Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

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1 Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série etière a so terme gééral boré Défiitio : rayo de covergece (première défiitio) Théorème 3 : autres défiitios du rayo de covergece Théorème 4 : diverses propriétés de covergece liées au rayo de covergece Défiitio 3 : somme d ue série etière, disque ouvert et itervalle ouvert de covergece Théorème 5 : séries somme et produit par u scalaire de séries etières Théorème 6 : utilisatio de relatios de comparaiso Théorème 7 : utilisatio de la règle de d Alembert pour les séries etières Théorème 8 : série produit au ses de Cauchy de deu séries etières Eemple 9 : la série epoetielle complee Propriétés de la somme d ue série etière Théorème : covergece ormale sur tout compact iclus das la oe ouverte de covergece Théorème : cotiuité de la somme d ue série etière de variable réelle Théorème 3 : cotiuité de la somme d ue série etière de variable complee Théorème 4 : primitives de la somme d ue série etière de variable réelle Théorème 5 : dérivabilité et caractère C de la somme d ue série etière Théorème 6 : égalité de deu séries etières de rayo de covergece o ul Théorème 7 : cas de foctios paires ou impaires 3 Foctios développables e série etière, développemet de foctios e série etière Défiitio 3 : foctio développable e série etière Théorème 3 : coditio écessaire de développemet e série etière Défiitio 3 : série de Taylor d ue foctio de classe C autour de Théorème 3 : développemets e série etière obteus directemet ou par la formule de Taylor Théorème 33 : développemets e série etière obteus par combiaisos liéaires Théorème 34 : développemets e série etière obteus par dérivatio ou itégratio Théorème 35 : développemets e série etière obteus à l aide d ue équatio différetielle Théorème 36 : lie etre epoetielle complee, sius et cosius Remarque Eemple 37 : sommatio de séries etières Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

2 Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee O appelle série etière ue série de foctios u de variable réelle avec :,, u () a, où : a, ou ue série de foctios u de variable complee avec :,, u () a, où : a Ue série etière est par covetio otée a, ou a Théorème : lemme d Abel Soit a ue série etière Soit : ρ >, tel que la suite ( a ρ ) soit borée a coverge absolumet) Alors :, ( < ρ) ( Démostratio : Soit doc :, < ρ Si o désige par M u majorat de la suite ( a ρ ), alors :, Le terme gééral de la série a puisque : < ρ, et doc la série a a a ρ M ρ ρ est alors majoré par celui d ue série géométrique covergete, est absolumet covergete Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série etière a so terme gééral boré Soit a ue série etière L esemble : E {ρ +, (a ρ ) borée}, est u itervalle du type [,R] ou [,R[, avec : R, ou : R Démostratio : Il est clair pour commecer que E cotiet - Si E est majoré, il admet ue bore supérieure (puisqu il est de plus o vide) qu o peut oter : R O a alors : ρ E, ρ R, et : E [,R] Si R appartiet à E, alors (a R ) est borée, doc ( a R ) aussi (par eemple par M), doc : ρ < R,, a ρ a R M, et la suite (a ρ ) est borée, doc : ρ E Autremet dit, das ce cas, o a aussi : [,R] E, d où fialemet : [,R] E Si R appartiet pas à E, alors pour tout : ρ < R, il eiste : ρ E, avec : ρ < ρ < R, puisque R état le plus petit des majorats de E, ρ est pas u majorat de E Mais alors (a ρ ) est borée, et comme précédemmet : ρ E Autremet dit das ce cas, o a : [,R[ E, et comme : E [,R], et : R E, fialemet : E [,R[ - Si maiteat E est pas majoré, alors pour tout : ρ, il eiste : ρ E, avec : ρ < ρ, et là ecore o e déduit que : ρ E Fialemet das ce derier car : + E +, d où : E + [,) Défiitio : rayo de covergece (première défiitio) Soit a ue série etière O appelle rayo de covergece de la série etière : R sup{ρ +, (a ρ ) borée} R est doc u réel positif ou vaut Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

3 Théorème 3 : autres défiitios du rayo de covergece Soit a ue série etière de rayo de covergece R O défiit les quatre esembles : E {ρ +, (a ρ ) borée}, E {ρ +, (a ρ ) ted vers }, E 3 {ρ +, a ρ coverge}, E 4 {ρ +, a ρ est absolumet covergete} Alors : [,R[ E 4 E 3 E E [,R], et R est la bore supérieure de ces quatre esembles Démostratio : Vu les résultats classiques sur les séries umériques, il est clair que : E 4 E 3 E E Par ailleurs, o a vu das la démostratio précédete que : E [,R] Soit maiteat : ρ < R Puisque R est la bore supérieur de E, o peut trouver : ρ E, tel que : ρ < ρ < R Or la suite (a ρ ) est alors borée, tout comme ( a ρ' ) Le lemme d Abel garatit alors que la série a ρ est absolumet covergete, doc : ρ E 4 O a doc établi que : [,R[ E 4 Efi, si R est ifii, les quatre esemble ot comme bore supérieure, sio ils sot borés tous les quatre et admettet la même bore supérieure fiie R Théorème 4 : diverses propriétés de covergece liées au rayo de covergece Soit a ue série etière de rayo de covergece R il y a absolue covergece pour : < R, et divergece grossière si : > R s il eiste :, tel que a coverge (ou coverge absolumet) ou tel que la suite (a ) soit borée (ou tede vers ) alors : R s il eiste :, tel que a diverge (ou diverge absolumet) ou tel que la suite (a ) soit o borée (ou e tede pas vers ) alors : R Démostratio : C est ue coséquece immédiate de ce qui précède : si : < R, ρ E, < < ρ, et la suite ( a ρ ) état borée, le lemme d Abel garatit la covergece absolue de a Si : > R, alors : E, et la suite ( a ) est pas borée doc la suite (a ) e ted pas vers, et la série a diverge grossièremet S il eiste :, tel que a coverge (ou coverge absolumet) ou tel que la suite (a ) soit borée (ou tede vers ), alors : E 3, (ou : E 4 ), ou : E, (ou : E ), et das tous les cas : R, du fait du théorème précédet Das ce derier cas, alors appartiet pas à au mois l u des quatre esembles et : [,R[ Doc das ce cas : R Défiitio 3 : somme d ue série etière, disque ouvert et itervalle ouvert de covergece Soit a ue série etière de rayo de covergece R L esemble : D {, < R} B(,R), das le cas d ue variable complee, et : I {, < R} ]-R,+R[, das le cas d ue variable réelle, sot appelés respectivemet disque ouvert et itervalle ouvert de covergece pour la série etière La série etière coverge absolumet pour tout élémet de ces esembles (et évetuellemet au bord) et o appelle somme de la série etière la foctio S défiie par : D, S ( ) a, das le cas complee, et : I, S ( ) a, das le cas réel Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - 3 -

4 Théorème 5 : séries somme et produit par u scalaire de séries etières Soiet a, b, des séries etières, et : λ K O ote R a et R b leur rayo de covergece respectif O défiit par ailleurs les séries s et p par :, s a + b, et : p λa, e otat R s et R p leur rayo de covergece respectif Pour la série etière s, o a alors : si : R a R b, R s mi(r a, R b ), si : R a R b, R s R a (ou R b ) Pour la série etière p, o a par ailleurs : si : λ, R p R a, si : λ, R p Démostratio : Pour la série s : Si : R a R b, o a :, < R a (ou R b ), a s et b coverge, comme somme de deu séries covergetes coverget absolumet, doc Das ce cas : R s, et doc : [,R a [ [, R s ], soit : R s R a Si : R a R b, par eemple : R a < R b, alors de même que précédemmet :, < R a, a b coverget absolumet, doc s coverge, comme somme de deu séries covergetes Là ecore : [,R a [ [, R s ], soit : R s R a Mais de plus :, R a < < R b, a diverge et b coverge, doc s diverge comme somme d ue série covergete et d ue série divergete O e déduit que : ]R a,r b [ [R s,), et : R s R a, soit fialemet : R s R a mi(r a, R b ) Pour la série p : Si : λ, la série état la série ulle, elle coverge sur, et : R p a p coverge), etraîe que : R p R a Si : λ, l équivalece :, ( Chapitre 9 : Séries etières Cours complet coverge) ( Théorème 6 : utilisatio de relatios de comparaiso Soit a ue série etière de rayo de covergece R Alors : (,, a b ) (R a R b ), et plus gééralemet : ( α, k >,,, a k b α ) (R a R b ), α ( α, a ~ b ) (R a R b ), + et e particulier : ( a ~ b ) (R a R b ) + Démostratio : Das ce premier cas, il est immédiat que :,, a b Doc :, ( < R b ) (absolue covergece de b ) (absolue covergece de a ), et doc :, ( < R b ) ( < R a ) D où : [,R b [ [,R a [, et : R a R b De même :,, a b k α Doc :, ( < R b ) ( ρ, < ρ < R b ), et doc, e otat : ρ, o a : <, et :, ( a a ρ b ρ [k α ] Or, d après le théorème des croissaces comparées, (k α ) ted vers, doc costitue ue suite borée (par M par eemple), et :, ( a b ρ M) et

5 D où :, ( < R b ), la série b doc aussi a est absolumet covergete, tout comme M b, et Fialemet :, ( < R b ) ( < R a ), puis : [,R b [ [,R a [, et : R a R b α Das ce troisième poit, puisque : a ~ b, etraîe : a b α ( + ε ), avec : lim ε, o e + déduit que :,, a b α, et doc que : R a R b α Mais o a aussi : b ~ a, et e applicatio de ce qu o viet d obteir, o e déduit : R b R a Fialemet : R a R b Efi ce quatrième poit correspod au troisième das le cas particulier : α Théorème 7 : utilisatio de la règle de d Alembert pour les séries etières Soit a ue série etière, telle que :,, a a Pour o ul, si la suite + a + la série coverge absolumet pour : L <, la série diverge grossièremet pour : L > Remarque : coverge vers L (ou ), alors : Le rayo de covergece R a de la série a vaut doc : R a (, si : L, et si : L ) L Démostratio : Soit :, + a a + + a Alors :,, et doc la suite + a a a + ted vers L (ou vers das le cas où L est ifii) Si L est ul, le critère de d Alembert pour les séries umériques garatit alors que la série a coverge pour tout :, soit : R a Si L est ifii, ce même critère motre que la série e coverge que pour ul (c est la série ulle), et : R a, Si : L + *, il y a garatie de covergece pour : L <, et garatie de divergece pour : L > Doc : R a L Théorème 8 : série produit au ses de Cauchy de deu séries etières Soiet a, b, des séries etières, et : λ K O ote R a et R b leurs rayos de covergece respectifs O défiit par ailleurs la série produit au ses de Cauchy des deu séries etières c, par :, c a b p p+ q q Alors le rayo de covergece R c de cette série produit vérifie : R c mi(r a,r b ) Démostratio : Puisqu o a vu que lorsque deu séries sot absolumet covergete, leur produit de Cauchy l est aussi, o e déduit que :, < mi(r a,r b ), a et b sot absolumet covergete, doc c coverge aussi Doc : R c mi(r a,r b ) Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - 5 -

6 Eemple 9 : la série epoetielle complee La série etière a u rayo de covergece ifii, sa somme pour complee doé est otée! ep(), et la foctio ep vérifie : (, ), ep()ep( ) ep( + ) Démostratio : Pour le rayo de covergece de cette série, o peut utiliser la règle de d Alembert : + *,, a, et : a +, et cette suite ted vers e, doc le rayo de! a + covergece de la série etière est Puis : (, ), ' et! sot absolumet covergetes doc leur produit de Cauchy est! ' coverget et o a de plus : ep( )ep( ') c, avec :!! p q ' p p ( ' ), c p q p p + ' ' p+ q p! q! p+ q ( p + q)! p + q! p! ( + ') Doc : ep( )ep( ') ep( + ' )! Propriétés de la somme d ue série etière Théorème : covergece ormale sur tout compact iclus das la oe ouverte de covergece Soit a ue série etière de rayo de covergece R La série coverge alors ormalemet sur tout compact iclus das le disque ouvert de covergece (cas d ue variable complee) ou l itervalle ouvert de covergece (cas d ue variable réelle) Das le cas d ue variable réelle, il y a e particulier covergece ormale de la série etière sur tout segmet de type [a,b] ou [-a,+a] iclus das ]-R,+R[ Démostratio : Das le cas complee ou réel, la foctio : a, (ou : a ) est cotiue sur le compact C doc elle y est borée et atteit ses bores, puisque à valeurs réelles Doc : C, ma{, C} Et comme : C B(,), o a : < R Das ce cas :, C,, doc : a a, d où : sup a Chapitre 9 : Séries etières Cours complet C a Mais comme la série est absolumet covergete (puisque : < R), o e déduit la a covergece de sup a, doc la covergece ormale de la série de foctios sur C C La démostratio s adapte immédiatemet das le cas réel, et pour fiir, il suffit de remarquer que [a,b] ou [-a,+a] sot des esembles fermés, borés doc des compacts de Théorème : cotiuité de la somme d ue série etière de variable réelle Soit a ue série etière de variable réelle, de rayo de covergece R et de somme S La foctio S est cotiue sur l itervalle ouvert de covergece ]-R,+R[ Démostratio : La cotiuité des foctios :, a a, sur tout itervalle : [a,b] ]-R,+R[, et la covergece ormale sur [a,b], de la série de ces foctios, fot que la somme de cette série (soit la somme S de la série etière) est cotiue sur tout itervalle : [a,b] ]-R,+R[, doc sur ]-R,+R[ lui-même Théorème 3 : cotiuité de la somme d ue série etière de variable complee Soit a ue série etière de variable complee, de rayo de covergece R et de somme S La foctio S est cotiue sur le disque ouvert D(,R)

7 Démostratio (hors programme) : Notos S la somme partielle de la série etière, pour : Soit : D(,R), et doc : < R, et soit : ε > E posat : ρ ( + R) >, o costate que : B (,ρ), boule fermée de cetre et de rayo ρ, puis que cette boule est compacte (fermée et borée), et icluse das le disque ouvert de covergece La série etière covergeat ormalemet doc uiformémet sur cette boule, o sait que : ε N, sup S( ) S N ( ) B '(, ρ ) 3 Puisque la foctio S N est cotiue car polyomiale sur, o sait que : α >,, ( α) ( S N () S N ( ) 3 ε ) Efi, e posat : η mi(α, ρ ) >, o costate que :, ( η) ( S N () S N ( ) 3 ε ), et : ( η + ρ < R) ( S() S N () 3 ε ) Mais cette derière iégalité est aussi valable pour, et doc :, ( η) ( S() S( ) S() S N () + S N () S N ( ) + S N ( ) S( ) ε) La foctio S est bie cotiue e, pour tout : D(,R), doc sur D(,R) Théorème 4 : primitives de la somme d ue série etière de variable réelle Soit a ue série etière de variable réelle, de rayo R, et de somme : S ( ) a O peut itégrer terme à terme S sur tout segmet iclus das ]-R,+R[ E particulier, S admet sur ]-R,+R[ des primitives qui valet : + C + a, où : C + Ces primitives ot même rayo de covergece R que a Démostratio : S état cotiue sur ]-R,+R[, elle y admet des primitives De plus, pour : a < R, la série etière a coverge ormalemet sur [-a,+a] doc o peut la primitiver terme à terme Fialemet les primitives de S sur [-a,+a], (qui sot toutes égales à ue costate additive près) valet : + S ( ) d C + ( a d) C + a, où C est ue costate réelle ou complee + Ces ouvelles séries etières o u rayo de covergece R p + Pour o ul, la covergece de a est équivalete à celle de a, puisqu elles sot + + égales etre elles à ue costate multiplicative près a Mais alors :, a, et o e déduit que : R p R + Puis :, < R p, ρ +, < ρ < R p ρ O peut alors écrire :, a a [( + ) ] + ρ Et comme la suite ( + ) ted vers, du fait du théorème des croissaces comparées, o e ρ déduit que :,, ( + ), et : a ρ Chapitre 9 : Séries etières Cours complet a ρ + ρ Or la série a coverge (puisque : ρ < R p ), et doc la série a coverge absolumet +

8 O e déduit que : R, doc : [,R p [ [,R], et : R p R Fialemet : R p R, et les séries primitives ot même rayo de covergece que la série de départ Théorème 5 : dérivabilité et caractère C de la somme d ue série etière Soit a ue série etière de variable réelle, de rayo R, et de somme : S ( ) a Sur ]-R,+R[, la foctio S est de classe C, et o obtiet ses dérivées successives par dérivatio terme à terme de la foctio S Toutes les séries etières dérivées de S ot même rayo de covergece R que a De plus : ]-R,+R[, p, ]-R,+R[, S '( ) a ( + ) a+, et : ( p)! p ( + ( ) a p ( p)! p)! S a+ p! Les coefficiets de la série etière a vérifie alors : p, Démostratio : Tout d abord la série etière ( + ) a + égal à celui de ses séries primitives qui sot : + + C + ( + ) a+ C + a+ C + a + ( p) S () a p p! qui s écrit aussi a a u rayo de covergece R Or la série a est ue de ces séries (celle pour : C a ), et doc : R R Chapitre 9 : Séries etières Cours complet De plus, puisque sur ]-R,+R[, a a, est ue primitive de : a a ( + ) a+, o e déduit que la deuième foctio est e fait la dérivée de la première, autremet dit que : ]-R,+R[, S () a ( + ) a+ Puis par récurrece, il est immédiat que S est de classe C p pour tout : p, qu o obtiet sa dérivée p ième e dérivat S terme à terme p fois et que le rayo de covergece des séries dérivées est R Efi : p, S (p) () vaut le terme costat de la série, soit : a p p!, et o e déduit le derier résultat Théorème 6 : égalité de deu séries etières de rayo de covergece o ul Soiet deu séries etières a, et b, avec : < R a R b Si : < R R a, ]-R,+R[, S a () S b (), alors :, a b Démostratio : La série etière défiie par (S a S b ) a u rayo de covergece au mois égal à R a, et sur ]-R,+R[, elle est ulle, doc toutes ses dérivées sot égalemet ulles, otammet e Doc :, (S a S b ) () ()!(a b ), d où : a b Théorème 7 : cas de foctios paires ou impaires Si ue foctio paire se développe e série etière, tous les termes d idices impairs de so développemet s aulet De même, si ue foctio impaire se développe e série etière, tous les termes d idices pairs de so développemet s aulet Démostratio : Si f est ue foctio paire se développat e série etière sur ]-r,+r[, alors : ]-r,+r[, f ( ) S( ) a f ( ) ( ) a E appliquat le théorème précédet, o e déduit que :, a (-) a, et doc tous les

9 coefficiets a sot uls si pour les impairs (même raisoemet pour les foctios impaires) 3 Foctios développables e série etière, développemet de foctios e série etière Défiitio 3 : foctio développable e série etière Soit I u itervalle de coteat et soit f ue foctio de I das K O dit que f est développable e série etière e (ou autour de ), e abrégé DSE() si et seulemet si il eiste ue série etière a de rayo de covergece o ul R, et : < r R, tels que : ]-r,+r[ I, f ( ) a Si f est ue foctio de ]-r,+r[ das K, o dit que f est développable e série etière sur ]-r,+r[ si et seulemet si il eiste ue série etière a de rayo de covergece o ul : R r, telle que : ]-r,+r[, f ( ) a O dit alors que a est le développemet e série etière e de f Théorème 3 : coditio écessaire de développemet e série etière Soit : r >, et f ue foctio de ]-r,+r[, das K, développable e série etière e, telle que : ]-r,+r[, f ( ) a ) Alors f est de classe C ( sur ]-r,+r[, et :, a f ()! Démostratio : Si f coïcide avec la somme S d ue série etière sur ]-r,+r[, elle est alors C puisqu ue somme de série etière est de classe C sur so itervalle ouvert de covergece De plus :, S () ()!a, et : S f, d où :, ( ) ( a () ) S f ()!! Défiitio 3 : série de Taylor d ue foctio de classe C autour de Soit : r >, et f ue foctio de ]-r,+r[, das K, de classe C sur ]-r,+r[ ( ) f () O appelle série de Taylor de f e la série etière! Théorème 3 : développemets e série etière obteus directemet ou par la formule de Taylor Les foctios suivates sot développables e série etière (o ote R leur rayo de covergece) :, R, pas de covergece pour : ep( ),! R, et e particulier : e,! R cos( ) ( ), ( )! R + si( ) ( ), R ( + )! Démostratio : Pour :, la série est géométrique et coverge si et seulemet si : < Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - 9 -

10 E effet, la somme partielle S de cette série vaut : k k +, pour :, et (+) pour : Doc la suite des sommes partielles coverge pour : <, et la somme de la série vaut : C est la défiitio de la foctio ep, epoetielle complee Pour la foctio epoetielle réelle, elle est de classe C sur, et :, ep () ep, d où : ep () () Puis la formule de Taylor avec reste itégral doe : k ( t) ( + ),, e + ep ( t) dt k!! k Il suffit alors d écrire :,, ( t)! ep ( + ) ( t) dt e ( t)! dt e +, ( + )! e distiguat au besoi les cas : >, et : <, et e majorat e t sur [,] ou [,] par e Si maiteat, o fait tedre vers, l itégrale (à fié) ted vers et la somme partielle k ted doc vers e, d où l égalité k k! Pour sius et cosius, o remarque tout d abord que les foctios sot de classe C sur, et que :,, si () () si( + π ), et : cos () () cos( + π ) O utilise alors la formule de Taylor avec reste itégral, et o remarque que :,, ( t)! si ( + ) ( t) dt ( t)! dt +, de même pour cosius ( + )! Autremet dit, le reste itégral ted vers (pour fié) quad ted vers, et la somme partielle ted vers si() (ou cos()), lorsque ted vers Et comme, pour pair, avec : p, si () (), cos () () (-) p, et pour impair, avec : p +, o a de même : si () () (-) p, et : cos () (), o e déduit les deu développemets proposés après réideatio des deu séries Théorème 33 : développemets e série etière obteus par combiaisos liéaires Les foctios suivates sot développables e série etière (o ote R leur rayo de covergece) : ch ( ), R ( )! + sh ( ), R ( + )! Démostratio : O obtiet le développemet de ch et de sh sur grâce au égalités :, e + e + ( ) ch ( ), e e ( ) sh ( )!,! et o distigue alors deu cas : + ( ) ( ) si est pair, avec : p, alors :, et : + ( ) ( ) si est impair, avec : p +, alors :, et : Il suffit alors de réideer les termes de la somme (avec p) pour obteir les epressios proposées Théorème 34 : développemets e série etière obteus par dérivatio ou itégratio Les foctios suivates sot développables e série etière (o ote R leur rayo de covergece) : Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

11 p! p+ ( ) ( + p)!!, R, pas de covergece e ± + l( + ) ( ) ( ), R, covergece et égalité e l( ), + R, covergece et égalité e - ( ), + R, pas de covergece e ± + arcta( ) ( ), + R, covergece et égalité e ± Démostratio : La série géométrique, pour réel doe : ]-,+[,, et il suffit de calculer les dérivées p ièmes de ces foctios (par eemple par récurrece) pour obteir les égalités proposées Le rayo de covergece vaut et il y a divergece grossière pour : ± l( + ) s obtiet e itégrat terme à terme, sur ]-,+[ + Pour :, o peut remarquer que la série de foctios coverge uiformémet sur [,] E effet, pour tout : [,], la série umérique ( ) est alterée, vérifie le critère spécial doc coverge, et : [,], *, k + ( ) k k k D où : *, sup R ( ), et la covergece uiforme de la série de foctios sur [,] [,] + La somme S est alors cotiue sur [,], e particulier elle est défiie et cotiue e Fialemet : S() lim S( ) lim l( + ) l() l( ) s obtiet e remplaçat par das l égalité précédete Pour, o pose : u, et : + ]-,+[, u ]-,+[, et : ( ) u ( ) + + u Pour : ±, il y a divergece grossière de la série Pour arcta, o itègre la série précédete et pour la valeur e (e -,o utilise l imparité de la foctio), o travaille comme pour l( + ), grâce à ue covergece uiforme et ue limite Théorème 35 : développemets e série etière obteus à l aide d ue équatio différetielle Les foctios suivates sot développables e série etière (o ote R leur rayo de covergece) : α α( α )( α + ) ( + ) +, R, (α )! R, (α ) + ( )! arcsi( ), R covergece et égalité e ± (!) + Démostratio : Pour la foctio : a ( + ) α, o va utiliser ue équatio différetielle Cette foctio f α, défiie sur ]-,) est u polyôme si : α Elle est évidemmet das ce cas développable e série etière sur puisqu u polyôme est ue série etière particulière Si : α, f α est cotiue et dérivable sur ]-,+[ et vérifie : Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

12 ]-,), (E) ( + )f α () αf α () D après le théorème de Cauchy-Lipschit, cette équatio admet des solutios sur tout itervalle I iclus das ]-,), de la forme : y() λ( + ) α, et e particulier ue seule qui vaut e, correspodat à la valeur : λ Par ailleurs, soit : y ( ) a, ue série etière de rayo de covergece R supposé o ul Alors y (qui est de classe C sur ]-R,+R[) est solutio sur ]-R,+R[ de l équatio (E) si et seulemet si : ]-R,+R[, ( + ) a α a O développe alors les produits, o regroupe les termes de puissaces idetiques, e réideat au besoi les séries et o aboutit à : ]-R,+R[, [( + ) a + ( α ) a ] + Or ue série etière est ulle sur ]-R,+R[ si et seulemet si tous ses coefficiets sot uls, d où : α, a + a + E résumé, ue série etière (de rayo de covergece a priori o ul) est solutio de (E) sur u itervalle si et seulemet si ses coefficiets vérifiet les égalités au-dessus α Réciproquemet, soit : la série etière S défiie par : a,, a + a + Puisque : α, tous ses coefficiets sot o uls, elle a u rayo de covergece égal à d après la règle de d Alembert, vérifie l équatio différetielle (E), et : S() α Doc S coïcide avec f α sur ]-,+[, et : ]-,+[, α( α )( α + ) ( + ) +! Si maiteat, o écrit cette égalité pour : α, o obtiet : 3 u ( )! u ]-,+[, + ( ) u + u! (!) Puis : ]-,+[, u ]-,+[, et : ( )! (!) E itégrat alors terme à terme avec : arcsi(), o termie avec : ]-,+[, + ( )! arcsi( ) (!) + ( )! ( ) e 4 π Puis, grâce à la formule de Stirlig o a : ~ ~ 3 (!) + [ e π ] π + ( )! ( )! Doc : sup ~ 3 [, + ] (!) + (!) + π La série etière coverge doc ormalemet sur [-,+], sa somme y est cotiue, tout comme la ( )! π foctio arcsi, et : lim S( ) lim arcsi( ) arcsi() (!) + E -, o a le même résultat ou o utilise l imparité des foctios Théorème 36 : lie etre epoetielle complee, sius et cosius Pour tout :, a + ib, avec : (a,b), o a : t, e t ep(t) e ta (cos(tb) + isi(tb)) O a doc e particulier : t, t e t! Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

13 Démostratio : Pour : a + ib, (a,b), t, t (at) + i(bt), avec : (at, bt) Doc : ep(t) ep(at)ep(ibt), puisque cette relatio a été démotrée das le théorème 9 Mais t état réel, o a : ep(at) e at, du fait de l égalité des epressios des séries etières + + ( b t) ( b t) ( i b t) ( i b t) De même : cos(tb) + isi(tb) ( ) + i ( ) +, ( )! ( + )! ( )! ( + )! et e regroupat les deu sommes (quitte au besoi à repasser par les sommes partielles), o a doc : ( i b t) cos(bt) + isi(bt) ep( i b t)! Autremet dit, o a bie : ep(t) e at (cos(bt) + isi(bt)) E réécrivat la série de l epoetielle, o costate bie par ailleurs que : t, t e t! Remarque : La défiitio de l epoetielle complee par la formule :, ep( ), permet de défiir! propremet les foctios sius et cosius sur, et de motrer aisi leurs pricipales propriétés par : t, ep(it) cos(t) + isi(t), autremet dit par : t, cos(t) Re(ep(it)), et : si(t) Im(ep(it)) Les foctios sius et cosius ot aisi comme défiitio le fait d être sommes de séries etières Eemple 37 : sommatio de séries etières La plupart des séries etières dot o demade la sommatio eplicite se calculet à partir des séries géométriques et epoetielles et des séries qui e sot déduites Par eemple : ( ), ( ) e,! + ]-,+[, ( + ) 3 ( ) Démostratio : L idée das les deu cas est de se rapprocher de séries etières coues O commece par écrire :,, et doc :! ( )!!, ( )! ( )! ( )!!!! ( ) e Même chose, mais avec d autres séries e perspective :, + ( ) + +, d où : ]-,+[, ( + + ) ( ) + + ( )'' + ( )' + ( ) 3 ( ) Das les deu cas, il faut surveiller les idices de départ das les sommes qui apparaisset et justifier que toutes les séries itermédiaires sot covergetes Efi, si le coefficiet de la série à sommer est du type fractio ratioelle e, o essaiera de se rapprocher d ue série géométrique (ou de séries qui e découlet), et s il est du type iverse d ue factorielle (et ses variates) o essaiera de se rapprocher d ue série de la famille des epoetielles (ep, si, cos, ch, sh, etc ) Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - 3 -

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