Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006
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- Michelle Guertin
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1 Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud ovembre 6 EXERCICE Commu à tous les cadidats poits. AB, AD 9 A, B et D e sot pas aligés.. Il existe pas de réel α tel que AB = α AD. Les poits. Les égalités = et = sot vraies ; les poits A et B appartieet au pla. Doc la droite AB) est coteue das le pla d équatio cartésiee : xy =.. Les coordoées des trois poits vérifiet l équatio. L équatio proposée est bie celle du pla BCD), ces trois poits état maifestemet disjoits deux à deux.. Les coordoées de A e vérifiet pas l équatio précédete. Doc A appartiet pas au pla BCD). Les poits A, B, C et D e sot pas coplaaires. 5. La sphère de cetre A et de rayo 9 est tagete au pla BCD) si et seulemet si la distace de A à ce pla est égale au rayo du cercle, c.à.d si da, BCD))= 8 8 = 9 = 9 qui est ue égalité fausse. La propositio est fausse. 6. Ue représetatio paramétrique de la droite BD) est obteue e traduisat l égalité vectorielle BM = λ x = λ BD qui se traduit par le système : y = λ z = 5 5λ qui se traduit e posat λ= k λ= k par le système proposé par l éocé. La propositio est vraie. EXERCICE Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité 5 poits. Cf. cours..
2 Corrigé termiale S Amérique du Sud C B A - D - E 5 Ω E a. O obtiet z A = 5i=z C et z B = i=z D. b. Mz) est ivariat par f si et seulemet si z = z = i)z i iz = i z = i. L équatio ayat ue seule solutio, f a u seul poit ivariat Ω d affixe ω= i.. a. O a z z = iz i= i i z). b. E preat le module des deux complexes ci-dessus, o obtiet M M = i ΩM et si Ω M, M M ΩM =. L égalité trouvée au a peut, si Ω M, s écrire z z = i. E preat i z les argumets de ces deux complexes, o obtiet MΩ, ) M M = π. c. O e déduit que le triagle ΩM M est u triagle rectagle e M. d. O a z E = ==. Doc z E = ) [ i = cos π ) isi π )] = e i π. Pour placer le poit E, il suffit de costruire le cercle de cetre O et de rayo. Le poit E est le poit de ce cercle d abscisse. D après les questios b et c o a EE ) = ΩE et EΩ, EE = π. O costruit doc la perpediculaire e E à la droite EΩ) et o place sur cette droite le poit E tel que EE ) = ΩE et EΩ, EE = π ovembre 6
3 Corrigé termiale S Amérique du Sud EXERCICE Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité. Cf. cours 5 poits. O cherche tel que mod 7 ; = est le premier aturel qui coviet. O cherche tel que mod 7 ; = 6 est le premier aturel qui coviet car 6 = 79=7.. a. Soit a N, a 7k,k N. Il existe r N, r < 7 tel que a= 7kr. O a doc a r mod 7, doc a 6 r 6 mod 7. Or : 6 mod 7 : évidet : mod 7 doc d après la propriété b ci-dessus, ) mod 7 ; 6 mod 7 ; 6 = ) = ) ; d après la propriété b ci-dessus ) mod 7. mod = 5 65=7, doc 5 6 mod 7. Efi 6 6 = ) 6 = 6 6, doc d après la propriété du a, 6 6 mod 7. Coclusio : o a démotré que das tous les cas : a 6 mod 7. b. O a a k mod 7, k état le plus petit aturel vérifiat cette cogruece. D autre part 6=kq r avec r < k. O a doc a 6 = a kqr = a kq a r = a k) q a r. Or a k mod 7, doc a 6 a r mod 7. Doc a r mod 7. Or k état le plus petit aturel vérifiat k a mod 7, il e résulte que r =, c est-à-dire que k divise 6. Les valeurs possibles pour k sot doc,, et 6. c. O a trouvé l ordre de : c est, doc l ordre de est aussi et l ordre de, c est 6 ; o a vu que l ordre de 5 est 6.. A 6 = O a 6 = 6. Doc 6 = 6 = 6 = 6). Or 6 mod 7, doc fialemet 6 mod 7. De même pour les autres puissaces, doc A 5 6 mod 7, soit A 9 6 mod 7 car 9=7 6). Fialemet A 6 6 mod 7. EXERCICE Commu à tous les cadidats poits. a. O a ue loi de Beroulli de paramètres p= et = 5. b. O a E= p = 5 =,5. tulipes jaues) c. O a px = )= ) ) ) 5 = ) 5 5. d. px = 5)= ) ) 5 ) 5 5 5,89.. a. Si lot choisi est le, o a autat de chaces d avoir ue tulipe jaue que le cotraire. La loi de Beroulli a ici pour paramètres = 5 et p=. La probabilité d obteir tulipes jaues est doc : p B J )= ) ) ) 5 = ) ) 5 = ) 5. ovembre 6
4 Corrigé termiale S Amérique du Sud b. De la même faço que précédemmet p A J ) = ) ) ) 5 = ) 5 5. A et B formet ue partitio de l uivers, doc d après la formule des probabilités totales, p J )= p A J ) p B J )= pa) p A J ) pb) p B J )= ) 5 5 ) 5 = ) 5 5 ) 5 = ) 5 5 ) 5. c. p = p J A)= p A J ) p J ) ) = = p A J ) pa) p J ) = ) 5 ) d. p, ,99 5,9 5 5), 5,9 5 5 )l l 9 5) 5 l 5 9 ) l 6,. Coclusio : il faut que < 7. Iterprétatio : Si le ombre de tulipes jaues est peu élevé ici mois de 7) la probabilité d avoir choisi le lot est très grade ; si ce ombre de tulipes jaues se rapproche de 5 sur 5, la probabilité est grade que le lot choisi soit le lot. 5 ) =. EXERCICE 8 poits Commu à tous les cadidats a. i. O a lim f x)= et lim f x)=. x x Dérivée : f x)= x > sur ] ; [. Les foctios f sot doc croissates de à. ii. La foctio f est cotiue comme somme de foctios cotiues et croissate de à : il existe doc u réel uique α ] ; [ tel que f α )=. Comme f )= < et f e)= = >, o e déduit que <α < e. b. i. L équatio est de la forme : y = ax ; e utilisat le fait qu elle cotiet le poit B, o obtiet =a a =. O a doc Mx ; y) y = x ii. y = x y = x y = x ovembre 6
5 Corrigé termiale S Amérique du Sud α α 5 iii. Le poit commu à Γ et a ses coordoées qui vérigfiet l x = x l x x = f x) = qui a pour solutio uique α sur ] ; [. iv. α est la solutio de l xx =qui a pour solutio évidete α = suggéré aussi par le croquis). Toujours d après le croquis la suite α ) semble croissate. c. i. O sait que lα α = lα = α. ii. f α ) = lα α = α α = α α = ) α = α ) <. iii. Or f α ) =. Coclusio comme les foctios f sot croissates et comme f α )< f α ), il e résulte que α < α, ce qui sigifie que la suite α ) est croissate iv. La suite α ) est croissate et majorée par e : elle est doc covergete vers u réel l e. α Par cotiuité, o a lim =, doc ll = ll= l=e. e d. i. O a A D )= l x dx. α E itégrat par parties, o trouve qu ue primitive de la foctio x l x est la foctio x x l x x. A D )=[x l x x] e α = e e α lα α = α lα)=α α α. ii. ) = ovembre 6 5
6 Corrigé termiale S Amérique du Sud lα α e D après le dessi l itégrale est comprise etre l aire du rectagle hachuré de gauche à droite et l aire du rectagle hachuré de droite à gauche : d où l ecadremet : lα e α ) α e α ) iii. L ecadremet précédet permet e multipliat par et e divisat par lα, pour ) d obteir les deux iégalités : e α ) α lα et α e α ). O obtiet doc l ecadremet fial : α e α ) α lα iv. Par passage à la limite o a doc lim e α )=e.. ). ) c est-à-dire lete- O peut e déduite que lim α = lim e e La suite α ) coverge doc comme la suite met. ovembre 6 6
Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
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