA Peugeot Ctoën, 998. [BÉRRANGER-997] - Béange G., Schmtt J., "Stuctues cstallogaphques et dagammes d équlbe", Les Aces Spécaux, Lavose - Technques et Documentaton, p. 79-7, 997. [DENIS-987] - Dens S., Smon A., "Dscusson on the Role of Tansfomaton Plastcty n the Calculaton of Quench Stesses n Steels", Resdual Stesses n Scence and Technology, vol., 987. [ZANETTI-000] - Zanett T., Renhadt A., Tempe de tôle pa nducton : chox technologque et pemes ésultats de la campagne d essas péndustels, note ntene DVHL/MXP/CEB/MMF/n 000.VY.9, PSA Peugeot Ctoën,

66 56

67 CHAPITRE 3 57

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69 Chapte 3 SIMULATION THERMO-ELECTROMAGNETIQUE 3.. Smulaton électomagnétque Equatons de Maxwell Fomulaton potentel vecteu / potentel scalae Appoxmaton hamonque Calcul du couant souce Fomulaton fable Dscétsaton spatale en éléments fns nodaux P Calcul du champ potentel magnétque Fomulaton fable Dscétsaton spatale : les éléments fns d aête Le feomagnétsme Smulaton themque Equaton de la chaleu Résoluton numéque Dscétsaton spatale Dscétsaton tempoelle Lnéasaton du système matcel Poblèmes lés aux tatements themques Le choc themque La themque asynchone Cas tdmensonnel Couplages ente électomagnétsme et themque Le couplage «ulta fable» Effets du champ magnétque su la tempéatue Effets de la tempéatue su la ésoluton électomagnétque Dépendance de la peméablté magnétque à la tempéatue Dépendance de la conductvté électque à la tempéatue Pocédue du couplage themo électomagnétque Applcaton au pocédé sem-ndustel Paamètes électomagnétques Paamètes themophysques Calcul de la masse volumque Mesue de la chaleu spécfque Cp pa méthode DSC Mesue de la dffusvté themque pa méthode «flash» Lase Mse en données des paamètes themophysques dans le code de calcul 93 59

70 Résultats de calcul Calcul électomagnétque Calcul themque 95 Bblogaphe 96 60

71 3. Smulaton électomagnétque 3.. SIMULATION ELECTROMAGNETIQUE 3... Equatons de Maxwell Un système de 4 équatons, les équatons de Maxwell, pemet de déce la popagaton d ondes électomagnétques dans un cas généal. L équaton de Maxwell-Gauss () déct le len ente l nducton électque et les chages électque ρ. De la même manèe, l équaton de Maxwell-Ampèe () expme le len ente le champ magnétque et ses souces (densté de couant et déplacement électque). L équatons de Maxwell-Faaday (3) fomalse l nducton magnétque, et la lo de consevaton du flux magnétques (4) expme le fat qu on ne peut pas sole de chages magnétques. D = ρ () D H = J + t () B = E t (3) B = 0 (4) Ce système d équaton est complété des équatons des los électomagnétques consttutves des matéaux. La lo (5) donne la elaton ente l nducton électque et le champ électque va la pemttvté électque ε ; la lo (6) donne la elaton ente l nducton magnétque et le champ magnétque (lo d amantaton) va la peméablté magnétque µ. Ces deux los sont accompagnées de la lo d Ohm (7) expmant la elaton ente la densté de couant électque et le champ électque va la conductvté électque σ. D = ε E (5) B = µ H (6) J = σ E (7) Dans le cade du chauffage pa nducton pou lesquels les féquences sont généalement compses ente 50Hz et MHz, une hypothèse est couamment utlsée, l appoxmaton des égmes quas-pemanents (ARQP), qu consste à néglge les couants de déplacement D. Cette hypothèse est dscutée en annexe 4. Tenant compte de cette hypothèse, le t poblème magnétque s éct à l ade de 5 égaltés : Maxwell-Ampèe () où le second teme du second membe est néglgé, Maxwell-Faaday (3), la lo de consevaton du flux magnétque (4), la lo d amantaton (6) et la lo d Ohm (7). Dans le cade de note étude, comme nous allons tavalle dans un domane boné, nous devons compléte le système pa des condtons aux lmtes. On touve dans la lttéatue 6

72 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE [BIRO-989], deux types de condtons aux lmtes : su le champ H et su le champ B, espectvement su les fontèe Γ H et Γ B. H n = 0 su Γ (8) H B n = 0 su Γ (9) B Su Γ H la composante tangentelle du champ magnétque est nulle alos que su composante nomale du flux magnétque est nulle. Γ B la 3... Fomulaton potentel vecteu / potentel scalae Dfféentes méthodes sont utlsées dans les codes de calcul éléments fns pou ésoude les équatons de Maxwell. La pemèe méthode développée dans le but d un calcul numéque fut la fomulaton A V exposée pa M.V.K. Cha [CHARI-98] qu compae ses ésultats numéques aux calculs analytques. Cette méthode a ensute été appofonde pa Oszkà Bìò et Kut Pes [BIRO-989 ; BIRO-990]. Etant tès coûteuse d un pont de vue nfomatque (Fgue 50), des fomulatons dévées ont été poposées su la base de condtons d applcaton plus estctves : la fomulaton A * Ω [EMSON-983] et la fomulaton A φ Ω [BIRO-989 ; KAMEARI-988]. Enfn, C.J. Capente [CARPENTER-977] a développé une méthode basée su une toute aute fomulaton, T Ω, epse ensute pa T. Nakata [NAKATA-988b]. Fgue 50 : Compaason des quate fomulatons pou le calcul des couants nduts dans une plaque caée plongée dans un champs magnétque la tavesant dans son épasseu (nombe d éléments tétaédques : 8586) [NAKATA-988a]. Quelle que sot la fomulaton utlsée, cetanes hypothèses sont écuentes :. l ARQP vue pécédemment et dscutée en annexe 4.. on consdèe généalement les popétés électomagnétques du matéau sotopes. 3. on néglge le cycle d hystééss des conducteus feomagnétques et l énege dsspée pa amantaton. Nous avons vu au chapte que ce n est pas le mode de chauffage pépondéant mas l hypothèse peut tout de même ête dscutable dans le cas de cetans matéaux. 4. les couants auto-nduts ne sont généalement pas calculés dans le ccut nducteu. L hypothèse est justfée dans le cas d une ntensté de couant mposée, pa le fat que la pésence de couants auto nduts modfe unquement la épatton des denstés de couant et pas leu ntégale su la secton. En effet, comme l énonce Lenz dans son théoème, le couant ndut s oppose, pa ses effets, au couant qu est à son ogne. D un pont de vue local, cela se tadut pa un alentssement du flux d électons qu 6

73 3. Smulaton électomagnétque est alent pa les effots électomagnétques généés pa le champ électque ndut à la suface de l nducteu, E (mas les électons se déplaceont toujous d une chage plus électonégatve ves une chage mons électonégatve). D un pont de vue global, le théoème de Lenz se tadut pa une augmentaton de la ésstance de l nducteu (pate éelle de l mpédance). En effet, le couant ndut fenant le flux d électons, la secton tavesée pa le couant totale est édute (Fgue 5). La ésstance est alos augmentée. Ce phénomène peut néanmons avo une nfluence mpotante s on s ntéesse aux phénomènes touchant l nducteu (fatgue themomécanque pa exemple) mas n est pas sgnfcatf su les ésultats d une pèce chauffée pa nducton. Fgue 5 : Phénomènes d auto-nducton et épatton des denstés de couant. Dans ce paagaphe, nous pésenteons unquement la fomulaton que nous avons chose : la fomulaton A-V. On peut dédue de la lo de consevaton du flux magnétque (4) que le champ d nducton magnétque B est un otatonnel. On défnt alos le champ potentel magnétque A (0). B = A (0) Rappelons le système des équatons de Maxwell : H = J () B = E t (3) B = 0 (4) Intodusons le potentel magnétque dans les équaton de Maxwell-Ampèe () et Maxwell- Faaday (3) : J = A µ () A E = t () 63

74 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE En ntégant la elaton () dans l espace, on fat appaaîte le gadent d un scalae qu on appellea potentel électque : A E = V (3) t Le champ électque est alos la somme d une pate ndute (dépendante du potentel magnétque) et d une pate cée pa une dfféence de potentel électque (tenson). Avant d nsée les los popes au matéau, appelons les : B = µ H (6) J = σ E (7) Des équaton de Maxwell-Ampèe () et Maxwell-Faaday (3) ans que des los consttutves (6) et (7), on éct le système électomagnétque : A σ + A = J t µ J S = σ V S (4) Nous voyons alos que le poblème peut ête sépaé en un système de deux équatons sépaant ans les deux nconnues, le champ potentel magnétque et le potentel électque. Nous devons véfe l uncté de A, qu défna automatquement V à une constante pès. Supposons mantenant que nous connassons déjà un potentel vecteu magnétque A 0 défn pa : B = A 0 (5) Le otatonnel d un gadent étant nul, l exste un aute potentel vecteu A qu, pou un champ scalae ϕ quelconque, s éct : A = A 0 + ϕ (6) Cette ndétemnaton du champ potentel magnétque nous oblge à mpose une condton supplémentae, appelée condton de jauge. On touve pluseus condtons de jauges dans la lttéatue dont celle de Loentz (7) fasant nteven une constante λ et celle de Coulomb (8) [BIRO-990]. Les condtons de jauge n ont aucune justfcaton physque et nous chosssons d utlse, pam toutes les elatons qu pemettent de leve l ndétemnaton expmée en (6), la plus smple à tate dans le modèle numéque. V = λ A (7) A = 0 (8) 64

75 3. Smulaton électomagnétque La jauge la plus ntéessante pou les calculs de magnétostatque est celle de Coulomb. Mas l este à monte qu l est toujous possble de touve un champ potentel magnétque véfant cette équaton. Nous dsposons d un champ A 0 ne véfant pas (8) et nous chechons un aute champ A tel que A = 0. Applquons alos la jauge de Coulomb à l équaton (6) (tansfomaton de jauge). On obtent la elaton (9) mathématquement dentque à l équaton de Posson que nous savons ésoude s nous astegnons la foncton ϕ à ête nulle à l nfn. ϕ = (9) A 0 Il est à note que la condton de jauge n est pas suffsante à assue l uncté de A et ce n est d alleus pas le cas en généal (vo [GIÉ-985]). Il est alos nécessae d ntége des condtons aux lmtes su les fontèes du domane. Nous chosssons d utlse un seul type de condtons aux lmtes, patculèement adapté aux cas que nous tatons : A n = 0 su Γ (30) Cette condton coespondant à une condton de contact avec un conducteu pafat [HÖMBERG-004], nous pemet de consdée deux types de fontèes su note domane : Le système pèce / nducteu est noyé dans l a et la fontèe de l a est consdéée suffsamment élognée de la souce électomagnétque pou ne pas coupe les lgnes de champ ; Les systèmes géométque et électomagnétque pésentent un plan de syméte, les lgnes de champ magnétque sont alos tangentes dans le plan fontèe. De plus, cette condton applquée à la totalté de la fontèe du domane nous gaant l uncté de la soluton. Le système à ésoude est alos déct pa (3). [BIRO-989] monte que l ensemble des équatons de Maxwell (a) et (b), la condton de jauge (c) et les condtons lmtes (d) et (e) assuent l uncté du champ potentel magnétque (V est défn à une constante pès, l faut mpose sa valeu en un pont pou avo uncté). ( a) ( b) ( c) ( d) A σ + A = J t µ J S = σ V A = 0 A n = 0 su Γ S su Ω (3) 65

76 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE Appoxmaton hamonque La souce est almentée en couant altenatf ce qu pemet d éce le couant et le champ potentel magnétque (sous éseve d avo de ne pas avo d hamonques secondaes dues à l amantaton) en hamonque (3). J A jωt S ( x, t) = J S ( x) e j( +ϕ ) ( ) = ( ) ω t x, t A x e (3) L appoxmaton hamonque pemet de découple les dépendances spatale et tempoelle. Pou cela, on ééct les équatons du poblème en fomulaton A-V (4) dans l espace complexe. Le système à ésoude est alos éct en (33). jϕ σωjae + Ae µ J S = σ V A = 0 A n = 0 su Γ jϕ = J S (33) Calcul du couant souce Dans un système de chauffage pa nducton, les nfomatons que l on a su la souce d énege peuvent ête de deux types, selon que le système sot en sée ou en paallèle (Fgue 5). Pou un système en sée, nous connaîtons plus faclement le couant tavesant l nducteu tands que pou un système paallèle, nous connaîtons plus faclement la tenson aux bones de l nducteu. U U Fgue 5 : Schématsaton des valeus de tenson et couant founes pa le généateu dans le cas d un système sée (gauche) et paallèle (dote). J S dans tout l nducteu en foncton des données que nous avons en tenson ou en couant afn de pouvo ensute l utlse dans la ésoluton Nous avons beson de pouvo calcule ( x) du champ A. Comme nous avons vu en (3) que le potentel électque est défn à une constante pès, nous allons mpose V=0 su une des bones de l nducteu. Ensute, selon que nous connassons le couant ou la tenson, nous mposeons sot J S, sot une dfféence de potentel V (tel que la tenson sot égale à la dfféence de potentel) su l aute bone de l nducteu. 66

77 Afn de calcule ( x) couant : J S 3. Smulaton électomagnétque dans l nducteu, nous utlseons la popété de la dvegence d un J S = 0 ( σ V ) = 0 (34) Le système d équatons que nous avons alos à ésoude est le suvant : ( σ V ) = 0 dans l'nducteu V σ = 0 (Neumann) su la fontèe ente a et nducteu n V = 0 (Dchlet) su la bone V σ = J S n (sée) n su la bone V = p (paallèle) (35) Pou la sute de la ésoluton du système (35) nous nous placeons dans le cas d un système où l nducteu et les condensateus sont en sée. La ésoluton du poblème d un système en paallèle se déoule de la même manèe à la dfféence pès que nous consdéons des condtons lmtes de Dchlet à la place des condtons aux lmtes de Neumann su Γ Fomulaton fable Sot Ω le domane d étude et Ω a, Ω p et Ω des sous domanes de Ω epésentant espectvement l a envonnant du système, la pèce chauffée et l nducteu, tels que : Ω = Ω a Ω p Ω ; Ω a Ω p = φ ; Ω a Ω = φ ; Ω Ω p = φ (36) Intéessons nous unquement au domane de fontèe Γ. Sot Γ la fontèe Ω découpée en tos moceaux : Γ 0 la fontèe ente Ω et Ω a, Γ et Γ, les bones de l nducteu (Fgue 53). Γ Γ Ω Γ 0 Fgue 53 : Repésentaton d un nducteu de fome quelconque et de ces 3 fontèes : Γ 0 et ces deux bones Γ et Γ. Soent l espace de Sobolev H ( Ω ) et U un sous ensemble de cet espace défns tels que : H { } ( Ω ) = Ψ L ( Ω ) Ψ L ( Ω ) / (37) 67

78 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE { Ψ H ( Ω ) / Ψ = 0 su Γ } U (38) = Sot Ψ une foncton quelconque de l espace U. S nous multplons pa Ψ et que nous ntégons la pemèe équaton de (35), nous obtenons les équatons (39) à l ade de la fomule de Geen. Ω σ V Ψ dv = avec Ω 0 g = J S n σ V Ψ dv su Γ 0 su Γ et Γ0 Γ gψ ds Γ Ψ = 0 su Γ V Ψ ds = 0 n (39) S on défnt a(. ;.) une fome blnéae de U et b(.) une fome lnéae, le poblème se ésume à : Touve V U tel que Ψ U : ( ; Ψ) = l( Ψ) a V avec U l = { u H ( Ω ) / u = 0 su Γ } ( ; Ψ) = σ V Ψ a V Ω ( Ψ) = ( J S n) Γ Ψ Dscétsaton spatale en éléments fns nodaux P Sot un domane dscétsé Ω h boné des fontèes Γ h 0, Γ h et Γ h. Sot U h un sous ensemble h de H ( Ω ) tel que défn en (40). h { u H ( Ω ) / u h = 0 su Γ h } h U h = (40) Ψ une foncton quelconque de U h et ϕ ( ) une base complète de U h. Sot V h ( x) h Soent x potentel électque soluton du poblème que nous pouvons dscétse. sv h et U h h ( x) = V ϕ ( x) h h alosv h h h ( ; Ψ ) = l( Ψ ) h h h a( V ; ϕ ) = l( ϕ ) a V a noeudj a V h h ( x) ; ϕ = l( ϕ ) h h h h ( ϕ ; ϕ ) V = l( ϕ ) j ϕ h j noeudj h j noeuds j Ψ h ϕ h un (4) Nous pouvons ésoude l équaton à l ade d un système matcel lnéae : 68

79 [ K ] { u} = { F} avec h h [ K ] = a( ϕ ; ϕ ) j j = elt h { F} = l( ϕ ) = ( J S n) elt Γ elt Ω 3. Smulaton électomagnétque h h σ ϕ ϕ ϕ h j (4) Calcul du champ potentel magnétque Une fos V calculé dans tout le domane nducteu, nous pouvons mpose V=0 dans le este du domane Ω et ans connaîte le second membe de l équaton des potentels magnétques en (33) dans l ensemble du domane d étude. Ce second membe J S ( x) peut ête expmé en foncton des potentels électques calculés aux nœuds comme cec : J S ( x) = σ ( x) V ( x) nb noeuds (43) = σ x V ϕ x noe= ( ) ( ) noe noe Nous allons vo mantenant comment ésoude l équaton des potentels magnétques en utlsant des éléments fns d aête Fomulaton fable Soent la fontèe de Ω, Γ 0 UΓ telle que pésentée en Fgue 54. Défnssons l espace de Sobolev H ot ( Ω) et un sous ensemble V tel que : 3 / Ω = v L Ω v L Ω 3 (44) { } H ot ( ) ( ) ( ) 3 { v ( H ( Ω) ) / v = 0 dans Ω et v n = 0 Γ} V = ot su (45) Γ A n = 0 Ω σωj A + A = µ J S Fgue 54 : Repésentaton du domane d étude Ω et de ses fontèe : Γ 0 condton de Dchlet ; Γ condton de Neumann Sot Ψ une foncton quelconque de V. Intégons l équaton (33) su le domane et multplons pa la foncton test Ψ : Ω σ ω j Ae jϕ Ψ dv + Ω Ae µ jϕ Ψ dv = Ω J S Ψ dv Ψ V (46) 69

80 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE Nous pouvons ééce l équaton (46) à l ade de la fomule de développement de la dvegence d un podut vectoel (47) pou obten la elaton (48). Ω σ ω j Ae jϕ Ψ dv + ( a b ) = b a a b (47) Ω Ae µ jϕ Ψ dv = Ω J S Ψ dv Ψ V (48) Applquons mantenant la fomule d Ostogadsk à la elaton (48) pou obten (49) et utlsons les popétés du podut mxte pou fae appaaîte les condtons de Dchlet (50) : Ω σ ω j Ae Ω jϕ Ψ + σ ω j Ae Ω jϕ Ae µ Ψ + Ω jϕ Ae µ Ψ = jϕ Ω J S Ψ = Ψ Ω J S Γ Ae µ Ψ jϕ Γ = 0 Ψ n ( Ψ n ) Ae µ 3 jϕ Ψ V (49) (50) De la même manèe que pou le laplacen de V, on défnt a(. ;.) une fome blnéae de V et b(.) une fome lnéae, le poblème se ésume à : jϕ jϕ Touve Ae V tel que Ψ V : a Ae ; Ψ = l Ψ avec V a l = ( ) ( ) 3 { v H ( Ω) / v = 0 dans Ω et v n = 0 su Γ} ( A; Ψ) ( Ψ) = Ω = J Ω S ot σ ω j Ae Ψ jϕ Ψ + Ω Ae µ jϕ Ψ Remaque : Il appaaît claement dans l éctue de la fomulaton fable c-dessus, que la soluton du ϕ A e j A cos ϕ + j sn ϕ ) et que le second membe de poblème est un vecteu complexe ( [ ( ) ( )] l équaton est un vecteu éel ( J ). S Dscétsaton spatale : les éléments fns d aête Les éléments fns d'aête tels qu'ls ont été ntoduts pa Nédélec [NEDELEC-980 ; NÉDÉLEC-986] s'mposent comme un outl natuel pou la ésoluton des équatons de Maxwell [BOSSAVIT-993]. En effet, d'un pont de vue mathématque, ls pemettent de constue des espaces d'appoxmaton confome de l'espace 70 H qu ntevent de façon natuelle dans la fomulaton vaatonnelle de ces équatons. D'aute pat, d'un pont de vue physque et patque, ls pemettent pa exemple de ten compte des dscontnutés des champs électomagnétques aux ntefaces ente dfféents matéaux mas auss d'mplémente de façon smple des condtons aux lmtes de type conducteu pafat ou mpédance de suface. Toutefos, s l'on s'ntéesse à des poblèmes en égme tanstoe et en ot

81 3. Smulaton électomagnétque géométe complexe, ceux-c mposent en pncpe l'utlsaton de mallages tangulaes (D) ou tétaédques (3D) [ELMKIES-996]. La pncpale patculaté des éléments de Nédélec pa appot aux éléments tadtonnels est d avo pou degés de lbeté la composante tangentelle de la vaable aux aêtes des éléments (Fgue 55). Fgue 55 : Degés de lbeté pou un élément de Nédélec de dmenson ou 3 [ERN-005] Sot un domane dscétsé Ω h boné des fontèes Γ h 0 et Γ h. Sot V h un sous ensemble de h H Ω tel que défn en (5). ot ( ) V h h { ( ) } h 3 v H h h h h ot Ω / v = 0 dans Ω et v n = 0 Γ = su h Soent Ψ un vecteu quelconque de V h et ϕ( x) les vecteus consttuant une base complète de V h. S A h ( x) est un champ vectoel soluton du poblème, nous pouvons alos le dscétse au sens de Nédélec : h h h h h s A V alos A x = A t ϕ x et a ( ) ( ) ( ) h h h ( A ; Ψ ) = l( Ψ ) h h h h a( ϕ ; ϕ ) ( A t ) = l( ϕ ) aetes j aetes j j (5) (5) Remaque : Los de la pésentaton de la fomulaton fable au paagaphe pécédente (paagaphe 3..5.), nous avons soulgné le fat que le vecteu soluton du poblème se touve dans h l espace des complexes. La soluton dscétsée A est alos un vecteu complexe et sea mplémenté en tant que tel dans le code de calcul. ϕ Les vecteus ( x) Nédélec. sont les fonctons de fome assocées aux aêtes des éléments de Consdéons un élément fn tadtonnel type P pou lequel les degés de lbeté sont assocés aux nœuds. Sot φ ( x) la foncton de fome assocée au nœud. Alos on peut éce la foncton de fome assocée à l aête ente les nœuds et j comme sut : ϕ = φ φ φ φ (53) j ( ) ( ) j j 7

82 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE Fgue 56 : Repésentaton gaphque des fonctons de fome d un élément tangulae (D) de Nédélec [ERN-005] La Fgue 56 monte le mouvement de otaton que foment les fonctons de fome autou du nœud opposé à l aête assocée. On peut alos en dédue que la dvegence de chaque foncton de fome est nulle, ce qu est asément véfable à l ade de l équaton (53). On peut alos démonte que l espace V h est ben confome à l espace V. Connassant les fonctons de fome ϕ( x), nous pouvons ésoude l équaton (5) à l ade d un système matcel lnéae : [ K ] { u} = { F} h h h h h h [ K ] j = a( ϕ j ; ϕ ) = ϕ j ϕ + j σ ω ( ϕ j ϕ ) { u} j avec h = A j t j h { F} = l( ϕ ) = elt Ω elt elt J S Ω elt h ϕ µ Ω elt (54) Remaque : L équaton matcelle c-dessus est défne dans l espace des complexes. L éctue de la matce K soulgne sa décomposton en une pate éelle et une pate magnae non nulles. Le vecteu soluton u est également composé d une pate éelle et d une pate magnae dont le appot défn le déphasage avec le couant souce. Pa conte, le couant souce en second membe, F, a une pate magnae nulle (déphase nul pa appot à lu-même) Le feomagnétsme Nous avons vu au chapte que la susceptblté magnétque est fotement dépendante du champ magnétque H et de la tempéatue. Nous ne pouvons ten compte de la dépendance de la peméablté magnétque au champ magnétque pa une méthode téatve standad dans le cas d une ésoluton hamonque. En effet le feomagnétsme ndut des hamonques secondaes dans le sgnal. Des méthodes d appoche mult hamonque ont été développées afn de ésoude ce poblème [WILLCOCK-983]. Dans la pespectve de développe ultéeuement le code avec un schéma de ésoluton tempoel, le endant ans applcable à une gande majoté des pocédés électomagnétques de basse et moyenne féquences, nous n abodeons pas les appoches mult hamonques dans ce mémoe. 7

83 3. Smulaton électomagnétque Nous dscuteons dans ce paagaphe la dépendance de la peméablté magnétque au champ H en vue d une ésoluton des équatons de Maxwell avec dscétsaton tempoelle. La dépendance à la tempéatue ne dépendant pas du chox de modélsaton hamonque ou tempoelle, elle sea dscutée au paagaphe Pou la modélsaton numéque des phénomènes électomagnétques, deux défntons de la peméablté appaassent dans la lttéatue. La plus commune des deux est de de que µ est le appot de l ntensté de l nducton magnétque su l ntensté du champ magnétque [CHABOUDEZ-994 ; GARBULSKY-997] comme l équaton (55) l ndque. L aute défnton de µ pouvant ête touvée dans la lttéatue [BARRERE-99 ; FAVENNEC- 00a] est la dévée de l nducton magnétque en foncton du champ magnétque, expmée en (56). B µ = = µ 0. µ = µ 0( + χ ) (55) H B χ µ = = µ 0. µ = + + H µ 0 χ. (56) H H La pemèe elaton défn un compotement lnéae alos que la seconde est plus pécse. Mas quelle que sot la défnton chose, nous avons beson d une fomulaton de la susceptblté magnétque valable dans le plus lage domane de matéaux et de pocédés de chauffage pa nducton. Pou cela, une pemèe étape de smplfcaton du modèle est nécessae : néglge le phénomène d hystééss.[garbulsky-997] affme que la pussance dsspée pa l effet d hystééss (popotonnelle à l a de la boucle) est néglgeable pa appot à la pussance généée pa effet Joule, dans le cas d un ace plongé dans un 4 champ supéeu à 0 A. m. Néanmons, comme le monte [SAQUET-999], la dvesté des coubes d amantaton dans les aces est tès gande. Cette appoxmaton est une fablesse de tous les modèles d évoluton de peméablté magnétque. [SKOCZKOWSKI-989] popose alos une fomulaton donnant le domane de valdté de cette appoxmaton pou des aces de teneu en cabone compse ente 0, et 0,99 : s 4 H > 0 A. m l eeu due à l appoxmaton de µ dans la gamme d applcaton donnée est nféeue à,5%. L hypothèse su la valeu de H est véfée dans la plus gande pate des nstallatons de chauffage pa nducton. Pa conte, l utlsaton de ce mode de chauffage ne s applque pas unquement à ce type d aces mas auss aux aces plus fablement cabonés (comme le HR45) ou aux aces allés. [CHABOUDEZ-994] et [FAVENNEC-00a] poposent alos d utlse la elaton de Fölch-Kenelly pouvant s applque à une gande dvesté de matéaux : B α = µ H 0 + β + H (57) L expesson (57) nécesste de détemne les coeffcents constants ntnsèques au matéau α et β. La détemnaton de façon decte en elevant les valeus de B et de H à l ade d un flux-mète est elatvement dffcle. Une aute méthode de détemnaton peut ête l analyse nvese [FAVENNEC-00b]. [CHABOUDEZ-994] donne les valeus de α et β pou un ace ST 44-3 (envon 0,%C ; 0,04%P ; 0,04%S) : β = 00 A.m - et α = 000µ 0 β 0.5 T. 73

84 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE S nous consdéons µ défn pa l expesson (56), on etouve l expesson de la peméablté magnétque et de la peméablté magnétque elatve en foncton de α et β (58). ( ) ( ) ( ) α α H µ H = µ 0µ = µ 0 + (58) µ 0 β + H µ + 0 β H Cette expesson pouat ête suffsante à la ésoluton s nous connassons H et nous chechons B. O, étant dans le cas contae, nous avons beson de la tansfomaton nvese pemettant ans le passage de B à H. Fanços Bay [BAY-003] popose la elaton de second ode suvante : H ( α + µ β B ) + 4µ β = B α µ 0β B µ 0 (59) De la elaton (59), on peut mette en place un algothme pemettant le calcul du système (54) en tenant compte de la dépendance de µ au champ magnétque H. La Fgue 57 pésente un algothme qu, à chaque téaton, calculea les champs électomagnétques à pat d une peméablté magnétque dédute du champ H à l téaton pécédente. Le pocessus tèe jusqu à convegence des ésultats. La condton de convegence potea su la pussance dsspée pa effet Joule su chacun des éléments du mallage : + p em pem < ε (60) p em 74

85 3. Smulaton électomagnétque Calcul de V Calcul de A Calcul de B B = A t + t H Calcul de H ( α + µ 0β B ) + 4µ 0β = B α µ 0β + B µ 0 µ ( H ) Calcul de µ = + α α H µ 0 µ 0 H ( ) ( ) β + H µ 0 β + NON Convegence? FIN OUI Fgue 57 : Algothme de ésoluton électomagnétque tenant compte de la dépendance de la peméablté magnétque au champ magnétque 75

86 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE 3.. SIMULATION THERMIQUE La smulaton du chauffage pa nducton nécesste la ésoluton d un poblème themque. Nous utlseons dans note code de calcul le solveu themque du logcel Foge3 développé au sen du laboatoe. Nous ependons dans cette pate les gandes lgnes des méthodes et statéges utlsées dans le code. Pou plus de détalle su la ésoluton du poblème themque, se epote à la thèse de Nathale Soys [SOYRIS-990] Equaton de la chaleu Le poblème themque à tate est nstatonnae. Il est ég pa l équaton de la chaleu et pa les condtons aux lmtes su les sufaces lbes. En tout pont de Ω, on peut éce la lo de consevaton de l énege ntene (6) qu le l évoluton de tempéatue au flux de chaleu et aux souces ntenes de chaleu (teme de couplage). Assocée un matéau obéssant à une lo de conducton sotope (6), on obtent l équaton de la chaleu sous la fome poposée en (63). dt ρ C = q + W& dt (6) q = k T (6) ρ C T k T = & (63) ( ) W W & est l énege ntene venant de dfféents couplages comme la pussance dsspée pa effet Joule pou l électomagnétsme ou la dsspaton des défomatons pou la mécanque. Les condtons aux lmtes su Γ peuvent ête de 3 types : convecton et ayonnement (lnéasé) su Γ 0 (64), tempéatue mposée (Dchlet) su Γ (65) et flux sotant mposé (Neumann su) Γ (66). h = h + = ( ) cv h k T n h T Text avec h = ε σ ext ( T + T )( T + T ) ext (64) T = T mp (65) k T n = φ (66) mp 3... Résoluton numéque 3... Dscétsaton spatale De la même manèe que nous avons établ la fomulaton fable dans la ésoluton du laplacen du potentel électque V (paagaphe 3..4.), nous pouvons éce la fomulaton fable de l équaton de la chaleu (67). Apès dscétsaton en éléments fns de type P, on obtent le système matcel énoncé en (68). ρ CT& Ψ dv + k T Ψ dv = W & Ψ dv h( T Text ) Ψ ds φmp Ψ ds (67) Ω Ω Ω Γ Γ 3 76

87 3. Smulaton themque 77 Pa appot au système (4) que nous avons vu au paagaphe 3..4., le système (68) fat appaaîte dffcultés supplémentaes :. la ésoluton nécesste un schéma d ntégaton tempoel pou expme les dévées de la tempéatue pa appot au temps,. les matces [ ] C, [ ] K et le vecteu { } Q dépendent de la tempéatue ce qu end le système non lnéae Dscétsaton tempoelle On pattonne le temps total en une sée d ntevalles = t t t. Le chox de cet ntevalle de temps peut ête mpotant dans la ésoluton globale du système. Chales Alaga [ALIAGA-000] popose un algothme de contôle automatque du pas de temps pa mnmsaton d eeu, que nous ne dscuteons pas c. Le chox du schéma de dfféentaton tempoelle chos pa [SOYRIS-990] est un schéma à 3 pas de temps. S nous nous plaçons au temps t* et en un pont de tempéatue T*, le temps et la tempéatue seont dscétsés comme éct en (69) et la dévée de la tempéatue sea écte comme en (70). Nous avons donc le chox su les paamètes α, α, α 3 et β. Toutefos, on souhate que le schéma d ntégaton tempoelle sot ncondtonnellement stable et consstant à un ode le plus élevé possble. [SOYRIS-990] monte que le schéma est consstant au second ode s : [ ]{ } [ ]{ } { } [ ] [ ] { } + = + = = = + Γ Γ Ω Γ Ω Ω elt h mp h ext h elt h j h h j h j elt h j h j ds ds ht dv W Q ds h dv k K dv C C Q T K T C elt elt elt 3 avec ϕ φ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ & & (68) t t t t t t T T T T* t t t t = = + + = + + = avec et * α α α α α α (69) ( ) * t T T t T T T + = + β β & (70) + + = + + = 3 t t cas geneal: t t t t t t t t β α α β α α α (7)

88 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE Le schéma est donc ploté pa paamètes : α et β. La stablté du schéma est assuée, pou un pas de temps fxe, dans les condtons énoncées en (7). Il sea adms qu l en est de même pou des pas de temps dfféents. β α > ( β ) (7) Nous avons chos un schéma de Dupont. L ntalsaton se fat avec un schéma de Cank- Ncholson à un pas de temps. Dupont : α = ; β = 4 (73) Cank Ncholson : α = 0 ; β = (74) Lnéasaton du système matcel Le système étant non lnéae, l peut ête ésolu pa des méthodes téatves de type Newton- Raphson. Ces méthodes sont coûteuses en temps de calcul et la méthode etenue pa [SOYRIS-990] est la lnéasaton des équatons pa la fomule de Zlamal [ZLAMAL-977] qu popose pou toute gandeu W la lnéasaton : W* C0W + CW = (75) Le système à ésoude s éct alos : T T T T β (76) [ C ] ( ) + + β + [ K *]{ α T + α T + α T } = { Q *} * 3 + t t La lnéasaton peut ête applquée à la vaable t qu dot également ête cohéente avec la elaton (69). On peut alos détemne les expessons de C 0 et C en foncton des paamètes de [SOYRIS-990] (77). t* = α C C ( t t ) + α t + α ( t + t ) = C ( t t ) 0 t = α α3 t t = α α3 + t C t (77) La lnéasaton de Zlamal applquée aux matces [ C *], [ K *] et au vecteu { *} Q du système dfféenté (76) nous pemet d about n fne à un système lnéae ayant pou nconnue la vaable nodale T* à l nstant t*. 78

89 [ ]{ X } = { B} [ A] = f ( C ; C; K ; K; t ; t; t+ ; α; β ) { X } = T * { B} = g( C ; C ; Q ; Q ; t ; t ; t ; α ; β ) 3. Smulaton themque A avec (78) + Connassant le vecteu des valeus nodales de T*, on en dédut de l équaton (69), la valeu de T à l nstant + : ( T α T α T ) T + = * (79) α Poblèmes lés aux tatements themques Le choc themque Le tatement themque fat nteven des vtesses de efodssement tès apdes. Cela peut entaîne en suface du matéau des chocs themques. Ce phénomène est lé à la dstance d p, défne comme étant la dstance de la suface à laquelle l essentel du choc themque est essent, et au temps de pénétaton t p, va la dffusvté themque a = k/ρc. t p d p = (80) 4a S on etansct cette noton physque dans un domane dscétsé pa éléments fns, la soluton du choc themque ne poua ête epésentée coectement que losqu une facton du flux themque aua attent la pemèe couche ntene d éléments. Sot d la longueu caactéstque d un élément fontèe. Le choc themque sea essent su tout l élément à pat du temps caactéstque t c. d t C = (8) 4a Cette elaton nous pemet de le la dscétsaton tempoelle va le pas de temps à la dscétsaton spatale va la talle des éléments fontèe. Yves Tonel [TRONEL-993] monte que les oscllatons themques ne sont pas dues à l ntégaton tempoelle mas ben à la dscétsaton spatale. Ans, pou une talle de malle d mposée, le pas de temps évtant les oscllatons ne deva pas ête plus pett que le temps ctque t c. t t C (8) La themque asynchone Dans le cas de la foge à chaud, le phénomène du choc themque peut également nteven los du contact des outls fods avec la pèce. Le logcel Foge3 pemet d avo des pas de temps nféeus au temps ctque t c qu peuvent ête mposé pa la ésoluton mécanque ou, dans note cas, pa la métalluge. 79

90 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE En effet, s le pas de temps désé t ne coespond pas au ctèe du choc (8), la tempéatue asyn soluton T + au temps t + t sea calculée à pat de la tempéatue T +, soluton au temps t + t c. t t = + (83) asyn T + T T+ t c tc Cas tdmensonnel L applcaton de la themque asynchone en 3 dmensons soulève la queston de la détemnaton de la longueu caactéstque d, notamment pou des mallages tétaédques non stuctué, ansotope et de talle hétéogène. Une mesue objectve seat de détemne d à pat de la talle des aêtes des éléments de suface pojetés dans le sens du flux themque. Une mesue mons coûteuse mas tout de même effcace est mplémentée. Il s agt de moyenne su les éléments de fontèe les caés des dstances ente nœuds (vecteu aête t) du même élément, pondéés pa un coeffcent d ansotope (pods p) et pa l nvese de la dffusvté themodépendante. Le pas de temps ctque est alos calculé ans : pt a( T ) (84) elt Γ aete elt tc = nb elt La soluton themque au temps t + t va alos se détemne en tos étapes. Tout d abod, nous utlsons le schéma d ntégaton tempoelle lnéasé (ésoluton de (78)) en mposant un pas de temps t (vo lnéasatons (69) et (70)) comme étant le plus gand pas de temps ente le pas de temps ctque et le pas de temps désé : ( t t) t = max ; c (85) Nous en avons donc à la vaable nodale soluton T* coespondant au temps t*. La asyn tempéatue asynchone T + peut alos s éce : ( T α T α T ) asyn T + = * (86) α 3 Ce qu fnalement nous pemet de connaîte T +, la vaable nodale chechée coespondant au temps t + t va les elaton (83) et (86). 80

91 3.3 Couplages ente électomagnétsme et themque 3.3. COUPLAGES ENTRE ELECTROMAGNETISME ET THERMIQUE Le couplage «ulta fable» Le temps d une péode électomagnétque peut vae de 0 - s pou une féquence de 00Hz à 0-6 s pou une féquence de MHz. En compaant à l ode de gandeu d un pas de temps themque (de l ode de la seconde), nous pouvons de que le temps caactéstque de l électomagnétsme est tès pett devant le temps caactéstque de la themque (Fgue 58). Cette constataton va nous pemette d émette deux hypothèses nécessaes à une ésoluton hamonque de l électomagnétsme :. le un champ de tempéatue este constant pendant toute une péode électomagnétque,. la pussance dsspée pa effet Joule peut ête moyennée su une péode électomagnétque τ τ << t Temp t Temp T - T T + p em temps p em + Fgue 58 : Schématsaton de la dfféence d ode de gandeu des temps caactéstques de l électomagnétsme et de la themque Effets du champ magnétque su la tempéatue Nous avons vu au paagaphe 3. que le champ électomagnétque généé pa les couants altenatfs tavesant l nducteu, cée un couant ndut dans la pèce métallque. Ces couants de Foucault dsspent de la chaleu pa effet Joule. La pussance actve dsspée pa effet Joule P em est défne macoscopquement pa la elaton (87). où I est le couant effcace tavesant le conducteu et R est la ésstance du conducteu : P em = RI (87) Nous pouvons etansce la elaton (87) en local afn d expme la densté de pussance dsspée pa effet Joule en foncton de la conductvté électque et de la densté de couant 8

92 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE effcace (88) en chaque pont matéel du domane Ω. Re[] epésente la pate éelle d un complexe. p em t+ τ = J avec J = σ τ Re t [ J ( x; t) ] dt (88) Chechons d abod à calcule la pate éelle de la densté de couant quelque sot l endot où on se touve dans le domane Ω (pèce, a ou nducteu). Consdéons alos le couant souce comme une foncton en cosnus. j( ω t+ ϕ ) jω t Re [ J ( x; t) ] = Re[ jωσ A( x) e + J S ( x) e ] (89) Re J x; t = ω σ A x sn ω t + ϕ + J S x cos ω t [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) La nome au caé de la pate éelle du vecteu densté de couant peut alos s éce : Re[ J ( x; t) ] = ( ωσ ) A( x) sn ( ω t + ϕ) + J S ( x) cos ( ω t) ωσ A x J x cos ωt sn ω t + ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) S (90) Rappelons que l ntégaton su une péode d un cosnus (ou snus) au caé est égale à ½ et utlsons les fomules d addton et de l angle double pou calcule l ntégale du tosème teme de (90) : sn ( ωt + ϕ) = sn( ωt) cos( ϕ) + cos( ωt) sn( ϕ) cos( ωt) sn( ωt + ϕ) = cos( ϕ) sn( ωt) cos( ωt) + sn( ϕ) cos ( ωt) cos( ϕ) = sn( ωt ) + sn( ϕ) cos ( ωt) (9) On obtent alos en moyennant (90) su une péode : p em = p totale p éactve σ ω A = ( x) + J ( x) σ S ω A ( x) J ( x) sn( ϕ) S (9) La pussance dsspée pa effet Joule qu est une pussance actve, est écte comme la dfféence d une pussance totale (pussance ndute + pussance souce) et d une pussance éactve pemettant d enteten le système oscllant va le déphasage ϕ. Nous avons pécsé pécédemment que nous nous placons en un pont quelconque du domane Ω (a, pèce ou nducteu) mas l est à note que pa l éctue (9) on ne peut défn la densté de pussance dans l a qu est un matéau solant (σ = 0). La densté de couant souce n ayant une valeu non nulle que dans l nducteu, on peut consdée p em = 0 dans l a. Le couplage themo électomagnétque se manfeste alos à taves le second membe de l équaton de la chaleu (63) : 8

93 W& W& W& = 0 σ ω = σ ω = A A ( x) σ 3.3 Couplages ente électomagnétsme et themque dans l'a dans la pèce tatée (93) ( x) + J ( x) ω A( x) J ( x) sn( ϕ) dans l' nducteu S S Plaçons nous mantenant dans l espace dscétsé Ω h. Nous calculeons les souces de chaleu dsspées pa effet Joule avec une appoxmaton de type P0, c'est-à-de que nous calculeons sa valeu au baycente de chaque élément et consdèeons que la valeu est constante dans le volume de chaque élément. Apès ééctue dans l espace dscétsé, on peut alos ééce dans l équaton de la chaleu sous fome matcelle (68) : h h h h h { Q} = ( A t ) + ( J t ) ω( A t )( J t ) sn( ϕ) ϕ ( x ) 6 σω k k S k k k k S k k k elt k = σ Ωelt b φ h (94) k est l ndce du numéo des aêtes dans l élément consdéé, x b epésente les coodonnées h du baycente de l élément, φ est la foncton de fome assocée à l élément et au nœud, et h ϕ k est la foncton de fome vectoelle assocée à l aête d ndce k dans l élément Effets de la tempéatue su la ésoluton électomagnétque Dépendance de la peméablté magnétque à la tempéatue Comme nous l avons vu au chapte, les moments magnétques au sen du matéau sont fotement nfluencés pa le champ magnétque et la tempéatue. On peut fae l hypothèse d un découplage des nfluences en écvant la susceptblté magnétque comme le podut d une foncton de H et d une foncton de T. χ H, T = g H. f T (95) ( ) ( ) ( ) Nous sommes elatvement lbes su le chox de la foncton f (tant qu elle pusse ête dentfable pa l expéence), le but étant de chos une fome coespondant au meux à une gande pa des matéaux. Nous avons néanmons des contantes dont l faut ten compte : f dot ête égale à pou un matéau feomagnétque et butalement décoîte avec l augmentaton de tempéatue au vosnage de la tempéatue de Cue pou s annule à pat de celle-c. Pou expme cela, écvons les deux contantes suvantes : f f ( T = 0) ( T = ) T C = = 0 (96) Nous pouvons touve dfféentes fomes de l expesson de f(t) dans la lttéatue. Pa exemple, Ec Baèe [BARRERE-99] popose dans sa thèse une fome exponentelle (97), alos que [CHABOUDEZ-994] popose une fome en acne caée (98) et que [FAVENNEC-00a] et [SKOCZKOWSKI-989] poposent une fome en pussance de la tempéatue (99). 83

94 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE T T C f (97) ( T ) = exp τ 0 f ( T ) T C = (98) T T C γ T f ( T ) = (99) T C L expesson (98) de f(t) ne dépend que de la tempéatue de Cue et ne pemet pas de chos une vtesse de descente de la foncton avec l augmentaton de la tempéatue. Nous chosons d mplémente l expesson (99), équvalente à l expesson (97) et smple d mplémentaton Dépendance de la conductvté électque à la tempéatue Nous avons vu que la fomulaton des équatons de Maxwell en potentels nous mpose l hypothèse d une conductvté électque constante, ce qu se justfe pendant une péode électomagnétque avec le couplage ulta fable ente la themque et l électomagnétsme. Néanmons nous devons pouvo ten compte de la dépendance de la conductvté électque à la tempéatue. La Fgue 59 monte deux compotements dfféents de la conductvté avec la tempéatue, pou deux aces dfféents. L ace noxydable vot sa conductvté dépende de sa phase métallugque alos que l ace HR45 ne paat pas ête dans le même cas. Fgue 59 : Rappot de conductvté électque de deux matéaux (HR45 fablement allé et ace noxydable fotement allé) pa appot à leu valeu à l ambant. Dfféentes expessons pou l évoluton de σ en foncton de T peuvent ête touvées dans la lttéatue. Pa exemple, dans [CHABOUDEZ-994] les auteus poposent deux expessons dfféentes suvant qu l s agsse du cuve ou d un ace ST44-3. Le cuve est appoxmé pa une foncton polynomale du 3 ème degé alos que l ace est appoxmé pa une foncton affne dont les paamètes changent au passage de la tempéatue de Cue (00). [SKOCZKOWSKI-989] popose également une foncton affne pou un ace mas sans changement de paamètes, ce qu paaît ête une hypothèse assez fote losqu on passe les tempéatues de Cue et de changement de phase. 84

95 3.3 Couplages ente électomagnétsme et themque [BARRERE-99] donne deux expessons plus complexes que la foncton affne qu pemettent de epésente l évoluton de σ pou toutes les tempéatues sans changement de paamètes. Tout d abod, l popose une fome exponentelle décte pa un unque paamète et la conductvté à la tempéatue ambante (0). Cette expesson peut pose poblème los de smulatons à haute tempéatue mas pemet d évte un passage à une valeu de conductvté négatve. Ensute, l popose également une foncton actangente (0) patculèement ntéessante pou les smulatons à haute tempéatue mas compotant 5 paamètes à dentfe. ( T ) = σ k( T ) σ (00) ef T ef σ ( T ) = σ + σ T 0 C exp (0) θ ( T ) σ 0 C = σ R σ 0 π 0 C C R T T Ac tan T 0 (0) Malheueusement, la mesue de la conductvté électque n est pas toujous asée à mesue et les paamètes à dentfe, notamment à haute tempéatue. Dans le cas où ces données ne sont pas accessbles, la elaton de Wedemann-Fanz pemet de le la conductvté électque σ à la conductvté themque k (03). k 8 =,3.0 σ T (03) Cette fomule étant basée su l équaton de Boltzmann et les éneges électonques dans la matèe, elle n est valable que pou les métaux pus. Pou les métaux allés, elle suestmea toujous la valeu de la conductvté électque Pocédue du couplage themo électomagnétque Le calcul themo électomagnétque nécesste une pocédue de couplage ente le module de calcul électomagnétque et le module de calcul themque. Afn de mette au pont un tel algothme, nous devons mette au pont un ctèe de etou du calcul themque ves le calcul électomagnétque. Le couplage ulta fable ente l électomagnétsme et la themque nous pemet de fae l hypothèse que le champ de tempéatue est constant pendant une péode électomagnétque. Il nous pemet auss de suppose que le champ de tempéatue vae peu d une péode à une aute. Nous pouvons véfe cela en calculant l mpact su les paamètes σ et µ du nouveau champ de tempéatue calculé. On peut même alle plus lon en dsant qu l n est nécessae de ecalcule les denstés de pussances dsspées pa effet Joule que s l mpact de l évoluton de tempéatue su les paamètes électomagnétques est sgnfcatf. Cette éflexon nous amène à défn le ctèe de passage du calcul themque au calcul électomagnétque : + ( T ) σ ( Tmax ) σ ( T ) + ( Tmax ) µ ( Tmax ) µ ( T ) σ max µ > ε ou > ε (04) max max 85

96 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE Note ctèe est l évoluton des paamètes électomagnétques la plus élevée su l ensemble des ponts d ntégaton du mallage en foncton de la tempéatue. Connassant nos deux ctèes ctés c-dessus, nous pouvons mantenant popose une pocédue complète pou le couplage themo électomagnétque. L ogangamme pésenté en Fgue 60 schématse cette pocédue. Apès ntalsaton du calcul, nous éalsons un peme calcul des champs électomagnétques et des souces de chaleu dsspées. Nous efasons ce calcul avec une peméablté magnétque calculée à pat du champ H ésultat et ecommençons jusqu à ce que les souces de chaleu n évoluent plus. C est alos que nous njectons leus valeus dans l équaton de la chaleu. Nous pousuvons le calcul themque auss longtemps que l évoluton des paamètes électomagnétque ne dépasse pas 5%. Nous elançons alos un nouveau calcul électomagnétque. Intalsaton Calcul de V Calcul de A Calcul de p em σ(t) et µ(h; T) t + t Pette vaaton Vaaton sgnfcatve Calcul de T Test su σ et µ Fn des téatons σ µ + ( Tmax ) σ ( Tmax ) σ ( T ) max + ( Tmax ) µ ( Tmax ) µ ( T ) max < ε < ε RESULTAT FINAL Fgue 60 : Ogangamme de la pocédue de couplage ente électomagnétsme et themque 86

97 3.4 Applcaton au pocédé sem-ndustel 3.4. APPLICATION AU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL Paamètes électomagnétques D un pont de vue du matéau, le module de calcul électomagnétque nécesste la connassance des conductvtés électques et des peméabltés magnétques elatves de la pèce et de l nducteu. L a est solant et non magnétque. Sa conductvté sea donc nulle et sa peméablté magnétque égale à celle du vde µ 0. L nducteu, consttué de cuve, est également non magnétque. Sa peméablté magnétque est alos également µ 0. Pou sa conductvté électque, nous chosssons de pende une valeu standad pou le cuve, sot Ω -.m -. Le cas de la pèce en ace est un peu plus complqué ca un ace fetque en dessous de la tempéatue de Cue (env. 750 C) est feomagnétque. Nous consdèeons dans une pemèe appoxmaton que l ace est amagnétque ce qu mplque une peméablté magnétque égale à µ 0 pou toute tempéatue. Une estmaton de l épasseu de peau monte qu elle est nettement supéeue à l épasseu de la tôle (appot d envon,5), ce qu sgnfe que l mpact de note hypothèse su la pofondeu de pénétaton du champ magnétque sea monde. Cette appoxmaton nfluencea pncpalement la talle de la zone affectée themquement duant les 3 pemèes secondes du chauffage (le temps d attende la tempéatue de Cue). Nous feons également l hypothèse que la tempéatue n nfluence pas la conductvté électque de l ace et pendons une valeu standad de Ω -.m -. Le Tableau 8 ésume les popétés matéau que nous avons utlsées dans le calcul électomagnétque. Conductvté électque A 0 Inducteu Ω -.m - Pèce Ω -.m - Peméablté magnétque µ 0 = 4π.0-7, H.m - Tableau 8 : Popétés matéau pou le calcul électomagnétque Le calcul électomagnétque nécesste également de connaîte cetanes popétés du pocédé. Il s agt de la féquence de la souce d almentaton de l nducteu (couant ou tenson) et de la valeu effcace de cette souce. Dans note cas, nous allons ente l énege foune à l nducteu va la valeu effcace de la densté de couant. Cette donnée d entée est alos consdéée comme un paamète numéque que nous avons calé pa analyse nvese en étudant la tempéatue en un pont de mesue los des expéences. Nous ne développeons pas c la pocédue utlsée mas le lecteu ntéessé peut se éfée à [CARDINAUX-007]. Cette méthode pemet de dmnue l nfluence de l hypothèse d un ace amagnétque. La féquence est donnée pa le généateu los des essas expémentaux. C est celle que nous entons dans le code, constante tout au long du pocédé : f = 9,5 khz. 87

98 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE Paamètes themophysques Le calcul themque est au cœu de la smulaton. En effet, c est la tempéatue qu génèe les tansfomatons de phases et son nhomogénété qu génèe la plastfcaton du matéau. Il est alos tès mpotant de caactése fnement les paamètes themo physques. Au CEMEF, comme à PSA Peugeot Ctoën, nous ne sommes pas équpés pou éalse de tels essas de caactésaton. Nous avons donc chos de fae appel à un ogansme extéeu pou ces caactésatons (CRITT METALL T de Nancy). Il a été demandé pa un cahe des chages [CARDINAUX-005] d effectue des essas de mesues pou les chaleus de tansfomaton de phase H (chapte 5), la chaleu spécfque Cp, la masse volumque ρ, la dffusvté themque, et la conductvté themque k de l ambante jusqu à 00 C. Ces mesues ont été effectuées à 3 epses pou véfcaton de la epoductblté. Nous détalleons dans ce paagaphe les modes opéatoes ms en place pou la mesue de ces dfféents paamètes ca une lage gamme de systèmes de mesue exste, qu en paallèle de cetanes dfféences de valeus théoques admses dans la lttéatue, dovent ête explquées. Nous pésenteons également les ésultats obtenus Calcul de la masse volumque La masse volumque est calculée à pat des valeus des coeffcents lnéques moyens de dlataton. Pou cela, on expme tout d abod la vaaton de volume de l échantllon pou une cetane vaaton de tempéatue : V = 3 α T V (05) On peut alos expme la masse volumque pa appot à sa valeu à l ambante pa la elaton suvante : ρ ( T ) = m V = ρ V ( T ) V + V + 3α T = ρ 0 (06) α est le coeffcent lnéque moyen de l échantllon pou la tempéatue T telle que T = T-T 0. La masse volumque est alos calculée à pat de sa valeu à l ambante dont le calcul admet une mage d eeu de 0,% à 0,6% pncpalement due à la mesue de la masse de l échantllon, à la fome qu est aement pafatement cylndque, et su le calcul des dmensons. La Fgue 6 epésente la moyenne calculée à pat des 3 échantllons avec les écats ente cette moyenne et les valeus mnmum et maxmum. Le changement de pente aux alentous de 800 C coespond au changement de phase de l état de écepton à l état austéntque. Les vtesses de chauffage des échantllons sont suffsamment lentes pou s assue que la tempéatue est homogène su tout l échantllon. 88

99 3.4 Applcaton au pocédé sem-ndustel densté volumque (kg.m -3 ) Tempéatue ( C) Fgue 6 : Masse volumque du HR45 en foncton de la tempéatue On dédut de ces valeus une foncton affne de l évoluton de la masse volumque en foncton de la tempéatue pou l état de écepton et pou l état austéntque : écepton : austénte: ( T ) ( T ) ρ ρ = 793,3 0,36 T = 83 0,4583T kg. m 3 (07). Le sège () qu eçot le ceuset (9) à pessuse. L étanchété est assuée pa le jont toque (6).. Le socle de la matce () su lequel se vsse le sège (). 3. Le cops de la matce (3) qu s adapte su le socle () compote les tubulues de mse sous vde et de mse sous pesson de l encente. 4. L écou moleté (4) éunt le socle () et le cops (3) de la matce. L étanchété à ce nveau est assuée pa le jont toque (7). 5. Le ponçon (5) coulsse gâce au jont toque (8) dans le cops de la matce. Fgue 6 : Pncpe de fonctonnement du dspostf de pessusaton des ceusets Mesue de la chaleu spécfque Cp pa méthode DSC Les méthodes de mesue de la capacté themque d un solde sont tès nombeuses. Dans note cas, c est la méthode DSC (de l anglas Dffeental Scannng Calomety) qu a été chose. Le système est composé d une cellule calométque sous pesson (Fgue 6) équpée de ceusets pote-échantllon et elée à son envonnement pa un fluxmète de telle sote que la tempéatue de l ensemble tend à se stablse dans le temps. Le sgnal tansms pa le fluxmète est popotonnel au débt de chaleu tansféée de la cellule de mesue à l extéeu. La capacté themque de la cellule est défne pa : 89

100 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE C p ( T ) w = T& (08) où la pussance massque w est popotonnelle au sgnal du fluxmète S(T) qu n est jamas éellement connue. Il faut alos mette en place une méthode de calbage pemettant de mesue le facteu de popotonnalté K(T) ente S(T) et w. Deux méthodes exstent : pa enthalpe ou pa balayage. La méthode pa enthalpe est utlsée. Elle consste à fae deux essas pa augmentaton de tempéatue étagée, dans des condtons dentques. Le peme est éalsé avec les deux ceusets vdes (essa blanc). Le second est éalsé avec un ceuset vde et l aute potant l échantllon. L énege fasant passe la cellule d un état à un état est alos calculée à taves l ntégale du sgnal su le themogamme ente ses deux états, en foncton du temps (Fgue 63). La dfféence ente les deux sgnaux peut alos ête convete en pussance themque et la valeu de Cp peut ête calculée pa : C moy p ( T T ) + T + S echant dt T + S blanc dt T T = (09) T + T + sensblté. mechant. ( T T + ) T et T + coespondent aux tempéatues de deux pales, sensblté est la sensblté de l appael, et S les sgnaux enegstés (Fgue 63). L ncettude admse est de 5% jusqu à 800 C et 0% au dessus (un aute appael est utlsé). La pncpale cause d eeu est la sensblté de l appael dont le système d enegstement du sgnal dot au mons avo une auss bonne sensblté que le calomète lu-même. Les pesées sont auss une souce d eeu. Fgue 63 : Pncpe de calcul de Cp pou deux chauffages étagés des ceusets à blanc et avec échantllon 90

101 3.4 Applcaton au pocédé sem-ndustel 00 Chaleu Spécfque (J.kg -. C - ) Tempéatue ( C) Fgue 64 : Chaleu spécfque du HR45 en foncton de la tempéatue La Fgue 64 pésente les ésultats avec moyenne et écats su les 3 essas éalsés. Le pc dont le maxmum se stue aux envons de 750 C coespond au changement de phase et à l enthalpe de tansfomaton. On chost de epésente la chaleu spécfque de l état de écepton pa une foncton affne et celle de l austénte pa une constante : à écepton : austénte: C C P P ( T ) = 47,6 + 0,46 T = 509,6 J. kg. C (0) Fgue 65 : Schéma d une nstallaton pou la méthode flash lase 9

102 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE Mesue de la dffusvté themque pa méthode «flash» Lase La méthode flash lase a été ntalement développée dans les années 60 pa Pake [PARKER-96]. Le pncpe est d excte une épouvette cylndque de fable épasseu su une face pé-sablée (pou mnmse les sques de éflexon) pa de pettes mpulsons lase dont le fasceau est pependculae à la face. On mesue la éponse de l échantllon su sa face aèe (Fgue 65). L échantllon est supposé homogène, sotope et opaque, et les popétés themo-physques locales sont supposées constantes pendant une mpulson lase, ben qu une légèe et bève élévaton de tempéatue appaasse. La moyenne des valeus elevées su les 3 échantllons ans que les écats supéeus et nféeus sont donnés en Fgue 66. Les pncpaux petubateus su les mesues coespondent aux petes themques ente le fou et l extéeu, et à la fote nfluence de l épasseu des épouvettes su les ésultats. On chost, comme pécédemment pou la chaleu spécfque, de epésente l évoluton de la dffusvté themque avec la tempéatue pa une dote à l état de écepton et une constante à l état austéntque : à écepton : austénte: a 6 8 ( T ) = 4,9.0,47.0 T a = 6,.0 6 m. s () 6 4 Dffusvvté (x0-6 m².s - ) Tempéatue ( C) Fgue 66 : Dffusvté themque du HR45 en foncton de la tempéatue Les mesues nous donnent l évoluton de la dffusvté themque avec la tempéatue, o la donnée d entée demandée pa le code de calcul est la conductvté themque. Nous calculons alos ce paamète en foncton de ceux que nous avons dentfés : k = ρ. C. P a () L évoluton de la conductvté themque sea alos défne pa un polynôme d ode 3 pou l état de écepton et une foncton affne pou l état austéntque. 9

103 3.4 Applcaton au pocédé sem-ndustel Mse en données des paamètes themophysques dans le code de calcul Nous savons que note smulaton fea nteven 3 phases métallugques : l état de écepton, l austénte et la bante. La bante sea pésente unquement dans la ZAT et unquement en fn de smulaton. Nous fasons l hypothèse que ces paamètes themophysques seont dentques à ceux de l état de écepton. A pat des appoxmatons polynomales qu ont été choses, nous entons les données ponts pa ponts dans le code de calcul qu fea des ntepolatons lnéaes ente ces ponts. La mse en données pou l état de écepton ans que pou la bante est donnée pa le Tableau 9, et la mse en données pou l état austéntque est donnée pa le Tableau 0. Tempéatue ( C) Masse volumque (kg.m -3 ) Chaleu Spécfque (J.kg -. C - ) Conductvté themque (W.m -. C - ) 0 793,3 47,6 50, , 468,9 49, ,0 50, 48, ,8 55,4 45, ,7 59,6 4, ,5 633,9 37, ,3 675, 3, , 76,4 5, ,0 757,7 8, ,9 798,9 0, Tableau 9 : Valeus des paamètes themophysques de l état de écepton et de la bante Tempéatue ( C) Masse volumque (kg.m -3 ) Chaleu Spécfque (J.kg -. C - ) Conductvté themque (W.m -. C - ) ,7 509,6 4, ,9 509,6 4, ,0 509,6 4, , 509,6 4, ,4 509,6 4, ,5 509,6 4, ,7 509,6 3, ,9 509,6 3, ,0 509,6 3, , 509,6 3,4 Tableau 0 : Valeus des paamètes themophysques de l état austéntque 93

104 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE Résultats de calcul Calcul électomagnétque Le calcul électomagnétque est lancé à pat d un mallage global des tos domanes a (54409 élements), nducteu (664 éléments) et pèce (84 éléments). Les nœuds et faces d éléments aux fontèes des domanes sont concodants. Les domanes sont défns pa un numéo attbué à chaque élément qu ponte su un jeu de popétés matéau. La pèce étudée compend plans de syméte mas un seul coespond également à l nducteu. La Fgue 67 pésente le modèle physque du calcul électomagnétque avec le plan de syméte ps en compte. Fgue 67 : Modèle électomagnétque composé de l nducteu et de la pèce et de l a (total de 8867 elts). Fgue 68 : A gauche, composante nomale du champs A dans une coupe est à m-longueu de la pèce ; A dote, la densté de pussance ndute pa effet Joules dans la pèce. 94

105 3.4 Applcaton au pocédé sem-ndustel La Fgue 68 monte la valeu nomale du potentel magnétque, su une secton au cente de la pèce (appelons que le vecteu A est colnéae et de valeu dectement popotonnelle au champ électque E : dans la pèce. A = jωσ E ), et la densté de pussance themque ndute pa effet Joule Calcul themque Le calcul themque pote, dans le cade de cette étude, unquement su la tôle emboute. Le plan de syméte utlsé pou le calcul électomagnétque est également pésent dans le calcul themque et le mallage de la pèce est le même que celu utlsé pou le calcul électomagnétque. Ans, aucun tansfet de valeus n est effectué. La Fgue 69 monte le champ de tempéatue à la fn du chauffage dans le cas des pèces plenes et des pèces avec un tou pecé. Fgue 69 : Champ de tempéatue en fn de chauffage des tôles emboutes plenes et avec tou. 95

106 SIMULATION THERMOELECTROMAGNETIQUE BIBLIOGRAPHIE [ALIAGA-000] - Alaga C., Smulaton numéque pa éléments fns 3D du compotement themomécanque au cous du tatement themque d aces : applcaton à la tempe de pèces fogées ou coulées, Thèse de doctoat, ENSMP, 000. [BARRERE-99] - Baee E., Contbuton à la modélsaton des contantes ésduelles los de la tempe supefcelle au déflé apès un chauffage pa nducton, Thèse de doctoat, ENSAM Bodeaux, 99. [BAY-003] - Bay F., Labbe V., Favennec Y. et al, "A numecal model fo nducton heatng pocesses couplng electomagnetsm and themomechancs", IJNME, vol. 58, p , 003. [BIRO-990] - Bo O., Pes K., "Fnte element analyss of 3-D eddy cuents", IEEE Tansactons on Magnetcs, vol. 6, n, p , 990. [BIRO-989] - Bo O., Pes K., "On the use of the magnetc vecto potental n the fnteelement analyss of thee-dmensonal eddy cuents", IEEE Tansactons on Magnetcs, vol. 5, n 4, p , 989. [BOSSAVIT-993] - Bossavt A., Electomagnétsme en vue de la modélsaton, Spnge- Velag, vol. 4, 993. [CARDINAUX-007] - Cadnaux D., Bay F., Vncent J. et al, "Coupled electomagnetc/themal pocesses: Usng a PID contol appoach n conjuncton wth a fnte element model", Poc. 3th Int. Symposum on appled Electomagnetcs and Mechancs, p. 6, 007. [CARDINAUX-005] - Cadnaux D., Féalle J., Demande de devs pou la caactésaton themo-physque et métallugque d'une tôle en HR45 d'épasseu mm, Cahe des chages de consultaton MXP_CEB05_088, PSA Peugeot Ctoën, 005. [CARPENTER-977] - Capente C.J., "Compason of altenatve fomulatons of 3- dmensonal magnetc-feld and eddy-cuent poblems at powe fequences", IEE Poc., vol. 4, n, p , 977. [CHABOUDEZ-994] - Chaboudez C., Clan S., Gladon R. et al, "Numecal modellng of nducton heatng of long wokpeces", IEEE Tansactons on Magnetcs, vol. 30, n 6, p , 994. [CHARI-98] - Cha M., Konad A., Palmo M. et al, "Thee-dmensonal vecto potental analyss fo machne feld poblems", IEEE Tansactons on Magnetcs, vol. 8, n, p , 98. [ELMKIES-996] - Elmkes A., Joly P., Eléments fns et condensaton de masse pou les équatons de Maxwell: le cas D, Rappot de echeche n 3035, INRIA, 996. [EMSON-983] - Emson C., Smkn J., "An optmal method fo 3-D eddy cuents", IEEE Tansactons on Magnetcs, vol. 9, n 6, p , 983. [ERN-005] - En A., Elements fns, Dunod,

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109 CHAPITRE 4 99

110 00

111 Chapte 4 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE 4.. Modélsaton du poblème mécanque Rappels su les tenseus de contantes et défomatons Expesson locale du poblème mécanque Equaton de l équlbe dynamque Equaton de compessblté Les condtons aux lmtes Mse en équaton du poblème mécanque Expesson globale et dscétsaton du poblème mécanque Fomulaton fable du poblème Dscétsaton éléments fns P+/P mn élément Lo héologque, compotement THEVP Equaton de Pandtl-Reuss, domanes élastque et nélastque Lo héologque (THEVP) 4... Les défomatons évesbles themo-élastques 4... Taux de défomatons nélastques non-évesbles Themo-élasto-vscoplastcté (THEVP) Résoluton numéque des équatons de Pandtl-Reuss Dscétsaton tempoelle Résoluton de la pate sphéque Résoluton de la pate dévatoque Calcul des modules tangents dscets Couplage themomécanque 4.4. Applcaton au pocédé sem-ndustel Mesue du coeffcent lnéque de dlataton Modules de Young et de Posson Résultats de calcul 4 Bblogaphe 6 0

112 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE 4.. MODELISATION DU PROBLEME MECANIQUE Dans ce paagaphe nous pésenteons les équatons du poblème mécanque et leu ésoluton numéque pa éléments fns telle qu elle est mplémentée dans le code Foge3. Apès un bef appel su les tenseus de contantes et défomatons, nous mettons en équaton le poblème global de mécanque tenant compte de nos hypothèses, pus nous exposeons la méthode de ésoluton expmée en vtesse/pesson. A l échelle macoscopque, on assmle la pèce à un mleu contnue et homogène occupant un domane Ω de fontèe Γ. Le modèle mathématque du poblème mécanque sea donc basé su l équaton de l équlbe dynamque dans les mleux contnus, l équaton de compessblté et le chagement mécanque mposé à la suface Γ de Ω Rappels su les tenseus de contantes et défomatons Rappelons tout d abod, que dans l hypothèse des pettes défomatons, on peut éce le tenseu des défomatons de Geen-Lagange sous une fome lnéasée, foncton du vecteu déplacement u : = u + T ε u (3) Le tenseu des taux de défomaton est défn en foncton du vecteu vtesse : v T & ε = + v T( ε& ) = v (4) On défnt deux scalaes epésentant l état de défomaton, la vtesse de défomaton généalsée et la défomaton équvalente : & ε = ε & : ε& (5) 3 t = ε & ε dt (6) 0 Pécsons que dans la sute nous noteons ε & et ε la vtesse de défomaton nélastque généalsée et la défomaton nélastque équvalente. On peut expme les tenseus sous une fome de somme d une pate sphéque (dépendante de la tace du tenseu) et d une pate dévatoque. Le tenseu des contantes de Cauchy est alos expmé pa la somme du csallement (pate dévatoque s) et de la pesson (pate sphéque p). σ = s + T( σ) I avec p = - T( σ) (7) 3 3 Le tenseu des défomatons lnéasé est expmé pa la somme des défomatons nélastques (pate dévatoque e) et des défomatons évesbles (pate sphéque). 0

113 4. Modélsaton du poblème mécanque ε = e + T( ε) (8) 3 La contante de Von Mses pemet, dans le cade de l élasto-plastcté, d expme le csallement à l ade d une vaable scalae. La contante équvalente s expme sous la fome : 3 σ eq = s : s (9) 4... Expesson locale du poblème mécanque 4... Equaton de l équlbe dynamque Dans une descpton Lagangenne, on éct l équaton de consevaton de la quantté de mouvement comme c-dessous : v σ + F V = ρ (0) t Consdéons une pèce de hauteu h en ace que nous allons tate themquement. Sot sa densté volumque de kg.m -3 et une contante d écoulement σ 0, supéeue à la contante seul σ 00, de 400 MPa. Pou une accéléaton de la pesanteu g d envon 0m.s - et pou que les foces volumques de gavté qu ne soent que de l ode de % des effots de la plastcté, la pèce dot ête suffsamment massve pou avo une hauteu h de 50m (). L hypothèse que les foces volumques de gavté sont néglgeables pou la smulaton du tatement themque est alos justfée. ρ gh 0.0σ 0 % h σ ρ g 0 50m () De la même manèe on peut monte que les foces d nete sont néglgeables pusqu l faudat des vtesses de déplacement de l ode de 0 m.s - pou attende % des contantes en jeu et 70 m.s - pou attende 0% des contantes en jeu. Ces deux hypothèses evennent à de qu au cous du pocédé de tatement themque, les contantes mécanques ne sont dues qu au mantent de la pèce pa le système de bdage (les outls). L équaton de l équlbe dynamque s expme alos unquement à taves la dvegence du tenseu des contantes de Cauchy : σ = 0 () Ben que le logcel Foge3 pemette la pse en compte des temes de gavté et d nete, au vu des constatatons pécédentes, nous ne tateons pas c de leu ésoluton Equaton de compessblté D apès la défnton du tenseu des taux de défomaton (4) nous écvons : 03

114 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE v T (3) ( ε& ) = 0 L hypothèse d ncompessblté ( v = 0) est souvent admse pou le cas de la foge à chaud où les matéaux sont consdéés vscoplastque. Pou le tatement themque, la pat de l élastcté et de la dlataton themque ne peut ête néglgée dans le compotement du matéau. Le matéau sea alos compessble et son compotement deva véfe l équaton (3) Les condtons aux lmtes Afn que le poblème fomé des équatons défnes dans Ω (() et (3)) sot coectement posé, nous devons ntodue les équatons elatves aux condtons aux lmtes su la fontèe Γ. Ces condtons peuvent ête de deux types : la suface est lbe ou est en contact avec un outl (système de bdage de la pèce). Soent Γ 0 la suface lbe et Γ la suface en contact avec un outl (Γ 0 U Γ = Γ). Su la suface lbe Γ 0, la pèce n est soumse à aucun effot extéeu, ce qu se tadut pa : σ n = 0 (4) Su la suface Γ en contact avec un outl, on dstngue deux types de condtons : une condton de contact qu expme la non pénétaton des nœuds dans l outl (condton de Sgnon) (5), et une condton de fottement qu expme l effot tangentel de csson du fottement (6). Les condtons de Sgnon expment le fat que :. la pèce et l outl en contact ne peuvent que s élogne ou este en contact,. l effot généé su la suface de la pèce ne peut qu ête de compesson ou nul, 3. sot on a contact, sot la suface est lbe d effots. ( v voutl ) n 0 σ n n 0 [ ( v voutl ) n]( σn n) = 0 (5) c = σ n ( σn n)n (6) Dans note cas, le système de bdage est conçu de manèe à mnmse les effots de fottement et pemette le glssement de la pèce su les outls, notamment pou la dlataton de la pèce su l axe Z (decton de la plus gande dmenson de la pèce). Nous ne pésenteons donc pas les dfféentes los de fottement et consdéeons un effot de csson nul. Les effots de contact su la suface Γ ne pouont donc qu ête nomaux et les outls de bdage étant fxes, la vtesse des outls est nulle. Les condtons de Sgnon se smplfent alos et se éexpment pa le système (7). v n 0 σ n n 0 (7) ( v n)( σn n) = 0 04

115 4. Modélsaton du poblème mécanque Mse en équaton du poblème mécanque En tenant compte des hypothèses énoncées pécédemment, le poblème mécanque s expme pa le système suvant : σ = 0 su Ω v T( ε& ) = 0 su Γ0 { σn = 0 (8) v n 0 su Γ σn 0 ( v n)( σn) = Expesson globale et dscétsaton du poblème mécanque Fomulaton fable du poblème Les vtesses évoluent dans l espace des vtesses cnématquement admssbles V, les pessons dans l espace P et les fonctons test dans l espace des vtesses cnématquement admssbles à 0 V 0 et l espace des pesson P tel que : 3 V = { v H ( Ω) / v n 0 su Γ } 3 V = v H Ω / v n = 0 su Γ (9) 0 P = { ( ) } p L ( Ω) = L Ω { } ( ) On ntège les équatons d équlbe et d ncompessblté dans le domane et on multple pa les fonctons test : * * * ( σ ) v = 0 et v p T( ε& ) p = 0 (30) Ω Ω Ω Ce qu nous donne apès ntégaton pa pate de la pemèe égalté et utlsaton de la fomule d Ostogadsk : σ : v * σv * = σ : ε& * v * σn = 0 Ω Ω v p * Ω Ω T ( ) ( ) Ω ( ε& ) p * = 0 Γ (3) Les outls de bdage étant fxes et ndéfomables nous pouvons avo un effot su Γ, unquement s nous sommes dans l espace des vtesses cnématquement admssbles à 0. L ntégale su la fontèe est donc nulle. Réécvons alos le système en sépaant les pates sphéque et dévatoque : Ω Ω s : ε& * Ω v p * pt Ω ( ε& *) T = 0 ( ε& ) p * = 0 (3) 05

116 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE Dscétsaton éléments fns P+/P mn élément On ntodut une tangulaton Π h de l espace Ω h qu est une appoxmaton dscète du domane de calcul contnu Ω : Ω h = Uh h ω Π h ω (33) On défnt φ et ϕ les fonctons de base qu dscétsent la vtesse et la pesson dans les appoxmatons V h et P h de V et de P. On cheche dans ces espaces la soluton dscète du poblème (v h ; p h ). Les appoxmatons des espace V et P dovent véfe la condton de compatblté de Bezz-Babuska. L élément fn mxte compatble de plus pett degé d ntepolaton est l élément P+/P. La lttéatue su ces éléments est abondante, nommons pa exemple [ARNOLD-984] pou les applcatons D, [COUPEZ-994] pou les applcatons 3D et [BOUSSETTA-005] pou le emallage. Pou une dscétsaton tdmensonnelle en tétaèdes, cette dscétsaton consste à expme la pesson lnéae su les tétaèdes, et la vtesse comme la somme d une pate lnéae su les tétaèdes et d une pate lnéae su les 4 sous tétaèdes fomés pa les sommets et le cente de gavté des éléments (pate bulle ou mn élément). Sot pou un tétaède Ω elt, ω k avec k= à 4, les 4 sous tétaèdes ayant pou sommet le nœud cental. La Fgue 70 pésente schématquement cet élément fn. ζ ζ η 5 b 3 η ξ Pesson ξ Vtesse Fgue 70 : Elément tétaédque P+/P de éféence pou la vtesse et la pesson La vtesse et la pesson ayant le même degé d ntepolaton, les fonctons de base de la dscétsaton φ et ϕ sont la même, ϕ l que nous appelleons foncton de base lnéae. Nous devons auss défn la foncton de base bulle ϕ b qu vaut su le nœud 5 et 0 su les faces de l élément pncpal (Fgue 70). Elle est défne pa moceau su chaque sous élément et contnue su l élément (notons néanmons que son gadent est dscontnu) : su le tétaède su le tétaède su le tétaède su le tétaède (,3,4,5) : b ϕ = 4ξ (,3,,5) : b ϕ = 4η (,,3,5) : b ϕ = 4ζ (,4,3,5) : b ϕ = 4( ξ η ζ ) (34) 06

117 4. Modélsaton du poblème mécanque 07 Défnssons alos espaces d appoxmaton : ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } h h h h h h h k h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h B L V B L V k P v v C v B P v n v C v L P v n v C v L P p C p P = = = Γ = Π Ω = Π = Ω = Π Ω = Π Ω = ,,3,4, et 0 su, /, / 0 ;, / 0 ;, / ω ω ω ω ω ω ω ω (35) Les champs de vtesse et de pesson dscets s écvent en foncton des fonctons d ntepolaton : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = noeud elements noeud x p x p x v x v x v x v x v l n l n h b n b n l n l n b l h ϕ ϕ ϕ (36) Le poblème dscet s éct alos en foncton des vaables dscètes dépendantes en coodonnée : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 * * * 0 * * : * : 0 * * : * : ; * ; * que tel ; Touve 0 = + = + = + + = Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω h h b h l b h b b h b l h l h l b h l l h h h h h h b l h p T p v p v T p v v T p v v P V p v p v v v ε ε ε s ε s ε ε s ε s & & & & & & & (37) Remaquons que nous n avons pas de teme d effots de contacts sute à nos hypothèses mas s l y en avat un, ce teme seat pésent dans la pemèe égalté du poblème et s annuleat dans la deuxème pa le fat que le teme bulle est nul su les faces de chaque élément (donc su la fontèe du domane). Les popétés du teme bulle pemettent encoe de smplfe le système (37). En effet, le teme bulle étant nul su les faces de l élément, on peut monte que son gadent s annule su un élément et pa conséquent que le champ bulle est othogonal à tout tenseu constant su l élément [JAOUEN-999]. Le champ bulle est alos othogonal au champ lnéae : : = 0 Ω e dv v v l b (38) En écvant le système (37) au nveau de l élément, la popété (38) du champ bulle pemet de smplfe le système d équaton en annulant les temes ( ) Ω elt b l h v * : ε s & et ( ) Ω elt l b h v * : ε s &. Le système local à ésoude su chaque élément s éct alos :

118 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE avec A A A ll bb lp = = = Ωelt Ωelt s Ωelt s hl hb v : ε& * l l : ε& * A A b 0 p * ll lp h ; h l b h h h h h ( v = v + v ; p ) tel que ( v * ; p * ) ( V ; P ) Touve A + A ; ; A bb bp pl A + A + A + A pb A = bp Ωelt = = pl pb pp = 0 = 0 = 0 Ωelt p Ωelt h p T h v l ( ε& * ) T b ( ε& * ) b p * h ; A pp = Ωelt T ( ε& ) p * h (39) Le système d équatons non lnéaes c-dessus est ésolu apès assemblage pa une méthode téatve de type Newton-Raphson. La matce de adeu est assemblée à pat des matces locales de la fome : ( x; y) ( l; p) xy Κ xy A e = avec l b h u u ( v ; v ; p ) (40) Ce qu donne à chaque téaton de Newton-Raphson le système lnéae à ésoude : ll pl l l Κ e 0 Κ e v R bb pb b b 0 Κ e Κ e v = R T pl T pb pp h p Κ e Κ e Κ e p R (4) Le vecteu cheché est le vecteu des coectons ente chaque téaton de Newton-Raphson. A l téaton n+, on actualse les paamètes pa : l l l v v v b b b v = v + v (4) h h h p p p n+ n En écvant la deuxème lgne du système (4), on peut éce le coecteu de vtesse bulle d un élément pa appot au champ de pesson dans le même élément, ce qu nous pemet de le emplace dans la tosème lgne et ans édue le système. On fat ans dspaaîte le teme bulle de la ésoluton ben que ben que sa contbuton este pésente de manèe sousjacente pa l ntemédae de sa adeu K e bb compse dans la matce de condensaton locale de la bulle C e : Κ T Κ ll e pl e Κ Κ pp e pl e C e v p l h R = R l pb avec C R e pb = T Κ = R p pb e + bb pb ( Κ e ) Κ e T pb bb Κ ( Κ ) e e R b (43) 08

119 4. Modélsaton du poblème mécanque 09 S on éct les valeus des tenseus symétques sous fome de vecteus à 6 composantes, les modules tangents dévatoques seont des matces 6x6. Soent N l et N b les vecteus fomés pa les fonctons de fome ϕ l et ϕ b de l élément, et E l et E b l assemblage des matces des dévées spatales des fonctons de fome. { } { } [ ] élément numéo du noeud dans l',4, ,,,,,,,,, = = = = = K & & & & n E I N x l n z l n y l n z l n x l n y l n z l n y l n x l n nn l l n n l ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ε ε ε ε ϕ Les matces de adeu locales s écvent alos : ( ) Ω Ω Ω Ω Ω Ω = Ω = Ω = Ω = Ω = elt elt elt elt elt elt l b T pb e elt l l T pl e elt l l T pp e elt b b T bb e elt l l T ll e d N I d N I d N N p T d d E Κ E Κ ε Κ E ε s E Κ E ε s E Κ ; ; & & & (44) Pou ésoude le poblème mécanque l est alos nécessae de connaîte la dévée du dévateu des contantes pa appot au taux de défomatons à chaque pont d ntégaton. Cette dévée est un tenseu d ode 4 qu on appellea module tangent dévatoque local. Nous devons auss connaîte l expesson de la tace des taux de défomatons compessbles pa appot à la pesson. Cette dévée est un scalae qu on appellea module tangent sphéque local. Ces elatons nous sont données pa la héologe du matéau. Il nous faut alos établ une lo de compotement epésentant au meux le compotement du matéau dans le pocédé, la ésoude et en dédue les modules tangents locaux : ( ) p T ε ε s & & sphéque: ; ue: dévatoq (45)

120 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE 4.. LOI RHEOLOGIQUE, COMPORTEMENT THEVP Contaement à la mse en fome, le tatement themque este généalement dans un domane de pettes défomatons, dépassant de peu le domane élastque. De plus, la gamme des tempéatues couvetes pa un tel pocédé est tès mpotante et la héologe du matéau en sea fotement nfluencée. Enfn, l nous faut chos une lo de compotement pemettant de epésente la héologe du matéau vsqueux à haute tempéatue comme élasto-plastque à fod, voe avec etou élastque pou la fn du tatement. Une lo themo-élastovscoplastque (THEVP) paat alos la meux appopée Equaton de Pandtl-Reuss, domanes élastque et nélastque Dans l hypothèse des pettes défomatons, on peut éce le tenseu des défomatons comme une somme de tenseus ndépendants. Nous pouvons alos éce le tenseu des défomatons mécanques comme la somme d une facton élastques évesble et d une facton nélastques évesble. Applquons ce pncpe aux taux de défomaton pou éce l équaton de Pandtl-Reuss : ε & = ε& + ε& (46) méca el nel Dans le epèe des contantes pncpales (σ I ; σ II ; σ III ), Von Mses défnt un cylnde ayant pou axe la tsectce du epèe et pou ayon R=σ 0. Nous consdéeons c un écoussage puement sotope ce qu mplque qu l ne poua qu augmente le ayon du cylnde et pas déplace son axe. Un tout pont du matéau, l état de contante se touvea sot à l ntéeu du cylnde (domane élastque), sot su sa suface (domane élasto-plastque). Dans le cas d un compotement élasto-vscoplastque l état de contante peut momentanément sot du domane délmté pa le cylnde. Sot f la foncton défnssant la suface du cylnde dans le epèe, appelée suface de chage : f = ( σ I σ II ) + ( σ II σ III ) + ( σ I σ III ) f ( σ; R) < 0 f ( σ; R) = 0 σ domane élastque 0 domane élastoplastque (47) En éécvant f dans un epèe quelconque et en utlsant la décomposton en pate sphéque et dévatoque (7), on obtent : ( s; R) = 3s : s σ f (48) 0 En utlsant la défnton des contantes équvalentes (9), on peut dédue le ctèe de plastcté : σ eq σ 0 0 σ σ eq eq σ < 0 0 σ = 0 0 compotement élastque ( ε& = 0) nel compotement élastoplastque (49) 0

121 4... Lo héologque (THEVP) 4. Lo héologque, compotement THEVP En utlsant l addtvté des taux de défomaton (46), on peut éce le tenseu des taux de défomaton themomécanques comme la sommes des défomatons themques et mécanques : ε & = ε& + ε& + ε& (50) tm th el nel 4... Les défomatons évesbles themo-élastques Les défomatons themques comme les défomatons élastques épondent à un compotement lnéae évesble. Les défomatons themques s écvent : ε th = αt (5) α est le tenseu dagonal (d ode ) des coeffcents de dlataton themque. En néglgeant l évoluton des coeffcents de dlataton devant l évoluton de tempéatue et en consdéant un matéau sotope, on éce : ε & = αt& I et T( ε& ) = 3αT& (5) th th Le compotement mécanque élastcque s expme pa la lo de Hooke (53) ou le tenseu D est foncton du module de Young et du module de Posson, tous les deux themodépendants. Dans le cade d un matéau ansotope, D seat un tenseu d ode 4 et s expmeat en foncton des dfféents modules de Young et Posson selon leus dectons. ( ) el σ = D T : ε (53) Dans le cade d un matéau sotope, le tenseu D d ode est défn pa les coeffcents de Lamé µ et λ tel que : E µ = ( + υ) σ = µ ε el + λ T( ε el ) I avec (54) Eυ λ = ( + υ)( υ ) La fome nvese de la lo de Hooke s éct : ε el + υ υ = D σ = σ T E E ( σ)i (55) Pa dévaton du tenseu des contantes, on obtent le compotement themo-élastque couplé : & D σ& = D : ε& el + T D : σ 443 T couplage themque (56)

122 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE On en dédut alos les pates sphéques et dévatoques de la dévée des contantes : µ s & = µ e& + T& el s µ T µ + 3λ avec χ = χ 3 p& = χ T( ε& el ) T& p χ T (57) σ Contante vsqueuse σ vp Ecoussage pa la défomaton σ p Seul ntal σ 00 ε nel Fgue 7 : Schématsaton unaxale de la patton des contantes dans l appoche pa un modèle addtf 4... Taux de défomatons nélastques non-évesbles Les défomatons nélastque compennent des défomatons ndépendantes du temps (défomatons plastque) et des défomaton vscoplastques. Il exste deux appoches pou ende compte des vtesses de défomatons nélastques. Une pemèe (une extenson de l hypothèse d addtvté des défomatons) epésente la défomaton nélastques pa une somme d une défomaton plastque et d une défomaton vsqueuse. Nous ne dscuteons pas dans ce paagaphe cette appoche mas le lecteu peut se epote aux ouvages de éféence [DELOBELLE-984 ; INOUE-997 ; LEMAÎTRE-988]. La seconde appoche, appelée modèle unfé, epésente la défomaton nélastque unquement pa une défomaton vscoplastque qu nclut la plastcté classque et le fluage. Cette appoche epose su le fat que les défomatons ont pou ogne commune la popagaton des mouvements de dslocaton. Losque la tempéatue est élevée, la popagaton est themquement actvée alos qu à basse tempéatue, seul l effet des contantes ntenes pemet le fanchssement des obstacles. Ces modèles pemettent de tate les poblèmes su une lage plage de tempéatue avec la dégénéescence d un modèle de fluage à haute tempéatue à un modèle élastoplastque à basse tempéatue. [COLONNA-99a] et [ALIAGA-000] chosssent d utlse cette appoche en défnssant un écoulement où l écoussage pa la défomaton et la contante vsqueuse sont défns de manèe addtve (58). Il est auss possble d envsage un écoulement où l écoussage pa la défomaton est contenu dans la contante vsqueuse (lo multplcatve) (59). Dans ce cas, cependant, nous ne pouvons tate coectement les tanstons de compotement avec un domane élastque évolutf. La Fgue 7 pésente une schématsaton dans un cas unaxal de la patton des contantes pa l appoche d un modèle addtf. σ ( T ) + σ p ( ε, T ) + σ vp (&, T ) ( T ) + σ ( ε, T ) σ (& T ) = (58) 0 σ 00 ε σ = (59) 0 σ 00 p vp ε,

123 4. Lo héologque, compotement THEVP Ben que nous chosssons de epésente les contantes pa un modèle addtf, la défomaton nélastque est unfée, ce qu sgnfe que les phénomènes dsspatfs sont décts à pat d une seule vaable ntene tadusant l état d écoussage du matéau. La themodynamque postule l exstence d un potentel mécanque de dsspaton Ω tel que : Ω ε& nel = ε& vp = (60) σ Pou en savo plus su l aspect themodynamque de la méthode, le lecteu est nvté à se éfée à [GERMAIN-983]. Dans le cas du tatement themque, [ALIAGA-000] et [COLONNA-99a] chosssent d utlse le potentel de dsspaton suvant : K Ω = m T ( T ) m( T ) ( ) + σ eq K R( ε, T ) ( T ) m( T ) + m( T ) (6) R est la foncton d écoussage. A pat de la défnton (60), on déve Ω selon la ègle de nomalté pou obten le tenseu des vtesses de défomaton vscoplastque : ε& vp Ω 3 Ω = = σ σ ε& vp 3 = σ eq eq s σ eq σ eq K m R s (6) Deux stuatons sont alos possbles selon que la contante équvalente sot supéeue ou nféeue à la foncton d écoussage : s s σ σ eq eq R R ( ε ) < 0 alos ε& vp = 0 σ R K compotement élastque eq ( ε ) 0 alos ε& = élasto - vscoplastque vp m (63) On econnaît c le ctèe de plastcté défnt pa Von Mses (49) ou la foncton d écoussage devent le ayon du domane élastque. Néanmons, dans le cas vscoplastque, nous pouvons avo un état de contante qu sot de la suface de chage (f postf). Défnssons le taux de défomaton généalsé et la défomaton équvalente pa : & ε = ε t = 0 ε& 3 & εdt vp : ε& vp Ω = σ eq = σ eq K R m (64) On en dédut alos, en pésence d une contante vscoplastque, l expesson (65) de la contante équvalente sous une fome addtve comme envsagée en (58). S nous défnssons l écoussage ésultant des défomatons plastques comme une foncton pussance 3

124 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE de la défomaton équvalente, on obtent la elaton (66). La elaton (66) est la lo de compotement que nous utlseons pou modélse le tatement themque. & σ (65) m σ eq = R + Kε avec R = σ 00 + σ σ ε & ε p n m eq = 00 + H + K (66) H est le module d écoussage et n le coeffcent d écoussage. Les paamètes héologques σ 00, H, n, K et m themodépendants pemettent la dégénéescence du compotement vscoplastque à chaud, au compotement élasto-plastque à fod. Les deux stuatons possbles énoncées en (63) pemettent de sépae le domane élastque du domane des défomatons évesbles. Consdéons nous dans le domane nélastque et éécvons la elaton (6) à l ade de la elaton (64) : ε& vp 3 = & ε s (67) σ eq On peut alos défn un multplcateu vscoplastque tel que : & & ε vp λ & 3 ε & = s avec λ = (68) σ eq Themo-élasto-vscoplastcté (THEVP) En tenant compte de l ncompessblté de la vscoplastcté et du caactèe élastque du taux de défomatons themques (pas de pate dévatoque), on éct : T e& el ( ε& ) = T( ε& ) T( ε& ) el = e& tm + e& th tm th (69) La lo de compotement se ésume au système d équatons de Pandtl-Reuss qu s expme : ( a) s& = µ ( e& & λs) ( b) ( c) & λ = 3 & ε σ tm eq s : s σ 3 eq = 0 ( d ) p& = χ T( ε& ) + T& µ s µ T χ [ 3αT& ] T& p tm χ T (70) Résoluton numéque des équatons de Pandtl-Reuss Nous avons vu au paagaphe que la ésoluton du poblème mécanque demande la connassance des modules tangents. Les modules tangents contnus peuvvent ête dédut de (70)(a) et (d), mas [SIMO-985] a ms en évdence l mpotance d utlse des modules 4

125 4. Lo héologque, compotement THEVP tangents locaux cohéent avec le schéma d ntégaton en temps afn de faclte la convegence des téatons de Newton-Raphson (notamment dans le cas de gands pas de temps). On calculea alos des modules tangents dscets cohéents avec un schéma d ntégaton chos Dscétsaton tempoelle Nous nous ntéessons donc dans ce paagaphe à la ésoluton du système (70) à l ade d un schéma d ntégaton en temps. Il exste pluseus méthodes comme Runge-Kutta, Eule ou pont mleu généalsé. La méthode du pont mleu généalsé (ou θ-méthode) pemet de chos ente dfféents pédcteus du dévateu des contantes : tangent-etou adal, nomale moyenne, élastque-etou adal. Chstane Gay [GAY-995] pésente succnctement ces dfféentes méthodes et chos un schéma d Eule mplcte (θ-méthode avec θ = ), chosssant ans un estmateu élastque à etou adal (Fgue 7). Ce schéma pésente les avantages d ête ncondtonnellement stable et d avo un module tangent dscet cohéent et symétque (ce qu n est pas le cas du module tangent contnu). II s p + s s + R + s p + estmée élastque s + pojecton suvant la decton de s p (etou adal) R foncton d écoussage, ayon du domane élastque III R I Fgue 7 : Intepétaton gaphque de la méthode du pédcteu élastque-etou adal dans l espace des dévateus pncpaux Les vaables dscétsées se pésente alos comme cec : s ε + x + + p + = s = ε = x = + t s& + t ε& + t v p + t p& + (7) Los d un ncément de temps, on effectue les téatons de Newton-Raphson (43) dans lesquelles on consdèe les contantes et défomatons de l nstant +. A chaque téaton de Newton-Raphson, on ésout les équatons de Pandtl-Reuss en consdéant v + connu. On penda pou valeu de v + la valeu v + v soluton de l téaton pécédente de Newton- Raphson. On consdèe les vtesses constantes pendant un ncément t. En consdéant les themes de couplage themque en début d ncément (couplage fable), le système dés équatons de Pandtl-Reuss s éct (pou smplfe l éctue, nous notons e& le dévateu des taux de défomaton themomécanque) : 5

126 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eq eq p t T T t p p d c t b t t a = = = + = χ χ χ α χ ε σ ε σ ε ε λ µ µ µ λ µ : 3 & & & & & ε s s s s e s s (7) Résoluton de la pate sphéque Avec l équaton (7)(d), on obtent l équaton : ( ) [ ] p T T t p χ χ α χ = & &ε (73) Résoluton de la pate dévatoque Penons mantenant les équatons (7)(a) et (7)(c) pou obten le système suvant : ( ) ( ) ( ) 0 3 : = + = eq b t t a σ µ µ µ λ µ s s s e s & & (74) Pou smplfe la notaton, eq σ est noté sans ndce d ncément de temps. Remaquons que dans le cas élastque ( 0 = λ & ), équaton (74) fat appaaîte une expesson de s + que nous appèleons estmateu élastque et noteons p + s (Fgue 7) = p te s s & µ µ µ (75) Défnssons l estmateu B 0 suvant : p p B 0 : = s s (76) Nous allons mantenant ésoude le système d équatons (74). La méthode la plus épandue est d njecte (a) dans (b), ce qu donne, en utlsant l éctue de l estmateu B 0, l équaton scalae suvante : ( ) ( ) 0 0 = + = B t F eq σ λ µ λ & & (77)

127 4. Lo héologque, compotement THEVP Comme nous avons mposé le taux de défomaton plastque constant los d un ncément de temps, nous pouvons éce : ε = t & ε (78) Notons également que la contante équvalente, ben que notée sans l ndce +, dépend de ε + et peut donc ête expmé en foncton de ε et ε connu. Cela nous donne, en utlsant la défnton du multplcateu plastque (7)(b) dans la foncton (77) : ( ε ) = σ ( ε ) B + 3µ ε 0 F eq (79) 0 = Applquons à la foncton F défne c-dessus, le ctèe de plastcté énoncé en (63). S nous p sommes dans le domane élastque, alos le pédcteu élastque s + est soluton du dévateu des contantes à l ncément +. S nous sommes dans le domane vscoplastque, alos l ncément de défomaton vscoplastque ε, soluton de l équaton (79), nous donnea le dévateu des contantes à l ncément +. s s σ σ eq eq µ + < 0 alos s + = s + µ + te& + µ ( ε ) R( ε ) ( ε ) R( ε ) 0 alos F( ε ) = 0 (80) Afn de démonte l exstence et l uncté d une acne de la foncton F, l sufft d étude la foncton et sa dévée. Cette étude est détallée dans les tavaux de thèse de Fanços Colonna [COLONNA-99a] et Jean-Jacques Bost [BRIOIST-995]. Cette étude nous amène auss à chos comme méthode pou touve les acnes de F, la une méthode de Newton. Néanmons, cet algothme téatf seul peut amene à touve des solutons ε n+ négatves (Fgue 73). Dans ce cas, [BRIOIST-995] monte que la soluton ε n / est plus poche de la ε n acne que. Il est alos nécessae de développe une méthode mxte Newton / dchotome. F( ε) ε n+ ε n ε acne Fgue 73 : Résoluton pa la méthode de Newton, dffculté lée aux valeus négatves 7

128 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE Un dagamme schématsant la méthode de ésoluton est epésenté Fgue 74. En entée de l algothme nous avons la valeu des vaables s, ε et & ε à l nstant t, et un champ de vtesses poposé pou l nstant t+ t (champ duquel on dédut le dévateu des taux de défomaton e& + ). En sote du dagamme, nous connassons les valeus des vaables s +, ε + et & ε + épondants aux équatons de Pandtl-Reuss pou le champ de vtesse poposé Calcul des modules tangents dscets Rappelons que pou la ésoluton de l équaton de Newton-Raphson (43), l est nécessae de connaîte deux dfféentelles que nous avons appelé modules tangents. En cohéence avec le schéma d ntégaton chos, nous chechons les valeus des modules tangents dscets sphéque et dévatoque : s dévatoque: ε& + + ; T ε sphéque: p (& ) tm + + (8) Calcul du module tangent sphéque : Nous dédusons des équatons de Pandtl-Reuss dscétsées (7), l expesson de la tace des taux de défomaton : p p χ χ T ε (8) + + (& tm ) = αt& χ + t χ + χ t Le module tangent sphéque s éct alos : T ( ε& ) p tm + + = χ + t (83) Calcul du module tangent dévatoque : Afn d allége l éctue, nous mettons momentanément les ndces + de côté. Les ndces, j, k et l epésentent les ndces de lgne et de colonne des tenseus. Dfféentons la elaton (74)(a) : s ε j kl µ t e& j = + µ t & λ & ε kl & λ s & ε kl j avec e& & ε j kl = = (& ε & ε δ ) j 3 & ε kl = ( δ δ + δ δ ) ( δ δ + δ δ ) tenseu unté d'ode 4 k jl l j jk j k jl l jk 3 δ δ j kl = 3 I I (84) Afn d ête cohéent avec la ésoluton ncémentale, on emplace le multplcateu plastque pa sa valeu ntodute dans (77) : s ε j kl σ eq σ & eq λ = µ t ( ) 3 I I µ t sj (85) B B & ε 0 0 kl 8

129 4. Lo héologque, compotement THEVP Fgue 74 : Dagamme de ésoluton des équatons de Pandtl-Reuss 9

130 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE 0 Nous ne développeons pas c le calcul de ε kl λ & &. Pou les détals, le lecteu poua se éfée à [SIMO-985]. Apès calcul, on obtent : kl eq eq eq kl s B B + + = σ ε σ µ σ ε λ & & (86) Ce qu nous donne, apès énseton des ndces de temps : ( ) ( ) + + = B t B t eq eq eq eq σ ε σ µ ε σ µ σ µ s s I I ε s & (87)

131 4.3 Couplage themomécanque 4.3. COUPLAGE THERMOMECANIQUE Nous avons ms en place, pa une lo héologque THEVP, l nfluence de la tempéatue su le compotement mécanque consdéant des temes de couplage. Afn de consdée un couplage complet, l faut auss pende en compte l effet de la mécanque su le champ de tempéatue. Nous allons alos consdée la chaleu dsspée pa le taval mécanque : W & = σ : ε& (88) meca La pussance mécanque est ans calculée à chaque pont d ntégaton de la dscétsaton themque et ajoutée à la pussance dsspée pa effet Joule dans le second membe de l équaton de la chaleu (vo chapte 3) : k h { Q} = W ϕ ( x ) 4 & h h φk φ (89) k = Ω elt elt h k em b φ + W& meca k elt 6 k = Ω La ésoluton numéque couplée du poblème themomécanque a été le sujet de nombeux tavaux au Cemef. Ctons pa exemple [JAOUEN-999] dans le cade de la fondee pou le logcel Thecast, [SOYRIS-990] dans le cade de la foge pou le logcel Foge3, et [COLONNA-99b] dans le cade du tatement themque pou le logcel RefPof. Leus chox se sont potés su un algothme ésoluton pa bloc plutôt qu une ésoluton globale en un seul système matcel augmentant fotement la talle des matces et décondtonnant la matce de adeu [ALIAGA-000]. De plus, dans le cade du tatement themque (couplage avec la métalluge), [HABRAKEN-998] a monté que la ésoluton globe état tès nstable. Le poblème couplé est alos sépaé en deux poblèmes, un poblème mécanque à tempéatue constante et un poblème themque à vtesse/pesson constante. Le calcul est éalsé de manèe altenée pa ncément, utlsant le même pas de temps pou les deux poblèmes. La themque est alos calculée avec un ncément de etad pa appot à la vtesse/pesson. L algothme de ésoluton est pésenté Fgue 75.

132 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE INITIALISATION RESOLUTION LOCALE DE LA RHEOLOGIES t + t tn+ < tn n = n+ Résoluton des équatons de Pandtl-Reuss pa téatons de Newton et dchotome : calcul de σ en foncton de ε CALCUL DES MODULES TANGENTS RESOLUTION GLOBALE DE L EQUILIBRE MECANIQUE Résoluton du système lnéae de Newton-Raphson : détemnaton de ε Convegence? Test su t RESOLUTION LOCALE DE LA RHEOLOGIES Résoluton des équatons de Pandtl-Reuss pa téatons de Newton et dchotome : calcul de σ en foncton de ε RESOLUTION GLOBALE DE L EQUILIBRE MECANIQUE Résoluton du système lnéae de Newton-Raphson : détemnaton de ε Résoluton mécanque Réactualsaton CALCUL THERMIQUE FIN? Fgue 75 : Ogangamme du couplage themomécanque

133 4.4 Applcaton au pocédé sem-ndustel 4.4. APPLICATION AU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL Mesue du coeffcent lnéque de dlataton Le système utlsé pou la mesue des vaatons de longueu est pésenté Fgue 76. Le pncpe consste à tansmette la dlataton de l échantllon à un système d amplfcaton stué à l extéeu du fou (measuement system) va une tge pousso en alumne (pushod). Le coeffcent de dlataton de ces tges étant fable et connu, la vaaton de longueu de l échantllon en foncton de la tempéatue est mesuée pa dfféence de longueu ente l échantllon témon en alumne et l échantllon étudé (sample). La tempéatue est donnée pa un themocouple (sample themocouple) logé dans l encente du fou à une dstance de l ode de 3-4mm de l échantllon, sous balayage d Agon. Afn d évte toute pete de contact ente l échantllon et la tge pousso, un effot de pesson d envon 0daN est execée. Il est à note que le système étant posé su une table, cette pesson n est pas toujous suffsante pou évte une vaaton de l acquston en cas de choc mécanque. Fgue 76 : Mesue de dlataton à l ade de tge pousso en alumne. A gauche : photo du fou femé ; A dote : Schéma de pncpe de mesue et du système de postonnement. Le dlatomète est étalonné avant chaque essa su un échantllon d alumne avec le même cycle themque que pou l essa. Il est communément adms qu une vaaton de mesue de l ode de 0,5 à est en généal due d une pat aux dfféentes méthodes de mesue, à l homogénété chmque et mcostuctuale, à la massvté des épouvettes et aux condtons de l essa (sous atmosphèe contôlée, sensblté du dlatomète, etc ). La Fgue 77 pésente la coube des coeffcents lnéques de dlataton calculés (90) pa appot à la longueu à l ambant (coeffcent de dlataton lnéque moyen). Les valeus de la coube sont une moyenne su les 3 échantllons, les baes d eeu epésentant l écat pa appot à la valeu maxmum et la valeu mnmum su les 3 essas. LT Lamb α m ( T ) = avec Lamb et Tamb longueu et tempéatue à l' ambante (90) L amb ( T T ) amb On en dédut les coeffcents de dlataton absolus : 3

134 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE α ( T ) LT = L L T T T T T écepton : austénte : avec T 3,5.0 0,6.0 nteval de mesue en tempéatue -6-6 C C (9) 5 Coeffcent de dlataton moyen (x0-6 C - ) Tempéatue ( C) Fgue 77 : Coeffcent lnéque de dlataton pa appot à l ambante Modules de Young et de Posson Nous penons pou valeu du module de Posson la valeu d usage dans les aces au cabone : 0.3. Pou le module de Young, nous utlsons également une valeu généque dépendante de la tempéatue. L évoluton chose est une évoluton lnéae allant de 00 GPa à tempéatue ambante jusqu à 00 GPa à 00 C. Le taux de défomaton élastque étant consdéé tès fable devant les défomatons évesbles, cette appoxmaton aua un effet néglgeable su les dstosons calculées. Tempéatue Module de Young (MPa) Coeffcent de Posson 0 C C Tableau : Valeus des paamètes élastques pou les 3 états du pocédé Résultats de calcul Le modèle physque utlsé pou le calcul themomécanque compote le système de manten du pocédé sem-ndustel : suppot, appus haut et bas, et éventuellement bdage pou les essas qu le nécesste. La Fgue 78 monte ce modèle et donne le nombe d éléments pou la pèce et chacun des outls. 4

135 4.4 Applcaton au pocédé sem-ndustel Fgue 78 : Vsualsaton éclatée du modèle physque themomécanque et du mallage de la pèce et des outls. Nous pouvons vo à la Fgue 79, les déplacements dus à la dlataton themque dans la pèce, ans que la plastfcaton qu a pou ogne le bdage des outls et le caactèe localsé du chauffage. Fgue 79 : Défomée (x0) et champ de défomaton plastque généé pa la dlataton themque d une pèce bdée et chauffée localement. 5

136 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE BIBLIOGRAPHIE [ALIAGA-000] - Alaga C., Smulaton numéque pa éléments fns 3D du compotement themomécanque au cous du tatement themque d aces : applcaton à la tempe de pèces fogées ou coulées, Thèse de doctoat, ENSMP, 000. [ARNOLD-984] - Anold D., Bezz F., Fotn M., "A stable fnte element fo the stokes equatons", Calcolo, vol., n 4, p , 984. [BOUSSETTA-005] - Boussetta R., Estmateu d'eeu et emallage adaptatf: applcaton à la smulaton 3D des pocédés de mse en fome des matéaux, Thèse de doctoat, ENSMP, 005. [BRIOIST-995] - Bost J., Un modèle themomécanque du efodssement des pèces de fondee, Thèse de doctoat, ENSMP, 995. [COLONNA-99a] - Colonna F., Modélsaton numéque du efodssement de als, Thèse de doctoat, ENSMP, 99a. [COLONNA-99b] - Colonna F., Masson E., Dens S. et al, "On themo-elastc-vscoplastc analyss of coolng pocesses ncludng phases changes", J.Mate.Pocess.Technol., vol. 34, p , 99b. [COUPEZ-994] - Coupez T., "A mesh mpovement method fo 3D automatc emeshng", Poc. Numecal gd geneaton n computatonal flud dynamcs, n Weathehll et al. eds, p , 994. [DELOBELLE-984] - Delobelle P., Oytana C., "Expemental study of the flow ules of a 36 stanless steel at hgh and low stesses", Nucl.Eng.Des., vol. 83, n 3, p , 984. [GAY-995] - Gay C., Contbuton à la smulaton numéque tdmensonnelle du fogeage à fod, Thèse de doctoat, ENSMP, 995. [GERMAIN-983] - Geman P., Mécanque, Ecole Polytechnque, Ellpses, vol. et, 983. [HABRAKEN-998] - Habaken A., Contbuton à la modélsaton du fomage des métaux pa la méthode des éléments fns, Thèse de doctoat, Unvesté de Lège, 998. [INOUE-997] - Inoue T., Amoto K., "Development and mplementaton of cae system heats fo heat teatment smulaton based on metallo-themo-mechancs", Jounal of Mateals Engneeng and Pefomance, vol. 6, n, p. 5-60, 997. [JAOUEN-999] - Jaouen O., Modélsaton tdmensonnelle pa éléments fns pou l'analyse themo-mécanque du efodssement des pèces de fondee, Thèse de doctoat, ENSMP, 999. [LEMAÎTRE-988] - Lemaîte J., Chaboche J., Mécanque des matéaux soldes, Dunod, 988. [SIMO-985] - Smo J.C., Taylo R.L., "Consstent tangent opeatos fo ate-ndependent elastoplastcty", Comput. methods appl. mech. eng., vol. 48, n, p. 0-8,

137 Bblogaphe [SOYRIS-990] - Soys N., Modélsaton tdmensonnelle du couplage themque en fogeage à chaud, Thèse de doctoat, ENSMP,

138 8

139 CHAPITRE 5 9

140 30

141 Chapte 5 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIE 5.. Cnétques de tansfomaton de phases en tempe Modèle de cnétques de tansfomaton de phases Tansfomatons dsplacves Tansfomatons dffusves Appoche des cnétques ansothemes pa le fomalsme d Avam Calcul de la tansfomaton d austénte en fete, pelte, bante et matenste_ Tansfomatons de phases au cous du chauffage apde Pocessus de l austéntsaton Fomaton de l austénte Homogénésaton de l austénte Cossance des gans austéntques Effets du chauffage apde su la tempe Effet des hétéogénétés en cabone Effet de la talle du gan austéntque Modélsaton des cnétques d austéntsaton Cas des stuctues fetques et feto-peltques Pse en compte des cnétques au chauffage dans Foge Calcul themomécanque multphasée Les défomatons métallugques Plastcté de tansfomaton Changement de densté volumque en tansfomaton de phase Lo héologque THEVP multphasée Modèle d homogénésaton Ecoussage de chaque phase Le système d équatons de Pandtl-Reuss Effets des contantes su les temps de tansfomaton Tansfomatons dffusve Tansfomaton matenstque Couplage themo métallugque Dagamme des couplages themomécanques et métallugques Conclusons et hypothèses su les couplages multphysques Applcaton au pocédé sem-ndustel Etudes antéeues su le HR

142 5.5.. Paamètes de la lo THEVP Modules de Young et de Posson Rhéologe su «mn-épouvette» chauffée pa effet Joule Pépaaton des épouvettes Dlatomete lbe : tempéatues d austéntsaton Caactésaton de la lo THEVP multphasée Mse en données des paamètes héologques dans le code de calcul Dagammes TTA, TTT et paamètes des couplages métallugques Consttuton d un dagamme TTA Estmaton d un dagamme TTT Couplages ente mécanque et métalluge Couplage themo métallugque : Enthalpes de tansfomaton Résultats de calcul 7 Bblogaphe 73 3

143 5. Cnétques de tansfomaton de phases en tempe 5.. CINETIQUES DE TRANSFORMATION DE PHASES EN TREMPE 5... Modèle de cnétques de tansfomaton de phases Los du tatement themque les consttuants fomés los du efodssement sont hos équlbe themodynamque. Il nous faut alos défn une cnétque de tansfomaton qu déca, hos équlbe, les vtesses de fomaton ans que les popotons espectves des nouvelles phases Tansfomatons dsplacves Pou les tansfomatons de phases ndépendantes du temps comme pou la matenste, le taux de la nouvelle phase sea unquement dépendant de la tempéatue. L utlsaton du teme cnétque est alos un abus de langage que nous utlseons, consdéant que la tempéatue dépend du temps. Dans la lttéatue, un unque modèle est utlsé. Il s agt de la fomule étable en 959 pa D.P. Kostnen et R.E. Mabuge [KOISTINEN-959] : y mat [ ( A M T )] = y exp (9) aust M S Les taux de phase y mat et y aust coespondent espectvement à la matenste et à l austénte estante. A M est un paamète ntnsèque au matéau, ans que M S, la tempéatue de début de tansfomaton matenstque Tansfomatons dffusves L appoche pa le fomalsme de W.A. Johnson, R.F. Mehl [JOHNSON-939] et M. Avam [AVRAMI-939 ; AVRAMI-940 ; AVRAMI-94] patquement le seul utlsé dans la lttéatue. L appoche poposée pa J.B. Leblond et J. Devaux [LEBLOND-984] popose un fomalsme ansotheme tès dfféent de celu de Johnson-Mehl-Avam ben que l évoluton des cnétques en sot tès poche. C. Alaga [ALIAGA-000] a développé dans le logcel Foge3 la possblté de smule des opéatons de tempe à pat de pèces chaudes entèement austéntques à l ade du fomalsme de Johnson-Mehl-Avam. Ce chox a été gudé pa les tavaux concenant l utlsaton du fomalsme d Avam tenant compte de l effet des contantes ntenes [FERNANDES-985] et [DENIS-987a], et de l hétéogénété en cabone [MEY-997]. Ce fomalsme mplque dfféentes hypothèses :. hypothèse so-cnétque : le appot ente les vtesses de gemnaton et de cossance ne vae pas avec la tempéatue ;. hypothèse de gemnaton nstantanée : losque les gemes de la nouvelle phase appaassent, ls céent une condton de satuaton des stes ; 3. hypothèse du volume nfn : le volume de la phase mèe est consdéé nfn devant le volume de la phase nassante. Avec la fome la plus généale d Avam (sotheme ou ansotheme en tenant compte des hypothèses c-dessus), le taux y d une phase s éct : n [ b( T ) η( t) ( ) ] T y = exp (93) 33

144 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE k et n sont les paamètes themodépendants d Avam. n est également dépendant du mode de gemnaton et de la fome du geme. η est le temps caactéstque d Avam défnt pa la pobablté qu un geme sot actvé. Sot q la pobablté pa unté de temps d actvaton d un geme. Le temps caactéstque s éct alos sous la fome : t ( t) = q( τ ) η dτ (94) 0 Les paamètes b et n sont ssus de données sothemes et peuvent alos ête dédutes d un dagamme TTT. Nous avons vu au chapte que l obtenton d un tel dagamme n est pas toujous asée, selon le matéau obsevé. Néanmons, des méthodes altenatves exstent. D. Faas [FARIAS-99] utlse une méthode téatve nvese ayant pou donnée d entée le dagamme TTT d un matéau de composton chmque appochante. B. Buchmay et J.S. Kkaldy [BUCHMAYR-990] poposent une appoche fondée su le pncpe d addtvté pou calcule les dagammes TTT d aces fablement allés à pat de leu composton chmque et de la talle de gan austéntque. T n t 0 T ( τ ) dτ = Tn tn T n+ t n t n+ Fgue 80 : Schéma du pncpe d addtvté : la coube de efodssement T(t) est pattonnée en une sée d étapes sothemes Appoche des cnétques ansothemes pa le fomalsme d Avam Pluseus appoches exstent et toutes sont fondées su le pncpe d addtvté qu consste à décompose le pocessus themque en étapes élémentaes (Fgue 80). Elles pemettent ans d accéde aux cnétques ansothemes à pat de données sothemes. Nous ne dscuteons c que la théoe ntodute pa W.I. Pumphey et F.W. Jones [PUMPHREY-948] et utlsée pa C. Alaga [ALIAGA-000]. Cette appoche dte «du temps fctf» sépae l ncubaton de la cossance. La cossance débutea losque l ncubaton détemnée pa la méthode de Schel sea temnée. La méthode de Schel consste à détemne le temps d ncubaton t nc auquel la somme de Schel attent l unté : 34

145 5. Cnétques de tansfomaton de phases en tempe t nc dt Touve tnc tel que : = (95) t 0 deb ( T ) Le temps t deb est le temps de début de tansfomaton sotheme à la tempéatue T. Dans le cas sotheme, la somme est alos égale à losque t nc est égal à t deb. En consdéant le pncpe d addtvté tel qu l est schématsé en Fgue 80, sot S n la somme de Schel à la fn de l ncément n : S n = n = t t deb ( T ) (96) Une fos la condton de Schel attente ( S n ), le geme commence à coîte et une nouvelle phase appaaît. On connat alos le temps d ncubaton : s S n > sot t nc d' où tel que t nc = n- = S t n + t + t deb nc ( T ) n ( S ) t ( T ) n = deb n alos t nc = n- = t + t nc (97) La cossance débute alos pendant l ncément n et à la tempéatue T n, pendant un temps t cos tel que : t = t (98) cos t nc L équaton d Avam (93) devent alos pou pou l ncément n : y n max n [ ( b t )] n n = y exp n cos (99) b n et n n sont les paamètes d Avam calculés à pat d un dagamme TTT pou la tempéatue T n, y n max est le taux qu attenda la nouvelle phase à la tempéatue T n en un temps nfn. D une façon plus généale, pou tout ncément de temps, on éca le taux de la nouvelle phase à l nstant t + =t + t sous la fome : * n + [ ( + ) b t t ] ( ) y (00) max + = y+ exp + Le temps t * est un temps fctf tenant compte de l hstoe d évoluton themque de la nouvelle phase. Il epésente le temps qu auat été nécessae pou obten le taux de phase y s la tansfomaton avat été sotheme à la tempéatue T +. Le temps fctf de l ncément est alos défn pa : * n + [ + ( ) b t ] ( ) y = y exp (0) max + Ce qu donne pou expesson de t * : 35

146 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE n + y ln max * y+ t = (0) b + Les paamètes b + et n + sont détemnés à pat du dagamme TTT du matéau. Pou une tempéatue donnée T +, l est nécessae de connaîte les temps d ncubaton et deux ponts de la coube de cnétque de tansfomaton pou détemne les deux paamètes d Avam. Consdéons que le dagamme TTT ensegne les coubes de fn d ncubaton T(t deb ) (ou tansfomaton à % pa exemple), de tansfomaton à 0% T(t 0% ) et de tansfomaton à 90% T(t 90% ) comme le monte la Fgue 8. Fgue 8 : Reconstucton schématques des cnétques et détemnaton des paamètes d Avam à pat d un dagamme TTT 36

147 5. Cnétques de tansfomaton de phases en tempe Les paamètes b(t) et n(t) seont alos calculés pou toute tempéatue T : n b ( T ) ( T ) ln = ln ln = ln 0% max y ( T ) 90% max y ( T ) ( T ) tdeb ( T ) ( T ) t ( T ) max max y ( T ) y ( T ) ( ( ) ( )) ( ) = n T t T t T ( t ( T ) t ( T )) n( T ) 0% 0% deb t ln t 0% 90% ln 90% deb 90% deb (03) Calcul de la tansfomaton d austénte en fete, pelte, bante et matenste La Fgue 8 donne une epésentaton schématque du dagamme TTT tel qu l est utlsé dans le modèle de tansfomaton de phase [FERNANDES-985]. Le dagamme TTT est sépaé en dfféents domanes de tansfomaton sépaés pa des tempéatues caactéstques du matéau : A 3 A : domane de fomaton de la fete poeutectoïde ; A TH : domane de la tansfomaton feto-peltque ; TH B S : domane de fomaton de pelte seule ; B S B F : domane de fomaton de bante où la tansfomaton poua ête ncomplète (austénte ésduelle) ; B F M S : domane de fomaton de bante (tansfomaton complète) ; T<M S : domane de fomaton de matenste (tansfomaton non dffusve). A 3 : tempéatue de fn d austéntsaton à l équlbe A : tempéatue de début d austéntsaton à l équlbe TH : tempéatue d Hultgen B S : tempéatue de début de tansfomaton bantque B F : tempéatue de fn de tansfomaton bantque M S : tempéatue de début de tansfomaton matenstque Fgue 8 : Repésentaton schématque d un dagamme TTT pa le modèle de tansfomaton de phase [ALIAGA-000] 37

148 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Généalement, la tempéatue B S est tès poche ou confondue avec TH, de même que B F pa appot à M S. Tenant compte du schéma Fgue 8, le calcul des cnétques de efodssement se déoule comme pésenté su le dagamme en Fgue 83. La vaable k epésente la phase qu sea calculée en foncton du domane de tempéatue. Dans le cas d un calcul fetopeltque (A >T>TH) la somme de Schel est calculée à pat du peme temps de début (fete). Les cossances sont ensute calculées en commençant pa la fete, pus la pelte s on ente dans son domane de tansfomaton (ctèe : le temps fctf de la fete est supéeu à la dfféence ente les temps de début de la fete et la pelte à la tempéatue du pale). 38

149 5. Cnétques de tansfomaton de phases en tempe Condtons de début de pale k T ; t ; S ; y ( k = 5) K A 3 >T>A A >T>TH TH>T>B S B S >T>M S M S >T k=fe k=fe (+Pel) k=pel k=ban k=mat ou S = non Calcul de la somme de Schel S = t n= tdeb ; ( T k) Calcul de Kostnen-Mabuge aust ( T y ) mat y ; τ = t * k + t S < ou non τ k = t * + t cos Calcul de de la fomule d Avam τ k k k k ( ; b ; n ; y ) max ; y k y aust fe pel ban mat ( y + y + y y ) y = + FIN Fgue 83 : Dagamme de ésoluton du calcul des cnétques de tansfomaton en tempe 39

150 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE 5.. TRANSFORMATIONS DE PHASES AU COURS DU CHAUFFAGE RAPIDE Los du chauffage des aces, pluseus phénomènes peuvent ag. Tout d abod, consdéons un échantllon matenstque. Pendant le chauffage, le cabone qutte les stes qu l occupe dans les malles quadatques de la matenste et ségége ves les défauts de éseau sous fome de cabue. La dstoson des malles dmnue et les cabues pécptent sous fome de cémentte Fe 3 C jusqu à un etou complet aux malles cubques centée (fe α). On ne touvea donc pas de matenste aux tempéatues d austéntsaton (au dessus de A ). Dans le cas de la bante, le pocessus est un peu plus complexe mas peut ête consdéé de la même manèe [DESALOS-003]. La modélsaton des evenus n étant pas l objet de ce taval, nous ne consdèeons que l austéntsaton d aces feto-peltques au dessus de la tempéatue A Pocessus de l austéntsaton La Fgue 84 donne une schématsaton éalsée des phénomènes qu appaassent los du chauffage apde d une stuctue feto-peltque au dessus de la tempéatue d équlbe A, à pat des tavaux de [FARIAS-990], [MIOKOVIC-004] et [ROBERTS-943]. L austéntsaton peut ête sépaée en 3 étapes :. la fomaton d austénte qu appaaît à pat de A,. l homogénésaton de l austénte pa dffuson du cabone au dessus de A c3, 3. l augmentaton de la talle des gans à pat d une tempéatue A c3 + T Augmentaton talle de gan Tempéatue γ homogène γ+cabues α+γ+cabues A c3 A c α+cabues log du temps Fgue 84 : Schématsaton du chauffage au sotheme d un ace feto-peltque 40

151 5. Tansfomatons de phases au cous du chauffage apde La seconde et la tosème étape n ont pas été mplémentées dans note modélsaton et cela epésente une mpotante hypothèse de cette pemèe appoche du pocédé. Nous dscuteons tout de même ces phénomènes et pésenteons les chox de cetans auteus quand à leu modélsaton numéque en vue d une évoluton du code, pus nous dscuteons leu mpact su le efodssement Fomaton de l austénte Quelques années apès ses tavaux su le fomalsme aujoud hu tès utlsé sous le nom de fomalsme de Johnson-Mehl-Avam, R.F. Mehl s ntéesse aux mécansmes et aux taux de fomaton de l austénte à pat d agégats de fete et cémentte, en collaboaton avec G.A. Robets [ROBERTS-943]. Ils montent que la fomaton de l austénte se décompose en une phase de gemnaton pus une phase de cossance avant que l homogénésaton ne débute. La noton de dagammes TTA en condtons sothemes n est éellement ntodute qu à pat de 956 [ROSE-956]. Les auteus pécsent que dans les pemes nstant apès l ncubaton, la fomaton d austénte se fat aux dépends de la pelte, la tansfomaton de la fete se podusant à des vtesses beaucoup plus fables. La même année, G. Molnde [MOLINDER-956] popose l étude de l austéntsaton d un ace au cabone (.7%C) et monte que la péode d ncubaton est d autant plus coute que la tempéatue augmente. Quelques années plus tad, [GARCIA-98] et [SPEICH-98] poposent l étude d aces au manganèse et à bas cabone. Ils avent aux mêmes conclusons en ce qu concene les stuctues feto-peltques. La fomaton de l austénte débute pa une gemnaton nstantanée aux ntefaces fete / pelte. Pus, s opèent d une pat la cossance tès apde de l austénte dans la pelte (contôlée pa la dffuson du cabone su de pettes dstances), et d aute pat, la cossance plus lente de l austénte dans la fete (contôlée, selon la tempéatue, pa la dffuson du cabone ou du manganèse su des dstances plus longues). Enfn, l austénte coît de manèe tès lente pa dffuson du manganèse dans l austénte. Nous temneons cette étude bblogaphque en nommant les tavaux de V.M. Zalkn [ZALKIN-986] qu, los d une étude ctque de la lttéatue sovétque su le sujet, ejont les conclusons des auteus de [SPEICH-98] su l nstantanété de la tansfomaton de pelte en austénte, en consdéant que le début de cette tansfomaton se stue à une tempéatue tès poche de A, quelque sot les vtesses de chauffage en jeu. En concluson de cette étude, on peut dédue une évoluton schématque de la fomaton d austénte à pat d un ace feto-peltque comme pésenté en Fgue 85. Cette fgue est tée d un schéma pésenté dans [FARIAS-990] et [FARIAS-99] complété à l ade d une fgue de [ZALKIN-986]. La dote A coespond à la tempéatue de début de tansfomaton à l équlbe et est ndépendante du temps (gemnaton nstantanée de la pelte). La coube A C3 epésente le temps de fn de tansfomaton. Au dessus de la tempéatue A 3 elle coespond à une stuctue totalement austéntque, et à une tempéatue compse ente A et A 3, elle coespond à la stuctue d équlbe. Ans, pou les temps supéeus à t F la tansfomaton est consdéée à l équlbe, ce qu donne une tansfomaton nstantanée de la pelte en austénte au dessus de A et une tansfomaton de fete lnéae avec la tempéatue. Les temps t P et t F ne sont dépendants que de la stuctue ntale du matéau. 4

152 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE A c3 A Tempéatue A c F A F+A A 3 P A F+P A t P t F log(t) Fgue 85: Repésentaton schématque d un dagamme TTA d un ace hypoeutectode 5... Homogénésaton de l austénte On ne touve que peu d études expémentales su l homogénésaton de l austénte dans la lttéatue, dû à la dffculté d obsevaton de tels phénomènes. Néanmons, ctons deux éféences, [MULOT-979] et [VAMVACOUSSIS-975], qu obsevent les stuctues matenstques apès chauffage et tempe de stuctues feto-peltques. Ils mettent en évdence les zones ches en cabone (matenste clae) povenant des zones ancennement peltques et les zones pauves en cabone (matenste sombe) povenant des zones ntalement fetques. Contaement aux études expémentales, on touve une gande dvesté de modèles théoques d homogénésaton, cetans basés su une ésoluton analytque des fonctons d eeu [ASHBY-984], d autes su des ésolutons numéques pa dfféences fnes de poblèmes de dffuson [INOUE-987].Nous ne pésenteons pas plus en détal ces modèles et envoyons le lecteu ntéessé au manusct de thèse de Davd Faas [FARIAS-99] Cossance des gans austéntques Une fos l austénte fomé et jusqu à sa tansfomaton en une aute phase los du efodssement, la talle de ses gans augmente. Cetans auteus utlsent la elaton (04) poposée pa [ALBERRY-98] en consdèent que l augmentaton de la talle des gans débute apès homogénésaton [FARIAS-99]. a ( D ) d dt Q = C exp (04) RT D est la talle du gan d austénte, R est la constante des gaz pafats, Q est l énege d actvaton de l augmentaton de la talle des gans, et C et a sont des paamètes matéaux. [LEBLOND-984] popose une elaton donnant l évoluton de talle moyenne du gan austéntque dans un élément de volume en foncton de la vaaton du taux d austénte dans ce volume : 4

153 y& 0 y& 0 5. Tansfomatons de phases au cous du chauffage apde D& = C exp D& = C exp Q RT Q RT y& D y a (05) Ic, D & et D sont la vtesse de cossance et la talle des gans austéntques moyennés dans le volume consdéé, y& et y sont espectvement la vtesse d appaton et le taux d austénte. Cette elaton pemet de pende en compte l augmentaton de la talle des gans dès le début de la cossance jusqu à tansfomaton complète au efodssement. D un pont de vue numéque, en ntégant la elaton en temps et dans un schéma dscet, on obtent la elaton de la talle des gans à l ncément n (<.> est la pate postve et D 0 est la talle de gan ntale) : Q n a a a Dn = C exp D t + D0 RT = y y& (06) 5... Effets du chauffage apde su la tempe 5... Effet des hétéogénétés en cabone Los du efodssement des aces, le gadent de taux de cabone affecte les cnétques de tansfomaton de phase. Une augmentaton du taux de cabone (γ-gène) dmnue les tempéatues caactéstques de changement de phase, augmente les temps d ncubaton et alentt les tansfomatons. Dans le cade de la smulaton numéque à l ade de données sothemes, cetans auteus [WANG-999] utlsent pluseus dagammes TTT afn de calcule toutes les cnétques de tansfomaton coespondant à la vaaton du taux de cabone dans la pèce. Cette appoche basée su l ntepolaton des données est fastdeuse et nous péféons nous ntéesse à l appoche utlsée pa [MEY-997] et [DENIS-999]. Il s agt de calcule de nouveaux TTT pou chaque concentaton en cabone à pat d un TTT de éféence (TTT à la concentaton de cabone la plus fable) et d une lo théoque basée su les tavaux de [BUCHMAYR- 990]. Nous n enteons pas dans le détal mas en pésentons le pncpe. Il s agt dans un peme temps de ecalcule les tempéatues A 3, TH, B S et M S (A n est que tès peu nfluencé), pus, dans un second temps, de calcule un coeffcent de décalage des temps défn pa : t tef D = (07) t ef Pou chaque phase la valeu de D sea calculée dfféemment et en foncton des taux de cabone (voe même d autes éléments d allages). On peut alos etouve les nouveaux paamètes d Avam à pat de ceux de éféence et du coeffcent de décalage. Les taux de tansfomaton maxmum y max sont auss nfluencés pa la teneu en cabone. Afn de détemne leu nouvelle valeu, on peut utlse le dagamme de phases à l équlbe et la méthode du bas de leve. 43

154 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Pou plus d nfomatons su cette méthode, nous nvtons le lecteu à se epote aux tavaux de thèses de C. Alaga [ALIAGA-000] qu a mplémenté cette méthode dans Foge3 en vue de la smulaton de tempe de pèce cémentées Effet de la talle du gan austéntque De manèe généale, la cossance du gan austéntque stablse l austénte et pa conséquent augmente le temps d ncubaton des tansfomatons avec dffuson. Ce phénomène s explque en se appelant que les stes de gemnaton péféentels sont stués aux jonts de gans et qu une conséquence de l augmentaton de la talle des gans est la dmnuton du nombe de jonts, donc de stes de gemnaton. En ce qu concene les tansfomatons non dffusves, les auteus de [SASTRI-965] concluent que les défauts de stuctue comme les dslocatons, lacunes ou défauts d emplements ont une nfluence pédomnante pa appot à la talle du gan austéntque su la tempéatue de début de tansfomaton matenstque. D un pont de vue de la smulaton numéque, les auteus de [UMEMOTO-980] ntodusent l effet de la talle de gan austéntque dans la fomulaton de Johnson-Mehlavam pa un décalage des temps de tansfomaton qu peut ête défn comme en (07) Modélsaton des cnétques d austéntsaton Cas des stuctues fetques et feto-peltques Nous avons mplémenté dans le cade de nos tavaux, le calcul des cnétques d austéntsaton. Afn d ête cohéent ente le calcul au chauffage et au efodssement, nous avons chos d utlse le fomalsme de Johnson-Mehl-Avam tel qu l a été pésenté au paagaphe 5.. Néanmons, dans le cas d une stuctue feto-peltque, nous fasons quelques hypothèses : La pelte geme nstantanément en A Le taux de cossance de l austénte est contnu et, afn de lmte le nombe de paamètes à dentfe, l est modélsé pa une seule équaton de type Johnson-Mehl- Avam. C'est-à-de qu au leu d ête gouvené pa une lo coespondant à la dspaton de la pelte pus une lo coespondant à la dspaton de la fete, une seule lo sea dentfée à pat de deux coubes T(t) du dagamme TTA sotheme (comme pésentée aux elatons (03)) pou modélse la cnétque d appaton de l austénte. La conséquence de cette hypothèse su la cnétque de fomaton de l austénte est schématsée pa la Fgue 86. Dans le cas de l austéntsaton d une stuctue fétque, la gemnaton ne sea pas nstantanée. Dans ce cas, le calcul de la cnétque de fomaton de l austénte se éalse comme pou le calcul d une cnétque au efodssement, avec une somme de Schel pou la gemnaton et une lo de Johnson-Mehl-Avam pou la cossance. 44

155 5. Tansfomatons de phases au cous du chauffage apde y fe y aust Pel. γ Fe. γ t y pel (a) schématsaton des cnétques los de l austéntsaton d un mélange fete+pelte t t y aust y fe Pel. γ Fe. γ y pel t t (b) schématsaton des cnétques los de l austéntsaton d un mélange fete+pelte avec les hypothèses utlsées. Fgue 86 : Repésentaton schématque de la cnétque de fomaton de l austénte pou un ace fetopeltque : (a) d apès [FARIAS-990] ; (b) avec nos hypothèses. La fome des coubes en (b) est calculée à pat de ponts des coubes (a) t Pse en compte des cnétques au chauffage dans Foge3 Cetans auteus comme [FARIAS-99] chosssent de découple le calcul de chauffage de celu de efodssement en deux modules. A chaque pont d ntégaton, le pogamme pncpal appelles l un ou l aute des deux modules selon l évoluton de tempéatue (chauffage ou efodssement). Les auteus de [LEBLOND-984] soulgnent le fat que l austénte peut contnue à se fome los du efodssement s son taux este nféeu au taux d équlbe et que la tempéatue este supéeu à A. De la même manèe, los de tatements themques cyclques de pat et d aute de A, selon les popotons des phases pa appot à l équlbe, on peut obseve des tansfomatons γ α alos que la tempéatue augmente. Les auteus pésentent alos les cnétques de tansfomaton de phase au cous de tatements themques cyclques comme une boucle en hystééss. Dans note cas, nous chosssons de teste à chaque pont d ntégaton le taux d austénte pa appot à son taux d équlbe y max (T nt ), T nt étant la tempéatue au pont d ntégaton compse ente A et A 3. S le taux d austénte est nféeu à son taux d équlbe, la pocédue du calcul des cnétques d austéntsaton est lancée. S le taux d austénte est supéeu à son taux d équlbe, c est la pocédue du calcul des cnétques de tempe qu est lancée. Pou les tempéatues en dessous de A, le calcul des cnétques d austéntsaton ne poua ête lancé, comme le calcul des cnétques de tempe pou les tempéatues en dessus de A 3. 45

156 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE 5.3. CALCUL THERMOMECANIQUE MULTIPHASEE Les défomatons métallugques Plastcté de tansfomaton On constate expémentalement qu une épouvette tempée sous un chagement même tès nféeu à la lmte d élastcté, pésente une défomaton ésduelle beaucoup plus mpotante que le smple changement de volume assocé à la tansfomaton. Cette défomaton plastque addtonnelle à celle généée pa les changements de volume est appelée plastcté de tansfomaton. Elle est auss ben obsevée los de tansfomatons dffusves [GAUTIER- 987] que pou les tansfomatons matenstques [GAUTIER-995]. Los d une tansfomaton matenstques, des lattes de matenste se céent, chacune dans une decton aléatoe et céent une défomaton mcoscopque suvant cette decton. D un pont de vue macoscopque, la défomaton est sotope et coespond au changement de volume los de la tansfomaton. S la même tansfomaton est opéée sous chagement, même tès fable, les lattes de matenstes ont tendance à s oente (Fgue 87a) dans la decton de sollctaton. Alos, en plus du changement de volume, cette oentaton péféentelle cée une défomaton macoscopque dans la decton de sollctaton. De la même manèe, pou une tansfomaton dffusve, les gemes ont tendance à s oente dans la decton de sollctaton (Fgue 87b) ndusant ans une défomaton nélastque dans cette decton. Fgue 87 : Repésentaton schématque du mécansme de plastcté de tansfomaton los de tansfomatons matenstques (mécansme de Magee) (a) ou dffusves (mécansme de Geenwood- Johnson) (b) [SIMON-994] La mcomécanque essaye de smule les phénomènes de plastcté de tansfomaton pa des appoches éléments fns locales mcoscopques. Dans un peme temps applquées aux tansfomatons matenstques [DIANI-99], ces appoches de plus en plus pefomantes tatent aujoud hu des tansfomatons avec dffuson [BARBE-007]. Une appoche multéchelle pemettat d utlse de tels modèles pou la smulaton mécanque macoscopque, mas ces méthodes ne sont pas aboutes à ce jou. Les appoches macoscopques, mons goueuses mas plus éalstes en teme de fasablté, pemettent de modélse le phénomène de plastcté de tansfomaton sans fae éféence aux phénomènes locaux esponsables de la défomaton. Geenwood et Johnson [GREENWOOD- 46

157 5.3 Calcul themomécanque multphasée 965] ont établ en 965 une elaton lant la plastcté de tansfomaton à la contante applquée los d essas de tacton un axale en tansfomaton complète. Ils ont modélsé leus obsevatons pa la théoe de la plastcté à l échelle de l ncluson et aboutssent à la elaton : 5 V σ ε pt = (08) 6 V σ 00 V epésente le volume de matèe et σ 00 la contante seul. A pat de cette elaton, un cetan nombe d auteus ont développé d autes appoches pou about à une fome multaxale tensoelle. On etenda une fome aboute utlsée pa de nombeux auteus [FISHER-000 ; TALEB-003 ; VIDEAU-994] : 3 ε& = K f pt ( y) y& s (09) K est un paamète matéau (de l ode de 0-4 MPa - d apès les auteus de [LEBLOND- 989]), f(y) est une foncton cossante avec la popoton y de la phase cossante (cette foncton dépend de la phase) et s est le tenseu dévateu des contantes macoscopque. Ce fomalsme pemet de modélse le caactèe dectonnel de la plastcté de tansfomaton en l écvant sous une fome popotonnelle au tenseu dévateu des contantes, et est dentque quelle que sot la phase pse en compte. Seule la foncton f sea dfféente selon la phase. On chos pou l expesson de la foncton f [VIDEAU-994] : f f ( y) = y pou les tansfomatons fetques et peltque ( y) = y( y) pou les tansfomatons bantques et matenstque (0) Etant donné que le mécansme plastque ndut pa les tansfomatons de phase est de même type que le mécansme «classque» (déplacement des dslocatons) on peut défn de la même manèe un multplcateu plastque [ALIAGA-000] : ( y) y& & & 3 ε & κ s avec κ = Kf () pt = pt pt Changement de densté volumque en tansfomaton de phase Chaque phase solde d un ace a une densté pope pou une tempéatue donnée. Le changement de volume qu appaaît en conséquence pendant une tansfomaton métallugque ndut une défomaton sphéque qu s éct sous la fome [DENIS-987b] : 0 ε & = κ& I avec κ& = ε y& () t t t t Lo héologque THEVP multphasée Modèle d homogénésaton Nous venons de défn les défomatons ndutes pa la tansfomaton d une phase mèe en une aute phase en un pont matéel. L homogénésaton à pou objectf d obten le compotement macoscopque d un volume élémentae (volume assocé à un pont 47

158 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE d ntégaton dans le cas d une ésoluton pa éléments fns) ntégant l ensemble des compotements mcoscopques dans ce volume. Cetans modèles d homogénésaton pefomants sont basés su un schéma auto-cohéent. L applcaton d un modèle autocohéent themo-élasto-vscoplastque su un poblème évolutf (facton de chaque phase non constante dans le temps) en tenant compte du phénomène de plastcté de tansfomaton pou tout type de tansfomaton stuctuale solde/solde ne peut ête ésolue smplement. Il exste aujoud hu des méthodes comme les matéaux dgtaux vsant à ésoude ce type de poblème. Mas l utlsaton de telles technques pou ésoude note poblème est pou le moment llusoe. Cetans auteus [ALIAGA-000 ; DENIS-987b ; VIDEAU-994 ; WANG-006] s oentent alos ves un modèle plus smplste basé su une lo des mélanges lnéaes. Nous applquons cette lo à note modèle tel que pésenté c-dessous : α = σ κ κ& eq pt t = = = nb phases [ α k yk ] ; E = [ Ek yk ] ; υ = [ υk yk ] k = nb phases k = nb phases k = k nk mk [ σ y + H ε y + K & ε y ] 3 [ K f ( y ) y& ] 0 [ ε t k y& k ] nb phases k = 00 k k k k k nb phases k = k k k nb phases k = avec nb phases [ yk ] k = nb phases [ y& k ] k = = = 0 (3) Ecoussage de chaque phase Dans le cas d une tansfomaton dont la phase mèe est écoue, on peut se pose la queston de savo comment les dslocatons vont évolue los du changement de phases. Selon le matéau obsevé, les dslocatons peuvent ête totalement estauées (la nouvelle phase n héte pas de l écoussage de la phase mèe), patellement estauées (une pat des dslocatons sont tansmses de la phase mèe à la phase flle), ou aucune estauaton n est obsevée (on palea alos de mémoe totale). Il exste dans la lttéatue pluseus modèles pou ten compte de la quantté de dslocatons estauée pa une tansfomaton métallugque dans un matéau [SJÖSTRÖM-985 ; VIDEAU-994]. Nous pésenteons c unquement le modèle utlsé dans Foge3, le modèle de Sjöstöm [SJÖSTRÖM-985], qu pat du pncpe que toutes les phases plastfent à la même vtesse. S l y a mémoe totale, la défomaton sube pa la phase k à un nstant t+ t sea la défomaton cumulée depus le temps ntal. k ( t + t) = ε ( t + t) ε (4) S l y a estauaton totale, la phase k n héte d aucune défomaton antéeue à son appaton. Nous consdéons alos la défomaton à l nstant t+ t comme une moyenne pondéée pa les popotons de la phase k ente l état de défomaton à l nstant t (sube pa la popoton à l nstant t) et la défomaton sube ente les nstants t et t+ t (sube pa toute la phase pésente à l nstant t+ t) : ( t + t) y ( t) ε k ( t) + [ yk ( t) + yk ] yk ( t) + yk k ε k = (5) ε 48

159 5.3 Calcul themomécanque multphasée Dans le cas d une estauaton patelle, nous ntodusons un paamète de mémoe γ tel que s l est égal à zéo la estauaton est totale, et s l est égal à, la mémoe est totale. On éct alos : ( t) ε k ( t) + [ yk ( t) + yk ] y ( t) + y yk ε ε ( t + t) = ( γ ) + γ ε ( t + t) (6) k k k k k Cette elaton ne s applque évdemment qu aux phases cossantes et pas à la phase mèe qu a sub toutes les défomatons depus l nstant ntal. La valeu de γ étant dffcle à détemne expémentalement, on consdèe souvent une estauaton totale Le système d équatons de Pandtl-Reuss Comme nous l avons fat au chapte pécédent, nous admettons l addtvté des taux de défomaton. Le tenseu des taux de défomaton total s éct alos comme la somme des taux de défomatons d ogne themque, mécanque et métallugque : ε & = ε& + ε& + ε& (7) tot th meca metal En sépaant les pates sphéque et dévatoque du tenseu des taux de défomaton métallugque, on obtent : ε & metal = e& metal + T( ε& metal ) (8) 3 La pate dévatoque est le tenseu des taux de plastcté de tansfomaton ( e & = ε& ) défn pa () et la pate sphéque est le tenseu elatf aux changements de densté T ε & = ε& ) défn pa (). volumque los des tansfomatons de phase ( ( metal ) t 3 Les expessons du dévateu des contantes et de la pesson dans le système des équatons de Pandtl-Reuss devennent alos : s& = µ p& = χ [ e& (& λ + & κ ) s] tm + T& µ s µ T χ [ T( ε& ) 3αT& & κ ] T& p tm pl t χ T metal pt (9) La ésoluton ncémentale téatve des équatons de Pandtl-Reuss couplées à la métalluge ne pésente pas de dffculté supplémentae pa appot au cas themomécanque et la tanston ente les domanes évesble et non évesbles sont géés de la même manèe. On notea cependant l appoxmaton qu engende la lo des mélanges : dans le mélange d une phase due à haut seul d élastcté et d une phase douce, on peut obseve une plastfcaton de la phase due alos que les contantes sont nféeues à son seul, ou à l nvese, aucune plastfcaton de la phase douce alos que l état de contante dépasse son seul. Cette hypothèse este acceptable tant qu on este dans de pettes défomatons (de l ode du poucent), ce qu est généalement le cas des pocédés de tatement themque. 49

160 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Effets des contantes su les temps de tansfomaton Los du tatement themque local, les gadents themques sont tès mpotants et engendent un cetan état mécanque dans la Zone Affectée Themquement. Les cnétques de tansfomatons sont nfluencées pa cet état de contante et défomaton qu généalement se tadut pa des temps d ncubaton et de cossance plus couts. Pou cetans aces tès patcules la défomaton seule (sans tempe), peut engende des tansfomatons de phase, souvent matenstques. Nous ne pendons pas en compte c l effet des défomatons qu s explque pa le fat que la pésence de défauts entaîne une augmentaton du nombe de stes de gemnatons. Une appoche plus locale est nécessae pou la pse en compte de ces effets [UMEMOTO-983] Tansfomatons dffusve Su le dagamme TTT (ou TRC), la pésence d un état contant se tadut pa un décalage des coubes ves la gauche. Un modèle qu se tadut comme pou la pse en compte des hétéogénétés en cabone (vo paagaphe 5...), développé pa [DENIS-987a], est mplémenté dans Foge3. Un teme de décalage des temps défn pa la dfféence ente un temps sous chage mécanque et un temps de éféence (matéau lbe de contantes et défomatons) est alos défn : D t t t meca 0 meca = (0) 0 D meca est détemné expémentalement et appoché pa un polynôme de la contante équvalente. Le décalage en temps peut ête ntodut dans la somme de Schel à taves un nouveau temps de début de tansfomaton (ou de fn d ncubaton) : meca deb ( ) t 0 meca deb t = + D () Il peut également ête ntodut dans le fomalsme de Johnson-Mehl-Avam à taves le paamète b : b meca b0 = ( + D ) meca () On notea que les paamètes t 0 deb et b 0 ne sont pas nécessaement les paamètes calculés à pat du dagamme TTT de éféence mas peuvent déjà avo été ecalculés pou pende en compte, pa exemple, une hétéogénété en cabone ou la talle du gan austéntque Tansfomaton matenstque Dans le cas d une tansfomaton matenstque, la pésence de contantes se tadut pa une augmentaton de la tempéatue M S. La tempéatue de début de tansfomaton matenstque dépenda à la fos de l état de contantes de csallement (σ eq ) que de la pesson [DENIS- 987a] : M 0 = M + Aσ S S eq + Bp (3) A et B sont des constantes du matéau expmées en C.Pa -. 50

161 Couplage themo métallugque 5.3 Calcul themomécanque multphasée L énege ntatce de la tansfomaton de phase est l agtaton themque. Au chauffage, l appot d énege nte une éacton endothemque coespondant à tansfomaton de fe α en fe γ. Au contae, los du efodssement, c est une éacton exothemque qu est ntée tansfomant le fe γ en fe α. Alos s l évoluton de tempéatue engende une tansfomaton de phase, la tansfomaton de phase a auss un effet su la tempéatue en généant une enthalpe de tansfomaton (ou chaleu latente). De plus, les paamètes matéaux de l équaton de la chaleu dépendent de la métalluge. Il exste pluseus méthodes pou pende en compte les effets de la métalluge su la themque comme la méthode en capacté et conductvté équvalente ou la méthode du teme souce. Pou la méthode en capacté et conductvté équvalente, l enthalpe de tansfomaton est consdéée dans l expesson d un ρc équvalent (ρ densté volumque ; C : chaleu spécfque) et valable pou une tansfomaton poche de l équlbe (pas de cnétques). Cette méthode assue une bonne stablté du système los des tansfomatons de phases alos qu l y a dscontnuté des paamètes themophysques. Cette appoche est patculèement utlsée dans les calculs pou la fondee [JAOUEN-999] mas ne convent pas au tatement themque où les tansfomatons de phases sont tès apdes alos qu elle suppose que le dégagement de chaleu est ndépendant de la vtesse de efodssement (ou de la cnétque de tansfomaton). Nous utlseons alos une méthode plus poche de la physque fasant nteven une souce de chaleu ntene (postve ou négatve selon que la tansfomaton sot exothemque ou endothemque) tatant les tansfomatons phase pa phase et non plus pa une appoche globale. Néanmons, cette méthode demande une lo d homogénésaton pou les paamètes themophysques. Nous utlseons de la même manèe que pou le couplage avec la mécanque, une lo des mélanges lnéaes : nb phases [ ρk yk ] ; C = [ Ck yk ] ; k = [ kk yk ] ρ = (4) k= nb phases k= nb phases k= L enthalpe de tansfomaton est ntodute comme une souce ntene de chaleu au même tte que la pussance mécanque ou la pussance dsspée pa effet Joule : nb phases [ H k ( T ) y& k ] W & = (5) t k = H k est la chaleu latente de la tansfomaton d austénte en phase k. On consdèe que los du chauffage de la phase k, la chaleu latente de sa tansfomaton sea - H k. H k est défnt pa (6) est appochée pa un polynôme de T. H T ( T ) = T0 ρ C dt (6) La ésoluton du poblème themque n est en en changée pa appot à ce qu a été pésenté au chapte 3, seule la fome de l équaton de la chaleu est modfé : 5

162 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE nb phases nb phases nb phases nb phases dt ρ (7) dt [ k yk ] [ Ck yk ] + [ kk yk ] T = W& em + W& meca + [ H k ( T ) y& k ] k = k = k = k = Dagamme des couplages themomécanques et métallugques Dans son mémoe de thèse, Chales Alaga [ALIAGA-000] popose un couplage fot ente themque et métalluge assué pa un pont fxe, et un couplage altené pa ncément avec la mécanque. Il s avèe qu assue un couplage plus fot ente themque et métalluge qu ente mécanque et métalluge donne de melleus ésultats que l nvese. Cependant, pou les besons d ntégaton du couplage métallugque dans la stuctue Foge3, logcel de mse en fome dont la stuctue est centée su le calcul la mécanque (objectf peme du code), nous utlsons un algothme de couplage un peu dfféent. La Fgue 88 pésente le dagamme schématsant la ésoluton du poblème couplé. 5

163 5.3 Calcul themomécanque multphasée INITIALISATION RESOLUTION LOCALE DE LA RHEOLOGIE CINETIQUES DE TRANSFORMATION tn+ < tn n = n+ RESOLUTION GLOBALE DE L EQUILIBRE MECANIQUE Résoluton du système lnéae de Newton-Raphson : détemnaton de ε Convegence? t + t Test su t RESOLUTION LOCALE DE LA RHEOLOGIE CINETIQUES DE TRANSFORMATION CALCUL THERMIQUE FIN? Fgue 88 : Algothme de ésoluton couplée du poblème themo-metallo-mécanque 53

164 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE 5.4. CONCLUSIONS ET HYPOTHESES SUR LES COUPLAGES MULTIPHYSIQUES La smulaton de l ensemble des phénomènes physques duant le tatement themque, autant au chauffage qu au efodssement, mplque de ben connaîte tous les phénomènes pésents déjà beaucoup étudés à ce jou. Il est plus complqué de détemne quelles sont les nteactons qu lent ces phénomènes. En effets, ls ne se podusent pas ndépendamment les uns des autes (s pa exemple, la tempéatue a un effet su la métalluge, la écpoque est vae) et à une échelle assez fne, l exste des couplages ente tous les phénomènes physques. Nous pésentons en Fgue 89 l ensemble des couplages possbles. Les flèches en tats plens epésentent les couplages que nous avons déjà abodés et dont nous avons donné les pstes pou leu ésoluton numéque. L nfluence de cetans couplages su l état global d une pèce à l échelle macoscopque est plus mpotante que pou d autes. Pou éalse une smulaton dans un temps de calcul éalste, l est nécessae de néglge l nfluence de cetans couplages. Dans cette optque, l est mpotant de pote attenton à chacun des couplages de la Fgue 89 et de dstngue ceux qu seont du peme ode de ceux qu seont du second ode. Fgue 89 : Schéma epésentatf des couplages mult-physques pou la smulaton d un tatement themque de tempe apès chauffage pa nducton.. La elaton ente le couant ndut et les tempéatues (effet Joule) est caactésée pa la lo d Ohm (chapte 3). Ce couplage pemet le chauffage de la pèce.. La themo dépendance des paamètes magnétques peut ête modélsée pa dfféentes los à détemne expémentalement selon le compotement du matéau (chapte 3). 3. La pussance mécanque dsspée sous fome de chaleu est caactésée pa l état de contante et les vtesses de défomaton (chapte 4). Dans le cade du tatement themque où les tempéatues sont tès élevées et les défomatons fables, ce couplage peut ête consdéé du second ode. Néanmons, son coût de calcul est fable et ne demande aucune caactésaton supplémentae. Il sea donc ps en compte. 4. Nous avons vu au chapte 4 l mpotance de la themo dépendance de la lo héologque. C est un couplage que nous qualfeons de peme ode. Il est ps en compte à la fos à taves la lo de Hooke et à la fos pa une appoxmaton polynomale de l évoluton des paamètes de la lo THEVP en foncton de la tempéatue. 54

165 5.4 Conclusons et hypothèses su les couplages multphysques 5. Etant donné les gadents métallugques qu ndusent les pocédés de tatement themque et plus spécalement les tatements locaux, la défomaton ndute pa changement de volume los des tansfomatons de phase est consdéé de peme ode. Ce couplage est nséé dans l expesson de la pesson dans les équatons de Pandtl-Reuss (chapte 5). La plastcté de tansfomaton est plus dscutable. En effet, elle est souvent néglgée dans le cade des tansfomatons apdes [AUBRY-998 ; NICLAS-998] mas généalement matenstques. Dans la smulaton de note pocédé, nous savons que nous devons obten une bante ben que nous pussons nous consdée dans le cade d une tempe tès apde (<3s). Nous ne savons pas pou le moment s sont nfluence su les dstosons est mpotante ou non. Nous pendons alos ce couplage en compte. 6. Les contantes estant fables et poches de la lmte d élastcté dans note pocédé, l effet des contantes mécanques su les tansfomatons métallugques (décalage des temps de tansfomaton sea néglgé. 7. Ren n a été touvé dans la lttéatue su l effet des champs électomagnétques ou du couant ndut su les tansfomatons de phase. L nfluence de ce couplage ne semblant pas avo été soulevée, l sea néglgé. 8. La dépendance des paamètes électomagnétques aux phases pésentes a été abodée au chapte 3 pa l obsevaton de l évoluton de la conductvté électque d un ace noxydable. Mas nous avons également vu que la conductvté électque de l ace HR45 ne paat pas dépende dectement de la cnétque de changement de phase. Ce couplage sea alos néglgé dans nos smulatons. S nous étons dans le cas contae, nous consdéeons qu elle peut ête pse en compte à taves la tempéatue en postulant à po les cnétques d austéntsaton. 9. L nfluence de l état mécanque (lacunes, dslocatons, etc. ) su le champ magnétque, les couant nduts et les popétés électomagnétques, est explotée pou cetans contôles non destuctfs. Néanmons elle n est obsevable que dans cetanes condtons tès patculèes n entant pas dans le cade du chauffage pa nducton. Ce couplage ne sea donc pas consdéé. 0. Les effots nduts pa les champs magnétques (foces de Loentz) sont explotés dans le cade de cetans pocédés de mse en fome comme le magnétofomage ou dans le cade des moteus électques. Nous les néglgeons dans le cade du chauffage pa nducton ca nous nous ntéessons unquement au chauffage de la pèce. Notons que s nous nous ntéessons pa exemple, à la duée de ve de l nducteu, les foces de Loentz seaent nfluentes su le long teme (fatgue).. L agtaton themque est dans note cas, la souce d énege généant les tansfomatons métallugques. Ce couplage est ps en compte pa les paamètes d Avam themo dépendants, dédut d un dagamme TTT.. L enthalpe de tansfomaton due au caactèe endothemque ou exothemque des mécansmes métallugques est pse en compte et nséée dans le second membe de l équaton de la chaleu. Des hypothèses c-dessus, nous epésentons pa la Fgue 90 les couplages que nous pendons en compte dans note smulaton. 55

166 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Fgue 90 : Schéma epésentatf des couplages mult-physques dans le cade de nos hypothèses 56

167 5.5 Applcaton au pocédé sem-ndustel 5.5. APPLICATION AU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL Etudes antéeues su le HR45 Des campagnes de valdaton founsseu ont été éalsées au sen de PSA-Peugeot-Ctöen su des tôles de mm d épasseu en ace haute ésstance au manganèse HR45 [BERGE-003]. Le Tableau pésente les toléances de composton chmque ans que la composton caactésée su des échantllons d appovsonnement. C en % Mn en % S en % S en % Al en % Toléances < 0.90 < 0.03 < 0.0 > 0.0 Relevés Tableau : Analyse chmque de l ace HR45 Une caactésaton mcogaphque (Fgue 9) évèle une gosseu de gan d ndce ASTM de 9.5 (env. 3.3µm) et une stuctue fetque compotant des taces de bante. Fgue 9 : Mcogaphe de la stuctue HR45 d apès [BERGE-003] 57

168 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Paamètes de la lo THEVP Modules de Young et de Posson Nous penons pou valeu du module de Posson la valeu d usage dans les aces au cabone : 0.3. Pou le module de Young, nous utlsons également une valeu généque dépendante de la tempéatue. L évoluton chose est une évoluton lnéae allant de 00 GPa à tempéatue ambante jusqu à 00 GPa à 00 C. Le taux de défomaton élastque étant consdéé tès fable devant les défomatons évesbles, cette appoxmaton aua un effet néglgeable su les dstosons calculées Rhéologe su «mn-épouvette» chauffée pa effet Joule Une machne d essas de tacton à chaud a été développée au sen du CEMEF afn de pouvo caactése une lo de type THEVP su de pettes épouvettes (Fgue 9). La fome des épouvettes et des mos est patculèement adaptée à la caactésaton de tôles. La lageu des têtes de l épouvette peut avo un maxmum de 5mm. Cette machne de tacton pemet un assevssement de l essa de tacton sot en effot (pemettant ente aute des essas de dlatométe lbe à effot nul), sot en déplacement ou vtesse de déplacement. De plus, les mos sont elés à un généateu pouvant foun un couant maxmum de 50A. Ce couant tavesant l épouvette génèe de la chaleu pa effet Joule. Un themocouple K soudé au cente de l épouvette pemet d assev le couant foun pa appot à une consgne en tempéatue. Un logcel, également développé au CEMEF, pemet l acquston smultanée pa appot au temps : du déplacement et de la vtesse de déplacement des moes, d une mesue extensométque, de l ntensté du couant et de la tenson aux bones de l épouvette, de la mesue de 3 themocouples dont un themocouple d assevssement, de l effot de tacton. Fgue 9 : Epouvette de 5mm de lage, 60mm de long en tôle d épasseu mm chauffée pa effet Joule ente les mos de la machne de tacton développée au CEMEF 58

169 5.5 Applcaton au pocédé sem-ndustel Pépaaton des épouvettes En plus des contantes géométques habtuelles pou des essas de tacton (pa exemple, essas nomalsé EN 000-), la géométe des épouvettes dot ête adaptée à : la contante maxmale à attende pa appot à l effot maxmal de la machne (50daN), la vtesse de chauffage los de cycles themques pa appot au couant maxmum du généateu (50A), le gadent themque généé pa le système de chauffage de la pèce et le système de efodssement des mos (le gadent dot ête quas nul dans la zone utle de la pèce), le système de mesue de déplacement pa extensomète mécanque et son système de fxaton su la pèce (Fgue 93). Fgue 93 : système de mesue pa extensomète mécanque Pou l étude de l état bantque tempé à l eau, nous avons beson de epodue le pocédé de tatement themque au laboatoe, au plus poche des condtons du pocédé. Deux possbltés s offent à nous : tempe de la matèe dans laquelle nous usneons ensute les épouvettes ou usne les épouvettes avant d opée la tempe. La pemèe dée pose des poblèmes pou la phase d usnage avec un matéau tès du. De plus, l usnage d une telle pèce sque de cée un échauffement et ans nte un evenu de la bante. La seconde dée pose des poblèmes su la géométe de l épouvette qu sque de sub des dstosons los de la tempe qu ne pouont ête attapées los de l usnage. Nous chosssons néanmons cette seconde dée afn d avo une bante la plus smlae possble à celle qu on obtent los du pocédé ndustel. Les épouvettes sont chauffées pa lot de 0 dans un fou à 950 C pendant 5 mn pus tempées dans un ban d eau. Le temps de chauffage et d austéntsaton est le plus apde que nous pussons podue, et l est tout juste suffsant pou une austéntsaton complète. Nous devons alos nous assue que chaque épouvette a été totalement austéntsée. Pou cela, une épouvette pa sée seva à un contôle de la bante pa mcoscope optque. Los de cette opéaton, nous véfons qu aucune tace de fete n est pésente. Ensute, cette même épouvette ans que toutes celles de l échantllon subont un contôle de mco-dueté en 0 ponts aléatoes. Il s agt d essas Vckes sous de tès fables chages (00g). Nous véfons que la dueté est ben homogène dans l épouvette et qu elle coespond à celle obtenue los d un essa à l échelle ndustelle du pocédé. 59

170 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Dlatomete lbe : tempéatues d austéntsaton Afn d étude la héologe à dfféentes tempéatues des 3 états métallugques qu nous ntéessent (état de écepton, état austéntque et état tempé), nous devons connaîte les plages de tempéatues dans lesquelles se touvent chaque état. Pou ce fae, nous avons établ une campagne d essas de dlatométe lbe pou étude les tempéatues de changement de phase dans les deux cas suvants : Etat de écepton austénte Bante austénte Dans chacun de ces deux cas, on pocède à des essas de dlatométe lbe pou deux vtesses de chauffage dfféentes (chaque essa est éalsé 3 fos de manèe épétable) : Chauffage quas-statque de C/s Chauffage apde de 00 C/s Les essas en chauffage lent nous pemettent d obseve les tansfomatons de phase dans un état poche de l équlbe. Pou les essas apdes, la vtesse de chauffage a été chose pou ête dans l ode de gandeu des vtesses mses en jeu dans le pocédé ndustel (env. 70 C/s) et sem-ndustel (env. 0 C/s). La moyenne des 3 elevés de chaque essa ans que son écat avec la valeu maxmum et la valeu mnmum enegstées sont epésentés dans le Tableau 3. Etat ntal Etat de écepton Etat tempé C/s 00 C/s A C 75 +5/ /-0 A C / /-0 A C / /-0 A C / /-5 Tableau 3 : Tempéatues ( C) de début et de fn de tansfomaton austéntque pou deux états métallugques ntaux et à deux vtesses de chauffage : moyenne su 3 essas, et écat max et mn Les écats de mesue d une épouvette à une aute sont pncpalement dus à la dffculté de lectue des essas de dlatométe lbe. Les elevés (Fgue 94) sont tès butés, pou pate du fat que l assevssement en effot osclle su quelques Newtons. Nous pouvons véfe la valdté de nos mesues en compaant le coeffcent lnéque de dlataton moyen pa appot aux elevés des essas éalsés au sen du CRITT de Nancy. La Fgue 95 pésente cette compaason qu, ben que le but sot amplfé pa la dévaton, este tès satsfasante : les valeus obtenues los de nos essas sont tès légèement supéeues à celles obtenues pa le CRITT. 60

171 5.5 Applcaton au pocédé sem-ndustel Fgue 94 : Essa de dlatométe lbe du chauffage lent ( C/s) de l état tempé (bante) de l ambant à 000 C Fgue 95 : Compaason des ésultats obtenus au CEMEF en dlatométe lbe avec le coeffcent lnéque de dlataton mesué au CRITT de Nancy 6

172 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Caactésaton de la lo THEVP multphasée Etat de écepton de l ambante à 700 C Etant donné la ésstance du matéau, la géométe de l épouvette et l effot maxmum foun pa la machne (50daN), les essas à tempéatue ambante ont été éalsés su une machne de tacton DARTEC HA50/300. Les essas ont pu ête éalsés à chaud (su la machne Taboo développée au CEMEF) à pat de 400 C. Le plan d expéence compend des essas à 5 tempéatues dfféentes, constantes et homogènes (+/- 0 C) pendant l essa. Ces tempéatues sont choses suffsamment basses pou évte tout changement de phase. Tempéatue ambante (env.0 C) 400 C 500 C 600 C 690 C Pou chacune de ces tempéatues, 3 vtesses de défomaton, constantes los de l essa, sont testées. La fenête d étude des vtesses de défomaton est défne pa les ésultats d une pemèe smulaton numéque du pocédé pou un ace C0 standad : s s s - Fgue 96 : Ponts expémentaux et coubes héologques de la lo THEVP à dfféentes tempéatues pou l état de écepton 6

173 5.5 Applcaton au pocédé sem-ndustel Chaque essa à une tempéatue donnée et une vtesse de défomaton donnée est éalsé de manèe épétable 3 fos. Nous n obsevons pas de dfféence sgnfcatve des nuages de ponts pou les dfféentes vtesses de défomaton. La lo THEVP pésentée au chapte 4 sea alos smplfée pa un coeffcent de consstance nul à toutes tempéatues. Afn de etouve les paamètes de la lo THEVP à pat des nuages de ponts à chaque tempéatue, on utlse une méthode téatve de mnmsaton des gadents (au sens des mondes caés) tout en vellant à especte le sens physque de l évoluton des paamètes avec la tempéatue : la contante seul, le module d écoussage et le coeffcent d écoussage, sont décossants quand on augmente la tempéatue. Les los obtenues ans que les nuages de ponts expémentaux sont epésentés en Fgue 96. Austénte au-dessus de la tempéatue A 3 Nous opéons de la même manèe que pou la caactésaton de l état de écepton mas nous obseveons les tos vtesses de défomaton dfféentes unquement aux hautes tempéatues. N obsevant toujous pas de sensblté à la vtesse de défomaton dans note fenête d étude, une seule vtesse sea alos utlsée aux tempéatues mons élevées (0.0 s - ). La tempéatue A3 ayant été caactésée à 830 C, nous commenceons nos essas à 850 C afn de conseve une mage d eeu. De la même manèe que pou l état de écepton, nous étudons le compotement du matéau à 5 tempéatues dfféentes jusqu à la tempéatue maxmum que l ont peut attende los du pocédé, 00 C. 850 C 900 C 950 C 050 C 00 C Fgue 97 : Ponts expémentaux et coubes héologques de la lo THEVP à dfféentes tempéatues pou l état austéntque 63

174 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE La vtesse de montée en tempéatue n étant pas nfluente su la valeu de la tempéatue A 3, nous pouvons nous pemette de chauffe apdement l épouvette afn d ête au plus poche des condtons du pocédé (notamment en ce qu concene l homogénété de l austénte et la talle de gan). Toutefos, nous sommes lmtés pa la pussance de la machne (couant max de 50A) et pa un temps de manten à tempéatue pou évte les gadents dans la zone utle de l épouvette. Nous opéons alos un chauffage à 50 C/s jusqu à la tempéatue de l essa suv d un manten à cette tempéatue pendant 3s. Etat tempé en ban d eau : bante Les essas héologques su les épouvettes tempés sont éalsés de la même manèe que pou l état de écepton. Les essas à tempéatue ambante sont éalsés su la machne DARTEC. La machne Taboo développée au CEMEF, lmtée pa des effots de tacton de 50 dan, ne nous pemet des essas à chaud qu à pat de 600 C. Nous fasons donc un essa à 600 c et un à 650 C. De plus, nous consdéeons la bante comme puement plastque. C'est-à-de que dans la lo THEVP poposée au chapte 4, nous posons le teme σ 0 (lmte d élastcté) égal à zéo. De même que pou l état de écepton et que pou l austénte, aucune sensblté sgnfcatve à la vtesse de défomaton n est constatée. Afn d évte tout phénomène de evenue de la bante, nous devons chauffe les épouvettes le plus apdement possble tout en gaantssant une homogénété en tempéatue dans la zone utle de l épouvette. Nous opéons alos la même montée en tempéatue que dans le cade de l étude de l austénte (50 C/s pus 3s de manten). Fgue 98 : Ponts expémentaux et coubes héologques de la lo THEVP à dfféentes tempéatues pou l état tempé (bante) On constate su les ésultats (Fgue 98) qu une lo pussance n est pas ben adaptée au compotement à fod du matéau tempé. Néanmons, l appoxmaton que nous fasons 64

175 5.5 Applcaton au pocédé sem-ndustel n aua que peu d nfluence su les ésultats numéques en teme de défomaton pusque pa appot aux autes phases, la bante à tempéatue ambante pouat ête consdéée comme pafatement gde plastque Mse en données des paamètes héologques dans le code de calcul De la même manèe que les paamètes themophysques, les paamètes héologques sont entés pont pa pont dans un fche de données. Le code de calcul effectue ensute une ntepolaton lnéae ente deux ponts donnés. Cette méthode peut entaîne une appoxmaton non néglgeable à basse tempéatue pusque nous n avons pas pu éalse d essas ente la tempéatue ambante et 400 C en ce qu concene l état de écepton et 600 C en ce qu concene l état bantque. Concenant les paamètes de la lo de Hooke (module de Young et de Posson), les mêmes valeus sont entées pou chaque phase. Chacune des 3 phases métallugques du pocédé a son pope compotement héologque. La mse en données des paamètes de la lo THEVP se fat alos comme le pésente le Tableau 4 pou l état de écepton, le Tableau 5 pou l austénte et le Tableau 6 pou la bante. Tempéatue ( C) Seul d élastcté σ 0 (MPa) Consstance K (MPa.s m ) Coeffcent de sensblté à la vtesse m Module d écoussage H (MPa) Coeffcent d écoussage n Tableau 4 : Mse en donnée des paamètes THEVP de l état de écepton Tempéatue ( C) Seul d élastcté σ 0 (MPa) Consstance K (MPa.s m ) Coeffcent de sensblté à la vtesse m Module d écoussage H (MPa) Coeffcent d écoussage n Tableau 5 : Mse en donnée des paamètes THEVP de l austénte 65

176 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Tempéatue ( C) Seul d élastcté σ 0 (MPa) Consstance K (MPa.s m ) Coeffcent de sensblté à la vtesse m Module d écoussage H (MPa) Coeffcent d écoussage n Tableau 6 : Mse en donnée des paamètes THEVP de l état tempé Dagammes TTA, TTT et paamètes des couplages métallugques Consttuton d un dagamme TTA Nous avons vu dans ce chapte que les dagammes TTA et TTT sont utlsés dans le code de calcul sous une fome tabulée de 3 temps de tansfomaton pou des tempéatues données (le temps de fn d ncubaton et pa exemple les temps à 0% et 90% de tansfomaton). De plus, nous devons ensegne le taux maxmum (s le temps tend ves l nfn) de la phase appaente à chaque tempéatue. Les essas péalables à la caactésaton héologque multphasée (paagaphe ) suffsent à consdée que l austéntsaton du HR45 pou des vtesses de chauffage autou de 00 C/s peut ête consdéée comme quas statque. Nous enteons alos des temps tès couts (ben nféeus au pas de temps themque et supéeus à la pécson numéque) pou le temps d ncubaton et les temps où 0% et 90% de la tansfomaton sont éalsés. Le taux maxmum de phase sea une évoluton lnéae de 0 à ente les tempéatues A C et A C3. La mse en données du dagamme TTA du HR45 sea alos la suvante : Tempéatue ( C) Temps d ncubaton t deb (s) t 0% (s) t 90% (s) y max Tableau 7 : Paamètes du dagamme TTA du HR45 pou des vtesses de chauffage jusqu à 50 C/s Estmaton d un dagamme TTT Le HR45 est, de pa sa composton chmque, un ace de type C5. La Fgue 99 pésente une évaluaton à tte ndcatf de tempabltés de dfféents aces d apès [MURRY-00]. La noton de tempablté epésente la faclté de mse en œuve d une tempe pemettant d attende une dueté donnée (dépendante de l utlsaton futue du matéau). Nous pouvons constate que les aces de type C5 (comme le HR45) font pate de ceux que l on consdèe tès peu tempants. En effet, s nous voulons détemne expémentalement la vtesse ctque de tempe bantque (coube tempéatue-temps qu tangente le domane bantque 66

177 5.5 Applcaton au pocédé sem-ndustel au nveau du nez ), l faudat mette en jeu des vtesses de tempe extêmement élevées, tès dffcles à attende avec la technologe actuelle. Une campagne d essas au sen du CRITT de Nancy vsant à constue un dagamme TRC ne nous a pas pems d attende le domane bantque. En efodssant l échantllon de manèe contôlée à l azote lqude (efodssement local attegnant les 00 C/s), nous n avons pas pu attende le domane bantque. Il est donc nécessae d estme le dagamme TTT à pat de los empques de la lttéatue. Fgue 99 : Compaason de tempablté de dfféents aces d apès [MURRY-00] Le pé-pocesseu du logcel Foge3 TTT compote un outl pemettant de calcule un dagamme TTT à pat de la composton chmque et de la talle de gan du matéau. L algothme utlsé s appue, comme de nombeux autes outls de pédcton de cnétques de tansfomaton [GUO-005 ; SAUNDERS-004 ; ÅKERSTRÖM-006], su la méthode de Kkaldy [BUCHMAYR-990 ; KIRKALDY-984]. En peme leu, nous devons estme les tempéatues caactéstques des changements de phases qu sont les tempéatues A C et A C3 (tempéatues de début et fn d austéntsaton à l équlbe), la tempéatue de Hultgen TH, la tempéatue de début de tansfomaton bantque B S et la tempéatue de début de tansfomaton matenstque M S. Les los utlsées pou le calcul de ces tempéatues sont des los empques touvées dans la lttéatue, étables à pat d un gand nombe de nuances compses dans un cetan domane de valdté spécfé pa l auteu (généalement les aces à fable cabone et peu allés). Consdéons tout d abod la tempéatue la plus élevée : A C3. Le chox de modèles et les ésultats qu ls founssent étant tès vaés dans la lttéatue, l outl de calcul Foge utlse deux los dfféentes et établt une moyenne su ces deux ésultats. Les deux modèles choss sont ceux de Andews [ANDREWS-965] et de Kasatkn [KASATKIN-984] : 67

178 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE Andews : 88. C A C3 = C 5.N S + 04V + 3.5Mo + 3.W 30Mn C 0Cu + 700P + 400Al + 0As + 400T (% masse) Kasatkn : C A C3 = 9 370C 7.4Mn + 7.3S 6.35C 37.N + 95.V + 90T + 7Al Nb W + 33S + 76P + 485N 900B + 6.C. Mn + 3.3C. S + 5.4C. C + 48C. N + 4.3S. C 7.3S. Mo 8.6S. N + 4.8Mn. N MoV. + 74C + 9.9Mo +.4N +.46Mn 60.V 6.86S + 0.3C (% masse) (8) La tempéatue A C3 poposée pa Foge est alos 839. C. Ces valeus nous confotent vs-àvs de nos essas expémentaux et nous péféons alos mpose au logcel la tempéatue que nous avons chos d utlse sute à note caactésaton expémentale (paagaphe ) : 838 C. La tempéatue de début d austéntsaton A C est tès peu sensble à la teneu en cabone et les quelques modèles de la lttéatue donnent sensblement les mêmes ésultats dans le cade des aces fablement allés [MEY-997]. Nous chosssons alos un seul modèle qu sea le modèle de Andews. Andews : 75. C AC = Mn 6.9N + 9.S + 6.9C W + 90As (% masse) (9) De la même manèe que pou A C3, nous péféons mpose la valeu ésultante de nos expéences : 730 C La tempéatue de Hultgen TH est calculée, pou les aces hypoeutectoïdes, pa polongaton de la coube de tempéatue A em d un dagamme d équlbe, en dessous de A C. Néanmons, cette tempéatue ne peut ête nféeue à la tempéatue de début de tansfomaton bantque B S. La tempéatue TH est alos le maxmum ente la tempéatue de Hultgen et B S. Dans note cas, l s aga de la tempéatue B S qu est calculée à pat du modèle de Klkaldy [KIRKALDY-984] : Kkaldy : B S 69.5 C = C 35Mn 75S 5.3N 34C 4.Mo (% masse) (30) Enfn, la denèe tempéatue caactéstque est la tempéatue de début de tansfomaton matenstque M S. Il s agt de la tempéatue pou laquelle on touve le plus de modèles dans la lttéatue [KUNG-98]. Nous chosssons alos, comme pou A C3, d utlse deux modèles et d établ une moyenne ente les deux : Haynes [STEVEN-956] et Andews [ANDREWS- 965]. 68

179 5.5 Applcaton au pocédé sem-ndustel Haynes: C M Andews: C M S S = C 33Mn 7C 7N Mo + 0Co 7.5S = C 6.9N C 9.5Mo 7.44Mn. C 67.6C. C + 6.9C (% masse) (% masse) (3) La tempéatue M S obtenue est alos C. Une fos les domanes de fomaton des dfféentes phases délmtés pa les tempéatues caactéstques c-dessus, nous pouvons établ un dagamme TTT à pat de la méthode de Kkaldy. Cette méthode est basée su une hypothèse de base que consste à de que les cnétques de tansfomaton dffusves peuvent s éce sous la fome d un podut de 4 fonctons, chacune dépendante d un des 4 paamètes suvants : talle de gan, composton chmque, tempéatue, taux de phases. La fome ognale poposée pa Kkaldy s éct sous la fome : dy dt = avec f ( G). f ( C, Mn, N, C, Mo). f ( T ). f ( y ) f f f 3 4 ( G ) ( G) = n ( T ) = T ( y ) = D y y 3 ( y ) ( ) 3 ( y ) / X 3 4 (3) G est la valeu ASTM de la talle de gan ; C, Mn, N, C et Mo sont les poucentages massques des dfféents composés chmques de l allage ; T est la tempéatue couante du matéau et T le sous-efodssement pa appot à la tempéatue de début de tansfomaton à l équlbe ; n et D sont deux coeffcents dépendant des tansfomatons en cous (n dépend unquement du type de mécansme de dffuson et D dépend également de l énege d actvaton de la dffuson) ; y est le taux couant de la phase appaente et X est un facteu de etad de la éacton (etad dû à la stablsaton de l austénte dans la tansfomaton bantque). En nvesant cette équaton et en ntégant, on peut obten le temps τ nécessae à la tansfomaton d une popoton y de la phase, à une tempéatue T : y dx τ ( y, T ) = (33) f ( G). f ( C, Mn, N, C, Mo). f ( T ) f ( x) L dentfcaton empque de la foncton f et des paamètes n, D et X su un gand nombe de nuances pemet l établssement de dagammes TTT pou une talle de gan austéntque et une composton chmque données. D apès les tavaux de Kkaldy, les temps de tansfomaton fetque, peltque et bantque sont défns pa : 69

180 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE τ τ τ f p b y ( y, T ) = 0 G 3500 ( x) 3 RT 3 T e x ( x ) ( y, T ) ( y, T ) = = 0 0 y y avec X 59.6Mn +.45N C + 44Mo dx X G T 3 e [ ( C + Mo + 4MoN) ] RT + ( 0.0C + 0.5Mo) 7500 RT RT 4 ( C + 3.8C + 9Mo) ( ) dx G x x RT 3 T e x ( x ) 3 = exp (.9C +.5Mn + 0.9N +.7C + 4Mo.6) x 3 x ( x) 3 ( x ) [ x ] e e x 3 dx (34) Pou la nuance HR45 dont la composton chmque et la talle de gan sont données au paagaphe 5.5., le dagamme TTT obtenu pa la méthode de Kkaldy est epésenté pa la Fgue Tempéatue ( C) Tdeb Fe T0% Fe T90% Fe Tdeb Pel T0% Pel T90% Pel 400 Tdeb Ban T0% Ban T90% Ban A3 A BS MS 300,E-0,E-0,E+00,E+0,E+0 temps (s) Fgue 00 : Dagamme TTT calculé pa la méthode de Kkaldy pou une nuance HR Couplages ente mécanque et métalluge Plastcté de tansfomaton Nous avons vu au chapte 5 que la plastcté de tansfomaton peut ête modélsée à l ade d un paamète matéau K : 3 ε& = K f pt ( y) y& s (35) 70

181 5.5 Applcaton au pocédé sem-ndustel Ce paamète peut ête dentfé pa des essas de dlatométe pou lesquels on applque une fable contante (nféeue à la lmte d élastcté) au début de la tansfomaton métallugque [TALEB-00]. Concenant le pocédé que nous souhatons modélse, l s agt d une tansfomaton bantque dont les vtesses de efodssements tès apdes sont celles du pocédé. O, nous avons évoqué au paagaphe pécédent la dffculté de contôle des essas dlatométques mplquant un tel efodssement. Nous ne pouvons alos caactése le paamète K dans des condtons convenables. De plus, nous touvons peu de ésultats dans la lttéatue pou la plastcté los de tansfomatons bantques. Cec est dû pncpalement au fat que les mécansmes métallugques en jeu dffèent selon le type de bante obtenue (vo chapte ) et donc qu ls mpactent su la valeu de K. [LEBLOND-989] donne un ode de gandeu généal du paamète K : envon 0-4 MPa -. C est alos la valeu que nous utlseons dans nos smulatons. Cette hypothèse est peut-ête fote ca nous veons au chapte suvant que la plastcté de tansfomaton tent une place pépondéante dans les défomatons fnales du pocédé. Vaaton volumque aux changements de phases [DENIS-987] popose le calcul d une défomaton ésultante de la vaaton volumque au changement de phase, à une tempéatue de éféence de 0 C. Dans ce cas, nous pouvons éce le paamète d expanson ε 0 t en foncton des denstés volumques à 0 C : ρ ρ ε (36) 0 C 0 C 0 ecep aust 3 = 8.0 t 0 C 3 ρ aust Généalement, le même paamète est utlsé pou toutes les tansfomatons de type γ α. Nous utlseons alos cette valeu autant pou la tansfomaton de l état de écepton en austénte au chauffage que pou la tansfomaton de l austénte en bante à la tempe. Pou les tansfomatons matenstques, la valeu de ce paamète est en généal légèement plus élevée mas note pocédé ne nécesste pas le calcul de cette valeu Couplage themo métallugque : Enthalpes de tansfomaton Nous avons vu Fgue 64 que la coube expémentale de la chaleu spécfque en foncton de la tempéatue pésente un «pc» au nveau du changement de phase. Cec est la manfestaton du caactèe endothemque de la tansfomaton métallugque. L énege themque alos consommée est appelée enthalpe de tansfomaton (ou chaleu latente) et elle peut ête calculée en mesuant l ae du «pc» de la coube du facteu ρ.cp en foncton de la tempéatue : 7

182 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE 8 7 ρ.c P (x0 6 J.m -3. C - ) ,0 8 J/m Tempéatues ( C) Fgue 0 : Méthode gaphque de mesue de l enthalpe de tansfomaton Apès calcul, nous obtenons une enthalpe de tansfomaton de.0 8 J.m Résultats de calcul Les ésultats obtenus pa la modélsaton complète des couplages themomécanques, électomagnétques et métallugques, dans le cade du pocédé sem ndustel seont pésentés et dscutés au chapte suvant. Dans ce paagaphe nous montons unquement les ésultats de calcul d austéntsaton (Fgue 0.a) et de défomaton pa couplage ente mécanque et métalluge (plastcté de tansfomaton) (Fgue 0.b). a. b. Fgue 0 : Taux d austénte en fn de chauffage (a) et défomaton pa plastcté de tansfomaton en fn de tempe (b). 7

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184 MODELISATION COUPLEE THERMOMECANIQUE ET METALLURGIQUE [DENIS-987b] - Dens S., Sjöstöm S., Smon A., "Coupled tempeatue, stess, phase tansfomaton calculaton model. Numecal llustaton of the ntenal stesses evoluton dung coolng of a eutectod cabon steel cylnde", Métall. Tans. A, vol. 8, p. 03-, 987b. [DESALOS-003] - Desalos Y., "Intoducton aux tatements themques des métaux et allages", Technques de l Ingéneu - taté Matéaux métallques, n M05, 003. [DIANI-99] - Dan J.M., Saba H., Bevelle M., "Mcomechancal modellng of tansfomaton nduced plastcty (TRIP) phenomenon n steels", Int. J. Eng. Sc., vol. 33, n 3, p , 99. [FARIAS-99] - Faas D., Tatement themque lase de l ace XC4 et modélsaton des tansfomatons de phases en cycles apdes au chauffage et au efodssement, Thèse de doctoat, INPL, 99. [FARIAS-990] - Faas D., Dens S., Smon A., "Les tansfomatons de phases en cycle themque apde et leu modélsaton. Cas d'un ace XC4", Tatement themque, vol. 37, p , 990. [FERNANDES-985] - Fenandes F.M., Modélsaton et calcul de l'évoluton de la tempéatue et de la mcostuctue au cous du efodssement des aces, Thèse de Doctoat, Insttut Natonal Polytechnque de Loane, 985. [FISHER-000] - Fshe F.D., Resne G., Wene E. et al, "A new vew on tansfomaton nduced plastcty (TRIP)", Int. J. Plast., vol. 6, p , 000. [GARCIA-98] - Gaca C.I., Deado A.J., "Fomaton of austente n.5 Pct Mn Steels", Métall. Tans. A, vol., p , 98. [GAUTIER-995] - Gaute E., Zhang J.S., Zhang X.M., "Matenstc tansfomaton unde stess n feous alloys. Machancal behavo and esultng mophologes", J. Phys. IV, colloque C8, supplément au J. Phys. III, vol. 5, p. 4-50, 995. [GAUTIER-987] - Gaute E., Smon A., Beck G., "Plastcté de tansfomaton duant la tansfomaton peltque d'un ace eutectode", acta metall., vol. 35, n 6, p , 987. [GREENWOOD-965] - Geenwood G.W., Johnson R.H., "The défomaton of metal unde small stesses dung phase tansfomaton", Poc. Roy. Soc. A, vol. 83, p , 965. [GUO-005] - Guo Z., Schllé J.-., Saundes N. et al, "Modellng mateal popetes leadng to the pedcton of dstoton dung heat teatment of steels fo automotve applcatons", nd Int. Conf. on Heat Teatment and Suf. Eng. n Automotve Applcatons, 005. [INOUE-987] - Inoue K., Ohmua E., Hauta K. et al, "Theoetcal analyss of heat flow and stuctual changes dung lase tansfomaton hadenng of hypoeutectoïdal steel", Tans. of JWRI, vol. 6, n, p , 987. [JAOUEN-999] - Jaouen O., Modélsaton tdmensonnelle pa éléments fns pou l'analyse themo-mécanque du efodssement des pèces de fondee, Thèse de doctoat, ENSMP,

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188 78

189 CHAPITRE 6 79

190 80

191 Chapte 6 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI- INDUSTRIEL 6.. Mse en données du code de calcul Plan d expéence numéque Compaason des ésultats numéques à l expéence Smulaton du bdage de la tôle emboute Résultats en tempéatue Etude métallugque Pédcton de la géométe fnale Etude des dstosons mécanques au cous du pocédé Elongaton des pèces Ouvetue de la fome en «U» Etats de contantes et défomatons Concluson su les ésultats numéques 97 Bblogaphe 98 8

192 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL 6.. MISE EN DONNEES DU CODE DE CALCUL Dans les chaptes pécédents, nous avons vu qu un poblème mult-physque mplquant autant de couplages que le note, demande la connassance de nombeux paamètes dont la caactésaton est souvent tès pontue et pafos tès dffcle à mette en place. C est peutête là que ésde la pncpale fablesse de note modélsaton avec une appoche tès macoscopque et phénoménologque de la physque. Les ésultats numéques que nous veons dans ce chapte et sutout leu compaason avec les ésultats expémentaux, nous donneont plus d nfomatons su la valdté de note appoche et de nos hypothèses. Néanmons, l est mpotant de gade à l espt que nous connassons mal note matéau, pncpalement d un pont de vue métallugque, et que nous avons fat de nombeuses hypothèses. Cec ne nous pemetta pas de fae des conclusons d un pont de vue quanttatf su le pocédé, mas nous auont tès cetanement une bonne appoche d un pont de vue qualtatf, ce qu este le pncpal objectf de cette pemèe étude numéque du pojet. Bdage Lbe Seé Peçage Ou Non Ou Non s LT LP ST SP Retad douche 3s LT3 LP3 X X Tableau 8 : Plan d expéence et numéo des essas numéques 6.. PLAN D EXPERIENCE NUMERIQUE Rappelons que le cas sem-ndustel est un cas d étude que nous avons chos afn de smplfe la poblématque du enfot de ped cental et afn d obseve le len ente deux types de dstosons : la femetue ou ouvetue de la fome en U, et la modfcaton du galbe de la pèce. Dans le paagaphe.. du Chapte, nous pésentons et explquons le chox d un plan d expéence pou des essas empques. En ce qu concene les essas numéques, nous nous tendons au même plan d expéence (Tableau 8). Le modèle électomagnétque est composé de la pèce, de l nducteu et de l a envonnant (Fgue 03). Du fat de la syméte du poblème, un plan de syméte est consdéé (vo condtons lmtes au chapte 3). Le modèle numéque électomagnétque compote cetanes appoxmatons géométques : Les cotes géométques de l nducteu étaent compses dans des toléances elatvement lages dues à la dffculté du taval du cuve et les cotes utlsées pou le modèle numéque sont celles du cahe des chages. Du fat de la fable ésstance mécanque du cuve, l nducteu flécht sous l effet des effots de Laplace los du chauffage de la pèce. L entefe est alos modfé duant le pocédé, et ce couplage ente mécanque et électomagnétsme n est pas ps en compte dans note modélsaton. Le modèle chos pou la pèce est basé su une moyenne des mesues qu ont été fates su les épouvettes (vo paagaphe..4. du chapte ). Les écats peuvent alle jusqu à,7% de la cote moyenne, modfant ans légèement les couplages électomagnétques. 8

193 6. Plan d expéence numéque Fgue 03 : Modèle du poblème électomagnétque composé de l nducteu et de la pèce noyés dans l a envonnant (total de 8867 elts). Le modèle themque, mécanque et métallugque est composé d un suppot de bdage, de pèces d appu (haute et basse) et d une pèce de bdage (pou les essas ST et SP). La tôle emboute n est pas entèement modélsée pusque qu elle pésente plans de syméte. Néanmons, le système de mantent de la pèce n étant pas symétque su un de ces plans, nous utlseons un seul de ces plans de syméte afn d allége le modèle. La Fgue 04 pésente le modèle su une vue éclatée, et pécse le nombe d éléments de chaque outl et de la pèce. Fgue 04 : Vsualsaton éclatée du système modélsé et du mallage de chaque pèce. 83

194 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL Le calcul d un pocédé complet se décompose en pluseus calculs sépaés : le seage de la pèce (pou les essas ST et SP), le calcul électomagnétque, le chauffage localsé de la pèce, le etad douche et la tempe. Nous consdéons que les déplacements applqués à la pèce pa le bdage n nfluencent pas de manèe sensble les ésultats électomagnétques. Nous feons unquement calculs électomagnétques : pou les pèces pecées et les pèces non pecées. Les essas de mêmes condtons de bdage et peçage mas de temps de etad douche dfféents, ne dffèent qu à pat du calcul de tempe pou lequel les condtons ntales sont : sot celles obtenues apès s de etad douche, sot celles obtenues apès 3s de etad douche (le etad douche est toujous smulé su 3s). Ans, nous effectuons 4 calculs de bdage, chauffage et etad douche, et 6 calculs de tempe ( pa essa). Que la pèce sot dans les confguatons appelées «lbe» ou «bdée», un etou élastque s opèe losque nous l enlevons de son suppot. Des calculs de etou élastques sont alos effectués en espectant la pocédue expémentale utlsée pou enleve les pèces du suppot. Ans, ou 3 calculs de etou élastque sont effectués successvement dans l ode suvant : etat de l outl de bdage s l y a leu (essas ST et SP), etat des appus haut et bas, etat du suppot. Au chapte 4, nous avons vu que le poblème mécanque est expmé pa une fomulaton en vtesse-pesson. La méthode de ésoluton donne alos à chaque téaton de Newton- Raphson, un système lnéae symétque défn sem-postf (vo annexe 5). Une méthode téatve de ésdu mnmal pécondtonnée a été utlsée pou ésoude le système. Le pécondtonneu pa defaut, une factosaton LU ncomplète, s est avéé stagne. Nous avons donc cheché un aute pécondtonneu pou le même solveu et nous nous sommes aêté su un pécondtonneu SSOR, patculèement adapté aux modèles dont la talle de malle est fotement ansotope (annexe 5). Electomagnétsme 3h Bdage tôle h Bdage Lbe Seé Chauffage 7h40 Retou de bdage X 9h0 Retad douche 7h45 Retou des appus haut et bas 8h0 6h30 Tempe 5h45 Retou du suppot 3h30 3h Tableau 9 : Temps de calcul moyens pou les dfféentes étapes du pocédé et pou le etou élastque. Les temps de calcul moyens pou les dfféentes étapes et les dfféents etous élastques sont donnés au Tableau 9. Les calculs ont été effectués su un PC avec un pocesseu de.ghz doté de Go de RAM. Les ognes des longs temps de calcul sont pncpalement la talle du modèle (7470 éléments et 509 noeuds pou la tôle emboute sans tou), la geston du contact (4860 tangles de suface), et le gand nombe de pas de temps. Ce dene est dû au fat que nous le lmtons les pas de temps pa une évoluton themque maxmum de 0 C afn de epésente au meux les évolutons métallugques. 84

195 6.3 Compaason des ésultats numéques à l expéence 6.3. COMPARAISON DES RESULTATS NUMERIQUES A L EXPERIENCE Smulaton du bdage de la tôle emboute Le système expémental nous pemet de see la pèce en déplaçant l outl de bdage su un axe pependculae à la suface de contact jusqu à ce qu un espace de mm exactement se touve ente la pèce et l outl de suppot. En éalsant la smulaton de ce seage, on obtent les ésultas de contante (contantes équvalentes au sens de Von Mses) et défomatons plastques équvalentes des pèces pecées et non pecées. Ces ésultats sont pésentés en Fgue 05. (a) (b) Fgue 05 : Contantes équvalentes au sens de Von Mses en Pa (a) et défomaton plastque (b) apès le seage des pèces des essas ST et SP 85

196 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL Los des essas expémentaux, nous avons constaté qu apès seage pus desseage, la pèce etouvat ses cotes d ogne. On en avat dédut que le matéau ne plastfat pas, ou tès peu, et de manèe tès localsée. C est ce que nous monte la Fgue 05. Les défomatons plastques ndutes dans la pèce los de son seage sont d une pat tès fables (maxmum à env. 0,04% dans les deux confguatons) et d aute pat tès localsées. De plus, ce smple essa de femetue de la fome en U pa sollctaton mécanque nous monte l mpact dect su le galbe de la pèce. En effet, la pèce se galbe los de son bdage avec l outl de seage comme le monte la Fgue 06. Fgue 06 : Repésentaton du champ de déplacements de la pèce los du bdage : les vecteus epésentent les déplacements dans l espace, le champ de couleu epésente les déplacement dans l axe de seage (axe X) Résultats en tempéatue Nous avons vu, dans le contexte expémental, que les ponts de mesue des zones dectement poches des nducteus donnent les valeus les plus élevées. Ensute, nous avons constaté que les mesues dans les ayons ponçons donnent des valeus plus fables et que le chauffage en ces leux se fat pa dffuson themque et non dectement pa effet Joule. Enfn, les mesues de tempéatues stuées au nveau du bod des tous de peçage donnent des ésultats plus élevés losque la pèce est pecée. Compaons, dans le cas d un tatement themque avec un etad douche de seconde, les ésultats numéques et expémentaux en ces 3 ponts. La Fgue 07 pésente les coubes d évoluton des tempéatues. Comme nous l avons emaqué au chapte, les mesues expémentales de la tempéatue en tempe ne sont pas explotables ca les soudues des themocouples ne sont pas fables sous la pesson de l eau de la douche. Néanmons, nous pouvons fae une compaason des ésultats numéques pa appot aux ésultats expémentaux los du chauffage et du etad douche. 86

197 6.3 Compaason des ésultats numéques à l expéence B Tempéatue ( C) C A A temps (s) Fgue 07 : Compaason numéque (tats plens) et expémentale (ponts) des tempéatues à l ntéeu du ayon ponçon (C), en face de l nducteu (B), au bod du tou pecé (A) et au même endot pou les pèces qu ne sont pas pecées (A). Tout d abod, nous obsevons que la coube des elevés numéques de tempéatue au pont de mesue le plus poche de l nducteu (coube B), epodut ben les elevés expémentaux. De même, la pésence du tou dans la pèce est tès ben pse en compte dans le calcul numéque. Les coubes numéques A et A coespondent ben aux mesues expémentales, ce qu nous confote su la qualté de la modélsaton électomagnétque des effets de bod, ans que su la modélsaton de la dffuson themque. Pa conte, un écat non néglgeable ente la coube numéque et les ponts expémentaux est obsevé dans le ayon ponçon (coube C). Cec peut s explque pa l appoxmaton géométque du système expémental et pncpalement de l nducteu, comme nous l avons déjà soulgné au paagaphe 6.. En effet, la zone du ayon ponçon est patculèement sensble à cette appoxmaton ca elle se touve à l endot où nteagssent les champs électomagnétques de deux boucles de l nducteu, comme le monte la Fgue 08. Cette fgue epésente la valeu nomale à une secton au cente de la pèce du potentel magnétque. Rappelons que le vecteu A est colnéae au champ électque E et, dans nos hypothèses, de valeu dectement popotonnelle ( A = jωσ E ). 87

198 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL Fgue 08 : Composante nomale au plan de coupe du champs A. La coupe est à m-longueu de la pèce. Les lgnes epésentent les fontèes appoxmatves des fontèes des domanes. Los de nos expéences, nous avons vu que le champ de tempéatue maxmum attent pouvat ête vsualsé gâce au evêtement de znc. En effet, une lgne tès nettement maquée appaaît dans la zone où la tempéatue de la pèce a attent la tempéatue de fuson du evêtement (envon 40 C pou le znc). La Fgue 09 compae l sovaleu numéque à 40 C apès le etad douche avec la maque lassée su les épouvettes apès tatement themque. Fgue 09 : Photos des pèces apès tatement themque et sovaleu de tempéatue à 40 C apès la smulaton du etad douche. 88

199 Etude métallugque 6.3 Compaason des ésultats numéques à l expéence Nous avons vu los de l étude expémentale que la stuctue obtenue apès tatement themque est une bante nféeue. Nous pouvons constate Fgue 0, que dans la smulaton numéque, 6% de matenste appaaît los de la tempe. Ce ésultat ne coespond pas à l étude expémentale et son obsevaton pa mcoscope optque. Cec est tès cetanement la conséquence d un dagamme TTT dédut de los empques et statstques et non caactésé., Austente Etat de écepton Pelte Bante Matenste 0,9 0,8 0,7 taux de phases 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-0, Retad Chauffage pa nducton Douche Tempe ge pa temps (s) Fgue 0 : Evoluton stuctuale du matéau pa appot au temps au nveau du pont B de la pèce (essa LP). Avec ces données, le calcul numéque ne nous pemet donc pas d avo une bonne pédcton des phases pésentes en fn de pocédé. Néanmons, nous utlsons comme paamètes themomécanques de la matenste, les paamètes utlsés pou la bante. Ce chox n est pas physque mas pemet d avo un ésultat themomécanque qu n est pas affecté pa les eeus métallugques dues au manque de données matéau. En ce qu concene l étude de la épatton géométque des phases dans la pèce, nous utlseons le taux d austénte en fn de etad douche comme un estmateu de la ZAT. Sous l hypothèse que, dans l expéence, toute l austénte pésente en fn de etad douche est ensute tansfomée en bante, nous pouvons compae l estmateu obtenu numéquement avec, pa exemple, la dueté des épouvettes en fn de tatement themque. La Fgue appelle les elevés de dueté déjà pésentés au chapte afn de les compae avec la ZAT à la fn du etad douche de l essa LP, pou des temps de etad de s et 3s. Nous pouvons constate dans les ésultats numéques, un taux d austénte fable pa appot à ce qu on auat pu attende dans la zone du ayon ponçon, sute à l étude expémentale. Rappelons que nous avons touvé un taux de bante d envon 50% dans cette zone. Cela s explque dectement pa les obsevatons fates au paagaphe 6.3. su le fat que la 89

200 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL tempéatue est sous estmée au pont C (dans le ayon ponçon) et au paagaphe 6. su les écats géométques ente le modèle numéque et le dspostf expémental. Temps de etad douche : s Expéence Temps de etad douche : 3s Fgue : Compaason numéque et expéence des ZAT : champ de taux d austénte pou les ésultats numéques et dueté HV pou les obsevatons expémentales Pédcton de la géométe fnale Nous appelons Fgue la numéotaton des cotes que nous avons mesuées los de nos expéences. Pou les ésultats numéques, nous elèveons la valeu de chacune de ces cotes en foncton du temps. Dans ce paagaphe, nous nous ntéesseons unquement aux valeus de ces cotes à la fn des smulatons de etou élastque, et nous les compaons aux mesues expémentales. L étude de l évoluton dans le temps de chaque cote en foncton des paamètes du pocédé fea l objet d un paagaphe ultéeu. Fgue : Rappel des 6 cotes mesuées su les épouvettes sem-ndustelles 90

201 6.3 Compaason des ésultats numéques à l expéence Le Tableau 0 pésente les écats en mm ente les valeus avant et apès tatement themque des cotes à 6, pou les mesues expémentales comme pou les elevés numéques. Intéessons nous tout d abod à la cote (longueu des pèces). Nous constatons que les ésultats numéques vaent peu en foncton des confguatons d essa et que la tendance est à la dmnuton de longueu, tout comme nous l avons vu pou les mesues expémentales. Néanmons, le étécssement de la pèce est beaucoup plus pononcé que dans l expéence. Cec peut ête dû à la valeu du coeffcent de dlataton themque utlsé dans le calcul numéque pou la bante. Exp Num Essa LP Essa LP3 Essa LT Essa LT3 Essa ST Essa SP Essa LP Essa LP3 Essa LT Essa LT3 Essa ST Essa SP Tableau 0 : Ecats en mm des cotes mesuées avant TTH et apès TTH. Moyenne su les 3 épouvettes de chaque essa et ésultats numéques Obsevons mantenant la cote qu est la lageu de la pèce mesuée en sote de ayon ponçon. Nous obsevons, comme dans l expéence, que cette cote vae tès peu losque la pèce n est pas bdée et qu elle dmnue d envon 0.3mm losqu elle la pèce est bdée pendant le tatement themque. La cote 3 donne également des ésultats numéques smlaes à l expéence, ben que nous n obsevons pas de dépendance au temps de etad douche (LP vs LP3 ou LT vs LT3). Nous n obsevons pas de dépendance sensble à la pésence du tou (LP vs LT ou LP3 vs LT3) dans les ésultats numéques, comme dans les ésultats expémentaux. Pa conte, la sensblté de la cote 3 à la pésence du bdage est tès nettement maquée, que ce sot dans les ésultats numéques ou expémentaux. De la même manèe, la cote 4 est tès sensble à la pésence du bdage. L écat de sa valeu ente avant et apès le tatement themque est, dans l ensemble, plus fable pou les ésultats numéque que pou les obsevatons expémentales. Nous ne pouvons obseve n de sensblté au temps de etad douche, n de sensblté à la pésence du tou. Les écats aux cotes 5 et 6 nous donnent une quantfcaton de l ovalsaton du tou dans les essas LT, LT3 et ST. Nous constatons une dfféence notable ente le ésultat numéque et l obsevaton expémentale su cette ovalsaton. Cette dfféence est dectement lée à celle constatée à la cote. En concluson, la cote monte les écats sgnfcatfs d un pont de vue quanttatf. Il est fot pobable que les appoxmatons que nous avons fates pou les données du matéau en soent 9

202 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL la cause, notamment la valeu de dlataton themque de la bante. En effet, n ayant pas connassance de cette valeu, nous l avons consdéée égale à celle de l état de écepton. Cet écat, pncpalement vsble su la cote (sens pncpal de dlataton de la pèce), peut avo un mpact su le mode de dstoson généal de la pèce. Cec nous amène à pense que la non-sensblté au temps de etad douche ou à la pésence du tou su l ensemble des cotes peut avo la même ogne que la dfféence quanttatve ente les ésultats numéques et expémentaux à la cote. Néanmons, le calcul numéque nous donne une tès bonne pédcton de l effet du bdage su les dstosons de la pèce. En effet, ce paamète est beaucoup plus nfluent su les ésultats et son nfluence ne paaît pas sensble aux appoxmatons pécédemment ctées. La coélaton ente les ésultats numéques et expémentaux est tès bonne su ce pont. 9

203 6.4 Etude des dstosons mécanques au cous du pocédé 6.4. ETUDE DES DISTORSIONS MECANIQUES AU COURS DU PROCEDE Elongaton des pèces La Fgue 3 donne l évoluton de la cote pou les dfféentes confguatons d essas. 50,8 50,6 50,4 côte (mm) 50, 50,0 49,8 49,6 49,4 49, LP LP3 BP SP LT LT3 BT ST temps (s) Fgue 3 : Valeu de la cote en foncton du temps dans les dfféentes condtons d essa. Tout d abod, on peut dstngue dfféents phénomènes comme l austéntsaton qu débute à.5 secondes de chauffage dans les zones les plus chaudes, ou la tempe qu commence apès envon 0,3 seconde de douche. Ensute, nous pouvons vo que les pèces bdées s allongent légèement mons au chauffage que les pèces qu ne le sont pas. Cet écat est ensute compensé los de la tempe pou que, fnalement, l effet du bdage ne sot plus vsble apès le tatement themque. La dfféence d élongaton au chauffage ente les pèces bdées et non bdées paaît ête une conséquence du galbe céé pa la femetue du «U» los du bdage (vo Fgue 06). La pèce étant galbée, l élongaton ne se fat plus unquement su l axe de mesue de la cote. Enfn, la pésence d un tou au cente de la pèce a pou conséquence un allongement plus apde au début du chauffage et plus lent à la fn. En fn de chauffage la longueu des pèces pecée est nféeue aux autes, et cette dfféence este jusqu en fn de tatement themque. La cause de l allongement plus apde en début de chauffage est due à une plus fable ésstance de la stuctue pecée. Ensute, la épatton de tempéatue étant dfféente pou les pèces pecées (Fgue 09), l augmentaton du galbe est facltée. On a donc en fn de chauffage, des pèces pecées avec un galbe plus mpotant que les pèces non pecées, et avec une élongaton qu ne se fat plus unquement su l axe de mesue de la cote (Fgue 4). 93

204 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL (a) (b) Fgue 4 : Vsualsaton des déplacements (x0) de matèe dans la pèce en fn de chauffage et champ de défomaton su l axe Y pou les pèces pecée (a) et plene (b) Ouvetue de la fome en «U» Les cotes, 3 et 4 epésentent la lageu de la fome en «U» à dfféents nveaux. La Fgue 5 monte l évoluton des ces 3 cotes dans le temps pou chacune des confguatons d essa ,8 79,6 côte (mm) 79,4 79, 79 78,8 LP LP3 BP LT LT3 BT 78, temps (s) 8,0 58 8,5 57 8,0 56 côte 3 (mm) 80,5 80,0 LP LP3 BP LT LT3 BT côte 4 (mm) LP LP3 BP LT LT3 BT 79,5 5 79,0 5 78, temps (s) temps (s) Fgue 5 : Valeu des cotes, 3 et 4 en foncton du temps dans les dfféentes condtons d essa 94

205 6.4 Etude des dstosons mécanques au cous du pocédé Dans le cas des confguatons où la pèce est bdée, la valeu de dépat des cotes est plus pette. De plus, l ampltude de l ouvetue ou femetue de la fome en «U» est plus fable. En fn de tempe, la pèce s est tès légèement efemée pa appot à sa poston bdée, et, une fos elâchée, elle ne epend plus sa fome d ogne. Une pate des défomatons élastques du bdage a été plastfée pendant le tatement themque. Les pèces pecées d un tou ont tendance à plus s ouv los du chauffage. La tempe ayant tendance à se fae de façon smlae que la pèce sot pecée ou non, on etouve le décalage de la fn du chauffage à la fn de la tempe. Le fat que les pèces pecées aent d avantage tendance à s ouv los du chauffage, est encoe une fos cetanement dû au appot ente fome en «U» et galbe. Comme nous l avons vu au paagaphe..3 et à la Fgue 3, l augmentaton du galbe d une pèce emboute de ce type peut entaîne auss ben à l ouvetue qu à la femetue de la fome en «U» Etats de contantes et défomatons Nous chosssons tos éléments du mallage aux envons des ponts A, B et C de la Fgue 07, et nous egadons leus états de contante et de défomaton en foncton du temps. La Fgue 6 pésente les coubes d évoluton des contantes équvalentes de Von Mses et des défomatons plastques équvalentes los du tatement themque aux ponts A, B et C des essas à bdage lbe et temps de etad douche de s. Tout d abod, on constate que les sollctatons mécanques en ces ponts altenent beaucoup ente tacton et compesson. Note modèle aujoud hu pend en compte un écoussage sotope mas l seat bon de pouvo essaye de pende en compte un écoussage cnématque (ce qu mplque une caactésaton supplémentae) ou un écoussage comps ente ces deux modèles pont B (LP) pont C (LP) pont A (LP) pont B (LT) pont C (LT) pont A (LT) 7 6 contantes VM (MPa) defomaton (%) pont B (LP) pont C (LP) pont A (LP) pont B (LT) pont C (LT) pont A (LT) temps (s) temps (s) Fgue 6 : Coubes d évoluton des contantes équvalentes de Von Mses et de défomaton plastque équvalente aux ponts A, B et C des essas LP et LT. Ensute, nous pouvons constate que l état de contante et la défomaton ne dffèent que légèement aux ponts B et C ente les pèces pecées et les pèces plenes. Pa conte, les ésultats sont tès dfféents au nveau du pont selon qu l sot en bodue d un tou (pèces pecées de l essa LT) ou dans la matèe (pèces plenes de l essa LP). Du pont de vue des contantes, l évoluton dans le temps est dfféente mas este dans le même ode de gandeu. Pa conte, d un pont de vue des défomatons, nous attegnons des valeus beaucoup plus élevées (7% au leu de 0,5%) s le pont A est au bod du tou. Cela s explque pa le fat que la tempéatue est plus élevée, donc que la matèe est plus ductle et s obseve d un pont de vue macoscopque d une pat pa les valeus de la cote 6, et d aute pat pa la fome du galbe de la pèce (Fgue 4). Nous pouvons conclue de cette obsevaton que la themque de la pèce joue un ôle mpotant dans les dstosons pa l adoucssement du matéau qu elle entaîne. Qu en est l de l mpotance des contantes ndutes pa les fot gadents themques? Pou éponde à cette queston, nous allons compae les défomatons 95

206 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL plastques totales dans le matéau avec les défomatons plastques ndutes pa plastcté de tansfomaton (Fgue 7). D un pont de vue qualtatf, nous constatons que les zones défomées ne sont pas exactement les mêmes pusque la plastcté de tansfomaton ne peut appaaîte que dans la ZAT, alos que la défomaton totale est également mpotante dans le ayon ponçon que dans la ZAT. D un pont de vue quanttatf, nous nous apecevons que la plastcté de tansfomaton joue un ôle tès mpotant dans les défomatons de la pèce. Nous ne pésentons pas c les champs de défomaton pa plastcté de tansfomaton des pèces bdées ou pecées ca les ésultats sont tès peu sensbles à ces paamètes. En effet, nous avons vu à la Fgue 6 que les contantes équvalentes dans la ZAT (pont B) ne sont que tès peu nfluencées pa la pésence d un tou, et pncpalement los des tansfomatons de phase en tempe (pc à,35 secondes). De la même manèe, nous voyons Fgue 05a que les contantes ndutes pa le bdage sont le plus élevées en dehos de la ZAT. De plus, ces contantes dspaassent los du changement de phase au chauffage ca nous avons consdéé un matéau sans aucune mémoe mécanque de la phase mèe à la phase flle. Le bdage ne peut donc pas avo un effet pépondéant su la valeu de la plastcté de tansfomaton. Nous dédusons de ces obsevatons que les contantes pésentes los des tansfomatons métallugques au efodssement, esponsables d une valeu de défomaton pa plastcté de tansfomaton élevée, même fable, sont les contantes d ogne themque. (a) (b) Fgue 7 : Champ de défomaton plastque équvalente (en m/m) (a) et de défomaton pa plastcté de tansfomaton (b) dans une pèce de l essa LP, apès etou élastque 96

207 Concluson su les ésultats numéques 6.5. CONCLUSION SUR LES RESULTATS NUMERIQUES Comme nous l avons évoqué à la fn du chapte pécédent, nous avons fat de nombeuses hypothèses su le matéau, pncpalement du pont de vue de la métalluge et des couplages. Malgé une tès bonne coélaton des ésultats themques ente numéque et expéence, les appoches que nous avons utlsées pou estme un dagamme TTT n appaassent pas tout à fat satsfasantes pusque la stuctue métallugque obtenue numéquement ne coespond pas exactement à la stuctue obsevée los de nos essas. Néanmons, nous avons essayé de lmte l mpact de cette appoxmaton su les dstosons mécanques en donnant à la matenste les mêmes popétés matéau qu à la bante. D un pont de vue qualtatf, nous etouvons les gandes nfluences obsevées dans l expéence. Le tatement themque de la pèce a tendance à feme la fome en «U» et à édue la longueu de la pèce. Nous etouvons également la contbuton du paamète le plus nfluent du pocédé su les dstosons : le bdage. En effet, les ésultats numéques coèlent tès ben avec l expéence su la femetue de la fome en «U» los du tatement themque des pèces bdées. En evanche, les contbutons de la pésence d un tou et du temps de etad douche su les dstosons sont beaucoup plus fnes et n appaassent pas dans les ésultats numéques. Il est également possble que ces contbutons ne pussent appaaîte dans nos ésultats faute de connassance des condtons ntales de note pèce. Pa exemple, un temps de etad douche plus long a pou pncpal effet d augmente la tempéatue maxmum attente dans le ayon ponçon, sège d une gande hétéogénété des contantes ésduelles d emboutssage. Ans, la elaxaton des contantes d emboutssage los du chauffage de la pèce peut ête un facteu clef des dstosons obtenues en fn de pocédé. Une étude qu a été menée su des agafes tatées themquement [SPATARO-008], monte que pou la smulaton numéque du tatement themque des tôles mnces plées, la pse en compte des contantes d emboutssage los du chauffage et de l austéntsaton est ndspensable à une bonne estmaton des dstosons. Enfn, la smulaton numéque du pocédé nous a appoté plus d nfomatons su l évoluton de la géométe de la pèce dans le temps et les mécansmes qu sont à l ogne des dstosons. Pa exemple, nous savons que les nfluences des paamètes du pocédé obsevées expémentalement et numéquement appaassent dès le chauffage. Le chauffage paat ête une phase clef dans l appaton des dstoson du tatement themque. Auss, nous avons vu que dans le cas d une pèce qu n est pas galbée au dépat, la elaton galbe / femetue du «U» est ben pésente. Nous avons pu vsualse le galbe qu appaaît dans la pèce et en dédue son mpotance su l évoluton de la fome en «U» et su la contbuton de la pésence du tou dans les dstosons. Nous avons également vu que la plastcté de tansfomaton est à l ogne d une gande pat des défomatons, mas étant localsée unquement dans la ZAT et n attegnant pas le ayon ponçon, son nfluence decte su les dstosons este à évalue. Enfn, on obseve que le bdage seé des pèces n ndut pas de manèe sgnfcatve une augmentaton de la plastcté de tansfomaton, mas povoque une dstoson qu se fge los du pocédé. Cette pemèe appoche numéque d un pocédé de tatement themque localsé su une tôle emboute n est pas totalement satsfasante pou ce qu est des ésultats quanttatfs mas pemet déjà de ben compende ce qu l se passe au nveau de la géométe de la pèce pendant le chauffage, le etad douche et la tempe, de péde les effets d un bdage su les dstosons et de compende les mécansmes à l ogne des dstosons. 97

208 SIMULATION NUMERIQUE DU PROCEDE SEMI-INDUSTRIEL BIBLIOGRAPHIE [SPATARO-008] - Spatao R., Bay F., Chastel Y. et al, "Numecal modellng of clp manufactung: focus on heat teatment", th ESAFORM Conféence on Mateal Fomng,

209 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES CONCLUSIONS Nous avons commencé l étude pa une appoche expémentale su un cas ndustel. Les campagnes d essas éalsées nous ont pems de meux compende le pocédé et de meux cene les poblèmes qu l pose. Nous avons tout d abod pu soulgne l extême sensblté de la géométe fnale de la pèce aux paamètes du pocédé comme le temps de chauffage, la pussance foune pa le généateu, ou les condtons de bdage. Ensute, une étude appofonde de nombeux elevés géométques épats su toute la pèce a pems de dégage des tendances su la façon dont se défome le enfot de ped cental. Nous avons alos monté un len étot ente tos modes de défomaton : un changement de galbe, une otaton de la pèce autou de son axe et une défomaton de la fome en «U». Nous en avons alos conclu que la gande sensblté géométque aux paamètes du pocédé état due au caactèe tès tdmensonnel de la géométe et au len étot ente les tos modes de défomaton. Nous avons alos chos de concente note étude su une géométe plus smple afn de meux cble les paamètes mpotants du pocédé, et meux compende les mécansmes de dstoson los du tatement themque. Note chox s est poté su une pèce emboute en une smple fome de «U» ca nous avons éms l hypothèse que cette fome est à l ogne de toutes les dstosons. Cette géométe pouat ête consdéée en deux dmensons, mas le fat que le tatement themque sot localsé su une pate de la pèce end le pocédé complètement tdmensonnel. Un suppot de manten de la pèce, un nducteu et un système de tempe pa douche ont été spécfquement conçus pou ces essas. Sute aux expéences su ce dspostf, nous avons pu conclue qu un temps de etad douche plus long entaîne de plus gandes dstosons, que la pésence d un tou modfe le champ de tempéatue los du chauffage mas qu l n a pas un mpact sgnfcatf su les dstosons, et qu un bdage modfe gandement les dstosons los du tatement themque, même s l n mpose que de fables contantes (domane élastque). Fnalement, des questons ont été soulevées comme la pat des défomatons d ogne métallugque devant les défomatons d ogne themque, et la pat des défomatons au chauffage devant les défomatons en tempe. Les outls numéques pou éponde à ces questons se sont alos avéés ndspensables. Un outl de smulaton numéque pa éléments fns a alos été développé. Ce taval compend la éalsaton d un modèle de ésoluton des poblèmes électomagnétques utlsant des éléments fns ognaux, son mplémentaton et son couplage avec le logcel Foge. Les couplages avec la themque ont ensute été éalsés, et une étude complète du couplage avec la mécanque et la métalluge a été menée. Les évolutons nécessaes au logcel Foge pou la pse en compte du chauffage pa nducton ont été étudées et mplémentées. Au fnal, ce logcel de smulaton numéque compend les modèles et couplages multphysques nécessaes au calcul couplé des pocédés de tatement themque pa nducton. 99

210 Une fos l outl numéque en man, l a été nécessae de détemne les paamètes du pocédé et du matéau utles à la smulaton du pocédé sem-ndustel. Cetans paamètes ont fat l objet d essas de caactésaton au laboatoe, d autes ont été sous-tatés, et cetans ont dû ête estmés pa les elatons ou des valeus empques dsponbles dans la lttéatue. Le caactèe tès peu tempable du matéau nous a amenés à fae de nombeuses hypothèses plus ou mons fotes su les paamètes métallugques du matéau ou su les paamètes de couplage. Néanmons, nous avons détallé une mse en données pemettant une étude pélmnae du pocédé. Les ésultats de cette étude numéque pélmnae appotent dveses nfomatons su les chox et hypothèses qu ont été exposés dans ce appot. Pa exemple, nous constatons que l estmaton du dagamme TTT pa le modèle de Kkaldy n est pas tout a fat satsfasante et que le fat que la géométe du système expémental sot mal maîtsée (du fat de la fable ésstance mécanque de l nducteu) entaîne des dfféences de ésultats ente le numéque et l expéence. Néanmons, avec de fotes hypothèses applquées à la matenste, une bonne coélaton appaaît pou les ésultats en tempéatue et les dstosons mécanques. Les ésultats de sensblté des dstosons aux paamètes du pocédé sont vaables. D un côté, la sensblté numéque au paamète le plus nfluent qu est le bdage de la pèce, donne de tès bons ésultats qualtatfs et quanttatfs. D un aute côté, on note peu de sensblté (expémentalement et numéquement) à un paamète plus fn comme le temps de etad douche. La sensblté à la pésence d un tou n appote que peu d nfomatons pusqu elle n appaaît pas de manèe sgnfcatve n dans les ésultats numéques, n dans l expéence. Les ésultats numéques nous appotent également des nfomatons su le pocédé, les mécansmes de dstoson au cous du temps et les effet espectfs des dfféents couplages. En effet, nous avons obsevé une fote popoton de défomaton pa plastcté de tansfomaton pa appot aux défomatons céées pa les gadents themques. Nous avons également obsevé que la épatton dans la pèce n est pas la même pou ces deux modes de défomaton et que la zone qu paaît la plus sensble, le ayon ponçon, n est pas concené pa la plastcté de tansfomaton. O, la plastcté de tansfomaton appaaît unquement s un champ de contante est applqué au matéau, et elle est peu sensble au bdage de la pèce. Le champ de contante à l ogne de la plastcté de tansfomaton est alos celu céé au chauffage et los de l austéntsaton. Nous en dédusons donc que le chauffage est un nstant clef dans la fomaton des dstosons au cous du tatement themque. Cette hypothèse a également été fomulée sute aux obsevatons d évolutons des cotes mesuées pa le modèle numéque, au cous du pocédé. En concluson, à la fn de cette étude, nous avons acqus pa la vox expémentale, une expetse su le pocédé ndustel de PSA Peugeot Ctoën, et su les pocédés de tatements themques pa nducton localsée de manèe généale. Nous avons auss développé une melleue connassance du matéau HR45 pa une caactésaton ou une estmaton de son compotement themque, métallugque et mécanque. De plus, nous avons céé un module de smulaton numéque pa éléments fns des poblèmes électomagnétques, et nous avons fat évolue un logcel de smulaton numéque commecal pou la modélsaton d un chauffage local et les couplages avec la smulaton électomagnétque. Ces développements numéques ont pems une melleue compéhenson du pocédé sem-ndustel et de la physque qu égt les dstosons. Ils ont également ouvet des potes ves de nouveaux tests numéques qu pouaent pemette de meux compende encoe le pocédé. Et enfn, l assocaton des obsevatons expémentales et des ésultats numéques nous pemet de 00

211 meux détemne quelles seaent les ègles de concepton de base qu pemettaent de mnmse les dstosons au cous du tatement themque. PERSPECTIVES Le modèle numéque développé donnant des ésultats qualtatfs satsfasants, l seat ntéessant dès à pésent de pouvo utlse cet outl afn d alle plus lon dans la compéhenson du pocédé. A la vue des ésultats obtenus, cetans tests de sensblté semblent ndspensables su les paamètes du matéau et du pocédé. Tout d abod, la sensblté au paamète de plastcté de tansfomaton dot ête détemnée afn de savo s l eeu que nous fasons su sa valeu (qu on ne peut pas caactése dans le cas de note matéau) est du peme ode. Ensute, l seat mpotant de teste la sensblté des ésultats numéques à la valeu du coeffcent de dlataton themque de la bante, et de vo s ce coeffcent est à l ogne des écats d évoluton de la cote (longueu de la pèce) ente nos ésultats numéques et expémentaux. Un aute paamète peut avo une nfluence su cet écat. Il s agt des condtons de fottement ente la pèce et les outls. Nous avons c chos une lo de glssement (lo de Tesca à coeffcent de fottement nul). Des smulatons pou lesquelles on consdéeat des coeffcents de fottement à valeu non nulle, seaent nécessae afn d obseve l nfluence de cette valeu su la géométe globale des pèces. Enfn, nous avons vu qu un test de smulaton du pocédé avec une smulaton de l emboutssage au péalable est nécessae. Ce test nous pemettat de savo s les contantes ésduelles d emboutssage sont pépondéantes pa appot aux contantes généées pendant le tatement themque, ou s elles sont de second ode. D autes tests peuvent ête envsagés pou meux éponde aux attentes ndustelles su le pocédé. Pa exemple, on peut magne des tests su des fomes d embout dfféentes et de plus en plus poches de la fome généale d un enfot de ped cental. Il s agat dans un peme temps d une fome smple de «U» mas cette fos-c emboute avec un galbe. Dans un second temps, on peut magne une fome où le «U» seat élage de manèe asymétque, pou obseve une éventuelle otaton autou de l axe de la pèce. Et dans un tosème temps, une fome tès poche de la fome du haut d un enfot de ped cental. Un aute exemple peut ête ntéessant. Il s agt de teste dfféentes fomes de bdage. Dans note étude, nous avons bdé le «U» pa seage des flans. Comme nous avons vu un len ente fome de «U» et galbe, on pouat magne teste un bdage empêchant le galbe qu appaaît au chauffage (un manten pa le tou pa exemple). On peut également magne un système de galbe évoluant dans le temps. Pa exemple, elâche une pèce seée pendant le etad douche ou, à l nvese, bde une pèce lbe pendant le etad douche. Une telle évoluton du système de bdage pemettat de joue su le fat que le sens des déplacements au chauffage et à la tempe sont nvesés. Une fos les ensegnements tés des tests de sensblté aux paamètes matéau, à la géométe et au bdage, l seat ntéessant de mette au pont un aute cas expémental pou lequel le matéau de la pèce seat un matéau connu comme, pa exemple, un C50, dont les paamètes themophysques, héologques et métallugques ont été caactésés pa le LSGM de Nancy et ntégés dans la base de données du logcel Foge. Nous pouons alos dans un second temps, valde le code de calcul et les couplages mult-physques mplémentés pa une étude qualtatve des ésultats. De plus, cette nouvelle étude nous pemettat d étude des sensbltés plus fnes aux paamètes du pocédé. A ce stade, l seat ntéessant de egade de plus pès les paamètes qu semblaent jusque-là de second ode, comme la pse 0

212 en compte d un écoussage cnématque afn de meux modélse le compotement cyclque du matéau los du tatement themque. Enfn, pou éponde aux attentes fnales du pojet, des développements numéques supplémentaes seaent nécessaes. Tout d abod, une paallélsaton du code est nécessae (en teme de mémoe et de temps CPU) à la smulaton d un cas ndustel su des tôles mnces de gande talle comme un enfot de ped cental. Ensute, l est ndspensable de pouvo péde les défomatons de la pèce los du pocédé ndustel, quel que sot l ace utlsé. O, nous avons vu que cetans paamètes, notamment métallugques ou de couplages, peuvent pafos ête dffcles à caactése. Les essas expémentaux su un cas sem-ndustel ayant une tès bonne epoductvté, le développement d une boucle de ésoluton nvese pemettat d estme su un tel cas smplfé, les valeus des paamètes que nous ne pouvons pas caactése. Auss, l seat ntéessant de cée une passeelle pemettant de tansfée les ésultats d une pèce ndustelle, à un code de calcul du compotement des pèces en cash. Nous pouons ans quantfe l améloaton du pocédé su les pestatons en cash des pèces à gadents de popétés. Enfn, l objectf fnal étant de maîtse les dstosons los du tatement themque, on peut magne le développement d une boucle d optmsaton du bdage de la pèce (basé su les obsevatons expémentales pécédentes), vsant à la mnmsaton des dstosons. Le poblème que l on sque de enconte su un tel système numéque, est que les dstosons sont tès sensbles au bdage, même pou des contantes tès fables. Le modèle d optmsaton sque alos d ête peu stable et d avo du mal à convege ves une soluton. Une aute dée seat de bde la pèce unquement pou bloque les mouvements de cops gde (bdage du type de celu que nous avons appelé «lbe» dans le cas sem-ndustel), et d optmse la géométe ntale de la pèce (géométe apès emboutssage) afn d obten la géométe désée en fn de tatement themque. 0

213 ANNEXES Annexe : Le feomagnétsme 04 Annexe : Plan du suppot de bdage 06 Annexe 3 : Attaque chmque en vue de l obsevaton mcoscopque 07 Annexe 4 : Appoxmaton des égmes quas-pemanents 08 Annexe 5 : Etude du solveu et pécondton-neu du système lnéae 0 Bblogaphe des annexes 0 03

214 ANNEXES ANNEXE : LE FERROMAGNETISME Pou explque le feomagnétsme, l faut egade l oentaton des dpôles magnétques atomques. Une zone du matéau dans laquelle ces dpôles sont oentés dans la même decton est appelée domane magnétque ou domane de Wess. Les ntefaces ente ces zones sont nommées paos de Bloch. Pou un matéau polycstalln, comme un ace, les jonts de gans sont des paos de Bloch. Toutefos, à l ntéeu d un même gan, pluseus domanes magnétques peuvent exste, donc des paos de Bloch sont pésentes (Fgue 8). S en absence de champ magnétque extéeu, la somme vectoelle des oentatons magnétques des domanes est nulle, le matéau n est globalement affecté d aucune magnétsaton. Snon, la pésence d une oentaton magnétque du matéau en fat un amant pemanent. Fgue 8 : Domanes de Wess dans un matéau feomagnétque Fgue 9 : Déplacement des paos de Bloch dans un matéau feomagnétque plongé dans un champ magnétque H Afn de compende le mécansme du feomagnétsme dans le matéau, nous allons nous ntéesse à un cas où l oentaton moyenne des domanes est globalement nulle en l absence de champ magnétque extéeu (Fgue 9a). Losqu un champ magnétque extéeu est applqué, les domanes magnétques d oentaton vosne de celle de H cossent aux dépends de ceux d oentaton opposée. Les paos de Bloch se déplacent donc dans le matéau (Fgue 9b). A la lmte, losque le champ H attent une valeu ctque H S, le matéau n est plus consttué que d un seul domane magnétque (Fgue 9c), oenté dans le sens de H. L nducton attent alos une valeu maxmale B S appelée nducton à satuaton. Cette valeu est epésentée Fgue 0. Elle est le maxmum de la boucle d hystééss dans la coube d amantaton. Losque l ntensté du champ H dmnue pou s annule, les domanes magnétques ont tendance à éappaaîte. Toutefos, le déplacement des paos de Bloch n étant pas nstantané, 04

215 Annexe : Le feomagnétsme une nducton non nulle B R, appelée nducton émanente, pesste losque H = 0. Il faut en fat applque un champ magnétque opposé à celu de dépat pou annule l nducton. Ce champ de valeu H C nécessae à annule l nducton magnétque est appelé champ coectf. S enfn, le champ extéeu contnu de dmnue jusqu à satuaton pus é augmente pou satue de nouveau mas dans le sens opposé, nous obtenons la boucle d hystééss en Fgue 0. Fgue 0 : Coube d amantaton pésentant une boucle d hystééss pou un matéau feomagnétque plongé dans un champ magnétque qu vae altenatvement de + H S à H S. L ae de la boucle d hystééss epésente l énege dépensée, pa unté de volume du matéau, pou éoente les moments magnétques des domanes et déplace les paos de Bloch, au cous d un cycle complet de vaaton du champ magnétque extéeu (une péode pou un poblème hamonque) [DORLOT-986]. La peméablté magnétque, elaton ente B et H, est alos, pou un matéau feomagnétque, fotement dépendante du champ magnétque extéeu. Elle est auss tès nfluencée pa la tempéatue. En effet, le feomagnétsme est dû à un mouvement d ensemble des atomes, qu oentent leu moment magnétque selon une même decton, et une augmentaton de tempéatue favose l agtaton themque de ces atomes. Cec a pou effet de boulevese pogessvement l algnement des moments magnétques. Losque la tempéatue attent une valeu ctque T C (tempéatue de Cue), les moments magnétques s oentent de façon désodonnée. Pa conséquent, le feomagnétsme dspaaît et le matéau devent amagnétque. La Fgue monte l évoluton de l nducton à satuaton et du désode de l oentaton des moments magnétques en foncton de la tempéatue. Fgue : Vaaton de l nducton à satuaton du fe pu en foncton de la tempéatue 05

216 ANNEXES ANNEXE : PLAN DU SUPPORT DE BRIDAGE Fgue : Plan du suppot de bdage 06

217 Annexe 3 :Attaque chmque en vue de l obsevaton mcoscopque ANNEXE 3 : ATTAQUE CHIMIQUE EN VUE DE L OBSERVATION MICROSCOPIQUE L attaque acde des tôles HR45 poles dans le but de évéle la stuctue fetque et la stuctue bantque tempée à l eau est fate dans un ban composé à 50% de Mashall et 50% de Vllela pendant 5 secondes. Il est à note que le ban utlsé n est valable que quelques jous apès lesquels le mélange dot ête efat. MARSHALL Eau dstllée Acde oxalque Acde sulfuque Peoxyde d hydogène 50 ml 4 g.5 ml 50 ml Tableau : Composton chmque de l acde «Mashall» VILLELA Acde pcque Acde chlohydque Ethanol g 5 ml 00 ml Tableau : Composton chmque de l acde «Vllela» 07

218 ANNEXES ANNEXE 4 : APPROXIMATION DES REGIMES QUASI- PERMANENTS L ARQP néglge les couants de déplacement J D dans l équaton de Maxwell-Ampèe (38), pou des dstbutons ne vaant pas top apdement dans le temps. J D = D t = t ( ε E) = 0 (37). Domane de valdté : Pou démonte la valdté de l ARQP, nous allons epende les équatons (38), (39), (40) et (4) : ( ε E) H = J + t ( ε E) = ρ = ρlbe + ρlé (38) (39) B = A (40) A E = φ (4) t A ces quate équatons, on ajoute une condton de jauge de Loentz (comme défne dans [GIÉ-985]). c est la vtesse des ondes dans le vde. A + c φ t = 0 (4) A pat de ce système de 5 équatons, on ave aux équatons de Posson (43) et (44) : A A + µ J = 0 (43) c t φ c φ t ρ ε + = 0 (44) (43) est obtenue en nséant les défntons des potentels (40) et (4)dans la elaton de Maxwell-Ampèe (38). Dans l équaton ésultante, φ est emplacé pa la valeu coespondante de A va la jauge (4). De la même manèe mas en utlsant Maxwell- Gauss (39) à la place de Maxwell-Ampèe (38), et en emplaçant cette fos c A pa φ va la jauge de Loentz, on obtent l équaton de Posson (44). Une soluton physquement acceptable pou une dstbuton de chage et de densté de couant de dmenson fne est la soluton des potentels etadés (pou plus de détal su la soluton des potentels etadés vo le chapte 3 de [GIÉ-985]) : 08

219 φ Annexe 4 : Appoxmaton des égmes quas-pemanents ρ t = c dv 4πε ( M, t) A J t µ = c dv 4π ( M, t) (45) (46) est la dstance ente un pont M quelconque et un pont P. P coespond au leu où la densté volumque de chage est ρ ( t) et la densté volumque de couant est ( t) Dans le cade de l ARQP, on obtent pa le même asonnement que pécédemment les deux équatons suvantes : φ ( M t) A ( t) J. ρ, = dv (47) 4πε ( M t) ( t) µ J, = dv (48) 4π En compaant (45) avec (47) et (46) avec (48), on s apeçot que l ARQP event à néglge les etads δ t = c. Ce etad peut effectvement ête néglgé s l est tès pett devant le temps de popagaton T de l onde électomagnétque, c'est-à-de s la dstance est néglgeable devant la longueu d onde λ = ct : << λ (49) Les féquences utlsées usuellement dans les applcatons ndustelles du chauffage pa nducton sont stuées en basse et moyenne féquences (de 50 Hz à MHz). Pou que l ARQP sot véfée dans le plus lmtant des cas (f =MHz), l faut alos que la dstance maxmale ente deux ponts matéels de l nstallaton sot pette devant 300 mètes. Cette condton est véfée dans un tès lage domane d applcatons, en patcule pou les applcatons de chauffage pa nducton.. Popété de l ARQP : L équaton de Maxwell-Ampèe (38) smplfée pa l ARQP et avec les los consttutves du matéau, on obtent : B = µ J (50) S on cheche à déve (50) pa un opéateu de dvegence, on a l équaton suvante : ( B) = J µ (5) La dvegence d un otatonnel donnant un ésultat nul, l équaton (5) s annule. On peut donc éce la lo de consevaton du flux suvante : J = 0 (5) 09

220 ANNEXES ANNEXE 5 : ETUDE DU SOLVEUR ET PRECONDITION- NEUR DU SYSTEME LINEAIRE A5. Solveus de systèmes lnéaes symétques défns postfs Supposons un système lnéae à ésoude Ax = b tel que A sot une matce symétque défne postve. Ax = b avec T A = A ( x; x) = x A T A x > 0 pou tout x non nul (53) A5.. Résoluton decte : Elmnaton de Gauss factosaton LU La méthode d élmnaton de Gauss a pou but de tansfome le système Ax = b en un système équvalent dt tangulae : Ux = bˆ avec U matce tangulae supéeue x vecteu nconnues également soluton de Ax = b (54) D une manèe généale, su un système de talle n, on aga pa étapes de façon à avo à l étape quelconque k : a L L L L a n a a 0 L L L n M O M A = avec A x = b 0 L 0 akk L akn M M O M 0 L 0 ank L ann ( k ) ( k ) ( k ) (55) On défnt alos un multplcateu m tel que : m ( k ) k ( ) = k,l n k a = (56) a k, kk Et on obtent alos le système de l étape k+ pa : a b ( k + ) ( k ) ( k ) j = a ( k + ) ( k ) ( k ) = b j m m k k a b k kj ; = k +, K, n ; j = k, K, n (57) On éalse ces étapes n- fos, jusqu à l obtenton d une matce tangulae supéeue que l on nommea alos U. Le vecteu b obtenu sea alos noté bˆ. Notons que la matce 0

221 Annexe 5 : Etude du solveu et pécondtonneu du système lnéae tangulae nféeue L fomée pa les multplcateus m j (m = ) fome avec U la factosaton LU de A : A = LU (58) L algothme de élmnaton de Gauss (Fgue 3a) pemet de econstue une matce A compotant la matce U au dessus de sa dagonale (dagonale compse) et les multplcateus au dessous de sa dagonale. Il est alos facle de etouve les matces L et U (Fgue 3b). Pou k = n Pou = k + n a k a = a kk Pou j = k + n a j k = a j a k a fn fn fn fn fn kj U = 0 L = I Pou = n Pou j = n S j < : l Snon : u a) Elmnaton de Gauss (algothme «kj») b) Reconstucton des matces L et U Fgue 3 : Algothmque de la factosaton LU j j = a = a j j Afn d avo un condtonnement optmal des matces L et U, nous pemutons, à chaque début d étape k, la lgne (pou k) dont le teme a k est maxmal, avec la lgne k. Cec pemet d avo le pvot de gauss le plus élevé possble à chaque téaton. Notons que l algothme de la Fgue 3a n est possble que s la matce A n a aucun teme nul su sa dagonale, ce qu est toujous le cas dans nos ésolutons. L ntéêt de l élmnaton de Gauss et de la factosaton LU est de ésoude le système lnéae Ax = b pa la ésoluton successve de deux systèmes lnéaes tangulaes : Ly = b A = LU LUx = b (59) Ux = y Cette méthode pemet de touve la soluton d un système lnéae en un nombe fn 3 d opéatons ( 3 n + n ). C est pouquo on la nomme méthode decte. Toutefos, les eeus d aonde mplquées pa la ésoluton numéque peuvent génée des eeus non néglgeables ente la soluton exacte et la soluton appochée touvée numéquement. Sot e l eeu commse : e = x xˆ avec xˆ soluton appochée et. la nome eucldenne (60) On peut monte que l eeu dépend fotement, pou les méthodes dectes, du condtonnement de la matce A :

222 ANNEXES e x cond ( A) b avec = b Axˆ λ max ( A) (6) cond( A) = λmn ( A) où λ(a) epésente une valeu pope de A. On constate alos que s le condtonnement de A est gand, l écat ente la soluton exacte et la soluton appochée peut ête mpotant ben que le ésdu sot fable. Dans ce cas, on utlse des méthodes téatves dont l eeu ne dépend pas du condtonnement. A5.. Méthodes téatves de type pont fxe L dée des méthodes téatves est de constue une sute de vecteus x (k) qu convege ves la soluton exacte x du système Ax = b. k ( k ) x = lm x (6) Les méthodes de pont fxe ont pou pncpe de calcule une soluton appochée x k+ à pat de la soluton appochée à l étape pécédente x k tel que : xk + = Bxk + c (63) Généalement, on calcule la matce B (matce d téaton) et le vecteu c à pat d une décomposton de la matce A sous la fome A = M N. Cette décomposton est appelée «splttng». On éct alos : d'où M x k + B = M = N N x k et + b c = M b (64) On peut monte [GOLUB-996 ; GUYOMARC'H-000] que, quel que sot le vecteu ntal x 0, la sute {x k } convege ves la soluton du système lnéae s le ayon spectal de B est nféeu à : concegence s : ( B ) où ρ( B) max{ λ, λ valeu pope de B} ρ < = (65) Méthode de Jacob S les éléments dagonaux de la matce A sont non nuls, le système Ax = b est équvalent à : n x = b a x j j, =, K, n a (66) j=, j Pou une donnée ntale x (0) chose, on calcul x (k+) pa : n ( k ) ( ) + k x = b aj x j, =, K, n a j=, j (67)

223 Annexe 5 : Etude du solveu et pécondtonneu du système lnéae Ce qu nous pemet d dentfe le splttng suvant : M = D et N = E F (68) J J + où D est la matce dagonale de A, -E est la matce tangulae nféeue de A et -F est la matce tangulae supéeue de A tel que : ( E F ) A = D + (69) La matce d téaton de Jacob et le vecteu c assocé sont alos donnés pa : B c J J = D = D ( E + F ) b = I D A (70) Apès avo éalsé n opéatons pou le calcul de x (k+), on ésout l équaton généale (63) pa méthode de pont fxe jusqu à convegence de la soluton. La méthode de Jacob demande de stocke fos le vecteu x (pou l téaton k et l téaton k+). Méthode de Gauss-Sedel La méthode de Gauss-Sedel consste à éactualse le vecteu x (k) de la méthode de Jacob à chaque téaton k : n ( k ) ( ) ( ) + k + k x = b aj x j aj x j, =, K, n a j= j= + (7) Cette éactualsaton pemet de ne stocke qu une seule fos le vecteu x. Le splttng de A donne pou cette méthode : M GS = D E B c GS GS = = et N ( D E) ( D E) b GS F = F (7) Méthode SOR (Successve Ove Relaxaton) La méthode SOR donne une soluton sous fome de somme pondéée ente la soluton de Gauss-Sedel et la soluton de l téaton pécédente : x ( k + ) ( k + ) x ( ) x ( k = + ω ), =, K n ω (73), GS, ω est le paamète de elaxaton comps ente 0 et (condton nécessae à la convegence [CIARLET-998]). On obtent alos le splttng suvant : 3

224 ANNEXES M ω = D E et ω B c ω ω = = ω N ω ( ω) D + F ( D ωe) [( ω) D + ωf] ( D ωe) b = ω (74) Le chox de la valeu de ω dot ête fat afn d optmse la convegence de la méthode. On sat que la convegence sea d autant plus apde que le ayon spectal de la matce d téaton sea fable (65). On cheche alos ω opt tel que : ρ ( ) ρ( B ) [ ] Bω opt = nf ω 0< ω < (75) La valeu du paamète de elaxaton optmal ω opt dépend de la fome de la matce d téaton B, donc de la fome de A. Penons comme exemple le cas d une matce A tdagonale [CIARLET-998] : ρ et ( B ) ω opt ρ = ω ( B ) ( B ) = ρ( B ) ρ( B ) < ρ( B ) < ρ( B ) GS opt J avec ω opt = + ω opt ρ GS GS J (76) O, la matce d téaton B ω n est pas symétque. Il est néanmons possble de la symétse : l dée est de éalse une seconde boucle, nvese à la méthode SOR : x x ( k + ) ( k + ) ( ) ( k ) = ω x, GS + ω x =, K, n ( k + ) ( k + ) ( ) ( k + ) = x + x, = n, K, ω, GS ω, (77) La méthode SOR symétsée (méthode SSOR) a alos pou matce d téaton B et pou vecteu c : ~ T T B = M N M N c~ ω ω = = ω ω ω ω ω ( D ωf ) [( ω) D + ωe]( D ωe) [( ω) D + ωf] ( ω)( D ωf ) D( D ωe) b (78) La méthode SOR demande n opéatons et deux fos le stockage de x (comme Jacob). La méthode SSOR demande n opéatons et deux fos le stockage de x. A5..3 Méthodes téatves basées su l optmsaton Le gadent conjugué On utlse la méthode du gadent conjugué dans les cas où A est une matce symétque défne postve. Nous ne développeons pas c l aspect mathématque. Le lecteu ntéessé pa la manèe d obten les elatons et l algothme pésentés c-dessous est nvté à se éfée à [GOLUB-996]. 4

225 Annexe 5 : Etude du solveu et pécondtonneu du système lnéae La méthode du gadent conjugué epose su la mnmsaton de la fonctonnelle : J ( x) = ( Ax, x) ( b, x) (79) Il s agt d une méthode de descente classque : apès avo défn un vecteu de dépat x (0) on détemne pou chaque téaton k une pente p (k) et un scalae α (k) qu nous pemettent de calcule l téée suvante : x ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) = x + α p (80) On peut alos dédue le ésdu à l téaton k+ : ( k + ) ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) = b Ax = + α A p (8) Le scalae α (k) est le pas optmal défn pa : ( k ) T ( k ) ( k ) T ( k ) ( k ) p α = = ( k ) T ( k ) ( k ) T (8) ( k ) p A p p A p Le vecteu de decton de echeche est chos othogonal (au sens du podut scalae assocé à A) au pécédent : avec: p p ( k + ) ( k + ) ( k ) ( k ) = ( k + ) T ( k ) ( k ) A p + β = 0 p β = p ( k + ) T ( k ) A p ( k ) T ( k ) A p (83) chox de x ( 0) ( 0) ( 0) p fn = b Ax ( 0) ( 0) = tant que la convegence n' α x ( k ) ( k ) ( k ) (, ) ( k ) ( k ) ( p, A p ) ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) = α A p ( k + ) ( k + ) ( k ) (, ) = ( k ) ( k ) β p = = x (, ) ( k + ) ( k + ) ( k ) ( k ) = + α + β p test de convegence p est pas attente, tée su k Fgue 4 : Algothme de ésoluton de systèmes lnéaes pa la méthode du gadent conjugué 5

226 ANNEXES On obtent alos l algothme du gadent conjugué pésenté en Fgue 4. Le gadent conjugué pécondtonné Nous pouvons monte que pou tout vecteu x (0), la méthode du gadent conjugué convege en un nombe fn d téatons ves la soluton x. Toutefos le taux de convegence de cette méthode dépend fotement du condtonnement de A : plus cond(a) sea gand, plus la convegence sea lente. Il est alos souvent péféable de ééce le système lnéae à l ade d une matce symétque défne postve C tel que : ( C A) cond( A) C Ax = C b e t cond << (84) Cette opéaton s appelle pécondtonne le système. Il faut chos judceusement la matce C :. C dot ête une bonne appoxmaton de A de manèe que le condtonnement du système sot ben melleu (.e. beaucoup plus fable) que celu du système d ogne (A seat déale),. Le système Cy = z dot ête beaucoup plus facle à ésoude que le système d ogne (I seat déale), 3. La constucton de C dot ête peu coûteuse compaée à celle de A. Une fos une matce de pécondtonnement judceusement chose, l faut ésoude le système (84) alos que la matce C - A n est plus symétque. Il n est pas cependant nécessae de la symétse (pa une factosaton LU pa exemple) ca C - A est auto adjonte pou un podut scalae assocé à C. C est-à-de : et ( x, y) ( x, y) pou M le podut scalae euclden : le podut scalae assocé à M : ( C Ax, y) C = ( Ax, y) = ( x, C Ay) C x T x y T M y (85) On peut alos ésoude le système pécondtonné en ésolvant l algothme du gadent conjugué (Fgue 4) avec des poduts scalaes C. En posant z (k) = C - (k) on a : ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( z, z ) C = ( z, ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( C A p, p ) = ( A p, p ) (86) C On obtent alos, pou deux matces symétques défnes postves A et C, l algothme du gadent conjugué pécondtonné pésenté en Fgue 5. A5. Solveu pou systèmes lnéaes symétques défns sem-postfs A5.. Le poblème mécanque expmé en vtesse-pesson Nous avons vu que le poblème mécanque est expmé dans le logcel Foge, pa une fomulaton en vtesse-pesson. Nous obtenons alos à chaque téaton de Newton-Raphson, 6

227 Annexe 5 : Etude du solveu et pécondtonneu du système lnéae un système lnéae symétque défn sem-postf pusque le bloc β²a pp de (87) n est pas défn postf. A A vv T vp Avp v f = β App p 0 (87) chox de x z ( 0) ( 0) ( 0) p ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) tant que la convegence n' fn = b Ax = C = p α x z ( k ) ( k ) ( k ) ( p, ) ( k ) ( k ) ( z, A z ) ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) p β = = x = ( k + ) ( k + ) = C ( k + ) ( k + ) ( k ) ( p, ) = ( k ) ( k ) ( p, ) ( k + ) ( k + ) ( k ) ( k ) = p + α α + β z A z test de convegence z est pas attente, tée su k Fgue 5 : Algothme de ésoluton de systèmes lnéaes pa la méthode du gadent conjugué pécondtonné Les solveus pésentés pécédemment ne sont donc pas dectement applcables au poblème mxte ésolu dans Foge. Nous pésenteons dans les paagaphes suvants l adaptaton des solveus pécédents aux systèmes qu ne sont pas défns postfs. A5.. La méthode du ésdu mnmal pécondtonné Nous avons vu au paagaphe 0A5..3 que la méthode du gadent conjugué consste à mnmse la fonctonnelle (79) pa une méthode de descente. Mas l exstence et l uncté d un mnmum à cette fonctonnelle n est assuée que s A est symétque défne postve. La méthode du ésdu mnmal consste à utlse le même pncpe que la méthode du gadent conjugué mas su une aute fonctonnelle : ( x) ( b Ax, b Ax) = ( ) E =, (88) Cette fonctonnelle, appelée fonctonnelle eeu, est encoe stctement convexe (donc exstence et uncté d un mnmum) losque A est symétque non défne postve. Dans le cas pécondtonné, la fonctonnelle à mnmse devent : ( ) ( C ) E =, (89) 7

228 ANNEXES La ésoluton de cette fonctonnelle pa la méthode descente donne l algothme Fgue 6. chox de x z ( 0) p ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) tant que la convegence n' fn = b = C = Ap α x ( k ) ( k ) ( k ) (, C z ) ( k ) ( k ) ( C z, z ) ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) = α z ( k + ) ( k + ) ( k ) ( AC, C z ) = ( k ) ( k ) β p z = = x ( C z, z ) ( k + ) ( k + ) ( k ) ( k ) = C ( k + ) ( k + ) ( k ) ( k ) = AC + α p + β test de convegence + β est pas attente, tée su k Fgue 6 : Algothme de ésoluton de systèmes lnéaes pa la méthode du ésdu mnmal pécondtonné p z A5..3 Ctèe de convegence Il est nécessae de défn un ctèe d aêt de la méthode qu, s l est satsfat, nous pemet de consdée la soluton x (k) comme la soluton exacte à une toléance pès. Ben qu l exste de nombeux ctèes, nous pésenteons unquement celu utlsé dans Foge. Il consste à compae le ésdu de l équaton à l étape k pa appot au ésdu ntal. Le ctèe dot ête nféeu à un epslon (0-7 pa défaut dans Foge) pou qu on pusse de que la convegence est attente : ( ) ( k b Ax ) ( ) ( ) < ε 0 b Ax (90) A5..4 Pécondtonnement Comme nous l avons vu au paagaphe pécédent, l dée du pécondtonnement est de touve une matce C symétque défne postve poche de A. Pluseus types de pécondtonneus exstent. Nous en pésenteons c tos dfféents : le pécondtonnement de Jacob, la factosaton LU ncomplète et le pécondtonneu SSOR (Symétc Successve Ove Relaxaton). 8

229 Pécondtonnement de Jacob Annexe 5 : Etude du solveu et pécondtonneu du système lnéae Le pécondtonneu de Jacob (comme SSOR pésenté c-apès) est ssu du splttng des méthodes de pont fxe. En effet, on utlse comme matce de pécondtonnement l appoxmaton M de A (pou appel : A = M N et c = M - b). Aucune téaton n est alos nécessae au calcul de la matce de pécondtonnement C ca elle peut dectement s éce en foncton de la matce A = D E F. Le plus smple pécondtonneu possble est de pende la dagonale de A. Nous utlsons alos la matce M J = D ssue du splttng de la méthode de pont fxe de Jacob. C = M = J D (9) Factosaton LU ncomplète L ntéêt d une factosaton LU est le fable coût de ésoluton des systèmes tangulaes. Malheueusement, cette factosaton mène généalement à un emplssage nacceptable pou de gandes matces ceuses (poblème de stockage mémoe). Pou évte cela, on fat une factosaton ncomplète de A : on ne calcule pas tous les éléments de L et U. On calcule alos L et U telles que LU sot nvesble et : A = LU R (9) R est une matce compotant des zéos là où on souhate que la factosaton sot exacte. Il faut alos chos une statége de emplssage. Le chox le plus natuel semble ête de pende le même schéma de emplssage que A, la dagonale en sus. Cette factosaton est appelée ILU(0). Cependant, on peut améloe la pécson en chosssant un schéma de emplssage dentque au podut LU de la factosaton ILU(0). Il s agt alos de la factosaton ILU(). On peut ans défn dfféents nveaux de emplssages et constue des factosatons ncomplètes d ode p : ILU(p). Le logcel Foge utlse pa défaut le pécondtonneu ILU(). Ce pécondtonneu n a pas été satsfasant dans la ésoluton de note smulaton numéque de tatement themque de tôles compotant une fote ansotope de la talle des éléments (appot de talle supéeu à ¼). En effet la convegence du solveu lnéae état extêmement lente et ne pemettat pas la convegence de Newton-Raphson en un nombe d teatons acceptables. D autes pécondtonneus sont dsponbles comme pa exemple, ceux utlsant les matces défnes dans les méthodes de pont fxe pésentées au paagaphe 0. Nous nous sommes aêté su le pécondtonneu SOR symétsé (SSOR Symetc Successve Ove Relaxaton) pésenté cdessous. Pécondtonnement SSOR De la même manèe que pou le pécondtonnement de Jacob, nous utlsons l appoxmaton M de A ssue du splttng de la méthode de pont fxe SSOR. C = ω ( ) ( D ωe) D ( D ωf ) ω (93) Ce pécondtonnement (comme celu de Jacob) ne demande pas de stockage de la matce C pusqu elle est contenue dans A. Néanmons, elle demande des calculs supplémentaes pou la détemnaton du paamète de elaxaton ω. 9

230 ANNEXES BIBLIOGRAPHIE DES ANNEXES [CIARLET-998] - Calet P.G., Intoducton à l'analuse numéque matcelle et à l'optmsaton, Dunod, Pas, p. 79, 998. [DORLOT-986] - Dolot J., Baïlon J., Masounave J., Des Matéaux ème édton, Edton de l'ecole Polytechnque de Montéal, 986. [GIÉ-985] - Gé H., Samant J., Electomagnétsme, Lavose - Technques et Documentaton, vol., 985. [GOLUB-996] - Golub G.H., Van Loan C.F., Matx Computaons, Johns Hopkns Unvesty Pess, vol. 3ème Edton, p. 694, 996. [GUYOMARC'H-000] - Guyomac'h F., Méthode de Kylov : égulasaton de la soluton et accéléaton de la convegence, Thèse de doctoat, Unvesté de Rennes,

231 TABLE DES FIGURES Fgue : Schéma epésentant les nteactons ente PSA et le Cemef, les deux patenaes de la thèse, et l ensemble des sous-tatants. Fgue : Ped mleu d une Peugeot 07 7 Fgue 3 : Plan d un ped mleu type A7 et zone de tatement themque 7 Fgue 4 : Test ant-ntuson en cas de choc latéal su un ped mleu de 306 avant et apès tatement themque. La pèce tatée ésste au test alos que l aute pèce pésente un sque pou le passage 8 Fgue 5 : Systèmes de chauffage pa nducton : (a) chauffage dans la masse et (b) chauffage localsé 0 Fgue 6 : Tôle d ace en sote de fou à nducton en fn de pocédé de lamnage 0 Fgue 7 : Boucle d hystééss de la coube d amantaton pou un ace fetque (XC0), peltque (XC80), matenstque (XC55), et matenstque ecut (XC55) [SAQUET-999] 3 Fgue 8 : Effet de la tempéatue su la peméablté magnétque elatve d un ace au cabone [RUDNEV- 003] 3 Fgue 9 : Repésentaton de la pofondeu de peau 4 Fgue 0 : Lgnes de champ et dstbuton de pussance le long d un cylnde plongé dans un champ magnétque céé pa un nducteu solénoïde [RUDNEV-003] 5 Fgue : Coubes typques de flux de chaleu et de coeffcent d échange themque pou un solde chaud plongé dans un ban lqude [BELL-984] 7 Fgue : Schéma du dagamme d équlbe de phase bnae Fe-Fe 3 C [MURRY-998] 9 Fgue 3 : Stuctue cubque face centé c.f.c et cubque centé c.c [DORLOT-986] 9 Fgue 4 : Ogne de la malle quadatque centée α selon Ban [MURRY-998] 0 Fgue 5 : Mcogaphe de stuctues matenstques en a) lattes et b) en plaquettes [THOMAS-00] 0 Fgue 6 : Mophologe et chonologe de fomaton (,,, v) de la bante a) supéeue et b) nféeue [FOCT-997] Fgue 7 : Stuctues bantques d un ace a) 6MnCB5 tempé à l eau et b) 35MNV7 tempé à l a [AUCLAIR-997] Fgue 8 : Schéma de dagamme TTT avec domanes de tansfomaton Fgue 9 : Dagamme TRC d un ace 5CMo4 [BÉGUINOT-997] 3 Fgue 0 : Dagamme de tansfomaton d un ace 34CMo4 a) au chauffage contnu et b) en chauffage sotheme [FARIAS-99] 4 Fgue : Supeposton des tos odes de gandeu de contantes [MAEDER-990] 4 Fgue : Cas de la défomaton pa tacton un axale d une épouvette dont les caactéstques mécanques à cœu et en peau sont dfféentes [ALIAGA-000] 5 Fgue 3 : Schéma du système démonstateu. Une machne à commande numéque actonne et coupe le généateu, pus descend l ensemble pèce + suppot de bdage dans le ban 3 Fgue 4 : Schéma des dfféentes confguatons de chauffage testée 3 Fgue 5 : Ped mleu RPC A7 avant et apès tatement themque 33 Fgue 6 : système de bdage des peds mleux en vue du tatement themque : a) schéma d une touche d appu églable et b) poston des sectons où sont placées les touches d appu pa su les feullues 34 Fgue 7 : Système de seage : la pèce est plaquée conte les pates basses touches d appu à l ade d un volant pus mantenue dans cette poston à l ade des pates hautes. 34 Fgue 8 : Suppot de contôle : a) suppot et tous de mantent du compaateu, b) emplacement des 5 ponts numéotés 35 Fgue 9 : Déplacement selon Y des ponts de mesue apès un tatement themque dont le chauffage a été effectué en 5s avec une pussance de 69kW 36 Fgue 30 : Généaton du «pl» au nveau du 5 ème bdage du ped mleu 37 Fgue 3 : Schéma du mécansme de flambage qu appaaît su les flans losqu on augmente le galbe. 38 Fgue 3 : Compaason des ésultats de déplacements apès des tatements themques dont les paamètes de chauffage sont 7s / 60kW (bleu) et 5s / 69kW (ouge) 38 Fgue 33 : Compaason des ésultats de déplacements apès des tatements themques dont les paamètes de chauffage sont s / 69kW (bleu) et 5s / 69kW (ouge) 39

232 Fgue 34 : Compaason des ésultats de déplacements apès des tatements themques dont les paamètes de chauffage sont s / 69kW (bleu) et 5s / 53kW (vet) 40 Fgue 35 : Compaason des ésultats de déplacements apès des tatements themques dont les paamètes de chauffage sont 5s / 53kW (vet) et 5s / 69kW (ouge) 40 Fgue 36 : Compaason des ésultats de déplacements pou deux condtons de bdage dfféentes : un galbe mpotant (en ouge) et le même galbe global complété d une otaton autou de l axe longtudnal (bleu) 4 Fgue 37 : Géométe des échantllons sem ndustels : emboute en «U» 44 Fgue 38 : Dspostf expémental du banc d essa en «U» 44 Fgue 39 : Système de suppot et de seage développé pou l étude du cas sem ndustel 45 Fgue 40 : Instumentaton des épouvettes de themocouple et poston des themocouples de éféence A et B, et du themocouple C en bod de tou 47 Fgue 4 : Evoluton dans le temps de la tempéatue mesuée pa le themocouple A los du tatement themque du U. 47 Fgue 4 : Evoluton des tempéatues de chaque coté et au mleu d un ayon ponçon 48 Fgue 43 : Effet électomagnétque de bod (antagonste à l effet themque) céé pa un tou pecé dans une pèce vsble apès tatement themque 48 Fgue 44 : Compaason des évolutons de tempéatue dans le cas d une épouvette pecée (gauche) et d une épouvette non pecée (dote) 48 Fgue 45 : Mcoscope optque de l état de écepton (dueté 68HV) à deux échelles dfféentes 49 Fgue 46 : Mcoscope optque sute à une tempe à l a (dueté 49HV) à deux échelles dfféentes 50 Fgue 47 : Mcoscope optque sute à une tempe à l eau (dueté 38HV) à deux échelles dfféentes 50 Fgue 48 : Evoluton de dueté Vckes su le plan médan d une épouvette sem ndustelle et mcoscope optque de 5 zones dfféentes 5 Fgue 49 : Schéma d une épouvette sem ndustelle et des 6 côtes mesuées 5 Fgue 50 : Compaason des quate fomulatons pou le calcul des couants nduts dans une plaque caée plongée dans un champs magnétque la tavesant dans son épasseu (nombe d éléments tétaédques : 8586) [NAKATA-988a]. 6 Fgue 5 : Phénomènes d auto-nducton et épatton des denstés de couant. 63 Fgue 5 : Schématsaton des valeus de tenson et couant founes pa le généateu dans le cas d un système sée (gauche) et paallèle (dote). 66 Fgue 53 : Repésentaton d un nducteu de fome quelconque et de ces 3 fontèes : Γ 0 et ces deux bones Γ et Γ. 67 Fgue 54 : Repésentaton du domane d étude Ω et de ses fontèe : Γ 0 condton de Dchlet ; Γ condton de Neumann 69 Fgue 55 : Degés de lbeté pou un élément de Nédélec de dmenson ou 3 [ERN-005] 7 Fgue 56 : Repésentaton gaphque des fonctons de fome d un élément tangulae (D) de Nédélec [ERN- 005] 7 Fgue 57 : Algothme de ésoluton électomagnétque tenant compte de la dépendance de la peméablté magnétque au champ magnétque 75 Fgue 58 : Schématsaton de la dfféence d ode de gandeu des temps caactéstques de l électomagnétsme et de la themque 8 Fgue 59 : Rappot de conductvté électque de deux matéaux (HR45 fablement allé et ace noxydable fotement allé) pa appot à leu valeu à l ambant. 84 Fgue 60 : Ogangamme de la pocédue de couplage ente électomagnétsme et themque 86 Fgue 6 : Masse volumque du HR45 en foncton de la tempéatue 89 Fgue 6 : Pncpe de fonctonnement du dspostf de pessusaton des ceusets 89 Fgue 63 : Pncpe de calcul de Cp pou deux chauffages étagés des ceusets à blanc et avec échantllon 90 Fgue 64 : Chaleu spécfque du HR45 en foncton de la tempéatue 9 Fgue 65 : Schéma d une nstallaton pou la méthode flash lase 9 Fgue 66 : Dffusvté themque du HR45 en foncton de la tempéatue 9 Fgue 67 : Modèle électomagnétque composé de l nducteu et de la pèce et de l a (total de 8867 elts). 94 Fgue 68 : A gauche, composante nomale du champs A dans une coupe est à m-longueu de la pèce ; A dote, la densté de pussance ndute pa effet Joules dans la pèce. 94 Fgue 69 : Champ de tempéatue en fn de chauffage des tôles emboutes plenes et avec tou. 95 Fgue 70 : Elément tétaédque P+/P de éféence pou la vtesse et la pesson 06 Fgue 7 : Schématsaton unaxale de la patton des contantes dans l appoche pa un modèle addtf _ Fgue 7 : Intepétaton gaphque de la méthode du pédcteu élastque-etou adal dans l espace des dévateus pncpaux 5 Fgue 73 : Résoluton pa la méthode de Newton, dffculté lée aux valeus négatves 7 Fgue 74 : Dagamme de ésoluton des équatons de Pandtl-Reuss 9 Fgue 75 : Ogangamme du couplage themomécanque

233 Fgue 76 : Mesue de dlataton à l ade de tge pousso en alumne. A gauche : photo du fou femé ; A dote : Schéma de pncpe de mesue et du système de postonnement. 3 Fgue 77 : Coeffcent lnéque de dlataton pa appot à l ambante 4 Fgue 78 : Vsualsaton éclatée du modèle physque themomécanque et du mallage de la pèce et des outls. 5 Fgue 79 : Défomée (x0) et champ de défomaton plastque généé pa la dlataton themque d une pèce bdée et chauffée localement. 5 Fgue 80 : Schéma du pncpe d addtvté : la coube de efodssement T(t) est pattonnée en une sée d étapes sothemes. 34 Fgue 8 : Reconstucton schématques des cnétques et détemnaton des paamètes d Avam à pat d un dagamme TTT 36 Fgue 8 : Repésentaton schématque d un dagamme TTT pa le modèle de tansfomaton de phase [ALIAGA-000] 37 Fgue 83 : Dagamme de ésoluton du calcul des cnétques de tansfomaton en tempe 39 Fgue 84 : Schématsaton du chauffage au sotheme d un ace feto-peltque 40 Fgue 85: Repésentaton schématque d un dagamme TTA d un ace hypoeutectode 4 Fgue 86 : Repésentaton schématque de la cnétque de fomaton de l austénte pou un ace fetopeltque : (a) d apès [FARIAS-990] ; (b) avec nos hypothèses. La fome des coubes en (b) est calculée à pat de ponts des coubes (a) 45 Fgue 87 : Repésentaton schématque du mécansme de plastcté de tansfomaton los de tansfomatons matenstques (mécansme de Magee) (a) ou dffusves (mécansme de Geenwood-Johnson) (b) [SIMON-994] 46 Fgue 88 : Algothme de ésoluton couplée du poblème themo-metallo-mécanque 53 Fgue 89 : Schéma epésentatf des couplages mult-physques pou la smulaton d un tatement themque de tempe apès chauffage pa nducton. 54 Fgue 90 : Schéma epésentatf des couplages mult-physques dans le cade de nos hypothèses 56 Fgue 9 : Mcogaphe de la stuctue HR45 d apès [BERGE-003] 57 Fgue 9 : Epouvette de 5mm de lage, 60mm de long en tôle d épasseu mm chauffée pa effet Joule ente les mos de la machne de tacton développée au CEMEF 58 Fgue 93 : système de mesue pa extensomète mécanque 59 Fgue 94 : Essa de dlatométe lbe du chauffage lent ( C/s) de l état tempé (bante) de l ambant à 000 C 6 Fgue 95 : Compaason des ésultats obtenus au CEMEF en dlatométe lbe avec le coeffcent lnéque de dlataton mesué au CRITT de Nancy 6 Fgue 96 : Ponts expémentaux et coubes héologques de la lo THEVP à dfféentes tempéatues pou l état de écepton 6 Fgue 97 : Ponts expémentaux et coubes héologques de la lo THEVP à dfféentes tempéatues pou l état austéntque 63 Fgue 98 : Ponts expémentaux et coubes héologques de la lo THEVP à dfféentes tempéatues pou l état tempé (bante) 64 Fgue 99 : Compaason de tempablté de dfféents aces d apès [MURRY-00] 67 Fgue 00 : Dagamme TTT calculé pa la méthode de Kkaldy pou une nuance HR45 70 Fgue 0 : Méthode gaphque de mesue de l enthalpe de tansfomaton 7 Fgue 0 : Taux d austénte en fn de chauffage (a) et défomaton pa plastcté de tansfomaton en fn de tempe (b). 7 Fgue 03 : Modèle du poblème électomagnétque composé de l nducteu et de la pèce noyés dans l a envonnant (total de 8867 elts). 83 Fgue 04 : Vsualsaton éclatée du système modélsé et du mallage de chaque pèce. 83 Fgue 05 : Contantes équvalentes au sens de Von Mses en Pa (a) et défomaton plastque (b) apès le seage des pèces des essas ST et SP 85 Fgue 06 : Repésentaton du champ de déplacements de la pèce los du bdage : les vecteus epésentent les déplacements dans l espace, le champ de couleu epésente les déplacement dans l axe de seage (axe X) 86 Fgue 07 : Compaason numéque (tats plens) et expémentale (ponts) des tempéatues à l ntéeu du ayon ponçon (C), en face de l nducteu (B), au bod du tou pecé (A) et au même endot pou les pèces qu ne sont pas pecées (A). 87 Fgue 08 : Composante nomale au plan de coupe du champs A. La coupe est à m-longueu de la pèce. Les lgnes epésentent les fontèes appoxmatves des fontèes des domanes. 88 Fgue 09 : Photos des pèces apès tatement themque et sovaleu de tempéatue à 40 C apès la smulaton du etad douche. 88 Fgue 0 : Evoluton stuctuale du matéau pa appot au temps au nveau du pont B de la pèce (essa LP). 89

234 Fgue : Compaason numéque et expéence des ZAT : champ de taux d austénte pou les ésultats numéques et dueté HV pou les obsevatons expémentales. 90 Fgue : Rappel des 6 cotes mesuées su les épouvettes sem-ndustelles 90 Fgue 3 : Valeu de la cote en foncton du temps dans les dfféentes condtons d essa. 93 Fgue 4 : Vsualsaton des déplacements (x0) de matèe dans la pèce en fn de chauffage et champ de défomaton su l axe Y pou les pèces pecée (a) et plene (b) 94 Fgue 5 : Valeu des cotes, 3 et 4 en foncton du temps dans les dfféentes condtons d essa 94 Fgue 6 : Coubes d évoluton des contantes équvalentes de Von Mses et de défomaton plastque équvalente aux ponts A, B et C des essas LP et LT. 95 Fgue 7 : Champ de défomaton plastque équvalente (en m/m) (a) et de défomaton pa plastcté de tansfomaton (b) dans une pèce de l essa LP, apès etou élastque 96 Fgue 8 : Domanes de Wess dans un matéau feomagnétque 04 Fgue 9 : Déplacement des paos de Bloch dans un matéau feomagnétque plongé dans un champ magnétque H 04 Fgue 0 : Coube d amantaton pésentant une boucle d hystééss pou un matéau feomagnétque plongé dans un champ magnétque qu vae altenatvement de + H S à H S. 05 Fgue : Vaaton de l nducton à satuaton du fe pu en foncton de la tempéatue 05 Fgue : Plan du suppot de bdage 06 Fgue 3 : Algothmque de la factosaton LU Fgue 4 : Algothme de ésoluton de systèmes lnéaes pa la méthode du gadent conjugué 5 Fgue 5 : Algothme de ésoluton de systèmes lnéaes pa la méthode du gadent conjugué pécondtonné 7 Fgue 6 : Algothme de ésoluton de systèmes lnéaes pa la méthode du ésdu mnmal pécondtonné 8

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236 Résumé : Le tatement themque des aces apès chauffage pa nducton localsé est un pocédé aujoud hu épandu, notamment dans l nduste automoble. Ce type de pocédés a fat ses peuves dans le cade de pèces massves, mas les dstosons généées sont encoe pafos nsuffsamment maîtsées losqu l s agt de tôles mnces. PSA-Peugeot- Ctoën s ntéesse alos à l étude et la compéhenson des phénomènes en jeu ans qu à la smulaton numéque de tels pocédés. C est alos dans cette démache et dans le cade d un patenaat ente le Cemef et PSA, que s nsct ce taval applqué au tatement themque d un enfot de ped cental. Un pocédé auss complexe nécesste la compéhenson de la themque, de la mécanque, de la métalluge, de l électomagnétsme, ans que de leus nteactons mutuelles au chauffage comme au efodssement. Ce taval se touve alos au caefou de pluseus dscplnes comme la themomécanque et l électomagnétsme, ans que les méthodes numéques et l étude expémentale. Il fat sute à dves tavaux éalsés au laboatoe concenant la themque ou la mécanque, ans qu une thèse pécédente potant su la modélsaton numéque couplée de la tempe. Il consttue également la pemèe appoche 3D des pocédés de chauffage pa nducton et des couplages mult physques qu en découlent. La pésentaton de ce taval se décompose en 3 gandes pates. Pemèement, on déct le contexte ndustel, la poblématque et l hstoque de l étude du pocédé, pou en ave aux études expémentales éalsées dans ce taval : une pote su le pocédé ndustel et l aute su un modèle smplfé que nous avons conçu pou une melleue compéhenson des phénomènes physques qu génèent les dstosons. Ces études expémentales, ches en ésultats, soulgnent la nécessté d un outl numéque pou alle encoe plus lon dans la compéhenson physque du pocédé. Nous pousuvons alos su tos chaptes pésentant les modèles numéques pa éléments fns, développés et utlsés dans le code de calcul pou smule les poblèmes couplés : themque / électomagnétsme, mécanque / métalluge et l ensemble de la stuctue couplée. La tosème et denèe pate du appot tate, d une pat, de la mse en donnée d un cas sem-ndustel ans que de la caactésaton des paamètes, et d aute pat, des ésultats numéques obtenus et de leu compaason avec les ésultats expémentaux. Le modèle développé pemet d estme dans une pemèe appoche les dstosons subes pa une stuctue mnce los de son tatement themque localsé pa nducton. Le code de calcul actuel fome une base solde pou de futues évolutons pemettant de smule des poblèmes ndustels complexes. Mots-clés : tatement themque, nducton, tôles mnces, smulaton numéque 3D, éléments fns, élément fns d aête, électomagnétsme, themomécanque, héologe, métalluge, cnétques de tansfomatons, mult physque, couplages Abstact : Heat teatment of steel afte localsed nducton heatng s now a wdespead pocess - especally n the automotve ndusty. Ths pocess has poved ts elablty n the context of massve pats, but the dstotons geneated ae stll often nsuffcently contolled when dealng wth thn sheets. PSA-Peugeot-Ctoen s nteested n the analyss and undestandng of the phenomena nvolved, as well as the numecal smulaton of such pocesses. It s theefoe wthn ths famewok and n wthn a patneshp between PSA and CEMEF that ths wok has taken place, usng as an applcaton the heat teatment of cente pllas. Such a complex pocess eques the undestandng of heat tansfe, sold mechancs, metallugy, electomagnetsm, and the mutual nteactons fo heatng as well as coolng. Ths wok les at the cossoads of seveal dscplnes such as themomechancs and electomagnetsm, as well as numecal methods and expemental study. It follows vaous pojects caed out n the laboatoy dealng wth heat tansfe o mechancs, as well as a pevous thess focused on a coupled numecal model fo quenchng. It s also a fst 3D appoach fo nducton heatng pocesses and elated multphyscs couplngs. The pesentaton of ths wok s dvded nto thee man pats. We fst descbe the ndustal context, the poblematc and the pevous studes caed out on ths pocess, gettng then to expemental studes conducted wthn ths wok: one s amed at the ndustal pocess and the othe on a smplfed model we have developed n ode to undestand bette the physcal phenomena whch ceate dstotons. These expemental studes, whch have povded us wth many esults, undescoe the need fo a numecal model n ode to gat a bette n-depth undestandng of the physcs nvolved n the pocess. We then have thee chaptes devoted to the fnte element models developed and used n ou compute tool n ode to smulate the coupled poblems: heat tansfe/electomagnetsm, sold mechancs/metallugy as well as the whole coupled stuctue. The thd and last pat of ths epot deals on one hand wth the settng up of a sem-ndustal cases as well as mateal paametes dentfcaton, and on the othe hand wth numecal esults obtaned and the compason wth expemental esults. Ths model enables us to estmate n a fst appoach the dstotons undegone by a thn stuctue dung localzed nducton heat teatment. The pesent compute tool povdes us wth a sold bass fo futue developments enablng us to tackle wth complex ndustal poblems. Key-wods: heat teatment, nducton heatng, thn plates, 3D numecal modellng, fnte elements, edge fnte elements, electomagnetsm, themo mechancs, heology, metallugy, sold-state phase change, coupled mult physcs