Mathématiques financières

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1 Uiversité Paris 7 Master ère aée 25/26 E. Temam Mathématiques fiacières Partie I temam@math.jussieu.fr

2 I. Les marchés fiaciers... 3 A. Vocabulaire des marchés fiaciers... 3 B. Les produits fiaciers Les actios Les Obligatios Autres produits échagés... 7 C. Le marché Boursier Les sociétés de Bourse Le marché des Obligatios Le marché des Actios...9 II. Notios de taux d itérêt... 2 A. Itroductio... 2 B. Itérêts simples et composés Itérêts simples Opératios à court terme Itérêts composés La otio de capitalisatio Les types de taux : Pricipe d équivalece des taux... 9 C. Les taux sur les marchés Les différets taux Commet se formet les taux? Le taux de base bacaire (TBB) ou prime rate III. Actualisatio et actuariat A. Pricipe d actualisatio Défiitios Valeurs acquises et valeurs actuelles d ue suite de flux fiacier B. Les choix d ivestissemet Taux actuariel Comparaiso VAN/TRI C. Les empruts idivis...28 D. Les empruts obligataires Caractéristiques d'u emprut obligataire Valeur d ue obligatio IV. Les produits dérivés... 4 A. Présetatio des produits dérivés Défiitio Les cotrats à terme Les optios B. Les marchés des produits dérivés Le MATIF Le MONEP C. Stratégies complexes Stratégie sur la volatilité : le straddle Stratégie sur la volatilité : le stragle Stratégie sur le prix : le collar V. Modèle d évaluatio par arbre... 6 A. Modèle à ue période U exemple Hypothèse d absece d opportuités d arbitrage Cas gééral B. Modèle à deux périodes Page 2 sur 67

3 I. Les marchés fiaciers Le Marché Fiacier est le marché sur lequel s échaget les valeurs mobilières : actios, obligatios et titres dérivés (certificats d ivestissemet, titres participatifs, warrats...etc.). A. Vocabulaire des marchés fiaciers U titre fiacier est u cotrat où les parties s échaget des flux d arget. U marché fiacier est u lieu où l o achète et ved des titres fiaciers. Les opérateurs de marché sot le plus souvet autorisés à vedre à découvert («short sellig») des titres qu ils e possèdet pas! Attetio! Vedre u titre à découvert sigifie s egager à e verser les reveus à l acquéreur. Vous espériez tout de même pas avoir le beurre et l arget du beurre? Si? Dommage La valeur d u titre fiacier est u motat positif ou égatif, qui représete l erichissemet ou l appauvrissemet des flux futurs. Attetio! Rie e garatit a priori que la valeur d u titre soit uique : il existe souvet plusieurs méthodes de valorisatio. Le prix d u titre est u motat coveu etre deux parties e échage du titre. Le plus souvet c est l acheteur qui verse le motat, mais il arrive que le vedeur doive payer l acheteur pour que celui-ci accepte u titre qui lui causera des pertes. Attetio! le prix est pas forcémet égal à la valeur : tout le mode a pas la même aticipatio de l aveir. B. Les produits fiaciers Quatre grads types de produits fiaciers sot échagés à la bourse : Produits coditioels : Warrats, Bos, Optios Actios Obligatios Cotrats à terme Page 3 sur 67

4 . Les actios Défiitio : Ue actio est u Titre de propriété représetat ue fractio du capital d ue etreprise et doat à so porteur le droit de vote aux assemblées, le droit à l iformatio et aux bééfices (ommé dividede). Il existe e réalité ue très grade diversité d'actios dot ous présetos ici quelques exemples. a) L actio classique C'est la forme la plus répadue. Ce titre de propriété s'acquière cotre de l'arget soit au momet de la créatio de l'etreprise ou d'augmetatios de capital soit directemet sur le marché boursier. Elle est source de trois droits : u droit au pouvoir -via u droit de vote lors des assemblées géérales- ; u droit à l'iformatio ; u droit au résultat -sous forme de dividedes-. E effet, si la société réalise des bééfices, l'actioaire e recevra ue partie au prorata du ombre d'actios qu'il possède. Le reveu de l'actioaire s'appelle doc le dividede. Il déped des résultats fiaciers de l'etreprise. Depuis ovembre 984, les actios sot dématérialisées. Le papier a laissé place au code Sicovam stocké das u éorme ordiateur. U des grads avatages de cette dématérialisatio est le reforcemet de la sécurité. Impossible e effet pour u actioaire de se faire voler ses titres. b) L'actio privilégiée Elle offre u privilège qui peut être ue priorité lors des votes das les assemblées géérales ou ue priorité lors de la distributio du dividede. c) L'actio à dividede prioritaire - ADP Les ADP ot été créées e 978. Elles cofèret à leur déteteur u accès privilégié aux dividedes. Mais elles e bééficiet pas de droit de vote. Elles présetet u redemet plus élevé que l'actio ordiaire sas offrir le droit de vote. Dès lors que le profit est positif, le dividede versé doit égaler au mois 7.5% de la valeur omiale de l actio. Sio, lorsque le profit est égatif ou isuffisat, le versemet du dividede doit être reporté sur les deux exercices suivats. d) Les certificats d'ivestissemet Les certificats d'ivestissemet sot des titres sas droit de vote qui sot apparus après les atioalisatios de 98. L objectif était de permettre des prises de participatio par le public das les etreprises atioalisées sas pour autat modifier l actioariat et faire perdre des voix à l actioaire pricipal, à savoir l Etat. Ces titres, de mois e mois répadus sur le marché fraçais, peuvet aussi bie être émis par des etreprises publiques que privées. O a doc : Certificat d'ivestissemet + Droit de vote = Actio e) Les ABSA ou Actios à Bos de souscriptio d'actios Ce sot des actios qui doet droit à leur déteteur de souscrire à de ouvelles actios à ue date doée. Elles sot e gééral, plus chères qu ue actio classique. Page 4 sur 67

5 Résumé Actio Titre de propriété Droit de l'actioaire Droit à l'iformatio Droit de vote Droit à la rémuératio Rémuératio de l'actio Sous forme de dividede Sous forme d'augmetatio du prix de l'actio plus value Risque maximum de l'actioaire : limité à la valeur de ses actios Exemple d iformatio sur l actio Frace Télécom Page 5 sur 67

6 2. Les Obligatios Défiitio : les obligatios sot des titres de créaces représetatifs de dettes. Ue obligatio doe droit au paiemet d u itérêt e gééral auel et au remboursemet du capital. Le déteteur d ue obligatio perçoit u reveu cou à l avace ou dot la révisio se réalise das les coditios prévues au momet de l émissio. E cas de faillite de l émetteur, le déteteur d ue créace est prioritaire sur l actioaire. Les obligatios peuvet être émises par les etreprises privées ou publiques, aisi que par l Etat, les admiistratios publiques et les collectivités locales. a) Vocabulaire La valeur omiale d ue obligatio est celle qui sert de base au calcul de l itérêt e gééral auel versé (le coupo). Le coupo est alors égal au taux facial (fixé à l émissio) multiplié par le omial. Le prix d émissio est le motat du versemet demadé au souscripteur lors de l émissio de l obligatio. Lorsque le prix d émissio est égal à la valeur omiale de l obligatio, l émissio est dite au pair. Mais l obligatio peut être émise soit e dessous (cas le plus fréquet), soit au-dessus de la valeur omiale. La différece etre la valeur omiale et le prix d'émissio costitue alors la prime d'émissio. La valeur de remboursemet est le motat perçu par l obligataire e remboursemet de so prêt. Lorsque la valeur de remboursemet est égale à la valeur omiale, le remboursemet est dit au pair. Mais la valeur de remboursemet peut différer de la valeur omiale. La différece costitue alors la prime de remboursemet. La possibilité de verser des primes d émissio et/ou de remboursemet permet otammet à l émetteur de predre e compte ue évolutio des taux du marché etre le motage du placemet et l émissio effective. L auité est le flux total versé chaque aée par l émetteur à l esemble des obligataires, c est-à-dire la somme des itérêts et des flux évetuels de remboursemet du pricipal. Le remboursemet de l obligatio peut être réalisé selo trois modalités pricipales différetes. Le remboursemet i fie : le remboursemet est réalisé e ue seule fois, le derier jour de la durée de vie de l obligatio. A l exceptio de la derière aée de vie de l obligatio, l auité est doc composée que des seuls itérêts versés chaque aée par l émetteur. Le remboursemet par séries ou par traches auelles égales : chaque aée, ue partie de l emprut est remboursée. U même ombre de titres, tirés au sort, est remboursé chaque aée. Le motat de l auité dimiue avec le temps, puisque l itérêt sur le capital restat dû dimiue. Le remboursemet par auités costates : l auité est costate. Aussi, puisque le motat de l itérêt sur le capital restat dû dimiue, l émetteur rembourse chaque aée (par tirage au sort), ue part croissate du pricipal. O distigue plusieurs catégories d obligatios qui répodet à des attetes différetes. Les obligatios ordiaires sot des obligatios à taux fixe dot le coupo versé e gééral ue fois par a est idetique sur toute la durée de vie du titre. Il est importat de oter que ces titres sot particulièremet vulérables au risque d iflatio e cas de variatio des taux d itérêt. Preos u exemple. Ue obligatio à as d ue valeur omiale de euros, remboursée au pair i fie, et ayat u taux facial de % rapporte chaque aée euros auxquels il faut rajouter le remboursemet du pricipal ( euros) à l issue de la ème aée. Imagios que le déteteur de cette obligatio souhaite la revedre sur le marché avat l échéace, à u momet où le taux facial pratiqué sur les ouvelles émissios d obligatios est de 5%. Au taux du marché, ue obligatio de valeur omiale égale à euros rapporte chaque aée 5 euros ; par coséquet, persoe acceptera d acheter euros u titre e rapportat que euros d itérêt auels. Pour revedre so titre, le déteteur de l obligatio doit cosetir ue baisse du prix de faço à ce que, pour Page 6 sur 67

7 l acheteur, la rémuératio soit idetique à celle du marché, ici 5%. Le vedeur devra vedre so obligatio au prix d ue obligatio de omial 667. Nous avos aisi mis e évidece ue relatio décroissate etre le prix d ue obligatio et le iveau des taux d itérêt. Il e résulte pour l acquéreur d ue obligatio u risque de taux d itérêt, c est-àdire ue risque de mois-value à la revete e cas de hausse des taux. Ce risque est particulièremet sesible aux tesios iflatioistes, lesquelles peuvet être à l origie d ue hausse des taux par les autorités moétaires. Pour pallier les défauts des obligatios à taux fixe, plusieurs iovatios ot vu le jour. Les obligatios à taux flottat sot composées des obligatios à taux variable et à taux révisable. Leur particularité est d offrir ue rémuératio (taux d itérêt) qui varie das le temps e référece à ue moyee de taux costatés sur le marché. Les titres à taux révisable verset u itérêt périodique qui est calqué sur l évolutio récete des marchés alors que ceux à taux variables procuret ue rémuératio calculée comme ue moyee des coditios offertes par le marché jusqu au jour de détachemet du coupo. Les obligatios idexées sot des titres dot la valeur de remboursemet et/ou les itérêts sot liés à l évolutio d u idice de référece. E particulier, le redemet de certais empruts est calqué sur l iflatio. Aisi, le Trésor fraçais a procédé, pour la première fois e septembre 998, à l émissio d ue OAT (Obligatio Assimilable du Trésor) idexée sur l iflatio : l OATi. Ce titre est ue obligatio à taux fixe dot tous les flux sot payés e appliquat u coefficiet d idexatio égal à l évolutio de l iflatio etre la date iitiale et la date de paiemet du flux. L OATi est dès lors sesible qu à l évolutio des taux d itérêt réels (taux d itérêt omiaux mois taux d iflatio), historiquemet plus stables que les taux d itérêt omiaux. Ce produit fiacier offre doc ue protectio cotre les risques d iflatio o aticipée et représete, de ce fait, l actif actuellemet le mois risqué sur le marché. Comme pour les actios, existet das la catégorie des obligatios des titres hybrides, se situat e réalité à mi-chemi etre les obligatios et les actios. Il s agit par exemple des obligatios à bo de souscriptio d obligatio (OBSO), des obligatios covertibles e actios (OCA) ou des titres participatifs. Ces deriers sot assimilés à des quasi-fods propres ; ils sot e pricipe o remboursables et procuret à leurs déteteurs ue rémuératio qui est pour partie fixe et pour partie variable idexée à u idicateur de performace de la société (chiffre d affaires, résultat et ). 3. Autres produits échagés Il existe d autres produits échagés sur les marchés. Tout d abord les matières premières comme l or, le pétrole, les produits agro-alimetaires, etc. D autre part, il y les devises : euro, dollar, ye, etc. Deux grads types de produits dot ous parleros ultérieuremet : Les produits de taux Les produits dérivés Page 7 sur 67

8 C. Le marché Boursier Nous l'avos vu das la fiche sur le rôle de la bourse, ce sot les sociétés de bourse qui sot le passage obligé de l'ivestissemet e bourse car elles détieet le moopole des trasactios boursières. Jusqu'e 988 c'étaiet des officiers miistériels (les agets de chage) qui déteaiet ce moopole, cepedat le crack de 987 est veu modifier cette orgaisatio et les agets de chage se sot trasformés e sociétés de bourse.. Les sociétés de Bourse a) Euroext Cette société a pour missio de veiller au bo déroulemet de la cotatio des valeurs, elle peut iterveir pour iterrompre la cotatio, otammet das le cas d'irrégularités ou d'évéemets propres à egedrer ue spéculatio ijustifiée (OPA, OPE,...). Ue autre de ses missios et d'assurer le calcul et la cotatio des idices (ex: CAC 4) aisi que d'assurer la promotio de la place parisiee e Frace et à l'étrager. Le 22/9/2, les bourses d'amsterdam, de Bruxelles et de Paris ot fusioé, créat ue place fiacière trasatioale baptisée Euroext. Le 6/2/22, la bourse portugaise BVLP est pour sa part deveue Euroext Lisboe, au même titre que «Euroext Paris, Euroext Amsterdam et Euroext Bruxelles». Euroext costitue doc désormais u marché trasfrotalier d'actios, d'obligatios, de produits dérivés et de marchadises totalemet itégré. Euroext s occupe des opératios de compesatio du marché à terme et du marché des optios égociables depuis la fusio avec MONEP et MATIF. b) Le Coseil des Bourses de Valeurs (CBV) Le CBV tiet u rôle d'orgaisatio et de réglemetatio du marché par le biais de règlemets tels que: les coditios d'agrémet des sociétés de bourses, les dispositios déotologiques, les modes d'admissio ou de radiatio à la côte... c) La Commissio des Opératios de Bourse (COB) La COB a été créée e 967 pour surveiller le marché, o eted d'ailleurs courammet dire qu'il s'agit du "gedarme de la bourse", c'est ue autorité admiistrative idépedate dirigée par six membres. Ses trois pricipaux rôles sot la protectio de l'éparge, l'iformatio des ivestisseurs et la garatie du bo foctioemet des égociatios. La COB dispose e outre d'u droit d'oppositio à l'admissio d'u titre ou d'u istrumet fiacier sur u marché réglemeté. Efi elle dispose d'u pouvoir de sactio e cas d'ifractio à ses règles. d) L autorité des marchés fiaciers (AMF) Créée e 23, l AMF est issue de la fusio de plusieurs orgaismes : la Commissio des opératios de bourse (COB) ; le Coseil des marchés fiaciers (CMF) ; le Coseil de disciplie de la gestio fiacière (CDGF). L'Autorité des marchés fiaciers est u orgaisme public idépedat qui a pour missios de veiller : à la protectio de l'éparge ivestie das les istrumets fiaciers et tout autre placemet doat lieu à appel public à l'éparge ; à l'iformatio des ivestisseurs ; au bo foctioemet des marchés d'istrumets fiaciers. Ses pricipales compéteces portet sur : Les opératios et l'iformatio fiacières : l AMF réglemete et cotrôle l'esemble des opératios fiacières portat sur des sociétés cotées : itroductios e bourse, Page 8 sur 67

9 augmetatios de capital, offres publiques, fusios... et veille au bo déroulemet des offres publiques boursières. Elle vérifie que les sociétés publiet, e temps et e heure, ue iformatio complète et de qualité, délivrée de maière équitable à l'esemble des acteurs. Les produits d'éparge collective: elle autorise la créatio de SICAV et de FCP. Elle vérifie otammet l'iformatio figurat das le prospectus simplifié de chaque produit qui doit être remis au cliet avat d'ivestir. Les marchés et leurs ifrastructures : l'autorité des marchés fiaciers défiit les pricipes d'orgaisatio et de foctioemet des etreprises de marchés (comme Euroext Paris) et surveille les marchés et les trasactios qui s'y déroulet. Les professioels (établissemets de crédit autorisés à fourir des services d'ivestissemet, etreprises d'ivestissemet, sociétés de gestio, coseillers e ivestissemet fiacier, démarcheurs, etc.). L'AMF détermie les règles de boe coduite et les obligatios que doivet respecter les professioels autorisés à fourir des services d'ivestissemet ou des coseils e ivestissemet. Le marché boursier est composé de deux compartimets : le compartimet actio -ou marché des actios- et le compartimet obligatios -ou marché des obligatios. 2. Le marché des Obligatios Sur ce marché, o va distiguer le marché primaire et le marché secodaire. Le marché primaire est celui qui cocere les ouveaux empruts émis par l'état, les collectivités locales et les etreprises, auxquels peuvet souscrire les particuliers. Le marché secodaire est le marché de l'occasio. C'est le marché sur lequel s'échaget les valeurs déjà émises. Il est tout autat accessible aux particuliers. 3. Le marché des Actios Le marché Fraçais des actios peut lui-même être subdivisé e plusieurs e sous élémets. O distigue : le marché officiel -ou cote officielle- compreat le marché à Règlemet mesuel -ou RM- et le marché au comptat ou à règlemet immédiat -ou RI ; le secod marché ; le ouveau marché ; le marché hors cote. a) Le marché officiel Les etreprises souhaitat s'itroduire sur le marché officiel doivet satisfaire à diverses coditios. Elles doivet etres autres : mettre à la dispositio du public 25% au mois de leur capital; avoir versé u dividede au cours des trois deriers exercices, lesquels doivet avoir été bééficiaires; Page 9 sur 67

10 avoir u chiffre d affaires supérieur à 5 millios de fracs; s egager à publier régulièremet des iformatios. b) Le marché à règlemet mesuel C'est sur ce marché que sot cotées les actios des etreprises les plus importates. Il s agit d u marché à terme. Il existe doc u délai etre la coclusio du cotrat (achat et vete) et so exécutio (livraiso des titres et paiemet). E effet, toutes les opératios effectuées au cours du mois sot déouées le jour de liquidatio (6ème jour de bourse). Le plaig est le suivat : er jour de liquidatio : liquidatio géérale de toutes les opératios réalisées pedat le mois boursier. Il marque la fi du mois boursier. 2 eme jour de liquidatio : il est procédé aux opératios de report. Il marque le début du mois boursier suivat. 3 eme au 6 eme jour de liquidatio : livraisos des titres et règlemets selo u caledrier fixé par la SBF. Vous pouvez aisi acheter ue actio de la société Alpha Euros le Mars et la revedre le 5 Mars sas costater de sortie d'arget sur votre compte e baque. Vous ecaissez les de plusvalue à la liquidatio boursière. E d'autres termes, il y a pas de cocordace etre le mois boursier et le mois caledaire et il est possible de vedre des actios que l o e possède pas. Les opératios peuvet être déouées de trois maières différetes: attedre la liquidatio et procéder au règlemet, e titres et e capitaux; effectuer, avat la date de liquidatio, ue opératio e ses iverse (les spéculateurs à la hausse achète pour revedre). se faire reporter, c est à dire demader à ce que le règlemet et la livraiso des titres s effectue à la liquidatio suivate (estimat que os prévisios se réaliserot le mois suivat). c) Le marché au comptat (RI) Sur ce marché, toutes les opératios sot réalisées au comptat. d) Le secod marché Ouvert e 983, il est destié à recevoir des etreprises de taille modeste mais dot les perspectives sot attrayates. Les coditios d admissio sot mois restrictives que sur le Marché Officiel. Les etreprises souhaitat s'itroduire au secod Marché doivet satisfaire les critères suivats: mettre à la dispositio du public % au mois du capital; préseter 2 aées de comptes certifiés. Les obligatios d iformatio sot e revache réduites. e) Le Nouveau Marché Le Nouveau Marché, ouvert e février 996, est u marché autoome, régie par ue société propre : la société du Nouveau Marché (filiale de la SBF). Il s adresse à des sociétés européees, jeues, iovatrices, à fort potetiel de croissace, qui ot u besoi de capitaux importat pour se développer. Page sur 67

11 Les coditios d admissios sot peu cotraigates, mais les sociétés cadidates doivet respecter des règles strictes d iformatio. Le foctioemet du Nouveau Marché est assuré par des itermédiaires fiaciers agrées par la société du Nouveau Marché : les itroducteurs teeurs de marché assuret l itroductio des sociétés et la teue du marché de leurs titres (cotatio permaete des divers titres) les égociateurs courtiers : ils exécutet les ordres de leurs cliets ou les leurs propres. les compesateurs : déouet les opératios effectués. f) Le Marché Hors Cote C est u marché de moidre importace, réservé aux petites etreprises, ou à celles qui ot été rétrogradées du comptat ou du RM... Il s agit d u marché étroit, c est à dire que le volume des trasactios y est faible. Les coditios d admissio sur ce marché y sot simples puisque importe quelle société peut y être admise à coditio de préseter les trois deriers bilas. g) Les Marchés Dérivés Il s'agit des marchés de produits dérivés dot fot partie etre autre les cotrat à terme et les optios. De plus amples explicatios sot dispoibles das la descriptio des produits traités sur les marchés. Page sur 67

12 II. Notios de taux d itérêt A. Itroductio Pour ous guider das otre choix d allocatio, ous allos utiliser des modèles théoriques, reposat sur les pricipes de l actualisatio. Défiitio : l itérêt est le loyer de l arget. Pour u cosommateur, l itérêt est le prix à payer pour la jouissace immédiate d u bie de cosommatio (ex : automobile, appartemet). Pour u épargat, l itérêt est la récompese pour la remise à plus tard de cette jouissace. Défiitio : Le taux d itérêt est la mesure du loyer. So motat est le résultat d offres et de demades. Ce taux est ue foctio du temps (croissate) du risque (il y a u risque de cotrepartie : l empruteur peut faire défaut. Le taux d itérêt sera ue foctio croissate du risque ; plus l empruteur fait predre de risque, plus le taux est élevé) des coditios écoomiques e gééral (si le prêteur a possibilité de placer so arget à 4.5%, il acceptera pas de prêter à mois). La demade : les demadeurs sot soit les particuliers pour des bies de cosommatio, soit des etreprises pour de l ivestissemet. L offre : les acteurs de l offre sot les baques (et doc les idividus!), les fods de pesio, etc. B. Itérêts simples et composés L itérêt simple est essetiellemet utilisé pour des opératios à court terme (mois d u a).. Itérêts simples a) Défiitio Notatios : VI : le capital iitial (somme prêtée ou emprutée), Vf : le capital fial r : taux d itérêt simple pour ue période : ombre de périodes (horizo du placemet) I t : motat d itérêt accumulé sur t périodes i t : motat d itérêt pour la période t. Défiitio : l itérêt est dit simple lorsqu il est calculé à chaque période seulemet sur la base de la somme prêtée ou emprutée à l origie. Si les itérêts sot payés à la fi, le capital est Vf = VI( + r) De plus I = t r VI; i = r VI t t Page 2 sur 67

13 Itérêt et capital VI i =VI.r I 3 =3VI.r i 5 =VI.r ; I 5 =VI5r Périodes de temps Exercice : o réalise u ivestissemet de 35. Le taux d itérêt est fixé à 7%. La rémuératio doit se faire sur 4 as. Quel est l itérêt versé sur la période? Quel est l itérêt total à la période 2? Quel est le capital fial? Solutio : l itérêt versé sur la période est celui versé sur importe quelle période : i = rvi doc i =,7*35 = 24,5 L itérêt total à la période 2 : I = 2 i = Le capital fial : Vf ( r) VI ( ) = + = + 4,7 35 = 693 A vous : Ivestissemet = 2'435 ; taux d itérêt = 4,5% ; horizo = 29 as Exercice : A quel taux auel a été placé u capital de 2 ayat gééré u itérêt de 25 après deux as? Solutio : le placemet a rapporté 25 sur deux périodes doc, 25 sur ue période. Aisi, 2 r = 25 r = 6, 25% D ue maière géérale, lorsque l o coaît trois des variables VF, VI,, r, o peut détermier la derière. et r doivet être exprimés das la même uité de temps. Gééralemet o parle de taux auel. Pour les opératios à court terme, l aée est divisée e 36 jours, 24 quizaies ou 2 mois. Exemple : Taux auel Taux semestriel Taux mesuel Taux jouralier r r/2 r/2 r/36 2% 6% % /3% Page 3 sur 67

14 A vous : Quel est le motat de l itérêt relatif à u placemet d u motat de sur 62 jours? b) Versemet des itérêts à la fi ou au début Quad les itérêts sot versés e début de période o parle de taux précomptés ou terme à échoir. Quad ils sot versés e fi de période, o parle de taux post-comptés ou terme échu. Le préteur préfère recevoir les itérêts e début de période et iversemet pour l empruteur. Empruter ue somme VI pedat périodes au taux précompté r implique le versemet immédiat d u itérêt qui vaut VI r. La somme réellemet à dispositio de l empruteur est doc égale au capital empruté VI mois les itérêts exigibles immédiatemet. Les flux fiaciers e début et e fi de période sot Début de période Fi de période Capital +VI -VI Itérêt - VI r Total VI( r) -VI Cosidéros u autre empruteur qui souhaite réaliser ue opératio à u taux d itérêt post-compté r, taux lui permettat d ecaisser et de décaisser les mêmes flux que le premier cliet. La somme emprutée est otée VI et les itérêts versés e fi de la période se motet à VI r. Début de période Fi de période Capital +VI -VI Itérêt - VI r Total VI -VI (+ r ) L égalité des deux séqueces de flux doe : VI ' = VI ( ) r ( r)( + r ') = r ' = = r r ' = r VI = VI '( + r ') r r r 2. Opératios à court terme a) L escompte commercial O s itéresse ici aux crédits à court terme baques - etreprises basés sur des créaces cliets (billets à ordre, traites, lettres de chage, ). U exemple de égociatio d u effet de commerce : Exemple : Alpha ved le 8 février à so cliet Oméga pour (valeur omiale de l effet) de marchadises. Date de règlemet : 3 avril (échéace de l effet). Le mars, Alpha a besoi des qu il emprute à sa baque. E échage de ce prêt, il remet l escompte (ou il égocie l effet) à so baquier qui escompte l effet. C est-à-dire que Alpha doe à so baquier la créace qu elle détiet sur Oméga. Mais le baquier e coset à cette opératio commerciale d escompte que s il bééficie d ue rémuératio appelée escompte commercial. Cet escompte commercial E est calculé avec les formules de l itérêt simple (itérêt commercial). E = V ie 36 Où V est la valeur omiale de l effet ie est le taux d itérêt auel du prêt est le ombre de jours séparat la date de remise à l escompte de l effet de la date d échéace de ce même effet (il s agit de la durée du prêt coseti par la baque). Page 4 sur 67

15 Il s agit d ue opératio à itérêt précompté. Défiitio : O défiit la valeur actuelle commercial : a= V E = V ie 36 Il s agit de la somme effectivemet prêtée. Défiitio : O appelle date d équivalece de deux effets de commerce la date à laquelle les valeurs actuelles commerciales sot égales. A E, s ajoutet différetes commissios proportioelles ou o à la durée de l effet (voire fixes pour toute opératio de remise à l escompte). Soit i le taux de commissio dépedat de la durée de l effet ; k le taux de commissio idépedat de la durée de l effet. O défiit l agio hors taxe par : AgioHT = V ie + i + k Le motat et de la égociatio est doc : V AgioHT 36 Remarque : o écrit AgioHT V = i + i + k 36 e ce qui fait apparaître le taux réel 36 I 36 d escompteie + i+ k. Le taux effectif est doc r = où I ie i k = + + I 36 puisqu il s agit d ue opératio à itérêts précomptés. Ue autre techique de calcul est appelée escompte ratioel : l itérêt s applique das ce cas o plus à la valeur omiale de l effet mais à sa valeur actuelle, après déductio des itérêts post-comptés d escompte. Vie L escompte ratioel est : Er = ( V Er) ie, doc Er =. Cet escompte est 36 + i 36 e 36 beaucoup mois utilisé. Exemple : U effet de 2 est escompté sur ue durée de 6 jours au taux de 7% avec u taux de commissio fixe à,2%. Quelle est la valeur de l escompte commercial? Quel est le taux d itérêt effectif? 6 L escompte commercial est 2, 7 +, 2 = 273,33. La valeur actuelle ette 36 est doc 2 273,33 = Le taux effectif de l escompte commercial est 36 I I =,7 +,2 = 8, 2% doc r = = 8,3% 6 I b) Le découvert Le recours au découvert ou avace e compte courat se traduit par u compte débiteur. La baque accorde u plafod de découvert, égocié habituellemet avec l etreprise ou le particulier. Le grad avatage du découvert est sa souplesse d utilisatio. Le coût du découvert est affecté par : La commissio de plus fort découvert, au taux de,5% par exemple, qui s applique au plus fort solde débiteur mesuel Page 5 sur 67

16 Ue commissio de cofirmatio, parfois appliquée lorsque le découvert est cofirmé par écrit par la baque. Das ce cas, cette commissio est de l ordre de % du plafod autorisé. Les itérêts résultat de l applicatio du taux de découvert. Ils calculet sur la base des ombres débiteurs : il s agit du produit du solde débiteur avec le ombre de jours pedat lesquels ce solde a été maiteu à u même iveau. Exemple : U particulier souffre d u découvert de pedat jours et de 3 pedat 2 jours. Le taux de découvert est de 2% auel. La commissio de cofirmatio est de % du plafod (ici 2 ) et la commissio de plus fort découvert de,7%. Calculer les agios payés par ce particulier et le taux effectif. La commissio de plus fort découvert sera de,7% =,7 La commissio de cofirmatio est de, 2 = 2 2 Les itérêts,2 + 3,2 =, , 633 Le taux effectif sur u mois sera doc de = 4,88% aocé. O voit que la commissio de cofirmatio alourdie cosidérablemet la charge. cotre 2% % 2 = 3. Itérêts composés Défiitio : le taux d itérêt est dit composé lorsqu à la fi de chaque période l itérêt s ajoute au capital de début de période pour former la base de calcul de l itérêt pour la période suivate. Le motat d'itérêt et le capital chaget à chaque période Ue somme d arget VI placée sur périodes au taux d itérêt composé r, géère la première aée u itérêt égale à VI r qui, s il est pas immédiatemet retiré, sera ajouté au capital ivesti la secode période. Aisi, au début de la deuxième période, le capital ivesti est de V = VI + VI r = VI( + r) A l issu de cette période les itérêts se moterot doc à VI( + r) r. Plus gééralemet : Page 6 sur 67

17 Itérêt et capital VI i =VI.r I 3 =VI(+r) 3 i 5 =rvi(+r) 4 ; I 5 =VI(+r) Périodes de temps La valeur fiale du capital est doc Vf = ( + r) VI. Cotrairemet à l itérêt simple ou l accroissemet des motats est liéaire, l itérêt composé a u accroissemet expoetiel. Exercice : quel est le capital au bout de 4 as si o place aujourd hui au taux composé de 3.6%? Solutio : O sait que Vf = VI( + r) 4, doc ici Vf = ( +.36) = 934 Exercice : quel est le taux d itérêt composé d u placemet ayat porté à e trois as? Solutio : O sait que Vf = VI( + r), + r = Vf = =, 27 et doc r = 2.7% VI Evolutio du Capital 3, 25, 2, Capital 5,, 5,, Nombre d'aées Simples 5% Simples % Composés 5% Composés % Exemple de simulatio d éparge : taux simple cotre taux composé. Page 7 sur 67

18 4. La otio de capitalisatio L itérêt composé est la règle : Défiitio : la capitalisatio idique la fréquece avec laquelle l itérêt s ajoute au capital e cas d itérêts composés. Questio : avec quelle fréquece l itérêt va s ajouter au capital? tous les as : capitalisatio auelle tous les mois : capitalisatio mesuelle tous les trimestres : capitalisatio trimestrielle à chaque istat : capitalisatio cotiue 5. Les types de taux : a) Taux périodique : r p Défiitio : le taux périodique est le taux correspodat à la période de capitalisatio. Par exemple vous placez 2 et das 6 mois, vous avez accumulé 22, sachat que la capitalisatio est semestrielle. Votre taux de redemet périodique est de : 22 2 = % 2 Exercice : vous placez 36 au taux périodique de 2,3% par trimestre durat 6 as, combie allez vous accumuler? 24 Solutio : das 6 as il y 24 trimestres, doc Vf = VI( + r) = 36( +.23) = b) Taux omial auel : r i Défiitio : le taux omial est le taux périodique multiplié par le ombre de capitalisatios par aée : r i =r p *k (k ombre de capitalisatios). Exercice : votre coseiller e placemet vous recommade u ivestissemet qui rapporterait u redemet auel de 4% capitalisé par mois. Quel est le taux périodique? Si vous placez à ces coditios, combie aurez vous accumulé e 3 as? Solutio : le taux périodique est le taux omial auel divisé par le ombre de capitalisatios. Ici, r p =.4 /2 = k 36 Aisi, le capital fial sera Vf = VI( + r p ) = ( ) = 27.4 c) Taux effectif auel : r Défiitio : il s agit du taux de redemet effectivemet réalisé sur ue aée. Il est égal au taux périodique si la capitalisatio est auelle Ne pas cofodre taux effectif, qui correspod à la retabilité effectivemet réalisée, et taux réel, qui correspod au taux d'itérêt e termes réels, ce qui exclut les effets de l'iflatio. Page 8 sur 67

19 Les valeurs fiales e peuvet être calculées que sur la base de taux effectifs. Les taux omiaux e sot qu ue covetio. 6. Pricipe d équivalece des taux Les caractéristiques des produits fiaciers état souvet très différetes, il est impossible de comparer des taux omiaux et effectifs. Base commue Equivalece des taux : l objectif est de les rameer à ue même base. Eocé : deux taux sot équivalets si, pour u placemet iitial idetique, ils permettet d obteir la même valeur fiale. Exemple : quel est le taux auel effectif correspodat à 2% périodique trimestriel? Taux auel effectif Taux r r p Capital iitial VI VI Capital fial au bout d u a VI ( r) VI O voit doc que la relatio etre les deux taux est + ( ) 4 Taux périodique, capitalisatio trimestrielle + rp r = ( + r ) k p, où k est le ombre de capitalisatios par a. Plus gééralemet, les relatios etre r p, r i, et r sot C. Les taux sur les marchés. Les différets taux k ri r = ( + r ) ; r = + ; r = kr k p i p k TAUX COURTS EONIA (Euro Overight Idex Average = taux moye podéré e euros (TEMPÉ)). C'est u taux calculé par la BCE (baque cetrale européee) qui résulte de la moyee podérée de toutes les trasactios, au jour le jour des prêts o garatis réalisés par les baques commerciales, reteues pour le calcul de toutes les trasactios de l'euribor. C'est doc le taux effectif moye auquel les baques du pael Euribor effectuet leurs trasactios. 3 ovembre 25 2,7% EURIBOR (Europea iterbak offered rate) : taux semaie : 2,95% Page 9 sur 67

20 d'itérêt moye offert etre baques du système bacaire europée. mois : 2,25% a : 2,65% TME (taux moye des empruts d'état) 3,7% TAUX LONGS TMO (taux du marché obligataire) est le taux moye de redemet des empruts obligataires à taux fixe garatis par l'état. TAM (Taux auel moétaire) : Pour u mois doé le TAM est le taux de redemet d u placemet mesuel à itérêts composés, reouvelé chaque fi de mois, pedat les douze mois écoulés, à chacu des TMM?????? Taux directeurs : ce sot les taux d'itérêt pratiqués par les baques cetrales pour leurs opératios sur le marché moétaire. E Europe, ils sot au ombre de deux : Le taux des appels d'offres (bihebdomadaire), la baque cetrale lace u appel d'offre auprès des baques commerciales et accorde les liquidités à l'établissemet qui a fait l'offre la plus itéressate, c'est-à-dire le taux le plus élevé. Le taux des prises e pesio de 5 à jours qui permet aux baques cetrales de se refiacer auprès de l'istitut d'émissio e logeat du papier commercial à court terme. Taux de base bacaire (TBB) ou prime rate : Il est défii par chaque baque commerciale e foctio du coût moye de ses ressources. Il faut toutefois remarquer que les pricipales baques s'aliget sur le même taux e raiso de la cocurrece. Théoriquemet, c'est le taux que les baques commerciales appliquet à leurs meilleurs cliets, c'est doc le tarif miimum proposé aux meilleurs cliets. Il sert de référece pour le calcul des crédits accordés aux PME et, das ue moidre mesure, de certais prêts à la cosommatio. Il déped doc du taux auquel les baques commerciales peuvet se refiacer sur le marché moétaire, taux auquel elles doivet ajouter ue marge représetative de leurs coûts de gestio. Aisi, la baque cetrale européee, la «Federal reserve board» ou ecore la «bak of Japa», accordet des prêts aux baques e appliquat leurs taux directeurs. Taux réel : il s'obtiet e déduisat du taux omial (celui qui est affiché) le taux d'iflatio. TEG (taux effectif global) : c'est le coût total d'u crédit pour l'empruteur (taux d'itérêt plus frais de dossier, frais divers et assurace. Depuis 966, ce taux doit obligatoiremet figurer sur les cotrats de crédit. Taux de l'usure : il est détermié chaque trimestre, à partir d'equêtes statistiques effectuées par la baque de Frace. Le TEG est usuraire s'il dépasse 33 % du taux effectif moye pratiqué au cours du trimestre précédet pour ue catégorie de prêt doée. Il existe u taux de l'usure à compter du juillet 22 pour les prêts aux particuliers Prêts immobiliers Prêts à la cosommatio Taux fixe 5,3 % Motat <524 2,9% Taux variable 5 % Découvert, prêt permaet, achat ou vete à tempéramet > 8 % Prêts relais 6,3 % Prêts persoels ou assimilés > 524 9,55% Taux boifié : Ce taux est iférieur à celui du marché grâce à ue subvetio accordée par les pouvoirs publics. Cette pratique était très répadue pedat les aées 7, elle bééficiait à Page 2 sur 67

21 l'agriculture, au logemet et à certais secteurs idustriels. Elle a été e très grade partie abadoée à la fi des aées 8. O peut cepedat rager das cette catégorie le prêt à taux zéro qui bééficie à certaies familles, sous coditios de ressources, pour favoriser leur accessio à la propriété. 2. Commet se formet les taux? Il importe de distiguer les taux d'itérêt à log terme (a) et les taux d'itérêt à court terme (b). Partat de là, il faudra défiir puis compredre le rôle du taux de base bacaire (TBB) (c). a) Les taux logs Ils exprimet l'offre et la demade de capitaux e teat compte des perspectives d'iflatio. Quelqu'u qui prête de l'arget sur 5, voire 3 as veut voir so capital garati cotre l'érosio moétaire. La rémuératio (le taux d'itérêt) doit rester positive. O dit que les taux logs sot "le juge de paix". D'ue part, ils reflètet la saté écoomique d'u pays et d'autre part, ils sot ifluecés par les aticipatios des agets écoomique, aticipatios sur l'iflatio certes, mais aussi sur la politique écoomique, voire sur la politique ; e bref, sur tout ce qui peut modifier les doées de l'écoomie. Évidemmet, la ature de l'empruteur ifluece aussi les taux. L'État, les etreprises publiques fot courir mois de risques aux prêteurs qu'ue etreprise ou qu'u particulier. C'est la raiso pour laquelle les taux à log terme qui servet de référece sot, pour chaque pays, les taux des empruts d'état (OAT). Normalemet tous les autres taux sot plus élevés. C'est sur ce costat que se base l'"effet d'évictio", l'état emprute à taux plus faibles, d'ue part, et il draie l'éparge dispoible, d'autre part, asséchat le marché fiacier et privat les etreprises du recours à ce type d'emprut. Les taux d'itérêt à log terme sot détermiés par le marché fiacier b) Les taux courts Ils se formet de maière différete. Certes, sur le marché moétaire, l'offre et la demade de capitaux se cofrotet, mais les acteurs e sot pas les mêmes. Ce sot essetiellemet des baques commerciales, des ivestisseurs istitutioels (assuraces ou fods de pesio) et des grades etreprises sous le cotrôle de la baque cetrale. La baque cetrale iterviet sur le marché moétaire e ijectat plus ou mois de moaie cetrale pour refiacer les baques commerciales qui, e foctio de leur activité de crédit bacaire, peuvet, temporairemet maquer de moaie cetrale pour faire face aux retraits e liquide de leurs cliets ou aux fuites de so propre réseau. Logiquemet, les taux courts doivet être iférieurs aux taux logs (de l'ordre de 2 à 3 poits) puisque l'arget est egagé pour mois logtemps. Mais quad les baques cetrales itervieet beaucoup, il peut se produire ue "iversio des taux" (États-Uis d'amérique e 2), phéomèe pervers qui cosiste à mieux rémuérer l'arget placé à court terme que l'arget ivesti à log terme. Il faut cepedat oter que les placemets à log terme preet de plus e plus souvet la forme d'istrumets fiaciers égociables, à court terme. Il s'agit de parts d'opcvm (orgaismes de placemet collectif de valeurs mobilières), c'est-à-dire de parts de sicav ou de fods commus de placemet. Les taux d'itérêt à court terme sot détermiés par la baque cetrale (e Europe, la BCE). Celle-ci agit das le cadre de sa politique moétaire, e foctio de cosidératios iteres et exteres. Au iveau itere, elle doit : e priorité (cf. ses statuts) : veiller à lutter cotre l'iflatio optimiser la croissace écoomique Au iveau extere, elle cherche à maiteir u taux de chage acceptable vis-à-vis du $ et du ye. Page 2 sur 67

22 favoriser l'emploi 3. Le taux de base bacaire (TBB) ou prime rate Comme ous l'avos vu ci-dessus, les particuliers 'ot pas accès aux marchés fiaciers. Pour placer leur arget ou pour empruter, ils passet, gééralemet, par l'itermédiaire d'ue baque. Le taux de base bacaire correspod alors au meilleur taux que chaque baque peut accorder à ses meilleurs cliets. Les taux pratiqués vers les TPE, voire les PME-PMI et les particuliers sas garatie réelle ou persoelle sot plus élevés que le TBB. Les crédits les mois chers sot les crédits immobiliers à log terme parce que la baque peut predre ue sûreté réelle e hypothéquat le bie acheté. Les crédits les plus coûteux sot ceux ayat trait aux découverts bacaires et à certais crédits à la cosommatio, otammet les crédits reouvelables. Le taux de base bacaire s'applique à 4 % des crédits aux particuliers et à 5 % des prêts aux etreprises, pricipalemet les crédits de trésorerie et d'équipemet. Mais commet la baque calcule-t-elle le taux d'itérêt? Cela déped avat tout du coût de reviet de ses propres ressources. Jusqu'au milieu des aées 8, la plus grade part de ces ressources était costituée par les dépôts à vue des cliets (comptes-chèques). Aux frais de gestio près, il s'agissait d'ue ressource bo marché. Mais les etreprises et le particuliers laisset de mois e mois d'arget "dormir sur leurs comptes-chèques", ils préfèret les trasférer sur des comptes qui rapportet des itérêts (livrets, PEL, PEA, sicav, FCP, etc.). Près des deux tiers des ressources des baques sot aujourd'hui rémuérées. Pour le reste, elles se refiacet sur le marché moétaire. Au coût de ce fiacemet, la baque doit ajouter ses frais de foctioemet et de gestio pour détermier so taux de base. Page 22 sur 67

23 III. Actualisatio et actuariat A l iverse de la capitalisatio, otio qui permet de calculer des valeurs futurs à partir de valeurs présetes, o peut vouloir détermier quelle somme doit être prêtée aujourd hui pour obteir u motat fixé à l avace : c est le pricipe de l actualisatio. A. Pricipe d actualisatio. Défiitios Défiitio : Ue suite d auité est ue suite de règlemets réalisés à itervalles de temps égaux. Le terme d auités bie que parfois utilisé quelle que soit la périodicité des versemets, est habituellemet réservé à des périodicités auelles. O parle sio de semestrialités, mesualités, etc. Cette suite d auité correspod à ue rete pour celui qui la reçoit. O dit que la rete est temporaire, lorsqu elle se compose d u ombre fii d auités, perpétuelle sio. La rete est à terme échu si le premier versemet iterviet ue période après l origie. C est le cas habituel. Elle est immédiate sio. Exemples : U emprut remboursé sur as par des mesualités costates La costitutio d u capital par des versemets réguliers L acquisitio d ue obligatio d ue durée de vie de 6 as qui verse des coupos auels. 2. Valeurs acquises et valeurs actuelles d ue suite de flux fiacier. Les mécaismes de calcul des valeurs acquises et des valeurs actuelles e sot guère différetes : das u cas c est la valeur de la suite d auités à la fi des versemets das l autre c est sa valeur à l origie. dates Valeur actuelle Valeur acquise a) Valeur actuelle d ue suite de flux fiaciers () Cas gééral Défiitio : la valeur actuelle d u flux F p (flux das p périodes) est F, où F = F ( + r) Défiitio : la valeur actuelle d ue suite de versemets (flux de trésorerie) est la somme des valeurs actuelles par chacu des termes à l origie de la suite Page 23 sur 67

24 Défiitio : la valeur acquise par ue suite de versemets (flux de trésorerie) est la somme des valeurs acquises par chacu des termes à la fi de la derière période Soiet V : la valeur acquise V : la valeur actuelle A p : l auité (ou le flux de trésorerie) à la date p : le ombre total de flux r : le taux d itérêt (itérêt composé) dates 2 - Flux A A 2 A - A A Valeurs actuelles A - (+r) A 2 (+r) -2 A (+r) - La valeur actuelle de cette suite est : V = A ( + r) + A ( + r) A ( + r) + A ( + r) De même, sa valeur acquise est V = A ( + r) + A ( + r) A ( + r) + A 2 2 Propriété : Les valeurs actuelles et acquises d ue suite de flux de trésorerie Ap au taux d itérêt r sot p p p p p= p= () V = A ( + r) et V = A ( + r) Page 24 sur 67

25 dates 2 - Flux A A 2 A - A A (+r) - A 2 (+r) -2 A - (+r) Valeurs actuelles A O parlera de Valeur Actuelle Nette e présece d u flux égatif à l origie de la suite, e date : p p p= V = A + A ( + r) où A < Coséquece : il existe ue relatio etre les valeurs acquises et actuelles : V (2) V = ( + r) (2) Cas d auités costates Lorsque les flux sot tous égaux, l expressio () se simplifie facilemet. Propriété : Les valeurs actuelles et acquises d ue suite de flux de trésorerie costats A au taux d itérêt r sot ( + r) ( + r) (3) V = A et V = A r r Exercice : quelle somme doit-o placer aujourd hui au taux de 2% pour obteir das trois as? Solutio : V = = 778, 2 3 (.2) Page 25 sur 67

26 Exercice : ue baque accorde à ue etreprise u prêt de au taux de % remboursable e 8 as. Le remboursemet se fait par auités costates. Calculer le motat de cette auité. Solutio : la relatio de base est fodée sur ue égalité etre ce que la baque prête à la fi de l aée et ce qu elle reçoit e remboursemet de la fi de la première aée à la fi de la derière aée. Si o appelle A l auité costate, o a : 8 = V = A A p = = 8 p=... B. Les choix d ivestissemet. Taux actuariel Défiitio : o appelle taux d actualisatio, le taux d itérêt utilisé pour calculer ue valeur actuelle. Telle qu o l a défiie, la valeur actuelle ou présete d ue séquece de flux déped du taux r. Il y a autat de valeurs actuelles que de taux d actualisatio. Défiitio : le taux actuariel est le taux d actualisatio qui aule la valeur actuelle de l esemble des flux présets et futurs. Mathématiquemet, A r / V r = A + + = ( ) * * * ( + r ) Das le cas où A est de sige opposé à celui de {A,,A}, l équatio a ue uique solutio. Das le cas où les flux fiaciers sot relatifs à ue opératio de prêt ou d emprut, ce taux est appelé taux de redemet actuariel ou (taux effectif global TEG). 2. Comparaiso VAN/TRI L ivestissemet est u egagemet durable de capital réalisé par ue etreprise. D u poit de vue fiacier, l ivestissemet se traduit par ue suite de flux : la dépese iitiale les flux ets de trésorerie, différeces etre les recettes et les dépeses géérées durat chaque période par le projet évetuellemet e fi de période ue valeur résiduelle qui pourra être ajoutée au flux de la trésorerie de la derière période. Commet évaluer u ivestissemet? La répose à cette questio peut se faire e utilisat les techiques d actualisatio. Ue méthode d évaluatio doit répodre à deux questios fodametales : le projet d ivestissemet peut-il être accepté? si deux projets sot e cocurrece, lequel choisir? O ote {A,A } les flux liés à l ivestissemet et r le taux d actualisatio et o suppose que A < et Ap, pour tous p. a) La VAN : valeur ette actualisée Rappel : la VAN(r) s écrit Page 26 sur 67

27 VAN() r = A + p= A p ( + r) La VAN représete la valeur aujourd hui des flux du projet doc si VAN> le projet est reteu car il permet d augmeter la richesse iitiale si VAN (r) < VAN 2 (r), o retiet le projet 2. Toutefois, l icovéiet est qu il faut coaître le taux d actualisatio. b) Le TRI : taux de retabilité itere Le TRI est le taux pour lequel la VAN (r) est ulle. E fait, il correspod au taux actuariel. La décisio de reteir ou o u projet va dépedre de la positio du taux d actualisatio reteu et du taux de retabilité itere. : TRI < Taux d actualisatio : projet rejeté. TRI > Taux d actualisatio : projet accepté car il permet de couvrir le coût des ressources. Vu otre hypothèse sur les siges des A, la VAN est ue foctio strictemet décroissate du taux. O voit doc que les deux critères coduirot au même résultat das le cas de projet uique (voir cidessous). Das le cas de deux projets, o choisit celui qui a le taux le plus élevé (plus il sera élevé, plus le taux d actualisatio a des chaces d être iférieur). c) U exemple U ivestissemet iitial est de 4K. Les flux de trésoreries sot doés ci-dessous. Le taux d actualisatio reteu est de %. Aées Flux Facteur d actualisatio :. -p où p est le rag de l aée Flux actualisés 54,54 5,7 97,67 8,96 La VAN est alors VAN = = p VAN Projet X 2, 5, VAN > projet accepté VAN < projet rejeté, 5,, % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 2% 2% 22% 23% 24% -5, TRI Projet X -, Taux d'actualisatio Projet X Graphique motrat l évolutio de la VAN e foctio du taux. Le TRI est l itersectio de cette courbe avec l axe des abscisses. Pour ce projet, les zoes de rejet sot idetiques. La VAN est positive, doc le projet est accepté. Mais, si le taux augmete, la VAN peut deveir égative. Par exemple, si o cosidère u taux de 2% la VAN tombe à -28, ce qui etraîe u rejet du projet. Par ailleurs, le TRI est de 6,2% Page 27 sur 67

28 d) Coflits etre les critères Les cas de coflits etre les critères itervieet deux projets et que l o cherche à choisir le meilleur. Pour le critère VAN, celui qui aura la VAN la plus élevée sera privilégié. Pour le critère du TRI, c est celui qui aura le taux de retabilité itere qui sera choisit. Repreos l exemple ci-dessus : Aées Flux projet X Flux projet Y Si o calcule les deux paramètres, o s aperçoit que Projet X Projet Y VAN 49,8 6,8 TRI 6% 4,94% Aisi, le critère VAN ted à privilégier Y et le TRI favorise X. E fait o est das ue situatio de ce type : VAN 25, 2, 5,, 5,, -5, -, % 2% 3% 4% TRI Projet Y Préférece pour Y Préférece pour X 5% 6% 7% 8% 9% % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 2% 2% 22% 23% TRI Projet X Taux d'actualisatio Projet X Projet Y 24% Le graphique ci-cotre illustre les coflits etre les critères. O appelle taux d idifférece le taux pour lequel les VAN sot égales. Ici, il vaut 2,66%. Pour u taux d actualisatio supérieur, la VAN privilégie X et iversemet. Or les taux iteres sot supérieurs à 2,66%, c est pourquoi le TRI favorise X. C. Les empruts idivis Ce sot des empruts o divisibles et cotractés auprès d u seul créacier. Ils s opposet doc aux obligatios où le ombre de créaciers est grad. E gééral, il s agit d emprut effectué par des particuliers auprès des baques (bie de cosommatio, appartemet, automobile) ou par des etreprises à la recherche de fiacemet pour des ivestissemets. Pour chacu de ces empruts, les clauses du cotrat etre prêteur (créacier) et empruteur (débiteur) préciset, etre autres, la durée de mise à dispositio des fods, le taux d'itérêt, les coditios de remboursemet du capital empruté. Il existe différets modes de remboursemet : I fie : l empruteur rembourse les itérêts à la fi de chaque auité, et le capital à la fi de la derière auité. Amortissemet costat : l empruteur rembourse ue part costate du capital à chaque auité plus les itérêts. Ceux-ci dimiuet doc d ue auité à l autre. Auité costate : le capital et les itérêts sot remboursés de faço à ce que les auités (ou autre périodicité : mesualités, trimestrialités, ) soiet costates. Page 28 sur 67