Calculatrices symboliques dans l enseignement des mathématiques en génie à l ÉTS : bilan et avenir

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1 Motréal Iteratioal Symposium TIME-2004 Techology ad its Itegratio ito Mathematics Educatio 8 th ACDCA Summer Academy 6 th It l Derive & TI-CAS Coferece July 2004, Motréal, Québec, Caada Calculatrices symboliques das l eseigemet des mathématiques e géie à l ÉTS : bila et aveir Michel BEAUDIN (*) Gilles PICARD École de techologie supérieure 1100, Notre-Dame street West, Motréal (Quebec) Caada michel.beaudi@etsmtl.ca gilles.picard@etsmtl.ca ABSTRACT Cela fera bietôt ciq as, e septembre 2004, que les étudiats iscrits au baccalauréat à l ÉTS utiliset ue calculatrice symbolique de la compagie Texas Istrumets (TI-92 Plus ou TI-89 et maiteat la Voyage 200). E faisat u bila de so utilisatio, ous doeros des exemples cocrets d apports positifs et égatifs d ue telle calculatrice et ivoqueros certaies des raisos qui ot motivé so adoptio. Il e faut pas pour autat peser que cette utilisatio est uiforme das chaque classe, das chaque matière eseigée : cela peut varier d u eseigat à l autre et il est tout à fait possible de cotiuer d eseiger de faço ethousiaste sas écessairemet utiliser la techologie! Nous avos costaté que des appuis, des ecouragemets et des séaces de formatio auprès des professeurs s avèret isuffisats tat et aussi logtemps qu u eseigat e voit pas de lui-même u avatage à utiliser la techologie. Par coséquet, c est ous les utilisateurs de la techologie qui devos répodre à la questio suivate : e quoi la techologie viet-elle améliorer l eseigemet des mathématiques? Sas être absolumet certais d assister à ue amélioratio de l eseigemet des mathématiques, ous avos oté, sur le terrai, ue évolutio sigificative des coteus de cours, du matériel utilisé, l apparitio de ouvelles questios posées aux exames et das le s travaux aux étudiats. E d autres mots, l utilisatio de la techologie est itimemet reliée au désir de chager des choses : e abadoer certaies, e découvrir de ouvelles, e redécouvrir sous u agle différet. Réviser des trucs classiques das u eviroemet stimulat et explorer de ouvelles aveues : voilà ce que ous avos fait et que ous voulos cotiuer de faire.

2 1. Itroductio Nous repreos, das cette itroductio, certais passages de textes que ous avos produits aux cours des derières aées. Ces textes étaiet destiés à la commuauté de l ÉTS et ot pas fait l objet de diffusio sur ue grade échelle. Il est doc pas exagéré d e repredre certaies idées. Cela permet égalemet au lecteur de bie compredre otre positio et doe le to à la présetatio qui a eu lieu lors du Symposium TIME Quat aux exemples illustrés avec des écras de calculatrice Voyage 200, ils ot été costruits e s ispirat d exemples présetés lors de diverses coféreces, la liste état doée e bibliographie. Certais de ces exemples ot été réalisés «live» lors de otre présetatio à TIME La présece de calculatrices symboliques (TI92+/89/Voyage 200/TI-89 Titaium et modèles semblables développés par d autres compagies) est e voie de modifier l eseigemet des mathématiques aisi que les cours destiés aux futurs igéieurs. Chose certaie, cela dérage et bouscule. L ue des premières réactios a été d opposer l appretissage des otios de base à l utilisatio du calculateur symbolique. Cela a provoqué (et provoque ecore) des débats aimés. Nous disos : pure perte de temps. E effet, maiteat que sot réuies das ue calculatrice puissace et facilité d utilisatio sas précédet, o peut se cocetrer davatage sur la sigificatio des cocepts. Lorsqu o juge importat de développer ue habileté quat à la maipulatio d expressios algébriques et autres, le papier et le crayo (qui existet toujours) devraiet être utilisés e premier et le calculateur, par la suite, pour vérifier des réposes. U calculateur symbolique portable ous évite d être costammet devat u ordiateur, das u labo. O dispose d u outil de calcul formel idividuel et toujours dispoible sas devoir chager d eviroemet physique. Ce derier poit est u costat importat das tous les pays occidetaux où l o utilise depuis ue dizaie d aées déjà des logiciels tels Derive, Maple, Mathematica, Matlab et Mathcad. Loi d avoir la prétetio de les remplacer et ecore mois de les supplater, la calculatrice symbolique est peut-être ue faço de faire e sorte que le calcul symbolique pree la place qui lui reviee. C est ce que ous avos pas cessé de faire depuis 5 as. Le fait d avoir la tablette (le «viewscree») placée sur le rétroprojecteur ous permet d être toujours prêt à utiliser la calculatrice, e projetat au-dessus du tableau par exemple. La traditioelle séparatio techologie/théorie perd de so importace. La techologie toujours prête à être utilisée mais pas écessairemet toujours utilisée. Et l eseigat a u rôle très importat à jouer : celui de guide d utilisatio, celui de professeur de mathématiques à l ère de la techologie. Ne pas superviser l utilisatio, e classe, de telles calculatrices équivaut, à toutes fis pratiques, à laisser les étudiats seuls avec eux-mêmes, doat l impressio que la techologie doit veir après la théorie et o e même temps. La calculatrice symbolique doit jouer u rôle «d échafaudage» pour les étudiats plus faibles e maipulatio : force est de costater que plusieurs étudiats et plusieurs étudiates qui ous arrivet peut-être était-ce la remarque de la géératio précédat 2

3 la miee ot des lacues e mathématiques de base et le côté «assistat mathématique» de la calculatrice doit être exploité au maximum. Elle doit jouer le rôle d u livre de formules et tables : ce est pas d hier que les igéieurs utiliset des tables d itégrales et de trasformées, ils peuvet maiteat utiliser leur calculatrice. Elle doit ous permettre de vérifier la solutio à u problème (qu o aura préalablemet posé) de faços umérique, graphique et algébrique. Elle doit ous permettre de défiir facilemet os propres foctios pour utilisatio das u cotexte particulier. Elle doit être à l écoute de la commuauté mathématique modiale de faço à répodre à des demades spécifiques d eseigats. Elle doit être abodammet présete sur iteret. Et, pour avoir ue durée de vie suffisammet logue, elle doit être muie de la techologie Flash. Voilà des caractéristiques présetes das les TI symboliques. Parmi les autres effets provoqués par l apparitio des logiciels de calcul symbolique (CAS) et amplifiés depuis par la calculatrice symbolique, sigalos l obligatio chez les eseigats de repeser leurs plas de cours ou la dyamique d u cours. Remarquos chez l utilisateur l obligatio de peser correctemet à la sytaxe des foctios et commades : quad o résout ue équatio, c est par rapport à ue variable, doc il faut faire solve(eq, var)! Si cela cause certais problèmes au début, ous avos la covictio que, par la suite, o récupère très vite le temps «perdu». Depuis septembre 1999, les calculatrices symboliques de type TI-92 Plus ou TI-89 (et maiteat la Voyage 200) de la compagie Texas Istrumets costituet u achat obligatoire pour tout étudiat qui etrepred des études à l ÉTS. Quelle a été la réactio de certaies persoes? Pour résumer rapidemet, certais trouvet que ces calculatrices sot trop puissates : elles fot e quelques secodes ce qui pred habituellemet plusieurs miutes à être réalisé, elles automatiset des procédures qui costituet traditioellemet des exemples de questios d exames. E u mot, ces calculatrices redet la vie trop facile et les étudiats trop dépedats de leur machie. Pour ces persoes opposées ou peu favorables à l utilisatio de ces calculateurs symboliques, les étudiats e serot pas meilleurs ou appredrot pas plus même s ils disposet de ces machies. Il est facile de démotrer que ces argumets sot, très souvet, justifiés sur le terrai. E effet, si l o permet l utilisatio de ces modèles à os étudiats tout e cotiuat de les évaluer de la même maière e posat le même type de questios, alors ous faisos ue mauvaise utilisatio de la techologie. O e doit pas réussir u cours «à cause de sa calculatrice», o doit toujours maîtriser certaies otios de base ou être capable de résoudre à la mai certais types de problèmes. Mais alors, pourquoi opter pour ue calculatrice symbolique à la gradeur de l ÉTS? Il deveait de plus e plus difficile de composer avec la situatio suivate : quelques semaies après le début des cours, plusieurs étudiats avaiet acheté la calculatrice, les autres pouvaiet deveir désavatagés pedat les exames si la calculatrice était permise. Il est plus facile à appredre à maipuler u modèle précis et so appretissage est accéléré si tout le mode dispose du même modèle. L ÉTS état ue école de géie, ue simple calculatrice graphique e correspodait pas tout à fait à os exigeces. Le prix d u portable (ecore) trop élevé combié au fait que de ombreux étudiats possèdet déjà u ordiateur à la maiso, ous avos trouvé qu il était justifié d exiger l achat d ue machie qui évolue selo la techologie Flash : o peut faire ue mise à jour du système d exploitatio via iteret et ajouter des foctioalités appropriées pour u cours particulier de géie. Ces calculatrices etravet e rie l utilisatio (évetuelle ou simultaée) de logiciels similaires et plus puissats ; au cotraire, les cocepteurs de systèmes symboliques utiliset à peu près tous la même sytaxe. E d autres mots, pourquoi e pas faire usage d u calculateur symbolique sur le terrai, c est-à-dire e classe, là où cela a des chaces d être utile? Et pourquoi alors e pas e profiter pour faire évoluer os plas de cours, modifier certaies approches et s attaquer davatage à la résolutio de problèmes? Et lorsqu o juge écessaire 3

4 d iterdire la calculatrice pour certaies portios d exames, ous pouvos le faire. Mais il y a plus (beaucoup) de raisos de se limiter à des exemples simples, où tout arrive toujours juste, où l o e trace jamais de graphiques, où les méthodes umériques sot à peie exploitées. Voilà u peu ce que ous avos dit et costaté depuis 5 as. Nous allos doer quelques exemples qui vot teter de prouver que l utilisatio de la techologie permet d améliorer l eseigemet des mathématiques. Nos objectifs sot de 3 types : (i) révisio, (ii) exploratio et (iii) appretissage de mathématiques de différets iveaux. Teat compte qu ue boe partie de otre clietèle possède des lacues sérieuses e mathématiques de base, ue révisio de certais cocepts s impose. Mais pas ue révisio «bête» où l o remplit le tableau de défiitios et théorèmes! No, ue révisio assistée du calculateur : cela est possible lorsque le système symbolique choisi est facile d utilisatio. Les cocepteurs de la TI symbolique méritet des félicitatios à cet égard. Cette révisio peut très bie être poursuivie par ue exploratio où l étudiat, utilisat la machie, e profite pour se tester : ous rappelos que ces machies devraiet être utilisées cojoitemet avec le papier/crayo classique. L u e devrait pas empêcher l autre. Fialemet, ous e cessos de défiir des foctios e mathématiques pour effectuer toutes sortes d opératios. La plupart du temps, les calculs devieet lourds et freiet l appretissage de cocepts plus avacés. Cet obstacle peut être levé, e partie du mois, par u calculateur symbolique portable. 2. Exemples La calculatrice symbolique pour faire, o pas mois, mais plus de mathématiques! C est d ailleurs le bila pricipal que ous pouvos e tirer : os cours de mathématiques pour igéieurs à l ÉTS ot grademet évolué depuis 5 as. La raiso est simple : ous sommes à même d illustrer cotiuellemet, sur le terrai, les otios présetées aux étudiats. Ces deriers peuvet tester différetes hypothèses et visualiser différets cocepts. L u d eux, et o pas le moidre, est celui de foctio. Exemple 1: Le cocept de foctio est mal compris des étudiats. Le côté «machie» qui, à ue etrée («iput») fait correspodre ue sortie («output»), l idée de subsitutio, l idée d évaluatio, l idée de compositio, tout cela peut très bie se faire toujours avec le papier/crayo mais, aussi, assisté du calculateur symbolique. À la fi, l étudiat pourra toujours compter sur sa calculatrice symbolique, e serait-ce que pour vérifier des réposes. N allos pas, de grâce, 4

5 empêcher les étudiats d explorer, par eux-mêmes, des cocepts, alors que certais eseigats se plaiget du peu d ethousiasme des étudiats face aux mathématiques...! Et, puisqu o dispose aussi de machies graphiques, pourquoi e pas e profiter pour faire tracer des graphiques et les aalyser esuite? Il est pour le mois paradoxal, à l ère des calculatrices graphiques, de e pas motrer aux étudiats commet elles foctioet et quelles sot les commades usuelles à utiliser. Si le cours porte sur la otio de dérivée, u graphique d u polyôme du troisième degré peut être u excellet déclecheur du cocept de pete de la droite tagete à la courbe! Ue clietèle d étudiats sera maiteue attetive autremet que par des défiitios écrites au tableau... La figure 1 (plus loi) motre, à gauche, u exemple très simple d exercice à faire, e tout début de classe, avec les étudiats. O défiit ue foctio : 2 f ( x) = x + 3x+ 5 Déjà, le simple fait d écrire cela au tableau devrait etraîer ue discussio sur la otatio (e particulier le sige «=» qui ici a pas tout à fait le même ses que le sige «=» das ue équatio par exemple). Il faut e profiter pour motrer aux étudiats commet, avec le système symbolique choisi, o défiit ue foctio : soyos bie clairs, cela e va pas de soi écessairemet pour tout le mode! Maiteat qu ils savet défiir ue foctio f(x), il peut être bo de leur demader commet le résultat affiché pour f(2x) a été obteu. Puisque le calculateur simplifie automatiquemet, l étudiat pourra e pas compredre ce qui est arrivé (à mois que l eseigat utilise l applicatio Flash Symbolic Math Guide SMG où des étapes, pas à pas, sot proposées à l utilisateur afi de voir le déroulemet d ue simplificatio). Doc, o retoure au tableau et o effectue mauellemet le calcul. Il peut être aussi utile de défiir des foctios e utilisat l éditeur de foctios (figure de droite) et d e tracer le graphique. Les étudiats qui utiliserot le meu F5 pour trouver les coordoées du poit maximum serot sûremet curieux de savoir commet cela est possible... Les eseigats peuvet très bie produire des exemples de polyômes du troisième degré qui se factoriset de faço exacte : cela permet de rappeler le résultat qui dit qu u ombre réel a est u zéro du polyôme p(x) si et seulemet si p(x) est divisible par x a. Figure 1 5

6 Il e faut par pour autat croire que les capacités graphiques de la calculatrices permettet de tout apercevoir! Le calcul différetiel est toujours u outil idispesable. L étudiat qui aura choisi la feêtre «stadard» de la calculatrice e verra jamais le maximum qu atteit ue foctio comme x 50 xe... Exemple 2: Quad preos-ous le temps de s attarder à la résolutio d équatios? E fait, quad résolvos-ous des équatios, quad faisos-ous ue liste des équatios qu o peut résoudre et de celles qu o e peut pas résoudre (e mode exact)? Cela peut être ue belle opportuité, pour l eseigat, d itroduire de ouvelles foctios, ou de rappeler certaies propriétés des foctios de base (foctios trigoométriques par exemple, rappel de la formule quadratique : voir figure 2). Figure 2 E ce qui cocere les équatios du gere v(x) = w(x), l eseigat devrait, à tout le mois, privilégier l aspect graphique, isistat sur le fait que l o peut regarder où les 2 courbes v et w se coupet ou, ecore, où la courbe défiie par f(x) = v(x) w(x), croise l axe des x. Remarque loi d être baale! Ecore ici, l eseigat se doit de mettre e garde l étudiat que la calculatrice «e fait pas tout». O peut très bie produire u exemple où, das la feêtre «stadard», aucue itersectio etre les 2 courbes apparaît! Figure 3 Esuite, utiliser les capacités symboliques (voilà ue raiso pour laquelle ue «simple» calculatrice graphique e peut faire l affaire au iveau uiversitaire). Itroduire le «solveur umérique» du calculateur, préseter les méthodes du poit fixe et de Newto, tout cela 6

7 est d ue facilité décocertate avec ue TI symbolique. Il reste doc plus de place pour faire des preuves, des exemples, des exercices. Figure 4 Il faut souliger l excellete décisio des cocepteurs de la TI symbolique pour le message «Warig : More solutios may exist» qui apparaît lorsque le calculateur passe e mode «approximate» lors de la résolutio d ue équatio pour laquelle certaies solutios pourraiet être omises. Voilà ue excellete faço dot dispose l eseigat pour jeter u coup d oeil, avec les étudiats, aux types d équatios qu o peut résoudre exactemet ou pour lesquelles des algorithmes existet et permettet de trouver, e mode umérique, toutes les solutios (par exemple, les équatios polyomiales). Figure 5 La figure 5 doe ue preuve que les méthodes umériques classiques présetées aux étudiats (méthode du poit fixe et méthode de Newto) sot réalisables de faço très facile avec ue TI symbolique. Cela permet de passer du temps sur des otios telles la rapidité de covergece, obteir des hypothèses de coditios suffisates de covergece,..., toutes des choses que ous e faisios pas avat l apparitio de ces machies, de toutes faços. Exemple 3: Quad preos-ous le temps de ous attarder à la sigificatio des formules, aux paramètres qu elles cotieet? Plusieurs eseigats de mathématiques sot peu favorables à l utilisatio de la techologie e classe pour ue raiso tout à fait défedable. Ils ot, trop souvet, le souveir que les cours de mathématiques das lesquels la techologie est itroduite déviet vers des cours de «programmatio», que la théorie mathématique cède sa place à 7

8 l appretissage d ue machie. Le poit fort des calculatrices symboliques TI est leur facilité d utilisatio iégalée. O peut défiir des foctios comme o les écrit sur u papier. Tetez l expériece suivate, disos das u cours où le cocept de séries de Fourier (sous forme complexe) est préseté. Vous doez la résultat suivat aux étudiats (disat que cela devra être démotré évetuellemet). Sous certaies hypothèses, ue foctio 2π-périodique f(x) peut se représeter par ix f ( x) ce où = π 1 ix c = f( xe ) dx ( ) 2π Z π Demadez à vos étudiats de défiir la suite des coefficiets c. Il s agit, ici, d ue foctio plus géérale qu ue simple foctio. O devra aussi predre le temps de savoir commet le système symbolique s y pred pour recoaître u etier. Le symbole de sommatio est à so tour utilisé lorsque viet le temps de recostituer la foctio. Voilà des mathématiques, de iveau u peu plus avacé, qui peuvet très bie se faire, e classe, avec tous les étudiats qui participet. U cours de mathématiques peut très bie deveir itéressat et comporter des défis. Les figures qui suivet motret ue faço de défiir la suite des coefficiets de Fourier complexes c (il aurait été aussi facile de cosidérer ue période quelcoque) et u graphique d ue somme partielle de Fourier qui motre le lie avec le graphique de la foctio 2π-périodique hx ( ) = x, π < x< π, hx ( + 2 π) = hx ( ) Figure 6 La figure 6 motre quelque chose que l auteur de ces liges a souvet fait e utilisat le logiciel Derive (bie que ce derier possède déjà ue foctio trouvat automatiquemet ue somme partielle de Fourier). À ce momet-là, les étudiats étaiet impressioés mais demeuraiet spectateurs. Ils utilisaiet u livre de table pour trouver les itégrales et e pouvaiet pas, évidemmet, tracer u graphe d ue somme partielle de Fourier, sauf e se redat au labo d ordiateurs. Maiteat, la réalisatio de tout cela (figure 6 et figure 7) est partie itégrate du cours, «live» e classe par le professeur... et chacu des étudiats doit appredre à le faire aussi. 8

9 Figure 7 Ce derier exemple viet aussi mettre e évidece des choix pédagogiques faits par les cocepteurs/développeurs des calculatrices symboliques TI. Lorsque vous eseigez les mathématiques à de futurs igéieurs, vous vous attedez à ce qu ils sachet déjà effectuer des opératios de base e algèbre comme celles du meu F2 de la TI symbolique. Aisi, u eseigat pourra laisser ses étudiats utiliser la commade «expad» à voloté si les fractios partielles e sot pas le sujet de so cours. Mais, e même temps, la commade «expad» peut être utilisée pour u développemet e fractios partielles complexes, doc o profite à la fois de cette commade pour «réviser» et pour «explorer». Puisque la TI symbolique e possède pas, à la base, ue foctio «fourier», la calculatrice est alors utilisée pour effectuer le calcul des coefficiets. Il reste à l étudiat à créer la somme partielle et produire so graphique. Évetuellemet, ue foctio du type «fourier» ou ue applicatio Flash viedra faire le travail. O passera alors à autre chose. Tout est foctio de dosage, l eseigat a u rôle de guide et de «surveillat». 3. Coclusio : les mathématiques, seulemet pour faire des applicatios? La présece de calculateurs symboliques, auxquels des applicatios Flash peuvet être ajoutées, est peut-être ue répose à doer à ceux et celles qui se chamaillet sur la place que les mathématiques doivet occuper das l eseigemet. Plutôt que de choisir etre ceux qui diset qu o devrait eseiger les mathématiques de faço classique et ceux qui diset que tout cocept mathématique devrait être itroduit avec ue applicatio bie précise et seulemet das le but d e faire ue applicatio, il y a, d après ous, ue boe marge de maoeuvre. Tout eseigat le moidremet expérimeté peut trouver ue aveue itéressate à explorer avec des étudiats, que ces deriers soiet étudiats de mathématiques ou de géie. O devrait doc pouvoir itroduire des cocepts pour le plaisir de le faire... mais, e même temps, puisque la techologie est là, préseter certaies (ou plusieurs) applicatios, ce qui était difficile, voire impossible, avat la présece de la techologie. L exemple suivat a été doé à quelques reprises à des étudiats etrat e géie à l ÉTS, au tout début de leurs études. Ce derier exemple est aussi ue sythèse des trois exemples précédets. 9

10 Exemple 4: remboursemet d u prêt persoel. Voilà ue belle occasio pour itroduire la série géométrique, le cocept d itérêts composés et d auités de fi de période. Ue fois tout cela mis e place, o e déduit la formule suivate, pour le remboursemet d u prêt persoel : pr(1 + r) remb( pr,, ) = (1 + r) 1 où p est le motat du prêt persoel, r le taux d itérêt par période et le ombre de périodes de remboursemet (il est d usage, pour u prêt persoel, de doer e mois et r e taux auel, qu o divise alors par 12). O viet doc de défiir ue foctio de 3 variables... das u cours de calcul... à ue variable! U aspect mathématique cosiste à demader aux étudiats de résoudre pour p et pour (belle applicatio des logarithmes das ce derier cas). Ils ot, ici, u bel exemple d ue impossibilité de résolutio par rapport à la variable r. Faites ce test avec vos étudiats. Demadez-leur de défiir cette formule et de calculer (sas présumer de leur edettemet évetuel!) le motat des remboursemets mesuels sur u prêt persoel de $5 000, amorti sur 4 as, au taux auel de 8% ( oubliez pas de choisir Fix 2 pour le mode d affichage das «Display Digits») : Figure 8 Ils sot e mesure de voir que les remboursemets mesuels sot de $ et que le prêt total (à mois d être remboursé e totalité avat l échéace) aura coûté $ , doc ils aurot payé $ e frais d itérêts. Ils peuvet expérimeter le «solve» e chageat certais paramètres. Esuite, motrez-leur l applicatio Flash de Fiaces et tracez facilemet le graphique du solde du prêt, e foctio du temps. Ils vot voir que les mathématiques servet à quelque chose et ils vot (peut-être) commecer à aimer cela... 10

11 Figure 9 Il est itéressat de voir que cette «boîte oire» qu est l applicatio Flash doe rapidemet la valeur d u quelcoque paramètre (les autres état fixés), beaucoup plus rapidemet que le fot le «solve» ou le «solve». Ici, c est l applicatio Flash qui est la «boîte oire», pas la calculatrice puisqu o a eu à défiir otre foctio. Mais après quelque temps, ous e feros peut-être plus la distictio etre ce qui est ue boîte oire et ce qui e l est pas. O parlait précédemmet du rôle de guide de professeur. Nous avos vu de ombreux étudiats défiler das otre bureau depuis quelques aées et qui e savaiet pas leur a-t-o déjà dit? commet utiliser le «solve» de la calculatrice lorsqu ils cherchaiet le taux d itérêt. E fait, ici, le «solve» est u bie meilleur choix! Das l exemple qui ous cocere, supposos qu o emprute toujours $5 000 pedat 48 mois mais que les remboursemets mesuels sot fixés à $125. Quel est le taux d itérêt auel? Figure 10 Tetez vous-mêmes l expériece et vous costaterez que d utiliser le «solve» est u bie meilleur choix que d utiliser le «solve» (mais rie e bat la vitesse de l applicatio Flash ici!). Voilà u exemple simple où ue mauvaise utilisatio de la techologie peut meer à toutes sortes de résultats à rejeter. L utilisateur peu expérimeté peut e tirer des coclusios fausses. Cela costitue u dager et, est peut-être le poit le plus égatif que ous ayos observé ces derières 11

12 aées. L étudiat que se fie aveuglémet à sa calculatrice, sas questioer le résultat, sas même le vérifier. Qu e était-il avat? Était-ce mieux? Chose certaie, u tel exemple e pouvait pas être réalisé e classe, de faço aussi détaillée. Das cet exemple, la techologie est pas iterveue tat et aussi logtemps que la formule de remboursemet d u prêt était pas établie. O a doc «fait» des mathématiques. Esuite, la techologie ous a permis de défiir cette foctio (doc faire de la «théorie») et de faire des calculs (doc faire de la «pratique»), Esuite, d expérimeter e faisat varier u paramètre à la fois («exploratio»). L applicatio Flash viet jouer, ici, le rôle d u programme qu o istalle sur so ordiateur afi de faire des choses spécifiques. O doit savoir commet l utiliser sas e coaître écessairemet les détails. Elle ous doe rapidemet la solutio à ue équatio du type pr(1 + r) x = (1 + r) 1 où x, p et sot cous et où r est l icou. O refait des mathématiques avec os étudiats e idiquat que la derière équatio, lorsque réécrite sous la forme ( ) x (1 + r) 1 = pr(1 + r), possède toujours la valeur r = 0 comme solutio... c est pour cela qu il est importat de savoir utiliser u «solveur» de faço efficace. Voudrait-o que les étudiats sachet cela alors que de ombreux eseigats e le savet pas eux-mêmes? Nous pesos sicèremet que le message que la techologie ous evoie e est u de redre plus vivates les mathématiques eseigées. Faire du euf avec du vieux pour employer ue expressio du collègue Josef Böhm, pousser plus loi les problèmes. Le bila que ous faisos est très positif : cela e peut être autre compte teu que la techologie a été, pour l auteur de ces liges aisi que le co-auteur, u formidable remède à l eseigemet répété de 4 ou 5 cours différets sur ue période de 13 as. Il e doit pas y avoir beaucoup d autres faços pour doer u regai d éergie à des professeurs qui eseiget depuis plusieurs aées les mêmes matières mais qui réussisset à se reouveler et garder le goût d eseiger. C est ce que la techologie des TI symboliques, avec toute sa puissace et sa facile d utilisatio, ous a permis de faire et de cotiuer de faire. L aveir? D après ous, le pricipal défi sera de réussir à capter l attetio de la majorité des étudiats e leur doat le goût des mathématiques. Leur motrer que les maths, ça peut être captivat... surtout si l o voit que ça peut servir. Et leur dire que la techologie costitue u moye d appredre et de s aider, mais qui e remplace pas l aalyse et l effort à y mettre. Mais 12

13 surtout, e pas les décourager à utiliser la techologie : au cotraire, les ecourager et les guider. «Réviser des trucs classiques das u eviroemet stimulat et explorer de ouvelles aveues : voilà ce que ous avos fait et que ous voulos cotiuer de faire.» Voilà ce qu il ous faudra cotiuer de faire. REFERENCES [1] Beaudi, Michel, Usig the TI-92 Plus. Commuicatio présetée à IMACS-ACA 99, El Escorial, Espage, jui [2] Beaudi, Michel, Supportig Egieerig Mathematics with the TI-92. The Iteratioal Joural of Computer Algebra i Mathematics Educatio. Vol. 7, No. 2, [3] Beaudi, Michel, Picard Gilles* et Kathlee Pieau. La calculatrice symbolique das l eseigemet des mathématiques. Commuicatio présetée à TIC et Péd@gogie uiversitaire, Hull, Québec, Caada, 4-5 mai [4] Beaudi, Michel et Kathlee Pieau. Examples of how we use Symbolic, Had-held Calculators i Teachig Egieerig Mathematics. Commuicatio présetée à ACA-01, Albuquerque, NM, USA, 31 mai-3 jui [5] Beaudi, Michel, Teachig Mathematics to Egieerig Studets with Had-Held Techology. Commuicatio présetée à ICTM2, Hersoissos, Crète, Grèce, 1-6 juillet [6] Picard, Gilles, Les calculatrices symboliques et la formatio e géie. Commuicatio présetée à FITIC 2003, Motréal, Québec, Caada, 8 mai [7] Picard, Gilles, Pieau Kathlee. Help i usig Symbolic, Had-held Calculators i Teachig Egieerig Mathematics. 7 th Iteratioal Coferece o Applicatios of Computer Algebra, Albuquerque, Nouveau Mexique, USA, 31mai-3jui [8] Picard, Gilles, Pieau Kathlee. Symbolic, Had-held Calculators i Teachig Egieerig Mathematics. Proceedigs of the 12 th Caadia Coferece o Egieerig Educatio, Victoria, British Columbia, Caada, August