Intégrale de Riemann

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1 1 le 18 Février 010 UTBM MT1 Arthur LANNUZEL http ://mthutbml.free.fr Itégrle de Riem K = R ou C. 1 Itégrle d ue foctio e esclier. Défiitio 1.1 (foctios e esclier) f : [, b] R K est ppelée foctio e esclier ssi 0 = < 1 <... < = b ( i R) tel que x ] i, i+1 [, f(x) = c i K (l vleur ux bores des itervlles ps d importce). L fmille { 1,..., } s ppelle ue subdivisio de [, b]. Défiitio 1. (itégrle d ue foctio e esclier) Soit f ue foctio e esclier sur [, b]. O ppelle itégrle de f sur [, b], l élémet de K : De plus b f(x)dx := f(x)dx. 1 f(x)dx := c i.( i+1 i ). i=0 Remrque 1.3 Soit f : [, b] K = R, ue foctio e esclier. Si x [, b], f(x) 0 lors, ds u repère orthoormé (Ox, Oy), f(x)dx est l ire délimitée pr f et l xe (Ox). Si x [, b], f(x) 0 lors, ds u repère orthoormé (Ox, Oy), f(x)dx est l opposé de l ire délimitée pr f et l xe (Ox). Propriétés i) L itégrle e déped ps des vleurs priset ux bores de l subdivisio. ii) L itégrle est idépedte de l subdivisio choisie. iii) Si f est costte égle à c 0 sur [, b] suf e u ombre fii de poits lors f(x)dx = c 0.(b ). Exemples 1.4 Clculer E(x)dx.

2 Itégrle de Riem d ue foctio réelle cotiue. Soit f : [, b] R cotiue. DESSIN Soit N, o cosidère l subdivisio : 0 =, 1 = + b, = +. b,... k = + k. b,... 1 = + ( 1). b, = +. b. Pour N, o cosidère les foctios e esclier : ϕ : [, b] R telle que x ] i, i+1 [, ϕ (x) = if{f(t), t ] i, i+1 [}, ψ : [, b] R telle que x ] i, i+1 [, ψ (x) = sup{f(t), t ] i, i+1 [}. Propositio-défiitio.1 Les suites (u ) et (v ) de terme géérl u = ϕ (x)dx et v = ψ (x)dx coverget vers l même limite lorsque ted vers + et o défiit f(x)dx := lim u = lim v. + + Preuve. (idée de preuve) Preos ue foctio f croisste (bie choisie! f > 0 pr ex.) sur [, b] (u ) est croisste et mjorée. (v ) est décroisste et miorée. N, u v. De plus v u ted vers 0 lorsque teds vers. Doc les suites (u ) et (v ) sot djcetes. Doc lim + u = lim + v. Remrque. i) f(x)dx = f(x)dx. b ii) O peut géérliser l défiitio précédete ux foctios f cotiues pr morceux (i.e. les foctios f telles que 0 = 0 < 1 < <... < = b vec f cotiue sur ] i, i+1 [ et dmettt ue limite à droite e i et à guche e i+1 ). Exemples x dx 3 Propriétés de l itégrle de Riem. Propriétés Soit f, g itégrbles (pr ex. cotiue) sur [, b].

3 3 1) Si K = R et x [, b], f(x) 0 lors, ds u repère orthoormé (Ox, Oy), f(x)dx est l ire du domie du pl délimité pr l courbe et l xe Ox. ) λ, µ K, (λ.f(x) + µ.g(x))dx = λ. f(x)dx + µ. g(x)dx. 3) Si f g sur [, b] lors f(x)dx g(x)dx. 4) Si f 0 (ou f 0) sur [, b] et f(x)dx = 0 lors f 0. 5) f(x)dx f(x) dx. Preuve. f(x)dx = lim + b 1 b f(+k. ) lim + b 1 b f(+k. ) = f(x) dx. 6) Si K = C et f : [, b] C lors f(x) = u(x) + i.v(x) vec u, v cotiue sur [, b] et f(x)dx = u(x)dx + i. v(x)dx. 7) Si c [, b] lors f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. 8) Formule de l moyee : soit f : [, b] R cotiue. Alors x [, b], m = mi{f(t), t [, b]} f(x) M = mx{f(t), t [, b]}, doc m.(b ) f(x)dx M.(b ), b doc m f(x)dx M, b doc, d près le théorème des vleurs itermédiires, c [, b]/ f(x)dx = f(c).(b ) c [, b]/ f(x)dx b = f(c) 4 Itégrle et primitives. I itervlle de R. Soit f C(I, K) et I. Étudios G : I K x. x f(t)dt Cherchos l dérivée de G : x+h f(t)dt doc, d près l formule de l moyee, G(x+h) G(x) h = 1 h x c h [x, x + h], G(x + h) G(x) h = f(c h ),

4 4 doc G(x + h) G(x) lim h 0 h = f(x). Coclusio 4.1 G est dérivble sur I et x I, G (x) = f(x). Défiitio 4. (primitive) Soit f : [, b] K, o ppelle primitive de f toute foctio F : [, b] K qui est dérivble et telle que F = f. Remrque 4.3 Si F 1, F primitives de f sur I lors F 1 (x) = F (x) + k (k K) doc si F est ue primitive de f lors k K, F (x) = x f(x)dx + k. Nottio 4.4 Soit f : [, b] R cotiue. f(x)dx désige ue primitive de f. O e déduit Propositio 4.5 Si F est ue primitive de f sur I lors, b I, f(x)dx = F (b) F (). 5 Approximtio d ue itégrle. Les méthodes grphiques clssiques d pproximtio d ue itégrle f(x)dx cosistet à prtger l itervlle [, b] e itervlles égux [ + k. b b, + (k + 1). ] (k {0,..., 1}) et à pproximer f sur chque itervlle pr ue foctio g k fcile à itégrer sur [ k, k+1 ] ( k = + k. b ). Méthode des rectgles. Cette méthode cosiste à pproximer f sur [ k, k+1 ] pr g(x) = f(c k ) pour c k [ k, k+1 ]. Preos pr exemple, c k = k : doc k+1 k f(x)dx g(x)dx = b.f( k), g(x)dx = b 1 f( k ).

5 5 Mesuros l erreur (pour f C 1 ([, b], K)) : Soit x [ k, k+1 ], lors d près le théorème des ccroissemets fiis, il existe c [ k, x] tel que f(x) f( k ) = (x k ). f (c). Doc k+1 k f(x) f( k )dx sup{ f (t), t [, b]}. k+1 k (x k )dx, doc k+1 k f(x) f( k )dx sup{ f (t), t [, b]}. ( k+1 k ), doc k+1 k f(x) f( k )dx sup{ f (t), t [, b]}. (b ), doc f(x)dx b 1 f( k) (b ).. sup{ f (t), t [, b]}. Exercice 5.1 Trouver ue vleur pprochée de 3 6 Quelques techiques d itegrtio. 6.1 L itegrtio pr prtie. (u.v) = u.v + u.v doc u.v = [u.v] u.v. Exemples x. l(x + 1)dx Chgemet de vrible. 1 x dx à 10 3 prés. Ds I = f(x)dx, e post x = ϕ(t) vec ϕ bijective de [α, β] sur [ = ϕ(α), b = ϕ(β), o obtiet Exemples x. 1 + x 3.dx. I = β α f(ϕ(t)).ϕ (t)dt. 6.3 Itegrtio des foctios rtioelles. O décompose e élémets simples pour esuite itégrer chque élémet simple. Exemples x 3 +.dx. (x+1) 6.4 Itegrtio des foctios rtioelles e si(x), cos(x). Utiliser le chgemet de vrible u = t x puis itégrer l frctio rtioelle. Exemples 6.4 cos(x) si(x) si(.x).dx. Remrque 6.5 Le même gere de méthode est vlble pour les foctios rtioelles e Ch(x) et Sh(x).