CALCUL DE LA REPONSE DYNAMIQUE DES STRUCTURES ELANCEES A LA TURBULENCE DU VENT

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1 UNIVERITÉ DE NANTE EOE DOTORAE «MEANIQUE, THERMIQUE ET GENIE IVI» DE NANTE Aé Thès d DOTORAT Discipli : cics pour l Igéiur pécialité : Géi ivil Présté t soutu publiqumt par Alxadr d la Foy 9 juillt à l Ecol tral d Nats AU DE A REPONE DYNAMIQUE DE TRUTURE EANEE A A TURBUENE DU VENT Jury : WIEGOZ hristia Profssur, Uivrsité d Nats Présidt BORRI laudio Profssur, Uivrsité d Florc Rapportur GIBERT Ré Profssur associé, IUP d Evry Rapportur BIETRY Jacqus Igéiur Ivité REMONA hristia Igéiur Ivité VIROGEUX Michl Igéiur cosultat Ivité GRIAUD Gérard Doctur Examiatur JOUVE Pirr Profssur, Uivrsité d Nats Examiatur OIVARI Domiico Profssur, Istitut Vo Karma Examiatur Dirctur d thès : JOUVE Pirr aboratoir d Géi ivil N ED 67-9

2 ommair ommair Notatios 6 Itroductio hapitr Modélisatio du vt 7. a couch limit atmosphériqu 8. aractéristiqus du modèl statistiqu 8. vt moy.4 vt turbult.4. Ecarts typs t itsité d turbulc.4. officits d corrélatio t échlls d turbulc.4. Dsités (itr)spctrals d puissac a) Dsités spctrals d puissac (cas où m = t P = P ) b) Dsités itrspctrals t foctios d cohércs 5.5 oclusio 7

3 hapitr s forcs aérodyamiqus 8. Forcs aérodyamiqus s xrçat sur u corps mal profilé.. Forcs s xrçat sur u sctio fix plogé das u flux lamiair.. Forcs s'xrçat sur u sctio fix flux turbult: approch quasi-statiqu 5.. ctio mobil, flux icidt variabl : approch quasi-statiqu 4. s forcs aéroélastiqus 44.. Formulatio mixt tmps-fréquc : cala t Tomko (97) 44.. Gééralisatio à u mouvmt qulcoqu d la sctio 46 a) Formulatio fréqutill 46 b) Formulatio tmporll ds forcs aéroélastiqus 48. détachmt tourbilloair 5.4 oclusio 54 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus 54. Msur ds cofficits statioairs 55. Msur d l'admittac aérodyamiqu 6. Msur ds cofficits aéroélastiqus par la tchiqu ds oscillatios librs 6.. Bass théoriqus 6.. Applicatio pratiqu 66.4 Méthod ds oscillatios forcés Istrumtatio d la maqutt as ds oscillatios purs Msur ds rapports d amplituds, fréqucs d oscillatios t déphasags as du mouvmt couplé Résultats 8.5 oclusio 87

4 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqus d l'ouvrag Discrétisatio élémts fiis Gééralités Mis équatios 9 a) as d u élémt 9 b) Assmblag 9 4. alcul ds mods proprs d la structur 9 4. a méthod spctral Pricip Défiitio ds rpèrs alcul d la matric d dsité spctral ds forcs turbults alcul d la matric d dsité spctral ds forcs aéroélastiqus 4..5 Mis équatios 4..6 Aalys d la stabilité 4..7 Résolutio complèt Résolutio simplifié imulatio umériqu d u sigal d vt tridimsiol spatialmt corrélé 4.4. Méthod d hiozuka 4.4. Méthod d Ji, uts t arkai (997) a) Hypothèss t otatios b) Evaluatio d la moy coditioll das l cas gééral 4 c) Evaluatio d la variabl aléatoir Y 6 d) Algorithm d résolutio omparaiso tr ls dux méthods a méthod tmporll 4.5. Mis équatio a) Formulatio ds forcs turbults b) Formulatio ds forcs aéroélastiqus c) Formulatio simplifié ds forcs aéroélastiqus 8 d) Mis équatio Résolutio du systèm das la bas modal Itroductio d simulatios tmporlls das l calcul spctral 4.6. Méthod d «liéarisatio équivalt» ds cofficits aérodyamiqus ombiaiso ds chargs modals xtrêms cas d chargs statiqus équivalts 4.7 oclusio 7 4

5 hapitr 5 Validatio xpérimtal 8 5. Préstatio ds maqutts 9 5. aractérisatio mécaiqu ds maqutts Msur ds fréqucs, amortissmts t masss gééralisés Msur ds déformés modals alcul ds déformés Récapitulatif doés xpérimtals utilisés pour l calcul umériqu aractérisatio du vt d la soufflri Dispositif xpérimtal Résultats 49 a) Profils d vitss moy t d turbulc 49 b) Echlls d turbulc t cofficits d cohérc 5 c) Récapitulatif ds résultats aractérisatio aérodyamiqu ds tablirs Msur ds déplacmts Résultats osidératios sur ls icrtituds d calcul alcul spctral 6 a) as du tablir trapézoïdal 6 b) as du tablir rctagulair 6 c) oclusio alcul tmporl oclusio 74 oclusio 75 Prspctivs 77 Bibliographi 79 5

6 Notatios B Dimsio caractéristiqu d tablir : gééral sa largur B r c h,h,h,4h,d h, d 4h Variabl aléatoir, modul d officit d amortissmt officits ds foctios idicills pour ls forcs d Mh,Mh,Mh,4Mh,d Mh, d 4Mh Ŷ r portac t ls déplacmts vrticaux officits ds foctios idicills pour ls forcs d Mα,Mα,Mα,4M α,d Mα, d 4Mα momt t ls déplacmts vrticaux officits ds foctios idicills pour ls forcs d α,α, α,4α,d α, d 4α momt t ls déplacmts agulairs officits ds foctios idicills pour ls forcs d x u x v x w y u y v y w z u z v z w portac t ls déplacmts agulairs,,,,,,,, officits d cohérc D,, M X, Y, M D F D, F, M X Y Z officits d traîé, portac, momt das u rpèr lié au vt officits d traîé, portac, momt das u rpèr local Epaissur d tablir Forcs d traîé, portac, momt das u rpèr lié au vt F, F, M Forcs d traîé, portac, momt das u rpèr local F, F, M Forcs d traîé, portac, momt moys das u X t X Y t Y t Z Z t X t Y t Z rpèr local F, F,F,M, M, M Forcs t momts liés à la turbulc du vt das u a X a Y a Z a X a Y a Z rpèr local F, F,F,M, M, M Forcs t momts aéroélastiqus das u rpèr local F f f,f,f, F α h Mα Mh Foctios idicills das l domai spctral α,f h,f Mα, f Mh Foctios idicills das l domai tmporl f c f N Fréquc Fréquc d coupur Fréquc d Nyquist 6

7 g α, g h Foctios idicills d i g, ĝ Moy coditioll ds trms u h r r * * * * * * * *,H,H,H 4,A,A,A, A 4 Déplacmt vrtical H officits aéroélastiqus adimsiols d cala H officits aéroélastiqus d cala,h,h,h 4,A,A,A, A 4 ~ h, α ~ Déplacmts vrtical t agulair siusoïdaux d pulsatios m r, û r ω m t ω ĥ,αˆ Trasformés d Fourir ds déplacmts vrtical t u v w agulair I, I, I Itsités d turbulc du vt J Jacobi K Fréquc réduit ( fait pulsatio réduit) K, K Fréqucs réduits ds déplacmts vrticaux t agulairs l, m Forcs d portac t d momt aéroélastiqus agissat sur a a a, M a ~ ~ a m, M ~ a m a m,m ~ a m, ~ a, M ~ a, M h h x u h, M x v, α, M α h, x w h 4, M y u h 4 y v,, M,, M u élémt oguur d u élémt poutr Forcs d portac t momt aéroélastiqus Forcs d portac t momt aéroélastiqus géérés par ds mouvmts d flxio t d torsio siusoïdaux Forcs d portac t momt aéroélastiqus das géérés par ds mouvmts d flxio ou d torsio siusoïdaux Forcs d portac t momt aéroélastiqus das l domai tmporl α α α4 α4 omposats ds forcs d portac t momt y w z u z v z w aéroélastiqus das l domai tmporl,,,,,,,, Echlls d turbulc m g dlt P, P' Poits d l spac Mass gééralisé Nombr d dgrés d librté total d la structur Nombr d élémts poutrs d la structur mp R jk Foctio d covariac tr la composat j du sigal m t 7

8 R u v w la composat k du sigal p Nombr d Ryolds,, pctrs ds composats u, v, w d la turbulc du vt mp jk Dsité itrspctral d puissac tr la composat j du t T t U U sigal m t la composat k du sigal p Nombr d trouhal Périod Tmps Vctur vitss istataé du vt Norm du vctur vitss moy du vt U rf Vitss moy d référc U m Vitss moy d référc à m U U ~ Vitss d vt istataé Vitss d vt istataé das u pla prpdiculair à u élémt poutr u, v, w omposats d la turbulc du vt das u rpèr lié au vt puis das u rpèr lié à u élémt poutr u, v, w omposats d la turbulc du vt das u rpèr local u, û r ièm composat du sigal tridimsiol gééré au poit r r das ls domais tmporl t spctral m m m W rj, Ŵrj omposat ds matrics W t Ŵ x, y, z Bas d projctio lié à u élémt poutr x, y, z, r x, r y, r z, x, y, z, r x, r y, r z dgrés d librté d u élémt poutr y P, z P Positios suivat ls dirctios y t z du poit P m Y, Ŷ Variabl gaussi ctré, composats d r r u, û r r z Rugosité d u sit z rf Altitud d référc α u γ v, w Déplacmt agulair γ, γ Foctios d cohérc d Davport γ, γ γ γ γ γ γ γ γ «Racis carrés» ds foctios d admittac θ Xu Yu, Mu, Xv, Yv, Mv, Xw, Yw, Mw aérodyamiqu Icidc du vctur vt das u rpèr lié à u élémt poutr θ ki Phas associé au poit k t à la fréquc i f 8

9 ξ ρ u σ v, w Amortissmt rapporté au critiqu Dsité d l air σ, σ Ecarts typs ds trois composats d la turbulc du vt σ, σ σ Ecarts typs total, dyamiqu t quasi statiqu ds déplacmts τ Ψ dy q q, Xu Xv, qs q Xw modaux Tmps utilisé das ls produits d covolutios oordoé paramétriqu ds élémts poutrs Ψ, Ψ Ψ Foctios d admittac aérodyamiqu d traîé Ψ, Ψ Ψ Foctios d admittac aérodyamiqu d portac Yu Yv, Mu ΨMv, Yw Ψ, Ψ Foctios d admittac aérodyamiqu d momt Mw ω,ω Pulsatios ds mouvmts d flxio t torsio ω Pulsatio P d Vctur ds déplacmts u poit d u élémt poutr das l d rpèr local Vctur ds déplacmts d la structur das la bas odal t l rpèr gééral d d Vctur ds déplacmts das u rpèr local Vctur ds déplacmts d u élémt poutr das la bas odal t l rpèr local g d Vctur ds déplacmts d u élémt poutr das la bas odal t E l rpèr gééral Vctur cotat ls moduls d Youg ds élémts poutrs f V, f Vcturs forcs xtériurs volumiqu t surfaciqu f t Vctur ds bufftig forcs das u rpèr local f a Vctur ds forcs aéroélastiqus das u rpèr local f t Vctur ds bufftig forcs das la bas odal t l rpèr local f a Vctur ds forcs aéroélastiqus das la bas odal t l rpèr local g f t Vctur ds bufftig forcs das la bas odal t l rpèr gééral F, F Vcturs ds bufftig forcs globaux das ls bass odal t modal t m t F a F t Vctur ds forcs aéroélastiqus Vctur ds bufftig forcs 9

10 F G Vctur ds forcs xtériurs Vctur cotat ls moduls d cisaillmt ds élémts poutrs I, I, I Vcturs cotats ls irtis surfaciqus ds élémts poutrs X Y Z m ddl Vctur cotat ls masss t irtis poctulls affctés à chaqu X Y Z dgré d librté d la structur M, M, M Vcturs cotat ls momts d flxio t torsio ds élémts Xi Yi Zi poutrs M, M, M Vcturs cotat ls momts d flxio t torsio modaux ds N N i q élémts poutrs Vctur cotat ls fforts ormaux ds élémts poutrs Vctur cotat ls fforts ormaux modaux ds élémts poutrs Vctur ds déplacmts d la structur das la bas modal Vctur cotat ls sctios ds élémts poutrs T, Vcturs cotat ls fforts trachats ds élémts poutrs X T Y T Xi, T Yi Vcturs cotat ls fforts trachats modaux ds élémts poutrs u Vctur vt tridimsiol sythétiqu x Vctur positio d u poit d u élémt poutr x Vctur ds coordoés d u œud Z j j ièm vctur propr Z j ' Dérivé du j ièm vctur propr par rapport à l absciss curvilig ε Θ ζ Vctur ds déformatios élastiqus Vctur polyomial d l icidc du vt Vctur ds forcs aéroélastiqus das l domai tmporl χ, χ χ χ χ χ Vcturs ds cas d chargs xtrêms c c c c c N,,,, TX TY MX MY c MZ A A Matric aéroélastiqu global Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr local g A Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr gééral B B Matric aéroélastiqu global Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr local

11 g B Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr gééral ad Matric ds cofficits aérodyamiqus 45 Matric polyomial ds cofficits aérodyamiqus Ψ Matric ds cofficits aérodyamiqu avc pris compt d Ψ, Ψ l admittac aérodyamiqu Matric ds cofficits aérodyamiqu avc pris compt d g a g a l admittac aérodyamiqu, K Matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus élémtairs xprimés das la bas odal t l rpèr gééral a, K a Matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus globals xprimés a a das la bas odal t l rpèr gééral Ĉ, Kˆ Matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus globals xprimés a a das la bas modal, K Matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus élémtairs D D xprimés das la bas odal t l rpèr local Matric aéroélastiqu global Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr local g D Matric aéroélastiqu élémtair xprimé das u rpèr gééral E H Matric d rigidité Matric d trasfrt m, c, k Matrics mass, amortissmt t raidur élémtairs m,c, k Matrics mass, amortissmt t raidur élémtairs associés à j j j l élémt j m j ',c j ', k j ' Matrics mass, amortissmt t raidur élémtairs associés à l élémt j isérés das ls matrics carrés ulls d dimsio dlt M,, K Matrics mass, amortissmt t raidur globals xprimés das la bas odal Mˆ, Ĉ, Kˆ Matrics mass, amortissmt t raidur globals xprimés das la bas modal

12 N Matric d itrpolatio P Matric d chagmt d rpèr pour u vctur composats P V Matric d chagmt d rpèr vt P Matric d chagmt d rpèr local-gééral Matric d dsité itrspctral élémtair d la turbulc du vt, ' V Matric d dsité itrspctral élémtair ds bufftig forcs g 'g f t,f t F Matric d dsité itrspctral ds forcs aérodyamiqus X Matric rliat ε à u W m, Ŵ m Matrics d podératio d m u t m û Φ Matric ds vcturs proprs

13 Itroductio amélioratio costat ds tchologis das l domai du géi civil t ds matériaux prmt d cocvoir ds ouvrags sas css iovats, d plus plus légrs t élacés. s pots suspdus ou à haubas sot ls rpréstats xtrêms. Il résult d ctt évolutio u ssibilité accru aux sollicitatios fluctuats du vt. s ouvrags puvt alors adoptr u comportmt vibratoir très marqué suscptibl d ls mr à la rui ou tout simplmt d' rdr l'utilisatio périllus. s buraux d étuds chargés du dimsiomt ds ouvrags ot bsoi d'itroduir das lurs calculs ls sollicitatios iduits par ls tmpêts ls plus sévèrs. Das l cas d bâtimts massifs d forms suffisammt simpls, la pris compt ds ffts du vt st stimé à partir ds règls viguur (Nig t Vt ou Eurocod) basés sur la détrmiatio d chargs statiqus forfaitairs. Das l cas d forms complxs à comportmt dyamiqu marqué, ds étuds plus poussés t prsoalisés sot écssairs, d u part pour stimr ls chargs aérodyamiqus s xrçat sur l vlopp, t d autr part pour détrmir la répos dyamiqu d la structur sous ls sollicitatios d la turbulc du vt. Différts approchs puvt êtr visagés aujourd hui : E c qui cocr la détrmiatio ds fforts s xrçat sur l vlopp d u structur, il xist dux typs d démarchs : la prmièr cosist à msurr soufflri ls fforts géérés par l vt sur ds maqutts rigids d sctio costat applés "maqutts sctiolls" ; la scod cosist à calculr umériqumt cs mêms fforts à l aid d cods.f.d. (omputatioal Fluid Dyamics) basés sur la résolutio discrèt ds équatios d Navir-toks. i ctt scod approch st pli ssor t s aoc promttus, la prmièr rst aujourd hui, t pour, sas dout, qulqus aés cor, la plus opératioll.

14 Pour stimr l amplitud ds déplacmts, étap obligatoir avat l calcul ds cotraits, dux typs d méthods sot actullmt utilisés : la plus pragmatiqu cosist à msurr dirctmt cs déplacmts soufflri sur ds maqutts dits "aéroélastiqus" rproduisat, à échll réduit, ls comportmts aérodyamiqu t mécaiqu d la structur étudié ; la scod, plus théoriqu, cosist, das u prmir tmps, à msurr ls caractéristiqus aérodyamiqus d la structur à l aid d maqutts sctiolls, pour stimr suit, à l aid d u cod d calcul ds structurs, la répos d l'ouvrag complt à ds coditios d vt doés. st ctt drièr approch qu ous avos dévloppé t xposos das l prést mémoir. Il s agit tout d abord d s itérssr à la modélisatio du vt aturl turbult das la parti bass d l'atmosphèr: la couch limit atmosphériqu. Pour défiir c procssus tridimsiol fortmt aléatoir, ous utilisos u crtai ombr d outils statistiqus prmttat d'itégrr ls corrélatios adéquats das l tmps t das l spac. Nous somms alors amés à substitur la dimsio fréqutill ou spctral à la dimsio tmporll. st l objt d otr prmir chapitr. Das u scod chapitr, ous préstos ds modèls qui prmttt, à partir d la bo coaissac du vt au voisiag d la structur t d la caractérisatio aérodyamiqu ds profils trasvrsaux d l vlopp d l ouvrag étudié, d obtir u stimatio ds forcs s xrçat sur la structur. Nous vrros qu ds forcs d différts aturs sollicitt dyamiqumt ls ouvrags : ls forcs fluctuats dirctmt liés au caractèr turbult du vt souvt applés bufftig forcs; o y associ la otio d'admittac aérodyamiqu rpréstat l'impact différcié ds structurs tourbilloairs suivat lur taill; ls forcs dits aéroélastiqus gdrés par ls mouvmts d la structur pouvat êtr rsposabls d'u comportmt istabl d la structur; ls forcs liés à u phéomè aérodyamiqu propr aux corps mal profilés t élacés : l détachmt tourbilloair. Nous cosacros l troisièm chapitr aux différts tchiqus xpérimtals prmttat d caractérisr ls propriétés aérodyamiqus ds profils trasvrsaux ds structurs élacés. s méthods d msur ds bufftig forcs t d l'admittac aérodyamiqu sot brièvmt préstés. O isistra plus particulièrmt sur dux tchiqus xpérimtals prmttat d caractérisr ls forcs aéroélastiqus : la tchiqu ds oscillatios librs t cll ds oscillatios forcés. a drièr a été l objt d u publicatio à l occasio d u cogrès du Wid Egirig (d la Foy, ). Nous préstos ls résultats obtus pour dux profils d tablirs. s résultats srot utilisés par la suit lors d otr procédur d validatio. 7

15 quatrièm chapitr costitu la pirr agulair d os travaux. Nous y motros commt, à partir d la coaissac ds forcs aérodyamiqus s xrçat sur la structur, ous résolvos umériqumt l problèm mécaiqu posé. Dux méthods, s appuyat sur u discrétisatio élémts fiis d la structur, sot dévloppés t préstés : la méthod spctral, d atur statistiqu, st basé sur la résolutio ds équatios d la mécaiqu das l domai fréqutil; la méthod tmporll, smi-détrmiist, st basé sur la géératio d u sigal d vt sythétiqu spatialmt corrélé, t la résolutio ds mêms équatios, ctt fois das l domai tmporl. Efi, das l drir chapitr, ous préstos la procédur mis plac pour validr ls cods dévloppés. Pour cla, ous plaços soufflri dux maqutts aéroélastiqus, rpréstat ds través ctrals d tablirs d pots, t msuros la répos dyamiqu pour différts cofiguratios d vt. Ds calculs sot alors ffctués, avc, coditios d tré, ls caractéristiqus du vt msurés soufflri, ls caractéristiqus mécaiqus d la structur, t ls propriétés aérodyamiqus d la structur préstés au chapitr. Nous procédos alors à u aalys comparativ ds différts méthods d calcul umériqu avc ls résultats obtus xpérimtalmt, t ttos d mttr évidc, d'u part l ifluc ds différts paramètrs d tré sur ls résultats obtus umériqumt, puis, das u duxièm tmps, d'autr part ls forcs t limits d applicatio ds différts approchs. Précisos qu otr travail s iscrit das la cotiuité d ombrux travaux réalisés sur l sujt dpuis u quaratai d'aés. E fft, ds approchs spctrals ot été proposés dès 96 par A. Davport pour calculr la répos ds structurs élacés à la turbulc du vt. 'applicatio au calcul spctral du cocpt d forcs aéroélastiqus, issu d l'aéroautiqu, fut iitié 97 par R.H. cala. M. Attou dévloppa au TB, das l cadr d'u thès d doctorat soutu 994, u prmir modul d calcul spctral lagag Fortra. a géométri ds structurs était limité à dux dimsios, la vitss moy du vt horizotal t ls forcs aéroélastiqus égligés. U modul tmporl fut égalmt élaboré dot ls limits était similairs à clls du modul spctral. sigal d vt, bidimsiol, était gééré par u programm basé sur l algorithm d hiozuka. D 994 à 997, P. Bourcir, succssur d M. Attou, s'st sstillmt attaqué au problèm d la modélisatio ds ffts aéroélastiqus t d lur itroductio das ds cods d calcul spctral t tmporl. Il 'a cpdat pas fialisé ss travaux t laissé drrièr lui ds programms difficilmt xploitabls. Parallèlmt, A. Patro-olars dévloppa au P u smbl d moduls d calculs spctraux t tmporls itégrat ls modèls d forcs aéroélastiqus proposés par cala. 8

16 Notr tâch a d'abord cosisté à rprdr amot l travail tamé par P. Bourcir. Nous avos suit fait l choix d rdévloppr tièrmt ls outils spctraux t tmporls sous l'viromt Matlab. E outr, ls élémts suivats ot été itroduits: U défiitio multizoal ds caractéristiqus du vt turbult; U géératur d procssus tmporl tridimsiol plus prformat qu l précédt basé sur ls travaux d Ji t al. (997); U méthod d'optimisatio d la liéarisatio ds forcs aérodyamiqus das l'optiqu d calculs spctraux; a pris compt d l'admittac aérodyamiqu das ls moduls spctraux t tmporls; a réll pris compt d l icidc du vt t d la déformé statiqu ; U méthod d combiaiso ds chargs modals xtrêms t calcul d chargs statiqus équivalts à l'ittio ds buraux d'étuds. Notr travail st doc sstillmt axé sur l calcul umériqu ds déplacmts ds structurs élacés soumiss à la turbulc du vt. Nous l avos cpdat iscrit das l cotxt plus gééral d la pris compt ds ffts du vt das l dimsiomt ds grads ouvrags, dpuis l étud climatologiqu du sit d implatatio jusqu à l stimatio ds cotraits xtrêms s xrçat au si d la structur. Itrvidrot doc tout au log du mémoir ls disciplis suivats : climatologi, aérodyamiqu, mécaiqu ds vibratios t résistac ds matériaux. 9

17 hapitr Modélisatio du vt Tous ls ouvrags du géi civil sot tièrmt situés das la plus bass couch d l'atmosphèr applé couch limit atmosphériqu. A ctt altitud, l vt, très fluctuat das l tmps t das l'spac, st courammt assimilé à u procssus aléatoir tridimsiol. O st doc aturllmt amé à utilisr ds approchs statistiqus pour modélisr ss fluctuatios. Aisi, l'objt d c prmir chapitr st d préstr u séri d'outils statistiqus prmttat d caractérisr l vt turbult au voisiag ds structurs d géi civil. Nous vrros qu'il st alors commod d substitur à la dimsio tmporll, la dimsio fréqutill ou "spctral". tt otio sstill rvidra suit comm u litmotiv das otr travail. 7

18 hapitr Modélisatio du vt. a couch limit atmosphériqu Pour u altitud supériur à qulqus ctais d mètrs, la vitss du vt résult d l itractio tr ls forcs d oriolis gdrés par la rotatio d la trr t ls forcs créés par l champ d prssio atmosphériqu. a turbulc st prsqu ull. Pour u altitud ifériur à mètrs viro, là où s trouvt ls ouvrags d'art, ls forcs d frottmt dus à la rugosité du sol t ls phéomès thrmiqus dvit prépodérats vis-à-vis ds forcs d oriolis ; ils gdrt ds fluctuatios d la vitss du vt, das l tmps t das l spac, suscptibls d xcitr ls structurs soupls. tt zo st courammt ommé couch limit atmosphériqu. E réalité, sul l champ d vt à proximité dirct d l ouvrag étudié itérss otr travail. pdat, mêm aisi réduit, la zo d étud rst difficil à caractérisr. O comprd bi qu u approch xpérimtal prmt d accédr simultaémt qu à u ombr très limité d poits d l spac. s cods d calcul, résolvat ls équatios d la mécaiqu ds fluids das u spac t u tmps discrétisés, prmttt bi, théori, d accédr aux caractéristiqus du vt tout poit du tmps t d l spac ; sulmt, la complxité géométriqu d la structur étudié, additioé à cll d u viromt qu o put pas igorr, rd, cor aujourd hui, ls tmps d calcul rédhibitoirs. Ds modèls mathématiqus, sstillmt statistiqus, ot doc été dévloppés, prmttat d caractérisr l vt par u ombr limité d paramètrs, accssibls par la msur, t jugés suffisammt prtits pour prmttr d déduir la réactio d u ouvrag soumis à so ifluc.. aractéristiqus du modèl statistiqu aalys spctral d la vitss du vt das la couch limit turbult, caractérisat la distributio fréquc d so érgi, prmt d mttr évidc plusiurs échlls d fluctuatio. a 4 jours h. mi. h. mi. /T Figur. - pctr d Va dr Hov 8

19 hapitr Modélisatio du vt a figur. motr l allur d u spctr d dsité d puissac rpréstatif d la vitss horizotal du vt à mètrs au dssus du sol d après Va dr Hov, 957. O costat qu u parti importat d l érgi st distribué autour d'u périod d l ordr d la miut, corrspodat à l échll ds mouvmts turbults. O obsrv égalmt u trou d érgi pour ds périods compriss tr miuts t u hur. Par coséqut, sur u périod iclus das c trou d érgi, la vitss du vt st localmt assimilabl à u procssus statioair. O put doc aussi cosidérr la vitss du vt comm la somm d u composat moy t d u composat fluctuat. a figur. rprést u rgistrmt d la vitss du vt sur 5 miuts. Figur. igal d la composat logitudial du vt sur ciq miuts Pour ds raisos d commodité, l vctur vitss du vt st modélisé par u procssus supposé x, y, z où x st parallèl au flux gaussi, statioair t rgodiqu. Aisi, par rapport à u bas ( ) moy t z st gééralmt vrtical, la vitss du vt tout poit du sit put s'écrir : U = (U + u) x + v y + w z (.) U w v y z x U u Figur. - Décompositio du vctur vitss du vt U procssus aléatoir st dit statioair si sa structur d probabilité st ivariat vis-à-vis d u chagmt d l origi ds tmps. hypothès d rgodicité prmt d rmplacr ds moys d smbl par ds moys tmporlls sur u réalisatio uiqu du procssus. 9

20 hapitr Modélisatio du vt U st la vitss moy au poit cosidéré ; ll caractéris la vitss à laqull sot covctés ls tourbillos; u, v, w sot trois procssus gaussis statioairs ctrés rpréstat ls fluctuatios du sigal autour d la moy ; ils caractérist ls variatios d la vitss du vt dus aux passags ds tourbillos.. vt moy E aval d u sit rlativmt homogè (étdu d mr, bois, vill), o put cosidérr qu la dirctio moy du vt st idtiqu tout poit t qu so modul dépd qu d la hautur. Différts lois d variatio puvt alors êtr visagés : a loi logarithmiqu, fodé sur la théori d la couch limit do : U ( z ) z z rf = l l U rf z z (.) où z st la hautur du poit cosidéré au dssus du sol, z l paramètr d rugosité xprimé mètrs, U rf u vitss d référc à la hautur d référc z rf. A titr d xmpl, l tablau ci-dssous idiqu ls ordrs d gradur proposés par Bitry t al. (978) : it lass z (m) Océas t grads lacs I, -, Aéroport, ras campag II, -, Bocag, baliu III, -,5 Zos urbais IV,5 -,5 Très grad vill V,5 -,5 Tablau. - officits z caractérisat la rugosité du sit orsqu la couch limit atmosphériqu st pas bi dévloppé, u loi puissac mpiriqu put êtr utilisé : α z U (z) = U rf (.) z rf

21 hapitr Modélisatio du vt où U rf st la vitss à la hautur z rf, t α u xposat sas dimsio dépdat d la rugosité du sit. tablau ci-dssous do u idé d l équivalc α-z : z (m),5,7,,,5 α,,5,,5,5 Tablau. officits α.4 vt turbult O ot (u, v, w) l vctur rpréstat ls composats fluctuats d la vitss du vt ; u rprést la composat logitudial parallèl au flux moy, w la composat vrtical t v st la composat latéral. Il s agit alors d décrir ls variatios tmporlls t spatials ; cs drièrs jout u rôl sstil das l étud ds structurs élacés dot la taill put êtr largmt supériur aux dimsios caractéristiqus ds tourbillos. hacu ds composats u, v, w, u poit d l spac doé, sra modélisé par u procssus gaussi ctré, statioair t rgodiqu. Nous pourros aisi appliqur u crtai ombr d outils statistiqus prmttat d ls caractérisr das l spac t das l tmps..4. Ecarts typs t itsité d turbulc O caractéris tout d'abord l'érgi ciétiqu fluctuat massiqu moy du flux par l'écart typ d chaqu composat turbult: σ um ( ) = T P u m (P, t) dt u m = u, v, w (.4) T où T st la duré d obsrvatio du sigal. Pour T d l ordr d miuts, o a vu qu l vt pouvait êtr assimilé à u sigal statioair. O costat xpérimtalmt qu cs écarts typs sot proportiols à la vitss moy U. O rmarqu égalmt qu, pour ds sits suffisammt homogès, ils sot idépdats d la positio spatial t, particulir, dépdt pas d l altitud z. Par cotr, ils augmtt avc la rugosité du sol. O utilis plus souvt ls otios altrativs d itsités d turbulc. Adimsiolls, lls sot défiis par:

22 hapitr Modélisatio du vt I u σu =, U I v σv =, U I w σw = (.5) U.4. officits d corrélatio t échlls d turbulc D u maièr gééral, afi d traduir la cocomitac tr dux composats d la vitss du vt dux poits P t P t à dux istats t t t+τ, o itroduit la otio statistiqu d itr-corrélatio défii par : ρ um,u T P m ) dt u m, u = u, v, w (.6) T (, P', τ) = u (P, t) u (P', t + τ vérifiat otammt la doubl iégalité σ um σ u < ρ um,u < σ um σ u Das la plupart ds cas, o s limit au cas où m = ; o parl alors d corrélatios spatials (τ = ), tmporlls (P = P ), ou spatio-tmporlls (τ, P P ) pour u composat d vt doé. O défiit, à partir d cs drièrs, ls otios d échlls d turbulc. lls-ci ot u doubl sigificatio: physiqu : ls dimsios ds tourbillos ls plus érgétiqus das chaqu dirctio ; mathématiqu : la distac, das chaqu dirctio, à partir d laqull la corrélatio tr dux sigaux dvit égligabl. O écrit aisi: ( ) x U u P = ρ u τ τ m σ m,u m (P, P, ) d u m = u, v, w (.7) u m ( ) y u P = ρ (y P, y P + y, ) d y u m um,um m = u, v, w (.8) σ u m ( ) z u P = ρ (z P, z P + z,) d z u m um,um m = u, v, w (.9) σ u m O put s dmadr pourquoi la défiitio d x diffèr d clls ds um y um, z um. a raiso st doubl : d'abord il st délicat d'u poit d vu xpérimtal d placr dux apparils d msur l'u drrièr

23 hapitr Modélisatio du vt l'autr pour ds problèms évidts d sillag ; suit, ls gradurs y um, z um itrvit ffctivmt par la suit pour caractérisr ds dgrés d corrélatio tr dux poits d l'spac tadis qu la gradur x itrvit plutôt tat qu'idicatur d corrélatio tmporll u poit doé. um Ivrsmt, la coaissac xpérimtal ds valurs spatial par la formul mpiriqu suivat: x um, y um, z um, prmt d stimr la corrélatio ρ um,um x y z ( P, P',) xp + + u x y z m = u, v, w (.) um um um x = x P x P' y = y P y P ' z = z P z P '.4. Dsités (itr)spctrals d puissac Plutôt qu d travaillr dirctmt avc ls foctios d corrélatio défiis (.6), o préfèr maipulr lurs trasformés d Fourir, applés dsités (itr)spctrals d puissac. sot lls qui itrvidrot das l calcul umériqu d la répos à la turbulc ds structurs élacés. Das l cas particulir où m = t P = P, o parl simplmt d dsité spctral d puissac; cll-ci rprést la répartitio fréqutill d l érgi turbult u poit P doé t pour u composat m doé. Das ls cas plus gééraux où m t/ou P P, ls dsités itrspctrals d puissac idiqut, pour chaqu gamm d fréquc, avc qul dgré d corrélatio l érgi ciétiqu st fouri à dux sigaux disticts. a) Dsités spctrals d puissac (cas où m = t P = P ) Das c cas précis, o défiit la foctio dsité spctral d puissac par : i π fτ = ρ u m,u m ( τ) d u (f ) τ u m = u, v, w (.) m omm ρ um,u st u foctio pair, m um st u foctio à valurs rélls. Mais, comm touts ls dsités spctrals d puissac, ll vérifi surtout la propriété suivat : + () df = σ u m = u, v, w (.) um um

24 hapitr Modélisatio du vt a form typiqu du spctr d la composat u st rprésté figur.4. O idtifi trois régios caractéristiqus : u régio d basss fréqucs, associé aux grads tourbillos aisotrops (dot l comportmt st différt das ls trois dirctios d l'spac) qui dépdt fortmt ds coditios xtériurs, u régio d moys fréqucs, coctrat l sstil d l érgi, associé aux structurs tourbilloairs issus d la désagrégatio ds gros tourbillos par ls forcs d cisaillmt, u régio d hauts fréqucs, associé à u turbulc isotrop, dot l érgi st covrti chalur par dissipatio visquus, applé domai d équilibr uivrsl. Figur.4 - pctr d la composat logitudial d la vitss du vt Différts formulatios sot proposés das la littératur pour approchr ctt distributio u m. s Productio Dissipatio d érgi Trasfrt d érgi d érgi Gros Tourbillos Domai d équilibr f tourbillos érgétiqus uivrsl plus courammt utilisés sot, pour la composat u, clls d : Vo Karma (948) : (f ) = Kaimal (97) : (f ) = imiu (974) : (f ) = 4 ( x ) x u u + 7,7 ( f / U) u 7z / U / U u ( + fz U) z / U u ( + 5fz U) 5 5 σ σ u u 5 6 σ u (.) (.4) (.5) 4

25 hapitr Modélisatio du vt Davport (96) : (f ) =,65. / U ( m ) m u + ( f U ) 5 σ u (.6) Pour v t w, ls formulatios proposés l plus gééralmt sot : Vo Karma: v (f ) v v x 88,4 f x 4 + U U = σ 6 v w (f ) = σ w 6 v x w x + 7,7 f U w w x 88,4 f x 4 + U U + 7,7 f U (.7) Kaimal : (f ) = v 4,z / U ( + 9,5fz U) 5 σ v w,4z / U (f ) = σ (.8) ( + 5,fz U) 5 w imiu : (f ) = v,5z / U ( + 9,5fz U) 5 σ v w,56z / U (f ) = σ (.9) ( + fz U) 5 w i l'o s'amus à itégrr cs foctios sur [ + ], o s'aprçoit qu la rlatio (.) 'st pas vérifié. 7 Par xmpl, l'itégratio aalytiqu d (.4) do σ u. la 'st pas bi grav das la msur où o chrch jamais à modélisr l'itégralité du spctr mais uiqumt la plag suscptibl d'xcitr u structur soupl. b) Dsités itrspctrals t foctios d cohércs Etr dux poits, t pour u composat m doé, la dsité itrspctral d puissac s xprim : + iπfτ u (P, P', f ) = ρ (P, P', τ) dτ (.) m u m,u m a parti imagiair d ctt foctio complx, doat ds iformatios sur l déphasag tr ls dux sigaux cosidérés, st gééralmt igoré das ls calculs. O s cott doc d fair itrvir so modul, dirctmt rlié aux spctrs ds dux composats par u foctio dit d cohérc γ u : m 5

26 hapitr Modélisatio du vt (P, P',f ) um γ u (P, P', f ) = u m m = u, v, w (.) (P, f ) (P', f ) u m u m tt foctio st assz mal cou car ls rgistrmts d vt motrt trop d disprsio pour bâtir u modèl précis. Néamois, la formulatio gééralmt rtu st cll d Davport (968) : f Z x x y y z z γ u m (P, P',f ) = xp[ u ( ) u ( ) u ( ) ] U m + Z m + Z m u m = u, v, w (.) Z où Z st la hautur moy tr ls poits P t P. s cofficits x, um y, um z sot applés um cofficits d cohérc. Adimsiols, lurs valurs habitulls sot d l ordr d à pour la composat u, d 5 à 5 pour v, t d à 5 pour w. E théori, lur dscriptio écssitrait u msur par coupl d poits. Toutfois, pour ds raisos pratiqus, cci 'st jamais fait. O cosidèr gééralmt u poit fix, l'autr poit balayat l'spac. s valurs rtus sot ls moys ds différts valurs ds cofficits obtus au cours d la scrutatio. Pour u mêm poit, t tr dux composats m t doés, o put égalmt défiir u foctio d cohérc prmttat d calculr la dsité itr-spctral d puissac. O rmarqu xpérimtalmt qu suls ls composats u t w préstt u foctio d cohérc o égligabl. ll-ci st défii par (Attou, 994): (P,f ), u,w γ u,w (P,f ) = (.) u (P,f )w (P,f ) x (,47 +,44 log(z),6log(z) ) +,4(f u U) Etr dux poits P t P, o put défiir u foctio d cohérc par : u,w (P, P',) ωz x y z x y z ( P, P' ω) = xp u, w ( ) + u, w ( ) + u, w ( (.4) π U Z Z Z u (P, )w (P',) γ u,w ) i avc f (,,z, ) u,w = i u i w x u 6

27 hapitr Modélisatio du vt Aisi, pour chaqu coupl d poits d l spac P t P, o put défiir u matric d dsité itrspctral d puissac s écrivat : u,u' ( v,u' ) w,u' u (P, P' ) = ( u,v' ) v,v' ( w,v' ) (.5) u,w ' ( v,w ' ) w,w' où tous ls trms tr parthèss sot supposés uls faut d modèls appropriés..5 oclusio s modèls préstés das c chapitr apportt u répos au problèm d la modélisatio d la répartitio fréqutill t spatial d l'érgi du vt. O vrra das ls chapitrs suivats qu c typ d modélisatio st tout à fait adapté pour détrmir ls ffts du vt sur ds structurs élacés d grads dimsios. Das l cas ds ouvrags xcptiols pour lsquls l'fft du vt st dimsioat (pot d Rio- Atirio Grèc ou Viaduc d Millau par xmpl), ls différts cofficits du modèl sot établis par u étud spécifiqu pouvat iclur ds msurs sur sit, ds ssais sur maqutt topographiqu soufflri atmosphériqu ou ds simulatios umériqus. s étuds puvt êtr rlativmt coûtuss t doc, pour ds projts d moidr vrgur, ou mois ssibls aux ffts du vt, o put s cottr d stimr ls différts valurs caractéristiqus du vt à partir d étuds ffctués sur ds sits similairs ou ds doés issus d la littératur. 7

28 hapitr s forcs s forcs aérodyamiqus aérodyamiqus Après avoir défii u modèl prmttat d qualifir l champ d vitss du vt sur u sit doé, ous allos ous itérssr à la modélisatio ds fforts éolis s xrçat sur u ouvrag placé das c sit. U tl ouvrag st soumis à u champ d prssio dot l itégratio sur u surfac doé prmt d calculr ds fforts résultats. a prmièr tâch affcté à l outil umériqu qu ous allos dévloppr sra d déduir ds caractéristiqus spatio-tmporlls du vt la répartitio spatial ds fforts résultats t lur évolutio das l tmps. s structurs élacés, dot fot parti ls pots suspdus t à haubas, préstt l avatag d êtr facilmt modélisabls via u discrétisatio élémts fiis d typ «poutr», d caractéristiqus mécaiqus t aérodyamiqus doés ; ls fforts résultats srot alors calculés par itégratio d fforts liéiqus sur cs poutrs élémtairs. s fforts liéiqus sot préalablmt msurés soufflri sur d simpls troços à échll réduit, d sctios costats, t d loguurs suffisammt importats pour margialisr ls ffts d bouts : c qu l o appllra par la suit ds maqutts «sctiolls». s sctios ds ouvrags vrai gradur état gééralmt variabls, autat d sctios sigificativs qu écssair dvrot êtr tstés, compt tu d la précisio d calcul attdu. tt tâch pourra égalmt êtr accompli à l aid d outils umériqus d typ FD (omputatioal Fluid Dyamics) ; ous y rvidros plus loi. Das l cas l plus trivial d u structur fix soumis à u flux icidt lamiair t costat, o modélis simplmt ls forcs aérodyamiqus, via l itroductio d cofficits adimsiols, caractéristiqus d la form d la sctio t d so icidc par rapport à la dirctio d l écoulmt. Pour chaqu icidc d vt, o établit aisi u rlatio, gééralmt liéair, tr la prssio dyamiqu amot t ls forcs aérodyamiqus. 8

29 hapitr s forcs aérodyamiqus Das l cas d u structur réll, l'écoulmt icidt st turbult t géèr doc ds sigaux d forcs fluctuats. O vrra qu l utilisatio ds cofficits évoqués précédmmt, bi qu ttat, st alors mois approprié ; o itroduit doc u ouvll otio prmttat d modélisr la décroissac d corrélatio spatial du vt autour d'u trach d structur à msur qu ls fluctuatios dvit plus rapids : l admittac aérodyamiqu. D'autr part, trat vibratio sous l'fft d la variatio tmporll ds forcs xtériurs, l'ouvrag modifi la structur du flux qui l'viro t par coséqut ls forcs aérodyamiqus. ci sra modélisé par l itroductio d forcs supplémtairs dits d'auto-xcitatio ou aéroélastiqus slo l modèl proposé par cala. Efi, à l'istar d la plupart ds corps mal profilés, ls tablirs d pots puvt êtr soumis, lorsqu l flux icidt 'st pas trop turbult, à ds sollicitatios périodiqus dus à u phéomè applé détachmt tourbilloair. Nous préstros qulqus modèls prmttat d modélisr cs sollicitatios. pdat, cux-ci srot pas itégrés das ls cods d calcul dévloppés par la suit. 'smbl ds modélisatios préstés das c chapitr srot faits das l'optiqu d lur utilisatio par ls dux moduls du cod d calcul qu ous dévloppos : l'u, d atur statistiqu, basé sur u résolutio ds équatios d la mécaiqu das l domai fréqutil, l'autr, d atur istatioair, basé sur u résolutio ds mêms équatios, mais das l domai tmporl. prmir préstra comm avatag sstil d'êtr écoomiqu trm d tmps d calcul t facil à maipulr. scod, plus lourd, prmttra otammt d miux prdr compt l caractèr o liéair d l'évolutio ds cofficits aérodyamiqus foctio d l'icidc du vt t d appréhdr ls phéomès d'istabilités aérodyamiqus.

30 hapitr s forcs aérodyamiqus. Forcs aérodyamiqus s xrçat sur u corps mal profilé.. Forcs s xrçat sur u sctio fix plogé das u flux lamiair osidéros u sctio d tablir fix, d largur B t d hautur H, placé das u écoulmt bidimsiol lamiair, statioair t caractérisé par u vctur vitss amot U compris das l pla d la sctio (fig..). lo la form du profil t l icidc par rapport à l écoulmt, ds zos caractéristiqus dits d rcirculatio sot géérés par u décollmt du flux au ivau ds agls d attaqu t s dévloppt d faço plus ou mois stabl t marqué. lo ls cas, ctt zo put rssmblr à u bulb, caractérisé par u poit d rcollmt sur l profil, comm ll put s cofodr avc la zo dit d sillag s dévloppat aval d la sctio. Etr ls zos d rcirculatio ou d sillag t l écoulmt libr s dévlopp u couch d cisaillmt caractérisé par u fort gradit vrtical d vitss t u taux d turbulc élvé. sillag, lui, st composé d tourbillos plus ou mois bi orgaisés dot la dimsio caractéristiqu st fixé par H. Zo d rcirculatio ouch d cisaillmt illag ouch d cisaillmt B H Figur. Ecoulmt lamiair autour d u corps o profilé : ligs d courat t prssios pariétals moys

31 hapitr s forcs aérodyamiqus Pour u ombr d Ryolds suffisammt grad (> 4 ), cs tourbillos puvt êtr covctés d maièr périodiqu t sot alors baptisés tourbillos d Vo Karma : o parl alors d échappmt tourbilloair. a périodicité d c phéomè, dot l procssus d créatio st cor mal cou, st caractérisé par l ombr d trouhal : f H t = (.) U où H st la hautur du tablir t f la fréquc caractéristiqu du détachmt tourbilloair. Pour u tablir d pot c ombr vari tr, t,. Nous rvidros à c phéomè plus loi. itégratio ds valurs d prssio sur u trach d tablir, d sctio costat, fourit la valur ds fforts résultats s xrçat sur ctt trach : u ffort d traîé F D (drag) das la dirctio du flux moy, u ffort d portac F (lift) prpdiculair au flux t u momt d torsio M autour d l'ax prpdiculair au pla d la sctio. O itroduit alors ls cofficits adimsiols suivats : D = FD ρbu = F ρbu M M = (.) ρ B U où ρ rprést la mass volumiqu d l'air, B u dimsio caractéristiqu d la sctio ( gééral la largur), la loguur d la trach, t U la vitss du flux icidt. Y y + X θ + x U M D Figur. Rpèrs d projctio ds cofficits aérodyamiqus ombr d Ryolds R = UH/ν, où U rprést la vitss moy du flux, H u dimsio trasvrsal caractéristiqu d l obstacl, t ν la viscosité du fluid, traduit l rapport tr forcs d irti t forcs dissipativs. a valur coditio largmt l régim d l écoulmt, particulir lorsqu l obstacl st dépourvu d arêts vivs.

32 hapitr s forcs aérodyamiqus s cofficits, applés cofficits aérodyamiqus statioairs, puvt êtr msurés soufflri sur ds maqutts sctiolls (cf. chapitr ). Ils dépdt d la form d la sctio, d so icidc par rapport au flux t du ombr d Ryolds d l'écoulmt au voisiag d la sctio. O sait toutfois qu pour ds ombrs d Ryolds élvés, t pour ds sctios pu profilés, ctt drièr dépdac st assz faibl. E coséquc, ls fforts géérés sur la sctio sot proportiols au carré d la vitss U du flux icidt..4.. x y m. R ( 5 ).5.5 Figur. Ifluc du ombr d Ryolds sur ls cofficits statioairs du tablir du pot d ait-nazair O préfèr l plus souvt xprimr ls forcs t cofficits associés das u rpèr lié à la sctio étudié. s D t sot alors covrtis X t Y par u simpl combiaiso liéair : X ( θ) = D cos θ si θ (.) Y ( θ) = D si θ + cosθ (.4) s figurs.4 à.6 illustrt l évolutio d cs cofficits foctio d l icidc du vt pour trois typs d profils d tablirs. O put rmarqur qu pour u tablir profilé, ls cofficits aérodyamiqus varit quasi liéairmt avc l'icidc. Pour u viaduc frroviair, baucoup plus massif, ou u bipoutr, mois bi profilé, ctt liéarité 'st plus du tout vérifié, particulir pour Y. omm o l vrra par la suit, l calcul dyamiqu par approch spctral écssit u xprssio liéair ds cofficits aérodyamiqus foctio d l icidc du vt. la ous amèra à proposr u méthod prmttat d liéarisr «itlligmmt» ds courbs fortmt o liéairs.

33 hapitr s forcs aérodyamiqus θ x y m - -. Figur.4 officits aérodyamiqus d u tablir profilé : viaduc d Millau x y m θ Figur.5 officits aérodyamiqus d u tablir o profilé : viaduc d Vrrièrs x -.4 y -.6 m θ -.8 Figur.6 officits aérodyamiqus d u tablir bipoutr : pot du Tag 4

34 hapitr s forcs aérodyamiqus.. Forcs s'xrçat sur u sctio fix flux turbult: approch quasi-statiqu O put évidmmt pas s cottr d u modélisatio ds forcs aérodyamiqus s appliquat qu au cas trivial d u vt d vitss t d icidc costats. Toutfois, das u prmir tmps, o s limit à u approch dit «quasi-statiqu» slo laqull, à u istat t doé, ls fforts xrcés par u sigal d vt fluctuat sot ls mêms qu cux qui srait xrcés par u sigal costat d mêm amplitud à ct istat t. pdat, appliqur ctt hypothès brutalmt, rvit à égligr l'impact du dgré d turbulc sur la faço dot l'écoulmt moy cotourra l'obstacl ; ls positios ds poits d décollmt t d rcollmt pourrot fft êtr très affctés t par là-mêm ls fforts moys s'xrçat sur l'obstacl. Ds ssais sur maqutts sctiolls ffctués vt turbult prmttt d réglr c problèm rmplaçat ls cofficits moys "lamiairs" par ds cofficits moys "turbults". Mais appliqur l'hypothès d quasi-statioarité, rvit surtout à égligr la atur mêm d l'écoulmt turbult. lui-ci put fft êtr assimilé à u smbl d structurs tourbilloairs d'échlls variabls dot l comportmt fac à u obstacl sra égalmt variabl. s structurs d grad taill par rapport à l'obstacl srot pu prturbés par so frachissmt ; à l'ivrs, ls ptits structurs srot sériusmt désorgaisés. Aisi, ls cofficits moys sot icapabls d différcir l'impact ds différts échlls tourbilloairs sur l'obstacl. E d'autrs trms, ils prmttt pas d fourir ds iformatios préciss sur la faço dot l'érgi éoli sra covrti érgi sollicitat das l domai fréqutil. Hurusmt, l sstil d l érgi éoli st gééralmt coctré das ds structurs tourbilloairs dot ls dimsios caractéristiqus sot d l ordr d qulqus dizais d mètrs c stà-dir plusiurs fois la taill d u élémt d pot classiqu. O put doc raisoablmt assimilr l flux turbult à u flux «localmt lamiair variabl» t, par coséqut, accptr l hypothès d quasi-statioarité das u prmir tmps. Mais il faudra bi gardr à l sprit qu à msur qu l taux d turbulc augmt, d u part, t qu l spctr d puissac s décal vrs ls hauts fréqucs, d autr part, ctt hypothès prd d sa prtic. Nous srot alors amés à itroduir u ouvll otio corrctiv : cll d admittac aérodyamiqu 5

35 hapitr s forcs aérodyamiqus Mais rstos pour l momt das l cadr d ctt hypothès t cosidéros l vctur vitss istataé U (t) qu'aurait l flux au ctr d gravité d la sctio, l'absc d ctt drièr, U ~ la orm d la composat d U (t) compris das l pla d la sctio t θ(t) l'agl qu fait ctt composat avc l ax x du rpèr lié à la sctio. O écrit alors: BU ~ FX (t) = ρ (t) X ( θ(t)) (.5) BU ~ FY (t) = ρ (t) Y ( θ(t)) (.6) U ~ M Z (t) = ρb (t) M ( θ(t)) (.7) O xprim à prést ls composats du vctur vt das u bas (x, y, z) lié à la structur, où (x, y) défiit u bas du pla cotat la sctio cosidéré. Aisi, l vctur vitss istataé U (t) s'écrit: U(t) = U (t) x + V (t)y + W (t)z (.8) o put doc écrir: V θ(t) = arcta U (t) (t) (.9) U ~ (t) = U + (.) (t) V (t) E itroduisat U ~ à la plac d U o églig doc tous ls ffts d la composat W (t). Par aalogi avc la rlatio (.), l vctur vitss istataé put s'écrir sous la form: U(t) = ( U + u (t), V + v (t), W w (t)) + (.) s équatios (.5-7) dvit doc: [( U + u (t)) + ( V + v (t)) ] B x ( θ(t)) Fx (t) = ρ (.) FY (t) = ρ[ ( U + u (t)) + ( V + v (t)) ] B Y ( θ(t)) (.) M Z (t) = ρ[ ( U + u (t)) + ( V + v (t)) ] B M ( θ(t)) (.4) 6

36 hapitr s forcs aérodyamiqus V θ(t) = arcta U + v + u (t) (t) (.5) O suppos qu la vitss du vt "vu" par l tablir st la mêm qu cll qu'o aurait absc du tablir ; or ls tourbillos s déformt trat cotact avc c drir. champ d prssio qui découl va alors êtr logitudialmt plus cohért qu l champ d vt icidt. phéomè st égligé ici faut d modèls mathématiqus appropriés. a méthod spctral, présté plus loi, dot l objt st la détrmiatio ds ffts d la turbulc sur ls structurs élacés écssit qu la rlatio liat ls forcs aérodyamiqus au champ d vt turbult soit liéair. Or, ls itsités d turbulc, das l cas d l'écoulmt atmosphériqu, sot gééralmt ifériurs à % doc u t v sot ptits par rapport à ls xprssios ci-dssus au voisiag d u = t v = : U, V. O put doc liéarisr d X X ( θ ) X ( θ ) + ( θ ) δθ (.6) dθ dy Y ( θ ) Y ( θ ) + ( θ ) δθ (.7) dθ d M M ( θ ) M ( θ ) + ( θ ) δθ (.8) dθ avc δθ = θ( t) θ. o put alors dévloppr θ(t) comm suit : V θ θ θ (t) = θ (.9) θ V avc (,) = u U + V + δθ arcta( ) + (,) u + (,) v U u v θ U t (,) = v U + V (.) E gardat qu ls trms du prmir ordr, o obtit: F (t) = F F (t) (.) X X + tx F (t) = F F (t) (.) Y Y + M ty (t) = M M (t) (.) Z Z + tz 7

37 hapitr s forcs aérodyamiqus 8 avc ) ( )B V (U F x X θ + ρ = (.4) (t)) u V (t) v )(U ( B ) ( (t))b v V (t) u (U (t) F X X tx θ θ ρ + θ + ρ = (.5) ) ( )B V (U F Y Y θ + ρ = (.6) (t)) u V (t) v )(U ( B ) ( (t))b v V (t) u (U (t) F Y Y ty θ θ ρ + θ + ρ = (.7) ) ( )B V (U M M Z θ + ρ = (.8) (t)) u V (t) v )(U ( B ) ( (t))b v V (t) u (U (t) M M M tz θ θ ρ + θ + ρ = (.9) Aisi, das la formulatio liéarisé ds forcs aérodyamiqus, chaqu composat st la somm d dux trms: u prmir trm costat qui dépd ds caractéristiqus du vt moy, d so icidc par rapport à la sctio t d la valur ds cofficits aérodyamiqus à l'icidc moy ; u scod trm fluctuat proportiol aux composats turbults du vt courammt applé «bufftig forc» ; c st c trm qui st à l origi du comportmt dyamiqu d la structur ; c st doc lui qui, doréavat, rtidra l sstil d otr atttio. Par la suit, o xprimra ls équatios (.5), (.7), t (.9) sous la form matricill : θ + ρ θ ρ θ + ρ θ ρ θ + ρ θ ρ = (t) w (t) v (t) u U d d V B V d d U B U d d V B V d d U B U d d V B V d d U B (t) M (t) M (t) M (t) F (t) F (t) F M M M M Y Y Y Y X X X X tz ty tx tz ty tx (.) qu l o cotractra ) (t u (t) F ad t =. orsqu la sctio st corrctmt profilé, o a vu qu ls cofficits aérodyamiqus variait quasimt liéairmt avc l'icidc du vt ; das c cas, la formulatio liéarisé ds forcs

38 hapitr s forcs aérodyamiqus aérodyamiqus st plimt justifié. Pour ls sctios mal profilés, otr formulatio st par cotr mois rpréstativ d la réalité. Aisi, à titr d xmpl, l aulatio d la dérivé du cofficit d portac du tablir d Vrrièrs (figur.5) autour d l icidc st pu sigificativ ds variatios du cofficit au voisiag d c poit, sauf à cosidérr d ifims variatios d icidcs autour d ctt positio. xpéric motr cpdat qu l icidc istataé du vt vari d plusiurs dgrés autour d l icidc moy. st pourquoi ous proposos u méthod prmttat d rmplacr ls courbs d évolutio ds cofficits aérodyamiqus foctio d l icidc du vt par ds foctios affis équivalts vis-à-vis d la répos dyamiqu d os structurs. Nous y rvidros das l chapitr 4. s cofficits aérodyamiqus statioairs pourrait, si l o poussait à fod la logiqu d l hypothès d quasi-statioarité, êtr msurés das ds coditios d écoulmt lamiair puis appliqués das ds cas d écoulmt turbult. pdat, comm o l'a déjà évoqué, o préfèr msurr cs cofficits régim turbult. a figur.7 motr, pour l tablir du viaduc d Millau, ls cofficits X, Y, M, msurés coditios lamiairs, t cux msurés écoulmt turbult. O put rmarqur qu ls différcs sot faibls. Il ous smbl importat d'appuyr sur l fait qu, mêm das ctt cofiguratio xpérimtal, ls cofficits msurés sot d simpls rapports tr prssios dyamiqus moys amot t fforts moys msurés. la sigifi qu l o rd compt, das l stimatio ds cofficits statioairs «turbults», ds caractéristiqus moys d l écoulmt proprs à so taux d turbulc (allurs moys ds zos d rcirculatio, sillag, ) mais pas d l impact différcié ds différts échlls d turbulc., , -,4 -,6 -,8 - x uiform y uiform m uiform x turbult y turbult m turbult -, Figur.7 officits statioairs du viaduc d Millau msurés vts uiform t turbult 9

39 hapitr s forcs aérodyamiqus 4 D plus, mêm plogé das u écoulmt parfaitmt lamiair, u corps mal profilé st soumis à u turbulc gééré par lui-mêm : so sillag ou «sigatur» aérodyamiqu. s otios sot priss compt via l itroductio d u foctio corrctiv s xprimat das l domai fréqutil : la foctio d admittac aérodyamiqu. tt foctio prd la valur uité pour ls tourbillos d basss fréqucs, t décroît à msur qu o s rapproch ds échlls d hauts fréqucs. O modélis aisi, pour u sctio doé, l'évolutio d la corrélatio spatial d'u champ d prssios dyamiqus foctio d la taill ds structurs tourbilloairs. Aisi, réécrivat (.) das l domai spctral, t itroduisat ls trms ) ( ij ω γ ( i = F X, F Y, M Z, j = u, v ), o obtit : ω ω ω ω γ θ + ρ ω γ θ ρ ω γ θ + ρ ω γ θ ρ ω γ θ + ρ ω γ θ ρ = ω ω ω ω ω ω ) ( w ) ( v ) ( u ) ( U d d V B ) ( V d d U B ) ( U d d V B ) ( V d d U B ) ( U d d V B ) ( V d d U B ) ( M ) ( M ) ( M ) ( F ) ( F ) ( F Mv M M Mu M M Yv Y Y Yu Y Y Xv X X Xu X X tz ty tx tz ty tx (.) qu l o cotractra ) ( u ) ( ) ( F t ω ω = ω γ. osidéros dux poits P t P d u structur vibrat ; ls foctios d admittac Γ ij,kl (ω) sot ls produits cojugués ds foctios ) ( ij ω γ au poit P t ) ( kl ω γ au poit P ; lls apparaisst das l xprssio rliat la matric d dsité itrspctral ds forcs à la matric d dsité itrspctral d la turbulc pour ctt pair d poits : ) ( ) ( ) ( ) ( t* ' u,u' F ω ω ω = ω γ γ (.) Das l cas ds pots, sul l tablir, raiso d sa profodur d'u part (désychroisatio ds tourbillos qui trasitt) t d sa ssibilité d'autr part (fort cotributio trm d forcs gééralisés), st gééralmt affcté d foctios d admittac aérodyamiqu. D plus, suls ls six foctios d admittac aérodyamiqus «o couplés» du typ Γ ij (ω) ( i = F X, F Y, M Z, j = u, v ) sot supposés o ulls.

40 hapitr s forcs aérodyamiqus Ells sot mêm souvt approchés par u sul t mêm foctio mpiriqu. Plusiurs formulatios puvt êtr utilisés (figur.8) : γ ω = ωb + π U Davport (96) : ( ) 7 7 ωb π U 7 ωb π U (.) Vickry (Holms,975): ( ω) γ = (.4) ωb + π U ipma (95): ( ω) γ = (.5) ωb + π U 'icovéit majur d cs formulatios st qu'lls sot pas associés à u typ d tablir particulir. Il st doc difficil d fair u choix a priori. 'st pourquoi il st préférabl d ls msurr soufflri via u procédur qu l o xplicitra das l chapitr suivat., Admittac aérodyamiqu,8,6,4,, Vickry ipma Davport Fréquc réduit B/U Figur.8 Modèls d foctios d admittac aérodyamiqu Das l domai tmporl, l admittac aérodyamiqu itrvit aturllmt sous form d produits d covolutio : 4

41 hapitr s forcs aérodyamiqus 4 τ τ τ τ τ γ θ + ρ τ γ θ ρ τ γ θ + ρ τ γ θ ρ τ γ θ + ρ τ γ θ ρ = d ) (t w ) (t v ) (t u ) ( U d d V B ) ( V d d U B ) ( U d d V B ) ( V d d U B ) ( U d d V B ) ( V d d U B (t) M (t) M (t) M (t) F (t) F (t) F Mv M M Mu M M Yv Y Y Yu Y X Xv X X Xu X X t tz ty tx tz ty tx qu l o cotract τ τ τ = γ d ) (t u ) ( (t) F t t (.6) s foctios ) (t ij, trasformés d Fourir ivrss ds foctios ) ( ij ω, sot gééralmt ommés foctios idicills. Ds foctios similairs itrvidrot das la modélisatio ds forcs aéroélastiqus. hypothès slo laqull touts ls foctios d admittac sot égals prmt d factorisr (.6) : τ τ τ γ = d ) (t u ) ( (t) F t ad t (.7)

42 hapitr s forcs aérodyamiqus.. ctio mobil, flux icidt variabl : approch quasi-statiqu O cosidèr maitat u sctio mouvmt das u flux turbult. O suppos qu l mouvmt modifi pu la structur du fluid virot. O ot x(t), y(t) t α(t) ls déplacmts horizotal, vrtical, t torsio d la sctio cosidéré. Das c cas, l équatio.5 dvit : V + v(t) y(t) θ( t) = arcta α(t) U u(t) x(t) + (.8) c qui ous do, par liéarisatio, supposat x t y ptits dvat U t V : t X X X + a X t Y Y Y + F (t) = F + F (t) F (t) F (t) = F + F (t) F (t) F (t) = F + F (t) F (t) (.9) a Y t M M M + a M où ls dux prmirs trms d chacu ds trois xprssios sot idtiqus à cux dévloppés.4-9 t où ls trms supplémtairs, corrspodat aux forcs issus ds déplacmts du tablir t dits «aéroélastiqus» s xprimt comm suit : F X (t) = ρb ( θ )( V x (t) U y(t) α (U V )) (.4) θ ax + F Y (t) = ρb ( θ)(v x(t) U y(t) α(u V )) (.4) θ ay + F M (t) = ρb ( θ)(v x(t) U y(t) α(u V )) (.4) θ am + s forcs, proportiolls à ds déplacmts ou vitsss d déplacmts, s appartt doc à ds raidurs t amortissmts aérodyamiqus. tt prmièr approch ds forcs aéroélastiqus rst corrct tat qu l'hypothès d quasi-statioarité st vérifié. Autrmt dit, ls formulatios (.4-4) sot valabls pour modélisr ls déplacmts d basss fréqucs, mais prdt d lur prtic à msur qu l'o s'approch ds hauts fréqucs d vibratio. 'st pourquoi d'autrs modèls ot été dévloppés pour rpréstr ls forcs aéroélastiqus sur l'smbl du spctr ds déplacmts. 4

43 hapitr s forcs aérodyamiqus. s forcs aéroélastiqus E prmièr approximatio, o a pu tir compt du mouvmt d la structur rmplaçat la vitss du vt par la vitss rlativ par rapport à la sctio. Néamois cci st isuffisat car ls oscillatios d la sctio modifit la géométri d l écoulmt t par coséqut ls forcs aérodyamiqus. s prmièrs formulatios prmttat d prdr compt ls phéomès aéroélastiqus sot issus du domai d l aéroautiqu t fot itrvir ds foctios dits idicills (travaux d Wagr 95 t Thodors 95). s foctios prmttt d xprimr l icidc d u prturbatio d typ Dirac das l sigal ds déplacmts sur l sigal ds forcs aérodyamiqus. a pris compt, à u istat t, d tout l historiqu ds déplacmts sur la valur du sigal ds forcs s fait via u simpl produit d covolutio. s formulatios ot été adaptés plus tard aux tablirs d pots, otammt par Blich (948), Bisplighoff (96), cala (97,974) t i (98). s formulatios évoqués ci-dssus préstt l icovéit d êtr difficilmt appréhsibls xpérimtalmt. cala t Tomko (97) ot proposé u formulatio dit mixt, car s xprimat à la fois das ls domais tmporl t fréqutil, ayat l itérêt majur d êtr basé sur u famill d modèls xpérimtaux clairmt défiis : maqutt sctioll rigid à u, dux ou trois dgrés d librté oscillatios siusoïdals. tt formulatio (ou plutôt c typ d formulatio car il xist d autrs aalogus), bi qu o uivrsll, costitu éamois l œud sstil tr la caractérisatio xpérimtal ds propriétés aéroélastiqus d u tablir t l calcul umériqu d so comportmt vrai gradur. Aisi, ous abordros otr préstatio d la modélisatio ds forcs aéroélastiqus par l modèl proposé par cala t Tomko. Nous motrros suit commt gééralisr c modèl afi d l itégrr aux méthods d calcul spctral t tmporll... Formulatio mixt tmps-fréquc : cala t Tomko (97) osidéros u tablir d sctio costat à dux dgrés d librté : flxio + torsio d pulsatios rspctivs ω t ω, placé das u flux lamiair. orsqu ls dux mods sot xcités, o obsrv xpérimtalmt l apparitio d forcs supplémtairs, proportiolls aux déplacmts t vitsss d déplacmts, t doc assimilabls à ds trms d raidur t d'amortissmt. ci s traduit alors, das l cas d oscillatios librs, par u modificatio d la décroissac ds sigaux d déplacmts t u glissmt fréquc d cux-ci. 44

44 hapitr s forcs aérodyamiqus s raidur t amortissmt sot foctios, outr d la form d la sctio t d so icidc par rapport à l écoulmt, d la vitss du flux t d la pulsatio ds mods xcités. Gééralmt, o cosidèr uiqumt la dépdac vis-à-vis d la pulsatio réduit K i applé courammt fréquc réduit, défii comm suit : K i ωi B = i =, (.4) U où ω i st la pulsatio ds oscillatios, B u dimsio caractéristiqu du tablir ( gééral sa largur), U la vitss du vt. U ptit aalys dimsioll motr qu ctt variabl rprést l ombr d oscillatios ffctués par l tablir pdat l trajt d u particul d air tr l bord d attaqu t l bord d fuit. Abstractio fait d l ifluc du ombr d Ryolds sur la géométri d l écoulmt, la dépdac au ombr K rlèv physiqumt du bo ss. Bi qu l mouvmt horizotal du tablir soit égalmt soumis à d tls ffts, o s'itérss gééral qu'aux ffts aéroélastiqus d portac t d momt, qui sot ls plus sigificatifs. E supposat qu cs forcs supplémtairs dépdt liéairmt ds déplacmts, o put ls écrir sous la form suivat: a = ρ U B (H h + H α + H α + H 4h) (.44) M a = ρu B (A h + A α + A α + A 4h) (.45) H traduit l'amortissmt aérodyamiqu flxio, A l'amortissmt aérodyamiqu torsio, H 4 l glissmt fréquc flxio, t A l glissmt fréquc torsio. s autrs trms A traduist ls phéomès d couplag tr mods., A 4, H, H O itroduit gééralmt ls cofficits adimsiols * Hi t * A i défiis ci-dssous : K * = K B H (K ) U U H * H = (K ) H K H * = (K ) K B H * H 4 = 4 (K ) (.46) H K * = K B A (K ) U U A * A = (K ) A K A * = (K ) K B A * A 4 = 4 (K ) (.47) A s ouvaux trms sot applés cofficits aéroélastiqus. Isistos sur l fait qu ils dépdt d la form d la sctio, d so icidc, d la fréquc réduit, t du ombr d Ryolds. 45

45 hapitr s forcs aérodyamiqus Rmarquos qu das ls publicatios d cala sur l sujt (cala, 974), la variabl K st affcté d aucu idic, c qui pos régulièrmt ds problèms das ls itrprétatios : ri idiqu si la fréquc corrspod au mouvmt d flxio ou d torsio. Nous avos doc opté pour la covtio qui ous smblait la plus logiqu... Gééralisatio à u mouvmt qulcoqu d la sctio a) Formulatio fréqutill s formuls.44 t.45 fourisst u modélisatio ds ffts aéroélastiqus qu pour u mouvmt purmt siusoïdal. O aimrait cpdat gééralisr ctt formulatio à u mouvmt qulcoqu. Notos cor h(t) t α(t) ls déplacmts vrticaux t torsio du mêm tablir à dux dgrés d librté t supposos qu'ils admttt chacu u trasformé d Fourir ĥ( ω) t α ˆ ( ω). osidéros à ~ prést dux mouvmts purmt siusoïdaux h m (t), α ~ (t), d'amplituds ĥ( ω m ), α ˆ ( ω ), t d pulsatios ω m, ω. D après.44 t.45, posat ~ i mt h m (t) ĥ( ωm ) ω ~ ω i t =, α (t) = αˆ ( ω ) cs déplacmts géèrt ls fforts aéroélastiqus suivats: ~ a m (t) = ρu B i K ~ h m (t) ) + i K B ) α ~ (t) + K H (K ) α ~ * * * * H (K H (K (t) + K H (K m m m m 4 m ~ h (t) ) B (.48) M ~ a m (t) = ρu B i K i ~ * h i (t) A (K i ) + i K j B ~ h (t) (K i ) B (.49) * α ~ * A (K ) (t) + K A (K ) α ~ * (t) + K A i j j j j j i 4 où K = ω B/U t K m = ω m B/U. Décomposat chacu ds dux formulatios ci-dssus dux partis, suivat ls idics i t j, o put cosidérr ls quatr forcs disticts suivats: 46

46 hapitr s forcs aérodyamiqus ~ a m (t) = ρu B i K ~ h m (t) ) + K B ~ h (t) ) B * * H (K H (K m m m m 4 m (.5) ~ a (t) U B( i K H (K ) ~ (t) K H (K ) ~ * * = ρ α + α (t)) (.5) M ~ a (t) U B ( i K A (K ) ~ (t) K A (K ) ~ * * = ρ α + α (t)) (.5) M ~ a m (t) = ρu B i K ~ h m (t) ) + K B ~ h (t) ) B * * A (K A (K m m m m 4 m (.5) O rmplac aisémt ls par ds divisat tous ls trms d (.5) t (.5) par i m t ω t cux i t d (.5) t (.5) par ω arrivat aisi à u formulatio fréqutill ds fforts aéroélastiqus. osidérat qu h t α résultt d la sommatio ds sigaux siusoïdaux d amplituds ĥ, αˆ sur l smbl du domai fréqutil, o fait la suppositio qu a, M a résultt égalmt d l itégratio ds sigaux d amplituds ˆ a, Mˆ a sur la mêm plag d fréqucs: "pricip d suprpositio. O put légitimmt mttr dout la validité d ctt hypothès ; fft, ls équatios d Navir-toks régissat l'écoulmt du flux autour d la sctio ayat pas u caractèr liéair, il 'y a aucu raiso qu ls ffts s'additiot aussi simplmt. i o l'appliqu tout d mêm, Mˆ a sot alors ls trasformés d Fourir d a, M a. ˆ a, E itroduisat ls foctios suivats: * * * * F α ( ω) = ρb ω (H + ih ) Fh ( ω ) = ρb ω (H4 + ih ) (.54) 4 * * * * FM α ( ω) = ρb ω (A + ia ) FMh ( ω ) = ρb ω (A4 + ia ) (.55) o pos alors: ˆ a ( ω) = F ( ω)ĥ( ω) + F ( ω) αˆ α ( ω) (.56) h Mˆ a ( ω) = F ( ω)ĥ( ω) + F ( ω) αˆ α ( ω) (.57) Mh M Aisi, la trasformé d Fourir ds déplacmts fourit la trasformé d Fourir ds forcs aéroélastiqus. ci s gééralis facilmt au cas où h t α sot dux procssus aléatoirs admttat u foctio d dsité spctral d puissac. 47

47 hapitr s forcs aérodyamiqus b) Formulatio tmporll ds forcs aéroélastiqus s xprssios (.56) t (.57), modélisat ls forcs aéroélastiqus das l domai fréqutil sous form d simpls combiaisos liéairs, s traspost aisémt das l domai tmporl via l itroductio d produits d covolutio. oit f h, f α, Mh f, f Mα ls trasformés d Fourir ivrss ds foctios F h, F α, Mh F, F Mα. O écrit alors: M a t t (t) = f h (t τ)h( τ)dτ + f α (t τ) α( τ)dτ = h (t) + α (t) (.58) a t t (t) = f Mh (t τ)h( τ)dτ + f Mα (t τ) α( τ)dτ = M h (t) + M α (t) (.59) où h t α sot ls forcs d portac géérés par ls mouvmts vrtical t agulair ; M h t M α sot ls momts géérés par ls mouvmts vrtical t agulair. igalos qu o rtrouv là ds xprssios aalogus à clls dévloppés par i (98), cla qu lls fot itrvir ds foctios d typ idicil. Toutfois, ls formulatios d i fot pas itrvir ls foctios déplacmt mais lurs dérivés par rapport au tmps. Aisi, par xmpl, la forc d portac s xprim sous la form suivat : a (t) = t g h t (t τ)h( τ)dτ + g (t τ) α ( τ) dτ (.6) α s foctios idicills g h t g α ot l mérit d avoir u ss physiqu clair. E fft, g h (t) δh = g h (t) h () δt ( rsp. g α (t) δα = g (t) () t α α δ ) rprést la forc élémtair gééré à l istat t par u impulsio élémtair δh (rsp. δα) à l istat t=. s fforts totaux géérés à u istat t s obtit aturllmt par itégratio ds fforts élémtairs, l istat d l impulsio variat d - à t. Notr propos st illustré par ls figurs.9 t.. i l ss physiqu ds équatios (.58) t (.59) paraît a priori mois évidt, o rmarqu toutfois qu u simpl itégratio par partis ds équatios d i prmt d rtombr sur ds équatios d la form d clls issus d la trasformé d Fourir ds équatios d cala. qui st plutôt rassurat. 48

48 hapitr s forcs aérodyamiqus g t Figur.9 Allur d u foctio idicill "forcs" idicills t déplacmts forc résultat Figur. Itégratio ds foctios idicills s cofficits H i t A i msurés soufflri suffist doc, théori, pour stimr ls foctios idicills prmttat la pris compt ds fforts aéroélastiqus das l domai tmporl. pdat, afi d réduir ls tmps d calcul, o préfèr pas calculr umériqumt ls trasformés d Fourir ivrss ds foctios F h, F α F, F Mα puis l produit d covolutio. O approch doc, Mh cs quatr foctios par ds applicatios dot o coaît ls trasformés d Fourir aalytiqus, suivat la form proposé par Buchr (988). haqu foctio F st paramétré par six cofficits,,, 4, d, d 4, t a la form suivat: 49

49 hapitr s forcs aérodyamiqus 4 B iω F h ( ω) = ρu h + iω h + kh U U = k d kh + iω B (.6) 4 B iω F α ( ω) = ρbu α + iω α + kα U U = k d kα + iω B (.6) 4 B iω F Mh ( ω) = ρbu Mh + iωmh + kmh U U = k dkmh + iω B (.6) 4 B iω F Mα ( ω) = ρb U Mα + iω Mα + kmα U U = k d kmα + iω B (.64) Alors, appliquat ls trasformés d Fourir ivrss 4, o obtit : h(t) B h(t) h (t) = ρbu h + h + h (t) + h (t) B U B (.65) 4 B (t) = ρbu αα(t) + α α(t) + α (t) + α U α (t) 4 (.66) h(t) B h(t) = ρ h (t) B U Mh + Mh + M h (t) + M h (t) B U B (.67) M 4 B (t) = ρb U Mαα(t) + Mα α(t) + M α (t) + M α U M α (t) 4 où o pos, avc k =, 4 : (.68) 4 Das l cas prést, afi d êtr cohérc avc ls formulatios (.54-55), la trasformé d Fourir st défii au factur /π près. 5

50 hapitr s forcs aérodyamiqus h k (t) t d h hk U ( tτ) B = hk ( τ) B dτ αk αk t ( τ dαk U ( tτ) B (t) = α ) dτ (.69) M h k (t) t d h Mhk U ( tτ) B = Mhk ( τ) B dτ M t dmαk U ( tτ) B α (t) = α ( τ) k M k α dτ (.7) O motr facilmt qu ls foctios h (t), α (t), M (t), M α (t) vérifit ls rlatios suivats: k k hk k M d U h hk d U αk h k (t) = h (t) hk (t) B k + α (t) = (t) k (t) k α + k α α (.7) B B d U h Mhk d U Mαk h k (t) = M h (t) Mhk (t) B k + M α (t) = M (t) M k (t) k α + k α α (.7) B B Pour calculr ls cofficits k t d k, o rmai ls xprssios (.6-64) (rsp.(.54-55)) rmplaçat ls variabls B, U t ω par K (rsp. ls variabls B t ω par K t U) t o idtifi trm à trm cs xprssios pour différts valurs d K. la do : 4 ( ) * ( ) hkd hk K * H K K + ( K) = h K = k + d hk ( K ) 4 hk H 4 = + h (.7) K = k + d hk ( K ) 4 ( ) * ( ) αkd αk K * H K K + ( K) = α K = k + d α k ( K ) 4 αk H = + α (.74) K = k + d αk ( K ) 4 ( ) * ( ) Mhkd Mhk K * A K K + ( K) = Mh K = k + d Mhk ( K ) 4 Mhk A 4 = + Mh (.75) K = k + d Mhk ( K ) 4 ( ) * ( ) Mαkd Mαk K * A K K + ( K) = Mα K = k + d Mα k ( K ) 4 Mαk A = + Mα = + ( ) (.76) K k d Mαk K O résout alors c systèm d équatios utilisat la méthod d optimisatio o liéair par ls moidrs carrés d vbrg-marquardt. 'approximatio ds foctios F par ds formulatios aalytiqus prmt crts d maipulr ds xprssios ds forcs aéroélastiqus où 'apparaisst pas d produits d covolutio, mais, 5

51 hapitr s forcs aérodyamiqus cotrparti, écssitt d ajoutr ds équatios différtills supplémtairs à l'équatio du mouvmt. a form tmporll ds forcs aéroélastiqus do a priori ls fforts pour u mouvmt qulcoqu. Il faut pas pour autat oublir ls ombruss hypothèss qui ot été écssairs pour xprimr cs forcs aéroélastiqus: ptit amplitud du mouvmt prmttat d supposr l'icidc costat, applicatio du pricip d suprpositio, flux icidt costat. Or, ous ous itérssos, das c qui suit, aux ffts du vt turbult sur ls structurs élacés ; l'amplitud du mouvmt 'st pas forcémt faibl t surtout, l'icidc 'st pas costat. O supposra doc qu ls ffts aéroélastiqus, das l cas d'u écoulmt icidt turbult, sot idtiqus à cux créés par l'écoulmt moy autour d l'icidc moy. E outr, o pourrait ssayr d'stimr l'ifluc d la turbulc sur ls ffts aéroélastiqus appliquat la mêm tchiqu d'idtificatio ds cofficits écoulmt turbult t écoulmt lamiair. H * i, * A i sur ds sigaux obtus 5

52 hapitr s forcs aérodyamiqus. détachmt tourbilloair O a vu, au début d c chapitr, qu, das crtais coditios, pouvait s produir u phéomè, applé détachmt tourbilloair, caractérisé par u lâché d tourbillos d part t d autr du profil, altrés (i.. oppositio d phas), à u fréquc bi précis rlié à la vitss U d l écoulmt fh t à la hautur du tablir par l ombr d trouhal : t =. U phéomè s traduit par la géératio d fforts fluctuats d fréquc das la dirctio du vt t das la dirctio orthogoal. s prmirs sot gééralmt égligés tadis qu ls scods fot l objt d plusiurs formulatios mpiriqus plus ou mois complxs. Amplitud ds déplacmts Amplitud ds déplacmts t t pctr d puissac ds déplacmts pctr d puissac ds déplacmts f propr f dét. tourb. = f trouhal f dét.tourb. = f propr Figur. - igaux d déplacmts vrticaux lorsqu la fréquc d détachmt tourbilloair st proch d u fréquc propr structurll : phéomè d sychroisatio forcé 5

53 hapitr s forcs aérodyamiqus Das l cas où la fréquc aturll d détachmt tourbilloair st suffisammt proch d la fréquc propr d u mod trasvrsal d la structur cosidéré (fig..), o assist à u phéomè d sychroisatio forcé d la prmièr sur la duxièm. i l écart st u pu plus importat mais rst suffisammt faibl o obsrv sur l sigal ds déplacmts l phéomè bi cou d «battmt». Il ous smbl importat d précisr qu l sigal ds déplacmts liés au détachmt tourbilloair a pas, gééral, u caractèr divrgt ; l xpéric a motré qu so amplitud dépassait rarmt la moitié d la hautur du profil cosidéré. Il st clair qu ls oscillatios maximals srot obsrvés pdat l phéomè d sychroisatio forcé ; c st doc das cs coditios sécuritairs qu srot ffctués ls calculs d déplacmts. Différts formulatios mpiriqus, plus ou mois élaborés, ot été proposés afi d modélisr ls fforts dus au détachmt tourbilloair. pdat, clls-ci cocrt sstillmt ds forms simpls tlls qu ls cylidrs. Il xist pas véritablmt d modèls prmttat d rpréstr ls fforts xrcés par l détachmt tourbilloair sur ds forms complxs tlls qu u sctio d tablir d pot. s ffts du détachmt tourbilloair srot doc pas pris compt das os calculs..4 oclusio Nous avos, tout au log d c chapitr, itroduit u crtai ombr d modèls mathématiqus prmttat, à partir d la coaissac du vt, d rpréstr ls forcs aérodyamiqus s xrçat sur u structur soupl t élacé. s bufftig forcs, liés à l actio turbult du vt ot été modélisés à partir ds cofficits statioairs t d l admittac aérodyamiqu. s forcs aéroélastiqus, liés aux oscillatios d l ouvrag, ot été modélisés par ls cofficits istatioairs d cala das l domai spctral t par ds foctios idicills das l domai tmporl. itérêt majur ds modèls préstés st d réduir la otio d forcs aérodyamiqus à u ombr assz limité d cofficits t, surtout, ds rlatios simpls avc l champ d vitss du vt. la prmt d s affrachir d la résolutio ds équatios d la mécaiqu ds fluids lors d l stimatio d la répos dyamiqu d l ouvrag ; o réduit aisi cosidérablmt ls tmps d calcul. 54

54 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Msur ds forcs aérodyamiqus Das l chapitr précédt, ous avos défii t modélisé ls forcs aérodyamiqus suscptibls d sollicitr u structur élacé. Pour cla, ous avos itroduit u séri d cofficits adimsiols prmttat d caractérisr ls propriétés aérodyamiqus d u sctio soumis à u écoulmt aérauliqu bidimsiol. ux-ci prmttt doc, à partir d la coaissac du vt, ds dimsios d la structur t d l historiqu d so comportmt dyamiqu, d calculr ls forcs aérodyamiqus s xrçat sur chaqu sctio élémtair d la structur. s cofficits puvt êtr stimés xpérimtalmt t/ou umériqumt. s méthods xpérimtals sot basés sur la fabricatio d maqutts rigids, d sctios cotius, applés maqutts sctiolls, placés soufflri. s méthods umériqus sot basés sur la résolutio D ou D ds équatios d Navir-toks das u vi virtull cotat l profil à étudir. s méthods, pli ssor, sot pas cor réllmt opératiolls pour ds applicatios au domai ds pots. Aussi ous cosacros c chapitr xclusivmt aux différts tchiqus xpérimtals prmttat d caractérisr aérodyamiqumt ls tablirs d pot. s tchiqus sot appliqués à dux typs d profils : u profil "théoriqu" rctagulair d ratio largur/épaissur égal à huit t u profil "classiqu" trapézoïdal proch d clui du viaduc d Millau. s résultats préstés srot utilisés par la suit lors d la procédur d validatio d otr cod d calcul. 54

55 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus. Msur ds cofficits statioairs s cofficits statioairs sot gééralmt msurés sur ds maqutts sctiolls fixés à dux balacs dyamométriqus. haqu balac st équipé d 6 jaugs d xtsométri, prmttat d msurr 8 forcs horizotals t 8 forcs vrticals. O obtit ls cofficits d traié, portac t momt globaux par combiaiso liéair ds trt-dux vois t adimsioalisatio. Figur. Balac dyamométriqu U duxièm tchiqu cosist à équipr la maqutt sctioll d priss d prssio pariétals rliés à ds capturs d prssio t d calculr ls fforts globaux par itégratio d cs prssios sur la surfac d la maqutt. E plus d obtir ds iformatios sur l allur ds champs d prssio (voir figur.), o put accédr à ds valurs d cofficits «istataés», la bad passat ds capturs d prssio état plus larg qu cll ds balacs. tt méthod prést toutfois ls icovéits d êtr plus lourd à mttr plac t mois précis c qui cocr la msur d cofficits moys. Figur. hamps d prssios moys t fluctuats autour du tablir trapézoïdal pour ls icidcs,, + 55

56 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Figur. apturs d prssio à l itériur d u maqutt sctioll Das tous ls cas ls maqutts sot fixés sur l "bac dyamiqu" d la soufflri atmosphériqu du TB (figur.). bac st composé d dux parois vrticals épaisss d 5 cm applés "flasqus". profilag amot prmt d miimisr l'épaissur d la couch limit sur ls parois itrs t garatit aisi u écoulmt bidimsiol. 'st à l'itériur d cs flasqus qu sot placés ls balacs t autrs dispositifs métrologiqus. Nous avos mis plac u motag prmttat d comparr ls résultats obtus par ls dux méthods. Nos dux tablirs, équipés d 64 priss d prssios, ot été fixés à ds balacs dyamométriqus t soumis à u flux lamiair. s msurs ot doc été ffctués simultaémt avc ls balacs t ls capturs d prssio. s * sigaux aalogiqus d prssio sot multiplxés à u cadc d khz t voyés rafals à u cart d acquisitio 6 bits à u cadc d Hz. s sigaux aalogiqus issus du tub d Pitot t ds capturs d déplacmts, filtrés élctroiqumt à Hz, sot égalmt multiplxés t placés à la suit ds msurs d prssios avat d êtr trasmis à la cart d acquisitio, puis à u statio d travail. s doés umériqus sot «sychroisés» pdat la phas d traitmt par ds itrpolatios d typ «tirlig». 56

57 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Figur.4 Profils ds maqutts sctiolls ds tablirs trapézoïdal t rctagulair d ratio 8,,4,,8,, -6-6,4 x it. x bal. -,4 y it. y bal., -6-6 m it. m bal., ,8 -, -,4 -, -, Figur.5 officits aérodyamiqus du tablir trapézoïdal msurés par prssios t balacs,6,8,,,5,4,,4 x it. x bal., -6-6 y it. y bal., -6-6 m it. m bal., -, -,4 -,, ,8 -, Figur.6 officits aérodyamiqus du tablir rctagulair msurés par prssios t balacs a comparaiso ds résultats obtus trm d cofficits statioairs s'avèr globalmt satisfaisat. ul l cofficit d momt du tablir rctagulair d ratio 8 posait u ptit problèm : ss valurs, très faibls valur absolu, sot d sigs opposés slo qu la msur st global ou média. 57

58 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus s dux msurs smblat «justs», ous avos décidé d approfodir la qustio étudiat l évolutio ds courbs d momt d tablirs rctagulairs autour du ratio 8. Nous spérios qu ls tdacs obsrvés faisat évolur l ratio das u ss ou das l autr ous prmttrait d miux qualifir ls propriétés aérodyamiqus aturlls du ratio 8 t idtifir ls ffts D. Pour cla, ous avos placé sur ls balacs du bac dyamiqu u âm rctagulair cotrplaqué logu d,6 m sur laqull ous avos pu fixr d autrs plachs d épaissurs variabls. Pour chaqu ratio, ous avos alors msuré ls cofficits d momt pour vitsss d vt t 7 icidcs. Figur.7 Etud paramétriqu d tablirs rctagulairs aalys ds résultats, préstés figur.8, ous a amé à formulr l xplicatio suivat : Dux différts structurs d écoulmt s dévloppt l log d u maqutt sctioll rctagulair d ratio 8 : u prmièr au ctr, géérat ls cofficits d momt vus par ls capturs d prssio, u scod, à chaqu xtrémité, géérat ds cofficits d momt prochs d cux msurés par ls balacs sur ls ratios supériurs. a prmièr structur srait d autat plus favorisé qu l profil st épais tadis qu la scod s dévlopprait davatag quad l profil st élacé. Das l cas d la maqutt sctioll d m d log, ls structurs d bords sot prépodérats t costitut l sstil ds forcs msurés par ls balacs. Das l cas d la maqutt sctioll d,6 m, la structur ctral s dévlopp plus largmt t prd l pas sur ls structurs latérals, c qui s traduit par u courb itrmédiair tr ls dux courbs du tablir d m d log. 58

59 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Tablir rctagulair ratio Tablir rctagulair ratio 8 m,,8,6,4, m,,8,6,4,, , 4 6 i, , 4 6 i -,4 -,6 -,8 U=6m/s U=m/s U=5m/s -,4 -,6 -,8 U=6m/s U=m/s U=5m/s -, -, Tablir rctagulair ratio 9,5 Tablir rctagulair ratio 7 m,,8,6,4 m,,8,6,4 U=6m/s U=m/s U=5m/s,,, , 4 6 i, , 4 6 i -,4 -,6 -,8 -, U=6m/s U=m/s U=5m/s -,4 -,6 -,8 -, Tablir rctagulair ratio 8,5 Tablir rctagulair ratio 5,5 m,,8,6,4 m,,8,6,4 U=6m/s U=m/s U=5m/s,,, , 4 6 i, , 4 6 i -,4 -,6 -,8 -, U=6m/s U=m/s U=5m/s -,4 -,6 -,8 -, Figur.8 Evolutio ds cofficits d momt foctio d l icidc du vt pour ds tablirs rctagulairs d ratios variabls 59

60 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus s hypothèss formulés ous amèt à coclur qu ls résultats obtus à partir ds priss d prssios sur l tablir d m d log srait bi rpréstativs d phéomès «ctraux» ; il s agirait doc ffctivmt pas d rrurs d msurs. Par cotr, la qustio qui s pos cor st la suivat : ls structurs latérals provit-lls d ffts d bords ou s dévloppt lls aturllmt autour d u structur ctral? E d autrs trms, put o cosidérr la structur ctral comm rpréstativ d c qui s passrait sur u tablir ifiimt log? Ou bi put-il s dévloppr, par xmpl, u phéomè «périodiqu» l log du tablir avc altrac d structurs «ctrals» t «latérals»? Pour répodr à ctt qustio, o pourrait réalisr u étud paramétriqu dot la variabl srait la loguur du tablir ; ds couros d priss d prssios srait alors disposés à itrvalls régulirs. pdat, la faibl valur ds cofficits d momt ous autoris à pas approfodir d avatag u problèm dot ls réprcussios sur l calcul dyamiqu srot vraismblablmt faibls. Par cotr, o put s dmadr si ls phéomès aéroélastiqus srot ou o sujts à ds problèms similairs. Faut d moys pour répodr à ctt itrrogatio, ous avos préféré, das l cas du tablir rctagulair d ratio 8, pas utilisr ls cofficits aéroélastiqus issus ds oscillatios forcés das os calculs d répos dyamiqu mais plutôt cux provat d la méthod ds oscillatios librs, garatissat u millur «moyag» ds phéomès tout au log du tablir.. Msur d l'admittac aérodyamiqu omm ous l'avos dit das l chapitr, ls cofficits aérodyamiqus statioairs prdt d lur prtic à msur qu l'o s'approch ds sollicitatios d hauts fréqucs. a foctio d'admittac aérodyamiqu (f.a.a.) prmt d palir à c problèm. Das l'absolu, il xist autat d foctios d'admittac aérodyamiqu qu d coupls ffort / composat turbult. Expérimtalmt, il st difficil d dissocir ls ffts ds différts composats du vt. O s cott doc d msurr trois f.a.a. associés aux forcs d portac, traîé t momt. s trois f.a.a. puvt êtr appliqués dirctmt au calcul spctral. ur itroductio das la méthod tmporll écssit, pricip, l mploi d produits d covolutio. s drirs traîat ds surcoûts importats tmps d calcul, o préfèrra raisor d maièr fréqutill das la bas modal. 'stimatio d la f.a.a. cosist à divisr u spctr d forcs "réalist" c st-à-dir dirctmt msurés sur maqutts sctiolls à l'aid d balacs ou d priss d prssios par u spctr d forcs "quasistatiqu" i.. calculé d'après ls spctrs ds dux composats turbults du vt. s drirs sot 6

61 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus calculés à partir d'acquisitios ffctués à l'aid d'u sod à fils chauds dux composats. s résultats obtus pour os dux tablirs sot préstés figurs.9 t.. Dux f.a.a. ot été stimés, corrspodat aux forcs d portac t d momt. Ells sot comparés à dux formulatios issus d la littératur. Das l cas du tablir rctagulair, la f.a.a. associé au momt st particulièrmt atypiqu puisqu qu ll smbl viro trois fois «supériur à la ormal». la st fait pas si surprat compt tu ds problèms rcotrés das la détrmiatio ds cofficits d momt : c qu l o appll ici f.a.a. st vraismblablmt l produit tr la véritabl f.a.a. t u factur corrctif itégrat l rrur d stimatio ds cofficits d momt., Admittac portac Admittac momt Vickry ipma,, Fréquc réduit fb/u Figur.9 Admittacs aérodyamiqus du tablir trapézoïdal,, Admittac portac Admittac momt Vickry ipma,, Fréquc réduit fb/u Figur. Admittacs aérodyamiqus du tablir rctagulair 6

62 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus. Msur ds cofficits aéroélastiqus par la tchiqu ds oscillatios librs.. Bass théoriqus s phéomès d'istabilité iduits par l vt sur u pot à haubas cocrt gééralmt ls mods vrticaux t ls mods d torsio du tablir d l'ouvrag. O a vu qu cs phéomès pouvait êtr caractérisés par ls cofficits aéroélastiqus. a méthod xpérimtal classiqu pour msurr cs cofficits, st la méthod ds oscillatios librs dévloppé par R.H. cala (974). Ell cosist à réalisr u troço rpréstatif d'u parti du tablir, qu l o suspd soufflri par u smbl d rssorts afi d rpréstr u mod d torsio t u mod d flxio vrtical. Figur. chéma d pricip d la méthod ds oscillatios librs Das la msur où cs ssais sur troços ot pour but d'xprimr uiqumt ls caractéristiqus aérodyamiqus du tablir sous la form d cofficits sas dimsios, l modèl tsté 'a plus bsoi d'êtr dyamiqumt smblabl au pot rél. 6

63 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Toutfois, il st préférabl qu ls caractéristiqus dyamiqus d la maqutt rstt prochs d clls imposés par la similitud. la prmt la msur soufflri d'u vitss critiqu d flottmt dirctmt trasposabl vitss réll via ls rlatios d similitud. E outr, ls évtuls problèms d flottmt couplé flxio/torsio sot bi mis évidc. Das l cas où l o cosidèr qu dux dgrés d librté (flxio h(t) t torsio α(t)), ls équatios du mouvmt du troço d'u tablir d pot puvt s'écrir avc ls défiitios d cala : h B K m(h * * α * * + ξ h ω h h + ωhh) = ρu BKH + KH + K H α + H 4 + h (t) (.) U U B h * * Bα K * * j ( α + ξα ωαα + ωα α) = ρu B KA + KA + K A α + A 4 + M α (t) (.) U U B m, j : mass t momt d'irti par uité d loguur du modèl ξ h, ξ α : amortissmts structurls rapportés au critiqu pour chaqu dgré d librté h t α ω h, ω α : pulsatios aturlls du mouvmt à la vitss U = ω B K = : fréquc réduit U s forcs h (t), M α (t) sot iduits par u écoulmt turbult. lls-ci sot doc supposés ulls lors d'ssais écoulmt uiform. s équatios prt alors la form : h ω ξ h + ω h = H h + H h + H α + H α (.) + h h h 4 α + ω ξ α + ω α = A h + A h + A α + A α (.4) α α α 4 igalos qu, das u souci d simplificatio ds écriturs, la défiitio ds trms H i t A i (i=,,) st différt d cll mployé das l chapitr. Ici, o écrit : H * * * * ρb ωh ρb ω H 4 ρb ωh ρb ω H = ; H 4 = ; H = ; H = (.5) m m m m * * 4 * 4 * ρb ωa ρb ω A 4 ρb ωa ρb ω A A = ; A 4 = ; A = ; A = (.6) j j j j 6

64 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus s cofficits aéroélastiqus sot supposés idépdats d la atur du mouvmt ; o put doc imposr succssivmt u mouvmt d flxio vrtical t u mouvmt d torsio t aisi obtir dux équatios découplés : + ω ξ h + ω h = H h H h (.7) h h h h + 4 α + ω ξ α + ω α = A α + A α (.8) α α α orsqu l tablir st oscillatios librs, l équatio du mouvmt put alors s'écrir sous la form suivat: ξω h = h t ω ξ + ϕ si t (.9) ξω α = α t ω ξ + ϕ si t (.) ξ, rprést l amortissmt total du systèm "rapporté au critiqu" (amortissmt structurl + amortissmt aérodyamiqu) t ω, la pulsatio du mouvmt. s pulsatios t amortissmts du systèm sot msurés dirctmt à partir ds sigaux tmporls, périod par périod (fig..) : ls pulsatios par idtificatio ds passags à zéro, ls amortissmts par la formul classiqu : ( ωt) l ( X p X ) ξ = (.) max p+ max où T, X pmax, X p+ max, rpréstt la psudo-périod t dux xtrmums succssifs du sigal. D autrs méthods plus sophistiqués comm la R.D.D. (Radom Dcrmt Tchiqu), das l domai tmporl, ou l Maximum d Vraismblac, das l domai spctral, puvt égalmt êtr utilisés mais préstt l icovéit d pas fourir d iformatios sur l évolutio ds dux variabls au cours du tmps. E outr, lls sot plus appropriés vt turbult. Das l cas où ξ i >, i.. l amortissmt total st positif, ls sigaux d déplacmts du tablir ot l allur présté figur.. Expérimtalmt, o costat qu l amortissmt ξ i vari foctio d l amplitud ds oscillatios. ci st sstillmt dû au fait qu l amortissmt structurl, d atur visquus pour ls mouvmts d grad amplitud, voit sa composat solid augmtr à msur qu la taill ds oscillatios dimiu. 64

65 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Figur. Dux xcitatios t lâchrs : sigal d déplacmt (ξ > ) upposos l mouvmt d torsio bloqué ; la lctur d l'rgistrmt du mouvmt d flxio prmt, coaissat l amortissmt structurl ξ h t la pulsatio aturll du systèm ω h, la détrmiatio d ξ t d ω, d'où cll d H t H 4 par l'itrmédiair ds équatios : = ( ξ ω ω ) (.) H h h ξ H 4 h ( ω ξ ) = ω ω (.) D mêm, A = α ξ A ( ξα ω ω ) (.4) ( ω ξ ) = ω α ω (.5) s cofficits H t A traduist l'apport d l'amortissmt aérodyamiqu à l'amortissmt total, rspctivmt flxio t torsio, tadis qu ls cofficits H 4 t A traduist l glissmt fréquc iduit par l'écoulmt. 65

66 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus orsqu H, H 4, A t A sot cous, l tablir st xcité simultaémt flxio t torsio à ds fréqucs d oscillatios aussi prochs qu possibl ; l systèm d'équatios issu d (.4), put alors êtr utilisé pour trouvr ls cofficits d couplag H,H, A t A 4. orsqu l'amortissmt aérodyamiqu st égatif (cofficits positifs, H pour la flxio, A pour la torsio), clui-ci st soustrait à l'amortissmt structurl. 'il dvit supériur valur absolu à l'amortissmt structurl, il y a alors flottmt à u dgré d librté. Das la très grad majorité ds cas, c'st c flottmt à u dgré d librté, otammt torsio, qui a tdac à apparaîtr sur ls pots. flottmt couplé flxio/torsio put apparaîtr qu si ls amortissmts totaux flxio t torsio rstt positifs t ls fréqucs d vibratios flxio t torsio sot prochs ; gééral, suls ls tablirs d pot très profilés, sot suscptibls d flottmt couplé... Applicatio pratiqu Nous préstos ls résultats obtus pour ls dux maqutts sctiolls rctagulair t trapézoïdal. s maqutts sot positioés tr ls flasqus du bac dyamiqu. Das l cas ds ssais flxio vrtical, u câbl d rtu prmt d maitir la maqutt horizotalmt ; pour ls ssais torsio, l mouvmt st guidé par ds poitaux. amortissmt structurl d bas st aisi miimal. Ds dispositifs amortissurs supplémtairs prmttt d réglr l'amortissmt structurl rapporté au critiqu ds mouvmts d flxio t torsio tr,% t %. U ju miimal d l'ordr d mm, sépar l'xtrémité d la maqutt d la paroi du bac dyamiqu. U xcitatio iitial suivi d'u lâchr sot réalisés par u xcitatur élctromagétiqu (figur.) piloté dpuis l caisso d msurs. tt xcitatio st réalisé à la fréquc d vibratio flxio vrtical avc u tractio au ctr du tablir, puis à la fréquc d torsio avc u tractio latéral. s fréqucs d oscillatios puvt êtr modulés par itrvtio sur la raidur ds rssorts, lur écartmt t/ou l ajout d masss sur ls bras situés à l itériur ds flasqus. s déplacmts d la maqutt sot msurés par ds capturs optiqus à triagulatio placés das ls flasqus du bac dyamiqu. s sigaux aalogiqus sot discrétisés à u cadc d 5 Hz t filtrés élctroiqumt à Hz. a vitss du vt st msuré par u aémomètr à hélics t u tub d Pitot situé amot du bac dyamiqu. U rcalag a préalablmt été ffctué tr la prssio dyamiqu amot msuré t la prssio dyamiqu au ivau du bord d attaqu d tablir. haqu acquisitio comport 896 poits, c qui corrspod à u duré d 6 scods. 66

67 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Figur. Bac dyamiqu t xcitatur élctromagétiqu Figur.4 Vu d l itériur d u flasqu du bac dyamiqu 67

68 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus s courbs d évolutio ds cofficits aéroélastiqus foctio d la vitss réduit (U/fB) puvt théoriqumt êtr obtus fixat u fréquc d vibratio t faisat varir qu la vitss du vt. Nous avos préféré fair varir cs dux paramètrs afi d stimr l impact évtul du ombr d Ryolds sur la valur ds cofficits aéroélastiqus. Nous avos doc tracé, pour chaqu fréquc d vibratio, ls courbs d évolutio ds cofficits d cala H * i, A foctio d la vitss réduit. Précisos qu ctt vitss réduit st défii à partir d la fréquc d oscillatio du systèm avc ffts aéroélastiqus ; cla st fft souvt sourc d ambiguïtés. * i aalys ds résultats obtus prmt pas réllmt d coclur sur l importac d l ifluc du ombr d Ryolds. E fft, o obsrv pas d évolutio clair ds courbs foctio d la fréquc propr du systèm. O obsrv par cotr u fort disprsio ds poits. ll-ci st sstillmt imputabl aux icrtituds d msurs, aux imprfctios du systèm mécaiqu (variatios ds raidurs t amortissmts mécaiqus foctio d l amplitud) t, das l cas ds motags flxio, à u comportmt dyamiqu assz chaotiqu ds maqutts pour ls grads vitsss d vt. drir poit s xpliqu par l fait qu à partir d u crtai vitss réduit (viro ciq pour l profil trapézoïdal) l écoulmt d sillag autour du tablir (sa sigatur aérodyamiqu) dvit fortmt turbult. tt turbulc xcit o sulmt l mod d flxio qui ous itérss mais égalmt u mod d torsio autour d l ax x, d fréquc légèrmt supériur. s figurs.5-8 motrt ls sigaux tmporls (t trasformés par odltts) obtus pour l tablir rctagulair flxio t torsio pour dux vitsss d vt. U autr sourc d rrurs, itrisèqu à la méthod ds oscillatios librs, st l évolutio aturll d l icidc moy du tablir foctio d la vitss moy du vt. Aisi, chaqu séri d poits présté figur.9-6 corrspod o sulmt à u vitss moy différt mais égalmt à u icidc d vt différt. E cofiguratio d flxio, c phéomè put êtr miimisé écartat au maximum ls ligs d rssort t doc augmtat la raidur torsio. E outr, ls tablirs symétriqus sot a priori pu sujts à c gr d problèm. Par cotr, das l cas d tablirs asymétriqus torsio libr, l problèm st rél. 68

69 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Figur.5 Oscillatios vrticals du tablir rctagulair d ratio 8 (U=5m/s) Figur.6 Oscillatios vrticals du tablir rctagulair d ratio 8 (U=5m/s) 69

70 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Figur.7 Oscillatios torsio du tablir rctagulair d ratio 8 (U=5m/s) Figur.8 Oscillatios torsio du tablir rctagulair d ratio 8 (U=5m/s) 7

71 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus H* Hz 5Hz 7Hz 9Hz Hz -6-7 Vitss réduit Figur.9 officit H du tablir trapézoïdal foctio d la vitss réduit pour plusiurs fréqucs d oscillatios H* Hz 5Hz 6Hz 8Hz 9Hz Hz -4-6 Vitss réduit Figur. officit H du tablir rctagulair foctio d la vitss réduit pour plusiurs fréqucs d oscillatios 7

72 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus H4* Hz 5Hz 7Hz 9Hz Hz -5-6 Vitss réduit Figur. officit H 4 du tablir trapézoïdal foctio d la vitss réduit pour plusiurs fréqucs d oscillatios H4* Hz 5Hz 6Hz 8Hz 9Hz Hz - Vitss réduit Figur. officit H 4 du tablir rctagulair foctio d la vitss réduit pour plusiurs fréqucs d oscillatios 7

73 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus. A* Hz 5Hz 6Hz 7Hz 8Hz 9Hz Hz -.4 Vitss réduit Figur. officit A du tablir trapézoïdal foctio d la vitss réduit pour plusiurs fréqucs d oscillatios A* Hz 7Hz 8Hz Hz Hz Hz -.4 Vitss réduit Figur.4 officit A du tablir rctagulair foctio d la vitss réduit pour plusiurs fréqucs d oscillatios 7

74 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus 4 A* 4Hz 5Hz 6Hz 7Hz 8Hz 9Hz Hz Vitss réduit Figur.5 officit A du tablir trapézoïdal foctio d la vitss réduit pour plusiurs fréqucs d oscillatios 4 A* 6Hz 7Hz 8Hz Hz Hz Hz Vitss réduit Figur.6 officit A du tablir rctagulair foctio d la vitss réduit pour plusiurs fréqucs d oscillatios 74

75 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus.4 Méthod ds oscillatios forcés otrairmt à la méthod ds oscillatios librs, ls forcs aéroélastiqus sot dirctmt msurés par ds capturs d prssio t o déduits ds équatios d la dyamiqu. la prmt d s affrachir ds caractéristiqus mécaiqus du systèm, qui occasioait ds icrtituds supplémtairs. U traitmt cojoit ds sigaux d forcs t d déplacmts d la maqutt sctioll prmt d calculr ls cofficits aéroélastiqus ds équatios d cala..4. Istrumtatio d la maqutt s maqutts utilisés sot clls ds oscillatios librs. Ell sot cpdat équipés d u couro d 64 priss d prssio rliés par ds tubs d viyl à dux boîtirs composés chacu d mmbras d silico piézoélctriqus. haqu tub st équipé d u «rstrictur» chargé d filtrr ls phéomès d résoac pumatiqu. Pour miimisr ls ffts d accélératio, ls boitirs sot fixés «couchés» à l itériur ds maqutts sctiolls. O vrra qu, malgré ctt précautio, ls capturs sot assz ssibls à l accélératio. a maqutt sctioll st xcité siusoïdalmt, via u systèm articulé, par u motur élctriqu à courat cotiu placé das u ds flasqus du bac dyamiqu (voir figur.8). Trois typs d mouvmts puvt êtr géérés: flxio vrtical, torsio, t ls dux couplés à la mêm fréquc. Différts amplituds d oscillatios puvt êtr imposés dépdat d la positio du bras sur l disqu sorti du motur ; o put aisi étudir l ifluc sur l allur du champ d prssio. D plus, o put fair varir la fréquc d oscillatio par simpl réglag d l alimtatio du motur, t aisi balayr u larg gamm d fréqucs réduits pour u vitss d vt doé. s déplacmts sot msurés par dux capturs à triagulatio lasrs placés à l itériur ds flasqus du bac dyamiqu. s * sigaux aalogiqus d prssio sot multiplxés à u cadc d khz t voyés rafals à u cart d acquisitio 6 bits à u cadc d Hz. s sigaux aalogiqus issus du tub d Pitot t ds capturs d déplacmts, filtrés élctroiqumt à Hz, sot égalmt multiplxés t placés à la suit ds msurs d prssios avat d êtr trasmis à la cart d acquisitio, puis à u statio d travail. s doés umériqus sot «sychroisés» pdat la phas d traitmt par ds itrpolatios d typ «tirlig». 75

76 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Figur.7 Parti haut du systèm articulé : bras d trasmissio, capturs d déplacmts Figur.8 Parti bass du systèm articulé : motur élctriqu, xctriqu 76

77 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus.4. as ds oscillatios purs otrairmt à la méthod ds oscillatios librs, la méthod ds oscillatios forcés prmt d msurr tous ls cofficits aéroélastiqus, y compris ls trms couplés, à partir d oscillatios purs. i l o prd l cas d u mouvmt d flxio vrtical, l équatios (.) put êtr réécrit sous la form: * ( ωt) + H H si ( ωt) * Fsi( ω t + ϕ) = H H cos (.6) H4 H4 4 où F t H rpréstt rspctivmt ls amplituds ds forcs d portac t ds déplacmts vrticaux t H4 = ρb ω. O déduit: ( F H) ϕ H 4 * = H si (.7) ( F H) ϕ H 4 * 4 = H cos (.8) D la mêm faço, cosidérat l équatio (.), t prat A4 = ρb ω, o put écrir: ( F H) ϕ A 4 * = A si (.9) ( F H) ϕ A 4 * 4 = A cos (.) s quatr autrs cofficits sot calculés d la mêm maièr à partir ds oscillatios torsio. H st rmplacé par A, amplitud ds oscillatios torsio. O itroduit alors ls paramètrs H = ρb ω t 4 A = ρb ω, rspctivmt pour ls cofficits couplés t o couplés. s équatios (.7), (.8), (.9) t (.) motrt qu ls calculs ds cofficits aéroélastiqus puvt s résumr à ds calculs d rapports d amplituds, d fréqucs d oscillatios, t d déphasags. O doit cpdat psr à rtirr ds sigaux d forcs ls composats dus à l accélératio. Pour cla, o ffctu ds msurs sas vt pour ls différts amplituds t fréqucs d oscillatios. O déduit d l aalys comparativ ds sigaux d déplacmts t d "forcs", u foctio d trasfrt. E pricip, ctt foctio d trasfrt st u simpl scalair d la form.ω puisqu ls sigaux d déplacmts t d accélératios sot phas. Par la suit, o rtrachra simplmt au sigal d forcs l sigal d déplacmt multiplié par l scalair qustio. a figur.8 motr ds xmpls d sigaux d déplacmts, accélératio t forcs d portac + accélératios pour u xcitatio à 5 Hz t u vt à m/s. 77

78 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Figur.9 igaux d déplacmts, accélératio t portac pour u xcitatio à 5Hz 78

79 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus.4. Msur ds rapports d amplituds, fréqucs d oscillatios t déphasags Avat d calculr ls rapports d amplituds, ls sigaux d forcs t d déplacmts sot umériqumt filtrés pass-bas. O a vérifié qu c filtr occasioait pas d déphasag parasit. Puis, comm l amplitud ds oscillatios vari légèrmt avc l tmps, à caus ds imprfctios du systèm mécaiqu, ls rapports sot calculés périod par périod puis moyés. s fréqucs t déphasags tr sigaux sot stimés à partir du calcul d la foctio d dsité itrspctral tr l sigal ds forcs t clui ds déplacmts. Afi d améliorr la précisio ds résultats, u spctr rpréstat la répos d u oscillatur liéair o amorti à u dgré d librté st ajusté aux valurs bruts par u méthod d optimisatio basé sur ls moidrs carrés. pctr d puissac, Fréquc Doés bruts Modèl d.d.l. Figur. Détrmiatio d la fréquc d u sigal par ajustmt d u modèl d oscillatur liéair à d.d.l. par u méthod moidrs carrés O put quad mêm sigalr qu plus la fréquc d oscillatios augmt, mois ls déphasags sot stimés avc précisio ; tout d abord parc qu l ombr d poits par périod dimiu, suit parc qu ls déphasags élctroiqus t mécaiqus itroduits par ls différts maillos du systèm d acquisitio sot difficils à caractérisr..4.4 as du mouvmt couplé Au momt du traitmt ds ssais flxio forcé, ous avos oté l xistc d légèrs oscillatios torsio, à la mêm fréquc qu ls oscillatios flxio. s déplacmts iduits par c mouvmt d torsio riv était d l ordr d % ds mouvmts géérés par l flxio vrtical. O a doc dû traitr c cas tat qu mouvmt couplé itroduisat ls cofficits msurés pdat ls oscillatios torsio pur. Notos au passag qu il srait tout à fait visagabl t itérssat, après avoir amélioré l systèm mécaiqu du motag flxio, d comparr ls résultats issus ds oscillatios simpls t cux issus ds oscillatios couplés. 79

80 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Doc, das l cas où ls oscillatios flxio sot couplés à ds oscillatios torsio, à la mêm fréquc, l équatio (.) st réécrit sous la form : Fsi * * * * ( ωt + ϕ) = A[ H cos ωt + H si ωt] + H[ H cos( ωt + θ) + H si( ωt + θ) ] 4 (.) où = ρb ω t = ρb ω. qu l o put codsr : ( t + ϕ) = F si( ωt + ϕ ) + F si( ω + ϕ + θ) F si (.) ω t upposat qu ous coaissos ls valurs d procédur d calcul st la suivat : * H t * H t qu ous chrchos à calculr * H t * H, la 4 alcul ds rapports d amplituds ds sigaux : F α t H F F F F A = avc A F * * ϕ = a ta( H ) H F A = H * + H * F F = + cos( ϕ ϕ ) F F F F F si ϕ si ϕ ϕ = a ta F θ F cos ϕ cos ϕ F F F H si F H * = ϕ F F H 4 = cos ϕ F H * s autrs pairs d cofficits sot calculés d la mêm maièr. Dux pairs d cofficits doivt êtr préalablmt stimés à partir d u motag simpl afi d calculr u autr issu d u motag couplé. 8

81 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus.4.5 Résultats Trois maqutts sctiolls ot été tstés das l cadr d u partariat avc l P, l INRIA t l ENP : dux profils rctagulairs d ratios 4 t 8 t l profil trapézoïdal (figurs. t.). uls ls résultats du tablir trapézoïdal t du tablir rctagulair d ratio 8 sot préstés ici, l tablir d ratio 4 état pas étudié par la suit. s msurs ot été ffctués vt uiform pour dux vitsss d vt moys : m/s t 8 m/s. Trois amplituds d oscillatios ot été tstés torsio : 8, 4,, dux flxio : mm t mm d crêt à crêt. a gamm d fréquc d oscillatios était d à 7 Hz. s résultats sot préstés figurs. à.6. Figur. Implatatio ds couros d prssios du tablir trapézoïdal Figur. oup sur u ds couros d prssios du tablir trapézoïdal 8

82 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus H* -5 - Ampl. mm Ampl. mm -5 - Vitss réduit 4 5 H* 5 5 Ampl. Ampl Vitss réduit H* -6-8 Ampl. Ampl. - - Vitss réduit H4* -4-6 Ampl. mm Ampl. mm -8 - Vitss réduit Figur. officits aéroélastiqus d portac du tablir trapézoïdal obtus par la méthod ds oscillatios forcés ( coulur ls résultats issus ds oscillatios librs) 8

83 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus 5 4 A* Ampl. mm Ampl. mm Vitss réduit A* 5 4 Ampl. Ampl Vitss réduit 5 A* 5 Ampl. Ampl Vitss réduit,9,8,7,6 A4*,5,4, Ampl. mm Ampl. mm,, Vitss réduit Figur.4 officits aéroélastiqus d momt du tablir trapézoïdal obtus par la méthod ds oscillatios forcés ( coulur ls résultats obtus par la méthod ds oscillatios librs) 8

84 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus H* - Ampl.mm Ampl.mm -5 - Vitss réduit H* - -5 Ampl. Ampl Vitss réduit 4 H* Ampl. Ampl Vitss réduit H4* Ampl.mm Ampl.mm Vitss réduit Figur.5 officits aéroélastiqus d portac du tablir rctagulair obtus par la méthod ds oscillatios forcés ( coulur ls résultats obtus par la méthod ds oscillatios librs) 84

85 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus Ampl.mm A* - Ampl.mm - Vitss réduit 5 4 A* Ampl. Ampl Vitss réduit 5 4 A* Ampl. Ampl Vitss réduit A4* Ampl.mm Ampl.mm Vitss réduit Figur.6 officits aéroélastiqus d momt du tablir rctagulair obtus par la méthod ds oscillatios forcés ( coulur ls résultats obtus par la méthod ds oscillatios librs) 85

86 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus i ls cofficits aéroélastiqus du tablir trapézoïdal smblt pu dépdats d l amplitud ds oscillatios, cla st pas l cas pour l tablir rctagulair. O put doc coclur qu, pour c drir, ls formulatios d cala prdt d lur prtic pour ds mouvmts d grad amplitud. Au cotrair, l tablir trapézoïdal smbl plus iflucé par l ombr d Ryolds qu l tablir rctagulair; cla st particulièrmt t pour ls cofficits H, H 4, A, A 4 t s traduit par dux séris d poits légèrmt décalés, corrspodat aux dux vitsss d vt imposés. Das l cas ds oscillatios vrticals, o obsrv u disprsio assz importat ds résultats, particulir du côté ds cofficits couplés. la st partillmt imputabl au mouvmt d torsio parasit, dot l évaluatio s st avéré pu précis. a comparaiso ds résultats obtus par ls méthods libr t forcé ous prmt pas d tirr d coclusio bi frach. E fft, si ls cofficits H t A sot pu ssibls à la méthod mployé, l stimatio ds cofficits H 4 du tablir rctagulair t A du tablir trapézoïdal st frachmt différt slo la tchiqu utilisé. a surstimatio du H 4 oscillatios librs put êtr partillmt attribué à l ifluc d l amplitud ds oscillatios, plus faibls qu forcé. cofficit A, lui, illustr bi qulqus poits faibls d la méthod ds oscillatios forcés : précisio moy das ls hauts fréqucs t, surtout, mauvais appréhsio ds phéomès physiqus. E fft, u rrur absolu modéré put iduir u chagmt d sig sas qu o puiss s rdr compt visullmt du caractèr stabl ou istabl du profil. N oublios pas qu ls phéomès obsrvés par ls dux méthods sot pas totalmt idtiqus : das l cas ds oscillatios librs, la structur «s adapt» sas arrêt à l écoulmt ; das l cas ds oscillatios forcés c st plutôt l écoulmt qui s adapt aux mouvmts d la structur. Notammt, l phéomè d «glissmt fréquc» st absolumt pas rproduit. Par aillurs, ls icidcs du tablir sot pas ls mêms das ls dux méthods. a méthod ds oscillatios forcés assur u icidc moy costat bi cou, l occurrc, ici,. Avc la méthod ds oscillatios librs, l écoulmt moy impos u icidc moy différt, a priori plus istabl. la put xpliqur qu l tablir trapézoïdal s avèr plus istabl d après ctt méthod (icursio du cofficit A vrs ls ordoés positivs). Efi, il covit d pas opposr bloc dux méthods qui sot aussi complémtairs. a méthod ds oscillatios librs st fft plus adapté aux basss vitsss réduits pour lsqulls ls amortissmts aérodyamiqus sot égatifs (pas d divrgc) t rlativmt faibls valur absolu (bo xcitabilité t ombr sigificatif d périods pdat la décroissac du sigal). a méthod ds oscillatios forcés st mois approprié à faibl vitss (ssibilité ds capturs) mais tout à 86

87 hapitr Msur ds forcs aérodyamiqus fait adapté lorsqu l amortissmt aérodyamiqu st élvé (l amplitud ds sigaux a pu d importac) ou dvit positif (mouvmt st cotrôlé)..5 oclusio s tchiqus xpérimtals préstés das c chapitr puvt aujourd hui cor êtr cosidérés comm ls méthods d référc d caractérisatio aérodyamiqu ds tablirs d pot. s méthods umériqus, gééralmt basés sur la résolutio ds équatios d Navir toks, sot pli ssor mais cor fortmt limités par la puissac ds ordiaturs actuls. O put imagir qu u jour vidra où clls-ci pourrot s substitur, totalmt ou partillmt, à l xpérimtatio. s avatags sot évidts : coûts réduits, souplss d utilisatio, o-itrusivité, accès à d ombruss doés o accssibls xpérimtalmt, Nous avos cosacré l sstil du chapitr à dux méthods d msur ds cofficits aéroélastiqus : la méthod ds oscillatios librs t la méthod ds oscillatios forcés. Ells ot été appliqués à dux profils d tablir d pot : u trapézoïdal t u rctagulair d ratio 8. uls ls résultats obtus oscillatios librs srot utilisés das l cadr d la procédur d validatio présté au chapitr 5. a raiso st doubl : ss physiqu plus clair, gamm d vitsss réduits balayé plus approprié. 87

88 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Après avoir caractérisé ls forcs aérodyamiqus s xrçat sur u structur élacé, o s propos d calculr la répos. Dux approchs sot dévloppés, basés sur u discrétisatio élémts fiis d la structur. a prmièr cosist à raisor d maièr statistiqu s plaçat das l'spac ds fréqucs : o parl alors d'approch spctral. tt méthod prést comm itérêt majur d'êtr écoomiqu tmps d calculs. Ell impliqu cpdat d liéarisr l'évolutio ds forcs aérodyamiqus foctio d l'icidc du vt, c qui put parfois s révélr très hasardux. Nous proposos éamois u méthod d "liéarisatio équivalt" ds cofficits aérodyamiqus prmttat d réduir c problèm. Efi, la méthod spctral, basé sur ds hypothèss d statioarité, prmt pas d'étudir fimt ls problèms d'istabilités aérodyamiqus. a scod approch cosist à résoudr ls équatios d la mécaiqu das l domai tmporl : o parl alors d'approch tmporll. tt approch, plus gourmad tmps d calcul, prmt éamois u millur modélisatio ds forcs aérodyamiqus. otrairmt à la méthod spctral, ll prmt d prdr compt lur o-liéarité. E outr, ll prmt miux d'appréhdr ls phéomès d'istabilités aérodyamiqus. 89

89 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4. Discrétisatio élémts fiis 4.. Gééralités a structur st modélisé slo la méthod ds élémts fiis. o élacmt lui prmt d êtr facilmt discrétisé élémts d typ «poutr D». a figur 4. motr, à gauch, u maqutt du viaduc d Millau phas d costructio, à droit, sa modélisatio élémts poutrs par la méthod ds élémts fiis. Figur 4. - Modélisatio par ls élémts fiis du viaduc d Millau phas d costructio haqu élémt poutr st défii par dux œuds, soit dgrés d librtés (fig.4.). Ell st outr caractérisé par u crtai ombr d propriétés mécaiqus (mass, irti, raidur, amortissmt) t aérodyamiqus (cofficits statioairs t istatioairs). Figur 4. - Modélisatio d u élémt poutr D 9

90 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Il st alors possibl d'appliqur à c typ d modèl ls outils classiqus d la mécaiqu ds vibratios. Das ls qulqus pags qui suivt ous rapplos brièvmt la atur d cs outils. 'objctif 'st aucu cas d proposr qulqu chos d ouvau mais d précisr ls otios t otatios utilisés par la suit. 4.. Mis équatios a) as d u élémt osidéros u élémt qulcoqu d u structur. Notos x l vctur positio d u poit d ct élémt t x l vctur cotat ls coordoés d ss œuds. O itroduit alors u coordoé paramétriqu lié à otr élémt, t u foctio d itrpolatio matricill N rliat ls dux vcturs : x( ) = N( ) [ ; ] (4.) x i P d rprést l vctur déplacmt chaqu poit d l élémt t d l vctur cotat ls coordoés ds déplacmts ds œuds, u approximatio dit «isoparamétriqu» prmt d écrir,: d P ( ) = N( ) d (4.) A la foctio matricill d itrpolatio ( ) N, o associ la matric jacobi J ( ) prmttat d ffctur l chagmt d variabls, ds coordoés cartésis aux coordoés paramétriqus, au cours d u itégratio. Das l cas d u élémt poutr, la matric jacobi st u scalair égal à, loguur d la poutr. Aisi, pour u foctio qulcoqu f(x), o écrit : élémt f (x) dx = J( ) f ( ) d (4.) élémt O itroduit égalmt la matric X rliat l vctur ds déformatios ε au vctur d : ε = X d (4.4) 9

91 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Aisi, o put écrir l pricip ds travaux virtuls pour u élémt poutr : ε élémt *T H ε dv + élémt ρ d P *T *T *T *T d P P dv + cd P d dv d P f dv d P f ds = (4.5) élémt élémt v élémt s où H st la matric d rigidité, ρ la mass volumiqu, c l cofficit d amortissmt, f s t f v ls vcturs forcs xtériurs surfaciqus t volumiqus. E rportat (4.) t (4.4) das (4.5), o obtit l équatio matricill suivat : m d + c d + k d f = (4.6) avc ρ T m N N dv la matric mass d l élémt, (4.7) = élémt T c = c N N dv la matric amortissmt, (4.8) élémt T k = X H X dv la matric raidur, (4.9) élémt T T f = N f vdv + N f sds l vctur ds forcs équivalts. (4.) élémt élémt b) Assmblag Il s agit maitat d écrir l équatio matricill régissat l smbl d la structur : c st l étap d l assmblag. Aisi, si o ot d l vctur cotat l smbl ds dgrés d librté d la structur i.. 6 fois l ombr d œuds utilisés pour sa discrétisatio, o put écrir : M d + d + K d F = (4.) où M,, K sot ls matrics d mass, d'amortissmt t d raidur d la structur discrétisé obtus par assmblag ds matrics m, c, k proprs à chacu ds élémt. 9

92 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag a procédur d assmblag ds M,, K st la suivat : Notos l ombr d élémts, dlt l ombr d dgrés d librté total, m j, c j, k j ls matrics mass, amortissmt t raidur associés à u élémt j (j =, ). osidéros maitat ls matrics carrés m j ', c j ', k j ' d dimsios dlt, cotat ls valurs ds matrics m j, c j, k j, aux itrsctios tr ligs t colos corrspodat à ds dgrés d librté appartat à l élémt i, t ds partout aillurs. Alors, ls matrics M,,K puvt êtr défiis comm ls somms ds matrics m j ', c j ', k j ' : M = m ' = j c ' K = j k ' (4.) j j j j 4. alcul ds mods proprs d la structur Rcosidéros l équatio (4.) appliqué à u mouvmt libr sas amortissmt. O écrit alors : M d + K d = (4.) Par aalogi avc u systèm à u dgré d librté, o chrch ds solutios d la form : d(t) Z iωt = (4.4) où Z st u vctur colo costat. O obtit aisi l équatio suivat : iωt ( Mω + K) Z = (4.5) xistc d u solutio o trivial impliqu : dét ( Mω + K) = (4.6) Il xist gééral dlt valurs disticts ω j solutios d ctt équatio algébriqu ω. Il rst à résoudr l équatio matricill qui suit : 9

93 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag K Z j = ω M Z (4.7) j j O obtit aisi dlt solutios à l équatio (4.5) caractérisés par ls «vcturs proprs» (ou «déformés») Z j t ls «valurs proprs» associés ω j. s dlt «mods proprs» costitut u bas d l spac ds solutios d (4.5). s Z j état défiis à u factur près, o ls ormalis gééralmt fixat à lur plus grad composat. O itroduit alors ls otios d matrics mass t raidur gééralisés Mˆ t Kˆ : Φ T M Φ = Mˆ (4.8) Φ T K Φ = Kˆ (4.9) où Φ st u matric dot ls colos sot costitués ds vcturs proprs Z j. Das la pratiqu, u ombr limité ds prmirs mods proprs suffit à rpréstr ls vibratios d u structur. O a alors itérêt à passr d la bas odal à u bas modal réduit pour dimiur l rag ds systèms à résoudr t par coséqut ls durés d calcul. 94

94 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4. a méthod spctral s prmièrs applicatios d la théori ds vibratios aléatoirs à l étud ds structurs soumiss à l actio d la turbulc du vt sot dus à ipma (95). Ells cocrait particulièrmt ls ails d avio mics. st Davport (96) qui, l prmir, étdit ls travaux d ipma à l étud ds structurs élastiqus das la couch limit atmosphériqu. U a plus tard, il utilisa c ouvl outil pour l aalys ds ffts du vt sur ls pots suspdus. Il s'itérssait alors qu'aux problèms d turbulc. E 974, cala itroduit ls forcs aéroélastiqus das l calcul spctral ds pots. 4.. Pricip a méthod spctral cosist à assimilr l mouvmt d la structur étudié à la suprpositio d mods proprs sigificatifs, t à évalur pour chacu d'ux la dsité spctral d puissac ds déplacmts. haqu sigal modal, supposé gaussi, put alors êtr caractérisé par so écart-typ, calculé par simpl itégratio d so spctr. s étaps pricipals d ctt approch sot : Discrétisatio d la structur élémts fiis (poutrs à ddl) t calcul ds mods proprs; aractérisatio aérodyamiqu d l'vlopp d la structur ; aractérisatio probabilist du vt par l évaluatio d la matric d dsité itrspctral d puissac d la composat turbult ; Evaluatio d la matric dsité spctral d puissac ds forcs turbults par l itrmédiair ds cofficits aérodyamiqus das la bas odal ; ostitutio d la matric dsité spctral d puissac ds forcs turbults das la bas modal ; Résolutio d l équatio fodamtal d la dyamiqu das la bas modal t déductio d la dsité spctral d puissac ds oscillatios pour chaqu mod cosidéré ; Détrmiatio ds écarts-typs ds déplacmts modaux par itégratio ds spctrs ; Déductio ds sollicitatios xtrêms. A partir d c schéma d bas, d ombruss variatios puvt êtr visagés, plus ou mois préciss, plus ou mois écoomiqus tmps d calcul. Ells itrvit sstillmt aux ivaux suivats: Problèm du couplag lors d la résolutio du systèm das la bas modal ; Pris compt d la déformé statiqu ; iéarisatio ds cofficits aérodyamiqus ; Itégratio du spctr ds déplacmts. 95

95 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.. Défiitio ds rpèrs U bas «local» st associé à chaqu élémt poutr ; c st das ctt bas qu sot xprimés ls différts cofficits aérodyamiqus das l fichir d tré. s axs x t y sot rspctivmt associés aux fforts d traîé t d portac tadis qu l ax z st dirigé das l ax d la barr. la corrspod aux covtios gééralmt mployés soufflri pour ls maqutts sctiolls. a prmièr composat du vctur x t la troisièm composat du vctur y sot choisis positivs. y x θ z Figur 4. Rpèr local associé à u élémt poutr O défiit égalmt u bas associé au vt ; l ax x st das l ss t la dirctio du vctur vitss d vt moy, tadis qu ls axs y t z sot rspctivmt associés aux fluctuatios turbults v t w. rpèr vt, aisi qu ls rpèrs locaux, sot défiis au si d u rpèr gééral par ds matrics d trasformatio PV t P : U V UW U + V + W U + V U + V U + V + W V U VW P v = (4.) U + V + W U + V U + V U + V + W W U + V U + V + W U + V U + V + W où U, V, W rpréstt ls trois composats du vctur vt moy U das la bas gééral. sig( Y) Y X Z sig( Y) X X + Y X + Y sig( Y) X Y Z P = sig( Y) Y (4.) X + Y X + Y X + Y sig( Y) Z où X, Y, Z, rpréstt ls coordoés du vctur dirctur d l élémt das l rpèr gééral. 96

96 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.. alcul d la matric d dsité spctral ds forcs turbults a vitss du vt agissat sur u élémt st xprimé das u bas qulcoqu défii par sa matric d passag P V. oit P la matric d passag lié à la bas local. Alors, ls composats fluctuats d la vitss du vt s'xprimt, das la bas local: u v w = P T P V u v w (4.) u, v, w état défiis das la bas lié au vt. Exprimat (.) sous la form suivat : γ = Γ ad (4.) où ad st défii (.) t Γ st u matric diagoal cotat ls trms γ F, γ, γ X FY MZ, «racis carrés» ds foctios d admittac aérodyamiqu liés aux forcs d traîé, portac t momt, déduit qu l vctur ds forcs par uité d loguur d l'élémt s écrit, das la bas local : o u T f t = γ P PV v (4.4) w s cofficits aérodyamiqus t lurs dérivés par rapport à l'icidc du vt sot rcalculés pour chaqu élémt foctio d la dirctio du vt t d la déformé moy d la structur. Pour cla, ls cofficits t lurs dérivés sot trés sous form d polyôms du 4 èm dgré, foctios d l'icidc rlativ du vt. s polyôms sot obtus par optimisatio o liéair par ls moidrs carrés autour ds valurs discrèts calculés par l programm d liéarisatio équivalt ds cofficits aérodyamiqus. Nous rvidros sur ls pricips d ctt méthod à la fi du chapitr. s méthods d calcul basés sur u discrétisatio élémts fiis écssitt u formulatio ds fforts aux œuds d la structur t o sur ss élémts. O itroduit doc u ouvll bas d projctio, d dimsio, associé aux dgrés 97

97 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 98 d librté ds dux ouds d l élémt poutr. Aisi, l vctur rpréstat ls déplacmts d l élémt s écrit sous la form suivat: ( ) T z y x z y x r r r z y x r r r z y x d = (4.5) vctur ds déplacmts u poit qulcoqu d l'élémt, défii par sa coordoé paramétriqu [;], st alors égal à d ) ( N. vctur ds forcs élémtairs xprimé das la bas odal d l élémt, s xprim doc : = γ d ) J( w v u P P ) N( f V T T t (4.6) c qui do, das la bas gééral : = γ d ) J( w v u P P ) N( P f V T T T g t (4.7) où P st la matric d chagmt d bas gééral local pour u vctur à composats: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = T T T T P P P P P (4.8) E optat pour u schéma d itégratio liéair, o écrit : = ) ( N (4.9) c qui prmt d réécrir (4.7) sous la form :

98 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag u g T T T f t = P N( ) γ P PV v (4.) w état la loguur d l élémt poutr. Rmarquos bi qu l vctur ds forcs élémtairs agissat sur l'élémt st u trasformatio liéair ds composats turbults agissat sur l'élémt. O put maitat costruir l vctur ds forcs global faço suivat : F par assmblag ds vcturs f g. a j èm coordoé du vctur t t F t s'xprim d la ( ( j, )) g F ( j) = f (4.) t / i t Pour tous ls élémts auqul appartit l dgré d librté j, o ajout à la composat (j,) (uméro local das l'élémt du dgré d librté d uméro global j du vctur). 'st la procédur classiqu d'assmblag. vctur put à prést êtr xprimé das la bas modal. i l o ot mod, la j èm coordoé du vctur ds forcs gééralisés s écrit : Z j l vctur propr du j èm F (j) = Z F (4.) m t j t u O a doc xprimé l vctur ds forcs gééralisés comm u combiaiso liéair ds vcturs v. w s vcturs u v état aléatoirs ctrés statioairs, ils admttt u matric d dsité spctral w V ( ω). vctur F admt par coséqut u matric d dsité spctral, foctio quadratiqu ds matrics ( ω). V O put réécrir plus simplmt (4.7) sous la form: 99

99 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag u g f t = ( ) v J( ) d (4.) élémt w oit,' ( ω ) la dsité itr-spctral ds composats turbults (u,v,w) xprimé das l rpèr vt V t agissat sur, t (u', v', w') xprimé das l rpèr vt t agissat sur ' (cll ci st dirctmt doé par l modèl d vt). O écrit alors :,' ( ω) = ( ) ( ω) ( ' ) J( ) J( ' ) d d' (4.4) g 'g f t,f t ' V ' D maièr aalogu au cas vctoril, la matric d dsité spctral global ( ω) s obtit par assmblag ds ( ω ) : g ' g f t,f t F t ( j, j' ) = ( ω)( (j, ), (j', ' ) F ( ω) ) (4.5) t / j '/ j' ' g 'g f t,f t a matric d dsité spctral ds forcs gééralisé s obtit alors multipliat à gauch t à droit par la matric ds déformés modals Φ : T F ( ω ) = Φ ( ω) Φ (4.6) t Ft 4..4 alcul d la matric d dsité spctral ds forcs aéroélastiqus osidéros cor u élémt poutr défii chacu d ss poits par sa coordoé paramétriqu. vctur ds forcs aéroélastiqus xprimé das u rpèr local vaut, à l istat t : avc: la (,t) f a (,t) = (4.7) ma (,t)

100 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag ( ) ( ) ( ) ( ) + α + α + ρ = t, h H B K,t H K,t H U KB,t h H U K B U,t) ( l * 4 * * * a (4.8) ( ) ( ) ( ) ( ) + α + α + ρ = t, h A B K,t A K,t A U KB,t h A U K B U,t) ( m * 4 * * * a (4.9) s équatios (4.8) t (4.9) puvt êtr réécrits sous la form matricill suivat :,t) ( )d ( K,t) ( )d (,t) ( f a a a ω + ω = (4.4) avc ρ = * * * * a A U KB A U KB H U KB H U K B U (4.4) ρ = * * 4 * * a BA K A K H K BH K B U K (4.4) O écrit alors, das la bas odal : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a T a T a d d J N K N d d J N N (t) f + = (4.4) O déduit l xprssio d dux ouvlls matrics raidur t amortissmt das l rpèr gééral : ( ) ( ) ( ) a T T g a P d J N N P = (4.44)

101 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag K g a T T = P N( ) K a N( ) J( ) d P (4.45) qu l o assmbl suivat la procédur classiqu : ( ) ω = g ( ) ω (4.46) a a ( ) ω = g K ( ) ω (4.47) a K a 4..5 Mis équatios s déplacmts d u structur soumis à l actio turbult du vt sot doc régis das l tmps par l équatio différtill matricill suivat : M d (t) + d (t) + K d (t) = F (U, d,d, t) F (U, V, t) (4.48) a + t avc M : matric ds masss : matric d'amortissmt K : matric d raidur d : vctur ds déplacmts F a : vctur ds forcs aéroélastiqus F t : vctur ds forcs turbults Das l domai fréqutil, l équatio put êtr dévloppé sous la form suivat (i² = -) : ( U, ω) + K ( U, ω) d ( ω) + F (U, V, ω) ( ω M + i ω + K) d ( ω) = i ω a a t (4.49) systèm d rag, où st l ombr d dgrés d librté d la structur i.. 6 fois l ombr d œuds put êtr ramé à u systèm d rag ifériur m ffctuat u projctio sur u bas costitué ds m prmirs vcturs proprs.

102 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Itroduisat Φ la matric d dimsio x m composé ds m prmirs vcturs proprs disposés colos, o put alors écrir : d ( ω ) = Φ q ( ω) (4.5) où q st l vctur ds coordoés gééralisés. E isérat l équatio (4.5) das l équatio (4.49) t multipliat à gauch tous ls trms par obtit l équatio suivat: T Φ, o ( ) ( ) T U, ω + Kˆ U, ω q ( ω) + Φ F ( ω) ( ω Mˆ + i ωĉ + Kˆ ) q ( ω) = i ωĉ a a t (4.5) avc Mˆ T = Φ M Φ matric ds masss gééralisé (diagoal) T Ĉ = Φ Φ matric d amortissmt gééralisé (o diagoal) Kˆ T = Φ K Φ matric ds raidurs gééralisé (diagoal) T ( U, ω ) =Φ ( U, ω)φ Ĉa a matric d amortissmt aérodyamiqu (o diagoal) T ( U, ω ) = Φ K ( U, ω)φ Kˆ a a matric ds raidurs aérodyamiqu (o diagoal) 4..6 Aalys d la stabilité Avat d chrchr à détrmir la répos d otr structur à l actio turbult du vt, il covit d vérifir la stabilité. O costat das la pratiqu qu ls phéomès d istabilité s dévloppt d autat plus facilmt qu l taux d turbulc st faibl. st pourquoi, das l cadr d'u approch sécuritair, l étud d la stabilité d u tablir d pot, qu ll soit xpérimtal ou umériqu, doit êtr ffctué vt uiform. caractèr istabl d u tablir st sstillmt caractérisé par sa vitss critiqu d flottmt, vitss au-dlà d laqull ls oscillatios d la structur prt u caractèr divrgt. Il covit cpdat d bi distigur dux aspcts du phéomè d istabilité : so dévloppmt proprmt dit, mais égalmt so iitiatio. E fft, tout istabilité doit êtr iitié par u impulsio suffisammt puissat pour pouvoir suit s dévloppr. Das la atur, u miimum d turbulc (ou évtullmt u détachmt tourbilloair) st doc écssair pour obsrvr u comportmt divrgt.

103 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag qui ous itérss, c st d savoir à qul momt la structur sra pottillmt suscptibl d adoptr u comportmt divrgt. a qustio d l iitiatio d ctt divrgc ous itérss doc pas ici. Rprat l équatio (4.4), t imposat F t ( ω ) =, l istabilité s défiit mathématiqumt comm l momt, où, pour u vitss doé U, il xist u valur d ω aulat la matric G(ω) défii par: G( ω ) = ω Mˆ + iω Ĉ Ĉ (U, ω) + Kˆ Kˆ (U, ω) a a (4.5) a vitss la plus faibl, prmttat d satisfair l critèr d istabilité, sra supposé corrspodr à la vitss critiqu d flottmt. a méthod la plus approprié pour détrmir ctt vitss st u méthod du typ «poit fix» ommé pk-f. Ell a été dévloppé par Namii (99). upposat qu ls m pulsatios ω j ds m prmirs mods ot été calculés, o put suivr l'algorithm proposé par Patro olars (998): O rchrch ds solutios d la form s = (δ+i)ω à l équatio : G(s) ( Im(s) ) + Kˆ Kˆ ( Im(s) ) = = s Mˆ + s Ĉ Ĉ a a (4.5) a procédur qui suit st réalisé pour ds vitsss croissats U k, (k=,, f) :. alcul d dux valurs iitials d s : s s j j ( U k ),ω j + i ω j ( U k ) i ω j = (4.54) = (4.55). alcul ds cofficits istatioairs d cala corrspodat aux fréqucs réduits : B Im(s ) j K j = (4.56) U k B Im(s ) j K j = (4.57) U k 4

104 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag. alcul du détrmiat d G(s) corrspodat à chaqu valur d s ( U ) t s ( U ) j k j k 4. Défiitio d u ouvll valur d s utilisat u schéma liéair d itrpolatio : s j s j(uk ) G(s j) s j(u k ) G(s j) (Uk ) = (4.58) G(s ) G(s ) j j 5. Répétitio ds étaps -4 jusqu à satisfactio du critèr d covrgc : G(s ) j tolérac Pour chaqu ouvll itératio, s ( U ) = s ( U ) t s ( U ) = s ( U ) j k j k j k j k 6. orsqu l tst d l étap 5 st vérifié, la répos oscillatoir aéroélastiqumt modifié a été trouvé. E outr, si la coditio : R(s ) j tolérac st vérifié, l flottmt itrvit pour la pulsatio Im( s j ) t la vitss U k st u vitss critiqu d flottmt. «tolérac» t «tolérac» sot ds suils d covrgc à défiir Résolutio complèt O chrch maitat à calculr la répos d u structur élacé soumis à l actio turbult du vt. équatio (4.5) prmt, pour u pulsatio ω doé, d détrmir la répos d la structur étudié das la bas modal : ( ω) q ( ω) = H( ω) Φ T F (4.59) t où H( ω) st la matric d trasfrt du systèm défii par : 5

105 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag H( ω ) = ω Mˆ + iω Ĉ Ĉ a (U, ω) + Kˆ Kˆ a (U, ω) (4.6) Das l cas gééral, la matric H(ω) st pas diagoal ; so ivrsio pour différts valurs d ω rprést doc ds tmps d calcul rlativmt importats. st éamois la sul faço d fair itrvir l itégralité ds phéomès aéroélastiqus das l domai spctral. a dsité spctral d puissac d chaqu coordoé gééralisé s obtit multipliat à droit l équatio (4.59) par so xprssio adjoit : T T* q ( ) = H( ω) Φ ( ω) Φ H( ω) Ft ω (4.6) U fois cou la matric d dsité spctral ds déplacmts modaux, o put rtourr das l domai tmporl t stimr lurs variacs : σ σ qq qmq σ σ qqm qmqm = π q ( ω) dω (4.6) a matric variac ds déplacmts odaux put alors êtr calculé d la maièr suivat: σ σ dd dd σ σ dd dd σ = Φ σ qq qmq σ σ qqm qmqm Φ T (4.6) s trms diagoaux rpréstt ls carrés ds écarts-typs d chaqu dgré d librté d la structur ; ls autr trms rpréstt ls trms d covariac ds différts pairs d dgrés d librté Résolutio simplifié pricip cosist à rprdr l équatio matricill (4.5) t à élimir ls trms o diagoaux. la rvit à élimir tout phéomè d couplag structurl t aérodyamiqu tr ls différts mods d la structur. E c qui cocr l amortissmt structurl, ctt simplificatio chag réalité pas grad chos das la msur où ls trms couplés sot très difficils à calculr t doc très mal cous. Par cotr, ls trms aéroélastiqus apparaisst plus qu sous form d amortissmt modal ajouté à l amortissmt structurl t u glissmt fréquc. 6

106 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag tt simplificatio st tout à fait justifié das l cas où ls fréqucs ds différts mods sot bi détachés. Das l cas d pots suspdus ou à haubas "vrai gradur", lorsqu ls fréqucs ds mods sigificatifs sot proch, ls trms d couplag puvt prdr u rôl plus importat, t l'hypothès simplificatric prdr d sa prtic. systèm matricil (4.5) s résum doc à m systèms idépdats à u dgré d librté : ( ω) ( ω m + i ωc + k ) q ( ω) = f (4.64) g g g tg où m, c, k, f sot rspctivmt ls mass, amortissmt, raidur t forc gééralisés. g g g tg O réécrit sous form ormalisé : ( ( ω) = h( ω) q( ω) ( ω) tg ω + i ωωf ξ f + ωf ) q = (4.65) m g avc ω = ω + ω = ξ + ξ f t f s a ξ f Dux solutios s offrt maitat à ous. a prmièr cosist à calculr q (ω) pour ω variat d «à» puis à stimr l écart-typ ds déplacmts modaux par l itégratio classiqu : σ q = π q ( ω) dω (4.66) a scod cosist à cosidérr la solutio q comm la somm d u cotributio quasi-statiqu (xcitatios d basss fréqucs) t d u cotributio dyamiqu (xcitatio à la fréquc d résoac). a cotributio dyamiqu st calculé rmplaçat l xcitatio réll par u bruit blac d itsité égal à la dsité d puissac spctral d l xcitatio à la fréquc aturll du systèm. la do (Prumot, 99): ( ω ) dy π σ q = (4.67) ξ m f f g ωf s coditios sous lsqulls l approximatio s justifi sot : 7

107 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag s valurs d ( ω) voisiag d ω f ; ( ω) f sot tlls qu la cotributio domiat d l itégral provit du proch f vari ltmt autour d la pulsatio aturll ω f. a cotributio quasi-statiqu st calculé assimilat l'smbl du spctr ds sollicitatios à u sollicitatio statiqu, c'st-à-dir associé à u admittac mécaiqu uitair. qs σ σ q = (4.68) m ω f g f tt approximatio st a priori baucoup plus grossièr qu la précédt ; outr u parti d la cotributio quasi statiqu st déjà iclus das la cotributio dyamiqu. Mais cla a pas d réprcussios fâchuss sur la précisio ds résultats. E fft, l'importac d la cotributio quasistatiqu par rapport à la cotributio dyamiqu st gééralmt faibl. U schéma d pricip d la méthod spctral simplifié st présté figur

108 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag U ω ω A A alcul d la composat quasi-statiqu ω ω alcul d la composat dyamiqu F F F F ω F ω ω F ω ω A M A M A M ω ω ω ω ω D D D ω ω ω ω ω ω Figur 4.4 chéma d pricip d la méthod spctral : calcul ds écarts-typs ds composats dyamiqu t quasi-statiqu ds déplacmts modaux U : dsité spctral d puissac du vt F : dsité spctral d puissac ds forcs D : dsité spctral d puissac ds déplacmts A A : admittac aérodyamiqu A M : admittac mécaiqu ω : pulsatio d résoac du mod cosidéré 9

109 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.4 imulatio umériqu d u sigal d vt tridimsiol spatialmt corrélé calcul tmporl d la répos d u structur élacé sous l actio du vt écssit u formulatio tmporll ds forcs aérodyamiqus. E particulir, o doit pouvoir imposr, sur chaqu élémt d la structur, u sigal d forcs turbults rspctat ds propriétés statistiqus bi préciss. la ous amè à géérr u sigal tmporl tridimsiol d vt dot ls propriétés sot xprimés das l domai fréqutil sous form d matrics d dsité spctral. Trois raisos ous amèt à isérr c sujt tr la préstatio d la méthod spctral t la préstatio d la méthod tmporll : Tout d abord, il s agit pas d calcul tmporl au ss où ous l tdos mais plutôt d géératio d coditios d tré à dstiatio du calcul tmporl ; suit, il ous smbl qu c sujt costitu u véritabl trasitio tr ls approchs spctrals t tmporlls ; fi, la porté ds méthods préstés par la suit dépass largmt l cadr ds structurs soupls. s applicatios sot multipls : géératio d vts travrsirs pour l calcul d la tu au vt ds trais, étud du comportmt dyamiqu ds grus à tour, géératio d coditios limits pour ds calculs.f.d. typ.e. ou D.N.., D ombruss méthods umériqus xistt prmttat d géérr ds sigaux multidimsiols spatialmt corrélés. a plus utilisé das l domai du «wid girig» st cll dévloppé par hiozuka t i 97. tt méthod prést surtout l avatag d êtr simpl à mttr œuvr t pu coûtus tmps d calculs. Néamois ss prformacs sot u pu décvats das l domai ds basss fréqucs. st pourquoi ous proposos égalmt u autr méthod d simulatio, plus réct, aux fodmts théoriqus plus solids, mais égalmt plus lourd trm d tmps d calculs. tt méthod, dit d «simulatio coditioll», st basé sur l algorithm proposé par Ji, uts t arkai (997).

110 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.4. Méthod d hiozuka tt méthod prmt d géérr poits d l spac procssus corrélés u k avc, tré, u pas d tmps t, u duré d simulatio T, t ls variabls prmttat d défiir ls spctrs t itrspctrs tr chacu ds sigaux. Das otr cas, il s'agit d la vitss moy du vt, ds écart-typs t échlls d la turbulc, t ds cofficits d la cohérc. Das u prmir tmps, o détrmi la fréquc d coupur fc tll qu la quasi-totalité d l érgi du procssus u(t) soit localisé das la bad fréqutill [-f c +f c ] i.. tll qu + fc + u (f ) df = α (f ) df (4.69) f c u avc α suffisammt grad. Pour u vt moy vrai gradur, u valur d,95 pour α do u fréquc d coupur égal à viro Hz. Das la pratiqu, u autr critèr prmttat d défiir la fréquc d coupur st la fréquc du drir mod d la structur cosidéré. Das l cas d u pot comm clui d Rio-Atirio, la gamm d fréquc ds prmirs mods cosidérés st iclus das l itrvall [,Hz,5Hz]. Autat dir qu bi avat Hz il s passra plus ri dyamiqumt parlat. a fréquc d Nyquist défii par f N = (4.7) t doit, d après la règl d échatilloag d hao, vérifir l iégalité suivat : f N f c (4.7) Bi tdu, plus f N st élvé plus t st ptit t doc, pour u duré d simulatio doé, plus l ombr d poits à simulr sra élvé. Das la pratiqu, l compromis gééralmt fait cosist à trasformr (4.7) égalité, c qui prmt d écrir : t = (4.7) f c

111 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag spac ds fréqucs [-f c +f c ] st alors discrétisé suivat l pas : f c f = (4.7) Pour chaqu pas fréquc o calcul la matric d dsité spctral du vt turbult ( i f ) d après ls équatios (.). tt matric état réll t symétriqu, o put lui appliqur la décompositio d holsky : ( i f ) = H( i f ) H( i f ) T (4.74) où ( i f ) H st u matric triagulair ifériur. s élémts d la matric ( i f ) H puvt êtr cosidérés comm ls cofficits d u combiaiso liéair das u bas d procssus uitairs t uiformémt distribués (bruit blac par xmpl). procssus uitair put êtr écrit, pour chaqu fréquc i f sous la form d u vctur colo X(i f ) d dimsio : iθ = iθ X(i f ) iθ i ki i (4.75) θ ki st la phas associé au poit k pour la i èm fréquc i f. st u variabl aléatoir uiformémt distribué sur [ π]. ci ous assur la covrgc du procssus simulé u vrs u procssus gaussi quad td vrs l ifii. oit Y(i f ) l vctur colo défii par : Y(i f ) = H(i f ) X(i f ) (4.76) procssus tmporl u k st alors défii par la trasformé d Fourir ivrs d Y k (i f ). Afi d améliorr l aspct ds procssus aisi géérés, o put multiplir préalablmt chaqu matric ( i f ) par u variabl aléatoir א i admttat u répartitio gaussi, uitair t ctré.

112 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.4. Méthod d Ji, uts t arkai (997) tt méthod d simulatio appartit à la famill ds simulatios «coditiolls» ; ll cosist à géérr u ouvau sigal tmporl dot o coaît ls propriétés statistiqus itrisèqus aisi qu l dgré d corrélatio avc u séri d sigaux tmporls xistats ; cs sigaux xistats pouvat uxmêms êtr sythétiqus ou issus d doés xpérimtals. a) Hypothèss t otatios upposos cous - procssus tmporls tridimsiols - poits d l spac. Il s agit maitat d géérr u ièm ; otos { (t)} { u (t), u (t), u (t)} T t ( ) T u = c ouvau procssus vctoril u (t) = u (t), u (t), u (t) la valur pris à l istat t par c procssus; o suppos égalmt cous ss foctios dsité spctral t itrspctrals d puissac qu l o ot rspctivmt (ω) t m (ω), m variat d à -. a composat { u (t)} st simulé prmir, à partir d la coaissac ds sigaux xistats { u (t)} m ; o géèr suit { u (t)} à partir d{ u (t)} t ds { u (t)} m, t fi { u (t)} à partir d { u (t)}, { u (t)}, t ds { u (t)} m. s procssus simulés état supposés gaussis, la distributio coditioll 5 d chaqu variabl aléatoir u r (t) st cou si sa moy t sa variac coditiolls sot cous. smbl du procssus { (t)} u r, lui, st tièrmt défii par sa moy coditioll t sa foctio d covariac coditioll (ou sa foctio dsité spctral d puissac coditioll si l o raiso das l domai fréqutil). Rapplos égalmt qu, das l cas d procssus gaussis corrélés, la moy d smbl coditioll d u variabl aléatoir, rpréstat la valur pris par u procssus à u istat t, put êtr cosidéré comm u combiaiso liéair ds valurs priss par ls autrs procssus, mais qu la covariac coditioll d ctt mêm variabl doit obéir qu à la foctio d covariac coditioll propr au procssus cosidéré t dépdat pas ds valurs priss par ls autrs procssus. 5 O parl d distributio coditioll d u procssus (rsp.d u variabl aléatoir) lorsqu la valur pris par c procssus à u istat t (rsp. ctt variabl lors d u tirag t) st dépdat ds valurs priss par d autrs procssus rsp. variabls) à ct istat t (rsp. lors d c tirag t).

113 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag O put aisi écrir la composat u r (t) sous la form suivat : u (t) = g (t) Y (t) (4.77) r r + r où g (t) rprést la moy coditioll t Y (t) u variabl gaussi ctré idépdat r r ds composats précédts. a rlatio (4.77) put êtr réécrit das l domai spctral par simpl trasformé d Fourir : û r ( ω ) = ĝ ( ω) + Ŷ ( ω) (4.78) r r b) Evaluatio d la moy coditioll das l cas gééral a moy coditioll du vctur u (t) put êtr formulé aisi : ( g (t),g (t),g (t)) T g (t) = = E [ ] [ u (t) ] u (t) { u (t)}, { u (t)},...,{ u (t)} { u (t)}, { u (t)},...,{ u (t)}, { u (t)} { u (t)}, { u (t)},...,{ u (t)}, { u (t)}, { u (t)} E E [ u (t) ] (4.79) a dépdac liéair par rapport aux sigaux déjà simulés put s xprimr sous la form gééral suivat: m m g (t) = W ( α) u (t α) dα (4.8) π m= s W m ( α ) sot ls matrics d podératio *, plis pour m < ; ls trms d W ( α ), ux, sot uls, xcpté sous la diagoal. Il s agit maitat d détrmir ls valurs ds 9 ( ) + foctios d podératio W l ( α ). Pour cla, o dévlopp ls foctios d corrélatio tr g (t) t ls différts sigaux géérés r précédmmt : jk 4

114 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 5 [ ] = = = α τ α α π α + τ α α π = τ = τ r j p jk rj m j mp jk m rj p k r p rk d ) ( ) R ( W ) d ( ) R ( W ) (t (t) u g E ) d( R (4.8) avc pour p =,, - k =,, pour p = k =,, r- O appliqu la trasformé d Fourir à l équatio (4.8), c qui coduit à la formulatio algébriqu suivat : = = = ω ω + ω ω = ω r j p jk rj m j mp jk m rj p rk ) ( ) ( Ŵ ) ( ) ( Ŵ ) ( (4.8) avc pour p =,, - k =,, pour p = k =,, r- O s rtrouv aisi, pour u valur d ω doé avc u systèm liéair à r ) ( + équatios t autat d icous ) ( Ŵ t ) ( Ŵ rj m rj ω ω. ous form matricill, cla do : = r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r Ŵ Ŵ Ŵ Ŵ Ŵ Ŵ Ŵ Ŵ (4.8) U fois c systèm résolu, o calcul aisémt la moy coditioll das l domai fréqutil : = ω ω π = ω m m m ) ( ) û ( Ŵ ) ( ĝ (4.84) U simpl trasformé d Fourir ivrs prmt d rmotr au sigal tmporl ) (t g.

115 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag c) Evaluatio d la variabl aléatoir Y s trms Ŷ r ( ω ) puvt alors êtr calculés isérat (4.84) das (4.78) : m m Ŷ r ( ω) = û r ( ω) Ŵrk ( ω) û kr ( ω) (4.85) m= k= E multipliat chaqu mmbr d l équatio par so cojugué, puis appliquat u moy d smbl, o obtit l xprssio d la dsité spctral d puissac d Y (t) r : * [ Ŷ ( ω)ŷr ( ω) ] T m m E r = rr ( ω) Ŵrk ( ω) kr ( ω) (4.86) π m= k= Il ous rst à géérr u sigal aléatoir rspctat la foctio dsité spctral d puissac déduit d (4.86) ; pour cla, o choisi d utilisr la form suivat (uts t al. 996): Ŷ jθr r ( ω ) = B r r =,, (4.87) où θ r st u variabl aléatoir uiformémt distribué sur [, π] t B r u variabl aléatoir, idépdat d θ r suivat u distributio d Rayligh avc : E * [ B r ] E[ Ŷr ( ω) Ŷr ( ω) ] = (4.88) d) Algorithm d résolutio O comprd bi qu la résolutio du systèm (4.8) va occupr l sstil du tmps d calcul. st doc à c ivau qu il ous faut chrchr à optimisr la procédur algorithmiqu. systèm (4.8) put s écrir sous la form sythétiqu suivat : A T ( ) X [ ] [ J] ( ω) = a [ J] ( ω) J ω (4.89) où J rprést l rag du systèm matricil ; si N rprést l ombr total d poits, J vari d à N-. i l o cosidèr qu la complxité d résolutio du systèm (4.89) st d l ordr d J, la complxité 6

116 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag d la résolutio d l smbl ds systèms, pour J variat d à N-, st a priori d l ordr d (N) 4. pdat, ls auturs propost u algorithm tirat parti d la spécificité du problèm t prmttat d ramr l ordr d la complxité à (N). astuc cosist à profitr d la rlatio xistat tr ls matrics A [ J] T ( ω) t ls vcturs [ ]( ω) pour a J différts valurs d J. E particulir, A [ J+ ] T ( ω) s déduit d A [ J] T ( ω ) par l adjoctio d u lig t d u colo dot ls J prmirs élémts sot issus d [ ] ( ω ) (cojugués pour la colo). E fait, sul u ouvau scalair st rajouté : a J A [ ]( ω) a ( ω) [ ] [ ] [ ] [ ] T J J A ( ω) = + *T a ( ω) a ω ) (4.9) J J+ ( J Pour résoudr (4.9), o commc par appliqur u décompositio d holsky à la matric A [ J] T ( ω ) (qui st hrmiti) : A T *T ( ω ) = ( ω) ( ω) (4.9) [ J] [ J] [ J] où J [ ] ( ω ) st u matric triagulair ifériur. systèm (4.9) put aisi êtr décomposé dux sous-systèms triagulairs résolus succssivmt : ( )Z [ ] [ J] ( ω) = a [ J] ( ω) J ω (4.9) *T ( )X [ ] [ J] ( ω) = Z[ J] ( ω) J ω (4.9) O vérifi facilmt ls propriétés suivats : a matric [ J + ] ( ω) s déduit d J ( ω) par adjoctio d u ouvll lig, [ ] s J prmirs élémts d ctt ouvll lig sot cux d Z * T ( ) [ J ] ω. 7

117 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Aisi, coaissat J [ ] ( ω ), o put déduir [ J + ] ( ω) par la formulatio qui suit : [ J] ( ω) [ ] [ ] [ ] J ω = + ( ) *T Z ( ω) l ω ) (4.94) J+ ( J Rst à calculr l trm l [J+] (ω). Pour cla o écrit la matric A la do : [ J+ ] T ( ω) combiat (4.9) t (4.94). *t [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] J ( ω) ( ω) J ( ω)z ( ω) t J J A ( ω) = (4.95) J+ *t *t *t Z ( ω) ( ω) Z ( ω)z ( ω) + l ω J J J J J+ ( ) E comparat (4.95) t (4.9), o déduit l [J+] (ω) : *T J ( ω ) = a J+ ( ω) Z ( ω)z ( ω) [ J] [ J] l + (4.96) O put aisi décomposr la procédur umériqu, pour u valur d ω doé, comm suit : O appliqu la décompositio d holsky à A [ ] T ( ω) puis o calcul Z[ ]( ω) t X [ ]( ω ) ; Pour J variat d à N- : o utilis (4.94) t (4.96) pour calculr T [ J] ( ω ) d après [ J] T ( ω), [ ]( ω), t l [J] (ω) ; Z J o déduit Z[ J ]( ω) t X [ J ]( ω ) i.. ls foctios d podératio W(ω) ; Pour r variat d à, o utilis (4.84) pour géérr ĝ r ( ω ) ; O calcul suit Ŷ r ( ω) d après (4.87) ; O déduit û r ( ω) à partir d (4.78) ; Pour variat d à N, t r variat d à, o utilis (4.84) pour géérr ĝ r ( ω ) ; O calcul suit Ŷ r ( ω) d après (4.87) pour r = à ; O déduit û r ( ω) à partir d (4.78). 8

118 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag O réitèr l smbl d ctt procédur sur u plag d pulsatio jugé écssair t suffisat pour l cas étudié. a problématiqu st évidmmt la mêm qu pour la méthod d hiozuka. O obtit aisi N procssus das l domai spctral. Par simpls trasformés d Fourir ivrss, o déduit ls N procssus das l domai tmporl omparaiso tr ls dux méthods Afi d justifir plimt l utilisatio d l algorithm d arkai au détrimt d clui d hiozuka, il covit d réalisr u tst comparatif tr ls dux méthods. a cofiguratio utilisé pour ctt comparaiso st la suivat: Dux poits situés à la mêm altitud avc u écartmt variabl das la dirctio trasvrsal; Vitss moy du vt U = m / s ; Echll logitudials d la turbulc x = u,5 m, x =, m ; w officits d la cohérc y u =, y w = ; Ecarts typs d la turbulc σ u =,5 m / s, σ w =m / s O compar d u part ls courbs d dsité spctral obtus à l aid ds méthods d hiozuka t arkai avc ls courbs théoriqus issus ds formulatios d Karma, d autr part la foctio d cohérc tr ls dux sigaux avc la foctio d cohérc théoriqu d Davport. s résultats préstés figur (4.5) t (4.6) corrspodt à dux sigaux d composat logitudial d vt spacés d,4 m. Ils sot tout à fait rpréstatifs d l'smbl ds résultats obtus. E c qui cocr la fidélité aux coditios spctrals imposés, o costat qu l'algorithm d arkai st légèrmt plus prformat qu clui d hiozuka ; cpdat la différc 'st pas frappat. Par cotr, la foctio d cohérc st très bi simulé par la méthod d arkai alors qu cll d hiozuka la sous-stim très largmt. Notos qu la prformac d la méthod d arkai 'st pas très surprat, état doé qu la bas "détrmiist" d chaqu sigal st costruit d'après ls cotraits trm d'itrspctrs avc ls autrs sigaux. 9

119 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag.4. Ji, uts & arkai hiozuka Karma.()/sigma² f (Hz) Figur 4.5 omparaiso ds spctrs obtus à partir ds méthods d hiozuka t arkai.8 Ji, uts & arkai hiozuka Davport.6 ohrc f (Hz) Figur 4.6 omparaiso ds cohércs obtus à partir ds méthods d hiozuka t arkai

120 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.5 a méthod tmporll 4.5. Mis équatio a) Formulatio ds forcs turbults a formulatio ds forcs turbults s xprim dirctmt à partir d la coaissac du sigal d vt tridimsiol précédmmt calculé. O a vu qu la liéarisatio ds forcs aérodyamiqus était pu prtit pour crtais profils d tablirs. Mais si ctt approximatio était écssair pour la méthod spctral, il st plus d mêm pour la méthod tmporll. O put fft, à chaqu istat, t pour chaqu élémt, calculr l icidc du vt das l rpèr local t assigr d ouvlls valurs aux cofficits aérodyamiqus. Pour cla, o approch ls courbs d évolutios ds cofficits statioairs par ds foctios polyomials du 4 èm dgré. Nos trois cofficits statioairs s écrivt doc sous la form : 4 X ( θ ) = X + X θ + X θ + 4X θ + 5X θ (4.97) 4 Y ( θ ) = Y + Y θ + Y θ + 4Y θ + 5Y θ (4.98) 4 M ( θ ) = M + M θ + M θ + 4M θ + 5M θ (4.99) vctur bufftig forcs istataé s écrit doc : BU ~ (t) = ρ Θ(t) (4.) f t 45 4 avc ( t) = ( θ θ θ θ ) T Θ (4.) t X X X 4X 5X Y Y Y 4Y 5Y 45 = (4.) M M M 4M 5M

121 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag O xprim alors c vctur das l rpèr gééral t la bas odal d l élémt : f g t T T (t) = P N f t (t) (4.) Das l absolu, la foctio d admittac aérodyamiqu dvrait itrvir ici sous form d produits d covolutio. O préfèr cpdat, das u soucis d écoomi d tmps d calcul, la fair itrvir mod par mod, sous form fréqutill. Aisi, pour chaqu mod k, o réécrit l équatio (4.) sous la form : f g tk T T (t) = P N Γ (U, B, ωk ) f t (t) (4.4) où ( U, B, ω ) Γ st u matric diagoal (*) cotat ls racis carrés ds admittacs k aérodyamiqus msurés pour ls forcs d traié, portac, t momt. O obtit alors chacu ds forcs gééralisés multipliat à gauch par la trasposé du vctur propr corrspodat : T g f tk (t) = Z k f tk (t) (4.5) b) Formulatio ds forcs aéroélastiqus osidéros das u prmir tmps l cas d l élémt poutr. E u poit d ct élémt d absciss, ls déplacmts vrticaux t agulairs puvt s écrir sous la form : h (,t) = y( ) h(t) (4.6) α (,t) = r z( ) α(t) (4.7) vctur ds forcs aéroélastiqus s xrçat sur l élémt s écrit alors, d après (.65-68) : ( (t) M (t ) T f = (4.8) a (t) a a ) avc :

122 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag a (t) ( h(t) + α(t) ) J( ) d = = h h ρbu h(t) + h(t) y( )J( )d B U + ρbu + ( h (t) h (t)) J( )d + ( α (t) + α (t)) J( ) d α B α α(t) + B α (t) r z ( )J( )d (4.9) M a (t) ( Mh(t) + Mα(t) ) J( ) d = = ρb U Mα B α(t) + U Mα α (t) r z ( )J( )d + Mh Mh ρb U h(t) + h(t) B U + ( Mh (t) Mh (t)) J( )d + ( Mα (t) + Mα (t)) J( ) d y( )J( )d (4.) où ls h k (t)j( ) d, α k (t)j( ) d, Mh k (t)j( ) d, Mαk (t)j( ) d vérifit ls rlatios : U hk h k (t)j( ) d = d hk h k (t)j( )d + y( )J( )d h(t ) (4.) B B U α k (t)j( ) d = d k α k (t)j( )d + k rz ( )J( )d α α α (t) (4.) B U Mhk Mh k (t)j( ) d = d Mhk Mh k (t)j( )d + y( )J( )d h(t ) (4.) B B U Mαk (t)j( ) d = d M k Mαk (t)j( )d + M k rz ( )J( )d α α α (t) (4.4) B

123 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4 O obtit aisi la formulatio vctorill suivat, itroduisat l vctur ds déplacmts d das u rpèr lié à l élémt: a a a A d K d (t) f ζ + + = (4.5) d B D + ζ = ζ (4.6) avc : ( ) T 5 4 ) (t (t) d (t) d (t) d h(t) (t) d (t) d α = (4.7) α α α α = φ )d (t)j( M )d (t)j( M )d (t)j( Mh )d (t)j( Mh )d (t)j( )d (t)j( )d (t)j( h )d (t)j( h (4.8) ρ = α α z M Mh z h a )d )J( ( r U B )d )J( y( U B )d )J( ( r U B )d )J( y( U BU (4.9) ρ = α α z M Mh z h a )d )J( ( r B )d )J( y( )d )J( ( r )d )J( y( B BU K (4.)

124 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 5 = A (4.) = α α α α 4 M M Mh 4 Mh 4 h4 h d d d d d d d d B U D (4.) = α α α α z 4 M z M Mh4 Mh z 4 z h4 h )d )J( ( r )d )J( ( r )d )J( y( B )d )J( y( B )d )J( ( r )d )J( ( r )d )J( y( B )d )J( y( B B (4.) O put maitat xprimr os équatios das la bas odal d l élémt t l rpèr gééral itroduisat ls matrics bi cous P, N t itégrat par la méthod du poit miliu. g d dvit l vctur colo (*) cotat ls déplacmts aux dux œuds d l élémt das l rpèr gééral, ζ st ichagé : g g g a g g a g a A d K d (t) f ζ + + = (4.4) g g g d B D + ζ = ζ (4.5)

125 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 6 avc : M Mh h T T g a P N U B U B U B U BU N P ρ = α α (4.6) M Mh h T T g a P N B B BU N P K ρ = α α (4.7) T g A N P A = (4.8) T 4 M M Mh 4 Mh 4 h4 h g P N B B B B B = α α α α (4.9) g D D = (4.)

126 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Il ous rst maitat à assmblr ls matrics élémtairs. s matrics suivat la procédur habitull. s matrics g A t a t K a sot assmblés g B, d dimsios rspctivs (dlt, 8* ) t (8*, dlt), sot assmblés suivat la procédur décrit figurs (4.7) t (4.8). a matric, d dimsio (8*, 8* ), st composé ds matrics élémtairs g D positioés sur sa diagoal pricipal. Matric A g (, 8) d l élémt k : Matric global A (dlt, 8*l) : œud i œud j oud œud i œud j œud d élt élt k élt l Figur 4.7 Procédur d assmblag d la matric A Matric B g (8,) d l élémt k : Matric global B (8*l, dlt) : œud j élt œud i œud i lt k lt l œud j Figur 4.8 Procédur d assmblag d la matric B O obtit alors la formulatio matricill suivat : F (t) = d + K d + A ζ (4.) a a a ζ = D ζ + Bd (4.) 7

127 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag c) Formulatio simplifié ds forcs aéroélastiqus a formulatio précédt a fait d itérêt qu lorsqu ls fréqucs d vibratio ds différts mods proprs d l ouvrag sot prochs ou lorsqu la résolutio ds équatios d la dyamiqu sot ffctués das la bas odal. E outr, si ls cofficits ds foctios idicills sot mal stimés, o put assistr à ds problèms d istabilités umériqus. Das l cas où ls fréqucs ds mods sot bi détachés t la résolutio ffctués das la bas modal, o put s cottr d la détrmiatio d u matric raidur t d u matric amortissmt aérodyamiqus diagoals similairs à clls défiis (4.5), à cci près qu chaqu trm st associé à sa pulsatio modal. st ctt méthod qu ous utilisos das l cadr d otr procédur d validatio. d) Mis équatio s équatios du mouvmt s écrivt doc, das la bas odal, tat compt ds forcs turbults t aéroélastiqus : M d(t) + a d(t) + K K a d(t) = A ζ + Ft (t) (4.) ζ ( t) = D ζ(t) + Bd(t) (4.4) t, das la bas modal : T T Mˆ q(t) + Ĉ Ĉ a q(t) + Kˆ Kˆ a q(t) = Φ A ζ + Φ Ft (t) (4.5) ζ ( t) = D ζ(t) + BΦ q(t) (4.6) Das l cas d u formulatio simplifié ds forcs aéroélastiqus, o écrit simplmt : Mˆ T q(t) + Ĉ Ĉ q(t) a Kˆ Kˆ + a q(t) = Φ F t (t) (4.7) où Ĉa t Kˆ a sot ls matrics amortissmt t raidur aérodyamiqus défiis c). Ells ot doc ri à voir avc clls itrvat (4.5). 8

128 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.5. Résolutio du systèm das la bas modal itégratio du systèm d équatios différtills (4.5-6) st ffctué à l aid d u schéma tmporl implicit d Nwmark pour ls trms d déplacmts t u schéma xplicit pour l trm ζ. s schémas prmttt d écrir ls équatios rliat ls valurs ds variabls à l istat t aux valurs ds variabls à l istat t+ t : t q(t + t) = q(t) + t q(t) + ( q(t) + q(t + t) ) 4 (4.8) t q (t + t) = q(t) + ( q(t) + q(t + t) ) (4.9) ζ( t + t) = ζ(t) + t ζ (t) (4.4) E ijctat cs équatios das l systèm d équatios (4.5-6), o trouv : 4 t Mˆ + Ĉ Ĉ t Mˆ + Ĉ Ĉ t a + Kˆ Kˆ a q(t) + Mˆ q(t) + Φ 4 q(t + t) = t 4 T F (t t) T a t + + Φ Mˆ + Ĉ Ĉ t A a q(t) + ( ζ(t) + t D ζ(t) + t BΦ q(t) ) (4.4) U fois calculé ζ ( t + t), o calcul q(t + t), puis q (t + t) à partir d (4.8), t fi q (t + t) à partir d (4.9). O réitèr ctt procédur l ombr d pas d tmps désiré. Das l cas où la formulatio simplifié ds forcs aéroélastiqus st mployé, la procédur d itégratio tmporll st strictmt la mêm, à cci près qu ls trms plus. A,B, D, ζ itrvit 9

129 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.6 Itroductio d simulatios tmporlls das l calcul spctral objctif st d itroduir ds procédurs d calcul tmporl das l modul d calcul spctral afi d améliorr ls prformacs d c drir. Bi tdu, cs apports rstt itérssats qu das la msur où ils occasiot pas d surcoûts sigificatifs trm d tmps d calcul. Dux procédurs sot aisi itroduits. a prmièr prmt d optimisr la liéarisatio ds courbs d évolutio ds cofficits statioairs foctio d l icidc du vt. a scod prmt d combir ls déplacmts modaux xtrêms afi d déduir ls déplacmts odaux xtrêms Méthod d «liéarisatio équivalt» ds cofficits aérodyamiqus O a vu qu l u ds faiblsss majurs d l approch spctral était l obligatio d rpréstr l évolutio ds cofficits aérodyamiqus foctio d l icidc du vt par ds droits affis. Nous proposos ici u méthod prmttat d optimisr ctt liéarisatio but st d trouvr u xprssio liéair d l évolutio ds cofficits aérodyamiqus équivalt à l évolutio réll ds cofficits trm d dsité spctral ds déplacmts résultat. upposos qu o s itérss au calcul spctral ds déplacmts d u tablir d pot projtés sur u mod k caractérisé par sa mass gééralisé M k, sa pulsatio ω k, t so amortissmt ξ k. O cosidèr alors l cas d u maqutt sctioll virtull à u dgré d librté t d caractéristiqus mécaiqus équivalts. u(t) O simul alors u trajctoir d vt uidimsioll rspctat u distributio spctral w(t) approprié. A partir d c sigal, o put costruir u sigal d forcs (portac, traîé, ou momt). u(t) Pour cla, il suffit, pour chaqu séri, d calculr l agl d icidc istataé du vt, puis d w(t) s rportr à la courb d évolutio d la forc qustio foctio d l agl d icidc. O obtit aisi u sigal d forcs réalist car o liéarisé. sigal st doc a priori plus gaussi! O put alors calculr la dsité spctral d puissac du sigal d forcs, puis, à l aid d la foctio d trasfrt simplifié (4.4), la variac ds déplacmts résultats : π ( ω ) Ftmp. k σ k = (4.4) ξ kωk

130 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Il ous rst maitat à trouvr u formulatio liéair d l évolutio ds forcs aérodyamiqus foctio d l icidc du vt c st-à-dir u coupl ( κ, λ) tl qu la rlatio suivat : F(t) = ρbκ(uu(t) + Vv(t)) + ρbλ(uv(t) Vu(t)) (4.4) fouriss u sigal d forcs géérat l mêm écart typ d déplacmts. E fait, o voit bi qu sul la valur F (ω k ) a bsoi d êtr rproduit. i o écrit l xprssio d la dsité spctrals ds forcs à partir d (4.4) : avc ( ω ) = x ( ω ) + y ( ω ) (4.44) F k u k v k x = ρb κu λv (4.45) y = ρb κv + λu (4.46) Il rst à stimr par u méthod d optimisatio liéair ls valurs d x t y, dot o déduit α t β : U x + V y κ = (4.47) ρb U ( + V )) U y V x λ = (4.48) ρb U ( + V )) s figurs (4.9) t (4.) motrt ls résultats obtus pour ls tablirs trapézoïdal t rctagulair. 'icidc d vt moy st d. A gauch, figurt ls sigaux tmporls aléatoirs simulés t lurs spctrs rspctifs. A droit, sot rpréstés ls courbs d'évolutio ds cofficits aérodyamiqus foctio d l'icidc. s courbs oirs corrspodt aux cofficits réls, tadis qu ls courbs coulur rpréstt ls cofficits liéarisés. s résultats sot logiqumt très dépdats du typ d vt t d la gamm d fréqucs utilisé pour l'optimisatio. Aussi il covit d s placr das ls mêms coditios qu clls qui srot imposés das l calcul spctral. Das l cas prést, ls caractéristiqus du vt sot d 8%, 5%,,5 m,, m, rspctivmt pour ls écarts typs t ls échlls d la turbulc. a gamm d fréquc st d 5 à Hz

131 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Précisos qu pour chaqu coupl (,d dθ) k k l ombr d solutios st ifii, y compris ls plus saugrus d'u poit d vu physiqu. O s'arrag pour cosrvr qu ls solutios physiqumt accptabls. x 6. W(m/s) U(m/s) t(sc.) t(sc.) 4 5 f(hz) x f(hz) x Icidc (dg.) Ic.(dg.) t(sc.) x 6 f(hz) y.5 x y m t(sc.) t(sc.) t(sc.) x 4 f(hz) 5 x 6 f(hz) 5 f(hz) m Icidc (dg.) Icidc (dg.) Figur 4.9 iéarisatio ds cofficits aérodyamiqus du tablir trapézoïdal pour u icidc d vt moy d x U(m/s) t(sc.) f(hz) x 4 x W(m/s) t(sc.) f(hz) Icidc (dg.) m y x Ic.(dg.) t(sc.) f(hz) x t(sc.) f(hz) x t(sc.) f(hz) x t(sc.) f(hz) y m Icidc (dg.) Icidc (dg.) Figur 4. iéarisatio ds cofficits aérodyamiqus du tablir rctagulair pour u icidc d vt moy d

132 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag 4.6. ombiaiso ds chargs modals xtrêms cas d chargs statiqus équivalts a strict coaissac ds déplacmts modaux xtrêms iduits par l vt prést u itérêt qu das l optiqu d u évaluatio du cofort ds usagrs d l ouvrag étudié. qui, das l absolu, itérss ls buraux d étuds chargés d dimsior ls structurs, c st d coaîtr ls cotraits xtrêms sollicitat ls matériaux occasioés par ls vibratios d l ouvrag. Das la pratiqu, il st plus commod pour cs buraux d étuds d travaillr avc ds cas d chargs statiqus équivalts qui srot combiés avc ls autrs cas d chargs : poids propr, xploitatio, ig, das l cadr d dimsiomts EU ou E. st das ctt optiqu qu ous proposos u méthod prmttat, à partir d la coaissac ds dsités spctrals d puissac ds déplacmts modaux issus d calculs spctraux ou tmporls, d détrmir u séri d chargs statiqus fictivs qui srait u rflt fidèl ds chargs dyamiqus rélls. a validité d u crtai ombr d outils d R.D.M. utilisés par la suit st théoriqumt limité à ds étuds statiqus. O suppos éamois qu ls fréqucs d vibratio proprs aux ouvrags d arts tls qu ls pots suspdus ou à haubas (,-,5 Hz) sot suffisammt basss pour qu ls approximatios ffctués soit pas trop grossièrs. O itroduit ls vcturs E, G,, I X, I Y, I Z cotat rspctivmt ls moduls d Youg, moduls d cisaillmt, sctios, irti suivat l ax x, irti suivat l ax y t irti suivat l ax z chaqu œud d la structur discrétisé. O itroduit égalmt ls coordoés curviligs s k associés à chacu ds partis clés composat l ouvrag (tablir, pil, ) ; o défiit alors, pour chaqu mod propr cosidéré, l vctur coordoés curviligs défiissat la structur (fig. 4.). Z i ' (i=,) qui st la dérivé du vctur propr Z i par rapport aux s s s Figur 4. Défiitio ds coordoés curviligs

133 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag Pour chaqu élémt d la structur o défiit l vctur élémtair Z i ' par la rlatio suivat : T T Zi P Zi P Zi ' = (4.49) Zi t Z i sot ds vcturs colos d dimsio 6 xtraits du vctur Z i t cotat ls déformés ds dux œuds d l élémt ; P st la matric d chagmt d rpèr local gééral t la loguur d l élémt. vctur Z i ' st obtu par assmblag ds Z i '. otrairmt au vctur Z i, il st pas défii au ivau ds œuds d la structur mais au ivau du miliu d ss élémts (croix fig. 4.). a raiso st doubl : d abord, ls caractéristiqus mécaiqus d la structur discrétisé sot défiis élémt par élémt ; suit, la défiitio d u rpèr local st immédiat. A partir d Z i ', E, G,, I X, I Y, I Z, o put calculr ls vcturs N i, M Xi, M Yi, M Zi, T Xi, T Yi, d dimsio, cotat rspctivmt ls fforts ormaux, momts d flxio suivat x, momts d flxio suivat y, momts d torsio suivat z t fforts trachats chaqu élémt pour u déplacmt gééralisé i uitair. s vcturs d la form : N i, M Xi, M Yi, M Zi, T Xi, T Yi, cotit ds trms ( 6 ( ) ) N i () = E () Zi ' + (4.5) ( 6 ( ) ) TXi () = G ()() Zi ' + (4.5) ( 6 ( ) ) TYi () = G ()() Zi ' + (4.5) ( 6 ( ) 4) M Xi () = E() I () Z ' + (4.5) X i ( 6 ( ) 5) M Yi () = E() I () Z ' + (4.54) Y i ( 6 ( ) 6) M Zi () = G() I () Z ' + (4.55) Z i Rmarquos qu ls fforts trachats sot défiis à u factur près, foctio d la géométri d la sctio. la a aucu importac das la msur où otr but st pas d calculr ls fforts chaqu poit d la structur mais uiqumt d ls «maximisr». O chrch alors à costruir ds sigaux tmporls réalists N (t), i M Yi (t), M Zi (t), M Xi (t), T Xi, T Yi, 4

134 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag rpréstat ls fluctuatios ds différts fforts sous ls sollicitatios du vt. Pour cla, o uiqumt bsoi d sigaux tmporls réalists ds déplacmts modaux q i ( t). Das l cas où u calcul tmporl a été ffctué, il suffit d réutilisr ls sigaux rgistrés. Das l cas où sul u calcul spctral a été ffctué, il s agit d rproduir artificillmt l comportmt dyamiqu d l ouvrag à partir d la coaissac ds écarts typs, pulsatio t amortissmt d chaqu mod d vibratio. O géèr doc ls sigaux aléatoir q i ( t) à partir d la foctio dsité spctral d puissac d u oscillatur liéair à dgré d librté (figur 4.) : i i i i ( ω ) = (4.56) ( ω ω ) + 4ξ ω ω i ξ ω σ i π i Fréquc: 5Hz, amortissmt:.5% t(sc.) f(hz) Figur 4. - igal aléatoir rspctat la foctio dsité spctral d puissac d u oscillatur liéair à u dgré d librté amorti O combi alors ls N i, M Yi, M Zi, M Xi, T Xi, T Yi, avc ls q i (t) pour obtir ds sigaux tmporls N(t), M Y (t), M Z (t), M X (t), T X (t), T Y (t) : N (t) = q i (t) N i (4.57) = i 5

135 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag M X (t) = q i (t) M X (4.58) i = i M Y (t) = q i (t) M Y (4.59) i = i M Z (t) = q i (t) M Z (4.6) i = i T X (t) = q i (t) TXi (4.6) = i T Y (t) = q i (t) TYi (4.6) i= Gééralmt, l dimsiomt ds ouvrags d art st ffctué sur la bas d u vitss d vt ciquatal, corrspodat à la valur, moyé sur miuts, suscptibl d êtr attit sur u périod d a avc u probabilité égal à %. O ffctu doc u ombr t d simulatios d u duré d miuts. Pour chaqu simulatio s, o idtifi ls valurs maximals priss par chacu ds fforts F (F = N, M X, M Y, M Z, T X, T Y ), u ombr c d élémts clés c t ls istats t corrspodats. O moy alors ls valurs maximals obtus sur ls t simulatios. O costruit alors ds vcturs «cas d chargs xtrêms» c c c c c χ, χ, χ, χ, χ, χ c N TX TY MX MY MZ c Fs, par combiaiso liéair ds forcs d irtis modals à ds istats t corrspodat à ds valurs xtrêms prochs ds moys calculés: c Fs χ c N = m ddl = i χ c T = m X ddl = i χ c T = m Y ddl = i χ c M = m X ddl = i χ c M = m Y ddl = i χ c M = m Z ddl = i q i q q i i q q q (t i i i (t (t c Ns (t (t (t ) Z ω c T X s c T Y s c M X s c M Y s c M Z s i i i ) Z ω i i ) Z ω i i ) Z ω i i ) Z ω ) Z ω i i i (4.6) (4.64) (4.65) (4.66) (4.67) (4.68) 6

136 hapitr 4 alcul d la répos dyamiqu d l ouvrag où m ddl rprést l vctur colo cotat ls masss t irtis massiqus poctulls affctés à chaqu dgré d librté t symbolis la multiplicatio vctorill trm à trm. O obtit doc, théori, 6* c cas d chargs équivalts. Das la pratiqu, l ombr d cas d chargs associés à chaqu élémt clé sra ifériur à 6 ; par xmpl, l ffort trachat prést d itérêt qu au ivau ds liaisos ; l ffort ormal pourra lui êtr supposé margial à côté ds fforts d flxio s cas d chargs puvt alors êtr itégrés, u par u, das l cadr d dimsiomts EU ou E avc ls cofficits d sécurité appropriés. 4.7 oclusio chapitr costitu l cœur d otr travail. Nous y avos xposé ls pricips fodamtaux prmttat d dévloppr ds cods d calcul basés sur ls approchs spctral t tmporll. Il covit d rapplr qu l calcul umériqu costitu qu l maillo ctral das l dimsiomt au vt d u structur élacé. prmir maillo, cosistat à caractérisr xpérimtalmt ls propriétés aérodyamiqus d l ouvrag, a fait l objt du troisièm chapitr. Il pourrait éamois, à trm, êtr itégré à u cod d calcul tmporl sous form d modul.f.d. résolvat ls équatios d Navir toks pas d tmps par pas d tmps. la st cpdat pas cor visagabl avat plusiurs aés. drir maillo cocr la détrmiatio d cas d chargs statiqus équivalts utilisabls par ls buraux d étuds, à partir d la coaissac ds réposs modals. Nous avos, das c chapitr, proposé u méthod basé sur la simulatio tmporll ds fforts dyamiqus s xrçat au si d la structur. s cas d chargs aisi détrmiés puvt alors êtr affctés d cofficits d sécurité, t combiés séparémt aux autrs cas d chargs classiqus (xploitatio, ig, ) das l cadr d dimsiomts E ou EU. 7

137 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5 Validatio xpérimtal Après avoir présté ls pricips théoriqus utilisés pour l élaboratio d otr cod d calcul, il s agit d vérifir la prtic. Nous avos doc mis plac u procédur d validatio xpérimtal basé sur l passag soufflri atmosphériqu d dux maqutts aéroélastiqus rpréstat ds través ctrals d tablirs d pots. s dux profils d tablirs étudiés sot cux déjà préstés chapitr : u profil trapézoïdal t u profil rctagulair d ratio largur/épaissur égal à 8. prmir st rpréstatif d la famill ds tablirs «profilés» : vitss critiqu d flottmt élvé t évolutios ds cofficits aérodyamiqus foctio d l icidc rlativmt liéair. scod, bi qu atypiqu du poit d vu géométriqu, rprést bi l comportmt aérodyamiqu d u tablir mal profilé : vitss critiqu faibl t cofficits aérodyamiqus fortmt o liéairs. Dux cofiguratios d vt sot étudiés : turbult t uiform. a prmièr st a priori favorabl à la prévisio d la répos aux bufftig forcs mais mois fiabl c qui cocr l appréhsio ds forcs aéroélastiqus ; au cotrair, la scod doit théoriqumt bi s prêtr à la prédictio du comportmt istabl d la structur mais êtr plus dur à modélisr matièr d «bufftig forcs» raiso du rôl o égligabl du sillag. pricip d la procédur cosist, o l aura dvié, à msurr la répos d os dux maqutts au vt d la soufflri, ffctur ls calculs corrspodats avc ls approchs spctral t tmporll, t comparr ls résultats obtus. 8

138 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5. Préstatio ds maqutts objctif était d fabriqur ds maqutts rpréstat l comportmt dyamiqu d través ctrals «fictivs» d tablirs d pots. utilisatio d la tchologi «taut-tub» était visagabl mais fut pas rtu. E fft, l itérêt majur d c gr d maqutts st d pouvoir réglr avc précisio ls fréqucs d vibratios ds dux prmirs mods d flxio t d torsio. la st fort appréciabl, das l cadr d u étud, lorsqu il s agit d rproduir l comportmt dyamiqu d u structur réll : ls fréqucs d vibratios à échll réduit sot alors imposés. la état pas otr cas, ous avos opté pour u tchologi mois sophistiqué, mais baucoup plus facil à réalisr t écoomiqu, basé sur l utilisatio d u profilé stadard du commrc. U avatag o égligabl lié à c procédé st d pouvoir rproduir ds mods d torsio xctrés, plus rpréstatifs du comportmt mécaiqu rél ds tablirs d pot qu ls mods habitullmt rpréstés par ls maqutts d typ taut-tub. Notr cahir ds chargs était l suivat : Echll d la maqutt compris tr l èm t l èm pour s accordr aux échlls ds structurs tourbilloairs rproductibls par la soufflri cofiguratio turbult, Fréqucs d vibratio ds prmirs mods compriss tr t Hz pour qu la gamm d vitsss soufflri ( - m/s) corrspod à u gamm d vitsss réduits raisoabl, compttu d l échll d la maqutt, Prmirs mods d flxio vrtical t d torsio aussi prochs qu possibl fréquc, pour évitr qu l u ds dux soit margialisé par l autr, Masss gééralisés t amortissmts modaux réalists par rapport à la vrai gradur, Flèch statiqu miimal, oguur maximal. U profilé ouvrt était écssair pour garatir u fréquc torsio raisoabl. U s st imposé fac au T pour ds raisos d facilités d motag ds élémts. U U «plat» aurait été idéal pour rapprochr au maximum ls mods d torsio t d flxio. pdat, pour miimisr la flèch statiqu, ous avos opté pour u U «carré». s dux maqutts sot doc basés sur l mêm pricip structurl : u profilé U ** mm alumiium d loguur total 95 cm castré d chaqu coté sur u pair d potaux d sctios carrés 9

139 hapitr 5 Validatio xpérimtal alumiium d * mm hauts d 5 cm. a loguur libr tr ls dux castrmts st égal à 49 mm. haqu pair d potaux st fixé au sol bois d la soufflri par 6 vis via u plati alumiium d cm d épaissur. Ds rvurs t ds tirats assurt ls rigidités logitudials t trasvrsals ds potaux. Quiz élémts d tablirs à l échll du ctièm sot fixés sur l profilé U. uls oz d tr ux participt réllmt au comportmt dyamiqu d la maqutt ; ls quatr autrs sot fixs t ot pour uiqu foctio d assurr la cotiuité aérodyamiqu t miimisr ls ffts d bouts. s élémts, largs d 9,5 cm t spacés d mm, sot rési polyurétha d dsité,5. Outr sa dsité, ctt rési prést l avatag d garatir u bo aspct d surfac t u bo usiabilité. a liaiso avc l profilé st assuré par u pair d vis t ds cals alumiium d cm d larg posés sur ls trois facs xtériurs du U. O put doc cosidérr ctt liaiso comm quasi liéair t itrférat pu sur la raidur d l smbl. s élémts d rési, fabriqués «ouvrts» sot rfrmés sur lur fac ifériur par ds plaqus d alumiium. Pour rapprochr d avatag ls mods d torsio t d flxio, ds barrs d acir ot été fixés sur la fac supériur ds plaqus d alumiium, à l itériur du U, t ds trous circulairs ot été prcés aux xtrémités du profil rctagulair. Figur 5. Vus d dssus t fac d l ossatur d la maqutt aéroélastiqu avc dux élémts d tablir 4

140 hapitr 5 Validatio xpérimtal Figur 5. Vus d dssus, fac t coté d u pid d maqutt t coups sur ls élémts d tablirs Figur 5. Elémts d maqutts aéroélastiqus pdat la phas d fabricatio 4

141 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5. aractérisatio mécaiqu ds maqutts Pour caractérisr ls mods proprs d la maqutt, o a opté pour u doubl approch umériqu/ xpérimtal. itérêt était surtout d comparr ls résultats obtus par ls dux méthods, ls msurs faisat offic d référc. O s st arragé pour qu ls masss t irtis liéiqus ds dux profils soit aussi prochs qu possibl. Aisi, l calcul ds mods proprs, msur ds déformés t msur ds masss gééralisés sot uiqumt ffctués pour l profil rctagulair, plus facil à maipulr. uls ls fréqucs t amortissmts sot msurés das ls dux cas. upposat ls déformés ds dux maqutts idtiqus, o stim ls masss gééralisés du tablir trapézoïdal à partir d clls du tablir rctagulair t ds fréqucs msurés. 5.. Msur ds fréqucs, amortissmts t masss gééralisés s sigaux d déplacmts sot capturés à l aid d capturs d déplacmts à triagulatio lasr. s msurs ds fréqucs t amortissmts modaux sot issus d traitmts ds sigaux das l domai tmporl. O a aisi pu caractérisr l évolutio d cux-ci foctio d l amplitud d vibratio. llci s avèr d aillurs fortmt liéair. s résultats sot rpréstés figur 5.5. stimatio ds masss gééralisés st ffctué par ajouts succssifs d masss aux poits d déformés maximals t msur ds fréqucs d oscillatios corrspodats (fig. 5.4). a justss ds résultats résult d u bo compromis das l dosag d cs masss : suffisammt élvés pour qu ls msurs soit préciss mais assz discrèts pour pas modifir l allur ds déformés modals. 5.. Msur ds déformés modals tablir st xcité vrticalmt à u d ss xtrémités par u motur liéair alimté par u géératur d fréquc amplifié. haqu mod st passé rvu par simpl ajustmt d la fréquc d xcitatio. s msurs sot ffctués par ds capturs d déplacmts à triagulatio lasr sur la parti opposé du tablir. U captur fix, msurat ls déplacmts vrticaux quart d travé, fourit ls sigaux d référc. O s affrachit aisi ds problèms d variatio d itsité d l xcitatio au cours du tmps. Dux autrs capturs, motés sur u support mobil, msurt rspctivmt ls déplacmts horizotaux t vrticaux (figurs ). s amplituds ds déformés sot alors déduits ds écarts typs ds déplacmts msurés rapportés à la msur d référc. 4

142 hapitr 5 Validatio xpérimtal Figurs 5.4, 5.5, 5.6 Dispositif d msur ds déformés modals 4

143 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5.. alcul ds déformés Das u prmir tmps, l calcul ds mods proprs a été ffctué à partir d u logicil commrcial élémts fiis, modélisat l profilé U par u séri d élémts poutrs. s trois prmirs mods obtus était alors : u mod d pur torsio aux altours d 5,8 Hz ; u mod d pur flxio vrtical vrs 7,9 Hz ; u mod d pur flxio horizotal à, Hz. Ds msurs ffctués sur la vrai maqutt ot pourtat vit motré qu ls déformés ds mods réls d la structur était plus complxs qu cux calculés. Aisi, l prmir t l troisièm mod rssmblait plutôt à dux mods d torsio dot ls ctrs était situés rspctivmt au-dssus t au-dssous du tablir. problèm vait probablmt du fait qu l calcul tit pas compt d l xctrmt du ctr d cisaillmt du profil U par rapport à so ctr d irti. O a doc modélisé l profil U par 5* plaqus plas solidairs. s résultats (fig t 5.) s sot avérés ttmt millurs bi qu o xactmt coforms aux msurs, particulir c qui cocr ls composats horizotals ds déformés ds mods d torsio. O a quad mêm pu obtir ds iformatios o accssibls par la msur comm, par xmpl, ls composats torsio autour d l ax x du mod d flxio vrtical Récapitulatif ds fréqucs, amortissmts t masss gééralisés utilisés pour l calcul umériqu O rappll qu ls masss gééralisés du tablir trapézoïdal ot pas été dirctmt msurés mais déduits d clls du tablir rctagulair. s valurs ds fréqucs proprs t amortissmts (rapportés au critiqu) corrspodt à ds oscillatios d faibls amplituds (,5-mm). Tablir rctagulair Tablir trapézoïdal F(Hz) ξ(%) M g (kg.m²) F(Hz) ξ(%) M g (kg.m²) Mod d torsio 5,79,5,76 5,5,5,95 Mod d flxio vrtical 7,94, 7,69 7,4, 8,8 Mod d torsio bis,8,5,8 9,57,5,4 Mod d torsio,5,,5,6,,67 Tablau 5. Fréqucs proprs, amortissmts t masss gééralisés utilisés pour l calcul 44

144 hapitr 5 Validatio xpérimtal Figurs 5.7 t 5.8 Déformés ds mods d vibratio t obtus par l calcul Figurs 5.9 t 5. Déformés ds mods d vibratio t 4 obtus par l calcul Figurs 5. t 5. Déformés ds mods d vibratio 5 t 6 obtus par l calcul 45

145 hapitr 5 Validatio xpérimtal Déformé mod T Déformé mod T,,,8,6,4,, 4 6 Vrti. xp. Hori. xp. Vrti. um. Hori. um.,8,6,4,, -, ,4 Vrti. xp. Hori. xp. Vrti. um. Hori. um. Déformé mod V Déformé mod T,,,8,6,4,, 4 6 Vrti. xp. Vrti. um.,5, ,5 -, Vrti. xp. Hori. xp. Vrti. um. Hori. um. Déformé mod Tb Déformé mod V,,,8,6 Vrti. xp. Hori. xp.,8,6 Vrti. xp.,4 Vrti. um.,4 Vrti. um., Hori. um.,,, Figur 5. omparaiso ds déformés modals xpérimtals t umériqus du tablir rctagulair(moitié d travé) Mod d torsio Mod d torsio M(kg.m²),,,4,6 dm (kg) M(kg.m²),,,4,6 dm (kg) Mod d flxio Mod d torsio M(kg.m²) 5 M(kg.m²),,,4,6,8 dm (kg),,,4,6 dm (kg) Mod d torsio bis Mod d flxio M(kg.m²),,,4,6,8 dm (kg) M(kg.m²) 5 5,,,4,6 dm (kg) Figur Détrmiatio ds masss gééralisés du tablir rctagulair 46

146 hapitr 5 Validatio xpérimtal Amortissmt torsio Fréquc torsio Amortissmt/crit.,7,6,5,4,,, Amplitud (mm) f(hz) 5,84 5,8 5,8 5,78 5,76 5,74 5,7 5,7 5, Amplitud (mm) Amortissmt flxio Fréquc flxio Amortissmt/crit.,8,7,6,5,4,,, Amplitud (mm) f(hz) 8, 7,95 7,9 7,85 7, Amplitud (mm) Amortissmt torsio bis Fréquc torsio bis Amortissmt/crit.,,,8,6,4,,,5,5,5 Amplitud (mm) f(hz),,5,,5, 9,95 9,9 9,85 9,8,5,5,5 Amplitud (mm) Amortissmt torsio Fréquc torsio Amortissmt/crit.,6,5,4,,,,5,5 Amplitud (mm) f(hz),5,,5,,5,,5,5 Amplitud (mm) Amortissmt torsio Fréquc torsio Amortissmt/crit.,8,6,4,,,4,6,8, Amplitud (mm) f(hz) 9, 9, 9, 9, 8,9 8,8 8,7,,4,6,8,,4 Amplitud (mm) Figur 5.5 Evolutio d l amortissmt t d la fréquc ds 5 prmirs mods proprs foctio d l amplitud ds oscillatios pour l tablir rctagulair 47

147 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5. aractérisatio du vt d la soufflri 5.. Dispositif xpérimtal s calculs dyamiqus rquièrt u coaissac fi d l écoulmt aérauliqu au voisiag ds maqutts étudiés. Outr l profil d vitss moy l log ds tablirs, il ous faut msurr ls itsités d turbulc, ls échlls caractéristiqus, t ls cofficits d cohérc pour ls composats horizotal t vrtical du vt. O caractéris doc l vt d la soufflri atmosphériqu à l aid d dux sods à fils chauds composats. s sods sot fixés à 5 cm du sol sur ds supports orités das l ax d la vi sur u lig corrspodat au bord d attaqu ds maqutts aéroélastiqus. U sod st placé au miliu d la vi, u poit, l autr st déplacé succssivmt poits spacés d cm, umérotés d à 6 t à 6 d part t d autr d l ax d la vi. Par la suit, o parlra rspctivmt d poits «à gauch» t «à droit» d l ax ctral. hacu ds poits corrspod au miliu du bord d attaqu d u élémt d tablir ,4 m 4, m Figur 5.6 Vu pla du motag fil chaud das la vi atmosphériqu U tub d Pitot, positioé légèrmt amot à,5 m du sol prmt d msurr la prssio dyamiqu d référc t l cofficit d rcalag associé, utilisés au cours ds maipulatios ultériurs. Dux cofiguratios sot étudiés : 48

148 hapitr 5 Validatio xpérimtal cofiguratio turbult : ls rugosités placés amot géèrt u taux d turbulc d l ordr d % logitudialmt t 6 % vrticalmt ; 4 vitsss moys d vt sot imposés : 6 m/s, 8 m/s, m/s, m/s ; cofiguratio «lamiair» : la vi st vid t l taux d turbulc st ifériur à % ; ls vitsss d vt géérés sot d 6 m/s t m/s. Figurs 5.7 t upports t sods à fils chauds das la soufflri cofiguratio turbult 5.. Résultats a) Profils d vitss moy t d turbulc s résultats trm d gradits latéraux d vitsss moys t d taux d turbulc, das ls dux cofiguratios, sot préstés figurs 5.9 à 5.4. E cofiguratio turbult, ls gradit d vitss moy préstt ds écarts maximaux d l ordr d ±7%. s gradits d turbulc s iscrivt ux das ds fourchtts d l ordr d (8±)% t (6±,5)%, rspctivmt pour ls composats u t w, i.. ±7% t ±5% autour ds valurs moys. importac ds écarts ous amè à idtifir ciq zos disticts délimités roug sur ls figurs 5.9 à 5.4. allur particulièr ds courbs prmt pas réllmt d réduir c ombr. 49

149 hapitr 5 Validatio xpérimtal U(y)/U(),, 6m/s 8m/s m/s m/s,9 -, - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8, y(m) Figur 5.9 Gradit latéral d vitss moy vt turbult Iu(m/s) % % 8% 6% 4% % % -, - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8, y(m) 6m/s 8m/s m/s m/s Figur 5. Gradit latéral d itsité d turbulc Iu vt turbult Iw(m/s) 8% 6% 4% 6m/s 8m/s m/s m/s % % -, - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8, y(m) Figur 5. Gradit latéral d itsité d turbulc Iw vt turbult 5

150 hapitr 5 Validatio xpérimtal, U(y)/y(), 6m/s m/s,98,96 -, - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8, y(m) Figur 5. Gradit latéral d vitss moy vt lamiair Iu(m/s) % 6m/s % m/s % -, - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8, y(m) Figur 5. Gradit latéral d itsité d turbulc Iu vt lamiair Iw(m/s) % 6m/s % m/s % -, - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8, y(m) Figur 5.4 Gradit latéral d itsité d turbulc Iw vt lamiair E cofiguratio uiform, ls gradits d vitss moy t d itsité d turbulc sot baucoup plus faibls qu cofiguratio turbult. O put doc raisoablmt admttr qu u uiqu zo 5

151 hapitr 5 Validatio xpérimtal suffit à rpréstr ls caractéristiqus statistiqus du vt sur tout la largur d la vi. O a toutfois idiqué roug u possibilité d partitio ciq zos. b) Echlls d turbulc t cofficits d cohérc s msurs ffctués prmttt outr d stimr ls foctios dsités spctrals t itrspctrals ds composats u t w pour ls pairs d poits suivats : (,), (,), (,), (,4), (,5), (,6), (, ), (, ), (, ), (,4 ), (,5 ), (,6 ). Il s agit alors d approchr cs foctios par ls modèls aalytiqus iclus das otr cod d calcul : Karma t Davport, rspctivmt pour ls dsités spctrals t itrspctrals (cf. chapitr ). s foctios sot paramétrés par u crtai ombr d variabls qu il faut doc détrmir : échlls d turbulcs, pour ls spctrs t cofficits d y u y w cohérc, pour ls itrspctrs (ou, plus précisémt, ls foctios d cohérc). y u y w a détrmiatio ds échlls d turbulc pos pas d problèm majur. O s arrag toutfois pour qu ls courbs théoriqus soit particulièrmt bi ajustés pour la gamm d fréqucs - 5 Hz cotat l sstil d l érgi suscptibl d xcitr os maqutts. E cofiguratio turbult, ls valurs d y u oscillt tr,4 t,6 m au poit. O costat doc qu l vt d la soufflri st pas, slo os msurs, parfaitmt statioair. O adoptra éamois, sas trop d rgrts, la valur d,5 m, soit 5 m vrai gradur. s valurs dimiut symétriqumt t liéairmt à msur qu l o s éloig d l ax ctral d la vi. O put aisi stimr à,4 m ls échlls d turbulc à,6 m d l ax t, m à, m. O assig doc ls valurs,5,,4,, m rspctivmt aux zos ctral, itrmédiairs t xtrêms défiis 5..a). Pour la mêm cofiguratio, ls valurs d sigificativs foctio d la positio par rapport à l ax ctral. y w varit d,75 m à, m. O costat pas d variatios E cofiguratio uiform, ls valurs d y u sot toujours prochs d, m. O obsrv toutfois d légèrs variatios d chaqu coté d l ax : tr, m t,5 m à gauch t tr.75 m t. m à droit. O attribu aux ciq zos, partat d la gauch, ls valurs,5,,5,,,,75,,. s valurs d y w oscillt tr,75 m t, m. E réalité, l allur ds sigaux s prêt pas assz à l ajustmt d foctios d Karma pour qu s dégag u vrai tdac. O assig doc la valur moy d,9 m à touts ls zos. 5

152 hapitr 5 Validatio xpérimtal a détrmiatio ds cofficits d cohérc s révèl plus délicat. Autat ls formulatios d Karma smblt particulièrmt appropriés pour modélisr l spctr d u vt soufflri, autat ls formulatios d Davport smblt ifficacs. a détrmiatio du cofficit optimum pour u écart y doé st déjà assz hasardus : o st fft obligé d surstimr ls dgrés d corrélatios das ls basss fréqucs t d ls sous-stimr das ls hauts fréqucs. s cofficits s révèlt surtout totalmt obsolèts lorsqu o doit ls appliqur à u écart y différt. st la raiso pour laqull ous avos itroduit u ouvau modèl, dirctmt ispiré d clui d Davport, mais plus adapté à otr cas. modèl a, aucu cas, la préttio d êtr uivrsl mais simplmt d trasférr fficacmt ds doés xpérimtals bi préciss vrs otr cod d calcul. Dux modificatios ot été apportés à la foctio d cohérc d Davport, dot o rappll la formulatio appliqué à otr étud : y y i γ = i ( y, ) xp i=u, v (5.) U a prmièr modificatio cosist à «dimiur» l ifluc du trm y l rmplaçat par y. a scod cosist à itroduir dux foctios «limits» d la form (5.), rpréstat, l u ls basss fréqucs, l autr ls hauts fréqucs. a ouvll foctio d cohérc résult d u moy podéré tr cs dux foctios limits, dot l cofficit vari foctio d la fréquc. O itroduit u trm supplémtair c, fréquc caractéristiqu pour laqull ls dux foctios limits ot l mêm poids. O écrit aisi : y y y + y γ ( y, ) =,5 c i xp,5 c i i xp U U (5.) Rmarquos qu ctt ouvll foctio td bi vrs quad y td vrs t vrs quad y td vrs l ifii. problèm st qu ls trms situés das ls xpotills sot pas adimsiols. la put êtr artificillmt résolu ajoutat au déomiatur u trm homogè à la raci carré d u distac : dimsio caractéristiqu d la soufflri, échll d turbulc E fait, l ss physiqu d c trm a d importac qu das l optiqu d u gééralisatio d otr formulatio c qui st pas l cas O laiss doc l xprssio (5.) tll qull. E cofiguratio turbult, o stim ls coupls d cofficits à (5, 5) t (4, ), rspctivmt pour ls composats u t w. Notos qu ls itrspctrs liés à w sot plus faibls doc plus bruités t plus difficils à modélisr. E cofiguratio lamiair, o trouv ls coupls d cofficits (6, 5) t (7, 8) rspctivmt pour ls composats u t w. 5

153 hapitr 5 Validatio xpérimtal c) Récapitulatif ds résultats E cofiguratio turbult : Zos U / U rf u I (%) I w (%) y u (m) y w (m) y u y u y w y w,4 6,5 5,5,, ,97 6,5,4, ,5, , 6,5 4,5,4, ,97 8 5,5,, Tablau 5. Modélisatio du vt cofiguratio turbult 5 4 Figur 5.5 ocalisatio ds zos d vt cofiguratio turbult E cofiguratio uiform : Zos U / U rf u I (%) I w (%) y u (m) y w (m) y u y u y w y w,,5,5, ,5,8,75,5, ,,5,, ,985,,5,75, ,97,5,5,, Tablau 5. Modélisatio du vt cofiguratio lamiair 5 4 Figur 5.6 ocalisatio ds zos d vt cofiguratio uiform 54

154 hapitr 5 Validatio xpérimtal. (m²/s²) pctr sigal pctr sigal Karma =.6m Karma =.4m (m²/s²) Itrspctr Davport =5 Davport = Dav. mod. =(5,5) f(hz) f(hz) Figur 5.7 Traitmt d la composat u aux poits t pour U=6m/s vt turbult. (m²/s²) pctr sigal pctr sigal Karma =.5m Karma =.5m (m²/s²) Itrspctr Davport =5 Davport = Dav. mod. =(5,5) f(hz) f(hz) Figur 5.8 Traitmt d la composat u aux poits t pour U=m/s vt turbult. (m²/s²) pctr sigal pctr sigal Karma =.5m Karma =.5m (m²/s²) Itrspctr Davport =5 Davport = Dav. mod. =(5,5) f(hz) f(hz) Figur 5.9 Traitmt d la composat u aux poits t pour U=6m/s vt turbult.4. (m²/s²) pctr sigal pctr sigal Karma =.4m Karma =.m (m²/s²) Itrspctr Davport =5 Davport = Dav. mod. =(5,5) f(hz) f(hz) Figur 5. Traitmt d la composat u aux poits t pour U=m/s vt turbult 55

155 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5.4 aractérisatio aérodyamiqu ds tablirs s valurs ds cofficits aérodyamiqus statioairs t istatioairs ot déjà été préstés au chapitr. Il s agit à prést d ls modélisr vu du calcul umériqu. s cofficits aérodyamiqus statioairs sot liéarisés autour ds icidcs 5, -4, -, -, -,,,,, 4, 5, puis approchés par ds polyôms du quatrièm dgré. s résultats, obtus vt uiform t turbult, sot préstés figurs 5. t x.6.4. dx/di x.6.4. dx/di Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) y..4.6 dy/di 6 5 y..4.6 dy/di Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) m.5 dm/di m.5 dm/di Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) Figur 5. iéarisatio ds cofficits aérodyamiqus du tablir trapézoïdal A gauch : vt uiform ; à droit : vt turbult x.4 dx/di. x.4 dx/di Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) y dy/di 6 4 y dy/di Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.).... m dm/di. m dm/di Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) Icidc (dg.) Figur 5. iéarisatio ds cofficits aérodyamiqus du tablir rctagulair A gauch : vt uiform ; à droit : vt turbult 56

156 hapitr 5 Validatio xpérimtal s cofficits istatioairs d cala sot ux approchés par ls foctios idicills préstés chapitr. s foctios sot ajustés autour ds doés issus ds ssais oscillatios librs (figurs 5. t 5.4). A* Vitss réduit H* Vitss réduit A* Vitss réduit H4* Vitss réduit Figur 5. Foctios idicills caractérisat l tablir trapézoïdal. A*.. H* Vitss réduit Vitss réduit A* Vitss réduit H4* Vitss réduit Figur 5.4 Foctios idicills caractérisat l tablir rctagulair 57

157 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5.5 Msur ds déplacmts s déplacmts sot msurés quatr poits : dux à mi-travé t dux à quart-d-travé (figurs 5.5 t 5.6). s écarts typs ds déplacmts modaux sot obtus par combiaiso liéair ds quatr vois, aalys spctral t ajustmt d spctrs d oscillaturs liéairs à d.d.l. par ls moidrs carrés. O déduit égalmt fréqucs t amortissmts modaux. Figurs 5.5 t 5.6 apturs d déplacmts t étiqutts d visé Torsio Flxio (mm²/s²)..9.8 Poits xpérimtaux 5.7Hz, 9.5mm, 4.7% 8.95Hz, 4.mm,.% f(hz) (mm²/s²) Poits xpérimtaux 7.48Hz,.54mm,.4% 5 5 f(hz) Torsio Poits xpérimtaux 5.8Hz, 6.9mm, 4.7% 8.97Hz,.mm,.%.9Hz,.7mm,.9% x Flxio Poits xpérimtaux 7.45Hz,.mm,.5% (mm²/s²).5. (mm²/s²) f(hz) 5 5 f(hz) Figur 5.7 Aalys spctral ds déplacmts modaux : tablir trapézoïdal vt turbult à m/s 58

158 hapitr 5 Validatio xpérimtal a figur 5.8 motr l dévloppmt d u istabilité torsio pur du tablir trapézoïdal vt uiform à u vitss d m/s. la corrspod, d après ls échlls d similitud (/ distac t 5/ fréquc), à u vitss vrai gradur d l ordr d 8 m/s. Figur 5.8 Istabilité torsio pur du tablir d Millau à m/s (4 imags/scod) 59

159 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5.6 Résultats 5.6. osidératios sur ls icrtituds d calcul Avat d portr u jugmt sur la comparaiso tr résultats umériqus t xpérimtaux, il covit d avoir u idé ds icrtituds tachat ls us t ls autrs. s prmirs sot liés aux rrurs d stimatio ds différts paramètrs utilisés pour l calcul. s scods cocrt simplmt la précisio d la msur ds déplacmts par ls capturs lasrs. E s référat à la formulatio (4.67), o put proposr u stimatio d l icrtitud rlativ cocrat l stimatio umériqu d l amplitud ds déplacmts. O écrit aisi : σ σ q q = ( ω) ξ m F g ( ω) ξ m ω F g ω (5.) l icrtitud rlativ d la dsité spctrals ds bufftig forcs pouvat êtr décomposé comm suit : F ( ω) ad u = + + ( ω) U F ad u U (5.4) où ad rprést «l smbl» ds cofficits aérodyamiqus. tablau 5.4 rassmbl ls icrtituds rlativs stimés «à la louch» ds différts paramètrs. icrtitud cocrat ls cofficits aérodyamiqus st stimé sstillmt à partir ds écarts obtus tr msurs par balacs t msurs par priss d prssio (figurs.5-.6). Ell prd compt i l icrtitud lié à la détrmiatio d l admittac aérodyamiqu, i ls problèms spécifiqus liés à la détrmiatio ds cofficits d momt du tablir rctagulair, i ls ffts d Ryolds. icrtitud das la détrmiatio du spctr du vt st stimé d après ls figurs icrtitud lié à l amortissmt prd compt qu l amortissmt aérodyamiqu qui st prépodérat sur l sstil d la gamm d vitsss ; ll st stimé d u part d après ls «imprssios» rsstis pdat ls msurs t traitmts ds cofficits aéroélastiqus, d autr part d après l évaluatio d la prtic ds foctios idicills (figurs 5. t 5.4). 6

160 hapitr 5 Validatio xpérimtal s icrtituds cocrat masss gééralisés t pulsatios provit d l aalys ds uags d poits xpérimtaux (figurs 5.4 t 5.5). Paramètr ad u U ξ m g ω P/P 5% 5% % % 5%,5% Tablau 5.4 Icrtituds rlativs ds paramètrs utilisés par ls calculs spctraux t tmporls Ds xprssios (5.) t (5.4), o stim l icrtitud rlativ das l stimatio ds déplacmts, lié aux rrurs xpérimtals, à 5% viro. i l o stim l icrtitud tachat la msur ds déplacmts (détrmiatio ds gais, positio du faiscau lasr) à 5%, o arriv à u icrtitud rlativ total d %, uiqumt lié à l smbl ds msurs ffctués pdat l smbl d la procédur d validatio alcul spctral s calculs par la méthod spctral ot été ffctués pour ls dux tablirs t ls dux typs d vt, soit quatr cofiguratios. Pour chacu d'lls, ls réposs ds quatr prmirs mods d vibratio sot préstés figurs 5.9 à 5.4. O y trouv : ls résultats issus ds ssais xpérimtaux; ls résultats obtus par l calcul spctral "complt", c'st à dir avc pris compt ds forcs aéroélastiqus t d l'admittac aérodyamiqu; ls résultats obtus sas pris compt d l'admittac aérodyamiqu; ls résultats obtus par l calcul spctral "quasi statiqu", c'st à dir sas tir compt i d l'admittac aérodyamiqu, i ds forcs aéroélastiqus. s résultats xpérimtaux sot rpréstés sous form d crcls dot l rayo, das la rpréstatio échll logarithmiqu, corrspod à u icrtitud d %. 6

161 hapitr 5 Validatio xpérimtal a) as du tablir trapézoïdal s réposs ds maqutts sot globalmt sous-stimés pour ls faibls vitsss d vt t surstimés pour ls hauts vitsss. la st partillmt imputabl à l'évolutio d l'amortissmt structurl foctio d l'amplitud ds déplacmts: l'amortissmt structurl rtu pour ls calcul st surévalué pour ls ptits amplituds t sous-évalué pour ls grads amplituds. la st surtout vrai à faibls vitss t amplitud lorsqu l'amortissmt aérodyamiqu st faibl par rapport à l'amortissmt structurl. Ajoutos qu'à faibl vitss ls msurs puvt êtr surstimés du fait d l'importac rlativ croissat ds oscillatios géérés par ls vibratios du sol d la soufflri. s résultats obtus vt uiform sot pas plus mauvais qu cux obtus vt turbult. O aurait pu s'attdr à u sous-stimatio ds réposs vt lamiair du fait d la o pris compt ds ffts d sillag. O put coclur qu cs ffts sot pas trop importats. a vitss critiqu d flottmt st sigificativmt sous-stimé vt uiform t très largmt sous stimé vt turbult. a prmièr xplicatio résid das la mauvais prédictio ds phéomès aéroélastiqus. Rapplos fft qu ls cofficits d cala ot été détrmiés das ds coditios où l taux d turbulc était d l'ordr d,5%. Ici, ls taux d turbulc pour la composat logitudial du vt sot d,5% t 8% rspctivmt pour ls cofiguratios uiforms t turbults. Or, ls phéomès d'istabilité aérodyamiqu ot d'autat plus d mal à s dévloppr qu l taux d turbulc st fort, mêm s ils sot égalmt plus facilmt iitiés. la 'st absolumt pas pris compt das os calculs, c qui xpliqu la sous-stimatio ds vitsss critiqus d flottmt. Ajoutos qu la suprpositio d différts mods d vibratio put qu gêr l dévloppmt d phéomès aérodyamiqus orgaisés. la o plus 'st pas pris compt das os calculs. a scod xplicatio résid das la sous-stimatio d l'amortissmt structurl du prmir mod pour ls grads amplituds. a vitss prmttat d'aulr l'amortissmt total st doc sous-stimé. s résultats obtus par u approximatio "quasi statiqu" motrt bi l'importac ds forcs aéroélastiqus t admittac aérodyamiqu. E particulir, l'amortissmt aérodyamiqu jou ici u grad rôl du fait d la faiblss rlativ ds amortissmts structurls. b) as du tablir rctagulair comportmt ds mods d torsio st globalmt mal simulé par l calcul : ls déplacmts sot gééralmt sous-stimés. 'fft du sillag st sas dout ici plus importat qu das l cas du tablir trapézoïdal ; o costat otammt l rôl sstil joué par l détachmt tourbilloairs. Rapplos 6

162 hapitr 5 Validatio xpérimtal surtout ls difficultés rcotrés lors d la détrmiatio xpérimtal ds cofficits d momt. 'itroductio d'u admittac aérodyamiqu "fourr-tout" prmt crts d corrigr partillmt la mauvais coaissac ds momts s'xrçat tout au log du tablir. Néamois, c trm corrctif 'st strictmt valabl qu das l cas d'u tablir d'u mètr d log. O a fft pu voir l'importac ds ffts tridimsiols liés à c typ d profil. a répos du mod d flxio st, par cotr, bi prédit par l calcul. la put êtr mis au crédit d la plus fort prédomiac ds forcs aéroélastiqus par rapport au tablir trapézoïdal (fig..9 t.) qui réduit l problèm lié à la mauvais stimatio d l'amortissmt structurl. a vitss critiqu d flottmt vt uiform st égalmt corrctmt prédit. U xplicatio, sas dout isuffisat, st qu ls forcs d traîé, jout ici u rôl majur. prmir mod, dot la déformé horizotal st très importat, st doc favorisé t mois prturbé par ls autrs mods. E vt turbult, la vitss critiqu d flottmt st par cotr logiqumt sous-stimé. c) oclusio ompt tu ds cosidératios éocés 5.5. t ds difficultés rcotrés autour d la détrmiatio du momt du tablir rctagulair, o put affirmr qu ls résultats obtus par la méthod spctral sot tout à fait satisfaisat das u gamm d vitss «itrmédiair». A bass vitss, ls calculs sot globalmt ttmt surstimés, spécialmt vt uiform. O put avacr dux hypothèss : s ffts d Ryolds dvit importats : o a déjà obsrvé ds ffts o égligabls lors d l étud paramétriqu ds cofficits d momts (figur.8) ; a turbulc du vt st mal modélisé à faibl vitss : ls msurs d turbulc, faits pour ds vitsss compriss tr 6 m/s t m/s, ot été appliqués brutalmt à l smbl d la gamm d vitsss. Efi, ls istabilités sot assz mal prédits. s raisos pricipals sot : la o pris compt d l impact d la turbulc sur ls cofficits aéroélastiqus ; l absc d modélisatio d la cohérc latéral ds forcs aéroélastiqus ; ls limits du pricip d suprpositio ds mods. 6

163 hapitr 5 Validatio xpérimtal Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod 4 Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Figur 5.9 Résultats calculs spctraux : tablir trapézoïdal vt uiform 64

164 hapitr 5 Validatio xpérimtal Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Mod 4 E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Figur 5.4 Résultats calculs spctraux : tablir trapézoïdal vt turbult 65

165 hapitr 5 Validatio xpérimtal Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Mod 4 E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Figur 5.4 Résultats calculs spctraux : tablir rctagulair vt uiform 66

166 hapitr 5 Validatio xpérimtal Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod 4 Poits xpérimtaux alcul spctral.. sas admittac.. quasistatiqu U(m/s) Figur 5.4 Résultats calculs spctraux : tablir rctagulair vt turbult 67

167 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5.6. alcul tmporl Pour l calcul tmporl, o a gééré u séri d sigaux d vt, 4 poits d l spac, pour différts valurs d vitsss moys d référc compriss tr t 5 m/s. haqu sigal st composé d 89 poits spacés d / d scod. haqu périod du quatrièm mod st aisi rprésté par viro 8 poits. Dux sigaux d la composat logitudial d u vt turbult sot rprésté figur 5.4. O a égalmt rprésté lurs spctrs t itrspctrs, réls t imposés coditio d tré. s résultats issus du calcul tmporl sot préstés figurs 5.47 à 5.5. O y a rprésté : ls résultats issus ds ssais xpérimtaux; ls résultats obtus par l calcul tmporl "complt", c'st à dir avc pris compt ds forcs aéroélastiqus t d l'admittac aérodyamiqu; ls résultats obtus sas pris compt ds forcs aéroélastiqus; u rappl ds résultats obtus auparavat par l calcul spctral. U(m/s) igal : poit, composat t(sc.) U(m/s) igal : poit, composat t(sc.).4 (m²/s²) pctr pctr Itrspctr p. Karma p. Karma Itrsp. Dav f(hz) Figur 5.4 igaux d vt turbult géérés dux poits distats d cm 68

168 hapitr 5 Validatio xpérimtal U bo parti ds commtairs formulés à propos du calcul spctral sot applicabls au calcul tmporl. O put cpdat apportr dux uacs. Tout d abord ls déplacmts à faibl vitss sot mois sous-stimés. la rlativis (sas toutfois ls cotrdir) ls aalyss proposés à c sujt à propos du calcul spctral puisqu ls argumts ivoqués alors sot toujours valabls ici. A vrai dir, pouvat xpliqur c fait, il ous st difficil d prétdr qu l calcul tmporl st plus précis à faibl vitss qu l calcul spctral. s raisos, icous, sot put-êtr d mauvaiss Par cotr la millur prédictio du comportmt istabl ds tablirs put parti êtr mis au crédit d u millur pris compt d l impact d la turbulc sur ls phéomès aéroélastiqus. O voit otammt sur la figur 5.44, rpréstat ls sigaux obtus avc t sas pris compt ds ffts aéroélastiqus qu l apport d cs drirs s résum pas à u simpl chagmt d échll. O pourrait prsqu parlr d «mélag itim» tr ls bufftig forcs t ls forcs aéroélastiqus, rpréstatifs d u «parti d la réalité». i l o s itérss maitat aux figurs 5.45 t 5.46, rpréstat ls oscillatios ds dux prmir mods à, t 9 m/s cofiguratios lamiair t turbult, o s aprçoit qu das l prmir cas l istabilité à 9 m/s st immédiat, alors qu das l scod cas ls bufftig forcs smblt rtardr l apparitio d ctt mêm istabilité. fait qu ls vitsss critiqus obtus vt lamiair t vt turbult soit similairs provit uiqumt du fait qu ls tmps d simulatios sot suffisammt logs pour qu, qulqu soit l dgré d turbulc, ls istabilités pottills s mut istabilités rélls. pdat, o put très bi imagir qu avc u taux d turbulc supériur t u duré d simulatio égal, la vitss d 9 m/s soit déclaré ifériur à la vitss critiqu d flottmt. 4 Déplacmts (mm) Tmps (sc.) Déplacmts (mm) Tmps (sc.) Figur 5.44 igaux d déplacmt ds dux prmirs mod du tablir trapézoïdal (mod blu, mod vrt) vt turbult pour u vitss d m/s avc t sas ffts aéroélastiqus 69

169 hapitr 5 Validatio xpérimtal Déplacmts (mm) Tmps (sc.) Déplacmts (mm) Tmps (sc.) Déplacmts (mm) Tmps (sc.) Figur 5.45 igaux d déplacmt ds dux prmirs mod du tablir trapézoïdal vt turbult pour m/s, m/s, 9 m/s Déplacmts (mm) Tmps (sc.).5 Déplacmts (mm) Tmps (sc.) Déplacmts (mm) Tmps (sc.) Figur 5.46 igaux d déplacmt ds dux prmirs mod du tablir trapézoïdal vt uiform pour m/s, m/s, 9 m/s 7

170 hapitr 5 Validatio xpérimtal Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod 4 E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Figur Résultats calculs tmporls : tablir trapézoïdal vt uiform 7

171 hapitr 5 Validatio xpérimtal Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod 4 E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Figur 5.48 Résultats calculs tmporls : tablir trapézoïdal vt turbult 7

172 hapitr 5 Validatio xpérimtal Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod 4 E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Figur 5.49 Résultats calculs tmporls : tablir rctagulair vt uiform 7

173 hapitr 5 Validatio xpérimtal Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Mod E.t. déplacmts (mm) Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) E.t. déplacmts (mm) Mod 4 Poits xpérimtaux alcul tmporl.t. sas forcs aéroélastiqus alcul spctral U(m/s) Figur 5.5 Résultats calculs tmporls : tablir rctagulair vt turbult 74

174 hapitr 5 Validatio xpérimtal 5.7 oclusio chapitr, cosacré à la procédur d validatio xpérimtal ds cods dévloppés, était basé sur l passag soufflri atmosphériqu d dux maqutts aéroélastiqus rpréstat ds través ctrals d tablirs d pots. s déplacmts xpérimtaux ot été comparés aux déplacmts calculés par ls approchs spctrals t tmporlls. ompt tu ds icrtituds liés à la détrmiatio ds différts paramètrs d tré, ls résultats s sot avérés tout à fait satisfaisats. Ds étuds complémtairs prmttrait cpdat d miux défiir ls limits ds approchs spctrals t tmporlls. Ds maqutts d typ taut-tub pourrait otammt êtr mployés pour étudir ls phéomès d couplag flxio-torsio. O pourrait suit visagr l étud d structurs plus complxs comm u pot phas d costructio (figur 4.). 75

175 oclusio objctif d c travail était d dévloppr dux outils d calcul prmttat d stimr la répos ds structurs élacés aux sollicitatios turbults du vt : l prmir basé sur u approch spctral, l scod basé sur u approch tmporll. Pour cla, ous avos d abord réalisé u sythès bibliographiqu ds différts modèls dispoibls aujourd hui pour rpréstr, d u part l vt aturl das la couch limit atmosphériqu, d autr part ls forcs aérodyamiqus s xrçat sur ls ouvrags d art. était l objt ds dux prmirs chapitrs. Puis, ous avos présté différts méthods xpérimtals prmttat d stimr ls fforts aérodyamiqus s xrçat sur ds maqutts sctiolls. Nous ous somms particulièrmt itérssé aux dux pricipals tchiqus prmttat d msurr ls forcs aéroélastiqus sur ls tablirs d pot : la tchiqu ds oscillatios librs t la tchiqu ds oscillatios forcés. smbl ds méthods xpérimtals préstés ot été appliqués à dux typs d sctios utilisés suit lors d la procédur d validatio du cod. Nous avos suit xposé ls bass théoriqus ds approchs spctral t tmporll. s dux sot basés sur u discrétisatio d la structur élémts d typ poutr t l utilisatio d outils issus d la mécaiqu ds vibratios. Das l cas d l approch spctral, l vt t ls forcs aérodyamiqus sot utilisés sous form d dsités spctrals d puissac. s forcs aéroélastiqus, lls, itrvit sous form d matrics raidur t amortissmt aérodyamiqus. O aboutit à u systèm matricil xprimé das la bas modal, das lqul ds trms d couplag aérodyamiqu puvt itrvir. Ajoutos qu la déformé statiqu d la structur aisi qu l icidc moy du vt sot désormais parfaitmt pris compt. approch tmporll rpos ll sur la géératio d u sigal d vt aléatoir tridimsiol rspctat crtais coditios d corrélatios spatio-tmporlls. O a pour cla dévloppé u ouvau modul d calcul basé sur l algorithm d Ji t al., rmplaçat l aci modul basé sur l algorithm d hiozuka. 76

176 oclusio s forcs aéroélastiqus itrvit sous form d foctios idicills. lls-ci sot à l origi d u systèm d dux équatios matricills couplés : l u état l équatio classiqu d la mécaiqu, l autr rliat u parti ds forcs aéroélastiqus aux déplacmts d l ouvrag. systèm st résolu pas d tmps par pas d tmps à l aid d u schéma implicit d Nwmark pour la prmièr équatio, d u schéma xplicit pour la scod. U méthod d optimisatio d la liéarisatio ds cofficits aérodyamiqus, à dstiatio ds calculs spctraux t basé sur ds simulatios tmporlls, a été itroduit. O a égalmt proposé u méthod d combiaiso ds chargs modals xtrêms t covrsio chargs statiqus équivalts, à dstiatio ds buraux d étuds chargés du dimsiomt ds ouvrags. Efi ls caractéristiqus statistiqus du vt puvt désormais êtr défiis d faço zoal. Nous avos mis plac u procédur d validatio ds dux approchs, basé sur l passag soufflri d dux maqutts aéroélastiqus rpréstat ds través ctrals d tablirs d pots. s résultats umériqus s révèlt globalmt bo accord avc ls doés xpérimtals, compt tu ds icrtituds liés à la détrmiatio xpérimtals ds caractéristiqus mécaiqus t aérodyamiqus d os maqutts. O a toutfois oté u sous-stimatio ds déplacmts pour ls faibls vitsss d vt, vraismblablmt du à ds ffts d Ryolds t à u mauvais modélisatio d la turbulc. s vitsss critiqus d flottmt s avèrt égalmt sous-évalués : sot caus l pricip d suprpositio ds phéomès aéroélastiqus modaux, l évolutio d l amortissmt structurl foctio d l amplitud, la mauvais pris compt d l impact d la turbulc sur l dévloppmt d phéomès aéroélastiqus t, fi, l absc d modélisatio d la cohérc latéral ds forcs aéroélastiqus. O a cpdat pu otr qu l impact d la turbulc sur l dévloppmt ds istabilités aérodyamiqus était miux appréhdé par la méthod tmporll. 78

177 Prspctivs objctif d c travail était o sulmt d dévloppr u outil d calcul, mais égalmt d situr c drir das so cotxt xpérimtal. Aisi, o a vu qu u bo parti ds écarts tr l stimatio umériqu ds déplacmts t lur détrmiatio xpérimtal pouvait êtr attribué aux rrurs d msur ds différts paramètrs d tré. amélioratio d l outil umériqu pass d abord par l amélioratio d la détrmiatio d cs paramètrs d tré. E particulir, il srait souhaitabl d améliorr la msur ds amortissmts structurls t aérodyamiqus, d bi caractérisr lur évolutio foctio d l amplitud ds oscillatios, t, pour l scod, foctio du ombr d Ryolds t du taux d turbulc. O améliorrait aisi d u part la prévisio d la répos à la turbulc, d autr part la prévisio ds istabilités aérodyamiqus. Il srait égalmt util d dévloppr la msur ds cofficits aéroélastiqus oscillatios couplés : soit sur ds maqutts sctiolls (u mod d flxio t u mod d torsio) soit sur ds maqutts soupls (plusiurs mods d flxio t d torsio). la prmttrait d réduir ls rrurs liés au pricip d suprpositio ds ffts aéroélastiqus modaux. ifluc du Ryolds t d la turbulc sur ls cofficits aérodyamiqus statioairs méritrait aussi aujourd hui d êtr miux caractérisé. a foctio d admittac aérodyamiqu prmt crts d prdr compt l impact rlatif ds différts échlls d la turbulc mais ri dit qu cll-ci évolu pas avc l allur du spctr d la turbulc (i.. d la vitss moy t ds itsités t échlls d turbulc). U poit importat, qui a pas été abordé das c mémoir, cocr la caractérisatio d la cohérc latéral ds forcs aérodyamiqus. xpéric motr fft qu cll-ci st souvt plus importat qu cll du vt. a o pris compt d l accroissmt d la cohérc latéral coduit à u sousstimatio d la répos ds mods primairs. smbl ds amélioratios ffctués sur l pla xpérimtal doivt aturllmt êtr accompagés d modèls mathématiqus prmttat lur pris compt das l cadr d u calcul umériqu. ux-ci sot a priori plus facils à défiir das l optiqu d calculs spctraux, l xpérimtatio s ramat souvt à ds cocpts statistiqus. Il ous smbl cpdat primordial d 78

178 ls appliqur égalmt au calcul tmporl, sul à pouvoir appréhdr réllmt l dévloppmt ds istabilités aérodyamiqus. E c qui cocr l évaluatio ds cofficits aérodyamiqus statioairs t istatioairs, d ombrux outils umériqus xistt pouvat pottillmt rmplacr tout ou parti ds ssais soufflri. s plus courats sot basés sur la résolutio ds équatios d Navir-toks. s cods d calculs d typ k-ε sot coçus pour appréhdr ls phéomès aérodyamiqus moys ; ls fluctuatios liés à la turbulc sot pas calculés mais modélisés par u trm uiqu. s outils préstt l itérêt d êtr écoomiqus tmps d calcul ; cpdat, ils maqut crullmt d précisio pour prédir ls décollmts t rcollmt ds écoulmts, du fait d u surproductio d érgi ciétiqu aux poits d impacts. Or la coaissac d cs phéomès st primordial pour l stimatio ds cofficits aérodyamiqus statioairs. s cods d typ.e..(arg Eddy imulatio), calculat l histoir ds structurs turbults jusqu à d très ptits échlls, prmttt d appréhdr ls phéomès aérodyamiqus istatioairs. pdat, o st souvt obligé d s ramr à ds calculs bidimsiols pour limitr ls tmps d calcul. a turbulc, d atur tridimsioll, st alors forcémt mois bi appréhdé. E outr l aalys ds couplags fluid-structur écssitt l mploi d maillags mobils, sourcs d difficultés supplémtairs. D ouvlls tchiqus d calcul ds écoulmts sot apparus il y a qulqus aés pour répodr aux bsois spécifiqus du Wid Egirig, rgroupés sous l appllatio d Discrt Vortx Mthod. lls-ci sot basés sur u crtai ombr d simplificatios (écoulmt bidimsiol, o visquux) prmttat otammt d réduir l ombr d variabls à u sul trm: la vorticité. E outr, lls écssitt aucu maillag, c qui facilit l étud ds couplags fluid-structur. s méthods simplifiés puvt costitur u compromis itérssat tr précisio t rapidité ds calculs. utilisatio d la.f.d. das ds calculs complts d couplag fluid-structur smbl, à trm, iéluctabl. a.e.. costitura probablmt, u jour, la millur solutio. a Discrt Vortx Mthod smbl cpdat êtr, à moy trm, l approch la plus adapté. O put fft d ors t déjà visagr d appliqur à chacu ds élémts d la structur u calcul DVM bidimsiol. Il s agirait alors d itroduir ds «dgrés d couplag» appropriés tr cs calculs parallèls. 79

179 Bibliographi Attou M. (994) Répos dyamiqu ds structurs élacés à la turbulc du vt. Thès d doctorat, Ecol tral d Nats. Attou M., Grillaud G. (99) Dyamic rspos of structurs to wid turbulc. Procdigs of th d Europa ofrc o structural Dyamics, Trodhim, Norway, pp Barré. t Brbio H. (99) officits aérodyamiqus du tablir du pot d ait-nazair. Rapport TB, Réf. EN-A9.6. Barré. (996) officits aérodyamiqus ds vrsios béto t mixt du tablir t ds pils du viaduc d Vrrièrs. Rapport TB, Réf. EN-EA Barré. (998) A75 Grad viaduc d Millau officits aérodyamiqus du tablir t ds pils. Rapport TB, Réf. EN-AE98.7. Biétry J., acré., imiu E. (978) Ma wid profils ad chag of trrai roughss. AE, Vol. 4, T Biétry J. t Grillaud G. (984) Wid studis for th Normady bridg. Acts d la coférc d l'afp sur ls pots suspdus t à haubas, Dauvill, Frac, Vol., pp Bisplighoff R.. ad Ashly H. (96) - Pricipls of Arolasticity. Joh Wilwy ad sos, Ic., Nw York, UA. Blich F. (948) Dyamic istability of truss-stiffd suspsio bridgs udr wid actio. Proc., AE, Vol. 74, No.8, pp

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