UE 41c : Mécanique du Solide

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1 UE 4c : écnqu du Sold DEUG Scncs d l tèr è nné Nots d cours Exrccs Sujts d xn PFrty Lbortor d Crstllogrph t odélston ds térux nérux t Bologqus UPESA CNS N Unvrsté Hnr Poncré, Nncy Fculté ds Scncs, BP ndouvr-lès-nncy, Frnc Tél : Fx : (33) (0) courrl : pfrty@lc3buhp-nncyfr

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3 SAE APPELS D ANALYSE ECTELLE 3 GENEALTES 3 APPELS DE CALCUL ECTEL 3 ELEENTS DE EDUCTN D UN SYSTEE DE ECTEUS 5 CNEATUE 7 EFEENTEL 7 APPELS 8 CNEATUE DU SLDE CPSTN DES UEENTS (CHANGEENT DE EFEENTEL) 6 UEENT DE DEUX SLDES EN CNTACT 0 CNETUE 3 CENTE DE ASSE 4 UANTTE DE UEENT ENT CNETUE 7 EFEENTEL BAYCENTUE 9 r THEEE DE KENG 9 ENT CNETUE D UN SLDE EN TATN AUTU D UN PNT FXE 30 ENEGE CNETUE 3 ATCE D NETE 33 DYNAUE 4 FCES 4 PNCPE FNDAENTAL DE LA DYNAUE DES SYSTEES 4 THEEE DES ACTNS ECPUES 46 THEEE DE L ENEGE CNETUE 47 FCES DE FTTEENT 53 GENEALTES 53 LS DU FTTEENT SLDE 54 TAAL DES FCES DE FTTEENT 58 ANNEXES 6 ANNEXE A 6 ANNEXE B 63 ANNEXE C 65 EXECCES 67 ANNALES 75 éférncs bblogrphqus Sor

4 - - Sor

5 APPELS D ANALYSE ECTELLE GENEALTES L écnqu pour objt l étud ds ouvnts t ds défortons qu subssnt ls corps sous l nflunc d dvrss cuss qu puvnt gr sur ux Cs dvrss cuss sont rprésntés, du pont d vu d lurs ctons écnqus, pr ds grndurs qu sont touts d ê ntur : ls forcs Du pont d vu thétqus, cs nfluncs sont rprésntés pr ds grndurs vctorlls Ans, à un forc donné st ssocé un vctur, crctérsé pr un drcton, un sns, un ntnsté t un pont d pplcton Du pont d vu du forls thétqu, l étud du ouvnt d un systè sous à un nsbl d forcs plqu donc, dns un prr tps, l crctérston d ct nsbl d forcs pr ss élénts d réducton C sont cs élénts d réducton qu ntrvnnnt dns l prncp fondntl d l dynqu, prttnt d coprndr l orgn d un chngnt dns l ouvnt du systè C chptr pour objctf d rpplr ls concpts d bs d l nlys vctorll APPELS DE CALCUL ECTEL L poston d un pont térl dns un spc rpporté à un rpèr (, j, k ), st détrné pr l vctur poston Très souvnt l rpèr st orthonoré L projcton du vctur sur ls xs du rpèrs défnt ls 3 prètrs nécssrs à l crctérston d l poston du pont Dfférnts rpèrs d étud sont possbls, n foncton d l «syétr» du problè étudé pplons ls prncpls coordonnés rncontrés : ) ls coordonnés crtésnns : x, y t z, ) ls coordonnés cylndrqus : r, θ t z, ) ls coordonnés sphérqus : r, θ t φ Produt sclr v L produt sclr v u rprésnt l projcton d v sur u θ : l produt sclr st un nobr rél postf ou négtf (un sclr) u v u v u cosθ,, 3 st un bs orthonoré : v v + v + v3 3 u u + u + u s ( ) Produt vctorl v u v u L produt vctorl w u v st un vctur tl qu : w v ( u, v, w) for un trèdr drct (règl d l n drot, du tr bouchon) θ w u v snθ rprésnt l r du prllélogr construt sur u t v u ppls d nlys vctorll

6 - 4 - ppls d nlys vctorll Proprétés : ntsyétr : u v v u, 0 v u w s 0 u ou 0 v ou v u //, rqu : l vctur v u w st un vctur xl : son sns st lé à l convnton d orntton d l spc (à l dfférnc d un vctur dt polr dont l sns st ndépndnt d l convnton d orntton d l spc) Dns l bs orthonoré ( ) 3,, : 3 3 v v v v u u u u v u v u u v v u v u v u v u 3 Doubl produt vctorl ( ) ( ) ( ) v u w w u v w v u S v u st un vctur untr ( ) ( ) w w w donc ( ) ( ) w w w +, c qu donn un oyn spl d trouvr l coposnt d w dns un pln prpndculr à : ( ) w 4 ont n un pont Sot l résultnt F ds forcs gssnt sur un corps, pplqué u pont A Sot G l cntr d ss du corps Ls ffts d l forc sont d typs : S l support d l forc pss pr l pont G, l corps subr un trnslton sous l fft d ctt forc : l ouvnt du corps st nlogu à clu d un pont térl subssnt l forc F S l support d F n pss ps pr l pont G, l corps orc un ouvnt d rotton utour d G L rotton sr d utnt plus «ffcc» qu F st grnd t / ou qu l brs d lvr ( l dstnc du support d l forc u pont G) st grnd Pr défnton, on ppll ont d F u pont G, l vctur ( ) F GA F G En un utr pont : ( ) ( ) F G F F A F G + G F A G F A G F A G F A w ( ) w ( ) w w ( ) w ( ) w

7 rqu : ont pr rpport à un x Pr défnton, on ppll ont d F pr rpport à un x, l projcton sur l x du ont d F n un pont d l x S st un vctur drctur d l x : ( F) ( F) C ont st ndépndnt du chox d sur l x ELEENTS DE EDUCTN D UN SYSTEE DE ECTEUS Sot un nsbl d vcturs f pplqués ux ponts A ( vrnt d à n) Ct nsbl d vcturs st crctérsé pr ss élénts d réducton : n ) l vctur so ou résultnt : F f n ) l vctur ont n un pont ou ont résultnt : A f Elénts d réducton d un systè d forcs concournts A 3 C f 3 A f A f Sot un nsbl d vcturs forcs f pplqués ux ponts A ( vrnt d à n), tls qu ls support ds f sont concournts n C F n f n n C + C f C f C F pusqu 0 C Un systè d vcturs dont ls support sont concournts st donc équvlnt à un vctur unqu F Elénts d réducton d un systè d forcs pplqués à un sold A 3 f 3 f A f A Sot un nsbl d vcturs forcs f pplqués ux ponts A ( vrnt d à n), d un corps sold S : n F l n st donc ps toujours possbl d rédur un systè d vctur à un vctur unqu Dns l cs c-dssus, l n st n fft ps possbl d chosr tl qu C F cr n st ps prpndculr à F n A f f ppls d nlys vctorll

8 Cpndnt, l st toujours possbl d rédur un nsbl d vcturs à un vctur résultnt t un ont résultnt n un pont : f 3 A 3 (F) f A f A F 3 Elénts d réducton d un systè d forcs prllèls j F n (x ) f 4 A f 3 A f A 3 A 4 (x ) (x 3 ) (x 4 ) f f n n n A f x f j x f Sot un nsbl d vcturs forcs f pplqués ux ponts A d bscsss x ( vrnt d à n), dont ls support sont prllèls k vc k j Exst-t-l un pont C où srt pplqué l résultnt F t tl qu C F? Pusqu F t sont prpndculrs, l pont C xst t L pont C défnt l cntr d forcs prllèls x f x C f Applcton : dns l cs où cntr d grvté f g (forc d grvtton) l cntr d forc n st utr qu l 4 Coupl / Glssur Lorsqu ls élénts d réducton d un systè d vcturs f sont tls qu l résultnt st null ( F 0 ), quls qu sont ls ponts P t : P L systè d vcturs st équvlnt à vcturs u t v tls qu : u v Cs dux vcturs fornt un coupl Lorsqu ls élénts d réducton d un systè d vcturs f sont tls qu l ont résultnt n un pont st nul ( 0 ), qul qu sot l pont P : P P F L systè d vcturs st équvlnt à un sul vctur u, dont l ont n P st ndépndnt du pont d pplcton d F prs sur l support d F (l pont d pplcton d F put glssr sur son support) C vctur défnt un glssur rqu : un systè d vcturs qulconqus put toujours s rédur à un glssur t un coupl (donc à 3 vcturs dont fornt un coupl) ppls d nlys vctorll

9 CNEATUE EFEENTEL Un objt st n ouvnt pr rpport à un utr s s poston, suré pr rpport u scond objt, chng n foncton du tps Tout ouvnt n st donc défn qu pr rpport à un systè d référnc donné : un rpèr d spc t un rpèr d tps lés à un obsrvtur donné Un référntl st donc pr défnton, un systè d xs lés à un obsrvtur un d un horlog défnssnt un tps t L rpèr d spc st crctérsé pr un orgn t un bs d 3 vcturs ( j, k ) supposr orthonorés, qu l on put Du pont d vu d l cnétqu, tous ls référntls sont équvlnts pour l dscrpton ds ouvnts l n st donc ps nécssr d prvlégr un référntl prtculr l fut nénons précsr l référntl d l obsrvtur cr dux obsrvturs plcés dns dux référntls n ouvnt rltf décrront d fçon dfférnt l ouvnt d un ê systè Autrnt dt, ls trjctors d un ê systè puvnt êtr dfférnts pour dux obsrvturs lés à ds référntls n ouvnt rltf Cpndnt, l chox du référntl n st ps nodn pour l xplcton du ouvnt Ls référntls glléns (ou d nrt), dont l prèr lo d Nwton postul l xstnc, jount un rôl prvlégés pusqu l duxè lo d Nwton st toujours pplcbl sns précutons prtculèrs : dp F γ ( ), s F st l résultnt ds forcs pplqués u systè ponctul d ss dns l référntl d nrt Pour un référntl non gllén (n ouvnt non rctlgn unfor), l duxè lo d Nwton st ncor vlbl s, à l résultnt F, sont joutés ls forcs d nrt (d ntrînnt t d Corols) : dp F γ nt γ Corols L ouvnt st donc toujours rltf pusqu s dscrpton st lé à un systè d référnc prtculr chos pr l obsrvtur n put lors s dndr cont puvnt êtr rlés ntr lls ds obsrvtons fts pr ds obsrvturs dfférnts S l xpérnc quotdnn nous nsgn qu un objt n put vor l ê vtss pr rpport à dux obsrvturs n ouvnt rltf, ctt consttton n s pplqu ps à l vtss d l luèr qu st l ê dns n port qul référntl C prdox fut résolu n 905 pr Enstn qu xpos son prncp d rltvté : «touts ls los d l ntur dovnt êtr ls ês pour tout obsrvtur n ouvnt rltf unfor d trnslton» Ctt ffrton plqu qu l tps lu ê n st plus un grndur bsolu (ndépndnt du référntl chos) s dépnd églnt du systè d référnc d l obsrvtur En fft, s l vtss d l luèr st ndépndnt du référntl, l vtss étnt défn pr l rpport d l dstnc prcouru u tps s pour prcourr ctt dstnc, l Etud ds ouvnts ds corps ndépndnt ds cuss qu ls produsnt Cnétqu

10 grndur «tps» dot êtr odfé s l quotnt ds dux rst nvrnt Ans, l ntrvll d tps ntr dux événnts n st ps l ê pour dux obsrvturs n ouvnt rltf (concpt d sultnété) Nénons, lorsqu ls dux obsrvturs sont n ouvnt rltf vc un vtss rltv fbl dvnt cll d l luèr, l hypothès d l nvrnc du tps (ndépndnt du référntl) st un très bonn pproxton Dns l sut d c cours, nous frons l hypothès du tps bsolu (l xst un tps bsolu t dont l défnton st ndépndnt du référntl d l obsrvtur) désgnr l référntl lé à l obsrvtur, supposé gllén t rpporté à un rpèr d spc,, j, k ) orthonoré ( ) APPELS tss, Accélérton d un pont térl k j L pont st rpéré dns pr l vctur S à l nstnt t l pont st n n A t à t t + t st n A, pr défnton, l vtss du pont dns l référntl st (ttnton à l notton): AA l t 0 t ( ) d L vtss st ndépndnt du chox du pont fx t tngnt à l trjctor D ê, l ccélérton du pont dns l référntl st défn pr : Avc d ( ) ( ) γ x + y j + z k dx dy dz d x d y d z ( ) + j + k γ ( ) + j + k L vtss t l ccélérton sont donc défns pr rpport à un systè d xs lés à un obsrvtur Nénons, un fos cs dux grndurs vctorlls défns, rn n pêch d xprr lurs coposnts dns d utrs rpèrs d spc Expl : coordonnés cylndrqus (rppl) θ k r u r u θ j r u + z k γ r dr dθ dz r θ d r dθ dr dθ d θ d z r ur r u θ ( ) u + r u + k ( ) k Cnétqu

11 ouvnt rltf d dux référntls Sot un duxè référntl un d un systè d xs orthonorés (, j, k ) ouvnt dns,, n ouvnt d trnslton st n trnslton dns s l trjctor d st qulconqu s ls vcturs d l bs obl grdnt un drcton fx dns u cours du tps : d dj dk 0 Expls : k k k k j S l trjctor d st un drot, st n trnslton rctlgn dns j j S l trjctor d st un crcl, st n trnslton crculr dns j Tous ls ponts du référntl obl (qu sont fxs dns ) ont, dns, ds trjctors dntqus : touts cs trjctors sont suprposbls à un trjctor unqu, pr xpl, cll d S d plus l ccélérton d dns st constnt, l rpèr obl st n trnslton unfor dns l référntl ouvnt d rotton Lorsqu l rpèr obl tourn utour d un x d, l vtss dns d n port qul pont fx A d st crctérsé pr l connssnc du vctur rotton nstntné Ω d dns t pr l poston d A : ( A ) Ω A Sns nur à l générlté d l déonstrton, ls orgns ds dux référntls sont supposés confondus ( ) : st donc n rotton dns utour d Afn d splfr l déonstrton, consdérons l cs prtculr où st n rotton dns utour d l x k k ( ) k Cnétqu

12 θ k ω j j A x ( A ) dns A x A + y A d j + z + y A A k dj + z A dk pusqu A st fx cos θ + snθ j sn θ + cosθ j j d dj Ans ( ) dθ dθ dθ dθ sn θ + cosθ j snθ + cosθ j j, dθ dθ dθ dθ cos θ + snθ j ( cosθ snθ j) dθ Donc ( A ) [ x j y ] Cpndnt : A A j k t k j, dθ A xa k + y Ak j dθ k l xprsson d l vtss d A dns s xpr splnt pr : d où ( ) [ ] En posnt Ω Ω dθ ( A ) k [ x + y j + z k ] A A ( A ) Ω A pusqu k k 0, sot crctérs donc bn l rotton du rpèr obl dns l référntl Pr défnton st l vctur rotton nstntné d dns (ttnton à l notton) Ω L xpl c-dssus s élrgt u cs générl où l orntton d l x st qulconqu L déonstrton d l xstnc du vctur Ω st rporté dns l nnx A 3 ouvnt hélcoïdl Un ouvnt hélcoïdl d x st l cobnson d un ouvnt d trnslton rctlgn prllèlnt à l x t d un ouvnt d rotton utour d (x ouvnt d un chrg dns un chp gnétqu) rqu : l ouvnt l plus qulconqu d dns put toujours s décoposr, à l nstnt t, co l coposton d un ouvnt d trnslton t d un ouvnt d rotton utour d l drcton d trnslton (cf chp ds vtss dns un sold) Cnétqu

13 4 Dérvton dns un rpèr obl S u ( t) st un grndur physqu vctorll dépndnt du tps (x l vtss d un pont ), d u ( t) du( t) du( t) qull st l rlton ntr dns t dns noté rspctvnt t? Sot u( t) u + u j + u k x y z du ( t) du x + u x d du + y j + u y dj du + z k S Ω désgn l vctur rotton d dns, d d j Ω Ω j / / d k Ω / k (cf Annx A) du ( t) du x sot du + y du ( t) j du + du x z k + u + Ω x Ω / u ( t) / + u y Ω / j CNEATUE DU SLDE Défnton du sold Dns c cours, nous nous ntérssrons unqunt u sold ndéforbl Un sold sr donc un corps ssz dur pour qu ls défortons qu l pourrt subr sont prcptbls ; l for du corps n dépndr donc ps ds ctons xrcés sur lu 4 3 S,, 3 t 4 sont qutr ponts qulconqu du sold, l défnton du sold ndéforbl s trdut thétqunt pr l un ds dux rltons suvnts : st ndépndnt du tps, ct 3 4 Dgrés d lbrté d un sold Afn d décrr l ouvnt d un sold dns un référntl donné, l convnt d pouvor précsr s poston t son orntton dns l spc u oyn d prètrs physqus pproprés Cs prètrs ont pplés dgrés d lbrté du sold - - Cnétqu

14 Sot (,, j, k ) s s s s s un rpèr lé u sold Précsr l poston t l orntton du sold dns rvnt à précsr l poston t l orntton du référntl s lé u sold L poston st donné pr ls coordonnés d s dns : x s, y s t z s (n prtqu, s st souvnt confondu vc l cntr d grvté du sold) L orntton du sold sr qunt à ll donné pr l orntton d l bs ( s j s, k s ) (, j, k ) s s s, dns k s k s j Pour splfr, ls orgns t s ds dux référntls sont supposés confondus (c qu n nlèv rn à l générlté du pssg d l orntton d un bs à un utr) 3 prètrs ngulrs sont nécssrs : ls ngls d Eulr, ssocés à 3 rottons succssvs qu prttnt d suprposr l bs ( s, j s, k s ) sur l bs (, j, k ) Cs tros rottons sont détllés sur ls fgurs c-dssous j s k s k k s k k θ ϕ j s j s u ϕ rotton propr, fn d nr l vctur s, pln ( j) dns l w L drcton d u défnt l lgn ds nœuds : ntrscton d un pln prpndculr à k s vc l pln, j horzontl ( ) u fn d nr θ nutton w v k s n coïncdnc vc k D plus v st dns l pln, j horzontl ( ) ψ u ψ précsson v fn d nr u n coïncdnc vc t v vc j j Ans, dns l cs générl, l nobr d prètrs ndépndnts nécssrs pour précsr l poston t l orntton du sold dns l référntl st égl à 6 : 3 prètrs d poston t 3 prètrs d orntton - - Cnétqu

15 Un utr pproch possbl prttnt d dénobrr l nobr d prètrs nécssr à l défnton d l poston t d l orntton d un sold st l suvnt : - l poston d un pont qulconqu du sold ( s ) st détrné pr ss coordonnés dns (3 prètrs), - sot A un scond pont du sold : lorsqu l pont s st fxé dns, A put ncor s ouvor utour d s : l décrt lors l surfc d un sphèr d ryon A s fut donc dux prètrs suppléntrs pour détrnr l poston d A sur ctt surfc l - lorsqu ls postons d s t A sont fxés, l sold put ncor tournr utour d l x jognnt cs dux ponts l sufft donc d un drnr prètr pour crctérsr l ngl d ctt rotton Fnlnt l nobr d prètrs nécssrs pour précsr l poston t l orntton du sold dns st ncor d rqu : S l ouvnt du sold st rstrnt pr un lson, l nobr d dgrés d lbrté st lors nférur à 6 Pr xpl, un sold n rotton utour d un x fx n possèd qu un sul dgré d lbrté (l ngl d rotton utour d ct x) 3 Dstrbuton ds vtsss dns un sold Pusqu ls ponts d un sold sont à ds dstncs fxs ls uns pr rpport ux utrs, l connssnc d l vtss, dns un référntl donné, d l un d ntr ux, dot prttr d détrnr l vtss d n port qul utr pont du sold Sot (,, j, k ) s s s s s un référntl lé à un sold S n ouvnt dns l référntl gllén Sot A t B dux ponts qulconqu du sold D utr prt où d AB db d AB da d AB s + Ω s / ( B) ( A) AB Ω s / st l vctur rotton nstntné du sold S dns l référntl Ans, l rlton chrché ntr l vtss d dux ponts qulconqus d un ê sold s écrt : ( B) ( A) + Ω AB s / qu consttu l rlton d dstrbuton du chp ds vtsss dns un sold L connssnc du vctur Ω st donc ssntll à l crctérston du chp ds vtsss dns un sold s / Cnétqu

16 rqu : u sns strct du tr, prlr d «vtss du sold» n ps d sns pusqu chqu pont du sold un vtss qu lu st propr Pr bus d lngg, on désgnr cpndnt pr «vtss du sold», l vtss d son cntr d ss rqu : L rlton du chp ds vtsss dns un sold prt églnt d décoposr l ouvnt à l nstnt t du sold n un coposnt trnsltor (l long d l drcton d Ω Ω s/ ) t d un coposnt rottor (utour d l drcton d s / Ω s / ) L déonstrton st donné dns l nnx B Ans, tous ls ponts du sold stués à l nstnt t sur l x d rotton nstntné sont n trnslton dns l référntl d étud 4 ouvnts plns d un sold 4 Défnton Pr défnton, l ouvnt d un sold st dt ouvnt pln s tous ls ponts qu l consttunt ont ds trjctors plns t contnus dns ds plns prllèls L étud d un tl ouvnt put donc s rstrndr à l étud d un «trnch» d sold contnu dns l pln du ouvnt L scton chos st générlnt cll qu pss pr l cntr d ss rqu : l chox du référntl fx d étud st édt (dux vcturs d bs défnssnt l pln du ouvnt, pr xpl t j ) Ans, dns un tl référntl, l vctur rotton nstntné n put êtr qu prpndculr u pln du ouvnt, donc porté pr l x k L tblu d l pg suvnt présnt qulqus xpls d ouvnts-plns 4 Cntr nstntné d otton (C) Copt tnu d l rrqu du prgrph précédnt concrnnt l drcton du vctur nstntné d rotton, pr défnton, l Cntr nstntné d otton (donc à un nstnt t donné) st l unqu pont d l scton π du sold rtnu pour l étud d son ouvnt, tll qu ( ) 0 A un nstnt t plus trd, l C corrspond à un utr pont S st un pont qulconqu d l scton π : ( ) ( ) + Ω Ω s / s / L pont (t pr xtnson, l sold) st bn n rotton utour d Cnétqu

17 - 5 - Cnétqu

18 Ctt drnèr rlton donn un constructon géoétrqu pour détrnr l poston du C ( ) Ωs / : l C st à l ntrscton ds prpndculrs ux vcturs vtsss du sold, co llustré sur l fgur c-dssous ( ) ( ) ( 3 ) 3 C Expl : échll contr un ur : vrton d l poston du C u cours du ouvnt A A à t C(t) A C(t ) A α B à l nstnt t bs B α B B à l nstnt t t+ t A A roulnt α α B B L «bs» défnt l trjctor du C dns l référntl fx L «roulnt» défn l trjctor du C dns un référntl lé u systè (l échll dns l xpl c-dssus) A chqu nstnt, cs dux courbs sont tngnts n un pont CPSTN DES UEENTS (Chngnt d référntl) Sot un sold S 3 (référntl lé 3 ) n ouvnt pr rpport à un sold S (référntl lé ) lu ê n ouvnt pr rpport à un sold S (référntl lé ) L ouvnt d S 3 pr rpport à S st l coposé ds dux ouvnts précédnts C prgrph pour objctf d rpplr ls xprssons lnt ls grndurs cnétqus xprés dns ds référntls dfférnts Cnétqu

19 Pont coïncdnt Sot un pont térl obl dns l référntl t dns un référntl obl L trjctor d dns st l nsbl ds postons occupés pr l pont dns l référntl obl Ans, à chqu nstnt, l pont térl st n coïncdnc vc un pont fx d Coposton ds vtsss Sot un duxè référntl un d un systè d xs orthonorés (, j, k ),, n ouvnt dns Sot un pont térl n ouvnt dns chcun ds dux référntls + ( ) d d d + En utlsnt l forul d dérvton dns ds rpèrs obls : Dns l xprsson pont coïncdnt d Ω / d, Ω / d Ans : ( ) ( ) + ( ) + Ω / + Ω / st l vctur rotton nstntné d dns t l sot ( ) ( ) + ( ) où ( ) ( ) + Ω / rqu : l vtss d ntrînnt du pont st l vtss dns, à l nstnt t, du pont coïncdnt d (utrnt dt, d un pont fx d vc lqul coïncd à l nstnt t) put êtr églnt consdéré co un référntl lé à un sold n ouvnt dns Ans, l xprsson d l vtss d ntrînnt du pont résult drctnt d l pplcton d l forul du chp ds vtsss dns un sold, qu donn l xprsson d l vtss d un pont du sold (cll du pont coïncdnt vc, à l nstnt t) n foncton d cll d un utr pont ( ) L forul d coposton ds vtsss st donc : bsolu ( ) ( ) + ( ) rltv ntrnnt s bsolu ( ) désgn l vtss du pont dns l référntl fx, rltv ( ) référntl obl t ( ) ( ) ntrnnt s vtss dns l Cnétqu

20 3 Coposton ds ccélértons L xprsson d l coposton ds ccélértons s dédut édtnt n pplqunt l forul d dérvton dns ds rpèrs n ouvnt rltf à l lo d coposton ds vtsss Ans : γ bsolu ( ) γ ( ) + γ ( ) + γ ( ) rltv Corols d vc : ( ) ( ) γ γ ( ) γ γ bsolu Corols ntrnnt ( ) Ω ( ) / rltv d ntrnnt ( ) dω / ( ) γ ( ) + + Ω ( Ω ) / / rqu : chp ds ccélértons dns un sold En consdérnt un sold lé u référntl, vc A t B dux ponts qulconqus du sold (donc obls dns ) t n pplqunt l lo d coposton ds ccélértons, l vnt, d ( ) vc 0 B t Ω / l vtss ngulr du sold dns : γ dω / ( B) γ ( A) + AB + Ω ( Ω AB) / / qu donn l rlton ntr ls ccélértons d dux ponts qulconqus du sold 4 Coposton ds vcturs rottons nstntnés Sot A t B dux ponts qulconqus d un sold S (référntl lé s ) n ouvnt dns t ( A) ( A) + ( A) où ( A) ( ) + Ω A D plus ( B) ( A) + Ω AB s / / où D ê ( B) ( A) + Ω AB dns s /, vc ds xprssons dntqus pour B Ω s / désgn l vctur rotton nstntné d S dns où Ω désgn l vctur rotton nstntné d S s / Ans, pr soustrcton br à br ds dux égltés c-dssus : ( B) ( A) + ( Ω Ω ) AB s / s / donc ( B) ( A) Ω ( B A) Ω AB ( Ω Ω ) AB / / s / s / Cnétqu

21 qulqus sont ls ponts A t B d où : Ω s / Ωs / + Ω/, sot : Ω bsolu Ω rltf + Ω ntrnnt vc Ω Ω bsolu s /, Ωrltf Ωs / t Ω Ω ntrn nt / Ctt xprsson prt ns d décoposr l vtss ngulr d un sold n un so d vcturs rottons nstntnés utour d xs connus Expl : xprsson du vctur rotton n foncton ds ngls d Eulr : En rprnnt ls nottons du prgrph : k s k k s k k θ j s ϕ w w v j ψ s u u u d ϕ dθ dψ ( s js ks) ( u w ks) k,, /, s Ω ( ) ( ) u Ω u, w, ks / u, v, k ( ) ( ) k u, v, k /, j, k Ω, v j Attnton u sgn ds vtsss ngulrs, qu corrspond c à un orntton ds ngls dns l sns trgonoétrqu Ans : Ω ( ) ( ) Ω( ) ( ) + Ω( ) ( ) + Ω s, js, ks /, j, k s, js, ks / u, w, ks u, w, ks / u, v, k ( u, v, k )/ (, j, k ) donc dϕ dθ dψ ( ) ( ) ks + u + k s js, ks /, j k Ω,, Afn d xprr ls coposnts d Ω ( s, js, ks) /(, j, k ) dns un référntl prtculr, l sufft d détrnr ls coposnts ds vcturs untrs dns l référntl souhté Cnétqu

22 n pourr ns vérfr ls xprssons suvnts : dns l bs (, j, k ), : Ω s / ϕ snθ snψ + θ cosψ ϕ snθ cosψ + θ snψ ϕ cosθ + ψ dns l bs (, j, k ), : s s s Ω ψ snθ snϕ + θ cosϕ ψ snθ cosϕ θ snϕ ψ cosθ + ϕ s / s UEENT DE DEUX SLDES EN CNTACT Sot un sold S (référntl lé ) n ouvnt pr rpport à un sold S (référntl lé ) tl qu S t S sont n contct à tout nstnt L contct ntr ls dux solds st supposé ponctul n un pont L ouvnt d S t S st étudé dns l référntl supposé gllén S S à t à t En coïncd à l nstnt t, un pont pprtnnt à S t un pont pprtnnt à S A l nstnt t plus trd, l nouvu pont géoétrqu d contct st vc lqul coïncd un nouvu pont d S t un nouvu pont d S L nsbl ds ponts d S (S ) qu vont ntrr n Γ contct vc S (S ) u cours du ouvnt décrvnt un courb Γ (Γ ) nscrt sur S (S ) π tss d glssnt Pr défnton, l vtss d glssnt d S pr rpport à S st : v g ( S / S ) ( ) Autrnt dt, l vtss d glssnt d S pr rpport à S st défnt pr l vtss, dns un référntl lé à S, du pont d S n coïncdnc vc l pont d contct ntr S t S à l nstnt t En brégé, on pourr églnt notr v S / S S D près l lo d coposton ds vtsss, g ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) S Γ S pusqu st un pont fx du référntl lé à S t qu à l nstnt t : Cnétqu

23 Ans v g ( S S ) ( ) ( ) ( S ) ( ) / S Sot π l pln tngnt n ux dux solds à l nstnt t Pusqu ls dux solds rstnt n contct prnnt (ps d ntrpénétrton n d écrtnt d S pr rpport à S ), ( ) t ( ) pprtnnnt nécssrnt u pln tngnt L vtss d glssnt st donc contnu dns l pln tngnt ux dux solds à l nstnt t oulnt, pvotnt Sot un pont d S A l nstnt t : pusqu ( ) ( ) + ΩS / ( ) + ΩS / ( ) ( ) + ΩS / vg ( S S) + ΩS / / π Ω S /S Ω S Ω v g S l vctur rotton nstntné d S pr rpport à S st décoposé n un coposnt norl Ω t un coposnt prllèl Ω // u pln tngnt n u dux solds, ( ) vg ( S / S) + Ω // + Ω S L sgnfcton physqu ds dux drnrs trs st édt : Ω défnt l vtss d roulnt d dns, // Ω défnt l vtss d pvotnt d dns n put récptulr ls dfférnts typs d ouvnt d dux solds n contct (ponctul) prnnt : Ω// 0 Ω// 0 Ω// 0 Ω// 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 Ω 0 v g ( S / S) 0 dhérnc roulnt pvotnt roulnt vc pvotnt v g ( S / S) 0 glssnt roulnt vc roulnt vc roulnt t glssnt pvotnt pvotnt vc glssnt - - Cnétqu

24 3 Condton d non glssnt D près l tblu précédnt, l sold S s déplc sns glssr sur l sold S s à tout nstnt v g ( S S ) 0 donc ( S ) ( ) / Expl d pplcton : s n rotton d un pltu S Sot l dspostf llustré sur l fgur c-dssous L dsqu D, d cntr C, d ryon r roul sns glssr sur l pltu crculr P d ryon L pltu P tourn utour d son x vrtcl à l vtss ngulr Ω Sot ω l vtss ngulr d rotton du dsqu utour d son x C drnr st prllèl u pln du pltu Sot ω 0 l vtss ngulr d rotton d l x du dsqu utour d l x vrtcl ull rlton xst-t-l ntr cs dvrss vtsss ngulrs? P (,, j, k ) défnt l référntl fx d étud supposé gllén Sot l pont d contct ntr l dsqu t l pltu Sot ( u, u, k ), r θ l référntl lé à l x du dsqu tl qu ur st n rotton dns utour d l x vrtcl à l vtss ngulr ω 0 Sot rspctvnt D t P ls ponts du dsqu t du pltu n coïncdnc vc à l nstnt t Pusqu l roulnt du dsqu sur l pltu s ft sns glssnt : D / P D utr prt : D C t D où : k θ ( ) ( C) + ΩD / C D ( ) ω C 0 v g ( ) 0 sot ( ) ( ) dθ vc Ω ( P ) Ω P / P uθ Ωuθ ω 0 u r j Ω D ω D D / Ω D / + Ω / ω u r + ω0 ( D ) ω0 C + ( ω ur + ω0 k ) C D ω0 u θ ω ur ( r) k ( ω0 rω) u θ ( D ) ( ω0 rω) uθ ( P ) Ωuθ Fnlnt ω ( ω0 Ω) r qu consttu l rlton chrché : plus l dsqu un ryon ptt, plus s vtss d rotton sr grnd S l x d rotton du dsqu tourn à l ê vtss ngulr qu l pltu, l dsqu n tourn ps sur lu ê! P k - - Cnétqu

25 CNETUE Afn d coprndr l orgn du ouvnt d un systè, l fut prélblnt s ntérssr à ds grndurs physqus qu crctérsnt l ouvnt du systè dns son nsbl L xpl c-dssous llustr l problétqu lé à l crctérston du ouvnt d un systè qulconqu, n prtculr, clu d un sold ndéforbl k j L référntl d étud st supposé gllén L étud du ouvnt d l objt put êtr condut n dux tps rquons qu ctt décoposton s pplqu pour l ouvnt l plus générl d un systè qulconqu ) l étud du ouvnt du cntr d grvté G (cntr d ss) dns l référntl : ( G ) k G j L systè st lors sslé à un pont térl (son cntr d ss) ffcté d l ss totl du systè Dns l xpl c-dssus, l trjctor d G st cll d un pont térl sous u chp d l psntur : un trjctor prbolqu ) L étud du ouvnt du systè utour d son cntr d ss : k L ouvnt du systè dns l référntl ( G,, j, k ) G B (orgn u cntr d ss) st un ouvnt d rotton utour du pont G Pour l étud du ouvnt du systè sslé à son cntr d ss, donc pour l étud du ouvnt d un pont térl G dns un référntl (gllén), l duxè lo d Nwton postul j Cnétqu

26 l rlton ntr l vrton d l vtss du pont térl G n foncton d l résultnt ds forcs F qu s y pplqunt : d( ) F Ans, ctt lo défnt l ss du pont térl, grndur ntrnsèqu du systè, qu trdut s «fclté» d récton (son nrt) à l pplcton d l forc F L grndur vctorll p ( ) ou quntté d ouvnt, crctérs d nèr plus globl l ouvnt du pont térl pusqu ll tnt églnt copt d l vtss d c dp drnr L duxè lo d Nwton F précs donc l ln ntr un chngnt dns l ouvnt du pont térl (un vrton d s quntté d ouvnt) t l orgn d c chngnt (l forc F ) Pr rpport à l écnqu du pont térl, l prncpl «nouvuté» dns l étud du ouvnt d un systè qulconqu résd donc dns l nlys du ouvnt d rotton utour d son cntr d ss l fut donc églnt crctérsr l nrt du systè dns un ouvnt d rotton : l réprtton d l ss dns l volu déltnt l systè jou c un rôl détrnnt Ctt crctérston d l dstrbuton d l ss dns l systè condut u concpt «d opértur d nrt» ou «trc d nrt» t ft ppl, dns l cs l plus générl à sx prètrs physqus crctérstqus du systè étudé Pr nlog vc l étud du ouvnt du pont térl, un grndur physqu vctorll, l ont cnétqu prttr lors d précsr d nèr plus globl ls proprétés du ouvnt d rotton (n prnnt églnt n copt ls proprétés du chp ds vtsss dns l systè étudé) Ctt grndur cnétqu ntrvnt dns ls rltons d l dynqu pour coprndr l orgn d un chngnt du ouvnt d rotton (co l quntté d ouvnt prt d rontr à l orgn d un chngnt du ouvnt du pont térl) l st donc d prèr portnc d vor un vson globl d l réprtton (dstrbuton) d l ss dns l systè fn d coprndr ss proprétés d nrt Ls grndurs ntrnsèqus crctérsnt l ss d un systè t s réprtton u sn du systè prttnt d xprr splnt ls grndurs cnétqus (co l quntté d ouvnt) du systè étudé qu pprssnt dns ls los d l dynqu (x è lo d Nwton) CENTE DE ASSE ss Dns l cs d un systè consttué d un nsbl d N ponts térls A d ss, l ss totl du systè vut écnqu nwtonnn N, qu trdut splnt l proprété d ddtvté ds sss n Cnétqu

27 rqu : lorsqu l systè s déplc à ds vtsss prochs d cll d l luèr (écnqu rltvst), l ss prd ctt proprété d ddtvté Autrnt dt, l ss totl d un systè rltvst consttué d dux sous systès (rltvsts) n st ps égl à l so ds sss d chcun ds sous systès! Pour un dstrbuton contnu d ss à l ntérur d un volu : k j d ρ( )d st l ss d un élént consttutf du systè, d volu d ρ crctérs l réprtton d l ss dns l stué utour du pont ( ) systè étudé : ρ ( ) défnt l dnsté d ss u pont L ss totl du systè vut : ρ ( ) d S (,, j, k )) st un référntl gllén L pont décrvnt tout l volu st rpéré dns pr l vctur : ( x, y z) ρ, dx dy dz Cntr d ss Ls systès étudés sont rpérés dns l référntl (,, j, k ) Systè dscrt supposé gllén Sot un systè consttué d un nsbl d N ponts térls A d ss L cntr d ss G du systè st défn pr : Systè contnu N A G N A 0 G N L cntr d ss G d un sold crctérsé pr l dstrbuton d ss ρ ( ) st défnt pr : ( ) ρ G d G 0 ρ ( ) ρ d ( ) d Ls coposnts du cntr d ss sont donc : x ρ( x, y, z) dx dy dz G y ρ( x, y, z) dx dy dz z ρ( x, y, z) dx dy dz Cnétqu

28 rqu : l cntr d ss st confondu vc l cntr d grvté s l chp d l psntur put êtr consdéré co constnt dns tout l volu du systè étudé L nnx C précs l détrnton du cntr d grvté dns l cs contrr 3 Proprétés Assoctvté : ctt proprété découl d l défnton du cntr d ss S G k désgn l cntr d ss d un systè térl S k d ss k, l cntr d ss du systè S consttué pr l réunon ds N systès S k st l cntr d ss ds ponts G k ffctés N N ds sss k : k G k Gk (s ls S k n ont ps d élénts couns dux à dux) k k Expl : cntr d ss d un olécul d onc : H N G G H H H L cntr d ss G d l olécul d onc st l cntr d ss d l to d zot t du cntr d ss G H ds tos d hydrogèn Syétr térll : Un systè S possèd un élént d syétr térll (un pont, un drot, un pln) s ls dnstés d ss ρ ( ) t ρ ( ) n un pont g d un pont qulconqu d S pr ct élént d syétr sont égls syétr pr rpport à un pont t ρ ( ) ρ( ) H D syétr pr rpport à un drot D H H t ρ ( ) ρ( ) H π syétr pr rpport à un pln π H H t ρ ( ) ρ( ) Ans, l cntr d ss ds ponts t lés pr l élént d syétr térll s trouv sur l élént d syétr n put donc n conclur l proprété suvnt : s un systè possèd un élént d syétr térll, c drnr contnt l cntr d ss Expl : détrnton d l poston du cntr d ss d un côn pln hoogèn h r(z) z α z j dz Pusqu l côn st d révoluton, l cntr d ss G st stué sur l x d révoluton l sufft donc d détrnr s poston xct z c,,, j, k : coordonné dns l rpèr ( ) Cnétqu

29 z c ( z) z c vc ρ( ) z dv dv dr rdϕ dz t ρ ( z) r z h z dv tgα z h r π z h z h ρ ρ ρ z dr rd dz z r( z) dz ϕ π π h z 0 r 0 ϕ 0 z 0 z 0 z 3 ρ dz π h 4 h 4 fnlnt : ( z) z h r π z h z h d ρ dr rd dz r( z) dz ϕ ρ π π ρ h z 0 r 0 ϕ 0 z 0 z 0 3 z c 4 h z dz π ρ h 3 h 3 UANTTE DE UEENT ENT CNETUE Défntons ppl : pour un pont térl, d ss, l quntté d ouvnt défn dns un p référntl st ( ) Systè dscrt : Pour un systè consttué d un nsbl d N ponts térls A d ss, l nsbl ds vcturs qunttés d ouvnt p ds dfférnts ponts térls fornt un systè d vcturs qu sr crctérsé pr ss élénts d réducton : l résultnt pplé quntté d ouvnt ou résultnt cnétqu du systè : P p, ( ) l ont résultnt n un pont du référntl ou ont cnétqu : σ A p A ( ) Systè contnu : L xtnson d cs défntons u cs d un sold st édt : k j dp ρ ( ) dv( ) d( ) défnt l quntté d ouvnt d l prtcul d volu dv consttutv du systè, d ss d ρ( )dv, stué n t d vtss ( ), dσ dp ( )d défnt son ont cnétqu u pont Cnétqu

30 L quntté d ouvnt totl du sold, ou résultnt cnétqu st donc : P ( ) dv ( ) d ( ) ρ tnds qu l ont cnétqu résultnt vut : σ ρ ( ) dv ( ) ( ) d Proprétés éléntrs ésultnt cnétqu : S G st l cntr d ss du systè : ( ) 0 d ρ G d donc Ans : ρ ( ) G d 0 d G sot ( ) 0 dv ρ ρ d G ( ) dv ρ( ) ( G) ( ) [ ] dv ( G) ρ( ) dv ρ( ) ( ) dv 0 ' d où P ( G) L résultnt cnétqu n dépnd qu d l ss totl du systè t d l vtss d son cntr d ss ont cnétqu : Sot un utr pont du référntl : l ont cnétqu n s écrt : σ σ ( ) d ( + ) ( ) d ( ) d + ( ) d ( ) d + σ d où : σ P + σ L ont cnétqu du systè n un pont put splnt êtr détrné à prtr du ont cnétqu u pont t d l résultnt cnétqu Cnétqu

31 EFEENTEL BAYCENTUE L référntl brycntrqu du systè S étudé, ou référntl du cntr d ss B ssocé u référntl d étud st l référntl n trnslton dns tl qu l quntté d ouvnt totl du systè dns B sot null * Pusqu P ( G) 0, ( G) 0 B B donc l cntr d ss st fx dns B Ans, l orgn du référntl brycntrqu st générlnt chos u cntr d ss du systè Pour tout pont du systè : ( ) ( G) + Ω G S / Dns l référntl du cntr d ss, l systè st donc n rotton utour du pont G : B ( ) Ω G S / E THEEE DE KENG C théorè prt d clculr l ont cnétqu d un systè n un pont n foncton du ont cnétqu évlué dns l référntl du cntr d ss Sor G l cntr d ss du systè étudé Sot B l référntl brycntrqu ssocé à σ σ G + P G D utr prt, d près l lo d coposton ds vtsss : + D où : σ G G ( ) ( ) ( ) ( ) + ( G) B ( ) d G ( ) d + G ( G) σ G pusqu G st l cntr d ss du systè B B ( ) d + G d ( G) G ( ) d σ G B σ B G σ G L ont cnétqu d un systè n son cntr d ss G dns l référntl st toujours égl u ont cnétqu du systè n G dns l référntl brycntrqu Fnlnt, l r théorè d Kong s écrt : σ G P + σ B B G B d G Cnétqu

32 L ont cnétqu d un systè st l so du ont cnétqu u pont du cntr d ss ffcté d l ss totl du systè t du ont cnétqu pr rpport u cntr d ss, évlué dns l référntl brycntrqu (ont cnétqu du systè n rotton utour d son cntr d ss, clculé dns l référntl du cntr d ss) ENT CNETUE D UN SLDE EN TATN AUTU D UN PNT FXE L évluton du ont cnétqu d un sold n rotton utour d un pont fx st prtculèrnt ntérssnt pusqu ll prttr d détrnr l ont cnétqu du systè dns l référntl brycntrqu Afn d splfr ls clculs, supposons qu l systè S étudé st n rotton utour du pont fx orgn du référntl d étud Ans, qulqu sot l pont d S : ( ) Ω S / t σ B S / ( ) d ( Ω ) d L pplcton vctorll qu à tout vctur u ssoc l vctur u u d st un pplcton lnér : où t b sont dux nobrs réls ( ) ( ) ( u + b v) ( u) + b ( v) Ctt pplcton lnér st lors rprésnté pr l trc [ ] dns l rpèr (cf cours d thétqu) Sont x, y, z, u x, u y t z [ ] s ( u) d ( u ) u ls coposnts, rspctvnt, d ( u) x y z 3 sot ( u) u u u [ ] [ ][ u] x y z t u dns : t [ u ] désgnnt ls trcs colonns dont ls coffcnts sont ls coposnts dns d t u rspctvnt : u ux u y uz [ u] Cnétqu

33 Dns c forls, l écrtur du ont cnétqu u pont st édt Pour n fft : [ σ ] [ ][ Ω ] S / u ΩS / l vnt 3 [ ] 3 st l trc d nrt du sold S, défn dns l référntl (cf pour l clcul d l trc d nrt d un sold) rqu : pusqu l sold n st ps fx dns, ls coffcnts d l trc d nrt chngnt u cours du tps!! En prtqu, l sr plus sé d détrnr l trc d nrt dns un bs lé u sold (générlnt, dns l bs prncpl d nrt) ENEGE CNETUE Défnton ppl : pour un pont térl, d ss, rpéré dns l référntl, l énrg cnétqu vut : Ec ( ) L énrg étnt un grndur physqu xtnsv (ddtv), pour un systè consttué d un nsbl d N ponts térls A d ss, l énrg cnétqu totl du systè st donc : E c ( ) Ans, pour un sold, l énrg cnétqu totl st détrné pr soton (contnu) sur l énrg cnétqu ds prtculs consttutvs du systè (d volu dv t d ss d ρ( )dv ) : k j E c ρ ( ) dv ( ) ( ) d è théorè d Kong Co pour l clcul du ont cnétqu, l évluton d l énrg cnétqu totl put êtr décoposé n dux trs, corrspondnts à l énrg cnétqu du systè sslé à son cntr d ss G (t ffcté d tout l ss), t à l énrg cnétqu d rotton utour du cntr d ss Sot B l référntl brycntrqu ssocé à t u systè S étudé Cnétqu

34 Ans : E c ( ) ( G) + Ω G ( G) + ( ) S / ( ) dv ( ) ( G) d + ( ) d ( G) ( ) ρ + B B B d E c vc c B d l ss totl du systè, B Ec B d, l énrg cnétqu du systè dns l référntl du cntr d ss B ( G) + E + ( G) ( ) t ( ) s : ( G) ( ) d ( G) ( ) ( d G B B ) dg d ( ) G d 0 G pr défnton du cntr d ss B B d L duxè théorè d Kong s écrt donc : E + B ( G) c E c L énrg cnétqu d un systè st l so d l énrg cnétqu du cntr d ss ffcté d tout l ss du systè t d l énrg cnétqu du systè corrspondnt à son ouvnt dns l référntl brycntrqu (énrg cnétqu d rotton utour du cntr d ss) 3 Enrg cnétqu d un sold n rotton utour d un pont fx Du duxè théorè d Kong, pprît un nouvll fos l ntérêt d l étud du sold n rotton utour d un pont (fx) Co dns l cs du clcul du ont cnétqu d un sold n rotton utour d un pont, supposons qu l systè S étudé sot n rotton utour du pont fx orgn du référntl d étud Ans, qulqu sot l pont d S : ( ) Ω S / Cnétqu

35 t Ec S S / / pusqu l produt xt st nvrnt pr un prutton crculr ds vcturs E ( ) d ( ) ( Ω ) d Ω ( ( ) ( ( ) d Ω S σ c ΩS / / S [ Ω ] Ec ΩS / S / désgn un nouvll fos l trc colonn dont ls coffcnts sont ls coposnts dns d Ω / Ω + Ω j + Ω k, l vnt : S x y z t E c [ ΩS / ][ ][ ΩS / ] t vc [ Ω ] l trc trnsposé d [ Ω t ] : [ ] ( Ω Ω Ω ) S / ppl : s Ω Ω S / S / S / Ω S / σ x t st l vctur drctur d l x nstntné d rotton, [ ][ ][ ] st l ont d nrt du systè pr rpport à l x nstntné d rotton donc : y z d E c Ω S / rqu : dns l référntl, ls coffcnts d l trc d nrt (donc ) vrnt u cours du tps ATCE D NETE Afn d crctérsr l réprtton d l ss d un systè pr rpport à un rotton utour d un x, 6 coffcnts ndépndnts sont nécssrs, qu prttnt l clcul générl du ont d nrt du systè pr rpport à ct x d rotton Défnton L ont d nrt du systè pr rpport à l x st : r r ρ ( ) dv où r st l dstnc d d S à l x Pr défnton, l ont d nrt st un grndur ddtv : l ont d nrt pr rpport à un x d un systè consttué d dux sous-systès st égl à l so ds onts d nrt pr rpport à ct x d chcun ds sous-systès Cnétqu

36 onts t produts d nrt Cont clculr l ont d nrt d un systè pr rpport à un x qulconqu? Pour splfr l présntton, supposons qu l x pss pr l orgn du référntl dns lqul l sold st obl (référntl lé u sold) k H α r j Sot l vctur drctur d : t x + y j + z k Sot H l projcton orthogonl d sur H ρ ( ) dv ρ( ) dv d vc y z x z z x x y y y ( ) ( ) ( ) z x y z z y + z x x z + x y y x ( y + z ) x + ( x + z ) y + ( x + y ) z xy x y xz x z zy z y d où : xx x yy y zz z xy x y xz x z zy z y vc : xx ( y + z ) d ( x + z ) d ( x + y ) yy xy xy d xz xz d yz ntrprétton physqu : zz yz d d k j y + z st l dstnc d à l x x, x + z st l dstnc d à l x y, x + y st l dstnc d à l x z, xx, yy t zz sont donc rspctvnt ls onts d nrt du systè pr rpport ux xs x, y t z Ls xy, yz t xz sont pplés produts d nrt Cnétqu

37 Cs 6 coffcnts n dépndnt qu du systè (d s réprtton d ss) t du rpèr dns lqul ls sont clculés, s n dépndnt ps d l x 3 pértur d nrt Ls 6 coffcnts crctérstqus d l réprtton d l ss d un systè puvnt êtr rgroupés dns un trc syétrqu 3 3, [ ] défn dns l bs (, j, k ) (t ntrodut dns l prgrph c-dssus) xx xy xz [ ] xy yy yz xz yz zz ppl : ls colonns d l trc [ ] gs ds vcturs d l bs ( j, k ) n sont utrs qu ls coposnts d ( ), ( j), pr l pplcton lnér défn u prgrph, ( k ) [ ] st un trc crré réll t syétrqu pplé trc d nrt d S dont ls coffcnts sont clculés dns l référntl, c lé u systè rqu : dns un utr référntl, ls coffcnts d ctt trc uront donc d utrs vlurs nuérqus!, 4 Expl : trc d nrt d un cub hoogèn dns ss xs z Sot un cub hoogèn d rêt Détrnons s trc d nrt dns l rpèr (xyz) rprésnté sur l fgur c-contr y / / / ( y + z ) d ( y + z ) ρ dx dy dz xx / / / x xx ρ / / / dx y dy / / / dz + ρ / / / dx dy / / / z dz vc ρ 3 xx / 3 y ρ / / 3 ρ / 3 5 xx ρ ρ / / / [ x] [ z] + [ x] [ y] xx 6 / / / 3 z 3 / / L clcul ds onts d nrt pr rpport ux xs y t z st nlogu d où : xx yy zz Cnétqu

38 Cnétqu / / / / / / / / / / xy dy dx y x dx dy dz y x xy d ρ ρ + 0 / / 0 / / / / / / / / xy dy dx y x dx dy y x dx dy y x ρ ρ n posnt x u donc dx du 0 / 0 / 0 / / / / 0 / / 0 / / / / + + xy dy dx y x du dy y u dx dy y x du dy y u ρ ρ D ê 0 yz xz xy L trc d nrt du cub hoogèn st donc : [ ] rqu : l rpèr (xyz) st un rpèr prvlégé pusqu l trc d nrt st dgonl (xyz) st pplé l rpèr prncpl d nrt 5 Axs t onts prncpux d nrt 5 Défnton n put déontrr qu pour un systè qulconqu, l xst un référntl lé à c systè ( ) 3,,, P P P p P dns l qul l trc d nrt st dgonl Ls xs d c référntl défnssnt ls xs prncpux d nrt t ls onts d nrt pr rpport à cs xs (, t 3 ) sont ls onts d nrt prncpux : [ ] P P Ans : ( ) [ ] [ ] [ ], P P S P P donc ( ) 3, P P S vc ds rltons nlogus pour ls dux utrs vcturs du rpèr prncpl d nrt rqu : du pont d vu thétqu, ctt proprété découl ds crctérstqus d l trc d nrt pusqu tout trc syétrqu réll st dgonlsbl 5 Systè «syétrqu» L rchrch du rpèr prncpl d nrt d un systè st grndnt splfé dns l cs où l systè possèd ds proprétés d syétr térll Ax d syétr térll Tout x d syétr térll st x prncpl d nrt

39 Afn d splfr l déonstrton, supposons qu l systè S possèd un x d syétr térll prllèl à l x z d un référntl lé à S x z H y Pour déontrr qu l x z st x prncpl d nrt l sufft d ontrr qu vc ( S k ) zz xz yz ( S k ) k,,, donc qu 0 xz yz zz xz ( ) dv xz ρ( ) dv + x z ρ( ) dv xz ρ( ) dv + ( x) z ρ( ) dv 0 xz ρ / / cr (x,y,z) t (x -x, y -y, z z) sont lés pr l x d syétr Un clcul nlogu condut fclnt à 0 Donc ( S, k ) k yz zz / / Pln d syétr térll Tout drcton prpndculr à un pln d syétr térll st x prncpl d nrt Là ncor, l déonstrton st splfé s l on suppos qu l systè S possèd un pln d syétr térll prllèl u pln xy d un référntl lé à S x z π H y Pour déontrr qu tout drcton prpndculr u pln d syétr st x prncpl d nrt, on put pr xpl déontrr qu l x z st x prncpl sot : S, k, vc ( S k ) zz xz yz ( ) k, donc qu 0 xz yz zz xz ( ) dv xz ρ( ) dv + x z ρ( ) dv xz ρ( ) dv + x( z) ρ( ) dv 0 xz ρ / / cr (x,y,z) t (x x, y y, z -z) sont lés pr l pln d syétr D ê yz 0, d où S, k ( ) k zz / / 53 Applctons Tout trèdr tr-rctngl dont dux d ss plns sont plns d syétr térll d un systè st un trèdr prncpl d nrt pour c systè Tout trèdr rctngl dont dux d ss xs sont xs d syétr térll d un systè st un trèdr prncpl d nrt pour c systè Cnétqu

40 trc d nrt «cylndrqu» Pour un cylndr hoogèn d révoluton (hutur h, ryon, ss ), l x d révoluton st x d syétr Tout pln pssnt pr l x d révoluton st églnt pln d syétr L trc d nrt du cylndr dns tout bs orthonoré ynt l un d ss vcturs prllèl à l x d révoluton l for suvnt : J vc + 4 s l x d révoluton st prllèl à 3, h t J trc d nrt «sphérqu» Tout drot pssnt pr l cntr d ss d un sphèr hoogèn (ryon, ss ) st x d syétr L trc d nrt d l sphèr dns tout bs orthonoré donc l for suvnt : vc Expls d trcs d nrt (prncpls) Corps hoogèns d ss Cylndr crux z c y x l Cylndr z c y x l Prlléléppèd rctngl z c y x b onts t produts d nrt zz xx yy + xx yy + zz ( b c ) xx + yy + c zz + b ( ) ( ) l l Cnétqu

41 Corps hoogèns d ss Sphèr crus x z y D-sphèr crus x z y onts t produts d nrt xx yy zz 3 xx yy zz x Sphèr pln z xx yy zz h Côn crux x α z y y xx yy + zz h Côn pln 3 3 xx yy h zz 5 7 Théorè d Huygns-Schtnr Expl : connssnt l ont d nrt d un sphèr hoogèn pr rpport à l un d ss dètrs, qull st l vlur du ont d nrt pr rpport à un x tngnt à l sphèr? G L théorè d Huygns donn édtnt l répons : 7 G + 5 vc G l ont d nrt pr rpport à un x prllèl à t pssnt pr l cntr d ss G Dns l cs générl, l théorè d Huygns prt d clculr l ont d nrt d un systè pr rpport à un x connssnt l ont d nrt pr rpport à un x prllèl à t dstnt d d : Cnétqu

42 + d d Déonstrton : Sot [ ] l trc d nrt d un systè dns l rpèr (,, j, k ) d nrt du systè dns l rpèr (,, j, k ) l cntr d ss du systè Pr défnton : zz zz ( x + y ) d Sot [ ] l trc trnslté d tl qu + b j + c k Sot [ ] [ b y ] ( x + y ) d ( x + ) + ( y + b) d x + y + + b + x + ( x + y ) d + ( + b ) d + x d + b x d y d y d zz pusqu st l cntr d ss : 0 Donc : D ê : Pour ls produts d nrt : xy xx zz + ( b ) z z + + ( b c ) t + ( c ) x x + ( x + )( y + b) d ( x y + b + bx + y ) yy y y + xy d d x y + d ê : xz + x z c t yz y z + bc b d Cnétqu

43 DYNAUE DES SYSTEES ATEELS L dynqu ds systès térls prt d coprndr l ln ntr l ouvnt d un systè t ls cuss d c ouvnt Plus précsént, l dynqu ds systès térls s ppu sur l prncp fondntl d l dynqu, qu st un xtnson d l rlton fondntl d l dynqu (duxè lo d Nwton) rncontré dns l cdr d l écnqu du pont térl Dns c contxt, l prncp fondntl d l dynqu st un postult L prncp rl ls grndurs physqus crctérstqus du ouvnt, (ls grndurs cnétqus) t ls grndurs physqus rprésnttvs ds ctons xrcés sur l systè (ls forcs t ls onts) Ans, connssnt ls forcs ss n ju, cs rltons prttnt d prévor l ouvnt du systè (pproch Nwtonnn), ou bn, connssnt l ouvnt du systè, ls forcs à l orgn du ouvnt puvnt êtr détrnés (pproch Lgrngnn) Un pproch «énrgétqu» du systè st églnt possbl à trvrs l théorè d l énrg cnétqu (théorè ds forcs vvs) FCES Ls forcs pplqués à un systè qulconqu puvnt êtr clssés n dfférnts ctégors Forcs ntérurs t forcs xtérurs Sot l systè étudé S défn pr un nsbl d ponts térls A C systè st n présnc d ponts B k L nsbl ds forcs xrcés pr ls pont A j sur un pont A ( j ) consttu pr défnton l nsbl ds forcs ntérurs Ls forcs xrcés pr ls pont B k (qu n pprtnnnt ps u systè) consttunt l nsbl ds forcs xtérurs rqu : Sot S l nouvu systè étudé, ls forcs xrcés pr ls dfférnts ponts (A j t B k ) ls uns sur ls utrs sont lors touts ds forcs ntérurs Expl : sot l blnc consttué d un fléu t d dux pltux, n équlbr sur un coutu F 3 F F S l systè étudé st l fléu, F, F t F 3 sont ds forcs xtérurs S l systè étudé st consttué pr l fléu t ls dux pltux, F t F sont ds forcs ntérurs, F 3 st un forc xtérur Dynqu ds systès térls

44 Forcs d lson Ls forcs d lson pprtnnnt à l ctégor ds forcs xtérurs Ells contrgnnt l déplcnt du systè étudé Pr xpl, un lson pvot pos un ouvnt d rotton utour d un x L fft ds forcs d lson st donc d dnur l nobr d dgrés d lbrté du systè Générlnt, l clcul ds forcs d lson st très coplx cr l dépnd d l ntur xct ds surfcs n contct Lurs xprsson n st donc ps fondntlnt spl co put l êtr l xprsson d l forc d grvtton ou l forc d Lorntz Auss, bn qu ls forcs d lson rédusnt l nobr d prètrs dont dépnd l ouvnt du systè (nobr d dgrés d lbrté < 6), l étud d c ouvnt st toujours plus coplx qu n lur bsnc En prtculr, lur nobr sont d utnt d nconnus suppléntrs qu dvront êtr détrnés Ls los phénoénologqus prttnt d ls décrr (cf los d Coulob du frottnt sold) pportront donc d précuss équtons fn d prttr l résoluton du problè posé 3 Forcs «à dstnc» Fnlnt touts ls forcs xtérurs utrs qu ls forcs d lson défnssnt ls forcs «à dstnc» L forc d psntur, l forc créé pr un chp gnétqu ou un chp élctrqu n sont ds xpls Contrrnt ux forcs d lson, lurs xprssons sont générlnt détrnés t n pport donc ps d nconnus suppléntrs dns l problè à résoudr Pr xpl, l forc d psntur xrcé sur un pont térl d ss plcé dns l chp d psntur g st donné pr F g PNCPE FNDAENTAL DE LA DYNAUE DES SYSTEES Enoncé du prncp fondntl L prncp fondntl consttu un générlston d l rlton fondntl d l dynqu postulé pr Nwton dns l cdr d l écnqu du pont térl, à ds systès qulconqus L étud du ouvnt d un systè qulconqu étnt décoposé n dux tps (étud du ouvnt d son cntr d ss pus étud du ouvnt utour du cntr d ss), l prncp fondntl donn ls rltons nécssrs à l copréhnson d un chngnt d chcun d cs ouvnts Sot un systè térl S dont l ouvnt st rpéré dns un référntl supposé gllén Sot un pont fx d Sot F t l résultnt t l ont résultnt u pont ds ctons xrcés sur l systè : où F nt, F xt, nt t xt F F nt nt + + F xt xt désgnnt rspctvnt l résultnt ds forcs ntérurs, l résultnt ds forcs xtérurs, l ont résultnt ds forcs ntérurs t l ont résultnt ds forcs xtérurs u pont Dynqu ds systès térls

45 L prncp fondntl d l dynqu ds systès térls s écrt : dp Fxt dσ L prèr rlton vctorll ndqu donc qu l cntr d grvté d un systè térl qulconqu (rgd ou déforbl) l ê ouvnt qu un pont térl lbr où srt concntré tout l ss du systè t uqul srnt pplqués touts ls forcs xtérurs (d résultnt F xt ) Dns l cs l plus générl, cs dux équtons vctorlls condusnt à 6 équtons sclrs Dns l cs du ouvnt d un systè lbr (possédnt 6 dgrés d lbrté) cs 6 équtons sclrs prttnt d détrnr ls 6 équtons horrs du ouvnt Nénons, pour un systè lé (x l systè st n contct vc un utr systè) ls forcs d lson joutnt ds nconnus suppléntrs (ls 3 coposnts d l résultnt ds forc d contct t ls 3 coposnts du ont résultnt n ds forcs d contct) Ans, sns nfortons suppléntrs l problè posé n sr ps solubl Sul l ntroducton d équtons ddtonnlls (co clls fourns pr ls los du frottnt sold) prttront d résoudr l systè d N nconnus pr l connssnc d N équtons lnt cs nconnus xt rqus portnts ésultnt dynqu dp d [ ( G) ] γ ( G) s G st l cntr d ss du systè ont dynqu résultnt : ( ) σ d où st un pont du référntl S st fx dns : dσ d ( + ) ( ) d où st l orgn du référntl dσ d d ( ) d + ( ) d ( ) + d d Dynqu ds systès térls

46 d σ d( ) d K pusqu l pont st fx K st pr défnton l ont résultnt dynqu du systè dns Ans l prncp fondntl d l dynqu xt s écrt églnt : K S l pont st obl dns l référntl : dσ dσ + ( ( ) ( ) d ( ) d + ( ) ( G) d ( ) L prncp fondntl d l dynqu s écrt : dp Fxt dσ + d ( ) ( G) d xt 3 Cs prtculrs : d σ G : G xt G st toujours vr S à un trjctor prllèl à cll du cntr d ss ( ) ( G) 0 st églnt vérfé donc d σ xt 4 Dns l référntl du cntr d ss : D près l r théorè d Kong : σ G P + σ d B σ dσ G dg dp P + G + B G xt s dg P 0 s st obl ou un trjctor prllèl à cll d G Ans d B σ dσ G + G Fxt xt, Dynqu ds systès térls

47 dσ G xt Donc B + Fxt G sot d σ G B xt G, qu l référntl brycntrqu sot gllén ou non (pusqu l ont ds forcs d nrt u cntr d ss st nul!) 5 Pour un systè solé Dns l cs d un systè solé, l prncp fondntl s écrt dp 0 dσ 0 donc l résultnt cnétqu t l ont cnétqu du systè s consrvnt : P ct σ ct 6 Prncp d l sttqu S l sold S st n équlbr, pr défnton, l vctur vtss d tout pont d S st nul à tout nstnt L rlton du chp ds vtsss dns un sold prt donc d conclur qu dns c cs : ( G) 0 t Ω S / 0 donc l résultnt cnétqu t l ont cnétqu n n port qul pont d sont églnt nuls En prtculr, pour un sold S sous à ds forcs d lson (sold n contct ponctul), l prncp fondntl d l dynqu prt d écrr : Fxt + Flson 0 lson s st l pont d contct xt + 0 Flson T + N vc n décoposnt ls élénts d réducton ds ctons d contct n lson // + lurs coposnts prllèls t norls u pln tngnt n u sold S Tnt qu l équlbr prsst, ls forcs t onts ds ctons d contct s justnt pour ntnr ls dux sos c-dssus égls à zéro pplons qu ct justnt n lu qu dns l sur où ls condtons posés pr ls los d Coulob du frottnt sold sont stsfts : ) ntn du contct : N > 0, ) non glssnt : T < f N, S ) non pvotnt : < λ N S, // v) non roulnt : < µ N S Dynqu ds systès térls

48 Dynqu ds systès térls THEEE DES ACTNS ECPUES Sot S un systè consttué d dux sous-systè S t S n ntrctons t un pont (fx) du référntl d étud Sot F ( F ) l résultnt ds forcs xrcés pr S sur S (S sur S ), ( ) l ont résultnt n ds forcs xrcés pr S sur S (S sur S ), F ( F ) l résultnt ds utrs forcs xrcés sur S (S ), ( ) ( ( ) ) l ont résultnt n L prncp fondntl d l dynqu pplqué succssvnt à S, S pus S s écrt (vc ds nottons évdnts) : ( ) ( ) d F F F F dp σ () ( ) ( ) + + d F F dp σ () ( ) ( ) d F F F F dp σ (3) D plus : P P P + ( ) ( ) σ σ σ + Pr soustrcton brs à brs () - () - (3), l vnt : F F qu trdut l ft qu ls ctons xrcés pr S sur S sont opposés ux ctons xrcés pr S sur S Applcton : s S st un systè qulconqu, l nsbl ds forcs ntérurs st crctérsé pr : 0 nt F t 0 nt

49 THEEE DE L ENEGE CNETUE Trvl d un forc ppls Sot un pont térl sous à l forc F t s déplçnt d A vrs A ntr t t t+ : L trvl éléntr d l forc F pour un déplcnt éléntr AA dl st F défn pr : θ AA A W F AA vc ( ) A W F ( ) W F AA cosθ s W > 0 l trvl éléntr st otur, W < 0 l trvl éléntr st résstnt, W 0 donc F AA : l forc n trvll ps L trvl étnt un énrg s xpr n joul L long d l trjctor Γ, l trvl d l forc F st donc : W F dl F Γ Dns l cs où l forc F n dépnd ps d l poston du pont, st ndépndnt d l vtss d t st ndépndnt du tps ( s ut dns un chp d forcs nvrbls) : Γ Γ Γ ( ) W F dl F dl L trvl n dépnd ps d l lo du ouvnt s unqunt du chn suv, S l forc dépnd d l poston du pont t évntullnt du tps, F F(, t) F( x, y, z, t) l forc dérv d un potntl s l xst un foncton sclr U ( x, y, z, t) tll qu : F grd ( U ) sot U U x F y U z U U x, y, z l énrg potntll U st l énrg potntll dont dérv l forc F à l nstnt t S ( ) st ndépndnt du tps Ls surfcs équpotntlls sont défns pr ls surfcs sur lsqulls U ct Pr défnton d F, l forc st prpndculr u surfcs équpotntlls t drgé vrs ls potntls décrossnts Dynqu ds systès térls

50 rqu : dfférntll totl Sot un foncton sclr U ( x, y, z, t) L dfférntll totl d U st pr défnton : U U U U du dx + dy + dz + x y z t Dns l référntl rpporté à un bs orthonoré : grd U U U x y z ( U ) + j + k Pour un déplcnt nfntésl du pont : dl dx + dy j + dz k d où U U U grd( U ) dl dx + dy + dz x y z ns U du grd( U ) dl + t L trvl éléntr d l forc F dérvnt du potntl U s écrt : W U F dl du + t S d plus l potntl st ndépndnt du tps W du t l trvl l long d un trjctor Γ n dépnd lors qu du pont ntl t du pont fnl : W B B A B W du U A U B A A En prtculr l long d un courb fré W W du 0 Γ Expl : chp d forc Nwtonn K r Forc cntrl d l for F r (ttrcton unvrsll, forc élctrosttqu) dérv du r K potntl U + ct r Γ Déplcnt éléntr d un sold Sot un sold S rpéré dns l référntl t dux ponts d S ( ) ( ) + ΩS / s Ω S / st l vctur rotton nstntné d S dns ( ) ( ) + ΩS / Dynqu ds systès térls

51 d d + dω S / vc d ( ) rprésnt l déplcnt éléntr d pndnt l tps, d ( ) rprésnt l déplcnt éléntr d pndnt l tps, dω rprésnt l ngl éléntr dont à tournr S pndnt S / ΩS / 3 Trvl éléntr ds forcs xtérurs pplqués à un sold S l sold S st sous à ds ctons xtérurs crctérsés pr lur résultnt ( A) ont résultnt xt A n un pont A pprtnnt u sold F xt t lur k j L trvl éléntr ds ctons qu s xrcnt sur l sold lorsqu clu c subt un déplcnt éléntr st l soton ds trvux éléntrs ds prtculs consttutvs du sold S, chcun sous à l forc f ( )dv : f ( ) défnt donc un dnsté d forcs xtérurs u pont d S t W ( ) f dv d Avc W W d F xt da + dω S A, / f ( ) dv ( da + dω A ) f ( ) dv da + f ( ) dv ( dω A ) S / ( A) da + dω A f ( ) S / n posnt F ( A) f ( ) xt S / ( dv) F( A) da + dω A f ( ) dv xt t A f ( ) d où A S / l résultnt n A ds ctons xrcés sur S dv l ont résultnt n A ds ctons xrcés sur S, xt ( A) da + + dω W Fxt S / A dv 4 Trvl ds forcs ntérurs Systè d ponts (systè dscrt déforbl) : Sot un systè d N ponts térls A Sot f j l forc xrcé pr l pont A sur l pont A j D près l prncp ds ctons récproqus, f f j L trvl éléntr d cs dux forcs lorsqu lurs ponts d pplcton subssnt ls déplcnts nfntésux d A t d A j vut : W f da + f da f da da j j ( ) j j j j j A A j r u s u j st l vctur untr porté pr l drot jognnt A t A j, ornté d A vrs A j j j Dynqu ds systès térls

52 da daj drj uj + rj duj s pusqu u j st un vctur untr d u 0 j, d où : W f dr u j j j j C trvl éléntr n dépnd qu d l vrton d dstnc ntr A t A j rqu : on put déontrr qu l trvl ds forcs ntérurs st ndépndnt du référntl dns lqul l st clculé Ans, l sufft d chosr l référntl dns lqul l clcul st l plus spl! Systè contnu ndéforbl: L xtnson du clcul du trvl éléntr pour un systè contnu st édt En prtculr pour un systè ndéforbl A A j ct donc W j 0 Ans pour un sold ndéforbl, l trvl ds forcs ntérurs st toujours nul 5 Trvl ds forcs d lson S S Sot S t S dux solds n contct supposé ponctul n Sot l forc résultnt l t l ont résultnt n ds ctons d contct d S sur S l t sont décoposés n lurs coposnts prllèls t prpndculrs u pln tngnt n ux dux solds : + + // t l // L trvl ds forcs d lson vut : l Wl d + dωs / vc ΩS / Ω// + Ω Pr défnton vg ( S) ( S ) d où d vg, ns : W l vg + Ω + Ω // // // D près ls los du frottnt sold, // v g < 0 pusqu // st opposé à v g D ê Ω 0 t Ω < 0, d où : // // < W < 0 l L trvl ds forcs d lson st toujours résstnt t condut donc à un dsspton d l énrg du systè (chlur) Lsons prfts : un lson sr dt prft s W 0 En prtculr dns l cs où ls forcs d lson n s rédusnt à ( 0 ) l prft s W v 0 donc dns ls dux cs suvnt : l // g v g 0 : ouvnt sns glssnt : // +, ou, v g 0 t 0 : ouvnt d glssnt sns frottnt : // l, l lson sr Dynqu ds systès térls

53 Théorè d l énrg cnétqu (théorè ds forcs vvs) ppl : pour un pont térl rpéré dns un référntl gllén, l vrton d l énrg cnétqu ntr dux nstnt t t t f st égl u trvl ds forcs qu s pplqunt à c pont térl ntr cs dux ês nstnts n dttr l xtnson d c théorè u cs d un systè térl qulconqu L théorè d l énrg cnétqu, prfos pplé théorè ds forcs vvs s énonc donc ns : L vrton d l énrg cnétqu d un systè térl pndnt un tps qulconqu st égl à l so ds trvux ds forcs tnt ntérurs qu xtérurs, uxqulls l st sous : ( t f ) Ec( t ) Wxt Wnt Ec Ec + Expl : Cylndr sur un pln nclné Chrchons à coprr l vtss du cntr d ss d un cylndr d ss roulnt sns glssr l long d l lgn d plus grnd pnt d un pln nclné, t cll du ê cylndr glssnt sns roulr t sns frottnt sur l ê pln nclné A h N Sot un cylndr pln d ryon t d ss roulnt sns glssr sur Ω un pln nclné L contct ntr l cylndr t l pln st ponctul n Sot G l cntr d ss du cylndr, d vtss dns l référntl z lé u pln nclné B Pusqu l ouvnt à lu sns frottnt : P v ( Cylndr) ( Pln) 0 g vg Cylndr G + G Ω Ctt rlton condut sns dffculté à Ω Sot ( ) ( ) 0 L cylndr st sous à son pods lu sns frottnt donc N P g t à l récton du pln nclné L ouvnt L théorè d l énrg cnétqu pplqué à c cylndr s écrt : c c ( t) Ec( ) Wxt E E 0 + Ω g ( h y) d où + g ( h y) ( h y) g + S l cylndr glsst sns roulr sur l pln nclné, l énrg cnétqu du systè srt unqunt d l énrg cnétqu du u ouvnt d trnslton L rlton c-dssus srt donc : Dynqu ds systès térls

54 g ( h y) L ouvnt d rotton du cylndr ntrîn donc un rlntssnt du ouvnt d trnslton En fft, pour c cylndr roulnt sns glssr sur l pln nclné, un prt d l énrg potntll ntl st convrt n énrg cnétqu d rotton 3 Théorè ds trvux vrtuls L théorè ds trvux vrtuls dérv du théorè d l énrg cnétqu dns l cs où l systè st obl Pusqu l systè st sttqu, ls trvux ds forcs uxqulls l st sous n puvnt êtr qu vrtuls! En prtqu, on clcul cs trvux vrtuls n consdérnt l clcul du trvl ds forcs pplqués s l systè étt n ouvnt Ans, pour qu un systè à lsons prfts, ntlnt obl, dur u rpos, l fut t l sufft qu l so ds trvux vrtuls éléntrs ds forcs pplqués sot null C théorè st prtculèrnt ntérssnt dns l cs où ls forcs pplqués (tnt ntérurs qu xtérurs) dérvnt d un potntl (t ls forcs d lson sont prfts) Pour détrnr l poston d équlbr du systè, l n sr donc ps nécssr d consdérr l nsbl ds forcs pplqués s sulnt clls qu srnt suscptbls d trvllr s l systè étt n ouvnt Dynqu ds systès térls

55 LS DU FTTEENT SLDE L étud ds forcs d contct ntr dux solds n ft ps l objt d un théor rgourus L clcul ds ctons d contct st d llurs très coplx cr l dépnd d l ntur xct d l ntrcton ntr ds nsbls d prtculs, d l poston d cs prtculs u vosng ds surfcs n contct t donc d l structur croscopqu ds surfcs Toutfos, un pproch prqu, rprésntnt prfos grossèrnt l rélté, prt nénons d proposr un odèl splfé d cs ctons Ans, bn qu contrrnt ux forcs «à dstnc» tlls qu l forc d grvtton, l forc élctrosttqu, ls forcs d contct n nt ps un xprsson nlytqu (thétqu) connu, ls odèls phénoénologqus ds forcs d frottnt fournssnt ds nfortons suppléntrs qu prttnt d prédr l ouvnt du systè étudé GENEALTES l y frottnts dès qu dux surfcs n contct s déplcnt l un pr rpport à l utr S S t S sont dux solds n contct t s l contct ntr S t S st prnnt, S n put ps vor un ouvnt qulconqu : touts ls condtons qu ltnt l ouvnt du systè consttunt ds lsons Ans, l nobr d dgré d lbrté d S st nférur à 6 Expls : - l boul (sslé à un pont térl) d un pndul spl (fl nxtnsbl) : l ouvnt d l boul lu sur l surfc d un sphèr dgrés d lbrté - Un boul d bllrd n ouvnt sur l tbl 5 dgrés d lbrté Ls forcs (xtérurs) qu gssnt sur l systè pour ltr son ouvnt sont pplés ctons d contct ou forcs d lsons ou ncor réctons ds obstcls Ls ctons d contct sont n rélté un nsbl d forcs gssnt sur l surfc d contct ntr dux corps Ells sont donc crctérsés pr lurs élénts d réducton : un résultnt t un ont résultnt Γ n un pont qulconqu S l contct ntr ls dux corps st qus ponctul (pont d contct n ), ls supports ds forcs d lsons pssnt tous très près du pont s bn qu l ont résultnt n st néglgbl L nsbl ds forcs d contct put êtr lors crctérsé unqunt pr s résultnt Γ Γ T S Γ N N S T D un nèr générl, ls élénts d réducton ds forcs d lsons sont crctérsés pr lur coposnts prllèls t prpndculrs u pln tngnt coun u dux systès (solds) n contct : T + N Γ Γ + Γ T N Pr défnton T st l forc d frottnt sttqu/dynqu, qu s oppos u ouvnt du systè (sttqu) ou frn l ouvnt d clu-c (dynqu) Forcs d frottnt

56 LS DU FTTEENT SLDE (los d Coulob) Frottnt sttqu L xpérnc cournt nous ontr qu pour fr vncr un corps sur un pln horzontl, l fut xrcr un forc horzontl dont l odul st supérur à un vlur nl Ctt forc st l coposnt tngntll d l récton qu s oppos u ouvnt d glssnt n put églnt fclnt s prsudr qu s l pods du corps à déplcr doubl, l forc tngntll à xrcr pour l ttr n ouvnt sr ll uss doublé L odélston d cs obsrvtons suggèr qu l n y ur ps d glssnt tnt qu l rpport ds oduls ds coposnts tngntll t norl d l résultnt ds forcs d contct st nférur à un vlur f c pplé coffcnt d frottnt sttqu : T N L vlur du coffcnt sttqu d frottnt n dépnd qu d l ntur t d l étt ds surfcs n contct f s n dépnd ps d l vlur d N tnt qu ls systès n contct n subssnt ps d défortons L coffcnt d frottnt sttqu dépnd fortnt d l étt ds surfcs n contct : un polssg ds surfcs notnt pour fft d dnur l vlur du coffcnt d frottnt L condton lt pos s orc T l L ntrprétton grphqu d ct lo prqu st l suvnt : f s f s N Au dlà d ctt vlur, un ouvnt d glssnt N T T l L équlbr sttqu st ntnu tnt qu l résultnt ds ctons d contct s Tl stu à l ntérur du côn d d-ngl u sot α tl qu tg α N Expl : cub n équlbr sur un pln nclné k T G P N α Sot un cub hoogèn d rêt t d ss n équlbr sur un pln nclné C cub st sous à son propr pods P ns qu à l forc d récton du pln sur lqul l st posé Bn qu l contct n sot ps ponctul, on supposr qu l ont résultnt ds forcs d contct st nul L systè étnt à l équlbr, l prèr lo d l sttqu pos : P Forcs d frottnt

57 qu condut à : T + P snα 0 T g snα ns N P cosα 0 N g cosα L forc d frottnt sttqu qu s oppos u glssnt st donc T g snα T L équlbr sr ntnu tnt qu fs sot tgα fs s f s désgn l coffcnt d frottnt N sttqu L duxè lo d l sttqu régt l bsculnt du cub : l cub n bscul ps tnt qu l so ds onts ds forcs pplqués st null : où st un pont qulconqu ( P ) + ( ) 0 Au pont G : G sot 0 T N( x x ) 0 x 0 xg T 0 G / N G x x G d où : x xg + tgα A l lt du bsculnt, x xg Au dlà, l cub pvot utour d son rêt G α > 45 En fft s tg α > t n supposnt qu l cub n glss ps ( tgα fs ) : ( ) G T N j g cosα ( tgα ) j j vc > 0 rqu : s > tg α > f, l cub glssr vnt d bsculr! s Frottnt dynqu Lorsqu l condton d équlbr sttqu st ropu T > N pprît, donc l vtss d glssnt du systè n st plus null f s, un ouvnt d glssnt ppl : S S t S sont dux solds n contct (ponctul n ), S un ouvnt d glssnt vc frottnt pr rpport à S s l vtss d glssnt d S pr rpport à S st non null : Forcs d frottnt

58 S v où t sont ds rpèrs lés à S t S rspctvnt ( S ) ( S ) ( S ) 0 g S, L lo prqu décrvnt ls frottnts chng L xpérnc ontr lors qu l frottnt st convnblnt décrt s : - L coposnt tngntll d l résultnt ds forcs d contct à ê support qu l vtss d glssnt s un sns opposé à ctt drnèr : T λ vc λ > 0 T st lors l forc d frottnt dynqu v g - Pour un vtss d glssnt fxé, l nor d l forc d frottnt st proportonnll à l coposnt norl : T f N où f st l coffcnt d frottnt dynqu - L coffcnt d frottnt dynqu st ndépndnt d l vtss d glssnt t f < f s Expl : cub glssnt sur un pln nclné En rprnnt l xpl précédnt t n supposnt f s < tgα < (l cub glss vnt d bsculr) L théorè d l résultnt cnétqu s écrt : d( G) P + sot d x G T + P snα N P cosα 0 Tnds qu l théorè du ont d nrt s écrt :, s l cub n bscul ps, G ( ) 0 sot T N( ) x x G d x l y donc ntnnt 3 équtons pour 4 nconnus : T, N, G t x L lo prqu du frottnt dns l phs d glssnt ( équton nqunt :, v g 0 ) v donnr l qutrè vg ( cub) ( G) (vc >0) : l coposnt tngntll T s oppos u ouvnt ( T λ v vc λ > 0 ) g Forcs d frottnt

59 t T f N f g cosα, s f désgn l coffcnt d frottnt dynqu Ans : T f g cosα N g cosα x xg + f d xg d ( xg x ) t pusqu, d ( xg x ) l vnt g snα f cosα (ouvnt unforént ccéléré) 3 Frottnt d pvotnt t/ou d roulnt L résstnc à un ouvnt d pvotnt ou à un ouvnt d roulnt d un systè sur un utr put églnt êtr odélsé slon un pproch nlogu à cll dévloppé pour l frottnt d glssnt Sot Ω l vtss ngulr du systè étudé, décoposé slon ss S / coposnts tngntll t norl u pln d tngnc u pont d contct : Ω Ω + Ω S / T N 3 Frottnt d pvotnt Expl : pour fr pvotr un rou n contct vc l sol utour d un x vrtcl, l prtqu cournt ontr qu l fut xrcr un coupl dont l odul st supérur à un crtn vlur nl fn d surontr l frottnt d pvotnt crctérsé pr l coposnt Γ N du ont résultnt Γ ds forcs d contct D nèr générl, ls los prqus du frottnt d pvotnt s écrvnt : Γ N tnt qu l n y ps d pvotnt : δ S N s ctt condton n st plus rspcté lors : Γ N s oppos u pvotnt : ΓN β p Ω N t Γ δ N N δ s t δ sont ls coffcnts d frottnt d pvotnt sttqu t dynqu rspctvnt 3 Frottnt d roulnt Expl : pour ttr n ouvnt un rou posé sur l sol horzontl, l fut xrcr un coupl dont l odul st supérur à un crtn vlur nl fn Forcs d frottnt

60 d surontr l frottnt d roulnt, crctérsé pr l coposnt Γ T forcs d contct du ont résultnt ds D ê, ls los prqus du roulnt s écrvnt : Γ T tnt qu l n y ps d roulnt : S N τ s ctt condton n st plus rspcté lors : Γ T s oppos u roulnt : ΓT β r ΩT t Γ τ N T τ s t τ sont ls coffcnts d frottnt d roulnt sttqu t dynqu rspctvnt rqu : ls coffcnts d frottnt d pvotnt t d roulnt sont hoogèns à un longuur tnds qu ls coffcnts rltfs u glssnt sont sns dnson! TAAL DES FCES DE FTTEENT Sont dux solds n contct ponctul n Sont t Γ ls élénts d réducton ds forcs d contct d S sur S Γ Γ T S Γ N T + N Γ Γ + Γ T N L trvl éléntr ds forcs d lsons s écrt : sur S (supposé obl) W lson d + Γ dωs / L vtss d glssnt d S sur S étnt non null : v ( ) Ans d v D plus Ω S / g N S Ω T T + Ω N g pour un déplcnt éléntr d S S s S st obl D où : W lson T d + Γ T dω T + Γ N dω N ( T v + Γ Ω + Γ Ω ) g T T N N D près ls los phénoénologqus du frottnt sold : T st opposé à v g Γ T st opposé à Ω T Γ N st opposé à Ω N Forcs d frottnt

61 l vnt fnlnt W < 0 lson En prtculr, s l systè décrt un cycl (pr xpl, rvnt à son pont d déprt), l trvl ds forcs d lson n put êtr nul donc l énrg d un systè sous à ds forcs d frottnt n s consrv ps S W 0, ls forcs d lson sont dts prfts lson Dns l cs d un contct ponctul ( Γ 0 ) : donc W 0 s : lson ) T 0 : ps d frottnt N ou W lson T v ) v 0 g : ps d glssnt (xpl, sphèr roulnt sns glssr sur un pln nclné), bn qu T 0! g Forcs d frottnt

62 Forcs d frottnt

63 6544 ) N T l v ( W S [ ; k u ' L Z j t U K J s Y P! h H g r f G q p F d o E c b n 6544 ` _ ANNEXE A : x d rotton nstntné, Sot un référntl supposé gllén rpporté à un systè rpèr orthonoré (, j k ) référntl un d un systès d xs orthonorés (, j k ) Afn d déontrr l xstnc du vctur rotton nstntné,, n rotton dns utour d, t un duxè Ω crctérstqu d l rotton d dns, voyons tout d bord l xprsson d l dérvé pr rpport u tps d un vctur untr Sot un vctur untr dont l drcton dns un référntl put vrr u cours du tps : d ( ) d donc 0 L dérvé pr rpport u tps d un vctur untr st donc un vctur qu lu st prpndculr Applquons c résultt u cs où " : p + q j + r d Ω $ vc k # % d ê pour j pus k -, + * d j Ω j vc Ω p + q j + r k 0 3 / d Ω k Pusqu ( j k ) Ω où p, q, r sont ls coposnt d : 3 k vc Ω q3 j + r3 k p Ω dns <,, for un trèdr drct lors, pr xpl : j 0 C dj d dj j + 0 En rplçnt ls xprssons d t d B d produts xts obtnus, l vnt : [( p q j + r k ) ] j + [ ( p + q j + r k ) j ] 0 + ( q k + r j ) j + ( p k r ) 0 X n pourrt ontrr d ê qu p 0 Ans t fnlnt Ω rqu : Ω Ω3 Ω / donc r r 0 p t q 0 q / d j Ω Ω j d > D donc, pus n dévloppnt ls ^ ] \ 3 / d d k Ω k ( ) Ω Ω Ω, dj Ω Ω ( j j ) Ω j j j j, j / Annxs

64 6544 $ # 3 "! 3 d où dk k k k d dj dk + j + k 3 Ω ( k k ) Ω Ω k k Ω, Ω d dj dk donc Ω + j + k Annxs

65 - 3 % N //, $ 9 + # 8 7 L " 0 * 6! / ) 4 5 ( 0 ' ANNEXE B : x d rotton t d trnslton nstntnés Décoposton du ouvnt d un sold, à l nstnt t, n un ouvnt d trnslton prllèlnt à l drcton d Ω s t d un ouvnt d rotton utour d l x Ω s Sot S un sold qulconqu t dux ponts A t d c sold L ouvnt d S st rpéré dns l référntl gllén D près l rlton du chp ds vtsss dns un sold, s Ω désgn l vctur rotton nstntné d S dns : s ( ) ( A) + Ω A s / Chrchons tout d bord s l xst un nsbl d ponts pprtnnt u sold tls qu lur vtss ( ) prllèl à l drcton d Ω s à un l nstnt t Sot Ω l vctur untr d l drcton d ( ) ( A) Ω Ω ( + Ωs A ) Ω ( A) Ω + ( Ωs / A ) Ω ( A) Ω / L projcton orthogonl d l vtss d n port qul pont du sold sur l drcton d n put donc décoposr l vtss du pont slon : où // st l coposnt d l vtss prllèl à Ω ( ) + t l coposnt prpndculr à Ω Ω s sot st donc constnt L nsbl ds pont rchrchés corrspond ns à l nsbl ds ponts tls qu à un nstnt t donné Sot π l scton du sold prpndculr à xst un pont d ctt scton tl qu ( ) 0 π A Ω s/ Ω s t pssnt pr l pont A Chrchons dns un prr tps s l ( ) ( ) ( A) + Ω A // s / ( ) ( ) 0 Ω // Ω ( ) Ω ( A) Ω + ( Ωs / Ω ) A + ( A Ω ) s // Ω / // d où ( ) ( A) + ( Ω )A Ω Ω A Ω s / Ω s / Ω ( A) Ω ( A) Ω s / l xst donc bn, à un nstnt t donné, un pont unqu tl qu ( ) 0 : précsé pr l rlton c-dssus Ω ; s / t dont l poston pr rpport à A st Annxs

66 Tous ls ponts d l drot défn pr consttu donc l nsbl ds pont rchrchés A A + A + λ vérfnt églnt ( ) 0 Ω t Sot H l projcton orthogonl d un pont N qulconqu du sold sur : ( H ) // ( H ) pr défnton ds ponts d, + Ω! t ( N ) ( H ) HN donc ( N ) ( H ) t ( N ) Ω s HN s / // // / Pusqu ctt décoposton st possbl pour chqu pont du sold S, ctt drnèr rlton ontr bn qu à un nstnt t donné, pour lqul l rotton du sold st crctérsé pr l vctur rotton nstntné du sold s décopos n un ouvnt d trnslton prllèlnt à l drcton d rotton utour d ctt drcton Ω s Ω s, l ouvnt t d un ouvnt d A un nstnt t plus trd, l vctur rotton nstntné du sold ynt chngé n drcton t n nor, l nsbl ds ponts n trnslton pur dns st donc églnt dfférnt d l nsbl ds ponts à l nstnt t A l nstnt t, l ouvnt du sold put églnt êtr décoposr n un ouvnt d trnslton t un ouvnt d rotton n consdérnt l nouvu vctur rotton nstntné Ω' s Annxs

67 ANNEXE C : Détrnton du cntr d grvté d un systè : Sot S un systè qulconqu rpéré dns un référntl supposé gllén g l chp d l psntur u pont d Sot ( ) S st un pont qulconqu d S t un pont d : dp( ) g( ) ( ) dv g( ) d consttutv du systè, d ss d ρ( )dv, dns l chp d psntur ( ) L nsbl ds vcturs d P( ) ρ défnt l pods d l prtcul d volu dv élénts d réducton : L cntr d grvté G du systè st défn pr : Sot C l cntr d ss du systè Pr défnton : K g consttu un nsbl d vcturs crctérsé pr ss P ( ) G d 0 g C d 0 d P ( ) dp, ( ) S l xtnson sptl du systè st tll qu l chp d psntur st constnt sur tout l volu du systè : où k défnt l x vrtcl k j g g ( ) g g k ( ) G d g G d g G d 0 donc G C : l cntr d ss t l cntr d grvté son confondu Annxs

68 Annxs

69 EXECCES APPELS DE ATHEATUES : SYSTEE DE ECTEUS ) ulls sont ls condtons dns lsqulls ls élénts d réducton ( l torsur) ssocés à un systè d tros vcturs lés (A, u ), (A, u ), (A 3, u 3 ) sont nuls? ) Sont ls tros vcturs lés (A, u ), (A, u ), (A 3, u 3 ) Dns un rpèr d spc xyz : A (,0,0), A (0,,0), A 3 (0,0,) u (0,0,), u (-,,0), u 3 (,, ) Détrnr ls coposnts d u 3 tlls qu l systè d cs 3 vcturs lés sot équvlnt à un coupl dont on clculr l ont 3) L pro vrtcl d un brrg, ynt l for d un rctngl ABCD, rtnt d l u d ss voluqu ρ Dns un rpèr orthonoré drct (,, j, k) on pos : A B k AD BC h j En tout pont (0, y, z) du rctngl ABCD s xrc un cton écnqu défnt pr l dnsté surfcqu : F p + ρ g y ( ) ( ) où p désgn l prsson tosphérqu, g l ccélérton d l psntur t y l profondur du pont consdéré ) Fr un dssn plusbl b) Détrnr, u pont, ls élénts d réducton ssocés u chp d vcturs F() défnt n tout pont du rctngl ABCD STATUE ) Un sphèr psnt 5 kg st suspndu à un cord dont l un ds xtrétés st fxé sur un ur vrtcl D plus, l sphèr ns suspndu s ppu sns frottnt contr c ur α désgn l ngl ntr l cord t l ur Fr un dssn plusbl t détrnr l tnson d l cord t l récton du ur sur l sphèr ) Sont dux sphèrs dntqus plcés dns un systè ndqué sur l fgur Clculr ls réctons ds surfcs sur ls sphèrs ontrr qu chqu sphèr st n équlbr 3) Clculr l ss nécssr pour ntnr l équlbr du systè rprésnté sur l fgur A C st horzontl tnds qu A B st prllèl u pln nclné Pln t pouls sont sns frottnt Est-l possbl d soulvr l bloc? Exrccs

70 4) Un bâton d ss t d longuur l st posé sur l ngl drot prftnt pol d l fgur 3 Détrnr ls postons d équlbr t ls forcs d réctons n foncton d l ngl α B A 0 C α A 0 kg 45 kg φ Fgur Fgur Fgur 3 α CNEATUE ) Un pont st obl dns un pln Sont l rpèr crtésn fx pr rpport u pln t l rpèr polr Clculr d dux fçons l dérvé pr rpport u tps (vu d ) du vctur untr u Exprr nsut dns l bs (, u, u ) ls vtsss () t () ês qustons pour ls ccélértons Y -t-l qulqu chos d chngé s ls rpèrs n sont ps glléns? ) Sot un tg A, d longuur, pvotnt utour du pont, orgn du rpèr fx (,,j,k) Sot θ l ngl ntr A t k Sot ϕ l ngl ntr l projcton d A dns l pln (,, j) t Détrnz ls coposnts du vctur vtss d l xtrété A d l tg dns l rpèr fx (,,j,k) Donnr l vctur d rotton nstntné dns l rpèr fx t dns l rpèr obl (,,j,k ) t rtrouvr l xprsson du vctur vtss d l xtrété A 3) Un côn d révoluton d d-ngl u sot α t d hutur h roul sns glssr sur un pln horzontl n désgn pr u l vctur untr porté pr l génértrc d contct du côn t du pln t pr u l vctur untr du pln drctnt prpndculr t nfn pr k l vctur untr prpndculr u pln coplétnt l trèdr n rpèr l poston du côn pr l ngl ψ qu ft u vc un drcton fx x du pln Fr un croqus 3D L ouvnt st-l pln sur pln? ul st l x nstntné d rotton? Clculr : du côn d dux nèrs dfférnts, n foncton ds prètrs géoétrqus t d dψ/ ; d bord n utlsnt l vtss du cntr C d l bs du côn, nsut n décoposnt : n un vtss d rotton nstntné d précsson utour d k t un vtss d rotton nstntné propr utour d l x du côn Clculr l vtss t l ccélérton d un pont d l pérphér d l bs du côn u ont où l st n contct vc l pln horzontl 4) Un dsqu nc d ryon r roul sns glssr à l ntérur d un nnu fx d ryon Détrnz l vctur ccélérton d l prtcul du dsqu n contct vc l nnu 5) Un trn d ngrngs st consttué pr qutr rous dntés,,,, d ryons rspctfs,,, 3, 4, dont ls cntrs, A, B, C rstnt lgnés sur l brs C C brs tourn utour d l x vrtcl z du rpèr d étud à l vtss ngulr Ω tout n rstnt dns l pln horzontl (x, y) L rou Exrccs

71 dnté étnt fx dns l pln (x, y), clculz ls vtss ngulrs ω, ω 3 t ω 4 ds rous, t pr rpport u rpèr d étud 6) n consdèr un cntrfugus d lbortor consttué d un bât (S 0 ) fx, d un brs (S ) t d un éprouvtt (S ) contnnt dux lquds d sss voluqus dfférnts z A β Sous l fft cntrfug du à l rotton du brs S, S y z z s ncln pour s ttr prtqunt dns l x du S y brs L lqud dont l ss voluqu st l plus G α y grnd st rjté u fond d l éprouvtt (c qu S 0 x x réls l séprton ds dux lquds) x x β x x Sot (,,j,k) l référntl fx (lé à S 0 ) Ls solds S 0 t S ont un lson pvot d x x Sot (,,j,k ) un rpèr lé à S tl qu x x Sot α(t) l ngl ntr j t j à t, vc α(t) ω t Ls solds S t S ont un lson pvot d x Ak Sot A j Sot (A,,j,k ) un rpèr lé à S Sot β(t) l ngl ntr t Sot G l cntr d nrt d S tl qu AG b ) Détrnr l vctur rotton d S pr rpport à ) Détrnr ls vcturs rotton :S/ t :S/ ) Détrnr l vctur vtss du pont G pr rpport à n projcton dns v) Détrnr l vctur ccélérton du pont G pr rpport à, n projcton dns 7) oulnt à blls L fgur c-dssous présnt l sché d prncp d un roulnt à blls Sot (,,j,k) un rpèr lé u bât S 0 C t C sont dux bgus ynt un lson pvot d x k n pos : Ω C ω k y Ω k y S (S) C y (S 3 ) x (S 0 ) x C ω L bll S d cntr C, né d un ouvnt pln, roul sns glssr sur C (pont d contct ) t sur C (pont d contct ) Sot (,,j,k ) un rpèr tl qu t l ê drcton qu C n pos : r t r (C ) (C ) L cg S 3 un ouvnt d rotton d x k pr rpport à S 0 ) Exprr n l condton d roulnt sns glssnt d S pr rpport à C ) Exprr n l condton d roulnt sns glssnt d S pr rpport à C C t Ω n foncton d ω, ω, r t r ) En dédur ( ) S Exrccs

72 v) Détrnr l vtss d glssnt d l bll pr rpport à l cg S3 u pont A tl qu CA ( r r ) j DSTBUTN DES ASSES ) Détrnr l poston du cntr d ss d un rc d crcl hoogèn d ryon, vu du cntr sous l ngl α Envsgr ds cs prtculrs ntérssnts ês qustons pour un sctur d dsqu, un clott sphérqu t un sctur d sphèr ) Détrnr l cntr d nrt d un nsbl foré d un côn hoogèn crux (hutur h, dngl u sot α) fré pr un d sphèr hoogèn pln d ê ss voluqu 3) Détrnr l ont d nrt d un boul hoogèn pln, d ss t d ryon pr rpport à l un d ss dètrs, pus pr rpport à l un d ss tngnts ê quston pour un surfc sphérqu 4) Sot un cylndr drot, pln, hoogèn, d ryon, d hutur h t d ss Sot son cntr t z son x d révoluton Détrnr l trc d nrt d c cylndr Exnr ds cs prtculrs (dsqu, tg) 5) Clculr dns ss xs d syétr, ls coposnts du tnsur d nrt u cntr d un dsqu hoogèn d ryon En dédur l ont d nrt du dsqu pr rpport à un x pssnt pr nclné d un ngl θ sur l x du dsqu ês qustons vc un d dsqu hoogèn Trouvr ls coposnts du tnsur d nrt n C (cntr d ss) dns ds xs prllèls ux précédnts CNETUE ) Un côn d sot, d hutur h t dont l bs crculr un dètr D, roul sns glssr sur un pln horzontl Détrnr l ont cnétqu du côn n ns qu son énrg cnétqu dns l référntl lé u pln ) Un tg hoogèn A d longuur l t d ss, st obl utour d un pont fx n rstnt dns un pln vrtcl Sot α l ngl ornté qu ft à un nstnt donné l brr vc l x ds x vrtcl dscndnt Clculr l résultnt cnétqu, l ont cnétqu n t l énrg cnétqu ês qustons s α st constnt, l rotton s ffctunt ctt fos utour d l x ds x 3) Un crcl hoogèn d x horzontl tourn utour d s tngnt vrtcl z à l vtss ωk, étnt l pont d contct du crcl t d l tngnt t k l vctur untr d l x ds z Clculr d dux nèrs dfférnts son ont cnétqu pr rpport à l x d rotton Clculr églnt son énrg cnétqu pr l scond théorè d Kong t utrnt, s résultnt dynqu t son ont dynqu n Exrccs

73 4) Dns l pln vrtcl, on consdèr un qurt d dsqu hoogèn d cntr, d ss t d ryon, tournnt à l vtss ngulr ω utour d son côté fx z Clculr l résultnt cnétqu, l résultnt dynqu, l ont cnétqu n, l ont dynqu n N clculr qu c qu st ndspnsbl! 5) Un plqu rctngulr hoogèn d côtés, b, d cntr t d ss, tourn à l vtss ngulr ω utour d l un d ss dgonls fx pr rpport à un crtn rpèr d étud Clculr son ont cnétqu pr rpport à, son ont dynqu n t son énrg cnétqu pr rpport à 6) Dux tgs hoogèns A t AB, chcun d ss t d longuur l, sont rtculés ntr lls n A Ells sont ssujtts à rstr dns l pln xy A st obl utour du pont fx, s poston étnt rpéré pr l ngl polr (x, A) ϕ t B glss sur l x ds x Clculr pour c systè l ont cnétqu n t son énrg cnétqu STATUE ) Un cylndr hoogèn, drot à bs crculr d ryon r t d hutur h, st posé sur s bs, n équlbr sur un pln nclnbl d α sur l horzontl Sot f l coffcnt d frottnt sttqu du cylndr sur l pln Clculr l ngl α à prtr duqul l cylndr glssrt t l ngl α à prtr duqul l bsculrt S f 0, dscutr ls dux cs suvnt : h 30 r t h r ) Un échll AB st sslé à un brr hoogèn d ss t d longuur l Ell rpos n B sur un pln horzontl t n A sur un ur vrtcl prftnt lss Sot f tg ϕ l coffcnt d frottnt sttqu vc l pln horzontl Ctt échll ft un ngl α vc l vrtcl ull st l condton d équlbr? Un prsonn d ss ont sur ctt échll A qull condton y -t-l équlbr qulqu sot l poston d ctt prsonn sur l échll? Contr l résultt 3) Sot un boît cylndrqu d dètr r, d ss, dont l cntr d grvté G st sur l x z d révoluton L boît st posé sur un tbl horzontl prllèl u pln xy Ell contnt un brr d ss, d dètr néglgbl dvnt s longuur l, d cntr d ss Γ stué n son lu L brr st contnu dns l pln xz Ell rpos dns l boît ux ponts d contct A t C Exrccs

74 brr brr C C A α B A 3 A fond d l boît r Cs contcts sont sns frottnt L hutur d l boît st crctérsé pr l ngl α Sot k µ Tout ouvnt possbl d l brr, d l boît, ou d l nsbl sr consdéré co un ouvnt dns l pln d l fgur ) En étudnt l équlbr d l nsbl boît-brr, trouvr un condton sur l pour qu l nsbl n pvot ps utour du pont B Sot l c l vlur lt d l Construr l grph l c ( α) pour α [ 0, π ] ) Etud d l équlbr d l brr Sot l récton d l brr n C, l récton du fond d l boît n A t 3 l récton d l pro n A 3 Clculr, t 3 n foncton d α t ds utrs donnés ull condton dot rplr pour qu l équlbr sot possbl? En dédur un condton sur l Sot l c l vlur lt d l pour lqull l brr s déséqulbr Construr l grph d l c ( α) sur ls ês xs qu l c ( α) ) ontrr qu l xst un condton géoétrqu sur l pour qu l brr rpos ffctvnt n A t C Sot l c 3 ctt vlur lt Construr l c 3 ( α) sur ls xs précédnts v) Trouvz dns l pln (α,l) l don sur lqul l équlbr vc ppus n A t C lu ndqur c qu s produt lorsqu l pont d coordonnés α t l sort d c don d équlbr 4) Sot, dns un pln vrtcl, un systè déforbl consttué pr un losng d sot fx, rtculé d nèr prft Sot l ss du losng t l l longuur d un côté Dns l pln du losng, un dsqu d ryon r t d ss rpos sns frottnt sur dux côtés Détrnr l équton qu condut à l poston d équlbr du systè 5) n désr suspndr un tblu d hutur h à un ur lss d tll sort qu l clou d ttch du fl sot u ê nvu qu l pont l plus hut du tblu Fr un croqus plusbl ontrr qu l pont d ttch à l rrèr du tblu dot êtr stué à un dstnc détrné du pont l plus bs du tblu Evlur l ngl qu ft l tblu vc l vrtcl n foncton d l longuur du fl l t d h En dédur qu l dot êtr coprs ntr dux vlurs qu l on xprr n foncton d h 6) Sot un brr hoogèn N d longuur l t d ss strnt à s déplcr dns un pln vrtcl xy Son xtrété N st rtnu pr un fl nxtnsbl BN d longuur, ccroché à un pont fx B d l x vrtcl y Son utr xtrété st n contct sns frottnt vc l x y Fr l croqus Détrnr à l équlbr l vlur d λ B (pr l éthod ds trvux vrtuls) Exrccs

75 DYNAUE ) Un sold ntlnt obl st s n rotton utour d l un d ss xs prncpux d nrt fx l st sous à un coupl otur constnt d ont Γ pr rpport à t à un coupl résstnt d ont λω pr rpport à, ω étnt l vtss ngulr t λ un constnt postv Détrnr ω(t), C étnt l ont d nrt du sold pr rpport à Etudr l soluton ω(t) dns l cs ou λ 0 ) Un plnch nc, hoogèn, rpos horzontlnt sur dux cylndrs d xs prllèls tournnt n sns nvrs Ls xs d cs dux cylndrs sont dstnts d l f c désgn l coffcnt d frottnt cnétqu (dynqu) d l plnch sur ls cylndrs A l nstnt ntl, l plnch st bndonné sns vtss ntl, son cntr d nrt G n étnt ps sur l x y l y l G x ) Détrnr ls coposnts vrtcls ds réctons ds dux cylndrs n foncton d l bscss x d G ) Ls cylndrs tournnt ssz vt pour qu l plnch glss sns css sur ls dux roulux ontrr qu ctt plnch ffctu lors ds osclltons dont on détrnr l pérod ) L sns d rotton d chcun ds cylndrs st nvrsé u dvnt l équton du ouvnt? ull st l dfférnc ssntll pr rpport u cs précédnt? 3) Un cylndr pln C (ss, ryon r, cntr C) st n contct xtérur vc un cylndr fx C 0 (d ryon ) suvnt l un d ss génértrcs L référntl xyz (orgn u cntr d C 0, y x vrtcl) st consdéré co gllén Ls nottons t prètrs g C 0 u θ y u r A φ C θ x du problè sont défns sur l fgur rprésntnt un scton drot édn ds dux cylndrs Sot t u θ + n u r l récton n d C 0 sur C µ t µ s sont ls coffcnts d frottnt sttqu t cnétqu (dynqu) rspctvnt Ls condtons ntls sont : θ légèrnt nférur à π/, φ 0, θ 0 t φ 0 ) Détrnr l quntté d ouvnt t l ont cnétqu du cylndr obl n C ) Dns l phs ntl du ouvnt, l roulnt lu sns glssnt Ecrr l condton d roulnt sns glssnt u dvnnnt ls élénts cnétqus clculés n? ) En pplqunt ls théorès générux n, trouvr un ntégrl prèr du ouvnt t ls xprssons d t t n n foncton d θ v) ontrr qu l phs d glssnt s chèv lorsqu θ ttnt un vlur lt θ à détrnr v) n suppos qu l ouvnt ultérur st nsut crctérsé pr µ0 En pplqunt l théorè d l résultnt cnétqu, trouvr un ntégrl prèr du ouvnt n θ t l xprsson d n n foncton d θ Exrccs

76 v) ontrr qu ctt phs s trn pr un ruptur d contct pour un vlur θ d θ à détrnr Décrr sornt l ouvnt ultérur 4) Sur l pln prftnt horzontl d un bllrd, un boul sphérqu, prcuté pr l quu d bllrd du jouur, orc un ouvnt vc ds condtons ntls qulconqus pour son vctur d rotton t pour l vtss d son cntr d ss L tps d ctt tbl st tl qu l boul glss vc un coffcnt d résstnc u glssnt f Ell roul t pvot sns résstnc u roulnt t u pvotnt (tnt qu cs résstncs sont ptts vs-à-vs d l résstnc u glssnt) Etudr ls dfférnts phss du ouvnt d ctt boul Pour cl : ) Dédur d l pplcton ds théorès générux, qu l ccélérton du cntr d nrt t l dérvé pr rpport u tps du vctur rotton nstntné sont ds fonctons spls d l vtss d glssnt v g ) Etudr ls vrtons d v g Concluson? ) A qul nstnt v g s nnul-t-ll? S on ppll prèr phs du ouvnt cll qu s trn lorsqu v g 0, dntfr l trjctor d G dns l prèr phs Décrr sornt l phs ultérur 5) A l nstnt t 0, un cylndr posé sur un pln horzontl un vtss d rotton ω utour d son x, l vtss d son cntr d ss st null Etudr l ouvnt du cylndr (l coffcnt d frottnt du cylndr sur l pln st f) 6) Un véhcul à 4 rous groupés n dux ssux st schétsé d l nèr suvnt : l châsss st nc t syétrqu ; ls rous sont rprésntés pr dux cylndrs dntqus hoogèns, d ê ss t d ryon L ss totl d l votur st Ls cylndrs sont obls sns frottnt utour d lurs xs prllèls t horzontux, soldrs du châsss t dstnts d L L véhcul put s déplcr sur un pln horzontl dns l chp d psntur n suppos qu l récton du sol sur chqu rou s rédut à un forc pplqué n un pont d l génértrc d contct ; ls cylndrs roulnt sns glssr sur l sol ) Exprr l énrg cnétqu d l votur n foncton d,, t x où x rprésnt l bscss du brycntr d l votur ) L otur, rgdnt lé u châsss, pplqu sur l cylndr rrèr un coupl constnt * En supposnt néglgbl l résstnc d l r, détrnr l ccélérton d l votur ) L résstnc d l r st rprésnté pr un forc pplqué n G t ynt pour xprsson f ks v v, où k st un coffcnt dépndnt d l for d l votur (coffcnt d pénétrton) t S l surfc frontl xl d l votur né d un vtss v Clculr l vtss xl d l votur 7) Sot D un d-cylndr crux d x horzontl Cy, d ryon rposnt ntlnt l long d s génértrc d contct y sur un pln horzontl, l pln détrl AB étnt vrtcl L coffcnt d frottnt ntr l d-cylndr t l pln st f D st bndonné sns vtss ntl dns ctt poston Détrnr l vlur nl d f pour qu D roul sns glssr dès l début d son ouvnt Exrccs

77 EXAEN (ANNALES) NEBE 00 Théor pproché du crcu Un dsqu D plt hoogèn d cntr C, d ryon, d épssur t d ss roul sns glssr sur un pln horzontl Sot f l coffcnt d frottnt du dsqu sur l pln (,, j, k ) st l rpèr (gllén) lé u pln horzontl P ( C, u, v, w) st l rpèr défnt sur l dssn : k u v α D w θ st prllèl à l x du dsqu, u st dns l pln horzontl t prpndculr à l x du dsqu w θ j u C ϕ r u (, ur, uθ, k ) st l rpèr ds coordonnés cylndrqus tl qu ψ u r ustons prélnrs ) Donnr ls coposnts d l vtss ngulr du dsqu D /, Ω dns l bs ( u v, w) ) Détrnr l vctur rotton nstntné Ω P / 3) Donnr l xprsson ds coposnts d l vtss d C dns l bs ( u, v, w) 4) Détrnr l trc d nrt du dsqu plt dns s bs prncpl d nrt Prèr prt α D v w C u ϕ u r Dns ctt prt, l pont d contct du dsqu vc l pln horzontl décrt un crconférnc d ryon, à l vtss ngulr Ω constnt L pln du dsqu ft un ngl α constnt vc l vrtcl Dns c ouvnt : u u donc Ω ψ θ 5) Détrnr l xprsson d ϕ n foncton d, t Ω 6) Détrnr ls coposnts tngntll t norl d l forc d récton du pln sur l dsqu 7) Donnr l xprsson d l ngl crtqu α c, n foncton d ψ u dlà duqul l y ur un ouvnt d glssnt ull st l drcton du glssnt? 8) u dvnt l xprsson d Ω D / dns l cs où >>? Dns l sut, on suppos >> t << 9) En pplqunt l théorè du ont cnétqu n C dns l référntl du cntr d ss, détrnr l xprsson d tg α n foncton d,, ϕ, t d un ont d nrt 0) ontrr qu l ouvnt du dsqu put êtr consdéré co un ouvnt utour d un pont fx qu l on détrnr (donnr l vctur ) Annls

78 Duxè prt Dns ctt prt, l dsqu roul toujours sns glssr sur l pln horzontl s l ouvnt du pont d contct st qulconqu n consdèr << D plus, l vtss d rotton du dsqu utour ϕ >> α, ψ d son x st supposé très grnd dvnt ls utrs vtsss ngulrs ( ) ) Ecrr l théorè du ont cnétqu u pont d contct ) Ecrr ls coposnts du ont cnétqu n dns l rpèr P 3) Dédur ds dux qustons précédnts, ls tros équtons dfférntlls du ouvnt n foncton ds ngls d Eulr ψ, α t ϕ 4) Donnr l condton pour qu un ouvnt à α α 0 ct sot possbl t n dédur qu l vtss d précsson t d rotton propr sont églnt constnts ul st lors l ouvnt du dsqu? SEPTEBE 00 ouvnt d un boul d bllrd Un boul sphérqu t hoogèn, d ss d ryon, st n ouvnt sur l tps d un bllrd (horzontl t fx) L référntl 0 lé u bllrd st supposé gllén L coffcnt f d frottnt boul-tps st constnt Sot N l récton norl t T l récton tngntll s xrçnt sur l boul n A u pont d contct d l boul t du tps (A pprtnt à l boul) Sot : l vtss d rotton nstntné d l boul pr rpport à 0 ) A l d d l rlton fondntl d l dynqu t du théorè du ont cnétqu pplqué u cntr d ss G d l boul, étblr ls dux équtons dfférntlls vctorlls rlnt T à l ccélérton ngulr d:/ t à l ccélérton d G ) ontrr qu l vtss d glssnt d l boul sur l tps st A Donnr son xprsson n foncton d : t d G Clculr d A / n dérvnt AG (constnt) En dédur un xprsson splfé n utlsnt ls dux équtons d l quston précédnt 3) n s ntérss à T Son odul, s drcton t son sns sont fourns pr ls los du frottnt d glssnt Ls écrr u put-on dr ds drctons d A t d d A /? En dédur l proprété ntérssnt d A t d cll d T 4) Donnr l soluton n : t G ds équtons dfférntlls d l quston, dns l cs où, qul qu sot l nstnt, l n y ps d glssnt (cl dépnd ds condtons ntls) Cont qulfr l ouvnt d G? L x d rotton -t-l un drcton fx? 5) Dns l cs où l glssnt xst, ontrr succnctnt qu G n générl un trjctor prbolqu, qu l vtss d pvotnt n chng ps t qu l vtss d glssnt fnt pr s nnulr ul st lors l ouvnt ultérur? Annls

79 Not : Ls vcturs sont écrts n lttrs grsss soulgnés n rppll : ont d nrt d un boul hoogèn d ryon pr rpport à l un d ss dètrs /5 Forul du doubl produt vctorl : ^(b^c) b(c)-c(b) JUN 00 Equlbr d un skur Un skur dscnd un pst sslé à un pln nclné (fsnt un ngl vc l horzontl), slon l lgn d plus grnd pnt (sn α 0,) Sot un référntl gllén lé à l pst : x st prllèl à l lgn d plus grnd pnt, z st prpndculr u pln d l pst t y prllèl à l horzontl n suppos qu ls ouvnts du skur rstnt dns l pln xz L skur st sslé à un ss 60 kg (l ss ds sks st néglgé) L contct sk-skur st supposé ponctul n S L cntr d ss du skur st défn pr l vctur SG d nor l constnt, fsnt un ngl θ vc z L ont d nrt du skur utour d l x Gy st égl à utr son pods, l skur subt un forc d frottnt du à l résstnc d l r Dns ctt étud, l résstnc d l r du à l rotton d G utour d S st néglgé ns KS v S vc K 0,6 t S 0,5, v (S) l vtss d S dns t l vctur drctur d l x x Etud s-quntttv : n suppos l contct vc l sol sns frottnt L skur st débutnt : l n gt ps sur ss sks ) Donnr l nobr d dgrés d lbrté du systè «skur+sks» ) En pplqunt l prncp fondntl d l dynqu, détrnr l vtss lt d c skur débutnt ( ) 3) Lorsqu l vtss lt st ttnt, détrnr l vlur θ d θ prttnt l équlbr 4) L skur ntr dns un zon d ng poudrus u v-t-l s pssr? u dot fr l skur? Etud quntttv : L skur st ntnnt confré : l gt sur ss sks pr un coupl C prllèl à Sz st un forc F 5) ul st l nobr d dgrés d lbrté du systè «skur sul»? 6) En pplqunt l théorè d l résultnt cnétqu t du ont cnétqu n S, détrnr ls équtons du ouvnt 7) L skur à un nclnson constnt θ 0 pr rpport à Sz ull st, n foncton d α t θ 0, l vlur d C C qu prt un tl équlbr? ull st l poston l plus confortbl pour l skur? Annls

80 8) L skur st pssf ( C 0 ) n souht détrnr s stblté pr rpport à θ 0 n pos θ θ 0 + ε t on dt qu ε, dε/ t d ε/ sont ds nfnnt ptts du ê ordr Détrnr l équton dfférntll qu dot vérfr ε n n consrvnt qu ls trs du r ordr Concluson qunt à l stblté du skur? 9) L skur st ctf : C k (θ-θ 0 ) Donnr ls équtons du ouvnt 0) Détrnr l nouvll équton dfférntll vérfé pr ε (toujours u scond ordr près) ) ull st l condton sur k qu prt l stblté du skur? ) ull st l nflunc d l pnt α sur ls vlurs d k ssurnt l stblté? Etud qulttv d un funbul n s propos d étudr qulttvnt l équlbr d un funbul sur un fl Un funbul rch sur un fl horzontl A l nstnt ntl, son corps ft un ptt ngl vc l x vrtcl z l tnt son blncr prpndculrnt à son corps Dns qul sns dot-l tournr l blncr pour rtrouvr l équlbr? (justfr sornt) AS 00 Cnétqu Un pltu crculr P, d ryon, st s n rotton utour d son x, grâc à un systè consttué d un tg T, d longuur l, ux xtrétés d lqull sont rtculés dux dsqus dntqus D t D, d ryon r t d cntr C t C rspctvnt L tg st prpndculr à l x d rotton du pltu t son cntr H st stué sur ct x, sous l pltu, à un dstnc r d P, d tll sort qu D t D sont n contct vc P Sot u l vctur untr ornté d H vrs C n suppos qu l contct ds dsqus D t D vc l pltu (rspctvnt n t ) s ft sns glssnt L pltu, l tg t ls dux dsqus sont ds solds hoogèns Sot ψ t θ ls vtsss d rotton d P t d T rspctvnt, pr rpport u référntl du lbortor (xyz) L orgn du rpèr st prs à l ntrscton du pltu t d son x d rotton L x du pltu st prllèl à l x z tnds qu l pln du pltu st dns l pln xy Sot ω t ω ls vtsss d rottons d D t D pr rpport à T ) Fr un dssn «3D» plusbl ) Donnr ls vcturs rottons Ω * t Ω * d D t D dns l rpèr 3) u s pss-t-l s l ouvnt d l tg st bloqué? 4) Détrnr ls rltons lnt ψ, θ t ω d un prt t ψ, θ t ω d utr prt En dédur un rlton ntr ω t ω Concluson? 5) L pltu st bloqué u dvnnnt Ω t Ω? présntr géoétrqunt cs vcturs Annls

81 Sttqu Un échll doubl s copos d dux échlls spls AS t BS d ê longuur l, d ê pods g, rtculés sns frottnt u sot coun S Sot α l ngl u sot ds dux échlls t µ l coffcnt d frottnt vc l sol Un ho H d pods g ont sur l échll AS à un dstnc x du sot S ) Fr un dssn plusbl ) En pplqunt l prncp d l sttqu un prèr fos u systè «échll+ho» t un duxè fos u systè «échll BS sul», dédur ls xprssons ds coposnts tngntlls t norls ds réctons n A t n B du sol sur l échll doubl 3) S /, ontrr qu lorsqu l ngl α ugnt, l échll BS glss l prèr n posr : x + u u l t f ( u) n rppll qu pour u 3 u 0, f ( u) 3 rqu : c résultt st n rélté ndépndnt du rpport / Exrcc NEBE 000 Cnétqu Un dsqu D d cntr C, d ryon st lé à un tg C d longuur l dsposé suvnt son x L sold ns foré st obl utour du pont L dsqu rpos sur un duxè dsqu D horzontl d cntr, orgn du rpèr fx (cf fgur) L pont st dsposé à un dstnc h du pont (h < l) sur l x k L dsqu D roul sns glssr sur D Sot ω l vtss d rotton d D utour d l x vrtcl k Sot ω l vtss d rotton d D utour d son x C Détrnr l xprsson d l vtss ngulr Ω d rotton d D dns utour d l x épons : Ω ω + ω cosα Exrcc k Un bll sphérqu d ryon r roul sns glssr sur un rl à scton drot n for d dèdr drot (ponts d contcts t J) L ouvnt st-l pln sur pln? ull st l drcton du vctur nstntné d rotton Ω d l bll? En dédur l rlton ntr l vtss du cntr d l bll t s vtss d rotton Ω épons : c Ω r k C J j Sttqu : Equrr obl Un équrr obl ABC, ynt l for d un trngl rctngl socèl (AB AC h) st nstllé sur un trngl vrtcl d scton cylndrqu, d dètr r L coffcnt d frottnt sttqu ntr l équrr t l trngl st µ S Un chrg P d ss st plcé sur AC Clculr l dstnc nl x à l x d l trngl pour lqull l chrg Annls A B x P C

82 P put êtr supporté sns qu l y t glssnt d l équrr (l pods d l équrr sr néglgé dvnt clu d l chrg) h épons : x µ s SEPTEBE 000 Chut d un chné Un chné st odélsé pr un cylndr hoogèn d longuur L, d ryon très ptt dvnt L, d ss t d cntr d nrt G L équlbr d l chné st détrut : ll orc un rotton utour d s bs dns l pln vrtcl xz Sot θ l ngl d l chné vc l drcton vrtcl z L ouvnt d l chné st étudé dns l rpèr (, x, y, z) n projcton sur l bs obl ds coordonnés polrs u, v ou u st porté pr l x d l chné t v st drctnt prpndculr à u dns l sns d rotton d l ngl θ ) Détrnr l trc d nrt d un cylndr hoogèn d longuur L t d ryon n son cntr d ss G En dédur ls onts d nrt d l chné : - n G utour d l x Gy, - n utour d l x y, n foncton d t L 0 0 épons : [ G ] 0 0 vc J, L J J Gy L t J y L 3 ) Exprr ls coordonnés d l vtss t d l ccélérton d l chné dns l bs (u, v) L épons : ( G) L L θ v ( G) u v γ θ + θ 3) Détrnr l équton dfférntll du ouvnt Ctt équton dfférntll rssbl-t-ll à cll d un systè connu (à précsr!)? Put-on lnérsr l équton oynnnt un hypothès rsonnbl? épons : 3 θ g snθ 0 (à prtr du théorè du ont cnétqu) cf pndul psnt lâché à L prtr d s poston d équlbr nstbl, donc ps d lnérston possbl d l équton( sn θ θ ) Annls

83 4) Détrnr l xprsson d l énrg écnqu totl d l chné trouvr (n justfnt!) l équton dfférntll étbl à l quston précédnt L épons : E cosθ + θ L g ct 3 5) Exprr ls coposnts u t v d l récton du sol n n projcton sur u, v n foncton d, g t θ u v g snθ 4 épons : g( 5cosθ 3) 6) L contct d l chné vc l sol put-l êtr ropu? Dns l ffrtf pour qull vlur d θ l chné décoll-t-ll du sol? épons : contct ropu s z u cos θ v snθ 0 sot pour cos θ 3 En rélté, l chné put s brsr u cours d s chut L rst du problè v précsr ls contrnts subs pr l chné pndnt s chut Un longuur N l d chné subt l cton du sol n, l cton d son pods ns qu l cton n N du rst d l chné sur ll ê Ctt cton ntnt l rgdté d l chné L contct n N n st ps ponctul L cton du rst d l chné sur l longuur l s résu à un forc d coposnt S u t S v t à un coupl C porté pr l x horzontl y 7) En pplqunt l prncp fondntl d l dynqu à l longuur l d chné, xprr S v n foncton d, g, θ, l t L S v défnt l ffort d csllnt S l chné prd s rgdté, S v v ntrînr un ffrtnt d l chné En quls ponts l chné ur-t-ll tndnc à s ffrtr? 3 l l épons : S v g snθ + pont d ffrtnt : xtru (x) d S v sot pour l0 4 L L 4 8) Détrnr l ont cnétqu d l longuur l d chné n son cntr d ss G l En dédur, n prtnt d l rlton d défnton, l ont cnétqu d l longuur l d chné n N 3 l épons : σ l ( G l ) l θ l y σ l ( N) lθ y L 6 L 9) ontrr qu l on put pplqur l théorè du ont cnétqu à l longuur l d chné u pont N En dédur l vlur du coupl C Annls

84 épons : Théorè du ont cnétqu possbl n N cr trjctor prllèl à G l l l C l g snθ + 4 L L 0) S c coupl st supérur u coupl xu qu put subr l chné, cll-c s brs En qul pont l chné s brsr-t-ll? L épons : C Cx pour l Annls

85 éférncs bblogrphqus : JP PEEZ, «écnqu : fondnts t pplctons» 5 è éd sson (997) ALNS t EJ FNN, «Physqu générl, To : écnqu t throdynqu» è éd (?) BETN, JP FAUX t J ENAULT «écnqu : écnqu clssqu ds systès d ponts t notons d rltvté» «écnqu : écnqu du sold t notons d hydrodynqu» éd Dunod or églnt : BNALET «Ls prncps d l écnqu» éd sson (997) Y BENT t P ECEUX «écnqu : écnqu du sold ndéforbl : clcul vctorl, cnétqu» «écnqu : écnqu du sold ndéforbl : sttqu» «écnqu 3 : écnqu du sold ndéforbl : dynqu» éd Ellpss (995 ) D BELLET «Cours d écnqu générl» éd Cpdus (988) G BUHAT «Cours d Physqu générl écnqu» éd sson (967) J BUTGNY t A GEGES «écnqu du corps sold» éd ubrt (995)

86