PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

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1 PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir avec certitude quel e sera le résultat, résultat qui déped e effet du hasard. A cette expériece aléatoire, o associe l esemble des résultats possibles appelé uivers. Ses élémets sot appelés évetualités. Les sous-esembles de l uivers Ω sot appelés évéemets. Les évéemets formés d u seul élémet sot appelés évéemets élémetaires. Etat doé u uivers Ω, l évéemet Ω est l évéemet certai. L esemble vide est l évéemet impossible. L évéemet formé des évetualités qui sot das A et das B est oté A B et se lit A iter B. L évéemet formé des évetualités qui sot das A ou das B est oté A B et se lit A uio B. Etat doé u uivers Ω et u évéemet A, l esemble des évetualités qui e sot pas das A costitue u évéemet appelé évéemet cotraire de A, oté A. A et B sot icompatibles si et seulemet si A B =. Pour décrire mathématiquemet ue expériece aléatoire, o choisit u modèle de cette expériece ; pour cela o détermie l uivers et o associe à chaque évéemet élémetaire u ombre appelé probabilité.

2 b. Probabilités sur u esemble fii Défiitio : Soit Ω = {a, a,, a } u esemble fii. o défiit ue loi de probabilité sur Ω si o choisit des ombres p, p,, p tels que, pour tout i, 0 p i et p + p + + p = ; p i est la probabilité élémetaire de l évéemet {a i } et o ote p i = p({a i }) ou parfois plus simplemet p(a i ). pour tout évéemet E iclus das Ω, o défiit p(e) comme la somme des probabilités des évéemets élémetaires qui défiisset E. Propriétés Parties de E Vocabulaire des évéemets Propriété A A quelcoque 0 p(a) E Evéemet impossible Evéemet certai p( ) = 0 p(e) = A B = A et B sot icompatibles p( A B) = p(a) + p(b) A A est l évéemet cotraire de A p(a ) = p(a) A, B A et B quelcoques p(a B) = p(a) + p(b) p( A B) Exercice : O cosidère l esemble E des etiers de 0 à 40. O choisit l u de ces ombres au hasard. A est l évéemet : «le ombre est multiple de 3» B est l évéemet : «le ombre est multiple de» C est l évéemet : «le ombre est multiple de 6». Calculer p(a), p(b), p(c), p(a B), p(a B), p(a C) et p(a C). Défiitio : O dit qu il y a équiprobabilité quad tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité. Calculs das le cas d équiprobabilité Das ue situatio d équiprobabilité, si Ω a élémets et si E est u évéemet composé de m card E évéemets élémetaires : p (E) = où card E et card Ω désiget respectivemet le ombre card Ω d élémets de E et de Ω. O le mémorise souvet e disat que c est le ombre de cas favorables divisé par le ombre de cas possibles. Remarque : Les expressios suivates «dé équilibré ou parfait», «boule tirée de l ure au hasard», «boules idiscerables» idiquet que, pour les expérieces réalisées, le modèle associé est l équiprobabilité.

3 Exercice : avec u dé O lace deux fois de suite u dé équilibré. ) Représeter das u tableau les 36 issues équi probables. ) Calculer la probabilité des évéemets : A : «o obtiet u double» ; B : «o obtiet uméros cosécutifs» C : «o obtiet au mois u 6» ; D : «la somme des uméros dépasse 7». Exercice 3 : avec ue pièce O lace 4 fois de suite ue pièce équilibrée. ) Dresser la liste des issues équiprobables. ) Quel est l évéemet le plus probable : A ou B? A : «piles et faces» B : «3 piles et face ou 3 faces et pile». c. Variables aléatoires Exercice 4 : O lace trois fois de suite ue pièce de moaie équilibrée. O gage pour chaque résultat «pile» et o perd pour chaque résultat «face». ) Quel est l esemble E des issues possibles? ) Soit X l applicatio de E das qui, à chaque issue, associe le gai correspodat. a) Quelles sot les valeurs prises par X? b) Quelle est la probabilité de l évéemet «obteir u gai de 3»? O ote cette probabilité p(x = 3). O obtiet ue ouvelle loi de probabilité sur l esemble des gais E = X(E) = {-3 ;0 ;3 ;6 } ; ous la ommos loi de probabilité de X : Gai x i x = -3 x = 0 x 3 = 3 x 4 = 6 Probabilité 3 3 p i = p(x = x i ) Défiitio : Ue variable aléatoire X est ue applicatio défiie sur u esemble E mui d ue probabilité P, à valeurs das. X pred les valeurs x, x,, x avec les probabilités p, p,, p défiies par : p i = p(x = x i ). L affectatio des p i aux x i permet de défiir ue ouvelle loi de probabilité. Cette loi otée P X, est appelée loi de probabilité de X. Remarque : Soit X ue variable aléatoire preat les valeurs x, x,, x avec les probabilités p, p,, p. O appelle respectivemet espérace mathématique de X, variace de X et écart-type de X, les ombres suivats : 3

4 l espérace mathématique est le ombre E(X) défii par : E(X) = i= la variace est le ombre V défii par : V(X) = p i ( x i E(X) ) = i= i= l écart - type est le ombre σ défii par : σ = V. ( p i x i ). p i x i ² E(X)². Exercice 5 : U joueur lace u dé : si le uméro est u ombre premier, le joueur gage ue somme égale au ombre cosidéré (e euros) ; sio il perd ce même ombre d euros. ) Si X est le gai algébrique réalisé, doer la loi de probabilité de X et calculer so espérace mathématique et so écart-type. ) Le jeu est-il favorable au joueur? II. CONDITIONNEMENT a. Arbres podérés Règles de costructio La somme des probabilités des braches issues d'u même œud est. La probabilité de l'évéemet correspodat à u trajet est le produit des probabilités des différetes braches composat ce trajet. Exemple O jette ue pièce. Si o obtiet pile, o tire ue boule das l ure P coteat boule blache et boules oires. Si o obtiet face, o tire ue boule das l ure F coteat 3 boules blaches et boules oires. O peut représeter cette expériece par l'arbre podéré ci-dessous : /3 B p(p B) = /6 / P /3 N p(p N) = /3 / 3/5 B p(f B) = 3/0 F /5 N p(f N) = /5 b. Probabilité coditioelle Exercice 6 : E fi de e S, chaque élève choisit ue et ue seule spécialité e termiale suivat les répartitios ci dessous : 4

5 Par spécialité : Mathématique Scieces SVT s Physiques 40% 5% 35% Sexe de l élève selo la spécialité : Sexe / Spécialité Mathématiques Scieces physiques SVT Fille 45% 4% 60% Garço 55% 76% 40% O choisit u élève au hasard. ) Costruire l arbre podéré de cette expériece aléatoire. ) a) Quelle est la probabilité de chacu des év éemets suivats? F : «l élève est ue fille», M : «l élève est e spécialité maths». b) Quelle est la probabilité que ce soit ue fille ayat choisi spécialité mathématiques? c) Sachat que cet élève a choisi spécialité mathématiques, quelle est la probabilité que ce soit ue fille? O appelle probabilité de F sachat M cette probabilité (coditioelle) et o la ote p M (F) ou P(F/M) Quelle égalité faisat iterveir p(f M), p(f) et p M (F) peut-o écrire? Comparer p(f) et p M (F) et e doer ue iterprétatio. d) Sachat que cet élève a choisi spécialité SVT, quelle est la probabilité que ce soit ue fille? e) Comparer p S (F) et p(f), et e doer ue iterprétatio. Défiitio : p désige ue probabilité sur u uivers fii Ω. A et B état deux évéemets de Ω, B état de probabilité o ulle. O appelle probabilité coditioelle de l évéemet A sachat que B est réalisé le réel P ( A B) oté p ( A / B) =. p A ( ) Le réel p(a /B) se ote aussi p B (A) et se lit aussi probabilité de A sachat B. Remarque : Si A et B sot tous deux de probabilité o ulle, alors les probabilités coditioelles p(a/b) et p(b/a) sot toutes les deux défiies et o a : p(a B) = p(a/b)p(b) = p(b/a)p(a). Exercice 7 : Efficacité d u test» Ue maladie atteit 3% d ue populatio doée. U test de dépistage doe les résultats suivats : Chez les idividus malades, 95% des tests sot positifs et 5% égatifs. Chez les idividus o malades, % des tests sot positifs et 99% égatifs. O choisit u idividu au hasard. ) Costruire l arbre podéré de cette expériece aléatoire. ) Quelle est la probabilité a) qu il soit malade et qu il ait u test positif? b) qu il e soit pas malade et qu il ait u test égatif? c) qu il ait u test positif? d) qu il ait u test égatif? 3 ) Calculer la probabilité a) qu il e soit pas malade, sachat que le test est positif? b) qu il soit malade, sachat que le test est égatif? 4 ) Iterpréter les résultats obteus aux questio s 3a et 3b. 5

6 III. INDÉPENDANCE a. Évéemets idépedats Défiitio : A et B sot évéemets de probabilité o ulle. A et B sot idépedats lorsque la réalisatio de l u e chage pas la réalisatio de l autre. A et B sot idépedats si et seulemet si p(a/b) = p(a) ou p(b/a) = p(a). Théorème : Deux évéemets A et B de probabilité o ulle sot idépedats si et seulemet si ils vérifiet ue des trois coditios : p(a/b) = p(a) ou p(b/a) = p(b) ou p( A B) = p(a)p(b). Démostratio : Par défiitio, les deux premières sot équivaletes si p(a/b) = p(a) comme p(a B) = p(a/b)p(b) alors p(a B) = p(a) p(b) si p(a B) = p(a)p(b), comme p(b) 0, p ( A B) p( B) = p(a) c est-à-dire p B (A) = p(a) Remarque : Ne pas cofodre évéemets idépedats et évéemets icompatibles. évéemets A et B sot idépedats si p(a B)= p(a)p(b) évéemets A et B sot icompatibles si A B=. Exercice 8 O extrait au hasard u jeto d u sac coteat six jetos : trois rouges umérotés, et 3, deux jaues umérotés et, et u bleu uméroté. O désige respectivemet par R, U et D les évéemets : «le jeto est rouge», «le uméro est» et «le uméro est». Les évéemets R et U sot-ils idépedats? Et les évéemets R et D? b) Idépedace de deux variables aléatoires Défiitio : X et Y sot deux variables défiies sur l uivers Ω d ue expériece aléatoire ; X pred les valeurs x, x,, x et Y pred les valeurs y, y,, y q. Défiir la loi du couple (X, Y) c est doer la probabilité p i,j de chaque évéemet [(X = x i ) et (Y = y j )]. Remarque : Les évéemets (X = x i ) et (Y = y j ) sot idépedats si : p[(x = x i ) et (Y = y j )] = p(x = x i ) p(y = y j ) 6

7 Exercice 9 O tire au hasard ue carte d u jeu de 3 cartes. L esemble Ω des issues est alors l esemble des 3 cartes et le fait de tirer au hasard implique que les évéemets élémetaires sot équiprobables. O défiit sur Ω la variable aléatoire X qui, à chaque issue, associe si cette issue est u valet, si c est ue dame, 3 si c est u roi, 4 si c est u as et 0 si ce est pas l ue de ces figures. Les valeurs de X sot doc x = 0, x =, x 3 =, x 4 = 3, x 5 = 4. O défiit sur Ω la variable aléatoire Y qui, à chaque issue, associe si cette issue est u trèfle ou u carreau, si c est u cœur, 3 si c est u pique. Les valeurs de Y sot y =, y =, y 3 = 3. ) Défiir la loi du couple (X, Y).( o pourra dr esser u tableau à double etrée) ) Doer les lois de X et de Y. 3 ) X et Y sot-elles idépedates? c) Probabilités totales Défiitio : Soiet Ω u uivers associé à ue expériece aléatoire et u etier. Les évéemets A, A,, A formet ue partitio de Ω si les trois coditios suivates sot réalisées : pour tout i { ; ; ; }, A i 0. pour tous i et j (avec i j) de { ; ; }, A i A j. A A A = E. Formule des probabilités totales Soiet A, A,, A ue partitio de l uivers Ω costituée d évéemets de probabilités o ulles et B u évéemet quelcoque coteu das Ω. Alors : p(b) = p(b A ) + p(b A ) + + p(b A ) Ou p(b) = p (B) p(a ) + p (B) p(a ) + Κ Κ + p (B) p(a ). A A A Démostratio : B = (B A ) (B A ) (B A ), Les évéemets (B A ), (B A ),, (B A ) sot à icompatibles doc la probabilité de leur réuio est la somme de chacu d etre eux, o e déduit : p(b) = p(b A ) + p(b A ) + + p(b A ). et e utilisat que, pour tout i de { ; ; ; }, p(b A i )=p Ai (B) p(a i ), o obtiet : p(b)= pa (B) p(a ) + pa (B) p(a ) + Κ Κ + pa (B) p(a ) Exercice 0 : O dispose de deux ures U et U idiscerables. U cotiet 4 boules rouges et trois boules vertes, U cotiet boules rouges et boule verte. O choisit ue ure au hasard et o tire ue boule de cette ure. Calculer la probabilité pour qu elle soit rouge. 7

8 d) Modélisatio d expérieces idépedates O cosidère les deux expérieces aléatoires suivates : A : o lace ue pièce de moaie équilibrée, les issues de l expériece sot otées P et F. B : o tire au hasard u jeto das ue ure qui cotiet trois jetos portat les lettres a, b et c. Lorsqu o effectue successivemet les deux expérieces A et B, l issue de l ue quelcoque des deux expérieces e déped pas de l issue de l autre. Les issues de la ouvelle expériece qui cosiste à effectuer successivemet A et B sot des listes d issues telles que ( P ; c ), L arbre doat toutes les listes de résultats possibles est : P a b (P ; a) (P ; b) c (P ; c) a (F ; a) F b (F ; b) c (F ; c) O modélise cette expériece aléatoire e défiissat la probabilité d ue liste d issues comme le produit des probabilités de chaque issue. IV. DENOMBREMENT U magazie propose à ses lecteurs ue liste de 5 chateurs célèbres a, b, c, d et E ; il leur demade de choisir 3 des ces chateurs et de les rager par ordre de préférece sur u coupo répose à revoyer au joural. Exemples de réposes : : a : b 3 : c : b : a 3 : c : c : e 3 : a O veut déombrer les différetes réposes possibles 8

9 a) Permutatios Défiitio : Soit E u esemble à p élémets, o appelle permutatio de E toute liste ordoée des p élémets de E. Exemple : Les permutatios de { a, b, c } sot : abc, acb, bac, bca, cab, cba. Elles sot au ombre de 3 = 6. Défiitio : Le ombre p (p ) (p ) se ote p! et se lit «factorielle p». Par covetio, 0! =. Exercice : Avec les chiffres 5, 6, 7, 8 et 9 utilisés ue et ue seule fois, combie peut o écrire de ombres à 5 chiffres? b) Combiaisos Défiitio : Soit E u esemble à élémets, o appelle combiaiso de p élémets de E toute partie de E formée de p élémets. Exemple : Les combiaisos de 3 élémets de E = { a, b, c, d, e } sot les groupes de 3 chateurs (sas ordre) : {a, b, c} ; {a, b, d} ; {a, b, e} ; {a, c, d} ; {a, c, e} ; {a, d, e} ; {b, c, d} ; {b, c, e} ; {b, d, e} ; {c, d, e} Elles sot o ombre de 0. O ote 5 3 = 0. Propriété : Soit E u esemble o vide à élémets et p u etier tel que 0 < p, alors le ombre de combiaisos à p élémets de E oté p vérifie : p =! p! ( p)! 9

10 Triagle de Pascal et propriétés des combiaisos p O dispose les das u tableau à double etrée, appelé triagle de Pascal : \ p = 0 = 0 = = = = 5 = = = 3 3 = 4 4 = 5 5 = = = = = = = = = = Propriétés : Pour tous etiers p et tels que 0 p, o a : 0 = et = p = -p p + p+ = + p+ Biôme de Newto O observe que : (a + b) = a + b, (a + b)² = a² + ab + b², (a + b) 3 = a 3 + 3a²b + 3ab² + b 3. O retrouve les coefficiets du triagle de Pascal. Propriété : Pour tous réels a et b et tout etier aturel, o a : (a + b) =. p a p b p p=0 Les ombres p sot appelés «coefficiets du biôme». Exercice : Développer les expressios suivates : A =(x + ) 4 B = (x ) 4 0

11 Exercice 3 : Das u jeu de 3 cartes, o tire simultaémet 3 cartes au hasard. Quelle est la probabilité d obteir : ) Trois as. ) Trois cartes de même valeur. 3 ) Deux cœurs et u pique. Exercice 4 : Ue ure cotiet : 5 boules 0 ; 4 boules 5 ; 3 boules 0. O tire simultaémet 3 boules de cette ure. Les tirages sot équiprobables. ) Détermier les probabilités suivates : A : «O tire au mois ue boule 5» B : «O tire trois boules portat trois uméros différets» C : «O tire trois boules portat le même uméro» D : «Parmi les trois boules, deux portet le même uméro» ) Il faut payer 5 pour effectuer u tirage d e trois boules, et chaque tirage rapporte e euros la somme des poits marqués. Quelle est la probabilité d être gagat?. c) Autres déombremets, hors programme P-listes : Il s'agit de compter toutes les listes possibles de p élémets parmi e teat compte de l'ordre et avec répétitios des élémets. Le ombre de ces listes est p. Arragemets : O choisit p élémets parmi e teat compte de l'ordre mais sas! répétitios. A p = ( ) Κ ( p + ) =! ( p)! Combiaisos : Ue combiaiso de p élémets de E est ue partie de E qui cotiet p élémets. O choisit p élémets parmi mais sas teir compte de l'ordre et sas répétitios. Types de tirages Ordre Répétitios d'élémets Déombremet Successifs Avec remise O tiet compte U élémet peut être tiré plusieurs fois p p-listes Successifs Avec remise de l'ordre U élémet 'est tiré p A arragemets Simultaés L'ordre 'iterviet pas qu'ue seule fois p C combiatoires

12 V. LOIS DE PROBABILITE a) Loi de Beroulli Défiitio : Ue alterative est ue épreuve à deux issues possibles : le succès, oté, de probabilité p, l échec, oté 0, de probabilité q = p. Sa loi de probabilité est appelée loi de Beroulli de paramètre p. Exemple : U dé cubique est mal équilibré : la probabilité d obteir 6 est de /7. O appelle succès l évéemet «obteir 6» et échec «obteir u uméro différet de 6». Cette expériece qui e comporte que deux issues suit ue loi de Beroulli. Si O effectue ciq fois cette expériece. O est e présece d u schéma de Beroulli. Théorème : Pour ue loi de Beroulli de paramètre p, l espérace est p et l écart type est pq b) Loi Biomiale Défiitio : Soit u schéma de Beroulli costitué d ue suite de épreuves. Soit X la variable aléatoire égale au ombre de succès obteus, alors : P(X = k) = k pk ( p) k (0 k ) Exemple : Das l exemple précédet, o appelle X la variable aléatoire comptat le ombre de succès à l issue des 5 lacés. O obtiet les probabilités suivates : P 0 = P(X = 0) = = 0,467. P =0,3856 ; P = 0,85 ; P 3 = 0,04 ; P 4 = 0,008 ; P 5 = 0,000. Théorème : Pour ue loi Biomiale de paramètres et p, l espérace est p et l écart type est pq Exercice 5 : U sac cotiet 0 jetos idiscerables au toucher. Six d etre eux sot rouges et les autres sot bleus. ) O tire u jeto au hasard. Quelle est la prob abilités p d obteir u jeto rouge? ) O tire successivemet 6 jetos u à u, avec remise. a) Quelle est la probabilité P d obteir exactemet trois jetos rouges? b) Quelle est la probabilité P d obteir exactemet u jeto rouge ou u jeto bleu? c) Quelle est la probabilité P3 d obteir au mois quatre jetos rouges?

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