Systèmes de transitions Automates à états finis

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1 M2P GLRE Génie Logiciel, logiciels Réprtis et Embrqués Systèmes de trnsitions Automtes à étts finis Z. Mmmeri

2 1. Comportement de système L description de comportement d un système désigne l expression du contrôle de l évolution de ce système u cours du temps. Pr description du comportement, on entend l identifiction et spécifiction : Des ctions (ou opértions) que le système rélise (ou peut réliser). Usinge de pièces, Ouverture de fichier, Fermeture de vnne et Ecriture dns une bse de données sont des exemples d ctions. Des événements (ou stimuli) qui déclenchent les ctions. Dépssement de tempérture, Réception d un messge, Fin d usinge et Ouverture de porte d scenseur sont des exemples d événements. De contrintes de temps que le système devr respecter. Trouver un vol pour une destintion donnée en moins de 2 minutes, Usinge de pièce pendnt 10 secondes et Envoi de messge toutes les 100 secondes sont des exemples vec des contrintes de temps. Des conditions d ctivtion (cr en plus des événements, le système doit prfois respecter certines conditions vnt de déclencher des ctions). Si nombre de pièces = 10, fermer l boîte et S il n y ps d obstcle devnt l cellule de l scenseur, fermer l porte de l scenseur sont des exemples vec des conditions. Des situtions normles (ou exceptions) et leurs tritements. Arrêt de l scenseur entre deux étges et Appui de touche sns résultt sont des exemples de situtions normles. Des étts significtifs du système. Ascenseur à l rrêt, Ascenseur en mouvement, Porte ouverte et Ascenseur en mintennce sont des exemples d étts significtifs d un système Ascenseur. Le comportement de système est l dimension l plus crucile et l plus difficile à modéliser cr : 1) Les situtions à prévoir peuvent être infinies. 2) Les concepts à utiliser sont nombreux. 3) Il n existe ps de modèle théorique permettnt de représenter ces concepts pour tous les systèmes. Les systèmes de trnsitions (utomtes et réseux de Petri) sont les principux modèles utilisés pour spécifier le comportement de systèmes réctifs et/ou temps réel. Dns ce chpitre, nous nous intéressons ux systèmes de trnsitions. Un système de trnsitions est un utomte. Le terme système de trnsitions est surtout utilisé pr ceux qui s intéressent à l modélistion de systèmes. Le terme utomte est plus générl. Dns ce document, système de trnsitions et utomte sont interchngebles. Les utomtes constituent des techniques de bse que l informticien se doit de connître. Ils sont utilisés essentiellement dns l théorie des lngges et dns l modélistion et vérifiction de systèmes communicnts (qui englobent les systèmes temps réel). L notion d utomtes est utilisée dns différentes méthodes de conception (UML, SDL et utres), vec des nottions grphiques souvent différentes d une méthode à l utre. Les utomtes offrent des mécnismes qui sont à l fois formels et simples à comprendre et à utiliser (surtout lorsqu ils sont utilisés sous forme grphique). Ils servent ussi à vérifier formellement (notmment pr les techniques du model checking) des propriétés sur les systèmes modélisés. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 1

3 2. Automtes : notions de bse et définitions Un utomte est une mchine ynt un étt cournt et d utres étts pr lesquels elle est déjà pssée ou pr lesquels elle psser (éventuellement) dns le futur. Le chngement d étt s ppelle trnsition. De mnière simplifiée, un système se trouve dns un étt initil et chnge d étt en fonction de l rrivée des signux (événements) qui lui prviennent de son environnement. Définition (définition d utomte) Un utomte est un qudruplet A = (S, s 0, E, T), où : S = ensemble d étts. s 0 = ensemble des étts initiux de l utomte (s 0 S). E = ensemble fini des étiquettes des trnsitions. T = ensemble des trnsitions (T S E S). Un étt correspond à une sitution prticulière (pr exemple, étt Connexion étblie dns un protocole de communiction, ou étt Usinge de pièce en cours dns un système de production). L notion d étt est une bstrction qui permet de ccher des détils lors d une modélistion. Comme c est une bstrction, l notion d étt peut être utilisée pour modéliser des spects de complexité différente selon les besoins de modélistion. Pr exemple, Cse mémoire égle zéro et Dupliction de bse de données terminée sont deux étts de complexité totlement différente. Les littérux ssociés ux étts pour les identifier peuvent être des nombres ou des chînes de crctères (des noms) quelconques, en fonction de l lisibilité souhitée. L étiquette ssociée à une trnsition peut être composée de trois types d éléments (ces éléments ne sont ni nécessires ni exclusifs) : - événements (ou signux) qui, une fois reçus, permettent le frnchissement de trnsition. - une grde qui définit une condition (exprimée en générl sur les vribles de l utomte). Le frnchissement de l trnsition ne peut se fire que si l condition est vrie (c est une condition nécessire, mis ps suffisnte). - des ctions (ffecttions de vribles, envois de signux, remise à zéro d une horloge...) effectuées pr l utomte vnt de chnger d étt. Pour voir des utomtes bstrits, on utilise le littérl τ pour désigner une ction invisible ou inobservble (c est à dire qu il y une ction notée sur l étiquette, mis cette ction n est ps observble). L ction τ est utilisée pour trduire le fit qu un système peut chnger spontnément d étt sns rison pprente (observble). Si l étiquette ssociée à une trnsition est vide, cel signifie que l trnsition se fit de mnière létoire ou de mnière implicite connue pr celui qui fit l modélistion. On peut voir un utomte où il n y que les étts interconnectés vec des trnsitions sns étiquettes. Dns ce cs, l utomte est utilisé pour voir une première bstrction du système qui ser enrichie (complétée) ultérieurement. Si l étiquette ne contient ps d événement, cel signifie que le frnchissement est létoire et est lié uniquement à l grde si elle existe. Pour des risons de déterminisme, il fut éviter d utiliser des trnsitions sns événements. Syntxe pour les étiquettes Selon l clsse d utomte considérée (utomte simple, utomte vec vribles, utomtes vec échnge de messges, utomte temporisé...), l forme des étiquettes chnge. L syntxe des étiquettes pour l Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 2

4 même clsse d utomtes peut chnger selon l méthode de modélistion, le lngge de progrmmtion, l outil de preuve... Pour présenter nos exemples dns ce document, nous retenons l syntxe suivnte : <étiquette> ::= [ <grde> : ] [ <Liste d événements> [ ; <condition sur horloge>] / ] [ <liste d ctions> ] [<x>] signifie que le chmp <x> est peut être vide. <grde> est une condition exprimée à l ide de vribles de l utomte. <Liste d événements> contient le nom d un événement ou de plusieurs noms d événements séprés pr des virgules. <liste d ctions> contient le littérl τ, le nom d une ction ou les noms de plusieurs ctions séprés pr des points-virgules. <condition sur horloge> est utilisble dns les utomtes temporisés (cf. section 8). Un utomte est souvent représenté de mnière grphique (c est d illeurs l un des touts des utomtes) où les cercles désignent les étts et les flèches les trnsitions. Exemple (horloge digitle) Une horloge digitle (qui indique seulement l heure et l minute) peut être représentée pr un utomte vec 24*60 étts possibles. Dns l utomte de l figure 1, une trnsition relie toute pire d étts distnts d une minute. Il n y ps d étiquette sur les trnsitions, sous-entendu que le frnchissement de trnsition se fit à chque minute. 00:00 00:01 00:02 23:59 23:58 Fig. 1. Modèle d une horloge digitle Exemple (compteur modulo 4) L utomte de l figure 2 modélise un compteur modulo 4. Les étts de cet utomte correspondent ux qutre vleurs du compteur (0, 1, 2, 3). Les trnsitions trduisent les opértions inc (incrémenttion) et dec (décrémenttion) du compteur. Formellement, l utomte est décrit pr : S = {0, 1, 2, 3} s 0 = {0} E = {inc, dec} T = {(0, inc, 1), (1, inc, 2), (2, inc, 3), (3, inc, 0), (0, dec, 3), (1, dec, 0), (2, dec, 1), (3, dec, 2)} On peut ussi écrire T de l mnière suivnte : inc inc inc inc 0 1, 1 2, 2 3, 3 0, T = dec dec dec dec 0 3, 1 0, 2 1, 3 2 Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 3

5 inc 0 dec 1 inc dec dec inc 3 dec inc 2 Fig. 2 Modèle d un compteur modulo 4 Définition (utomte fini, utomte infini). Lorsque l ensemble des étts, S, est fini on prle d utomte à étts finis et lorsqu il est infini on prle d utomte à étts infinis (ou d utomte à étts tout simplement). Pr exemple, un utomte qui modélise les étts (vleurs) d une vrible réelle est infini (puisque le nombre de vleurs est infini). Pr contre, l utomte qui modélise l étt d une lmpe est fini, si on ne s intéresse qu ux étts Lmpe llumée et Lmpe éteinte. Dns ce document, nous nous intéressons ux utomtes à étts finis seulement. Définition (utomte déterministe) Un utomte est dit déterministe si pour tout couple <étt, étiquette>, le choix de l trnsition est unique. Il est indéterministe s il existe u moins un étt qui deux trnsitions étiquetées de l même mnière mis qui mènent vers deux étts différents. Les utomtes des figures 1 et 2 sont déterministes. Pr contre, celui de l figure 3 n est ps déterministe, cr à l réception d un messge, on peut soit triter le messge soit l ignorer (le perdre). L indéterminisme peut être volontirement choisi pour modéliser des spects indéterministes comme l perte de messges dns un réseu ou l défillnce de mchines dns un système de production. Attente messge Messge reçu Triter messge Messge reçu Fig. 3 Automte indéterministe Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 4

6 Définition (Structure de Kripke) Etnt donné un ensemble π de propositions tomiques et un ensemble E d étiquettes, une structure de Kripke K est un système de trnsitions étiquetées où les étts sont décorés pr des ensembles des propositions de π, K= <S, s 0, E, T, L> où : - S est un ensemble d étts, - s 0 est un ensemble d étts initiux, - E est un ensemble fini d étiquettes, - T est un ensemble de trnsitions, - L est une ppliction qui ssocie à chque étt l ensemble des propriétés de π vérifiées dns cet étt. C est générlement pour pouvoir prouver des propriétés sur un système que l on rjoute le cinquième élément à l utomte, celui qui ssocie à tout étt de S, l ensemble des propriétés élémentires vérifiées dns cet étt. Cet élément n est ps nécessire pour utiliser les utomtes. Si toutes (ou certines) propriétés liées ux étts sont connues à l vnce, il est préférble de les noter sur l utomte, cel simplifier l preuve de certines propriétés sur l utomte. Définition (chemin d exécution ou trce) Un chemin d un utomte A est une suite σ, finie ou infinie, de trnsitions (s i, e i, s i ) de A qui s enchînent. e1 e2 e3 e4 On note souvent une telle chîne sous l forme : s1 s2 s3 s4... L longueur d un chemin, σ, désigne le nombre de trnsitions qui le composent. Chemin et trce sont des termes interchngebles. inc inc dec inc Pr exemple, est un chemin de l utomte de l figure 2. Définition (exécution) Une exécution prtielle d un utomte est un chemin prtnt de l étt initil de cet utomte. Une exécution complète est une exécution que l on ne peut plus prolonger (cr le système tteint un étt de blocge ou bien l exécution est infinie). Définition (rbre d exécution) Un rbre d exécution est l ensemble des exécutions possibles décrivnt l dynmique d un système. L rbre d exécution peut être infini. Pr exemple, les utomtes correspondnt à l horloge et compteur donnés précédemment ont des rbres d exécution infinis. Définition (tteignbilité) Un étt est dit tteignble (ou ccessible) s il pprît u moins une fois dns l rbre d exécution de l utomte. L notion d tteignbilité est importnte ; elle est souvent utilisée pour démonter des propriétés du système. En effet, le pssge pr un étt (donc cet étt est tteignble) peut correspondre à une propriété prticulière du système ou bien ce pssge est nécessire pour que l propriété soit vérifiée. Pr exemple, si dns un utomte correspondnt à l commnde d une porte, il y un étt Porte_Fermée, démonter l propriété «L porte peut être fermée» revient à démontrer que l étt Porte_fermée est tteignble. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 5

7 3. ω-utomtes Un lngge formel peut être défini comme étt l ensemble fini des mots obtenus à prtir d un lphbet fini Σ. Un ω-lngge est un ensemble infini de mots, cet ensemble est souvent noté Σ ω. Au sens de l théorie des lngges, les trces d un utomte sont des mots d un lngge formé à prtir de l lphbet des ctions. Pr exemple, le mot σ défini pr : σ = σ 1 σ 2 σ 3... sur l lphbet des ctions revient à exprimer une exécution commençnt à l étt s 0 et chngent d étt suite à l exécution des ctions σ 1, σ 2, 1 σ 3... : s s s... 0 σ 1 σ 2 2 σ 3 Un ω-utomte est un utomte à étts finis non déterministe permettnt de reconnître un ω-lngge, c est-à-dire permettnt d ccepter des chînes de mots infinies. Dns le cs de l étude du comportement de systèmes, les mots constituent une suite d ctions du système. L étude du comportement d un système revient à étudier les chînes cceptées pr l utomte modélisnt le système, ce qui revient, en d utres termes, à étudier les suites d ctions engendrées pr les chngements d étts du système. Prmi les clsses d utomtes les plus étudiées, il y les utomtes de Büchi et les utomtes de Muller. Définition (utomte de Büchi) Un utomte de Büchi <S, s 0, E, T> est un utomte ynt un sous-ensemble d étts, F (F S), dits étts d ccepttion tels que l exécution à prtir d un étt de F se répète indéfiniment. L figure 4 montre un exemple d utomte de Büchi permettnt l ccepttion du lngge (+b) * ω. Les utomtes de Büchi permettent de coder les lngges ω-réguliers. L intérêt d utiliser les utomtes de Büchi est que l vérifiction de propriétés sur les systèmes se rmène à l preuve de l inclusion de lngges et le problème d inclusion de lngges ω-réguliers est connu comme décidble.,b s s Fig. 4. Exemple d utomte de Büchi cceptnt le lngge (+b) * ω Définition (utomte de Muller) Un utomte de Muller <S, s 0, E, T> est un utomte ynt une fmille d étts, F (F 2 S ), dite fmille d ccepttion, telle que dns toute exécution infinie, l ensemble d étts qui se répètent indéfiniment pprtient à F. L figure 5 donne un exemple d utomte de Muller qui reconnît le même lngge que celui reconnu pr l utomte de Büchi de l figure 4. Dns cet utomte, l fmille d ccepttion est F = {{s }}. Il fut noter que les utomtes de Muller sont des cs prticuliers des utomtes de Büchi, mis ils sont déterministes. Les utomtes déterministes de Muller sont de bons cndidts pour modéliser les systèmes et des lgorithmes efficces de clcul d inclusion de lngges existent. b s b s Fig. 5. Exemple d utomte de Muller cceptnt le lngge (+b) * ω Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 6

8 4. Automtes vec vribles Lorsqu on modélise des systèmes réels, il est souvent utile (voire nécessire) de mnipuler des vribles d étt. Pr exemple, dns un utomte représentnt un protocole de communiction, il est souvent nécessire de compter le nombre de pquets reçus, le nombre d erreurs de trnsmission, etc. Dns un utomte, les vribles peuvent être mnipulées soit dns les ffecttions soit sous forme de conditions dns les grdes. L utilistion des vribles permet de réduire le nombre d étts. Pr exemple, on lieu d voir un utomte dns lequel il y un étt pour chque vleur d un compteur, on peut utiliser une vrible qui contient l vleur du compteur. On peut insi, psser d un utomte vec un nombre infini d étts (si le compteur est infini) à un utomte utilisnt une vrible. Définition (utomtes vec vribles) Un utomte vec vribles peut être défini pr un 6-tuplet <S, s 0, E, T, X, I> : - S est un ensemble d étts, - s 0 est un ensemble d étts initiux, - E est un ensemble fini d étiquettes, - T est un ensemble de trnsitions, - X est un ensemble de vribles (v 1,..., v n ). Chque vrible v i peut prendre des vleurs pprtennt à un domine de définition Dv i, - I est l ensemble des initilistions de vribles. Exemple (digicode) Nous considérons ici un exemple fréquemment utilisé dns l littérture sur les utomtes, celui du digicode utilisé pour le déverrouillge de porte. Le digicode modélisé ici est reltivement simple pour minimiser le nombre d étts et trnsitions. Il fonctionne de l mnière suivnte : le clvier trois touches A, B et C. L porte est déverrouillée dès que l utilisteur tpé l combinison ABA (qui est le code mémorisé pr le système et on suppose qu on ne chnge jmis ce code). On ccepte que l utilisteur puisse se tromper. Si l touche tpée ne correspond ps à l touche ttendue pr le système, le nombre d erreurs et incrémenté de 1 et l utilisteur doit recommencer le code depuis le début. Au bout de 4 erreurs, le système psse dns un étt d erreur (pr exemple, il peut déclencher une lrme dns cet étt). Pr exemple, si l utilisteur tpe ABA, AAABA, BABA, BBABA, CAABA l porte est déverrouillée. Nous donnons un premier utomte (Fig. 6) vec une vrible pour décrire le système Digicode. L vrible Cpt compte le nombre d erreurs et elle est utilisée comme grde dns les trnsitions. L étt S i = 0 (i=0,...,3) indique que dns cet étt i bonnes touches ont été tpées. Dns l étt S 3, l porte est déverrouillée. Qund Cpt = 3 et qu il y une nouvelle erreur, le système psse dns l étt d erreur S R. Ensuite, nous ppliquons l opértion de déplige à cet utomte pour obtenir l utomte de l figure 7. On remrque les étts introduits. Pour chque vleur du compteur de 0 à 3, on dupliqué les étts de l utomte initil. Ensuite, les trnsitions ont été déterminées. Il n y plus d ffecttions de vleurs ux vribles (cr les nouveux étts contiennent les vleurs) et les grdes ont été supprimées. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 7

9 Cpt<3 : B, C / Cpt:=Cpt+1 Cpt<3 : A / Cpt:=Cpt+1 Cpt<3 : B, C / Cpt:=Cpt+1 Cpt:=0 A B A S 0 S 1 S 2 S 3 Cpt=3 : B, C / Cpt:=Cpt+1 Cpt<3 : C / Cpt:=Cpt+1 Cpt=3 : A, C / Cpt:= Cpt+1 Cpt=3 : B, C / Cpt:=Cpt+1 S R Fig. 6. Automte Digicode vec une vrible et trnsitions grdées Pour ppliquer des méthodes de vérifiction sur les utomtes vec vribles, il est souvent nécessire de déplier ces utomtes. L opértion de déplige d un utomte consiste à introduire des étts pour mieux identifier les vleurs de vribles. Plus concrètement, le déplige d un utomte A consiste en : - l dupliction d étts : pour chque étt de A, introduire utnt d étts qu il y de vleurs des vribles utilisées dns A ; - l détermintion des trnsitions : 1) déplier les trnsitions entre les occurrences d étt si l grde est vrie, 2) les trnsitions ne sont plus grdées cr on connît explicitement les vleurs des vribles dns chque étt dns le nouvel utomte, 3) supprimer les ffecttions des vribles, cr les étts contiennent directement les vleurs de vribles ; - l suppression d étts : éventuellement supprimer des étts qui ne sont ps tteignbles. Définition (déplige d utomte) Soit un utomte A = < S, s 0, E, T, X, I > et Dv 1,..., Dv n les domines de définitions des vribles de X (v 1,..., v n ). L utomte A d = < S d, s d 0, E d, T d > sns vrible, obtenu pr déplige de l utomte A est défini pr : - S d = S x Dv 1 x... Dv n - s d 0 = s 0 x d 1 x...x d n où d 1,..., d n constituent les vleurs d initilistion définies dns I - E d est obtenu à prtir de E en supprimnt les grdes et les ffecttions de vribles - T d est l ensemble des trnsitions obtenu près modifictions Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 8

10 S 0 Cpt=0 A S 1 Cpt=0 B S 2 Cpt=0 A S 3 Cpt=0 B,C C A B,C S 0 Cpt=1 A S 1 Cpt=1 B S 2 Cpt=1 A S 3 Cpt=1 B,C C A B,C S 0 Cpt=2 A S 1 Cpt=2 B S 2 Cpt=2 A S 3 Cpt=2 B,C C A B,C S 0 Cpt=3 A S 1 Cpt=3 B S 2 Cpt=3 A S 3 Cpt=3 B,C A,C B,C S R Fig. 7. Automte Digicode vec déplige de l utomte de l figure 6 5. Exemple de modélistion d un terminl bncire simplifié Pour illustrer les définitions précédentes, prenons un système un peu plus complexe que ceux vus précédemment. Nous considérons le cs d un système pour modéliser un terminl bncire servnt à effectuer des opértions (consulttion de compte,...). Pour simplifier le système à modéliser (en prticulier pour réduire le nombre d étts et trnsitions), nous limitons le fonctionnement du terminl de l mnière suivnte : 1) Le terminl dispose d un écrn et d un clvier ynt les touches : chiffres 0 à 9, Démrrge, Correction, Vlidtion, Suite et Annultion. 2) A l initilistion ou lorsque le terminl n est ps utilisé, l écrn est en mode veille (pour minimiser l consommtion d énergie). 3) Le client est supposé respecter les règles d utilistion du terminl (pr exemple, nous considérons, pour des risons de simplifiction de l utomte, que l utilisteur ne v ps tper plus de 4 chiffres pour le code secret, qu il ne v ps tper sur une touche lors que le menu qui lui est proposé ne contient ps cette touche). 4) Lorsqu un client rrive, il doit ppuyer sur l touche Démrrge. Ensuite le terminl lui ffiche le menu «Insertion crte» et ttend l introduction de l crte. Tnt qu ucune crte n est insérée dns le lecteur, le système ne régit ps même si des touches sont tpées. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 9

11 5) Le client insère s crte, ensuite le système lui ffiche le menu «Sisie de code» (contennt un messge de bienvenue et d invittion à sisir un code secret de 4 chiffres). 6) Le client sisit un code de 4 chiffres et ppuie sur l touche Vlidtion. Tnt que le client n ps ppuyé sur l touche Vlidtion, le code est supposé incomplet et le système ne le vérifie ps. Si le client se trompe, il peut revenir en rrière en tpnt Correction pour corriger le dernier chiffre sisi. Chque fois que l touche Correction est ppuyée le dernier chiffre est effcé. Le système ne régit ps, si le client ppuie sur l touche Correction lors qu il n y ps de chiffres à corriger. 7) Si le code n est ps correct, un menu «Code erroné Retpez le code» est ffiché et le client doit retper son code à nouveu. Le client droit à 3 tenttives seulement. Après trois échecs, un messge «Crte bloquée dressez-vous à votre gence», l crte est bloquée dns le terminl et un retour à l phse de veille est effectué. 8) Si le code est correct, un menu «Opértions» s ffiche. Ce menu contient «1 : Soldes et opértions ; 2 : commnde d un chéquier». Si le client tpe 1, il y ffichge du solde de son compte et des opértions effectuées sur le compte. Si le client tpe 2, le système envoie à l gence un ordre de commnde de chéquier. Après chque opértion, le client doit tper l touche Suite pour voir le reste du menu «Opértions». Si le client utilisé les deux opértions 1 et 2, le système ffiche les messges «Fin - Au revoir» et «Retirez votre crte». Lorsque l crte été retirée, le système revient à l phse de veille. Lors de l sisie des opértions, seuls les nombres indiqunt les opértions vlides sont cceptés, les utres crctères (suf Annultion) n ont ucun effet sur le système et ne sont ps considérés dns l utomte ci-dessus. 9) A n importe quel moment (pendnt l sisie du code secret ou des opértions), l ppui sur l touche Annultion, conduit à l restitution de l crte et u retour à l phse de veille. L utomte obtenu est décrit dns l figure 8 : - Ett Veille : le système ttend que l touche Démrrge soit tpée. Une fois cette touche tpée, l ction Afficher «Insertion crte» est exécutée et le système psse à l étt Attente crte. Dns l étt Veille, seul l événement correspondnt à l touche Démrrge est pris en compte. - Ett Attente crte : le système ttend le signl Crte introduite qui indique qu une crte est prête dns le lecteur. Une fois ce signl reçu, le système exécute qutre ctions : il ffiche le messge «Sisie de code», il initilise l vrible Essis à 1 (cette vrible sert à compter le nombre de tenttives de sisie du code), il initilise l vrible NbChiffres à 0 (cette vrible sert à compter le nombre de chiffres sisis) et initilise l vrible Code à vide (cette vrible sert à stocker les chiffres du code pendnt leur sisie). Après ces qutre ctions, le système psse à l étt Sisie code. - Ett Sisie code : cinq trnsitions sont possibles (les utres situtions ne sont ps tritées pr le système) selon l touche tpée et les vleurs des vribles de l utomte: o Un chiffre vient d être tpé et le nombre de chiffres déjà tpés est inférieur à 3, lors on incrémente de 1 l vrible NbChiffres et on conctène le chiffre tpé vec contenu de l vrible Code. Ensuite, on reste dns l étt Sisie code. o Un chiffre vient d être tpé et le nombre de chiffres déjà tpés est égl à 3, lors on conctène le chiffre tpé vec contenu de l vrible Code. Ensuite, on psse dns l étt Attente vlidtion. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 10

12 o L touche Correction vient être tpée et NbChiffres est supérieur à 0, on décrémente de 1 l vrible NbChiffres et on supprime le dernier chiffre sisi de l vrible Code. Ensuite, on reste dns l étt Sisie code. o L touche Correction vient être tpée et l vrible NbChiffres est égl à 0, on reste dns l étt Sisie code sns exécuter d ction. o L touche Annultion vient être tpée, on ffiche les menus «Annultion - Au revoir» et «Retirez votre crte» et on psse à l étt Attente retrit crte. - Ett Attente vlidtion : trois trnsitions sont possibles o L touche Vlidtion vient d être tpée, le système émet une demnde de vérifiction du code et ttend l réponse (cette réponse peut être générée en interne pr le terminl ou pr un utre système externe) et psse à l étt Vérifiction code. o L touche Correction vient d être tpée, on décrémente de 1 l vrible NbChiffres et on supprime le dernier chiffre sisi de l vrible Code. Ensuite, on reste dns l étt Sisie code. o L touche Annultion vient être tpée, on ffiche les menus «Annultion - Au revoir» et «Retirez votre crte» et on psse à l étt Attente retrit crte.. - Ett Vérifiction code : trois trnsitions sont possibles (ici que le client ne peut plus nnuler) o o Réception d un signl Code correct, on ffiche le menu indiqunt les deux opértions possibles (consulttion de compte et commnde de chéquier). On met à fux les deux booléens Op1 et Op2 qui indiquent que ces deux opértions 1 et 2 n ont ps été effectuées pr le client. Ensuite on psse à l étt Attente opértion. Réception d un signl Code incorrect et l vrible Essis est inférieure à 3, on incrémente de 1 l vrible Essis, on remet à 0 l vrible NbChiffres et à vide l vrible Code et on ffiche le messge «Code erroné Retpez le code». Ensuite on psse à l étt Sisie code. o Réception d un signl Code incorrect et l vrible Essis est égle à 3, on ffiche le messge «Crte bloquée - Adressez-vous à votre gence» et on exécute l opértion Blocge crte pr le terminl. On psse ensuite à l étt Veille. - Ett Attente opértion : trois trnsitions sont possibles : o Le chiffre 1 vient d être tpé, on met le booléen Op1 à vri, on ffiche le menu «Solde et les opértions». On psse ensuite dns l étt Attente fin opértion 1. o Le chiffre 2 vient d être tpé, on met le booléen Op2 à vri, on envoie à l gence un ordre de commnde de chéquier. On psse ensuite dns l étt Attente fin opértion 2. o L touche Annultion vient être tpée, on ffiche les menus «Annultion - Au revoir» et «Retirez votre crte» et on psse à l étt Attente retrit crte. - Ett Attente fin opértion 1: trois trnsitions sont possibles : o o L touche Suite vient d être tpée et Op2 est égl à fux, on ffiche le menu «Commnde de chéquier» et on psse dns l étt Attente opértion. L touche Suite vient d être tpée et Op2 est égl à vri, on ffiche les menus «Fin u revoir» et «Retirez votre crte» et on psse dns l étt Attente retrit crte. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 11

13 o L touche Annultion vient être tpée, on ffiche les menus «Annultion - Au revoir» et «Retirez votre crte» et on psse à l étt Attente retrit crte. - Ett Attente fin opértion 2: trois trnsitions sont possibles : o L touche Suite vient d être tpée et Op1 est égl à fux, on ffiche le menu de Solde et opértions et on psse dns l étt Attente opértion. o L touche Suite vient d être tpée et Op1 est égl à vri, on ffiche «Fin u revoir» et «Retirez votre crte» et on psse dns l étt Attente retrit crte. o L touche Annultion vient être tpée, on ffiche les menus «Annultion - Au revoir» et «Retirez votre crte» et on psse à l étt Attente retrit crte. - Ett Attente retrit crte : une seule trnsition est possible : o Un signl Crte retirée est reçu, on psse dns l étt Veille sns exécution d ction. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 12

14 Veille Démrrge tpé / Afficher «Insertion crte» Attente crte Annultion tpée / Afficher «Annultion Au revoir» ; Afficher «Retirez votre crte» NbChiffres > 0 : Correction tpée / NbChiffres = NbChiffres 1 ; Code = Code Chiffre sisi NbChiffres=0 : Correction tpée Sisie code Crte introduite / Afficher «Sisissez votre code» Essis = 1 ; NbChiffres = 0 ; Code = NbChiffres < 3 : Chiffre tpé / NbChiffres = NbChiffres + 1 ; Code = Code + Chiffre sisi Correction tpée / NbChiffres = NbChiffres 1 ; Code = Code Chiffre sisi Annultion tpée / Afficher «Annultion Au revoir» ; Afficher «Retirez votre crte» Attente vlidtion NbChiffres = 3 : Chiffre tpé / Code = Code + Chiffre sisi Essis < 3 : Code incorrect / Essis ++ ; NbChiffres = 0 ; Code = ; Afficher «Code erroné Retpez le code» Vlidtion tpée / Emission de demnde de vérifiction de code Annultion tpée / Afficher «Annultion Au revoir» ; Afficher «retirez votre crte» Annultion tpée / Afficher «Annultion Au revoir» ; Afficher «Retirez votre crte» Vérifiction code Essis = 3 : Code incorrect / Afficher «Crte bloquée Adressez-vous à votre gence» ; Blocge crte Code correct / Afficher «Opértions» ; Op1 = fux ; Op2 = fux Annultion tpée / Afficher «Annultion Au revoir» ; Afficher «Retirez votre crte» Attente fin opértion 2 Chiffre 2 tpé / Op2 = vri ; Envoi Commnde de chéquier Attente Opértion Chiffre 1 tpé / Op1 = vri ; Afficher Solde et opértions Attente fin opértion 1 Op1 = fux : Suite tpée / Affichge «Solde et opértions» Op2 = fux : Suite tpée / Afficher «Commnde de chéquier» Op1 = vri : Suite tpée / Afficher «Fin Au revoir» ; Afficher «Retirez votre crte» Attente retrit de crte Op2 = vri : Suite tpée / Afficher «Fin Au revoir» ; Afficher «Retirez votre crte» Crte retirée Fig. 8. Exemple de modélistion d un terminl bncire Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 13

15 6. Automtes communicnts Les utomtes communicnts constituent un cs prticulier d utomtes synchronisés qui est très répndu dns les systèmes informtiques, en prticulier les systèmes prllèles et/ou distribués dns lesquels on modélise des modules ou processus qui s échngent des messges vi un réseu ou une mémoire prtgée. Il y donc des utomtes communiqunt pr messges et/ou pr mémoire prtgée. Communiction pr messges Dns le cs de communiction pr messges, des étiquettes sont utilisées pour mrquer l envoi (générlement noté pr!messge) et réception de messge (générlement notée pr?messge). Le messge peut être un nom d un signl ynt un sens prticulier (on prle dns ce cs de messge de contrôle pur) ou un nom de messge vec des prmètres (on prle dns ce cs de messge des données). L figure 9 donne un exemple d utomtes communicnts. Le premier utomte, ppelé Source, effectue un clcul de vleur de l vrible V, ensuite il envoie un messge de donnée (ppelé Mess_Vl) contennt l vleur de V. Pour chque messge envoyé, l Source ttend un messge d cquittement (ppelé Ack) de l destintion. Le deuxième utomte, ppelé Destintion, reçoit chque messge de données, envoie un cquittement vers l Source et trite ensuite le messge. On suppose qu il n y ps de perte de messge. On noter que Mess_Vl est un messge de données lors que Ack est un messge de contrôle pur. Les trnsitions étiquetées!mess_vl(v) de Source et?mess_vl(x) de Destintion sont synchronisées. Il en est de même pour les trnsitions étiquetées!ack de Destintion et?ack de Source. Pr contre, les trnsitions étiquetées FinClcul de Source et FinTritement de Destintion ne sont ps synchronisées, elles sont exécutées indépendmment l une de l utre. V:=2 Clcul FinClcul Prepre Emission!Mess Vl(V) Attente Ack?Ack ) Automte du système Source Attente messge?mess Vl(X) Prepre Ack!Ack Tritement FinTritement b) Automte du système Destintion Fig. 9. Exemple de deux utomtes communicnt ps messges Lorsqu on fit le produit de deux utomtes communicnts A et A, lors l ensemble Sync (ensemble des étiquettes de trnsitions) de l utomte produit est composé de : - tous les couples (!t,?t) où!t A et?t A ou inversement, - toutes les trnsitions de A et A qui ne sont ps des émissions et réceptions de messges, Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 14

16 - toutes les émissions!t pprtennt à un utomte qui n ont ps de réceptions ssociées dns l utre utomte, - toutes les réceptions?t pprtennt à un utomte qui n ont ps d émissions ssociées dns l utre utomte. Le produit synchronisé de deux utomtes communicnts A et A est implicitement défini pr : - toute trnsition!t de A (resp. A ) est synchronisée vec une trnsition?t de A (resp. A), - toutes les utres trnsitions sont synchrones. Communiction pr file FIFO Quelquefois, les données sont échngées de mnière synchrone entre l source et destintion finle de ces données. Pour cel on peut utiliser une file d ttente FIFO pour grntir l synchronisme. En termes d utomtes, l file est modélisée pr un utomte qui gère une vrible de type file d ttente comme le décrit l utomte de l figure 10. L émetteur des données est synchronisé vec l file FIFO qui elle-même est synchronisée vec le récepteur des données. L émetteur et le récepteur des données sont synchrones. F:= FileVide?Messge(X) ; Enfiler(F,X) S 0 NonVide(F) : x:=tete(f) ;!Messge(X) Fig. 10. Automte modélisnt une file FIFO Communiction pr vribles prtgées Dns le cs de communiction pr vribles prtgées, une même vrible peut pprître dns deux ou plusieurs utomtes. Les vleurs mémorisées dns l vrible prtgée permettent une forme de synchronistion entre utomtes. Pr exemple, un utomte peut modifier l vleur d une vrible et d utres utomtes peuvent l lire. Avec ce mécnisme, se pose évidemment le problème d ccès cohérents ux vribles prtgées lorsque plusieurs utomtes peuvent modifier une même vrible. Ce problème peut être réglé à l ide de messges de synchronistion (d exclusion mutuelle). Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 15

17 7. Automtes temporisés 7.1. Concepts et définitions Les utomtes (clssiques) que nous vons vus précédemment permettent de modéliser des systèmes à événements discrets sns tenir compte de l écoulement du temps entre les événements. Dns ces utomtes, on ne peut ps spécifier le temps pris pr une ction ou le temps séprnt l rrivée d un événement et l fin de l ction qui régit à cet événement. Pourtnt dns certins systèmes (dits temps réel) l utilité des ctions dépend de l écoulement du temps. Dns de tels systèmes, un résultt juste du point de vue clcultoire obtenu hors déli est un résultt fux. Différentes propositions ont été fites pour répondre de ce besoin de prise en compte des contrintes de temps : réseux de Petri temporisés, utomtes d entrée/sortie temporisés, Modechrts et les utomtes temporisés. Les utomtes temporisés ont été proposés pr Alur et Dill en 1994 constituent l clsse d utomtes l plus utilisée pour l expression des contrintes de temps. Dns ce document, nous nous intéressons uniquement à cette clsse d utomtes. Temps discret ou continu. Dns les utomtes temporisés, on fit ppel u temps discret ou u temps continu. Lorsqu on utilise le temps discret, les vleurs du temps sont des entiers non négtifs. On introduit un événement spécil, tick, qui indique l écoulement du temps d une unité de temps choisie (l milliseconde ou microseconde pr exemple). Entre deux ticks, le système n est ps observble. Générlement, l modélistion se fit à l ide de temps discret. L utre modèle de temps, ppelé temps dense (continu), ssocie des nombres réels non-négtifs ux vribles représentnt le temps. Il est plus difficile à gérer, cr l espce des vleurs d horloges devient infini. Dns un utomte temporisé, le tir de trnsition dépend éventuellement de l écoulement du temps. Pour pouvoir spécifier des conditions sur l écoulement du temps, on utilise des horloges. Une horloge peut être remise à zéro instntnément dns une trnsition. L lecture d une horloge à tout instnt, fournit l quntité de temps réel qui s est écoulée depuis l dernière remise à zéro de cette horloge. Définition Un utomte temporisé est un utomte doté d une horloge (ou de plusieurs horloges) qui compte(nt) le temps qui s écoule. Les horloges peuvent être remises à zéro indépendmment les unes des utres. Le tir des trnsitions tient compte des vleurs des horloges. Définition (contrintes d horloges) Toute contrinte δ sur les horloges d un ensemble d horloges X est définie pr : δ ::= x c x c δ δ δ. Où x (x X) est une vrible de type horloge et c une constnte. Définition (séquence temporisée) Une séquence de trnsitions obtenue suite à l exécution d un utomte temporisé est dite séquence temporisée ; elle est de l forme (σ, τ) = (σ 1, τ 1 )(σ 2, τ 2 )(σ 3, τ 3 )... où chque ction σ i lieu à l instnt τ i (τ i τ i+1 pour tout i 1). L exécution r correspond u mot (σ, τ) est définie pr : r : σ τ 1 τ 2 τ 3 σ s, υ s, υ s, υ... telle que : σ - υ i (x) désigne l vleur de l horloge x u moment du tir de l i ème trnsition et υ i désigne le vecteur des vleurs de toutes les horloges. - Initilistion : s 0 S et υ 0 (x) = 0 pour tout x pprtennt à l ensemble des horloges - Toutes les trnsitions stisfont les contrintes sur les horloges u moment de leur tir. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 16

18 Exemple Considérons l utomte temporisé de l figure 11. Soit l séquence temporisée (ou mot temporisé) σ suivnte : σ = (, 2) (b, 2.7) (c, 2.8) (d, 5)... L séquence σ signifie que l ction lieu à l instnt t=2, l ction b à t=2.7, l ction c à t=2.8, l ction d à t=5,... Notez que t correspond u temps réel et ne peut ps être remis à zéro. Le vecteur υ deux composntes [x, y] correspondnt ux horloges x et y. L exécution correspondnt à l séquence σ est l suivnte : b c d r : s,[0,0 ] s,[0,2] s,0.7,0 s,0.8,0.1 s0,3, A l initilistion, dns l étt s 0, les deux horloges sont à 0, υ 0 = [0,0]. - A l instnt t=2, on exécute l ction, on remet l horloge x à zéro et ensuite on entre dns l étt s 1. Le vecteur υ 1 devient égl à [0, 2] puisque l horloge x été remise à zéro et l horloge y poursuivi s progression. - A l instnt t=2.7, on exécute b, on remet à zéro l horloge y et on psse ensuite dns l étt s 2. Le vecteur υ 2 devient égl à [0.7, 0] puisque l horloge y été remise à zéro et l horloge x poursuivi s progression. - A l instnt t=2.8, l horloge x ffiche 0.8, l condition x<1 est vérifiée, on exécute c et on psse ensuite dns l étt s 3. Le vecteur υ 3 devient égl à [0.8, 0.1] puisque les deux horloges ont poursuivi leur progression. - A l instnt t=5, l horloge y ffiche 2.3, l condition y>2 est vérifiée, on exécute d et on psse ensuite dns l étt s 0. Le vecteur υ 4 devient égl à [3, 2.3] puisque les deux horloges ont poursuivi leur progression. d ; (y>2) ; x:=0 b ; y:=0 c ; (x<1) S 0 S 1 S 2 S 3 Fig.11. Exemple d utomte temporisé Hypothèse : si plusieurs horloges sont utilisées dns un même utomte ou dns deux utomtes synchronisés, les horloges sont censées évoluer vec le même rythme (c est-à-dire sns dérive entre les horloges). Cette hypothèse est prfois irréliste, en prticulier dns des systèmes réprtis ynt justement cette spécificité de dérive entre les horloges. Dès le moment où on deux (ou plusieurs) horloges physiques, elles dévient inévitblement l une pr rpport à l utre, à cuse des mtériux utilisés pour fbriquer ces horloges, à cuse des conditions environnementles... Mis tnt que l dérive n est ps importnte, elle n ps de conséquence sur les décisions prises en tennt compte de l écoulement du temps. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 17

19 7.2. Exemple de modélistion d un pssge à niveu simplifié Nous considérons mintennt un exemple plus concret qui correspond u contrôle d un pssge à niveu vec un seul trin et une seule section critique (le pssge à niveu). Le système considéré est composé de trois sous-systèmes : Trin, Brrière et Contrôleur. L utomte modélisnt le trin est donné pr l figure 12-. Les événements trités sont : proche, dns, hors et sorti. Le trin commence à l étt s 0. Le trin communique vec le contrôleur pr deux signux proche (envoyé lorsqu il se trouve à proximité du pssge) et sorti (envoyé lorsqu il quitte le pssge). L événement dns mrque le fit que le trin est dns l section critique et hors qu il vient d en sortir. Le trin envoie le signl proche u moins deux minutes vnt d entrer dns le pssge. Le type de pssge à niveu considéré et l vitesse du trin font que le temps mximum entre les événements proche et sorti est de 5 minutes. Les contrintes sont exprimées à l ide d une horloge x. L utomte modélisnt l brrière est donné pr l figure 12-b. Les événements trités sont : bisser, lever, fermée et ouverte. L brrière est ouverte dns l étt s 0. L brrière communique vec le contrôleur vi les signux bisser (pour demnder l fermeture de l brrière) et lever (pour ouvrir l brrière). L événement fermée mrque l fin de l opértion de fermeture de l brrière et l événement ouverte mrque l fin de l opértion d ouverture. L brrière répond u signl bisser en fermnt l brrière u bout d une minute u mximum et u signl lever u bout d une à deux minutes. Les contrintes sont exprimées à l ide d une horloge y. L utomte modélisnt le contrôleur est donné pr l figure 12-c. Les événements trités sont : pproche, sorti, bisser et lever. L étt de déprt du contrôleur est s 0. Lorsqu il reçoit le signl pproche du trin, le contrôleur répond, en 1 minute exctement, en envoynt le signl bisser à l brrière. Lorsqu il reçoit le signl sorti du trin, il répond, en 1 minute u mximum, en envoynt le signl lever à l brrière. Les contrintes sont exprimées à l ide d une horloge z. pproche ; x:=0 bisser ; y:=0 S 0 S 1 S 0 S 1 hors ; (x<5) dns ; (x>2) ouverte; ((y>1) (y<2)) fermée ; (y<1) sorti lever y:=0 S 3 S 2 S 3 S 2 ) Automte du Trin b) Automte de l Brrière Fig. 12. Exemple d utomtes temporisés modélisnt un trin et un pssge à niveu Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 18

20 S 0 pproche ; z:=0 S 1 lever; (z<1)) bisser ; (z=1) S 3 sorti ; z:=0 S 2 c) Automte du Contrôleur Fig. 12. (Suite) Exemple d utomtes temporisés modélisnt un trin et un pssge à niveu Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 19

21 8. Automtes hiérrchiques L clsse des utomtes hiérrchiques trouve son origine dns les trvux de Hrel (l uteur des Sttechrts utilisés dns UML). Les utomtes hiérrchiques fcilitent l modélistion des systèmes lrges (en termes d étts et de trnsitions). Ils disposent d opérteurs de structurtion qui limitent l explosion combintoire des étts et des trnsitions. On peut voir des super-étts qui englobent chcun plusieurs étts. Ainsi, toute trnsition sortnt d un super-étt vers un utre étt équivut à une trnsition sortnte de chcun des étts du super-étt vers cet utre étt. Toute trnsition entrnte dns un super-étt est une trnsition entrnt dns un des étts de ce super-étt (pr défut dns l étt initil). L imbriction des étts permet plusieurs niveux d bstrction et fcilite donc l lisibilité des modèles. L figure 13 montre un exemple d utomte hiérrchisé correspondnt u fonctionnement simplifié d un scenseur. On considère que l scenseur trois étts : Démrrge, EnMouvement et Stoppé. L étt EnMouvement est un super-étt composé de trois sous-étts Pllier, Montée et Descente. Le formlisme utilisé dns l figure 13 est celui des Sttechrts qui fer l objet d une étude à prt. Un disque noir indique un étt initil d un utomte ou d un super-étt, un disque noir entouré pr un cercle indique un étt finl et H* indique l étt précédent en pssnt tous les niveux d imbriction. EnMouvement Démrrge Init Monter Montée Arrivée Arrêt Pllier Arrivée Descente Arrêt Descendre Reprise H* Stop Reprise Stoppé Fig. 13. Exemple d utomte hiérrchique selon le formlisme des Sttechrts Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 20

22 9. Composition d utomtes Un système (complexe) est souvent composé de sous-systèmes. Pr exemple, un système Voiture peut être composé de plusieurs sous-systèmes Moteur, Alimenttion, Trnsmission, Roues, Direction... Le comportement d un système Voiture correspond ux comportements de tous ses soussystèmes observés ux mêmes moments. Ainsi, le comportement d un système est souvent représenté pr les comportements des sous-systèmes qui le composent. Dns ce cs, le comportement du système globl est obtenu pr l composition de plusieurs utomtes. L étt cournt de l utomte composé est une combinison des étts cournts des utomtes le composnt. On peut ussi imginer différentes opértions sur les utomtes : différence, intersection, msquge, union... L opértion l plus répndue est celle du produit d utomtes. Nous dérivons ici le produit de deux utomtes, schnt que l opértion Produit est ssocitive. Il est à noter que le produit (dit ussi synchronistion) d utomtes peut conduire rpidement à l explosion du nombre d étts de l utomte globl. Il n est ps rre de dépsser les millirds d étts (ce qui mlheureusement conduit à l sturtion de l espce mémoire disponible si on veut mnipuler l utomte sur ordinteur). Exemple de Produit sns synchronistion Le cs le plus simple à triter est celui d utomtes qui modélisent des sous-systèmes qui n intergissent ps entre eux. L utomte globl est lors le produit crtésien des utomtes des sous-systèmes ; un étt globl est en fit un vecteur des différents étts des sous-systèmes (étts locux). Pr exemple, le système composé de deux compteurs modulo 3 indépendnts (comme ceux décrits pr l utomte de l figure 2, mis modulo 3) est décrit pr l utomte ci-dessous (Fig. 14). L utomte produit est composé de 3*3 étts (chque sous-utomte possède 3 étts). L étt i,j signifie que le premier compteur l vleur i et le second l vleur j. L trnsition étiquetée, b indique que l on pplique l opértion u premier compteur et l opértion b u second. L nottion - indique qu ucune opértion n est ppliquée u compteur correspondnt. Comme le montre l figure 14, il fut signler l explosion du nombre de trnsitions même sur un petit exemple (pour un produit de deux utomtes de 3 étts et 6 trnsitions chcun). Pour simplifier le grphique, les étiquettes des trnsitions ne sont ps mentionnées. Une flèche verticle ou horizontle une étiquette de l une des formes suivntes : (inc, -), (-, inc), (dec, -), (-, dec), (inc, dec) ou (dec, inc). Une flèche oblique une étiquette de l une des formes suivntes (inc, inc) ou (dec, dec). Avec les vleurs des compteurs mentionnées dns les étts, il est fcile de svoir de quelle étiquette il s git. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 21

23 0,2 1,2 2,2 0,1 1,1 2,1 0,0 1,0 2,0 Fig. 14. Automte représentnt le Produit d utomtes de deux compteurs modulo 3 indépendnts Exemple de Produit vec synchronistion Le cs que l on rencontre le plus souvent est plutôt celui des sous-systèmes qui se synchronisent. Si on reprend l exemple précédent (celui des deux compteurs) mis on exige que les deux compteurs évoluent de l mnière suivnte : les opértions inc et dec sont ppliquées en même temps ux deux compteurs (si l un est incrémenté ou décrémenté l utre est incrémenté ou décrémenté ussi). L utomte produit (Fig. 15) 3 étts et 6 trnsitions. Noter l différence pr rpport u produit sns synchronistion. 0,0 inc, inc inc, inc dec, dec dec, dec 1,1 dec, dec 2,2 inc, inc Fig. 15. A Produit d utomtes de deux compteurs synchronisés Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 22

24 Définition (produit crtésien) On considère un ensemble de n utomtes A i = <S i, s i o, E i, T i >, i = i=1,..., n et soit une étiquette notée (qui signifie ne rien fire). Le produit crtésien (ou produit libre) de n utomtes, noté pr A 1 A 2... A n, est l utomte globl A = < S, s o, E, T >, vec : 1 2 n - S = S S... S 1 2 n - s = s s s0 i - E = ( E { } ) 1 i n 1 n 1 n 1 n ( s,...,s )(, e,...,e )(, s',...,s' ) i, - T = ( ) ) i i i i i i i i ( e = ) ( s' = s ) ( e ) ( s,e,s' T ) Dns un produit crtésien, chque composnte A i, peut, lors d une trnsition, soit ne rien fire (-) soit effectuer une trnsition locle. Il n y donc ucune obligtion de synchronistion. Pour synchroniser les composntes, il fut restreindre les trnsitions utorisées dns le produit crtésien fin de tenir compte des contrintes de synchronistion. L ensemble des trnsitions utorisées, noté Sync, est défini pr : Sync ( E i {} ) 1 i n Dns l exemple des deux compteurs modulo 3 qui évoluent en même temps (qui sont donc synchronisés) et de l même mnière, les trnsitions utorisées sont de l forme : Sync= {(inc,inc), (dec,dec)}. Définition (produit synchronisé) Le produit synchronisé peut être donné en reprennt l définition du produit crtésien et en limitnt l ensemble des trnsitions T à : T = 1 n 1 n 1 n 1 n ( s,...,s )(, e,...,e )(, s',...,s' ) (( e,...,e ) Sync et pour tout i i i i i i i i i ( ( e = ) ( s' = s )) ( e ) ( s,e,s' T )) Définition (produit synchrone) Le produit synchrone modélise l composition prllèle de deux utomtes qui évoluent obligtoirement simultnément. Définition (produit synchrone) Le produit synchrone modélise l composition prllèle de deux utomtes qui évoluent indépendmment l un de l utre. Renommge des étiquettes Lorsque l on fit le produit de plusieurs utomtes, on peut boutir à des étiquettes difficiles à lire ou encombrntes. Pour simplifier l écriture, on peut renommer certines étiquettes. Pr exemple, si on fit le produit de 10 compteurs, u lieu d écrire (inc, inc,..., inc), on écrit (inc) en sous-entendnt que l opértion d incrémenttion s pplique ux 10 compteurs. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 23

25 10. Risonnement sur les utomtes (vérifiction) Propriétés d un système Les propriétés générles ttendues concernnt le comportement d un système sont souvent regroupées en deux ctégories : - Propriétés de sûreté (sfety) : le fonctionnement d un système ne doit ps conduire à des situtions ctstrophiques ou dngereuses. ( sfety = bd things do not hppen on ll the execution of system ). Le non-blocge est un exemple de propriétés de sûreté. - Propriétés de vivcité (liveness) : le fonctionnement de l utomte doit éventuellement conduire à bonnes situtions ( liveness = good things eventully hppen on ll the execution of system ). Pr exemple, l terminison d un progrmme est souvent considérée comme propriété de vivcité. Il est prfois difficile, étnt donné système, de distinguer ce qui relève de l vivcité et ce qui relève de l sûreté. Des propriétés plus élémentires (plus proches des utomtes) sont souvent vérifiées pour démontrer des propriétés plus globles. Il s git notmment des propriétés suivntes : - Accessibilité : un étt est ccessible s il existe un chemin l tteignnt depuis l étt initil. - Réinitilisbilité : un utomte est réinitilisble s il existe un chemin depuis chque étt vers l étt initil. - Mnque de blocge : une sitution de blocge (dedlock) indique qu ucune trnsition n est plus possible à un instnt donné. - Mnque de fmine : l fmine est une sitution où l utomte boucle sur une prtie, ce qui empêche tout ccès à d utres prties de l utomte. - Equité (firness) : l équité indique que si deux chemins non-déterministes sont possibles à prtir d un étt, ce n est ps toujours le même chemin qui est emprunté. Une fois que le modèle, sous forme d utomte, été élboré on peut effectuer des risonnements (mnuels ou utomtiques) pour nlyser (vérifier) des propriétés sur le modèle. Il fut souligner que les propriétés que l on peut nlyser sont directement dépendntes des bstrctions fites u niveu du modèle (on modélise en fonction de ce que l on souhite nlyser). Le plus souvent les risonnements effectués sur des utomtes se rmènent à vérifier des invrints et des propriétés. Un invrint d un modèle est un prédict qui est vri dns tous les étts ccessibles du modèle. Pr exemple, le nombre d éléments d une pile bornée doit être 0 et à l tille mximle de l pile. Une propriété est un prédict que le fonctionnement système doit vérifier et cel pour des risons de sûreté ou de vivcité. Pr exemple, si on reprend l exemple du contrôle du pssge à niveu (Fig. 11), l principle propriété de sûreté est «lorsque le trin est dns le pssge, l brrière doit être fermée» et une des propriétés de vivcité peut être «l brrière n est jmis fermée pendnt plus de 6 minutes». Les propriétés à vérifier sont exprimées dns une logique ppropriée telles que PLTL (Propositionl Liner Timed Logic) ou TCTL (Timed Computtion Tree Logic). L connissnce de l syntxe et sémntique de l logique pte à exprimer les propriétés souhitées est donc indispensble. Ce n est ps une mince ffire. Systèmes de trnsitions Z. Mmmeri 24