ESSEC 2 Voie E Mardi 3 mai 2016

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1 ESSEC 2 Voe E Mard 3 ma 206 La présentaton, la qualté de la rédacton, la clarté et la précson des rasonnements entreront pour une part mportante dans l apprécaton des copes. Les canddats sont nvtés à encadrer dans la mesure du possble les résultats de leurs calculs. L usage de toute calculatrce et de tout matérel électronque est nterdt. Seule l utlsaton d une règle graduée est autorsée. S au cours de l épreuve, un canddat repère ce qu lu semble être une erreur d énoncé, l la sgnalera sur sa cope et poursuvra sa composton en explquant les rasons des ntatves qu l sera amené à prendre. Le but du problème est d étuder le renouvellement d un des composants d un système complexe une machne, un réseau de dstrbuton d énerge etc,... formé d un assemblage de dfférentes pèces susceptbles de tomber en panne. On s ntéresse donc à une de ces pèces susceptbles de se casser ou de tomber en panne et on se place dans la stuaton déale où dès que la pèce est défectueuse, elle est mmédatement remplacée. Dans une premère parte, on étude quelques proprétés fondamentales des varables aléatores dscrètes. Pus, dans une deuxème parte, on étude la probablté de devor changer la pèce un certan jour donné. Enfn, dans une trosème parte on cherche à estmer le temps de fonctonnement du système avec un certan nombre de pèces de rechange à dsposton. Dans tout le problème, on consdère un espace probablsé Ω,A,P. Pour toute varable aléatore réelle X défne sur Ω,A,P, on note, sous réserve d exstence, EX l espérance de X et VarX sa varance. Les deuxème et trosème partes sont ndépendantes, et peuvent en outre être tratées en admettant s beson les résultats de la premère parte. Premère parte : Dans cette premère parte, on étude les proprétés asymptotques d une varable aléatore X à valeurs dans N.. a Montrer que pour tout enter naturel j non nul, b Sot p un enter naturel non nul. Montrer que j PX j PX > j PX > j 2. a On suppose que X admet une espérance EX µ. p j PX j PX > j ppx > p. Justfer la convergence de la sére de terme général PX.. Montrer que lm j 0 p + p+ PX 0.. En dédure que lm ppx > p 0. p +

2 v. Montrer que la sére de terme général PX > j converge. v. Montrer que b On suppose que j 0 PX > j converge. µ j 0 PX > j.. Détermner le sens de varaton de la sute v p p défne par. Comparer j PX j et j j 0 PX > j.. En dédure que X admet une espérance. p v p PX > j c Conclure des questons précédentes que X admet une espérance s et seulement s la sére de terme général PX > j converge. 3. On suppose dans cette queston qu l exste un réel strctement postf tel que pour tout enter naturel j on at PX > j j +. a Légtmer que défnt ben une lo de probablté d une varable aléatore à valeurs dans N. b Montrer que X admet une espérance s et seulement s est strctement supéreur à. c Montrer que pour tout enter naturel j non nul PX j j j 0 + /j d. Etuder les varatons de f : x + x x sur [0,].. Montrer que pour tout enter naturel j non nul, e Montrer, en utlsant le résultat de c, que PX j j + lm j + PX j. j + f Montrer que X admet une varance s et seulement s > 2. Soluton. Premère parte. a Sot j N. La varable étant à valeurs dans N, on a PX j F X j F X j. sot PX j PX j PX j PX > j PX > j

3 et donc PX j PX > j PX > j b Sot p N. D après le résultat précédent, pour tout j, p, on a j PX j j PX > j j PX > j sot, en addtonnant : j PX j j PX > j j PX > j j j j en effectuant le changement de varable j dans la premère somme : j PX j j p + PX > j PX > 0 0 j p + PX > j PX > j p j 0 en ajoutant un terme nul + PX > PX > ppx > p en regroupant les sommes 0 p 0 PX > ppx > p 2. a. X admettant une espérance, la sére de terme général PX est absolument convergente, et est donc convergente, de somme µ.. Sot p N. On constate que, par la relaton de Chasles les deux séres étant convergentes : PX PX + PX sot Or, par défnton 0 0 PX lm p + 0 par somme, on en dédut donc que lm 0 PX 0 p+ p+ PX PX 0 p + p+ PX 0 PX. Remarquons que, pour p N : ppx > p p p+ PX

4 Or, pour tout p + on a 0 p 0 ppx PX sot, en sommant 0 ppx > p p+ PX D après la queston précédente, lm p + p+ PX 0. Par encadrement lm ppx > p 0 p + v. D après la queston b on a, pour tout p N : p j 0 PX > j j PX j + ppx > p j Or, d après les questons 2a et 2a, les deux membres de drotes ont une lmte. Par p somme, on en dédut que la sute PX > j converge, c est-à-dre que la sére de j 0 p N terme général PX > j est convergente. v. En utlsant l écrture précédent, et pusque lm p + j j PX j EX µ et lm ppx > p 0 p + on en dédut donc que sot lm p p + j 0 j 0 PX > j µ PX > j µ b. Constatons que, pour tout p N : v p+ v p Ans, v p p N est crossante.. En utlsant la queston b, on a j 0 j p PX > j PX > j PX > p 0 j 0 p j PX j PX > j j 0

5 car ppx > p < 0. Mas alors, la sute v p étant crossante, pour tout p, v p est nféreure à sa lmte. Donc j PX j PX > j j. Constatons que, étant à valeurs postves, la sére j PX j est absolument convergente j s et seulement s elle est convergente. Notons S p j PX j. La sute S p p N est crossante ; en effet j j 0 S p+ S p p + PX p + > 0 et est majorée, d après la queston précédente. D après le théorème de convergence monotone, S p est convergente. Blan : X admet une espérance. c D après la queston 2av, s X admet une espérance, alors la sére de terme générale PX > j est convergente D après la queston 2b, s la sére de terme générale PX > j converge, alors X admet une espérance. On a donc ben montré que X admet une espérance s et seulement s la sére de terme général PX > j converge, et dans ce cas, l espérance de X est égale à la somme de la sére. 3. a Remarquons que, pour tout enter naturel j, on a et donc, pour x R : PX j PX > j + j PX x { 0 s x < +j s x [j ; j + [ On constate alors que la foncton F : x PX x est ben crossante, contnue à drote en tout pont, de lmte 0 en et en + : l s agt donc ben d une foncton de répartton dont les sauts ont leu en tout enter strctement postf. Ans, défnt ben une varable aléatore sur N. b D après la queston 2c, X étant à valeur dans N, X admet une espérance s et seulement s la sére de terme général PX > j est convergente. Or, d après le crtère de Remann, la sére de terme général est convergente s et seulement s >. + j Blan : X admet une espérance s et seulement s >.

6 c En utlsant la queston a, pour tout j N, on a PX j PX > j PX > j j + j j j + j j j +j j + /j d. f est dérvable sur [0,] foncton pussance et affne et on a, pour tout x [0,] : f x + x + x Or, pour x [0,], + x et donc, par décrossance de la foncton x > 0, on a x+ + x + + x. Ans, pour tout x [0,], f x 0 : f est décrossante sur [0,].. Pusque f est décrossante, on a f x f 0 0. Donc, pour tout enter naturel j N, pusque 0 < /j <, on a f /j 0, c est-à-dre + /j /j 0 sot et fnalement + /j j PX j j j j + e On a, en utlsant l écrture vue en c, pour tout j N : Or, on a équvalence classque : j + PX j j + j j + /j + /j + /j j + j et donc j + /j j j + j

7 Ans, lm j + PX j j + f La queston 3f ndque donc que PX j j + j + sot j 2 PX j j + j Cette sére est absolument convergente crtère de Remann s et seulement s >, sot > 2. Donc X admet un moment d ordre 2 et donc une varance d après Koeng Huygens s et seulement s > 2. Deuxème parte : Etude de la probablté de panne un jour donné. Dans cette deuxème parte, on suppose donnée une sute de varables aléatores X mutuellement ndépendantes et de même lo à valeurs dans N. Pour tout enter non nul, X représente la durée de ve en jours du -ème composant en fonctonnement. Sot un enter naturel non nul. On note T X + + X. T représente donc le jour où le -ème composant tombe en panne. On fxe un enter naturel n non nul représentant un jour donné et on consdère l événement A n le composant en place le jour n tombe en panne c est-à-dre A n l exste enter naturel non nul tel que T n, et on se propose d étuder PA n. 4. Pour tout enter naturel non nul j, on note p j PX j et u j PA j. On suppose que pour tout enter naturel non nul j, on a p j 0. On pose de plus par conventon u 0. a Montrer que u p. b. Montrer que A 2 [X 2] [X ] [X 2 ].. En dédure u 2 en foncton de p et p 2. c Pour tout enter naturel, on pose X X +.. Montrer que les varables X sont mutuellement ndépendantes, ndépendantes de X et de même lo que X.. Sot un enter naturel non nul strctement nféreur à n. Montrer que A n [X ] [X ] j [ X + X X j n ]. En dédure que pour tout enter naturel non nul strctement nféreur à n, P [X ]A n PA n. d Montrer que u n u n p + + u 0 p n. e En Sclab, sot P [p, p 2,, p n ] le vecteur lgne tel que Pj p j pour j dans,n. Ecrre un programme en Sclab qu calcule u n à partr de P.

8 5. Sot λ un réel appartenant à ]0,[. Dans cette queston, on suppose que X sut la lo géométrque de paramètre λ. Pour tout enter naturel j non nul, on a donc PX j λ λ j. a Calculer PX > pour tout enter naturel non nul. b Calculer P [X >]X +. c Montrer que pour tout enter naturel n non nul, PA n λ 6. On suppose dans cette queston que p vérfe 0 < p < et que p 2 p. Pour smplfer, on posera p p p 2. a Que vaut p pour supéreur ou égal à 3. b Sot la matrce p p M. 0 Montrer que pour tout enter naturel n supéreur ou égal à 2, c. Dagonalser la matrce M.. Montrer que d. Exprmer u n en foncton de p et n. Soluton. Parte 2. Détermner lm u n. n + un u n un M u n 2 M n p p n + 2 p p 2 p p p 4. a Les X étant à support dans N, pour tout enter non nul, T est à support dans,+. Ans, A [T ] j 2[T j ] [T ] [X ] }{{} b et donc PX PA, sot p u.. Comme précédemment, on constate que, pour j 3, [T j 2] car T j Ω j,+. Donc A 2 [T 2] [T 2 2] j 3[T j 2] [T 2] [T 2 2] }{{} Or, par défnton de T : [T 2] [X 2] et [T 2 2] [X + X 2 2] [X ] [X 2 ] pusque les X sont à support dans N. Ans, A 2 [X 2] [X ] [X 2 ]

9 . D après la queston précédent, et pusque [X 2] et [X ] [X 2 ] sont ncompatbles : PA 2 PX + P[X ] [X 2 ] p + PX PX 2 par ndépendance des X p + p p c Ans, u 2 p + p p p + p.. D après l énoncé, les X N sont mutuellement ndépendantes et de même lo, celle de X. C est-à-dre, X,X 2,...X n sont mutuellement ndépendantes et de même lo, celle de X, ce qu s écrt encore X, X, X 2,, X n,. Ans, les X N sont mutuellement ndépendantes, ndépendantes de X et de même lo que X.. Par défnton, A n j [T j n] [T n] j 2[X + X X j n] [T n] j 2[X + X + + X j n] [T n] j [X + X + + X j n] Ans, pusque < n : A n [X ] [T n] [X ] [X }{{} ] X + + X j n] j [+ X + + X j n ] j [ car ncompatble. Pusque les X sont de même lo que X, on a par défnton de A n : PA n [X + + X j n ] X + + X j n ] j j [ D après la queston précédente, et par ndépendance des X avec X, on a PA n [X ] PX P [ X + + X j n ] j PX PA n Ans, par défnton et pusque PX 0 P [X ]A n PA n d Utlsons X comme système complet d événements. D après la formule des probabl-

10 tés totales PA n sot PX P [X ]A n n PX P [X ]A n + PX n P [X n]a n + }{{} car X n donc T n n PX PA n + PX n n p u n + p n u 0 avec u 0 n, u n p u n + p 2 u n p n u 0 n+ PX P [X ]A n }{{} 0 car >n e En utlsant la queston précédente : Uzeros,n+ U for :n do U+0 for j: do U+ U++Pj*U+-j end end dspun+ 5. a Par défnton, pour : PX > j + j + PX j λ λ j λ λ en reconnassant une sére géométrque λ < λ λ Remarque : on peut calculer la somme en fasant un changement de varable. b Par défnton des probabltés condtonnelles, pour : P [X >]X + P[X + ] [X > ] PX > PX + PX > en constatant que [X + ] [X > ]. En utlsant le résultat de la queston précédente : P [X >]X + λ λ λ λ

11 c En utlsant la queston 4d, pour tout n, et en utlsant la défnton p j λ λ j : u n u n p + u n 2 p u 0 p n u n λ + u n 2 λ λ + + u 0 λ λ n u n.λ + λ.[u n 2 p u 0 p }{{ n ] } u n λ.u n + λ.u n u n u n Ans, u n est constante, égale à u p λ. On peut également montrer le résultat par récurrence forte. Pour n, sot P n : PA n λ que l on démontre par récurrence forte sur n : Pour n, d après la queston 4a, u PA p PX λ λ 0 λ. Ans, P est vrae. Supposons la proposton P vrae pour tout enter n. Ans, pour tout,n, u PA λ. Mas alors, en utlsant la queston 4d, on a Donc P n+ est vrae. u n+ u n p + + u 0 p n+ λp + + λp n + p n+ par H.R. λ p + + p n + pn+ n λ λ λ + λ λ n 2 λn λ + λ λn λ λ λ λ n + λ λ n λ D après le prncpe de récurrence, on a donc pour tout n : PA n λ. 6. a Pusque X est une varable aléatore, on a nécessarement PX, sot 3, p 0 b En utlsant la queston 4d, et en utlsant le résultat précédent : p. Or p + p 2. Donc Et pusque u n u n + 0u n 2, on a ben un u n u n u n p + u n 2 p u 0 p }{{ n } 0 car p 0 u n p + u n 2 p pun + pu n 2 un M u n + 0u n 2 u n 2

12 p λ p c. λ est valeur propre s et seulement s M λi n est pas nversble, sot s et λ seulement s p λ λ p 0 λ 2 pλ p 0 On obtent p p p 2 4p + 4 p 2 2 et M admet deux valeurs propres : p + p 2 p p 2 λ p et λ On cherche alors une base de vecteur propre. On constate que M et p Ans, on notant P. Après calcul, p M pp + p p p 0 et D, on a 0 p P p 2 M PDP et, par un résultat classque, pour tout n 0 : et donc, au rang n : p p M n PD n P p 0 p 0 p n p 2 p p p 2 p n p n + p n+ p p n+ p 2 + p n p p n p + p n+ p n+ p 2 p p 2 p n p n p p n p p + p 2 p p 2 p p n p p + 2 p p 2 p M n p p n + 2 p p 2 p p p d. D après la relaton 6b, on a par récurrence n, un u n M n u M n p u 0

13 sot, en utlsant le résultat précédent n, u n p n + p p 2 + p 2 p 2 p sot n, u n 2 p p n + 2p p 2 2 p 2 p p n p 2 2 p. Pusque 0 < p <, 0 < 2 p <. Ans, lm 2 n + pn 0. Par somme et produt lm u n n + 2 p Trosème parte : Etude de la durée de fonctonnement. Comme dans la parte précédente, on suppose donnée une sute de varables aléatores X ndépendantes et de même lo, telle que pour tout enter non nul, X représente la durée de ve en jours du -ème composant en fonctonnement. Sot un enter naturel non nul. On étude dans cette parte la durée de fonctonnement prévsble du système s on a composants à dsposton y comprs celu nstallé au départ. On notera toujours T X + + X. On suppose dans cette parte qu l exste un réel > tel que pour tout enter naturel j on at PX > j j + En partculer, dans toute cette parte, X admet une espérance, que l on note µ EX. 7. Que vaut ET? 8. On suppose, dans cette queston, que est strctement supéreur à 2. X admet donc une varance σ 2. a Calculer VarT. b Montrer que pour tout réel ε strctement postf, P T µ ε σ2 ε 2 c Dédure que, pour tout réel strctement postf ε, on a lm P T ]µ ε,µ + ε[ On suppose mantenant unquement que > et donc que X n a pas nécessarement de varance d où l mpossblté d applquer la méthode précédente. On va mettre en œuvre ce qu on appelle une méthode de troncaton. On fxe un enter naturel m strctement postf. Pour tout enter naturel non nul, on défnt deux varables aléatores Y m et Z m de la façon suvante { Y m X s X m 0 snon { Z m X s X > m 0 snon a Montrer que X Y m + Z m.

14 b. En utlsant la queston 3d, montrer que EZ m m+. Montrer que + EZ m m x dx.. Calculer + m x dx. c v. En dédure que v. Montrer que. Montrer que. En dédure que lm m + EZm 0 lm m + EYm µ Y m Var 2 mx. Y m mµ d Sot ε un réel strctement postf. Montrer qu l exste un enter naturel m 0 non nul tel que pour tout enter naturel m supéreur à m 0, m ε. Jusqu à la fn du problème, m désgnera un enter supéreur ou égal à m 0. e On note, pour tout enter naturel non nul U m et V m Y m Z m f g Vérfer que. Montrer que. En dédure que. Montrer que. En dédure que. Montrer que P U m T U m + V m EV m m. PV m ε m ε EU m µ m. EU m µ ε. µ 2ε P U m EU m ε.

15 h v. Montrer que v. En dédure que VarU m mµ. P U m µ 2ε mµ ε 2.. Montrer que pour tout couple d événements A et B dans A, on a PA B PA + PB. En applquant l négalté précédente aux événements [ ] [ ] A < ε et B ]µ 2ε,µ + 2ε[, montrer que V m PT ]µ 3ε,µ + 3ε[ PV m U m < ε + PU m ]µ 2ε,µ + 2ε[. Dédure des questons précédentes que pour tout réel ε strctement postf, et pour tout enter m supéreur ou égal à m 0, on a pour tout enter naturel non nul, PT ]µ 3ε,µ + 3ε[ m ε mµ ε 2. v. Pour assez grand, applquer l négalté précédente à un enter m [,2 ] et conclure que lm P T ]µ 3ε,µ + 3ε[. + Soluton. Parte 3 7. Par lnéarté de l espérance ET EX + + EX µ 8. a Par ndépendance ces X, on a VarT VarX + + VarX σ 2 b T possédant une varance, d après l négalté de Benaymé-Tchebychev, pour tout a > 0 : P T ET a VarT a 2 sot, applqué c à a ε > 0 et avec ET µ et VarT σ 2 : c D après le résultat précédent, pusque P T µ ε σ2 ε 2 σ2 ε 2 lm + σ 2 0 et par encadrement : ε2 lm P T µ > ε 0 +

16 sot, en constatant que l événement [ ε < T µ < ε] est l événement contrare de [ T µ ε], on en dédut que Or, lm P ε < T µ < ε + P ε < T µ < ε P ε < T µ < ε car > 0 P ε < T µ < ε P µ ε < T < µ + ε T P ]µ ε,µ + ε[ et donc lm P T ]µ ε,µ + ε[ + 9. a Sot ω Ω. b S X ω m, alors Y m ω X ω et Z m ω 0, donc Y m ω + Z m ω X ω. De même, s X ω > m, alors Y m ω 0 et Z m ω X ω, donc Y m ω+z m ω X ω. Donc X Y m + Z m.. Remarquons que, par défnton, Z m Ω m +,+. Etant dans la stuaton de la queston 3, on a donc, pour tout j : sot et donc PX j j + j PX j j EZ m j m+ j m+ j m+ j j PZ m j j PX j car Z m X s X > m d après ce qu précède. Sot j. Par décrossance de la foncton x x, on a pour tout t [j ; j + ] j + t j

17 sot, en ntégrant entre j et j + : ce qu donne j + j j j + dt + j j + + j j j t dt + j dt t j j dt En sommant pour j entre m et N avec N > m, et par la relaton de Chasles : N j m pus, par changement d ndce N j + N+ j m+ j m+ j m j + j N+ t dt m t dt N+ j m t dt En constatant que la somme et l ntégrale converge crtère de Remann, >, par passage à la lmte : + j m t dt et fnalement. Posons N > m. On a pusque > N m [ t dt + EZ m m t dt t ] N m N Pus, par passage à la lmte avec > et don > 0, on a + m t dt m lm N + m m 0 et donc N v. La varable X étant à valeur postve, Z m l est également, et donc EZ m 0. De plus, et lm m + 0 EZ m 0 car > 0. Par encadrement m lm m + EZm 0 m

18 v. Pusque X Y m + Z m et par lnéarté de l espérance EX EY m + EZ m Or EX µ et d après la queston précédente, lm m + EZm lm m + EYm µ 0. Par somme c. S X > m alors Y m S X m, alors 0 et donc Y m mx. Dans tous les cas, Y m 2 mx.. D après le résultat précédent, Y m Y m 2 X 2 X X mx car 0 < X m admet un moment d ordre 2 et donc une varance, et d Sot ε > 0 fxé. La foncton m VarY m EY m 2 EY m 2 par Koeng-Huygens EY m EmX d après la queston précédente mex mµ m est postve car > et sa lmte vaut lm m + m 0 car > Par défnton de la lmte, l exste un enter naturel m 0 tel que, pour tout m m 0, on at e Constatons que, pour : m ε f U m + V m. Par lnéarté de l espérance Y m + Z m Y m + Z m X d après la queston 9a T EV m EZ m

19 Or, on a démontré queston 9b v, que EZ m m. Les X ayant la même lo, les Z auss et donc, pour tout EZ m m m et donc EV m m m. D après l négalté de Marov pusque V m sot, avec le résultat précédent PV m PV m admet une espérance : ε EVm ε ε m m ε ε g. On a vu queston 9e que T U m + V m et donc, par lnéarté de l espérance EU m ET EV m Or ET µ et d après la queston 9f, on a EV m m et donc EU m µ m. Par postvté des V m, on a également que Ce résultat et le précédent donne donc EU m ET µ 0 µ EU m m sot encore µ EU m m Or, m m 0 donc m ε et fnalement µ EU m EU m µ ε

20 . Remarquons que, par négalté trangulare U m S U m ω µ 2ε, alors ω EU m U m ω mµ mµ EU m U m et en utlsant la queston 9g : Ans, on a l ncluson et donc [ P U m U m ω EU m 2ε mµ EU m U m ω EU m 2ε ε ε ] [ µ 2ε µ 2ε P U m U m ] EU m ε EU m ε v. Les varables aléatores X étant ndépendantes, d après le lemme des coaltons, les Y m sont également ndépendantes. Ans VarU m VarY m En utlsant le résultat de la queston 9c, on a alors v. U m VarU m mµ mµ possédant une varance, d après l négalté de Benaymé-Tchebychev, on a P U m EU m et donc, avec la queston 9g ε VarUm ε 2 P U m µ 2ε mµ ε 2 mµ 2 ε 2 mµ ε 2 h. Pour tout couple d événements A,B de A, on a Or, par défnton, PA B, et donc PA B PA + PB PA B PA B PA + PB

21 . Prenons les événements A et B de l énoncé. Remarquons que [ A B V m Remarquons que s ω A B, alors 0 V m ] [ < ε U m ] ]µ 2ε,µ + 2ε[ ω < ε et µ 2ε < U m ω < µ+2ε et donc µ 2ε < T < µ+2ε+ε Ans, l événement A B est nclus dans l événement T ]µ 3ε,µ + 3ε[. Donc, PT ]µ 3ε,µ + 3ε[ PA B }{{} q 9h PA + PB ce qu donne le résultat.. En regroupant les résultats vue en 9f, 9g v et 9h : et fnalement PU m PV m < ε PV m ε m }{{} ε q 9f ]µ 2ε,µ + 2ε[ P U m µ 2ε PT ]µ 3ε,µ + 3ε[ m ε + mµ ε 2 }{{} q 9gv mµ ε 2 m ε mµ ε 2 v. Sot ε > 0 fxé. L négalté précédente est vrae pour tout m m 0 et pour tout enter naturel. On prend suffsamment grand pour que > m 0 ce qu est possble. Sot m un enter comprs dans [ ;2 ]. Pusque < 0, par décrossance, on a donc De plus, m 2. L négalté précédente s écrt alors PT ]µ 3ε,µ + 3ε[ m pus m ε 2 µ ε 2 2 µ ε ε 2 ε étant fxé, le terme de drote tend vers car < 0 quand tend vers +. Par encadrement pusque qu une probablté est nféreure à, on en dédut ben que lm P T ]µ 3ε,µ + 3ε[ + ce qu s écrt encore lm P T ]µ 3ε,µ + 3ε[ +