Introduction. Un enseignement qui prend appui sur la résolution de problèmes

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1 Itroductio U eseigemet qui pred appui sur la résolutio de problèmes Le programme de l eseigemet de spécialité de la termiale scietifique réitroduit l algèbre liéaire au lycée. Mais l algèbre liéaire du lycée des aées 980 s appuyait sur les vecteurs du pla et de l espace, et l itroductio des espaces vectoriels. L etrée proposée aujourd hui est matricielle : il s agit de faire jouer u rôle à des tableaux de ombres, lorsqu ils sot particulièremet adaptés à l écriture et à la résolutio de certais problèmes. La première partie du préset documet présete doc des problèmes où l itroductio des matrices viet «aturellemet» et apparaît comme ue simplificatio d écriture et de lecture. Le vocabulaire ouveau est itroduit e situatio. Les défiitios et les théorèmes auxquels il est écessaire de faire référece e sot pas sortis du cotexte du problème, au mois das u premier temps. Ue petite mise e ordre des otios ouvelles est proposée das la secode partie. Des défiitios coveables et des théorèmes bie rédigés sot e effet idispesables au jaloemet des avacées mathématiques. Les professeurs sot ivités, coformémet à la recommadatio du programme, à e pas démarrer directemet par la présetatio des coteus théoriques exposés das la secode partie, mais à essayer la démarche proposée cosistat à itroduire les otios das le cadre de problèmes à résoudre. Cette démarche semble aujourd hui susceptible d accrocher des élèves qu il s agit de coquérir et de covaicre de l itérêt pour eux de la poursuite d études scietifiques. La base de coaissaces itroduite e secode partie permet esuite ue présetatio d autres coteus du programme, e se situat de ouveau das le cotexte de problèmes. Aisi la troisième partie développe plus complètemet certais thèmes metioés comme exemples das le programme et ouvre des perspectives pour aborder d autres sujets. O y trouvera otammet des coexios possibles avec la partie «arithmétique» du programme. Des lies vers des ressources sot régulièremet proposés. Il s agit das certais cas d outils permettat de se libérer de quelques phases de calcul dot la coduite et l achèvemet éloigeraiet trop les élèves du problème traité. O doit pouvoir isister le temps qu il faut sur certais poits de calcul dot la maîtrise est u réel objectif de l eseigemet, quitte à s e remettre à d autres momets aux outils dot o dispose aujourd hui pour pouvoir cocetrer l attetio des élèves sur le problème à résoudre et les raisoemets écessaires pour y parveir. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Février 202 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

2 Table des matières I. Quelques problèmes faisat apparaître des matrices... 4 A. U problème à deux compartimets 4. Le problème Commetaires sur le problème D autres faços d écrire le problème... 5 B. Étude, gestio et prévisio écoomiques 6. Des tableaux de ombres pour la gestio Élaboratio d u idice de prix Gestio des admissios et sorties das u hôpital... 8 C. Le modèle d ures de T. & P. Ehrefest. Présetatio du problème Étude du cas N = 2... D. Représetatio d u graphe. Notio de coexité 5. Parcourir u graphe Matrice d adjacece d u graphe Lire la coexité d u graphe sur sa matrice d adjacece... 7 E. Marches aléatoires 7. Marche aléatoire sur u segmet Marche aléatoire aux sommets d u tétraèdre U retour e arrière est-il possible? F. Pertiece d ue page web 20. De la recherche das ue bibliothèque à la recherche das u graphe U exemple Mesurer la pertiece Pertiece et probabilités...23 G. Traitemet de l image 25. Numériser des images imager les ombres Opératios sur les images Commet modifier la forme d ue image? Des matrices pour réaliser des trasformatios II. Défiitios et premiers calculs avec des matrices A. Matrices. Opératios 28. Quelques défiitios, quelques otatios Additio, produit par u scalaire Produits de matrices Propriétés du produit des matrices carrées d ordre Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 2 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

3 B. Les matrices sot-elles iversibles? 30 C. Puissaces de matrices carrées d ordre 2 ou 3 3. Quelques matrices particulières Diagoalisatio évetuelle d ue matrice carrée d ordre D. Traitemet matriciel des suites de Fiboacci 34. Recherche d ue formule «close» pour le terme gééral Trouve-t-o toujours ue combiaiso liéaire de suites géométriques? E. Retour sur les marches aléatoires 35 III. L outil matrices à l œuvre : complémets et exemples A. Matrices e arithmétique 37. Cryptographie : le chiffremet de Hill Approximatio des ombres réels B. Matrices et probabilités 44. La fougère de Barsley Triagles rectagles pseudo-isocèles. Poits à coordoées etières sur ue hyperbole Le problème du collectioeur Retour sur le modèle d ures de T. & P. Ehrefest... 5 C. Suites liées par ue relatio o liéaire 53. Discrétisatio Recherche d u équilibre Liéarisatio autour du poit d équilibre (d/c, a/b) Modèle perturbé IV. Aexe : utiliser Scilab pour umériser des images A. Les matrices 59. Écriture Opératios B. Les couleurs 59. Pricipe du codage Affichage du dessi e 256 teites de gris C. Les trasformatios 60 D. Les codes Scilab 60. Pour afficher ue matrice M Opératios Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 3 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

4 I. Quelques problèmes faisat apparaître des matrices Das cette partie, le vocabulaire spécifique aux matrices et les opératios sur les matrices e sot pas supposés cous. Lorsque la écessité s e fait setir, des matrices sot itroduites, sur lesquelles o peut faire des opératios (le produit de Cayley otammet, courammet utilisé sous le simple om de produit, et qui est celui proposé par la calculatrice scietifique). La partie II proposera ue étude plus systématique, mais la recommadatio du programme est de commecer par des résolutios de problèmes motivat ue itroductio des matrices et o par ue itroductio ex ihilo de ces derières et ecore mois de l algèbre liéaire. A. U problème à deux compartimets. Le problème O coserve das ue eceite ue populatio d êtres uicellulaires qui e peuvet se trouver que das deux états physiologiques désigés par A et B. O désige par a et b les effectifs exprimés e milliers d idividus des deux sous-populatios (correspodat à chacu des deux états A et B) à l istat. Des observatios meées sur ue assez logue période permettet d estimer que 95% des uicellulaires se trouvat à l istat das l état A ot pas chagé d état à l istat +, o plus que 80% de ceux se trouvat à l istat das l état B ce qui se traduit par le système suivat : a b + + = 0,95a + 0, 2b = 0, 05a + 0,8b ( ) L effectif total s élève à idividus. La populatio à l istat 0 satisfait a 0 = 375. Faire le calcul des effectifs a et b pour < 50. Peut-o faire ue cojecture sur le comportemet des suites ( a ) et ( b )? Effectuer de ouveaux essais e preat d autres valeurs iitiales (mais u effectif total idetique). 2 Quel est le comportemet de la suite de terme gééral α = a 400? Coclure. 2. Commetaires sur le problème Ce problème a été proposé das le cadre d ue épreuve pratique de mathématiques. Les élèves utilisaiet u tableur pour cojecturer la ature des suites ( a ) et ( b ). À l étape 36, si o fait abstractio des erreurs de calcul dues au logiciel, le système est stable : il y a êtres das l état A et das l état B. Pour répodre à la questio suivate, il suffit de faire etrer das les calculs le fait que la populatio totale est coservée, autremet dit que, pour tout : a + b = 500. a+ = 0,95a + 0, 2b Le système a les mêmes solutios que le système a+ 0, 75a 00 = +, b+ = 0, 05a + 0,8b b = 500 a dot les solutios (ce sot des couples de suites) s obtieet explicitemet e faisat apparaître la suite (géométrique) de terme gééral α = 400 a. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 4 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

5 a idice b idice ,25 8, ,9375 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , D autres faços d écrire le problème a+ 0,95 0, 2 a O peut schématiser le système de relatios ( ) par : =, doat aisi b + 0, 05 0,8 b ue sigificatio au symbole utilisé ici pour représeter l actio d u tableau carré (ue matrice carrée d ordre 2) sur u couple de réels écrits e coloe (ue matrice-coloe). Le produit des matrices utilisable sur la calculatrice foctioe aisi et o pourrait écrire que, pour a 0,95 0, 2 a0 tout etier aturel o ul, =. b 0, 05 0,8 b0 Cette puissace -ième de matrice peut-elle s exprimer explicitemet? Cette questio est pas abordée ici. Notos que des simplificatios sot certaiemet evisageables comme le laisset peser les résultats obteus sur la suite( α ). E effet, si o pose β = b 00, o α = 0,75 α0 obtiet le système :. β = 0,75 β 0 O e déduit que : ce qui motre que la répartitio de la populatio des êtres uicellulaires se rapprochera au fil du temps de idividus das l état A et de idividus das l état B. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 5 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

6 B. Étude, gestio et prévisio écoomiques. Des tableaux de ombres pour la gestio Voici les productios (e milliers) de deux usies de cycles apparteat à ue même eseige pour le premier semestre de l aée 200 : Premier semestre 200 VTT adultes Vélos efats VTC BMX Vélos de course Usie 2,99 3,20 5,58,53,95 Usie 2 4,62 4,98 2,6 0,5 0,78 Si o veut faire etrer les doées de ce tableau das u echaîemet de calcul, o les regroupe das le tableau de ombres suivat : 2,99 3, 20 5,58,53,95 A =, appelé matrice. 4, 62 4,98 2,6 0,5 0, 78 Cette matrice a 2 liges et 5 coloes. O dit que cette matrice est de format (2,5). Elle cotiet 0 élémets, appelés «coefficiets de la matrice». Pour repérer u coefficiet d'ue matrice, o idique so idice de lige puis so idice de coloe, les liges se comptat du haut vers le bas et les coloes de la gauche vers la droite. La dispositio géérale des coefficiets de la matrice A est doc la suivate : A a a a a a = a2 a22 a 23 a24 a25 a 23 désige le terme de la 2 ème lige et de la 3 ème coloe : a 23 = 2,6. La productio de l usie pour le premier semestre 20 peut être représetée par la matrice appelée «matrice lige de format (,5)». (2,99 3,20 5,58,53,95 ) La productio des VTT adultes das les deux usies est représetée par la matrice «matrice coloe de format (2,)». 2,99, appelée 4,62 Les productios (e milliers) des deux usies de cycles pour le secod semestre de l aée 200 sot les suivates : Secod semestre 200 VTT adultes Vélos efats VTC BMX Vélos de course Usie,79 5,84 4,38,29,59 Usie 2 3,78 4,4 2,40 0,5 0,66, 79 5,84 4,38, 29,59 Ces doées sot représetées par la matrice B =. 3, 78 4,4 2, 40 0,57 0, 66 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 6 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

7 La matrice C représetat la productio auelle pour ces deux usies est obteue e ajoutat termes à termes les coefficiets des deux matrices A et B. La matrice C est, par défiitio, la somme des matrices A et B. O ote : C = A +B. Si l o appelle c ij l élémet de la i-ième lige et j-ième coloe de la matrice C, o a, pour tout i égal à ou 2 et j compris etre et 5 : c = a + b. ij ij ij 24, 78 29, 04 9,96 2,82 3,54 C =. 8, 40 9,2 4,56, 08, 44 O a alors pour tout i égal à ou 2 et j compris etre et 5 : bij = cij aij. Par défiitio, la matrice B est la différece des matrices C et A : B= C A. Ces opératios sot réalisables sur des matrices de même format. La matrice D qui représete la productio moyee par mois das ces deux usies est obteue e 2,065 2,42 0,83 0,235 0,295 divisat chacu des coefficiets c ij par 2. Aisi D =. O 0,7 0,76 0,38 0,09 0,2 ote D= C Élaboratio d u idice de prix Ue associatio de cosommateurs compare les prix de ciq produits p, p 2, p 3, p 4, p 5 disticts das trois magasis différets. Les observatios fourisset les doées suivates : Prix des produits à l uité e euros Produit p Produit p2 Produit p3 Produit p4 Produit p5 magasi magasi 2, 4,7,8 3, 3,8 magasi 3 0,9 5,,9 3,2 4 O observe qu'o peut stocker les prix des produits sous la forme d u tableau à 3 liges et 5 coloes : , 4, 7,8 3, 3,8 0,9 5,,9 3,2 4 O ote ce tableau (matrice) A. Pour tout couple d etiers (i, j) où i est compris etre et 3 et j compris etre et 5, le coefficiet de la matrice A qui se trouve à l itersectio de la lige i et de la coloe j est oté a et représete ici le prix uitaire du produit pj das le magasi i. ij O écrit : A = ( a ij ). Pour comparer la dépese d ue méagère selo les magasis, o cosidère u «paier» idiquat pour chaque produit la quatité achetée. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 7 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

8 U paier est aisi décrit par la doée de ciq etiers, par exemple, 2,, 3, 3, 2 ce qui sigifie que la méagère a acheté deux produits de type, u de type 2, trois de type 3, Le paier d ue méagère peut doc être représeté sous la forme d u tableau à 5 liges et coloe : Q q q 2 = q 3 q4 q 5 Le prix Π d u paier das chacu des 3 magasis se calcule alors de la faço suivate : Π = q + q q q q 5 4 = q a + q 2 a 2 + q 3 a 3 + q 4 a 4 + q 5 a 5 Π 2 = q a 2 + q 2 a 22 + q 3 a 23 + q 4 a 24 + q 5 a 25 Π 3 = q a 3 + q 2 a 32 + q 3 a 33 + q 4 a 34 + q 5 a 35 O peut traduire les relatios précédetes par l égalité matricielle suivate : ce qui défiit le produit de la matrice A par la matrice coloe Q. Das otre exemple : 3. Gestio des admissios et sorties das u hôpital O estime que les patiets admis das u certai service d u hôpital peuvet se trouver das l u des 4 états suivats :. Sois réguliers, 2. Chirurgie, 3. Sois itesifs, 4. Sortie. Cette estimatio est décrite par le tableau suivat, das lequel sot idiquées les probabilités de passage d u des états à u autre das u itervalle de 24 heures (probabilités obteues par modélisatio des fréqueces observées sur ue logue période). Tableau de circulatio des malades etre les services :. Sois réguliers 2. Chirurgie 3. Sois itesifs 4. Sortie. Sois réguliers 0,6 0,2 0 0,2 2. Chirurgie 0, 0 0,8 0, 3. Sois itesifs 0,5 0 0,33 0,7 4. Sortie Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 8 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

9 Ce tableau se lit de la maière suivate : u malade se trouvat u jour e sois réguliers a la probabilité 0,6 de se trouver le ledemai e sois réguliers, 0,2 de se trouver e chirurgie, ue probabilité ulle de se trouver e sois itesifs et la probabilité 0,2 de sortir etc. Les iformatios chiffrées précédetes peuvet être stockées sous la forme d u tableau (matrice) à 4 liges et 4 coloes : 0,6 0,2 0 0,2 0, 0 0,8 0, M = 0,5 0 0,33 0, Supposos qu u certai jour, la distributio des patiets suivat les quatre états possibles s écrive ( Le ledemai, la ouvelle distributio X ' = m m m m des ombres X = ) ( ) de malades par état d hospitalisatio (les m i ) est obteue grâce au système suivat : qui doe X ' = ( 0,7 2,4 6 3,9). m = 2 0, ,+ 6 0, m2 = 2 0, m3 = ,8+ 6 0, m4 = 2 0, ,+ 6 0, Ce résultat (das lequel o e doit pas se formaliser de trouver des dixièmes d êtres humais) peut se traduire par l égalité matricielle suivate : 0,6 0, 2 0 0, 2 0, 0 0, 8 0, X ' = XM = ( ) 0,5 0 0,33 0, Supposos qu au jour 0, dix patiets soiet admis e sois réguliers et qu il y ait aucu patiet e cours de traitemet. O ote X 0 = ( ) la répartitio des malades le jour 0 et X k la répartitio des malades au k ième jour, k etier positif. Supposos égalemet que 0 patiets soiet admis chaque jour. Le processus se déroule de la maière suivate : ( ) M ( ) X = ( ) 2 X 2 = XM = XM 0 + XM 0 + X0 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 9 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

10 Les calculs cofiés à u tableur motret que la situatio ted à se stabiliser. Jour sois réguliers chirurgie sois itesifs sortie ,8 3,2,6 3, ,96 3, , , ,6 4,99 5, , , , , , ,6003 5,8206 6, , , ,4878 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0869 7, , , , , , , , , , , , , , , , ,6499 9,6498 9, ,3808 7, , , , , , , O pourrait cotiuer le calcul littéral précédet, pour aboutir à l égalité suivate. Pour tout etier supérieur ou égal à 2, X = X 0 (M + M + + M 2 + M + I),, où I désige la matrice idetité d ordre 4 (de format (4,4), dot les coefficiets sot tous uls sauf sur la diagoale pricipale où ils sot tous égaux à ). Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 0 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

11 C. Le modèle d ures de T. & P. Ehrefest. Présetatio du problème Ce modèle simplifié de diffusio d u gaz à travers ue membrae poreuse fut proposé e 907 par les physicies autrichies Tatiaa et Paul Ehrefest pour décrire e termes de physique statistique les échages de chaleur etre deux systèmes portés iitialemet à ue température différete. Il permit aisi de mieux compredre le phéomèe thermodyamique et de lever u paradoxe : o d u poit de vue macroscopique, u système thermodyamique évolue aturellemet et irréversiblemet de faço que so etropie (quotiet de la variatio de chaleur par la température) soit maximum, o mais d u poit de vue microscopique, o peut remarquer que les mouvemets des particules sot réversibles. Le but est de modéliser la répartitio au cours du temps de N molécules de gaz à l itérieur d u récipiet divisé e deux compartimets séparés par ue membrae poreuse. État iitial État à l étape k Descriptio du modèle : O modélise mathématiquemet par l expériece aléatoire suivate. O cosidère 2 ures A et B, et N boules umérotées de a N. Iitialemet, toutes les boules se trouvet das l'ure A. Esuite, aux étapes, 2, 3, o tire au hasard, de faço équiprobable, u ombre etre et N, et o chage d ure la boule correspodate. 2. Étude du cas N = 2 A chaque étape, la répartitio das les ures A et B est l ue des trois suivates : Répartitio r Répartitio r 2 Répartitio r 3 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

12 a) Itroductio d ue matrice Notos : R l évéemet «la répartitio est r» ; R 2 l évéemet «la répartitio est r 2» ; R 3 l évéemet «la répartitio est r 3». E otat, pour tout i et j de {, 2, 3} ; pij pr ( Rj) =, o a alors : p2 =, p2 =, p23 =, p32 = et p = p22 = p33 = p3 = p3 = Ces doées peuvet être stockées sous la forme d u tableau (matrice carrée de format (3,3)) : i 0 0 p p2 p3 P= p2 p22 p23 = p3 p32 p Soit k u ombre etier aturel o ul. O ote X k la variable aléatoire égale au ombre de boules das l ure B à l istat k > 0. O a bie sûr X0 = 0 et pour tout etier Notos : A k l évéemet «à l étape k, la répartitio est r», autremet dit «X k = 0» ; BBk l évéemet «à l étape k, la répartitio est r 2», autremet dit «X k =»; C k l évéemet «à l étape k, la répartitio est r 3», autremet dit «X k = 2». O a alors : p( A ) = p( A A ) + p( A B ) + p( A C ) Or ( ) k+ k+ k k+ k k+ k pa Ak+ = p, pb ( Ak ) p k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = p A p A + p B p A + p C p A k k Ak k+ k B k k+ k C k k+ + = et ( ) 2 pc A k k p3 D où : p( A ) p p( A ) p p( B ) p p( C ) k k 2 k 3 k + =. + = + +. O établit des relatios aalogues pour p (BBk+) et p (C k+ ). O obtiet fialemet le système suivat : p( Ak+ ) = pp( Ak) + p2p( Bk) + p3p( C k) p( Bk+ ) = p2p( Ak) + p22p( Bk) + p32p( C k) p( C k+ ) = p3p( Ak) + p23p( Bk) + p33p( C k) E otat V k = (p(a k ) p(b k ) p(c k )) pour tout etier k strictemet positif, le système de relatios précédet correspod à l égalité matricielle V k+ = V k P. A l étape iitiale, la répartitio est r, doc V 0 = ( 0 0).. A l issue de la première étape, la répartitio est r et V = V 0 P = (0 0). 2 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 2 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

13 O établit par récurrece que : o pour tout etier aturel k o ul : Vk = V0P o P 2k = P = O e déduit facilemet que : o et que 2k P + k = P pour tout etier k. pour tout etier k impair, V k = (0 0), ce qui correspod au fait qu à tout istat impair, la répartitio est toujours r 2 o pour tout etier k pair, o ul,, ce qui correspod au fait qu à tout istat pair, la répartitio est soit r soit r 3. Le calcul de l espérace de X coduit à EX ( ) =, pour tout etier aturel k, ce qui sigifie qu au k k bout de k étapes, le ombre moye de boules das l ure B est égal à. La répartitio des boules das les deux ures a tedace à s équilibrer. b) Utilisatio d u arbre A la k ième étape, o obtiet les arbres suivats : Si k est impair Si k est pair O retrouve alors les résultats du paragraphe précédet. Remarque : Le recours au calcul matriciel est vraimet utile que pour u grad ombre de particules mais le cas où N = 2 permet d appréheder le problème e expliquat l utilisatio des matrices et e comparat les résultats obteus avec ceux que l o obtiet avec l utilisatio d u arbre. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 3 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

14 c) Calcul du temps de retour moye das le cas N = 2 Cosidéros u processus de diffusio correspodat à 2 étapes et otos T la variable aléatoire qui compte le ombre d étapes pour reveir à l état iitial. D après l étude précédete, o a : ( = ) = 0, pt ( = 3) = 0 et, pour tout etier aturel k, pt ( k ) pt 2 4 = 2 + = 0 ; ( = 2 ) =, pt ( = 4) = et, pour tout etier aturel k o ul, pt ( 2k) pt Calculos l espérace de T : 2 ET ( ) = kpt ( = k) = 2 kpt ( = 2 k) = k k= k= k= 2 k = =. k 2 Calculos cette somme de deux faços différetes. o Première méthode O calcule successivemet les sommes géométriques :,,..., et k k k k k= k= 2 k= k= E ajoutat ces sommes, o obtiet : o Deuxième méthode 2 O cosidère la foctio défiie sur R par + x f( x) = 2 x ET ( ) = 4 2 k x f( x) =. O peut égalemet écrire : k 2 + k= si x 2 et f (2) Pour x 2, les deux expressios de f ( x ) permettet d exprimer f ( x) de deux faços différetes. O obtiet alors deux expressios de f (), ce qui permet de calculer ET ( ). O e déduit que ET ( ) Remarque : =. lim = 4. O reviet doc e moyee à l état iitial au bout de 4 étapes. + Il est itéressat de costater que si N = 2, le processus est réversible. Cette étude est reprise et complétée das la partie III. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 4 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

15 D. Représetatio d u graphe. Notio de coexité. Parcourir u graphe Chacu coaît l histoire du parcours impossible emprutat ue et ue seule fois les sept pots de la ville de Koeigsberg (aujourd hui Kaliigrad), pots reliat les rives (B et D) du fleuve qui traverse la ville, la Pregel, aux deux îles (A et C) que celle-ci forme, et les deux îles etre elles. O dit que Léoard Euler ( ) résolut le problème et mit e évidece l absece de solutio. L humaité l avait résolu e pratique avat lui, mais le géie d Euler fut de fabriquer des mathématiques avec cette questio, c est-à-dire de doer des défiitios doat aissace à des théorèmes réutilisables das d autres situatios. Les pots de Koeigsberg Le problème des pots de Koeigsberg cosiste e fait à savoir si u certai graphe est eulérie (c està-dire si o peut e parcourir toutes les arêtes sas passer deux fois sur la même). Voici quelques défiitios. U graphe (o orieté) à sommets est ue suite fiie de poits disticts (M, M 2,, M ), appelés sommets, et d arêtes, dot les extrémités sot des sommets. O cosidérera ici qu il existe pas de boucle, c'est-à-dire d arête ayat pour extrémités le même sommet, et qu il existe pas o plus de poit isolé, c'est-à-dire relié à aucu autre poit. Ue chaîe de logueur p > 2 reliat M i à M j est ue suite de sommets (, 2,..., p, p ) S S S S + telle que S = M i, S p+ = M j, et que, pour tout etier k compris etre et p, il existe ue arête reliat S k à S k+. Das le graphe associé au problème des Pots de Koeigsberg, il existe pas de chaîe de logueur reliat B à D. Das le graphe ci-dessous, (M 5, M, M 2 ) est ue chaîe de logueur 2 reliat M 5 à M 2, (M 5, M 4, M 6, M 2 ) e est ue de logueur 3, (M 5, M 6, M 4, M 2 ) ue de logueur 4, etc. U graphe e forme d «eveloppe» Il existe pas de chaîe de logueur reliat M 5 à lui-même, mais il e existe ue de logueur 2 : (M 5, M, M 5 ). D ailleurs, quad le graphe e cotiet pas de poit isolé (ce qui est otre hypothèse de travail), il existe toujours ue chaîe reliat u poit à lui-même. U graphe est dit coexe quad, deux poits quelcoques état doés, il existe ue chaîe qui les relie. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 5 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

16 2. Matrice d adjacece d u graphe U graphe à sommets est caractérisé par les arêtes qui reliet certais sommets etre eux. O peut doc représeter u graphe à sommets (M, M 2,, M ) par u tableau à liges et coloes das lequel, à l itersectio de la lige i et de la coloe j, o écrit 0 si aucue arête e relie M i et M j, et si ue arête les relie. Aisi pour le graphe précédet («l eveloppe»), o obtiet le tableau suivat : M M2 M3 M4 M5 M6 M M2 0 0 M M M5 0 0 M6 0 0 E otat a i j le coefficiet situé à l itersectio de la lige i et de la coloe j, o défiit u tableau à 6 liges et 6 coloes (matrice de format (6, 6)), appelée matrice d adjacece du graphe : La matrice précédete cotiet de ombreux zéros, traduisat l absece d arêtes reliat certais sommets du graphe. Par exemple, à la lecture de la matrice, o peut dire qu il y a pas d arête reliat les sommets M 2 et M 4. Afi d étudier la coexité d u graphe, o peut s itéresser à l existece de chaies de logueur 2 etre deux sommets. Soiet i et j deux etiers compris etre et (ici = 6). L existece d ue chaie de logueur 2 etre les sommets M i et M j correspod à l existece d au mois u idice k tel que a i k 0 et a k j 0 c est-àdire tel que a i k a k j 0. O observe alors que le ombre est la somme de six termes dot chacu est le produit de deux ombres choisis parmi 0 et ; à chacu des termes o uls de cette somme est associée ue chaîe de logueur 2 joigat M i et M j et ue seule. Leur somme est doc le ombre de chaîes de logueur 2 joigat M i et M j. Les coefficiets b i j défiisset ue ouvelle matrice B et les 2 relatios précédetes peuvet se traduire par la relatio matricielle suivate : Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 6 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

17 qui défiit le produit de la matrice A par elle-même. Numériquemet, la relatio s écrit ici : O peut aisi lire das la matrice de droite qu il y a 3 chaîes de logueur 2 joigat le sommet M 3 au sommet M 5. O peut esuite défiir les puissaces successives de la matrice d adjacece A et motrer par récurrece que, pour tout etier p >, les coefficiets de la matrice A p doet les ombres de chaîes de logueur p allat d u sommet du graphe à u autre. 3. Lire la coexité d u graphe sur sa matrice d adjacece Le calcul umérique précédet a pour résultat ue matrice B dot aucu coefficiet est ul, ce qui sigifie que chaque fois qu o se doe deux sommets, il existe ue chaîe de logueur 2 qui les relie. O peut doc coclure que le graphe de l «eveloppe» est coexe. Cela pouvait, bie sûr, se voir mais il faut imagier des graphes possédat u grad ombre de sommets où «voir» est plus aussi évidet. Ce qui précède motre surtout qu u graphe peut être doé par sa matrice. E cosultat les puissaces successives de la matrice d adjacece, o peut savoir s il y a des chaîes de logueur 2, 3, reliat tel sommet à tel autre. Mais jusqu où calculer pour établir la coexité d u graphe das u cas quelcoque? Cosidéros u graphe à sommets ( > 2). Si ue chaîe de logueur e passe pas par tous les sommets du graphe, alors elle passe au mois deux fois par le même sommet et o peut réduire la «boucle» qu elle formait. Cet argumet motre que pour étudier la coexité, il suffit de pousser la recherche jusqu à la puissace -ième. D où le résultat suivat : u graphe associé à ue matrice d adjacece A de format (, ) (o dit aussi matrice carrée d ordre ) est coexe si et seulemet si, pour tout couple (i, j) d etiers compris etre et, il existe u etier p compris etre et tel que le coefficiet de la lige i et de la coloe j de la matrice A p soit o ul. E. Marches aléatoires Das cette partie, o s itéresse au comportemet à log terme d ue marche aléatoire. Il s agit de calculer les probabilités pour le héros d ue marche aléatoire das u réseau de se trouver après pas e tel ou tel sommet (ou œud) du réseau.. Marche aléatoire sur u segmet Le persoage se déplace d u sommet à l autre du graphe ci-dessous. S il est e A ou e B, il e peut aller qu e P, s il est e P, il peut aller e A ou e B avec des probabilités que ous cosidéros comme idetiques. O peut représeter la situatio par ue matrice M (dite de trasitio) qui idique o les arêtes existates comme das les matrices d adjacece, mais les probabilités de passage d u sommet à u Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 7 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

18 autre. Les matrices de trasitio e sot pas systématiquemet symétriques. La matrice M ci-dessous représete la marche das le réseau (A, P, B). A P B 0 0 A P B 0 0 Les coefficiets figurat sur chaque lige doet les probabilités de passage du sommet qui doe so om à la lige à celui qui doe so om à la coloe. La diagoale e cotiet de ce fait que des 0. Pour aller de A à A e deux pas, le persoage peut aller de A à A puis de A à A (les probabilités sot 0 et 0), ou de A à P puis de P à A (probabilités et ½), ou de A à B puis de B à A (probabilités 0 et 0). La probabilité pour qu il aille de A à A e deux pas est doc : =. 2 2 Pour aller de A à B e deux pas, le persoage peut aller de A à A puis de A à B (probabilités 0 et 0), ou de A à P puis de P à B (probabilités et ½), ou de A à B et de B à B (probabilités 0 et 0). La probabilité pour qu il aille de A à B e deux pas est doc : =. 2 2 La première probabilité s obtiet e additioat terme à terme les produits des coefficiets de la lige correspodat aux déplacemets partat de A par ceux de la coloe correspodat aux déplacemets arrivat e A. La secode s obtiet e faisat la somme des produits terme à terme des coefficiets de la «lige A» par ceux de la «coloe B». E itérat le procédé o obtiet la probabilité de chacu des trajets de deux pas. Cela reviet à calculer le produit de la matrice précédete (otée M) par elle-même, c est-à-dire la matrice M 2. Les coefficiets qui figuret das cette matrice M 2 sot les probabilités pour que le persoage situé au sommet qui doe so om à la coloe se soit trouvé deux coups auparavat au sommet qui doe so om à la lige. O obtiet : O costate que M 3 = M. O peut iterpréter ce résultat : par exemple, partat du sommet A, le persoage est sûremet e P après u ombre impair de pas, e B ou e A avec des probabilités 2 après u ombre pair de pas. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 8 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

19 2. Marche aléatoire aux sommets d u tétraèdre À la différece de la situatio précédete, das la marche aux sommets d u triagle comme das la marche aux sommets d u tétraèdre, o peut passer, à chaque étape, de tout sommet doé à tout autre sommet doé. Das l hypothèse d équiprobabilité, la matrice de trasitio (doat les probabilités de passage d u sommet à u autre) s écrit : M = O peut démotrer par récurrece que, pour tout etier strictemet positif, la puissace ième de la matrice M s écrit : M u v v v v u v v = v v u v v v v v où les termes gééraux des suites ( u et ( v ) sot : ) u = 4 3 et v =. 4 3 La lecture de ces matrices de trasitio est aturellemet la même qu au paragraphe précédet : le coefficiet géérique celui situé sur la lige i et la coloe j de la matrice M doe la probabilité qu ue chaîe de logueur permette de passer du sommet i au sommet j (o peut supposer que les sommets A, B, C, D sot umérotés, 2, 3, 4). Il y a pas d ambiguïté das ce cas, la matrice est symétrique (les puissaces d ue matrice symétrique sot symétriques). Les différeces etre les différetes probabilités s estompet rapidemet : s il est pas possible de passer d u sommet à lui-même e u pas, les probabilités d aller d u sommet quelcoque à u sommet quelcoque sot très voisies dès que est grad. E effet, la limite commue des deux suites ( ) u et ( v ) est 4 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 9 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

20 3. U retour e arrière est-il possible? Ayat quitté u sommet du tétraèdre, au bout de combie de pas aléatoires le persoage peut-il compter y reveir? Soit X la variable aléatoire doat, pour chaque marche, ce ombre de pas. O a : P( X = ) = 0, P( X = 2 ) =, P( X = 3) = 2. E effet, pour que le persoage soit e A, par exemple, après pas sas y avoir été das aucue de ses positios précédetes, il est écessaire qu à chacu de ses déplacemets précédets il soit passé d u sommet qui était pas A à u autre qui était pas A o plus, choisissat doc l u de deux sommets sur trois possibles. O peut vérifier par récurrece que P( X ) et observer que : 2 2 = =, pour tout etier supérieur ou égal à La variable X suit doc ue loi géométrique. Ressources : F. Pertiece d ue page web. De la recherche das ue bibliothèque à la recherche das u graphe U moteur de recherche doit fourir à chaque utilisateur ue liste de pages où apparaisset des mots-clés doés das la requête de celui-ci. O peut avoir l idée de classer les milliards de pages dispoibles das u ordre permettat le tri à partir des mots-clés fouris. Cela demade des moyes de stockage cosidérables et la réorgaisatio cotiuelle (e temps réel, comme o dit) de ces archives. Il faut de plus assurer aux milliers de requêtes simultaées des réposes rapides, mais aussi des réposes fiables. U moteur de recherche copie das u premier temps les pages web sur des milliers d ordiateurs et les trie par ordre alphabétique des mots clés. La première idée simple cosisterait pour chaque requête à fourir la liste de pages coteat le (ou les) mots clés de la requête. Mais il y e a des dizaies de milliers! Aussi l ordre alphabétique apparaît pas le meilleur pour assurer u service rapide et de qualité. Les pages référecées pour le cliet doivet doer ue idée aussi juste que possible de l iformatio dispoible au momet de la requête et faire apparaître e premières citatios celles qui y répodet le mieux, les plus pertietes. Le web est pas ue simple bibliothèque de pages web. Les pages web comportet des lies qui permettet d accéder directemet de l ue à d autres. O peut doc cosidérer le web comme u graphe orieté, dot chaque page web est u sommet et chaque lie est u arc. L idée pour détermier la pertiece d ue page e lie avec u mot clé va être de s appuyer sur l existece de ces lies, e partat de l idée basique que plus ue page est citée, plus elle est pertiete. Das la suite, les pages web sot umérotées, 2,, i,, et u lie de la page i vers la page j est oté i j. Aisi o cherche à attribuer à chacue des pages ue mesure de pertiece (u ombre réel > 0). Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 20 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

21 2. U exemple Pour la suite, ous allos cosidérer u exemple excessivemet simple avec seulemet 2 pages web et les lies suivats : Le graphe ci-dessus, qui e comporte pourtat que 2 sommets, est pas très lisible. Les sommets les plus «fréquetés» y sot pas facilemet idetifiables. Ue ouvelle représetatio de ce graphe, plus «buissoate» à défaut d être arborescete, met mieux e évidece l importace des sommets, 6 et 0, vers lesquels «poitet» u ombre élevé d autres sommets. 3. Mesurer la pertiece Das ce qui suit, o ote μ j la mesure de pertiece de la page j, pour tout etier j compris etre et, ombre de pages web dispoibles à l istat cosidéré, e rapport avec la requête cosidérée. o Comptage aturel des lies A chaque page j, o associe le ombre de lies i j qui poitet vers elle. Das otre exemple, les pages 6 et 0 reçoivet chacue 3 lies, tadis que la page e reçoit 5. O obtiet doc : μ 6 = 3, μ 0 = 3 et μ = 5. Mais ce comptage est pas suffisammet discrimiat et il est de plus très facile à maipuler, puisqu il suffit de créer des «fausses» pages poitat vers la page i pour e augmeter l importace. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 2 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

22 o Comptage podéré O peut teter de podérer les lies : certaies pages émettet beaucoup de lies ce qui d ue certaie faço dimiue leur poids. Notos, pour chaque etier i, λ i le ombre de lies émis par la page i. O peut alors défiir la mesure de pertiece de la page j e comptat le ombre de lies podérés qui poitet vers elle : Das otre exemple, μ 6 =,45, μ 0 =,5 et μ = 2,5. Mais cette mesure présete toujours le même risque d être maipulée. o Comptage récursif La pertiece d ue page est reforcée par la pertiece des pages qui poitet vers elle et elle est dimiuée par la dispersio évetuelle des lies issus de ces derières. E repreat la podératio précédete, o peut défiir la pertiece d ue page j de la faço suivate : Le risque de maipulatio cosistat e l ajout de pages vides de ses est ici aulé puisqu ue telle page recevrait ue mesure de pertiece ulle. Avec le graphe préseté das le paragraphe précédet, o obtiet par exemple : = 3 μ = μ + μ, etc. 2 μ7 μ 6, 2 0 O obtiet aisi u système d équatios liéaires. O réécrit les formules (*) pour tout etier i compris etre et avec des coefficiets otés a i j, le coefficiet a i j valat si la page i poite vers la page j, 0 sio. O obtiet aisi le système liéaire de équatios à icoues (les μ i ). : Les coefficiets a i j défiisset ue matrice à liges et coloes (de format (, )), que l o peut oter A. Le système liéaire de équatios précédet correspod à l équatio matricielle suivate : W = WA, où W est ue matrice lige à coloes (format (, ), dot les coefficiets sot les μ j : W = ( μ μ 2 μ ) «Il y a plus qu à» résoudre ce système, sauf que das le cas du web il y a des milliards d icoues. Das otre exemple, o obtiet ue matrice de format (2,2). Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 22 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

23 4. Pertiece et probabilités Das le système d équatios suivate des coefficiets a i j : précédet, o peut remarquer la propriété E fait, pour u idice i fixé (c'est-à-dire das la lige i de la matrice) tous les coefficiets o uls sot égaux à l iverse du ombre de lies émis par la page i, ce ombre correspodat égalemet de ce fait à l iverse du ombre de coefficiets o uls de la lige i. Les coefficiets a i j (tous positifs ou uls) peuvet doc s iterpréter comme la probabilité, pour u «surfeur» qui se trouverait à la page i de suivre le lie qui l amèerait à la page j. Cette probabilité est défiie de la maière suivate : si λ i lies sot issus de la page i, la probabilité pour que le surfeur aléatoire du web passe de la page i à ue des pages vers lesquelles elle poite est, la probabilité pour qu il se dirige vers ue autre est 0. Notos X p la variable aléatoire idiquat la positio (uméro de page) du surfeur aléatoire après p clics. O a : E otat U p la matrice lige à coloes admettat P(X p = i) pour coefficiet à la coloe i pour tout etier i compris etre et, les relatios précédetes peuvet se traduire par la relatio matricielle suivate : U p+ = U p A O e déduit par récurrece que, pour tout etier p strictemet positif, U p = U 0 A p, avec U 0 doat la positio du surfeur aléatoire au départ (U 0 est doc ue matrice lige à élémets tous uls sauf u qui vaut et dot l idice correspod au uméro de la page de départ). Toutefois, il peut arriver que certaies pages e comportet aucu lie vers d autres pages ; das ce cas, lorsque le surfeur aléatoire arrive sur l ue d etre elles, il lui est impossible de la quitter. La lige de la matrice correspodat à cette page e comporte alors que des 0. Afi de remédier à ce défaut et sas doute coller mieux à la réalité, o itroduit la possibilité de quitter à tout istat ue page quelcoque pour se diriger vers ue autre choisie au hasard, et ce avec ue probabilité égale à c. Das ces coditios, le modèle correspod au système de relatios suivat pour tout etier p strictemet positif et tout etier i compris etre et (puisque ) : qui se traduit par la relatio matricielle suivate (pour tout etier p > 0) : où J désige la matrice carrée de format (, ) dot tous les coefficiets sot égaux à. Notos. O a alors, pour tout etier p strictemet positif, U p = U 0 B p. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 23 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

24 Il resterait à prouver que la suite de matrice (B p ) coverge (das u ses à préciser) lorsque l etier p ted vers l ifii et expliquer commet récupérer les mesures de pertiece μ, μ 2,,μ. Il est pas questio de traiter ici le cas gééral. Nous allos ous coteter d observer ce qui se passe sur u exemple élémetaire. Das l exemple ci-dessous, le graphe représete les lies existat etre quatre pages web umérotées de à 4 (M, M 2, M 3, M 4 ) : La matrice A associée à ce graphe, telle que défiie das le paragraphe précédet, est : O observe ici que la matrice est pas symétrique cotrairemet à la matrice d adjacece défiie das la partie d. Cela tiet au fait qu ici le graphe est orieté. O peut motrer que les puissaces de la matrice A ot pour limite la matrice L ci-dessous. O a alors, quelle que soit la situatio iitiale U 0, E coséquece, o attribue aux pages, 2, 3, 4 les idices de pertiece respectifs 3,, et 5 3 L = Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 24 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

25 Das le deuxième modèle, avec c = / 5, o obtiet la matrice : O démotre que les puissaces de la matrice B coduiset à ue matrice limite et à des idices de pertiece qui sot,, et, à comparer aux idices trouvés précédemmet Page Sas saut aléatoire 0,23 0,08 0,3 0,38 Avec saut aléatoire 0,24 0, 0,3 0,35 Ressource : G. Traitemet de l image. Numériser des images imager les ombres O a extrait l image ci-cotre d ue photographie d Ala Turig disputat ue course de 3 miles e 946. Cette photographie a été reproduite sur u site web cosacré à l u des «iveteurs» de l iformatique dot l adresse est doée ci-dessous. Elle a doc été «umérisée», c est-à-dire trasformée e ue suite de 0 et de. Le rectagle est décomposé e u certai ombre de petits carrés, et à chacu de ces carrés a été attribué u ombre qui représete ue uace de gris. La fiesse de la décompositio (le ombre de carrés) est la défiitio de l image. La défiitio de cette image particulière est pas boe : o devie les pixels (mot fabriqué avec les débuts des mots aglais picture elemet). Toute image utilisat que le oir et le blac peut aisi être représetée par u tableau coteat autat de cases que l image cotiet de pixels, chacue de ces cases état occupée par 0 ou. L image est doc représetée par ue matrice dot tous les élémets sot 0 ou. L adresse du site cosacré à Turig est : 2. Opératios sur les images A = B = O trasforme la matrice A associée à l image de gauche e remplaçat par 0 et 0 par, o obtiet la matrice B, associée à l image de droite, qui est le égatif de l image de gauche. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 25 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

26 O peut égalemet coder des images e uaces de gris e attribuat à chaque pixel u ombre compris etre 0 et, proche de si la case est gris focé, proche de 0 si elle est gris clair. O peut égalemet défiir l image égatif de l image de départ e lui associat la matrice dot les élémets sot les complémets à des élémets de la matrice de départ. Les deux images ci-dessus sot le égatif l ue de l autre. D autres critères peuvet être eregistrés das les élémets de la matrice associée à ue image, la lumiosité par exemple. Ue multiplicatio de tous les élémets de la matrice représetat la lumiosité par u même facteur modifie la lumiosité de l esemble. Si deux images ot le même format et la même défiitio (associées aux matrices A et B), il est possible de leur faire correspodre leur somme, associée à la somme des matrices qui les défiisset, e coveat qu u coefficiet supérieur à doe u pixel de couleur oire. O peut aussi leur faire correspodre leur différece, avec cette fois la covetio que tout pixel associé à u ombre égatif est blac, ou restituer l'image positive A B e particulier pour différetier les images et faire apparaître la trame des cotours, horizotaux, verticaux, obliques. Ressources : Le logiciel Scilab peut égalemet permettre des opératios sur les images, e lie avec les matrices. L aexe fourit quelques complémets à ce propos. 3. Commet modifier la forme d ue image? O se propose de trasformer l image de droite e sa symétrique par rapport à l axe vertical, l image de gauche. Pour cela, il suffit de représeter le symétrique de tout pixel de l image de droite. Chaque pixel état d ue seule couleur, l image obteue est bie la symétrique de l image de départ. Des photos de la spirale de Fiboacci das le métro de Naples se trouvet à l adresse suivate : page d u site touristique sur Naples. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 26 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

27 4. Des matrices pour réaliser des trasformatios À tout poit du pla, de coordoées ( x, y) doées das u repère (que ous choisiros orthoormal pour que l actio sur les figures soit mieux visible), o peut associer u autre poit, de coordoées a b x ( x, y ) défiies par l actio d ue matrice carrée sur, ce qui s écrit : c d y x a b x = y c d y, ou ecore x = ax + by. y = cx + dy Si, par exemple, a =, b = 0, c = et d = 0, les coordoées x et y d u poit quelcoque sot trasformées e x et y, qui sot les coordoées de so symétrique par rapport à l axe vertical. Les images suivates fourisset sur ue vue de la Bièvre aux Gobelis extraite d ue carte postale d époque, des exemples d actios d ue matrice sur ue image. Exercice : Trouver les coefficiets correspodats. Réflexio d axe (Oy) Symétrie cetrale Réductio (multiplicatio des dimesios par 0,5) Affiité orthogoale de base l axe (Oy) de rapport 0,5 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 27 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices

28 II. Défiitios et premiers calculs avec des matrices Das cette partie, le vocabulaire spécifique aux matrices, les opératios sur les matrices et quelques résultats théoriques sot présetés après ue itroductio «ituitive» des otios das le cadre de la résolutio de problèmes comme das les exemples proposés das la première partie. Das la partie III, d autres problèmes serot résolus et o s autorisera alors l utilisatio des matrices et la référece directe aux résultats théoriques éocés das la partie II. A. Matrices. Opératios. Quelques défiitios, quelques otatios Deux etiers aturels m et état doés o uls, o appelle matrice de format (m, ) tout tableau rectagulaire de m élémets, disposés sur m liges et coloes. Das les situatios abordées ici, les élémets e questio sot des ombres réels. a a2... a La matrice A = peut aussi être otée A = am, am,2... am, ( a ij ), la otatio a ij désige am am2... am le coefficiet (l élémet, le terme) situé à l itersectio de la i-ième lige et de la j-ième coloe. C est le coefficiet géérique de la matrice A. Lorsque m =, o dit que la matrice est carrée (carrée d ordre si écessaire). Les élémets a, a, a,..., a, a sot les élémets de la diagoale pricipale de la matrice , La matrice idetité d ordre est la matrice carrée d ordre dot tous les coefficiets sot uls à l exceptio de ceux situés sur la diagoale pricipale qui sot égaux à. Elle est souvet otée I. L égalité e peut iterveir qu etre deux matrices A et B de même format : elle sigifie que, pour tout idice i et pour tout idice j, a = b. Ue matrice dot tous les coefficiets sot uls est dite ij ij matrice ulle (mais deux matrices ulles qui ot pas le même format e sot pas égales). Ressources : Additio, produit par u scalaire O peut faire la somme de deux tableaux de ombres ayat même ombre de liges et de coloes e procédat par additio place par place. C est ce procédé qui est reteu pour défiir l additio de m,, sot telles que matrices de même format. Dire que les matrices A, B et C, de format ( ) C = A+ B, c est dire que : pour tout etier i compris etre et m, pour tout etier j compris etre et, c = a + b. ij ij ij O peut de même multiplier tous les élémets d u tableau de ombres par u même ombre (pour appliquer ue taxe, par exemple). C est ce procédé qui est utilisé pour multiplier ue matrice A par u scalaire λ (u ombre réel). O ote λa la matrice obteue. O a doc (avec ue simplificatio de la otatio) : λa = (λa i j ). Ressources : Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 28 sur 62 Mathématiques Série S Eseigemet de spécialité Matrices