Intégration. I. Fonctions continues par morceaux

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1 Inégrion On noe K = R ou C. On noe I un inervlle de R, non vide e non rédui à un poin. Une écriure de l forme < < + signifie que es un réel e que es soi un réel sricemen supérieur à, soi = +. L inervlle I s écri donc sous l une des formes suivnes : I = [,] vec < < < + ; I = [,[ vec < < + ; I = ], vec < < + ; I = ],[ vec < +. Dns le premier cs, I = [,], f ()d déjà éé défini lorsque f C([,]). On éend cee définiion ux ures ypes d inervlles e ux foncions coninues pr morceux. Les foncions considérées son à vleurs dns R ou C. I. Foncions coninues pr morceux Définiion Sudivision d un segmen On ppelle sudivision d un segmen [,] oue fmille finie σ = (,..., n ) de réels elle que = < < < n =. Définiion 2 Foncions coninues pr morceux Une pplicion f : [, ] K es die coninue pr morceux lorsqu il exise une sudivision σ : = < < < n = du segmen [,] elle que pour ou i,n, f es coninue sur ] i, i [ e dme une limie finie à droie en i e à guche en i. Une foncion f : I R es die coninue pr morceux sur I lorsque pour ou segmen [,] I, l resricion f [,] es coninue pr morceux sur [,]. On noe C m (I,K) l ensemle des foncions coninues pr morceux sur I e à vleurs dns K.

2 L ensemle C m (I,K) es un K espce vecoriel e il es sle pr produi. On dmer que pour f C m ([,]), on peu définir f ()d de l même mnière que ce qui éé fi pour les foncions coninues sur un segmen en première nnée. Les propriéés usuelles son conservées (linérié, relion de Chsles, posiivié, croissnce). Théorème 3 Rppel Foncions coninues, posiives e d inégrle nulle Soi f : [,] R. Si f es coninue sur [,], posiive sur [,] e x [,], f (x) = f ()d =, lors : Remrque. Le résul es fux dès que l une des hypohèses (coninue / posiive / inégrle nulle) n es ps sisfie. Théorème 4 Rppel Inégrle dépendn de l orne supérieure Soien f C m (I ) e I, on défini : F : I K x x f ()d On les résuls suivns : () Si f es coninue sur I, lors F es de clsse C sur I e F es l primiive de f sur I qui s nnule en e en priculier : x I, F (x) = f (x) ; (2) Si f es posiive sur I, lors F es croissne sur I. II. Inégrles générlisées Définiion 5 Inégrle générlisée (ou impropre) Soi f C m (I ). On disingue rois cs suivn l forme de l inervlle I : Si I = [,[, < < +, on di que f ()d converge lorsque x f ()d dme une limie finie l lorsque x ( x < ) e on noe lors f ()d = l; Si I = ],], < < +, on di que f ()d converge lorsque x dme une limie finie l lorsque x ( < x ) e on noe lors Si I = ],[, < +, on di que inégrles c f ()d e c f ()d f ()d = l; f ()d converge lorsque les deux f ()d convergen pour c ],[ fixé. On noe lors c f ()d = f ()d + f ()d c Remrques. Lorsque f ()d ne converge ps, on di qu elle diverge. Lorsque I = ], [, l convergence de l inégrle (e s vleur) es indépendne du choix de c. 2

3 III. Inégrles solumen convergenes Lorsque I es un segmen, I = [,], e f C m ([,],K), on considère que f ()d es oujours convergene. Proposiion 6 Condiion nécessire e suffisne pour une foncion posiive sur [, [ Si f C m ([,[) e f es à vleurs posiives, lors on équivlence enre : (i) L inégrle f ()d converge ; (ii) L foncion F : x [,[ x f ()d es mjorée sur [,[. Proposiion 7 Exemples fondmenux/inégrles de référence Soi R. On les résuls suivns : () Inégrles de Riemnn sur ],] : (2) Inégrles de Riemnn sur [,+ [ : (3) Exponenielle : (4) Logrihme népérien : e d converge ssi > ; ln d converge. d converge ssi > ; d converge ssi < ; III. Inégrles solumen convergenes Remrque. On donne les résuls suivns pour des inégrles sur ], [ mis il s ppliquen ussi pour les inervlles [,[, ],] (ou même [,]). Définiion 8 Inégrle solumen convergene, foncion inégrle Si f C m (],[,K), on di que f ()d es solumen convergene lorsque f () d converge. On di que f C m (],[) es inégrle sur I lorsque l inégrle f () d converge. On noe lors I f ()d = f ()d (ou même I f ). Théorème 9 Convergence solue implique convergence Soi f C m (],[). Si f ()d es solumen convergene, lors elle es convergene e lorsque c es le cs : L réciproque es fusse. f ()d f () d 3

4 Proposiion Foncions coninues, inégrles, d inégrle nulle Soi f C m (I ). On les résuls suivns : () Si f es coninue sur I, inégrle sur I e I f () d = lors f es nulle sur I. (2) Si f es coninue e posiive sur I, inégrle sur I e I f ()d = lors f es nulle sur I. Remrque. Le résul es fux dès que l une des hypohèses (coninue / posiive / inégrle nulle) n es ps sisfie. IV. Opérions Remrque. On donne les résuls suivns pour des inégrles sur ], [ mis il s ppliquen ussi pour les inervlles [,[, ],] (ou même [,]). Proposiion Linérié Soien f, g C m (],[) e λ K. Si les inégrles f ()d e g ()d son convergenes, lors l inégrle (λf () + g ())d es convergene e : (λf () + g ())d = λ f ()d + g ()d Si l inégrle f ()d diverge e l inégrle g ()d converge, lors l inégrle (f ()+ g ())d diverge. Remrque. Si (f () + g ())d converge, rien ne perme en générl d écrire (f () + g ())d = f ()d + g ()d (suf si l on si qu u moins l une des deux inégrles es convergene). Proposiion 2 Posiivié e croissnce () Si f C m (],[) es posiive sur I e f ()d converge, lors f ()d ; (2) Si f, g C m (],[) e : ],[, f () g () e f ()d e g ()d convergen, lors f ()d g ()d. Proposiion 3 Relion de Chsles Soien f C m (],[) e c ],[. Si les inégrles c f ()d e c f ()d son convergenes, lors l inégrle f ()d es convergene e : c f ()d = f ()d + f ()d c 4

5 V. Comprisons Théorème 4 Chngemen de vrile Si f C m (],[) e ϕ : ],β[ ],[ es une ijecion de clsse C lors les inégrles β f ()d e f (ϕ(x))ϕ (x)dx son de même nure. En cs de convergence, lorsque ϕ es sricemen croissne : β e lorsque ϕ es sricemen décroissne : β f (ϕ(x))ϕ (x)dx = f ()d f (ϕ(x))ϕ (x)dx = f ()d β limβ Plus générlemen : f (ϕ(x))ϕ ϕ (x)dx = f ()d. lim ϕ Théorème 5 Inégrion pr pries Soien f, g C (],[). Si f g dme une limie finie en e en, lors les inégrles f ()g ()d e f ()g ()d son de même nure e en cs de convergence : f ()g ()d = lim f g lim f g f ()g ()d noé églemen : f ()g ()d = [ f ()g () ] f ()g ()d. V. Comprisons Théorème 6 Comprison Si f, g C m ([,[), lors : () Si f () g () u voisinge de e g ()d converge, lors f ()d converge ; (2) Si f () = O (g ()), g () u voisinge de e g ()d converge, lors f ()d converge solumen donc converge ; (3) si f () g () e g () u voisinge de, lors g ()d converge si, e seulemen si, f ()d converge. Remrques. On peu dper ces résuls u cs d un inervlle ],]. 5

6 Dns le cs d un inervlle ],[, il fu sysémiquemen considérer séprémen les inervlle ],c] e [c,[. VI. Opérions sur les foncions inégrles Noion : Si I es un inervlle, on noe L (I,K) l ensemle des foncions qui son définies sur I, à vleurs dns K, coninues pr morceux sur I e inégrles sur I (ce qui signifie que I f () d converge). Proposiion 7 Srucure L ensemle L (I,K) es un K-espce vecoriel. En priculier : Si f e g son inégrles sur I, lors f + g es inégrle sur I ; Si f es inégrle sur I e λ K, lors λ f es inégrle sur I. Remrque. Dns le cs générl, f e g inégrles sur I n implique ps que le produi f g es inégrle sur I. Définiion 8 Foncion de crré inégrle Une foncion f C m (I,C) es die de crré inégrle sur I lorsque l foncion f 2 es inégrle sur I. Noion : Si I es un inervlle, on noe L 2 (I,K) l ensemle des foncions qui son définies sur I, à vleurs dns K, coninues pr morceux sur I e de crré inégrle sur I. Proposiion 9 Srucure L ensemle L 2 (I,K) es un K-espce vecoriel. En priculier : Si f e g son de crré inégrle sur I, lors f + g es de crré inégrle sur I ; Si f es de crré inégrle sur I e λ K, lors λf es de crré inégrle sur I. On églemen le résul suivn : Si f e g son de crré inégrle sur I, lors f g es inégrle sur I. Théorème 2 Inéglié de Cuchy-Schwrz Si f e g son des foncions de crré inégrle sur I, lors : I ( f ()g ()d I ) /2 ( ) f () 2 /2 d g () 2 d I

7 Les résuls à connire Définiion d une inégrle convergene, solumen convergene. L convergence solue implique l convergence. Inégrles de référence : d, d, e d, ln d, ln d (svoir rier des inégrles du ype d ou ln( )d pr chngemen ( ) de vrile ffine). Comprison pour les foncions posiives. Inégrion pr pries. Chngemen de vrile. Définiion d une foncion inégrle, d une foncion de crré inégrle. Somme de deux foncions inégrles, somme de deux foncions de crré inégrle, produi de deux foncions de crré inégrle. Quelques ojecifs du chpire Miriser le voculire : inégrle convergene, foncion inégrle, inégrle solumen convergene. Svoir élir l convergence e l divergence d une inégrle. Connire les propriéés de x x f ()d. En prique Commen éudier l nure de f ()d? Tou d ord : Éudier l coninuié (pr morceux) de f ; Déerminer les poins où l inégrle es impropre ; Évenuellemen : découper l inervlle de mnière à se rmener à des inervlles où une seule orne pose prolème. On se rmène lors à des inégrles de l forme [,[ f ()d ou ],] f ()d. Pour éudier [,[ f ()d on peu ppliquer l une des méhodes suivnes : Si f es de signe consn u voisinge de, élir un équivlen de f en e/ou comprer vec une foncion de référence ; Si f n es ps de signe consn, élir l convergence solue en considérn f qui es posiive ; Éudier l limie qund x de x f ()d (évenuellemen vec une inégrion pr pries, ou un chngemen de vrile); Uiliser une série (ypiquemen qund l foncion f présene une prie périodique ou des lernnces de signes).

8 Commen clculer l vleur de f ()d? Quelques echniques clssiques : Primiives clssiques; Inégrion pr pries ; Chngemen de vrile; Écrire f () comme somme d une série (plus inéressn qund on sur échnger fcilemen inégrle e somme). Se rmener à une inégrle de référence pr ch. de vr. ffine Quelques exemples ypiques : L inégrle 2 ln(2 )d es de même nure que 2 ln(u)d pr chngemen de vrile ffine u = 2 ; L inégrle 2 ( ) d es de même nure que u du pr chngemen de vrile ffine u = 2. x Quelles son les propriéés de x f ()d? Si f C(I ) e I, lors F : x I x f ()d es de clsse C sur I, c es l primiive de f sur I qui s nnule en e en priculier : x I, F (x) = f (x) ; Si f C m (I ), f es posiive sur I e I, lors F : x I x f ()d es croissne sur I ; Si f C m ([,[) e f es posiive sur [,[, lors f ()d converge si, e seulemen si, l foncion F : x [,[ f ()d es mjorée sur I. *** À reenir... Le fi que l inégrle Le fi que l inégrle + L vleur de l inégrle de Guss : sin d converge (inégrion pr pries). sin d diverge (uilision de séries). e x2 dx = π.

9 Illusrions du cours Exercice Inégrles de référence. Soi R. + d () Monrer que converge ssi >. d () Monrer que converge ssi <. (c) Monrer que (d) Monrer que + e d converge ssi >. ln d converge e que ln d diverge. Exercice 2 Relions de comprison. Éudier, suivn les vleurs de R, l nure de l inégrle : (ln ) 2 d 2 Exercice 3 Inégrion pr pries. Démonrer l convergence de l inégrle sin d Exercice 4 Inégrion pr pries. Pour n N, convergence e clcul de l inégrle n e d Exercice 5 Chngemen de vrile ffine. Éudier l nure des inégrle : ln( )d, 2 ( ) 2 d, ( ) 2 d Exercice 6 Chngemen de vrile. Convergence e clcul de l inégrle sin(ln x)dx

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11 QCM Dns l suie, es un prmère réel. () L inégrle (2) L inégrle (3) L inégrle (4) L inégrle (5) L inégrle (6) L inégrle (7) L inégrle (8) L inégrle (9) L inégrle () L inégrle () L inégrle ln( + ),d converge. 3 ( + ) d converge. sin() d converge. sin() d converge. sin() d converge. 2 sin() d converge. 2 cos() d converge. cos() d converge. cos() d converge. 2 cos() d converge. 2 e d converge si, e seulemen si, >. + 2 On considère une foncion coninue f : ], ] R coninue. (2) Si f possède une limie finie en, lors (3) Si f possède une limie infinie en, lors (4) Si f possède une limie non nulle en, lors f ()d converge. f ()d diverge. (5) Si f possède une limie finie e non nulle en, lors (6) Si (7) Si (8) Si (9) Si (2) Si f ()d converge, lors f end vers en. f ()d diverge. f ()d converge, lors f dme une limie finie en. f ()d converge, lors f ne end ps vers + ou en. f ()d converge. f ()d diverge e f dme une limie en, lors cee limie es non nulle. f ()d diverge e f dme une limie en, lors cee limie es infinie. (2) Si = o (f ()), lors f () d diverge. On considère une foncion coninue f : [, + [ R.

12 (22) Si f possède une limie finie en +, lors (23) Si f possède une limie infinie en +, lors (24) Si f possède une limie non nulle en +, lors (25) Si (26) Si (27) Si (28) Si (29) Si f ()d converge. f ()d diverge. f ()d converge, lors f end vers en +. f ()d diverge. f ()d converge, lors f dme une limie finie en +. f ()d converge, lors f ne end ps vers + ou en +. f ()d diverge e f dme une limie en +, lors cee limie es non nulle. f ()d diverge e f dme une limie en +, lors cee limie es infinie. (3) Si f () e, lors + ( ) (3) Si f () = o, lors + f () d converge pour ou R. f () d converge si, e seulemen si, >. On considère deux foncions coninues f : [,[ R e g : [,[ R. (32) Si f () = o (g ()) e (33) Si (34) Si (35) Si (36) Si (37) Si (38) Si (39) Si (4) Si f ()d converge e f ()d converge e f ()d diverge e f ()d diverge e g () d converge, lors f ()d converge. (f () g ())d converge lors g ()d converge. f () g () d converge lors g ()d converge. (f () g ())d converge lors (f () g ())d diverge lors f () d converge, lors f ()d converge. f () d diverge, lors f ()d diverge. f ()d diverge, lors f ()d converge, lors f () d diverge. f () d converge. g ()d diverge. g ()d converge. 2V22F23V24V25F26F27V28F29F3V3F32V33V34V35V36F37V38F39V4F F2V3V4V5V6F7V8F9VVF2V3F4F5V6F7F8F9V2V 2