UNE INTRODUCTION AU TEST NON PARAMETRIQUE D AJUSTEMENT DE KOLMOGOROV-SMIRNOV AVEC SPSS POUR WINDOWS

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1 Cah. Tech. I.N.R.A., , UNE INTRODUCTION AU TEST NON PARAMETRIQUE D AJUSTEMENT DE KOLMOGOROV-SMIRNOV AVEC SPSS POUR WINDOWS Domiique DESBOIS 1 RESUME Parmi les tests o paramétriques d ajustemet d ue distributio empirique à ue distributio cotiue de probabilité, figure le test de Kolmogorov-Smirov courammet utilisé comme test de l hypothèse de ormalité. Cette ote a pour objectif de documeter la mise e œuvre de ce test au moye de la procédure NPAR TESTS du logiciel SPSS pour Widows. Le listage des résultats obteus est accompagé du formulaire associé à la procédure de test. MOTS-CLES : test o paramétrique d ajustemet, test de ormalité, test de Kolmogorov-Smirov, logiciel statistique, mise e œuvre. 1. LES TESTS STATISTIQUES : PARAMETRIQUES, ROBUSTES, NON PARAMETRIQUES OU LIBRES? Le terme de paramètre désige ue valeur remarquable caractérisat la populatio, par exemple, celle d u momet (moyee, variace, etc.) d ue distributio de valeurs aléatoires pour la distiguer de so estimatio fourie par l échatillo. Les méthodes classiques de la statistique iféretielle présupposet e gééral que les doées recueillies par échatilloage de populatios provieet de lois de probabilités répertoriées et coues. La déomiatio de modèle paramétrique s appliquat aux méthodes classiques d aalyse statistique sigifie simplemet que les lois de probabilités choisies comme modèle théorique des aléas par ces méthodes fot partie d ue famille de distributio dot les valeurs sot etièremet détermiées par u ombre fii de paramètres Aisi, la loi ormale Ν ( µ,σ ), gouverée par ses deux paramètres qui sot la moyee µ et l écart-type σ, est u modèle probabiliste fréquemmet utilisé e raiso de ses propriétés itrisèques, otammet das des situatios où s ajoutet des effets de faible magitude proveat d ue multiplicité de causes idépedates. U test d hypothèse est défii comme paramétrique s il a pour objectif de tester ue hypothèse particulière cocerat la valeur d u ou plusieurs paramètres de la populatio. Par oppositio, les problématiques qui s itéresset à l esemble des valeurs, comme celle du test d ajustemet où ue distributio empirique de valeurs issue d u processus d échatilloage est comparée à la distributio d ue loi de probabilités hypothétique ou à ue autre distributio empirique issue d u échatillo tiré idépedammet, sot qualifiées de o paramétriques. Certaies méthodes iféretielles tolèret ue violatio mieure des hypothèses délimitat leur champ d applicatio. O qualifiera ces méthodes de robustes : par exemple, le test de Studet est robuste à l hypothèse de ormalité alors que l aalyse de la variace e l est pas. Cepedat, les doées observées s écartet parfois suffisammet du modèle de référece pour que celui-ci apparaisse iadéquat, elevat aisi toute pertiece à la procédure de test ou à la techique 1 INRA-ESR Nacy et SCEES - 251, rue de Vaugirard, Paris Cedex 15. Fax : Courriel : Domiique.Desbois@agriculture.gouv.fr L auteur remercie Laurece de Crémiers, maître de coféreces des chaires de Statistique appliquée et de Modélistatio statistique du CNAM pour les suggestios de lecture et les coseils prodigués sur ce thème mais reste seul resposable des évetuelles omissios ou erreurs cotees das cette ote. 41

2 d aalyse mise e œuvre. Aisi, il est raisoable de postuler que les distributios de otes d exame sot e gééral approximativemet ormales. Par cotre, utiliser u modèle de ormalité pour des distributios de reveu peut se révéler frachemet iacceptable e raiso de la forte asymétrie de ces distributios, de la multimodalité de certaies d etre-elles (mélage de populatios hétérogèes) et de l occurrece d u plus grad ombre de valeurs extrêmes que e le prédit le modèle de la loi ormale. Palliat les limitatios itrisèques du recours aux modèles paramétriques, ot été développées des techiques d aalyse statistique qui e fot aucue hypothèse sur la distributio des valeurs das la populatio. Aisi, s affrachit-o du cadre restrictif d applicatio qu imposerait ue distributio de probabilité théorique choisie comme modèle du caractère aléatoire de la réalité observée. E raiso de l absece d hypothèses sur la distributio des valeurs das la populatio, ces méthodes d iférece statistique sot dites «libres de distributio» 2. D ue grade diversité coceptuelle, ces méthodes, égalemet désigées comme «o paramétriques» 3, permettet de predre des décisios das u cotexte d icertitude où les méthodes iféretielles classiques e peuvet s appliquer : distributios icoues, petits échatillos, distributios asymétriques, platykurtiques ou leptokurtiques 4. Leur utilisatio est désormais plus répadue grâce à la puissace de calcul mis à la dispositio du statisticie par le développemet cojoit des logiciels statistiques et de la bureautique. E défiitive, la termiologie utilisée permet de cerer la ature du problème (paramétrique ou o paramétrique), l objectif du test (test d ajustemet, d idépedace, de positio, de dispersio ), et les propriétés itrisèques de la méthode proposée (robuste ou libre). Aisi, le test de Kolmogorov- Smirov se rage das la catégorie des tests libres permettat de résoudre u problème o paramétrique d ajustemet. 2. LA LOI NORMALE COMME MODELE THEORIQUE La distributio ormale est u modèle souvet utilisé e statistiques comme loi de probabilités limite pour les distributios empiriques de valeurs, das la descriptio d échatillos de grade taille. E effet, la somme et doc la moyee de variables aléatoires sot asymptotiquemet 5 ormales, aux coditios précisées par le théorème cetral limite (TCL) : ces variables aléatoires X i doivet être idépedates ; elles suivet ue loi de probabilités idetique ; pour chaque variable aléatoire X i, l espérace mathématique E [ ] = µ, moyee sur la populatio, la variace V [ ] 2 X i X i = σ, dispersio des valeurs autour de cette moyee, existet et preet ue valeur fiie. U tel résultat s observe fréquemmet : il s agit de phéomèes soumis à des détermiatios multiples et idépedates dot l ifluece margiale se cumule pour produire des valeurs distribuées selo la loi ormale. La répétitio idépedate d erreurs aléatoires de mesure autour de leur valeur das la populatio (la valeur «vraie») est, e scieces expérimetales, ue des situatios veat illustrer le plus courammet u tel phéomèe. 2 ( distributio-free das la littérature scietifique d expressio aglo-saxoe qui leur est cosacrée) 3 Certais auteurs utiliset le terme de «o-paramétrique» comme syoyme de «libre de distributio», e particulier pour désiger des techiques iféretielles qui permettet de s affrachir du modèle de la loi ormale. 4 Respectivemet, plus dispersées ou plus cocetrées autour de la moyee que la loi ormale. 5 lorsque, la taille de l échatillo, deviet très grade. 42

3 La distributio de la loi ormale ( µ,σ ) N est etièremet détermiée par les deux paramètres de populatio, la moyee µ et l écart-type σ, qui figuret das l expressio aalytique de sa desité, x µ soit : f ( x) = exp σ 2π 2 σ E cetrat (soustractio de l espérace mathématique µ) et e réduisat (divisio par l écart-type σ), µ o obtiet ue variable aléatoire Z = X de moyee ulle et d écart-type uitaire. La desité de σ probabilité de cette variable aléatoire se déduit par chagemet de variable de l expressio aalytique 1 1 précédete, soit : ( ) = 2 f z exp z desité de probabilité de la loi ormale cetrée 2π 2 réduite N 0,1. ( ) Normale 0,4 0,3 Moyee,Ecart-type 0,1 desité 0,2 0, x Ν. Toute variable aléatoire ormale X peut aisi s exprimer comme foctio de ses paramètres, moyee et d écart-type, e se déduisat de la loi ormale cetrée réduite : X = µ + σ Z. Si l o examie la distributio des valeurs de la loi ormale cetrée réduite, o costate que, comme toute loi ormale, cette distributio est symétrique et cetrée sur sa moyee (égale à 0), valeur qui est égalemet la médiae et le mode de la distributio. La distributio des probabilités cumulées est représetée par la foctio de répartitio, défiie par : Figure 1 : graphe de la desité de probabilité pour la loi ormale cetrée réduite, ( 0,1) ( x) = P( X x) F < t z 2 gééralemet otée : Φ( z) = P( Z < z) = e dt foctio de répartitio 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1 σ 2π 2 Normale pour la loi ormale cetrée réduite x Ν. O costate la symétrie du graphe de cette foctio de répartitio autour du poit (x=0 ;f=1/2), que Φ z = 1 Φ z. Figure 2 : graphe de la foctio de répartitio pour la loi ormale cetrée réduite, ( 0,1) Moyee,Ecart-type 0,1 traduit égalemet la propriété suivate, utilisée das les tests bilatéraux : ( ) ( ) 43

4 3. PROBLEMATIQUE : TESTER L HYPOTHESE DE NORMALITE EN ANALYSE DE LA VARIANCE L étude de l iteractio géotype-eviroemet permet d aalyser l adaptatio des différetes variétés de cultivars aux différets eviroemets culturaux. Le modèle stochastique reteu est u modèle additif d aalyse de la variace à deux facteurs avec iteractio : Yijk = µ + αi + β j + γ ij + εijk avec ε ijk N( 0,σ ) Y N ijk ) µ ij = µ + α i + β j + γ ij ou ce qui est équivalet ( µ, σ avec ij Lors d u essai agroomique de sélectio croisat géotype et eviroemet, o souhaite tester la ormalité du redemet de variétés de soja pour vérifier ue des coditios d applicatio de l aalyse de la variace. Ce modèle suppose la ormalité des erreurs ε ijk, variables aléatoires iobservables. Cepedat, das le cadre de ce modèle, tester la ormalité des erreurs reviet à tester la ormalité des redemets observés, Y ijk, puisque les autres facteurs sot détermiistes. Le problème est doc de tester la ormalité des séries de valeurs du redemet à l hectare du soja exprimé e kilogrammes, das différets eviroemets (statios agroomiques A77, V79, etc.) représetatifs des coditios de mise e culture pour les variétés de soja ( EVAN, WILK, etc.) étudiées das le cadre d u dispositif d évaluatio et de sélectio variétale 6. Y ijk Figure 3 : le tableau des doées sous SPSS. 6 Ces doées expérimetales sot reprises d u cas d étude proposé par l uité de Biométrie de l Iteratioal Rice Research Istitute pour la formatio à l aalyse de l iteractio géotype-eviroemet. 44

5 4. TESTS GRAPHIQUES D AJUSTEMENT A UNE DISTRIBUTION NORMALE Pour les variables cotiues, l histogramme avec superpositio du graphe de la foctio de desité de la loi ormale de même moyee et d écart-type, costitue ue première vérificatio de l ajustemet d ue distributio empirique à la loi ormale. Si l o examie la distributio de la variable quatitative «produit brut» observée sur l échatillo breto du Réseau d iformatio comptable agricole (Rica) e 1990, l histogramme met e évidece que l écart au modèle de la loi ormale proviet d ue forte asymétrie et d ue plus grade fréquece des valeurs extrêmes Sigma = ,7 Moyee = N = 249, ,0 13,8 13,5 13,3 13,0 12,8 12,5 12,3 12,0 11,8 Sigma =,43 Moyee = 13,0 N = 249, PBT Produit brut 1990 (fracs), Rica Bretage COMPUTE lpbt = LN(pbt) (COMPUTE) Figure 4 : distributio asymétrique du produit brut et sa trasformatio par le logarithme épérie. E réduisat l échelle des écarts pour les valeurs extrêmes, la trasformatio par le logarithme épérie 7 attéue l asymétrie de la distributio origiale. De fait, la distributio empirique trasformée s ajuste mieux au modèle de la loi ormale. Aisi, tester la ormalité de la distributio des doées trasformées reviet à tester la log-ormalité des doées origiales. Coveablemet choisies selo les caractéristiques de la distributio empirique origiale, u certai ombre de foctios comme le logarithme, ou la racie carrée permettet de trasformer cette distributio pour la redre coforme à u modèle théorique de distributio aléatoire, comme celui de la loi ormale. Les procédures graphiques d ajustemet à ue distributio théorique costituet égalemet des tests libres puisqu elles impliquet aucue hypothèse a priori sur la distributio des doées, hormis celle que l o souhaite tester. Ces tests graphiques peuvet être meés soit das l espace des probabilités comme le diagramme P-P (Probability-Probability, croisat deux distributios de probabilités), soit das l espace des valeurs comme le diagramme Q-Q (Quatile-Quatile, croisat deux distributios de valeurs correspodat à ue probabilité cumulée doée). Le test d ajustemet graphique à ue distributio théorique, costitué par le diagramme P-P met e relatio distributio observée et distributio théorique e utilisat leurs probabilités comme coordoées d u diagramme de poits. Aisi, le diagramme P-P permet de visualiser les écarts etre la foctio de répartitio empirique des redemets observés pour les différetes variétés de soja et la foctio de répartitio de la loi de Laplace-Gauss de mêmes paramètres, moyee et écart-type, 7 Foctio logarithmique de base e (i.e. défiie par l équatio l[e]=1). 45

6 estimés d après l échatillo. O peut vérifier graphiquemet l ajustemet globalemet satisfaisat des redemets de soja observés par rapport au modèle théorique de la loi ormale (cf. figure 5). 1,00 YIELD redemet des variétés de soja,75 Probabilité cumulée théorique,50,25 0,00 0,00,25,50,75 1,00 Probabilité cumulée empirique Figure 5 : diagramme P-P d ajustemet des redemets de soja à la loi ormale. Cette comparaiso peut égalemet être effectuée das l espace des valeurs avec le diagramme Q-Q. Il permet de situer les écarts costatés sur l échelle des valeurs pour la distributio du produit brut. Les écarts des poits par rapport à la première diagoale traduiset les défauts d ajustemet de la distributio empirique des valeurs du produit brut par rapport à la distributio théorique, ici la loi ormale Valeur théorique (quatile de la loi ormale) Valeur observée du produit brut (PBT) Figure 6 : diagramme Q-Q d ajustemet des valeurs du produit brut à la loi ormale. 46

7 5. TEST DE NORMALITE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV 5.1 Fodemets théoriques du test de Kolmogorov-Smirov Le test d ajustemet de Kolmogorov-Smirov est u test libre qui permet de vérifier si u échatillo aléatoire peut proveir d'ue distributio de probabilités particulière pour ue variable cotiue (échelle métrique). Si la distributio de probabilités testée est la loi de Laplace-Gauss (distributio ormale), ce test d ajustemet fourit ue épreuve de ormalité. La foctio de répartitio empirique des valeurs x i d u -échatillo état défiie par : F e ( x) i 1 0 if x < x = i 1 1 if if x x 1 x < x ce test o paramétrique effectue ue comparaiso etre la foctio de répartitio empirique F e ( x) et la foctio de répartitio théorique Fx ( ) = PXx ( ) de la loi de probabilités cosidérée. Le test de Kolmogorov-Smirov est fodé sur le théorème de Gliveko-Catelli qui affirme la e covergece uiforme de la foctio de répartitio empirique F presque sûremet vers la foctio de répartitio théorique F. Cette covergece peut être formulée aisi : e Lim sup ( ) ( ) D = F x F x = 0 x R La comparaiso etre les deux distributios cumulées, empirique et théorique, s'effectue sur la base de la statistique de Kolmogorov-Smirov : e D = sup F ( x) F( x) x R D après le théorème de Kolmogorov, sous l'hypothèse ulle d'idetité des deux distributios, x H 0 e H 0 : F( x) = F ( x) e H : F( x) F ( x) 1 la statistique D suit asymptotiquemet la distributio de probabilités (distributio de Kolmogorov- Smirov) défiie par : P k 2 2 ( D < y) K( y) = ( 1) exp{ 2k y } α { ( )} La régio critique W de risque α est détermiée par W α = D > d1 α où d 1 α est le quatile d'ordre 1 α de la distributio de Kolmogorov-Smirov pour u échatillo de taille (cf. table A1 e aexe). Si o utilise le test de Kolmogorov-Smirov comme épreuve de ormalité, la foctio de répartitio théorique est défiie par la foctio de répartitio d ue loi ormale N ( µ,σ ), de moyee µ et d écart-type σ. + k = i ( ) 47

8 5.2. Iterprétatio des résultats du test de Kolmogorov-Smirov La procédure de test o paramétrique NPAR TESTS du logiciel SPSS permet d effectuer le test de Kolmogorov-Smirov pour u échatillo uique : il suffit d idiquer la variable à tester, ici les redemets à l hectare du soja, et la distributio théorique reteue, e l occurrece la distributio gaussiee. L hypothèse ulle H0 est alors formulée aisi : la distributio empirique suit ue loi ormale N(µ,σ). Test de Kolmogorov-Smirov à u échatillo N Paramètres ormaux a, b Moyee Ecart-type YIELD Différeces les plus extrêmes Z de Kolmogorov-Smirov Abs olue Positive Négative Sigificatio asymptotique (bilatérale) a. La dis tributio à tester es t gaus siee. b. Calculée à partir des doées. Tableau 1 : résultats du test de ormalité de Kolmogorov-Smirov pour u échatillo uique. À partir du redemet observé des essais variétaux cocerat le soja, le redemet moye estimé d après l échatillo est de 2 673,38 kilogrammes avec u écart-type de 936,38 kilogrammes. Les différeces les plus extrêmes observées etre les foctios de répartitio de la distributio empirique et la distributio théorique de probabilité sot F e ( x ) F( x ) 0, 047 e écart positif et ( x ) F( x ) = 0, 035 F e e écart égatif. e L écart absolu le plus élevé est doc : D = Sup F ( x) F( x) = ( ) 0, = R O e déduit la valeur de la statistique de Kolmogorov : Z = 280 0,047 0, = U écart d ue telle ampleur s observe das 55,9 % des échatillos aléatoires tirés d ue populatio dot la distributio des redemets suit ue loi ormale. Cet écart état trop faible, le risque d erreur de première espèce 8 (55,9 %) est trop grad O coservera doc l hypothèse de ormalité des redemets observés.. 8 de rejeter à tort de l hypothèse ulle H0 d idetité etre les deux distributios. 48

9 E toute rigueur, ce raisoemet e peut s appliquer que si l o coaît les paramètres de la distributio à tester, c est à dire les valeurs icoues das la populatio : ici, la moyee et l écarttype pour la loi ormale. Si ces paramètres sot estimés d après l échatillo comme das le préset exemple la moyee µ est estimée par X la variace par S * 2 = 1 ( 1) ( ) 2 X i X i= 1 alors, e gééral, la distributio des valeurs de la statistique D est pas coue. O peut cepedat utiliser les résultats empiriques obteus par simulatio das [Biometrika, ] qui doet pour le test les valeurs critiques suivates : - au risque de première espèce α = 5 %, o rejette l hypothèse ulle pour 0,85 + 0,01 D > 0,895 - au risque de première espèce α = 1 %, o rejette l hypothèse ulle pour 0,85 + 0,01 D > 1,035 soit, pour le redemet des variétés de soja 0, ,01 0,047 0, Suivat ces règles, o est doc ameé à coserver l hypothèse ulle de ormalité pour cette distributio empirique au risque de première espèce de 5 %. 49

10 6. MISE EN ŒUVRE DES PROCEDURES SPSS 6.1. Histogramme L appel de la procédure graphique pour l histogramme s effectue e sélectioat le choix [Histogramme] du meu [Graphes]. Figure 7 : appel de la procédure graphique pour tracer l histogramme d ue variable cotiue. Il suffit alors de sélectioer la [Variable] à examier e utilisat le bouto-poussoir (variable [pbt]) et de cocher le choix [Afficher la courbe gaussiee]. Figure 8 : appel de la procédure graphique pour tracer l histogramme d ue variable cotiue. 50

11 6.2. Diagrammes P-P et Q-Q L appel de la procédure graphique du diagramme P-P (respectivemet, du diagramme Q-Q) s effectue e sélectioat le choix [P-P] (respectivemet, le choix [Q-Q ]) du meu [Graphes]. Figure 9 : mise e œuvre des tests d ajustemet graphique, diagramme P-P ou Q-Q. L appel de la procédure [P-P] ouvre ue boîte de dialogue qui permet de préciser les optios de cette procédure graphique pour u échatillo (cf. figure 10). O peut tester aisi les distributios théoriques de probabilité les plus courates : Bêta ; Khi-deux ; Expoetielle ; Gamma ; Semi-ormale ; Laplace ; Logistique ; Logormal ; Normal ; Pareto ; t de Studet ; Weibull ; Uiforme. L optio proposée par défaut est celle de la loi ormale : ce qui correspod au test que ous voulos effectuer. 51

12 L aalyse peut porter sur ue variable ou sur u groupe de variables, ici la variable d itérêt [yield ] a été itroduite das la liste des variables à tester au moye du bouto-poussoir approprié. O peut soit spécifier les paramètres de positio et d échelle de la distributio empirique, soit les estimer d après l échatillo (optio par défaut). L estimatio de la proportio liée aux quatiles de la distributio des valeurs empiriques peut s effectuer selo différets calculs de score : Blom ; Rakit ; Tukey ; Va der Waerde. L optio proposée par défaut est celle de Blom qui correspod à la défiitio que ous avos doée de la foctio de répartitio empirique. Efi, pour traiter les problèmes d ex-aequo, parmi les optios proposées, o utilise celle du rag moye, optio par défaut. Figure 10 : optios de traitemet pour le diagramme P-P ou le diagramme Q-Q. 52

13 6.3. Test de Kolmogorov-Smirov L appel de la procédure o paramétrique du test de Kolmogorov-Smirov pour u échatillo s effectue e sélectioat le choix [Tests o paramétriques] du meu [Aalyse] puis l optio [K-S à 1 échatillo] du sous-meu de la procédure SPSS de tests o paramétriques. Figure 11 : appel de la procédure o paramétrique du test de Kolmogorov-Smirov sous SPSS. L appel de la procédure [K-S à 1 échatillo] ouvre ue boîte de dialogue qui permet de préciser la spécificatio du test de Kolmogorov-Smirov pour u échatillo (cf. figure 12). Figure 12 : spécificatio du test de Kolmogorov-Smirov sous SPSS. 53

14 La variable à tester est le redemet à l hectare [yield ] du soja. Les distributios théoriques de probabilités proposées pour le test de Kolmogorov-Smirov das la procédure de tests o paramétriques par SPSS sot : la loi uiforme([uiforme]) ; la loi expoetielle ([Expoetielle]) ; la loi de Poisso ([Poisso]) ; la loi ormale ([Gaussiee]). Figure 13 : optios procédurales du test de Kolmogorov-Smirov sous SPSS. La variable à tester état ue variable quatitative, il peut être utile de demader comme optios procédurales (cf. figure 13) les caractéristiques de la distributio empirique (moyee, écart-type) et les quatiles. D autat que, pour les échatillos dot la taille est supérieure à = 50 idividus, les paramètres µ et σ de la distributio ormale sot estimés d après la moyee et l écart-type de l échatillo. 54

15 7. QUELQUES REPERES HISTORIQUES SUR LES TESTS D AJUSTEMENT NON PARAMETRIQUES S agissat de problèmes o paramétriques, la première résolutio, formellemet attestée par ue publicatio, d u problème d ajustemet d u modèle probabiliste théorique à des doées observées est le test du Khi-deux préseté par Karl Pearso e Pour éviter d avoir à effectuer des regroupemets de doées (comme das le cas du test du Khi-deux) Cramér e 1928 puis vo Mises e 1931 itroduiset séparémet ue statistique de test fodée sur le carré de la différece etre la foctio de répartitio empirique F e ( x) et celle de la loi théorique testée F x : W 2 = ( ) 2 e [ F ( x) F( x) ] df( x) + L itérêt de la statistique de Cramér-vo Mises réside das le fait que la distributio de ses valeurs est idépedate de la distributio théorique à tester. Adreï Nicolaïevitch Kolmogorov ( ) Vladimir Ivaovitch Smirov ( ). Figure 14 : portraits de Kolmogorov et de Smirov E 1933, Kolmogorov itroduit la orme de l écart absolu etre la foctio de répartitio empirique et celle de la loi testée, Sup F ( x) F 0 ( x) dot il détermie la loi asymptotique. R Dès 1936, Smirov établit la distributio asymptotique de la statistique de Cramér-vo Mises sous l hypothèse de coformité à la distributio théorique. E 1939, Smirov propose u test uilatéral de comparaiso des lois de deux échatillos, basé sur la Z = D = Sup F x G x. statistique de Kolmogorov ( ) ( ) 9 das u article ititulé «O the Criterio that a give System of Deviatios from the Probable i the Case of a Correlated System of variables is such that it ca be reasoably supposed to have arise from Radom Samplig». 55

16 8. BIBLIOGRAPHIE REFERENCES USUELLES Droesbeke J.-J., Fie J. (dir.) (1996) Iférece o paramétrique. Les statistiques de rags, Editios de l Uiversité de Bruxelles, Bruxelles, 304 p. Kedall M.G., Stuart A. (1967) The Advaced Theory of Statistics. Volume 2: Iferece ad Relatioship 2 d ed., Charles Griffi & Co, 690 p. Pearso E.S., Hartley H.O. ( ) Biometrika Tables for Statisticias, Cambridge Uiversity Press. Saporta G. (1990) Probabilités, aalyse des doées et statistique, Techip, Paris, 493 p. Spret P. (1992) Pratique des statistiques oparamétriques, traductio J.-P. Ley, Ira, Paris, 294 p. SPSS Ic. (1999) SPSS Base 10.0 Applicatios Guide, SPSS Ic., Chicago, 426 p. RÉFÉRENCES HISTORIQUES Cramér H. (1928) «O the Compositio of Elemetary Errors», Skadiavisk Aktuarietidskrift, 11, pp , Kolmogorov A.N. (1933). «Sulla determiazioe empririca di ua legge di ditribuzioe», Giorale dell Istituto Italiao degli Attuari., 4, pp Kolmogorov A.N., (1941) «Cofidece Limits for a Ukow Distributio Fuctio», A. Math. Stat., 12, pp Smirov I.V. (1939) «O the Estimatio of the Discrepacy betwee Empirical Curves of Distributio for Two Idepedet Samples», Bull. Math. Uiv. Moscou, 2, pp Smirov I.V. (1948). «Tables for Estimatig the Goodess of Fit of Empirical Distributios», A. Math. Stat., 19, pp Vo Mises R. (1931) Wahrscheilichkeitsreihug, Leipzig, Deuticke. Vo Mises R. (1947) «O the Asymptotic Distributio of Differetiable Statistical Fuctios», A. Math. Stat., 18, pp Harald Cramér ( ) Richard vo Mises ( ). Figure 15 : portraits de Cramér et de vo Mises 56

17 9. ANNEXE Tableau A1 : test de Kolmogorov-Smirov, table des valeurs de d p P D < d ) telles que ( =. P=0,80 P=0,90 P=0,95 P=0,98 P=0,99 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

18 P=0,80 P=0,90 P=0,95 P=0,98 P=0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,16081 >100 1,073 1,223 1,358 1,518 1,629 Source : Miller L.H. (1956), JASA 51, pp (d après [Saporta, 1990]). 58

19 Tableau A2 : doées expérimetales sur le redemet du soja (source CGIAR). ID ENV$ GEN$ NENV NGEN REP YIELD ID ENV$ GEN$ NENV NGEN REP YIELD 1 A77 EVAN V79 WELL A77 EVAN R81 EVAN A77 EVAN R81 EVAN A77 EVAN R81 EVAN A77 WILK R81 EVAN A77 WILK R81 WILK A77 WILK R81 WILK A77 WILK R81 WILK A77 CHIP R81 WILK A77 CHIP R81 CHIP A77 CHIP R81 CHIP A77 CHIP R81 CHIP A77 HODG R81 CHIP A77 HODG R81 HODG A77 HODG R81 HODG A77 HODG R81 HODG A77 S R81 HODG A77 S R81 S A77 S R81 S A77 S R81 S A77 CORS R81 S A77 CORS R81 CORS A77 CORS R81 CORS A77 CORS R81 CORS A77 WELL R81 CORS A77 WELL R81 WELL A77 WELL R81 WELL A77 WELL R81 WELL V79 EVAN R81 WELL V79 EVAN I85 EVAN V79 EVAN I85 EVAN V79 EVAN I85 EVAN V79 WILK I85 EVAN V79 WILK I85 WILK V79 WILK I85 WILK V79 WILK I85 WILK V79 CHIP I85 WILK V79 CHIP I85 CHIP V79 CHIP I85 CHIP V79 CHIP I85 CHIP V79 HODG I85 CHIP V79 HODG I85 HODG V79 HODG I85 HODG V79 HODG I85 HODG V79 S I85 HODG V79 S I85 S V79 S I85 S V79 S I85 S V79 CORS I85 S V79 CORS I85 CORS V79 CORS I85 CORS V79 CORS I85 CORS V79 WELL I85 CORS V79 WELL I85 WELL V79 WELL I85 WELL

20 ID ENV$ GEN$ NENV NGEN REP YIELD ID ENV$ GEN$ NENV NGEN REP YIELD 111 I85 WELL A86 WELL I85 WELL A86 WELL G85 EVAN A86 WELL G85 EVAN N87 EVAN G85 EVAN N87 EVAN G85 EVAN N87 EVAN G85 WILK N87 EVAN G85 WILK N87 WILK G85 WILK N87 WILK G85 WILK N87 WILK G85 CHIP N87 WILK G85 CHIP N87 CHIP G85 CHIP N87 CHIP G85 CHIP N87 CHIP G85 HODG N87 CHIP G85 HODG N87 HODG G85 HODG N87 HODG G85 HODG N87 HODG G85 S N87 HODG G85 S N87 S G85 S N87 S G85 S N87 S G85 CORS N87 S G85 CORS N87 CORS G85 CORS N87 CORS G85 CORS N87 CORS G85 WELL N87 CORS G85 WELL N87 WELL G85 WELL N87 WELL G85 WELL N87 WELL A86 EVAN N87 WELL A86 EVAN C87 EVAN A86 EVAN C87 EVAN A86 EVAN C87 EVAN A86 WILK C87 EVAN A86 WILK C87 WILK A86 WILK C87 WILK A86 WILK C87 WILK A86 CHIP C87 WILK A86 CHIP C87 CHIP A86 CHIP C87 CHIP A86 CHIP C87 CHIP A86 HODG C87 CHIP A86 HODG C87 HODG A86 HODG C87 HODG A86 HODG C87 HODG A86 S C87 HODG A86 S C87 S A86 S C87 S A86 S C87 S A86 CORS C87 S A86 CORS C87 CORS A86 CORS C87 CORS A86 CORS C87 CORS A86 WELL C87 CORS

21 ID ENV$ GEN$ NENV NGEN REP YIELD ID ENV$ GEN$ NENV NGEN REP YIELD 221 C87 WELL G88 CORS C87 WELL G88 WELL C87 WELL G88 WELL C87 WELL G88 WELL C88 EVAN G88 WELL C88 EVAN C88 EVAN C88 EVAN C88 WILK C88 WILK C88 WILK C88 WILK C88 CHIP C88 CHIP C88 CHIP C88 CHIP C88 HODG C88 HODG C88 HODG C88 HODG C88 S C88 S C88 S C88 S C88 CORS C88 CORS C88 CORS C88 CORS C88 WELL C88 WELL C88 WELL C88 WELL G88 EVAN G88 EVAN G88 EVAN G88 EVAN G88 WILK G88 WILK G88 WILK G88 WILK G88 CHIP G88 CHIP G88 CHIP G88 CHIP G88 HODG G88 HODG G88 HODG G88 HODG G88 S G88 S G88 S G88 S G88 CORS G88 CORS G88 CORS