Mathématiques. Cours. BTS Informatique de gestion 2 e année. Denis Jaudon. Directrice de publication : Valérie Brard-Trigo

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1 BTS Iformatique de gestio e aée Deis Jaudo Mathématiques Cours Directrice de publicatio : Valérie Brard-Trigo Les cours du Ced sot strictemet réservés à l usage privé de leurs destiataires et e sot pas destiés à ue utilisatio collective. Les persoes qui s e serviraiet pour d autres usages, qui e feraiet ue reproductio itégrale ou partielle, ue traductio sas le cosetemet du Ced, s exposeraiet à des poursuites judiciaires et aux sactios péales prévues par le Code de la propriété itellectuelle. Les reproductios par reprographie de livres et de périodiques protégés coteues das cet ouvrage sot effectuées par le Ced avec l autorisatio du Cetre fraçais d exploitatio du droit de copie (0, rue des Grads Augustis, Paris).

2 Sommaire Coseils gééraux... 5 Uité Les graphes... 7 Séquece : otios sur les graphes... 9 Uité Séries statistiques Séquece : séries statistiques à deux variables... 4 Uité 3 Calcul itégral Séquece : calcul itégral () Séquece : calcul itégral () Uité 4 Calcul de probabilité... 3 Séquece : variables aléatoires réelles cotiues... 5 Séquece : la loi ormale... 7 Séquece 3 : opératios sur les variables aléatoires Séquece 4 : échatilloage... 6 Extraits du référetiel du BTS IG...75 Formulaire de mathématiques TG PA 00 3

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4 Coseils gééraux Le coteu de ce fascicule dot la référece est : 8 93 TG PA 00 couvre eviro le derier quart du programme du BTS iformatique de gestio. Il devrait vous permettre de préparer l épreuve de mathématiques, e laissat le temps écessaire à l etraîemet à l exame, par les devoirs qui vous serot proposés. Nous vous proposos ue progressio pédagogique e quatre uités, comportat chacue ue ou plusieurs séqueces. Ue séquece d appretissage est composée d ue partie cours et d ue partie exercices «autocorrectifs» d égale importace das le processus de votre appretissage. Cours Ce cours doit être travaillé attetivemet : ue lecture rapide des otios abordées e vous servira à rie. lisez et relisez les défiitios, les théorèmes et les propriétés ; isistez sur les coditios d utilisatio des théorèmes et des propriétés ; faites et refaites les exemples proposés. Nous avos aussi prévu des revois à des exercices d applicatio, sigalés à l aide du picto. Ils serot pour vous l occasio de tester la compréhesio du cours. Ces redez-vous sot très utiles ; essayez de les respecter et de «jouer le jeu». Exercices «autocorrectifs» À la fi de chaque séquece, ous avos réservé ue large place à des exercices dot o vous propose ue correctio très détaillée. Ces exercices sot présetés sous trois formes : Exercices d applicatio :applicatio presque directe du cours. À chaque fois que vous recotrerez le picto, ce sera ue ivitatio à aller travailler les exercices proposés. Exercices d approfodissemet : ce sot des exercices qui sot à faire après l étude complète de la séquece et qui écessitet le plus souvet ue recherche approfodie des solutios. Travaux pratiques : ils sot présets à la fi de certaies séqueces et sot costitués de problèmes qui comportet les savoirs et les savoir-faire évalués à l exame TG PA 00 5

5 Coseils gééraux Tous ces exercices écessitet u ivestissemet persoel importat. Les corrigés (voir fascicule d autocorrectio réf TC PA 00) e doivet être cosultés qu après avoir effectué u travail sérieux pour trouver la solutio : u corrigé rapidemet cosulté, sas u travail préalable, vous doera l impressio trompeuse d avoir compris les otios abordées, mais ce est malheureusemet qu ue illusio! Devoirs Avec ce fascicule, il vous est servi u fascicule (réf DG ) de trois devoirs, hésitez pas à le cosulter régulièremet. Ces devoirs sot à evoyer à la correctio suivat la progressio idiquée das so sommaire et rappelée au début de chaque devoir. U travail sérieux doera toujours u résultat. Vous avez besoi d aucu autre ouvrage e mathématiques pour préparer votre BTS. L équipe pédagogique remercie le persoel du Ced de Poitiers qui a cotribué à la mise e page et à la productio de ce fascicule et atted de vous toutes les remarques qui cotribuerot à l amélioratio de ce support pour le bie de tous les iscrits. Bo courage! TG PA 00

6 Uité Les graphes Prérequis Calcul matriciel Calcul boolée Objectifs Iitiatio aux graphes orietés Mise e œuvre, sas théorie géérale, d algorithmes permettat d obteir les chemis de logueur p, la fermeture trasitive, les iveaux et chemi de valeur miimale Coteu Séquece : otios sur les graphes 8 93 TG PA 00 7

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8 Notios sur les graphes Séquece Prérequis Calcul matriciel Calcul boolée Objectifs Iitiatio aux graphes orietés Mise e œuvre, sas théorie géérale, d algorithmes permettat d obteir les chemis de logueur p, la fermeture trasitive, les iveaux et chemi de valeur miimale Coteu. Graphes simples orietés A. Graphe représetatio sagittale B. Sommets arcs chemi logueur d u chemi boucle circuit chemi hamiltoie C. Prédécesseurs successeurs D. Matrice adjacete E. Niveau des sommets d u graphe F. Arborescece. Opératios sur les matrices adjacetes A. Somme, produit et puissace des matrices B. Somme, produit et puissace boolées des matrices C. Fermeture trasitive d u graphe 3. Graphes valués 3A. Défiitios 3B. Chemi miimal chemi maximal 4. La méthode Pert 8 93 TG PA 00 9

9 Séquece Notios sur les graphes. Graphes simples orietés A. Graphe représetatio sagittale Exemple O cosidère l esemble S = {A, B, C, D} où A, B, C et D sot 4 poits du pla. L esemble G = {(A, A); (A, B); (A, C); (A, D); (B, D); (D, C); (C, B)}, formé par des couples d élémets de S, défiit u graphe sur S. Les couples de G sot représetés par des arcs orietés. Le schéma ci-dessus est la représetatio sagittale de G (ou représetatio par poits et flèches). B. Sommets arcs chemi logueur d u chemi boucle circuit chemi hamiltoie Pour la représetatio sagittale doée au paragraphe A : Les quatre élémets A, B, C, D de S représetés par des poits sot appelés sommets et les couples de G sot appelés arcs. (A, D) est u chemi de logueur qui va de A à D et (A, B, D, C) est u chemi de logueur 3 qui va de A à C. Le chemi (A, A) est appelé ue boucle. Le chemi (B, D,C,B) est u circuit. (A, B, D, C) est u chemi de logueur 3 qui passe par tous les sommets du graphe, et e passe qu ue fois par chacu d eux : (A, B, D, C) est u chemi hamiltoie. Applicatio/Exercice TG PA 00

10 Notios sur les graphes Séquece C. Prédécesseurs successeurs Défiitio Si (A, B) est u arc d u graphe alors o dira que A est u prédécesseur de B et que B est u successeur de A. L esemble des prédécesseurs d u sommet A est oté Γ - (A) et l esemble des successeurs d u sommet A est oté Γ + (A). Exemple Pour la représetatio sagittale doée au paragraphe A o aura aisi : Sommets A B C D Successeurs Γ + A, B, C, D D B C Γ - (A) = {A} et Γ + (A) = {A, B, C, D} Prédécesseurs Γ - A A, C A, D A, B Applicatio/Exercice D. Matrice adjacete À u graphe orieté peut être associé u tableau boolée où l o ote si deux sommets sot reliés par u arc, 0 sio. Exemple Pour le graphe G du paragraphe A. o aura aisi : Il y a u arc (A, B) Successeurs A B C D Prédécesseurs A B C D Il y a pas d arc (B, A) 8 93 TG PA 00

11 Prédécesseurs Séquece Notios sur les graphes O appelle alors matrice adjacete M associée au graphe pour les sommets A, B, C et D das cet ordre, la matrice booléee : 644 Successeurs 7448 A B C D M = La dispositio des poits respecte celle du tableau A B C D Applicatio/Exercice 3 E. Niveau des sommets d u graphe Les graphes simples sas circuits (doc sas boucles) peuvet être ordoés par iveau. Défiitio O appelle sommets de iveau 0 das u graphe simple orieté, les sommets qui ot pas de prédécesseur. Si l o ote S 0 l esemble des sommets de iveau 0, o appellera sommets de iveau, les sommets qui ot pas de prédécesseur das S - S 0 et aisi de suite. Exemple O cosidère le graphe défii par le tableau suivat : Successeurs A B C D E Prédécesseurs A B C D E TG PA 00

12 Notios sur les graphes Séquece Le premier tableau ci-dessous présete les prédécesseurs de chaque sommet : Sommets A B C D E Prédécesseurs aucu D, E B, E A A Le sommet A a pas de prédécesseur, il est doc de iveau 0 et S 0 = {A}. Le tableau ci-dessous présete les prédécesseurs de tous les sommets sauf A (sommet de iveau 0) : Sommets B C D E Prédécesseurs D, E B, E aucu aucu Les sommets D et E ot pas de prédécesseur das S - S 0, ils sot doc de iveau et S = {D, E}. Le troisième tableau ci-dessous présete les prédécesseurs de tous les sommets sauf A (sommet de iveau 0), D et E (sommets de iveau ) : Sommets B C Prédécesseurs aucu B Le sommet B a pas de prédécesseur das S - S 0 S, il est doc de iveau et S = {B}. Et pour termier, cosidéros le tableau ci-dessous qui présete les prédécesseurs de tous les sommets sauf A (sommet de iveau 0) ; D, E (sommets de iveau ) et B de iveau : Sommet C Prédécesseur aucu Le sommet C a pas de prédécesseur das S - S 0 S S, il est doc de iveau 3 et S 3 = {C} TG PA 00 3

13 Séquece Notios sur les graphes O effectuera ces démarches das u seul tableau e plaçat das u même iveau les sommets qui ot pas de prédécesseur et e barrat successivemet les sommets de iveaux déjà trouvés. Sommets Prédécesseurs iveau 0 iveau iveau iveau 3 A aucu A B D, E B C B, E C D A D E A E D où la représetatio du graphe, ordoé par iveaux : A D B C E Applicatio/Exercice 4 F. Arborescece Défiitio Soit G u graphe défii sur u esemble S et O u sommet de S. { O est u sommet de iveau 0 Si tout sommet M, différet de O, a qu u seul prédécesseur différet de M Il existe u chemi allat de O à M alors o dira que G est ue arborescece TG PA 00

14 Notios sur les graphes Séquece Exemple B C O D E Successeurs O B C D E Prédécesseurs O B C D E Remarque Ue arborescece e peut comporter i boucle i circuit.. Opératios sur les matrices adjacetes A. Somme, produit et puissace des matrices Les opératios somme, produit et puissace des matrices ot été défiies das le cours de re aée séquece «Calcul Matriciel». O les ote A + B, A B et A. Propriété Soit M la matrice adjacete associée à u graphe. Le coefficiet m ij de la matrice M idique le ombre de chemis de logueur reliat le i-ième prédécesseur au j-ième successeur TG PA 00 5

15 Séquece Notios sur les graphes Exemple Soit M = la matrice adjacete associée au graphe du paragraphe.a. m M = = m = idique qu il existe chemi de logueur reliat A à A. m = idique qu il existe chemis de logueur reliat A à B. m = 0 idique qu il existe pas de chemi de logueur reliat B à A. Etc. Chemis de logueur E lisat les liges de M : il existe +++ chemis de logueur partat de A, chemi de logueur partat de B, etc. Et au total 0 chemis de logueur. E lisat les coloes de M : il existe chemis de logueur arrivat e A, chemis de logueur arrivat e B, etc. Chemis de logueur 3 M 3 = = Il existe chemis de logueur 3 partat de A, chemi de logueur 3 partat de B, etc. Et au total 3 chemis de logueur 3. Il existe chemi de logueur 3 arrivat e A, 4 arrivat e B, etc. Applicatio/Exercice TG PA 00

16 Notios sur les graphes Séquece B. Somme, produit et puissace boolées des matrices Défiitio Soiet M et M deux matrices booléees. La somme booléee des matrices M et M, otée M M, est la matrice obteue e effectuat la somme booléee des coefficiets de M et M. O défiit de faço aalogue le produit M M et la puissace -ième booléee d ue matrice M, otée M [] :M [] = M M M (M est présete fois). Rappel Pour les costates booléees 0 et : 0+0=0 +0= += 0.0=0.0=0.= Exemple Soit et = alors : M = M 0 0 M M = 0 0 = M M = 0 0 = 0 [ ] M = 0 0 = 0 Remarques Soit M ue matrice quelcoque. Alors :. O ote M [] la matrice booléee qui lui est associée.. Pour détermier M [] o pourra soit détermier M = M M M (M état présete fois) puis predre la matrice booléee M [] associée, soit détermier directemet M [] = M [] M [] M [] (M [] état présete fois) TG PA 00 7

17 Séquece Notios sur les graphes Exemples [ ] 0. Si M = 0 alors M =. 3 [ ]. Si alors M = d où M =. 0 0 = M = [ ] [ ] [ ] ou ecore M = M M =. 0 0 = 0 Applicatio/Exercice 6 Propriété (admis) U coefficiet o ul de M [] idique qu il existe au mois u chemi de logueur reliat deux poits du graphe. Exemple Repreos le graphe défii au paragraphe A. Existece de chemis de logueur [ ] M = M M = = Il existe des chemis allat de A vers A, B, C et D, allat de B vers C, etc. Il y a au total 7 couples de poits que l o peut relier par des chemis de logueur. Existece de chemis de logueur 3 [ 3] [ ] M = M M= = Il existe pas de chemi de logueur 3 allat de B vers A, C et D, etc. Applicatio/Exercice TG PA 00

18 Notios sur les graphes Séquece C. Fermeture trasitive d u graphe Défiitio O appelle fermeture trasitive du graphe G le graphe oté ^G (lire «G chapeau») obteu e complétat G par tous les arcs (X,Y) lorsqu il existe u chemi quelcoque allat de X à Y das G. Remarque O a évidemmet G ^G. Exemple O cosidère le graphe G = {(A, A); (A, B); (A, C); (A, D); (B, D); (D, C); (C, B)} défii sur l esemble S = {A, B, C, D}. O obtiet ^G e complétat G par les 6 arcs (B, B); (B, C); (C, C); (C, D); (D, B); (D, D). G ^ = {(A, A); (A, B); (A, C); (A, D); (B, D); (D, C); (C, B); (B, B); (B, C); (C, C); (C, D); (D, B); (D, D)} Le graphique ci-dessous doe la représetatio sagittale de G («flèches pleies») et celle de ^G («flèches pleies» + «flèches e poitillés»). Applicatio/Exercice TG PA 00 9

19 Séquece Notios sur les graphes Propriété Si G est u graphe simple orieté à sommets de matrice M alors ^G a pour matrice adjacete : M ^ [ ] [ ] =M M K M Exemple Matrice adjacete de la fermeture trasitive du graphe G du paragraphe.a. Le graphe comportat =4 sommets o calcule : M ^ [ ] [ 3] [ 4] = M M M M = d où ^M 0 = 0 0 O vérifiera sur la figure précédete que (B, A), (C, A) et (D, A) ^G Applicatio/Exercice TG PA 00

20 Notios sur les graphes Séquece 3. Graphes valués 3A. Défiitios Défiitio O appelle graphe valué u graphe das lequel chaque arc est affecté d ue valeur. O appelle valeur d u chemi la somme des valeurs des arcs qui le composet. Exemple Le graphe simple orieté et valué ci-dessous, ordoé par iveaux, idique la durée des trajets etre ciq villes A, B, C, D et E. D 3 B 9 C A E Le chemi (A, D, B, C) a pour logueur 3 et pour valeur 4. Le chemi (A, E, C) a pour logueur et pour valeur. Pour u graphe dot tous les arcs ot la valeur, la logueur d u chemi et sa valeur sot idetiques. 3B. Chemi miimal chemi maximal Défiitios Parmi tous les chemis meat d u sommet A à u sommet B, o appelle : chemi miimal u chemi dot la valeur est miimale ; chemi maximal u chemi sas circuit dot la valeur est maximale ; chemi optimal tout chemi miimal ou maximal. Exemple A 9 5 D B C E 8 93 TG PA 00

21 Séquece Notios sur les graphes Pour aller de A à C : le chemi (A, D, B, C), de logueur 3 et de valeur 4, est u chemi maximal ; le chemi (A, E, B, C), de logueur 3 et de valeur, est u chemi miimal ; le chemi (A, E, C), de logueur et de valeur, est pas u chemi optimal. Propriété Tout chemi optimal est composé de chemis eux-mêmes optimaux. Remarque La recherche des chemis miimaux effectuée sur les graphes ordoés par iveaux est proposée e travaux pratiques. 4. La méthode PERT Coformémet au programme officiel du BTS, la méthode PERT e peut faire l objet «d aucue évaluatio e mathématiques» c est-à-dire qu à l épreuve de Mathématiques à l exame du BTS vous aurez aucue questio cocerat cette méthode. La méthode PERT (Program Evaluatio Research Task) est ue méthode d ordoacemet et d optimisatio pour la réalisatio de projets comportat u grad ombre de tâches. Cette méthode, mise au poit aux USA pour la réalisatio du programme des fusées Polaris, utilise les graphes orietés. Elle permet par exemple de plaifier des travaux de costructio de maisos, de avires, d avios Les graphes qui e découlet décrivet des tâches et des étapes. O parle de graphes ou de réseaux PERT. Défiitios O appelle tâche le déroulemet das le temps d ue opératio. O appelle étape le commecemet ou la fi d ue tâche TG PA 00

22 Notios sur les graphes Séquece Exemple La costructio de immeubles doit être réalisée à partir des projets choisis parmi 3 coçus simultaémet. La plaificatio des travaux écessite les tâches ci-dessous : a : coceptio du projet (durée : 3 mois) b : coceptio du projet (durée : 3 mois) c : coceptio du projet 3 (durée : 3 mois) d : aalyse et choix des projets (durée : 5 jours) e : réalisatio de l immeuble (durée : 4 mois) f : réalisatio de l immeuble (durée : 7 mois) g : réceptio des travaux / reprise de fiitios (durée : mois) Le graphe PERT correspodat, exprimé e mois, est doé ci-dessous : tâche fictive 6 tâche fictive e a b d f g ,5 7 c 0 3 tâche fictive 4 Remarques. Ue tâche est représetée par ue et ue seule flèche sur laquelle sot idiquées la tâche à effectuer (représetée par ue lettre) et la durée de réalisatio de celle-ci.. Ue étape est de durée ulle. Elle est représetée par u cercle ou u rectagle uméroté, à partir de, e respectat les iveaux du graphe. 3. Deux tâches se déroulat de faço simultaée sot représetées par deux flèches distictes. Les étapes fiales correspodates sot alors reliées par ue étape dite fictive. Par exemple les tâches a, b et c sot simultaées. Les étapes et 3, aisi que 3 et 4 sot reliées par ue tâche fictive de durée ulle : la tâche d e pourra doc commecer avat que les tâches a, b et c e soiet achevées. De même la tâche g e pourra pas commecer avat que les tâches e et f e soiet achevées TG PA 00 3

23 Séquece Notios sur les graphes Exemple Pour la coceptio et la réalisatio d u ouveau produit ue etreprise estime qu elle doit réaliser les 0 tâches a, b, c, d, e, f, g, h, j et k e teat compte de l ordre et des durées idiquées ci-dessous : Tâches Durée des tâches e jours Tâches atérieures a - b - c 6 d d 3 - e 4 a f b g 4 f, j h 5 g, c j 3 a k 6 e Pour optimiser les temps de réalisatio, o procède par étapes comme ci-dessous : Étape : O ordoe les tâches (arcs) par iveaux Tâches Tâches atérieures iveau 0 iveau iveau iveau 3 a - a b - b c d - c - - d - d e a - e - - f b - f - - g f, j - - g - h g, c h j a - j - - k e - - k TG PA 00

24 Notios sur les graphes Séquece Étape : O représete le graphe associé Les étapes iitiales de chaque tâche sot classées par iveaux. O umérote les tâches. e 5 4 k j a 6 3 b f g h d 3 c 6 4 Les étapes, 3 et 4 sot les étapes iitiales des tâches de iveau. Les étapes 5 et 6 sot les étapes iitiales des tâches de iveau 3. Les tâches fiales doivet se rejoidre e ue même étape. Étape 3 : O calcule les dates de début au plus tôt et au plus tard de chaque tâche Ces dates sot idiquées sur chaque étape. Numéro de l étape Date du début au plus tôt de la tâche suivate Date du début au plus tard de la tâche suivate Pour l étape ces dates sot ulles. Étape 3. : Date de début au plus tôt d ue tâche Pour chaque étape c est la logueur du plus log chemi pour y arriver. Les dates sot ulles 0 0 a d 3 b e 4 f c 6 j Le projet peut être réalisé e 4 jours. g 4 k 6 Le plus log chemi pour arriver à l étape 6 est (a, j) 4 = + 3 h Le plus log chemi pour arriver à l étape 7 est (d, c) 9 = TG PA 00 5

25 Séquece Notios sur les graphes Étape 3. : Date de début au plus tard d ue tâche C est la date au-delà de laquelle le projet e peut avoir que du retard. Pour l étape termiale la date de début au plus tard est égale à la date de début au plus tôt. Pour les autres étapes les dates se calculet e partat de la fi du réseau, de la maière suivate : Pour ue étape quelcoque i le début au plus tard est la différece : durée de l étape termiale (durée du plus log chemi pour aller de l étape i à l étape fiale). O obtiet aisi le graphe : La durée du plus log chemi pour relier les étapes et 8 est 4 - = La date de début au plus tard est égale à la date de début au plus tôt Remarque Das le cas (fréquet) d ue étape i d où e part qu ue seule tâche de durée d : début au plus tard de l étape i = début au plus tard de la suivate d. Étape 4 : Détermiatio du chemi critique Le chemi critique est le chemi pour lequel tout retard pris sur l ue des tâches etraîe u retard das la réalisatio du projet. C est le chemi sur lequel les dates de début au plus tôt sot égales aux dates de début au plus tard. 0 0 a d 3 a b d 3 b e 4 f c 6 f e 4 j 3 c 6 j g 4 k 6 g 4 k Chemi critique (d, c, h) h 5 h Chemi critique Applicatio/Exercice TG PA 00

26 Notios sur les graphes Séquece Exercices autocorrectifs Applicatios Exercice O cosidère le graphe orieté G défii sur S = {A, B, C, D} par la représetatio sagittale ci-dessous. a) Défiir G e extesio. b) Doer chemis de logueur 3 partat de D. c) Doer u chemi hamiltoie. Prédécesseurs Successeurs Exercice O cosidère le graphe de l exercice. Détermier l esemble Γ - des prédécesseurs de A, B, C et D et l esemble Γ + de leurs successeurs TG PA 00 7

27 Séquece Notios sur les graphes Matrices adjacetes Exercice 3. Détermier la matrice adjacete M du graphe de l exercice O cosidère la matrice adjacete M = 0 associée au graphe G défii sur S= {A,B,C}. 0 0 Doer ue représetatio sagittale de G. Niveaux des sommets Exercice 4 Sur l esemble S = {A, B, C, D, E, F, G} o cosidère le graphe G défii par : G = {(A, B); (A, C); (A, F); (B, D); (C, D); (C, F); (D, G); (D, E); (F, E); (F, G); (G, E)} a) Ordoer ses sommets par iveaux. b) Doer ue représetatio par iveaux de G. Opératios sur les matrices adjacetes Exercice 5 0 Soit M = la matrice adjacete associée à u graphe G Détermier le ombre de chemis de logueur reliat deux poits quelcoques du graphe.. Combie existe-t-il de chemis de logueur arrivat e C? TG PA 00

28 Notios sur les graphes Séquece Exercice O cosidère les matrices M = 0 0 et M = Détermier les matrices M M, M M, M [] et M [3]. Exercice 7 0 Soit M = la matrice adjacete associée à u graphe G Existe-t-il au mois u chemi de logueur 3 reliat deux poits du graphe? Fermeture trasitive Exercice 8 Tracer la fermeture trasitive des graphes ci-dessous : Exercice 9 O cosidère le graphe G = {(A, B); (A, C); (B, C); (C, A)} défii sur S = {A, B, C}. a) Doer sa représetatio sagittale. b) Détermier sa fermeture trasitive ^G : graphiquemet ; par le calcul TG PA 00 9

29 Séquece Notios sur les graphes Méthode PERT Exercice 0 Détermier les dates de début au plus tôt et de début au plus tard, aisi que le chemi critique pour les réseaux PERT ci-dessous :. Réseau c 3 a b d e f 6 g 6 6 h 7 j 8 i. Réseau a 4 c b 3 d e f 3 g 6 h 7 4 Les étapes et 3 sot reliées par ue tâche fictive de durée ulle TG PA 00

30 Notios sur les graphes Séquece Approfodissemets Exercice Soit G le graphe défii sur S = {A, B, C} par le tableau des successeurs : Sommets A B C Successeurs A, B C B. Représeter le graphe G et, pour les sommets das l ordre idiqué, doer sa matrice adjacete M.. a) Calculer les matrices M et M 3, aisi que les matrices booléees M [] et M [3]. b) Doer la liste des chemis de logueur d origie A. c) Quel est le ombre de chemis de logueur 3 d origie B? d) Quel est le ombre de chemis de logueur 3 arrivat e B? Doer leur liste. e) Quel est le ombre de circuits de logueur 3? Doer leur liste. Exercice O cosidère l esemble S = {A, B, C, D, E} et G le graphe défii par le tableau suivat : Successeurs A B C D E Prédécesseurs A B C D 0 0 E E lisat le tableau, dire si G comporte des boucles.. Représeter le graphe G. 3. Est-ce que G est ue arborescece? Quel est le sommet de iveau 0? 4. Doer la matrice d adjacece M du graphe G. 5. Calculer les matrices M = M M et M 3 = M M. Iterpréter ce derier résultat TG PA 00 3

31 Séquece Notios sur les graphes Exercice 3 (BTS Iformatique de Gestio Jui 999) - Soit G le graphe défii par le tableau des successeurs : Sommets A B C a) Représeter le graphe G. b) Doer la matrice d adjacece du graphe G. Successeurs A, B C C - Soit la matrice M = a) Détermier les matrices M = M M et M 3 = M M. b) Quel est le ombre situé à l itersectio de la première lige et de la deuxième coloe de M? Que sigifie-t-il par rapport au graphe G? Doer la liste des chemis cocerés. c) Quel est le ombre de chemis de logueur 3 issus du sommet A das le graphe G? Exercice 4 (BTS IG Jui 000 Nouvelle Calédoie) O cosidère le graphe défii par le tableau suivat : Sommets A B C D Successeurs A, B, D A, C A C. Détermier la matrice adjacete M de ce graphe.. a) Calculer la matrice M = M M, où représete la multiplicatio des matrices. b) Utiliser le résultat précédet pour calculer le ombre total de chemis de logueur du graphe, puis le ombre de chemis de logueur partat de A. c) Citer tous les chemis de logueur partat de A. 3. Citer tous les chemis de logueur 3 partat de D TG PA 00

32 Notios sur les graphes Séquece Travaux pratiques TP BTS Iformatique de Gestio Jui 000 Les questios et peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. - O cosidère l esemble E = {x ;x ;x 3 } et l applicatio f de E das E défiie par f(x ) = x, f(x ) = x 3, f(x 3 ) = x. a) Détermier les atécédets par f de chacu des élémets de l esemble E. b) L applicatio f est-elle ue ijectio de E das E? (Justifier). c) L applicatio f est-elle ue surjectio de E sur E? (Justifier). - O cosidère le graphe orieté G, de sommets x ;x ;x 3 tel que les successeurs de x ;x ;x 3 sot respectivemet f(x ), f(x ) et f(x 3 ). a) Doer ue représetatio géométrique de ce graphe. b) O ote M la matrice d adjacece de G. 0 0 O costate que M = Expliquer pourquoi la première lige de M est 0 0. c) O ote ^G la fermeture trasitive de G. O rappelle que ^G est le graphe obteu e coservat les sommets de G et e ajoutat, s ils existet pas das G, les arcs (x i ; x j ) lorsqu il existe u chemi d origie x i et d extrémité x j das le graphe G. Tracer ue représetatio géométrique de ^G et vérifier que la matrice ^M d adjace- ce du graphe ^G 0 est 0. 0 d) Calculer les matrices booléees M [] et M [3]. Vérifier que ^M = M M [] M [3] où représete l additio booléee des matrices TG PA 00 33

33 Séquece Notios sur les graphes TP Recherche des chemis miimaux Les liaisos etre différetes villes otées A, B, C, D, E, F et G costituet u réseau dot o extrait seulemet celles permettat de se redre de la ville A à la ville G. Partie A Das cette première partie le tableau ci-dessous idique la durée e heures des trajets. Départ Arrivée A B C D E F G A B C D E F G O obtiet aisi u graphe valué G pour lequel o ote S l esemble des sommets de iveau.. Prélimiaire Vérifier que S 0 = {A}, S = {C, D, E}, S = {B, F} et S 3 = {G}. La représetatio du graphe classé par iveaux aisi que les durées des trajets est doée ci-dessous. 8 C 4 A 3 D 4 B 3 G 4 E 3 7 F TG PA 00

34 Notios sur les graphes Séquece L algorithme permettat la recherche du chemi miimal etre deux étapes quelcoques repose sur la propriété : «tout chemi optimal est composé de chemis euxmêmes optimaux». O doit doc détermier les sous-chemis miimaux de chemis quelcoques, et pour cela o va idiquer pour chaque étape X ue marque m(x). X m(x). Recherche du chemi miimal : O procède e complétat les marques iveau par iveau. - Pour les sommets de iveau 0, par covetio o pose : m(a) = 0. A 0 - Pour les sommets de iveau, la marque «au plus tôt» est la valeur miimale des chemis veat du iveau 0. Par exemple m(d) = 3. D 3 Pour les sommets des autres iveaux, la marque «au plus tôt» est la valeur miimale de tous les chemis veat des iveaux précédets. Pour le sommet B : m(b) = mi(3+4 ; 4+) = 6. B 6 Compléter avec les logueurs des chemis et les marques miimales la représetatio graphique ci-dessous : C A D B G E F E déduire le chemi miimal c est-à-dire la durée miimale du trajet etre A et G TG PA 00 35

35 Séquece Notios sur les graphes Partie B Das cette deuxième partie le tableau ci-dessous idique la distace e kilomètres des trajets. Départ Arrivée A B C D E F G A B C D E F G Repredre le graphe précédet ordoé par iveaux et idiquer les distaces parcourues.. Recherche du chemi miimal : Repredre la démarche du A. pour compléter avec les marques miimales la représetatio graphique précédete. E déduire le chemi miimal c est-à-dire la distace miimale du trajet etre A et G TG PA 00

36 Notios sur les graphes Séquece TP 3 Méthode PERT (D après BTS comptabilité) La costructio d u etrepôt peut se décomposer e 0 tâches reliées etre elles par des coditios d atériorité. L etrepreeur chargé de cette costructio vous commuique le tableau des echaîemets des différetes activités, avec idicatio des durées respectives de chaque tâche : Nomeclature Désigatio Activités Durée prérequises (jours) a Acceptatio des plas - 4 b Préparatio du terrai - c Commade des matériaux a d Creusage des fodatios a, b e Commade des portes et feêtres a f Livraiso des matériaux c g Coulage des fodatios d, f h Livraiso des portes et feêtres e 0 i Pose des murs, de la charpete, du toit g 4 j Mise e place des portes et feêtres h, i Pour plaifier so travail, il vous demade de représeter sur u graphe le chemi critique, idiquat le temps miimum écessaire pour la réalisatio de ce projet TG PA 00 37

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38 Uité Séries statistiques Prérequis Notios élémetaires de calcul algébrique Statistiques à ue variable Objectifs Cosolider et approfodir les coaissaces acquises les aées atérieures Coteu Séquece : séries statistiques à deux variables 8 93 TG PA 00 39

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40 Séries statistiques à deux variables Séquece Prérequis Notios élémetaires de calcul algébrique Statistiques à ue variable Objectifs Cosolider et approfodir les coaissaces acquises les aées atérieures Coteu. Rappels Gééralités. Ajustemet liéaire A. Ajustemet au jugé B. Méthode de MAYER C. Méthode des Moidres Carrés 3. Droites de régressio 4. Corrélatio liéaire 4A. Coefficiet de corrélatio liéaire 4B. Iterprétatio graphique du coefficiet de corrélatio liéaire 5. La méthode des moyees mobiles 8 93 TG PA 00 4

41 Séquece Séries statistiques à deux variables. Rappels Gééralités Le recueil et l exploitatio des doées statistiques par des etreprises, des istituts de sodage, et leur étude simultaée permettet de décrire des situatios écoomiques, sociales pour établir des diagostics cojocturels ou costruire des modèles prévisioels. Ces méthodes sot etrevues das cette séquece das laquelle o étudie simultaémet deux caractères quatitatifs. Exemple Ue chaîe d hypermarchés implatée das le secteur S a effectué durat ciq aées des relevés statistiques sur so chiffre d affairesy (exprimé e millios d euros) et sur ses frais de publicité X (exprimés e millios d euros). Les résultats sot cosigés das le tableau suivat das lequel figure aussi le ombre N d hypermarchés de cette chaîe e activité das le secteur S. Rag de l aée t i Frais de publicité x i,05,3,45,5 Nombres d hypermarchés i Chiffre d Affaires y i Nous étudios simultaémet les caractères quatitatifs : «Frais de publicité et Chiffre d Affaires». Les 5 poits M i de coordoées (x i ;y i ) costituet das le repère associé à la série que ous oteros (x i ;y i ). rr (O,i, j) le uage série (x i ;y i ) Défiitio O appelle série chroologique (ou chroique) ue série (T i ;y i ) où le caractère T i varie e foctio du temps (aées, trimestres, mois, ). Das la série (T i ;y i ) Le caractère T i est la plupart du temps remplacé par so rag t i TG PA 00

42 Séries statistiques à deux variables Séquece Exemple Les séries statistiques (Rag de l aée t i ; Frais de publicité x i ) et (Rag de l aée t i ; Chiffre d Affaires y i ) costituet séries chroologiques : série (t i ; x i ) série (t i ; y i ) Les poits N i de coordoées (t i ; x i ) et P i de coordoées (t i ; y i ) costituet das u r r secod repère (O,i, j) des uages associés aux séries que ous oteros (t i ; x i ) et (t i ; y i ). r r La représetatio de ces séries chroologiques des 5 couples das le repère (O,i, j) est costituée de 4 segmets de droite reliat les poits successifs N i (t i ; x i ) et P i (t i ; y i ). Ces segmets idiquet ue liaiso das le temps. Défiitio r r Das u repère (O,i, j), o appelle poit moye G du uage de la série formée des couples (x i ; y i ) le poit G de coordoées : x + x + K + x x = y + y + K + y ; y =. Exemple Pour la série (x i ; y i ) (Frais de publicité et Chiffre d affaire) o a : x = +, 05 +, 3 +, 45 +, =, 6 y = = r r d où G(,6 ; 73) das (O,i, j). À l aide d ue calculatrice, o saisit les doées das trois listes et l o trouve : Applicatio/Exercice 8 93 TG PA 00 43

43 Séquece Séries statistiques à deux variables Défiitios Soit (x i ; y i ) la série double formée de couples, de poit moye G(x, y). O appelle variace des séries x i et y i les réels respectivemet otés σ x et σ y défiis par : x + x + K + x y + y + K + y σ x = x ; σ y = y. O appelle covariace de la série (x i ; y i ) le réel oté σ xy défii par : x. y + x. y + K + x. y σ xy = x.y. Exemple Pour la série «(Frais de publicité x i, Chiffre d Affaires y i )» o a : 8, σ x =, 6 = 0, 044 σ y = 73 = 73, , σ xy =, 6 73 = 7, 04 5 À l aide de la calculatrice o trouve : Applicatio/Exercice TG PA 00

44 Séries statistiques à deux variables Séquece. Ajustemet liéaire L ajustemet cosiste à remplacer ue série double par ue série (x i ;y i ) pour laquelle il existe ue relatio foctioelle liat x i et y i. Si cette relatio foctioelle est du type y i = a.x i + b (a,b costates réelles), o dira que l ajustemet est affie. Il existe de ombreux types d ajustemet : ajustemet parabolique y i = a.x i + b. x i + c, x ajustemet expoetiel yi = k.a i etc. O étudie ci-dessous trois types d ajustemet affie. Notos que si les y i e sot pas tous égaux etre eux (auquel cas la droite (D) : y = y est la meilleure droite d ajustemet) l ajustemet affie cosiste doc à détermier les réels a et b tels que y i = a.x i + b. A. Ajustemet au jugé Pricipe : O trace «au jugé» sur le uage ue droite qui semble ajuster au mieux la série. La solutio est doc pas uique mais o pourra imposer à cette droite de passer par le poit moye G. Exemple Pour la série «(Frais de publicité x i, Chiffre d Affaires y i )» ajustos la série iitiale par la série (x i,y i ) pour laquelle, par exemple, les poits M i sot situés sur la droite (GM ): y =ax + b. G(,6 ; 73) et M ( ; 0) (GM ) doc (GM ): 650 y = x ,. a+ b= 73 a = d où. a+ b= 0 b = O pourra doc ajuster la série iitiale par la série (x i,y i ) pour laquelle y i 03,85.x i - 83, Ajustemet au jugé Applicatio/Exercice TG PA 00 45

45 Séquece Séries statistiques à deux variables B. Méthode de MAYER Pricipe : O partage le uage iitial e deux sous-uages pour lesquels o calcule les poits moyes respectifs A et B : la droite (AB) est appelée droite de MAYER. La solutio est pas uique. O établit cepedat qu elle passe toujours par le poit moye G. Exemple Pour la série «(Frais de publicité x i, Chiffre d Affaires y i )» partageos le uage iitial e deux sous uages de et 3 poits, o aura : A (x A,y A ) = (,05 ; 35) et B (x B,y B ) = (4,5/3 ; 595/3) Ajustos la série iitiale par la série (x i,y i ) pour laquelle les poits Mi sot situés sur la droite (AB). A (AB) et B (AB) doc, 05. a+ b= 35 45, 595. a+ b= 3 3 d où 7600 a = b = La droite de MAYER a pour équatio : y = x O pourra doc ajuster la série iitiale par la série (x i, y i ) pour laquelle y i 6,70.x i -30,74. droite de MAYER Propriété Quelle que soit la répartitio des deux sous-uages la droite de Mayer (AB) passe par le poit moye G TG PA 00

46 Séries statistiques à deux variables Séquece Remarque Pour la série «(Frais de publicité x i,chiffre d Affaires y i )» o vérifie que doc G(,6 ; 73) est bie situé sur la droite (AB) , =73 47 Remarques Applicatio/Exercice 4. E gééral, pour la répartitio des deux sous-uages o choisit deux sous-esembles dot les effectifs sot égaux ou, à défaut, voisis.. La droite (AB) passat par G(x ;y ), so équatio peut s écrire sous la forme : y - y = a(x - x ). C. Méthode des Moidres Carrés rr Pricipe : Das le repère orthoormé (O,i,, soiet M i (x i,y i ) les poits représetat la série double (x i,y i ) de poit moye G(x j) ;y ) et soit (D a,b ) ue droite du pla d équatio y = a.x + b. Notos N i (x i,ax i +b) le projeté de M i (x i,y i ) sur (D a,b ) parallèlemet à la droite (Oy). Pour chaque positio de la droite (D a,b ) o évalue la quatité : S = M N + M N + M N = (y - ax - b) + (y - ax - b) + (y - ax - b) 8 93 TG PA 00 47

47 Séquece Séries statistiques à deux variables Défiitio O appelle droite d ajustemet par la méthode des moidres carrés la droite qui red miimale la somme S = M N + M N + M N = (y - ax - b) + (y - ax - b) + (y - ax - b) c est-à-dire qui miimise (red «moidre») la somme des carrés des logueurs des segmets [M i ;N i ]. Théorème Soit (x i,y i ) ue série double formée de couples et de poit moye G(x ;y ). Alors la droite d ajustemet par la méthode des moidres carrés est uique et a pour équatio y - y = a(x - x xy ) avec a = σ σ x E effet, o développe la somme S = M N + M N + M N = (y - ax - b) + (y - ax - b) + (y - ax - b) que l o cosidère successivemet comme u triôme du secod degré e b et dot le miimum est atteit pour b = y - ax, puis comme u triôme du secod degré e a xy dot le miimum est atteit pour a = σ σ Exemple Pour la série «(Frais de publicité x i, Chiffre d Affaires y i )» o a : σ xy 704, a = = = σ 0, d où c est-à-dire ( D): y 73 = ( x 6, ) ( D): y =. x O pourra doc ajuster la série iitiale par la série (x i,y i ) pour laquelle y i 70,048.x i - 4,6. x x droite des moidres carrés TG PA 00

48 Séries statistiques à deux variables Séquece À l aide d ue calculatrice o effectue les calculs sur les listes L et L 3 et l o trouve : Applicatio/Exercice 5 3. Droites de régressio O cosidère désormais les séries pour lesquelles les x i ou les y i e sot pas tous égaux etre eux, c est-à-dire les séries pour lesquelles σx 0 et σy 0. r r Das le repère orthoormé (O,i, j), soiet M i (x i, y i ) les poits représetat la série double (x i, y i ) de poit moye G(x ; y ) et soit (D a,b ) ue droite du pla d équatio y = a.x + b. Notos N i (x i, ax i +b) le projeté de M i (x i, y i ) sur (D a,b ) parallèlemet à la droite (Oy) et P i yi b = ; yi a le projeté de M i (x i, y i ) sur (D a,b ) parallèlemet à la droite (Ox). Pour chaque positio de la droite (D a,b ) o évalue les quatités : S = M N + M N + M N = (y - ax - b) + (y - ax - b) + (y - ax - b) S = MP + MP + MP = x y b + x a y b + x a y b a 8 93 TG PA 00 49

49 Séquece Séries statistiques à deux variables Défiitios et propriétés. O appelle droite de régressio de y e x et l o ote (D y/x ) la droite d ajustemet par la méthode des moidres carrés qui red miimale la somme S = M N + M N + M N = (y - ax - b) + (y - ax - b) + (y - ax - b) Cette droite est uique et passe par G. (C est la droite trouvée au.c).o appelle droite de régressio de x e y et l o ote (D x/y ) la droite d ajustemet par la méthode des moidres carrés qui red miimale la somme y b S = MP + MP + M P = x + x a Cette droite est égalemet uique et passe par G. y b + x a y b a Théorème Soit (x i,y i ) ue série double formée de couples et de poit moye G(x ;y ). Alors les droites de régressio ot pour équatio : σ xy (D y/x ) : y y = a( x x) avec a = σ x (D x/y ) : σ x x = a ( y y) avec a = xy σ y Pour (D x/y ) la démarche est similaire à celle du.c. Exemple σ xy 704, Pour la série «(Frais de publicité x i, Chiffre d Affaires y i )» o a : a = = = σ y 73, d où ( Dx / y ): x 6, = ( y 73 ) ou ( Dx / y ): y 73 = ( x 6, ) c est-à-dire ( Dx / y ): y =. x 55 O pourra doc ajuster la série iitiale par la série (x i,y i ) pour laquelle y i 80,9.x i - 54, TG PA 00

50 Séries statistiques à deux variables Séquece À l aide d ue calculatrice o peut obteir la représetatio suivate : (D x/y ) et (D y/x ) se coupet e G. Applicatio/Exercice 6 4. Corrélatio liéaire 4A. Coefficiet de corrélatio liéaire r r Das le repère, soiet M i (x i, y i ) les poits représetat la série (x i, y i ) de poit moye G(x ; y (O,i, j) ). de variaces σ x et σ y, et de covariace σ xy. Défiitio O appelle coefficiet de corrélatio liéaire le réel : r = σ σ σ. x xy y Remarque r, σ xy, a et a sot de même sige. Exemple Pour la série «(Frais de publicité x i, Chiffre d Affaires y i )» : σ xy 7, 04 r = = 0, 9695 σ x σ. y 0, , 6 Voir au.c. la valeur de r doée par la calculatrice. Propriétés a) - r + ; b) r = a.a (ou r = a.a ) 8 93 TG PA 00 5

51 Séquece Séries statistiques à deux variables 4B. Iterprétatio graphique du coefficiet de corrélatio liéaire rr Le pla est rapporté à u repère orthoormé (O,i, j). O suppose que σ x 0 et σ y 0, et l o rappelle que r, σ xy, a et a ot même sige. Si r = alors a.a = : a et a e sot pas uls et a = : a (D x/y ) : x x = a ( y y) = ( doc (D y/x ) : y - y = a(x - x ) a y y ) (D x/y ) = (D y/x ) Les droites (D y/x ) et (D x/y ) sot doc cofodues. Les poits M i (x i,y i ) de la série sot tous aligés (les foctios affies correspodates sot décroissates si r = - et croissates si r = ). Si - < r < 0 alors a < 0 et a < 0 : les foctios affies correspodates sot décroissates. Si r = 0 alors a = 0 car σ xy = 0. (D y/x ) : y - y = 0 et (D x/y ) : x - x = 0 (D x/y ) et (D y/x ) sot doc orthogoales : (D y/x ) parallèle à (Ox) et (D x/y ) parallèle à (Oy). Si 0 < r < + alors a > 0 et a > 0 : les foctios affies correspodates sot croissates. rr E résumé, das le repère orthoormé (O,i, j) o aura les représetatios : r = - -< r < 0 r = TG PA 00

52 Séries statistiques à deux variables Séquece Remarques 0 < r < + r =+. Le calcul du coefficiet de corrélatio permet de justifier la validité d u ajustemet affie : Plus r sera proche et mieux u ajustemet affie pourra être effectué.. Il est cepedat importat de oter que l étude de la corrélatio statistique etre deux caractères est pas et e sera jamais la preuve d u lie direct de causalité, mais seulemet ue mesure de dépedace liéaire de ces deux caractères. Applicatio/Exercice 7 5. La méthode des moyees mobiles La méthode des moyees mobiles est pas ue méthode d ajustemet affie, mais ue méthode de lissage préalable à u ajustemet affie. Sur les moyees mobiles obteues o procède esuite à u ajustemet affie par les méthodes vues précédemmet. Exemple Le chiffre d affaire, exprimé e milliers d euros, réalisé etre 99 et 003 par ue etreprise est doé das le tableau ci-dessous : Aée Rag t i y i Aée Rag t i y i TG PA 00 53

53 Séquece Séries statistiques à deux variables rr Das u repère (O,i, j) la représetatio de la série (t i ;y i ) est la suivate : O costruit les moyees mobiles sur k termes (k N*) de la série (t i ;y i ) e remplaçat les couples (t i ;y i ) par les couples (u i ;v i ) des moyees de k observatio successives de la série (moyees sur 7 jours, 30 jours, ) Si la série (t i ;y i ) est costituée de couples la série des moyees mobiles sur k termes (k N*) est costituée de - k + couples. Pour la série précédete les moyees mobiles calculées sur trois mois (k = 3) permettet de costruire ue série (u i ;v i ) de = 0 couples : Rag u i v i = 67, 3K = 65, 6K = 65, 3K = = 70 3 Rag u i La série des moyees mobiles est représetée par les. v i = = 73, 6K = = 78, 3K = 8 3 Applicatio/Exercice TG PA 00

54 Exercices autocorrectifs Applicatios Exercice Sur les dix cotrôles de ses deux aées de BTS u étudiat a obteu e Iformatique et Mathématiques les résultats suivats : Cotrôle Iformatique Mathématiques Ordoer les couples de otes aisi obteus suivat les otes d iformatique croissates, o ote désormais cette série de 0 couples (x i ;y i ). rr. Représetez le uage associé à ces 0 couples das u repère (O,i, j). 3. À l aide de votre calculatrice détermier les coordoées du poit moye G(x ;y ). Le placer sur le uage de la série. Exercice Avec les doées de l exercice :. Calculer la variace σ x et σ y des séries (x i ) et (y i ) et la covariace σ xy de la série (x i ;y i ).. Vérifier le résultat à l aide d ue calculatrice TG PA 00 55

55 Séquece Séries statistiques à deux variables Ajustemet au jugé Exercice 3 Le tableau suivat doe le PNB aisi que le ombre d hôpitaux pour millio d habitats das quelques pays europées. Pays A B C D E F G H PNB x i e euros par habitats Nombre y i d hôpitaux par millio d habitats Représeter le uage de poits associé à la série (x i ;y i ). Uités : e abscisse cm pour 000 euros, e ordoée cm pour 400 hôpitaux. O predra pour origie le poit M 0 (5 000 ; 600). O appelle G le poit moye de ce uage.. O admet qu u ajustemet affie est justifié. a) Représeter les poits M (500 ; 60) et G puis tracer la droite (GM ), droite d ajustemet au jugé de la série (x i ;y i ). b) Détermier ue équatio de la droite (GM ). c) Quelle estimatio peut-o faire du ombre d hôpitaux d u pays dot le PNB est de euros? Méthode de Mayer Exercice 4 Avec les doées de l exercice 3. O ote G le poit moye du sous-uage formé par les quatre premiers poits et G le poit moye du sous-uage formé par les quatre deriers.. Sur le graphique de l exercice 3 placer les poits G et G.Tracer la droite de Mayer (G G ).. Détermier ue équatio de (G G ). 3. Vérifier que le poit moye G (G G ). 4. U pays a u PNB de euros, quelle estimatio peut-o faire du ombre d hôpitaux de ce pays? TG PA 00

56 Séries statistiques à deux variables Séquece Méthode des moidres carrés Exercice 5 Avec les doées de l exercice 3.. Détermier ue équatio de la droite ( ) d ajustemet par la méthode des moidres carrés sous la forme y = ax + b (a et b serot arrodis à 0-3 près).. U pays a u PNB de euros, quelle estimatio peut-o faire du ombre d hôpitaux de ce pays? Droites de régressio Exercice 6 Avec les doées de l exercice 3.. À l aide d ue calculatrice détermier ue équatio des droites de régressio (D y/x ) et (D x/y ) sous la forme y = ax + b (a et b serot arrodis à 0-3 près).. Représetez le poit moye G et les droites (D y/x ) et (D x/y ). Coefficiet de corrélatio liéaire Exercice 7 Calculer le coefficiet de corrélatio liéaire de la série (x i ;y i ),avec les doées des exercices et 3. Commeter les résultats. Moyees mobiles Exercice 8 Ue etreprise a réalisé sur mois les chiffres d affaire (e M ) ci-dessous : Mois t i Chiffre d affaire y i rr. Représetez la série des (t i,y i ) relativemet à u repère (O,i, j).. Représetez la série des moyees mobiles (u i,v i ) sur 5 termes das le repère précédet. O aura par exemple et 8 93 TG PA 00 u v t + t t = 5 5 y + y y5 = 5 57

57 Séquece Séries statistiques à deux variables Approfodissemets Ajustemet au jugé Exercice 9 Effectuer les calculs à l aide de la calculatrice. Aucu détail est demadé. O cosidère la populatio formée par 0 étudiats et sur laquelle o étudie la série de = 0 couples formée par les caractères quatitatifs «poiture des chaussures» et «taille» (e cm). Après collecte et ragemet des doées o obtiet les tableaux suivats : x i Total = 400 y i Total = 69 x i Total = 430 y i Total = 770 rr. Das u repère (O,i, j), représetez le uage associé à ces 0 couples.. Détermier les coordoées de so poit moye G(x ;y ). Le placer sur le uage de la série. 3. Calculer la variace σ x et σ y des séries (x i ) et (y i ) et la covariace σ xy de la série (x i ;y i ). 4. Calculer le coefficiet de corrélatio liéaire de la série (x i ;y i ). 5. Détermier ue équatio de la droite (GM ), droite d ajustemet au jugé de la série (x i ;y i ). Quelle poiture aurait u étudiat mesurat,90 m? TG PA 00

58 Séries statistiques à deux variables Séquece Série chroologique Exercice 0 Avec les doées de l exercice 8.. Calculer le coefficiet de corrélatio liéaire de la série (u i,v i ).. Détermiez pour la série (u i ;v i ) l équatio de ( ) droite de régressio de v e u. 3. Si l évolutio du chiffres d affaire suit le modèle proposé : a) Doer ue estimatio du chiffre d affaire pour le 4 e mois. b) Au bout de combie de mois le chiffre d affaire pourrait dépasser 35 M? Série statistique podérée Exercice L étude d u caractère ous doe la série statistique double (x i ;y i ) ci-dessous : x i y i effectifs i rr. Das u repère (O,i, j), représetez le uage associé à ces couples. (O portera à coté de chaque poit l effectif correspodat). À l aide de votre calculatrice :. Saisir das 3 listes les valeurs de cette série. 3. Détermier les coordoées de so poit moye G(x ;y ). Le placer sur le uage de la série. 4. Calculer la variace σ x et σ y des séries (x i ; i ) et (y i ; i ) et la covariace σ xy de la série (x i ;y i ; i ). 5. Calculer le coefficiet de corrélatio liéaire de la série (x i ;y i ) TG PA 00 59

59 Séquece Séries statistiques à deux variables Ajustemet o affie Exercice (Les calculs itermédiaires e sot pas demadés.) Le tableau suivat doe la productio auelle x d ue etreprise (e cetaies de milliers d uités produites) et so résultat et (e millios d euros). Productio x i Résultat y i,,48,9,3,8 U ajustemet affie e semblat pas le mieux approprié, o pose z i = l y i.. Compléter le tableau suivat e doat des valeurs approchées à 0-3 près par défaut : x i z i. Calculer le coefficiet de corrélatio liéaire etre x et z. 3. Détermier ue équatio de la droite de régressio de z e x, obteue par la méthode des moidres carrés. 4. E déduire ue expressio de y e foctio de x. Exercice 3 La distributio statistique suivate doe l évolutio des variatios auelles du taux d iflatio das 7 pays aisi que das la zoe euro. (Source OCDE Alteratives écoomiques Avril 003) Iflatio (variatio auelle des prix à la cosommatio, e %) États-Uis 3,4,8,6,9,8 Zoe euro,4,5,4,,0 Japo -0,7-0,7 -, -, -, Frace,8,8,9,8,8 Allemage,,4,6,4, Royaume-Ui,,,0,8, Italie,6,3,5,3,9 rr. Das u même repère (O,i, j) représeter les uages des poits ( i,x i ) et ( i,y i ) associés à l iflatio x aux États-Uis et y das la zoe euro, l aée À l aide de votre calculatrice (les calculs itermédiaires e sot pas demadés) TG PA 00