UE 41c : Mécanique du Solide

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1 UE 4c : écnqu du Sold DEUG Scncs d l tèr è nné Nots d cours Exrccs Sujts d xn PFrty Lbortor d Crstllogrph t odélston ds térux nérux t Bologqus UPESA CNS N Unvrsté Hnr Poncré, Nncy Fculté ds Scncs, BP ndouvr-lès-nncy, Frnc Tél : Fx : (33) (0) courrl : pfrty@lc3buhp-nncyfr

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3 SAE APPELS D ANALYSE ECTELLE 3 GENEALTES 3 APPELS DE CALCUL ECTEL 3 ELEENTS DE EDUCTN D UN SYSTEE DE ECTEUS 5 CNEATUE 7 EFEENTEL 7 APPELS 8 CNEATUE DU SLDE CPSTN DES UEENTS (CHANGEENT DE EFEENTEL) 6 UEENT DE DEUX SLDES EN CNTACT 0 CNETUE 3 CENTE DE ASSE 4 UANTTE DE UEENT ENT CNETUE 7 EFEENTEL BAYCENTUE 9 r THEEE DE KENG 9 ENT CNETUE D UN SLDE EN TATN AUTU D UN PNT FXE 30 ENEGE CNETUE 3 ATCE D NETE 33 DYNAUE 4 FCES 4 PNCPE FNDAENTAL DE LA DYNAUE DES SYSTEES 4 THEEE DES ACTNS ECPUES 46 THEEE DE L ENEGE CNETUE 47 FCES DE FTTEENT 53 GENEALTES 53 LS DU FTTEENT SLDE 54 TAAL DES FCES DE FTTEENT 58 ANNEXES 6 ANNEXE A 6 ANNEXE B 63 ANNEXE C 65 EXECCES 67 ANNALES 75 éférncs bblogrphqus Sor

4 - - Sor

5 APPELS D ANALYSE ECTELLE GENEALTES L écnqu pour objt l étud ds ouvnts t ds défortons qu subssnt ls corps sous l nflunc d dvrss cuss qu puvnt gr sur ux Cs dvrss cuss sont rprésntés, du pont d vu d lurs ctons écnqus, pr ds grndurs qu sont touts d ê ntur : ls forcs Du pont d vu thétqus, cs nfluncs sont rprésntés pr ds grndurs vctorlls Ans, à un forc donné st ssocé un vctur, crctérsé pr un drcton, un sns, un ntnsté t un pont d pplcton Du pont d vu du forls thétqu, l étud du ouvnt d un systè sous à un nsbl d forcs plqu donc, dns un prr tps, l crctérston d ct nsbl d forcs pr ss élénts d réducton C sont cs élénts d réducton qu ntrvnnnt dns l prncp fondntl d l dynqu, prttnt d coprndr l orgn d un chngnt dns l ouvnt du systè C chptr pour objctf d rpplr ls concpts d bs d l nlys vctorll APPELS DE CALCUL ECTEL L poston d un pont térl dns un spc rpporté à un rpèr (, j, k ), st détrné pr l vctur poston Très souvnt l rpèr st orthonoré L projcton du vctur sur ls xs du rpèrs défnt ls 3 prètrs nécssrs à l crctérston d l poston du pont Dfférnts rpèrs d étud sont possbls, n foncton d l «syétr» du problè étudé pplons ls prncpls coordonnés rncontrés : ) ls coordonnés crtésnns : x, y t z, ) ls coordonnés cylndrqus : r, θ t z, ) ls coordonnés sphérqus : r, θ t φ Produt sclr v L produt sclr v u rprésnt l projcton d v sur u θ : l produt sclr st un nobr rél postf ou négtf (un sclr) u v u v u cosθ,, 3 st un bs orthonoré : v v + v + v3 3 u u + u + u s ( ) Produt vctorl v u v u L produt vctorl w u v st un vctur tl qu : w v ( u, v, w) for un trèdr drct (règl d l n drot, du tr bouchon) θ w u v snθ rprésnt l r du prllélogr construt sur u t v u ppls d nlys vctorll

6 - 4 - ppls d nlys vctorll Proprétés : ntsyétr : u v v u, 0 v u w s 0 u ou 0 v ou v u //, rqu : l vctur v u w st un vctur xl : son sns st lé à l convnton d orntton d l spc (à l dfférnc d un vctur dt polr dont l sns st ndépndnt d l convnton d orntton d l spc) Dns l bs orthonoré ( ) 3,, : 3 3 v v v v u u u u v u v u u v v u v u v u v u 3 Doubl produt vctorl ( ) ( ) ( ) v u w w u v w v u S v u st un vctur untr ( ) ( ) w w w donc ( ) ( ) w w w +, c qu donn un oyn spl d trouvr l coposnt d w dns un pln prpndculr à : ( ) w 4 ont n un pont Sot l résultnt F ds forcs gssnt sur un corps, pplqué u pont A Sot G l cntr d ss du corps Ls ffts d l forc sont d typs : S l support d l forc pss pr l pont G, l corps subr un trnslton sous l fft d ctt forc : l ouvnt du corps st nlogu à clu d un pont térl subssnt l forc F S l support d F n pss ps pr l pont G, l corps orc un ouvnt d rotton utour d G L rotton sr d utnt plus «ffcc» qu F st grnd t / ou qu l brs d lvr ( l dstnc du support d l forc u pont G) st grnd Pr défnton, on ppll ont d F u pont G, l vctur ( ) F GA F G En un utr pont : ( ) ( ) F G F F A F G + G F A G F A G F A G F A w ( ) w ( ) w w ( ) w ( ) w

7 rqu : ont pr rpport à un x Pr défnton, on ppll ont d F pr rpport à un x, l projcton sur l x du ont d F n un pont d l x S st un vctur drctur d l x : ( F) ( F) C ont st ndépndnt du chox d sur l x ELEENTS DE EDUCTN D UN SYSTEE DE ECTEUS Sot un nsbl d vcturs f pplqués ux ponts A ( vrnt d à n) Ct nsbl d vcturs st crctérsé pr ss élénts d réducton : n ) l vctur so ou résultnt : F f n ) l vctur ont n un pont ou ont résultnt : A f Elénts d réducton d un systè d forcs concournts A 3 C f 3 A f A f Sot un nsbl d vcturs forcs f pplqués ux ponts A ( vrnt d à n), tls qu ls support ds f sont concournts n C F n f n n C + C f C f C F pusqu 0 C Un systè d vcturs dont ls support sont concournts st donc équvlnt à un vctur unqu F Elénts d réducton d un systè d forcs pplqués à un sold A 3 f 3 f A f A Sot un nsbl d vcturs forcs f pplqués ux ponts A ( vrnt d à n), d un corps sold S : n F l n st donc ps toujours possbl d rédur un systè d vctur à un vctur unqu Dns l cs c-dssus, l n st n fft ps possbl d chosr tl qu C F cr n st ps prpndculr à F n A f f ppls d nlys vctorll

8 Cpndnt, l st toujours possbl d rédur un nsbl d vcturs à un vctur résultnt t un ont résultnt n un pont : f 3 A 3 (F) f A f A F 3 Elénts d réducton d un systè d forcs prllèls j F n (x ) f 4 A f 3 A f A 3 A 4 (x ) (x 3 ) (x 4 ) f f n n n A f x f j x f Sot un nsbl d vcturs forcs f pplqués ux ponts A d bscsss x ( vrnt d à n), dont ls support sont prllèls k vc k j Exst-t-l un pont C où srt pplqué l résultnt F t tl qu C F? Pusqu F t sont prpndculrs, l pont C xst t L pont C défnt l cntr d forcs prllèls x f x C f Applcton : dns l cs où cntr d grvté f g (forc d grvtton) l cntr d forc n st utr qu l 4 Coupl / Glssur Lorsqu ls élénts d réducton d un systè d vcturs f sont tls qu l résultnt st null ( F 0 ), quls qu sont ls ponts P t : P L systè d vcturs st équvlnt à vcturs u t v tls qu : u v Cs dux vcturs fornt un coupl Lorsqu ls élénts d réducton d un systè d vcturs f sont tls qu l ont résultnt n un pont st nul ( 0 ), qul qu sot l pont P : P P F L systè d vcturs st équvlnt à un sul vctur u, dont l ont n P st ndépndnt du pont d pplcton d F prs sur l support d F (l pont d pplcton d F put glssr sur son support) C vctur défnt un glssur rqu : un systè d vcturs qulconqus put toujours s rédur à un glssur t un coupl (donc à 3 vcturs dont fornt un coupl) ppls d nlys vctorll

9 CNEATUE EFEENTEL Un objt st n ouvnt pr rpport à un utr s s poston, suré pr rpport u scond objt, chng n foncton du tps Tout ouvnt n st donc défn qu pr rpport à un systè d référnc donné : un rpèr d spc t un rpèr d tps lés à un obsrvtur donné Un référntl st donc pr défnton, un systè d xs lés à un obsrvtur un d un horlog défnssnt un tps t L rpèr d spc st crctérsé pr un orgn t un bs d 3 vcturs ( j, k ) supposr orthonorés, qu l on put Du pont d vu d l cnétqu, tous ls référntls sont équvlnts pour l dscrpton ds ouvnts l n st donc ps nécssr d prvlégr un référntl prtculr l fut nénons précsr l référntl d l obsrvtur cr dux obsrvturs plcés dns dux référntls n ouvnt rltf décrront d fçon dfférnt l ouvnt d un ê systè Autrnt dt, ls trjctors d un ê systè puvnt êtr dfférnts pour dux obsrvturs lés à ds référntls n ouvnt rltf Cpndnt, l chox du référntl n st ps nodn pour l xplcton du ouvnt Ls référntls glléns (ou d nrt), dont l prèr lo d Nwton postul l xstnc, jount un rôl prvlégés pusqu l duxè lo d Nwton st toujours pplcbl sns précutons prtculèrs : dp F γ ( ), s F st l résultnt ds forcs pplqués u systè ponctul d ss dns l référntl d nrt Pour un référntl non gllén (n ouvnt non rctlgn unfor), l duxè lo d Nwton st ncor vlbl s, à l résultnt F, sont joutés ls forcs d nrt (d ntrînnt t d Corols) : dp F γ nt γ Corols L ouvnt st donc toujours rltf pusqu s dscrpton st lé à un systè d référnc prtculr chos pr l obsrvtur n put lors s dndr cont puvnt êtr rlés ntr lls ds obsrvtons fts pr ds obsrvturs dfférnts S l xpérnc quotdnn nous nsgn qu un objt n put vor l ê vtss pr rpport à dux obsrvturs n ouvnt rltf, ctt consttton n s pplqu ps à l vtss d l luèr qu st l ê dns n port qul référntl C prdox fut résolu n 905 pr Enstn qu xpos son prncp d rltvté : «touts ls los d l ntur dovnt êtr ls ês pour tout obsrvtur n ouvnt rltf unfor d trnslton» Ctt ffrton plqu qu l tps lu ê n st plus un grndur bsolu (ndépndnt du référntl chos) s dépnd églnt du systè d référnc d l obsrvtur En fft, s l vtss d l luèr st ndépndnt du référntl, l vtss étnt défn pr l rpport d l dstnc prcouru u tps s pour prcourr ctt dstnc, l Etud ds ouvnts ds corps ndépndnt ds cuss qu ls produsnt Cnétqu

10 grndur «tps» dot êtr odfé s l quotnt ds dux rst nvrnt Ans, l ntrvll d tps ntr dux événnts n st ps l ê pour dux obsrvturs n ouvnt rltf (concpt d sultnété) Nénons, lorsqu ls dux obsrvturs sont n ouvnt rltf vc un vtss rltv fbl dvnt cll d l luèr, l hypothès d l nvrnc du tps (ndépndnt du référntl) st un très bonn pproxton Dns l sut d c cours, nous frons l hypothès du tps bsolu (l xst un tps bsolu t dont l défnton st ndépndnt du référntl d l obsrvtur) désgnr l référntl lé à l obsrvtur, supposé gllén t rpporté à un rpèr d spc,, j, k ) orthonoré ( ) APPELS tss, Accélérton d un pont térl k j L pont st rpéré dns pr l vctur S à l nstnt t l pont st n n A t à t t + t st n A, pr défnton, l vtss du pont dns l référntl st (ttnton à l notton): AA l t 0 t ( ) d L vtss st ndépndnt du chox du pont fx t tngnt à l trjctor D ê, l ccélérton du pont dns l référntl st défn pr : Avc d ( ) ( ) γ x + y j + z k dx dy dz d x d y d z ( ) + j + k γ ( ) + j + k L vtss t l ccélérton sont donc défns pr rpport à un systè d xs lés à un obsrvtur Nénons, un fos cs dux grndurs vctorlls défns, rn n pêch d xprr lurs coposnts dns d utrs rpèrs d spc Expl : coordonnés cylndrqus (rppl) θ k r u r u θ j r u + z k γ r dr dθ dz r θ d r dθ dr dθ d θ d z r ur r u θ ( ) u + r u + k ( ) k Cnétqu

11 ouvnt rltf d dux référntls Sot un duxè référntl un d un systè d xs orthonorés (, j, k ) ouvnt dns,, n ouvnt d trnslton st n trnslton dns s l trjctor d st qulconqu s ls vcturs d l bs obl grdnt un drcton fx dns u cours du tps : d dj dk 0 Expls : k k k k j S l trjctor d st un drot, st n trnslton rctlgn dns j j S l trjctor d st un crcl, st n trnslton crculr dns j Tous ls ponts du référntl obl (qu sont fxs dns ) ont, dns, ds trjctors dntqus : touts cs trjctors sont suprposbls à un trjctor unqu, pr xpl, cll d S d plus l ccélérton d dns st constnt, l rpèr obl st n trnslton unfor dns l référntl ouvnt d rotton Lorsqu l rpèr obl tourn utour d un x d, l vtss dns d n port qul pont fx A d st crctérsé pr l connssnc du vctur rotton nstntné Ω d dns t pr l poston d A : ( A ) Ω A Sns nur à l générlté d l déonstrton, ls orgns ds dux référntls sont supposés confondus ( ) : st donc n rotton dns utour d Afn d splfr l déonstrton, consdérons l cs prtculr où st n rotton dns utour d l x k k ( ) k Cnétqu

12 θ k ω j j A x ( A ) dns A x A + y A d j + z + y A A k dj + z A dk pusqu A st fx cos θ + snθ j sn θ + cosθ j j d dj Ans ( ) dθ dθ dθ dθ sn θ + cosθ j snθ + cosθ j j, dθ dθ dθ dθ cos θ + snθ j ( cosθ snθ j) dθ Donc ( A ) [ x j y ] Cpndnt : A A j k t k j, dθ A xa k + y Ak j dθ k l xprsson d l vtss d A dns s xpr splnt pr : d où ( ) [ ] En posnt Ω Ω dθ ( A ) k [ x + y j + z k ] A A ( A ) Ω A pusqu k k 0, sot crctérs donc bn l rotton du rpèr obl dns l référntl Pr défnton st l vctur rotton nstntné d dns (ttnton à l notton) Ω L xpl c-dssus s élrgt u cs générl où l orntton d l x st qulconqu L déonstrton d l xstnc du vctur Ω st rporté dns l nnx A 3 ouvnt hélcoïdl Un ouvnt hélcoïdl d x st l cobnson d un ouvnt d trnslton rctlgn prllèlnt à l x t d un ouvnt d rotton utour d (x ouvnt d un chrg dns un chp gnétqu) rqu : l ouvnt l plus qulconqu d dns put toujours s décoposr, à l nstnt t, co l coposton d un ouvnt d trnslton t d un ouvnt d rotton utour d l drcton d trnslton (cf chp ds vtss dns un sold) Cnétqu

13 4 Dérvton dns un rpèr obl S u ( t) st un grndur physqu vctorll dépndnt du tps (x l vtss d un pont ), d u ( t) du( t) du( t) qull st l rlton ntr dns t dns noté rspctvnt t? Sot u( t) u + u j + u k x y z du ( t) du x + u x d du + y j + u y dj du + z k S Ω désgn l vctur rotton d dns, d d j Ω Ω j / / d k Ω / k (cf Annx A) du ( t) du x sot du + y du ( t) j du + du x z k + u + Ω x Ω / u ( t) / + u y Ω / j CNEATUE DU SLDE Défnton du sold Dns c cours, nous nous ntérssrons unqunt u sold ndéforbl Un sold sr donc un corps ssz dur pour qu ls défortons qu l pourrt subr sont prcptbls ; l for du corps n dépndr donc ps ds ctons xrcés sur lu 4 3 S,, 3 t 4 sont qutr ponts qulconqu du sold, l défnton du sold ndéforbl s trdut thétqunt pr l un ds dux rltons suvnts : st ndépndnt du tps, ct 3 4 Dgrés d lbrté d un sold Afn d décrr l ouvnt d un sold dns un référntl donné, l convnt d pouvor précsr s poston t son orntton dns l spc u oyn d prètrs physqus pproprés Cs prètrs ont pplés dgrés d lbrté du sold - - Cnétqu

14 Sot (,, j, k ) s s s s s un rpèr lé u sold Précsr l poston t l orntton du sold dns rvnt à précsr l poston t l orntton du référntl s lé u sold L poston st donné pr ls coordonnés d s dns : x s, y s t z s (n prtqu, s st souvnt confondu vc l cntr d grvté du sold) L orntton du sold sr qunt à ll donné pr l orntton d l bs ( s j s, k s ) (, j, k ) s s s, dns k s k s j Pour splfr, ls orgns t s ds dux référntls sont supposés confondus (c qu n nlèv rn à l générlté du pssg d l orntton d un bs à un utr) 3 prètrs ngulrs sont nécssrs : ls ngls d Eulr, ssocés à 3 rottons succssvs qu prttnt d suprposr l bs ( s, j s, k s ) sur l bs (, j, k ) Cs tros rottons sont détllés sur ls fgurs c-dssous j s k s k k s k k θ ϕ j s j s u ϕ rotton propr, fn d nr l vctur s, pln ( j) dns l w L drcton d u défnt l lgn ds nœuds : ntrscton d un pln prpndculr à k s vc l pln, j horzontl ( ) u fn d nr θ nutton w v k s n coïncdnc vc k D plus v st dns l pln, j horzontl ( ) ψ u ψ précsson v fn d nr u n coïncdnc vc t v vc j j Ans, dns l cs générl, l nobr d prètrs ndépndnts nécssrs pour précsr l poston t l orntton du sold dns l référntl st égl à 6 : 3 prètrs d poston t 3 prètrs d orntton - - Cnétqu

15 Un utr pproch possbl prttnt d dénobrr l nobr d prètrs nécssr à l défnton d l poston t d l orntton d un sold st l suvnt : - l poston d un pont qulconqu du sold ( s ) st détrné pr ss coordonnés dns (3 prètrs), - sot A un scond pont du sold : lorsqu l pont s st fxé dns, A put ncor s ouvor utour d s : l décrt lors l surfc d un sphèr d ryon A s fut donc dux prètrs suppléntrs pour détrnr l poston d A sur ctt surfc l - lorsqu ls postons d s t A sont fxés, l sold put ncor tournr utour d l x jognnt cs dux ponts l sufft donc d un drnr prètr pour crctérsr l ngl d ctt rotton Fnlnt l nobr d prètrs nécssrs pour précsr l poston t l orntton du sold dns st ncor d rqu : S l ouvnt du sold st rstrnt pr un lson, l nobr d dgrés d lbrté st lors nférur à 6 Pr xpl, un sold n rotton utour d un x fx n possèd qu un sul dgré d lbrté (l ngl d rotton utour d ct x) 3 Dstrbuton ds vtsss dns un sold Pusqu ls ponts d un sold sont à ds dstncs fxs ls uns pr rpport ux utrs, l connssnc d l vtss, dns un référntl donné, d l un d ntr ux, dot prttr d détrnr l vtss d n port qul utr pont du sold Sot (,, j, k ) s s s s s un référntl lé à un sold S n ouvnt dns l référntl gllén Sot A t B dux ponts qulconqu du sold D utr prt où d AB db d AB da d AB s + Ω s / ( B) ( A) AB Ω s / st l vctur rotton nstntné du sold S dns l référntl Ans, l rlton chrché ntr l vtss d dux ponts qulconqus d un ê sold s écrt : ( B) ( A) + Ω AB s / qu consttu l rlton d dstrbuton du chp ds vtsss dns un sold L connssnc du vctur Ω st donc ssntll à l crctérston du chp ds vtsss dns un sold s / Cnétqu

16 rqu : u sns strct du tr, prlr d «vtss du sold» n ps d sns pusqu chqu pont du sold un vtss qu lu st propr Pr bus d lngg, on désgnr cpndnt pr «vtss du sold», l vtss d son cntr d ss rqu : L rlton du chp ds vtsss dns un sold prt églnt d décoposr l ouvnt à l nstnt t du sold n un coposnt trnsltor (l long d l drcton d Ω Ω s/ ) t d un coposnt rottor (utour d l drcton d s / Ω s / ) L déonstrton st donné dns l nnx B Ans, tous ls ponts du sold stués à l nstnt t sur l x d rotton nstntné sont n trnslton dns l référntl d étud 4 ouvnts plns d un sold 4 Défnton Pr défnton, l ouvnt d un sold st dt ouvnt pln s tous ls ponts qu l consttunt ont ds trjctors plns t contnus dns ds plns prllèls L étud d un tl ouvnt put donc s rstrndr à l étud d un «trnch» d sold contnu dns l pln du ouvnt L scton chos st générlnt cll qu pss pr l cntr d ss rqu : l chox du référntl fx d étud st édt (dux vcturs d bs défnssnt l pln du ouvnt, pr xpl t j ) Ans, dns un tl référntl, l vctur rotton nstntné n put êtr qu prpndculr u pln du ouvnt, donc porté pr l x k L tblu d l pg suvnt présnt qulqus xpls d ouvnts-plns 4 Cntr nstntné d otton (C) Copt tnu d l rrqu du prgrph précédnt concrnnt l drcton du vctur nstntné d rotton, pr défnton, l Cntr nstntné d otton (donc à un nstnt t donné) st l unqu pont d l scton π du sold rtnu pour l étud d son ouvnt, tll qu ( ) 0 A un nstnt t plus trd, l C corrspond à un utr pont S st un pont qulconqu d l scton π : ( ) ( ) + Ω Ω s / s / L pont (t pr xtnson, l sold) st bn n rotton utour d Cnétqu

17 - 5 - Cnétqu

18 Ctt drnèr rlton donn un constructon géoétrqu pour détrnr l poston du C ( ) Ωs / : l C st à l ntrscton ds prpndculrs ux vcturs vtsss du sold, co llustré sur l fgur c-dssous ( ) ( ) ( 3 ) 3 C Expl : échll contr un ur : vrton d l poston du C u cours du ouvnt A A à t C(t) A C(t ) A α B à l nstnt t bs B α B B à l nstnt t t+ t A A roulnt α α B B L «bs» défnt l trjctor du C dns l référntl fx L «roulnt» défn l trjctor du C dns un référntl lé u systè (l échll dns l xpl c-dssus) A chqu nstnt, cs dux courbs sont tngnts n un pont CPSTN DES UEENTS (Chngnt d référntl) Sot un sold S 3 (référntl lé 3 ) n ouvnt pr rpport à un sold S (référntl lé ) lu ê n ouvnt pr rpport à un sold S (référntl lé ) L ouvnt d S 3 pr rpport à S st l coposé ds dux ouvnts précédnts C prgrph pour objctf d rpplr ls xprssons lnt ls grndurs cnétqus xprés dns ds référntls dfférnts Cnétqu

19 Pont coïncdnt Sot un pont térl obl dns l référntl t dns un référntl obl L trjctor d dns st l nsbl ds postons occupés pr l pont dns l référntl obl Ans, à chqu nstnt, l pont térl st n coïncdnc vc un pont fx d Coposton ds vtsss Sot un duxè référntl un d un systè d xs orthonorés (, j, k ),, n ouvnt dns Sot un pont térl n ouvnt dns chcun ds dux référntls + ( ) d d d + En utlsnt l forul d dérvton dns ds rpèrs obls : Dns l xprsson pont coïncdnt d Ω / d, Ω / d Ans : ( ) ( ) + ( ) + Ω / + Ω / st l vctur rotton nstntné d dns t l sot ( ) ( ) + ( ) où ( ) ( ) + Ω / rqu : l vtss d ntrînnt du pont st l vtss dns, à l nstnt t, du pont coïncdnt d (utrnt dt, d un pont fx d vc lqul coïncd à l nstnt t) put êtr églnt consdéré co un référntl lé à un sold n ouvnt dns Ans, l xprsson d l vtss d ntrînnt du pont résult drctnt d l pplcton d l forul du chp ds vtsss dns un sold, qu donn l xprsson d l vtss d un pont du sold (cll du pont coïncdnt vc, à l nstnt t) n foncton d cll d un utr pont ( ) L forul d coposton ds vtsss st donc : bsolu ( ) ( ) + ( ) rltv ntrnnt s bsolu ( ) désgn l vtss du pont dns l référntl fx, rltv ( ) référntl obl t ( ) ( ) ntrnnt s vtss dns l Cnétqu

20 3 Coposton ds ccélértons L xprsson d l coposton ds ccélértons s dédut édtnt n pplqunt l forul d dérvton dns ds rpèrs n ouvnt rltf à l lo d coposton ds vtsss Ans : γ bsolu ( ) γ ( ) + γ ( ) + γ ( ) rltv Corols d vc : ( ) ( ) γ γ ( ) γ γ bsolu Corols ntrnnt ( ) Ω ( ) / rltv d ntrnnt ( ) dω / ( ) γ ( ) + + Ω ( Ω ) / / rqu : chp ds ccélértons dns un sold En consdérnt un sold lé u référntl, vc A t B dux ponts qulconqus du sold (donc obls dns ) t n pplqunt l lo d coposton ds ccélértons, l vnt, d ( ) vc 0 B t Ω / l vtss ngulr du sold dns : γ dω / ( B) γ ( A) + AB + Ω ( Ω AB) / / qu donn l rlton ntr ls ccélértons d dux ponts qulconqus du sold 4 Coposton ds vcturs rottons nstntnés Sot A t B dux ponts qulconqus d un sold S (référntl lé s ) n ouvnt dns t ( A) ( A) + ( A) où ( A) ( ) + Ω A D plus ( B) ( A) + Ω AB s / / où D ê ( B) ( A) + Ω AB dns s /, vc ds xprssons dntqus pour B Ω s / désgn l vctur rotton nstntné d S dns où Ω désgn l vctur rotton nstntné d S s / Ans, pr soustrcton br à br ds dux égltés c-dssus : ( B) ( A) + ( Ω Ω ) AB s / s / donc ( B) ( A) Ω ( B A) Ω AB ( Ω Ω ) AB / / s / s / Cnétqu

21 qulqus sont ls ponts A t B d où : Ω s / Ωs / + Ω/, sot : Ω bsolu Ω rltf + Ω ntrnnt vc Ω Ω bsolu s /, Ωrltf Ωs / t Ω Ω ntrn nt / Ctt xprsson prt ns d décoposr l vtss ngulr d un sold n un so d vcturs rottons nstntnés utour d xs connus Expl : xprsson du vctur rotton n foncton ds ngls d Eulr : En rprnnt ls nottons du prgrph : k s k k s k k θ j s ϕ w w v j ψ s u u u d ϕ dθ dψ ( s js ks) ( u w ks) k,, /, s Ω ( ) ( ) u Ω u, w, ks / u, v, k ( ) ( ) k u, v, k /, j, k Ω, v j Attnton u sgn ds vtsss ngulrs, qu corrspond c à un orntton ds ngls dns l sns trgonoétrqu Ans : Ω ( ) ( ) Ω( ) ( ) + Ω( ) ( ) + Ω s, js, ks /, j, k s, js, ks / u, w, ks u, w, ks / u, v, k ( u, v, k )/ (, j, k ) donc dϕ dθ dψ ( ) ( ) ks + u + k s js, ks /, j k Ω,, Afn d xprr ls coposnts d Ω ( s, js, ks) /(, j, k ) dns un référntl prtculr, l sufft d détrnr ls coposnts ds vcturs untrs dns l référntl souhté Cnétqu

22 n pourr ns vérfr ls xprssons suvnts : dns l bs (, j, k ), : Ω s / ϕ snθ snψ + θ cosψ ϕ snθ cosψ + θ snψ ϕ cosθ + ψ dns l bs (, j, k ), : s s s Ω ψ snθ snϕ + θ cosϕ ψ snθ cosϕ θ snϕ ψ cosθ + ϕ s / s UEENT DE DEUX SLDES EN CNTACT Sot un sold S (référntl lé ) n ouvnt pr rpport à un sold S (référntl lé ) tl qu S t S sont n contct à tout nstnt L contct ntr ls dux solds st supposé ponctul n un pont L ouvnt d S t S st étudé dns l référntl supposé gllén S S à t à t En coïncd à l nstnt t, un pont pprtnnt à S t un pont pprtnnt à S A l nstnt t plus trd, l nouvu pont géoétrqu d contct st vc lqul coïncd un nouvu pont d S t un nouvu pont d S L nsbl ds ponts d S (S ) qu vont ntrr n Γ contct vc S (S ) u cours du ouvnt décrvnt un courb Γ (Γ ) nscrt sur S (S ) π tss d glssnt Pr défnton, l vtss d glssnt d S pr rpport à S st : v g ( S / S ) ( ) Autrnt dt, l vtss d glssnt d S pr rpport à S st défnt pr l vtss, dns un référntl lé à S, du pont d S n coïncdnc vc l pont d contct ntr S t S à l nstnt t En brégé, on pourr églnt notr v S / S S D près l lo d coposton ds vtsss, g ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) S Γ S pusqu st un pont fx du référntl lé à S t qu à l nstnt t : Cnétqu

23 Ans v g ( S S ) ( ) ( ) ( S ) ( ) / S Sot π l pln tngnt n ux dux solds à l nstnt t Pusqu ls dux solds rstnt n contct prnnt (ps d ntrpénétrton n d écrtnt d S pr rpport à S ), ( ) t ( ) pprtnnnt nécssrnt u pln tngnt L vtss d glssnt st donc contnu dns l pln tngnt ux dux solds à l nstnt t oulnt, pvotnt Sot un pont d S A l nstnt t : pusqu ( ) ( ) + ΩS / ( ) + ΩS / ( ) ( ) + ΩS / vg ( S S) + ΩS / / π Ω S /S Ω S Ω v g S l vctur rotton nstntné d S pr rpport à S st décoposé n un coposnt norl Ω t un coposnt prllèl Ω // u pln tngnt n u dux solds, ( ) vg ( S / S) + Ω // + Ω S L sgnfcton physqu ds dux drnrs trs st édt : Ω défnt l vtss d roulnt d dns, // Ω défnt l vtss d pvotnt d dns n put récptulr ls dfférnts typs d ouvnt d dux solds n contct (ponctul) prnnt : Ω// 0 Ω// 0 Ω// 0 Ω// 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 v g ( S / S) 0 dhérnc roulnt pvotnt roulnt vc pvotnt v g ( S / S) 0 glssnt roulnt vc roulnt vc roulnt t glssnt pvotnt pvotnt vc glssnt - - Cnétqu

24 3 Condton d non glssnt D près l tblu précédnt, l sold S s déplc sns glssr sur l sold S s à tout nstnt v g ( S S ) 0 donc ( S ) ( ) / Expl d pplcton : s n rotton d un pltu S Sot l dspostf llustré sur l fgur c-dssous L dsqu D, d cntr C, d ryon r roul sns glssr sur l pltu crculr P d ryon L pltu P tourn utour d son x vrtcl à l vtss ngulr Ω Sot ω l vtss ngulr d rotton du dsqu utour d son x C drnr st prllèl u pln du pltu Sot ω 0 l vtss ngulr d rotton d l x du dsqu utour d l x vrtcl ull rlton xst-t-l ntr cs dvrss vtsss ngulrs? P (,, j, k ) défnt l référntl fx d étud supposé gllén Sot l pont d contct ntr l dsqu t l pltu Sot ( u, u, k ), r θ l référntl lé à l x du dsqu tl qu ur st n rotton dns utour d l x vrtcl à l vtss ngulr ω 0 Sot rspctvnt D t P ls ponts du dsqu t du pltu n coïncdnc vc à l nstnt t Pusqu l roulnt du dsqu sur l pltu s ft sns glssnt : D / P D utr prt : D C t D où : k θ ( ) ( C) + ΩD / C D ( ) ω C 0 v g ( ) 0 sot ( ) ( ) dθ vc Ω ( P ) Ω P / P uθ Ωuθ ω 0 u r j Ω D ω D D / Ω D / + Ω / ω u r + ω0 ( D ) ω0 C + ( ω ur + ω0 k ) C D ω0 u θ ω ur ( r) k ( ω0 rω) u θ ( D ) ( ω0 rω) uθ ( P ) Ωuθ Fnlnt ω ( ω0 Ω) r qu consttu l rlton chrché : plus l dsqu un ryon ptt, plus s vtss d rotton sr grnd S l x d rotton du dsqu tourn à l ê vtss ngulr qu l pltu, l dsqu n tourn ps sur lu ê! P k - - Cnétqu

25 CNETUE Afn d coprndr l orgn du ouvnt d un systè, l fut prélblnt s ntérssr à ds grndurs physqus qu crctérsnt l ouvnt du systè dns son nsbl L xpl c-dssous llustr l problétqu lé à l crctérston du ouvnt d un systè qulconqu, n prtculr, clu d un sold ndéforbl k j L référntl d étud st supposé gllén L étud du ouvnt d l objt put êtr condut n dux tps rquons qu ctt décoposton s pplqu pour l ouvnt l plus générl d un systè qulconqu ) l étud du ouvnt du cntr d grvté G (cntr d ss) dns l référntl : ( G ) k G j L systè st lors sslé à un pont térl (son cntr d ss) ffcté d l ss totl du systè Dns l xpl c-dssus, l trjctor d G st cll d un pont térl sous u chp d l psntur : un trjctor prbolqu ) L étud du ouvnt du systè utour d son cntr d ss : k L ouvnt du systè dns l référntl ( G,, j, k ) G B (orgn u cntr d ss) st un ouvnt d rotton utour du pont G Pour l étud du ouvnt du systè sslé à son cntr d ss, donc pour l étud du ouvnt d un pont térl G dns un référntl (gllén), l duxè lo d Nwton postul j Cnétqu

26 l rlton ntr l vrton d l vtss du pont térl G n foncton d l résultnt ds forcs F qu s y pplqunt : d( ) F Ans, ctt lo défnt l ss du pont térl, grndur ntrnsèqu du systè, qu trdut s «fclté» d récton (son nrt) à l pplcton d l forc F L grndur vctorll p ( ) ou quntté d ouvnt, crctérs d nèr plus globl l ouvnt du pont térl pusqu ll tnt églnt copt d l vtss d c dp drnr L duxè lo d Nwton F précs donc l ln ntr un chngnt dns l ouvnt du pont térl (un vrton d s quntté d ouvnt) t l orgn d c chngnt (l forc F ) Pr rpport à l écnqu du pont térl, l prncpl «nouvuté» dns l étud du ouvnt d un systè qulconqu résd donc dns l nlys du ouvnt d rotton utour d son cntr d ss l fut donc églnt crctérsr l nrt du systè dns un ouvnt d rotton : l réprtton d l ss dns l volu déltnt l systè jou c un rôl détrnnt Ctt crctérston d l dstrbuton d l ss dns l systè condut u concpt «d opértur d nrt» ou «trc d nrt» t ft ppl, dns l cs l plus générl à sx prètrs physqus crctérstqus du systè étudé Pr nlog vc l étud du ouvnt du pont térl, un grndur physqu vctorll, l ont cnétqu prttr lors d précsr d nèr plus globl ls proprétés du ouvnt d rotton (n prnnt églnt n copt ls proprétés du chp ds vtsss dns l systè étudé) Ctt grndur cnétqu ntrvnt dns ls rltons d l dynqu pour coprndr l orgn d un chngnt du ouvnt d rotton (co l quntté d ouvnt prt d rontr à l orgn d un chngnt du ouvnt du pont térl) l st donc d prèr portnc d vor un vson globl d l réprtton (dstrbuton) d l ss dns l systè fn d coprndr ss proprétés d nrt Ls grndurs ntrnsèqus crctérsnt l ss d un systè t s réprtton u sn du systè prttnt d xprr splnt ls grndurs cnétqus (co l quntté d ouvnt) du systè étudé qu pprssnt dns ls los d l dynqu (x è lo d Nwton) CENTE DE ASSE ss Dns l cs d un systè consttué d un nsbl d N ponts térls A d ss, l ss totl du systè vut écnqu nwtonnn N, qu trdut splnt l proprété d ddtvté ds sss n Cnétqu

27 rqu : lorsqu l systè s déplc à ds vtsss prochs d cll d l luèr (écnqu rltvst), l ss prd ctt proprété d ddtvté Autrnt dt, l ss totl d un systè rltvst consttué d dux sous systès (rltvsts) n st ps égl à l so ds sss d chcun ds sous systès! Pour un dstrbuton contnu d ss à l ntérur d un volu : k j d ρ( )d st l ss d un élént consttutf du systè, d volu d ρ crctérs l réprtton d l ss dns l stué utour du pont ( ) systè étudé : ρ ( ) défnt l dnsté d ss u pont L ss totl du systè vut : ρ ( ) d S (,, j, k )) st un référntl gllén L pont décrvnt tout l volu st rpéré dns pr l vctur : ( x, y z) ρ, dx dy dz Cntr d ss Ls systès étudés sont rpérés dns l référntl (,, j, k ) Systè dscrt supposé gllén Sot un systè consttué d un nsbl d N ponts térls A d ss L cntr d ss G du systè st défn pr : Systè contnu N A G N A 0 G N L cntr d ss G d un sold crctérsé pr l dstrbuton d ss ρ ( ) st défnt pr : ( ) ρ G d G 0 ρ ( ) ρ d ( ) d Ls coposnts du cntr d ss sont donc : x ρ( x, y, z) dx dy dz G y ρ( x, y, z) dx dy dz z ρ( x, y, z) dx dy dz Cnétqu

28 rqu : l cntr d ss st confondu vc l cntr d grvté s l chp d l psntur put êtr consdéré co constnt dns tout l volu du systè étudé L nnx C précs l détrnton du cntr d grvté dns l cs contrr 3 Proprétés Assoctvté : ctt proprété découl d l défnton du cntr d ss S G k désgn l cntr d ss d un systè térl S k d ss k, l cntr d ss du systè S consttué pr l réunon ds N systès S k st l cntr d ss ds ponts G k ffctés N N ds sss k : k G k Gk (s ls S k n ont ps d élénts couns dux à dux) k k Expl : cntr d ss d un olécul d onc : H N G G H H H L cntr d ss G d l olécul d onc st l cntr d ss d l to d zot t du cntr d ss G H ds tos d hydrogèn Syétr térll : Un systè S possèd un élént d syétr térll (un pont, un drot, un pln) s ls dnstés d ss ρ ( ) t ρ ( ) n un pont g d un pont qulconqu d S pr ct élént d syétr sont égls syétr pr rpport à un pont t ρ ( ) ρ( ) H D syétr pr rpport à un drot D H H t ρ ( ) ρ( ) H π syétr pr rpport à un pln π H H t ρ ( ) ρ( ) Ans, l cntr d ss ds ponts t lés pr l élént d syétr térll s trouv sur l élént d syétr n put donc n conclur l proprété suvnt : s un systè possèd un élént d syétr térll, c drnr contnt l cntr d ss Expl : détrnton d l poston du cntr d ss d un côn pln hoogèn h r(z) z α z j dz Pusqu l côn st d révoluton, l cntr d ss G st stué sur l x d révoluton l sufft donc d détrnr s poston xct z c,,, j, k : coordonné dns l rpèr ( ) Cnétqu

29 z c ( z) z c vc ρ( ) z dv dv dr rdϕ dz t ρ ( z) r z h z dv tgα z h r π z h z h ρ ρ ρ z dr rd dz z r( z) dz ϕ π π h z 0 r 0 ϕ 0 z 0 z 0 z 3 ρ dz π h 4 h 4 fnlnt : ( z) z h r π z h z h d ρ dr rd dz r( z) dz ϕ ρ π π ρ h z 0 r 0 ϕ 0 z 0 z 0 3 z c 4 h z dz π ρ h 3 h 3 UANTTE DE UEENT ENT CNETUE Défntons ppl : pour un pont térl, d ss, l quntté d ouvnt défn dns un p référntl st ( ) Systè dscrt : Pour un systè consttué d un nsbl d N ponts térls A d ss, l nsbl ds vcturs qunttés d ouvnt p ds dfférnts ponts térls fornt un systè d vcturs qu sr crctérsé pr ss élénts d réducton : l résultnt pplé quntté d ouvnt ou résultnt cnétqu du systè : P p, ( ) l ont résultnt n un pont du référntl ou ont cnétqu : σ A p A ( ) Systè contnu : L xtnson d cs défntons u cs d un sold st édt : k j dp ρ ( ) dv( ) d( ) défnt l quntté d ouvnt d l prtcul d volu dv consttutv du systè, d ss d ρ( )dv, stué n t d vtss ( ), dσ dp ( )d défnt son ont cnétqu u pont Cnétqu

30 L quntté d ouvnt totl du sold, ou résultnt cnétqu st donc : P ( ) dv ( ) d ( ) ρ tnds qu l ont cnétqu résultnt vut : σ ρ ( ) dv ( ) ( ) d Proprétés éléntrs ésultnt cnétqu : S G st l cntr d ss du systè : ( ) 0 d ρ G d donc Ans : ρ ( ) G d 0 d G sot ( ) 0 dv ρ ρ d G ( ) dv ρ( ) ( G) ( ) [ ] dv ( G) ρ( ) dv ρ( ) ( ) dv 0 ' d où P ( G) L résultnt cnétqu n dépnd qu d l ss totl du systè t d l vtss d son cntr d ss ont cnétqu : Sot un utr pont du référntl : l ont cnétqu n s écrt : σ σ ( ) d ( + ) ( ) d ( ) d + ( ) d ( ) d + σ d où : σ P + σ L ont cnétqu du systè n un pont put splnt êtr détrné à prtr du ont cnétqu u pont t d l résultnt cnétqu Cnétqu

31 EFEENTEL BAYCENTUE L référntl brycntrqu du systè S étudé, ou référntl du cntr d ss B ssocé u référntl d étud st l référntl n trnslton dns tl qu l quntté d ouvnt totl du systè dns B sot null * Pusqu P ( G) 0, ( G) 0 B B donc l cntr d ss st fx dns B Ans, l orgn du référntl brycntrqu st générlnt chos u cntr d ss du systè Pour tout pont du systè : ( ) ( G) + Ω G S / Dns l référntl du cntr d ss, l systè st donc n rotton utour du pont G : B ( ) Ω G S / E THEEE DE KENG C théorè prt d clculr l ont cnétqu d un systè n un pont n foncton du ont cnétqu évlué dns l référntl du cntr d ss Sor G l cntr d ss du systè étudé Sot B l référntl brycntrqu ssocé à σ σ G + P G D utr prt, d près l lo d coposton ds vtsss : + D où : σ G G ( ) ( ) ( ) ( ) + ( G) B ( ) d G ( ) d + G ( G) σ G pusqu G st l cntr d ss du systè B B ( ) d + G d ( G) G ( ) d σ G B σ B G σ G L ont cnétqu d un systè n son cntr d ss G dns l référntl st toujours égl u ont cnétqu du systè n G dns l référntl brycntrqu Fnlnt, l r théorè d Kong s écrt : σ G P + σ B B G B d G Cnétqu

32 L ont cnétqu d un systè st l so du ont cnétqu u pont du cntr d ss ffcté d l ss totl du systè t du ont cnétqu pr rpport u cntr d ss, évlué dns l référntl brycntrqu (ont cnétqu du systè n rotton utour d son cntr d ss, clculé dns l référntl du cntr d ss) ENT CNETUE D UN SLDE EN TATN AUTU D UN PNT FXE L évluton du ont cnétqu d un sold n rotton utour d un pont fx st prtculèrnt ntérssnt pusqu ll prttr d détrnr l ont cnétqu du systè dns l référntl brycntrqu Afn d splfr ls clculs, supposons qu l systè S étudé st n rotton utour du pont fx orgn du référntl d étud Ans, qulqu sot l pont d S : ( ) Ω S / t σ B S / ( ) d ( Ω ) d L pplcton vctorll qu à tout vctur u ssoc l vctur u u d st un pplcton lnér : où t b sont dux nobrs réls ( ) ( ) ( u + b v) ( u) + b ( v) Ctt pplcton lnér st lors rprésnté pr l trc [ ] dns l rpèr (cf cours d thétqu) Sont x, y, z, u x, u y t z [ ] s ( u) d ( u ) u ls coposnts, rspctvnt, d ( u) x y z 3 sot ( u) u u u [ ] [ ][ u] x y z t u dns : t [ u ] désgnnt ls trcs colonns dont ls coffcnts sont ls coposnts dns d t u rspctvnt : u ux u y uz [ u] Cnétqu

33 Dns c forls, l écrtur du ont cnétqu u pont st édt Pour n fft : [ σ ] [ ][ Ω ] S / u ΩS / l vnt 3 [ ] 3 st l trc d nrt du sold S, défn dns l référntl (cf pour l clcul d l trc d nrt d un sold) rqu : pusqu l sold n st ps fx dns, ls coffcnts d l trc d nrt chngnt u cours du tps!! En prtqu, l sr plus sé d détrnr l trc d nrt dns un bs lé u sold (générlnt, dns l bs prncpl d nrt) ENEGE CNETUE Défnton ppl : pour un pont térl, d ss, rpéré dns l référntl, l énrg cnétqu vut : Ec ( ) L énrg étnt un grndur physqu xtnsv (ddtv), pour un systè consttué d un nsbl d N ponts térls A d ss, l énrg cnétqu totl du systè st donc : E c ( ) Ans, pour un sold, l énrg cnétqu totl st détrné pr soton (contnu) sur l énrg cnétqu ds prtculs consttutvs du systè (d volu dv t d ss d ρ( )dv ) : k j E c ρ ( ) dv ( ) ( ) d è théorè d Kong Co pour l clcul du ont cnétqu, l évluton d l énrg cnétqu totl put êtr décoposé n dux trs, corrspondnts à l énrg cnétqu du systè sslé à son cntr d ss G (t ffcté d tout l ss), t à l énrg cnétqu d rotton utour du cntr d ss Sot B l référntl brycntrqu ssocé à t u systè S étudé Cnétqu

34 Ans : E c ( ) ( G) + Ω G ( G) + ( ) S / ( ) dv ( ) ( G) d + ( ) d ( G) ( ) ρ + B B B d E c vc c B d l ss totl du systè, B Ec B d, l énrg cnétqu du systè dns l référntl du cntr d ss B ( G) + E + ( G) ( ) t ( ) s : ( G) ( ) d ( G) ( ) ( d G B B ) dg d ( ) G d 0 G pr défnton du cntr d ss B B d L duxè théorè d Kong s écrt donc : E + B ( G) c E c L énrg cnétqu d un systè st l so d l énrg cnétqu du cntr d ss ffcté d tout l ss du systè t d l énrg cnétqu du systè corrspondnt à son ouvnt dns l référntl brycntrqu (énrg cnétqu d rotton utour du cntr d ss) 3 Enrg cnétqu d un sold n rotton utour d un pont fx Du duxè théorè d Kong, pprît un nouvll fos l ntérêt d l étud du sold n rotton utour d un pont (fx) Co dns l cs du clcul du ont cnétqu d un sold n rotton utour d un pont, supposons qu l systè S étudé sot n rotton utour du pont fx orgn du référntl d étud Ans, qulqu sot l pont d S : ( ) Ω S / Cnétqu

35 t Ec S S / / pusqu l produt xt st nvrnt pr un prutton crculr ds vcturs E ( ) d ( ) ( Ω ) d Ω ( ( ) ( ( ) d Ω S σ c ΩS / / S [ Ω ] Ec ΩS / S / désgn un nouvll fos l trc colonn dont ls coffcnts sont ls coposnts dns d Ω / Ω + Ω j + Ω k, l vnt : S x y z t E c [ ΩS / ][ ][ ΩS / ] t vc [ Ω ] l trc trnsposé d [ Ω t ] : [ ] ( Ω Ω Ω ) S / ppl : s Ω Ω S / S / S / Ω S / σ x t st l vctur drctur d l x nstntné d rotton, [ ][ ][ ] st l ont d nrt du systè pr rpport à l x nstntné d rotton donc : y z d E c Ω S / rqu : dns l référntl, ls coffcnts d l trc d nrt (donc ) vrnt u cours du tps ATCE D NETE Afn d crctérsr l réprtton d l ss d un systè pr rpport à un rotton utour d un x, 6 coffcnts ndépndnts sont nécssrs, qu prttnt l clcul générl du ont d nrt du systè pr rpport à ct x d rotton Défnton L ont d nrt du systè pr rpport à l x st : r r ρ ( ) dv où r st l dstnc d d S à l x Pr défnton, l ont d nrt st un grndur ddtv : l ont d nrt pr rpport à un x d un systè consttué d dux sous-systès st égl à l so ds onts d nrt pr rpport à ct x d chcun ds sous-systès Cnétqu

36 onts t produts d nrt Cont clculr l ont d nrt d un systè pr rpport à un x qulconqu? Pour splfr l présntton, supposons qu l x pss pr l orgn du référntl dns lqul l sold st obl (référntl lé u sold) k H α r j Sot l vctur drctur d : t x + y j + z k Sot H l projcton orthogonl d sur H ρ ( ) dv ρ( ) dv d vc y z x z z x x y y y ( ) ( ) ( ) z x y z z y + z x x z + x y y x ( y + z ) x + ( x + z ) y + ( x + y ) z xy x y xz x z zy z y d où : xx x yy y zz z xy x y xz x z zy z y vc : xx ( y + z ) d ( x + z ) d ( x + y ) yy xy xy d xz xz d yz ntrprétton physqu : zz yz d d k j y + z st l dstnc d à l x x, x + z st l dstnc d à l x y, x + y st l dstnc d à l x z, xx, yy t zz sont donc rspctvnt ls onts d nrt du systè pr rpport ux xs x, y t z Ls xy, yz t xz sont pplés produts d nrt Cnétqu

37 Cs 6 coffcnts n dépndnt qu du systè (d s réprtton d ss) t du rpèr dns lqul ls sont clculés, s n dépndnt ps d l x 3 pértur d nrt Ls 6 coffcnts crctérstqus d l réprtton d l ss d un systè puvnt êtr rgroupés dns un trc syétrqu 3 3, [ ] défn dns l bs (, j, k ) (t ntrodut dns l prgrph c-dssus) xx xy xz [ ] xy yy yz xz yz zz ppl : ls colonns d l trc [ ] gs ds vcturs d l bs ( j, k ) n sont utrs qu ls coposnts d ( ), ( j), pr l pplcton lnér défn u prgrph, ( k ) [ ] st un trc crré réll t syétrqu pplé trc d nrt d S dont ls coffcnts sont clculés dns l référntl, c lé u systè rqu : dns un utr référntl, ls coffcnts d ctt trc uront donc d utrs vlurs nuérqus!, 4 Expl : trc d nrt d un cub hoogèn dns ss xs z Sot un cub hoogèn d rêt Détrnons s trc d nrt dns l rpèr (xyz) rprésnté sur l fgur c-contr y / / / ( y + z ) d ( y + z ) ρ dx dy dz xx / / / x xx ρ / / / dx y dy / / / dz + ρ / / / dx dy / / / z dz vc ρ 3 xx / 3 y ρ / / 3 ρ / 3 5 xx ρ ρ / / / [ x] [ z] + [ x] [ y] xx 6 / / / 3 z 3 / / L clcul ds onts d nrt pr rpport ux xs y t z st nlogu d où : xx yy zz Cnétqu

38 Cnétqu / / / / / / / / / / xy dy dx y x dx dy dz y x xy d ρ ρ + 0 / / 0 / / / / / / / / xy dy dx y x dx dy y x dx dy y x ρ ρ n posnt x u donc dx du 0 / 0 / 0 / / / / 0 / / 0 / / / / + + xy dy dx y x du dy y u dx dy y x du dy y u ρ ρ D ê 0 yz xz xy L trc d nrt du cub hoogèn st donc : [ ] rqu : l rpèr (xyz) st un rpèr prvlégé pusqu l trc d nrt st dgonl (xyz) st pplé l rpèr prncpl d nrt 5 Axs t onts prncpux d nrt 5 Défnton n put déontrr qu pour un systè qulconqu, l xst un référntl lé à c systè ( ) 3,,, P P P p P dns l qul l trc d nrt st dgonl Ls xs d c référntl défnssnt ls xs prncpux d nrt t ls onts d nrt pr rpport à cs xs (, t 3 ) sont ls onts d nrt prncpux : [ ] P P Ans : ( ) [ ] [ ] [ ], P P S P P donc ( ) 3, P P S vc ds rltons nlogus pour ls dux utrs vcturs du rpèr prncpl d nrt rqu : du pont d vu thétqu, ctt proprété découl ds crctérstqus d l trc d nrt pusqu tout trc syétrqu réll st dgonlsbl 5 Systè «syétrqu» L rchrch du rpèr prncpl d nrt d un systè st grndnt splfé dns l cs où l systè possèd ds proprétés d syétr térll Ax d syétr térll Tout x d syétr térll st x prncpl d nrt

39 Afn d splfr l déonstrton, supposons qu l systè S possèd un x d syétr térll prllèl à l x z d un référntl lé à S x z H y Pour déontrr qu l x z st x prncpl d nrt l sufft d ontrr qu vc ( S k ) zz xz yz ( S k ) k,,, donc qu 0 xz yz zz xz ( ) dv xz ρ( ) dv + x z ρ( ) dv xz ρ( ) dv + ( x) z ρ( ) dv 0 xz ρ / / cr (x,y,z) t (x -x, y -y, z z) sont lés pr l x d syétr Un clcul nlogu condut fclnt à 0 Donc ( S, k ) k yz zz / / Pln d syétr térll Tout drcton prpndculr à un pln d syétr térll st x prncpl d nrt Là ncor, l déonstrton st splfé s l on suppos qu l systè S possèd un pln d syétr térll prllèl u pln xy d un référntl lé à S x z π H y Pour déontrr qu tout drcton prpndculr u pln d syétr st x prncpl d nrt, on put pr xpl déontrr qu l x z st x prncpl sot : S, k, vc ( S k ) zz xz yz ( ) k, donc qu 0 xz yz zz xz ( ) dv xz ρ( ) dv + x z ρ( ) dv xz ρ( ) dv + x( z) ρ( ) dv 0 xz ρ / / cr (x,y,z) t (x x, y y, z -z) sont lés pr l pln d syétr D ê yz 0, d où S, k ( ) k zz / / 53 Applctons Tout trèdr tr-rctngl dont dux d ss plns sont plns d syétr térll d un systè st un trèdr prncpl d nrt pour c systè Tout trèdr rctngl dont dux d ss xs sont xs d syétr térll d un systè st un trèdr prncpl d nrt pour c systè Cnétqu

40 trc d nrt «cylndrqu» Pour un cylndr hoogèn d révoluton (hutur h, ryon, ss ), l x d révoluton st x d syétr Tout pln pssnt pr l x d révoluton st églnt pln d syétr L trc d nrt du cylndr dns tout bs orthonoré ynt l un d ss vcturs prllèl à l x d révoluton l for suvnt : J vc + 4 s l x d révoluton st prllèl à 3, h t J trc d nrt «sphérqu» Tout drot pssnt pr l cntr d ss d un sphèr hoogèn (ryon, ss ) st x d syétr L trc d nrt d l sphèr dns tout bs orthonoré donc l for suvnt : vc Expls d trcs d nrt (prncpls) Corps hoogèns d ss Cylndr crux z c y x l Cylndr z c y x l Prlléléppèd rctngl z c y x b onts t produts d nrt zz xx yy + xx yy + zz ( b c ) xx + yy + c zz + b ( ) ( ) l l Cnétqu

41 Corps hoogèns d ss Sphèr crus x z y D-sphèr crus x z y onts t produts d nrt xx yy zz 3 xx yy zz x Sphèr pln z xx yy zz h Côn crux x α z y y xx yy + zz h Côn pln 3 3 xx yy h zz 5 7 Théorè d Huygns-Schtnr Expl : connssnt l ont d nrt d un sphèr hoogèn pr rpport à l un d ss dètrs, qull st l vlur du ont d nrt pr rpport à un x tngnt à l sphèr? G L théorè d Huygns donn édtnt l répons : 7 G + 5 vc G l ont d nrt pr rpport à un x prllèl à t pssnt pr l cntr d ss G Dns l cs générl, l théorè d Huygns prt d clculr l ont d nrt d un systè pr rpport à un x connssnt l ont d nrt pr rpport à un x prllèl à t dstnt d d : Cnétqu

42 + d d Déonstrton : Sot [ ] l trc d nrt d un systè dns l rpèr (,, j, k ) d nrt du systè dns l rpèr (,, j, k ) l cntr d ss du systè Pr défnton : zz zz ( x + y ) d Sot [ ] l trc trnslté d tl qu + b j + c k Sot [ ] [ b y ] ( x + y ) d ( x + ) + ( y + b) d x + y + + b + x + ( x + y ) d + ( + b ) d + x d + b x d y d y d zz pusqu st l cntr d ss : 0 Donc : D ê : Pour ls produts d nrt : xy xx zz + ( b ) z z + + ( b c ) t + ( c ) x x + ( x + )( y + b) d ( x y + b + bx + y ) yy y y + xy d d x y + d ê : xz + x z c t yz y z + bc b d Cnétqu

43 DYNAUE DES SYSTEES ATEELS L dynqu ds systès térls prt d coprndr l ln ntr l ouvnt d un systè t ls cuss d c ouvnt Plus précsént, l dynqu ds systès térls s ppu sur l prncp fondntl d l dynqu, qu st un xtnson d l rlton fondntl d l dynqu (duxè lo d Nwton) rncontré dns l cdr d l écnqu du pont térl Dns c contxt, l prncp fondntl d l dynqu st un postult L prncp rl ls grndurs physqus crctérstqus du ouvnt, (ls grndurs cnétqus) t ls grndurs physqus rprésnttvs ds ctons xrcés sur l systè (ls forcs t ls onts) Ans, connssnt ls forcs ss n ju, cs rltons prttnt d prévor l ouvnt du systè (pproch Nwtonnn), ou bn, connssnt l ouvnt du systè, ls forcs à l orgn du ouvnt puvnt êtr détrnés (pproch Lgrngnn) Un pproch «énrgétqu» du systè st églnt possbl à trvrs l théorè d l énrg cnétqu (théorè ds forcs vvs) FCES Ls forcs pplqués à un systè qulconqu puvnt êtr clssés n dfférnts ctégors Forcs ntérurs t forcs xtérurs Sot l systè étudé S défn pr un nsbl d ponts térls A C systè st n présnc d ponts B k L nsbl ds forcs xrcés pr ls pont A j sur un pont A ( j ) consttu pr défnton l nsbl ds forcs ntérurs Ls forcs xrcés pr ls pont B k (qu n pprtnnnt ps u systè) consttunt l nsbl ds forcs xtérurs rqu : Sot S l nouvu systè étudé, ls forcs xrcés pr ls dfférnts ponts (A j t B k ) ls uns sur ls utrs sont lors touts ds forcs ntérurs Expl : sot l blnc consttué d un fléu t d dux pltux, n équlbr sur un coutu F 3 F F S l systè étudé st l fléu, F, F t F 3 sont ds forcs xtérurs S l systè étudé st consttué pr l fléu t ls dux pltux, F t F sont ds forcs ntérurs, F 3 st un forc xtérur Dynqu ds systès térls

44 Forcs d lson Ls forcs d lson pprtnnnt à l ctégor ds forcs xtérurs Ells contrgnnt l déplcnt du systè étudé Pr xpl, un lson pvot pos un ouvnt d rotton utour d un x L fft ds forcs d lson st donc d dnur l nobr d dgrés d lbrté du systè Générlnt, l clcul ds forcs d lson st très coplx cr l dépnd d l ntur xct ds surfcs n contct Lurs xprsson n st donc ps fondntlnt spl co put l êtr l xprsson d l forc d grvtton ou l forc d Lorntz Auss, bn qu ls forcs d lson rédusnt l nobr d prètrs dont dépnd l ouvnt du systè (nobr d dgrés d lbrté < 6), l étud d c ouvnt st toujours plus coplx qu n lur bsnc En prtculr, lur nobr sont d utnt d nconnus suppléntrs qu dvront êtr détrnés Ls los phénoénologqus prttnt d ls décrr (cf los d Coulob du frottnt sold) pportront donc d précuss équtons fn d prttr l résoluton du problè posé 3 Forcs «à dstnc» Fnlnt touts ls forcs xtérurs utrs qu ls forcs d lson défnssnt ls forcs «à dstnc» L forc d psntur, l forc créé pr un chp gnétqu ou un chp élctrqu n sont ds xpls Contrrnt ux forcs d lson, lurs xprssons sont générlnt détrnés t n pport donc ps d nconnus suppléntrs dns l problè à résoudr Pr xpl, l forc d psntur xrcé sur un pont térl d ss plcé dns l chp d psntur g st donné pr F g PNCPE FNDAENTAL DE LA DYNAUE DES SYSTEES Enoncé du prncp fondntl L prncp fondntl consttu un générlston d l rlton fondntl d l dynqu postulé pr Nwton dns l cdr d l écnqu du pont térl, à ds systès qulconqus L étud du ouvnt d un systè qulconqu étnt décoposé n dux tps (étud du ouvnt d son cntr d ss pus étud du ouvnt utour du cntr d ss), l prncp fondntl donn ls rltons nécssrs à l copréhnson d un chngnt d chcun d cs ouvnts Sot un systè térl S dont l ouvnt st rpéré dns un référntl supposé gllén Sot un pont fx d Sot F t l résultnt t l ont résultnt u pont ds ctons xrcés sur l systè : où F nt, F xt, nt t xt F F nt nt + + F xt xt désgnnt rspctvnt l résultnt ds forcs ntérurs, l résultnt ds forcs xtérurs, l ont résultnt ds forcs ntérurs t l ont résultnt ds forcs xtérurs u pont Dynqu ds systès térls

45 L prncp fondntl d l dynqu ds systès térls s écrt : dp Fxt dσ L prèr rlton vctorll ndqu donc qu l cntr d grvté d un systè térl qulconqu (rgd ou déforbl) l ê ouvnt qu un pont térl lbr où srt concntré tout l ss du systè t uqul srnt pplqués touts ls forcs xtérurs (d résultnt F xt ) Dns l cs l plus générl, cs dux équtons vctorlls condusnt à 6 équtons sclrs Dns l cs du ouvnt d un systè lbr (possédnt 6 dgrés d lbrté) cs 6 équtons sclrs prttnt d détrnr ls 6 équtons horrs du ouvnt Nénons, pour un systè lé (x l systè st n contct vc un utr systè) ls forcs d lson joutnt ds nconnus suppléntrs (ls 3 coposnts d l résultnt ds forc d contct t ls 3 coposnts du ont résultnt n ds forcs d contct) Ans, sns nfortons suppléntrs l problè posé n sr ps solubl Sul l ntroducton d équtons ddtonnlls (co clls fourns pr ls los du frottnt sold) prttront d résoudr l systè d N nconnus pr l connssnc d N équtons lnt cs nconnus xt rqus portnts ésultnt dynqu dp d [ ( G) ] γ ( G) s G st l cntr d ss du systè ont dynqu résultnt : ( ) σ d où st un pont du référntl S st fx dns : dσ d ( + ) ( ) d où st l orgn du référntl dσ d d ( ) d + ( ) d ( ) + d d Dynqu ds systès térls

46 d σ d( ) d K pusqu l pont st fx K st pr défnton l ont résultnt dynqu du systè dns Ans l prncp fondntl d l dynqu xt s écrt églnt : K S l pont st obl dns l référntl : dσ dσ + ( ( ) ( ) d ( ) d + ( ) ( G) d ( ) L prncp fondntl d l dynqu s écrt : dp Fxt dσ + d ( ) ( G) d xt 3 Cs prtculrs : d σ G : G xt G st toujours vr S à un trjctor prllèl à cll du cntr d ss ( ) ( G) 0 st églnt vérfé donc d σ xt 4 Dns l référntl du cntr d ss : D près l r théorè d Kong : σ G P + σ d B σ dσ G dg dp P + G + B G xt s dg P 0 s st obl ou un trjctor prllèl à cll d G Ans d B σ dσ G + G Fxt xt, Dynqu ds systès térls

47 dσ G xt Donc B + Fxt G sot d σ G B xt G, qu l référntl brycntrqu sot gllén ou non (pusqu l ont ds forcs d nrt u cntr d ss st nul!) 5 Pour un systè solé Dns l cs d un systè solé, l prncp fondntl s écrt dp 0 dσ 0 donc l résultnt cnétqu t l ont cnétqu du systè s consrvnt : P ct σ ct 6 Prncp d l sttqu S l sold S st n équlbr, pr défnton, l vctur vtss d tout pont d S st nul à tout nstnt L rlton du chp ds vtsss dns un sold prt donc d conclur qu dns c cs : ( G) 0 t Ω S / 0 donc l résultnt cnétqu t l ont cnétqu n n port qul pont d sont églnt nuls En prtculr, pour un sold S sous à ds forcs d lson (sold n contct ponctul), l prncp fondntl d l dynqu prt d écrr : Fxt + Flson 0 lson s st l pont d contct xt + 0 Flson T + N vc n décoposnt ls élénts d réducton ds ctons d contct n lson // + lurs coposnts prllèls t norls u pln tngnt n u sold S Tnt qu l équlbr prsst, ls forcs t onts ds ctons d contct s justnt pour ntnr ls dux sos c-dssus égls à zéro pplons qu ct justnt n lu qu dns l sur où ls condtons posés pr ls los d Coulob du frottnt sold sont stsfts : ) ntn du contct : N > 0, ) non glssnt : T < f N, S ) non pvotnt : < λ N S, // v) non roulnt : < µ N S Dynqu ds systès térls

48 Dynqu ds systès térls THEEE DES ACTNS ECPUES Sot S un systè consttué d dux sous-systè S t S n ntrctons t un pont (fx) du référntl d étud Sot F ( F ) l résultnt ds forcs xrcés pr S sur S (S sur S ), ( ) l ont résultnt n ds forcs xrcés pr S sur S (S sur S ), F ( F ) l résultnt ds utrs forcs xrcés sur S (S ), ( ) ( ( ) ) l ont résultnt n L prncp fondntl d l dynqu pplqué succssvnt à S, S pus S s écrt (vc ds nottons évdnts) : ( ) ( ) d F F F F dp σ () ( ) ( ) + + d F F dp σ () ( ) ( ) d F F F F dp σ (3) D plus : P P P + ( ) ( ) σ σ σ + Pr soustrcton brs à brs () - () - (3), l vnt : F F qu trdut l ft qu ls ctons xrcés pr S sur S sont opposés ux ctons xrcés pr S sur S Applcton : s S st un systè qulconqu, l nsbl ds forcs ntérurs st crctérsé pr : 0 nt F t 0 nt

49 THEEE DE L ENEGE CNETUE Trvl d un forc ppls Sot un pont térl sous à l forc F t s déplçnt d A vrs A ntr t t t+ : L trvl éléntr d l forc F pour un déplcnt éléntr AA dl st F défn pr : θ AA A W F AA vc ( ) A W F ( ) W F AA cosθ s W > 0 l trvl éléntr st otur, W < 0 l trvl éléntr st résstnt, W 0 donc F AA : l forc n trvll ps L trvl étnt un énrg s xpr n joul L long d l trjctor Γ, l trvl d l forc F st donc : W F dl F Γ Dns l cs où l forc F n dépnd ps d l poston du pont, st ndépndnt d l vtss d t st ndépndnt du tps ( s ut dns un chp d forcs nvrbls) : Γ Γ Γ ( ) W F dl F dl L trvl n dépnd ps d l lo du ouvnt s unqunt du chn suv, S l forc dépnd d l poston du pont t évntullnt du tps, F F(, t) F( x, y, z, t) l forc dérv d un potntl s l xst un foncton sclr U ( x, y, z, t) tll qu : F grd ( U ) sot U U x F y U z U U x, y, z l énrg potntll U st l énrg potntll dont dérv l forc F à l nstnt t S ( ) st ndépndnt du tps Ls surfcs équpotntlls sont défns pr ls surfcs sur lsqulls U ct Pr défnton d F, l forc st prpndculr u surfcs équpotntlls t drgé vrs ls potntls décrossnts Dynqu ds systès térls