La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 3 exercices. Le barème est fourni à titre indicatif.

Transcription

1 Lycée Fénelon Sante-Mare Termnales ES Année 0-0 Mathématques Mard 9 ma 0 Durée : 3 heures DTL N 5 La calculatrce est autorsée Le sujet comporte un total de 3 eercces Le barème est fourn à ttre ndcatf EXERCICE (0ponts) Cet eercce est un questonnare à cho multples Pour chacune des 0 questons posées, une seule des réponses proposées est eacte Recoper et compléter le tableau fourn en fn d eercce avec les réponses choses Aucune justfcaton n est demandée Barème : une réponse eacte rapporte 0,5 pont, une réponse fausse enlève 0,5 pont et l absence de réponse ne rapporte n n enlève de pont En septembre 009, la TVA dans la restauraton est passée de 9,6% à 5,5% En août 009, une brassere proposat un menu à,70 (TVA ncluse) Le responsable a applqué ce changement de TVA Quel état en septembre 009 le pr de ce menu après le changement de TVA (arrond au centme)? a 0,9 b,0 c,70 La foncton f est défne sur l ntervalle [ 0;+ [ par f ( ) ln ( 00 ) la foncton f? 0;+ a la foncton f est décrossante sur l ntervalle [ [ b la foncton f est constante sur l ntervalle [ 0;+ [ c la foncton f est crossante sur l ntervalle [ 0;+ [ 3 Quelle est la valeur de l ntégrale ( ) 3 d? 0 = + Comment vare a 0 b 7 6 c

2 Lycée Fénelon Sante-Mare La foncton g est défne sur l ntervalle ] 0;4 ] par g ( ) ln = Parm les tros courbes suvantes, laquelle représente une prmtve de la foncton g? a b c 5 On consdère la foncton f défne sur l ntervalle ] ; e[ par f ( ) ln ( e ) On suppose f dérvable sur ] ; e[ et on note f ' sa foncton dérvée '0 ( ) a b e c d e = + 6 Sot f la foncton défne sur ] 0; + [ par f ( ) e On consdère une foncton g défne sur l ntervalle ] 0; [ tout > 0, on at 0 < g ( ) < f ( ) + telle que, pour = f est égal à : La lmte de la foncton g en + est : a b 0 c + d On ne peut pas savor e = + + C f la courbe représentatve de la foncton f dans un repère orthogonal 7 Sot f la foncton défne sur l ntervalle ] 0; + [ par f ( ) 3 3 Sot ( ) La courbe ( C f ) : a admet comme asymptote la drote d équaton = 0 b admet comme asymptote la drote d équaton y = 3+ c admet comme asymptote la drote d équaton y = 0 d n admet pas de drote asymptote 8 On note ep la foncton eponentelle Sot u une foncton défne sur telle que u ( 0) =, u ( ) = 0 et u( e ) = défne par f ( ) = u ep( ) f ( 0) est égal à : a 0 b c d e Sot f la foncton [ - 8]

3 Lycée Fénelon Sante-Mare L égalté ln ep( ) = : a n est vrae que pour tout réel strctement postf b est vrae pour tout réel c n est jamas vrae d n est vrae que pour tout réel supéreur ou égal à 0 L égalté ep ln ( ) = est vrae pour tout réel appartenant à : a [ 0;+ [ b c ] 0;+ [ d [ ; + [ On lance une pèce de monnae équlbrée quatre fos de sute La probablté d obtenr au mons une fos ple est : a b 5 c d f = 3e + Une équaton de la tangente à la courbe représentatve de la foncton f au pont d abscsse 0 est : a y = + 4 b y = 6+ 4 c y = 5+ 4 d y = 5 4 Sot f la foncton défne et dérvable sur, d epresson : ( ) 3 On consdère l néquaton : ln ( 3 ) 0 a ] 0;3 ] b [ ;3 [ c [ ;+ [ d ] 0; ] Elle admet pour ensemble de solutons : 4 lm e + est égale à : a 0 b + c e d + 5 Sot g la foncton défne sur ] ;+ [ par : g( ) = Sa courbe représentatve admet : a une unque asymptote Elle est parallèle à l ae des abscsses b une unque asymptote Elle est parallèle à l ae des ordonnées c deu asymptotes d aucune asymptote 6 Sot h la foncton défne et dérvable sur ] 0;+ [ d epresson : ( ) ln( ) Sot h ' la foncton dérvée de h sur ] 0;+ [ Alors l epresson de h ' est : a h' ( ) = b h' ( ) = c h' ( ) = d h ( ) h = ' = + [3-8]

4 Lycée Fénelon Sante-Mare 0-0, la courbe ( C ) On donne c-dessous, dans un repère orthogonal du plan ( O;, j ) représentatve d une foncton f défne et dérvable sur l ntervalle [ 6;6] La drote ( ) ( 0;3 ) T d équaton y = + 3 est tangente à la courbe ( C f ) au pont I de coordonnées f 7 Le nombre dérvé de f en 0 est : a 0 b c On pose ( ) J = f d On peut affrmer que : a < J< 0 b 0< J< c < J< 4 d 4< J< 9 On appelle F une prmtve de f sur l ntervalle [ 6;6] a F est crossante sur l ntervalle [ 3;] ; b F est décrossante sur l ntervalle [ ;5] ; c F est crossante sur l ntervalle [ ;5] [4-8]

5 Lycée Fénelon Sante-Mare On consdère la foncton g défne sur l ntervalle [ 6;6] par : ( ) ep ( ) On peut affrmer que : a la foncton g a les mêmes varatons que f sur l ntervalle [ 6;6] b la foncton g est strctement crossante sur l ntervalle [ 6;6] c la foncton g a les varatons nverses de celles de f sur l ntervalle [ 6;6] g = f = e f ( ) Questons Réponses Questons Réponses EXERCICE (5 ponts) d après Centres Etrangers Jun 0 Le tableau c-dessous présente l évoluton du nombre d nternautes en Chne de 00 à 009 Les rangs des années sont calculés par rapport à l année 000 Année Rang de l année Nombre d nternautes y (en mllons) On cherche à étuder l évoluton du nombre d nternautes en foncton du rang de l année Calculer le tau d évoluton de ce nombre d nternautes entre 00 et 009 On donnera le résultat à 0, près Représenter sur votre cope le nuage de ponts ( ; ) M y assocé à cette sére statstque dans le plan mun d un repère orthogonal en prenant pour untés graphques : o Sur l ae des abscsses, cm pour an ; o Sur l ae des ordonnées, cm pour 0 mllons d nternautes (en plaçant 50 à l orgne) [5-8]

6 Lycée Fénelon Sante-Mare On cherche dans un premer temps un ajustement affne a Détermner une équaton de la drote d ajustement de y en obtenue par la méthode des mondres carrés (aucune justfcaton n est egée, les calculs seront effectués à la calculatrce et les coeffcents arronds à l unté) Tracer cette drote sur le graphque précédent b En supposant que cet ajustement reste valable pour l année suvante, donner une estmaton, arronde au mllon, du nombre d nternautes en Chne en 00 c Une étude récente a montré qu au er ma 00, on a dépassé les 400 mllons d nternautes en Chne On envsage donc un ajustement eponentel et on pose z = y ln ( ) o Recoper et compléter le tableau en arrondssant les valeurs de z au mllème : o z = 4,094 ln ( y ) Détermner une équaton de la drote d ajustement de z en obtenue par la méthode des mondres carrés (aucune justfcaton n est egée, les calculs seront effectués à la calculatrce et les coeffcents arronds au mllème) o En dédure une epresson de y en foncton de o 0,53 En prenant l appromaton y 3,5 e en supposant qu elle reste valable pour les années suvantes, donner une estmaton, arronde au mllon, du nombre d nternautes en 0 [6-8]

7 Lycée Fénelon Sante-Mare 0-0 EXERCICE 3 (5 ponts) D après Amérque du Nord Jun 00 Parte A Etude prélmnare On consdère la foncton g défne sur l ntervalle ] 0;+ [ par : ( ) = ln( ) g C dans un repère orthonormé ( O;, j ) On donne c-dessous sa courbe représentatve g Cette courbe C g coupe l ae des abscsses au pont d abscsse α [7-8]

8 Lycée Fénelon Sante-Mare 0-0 Détermner la valeur eacte de α On admet que la foncton g est strctement décrossante sur l ntervalle ] 0;+ [ Donner, en justfant, le sgne de g ( ) sur l ntervalle ] 0;+ [ Parte B Etude d une foncton ( ) ln + Sot f la foncton défne sur l ntervalle ] 0;+ [ par f ( ) = ln ( ) Détermner la lmte de f en + (on rappelle on rappelle que lm = 0 ) + On admettra que lm f ( ) = 0 a Calculer f '( ) et montrer que f '( ) b Etuder le sgne de '( ) ( ) g = f et en dédure le tableau de varaton de la foncton f = + 3 a Montrer que la foncton F défne sur l ntervalle ] 0;+ [ par F( ) ln ( ) est une prmtve de la foncton f sur cet ntervalle 5 b Sot ( ) I = f d Détermner la valeur eacte de I pus en détermner une valeur approchée au centème près Parte C Applcaton économque Dans cette parte, on pourra utlser certans résultats de la parte B Une entreprse de sous-tratance fabrque des pèces pour l ndustre automoble Sa producton pour ce type de pèces vare entre 000 et 5000 pèces par semane, selon la demande On suppose que toutes les pèces produtes sont vendues Le bénéfce untare, en foncton du nombre de pèces produtes par semane, peut être modélsé par la foncton f défne dans la parte B, avec eprmé en mllers de pèces et f eprmé en euros ( ) Détermner, au centme près, la valeur moyenne du bénéfce untare pour une producton hebdomadare comprse entre 000 et 5000 pèces Dans cette queston, la réponse sera sogneusement justfée Toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Pour quelle(s) producton(s), arronde(s) à l unté près, obtent-on un bénéfce untare égal à,05? [8-8]