Un témoignage intéressant représentation dans l'espace intégrale Suites géométriques et arithmétiques.

Transcription

1 U témoigage itéressat L'oral se déroule e 5 phases : 15 mi pour écouter ue présetatio et choisir le sujet, 2h de préparatio, 15 mi pour photocopier la feuille à redre au jury, 30 mi d'exposé et 45 mi de questios. J'ai vu 3 jurys, tous les trois sympathiques et vraimet pertiets. Ils se sot motrés secs pour les erreurs grossières, lorsque le cadidat s'etêtait ou deveait méprisat evers le jury mais repreaiet le sourire aussitôt que le cadidat recoaissait ou rattrapait so erreur. Les questios ot traité, das l'ordre chroologique : - des lacues de l'exposé : "Quels objectifs attedez-vous de cet exercice?" "Quelle différece y a-t-il etre ces deux exercices?" "Das tel exercice, qu'etedez vous exactemet par (...)?" "A quelle coaissace théorique revoie cet exercice?" - de coaissaces théoriques, et plus spécialemet de poits de logique et de rigueur : "Que se passe-t-il si l'o iverse les quatificateurs 'quel que soit' et 'il existe'?", "commet défiiriez-vous que f 'est pas croissate sur u itervalle I?" "1/x est-elle décroissate sur *?" - de la résolutio d'exercices proposés par le cadidat - de l'aisace avec les différets iveaux du collège et du lycée ("pourriez vous démotrer tel résultat au iveau du collège?", "de quel outil dispose-t-o e première pour résoudre cet exercice?"). - d'exercices de plus e plus difficiles Pour ma part j'ai passé mo temps à décrire le cotexte de l'activité (itérêt pédagogique des TICE, motivatios pour l'activité, pré-requis...) et me suis trouvé à court pour préseter l'activité elle-même!!! Ue autre aée peut-être... Boe chace aux futurs cadidats et félicitatios aux lauréats! Avec TICE : Niveau 2 de, thème représetatio das l'espace. Je 'ai pas trop lu le sujet (ce 'est pas celui que j'ai choisi), mais il s'agissait de préseter u choix d'exercices permettat de pallier les difficultés des élèves cocerat la visio das l'espace, otammet la perspective cavalière. Quelques exercices fouris. Sas TICE : iveau TS, thème itégrale. Costruire ue séace d'itroductio à la otio d'itégrale. Joites des activités préparatoires au chapitre itégrale du Déclic 2002 TS. Travail demadé : la séace ; doer la défiitio de l'itégrale que l'o doerait aux élèves ; faire le lie etre itégrale-aire et itégrale-primitive (F(b) F(a)). Faire le lie avec la physique pour le petit "dx", f(x)dx aire de rectagle ifiitésimal... (lie avec méthodes des rectagles). Thème : Suites géométriques et arithmétiques. Niveau : 1 ère ES. But : Activités d'itroductio. Travail à faire : Séquece d'itroductio de la otio avec les élémets de cours qui figurerot à la fi de la séquece das le cahier de l'élève. À redre : Pla de la séquece et utilisatio d'u logiciel de GEOMETRIE. Etait joite ue liste d'exercices sur les suites. Séquece de cours e 2 de : Parallélisme et orthogoalité das l'espace. (sujet sas TICE, bizarremet!) Itroductio d'ue otio: la dérivatio e 1 ère (filière au choix) et l'approximatio affie. (sujet TICE). avec TICE : Thème : exemples d'approximatios d'itégrales iveau : Termiale ES ou S. Au choix travail demadé : préparer ue séace d'activités sur calculatrice ou tableur, à redre : - les éocés des exercices (ou leurs uméros s'ils faisaiet partie des documets) ; - les résultats, méthodes et savoir-faire attedus à chaque étape de la séace ; - la descriptio des algorithmes utilisés. documets : deux pages d'exercices de mauels de termiale (probablemet S), itéressats et plutôt difficiles, dot aucu avec TICE. sas TICE : problèmes d'aligemets / j'ai oublié à quel iveau / séace d'exercices. avec TICE : simulatios e statistiques / secode / séace d'activités. C'est le sujet qui figurait das le rapport du jury 2004 sas TICE : itroductio du ses de variatio d'ue foctio / secode / séquece pédagogique J'ai pris ce sujet, facile à traiter mais sas utiliser les deux pages d'exercices corrigés qui étaiet joites et qu'il fallait commeter. Le sujet précisait que l'o 'était pas obligé d'utiliser ces documets. J'ai doc proposé mo TD sur ce thème e preat des exercices sur des mauels de 2de et e les commetat (idicatios doées aux élèves, prérequis...) Suit la fameuse séace de questios de 45 mi qui s'est bie déroulée pour moi, o m'a demadé de démotrer des propriétés sur le ses de variatios de certaies foctios iveau 2de, d'éocer ue défiitio e classe de 2ème puis o est passé aux extesios sur la dérivée et les foctios composées e 1ère. Pour fiir, ils ot voulu me tester e me demadat de résoudre différetes équatios de degré 3 puis o est passé das le corps des complexes pour ces mêmes équatios. Tout s'est bie passé jusqu'à la fi et j'ai trouvé les deux membres du jury courtois voire sympathiques. Peut-être l'eseigate qui e faisait partie a teté ue ou deux fois de me déstabiliser pour observer ma réactio mais je e me suis pas démoté u seul istat même lorsqu'elle m'a dit que c'était faux alors qu'il 'e était rie, so collègue a ifirmé ses propos et o a cotiué.

2 Pour fiir, je voudrais préciser quelque chose : N'allez pas voir trop de cadidats e spectateurs car cela peut se retourer cotre vous. Par exemple, l'homme qui était das mo jury avait mauvaise réputatio par ceux qui l'avaiet vu et je 'e savais rie avat mo oral. Il a été fort agréable avec moi doc il e faut pas écouter les "o dit". D'autre part, assister à so propre sujet avec u autre jury et vu par u autre cadidat peut vous faire commettre des erreurs car vous teez compte des remarques du jury précédet mais maque de chace le vôtre vous pose des questios différetes. Doc allez voir deux ou trois oraux pas plus... Pour fiir, je souhaite bo courage à tous les futurs cadidats et remercie éormémet le cocepteur de ce site qui ous apporte ue aide cosidérable (surtout pour les cadidats isolés comme moi qui e sot iscrits das aucue prépa et 'ot que très peu de temps pour travailler...). Merci beaucoup. avec TICE : géométrie das l'espace (posé à plusieurs cadidats), sas TICE : les graphes / termiale ES (posé à plusieurs cadidats) Applicatio du produit scalaire das le pla La otio est itroduite e classe de 1 ère S, puis réutilisée e classe de termiale S et étedu à l espace. Das les programmes de la classe de 1 ère S, le chapitre sur le produit scalaire est découpé e 2 parties : ue partie théorique avec la défiitio et les propriétés (biliéarité, symétrie, expressio aalytique) ; ue partie d applicatio du produit scalaire pour détermier l équatio d ue droite à l aide d u vecteur ormal, l équatio d u cercle dot o coaît le cetre et le rayo ou u diamètre, des calculs d agles, de logueurs, d aires, les formules d Al Kashi, les formules de duplicatio des foctios si et cos. La présetatio que je vais vous faire iterviet au iveau de cette deuxième partie. Les pré requis sot les suivats : gééralités sur le produit scalaire (défiitio, orthogoalité, symétrie du produit scalaire, bi liéarité) ; barycetre. cours sur l obtetio d ue équatio cartésiee de droite à partir d u vecteur ormal, l obtetio d ue équatio d u cercle, les formules d Al Kashi. Cette séace iterviet juste après le cours sur l utilisatio du produit scalaire, c est ue séaces d exercice d applicatio. J ai choisi 4 exercices : Oi ;, j. Détermier l équatio des Exercice 1 : Soit A( 1 ; 3 ) et B( 2 ;1 ) deux poits du pla mui d u repère orthoormal ( ) droites suivates : 1) La médiatrice du segmet [AB]. 2) La hauteur issue de O das le triagle OAB. 3) La tagete e B au cercle de cetre A. Objectif : Détermier l équatio de différetes droites à partir d u vecteur ormal Exercice 2 : Détermier les équatios des cercles défiis par : 1) Le cercle C de cetre A( 1 ; 2 )et de rayo 3. 2) Le cercle C qui passe par B( ; ) et de cetre A( ; ). 3) Le cercle C qui passe par les poits A( ; ) et B( ; ) diamétralemet opposés. Objectif : Détermier l équatio de cercles à partir : De so rayo et de so cetre D u poit et de so cetre De deux poits diamétralemet opposés Exercice 3 : Soit ABC u triagle tel que AB = 2, AC = 6 et  = 45. Détermier la logueur du segmet [BC]. Objectif : utilisatio de la formule D Al Kashi. Exercice 4 : Soit EFG u triagle rectagle e E tel que EF = 3 et EG = 4. O défiit D comme le barycetre du système (F ;4) et (G ;3) et H comme barycetre du système (F ;4) et (G ;-3). Costruire D et H. Quel est l esemble P des poits M vérifiat l égalité : 4MF + 3MG 4MF 3MG = 0 ( )( ) Vérifier que le poit E appartiet à P. Objectif : détermier u lieu géométrique À la suite de cet exposé j ai fait les exercices 2 et 4. Les questios qui ot suivis furet les suivates : Quelle défiitio doez vous du produit scalaire? (voir leço du CAPES extere) Motrer avec cette défiitio qu il est symétrique. 1 Quelle autre défiitio peut o doer avec les ormes? u v = ( u + v 2 u 2 v 2 ) 2 Commet motre t o l orthogoalité de deux vecteurs à partir de chaque défiitio? Petit exercice miimisatio d idice de gravité d u système de poits podérés dot la somme des coefficiets vaut 1 puis trasfert aux probabilités pour démotrer que le barycetre et l espérace joue les même rôles. O aboutit aux formules de HUYGENS.

3 Cadre : Travaux dirigés Niveau : TS Thème : équatio différetielles y'=ay+b. Travail demadé: 1) proposer ue serie d'exercice mettat e evidece le thème proposé ; 2) faire le bila des méthodes et des résultats mis e évidece par les exercices. Questios posées : 1) démotrer le théorème sur les solutios de y'=ay. 2) Préseter la méthode d'euler. 3) Résolutio d'ue équatio avec variable séparée. 4) Quelle est la différece etre équatios différetielles liéaires et o liéaires? 5) Commet résout-o les équatios différetielles de secod ordre avec coefficiets costats? 6) Quelle méthode permet de trouver des solutios particulières équatios du premier ordre avec secod membre et coefficiets costats? Justifiez-la. 7) Que pouvez dire si la foctio ulle est solutio e même temps qu'ue foctio qui s'aule ue fois? 8) Expliciter le théorème de Cauchy-Lipschitz. Commetaire : Pour mo exposé, après ue présetatio historique (Euler, Cauchy, Lyapouov, Yoccoz), j'ai isisté sur la trasversalité avec d'autres disciplies aisi que le lie avec les suites arithmético-géométriques, puis j'ai préseté les exercices e les critiquat (qualités et défauts), j'ai isisté sur le lie avec les foctios expoetielles (cadre du programme, puis j'ai écris les théorèmes écessaires au tableau. Ce qui m'a plutôt bie réussi... (...). Nombres complexes et géométrie, sas TICE activité : travaux dirigés. Illustrer par des exercices les différetes utilisatios des ombres complexes e géométrie. Étaiet joites 4 pages d'exercice tirés du Terracher de TS... Résolutio approchée d équatios... Pedat l'exposé, j'ai préseté le programme, les pré-requis et les objectifs de ce thème,et à quel momet il iterviet das l'aée puis j'ai doé les pricipaux résultats écessaires : théorème des valeurs itermédiaires et théorème de la bijectio, e précisat à chaque fois à quoi ils servet et si o les démotre e termiale. J'ai proposé 2 activités que j'ai choisi sur des livres de TS: 1- la méthode par balayage : pricipe et mise e place sur calculatrice ; 2- la dichotomie : pricipe, algorithme et mise e place sous tableur. Puis 3 exercices d'applicatio que j'ai choisis parmi ceux doés das les feuilles joites e précisat à chaque fois les objectifs pédagogiques. J'ai teu 25 mi, puis sot veues les questios : - démostratio du théorème de la bijectio ; -défiitio au iveau 2 de d'ue foctio strictemet mootoe ; -motrer que x 2 'est pas strictemet croissate sur ; -doer ue défiitio de foctio o strictemet mootoe ; - la cotiuité est-elle écessaire das le théorème des valeurs itermédiaires? - si ue foctio 'est pas cotiue, alors est-o sûr qu'il 'existe pas de solutio? - est-ce qu'o est sûr qu'il y a ue solutio a l'équatio? oui, si les hypotheses du théorème des valeurs itermédiaires sot vérifiées... - pouvez vous le motrer? (démostratio du théorème des valeurs itermédiaires) - quelle méthode preférez-vous, balayage ou dichotomie? - coaissez vous d'autres méthodes? ewto-raphso... -decrivez la. -rapidité de covergece. Pour les questios posees par le jury, il e faut pas se braquer et e pas hesiter a dire qu'o e compred pas ce qu'ils ous demadet. Ils sot plutot compréhesifs. Je m'étais etraiée à l'oral avec u collègue et ca m'a beaucoup servi, car à la fi je voyais mieux les questios qu'o pouvait me poser... C'est tres importat de s'etraier à préparer u sujet e 2h, car apres quelques etraiemets, o a acquis des automatismes tres utiles et o a u peu de marge pour relire les démostratios importates. boe chace! Pour ma part, je passais l'épreuve au iveau Lycée le 30 jui. J'ai choisi le sujet o TICE. Il s'agissait de préseter ue séace de travaux dirigés au iveau Termiale ES das le but de proposer des applicatios des suites arithmétiques et géométriques. Il fallait doc proposer ue séquece d'exercices e précisat les prérequis et la place de la séace das la progressio. Le sujet était accompagé de 3 pages d'exercices. Sur la fiche d'exposé, il était demadé de préciser le uméro des exercices choisis ou d'écrire les éocés s'il s'agissait d'exercices o sélectioés das les pages fouries mais das d'autres livres. J'ai égalemet rajouté les prérequis écessaires et les thèmes de la résolutio. À oter que la présidete du jury ous a bie précisé que l'o était oté sur otre prestatio orale. La fiche d'exposé e sert e fait que de support lorsque le jury délibère après otre passage. J'ai préseté e début d'exposé les pricipaux poits à coaître sur les suites arithmétiques et géométriques (défiitio, expressio explicite, croissace, covergece). J'ai préseté esuite trois exercices : u premier étudiat ue péurie d'eau das u village, situatio modélisée par ue suite arithmétique ; u secod cocerat ue évolutio de capital fiacier, situatio

4 modélisée par ue suite géométrique et u troisième comparat l'évolutio du ombre de cliets de deux sociétés faisat iterveir ue suite arithmético-géométrique et la otio de covergece. J'ai fait u exposé d'eviro 20 miutes. Les questios ot porté d'abord sur les otatios, car ayat utilisé deux livres différets, je me suis embrouillé etre a, b, q et r pour les différetes raisos des suites... Ue fois corrigé ceci, j'ai eu à préciser les coditios qui fot qu'ue suite géométrique est croissate ou décroissate (q<1 ou u q>1 et positivité des termes!), à motrer que e lorsque u est ue suite arithmétique doe ue suite géométrique, que l u lorsque u est ue suite géométrique à termes positifs doe ue suite arithmétique (choses que j'igorais totalemet!) ( ) et à doer la défiitio de la covergece d'ue suite au voisiage de plus l'ifii. Le deuxième membre du jury m'a alors iterrogé sur les exercices et otamet sur le derier que j'avais proposé. La première questio ameait à l'aide d'u tableur ou d'ue calculatrice à pressetir la limite de la suite étudiée. Il m'a doc demadé de le mettre e place sous Excel! (Je ferai remarquer au lecteur que choisir u sujet o TICE 'iterdit absolumet pas d'être iterrogé sur ue activité utilisat u tableur). La costructio de la suite se faisait d'après le texte e trois étapes. O obteait ue formule globale mais il a voulu que je programme les étapes coloe par coloe. Bref j'ai réussi à faire ce qu'il demadait et à motrer que la suite semblait coverger vers 500. Le problème traitat de persoes, il a d'ailleurs fallu que je pree la partie etière des différets termes de la suite afi de coller à la réalité. Pour fiir, il m'a iterrogé sur u exercice proposé que je 'avais pas sélectioé. Il s'agissait juste de costruire les images d'ue suite défiie par récurrece (au moye du tracé de la foctio et de la première bissectrice) et de prophétiser la mootoie et la covergece vers le poit fixe de la foctio. Voilà, je crois 'avoir rie oublié. Je pese surtout qu'il e faut pas paiquer et être attetif aux questios. Le jury guide vraimet et reformule plusieurs fois ses questios si o e voit pas où il veut e veir. Il faut vraimet predre ça comme ue aide et évidemmet essayer d'être le plus réactif possible. Il faut savoir que l'o red tout au jury esuite mis à part ses brouillos (les fiches d'exposé sot otammet coservées durat u a). J'avais égalemet assisté à des oraux avat de passer moi même. Il faut se préseter à certaies heures (c'était à 9h et à 14h30) afi d'obteir u laisser passer valable ue demi-jourée. Chaque demi-jourée voyait passer 27 cadidats cette aée répartis sur 9 commissios. O pouvait doc assister à trois oraux maximum par demi jourée. Le ombre de visiteurs était limité à 20 et o e peut pas assister à plusieurs exposés avec le même jury. O retre et o sort e même temps que le cadidat et bie sûr o a iterdictio de parler ou de motrer ue quelcoque émotio. Pour ma part, je 'avais pas de visiteurs. Voilà je crois avoir fait le tour de tout ce que j'avais à dire. Reste à attedre les résultats prévus pour le 13 juillet au plus tôt. Boe cotiuatio à tous! Avec TICE : iveau secode ; u exercice de géométrie proposé : u carré ABCD de coté 5 cm, u poit M sur [DA) situé après A tel que DM =?cm (je e me souvies plus!) et u poit N sur [DC) situé après C ; il fallait motrer que les poits M, B et N sot aligés. E fait il y avait 3 réposes élèves à aalyser (ue avec Thales, ue avec Pythagore et la derière avec les aires) et il fallait faire ue remèdiatio avec les TICE e cosidérat que le programme de 2de était bouclé. Sas TICE : (sujet choisi!) iveau TS ; élaborer ue séace d'exercices progressifs sur la foctio l ; o doera les propriétés ou défiifios utilisées. J'ai doé 7 exercices das l'ordre d'itroductio des propriétés de l das le cours. Les questios ot été les suivates : (mes réposes) 1) Commet défiissez vous la fct l? (fct réciproque de exp). 2) C'est quoi l x? (ils m'ot titillé car j'avais oté das u théorème (lx)' et o pas (l)'(x)). 3) Peut o démotrer sas la foctio dérivée de l que celle ci est croissate? (oui) 4) Alors faites le (je e savais plus commet faire, mais après avoir commecé à poser les hypo. et des questios aexes du jury j'ai utilisé exp(l a) = a et OK). 5) Quel raisoemet avez vous du utiliser das cette démo? (raiso par absurde). 6) (j'avais posé u exercice où il fallait détermier ue primitive avec comme questio prélimiaire : détermier a et b a b tel que f ( x) = +. Pourquoi ue telle questio? d'où cela viet? Quelle est la valeur de a? 2x+ 5 ( 2x+ 5) 2 7) (J'avais utilisé à l'oral le mot "débat" au sujet d'ue cojecture de variatio et limite de suite ) Qu'attedez vous par débat? Commet l'orgaisez vous? Est ce vraimet u débat? (le jury (je pese u ispecteur) m'a précisé qu'il s'agissait d'u débat scietifique et que de ombreuses études et règles avaiet été réalisées! il me fait remarquer que cojecture était ici ce que voulais dire (j'ai à ce momet qd même rappelé au jury que j'avais égalemet employé ce terme et il m'a répodu tout a fait)) 8) (J'avais mis à la fi de ma séace u pb qui étudiait das u premier temps ue foctio puis ue suite 1 u = 1+ ) Quelle est la vitesse de covergece de cette suite? (ma première rép. a été de dire "rapide" puis mais o "lete" ; le jury m'a dit que l'o e pouvait pas savoir comme ça!)

5 9) Vous ous dites que la limite de u est e, o e voit pas très bie pourquoi? (il y avait ue autre suite v = l u et 1 égalemet v = f, f de la première partie ; j'ai utilisé le ombre dérivé de f e 0 et OK). Le jury 'a fait aucu commetaire sur ma progressio d'exercice et a été sympathique ; O verra bie, merci ecore pour les formateurs qui ot été présets toute cette aée, pour leur dispoibilité et leur motivatio!