CALCUL DE LA REPONSE DYNAMIQUE DES STRUCTURES ELANCEES A LA TURBULENCE DU VENT

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1 UNIVERITÉ DE NANTE EOE DOTORAE «MEANIQUE, THERMIQUE ET GENIE IVI» DE NANTE Aé Thès d DOTORAT Discipli : cics pour l Igéiur pécialité : Géi ivil Présté t soutu publiqumt par Alxadr d la Foy 9 juillt à l Ecol tral d Nats AU DE A REPONE DYNAMIQUE DE TRUTURE EANEE A A TURBUENE DU VENT Jury : WIEGOZ hristia Profssur, Uivrsité d Nats Présidt BORRI laudio Profssur, Uivrsité d Florc Rapportur GIBERT Ré Profssur associé, IUP d Evry Rapportur BIETRY Jacqus Igéiur Ivité REMONA hristia Igéiur Ivité VIROGEUX Michl Igéiur cosultat Ivité GRIAUD Gérard Doctur Examiatur JOUVE Pirr Profssur, Uivrsité d Nats Examiatur OIVARI Domiico Profssur, Istitut Vo Karma Examiatur Dirctur d thès : JOUVE Pirr aboratoir d Géi ivil N ED 67-9

2 ommair ommair Notatios 6 Itroductio hapitr Modélisatio du vt 7. a couch limit atmosphériqu 8. aractéristiqus du modèl statistiqu 8. vt moy.4 vt turbult.4. Ecarts typs t itsité d turbulc.4. officits d corrélatio t échlls d turbulc.4. Dsités (itr)spctrals d puissac a) Dsités spctrals d puissac (cas où m = t P = P ) b) Dsités itrspctrals t foctios d cohércs 5.5 oclusio 7

3 hapitr s forcs aérodyamiqus 8. Forcs aérodyamiqus s xrçat sur u corps mal profilé.. Forcs s xrçat sur u sctio fix plogé das u flux lamiair.. Forcs s'xrçat sur u sctio fix flux turbult: approch quasi-statiqu 5.. ctio mobil, flux icidt variabl : approch quasi-statiqu 4. s forcs aéroélastiqus 44.. Formulatio mixt tmps-fréquc : cala t Tomko (97) 44.. Gééralisatio à u mouvmt qulcoqu d la sctio 46 a) Formulatio fréqutill 46 b) Formulatio tmporll ds forcs aéroélastiqus 48. détachmt tourbilloair 5.4 oclusio 54 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus 54. Msur ds cofficits statioairs 55. Msur d l'admittac aérodyamiqu 6. Msur ds cofficits aéroélastiqus par la tchiqu ds oscillatios librs 6.. Bass théoriqus 6.. Applicatio pratiqu 66.4 Méthod ds oscillatios forcés Istrumtatio d la maqutt as ds oscillatios purs Msur ds rapports d amplituds, fréqucs d oscillatios t déphasags as du mouvmt couplé Résultats 8.5 oclusio 87

4 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqus d l'ouvrag Discrétisatio élémts fiis Gééralités Mis équatios 9 a) as d u élémt 9 b) Assmblag 9 4. alcul ds mods proprs d la structur 9 4. a méthod spctral Pricip Défiitio ds rpèrs alcul d la matric d dsité spctral ds forcs turbults alcul d la matric d dsité spctral ds forcs aéroélastiqus 4..5 Mis équatios 4..6 Aalys d la stabilité 4..7 Résolutio complèt Résolutio simplifié imulatio umériqu d u sigal d vt tridimsiol spatialmt corrélé 4.4. Méthod d hiozuka 4.4. Méthod d Ji, uts t arkai (997) a) Hypothèss t otatios b) Evaluatio d la moy coditioll das l cas gééral 4 c) Evaluatio d la variabl aléatoir Y 6 d) Algorithm d résolutio omparaiso tr ls dux méthods a méthod tmporll 4.5. Mis équatio a) Formulatio ds forcs turbults b) Formulatio ds forcs aéroélastiqus c) Formulatio simplifié ds forcs aéroélastiqus 8 d) Mis équatio Résolutio du systèm das la bas modal Itroductio d simulatios tmporlls das l calcul spctral 4.6. Méthod d «liéarisatio équivalt» ds cofficits aérodyamiqus ombiaiso ds chargs modals xtrêms cas d chargs statiqus équivalts 4.7 oclusio 7 4

5 hapitr 5 Validatio xpérimtal 8 5. Préstatio ds maqutts 9 5. aractérisatio mécaiqu ds maqutts Msur ds fréqucs, amortissmts t masss gééralisés Msur ds déformés modals alcul ds déformés Récapitulatif doés xpérimtals utilisés pour l calcul umériqu aractérisatio du vt d la soufflri Dispositif xpérimtal Résultats 49 a) Profils d vitss moy t d turbulc 49 b) Echlls d turbulc t cofficits d cohérc 5 c) Récapitulatif ds résultats aractérisatio aérodyamiqu ds tablirs Msur ds déplacmts Résultats osidératios sur ls icrtituds d calcul alcul spctral 6 a) as du tablir trapézoïdal 6 b) as du tablir rctagulair 6 c) oclusio alcul tmporl oclusio 74 oclusio 75 Prspctivs 77 Bibliographi 79 5

6 Notatios B Dimsio caractéristiqu d tablir : gééral sa largur B r c h,h,h,4h,d h, d 4h Variabl aléatoir, modul d officit d amortissmt officits ds foctios idicills pour ls forcs d Mh,Mh,Mh,4Mh,d Mh, d 4Mh Ŷ r portac t ls déplacmts vrticaux officits ds foctios idicills pour ls forcs d Mα,Mα,Mα,4M α,d Mα, d 4Mα momt t ls déplacmts vrticaux officits ds foctios idicills pour ls forcs d α,α, α,4α,d α, d 4α momt t ls déplacmts agulairs officits ds foctios idicills pour ls forcs d x u x v x w y u y v y w z u z v z w portac t ls déplacmts agulairs,,,,,,,, officits d cohérc D,, M X, Y, M D F D, F, M X Y Z officits d traîé, portac, momt das u rpèr lié au vt officits d traîé, portac, momt das u rpèr local Epaissur d tablir Forcs d traîé, portac, momt das u rpèr lié au vt F, F, M Forcs d traîé, portac, momt das u rpèr local F, F, M Forcs d traîé, portac, momt moys das u X t X Y t Y t Z Z t X t Y t Z rpèr local F, F,F,M, M, M Forcs t momts liés à la turbulc du vt das u a X a Y a Z a X a Y a Z rpèr local F, F,F,M, M, M Forcs t momts aéroélastiqus das u rpèr local F f f,f,f, F α h Mα Mh Foctios idicills das l domai spctral α,f h,f Mα, f Mh Foctios idicills das l domai tmporl f c f N Fréquc Fréquc d coupur Fréquc d Nyquist 6

7 g α, g h Foctios idicills d i g, ĝ Moy coditioll ds trms u h r r * * * * * * * *,H,H,H 4,A,A,A, A 4 Déplacmt vrtical H officits aéroélastiqus adimsiols d cala H officits aéroélastiqus d cala,h,h,h 4,A,A,A, A 4 ~ h, α ~ Déplacmts vrtical t agulair siusoïdaux d pulsatios m r, û r ω m t ω ĥ,αˆ Trasformés d Fourir ds déplacmts vrtical t u v w agulair I, I, I Itsités d turbulc du vt J Jacobi K Fréquc réduit ( fait pulsatio réduit) K, K Fréqucs réduits ds déplacmts vrticaux t agulairs l, m Forcs d portac t d momt aéroélastiqus agissat sur a a a, M a ~ ~ a m, M ~ a m a m,m ~ a m, ~ a, M ~ a, M h h x u h, M x v, α, M α h, x w h 4, M y u h 4 y v,, M,, M u élémt oguur d u élémt poutr Forcs d portac t momt aéroélastiqus Forcs d portac t momt aéroélastiqus géérés par ds mouvmts d flxio t d torsio siusoïdaux Forcs d portac t momt aéroélastiqus das géérés par ds mouvmts d flxio ou d torsio siusoïdaux Forcs d portac t momt aéroélastiqus das l domai tmporl α α α4 α4 omposats ds forcs d portac t momt y w z u z v z w aéroélastiqus das l domai tmporl,,,,,,,, Echlls d turbulc m g dlt P, P' Poits d l spac Mass gééralisé Nombr d dgrés d librté total d la structur Nombr d élémts poutrs d la structur mp R jk Foctio d covariac tr la composat j du sigal m t 7

8 R u v w la composat k du sigal p Nombr d Ryolds,, pctrs ds composats u, v, w d la turbulc du vt mp jk Dsité itrspctral d puissac tr la composat j du t T t U U sigal m t la composat k du sigal p Nombr d trouhal Périod Tmps Vctur vitss istataé du vt Norm du vctur vitss moy du vt U rf Vitss moy d référc U m Vitss moy d référc à m U U ~ Vitss d vt istataé Vitss d vt istataé das u pla prpdiculair à u élémt poutr u, v, w omposats d la turbulc du vt das u rpèr lié au vt puis das u rpèr lié à u élémt poutr u, v, w omposats d la turbulc du vt das u rpèr local u, û r ièm composat du sigal tridimsiol gééré au poit r r das ls domais tmporl t spctral m m m W rj, Ŵrj omposat ds matrics W t Ŵ x, y, z Bas d projctio lié à u élémt poutr x, y, z, r x, r y, r z, x, y, z, r x, r y, r z dgrés d librté d u élémt poutr y P, z P Positios suivat ls dirctios y t z du poit P m Y, Ŷ Variabl gaussi ctré, composats d r r u, û r r z Rugosité d u sit z rf Altitud d référc α u γ v, w Déplacmt agulair γ, γ Foctios d cohérc d Davport γ, γ γ γ γ γ γ γ γ «Racis carrés» ds foctios d admittac θ Xu Yu, Mu, Xv, Yv, Mv, Xw, Yw, Mw aérodyamiqu Icidc du vctur vt das u rpèr lié à u élémt poutr θ ki Phas associé au poit k t à la fréquc i f 8

9 ξ ρ u σ v, w Amortissmt rapporté au critiqu Dsité d l air σ, σ Ecarts typs ds trois composats d la turbulc du vt σ, σ σ Ecarts typs total, dyamiqu t quasi statiqu ds déplacmts τ Ψ dy q q, Xu Xv, qs q Xw modaux Tmps utilisé das ls produits d covolutios oordoé paramétriqu ds élémts poutrs Ψ, Ψ Ψ Foctios d admittac aérodyamiqu d traîé Ψ, Ψ Ψ Foctios d admittac aérodyamiqu d portac Yu Yv, Mu ΨMv, Yw Ψ, Ψ Foctios d admittac aérodyamiqu d momt Mw ω,ω Pulsatios ds mouvmts d flxio t torsio ω Pulsatio P d Vctur ds déplacmts u poit d u élémt poutr das l d rpèr local Vctur ds déplacmts d la structur das la bas odal t l rpèr gééral d d Vctur ds déplacmts das u rpèr local Vctur ds déplacmts d u élémt poutr das la bas odal t l rpèr local g d Vctur ds déplacmts d u élémt poutr das la bas odal t E l rpèr gééral Vctur cotat ls moduls d Youg ds élémts poutrs f V, f Vcturs forcs xtériurs volumiqu t surfaciqu f t Vctur ds bufftig forcs das u rpèr local f a Vctur ds forcs aéroélastiqus das u rpèr local f t Vctur ds bufftig forcs das la bas odal t l rpèr local f a Vctur ds forcs aéroélastiqus das la bas odal t l rpèr local g f t Vctur ds bufftig forcs das la bas odal t l rpèr gééral F, F Vcturs ds bufftig forcs globaux das ls bass odal t modal t m t F a F t Vctur ds forcs aéroélastiqus Vctur ds bufftig forcs 9

10 F G Vctur ds forcs xtériurs Vctur cotat ls moduls d cisaillmt ds élémts poutrs I, I, I Vcturs cotats ls irtis surfaciqus ds élémts poutrs X Y Z m ddl Vctur cotat ls masss t irtis poctulls affctés à chaqu X Y Z dgré d librté d la structur M, M, M Vcturs cotat ls momts d flxio t torsio ds élémts Xi Yi Zi poutrs M, M, M Vcturs cotat ls momts d flxio t torsio modaux ds N N i q élémts poutrs Vctur cotat ls fforts ormaux ds élémts poutrs Vctur cotat ls fforts ormaux modaux ds élémts poutrs Vctur ds déplacmts d la structur das la bas modal Vctur cotat ls sctios ds élémts poutrs T, Vcturs cotat ls fforts trachats ds élémts poutrs X T Y T Xi, T Yi Vcturs cotat ls fforts trachats modaux ds élémts poutrs u Vctur vt tridimsiol sythétiqu x Vctur positio d u poit d u élémt poutr x Vctur ds coordoés d u œud Z j j ièm vctur propr Z j ' Dérivé du j ièm vctur propr par rapport à l absciss curvilig ε Θ ζ Vctur ds déformatios élastiqus Vctur polyomial d l icidc du vt Vctur ds forcs aéroélastiqus das l domai tmporl χ, χ χ χ χ χ Vcturs ds cas d chargs xtrêms c c c c c N,,,, TX TY MX MY c MZ A A Matric aéroélastiqu global Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr local g A Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr gééral B B Matric aéroélastiqu global Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr local

11 g B Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr gééral ad Matric ds cofficits aérodyamiqus 45 Matric polyomial ds cofficits aérodyamiqus Ψ Matric ds cofficits aérodyamiqu avc pris compt d Ψ, Ψ l admittac aérodyamiqu Matric ds cofficits aérodyamiqu avc pris compt d g a g a l admittac aérodyamiqu, K Matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus élémtairs xprimés das la bas odal t l rpèr gééral a, K a Matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus globals xprimés a a das la bas odal t l rpèr gééral Ĉ, Kˆ Matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus globals xprimés a a das la bas modal, K Matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus élémtairs D D xprimés das la bas odal t l rpèr local Matric aéroélastiqu global Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr local g D Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr gééral E H Matric d rigidité Matric d trasfrt m, c, k Matrics mass, amortissmt t raidur élémtairs m,c, k Matrics mass, amortissmt t raidur élémtairs associés à j j j l élémt j m j ',c j ', k j ' Matrics mass, amortissmt t raidur élémtairs associés à l élémt j isérés das ls matrics carrés ulls d dimsio dlt M,, K Matrics mass, amortissmt t raidur globals xprimés das la bas odal Mˆ, Ĉ, Kˆ Matrics mass, amortissmt t raidur globals xprimés das la bas modal

12 N Matric d itrpolatio P Matric d chagmt d rpèr pour u vctur composats P V Matric d chagmt d rpèr vt P Matric d chagmt d rpèr local-gééral Matric d dsité itrspctral élémtair d la turbulc du vt, ' V Matric d dsité itrspctral élémtair ds bufftig forcs g 'g f t,f t F Matric d dsité itrspctral ds forcs aérodyamiqus X Matric rliat ε à u W m, Ŵ m Matrics d podératio d m u t m û Φ Matric ds vcturs proprs

13 Itroductio amélioratio costat ds tchologis das l domai du géi civil t ds matériaux prmt d cocvoir ds ouvrags sas css iovats, d plus plus légrs t élacés. s pots suspdus ou à haubas sot ls rpréstats xtrêms. Il résult d ctt évolutio u ssibilité accru aux sollicitatios fluctuats du vt. s ouvrags puvt alors adoptr u comportmt vibratoir très marqué suscptibl d ls mr à la rui ou tout simplmt d' rdr l'utilisatio périllus. s buraux d étuds chargés du dimsiomt ds ouvrags ot bsoi d'itroduir das lurs calculs ls sollicitatios iduits par ls tmpêts ls plus sévèrs. Das l cas d bâtimts massifs d forms suffisammt simpls, la pris compt ds ffts du vt st stimé à partir ds règls viguur (Nig t Vt ou Eurocod) basés sur la détrmiatio d chargs statiqus forfaitairs. Das l cas d forms complxs à comportmt dyamiqu marqué, ds étuds plus poussés t prsoalisés sot écssairs, d u part pour stimr ls chargs aérodyamiqus s xrçat sur l vlopp, t d autr part pour détrmir la répos dyamiqu d la structur sous ls sollicitatios d la turbulc du vt. Différts approchs puvt êtr visagés aujourd hui : E c qui cocr la détrmiatio ds fforts s xrçat sur l vlopp d u structur, il xist dux typs d démarchs : la prmièr cosist à msurr soufflri ls fforts géérés par l vt sur ds maqutts rigids d sctio costat applés "maqutts sctiolls" ; la scod cosist à calculr umériqumt cs mêms fforts à l aid d cods.f.d. (omputatioal Fluid Dyamics) basés sur la résolutio discrèt ds équatios d Navir-toks. i ctt scod approch st pli ssor t s aoc promttus, la prmièr rst aujourd hui, t pour, sas dout, qulqus aés cor, la plus opératioll.

14 Pour stimr l amplitud ds déplacmts, étap obligatoir avat l calcul ds cotraits, dux typs d méthods sot actullmt utilisés : la plus pragmatiqu cosist à msurr dirctmt cs déplacmts soufflri sur ds maqutts dits "aéroélastiqus" rproduisat, à échll réduit, ls comportmts aérodyamiqu t mécaiqu d la structur étudié ; la scod, plus théoriqu, cosist, das u prmir tmps, à msurr ls caractéristiqus aérodyamiqus d la structur à l aid d maqutts sctiolls, pour stimr suit, à l aid d u cod d calcul ds structurs, la répos d l'ouvrag complt à ds coditios d vt doés. st ctt drièr approch qu ous avos dévloppé t xposos das l prést mémoir. Il s agit tout d abord d s itérssr à la modélisatio du vt aturl turbult das la parti bass d l'atmosphèr: la couch limit atmosphériqu. Pour défiir c procssus tridimsiol fortmt aléatoir, ous utilisos u crtai ombr d outils statistiqus prmttat d'itégrr ls corrélatios adéquats das l tmps t das l spac. Nous somms alors amés à substitur la dimsio fréqutill ou spctral à la dimsio tmporll. st l objt d otr prmir chapitr. Das u scod chapitr, ous préstos ds modèls qui prmttt, à partir d la bo coaissac du vt au voisiag d la structur t d la caractérisatio aérodyamiqu ds profils trasvrsaux d l vlopp d l ouvrag étudié, d obtir u stimatio ds forcs s xrçat sur la structur. Nous vrros qu ds forcs d différts aturs sollicitt dyamiqumt ls ouvrags : ls forcs fluctuats dirctmt liés au caractèr turbult du vt souvt applés bufftig forcs; o y associ la otio d'admittac aérodyamiqu rpréstat l'impact différcié ds structurs tourbilloairs suivat lur taill; ls forcs dits aéroélastiqus gdrés par ls mouvmts d la structur pouvat êtr rsposabls d'u comportmt istabl d la structur; ls forcs liés à u phéomè aérodyamiqu propr aux corps mal profilés t élacés : l détachmt tourbilloair. Nous cosacros l troisièm chapitr aux différts tchiqus xpérimtals prmttat d caractérisr ls propriétés aérodyamiqus ds profils trasvrsaux ds structurs élacés. s méthods d msur ds bufftig forcs t d l'admittac aérodyamiqu sot brièvmt préstés. O isistra plus particulièrmt sur dux tchiqus xpérimtals prmttat d caractérisr ls forcs aéroélastiqus : la tchiqu ds oscillatios librs t cll ds oscillatios forcés. a drièr a été l objt d u publicatio à l occasio d u cogrès du Wid Egirig (d la Foy, ). Nous préstos ls résultats obtus pour dux profils d tablirs. s résultats srot utilisés par la suit lors d otr procédur d validatio. 7

15 quatrièm chapitr costitu la pirr agulair d os travaux. Nous y motros commt, à partir d la coaissac ds forcs aérodyamiqus s xrçat sur la structur, ous résolvos umériqumt l problèm mécaiqu posé. Dux méthods, s appuyat sur u discrétisatio élémts fiis d la structur, sot dévloppés t préstés : la méthod spctral, d atur statistiqu, st basé sur la résolutio ds équatios d la mécaiqu das l domai fréqutil; la méthod tmporll, smi-détrmiist, st basé sur la géératio d u sigal d vt sythétiqu spatialmt corrélé, t la résolutio ds mêms équatios, ctt fois das l domai tmporl. Efi, das l drir chapitr, ous préstos la procédur mis plac pour validr ls cods dévloppés. Pour cla, ous plaços soufflri dux maqutts aéroélastiqus, rpréstat ds través ctrals d tablirs d pots, t msuros la répos dyamiqu pour différts cofiguratios d vt. Ds calculs sot alors ffctués, avc, coditios d tré, ls caractéristiqus du vt msurés soufflri, ls caractéristiqus mécaiqus d la structur, t ls propriétés aérodyamiqus d la structur préstés au chapitr. Nous procédos alors à u aalys comparativ ds différts méthods d calcul umériqu avc ls résultats obtus xpérimtalmt, t ttos d mttr évidc, d'u part l ifluc ds différts paramètrs d tré sur ls résultats obtus umériqumt, puis, das u duxièm tmps, d'autr part ls forcs t limits d applicatio ds différts approchs. Précisos qu otr travail s iscrit das la cotiuité d ombrux travaux réalisés sur l sujt dpuis u quaratai d'aés. E fft, ds approchs spctrals ot été proposés dès 96 par A. Davport pour calculr la répos ds structurs élacés à la turbulc du vt. 'applicatio au calcul spctral du cocpt d forcs aéroélastiqus, issu d l'aéroautiqu, fut iitié 97 par R.H. cala. M. Attou dévloppa au TB, das l cadr d'u thès d doctorat soutu 994, u prmir modul d calcul spctral lagag Fortra. a géométri ds structurs était limité à dux dimsios, la vitss moy du vt horizotal t ls forcs aéroélastiqus égligés. U modul tmporl fut égalmt élaboré dot ls limits était similairs à clls du modul spctral. sigal d vt, bidimsiol, était gééré par u programm basé sur l algorithm d hiozuka. D 994 à 997, P. Bourcir, succssur d M. Attou, s'st sstillmt attaqué au problèm d la modélisatio ds ffts aéroélastiqus t d lur itroductio das ds cods d calcul spctral t tmporl. Il 'a cpdat pas fialisé ss travaux t laissé drrièr lui ds programms difficilmt xploitabls. Parallèlmt, A. Patro-olars dévloppa au P u smbl d moduls d calculs spctraux t tmporls itégrat ls modèls d forcs aéroélastiqus proposés par cala. 8

16 Notr tâch a d'abord cosisté à rprdr amot l travail tamé par P. Bourcir. Nous avos suit fait l choix d rdévloppr tièrmt ls outils spctraux t tmporls sous l'viromt Matlab. E outr, ls élémts suivats ot été itroduits: U défiitio multizoal ds caractéristiqus du vt turbult; U géératur d procssus tmporl tridimsiol plus prformat qu l précédt basé sur ls travaux d Ji t al. (997); U méthod d'optimisatio d la liéarisatio ds forcs aérodyamiqus das l'optiqu d calculs spctraux; a pris compt d l'admittac aérodyamiqu das ls moduls spctraux t tmporls; a réll pris compt d l icidc du vt t d la déformé statiqu ; U méthod d combiaiso ds chargs modals xtrêms t calcul d chargs statiqus équivalts à l'ittio ds buraux d'étuds. Notr travail st doc sstillmt axé sur l calcul umériqu ds déplacmts ds structurs élacés soumiss à la turbulc du vt. Nous l avos cpdat iscrit das l cotxt plus gééral d la pris compt ds ffts du vt das l dimsiomt ds grads ouvrags, dpuis l étud climatologiqu du sit d implatatio jusqu à l stimatio ds cotraits xtrêms s xrçat au si d la structur. Itrvidrot doc tout au log du mémoir ls disciplis suivats : climatologi, aérodyamiqu, mécaiqu ds vibratios t résistac ds matériaux. 9

17 hapitr Modélisatio du vt Tous ls ouvrags du géi civil sot tièrmt situés das la plus bass couch d l'atmosphèr applé couch limit atmosphériqu. A ctt altitud, l vt, très fluctuat das l tmps t das l'spac, st courammt assimilé à u procssus aléatoir tridimsiol. O st doc aturllmt amé à utilisr ds approchs statistiqus pour modélisr ss fluctuatios. Aisi, l'objt d c prmir chapitr st d préstr u séri d'outils statistiqus prmttat d caractérisr l vt turbult au voisiag ds structurs d géi civil. Nous vrros qu'il st alors commod d substitur à la dimsio tmporll, la dimsio fréqutill ou "spctral". tt otio sstill rvidra suit comm u litmotiv das otr travail. 7

18 hapitr Modélisatio du vt. a couch limit atmosphériqu Pour u altitud supériur à qulqus ctais d mètrs, la vitss du vt résult d l itractio tr ls forcs d oriolis gdrés par la rotatio d la trr t ls forcs créés par l champ d prssio atmosphériqu. a turbulc st prsqu ull. Pour u altitud ifériur à mètrs viro, là où s trouvt ls ouvrags d'art, ls forcs d frottmt dus à la rugosité du sol t ls phéomès thrmiqus dvit prépodérats vis-à-vis ds forcs d oriolis ; ils gdrt ds fluctuatios d la vitss du vt, das l tmps t das l spac, suscptibls d xcitr ls structurs soupls. tt zo st courammt ommé couch limit atmosphériqu. E réalité, sul l champ d vt à proximité dirct d l ouvrag étudié itérss otr travail. pdat, mêm aisi réduit, la zo d étud rst difficil à caractérisr. O comprd bi qu u approch xpérimtal prmt d accédr simultaémt qu à u ombr très limité d poits d l spac. s cods d calcul, résolvat ls équatios d la mécaiqu ds fluids das u spac t u tmps discrétisés, prmttt bi, théori, d accédr aux caractéristiqus du vt tout poit du tmps t d l spac ; sulmt, la complxité géométriqu d la structur étudié, additioé à cll d u viromt qu o put pas igorr, rd, cor aujourd hui, ls tmps d calcul rédhibitoirs. Ds modèls mathématiqus, sstillmt statistiqus, ot doc été dévloppés, prmttat d caractérisr l vt par u ombr limité d paramètrs, accssibls par la msur, t jugés suffisammt prtits pour prmttr d déduir la réactio d u ouvrag soumis à so ifluc.. aractéristiqus du modèl statistiqu aalys spctral d la vitss du vt das la couch limit turbult, caractérisat la distributio fréquc d so érgi, prmt d mttr évidc plusiurs échlls d fluctuatio. a 4 jours h. mi. h. mi. /T Figur. - pctr d Va dr Hov 8

19 hapitr Modélisatio du vt a figur. motr l allur d u spctr d dsité d puissac rpréstatif d la vitss horizotal du vt à mètrs au dssus du sol d après Va dr Hov, 957. O costat qu u parti importat d l érgi st distribué autour d'u périod d l ordr d la miut, corrspodat à l échll ds mouvmts turbults. O obsrv égalmt u trou d érgi pour ds périods compriss tr miuts t u hur. Par coséqut, sur u périod iclus das c trou d érgi, la vitss du vt st localmt assimilabl à u procssus statioair. O put doc aussi cosidérr la vitss du vt comm la somm d u composat moy t d u composat fluctuat. a figur. rprést u rgistrmt d la vitss du vt sur 5 miuts. Figur. igal d la composat logitudial du vt sur ciq miuts Pour ds raisos d commodité, l vctur vitss du vt st modélisé par u procssus supposé x, y, z où x st parallèl au flux gaussi, statioair t rgodiqu. Aisi, par rapport à u bas ( ) moy t z st gééralmt vrtical, la vitss du vt tout poit du sit put s'écrir : U = (U + u) x + v y + w z (.) U w v y z x U u Figur. - Décompositio du vctur vitss du vt U procssus aléatoir st dit statioair si sa structur d probabilité st ivariat vis-à-vis d u chagmt d l origi ds tmps. hypothès d rgodicité prmt d rmplacr ds moys d smbl par ds moys tmporlls sur u réalisatio uiqu du procssus. 9

20 hapitr Modélisatio du vt U st la vitss moy au poit cosidéré ; ll caractéris la vitss à laqull sot covctés ls tourbillos; u, v, w sot trois procssus gaussis statioairs ctrés rpréstat ls fluctuatios du sigal autour d la moy ; ils caractérist ls variatios d la vitss du vt dus aux passags ds tourbillos.. vt moy E aval d u sit rlativmt homogè (étdu d mr, bois, vill), o put cosidérr qu la dirctio moy du vt st idtiqu tout poit t qu so modul dépd qu d la hautur. Différts lois d variatio puvt alors êtr visagés : a loi logarithmiqu, fodé sur la théori d la couch limit do : U ( z ) z z rf = l l U rf z z (.) où z st la hautur du poit cosidéré au dssus du sol, z l paramètr d rugosité xprimé mètrs, U rf u vitss d référc à la hautur d référc z rf. A titr d xmpl, l tablau ci-dssous idiqu ls ordrs d gradur proposés par Bitry t al. (978) : it lass z (m) Océas t grads lacs I, -, Aéroport, ras campag II, -, Bocag, baliu III, -,5 Zos urbais IV,5 -,5 Très grad vill V,5 -,5 Tablau. - officits z caractérisat la rugosité du sit orsqu la couch limit atmosphériqu st pas bi dévloppé, u loi puissac mpiriqu put êtr utilisé : α z U (z) = U rf (.) z rf

21 hapitr Modélisatio du vt où U rf st la vitss à la hautur z rf, t α u xposat sas dimsio dépdat d la rugosité du sit. tablau ci-dssous do u idé d l équivalc α-z : z (m),5,7,,,5 α,,5,,5,5 Tablau. officits α.4 vt turbult O ot (u, v, w) l vctur rpréstat ls composats fluctuats d la vitss du vt ; u rprést la composat logitudial parallèl au flux moy, w la composat vrtical t v st la composat latéral. Il s agit alors d décrir ls variatios tmporlls t spatials ; cs drièrs jout u rôl sstil das l étud ds structurs élacés dot la taill put êtr largmt supériur aux dimsios caractéristiqus ds tourbillos. hacu ds composats u, v, w, u poit d l spac doé, sra modélisé par u procssus gaussi ctré, statioair t rgodiqu. Nous pourros aisi appliqur u crtai ombr d outils statistiqus prmttat d ls caractérisr das l spac t das l tmps..4. Ecarts typs t itsité d turbulc O caractéris tout d'abord l'érgi ciétiqu fluctuat massiqu moy du flux par l'écart typ d chaqu composat turbult: σ um ( ) = T P u m (P, t) dt u m = u, v, w (.4) T où T st la duré d obsrvatio du sigal. Pour T d l ordr d miuts, o a vu qu l vt pouvait êtr assimilé à u sigal statioair. O costat xpérimtalmt qu cs écarts typs sot proportiols à la vitss moy U. O rmarqu égalmt qu, pour ds sits suffisammt homogès, ils sot idépdats d la positio spatial t, particulir, dépdt pas d l altitud z. Par cotr, ils augmtt avc la rugosité du sol. O utilis plus souvt ls otios altrativs d itsités d turbulc. Adimsiolls, lls sot défiis par:

22 hapitr Modélisatio du vt I u σu =, U I v σv =, U I w σw = (.5) U.4. officits d corrélatio t échlls d turbulc D u maièr gééral, afi d traduir la cocomitac tr dux composats d la vitss du vt dux poits P t P t à dux istats t t t+τ, o itroduit la otio statistiqu d itr-corrélatio défii par : ρ um,u T P m ) dt u m, u = u, v, w (.6) T (, P', τ) = u (P, t) u (P', t + τ vérifiat otammt la doubl iégalité σ um σ u < ρ um,u < σ um σ u Das la plupart ds cas, o s limit au cas où m = ; o parl alors d corrélatios spatials (τ = ), tmporlls (P = P ), ou spatio-tmporlls (τ, P P ) pour u composat d vt doé. O défiit, à partir d cs drièrs, ls otios d échlls d turbulc. lls-ci ot u doubl sigificatio: physiqu : ls dimsios ds tourbillos ls plus érgétiqus das chaqu dirctio ; mathématiqu : la distac, das chaqu dirctio, à partir d laqull la corrélatio tr dux sigaux dvit égligabl. O écrit aisi: ( ) x U u P = ρ u τ τ m σ m,u m (P, P, ) d u m = u, v, w (.7) u m ( ) y u P = ρ (y P, y P + y, ) d y u m um,um m = u, v, w (.8) σ u m ( ) z u P = ρ (z P, z P + z,) d z u m um,um m = u, v, w (.9) σ u m O put s dmadr pourquoi la défiitio d x diffèr d clls ds um y um, z um. a raiso st doubl : d'abord il st délicat d'u poit d vu xpérimtal d placr dux apparils d msur l'u drrièr

23 hapitr Modélisatio du vt l'autr pour ds problèms évidts d sillag ; suit, ls gradurs y um, z um itrvit ffctivmt par la suit pour caractérisr ds dgrés d corrélatio tr dux poits d l'spac tadis qu la gradur x itrvit plutôt tat qu'idicatur d corrélatio tmporll u poit doé. um Ivrsmt, la coaissac xpérimtal ds valurs spatial par la formul mpiriqu suivat: x um, y um, z um, prmt d stimr la corrélatio ρ um,um x y z ( P, P',) xp + + u x y z m = u, v, w (.) um um um x = x P x P' y = y P y P ' z = z P z P '.4. Dsités (itr)spctrals d puissac Plutôt qu d travaillr dirctmt avc ls foctios d corrélatio défiis (.6), o préfèr maipulr lurs trasformés d Fourir, applés dsités (itr)spctrals d puissac. sot lls qui itrvidrot das l calcul umériqu d la répos à la turbulc ds structurs élacés. Das l cas particulir où m = t P = P, o parl simplmt d dsité spctral d puissac; cll-ci rprést la répartitio fréqutill d l érgi turbult u poit P doé t pour u composat m doé. Das ls cas plus gééraux où m t/ou P P, ls dsités itrspctrals d puissac idiqut, pour chaqu gamm d fréquc, avc qul dgré d corrélatio l érgi ciétiqu st fouri à dux sigaux disticts. a) Dsités spctrals d puissac (cas où m = t P = P ) Das c cas précis, o défiit la foctio dsité spctral d puissac par : i π fτ = ρ u m,u m ( τ) d u (f ) τ u m = u, v, w (.) m omm ρ um,u st u foctio pair, m um st u foctio à valurs rélls. Mais, comm touts ls dsités spctrals d puissac, ll vérifi surtout la propriété suivat : + () df = σ u m = u, v, w (.) um um

24 hapitr Modélisatio du vt a form typiqu du spctr d la composat u st rprésté figur.4. O idtifi trois régios caractéristiqus : u régio d basss fréqucs, associé aux grads tourbillos aisotrops (dot l comportmt st différt das ls trois dirctios d l'spac) qui dépdt fortmt ds coditios xtériurs, u régio d moys fréqucs, coctrat l sstil d l érgi, associé aux structurs tourbilloairs issus d la désagrégatio ds gros tourbillos par ls forcs d cisaillmt, u régio d hauts fréqucs, associé à u turbulc isotrop, dot l érgi st covrti chalur par dissipatio visquus, applé domai d équilibr uivrsl. Figur.4 - pctr d la composat logitudial d la vitss du vt Différts formulatios sot proposés das la littératur pour approchr ctt distributio u m. s Productio Dissipatio d érgi Trasfrt d érgi d érgi Gros Tourbillos Domai d équilibr f tourbillos érgétiqus uivrsl plus courammt utilisés sot, pour la composat u, clls d : Vo Karma (948) : (f ) = Kaimal (97) : (f ) = imiu (974) : (f ) = 4 ( x ) x u u + 7,7 ( f / U) u 7z / U / U u ( + fz U) z / U u ( + 5fz U) 5 5 σ σ u u 5 6 σ u (.) (.4) (.5) 4

25 hapitr Modélisatio du vt Davport (96) : (f ) =,65. / U ( m ) m u + ( f U ) 5 σ u (.6) Pour v t w, ls formulatios proposés l plus gééralmt sot : Vo Karma: v (f ) v v x 88,4 f x 4 + U U = σ 6 v w (f ) = σ w 6 v x w x + 7,7 f U w w x 88,4 f x 4 + U U + 7,7 f U (.7) Kaimal : (f ) = v 4,z / U ( + 9,5fz U) 5 σ v w,4z / U (f ) = σ (.8) ( + 5,fz U) 5 w imiu : (f ) = v,5z / U ( + 9,5fz U) 5 σ v w,56z / U (f ) = σ (.9) ( + fz U) 5 w i l'o s'amus à itégrr cs foctios sur [ + ], o s'aprçoit qu la rlatio (.) 'st pas vérifié. 7 Par xmpl, l'itégratio aalytiqu d (.4) do σ u. la 'st pas bi grav das la msur où o chrch jamais à modélisr l'itégralité du spctr mais uiqumt la plag suscptibl d'xcitr u structur soupl. b) Dsités itrspctrals t foctios d cohércs Etr dux poits, t pour u composat m doé, la dsité itrspctral d puissac s xprim : + iπfτ u (P, P', f ) = ρ (P, P', τ) dτ (.) m u m,u m a parti imagiair d ctt foctio complx, doat ds iformatios sur l déphasag tr ls dux sigaux cosidérés, st gééralmt igoré das ls calculs. O s cott doc d fair itrvir so modul, dirctmt rlié aux spctrs ds dux composats par u foctio dit d cohérc γ u : m 5

26 hapitr Modélisatio du vt (P, P',f ) um γ u (P, P', f ) = u m m = u, v, w (.) (P, f ) (P', f ) u m u m tt foctio st assz mal cou car ls rgistrmts d vt motrt trop d disprsio pour bâtir u modèl précis. Néamois, la formulatio gééralmt rtu st cll d Davport (968) : f Z x x y y z z γ u m (P, P',f ) = xp[ u ( ) u ( ) u ( ) ] U m + Z m + Z m u m = u, v, w (.) Z où Z st la hautur moy tr ls poits P t P. s cofficits x, um y, um z sot applés um cofficits d cohérc. Adimsiols, lurs valurs habitulls sot d l ordr d à pour la composat u, d 5 à 5 pour v, t d à 5 pour w. E théori, lur dscriptio écssitrait u msur par coupl d poits. Toutfois, pour ds raisos pratiqus, cci 'st jamais fait. O cosidèr gééralmt u poit fix, l'autr poit balayat l'spac. s valurs rtus sot ls moys ds différts valurs ds cofficits obtus au cours d la scrutatio. Pour u mêm poit, t tr dux composats m t doés, o put égalmt défiir u foctio d cohérc prmttat d calculr la dsité itr-spctral d puissac. O rmarqu xpérimtalmt qu suls ls composats u t w préstt u foctio d cohérc o égligabl. ll-ci st défii par (Attou, 994): (P,f ), u,w γ u,w (P,f ) = (.) u (P,f )w (P,f ) x (,47 +,44 log(z),6log(z) ) +,4(f u U) Etr dux poits P t P, o put défiir u foctio d cohérc par : u,w (P, P',) ωz x y z x y z ( P, P' ω) = xp u, w ( ) + u, w ( ) + u, w ( (.4) π U Z Z Z u (P, )w (P',) γ u,w ) i avc f (,,z, ) u,w = i u i w x u 6

27 hapitr Modélisatio du vt Aisi, pour chaqu coupl d poits d l spac P t P, o put défiir u matric d dsité itrspctral d puissac s écrivat : u,u' ( v,u' ) w,u' u (P, P' ) = ( u,v' ) v,v' ( w,v' ) (.5) u,w ' ( v,w ' ) w,w' où tous ls trms tr parthèss sot supposés uls faut d modèls appropriés..5 oclusio s modèls préstés das c chapitr apportt u répos au problèm d la modélisatio d la répartitio fréqutill t spatial d l'érgi du vt. O vrra das ls chapitrs suivats qu c typ d modélisatio st tout à fait adapté pour détrmir ls ffts du vt sur ds structurs élacés d grads dimsios. Das l cas ds ouvrags xcptiols pour lsquls l'fft du vt st dimsioat (pot d Rio- Atirio Grèc ou Viaduc d Millau par xmpl), ls différts cofficits du modèl sot établis par u étud spécifiqu pouvat iclur ds msurs sur sit, ds ssais sur maqutt topographiqu soufflri atmosphériqu ou ds simulatios umériqus. s étuds puvt êtr rlativmt coûtuss t doc, pour ds projts d moidr vrgur, ou mois ssibls aux ffts du vt, o put s cottr d stimr ls différts valurs caractéristiqus du vt à partir d étuds ffctués sur ds sits similairs ou ds doés issus d la littératur. 7

28 hapitr s forcs s forcs aérodyamiqus aérodyamiqus Après avoir défii u modèl prmttat d qualifir l champ d vitss du vt sur u sit doé, ous allos ous itérssr à la modélisatio ds fforts éolis s xrçat sur u ouvrag placé das c sit. U tl ouvrag st soumis à u champ d prssio dot l itégratio sur u surfac doé prmt d calculr ds fforts résultats. a prmièr tâch affcté à l outil umériqu qu ous allos dévloppr sra d déduir ds caractéristiqus spatio-tmporlls du vt la répartitio spatial ds fforts résultats t lur évolutio das l tmps. s structurs élacés, dot fot parti ls pots suspdus t à haubas, préstt l avatag d êtr facilmt modélisabls via u discrétisatio élémts fiis d typ «poutr», d caractéristiqus mécaiqus t aérodyamiqus doés ; ls fforts résultats srot alors calculés par itégratio d fforts liéiqus sur cs poutrs élémtairs. s fforts liéiqus sot préalablmt msurés soufflri sur d simpls troços à échll réduit, d sctios costats, t d loguurs suffisammt importats pour margialisr ls ffts d bouts : c qu l o appllra par la suit ds maqutts «sctiolls». s sctios ds ouvrags vrai gradur état gééralmt variabls, autat d sctios sigificativs qu écssair dvrot êtr tstés, compt tu d la précisio d calcul attdu. tt tâch pourra égalmt êtr accompli à l aid d outils umériqus d typ FD (omputatioal Fluid Dyamics) ; ous y rvidros plus loi. Das l cas l plus trivial d u structur fix soumis à u flux icidt lamiair t costat, o modélis simplmt ls forcs aérodyamiqus, via l itroductio d cofficits adimsiols, caractéristiqus d la form d la sctio t d so icidc par rapport à la dirctio d l écoulmt. Pour chaqu icidc d vt, o établit aisi u rlatio, gééralmt liéair, tr la prssio dyamiqu amot t ls forcs aérodyamiqus. 8

29 hapitr s forcs aérodyamiqus Das l cas d u structur réll, l'écoulmt icidt st turbult t géèr doc ds sigaux d forcs fluctuats. O vrra qu l utilisatio ds cofficits évoqués précédmmt, bi qu ttat, st alors mois approprié ; o itroduit doc u ouvll otio prmttat d modélisr la décroissac d corrélatio spatial du vt autour d'u trach d structur à msur qu ls fluctuatios dvit plus rapids : l admittac aérodyamiqu. D'autr part, trat vibratio sous l'fft d la variatio tmporll ds forcs xtériurs, l'ouvrag modifi la structur du flux qui l'viro t par coséqut ls forcs aérodyamiqus. ci sra modélisé par l itroductio d forcs supplémtairs dits d'auto-xcitatio ou aéroélastiqus slo l modèl proposé par cala. Efi, à l'istar d la plupart ds corps mal profilés, ls tablirs d pots puvt êtr soumis, lorsqu l flux icidt 'st pas trop turbult, à ds sollicitatios périodiqus dus à u phéomè applé détachmt tourbilloair. Nous préstros qulqus modèls prmttat d modélisr cs sollicitatios. pdat, cux-ci srot pas itégrés das ls cods d calcul dévloppés par la suit. 'smbl ds modélisatios préstés das c chapitr srot faits das l'optiqu d lur utilisatio par ls dux moduls du cod d calcul qu ous dévloppos : l'u, d atur statistiqu, basé sur u résolutio ds équatios d la mécaiqu das l domai fréqutil, l'autr, d atur istatioair, basé sur u résolutio ds mêms équatios, mais das l domai tmporl. prmir préstra comm avatag sstil d'êtr écoomiqu trm d tmps d calcul t facil à maipulr. scod, plus lourd, prmttra otammt d miux prdr compt l caractèr o liéair d l'évolutio ds cofficits aérodyamiqus foctio d l'icidc du vt t d appréhdr ls phéomès d'istabilités aérodyamiqus.

30 hapitr s forcs aérodyamiqus. Forcs aérodyamiqus s xrçat sur u corps mal profilé.. Forcs s xrçat sur u sctio fix plogé das u flux lamiair osidéros u sctio d tablir fix, d largur B t d hautur H, placé das u écoulmt bidimsiol lamiair, statioair t caractérisé par u vctur vitss amot U compris das l pla d la sctio (fig..). lo la form du profil t l icidc par rapport à l écoulmt, ds zos caractéristiqus dits d rcirculatio sot géérés par u décollmt du flux au ivau ds agls d attaqu t s dévloppt d faço plus ou mois stabl t marqué. lo ls cas, ctt zo put rssmblr à u bulb, caractérisé par u poit d rcollmt sur l profil, comm ll put s cofodr avc la zo dit d sillag s dévloppat aval d la sctio. Etr ls zos d rcirculatio ou d sillag t l écoulmt libr s dévlopp u couch d cisaillmt caractérisé par u fort gradit vrtical d vitss t u taux d turbulc élvé. sillag, lui, st composé d tourbillos plus ou mois bi orgaisés dot la dimsio caractéristiqu st fixé par H. Zo d rcirculatio ouch d cisaillmt illag ouch d cisaillmt B H Figur. Ecoulmt lamiair autour d u corps o profilé : ligs d courat t prssios pariétals moys

31 hapitr s forcs aérodyamiqus Pour u ombr d Ryolds suffisammt grad (> 4 ), cs tourbillos puvt êtr covctés d maièr périodiqu t sot alors baptisés tourbillos d Vo Karma : o parl alors d échappmt tourbilloair. a périodicité d c phéomè, dot l procssus d créatio st cor mal cou, st caractérisé par l ombr d trouhal : f H t = (.) U où H st la hautur du tablir t f la fréquc caractéristiqu du détachmt tourbilloair. Pour u tablir d pot c ombr vari tr, t,. Nous rvidros à c phéomè plus loi. itégratio ds valurs d prssio sur u trach d tablir, d sctio costat, fourit la valur ds fforts résultats s xrçat sur ctt trach : u ffort d traîé F D (drag) das la dirctio du flux moy, u ffort d portac F (lift) prpdiculair au flux t u momt d torsio M autour d l'ax prpdiculair au pla d la sctio. O itroduit alors ls cofficits adimsiols suivats : D = FD ρbu = F ρbu M M = (.) ρ B U où ρ rprést la mass volumiqu d l'air, B u dimsio caractéristiqu d la sctio ( gééral la largur), la loguur d la trach, t U la vitss du flux icidt. Y y + X θ + x U M D Figur. Rpèrs d projctio ds cofficits aérodyamiqus ombr d Ryolds R = UH/ν, où U rprést la vitss moy du flux, H u dimsio trasvrsal caractéristiqu d l obstacl, t ν la viscosité du fluid, traduit l rapport tr forcs d irti t forcs dissipativs. a valur coditio largmt l régim d l écoulmt, particulir lorsqu l obstacl st dépourvu d arêts vivs.

32 hapitr s forcs aérodyamiqus s cofficits, applés cofficits aérodyamiqus statioairs, puvt êtr msurés soufflri sur ds maqutts sctiolls (cf. chapitr ). Ils dépdt d la form d la sctio, d so icidc par rapport au flux t du ombr d Ryolds d l'écoulmt au voisiag d la sctio. O sait toutfois qu pour ds ombrs d Ryolds élvés, t pour ds sctios pu profilés, ctt drièr dépdac st assz faibl. E coséquc, ls fforts géérés sur la sctio sot proportiols au carré d la vitss U du flux icidt..4.. x y m. R ( 5 ).5.5 Figur. Ifluc du ombr d Ryolds sur ls cofficits statioairs du tablir du pot d ait-nazair O préfèr l plus souvt xprimr ls forcs t cofficits associés das u rpèr lié à la sctio étudié. s D t sot alors covrtis X t Y par u simpl combiaiso liéair : X ( θ) = D cos θ si θ (.) Y ( θ) = D si θ + cosθ (.4) s figurs.4 à.6 illustrt l évolutio d cs cofficits foctio d l icidc du vt pour trois typs d profils d tablirs. O put rmarqur qu pour u tablir profilé, ls cofficits aérodyamiqus varit quasi liéairmt avc l'icidc. Pour u viaduc frroviair, baucoup plus massif, ou u bipoutr, mois bi profilé, ctt liéarité 'st plus du tout vérifié, particulir pour Y. omm o l vrra par la suit, l calcul dyamiqu par approch spctral écssit u xprssio liéair ds cofficits aérodyamiqus foctio d l icidc du vt. la ous amèra à proposr u méthod prmttat d liéarisr «itlligmmt» ds courbs fortmt o liéairs.

33 hapitr s forcs aérodyamiqus θ x y m - -. Figur.4 officits aérodyamiqus d u tablir profilé : viaduc d Millau x y m θ Figur.5 officits aérodyamiqus d u tablir o profilé : viaduc d Vrrièrs x -.4 y -.6 m θ -.8 Figur.6 officits aérodyamiqus d u tablir bipoutr : pot du Tag 4

34 hapitr s forcs aérodyamiqus.. Forcs s'xrçat sur u sctio fix flux turbult: approch quasi-statiqu O put évidmmt pas s cottr d u modélisatio ds forcs aérodyamiqus s appliquat qu au cas trivial d u vt d vitss t d icidc costats. Toutfois, das u prmir tmps, o s limit à u approch dit «quasi-statiqu» slo laqull, à u istat t doé, ls fforts xrcés par u sigal d vt fluctuat sot ls mêms qu cux qui srait xrcés par u sigal costat d mêm amplitud à ct istat t. pdat, appliqur ctt hypothès brutalmt, rvit à égligr l'impact du dgré d turbulc sur la faço dot l'écoulmt moy cotourra l'obstacl ; ls positios ds poits d décollmt t d rcollmt pourrot fft êtr très affctés t par là-mêm ls fforts moys s'xrçat sur l'obstacl. Ds ssais sur maqutts sctiolls ffctués vt turbult prmttt d réglr c problèm rmplaçat ls cofficits moys "lamiairs" par ds cofficits moys "turbults". Mais appliqur l'hypothès d quasi-statioarité, rvit surtout à égligr la atur mêm d l'écoulmt turbult. lui-ci put fft êtr assimilé à u smbl d structurs tourbilloairs d'échlls variabls dot l comportmt fac à u obstacl sra égalmt variabl. s structurs d grad taill par rapport à l'obstacl srot pu prturbés par so frachissmt ; à l'ivrs, ls ptits structurs srot sériusmt désorgaisés. Aisi, ls cofficits moys sot icapabls d différcir l'impact ds différts échlls tourbilloairs sur l'obstacl. E d'autrs trms, ils prmttt pas d fourir ds iformatios préciss sur la faço dot l'érgi éoli sra covrti érgi sollicitat das l domai fréqutil. Hurusmt, l sstil d l érgi éoli st gééralmt coctré das ds structurs tourbilloairs dot ls dimsios caractéristiqus sot d l ordr d qulqus dizais d mètrs c stà-dir plusiurs fois la taill d u élémt d pot classiqu. O put doc raisoablmt assimilr l flux turbult à u flux «localmt lamiair variabl» t, par coséqut, accptr l hypothès d quasi-statioarité das u prmir tmps. Mais il faudra bi gardr à l sprit qu à msur qu l taux d turbulc augmt, d u part, t qu l spctr d puissac s décal vrs ls hauts fréqucs, d autr part, ctt hypothès prd d sa prtic. Nous srot alors amés à itroduir u ouvll otio corrctiv : cll d admittac aérodyamiqu 5

35 hapitr s forcs aérodyamiqus Mais rstos pour l momt das l cadr d ctt hypothès t cosidéros l vctur vitss istataé U (t) qu'aurait l flux au ctr d gravité d la sctio, l'absc d ctt drièr, U ~ la orm d la composat d U (t) compris das l pla d la sctio t θ(t) l'agl qu fait ctt composat avc l ax x du rpèr lié à la sctio. O écrit alors: BU ~ FX (t) = ρ (t) X ( θ(t)) (.5) BU ~ FY (t) = ρ (t) Y ( θ(t)) (.6) U ~ M Z (t) = ρb (t) M ( θ(t)) (.7) O xprim à prést ls composats du vctur vt das u bas (x, y, z) lié à la structur, où (x, y) défiit u bas du pla cotat la sctio cosidéré. Aisi, l vctur vitss istataé U (t) s'écrit: U(t) = U (t) x + V (t)y + W (t)z (.8) o put doc écrir: V θ(t) = arcta U (t) (t) (.9) U ~ (t) = U + (.) (t) V (t) E itroduisat U ~ à la plac d U o églig doc tous ls ffts d la composat W (t). Par aalogi avc la rlatio (.), l vctur vitss istataé put s'écrir sous la form: U(t) = ( U + u (t), V + v (t), W w (t)) + (.) s équatios (.5-7) dvit doc: [( U + u (t)) + ( V + v (t)) ] B x ( θ(t)) Fx (t) = ρ (.) FY (t) = ρ[ ( U + u (t)) + ( V + v (t)) ] B Y ( θ(t)) (.) M Z (t) = ρ[ ( U + u (t)) + ( V + v (t)) ] B M ( θ(t)) (.4) 6

36 hapitr s forcs aérodyamiqus V θ(t) = arcta U + v + u (t) (t) (.5) O suppos qu la vitss du vt "vu" par l tablir st la mêm qu cll qu'o aurait absc du tablir ; or ls tourbillos s déformt trat cotact avc c drir. champ d prssio qui découl va alors êtr logitudialmt plus cohért qu l champ d vt icidt. phéomè st égligé ici faut d modèls mathématiqus appropriés. a méthod spctral, présté plus loi, dot l objt st la détrmiatio ds ffts d la turbulc sur ls structurs élacés écssit qu la rlatio liat ls forcs aérodyamiqus au champ d vt turbult soit liéair. Or, ls itsités d turbulc, das l cas d l'écoulmt atmosphériqu, sot gééralmt ifériurs à % doc u t v sot ptits par rapport à ls xprssios ci-dssus au voisiag d u = t v = : U, V. O put doc liéarisr d X X ( θ ) X ( θ ) + ( θ ) δθ (.6) dθ dy Y ( θ ) Y ( θ ) + ( θ ) δθ (.7) dθ d M M ( θ ) M ( θ ) + ( θ ) δθ (.8) dθ avc δθ = θ( t) θ. o put alors dévloppr θ(t) comm suit : V θ θ θ (t) = θ (.9) θ V avc (,) = u U + V + δθ arcta( ) + (,) u + (,) v U u v θ U t (,) = v U + V (.) E gardat qu ls trms du prmir ordr, o obtit: F (t) = F F (t) (.) X X + tx F (t) = F F (t) (.) Y Y + M ty (t) = M M (t) (.) Z Z + tz 7

37 hapitr s forcs aérodyamiqus 8 avc ) ( )B V (U F x X θ + ρ = (.4) (t)) u V (t) v )(U ( B ) ( (t))b v V (t) u (U (t) F X X tx θ θ ρ + θ + ρ = (.5) ) ( )B V (U F Y Y θ + ρ = (.6) (t)) u V (t) v )(U ( B ) ( (t))b v V (t) u (U (t) F Y Y ty θ θ ρ + θ + ρ = (.7) ) ( )B V (U M M Z θ + ρ = (.8) (t)) u V (t) v )(U ( B ) ( (t))b v V (t) u (U (t) M M M tz θ θ ρ + θ + ρ = (.9) Aisi, das la formulatio liéarisé ds forcs aérodyamiqus, chaqu composat st la somm d dux trms: u prmir trm costat qui dépd ds caractéristiqus du vt moy, d so icidc par rapport à la sctio t d la valur ds cofficits aérodyamiqus à l'icidc moy ; u scod trm fluctuat proportiol aux composats turbults du vt courammt applé «bufftig forc» ; c st c trm qui st à l origi du comportmt dyamiqu d la structur ; c st doc lui qui, doréavat, rtidra l sstil d otr atttio. Par la suit, o xprimra ls équatios (.5), (.7), t (.9) sous la form matricill : θ + ρ θ ρ θ + ρ θ ρ θ + ρ θ ρ = (t) w (t) v (t) u U d d V B V d d U B U d d V B V d d U B U d d V B V d d U B (t) M (t) M (t) M (t) F (t) F (t) F M M M M Y Y Y Y X X X X tz ty tx tz ty tx (.) qu l o cotractra ) (t u (t) F ad t =. orsqu la sctio st corrctmt profilé, o a vu qu ls cofficits aérodyamiqus variait quasimt liéairmt avc l'icidc du vt ; das c cas, la formulatio liéarisé ds forcs

38 hapitr s forcs aérodyamiqus aérodyamiqus st plimt justifié. Pour ls sctios mal profilés, otr formulatio st par cotr mois rpréstativ d la réalité. Aisi, à titr d xmpl, l aulatio d la dérivé du cofficit d portac du tablir d Vrrièrs (figur.5) autour d l icidc st pu sigificativ ds variatios du cofficit au voisiag d c poit, sauf à cosidérr d ifims variatios d icidcs autour d ctt positio. xpéric motr cpdat qu l icidc istataé du vt vari d plusiurs dgrés autour d l icidc moy. st pourquoi ous proposos u méthod prmttat d rmplacr ls courbs d évolutio ds cofficits aérodyamiqus foctio d l icidc du vt par ds foctios affis équivalts vis-à-vis d la répos dyamiqu d os structurs. Nous y rvidros das l chapitr 4. s cofficits aérodyamiqus statioairs pourrait, si l o poussait à fod la logiqu d l hypothès d quasi-statioarité, êtr msurés das ds coditios d écoulmt lamiair puis appliqués das ds cas d écoulmt turbult. pdat, comm o l'a déjà évoqué, o préfèr msurr cs cofficits régim turbult. a figur.7 motr, pour l tablir du viaduc d Millau, ls cofficits X, Y, M, msurés coditios lamiairs, t cux msurés écoulmt turbult. O put rmarqur qu ls différcs sot faibls. Il ous smbl importat d'appuyr sur l fait qu, mêm das ctt cofiguratio xpérimtal, ls cofficits msurés sot d simpls rapports tr prssios dyamiqus moys amot t fforts moys msurés. la sigifi qu l o rd compt, das l stimatio ds cofficits statioairs «turbults», ds caractéristiqus moys d l écoulmt proprs à so taux d turbulc (allurs moys ds zos d rcirculatio, sillag, ) mais pas d l impact différcié ds différts échlls d turbulc., , -,4 -,6 -,8 - x uiform y uiform m uiform x turbult y turbult m turbult -, Figur.7 officits statioairs du viaduc d Millau msurés vts uiform t turbult 9

39 hapitr s forcs aérodyamiqus 4 D plus, mêm plogé das u écoulmt parfaitmt lamiair, u corps mal profilé st soumis à u turbulc gééré par lui-mêm : so sillag ou «sigatur» aérodyamiqu. s otios sot priss compt via l itroductio d u foctio corrctiv s xprimat das l domai fréqutil : la foctio d admittac aérodyamiqu. tt foctio prd la valur uité pour ls tourbillos d basss fréqucs, t décroît à msur qu o s rapproch ds échlls d hauts fréqucs. O modélis aisi, pour u sctio doé, l'évolutio d la corrélatio spatial d'u champ d prssios dyamiqus foctio d la taill ds structurs tourbilloairs. Aisi, réécrivat (.) das l domai spctral, t itroduisat ls trms ) ( ij ω γ ( i = F X, F Y, M Z, j = u, v ), o obtit : ω ω ω ω γ θ + ρ ω γ θ ρ ω γ θ + ρ ω γ θ ρ ω γ θ + ρ ω γ θ ρ = ω ω ω ω ω ω ) ( w ) ( v ) ( u ) ( U d d V B ) ( V d d U B ) ( U d d V B ) ( V d d U B ) ( U d d V B ) ( V d d U B ) ( M ) ( M ) ( M ) ( F ) ( F ) ( F Mv M M Mu M M Yv Y Y Yu Y Y Xv X X Xu X X tz ty tx tz ty tx (.) qu l o cotractra ) ( u ) ( ) ( F t ω ω = ω γ. osidéros dux poits P t P d u structur vibrat ; ls foctios d admittac Γ ij,kl (ω) sot ls produits cojugués ds foctios ) ( ij ω γ au poit P t ) ( kl ω γ au poit P ; lls apparaisst das l xprssio rliat la matric d dsité itrspctral ds forcs à la matric d dsité itrspctral d la turbulc pour ctt pair d poits : ) ( ) ( ) ( ) ( t* ' u,u' F ω ω ω = ω γ γ (.) Das l cas ds pots, sul l tablir, raiso d sa profodur d'u part (désychroisatio ds tourbillos qui trasitt) t d sa ssibilité d'autr part (fort cotributio trm d forcs gééralisés), st gééralmt affcté d foctios d admittac aérodyamiqu. D plus, suls ls six foctios d admittac aérodyamiqus «o couplés» du typ Γ ij (ω) ( i = F X, F Y, M Z, j = u, v ) sot supposés o ulls.

40 hapitr s forcs aérodyamiqus Ells sot mêm souvt approchés par u sul t mêm foctio mpiriqu. Plusiurs formulatios puvt êtr utilisés (figur.8) : γ ω = ωb + π U Davport (96) : ( ) 7 7 ωb π U 7 ωb π U (.) Vickry (Holms,975): ( ω) γ = (.4) ωb + π U ipma (95): ( ω) γ = (.5) ωb + π U 'icovéit majur d cs formulatios st qu'lls sot pas associés à u typ d tablir particulir. Il st doc difficil d fair u choix a priori. 'st pourquoi il st préférabl d ls msurr soufflri via u procédur qu l o xplicitra das l chapitr suivat., Admittac aérodyamiqu,8,6,4,, Vickry ipma Davport Fréquc réduit B/U Figur.8 Modèls d foctios d admittac aérodyamiqu Das l domai tmporl, l admittac aérodyamiqu itrvit aturllmt sous form d produits d covolutio : 4