). La force de Coulomb qui s exerce sur la charge q placée en M s écrit f (M) = qe(m) OM

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1 Électrostatque Lo de Coulomb dans le vde charges ponctuelles q et q placées dans le vde en des ponts M et M fxes et dstants de r exercent l une sur l autre des forces opposées telles que la force exercée par q sur q est égale à f = q q u 4π r avec u = NB : M M ). M M 4π = USI, s appelle permttvté du vde en F m ). Influence du mleu : lo de Coulomb dans un mleu On consdère le cas où les charges ne sont plus dans le vde mas dans un mleu solant ou délectrque). On dot alors prendre en compte l acton des charges consdérées à travers le vde nter-atomes, ans que l acton de chaque charge consdérée sur le mleu qu peut alors devenr polarsé. On se place dans l hypothèse du mleu délectrque parfat.e. lnéare, homogène, sotrope, remplssant tout l espace consdéré). Alors la lo de Coulomb s écrt f = q q u 4πε r r où ε r = ε est la permttvté relatve du mleu, défne par rapport à ε qu est la permttvté absolue du mleu. Conséquences : ) ε r =, 0006 à 0 C pour l ar : on peut consdérer ce mleu comme étant le vde du pont de vue de l électrostatque. ) ε r = 80 pour l eau à 0 C : dans ce mleu, la force électrostatque est très affable par rapport à l ar d un facteur 80). Cec explque que l eau est un solvant dssocant : les ons peuvent s y déplacer lbrement. Comparason des forces électrostatque et gravtatonnelle dans un atome Avec le modèle sommare de l atome d hydrogène proton fxe de charge +e avec un électron de charge e décrvant une trajectore crculare à r = 0, 053 nm fxe dans le vde), on a pour la force de gravtaton : f p e 3, N et pour la force de Coulomb f p e 8, 0 8 N, donc la force gravtatonnelle est totalement néglgeable par rapport à la force électrostatque au nveau atomque avec ce modèle. Champ électrostatque On défnt le champ électrque créé dans le vde par une charge ponctuelle q 0 placée en O comme le vecteur q 0 EM) = ur 4π r u r = OM ). La force de Coulomb qu s exerce sur la charge q placée en M s écrt f M) = qem) OM NB : ) E est en V m. ) Dans un mleu ε, on remplace ben sûr par ε = ε r. Lgnes de champ Une lgne de champ est une courbe qu est tangente en chacun de ses ponts au champ E. Les lgnes de champ ont pour équaton : k, E = k d dx l, sot = dy = dz E x E y E z Les lgnes de champ convergent vers les ponts où se stuent des charges q < 0, et dvergent vers les ponts où se stuent des charges q > 0, mas les lgnes de champ électrque ne se referment pas sur elles-mêmes. NB : Deux lgnes de champ ne peuvent se couper en un pont que s le champ y est nul. On parle de pont de champ nul. On appelle tube de champ un ensemble de lgnes de champ s appuyant sur un contour fermé. Calcul drect du champ électrostatque Symétre des sources et conséquences Sot ρ une dstrbuton de charges, qu dépend de tros coordonnées d espace : Invarances en coordonnées cylndrques : ρr, θ, z) }{{} = ρr, θ) }{{} = ρr). translaton rotaton Invarances en coordonnées sphérques : ρr, θ, ϕ) = ρr) θ, ϕ. Symétre du champ Un champ électrque possède les proprétés d nvarance de la dstrbuton de charges qu lu donne nassance : Le champ en un pont d un plan de symétre des charges est contenu dans ce plan. Le champ en un pont d un plan d antsymétre des charges est perpendculare à ce plan. Le champ en un pont d un axe de symétre d une dstrbuton est colnéare à cet axe. Le champ en symétre cylndrque ou en symétre sphérque est radal et ne dépend que de r : EM) = Er) ur Découpages usuels pour le calcul du champ électrostatque Crconférence chargée : dl = R dθ, ds = πr dr. Sphère chargée en surface : sphère de rayon R, on consdère une couronne sphérque de largeur R dθ : ds = πrr dθ avec r = R snθ). Potentel électrostatque crculaton conservatve du champ électrostatque contour fermé C, E.d l = 0 C La crculaton de tout champ électrostatque E est conservatve : pour tout

2 Potentel électrostatque d une dstrbuton fne Pour une telle dstrbuton fne, on peut toujours supposer que le potentel est nul à l nfn, donc que la constante est nulle : Potentel d une charge unque : V r) = q 4π r Potentel d une dstrbuton de charges : V r) = V = q 4π r cas dscret) ou V r) = sources dq cas contnu) avec dq = dl ou ds ou ρ dτ 4π r Relaton champ-potentel On a dc = E. dl = dv et C B A = B A E. dl = VA V B, et la formulaton locale E = gradv Interprétaton géométrque : le champ E est drgé dans le sens des potentels décrossants, l est normal aux surfaces équpotentelles V = cte Équaton de Posson Le potentel électrostatque satsfat l équaton de Posson : V + ρ = 0 Défnton et dscontnuté du champ en foncton des charges On consdère une dstrbuton de charges fne ou bornée : Dstrbuton volumque : E et V sont défns et contnus partout. Dstrbuton surfacque : V est défn et contnu partout, la composante normale de E est dscontnue au passage de la surface : E = E E = n Dstrbuton lnéque : E et V sont non défns sur la dstrbuton. Calcul du champ à partr du potentel : symétres Symétre axale : s la dstrbuton présente un axe de symétre ox), alors E et V ne dépendent que de x et l on a E = dv u x dx Symétre radale : s la dstrbuton présente une symétre cylndrque ou sphérque, E et V ne dépendent que de r et l on a dv E = ur dr Énerge potentelle Traval et caractère conservatf de la force électrostatque Une charge q placée en M dans un champ électrostatque E subt la force électrostatque f = q E. Pour un déplacement élémentare de q, le traval élémentare de la force électrostatque vaut δw = f. dl = q E. dl = q dv, d où pour un déplacement fn de A à B : WA B = qv A V B ) Ce traval ne dépend pas du chemn suv : la force électrostatque est conservatve. Énerge potentelle d une charge dans un champ électrostatque La force électrostatque étant conservatve, le traval est égal à la varaton d une foncton énerge potentelle Ep défne par Ep = qv D où : W A B = Ep A B et f = gradep cette relaton équvaut à E = gradv ). Interprétaton physque de Ep : lors du déplacement d une charge q de l nfn où l n y a pas d autre charge) en un pont M, le traval à fournr par l opérateur W op s dentfe à l énerge potentelle de la charge en M. En effet, le traval fourn par l opérateur est égal à l opposé du traval de la force électrostatque W M = qv ) V M)) = qv M), d où W op = qv M)) = qv M) = EpM). Par alleurs, un déplacement spontané d une charge q s effectue dans le sens des énerges potentelles décrossantes jusqu à une poston d équlbre stable Ep mnmale). Énerge potentelle d nteracton de deux charges Dans une régon vde de charges, un opérateur amène une charge q A de l nfn en un pont A. Il n a à fournr aucun traval vde de charges). Ensute, l opérateur amène de l nfn une charge q B au pont B. Dans q A ce cas, l dot fournr le traval q B V A B) où V A représente le potentel électrostatque dû à la charge A, sot V A M) =. 4π r AM q A Ans le traval fourn par l opérateur vaut Ep = q B. On remarque que cette expresson est symétrque en A et B, on l écrt 4π r AB Ep = q AV B A) + q B V A B) car q A V B A) = q B V A B)). Énerge potentelle d nteracton de n charges En généralsant le pont précédent, on obtent l énerge potentelle d nteracton d un système de n charges q placées respectvement aux ponts A : Ep = q V A ) où V A ) = q j avec r j = A A j. 4πε 0 r j j

3 Théorème de Gauss 3 Angle solde Par défnton, l angle solde vaut Ω = Σ où Σ est la surface d ntersecton d une sphère de centre R et de la porton R d espace caractérsant l angle solde. Son unté est le stéradan sr. L angle solde de l espace enter vaut donc Ω = 4πR R = 4π sr : Ω espace = 4π Angle solde élémentare Sot une surface élémentare ds centrée en un pont M et orentée par n normale sortante s la surface est fermée). On pose OM = r et OM u = r, et on appelle θ l angle u, n ). Par projecton, dσ = cosθ ds, d où ds cosθ dω = r = ds n. u r Angle solde délmté par un cône Sot un cône d angle au sommet α. Alors Ω = π cosα) Cas partculers : α : Ω = πα ; α = π : Ω = π plan nfn,.e. dem-espace) ; α = π : Ω = 4π espace enter). Flux d un champ électrostatque Le flux élémentare du champ électrostatque traversant une surface élémentare ds centrée en M vaut dφ = EM). d S = EM). n ds Le flux total traversant une surface S vaut donc φ = E.d S Flux du champ créé par une charge ponctuelle En applquant ce qu précède pour une charge ponctuelle q placée en un pont P : dφ = q u. ds 4π r avec EM) = E u. ds u. Or r = dω angle solde élémentare sous lequel P vot ds. Autrement dt : dφ = q dω.e. le flux élémentare envoyé par la charge q à travers ds est proportonnel à la charge et à l angle solde sous 4π lequel on vot ds. Pour une surface fne S, on obtent en ntégrant φ = Théorème de Gauss q 4π Ω S avec Ω S angle solde sous lequel P vot la surface S. Le flux du champ électrostatque à travers une surface fermée est égal à la charge totale contenue dans le volume délmté par cette surface dvsée par : φ = Q nt NB : Le théorème se démontre pour une charge ponctuelle en séparant les deux cas : la charge est à l ntéreur de la surface et la charge est à l extéreur de la surface, et en utlsant la noton d angle solde. Conséquences du théorème de Gauss : conservatvté du flux, extremum de potentel Le champ est à flux conservatf : dans une régon vde de charges, le flux se conserve à travers toute secton d un tube de champ. Ans s la surface S du tube augmente, l ntensté E du champ électrostatque décroît nécessarement de façon à avor un flux φ = ES constant. Le théorème de l extremum de potentel affrme que le potentel électrostatque ne peut présenter un extremum en un pont dépourvu de charge. Dpôle électrostatque Moment dpolare Un dpˆole électrostatque est un doublet de charges ponctuelles A, q), B, +q) séparées par une dstance l pette par rapport aux longueurs r = OM où l on cherche à en détermner les effets : l = AB r = OM où O est le mleu de AB. Le moment dpolare est défn par p = q AB = q l toujours orenté de vers +!). p est un C m. NB : En chme, on note plutôt µ le vecteur p, et on utlse le Debye comme unté : D C m. Notatons et objectfs pour l étude du dpôle On veut détermner le champ et le potentel en un pont M à grande dstance.e. très supéreure aux dmensons du doublet) créés par un dpôle. Le doublet est porté par l axe Oz) p = AB = pab u z ) et le pont M est repéré par ses coordonnées polares : OM = r u r, θ = u z, OM). On peut remarquer utlement que le système présente une symétre de révoluton autour de l axe Oz). Potentel à grande dstance créé par un dpôle Le potentel créé en M par le doublet vaut V M) = q 4π BM q ) avec AM ql cosθ p. u V M) 0 s M ). On trouve à l ordre en l/r en coordonnées polares : V r, θ) = 4π r = r p. r 4π r = 4π r 3 S

4 Démonstraton : BM = OM OB d où BM = r l ) l cos θ + r 4r. S l r, on en dédut Comme cos OM, V M) q 4π r OA) = cosπ θ) = cos θ, on en dédut par un calcul dentque que l ) r cos θ. AM r BM = ) lr l cos θ + r 4r r + l ) cosπ θ) = r r + l l r cos θ 4 ) r cos θ. ) Champ à grande dstance créé par un dpôle Le champ créé en M par le doublet vaut en coordonnées polares p cosθ E r = 4π r 3 et E θ = p sn θ 4π r 3 De façon ntrnsèque, on peut écrre EM) = 3 p. r ) r r p 4π r 5 On a p E = 3 cos 4π r 3 θ + et s l on désgne par α l angle u r, E), on a tanα = E θ = tan θ E r Démonstraton : Comme E dérve du potentel V r, θ), on a en coordonnées sphérques E r = V c-dessus. On peut donc écrre E = pcos θ u r + psn θ u θ 4π r 3 Équpotentelles a comme équaton r = K 0 cosθ r et E θ = r. Or p = pcos θ u r psnθ u θ, d où l expresson ntrnsèque en réarrangeant.. D où V, d où le résultat en ntégrant le potentel trouvé θ Par symétre, les équpotentelles sont des surfaces de révoluton autour de l axe Oz). Dans un plan u r, u θ ) on Lgnes de champ longueur). Démonstraton : E parallèle à d l s écrt Les lgnes de champ sont données par les équatons r = K sn θ une lgne par valeur de K homogène à une dr = r dθ dr d où E r E θ cos θ = r dθ sn θ et en ntégrant : ln r K = lnsn θ). Acton d un champ extéreur unforme C est un cas usuel car la fable dstance de l = AB permet de consdérer que la dmenson du dpôle est fable devant l ordre de grandeur des varatons du champ électrque extéreur noté E 0. L acton est caractérsée par un moment nul et une résultante non nul, donc un moment F = 0 Γ = p E 0 Démonstraton : F = F A B + F B A = q E 0 + q E 0 = 0. Donc le torseur est un couple de moment Γ = OB F A B + OA F B A = AB E 0. S l on note α = AB, E 0 ), on a Γ = pe 0 sn α. Donc l y a deux postons d équlbre correspondant à Γ = 0 : α = 0 équlbre stable) ou α = π équlbre nstable) : un champ unforme crée un couple qu tend à algner le dpˆole dans la drecton et le sens du champ. Acton d un champ extéreur quelconque La résultante n est pas nulle et vaut F = p grad ) E Démonstraton : On a F = q EB) EA)). On ntrodut le mleu O de AB de coordonnées x, y, z) et on note x, y, z) les coordonnées de AB, d où les coordonnées de A x + x, y + y, z + z x ) et de B x, y y, z z ). Alors Fx = q [E x x + x, y + y, z + z ) E x x x, y y, z z )]. On fat un développement lmté à l ordre en x, y et z, ce qu donne après [ ] smplfcatons : F x = q x Ex Ex Ex + y + z = p grad )Ex = p. grad Ex). On a la même chose avec E y et E z d où le résultat. x y z Énerge potentelle du dpôle dans un champ extéreur L énerge potentelle du dpôle dans le champ E vaut Ep = p. E B B Démonstraton : Par défnton, Ep = qv extb) V exta)) d où Ep = q dv ext = q E. dl. Or, entre A et B, le champ E ne vare quasment pas d où A A Ep = q E. l = p. E. Généralsaton : dstrbuton unpolare, dpolare ou quadrupolare On consdère un système de n charges ponctuelles q placées en des ponts stués au vosnage mmédat d un pont O. La dstrbuton est dte : unpolare s q = Q 0. Dans ce cas la dstrbuton est totalement équvalente à une charge unque Q, donc le potentel est de la forme V = Q 4π r. dpolare s q = 0, et s le barycentre G + des charges postves et celu G des charges négatves sont dfférents. Dans ce cas on appelle Q la somme des charges postves = l opposé de la somme des charges négatves), et la dstrbuton est totalement équvalente à un dpôle de moment p = Q G G +, donc le potentel est de la forme V = p cosθ 4π r. quadrupolare s q = 0, et s le barycentre G + des charges postves et celu G des charges négatves sont confondus : G = G +. Dans ce cas le potentel est en r 3.

5 Calculs classques Segment électrsé, fl nfn Un segment AB de mleu O et longueur a content la densté lnéque. Le champ sur l axe de a symétre Ox) en un pont M d abscsse x vaut Ex) = π x u x Le potentel vaut V M) = + tan θ0 ln x + a π tan θ0 où θ 0 est l angle lmte entre M et chaque pont à l extrémté du fl. On en dédut le champ et le potentel en un pont M stué à la dstance x d un fl nfn chargé par une densté, respectvement Ex) = π x et V x) = π lnx) + cte Démonstraton : Cas du segment Sot P un pont du segment de cote l tel que PM, u x) = θ. La symétre du système mpose que E est colnéare à u x, d où de. cos θ dl ux =. Par alleurs, cos θ = x 4π PM PM d où PM = cos θ x et tan θ = l xdθ d où dl = x cos θ. On remplace et on ntègre en θ entre θ 0 et θ 0 où θ 0 est l angle lmte pour P = A ou B snθ = a PM = a a + x ) : E = +θ0 x cos dθ 4π θ 0 cos x cos θ = snθ 0 = a 4π π x a + x. Pour le potentel, on obtent en utlsant les mêmes notatons et les résultats déjà trouvés : V M) = dl 4π PM = +θ0 x dθ cos θ = +θ0 dθ 4π θ 0 cos θ x 4π θ 0 cos θ. dα tan x Or cos α = ln + π ), tan a + tan b et tana + b) = 4 tan a tan b, ce qu donne le résultat après smplfcatons avec tan π 4 =. Cas du fl nfn ère méthode pour E calcul drect) : le fl nfn est caractérsé par l approxmaton x a sot θ 0 π ) : on trouve ben l expresson proposée en utlsant les résultats du calcul précédent pour le segment. ème méthode pour E Gauss) : les symétres mposent que E = Er) u r, d où en utlsant un cylndre de hauteur h et rayon r, l vent avec Gauss πrher) = h d où Er) = π r. Dans les deux cas, l sufft d ntégrer pour obtenr le potentel. Dsque unformément chargé Un dsque D de centre O, axe oz) et rayon R est chargé avec une densté surfacque unforme. Le champ en un pont d abscsse z sur l axe Oz) ne dépend que de z, a pour drecton u z et sa norme vaut Ez) = ) z ) s z > 0 Le potentel vaut R + z z + R ε z 0 NB : On a donc une dscontnuté au nveau de l orgne. Démonstraton : ère méthode : champ pus potentel. La symétre mpose que Ez) = Ez) u z avec E z) = Ez). On se place en z > 0. On a par alleurs Ez) = dq r. u z 4π D r avec dq = ds = πρ dρ et r. u z = r cos θ, d où Ez) = R ρ dρ cos θ 0 r. Or : cos θ = z r sot r = z cos θ et tan θ = ρ z sot dρ = z dθ θ0 cos. D où fnalement Ez) = snθ dθ = cos θ 0 ). Enfn cos θ 0 = z z = θ 0 r 0 z + r. d dρ ρ + z ρ ) = ρ + z. ème méthode : potentel pus champ. V z) = dq 4π D r avec dq = ds = πρ dρ et r = ρ + z, d où V z) = R 0 de ne pas passer en varable θ car on a d ρ + z ρdρ [ ] R =. Il vent donc V z) = ρ + z ρ + z ε = ) R + z z. 0 0 En dérvant on trouve retrouve s z > 0 l expresson de Ez) trouvée c-dessus. On en dédut le potentel par ntégraton entre 0 et z : V z) = z R + z ) car ρ dρ ρ + z 5,. Il est préférable c ds cos θ NB On peut aller plus vte dans le calcul du champ en utlsant l angle solde : r = dω qu représente l angle solde élémentare sous lequel on vot ds depus M. En sommant, on obtent π cos θ 0 ) angle solde d un cône de dem-angle au sommet θ 0 ). Sphère unformément chargée en surface. Le champ est radal, ne dépend que de r et présente une dscontnuté en R : R dépend que de r et est contnu : V r) = r R NB :. La dscontnuté de E vaut. On consdère une sphère de rayon R unformément chargée en surface par la densté s r R s 0 r R R ur Er) = ε 0 r s r > R 0 s 0 < r < R avec la conventon V ) = 0).. Pour r > R, tout se passe comme s l on avat une charge Q = 4πR placée en O... Démonstraton : Facle avec Gauss pour trouver E pus en ntégrant pour trouver V... Le potentel ne

6 boule unformément chargée en volume On consdère une boule de rayon R unformément chargée en volume par la densté ρ. Le champ est radal, ne dépend que de r, et est contnu : ρr 3 3ε contnu : V r) = 0 r ρr ) r 3 s r R s 0 r R ρr 3 ur Er) = 3 r ρ r u r 3 s r R avec la conventon V ) = 0). s 0 r R NB : Pour r > R, tout se passe comme s l on avat une charge Q = 4 3 πr3 ρ placée en O... 6 Le potentel ne dépend que de r et est Démonstraton : Facle avec Gauss pour trouver E pus en ntégrant pour trouver V. La constante d ntégraton de V pour r R s écrt en posant V ) = 0 et pour r R en écrvant la contnuté du potentel en R. Étude du conducteur en équlbre électrostatque Noton d équlbre électrostatque Défnton d un conducteur en équlbre Un conducteur est en équlbre s l n est le sège d aucun courant,.e. s j = 0 dans tout son volume. Il est en équlbre électrostatque s le champ E est nul dans tout son volume. Conséquences de la défnton d un conducteur en équlbre : premères proprétés La dstrbuton des charges électrques dans un conducteur en équlbre ne peut ḙtre que surfacque : d après l équaton de Maxwell- Gauss, dve = ρ, donc E nul mplque ρ = 0 Le volume d un conducteur en équlbre est équpotentel : de E = gradv on dédut que le gradent de V est nul, donc V est constant Par contnuté du potentel dans la dstrbuton volumque, on en dédut que : La surface d un conducteur en équlbre est une équpotentelle. Le champ électrostatque ne peut ḙtre que normal à sa surface : par défnton, les équpotentelles sont normales au champ. Par alleurs, on peut nterpréter physquement cette proprété : une composante tangentelle mettrat les charges en mouvement, donc donnerat nassance à une densté de courant surfacque j. Le champ électrostatque à proxmté mmédate d un conducteur en équlbre vaut : E = n où est la charge surfacque du conducteur et n le vecteur normal orenté vers l extéreur théorème de Coulomb) : cela résulte de la relaton de passage au travers d une surface chargée et du fat que le champ dans le conducteur est nul. Conducteur creux Potentel à l ntéreur d une cavté On consdère un conducteur contenant une cavté nterne fermée et vde. Alors en tout pont du conducteur creux, le potentel garde la mḙme valeur. En effet, l n y a pas de charges dans la cavté donc le potentel ne peut présenter d extremum dans la cavté, donc reste constant dans toute la cavté. Par contnuté, l a donc même valeur que dans le conducteur plen. Champ à l ntéreur de la cavté On a encore E = 0 en tout pont de la cavté Résulte à nouveau de gradv = 0. Charges sur la surface de la cavté ntéreure Dans un conducteur creux en équlbre, les charges ne peuvent pas se placer sur la surface de la cavté ntéreure elles sont oblgatorement sur la surface extéreure du conducteur). Démonstraton : En applquant le théorème de Gauss à une surface fermée rencontrant une porton quelconque de la surface de la cavté, on constante que la charge ntéreure à cette surface est nulle pusque le flux du champ électrque est auss nul le champ électrque est nul dans tout le conducteur y comprs dans la cavté). Or les charges ne peuvent être surfacques dans un conducteur en équlbre, donc nécessarement, la charge surfacque sur la surface ntéreure de la cavté est nulle. Équvalence entre conducteur creux et conducteur plen Du pont de vue électrque, tout se passe comme s la cavté n exstat pas : un conducteur creux se comporte comme un conducteur plen ayant exactement mḙme forme. Énerge potentelle d un conducteur Cas du conducteur solé qu porte la charge Q : E.p. = QV = CV = Q C Cas d un système de conducteurs en équlbre : E.p. = C j V V j j

7 Presson électrostatque Champ au vosnage d un conducteur en équlbre Il s agt d établr d une autre façon le théorème de Coulomb sans utlser le résultat sur la dscontnuté du champ et en détallant ce qu se passe dans le vosnage du conducteur. Sot, sur la surface S d un conducteur en équlbre portant la charge surfacque unforme, un élément de surface ds et deux ponts M et M nfnment vosns de part et d autre de ds sur la normale à ds orentée par n, M étant à l extéreur et M à l ntéreur. On note S la surface S prvée de ds. On a EM) = E M) + E M) où E M) resp. E M)) est le champ créé en M par les charges de ds resp. les charges sur la surface S ). Comme M est nfnment proche de S, la surface ds peut être vue comme un plan depus M et donc E M) = n. Le champ créé par ds en M est donc E M ) = E M). Par alleurs, les champs E M) et E M ) créés par S respectvement en M et M sont approxmatvement égaux pusque les ponts sont nfnment proches et pusque l on ne traverse aucune surface pour passer de M à M lorsqu on consdère S. Or, le champ total en M est nul conducteur en équlbre), donc E M ) + E M ) = 0, sot E M ) = E M ) = n, et donc E M) E M) = n. Ans EM) = E M) + E M) = n, sot EM) = n théorème de Coulomb). Presson électrostatque Sot ds un élément de surface d un conducteur en équlbre et sa densté surfacque. La force d f exercée par l ensemble de toutes les charges du conducteurs autres que celles de ds est répulsve car les charges ont même sgne sur ds et sur le reste du conducteur. On défnt la presson électrostatque par p = df ds en Pa ou N m ). S E est le champ créé par les charges du conducteur autres que celles de ds, on a vu que E = n, d où l on tre p = 7 Condensateur Défnton et charge PRECIS) Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs dont l un entoure complètement l autre. On parle d armature nterne et d armateure externe pour désgner les conducteurs ntéreur et extéreur. Les conducteurs sont en équlbre donc les charges sont surfacques. Par le théorème de Gauss, on montre faclement que la charge portée par la face de l armature nterne est l opposée de la charge portée sur la face ntéreure de l armature externe. Il en résulte qu à l extéreur du condensateur, le champ électrque n est dṷ qu aux charges de la surface extéreure de l armature externe. Tout se passe à l extéreur comme s l on avat un unque conducteur de même géométre externe portant la charge de la surface extéreure de l armature externe. Capacté PRECIS) Sot un condensateur portant la charge Q sur la surface de son armature ntéreure. Q est appelée charge du condensateur. On note V le potentel de l armature nterne et V celu de l armature externe. La capacté du condensateur est Q C = La capacté C ne dépend que de la géométre du condensateur. C s exprme en Farad F). V V Énerge d un condensateur PRECIS) Par défnton, c est l énerge que peut recuellr le mleu extéreur lorsqu on court-crcute les armatures : c est l énerge qu traverse alors le fl de lason. L énerge du condensateur de capacté C et portant la charge Q vaut W = Q C = CU = QU où U = V V L énerge est localsée entre les armatures dans le champ électrostatque avec la densté volumque E V = E Dualté entre capacté et résstance Sot un condensateur portant la charge Q et soums à la dfférence de potentel U. Comme C = Q U = ε 0 S E. n ds et R = U E. dl I = E. dl E. dl S j. = n ds, on en dédut que pour des problèmes géométrquement S E. n ds dentques, on a RC = : un calcul de capacté se ramène à un calcul de résstance et récproquement. Cette relaton est ben vérfée pour un condensateur cylndrque de surface S et hauteur l : C = S et R = l l S. NB : On établt dans le cours d E.M. que le rapport θ = représente le temps de relaxaton d un conducteur de conductvté. Par alleurs, en E.C., le produt RC = τ est la constante de temps d un crcut RC. L dentté τ = θ peut se comprendre en consdérant que le condensateur qu a une résstvté propre se décharge à travers lu-même en consttuant à lu tout seul un crcut RC parallèle...

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