Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Séries entières. Chap. 09 : cours complet."

Transcription

1 Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série etière a so terme gééral boré Défiitio : rayo de covergece (première défiitio) Théorème 3 : autres défiitios du rayo de covergece Théorème 4 : diverses propriétés de covergece liées au rayo de covergece Défiitio 3 : somme d ue série etière, disque ouvert et itervalle ouvert de covergece Théorème 5 : séries somme et produit par u scalaire de séries etières Théorème 6 : utilisatio de relatios de comparaiso Théorème 7 : utilisatio de la règle de d Alembert pour les séries etières Théorème 8 : série produit au ses de Cauchy de deu séries etières Eemple 9 : la série epoetielle complee Propriétés de la somme d ue série etière Théorème : covergece ormale sur tout compact iclus das la oe ouverte de covergece Théorème : cotiuité de la somme d ue série etière de variable réelle Théorème 3 : cotiuité de la somme d ue série etière de variable complee Théorème 4 : primitives de la somme d ue série etière de variable réelle Théorème 5 : dérivabilité et caractère C de la somme d ue série etière Théorème 6 : égalité de deu séries etières de rayo de covergece o ul Théorème 7 : cas de foctios paires ou impaires 3 Foctios développables e série etière, développemet de foctios e série etière Défiitio 3 : foctio développable e série etière Théorème 3 : coditio écessaire de développemet e série etière Défiitio 3 : série de Taylor d ue foctio de classe C autour de Théorème 3 : développemets e série etière obteus directemet ou par la formule de Taylor Théorème 33 : développemets e série etière obteus par combiaisos liéaires Théorème 34 : développemets e série etière obteus par dérivatio ou itégratio Théorème 35 : développemets e série etière obteus à l aide d ue équatio différetielle Théorème 36 : lie etre epoetielle complee, sius et cosius Remarque Eemple 37 : sommatio de séries etières Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

2 Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee O appelle série etière ue série de foctios u de variable réelle avec :,, u () a, où : a, ou ue série de foctios u de variable complee avec :,, u () a, où : a Ue série etière est par covetio otée a, ou a Théorème : lemme d Abel Soit a ue série etière Soit : ρ >, tel que la suite ( a ρ ) soit borée a coverge absolumet) Alors :, ( < ρ) ( Démostratio : Soit doc :, < ρ Si o désige par M u majorat de la suite ( a ρ ), alors :, Le terme gééral de la série a puisque : < ρ, et doc la série a a a ρ M ρ ρ est alors majoré par celui d ue série géométrique covergete, est absolumet covergete Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série etière a so terme gééral boré Soit a ue série etière L esemble : E {ρ +, (a ρ ) borée}, est u itervalle du type [,R] ou [,R[, avec : R, ou : R Démostratio : Il est clair pour commecer que E cotiet - Si E est majoré, il admet ue bore supérieure (puisqu il est de plus o vide) qu o peut oter : R O a alors : ρ E, ρ R, et : E [,R] Si R appartiet à E, alors (a R ) est borée, doc ( a R ) aussi (par eemple par M), doc : ρ < R,, a ρ a R M, et la suite (a ρ ) est borée, doc : ρ E Autremet dit, das ce cas, o a aussi : [,R] E, d où fialemet : [,R] E Si R appartiet pas à E, alors pour tout : ρ < R, il eiste : ρ E, avec : ρ < ρ < R, puisque R état le plus petit des majorats de E, ρ est pas u majorat de E Mais alors (a ρ ) est borée, et comme précédemmet : ρ E Autremet dit das ce cas, o a : [,R[ E, et comme : E [,R], et : R E, fialemet : E [,R[ - Si maiteat E est pas majoré, alors pour tout : ρ, il eiste : ρ E, avec : ρ < ρ, et là ecore o e déduit que : ρ E Fialemet das ce derier car : + E +, d où : E + [,) Défiitio : rayo de covergece (première défiitio) Soit a ue série etière O appelle rayo de covergece de la série etière : R sup{ρ +, (a ρ ) borée} R est doc u réel positif ou vaut Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

3 Théorème 3 : autres défiitios du rayo de covergece Soit a ue série etière de rayo de covergece R O défiit les quatre esembles : E {ρ +, (a ρ ) borée}, E {ρ +, (a ρ ) ted vers }, E 3 {ρ +, a ρ coverge}, E 4 {ρ +, a ρ est absolumet covergete} Alors : [,R[ E 4 E 3 E E [,R], et R est la bore supérieure de ces quatre esembles Démostratio : Vu les résultats classiques sur les séries umériques, il est clair que : E 4 E 3 E E Par ailleurs, o a vu das la démostratio précédete que : E [,R] Soit maiteat : ρ < R Puisque R est la bore supérieur de E, o peut trouver : ρ E, tel que : ρ < ρ < R Or la suite (a ρ ) est alors borée, tout comme ( a ρ' ) Le lemme d Abel garatit alors que la série a ρ est absolumet covergete, doc : ρ E 4 O a doc établi que : [,R[ E 4 Efi, si R est ifii, les quatre esemble ot comme bore supérieure, sio ils sot borés tous les quatre et admettet la même bore supérieure fiie R Théorème 4 : diverses propriétés de covergece liées au rayo de covergece Soit a ue série etière de rayo de covergece R il y a absolue covergece pour : < R, et divergece grossière si : > R s il eiste :, tel que a coverge (ou coverge absolumet) ou tel que la suite (a ) soit borée (ou tede vers ) alors : R s il eiste :, tel que a diverge (ou diverge absolumet) ou tel que la suite (a ) soit o borée (ou e tede pas vers ) alors : R Démostratio : C est ue coséquece immédiate de ce qui précède : si : < R, ρ E, < < ρ, et la suite ( a ρ ) état borée, le lemme d Abel garatit la covergece absolue de a Si : > R, alors : E, et la suite ( a ) est pas borée doc la suite (a ) e ted pas vers, et la série a diverge grossièremet S il eiste :, tel que a coverge (ou coverge absolumet) ou tel que la suite (a ) soit borée (ou tede vers ), alors : E 3, (ou : E 4 ), ou : E, (ou : E ), et das tous les cas : R, du fait du théorème précédet Das ce derier cas, alors appartiet pas à au mois l u des quatre esembles et : [,R[ Doc das ce cas : R Défiitio 3 : somme d ue série etière, disque ouvert et itervalle ouvert de covergece Soit a ue série etière de rayo de covergece R L esemble : D {, < R} B(,R), das le cas d ue variable complee, et : I {, < R} ]-R,+R[, das le cas d ue variable réelle, sot appelés respectivemet disque ouvert et itervalle ouvert de covergece pour la série etière La série etière coverge absolumet pour tout élémet de ces esembles (et évetuellemet au bord) et o appelle somme de la série etière la foctio S défiie par : D, S ( ) a, das le cas complee, et : I, S ( ) a, das le cas réel Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - 3 -

4 Théorème 5 : séries somme et produit par u scalaire de séries etières Soiet a, b, des séries etières, et : λ K O ote R a et R b leur rayo de covergece respectif O défiit par ailleurs les séries s et p par :, s a + b, et : p λa, e otat R s et R p leur rayo de covergece respectif Pour la série etière s, o a alors : si : R a R b, R s mi(r a, R b ), si : R a R b, R s R a (ou R b ) Pour la série etière p, o a par ailleurs : si : λ, R p R a, si : λ, R p Démostratio : Pour la série s : Si : R a R b, o a :, < R a (ou R b ), a s et b coverge, comme somme de deu séries covergetes coverget absolumet, doc Das ce cas : R s, et doc : [,R a [ [, R s ], soit : R s R a Si : R a R b, par eemple : R a < R b, alors de même que précédemmet :, < R a, a b coverget absolumet, doc s coverge, comme somme de deu séries covergetes Là ecore : [,R a [ [, R s ], soit : R s R a Mais de plus :, R a < < R b, a diverge et b coverge, doc s diverge comme somme d ue série covergete et d ue série divergete O e déduit que : ]R a,r b [ [R s,), et : R s R a, soit fialemet : R s R a mi(r a, R b ) Pour la série p : Si : λ, la série état la série ulle, elle coverge sur, et : R p a p coverge), etraîe que : R p R a Si : λ, l équivalece :, ( Chapitre 9 : Séries etières Cours complet coverge) ( Théorème 6 : utilisatio de relatios de comparaiso Soit a ue série etière de rayo de covergece R Alors : (,, a b ) (R a R b ), et plus gééralemet : ( α, k >,,, a k b α ) (R a R b ), α ( α, a ~ b ) (R a R b ), + et e particulier : ( a ~ b ) (R a R b ) + Démostratio : Das ce premier cas, il est immédiat que :,, a b Doc :, ( < R b ) (absolue covergece de b ) (absolue covergece de a ), et doc :, ( < R b ) ( < R a ) D où : [,R b [ [,R a [, et : R a R b De même :,, a b k α Doc :, ( < R b ) ( ρ, < ρ < R b ), et doc, e otat : ρ, o a : <, et :, ( a a ρ b ρ [k α ] Or, d après le théorème des croissaces comparées, (k α ) ted vers, doc costitue ue suite borée (par M par eemple), et :, ( a b ρ M) et

5 D où :, ( < R b ), la série b doc aussi a est absolumet covergete, tout comme M b, et Fialemet :, ( < R b ) ( < R a ), puis : [,R b [ [,R a [, et : R a R b α Das ce troisième poit, puisque : a ~ b, etraîe : a b α ( + ε ), avec : lim ε, o e + déduit que :,, a b α, et doc que : R a R b α Mais o a aussi : b ~ a, et e applicatio de ce qu o viet d obteir, o e déduit : R b R a Fialemet : R a R b Efi ce quatrième poit correspod au troisième das le cas particulier : α Théorème 7 : utilisatio de la règle de d Alembert pour les séries etières Soit a ue série etière, telle que :,, a a Pour o ul, si la suite + a + la série coverge absolumet pour : L <, la série diverge grossièremet pour : L > Remarque : coverge vers L (ou ), alors : Le rayo de covergece R a de la série a vaut doc : R a (, si : L, et si : L ) L Démostratio : Soit :, + a a + + a Alors :,, et doc la suite + a a a + ted vers L (ou vers das le cas où L est ifii) Si L est ul, le critère de d Alembert pour les séries umériques garatit alors que la série a coverge pour tout :, soit : R a Si L est ifii, ce même critère motre que la série e coverge que pour ul (c est la série ulle), et : R a, Si : L + *, il y a garatie de covergece pour : L <, et garatie de divergece pour : L > Doc : R a L Théorème 8 : série produit au ses de Cauchy de deu séries etières Soiet a, b, des séries etières, et : λ K O ote R a et R b leurs rayos de covergece respectifs O défiit par ailleurs la série produit au ses de Cauchy des deu séries etières c, par :, c a b p p+ q q Alors le rayo de covergece R c de cette série produit vérifie : R c mi(r a,r b ) Démostratio : Puisqu o a vu que lorsque deu séries sot absolumet covergete, leur produit de Cauchy l est aussi, o e déduit que :, < mi(r a,r b ), a et b sot absolumet covergete, doc c coverge aussi Doc : R c mi(r a,r b ) Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - 5 -

6 Eemple 9 : la série epoetielle complee La série etière a u rayo de covergece ifii, sa somme pour complee doé est otée! ep(), et la foctio ep vérifie : (, ), ep()ep( ) ep( + ) Démostratio : Pour le rayo de covergece de cette série, o peut utiliser la règle de d Alembert : + *,, a, et : a +, et cette suite ted vers e, doc le rayo de! a + covergece de la série etière est Puis : (, ), ' et! sot absolumet covergetes doc leur produit de Cauchy est! ' coverget et o a de plus : ep( )ep( ') c, avec :!! p q ' p p ( ' ), c p q p p + ' ' p+ q p! q! p+ q ( p + q)! p + q! p! ( + ') Doc : ep( )ep( ') ep( + ' )! Propriétés de la somme d ue série etière Théorème : covergece ormale sur tout compact iclus das la oe ouverte de covergece Soit a ue série etière de rayo de covergece R La série coverge alors ormalemet sur tout compact iclus das le disque ouvert de covergece (cas d ue variable complee) ou l itervalle ouvert de covergece (cas d ue variable réelle) Das le cas d ue variable réelle, il y a e particulier covergece ormale de la série etière sur tout segmet de type [a,b] ou [-a,+a] iclus das ]-R,+R[ Démostratio : Das le cas complee ou réel, la foctio : a, (ou : a ) est cotiue sur le compact C doc elle y est borée et atteit ses bores, puisque à valeurs réelles Doc : C, ma{, C} Et comme : C B(,), o a : < R Das ce cas :, C,, doc : a a, d où : sup a Chapitre 9 : Séries etières Cours complet C a Mais comme la série est absolumet covergete (puisque : < R), o e déduit la a covergece de sup a, doc la covergece ormale de la série de foctios sur C C La démostratio s adapte immédiatemet das le cas réel, et pour fiir, il suffit de remarquer que [a,b] ou [-a,+a] sot des esembles fermés, borés doc des compacts de Théorème : cotiuité de la somme d ue série etière de variable réelle Soit a ue série etière de variable réelle, de rayo de covergece R et de somme S La foctio S est cotiue sur l itervalle ouvert de covergece ]-R,+R[ Démostratio : La cotiuité des foctios :, a a, sur tout itervalle : [a,b] ]-R,+R[, et la covergece ormale sur [a,b], de la série de ces foctios, fot que la somme de cette série (soit la somme S de la série etière) est cotiue sur tout itervalle : [a,b] ]-R,+R[, doc sur ]-R,+R[ lui-même Théorème 3 : cotiuité de la somme d ue série etière de variable complee Soit a ue série etière de variable complee, de rayo de covergece R et de somme S La foctio S est cotiue sur le disque ouvert D(,R)

7 Démostratio (hors programme) : Notos S la somme partielle de la série etière, pour : Soit : D(,R), et doc : < R, et soit : ε > E posat : ρ ( + R) >, o costate que : B (,ρ), boule fermée de cetre et de rayo ρ, puis que cette boule est compacte (fermée et borée), et icluse das le disque ouvert de covergece La série etière covergeat ormalemet doc uiformémet sur cette boule, o sait que : ε N, sup S( ) S N ( ) B '(, ρ ) 3 Puisque la foctio S N est cotiue car polyomiale sur, o sait que : α >,, ( α) ( S N () S N ( ) 3 ε ) Efi, e posat : η mi(α, ρ ) >, o costate que :, ( η) ( S N () S N ( ) 3 ε ), et : ( η + ρ < R) ( S() S N () 3 ε ) Mais cette derière iégalité est aussi valable pour, et doc :, ( η) ( S() S( ) S() S N () + S N () S N ( ) + S N ( ) S( ) ε) La foctio S est bie cotiue e, pour tout : D(,R), doc sur D(,R) Théorème 4 : primitives de la somme d ue série etière de variable réelle Soit a ue série etière de variable réelle, de rayo R, et de somme : S ( ) a O peut itégrer terme à terme S sur tout segmet iclus das ]-R,+R[ E particulier, S admet sur ]-R,+R[ des primitives qui valet : + C + a, où : C + Ces primitives ot même rayo de covergece R que a Démostratio : S état cotiue sur ]-R,+R[, elle y admet des primitives De plus, pour : a < R, la série etière a coverge ormalemet sur [-a,+a] doc o peut la primitiver terme à terme Fialemet les primitives de S sur [-a,+a], (qui sot toutes égales à ue costate additive près) valet : + S ( ) d C + ( a d) C + a, où C est ue costate réelle ou complee + Ces ouvelles séries etières o u rayo de covergece R p + Pour o ul, la covergece de a est équivalete à celle de a, puisqu elles sot + + égales etre elles à ue costate multiplicative près a Mais alors :, a, et o e déduit que : R p R + Puis :, < R p, ρ +, < ρ < R p ρ O peut alors écrire :, a a [( + ) ] + ρ Et comme la suite ( + ) ted vers, du fait du théorème des croissaces comparées, o e ρ déduit que :,, ( + ), et : a ρ Chapitre 9 : Séries etières Cours complet a ρ + ρ Or la série a coverge (puisque : ρ < R p ), et doc la série a coverge absolumet +

8 O e déduit que : R, doc : [,R p [ [,R], et : R p R Fialemet : R p R, et les séries primitives ot même rayo de covergece que la série de départ Théorème 5 : dérivabilité et caractère C de la somme d ue série etière Soit a ue série etière de variable réelle, de rayo R, et de somme : S ( ) a Sur ]-R,+R[, la foctio S est de classe C, et o obtiet ses dérivées successives par dérivatio terme à terme de la foctio S Toutes les séries etières dérivées de S ot même rayo de covergece R que a De plus : ]-R,+R[, p, ]-R,+R[, S '( ) a ( + ) a+, et : ( p)! p ( + ( ) a p ( p)! p)! S a+ p! Les coefficiets de la série etière a vérifie alors : p, Démostratio : Tout d abord la série etière ( + ) a + égal à celui de ses séries primitives qui sot : + + C + ( + ) a+ C + a+ C + a + ( p) S () a p p! qui s écrit aussi a a u rayo de covergece R Or la série a est ue de ces séries (celle pour : C a ), et doc : R R Chapitre 9 : Séries etières Cours complet De plus, puisque sur ]-R,+R[, a a, est ue primitive de : a a ( + ) a+, o e déduit que la deuième foctio est e fait la dérivée de la première, autremet dit que : ]-R,+R[, S () a ( + ) a+ Puis par récurrece, il est immédiat que S est de classe C p pour tout : p, qu o obtiet sa dérivée p ième e dérivat S terme à terme p fois et que le rayo de covergece des séries dérivées est R Efi : p, S (p) () vaut le terme costat de la série, soit : a p p!, et o e déduit le derier résultat Théorème 6 : égalité de deu séries etières de rayo de covergece o ul Soiet deu séries etières a, et b, avec : < R a R b Si : < R R a, ]-R,+R[, S a () S b (), alors :, a b Démostratio : La série etière défiie par (S a S b ) a u rayo de covergece au mois égal à R a, et sur ]-R,+R[, elle est ulle, doc toutes ses dérivées sot égalemet ulles, otammet e Doc :, (S a S b ) () ()!(a b ), d où : a b Théorème 7 : cas de foctios paires ou impaires Si ue foctio paire se développe e série etière, tous les termes d idices impairs de so développemet s aulet De même, si ue foctio impaire se développe e série etière, tous les termes d idices pairs de so développemet s aulet Démostratio : Si f est ue foctio paire se développat e série etière sur ]-r,+r[, alors : ]-r,+r[, f ( ) S( ) a f ( ) ( ) a E appliquat le théorème précédet, o e déduit que :, a (-) a, et doc tous les

9 coefficiets a sot uls si pour les impairs (même raisoemet pour les foctios impaires) 3 Foctios développables e série etière, développemet de foctios e série etière Défiitio 3 : foctio développable e série etière Soit I u itervalle de coteat et soit f ue foctio de I das K O dit que f est développable e série etière e (ou autour de ), e abrégé DSE() si et seulemet si il eiste ue série etière a de rayo de covergece o ul R, et : < r R, tels que : ]-r,+r[ I, f ( ) a Si f est ue foctio de ]-r,+r[ das K, o dit que f est développable e série etière sur ]-r,+r[ si et seulemet si il eiste ue série etière a de rayo de covergece o ul : R r, telle que : ]-r,+r[, f ( ) a O dit alors que a est le développemet e série etière e de f Théorème 3 : coditio écessaire de développemet e série etière Soit : r >, et f ue foctio de ]-r,+r[, das K, développable e série etière e, telle que : ]-r,+r[, f ( ) a ) Alors f est de classe C ( sur ]-r,+r[, et :, a f ()! Démostratio : Si f coïcide avec la somme S d ue série etière sur ]-r,+r[, elle est alors C puisqu ue somme de série etière est de classe C sur so itervalle ouvert de covergece De plus :, S () ()!a, et : S f, d où :, ( ) ( a () ) S f ()!! Défiitio 3 : série de Taylor d ue foctio de classe C autour de Soit : r >, et f ue foctio de ]-r,+r[, das K, de classe C sur ]-r,+r[ ( ) f () O appelle série de Taylor de f e la série etière! Théorème 3 : développemets e série etière obteus directemet ou par la formule de Taylor Les foctios suivates sot développables e série etière (o ote R leur rayo de covergece) :, R, pas de covergece pour : ep( ),! R, et e particulier : e,! R cos( ) ( ), ( )! R + si( ) ( ), R ( + )! Démostratio : Pour :, la série est géométrique et coverge si et seulemet si : < Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - 9 -

10 E effet, la somme partielle S de cette série vaut : k k +, pour :, et (+) pour : Doc la suite des sommes partielles coverge pour : <, et la somme de la série vaut : C est la défiitio de la foctio ep, epoetielle complee Pour la foctio epoetielle réelle, elle est de classe C sur, et :, ep () ep, d où : ep () () Puis la formule de Taylor avec reste itégral doe : k ( t) ( + ),, e + ep ( t) dt k!! k Il suffit alors d écrire :,, ( t)! ep ( + ) ( t) dt e ( t)! dt e +, ( + )! e distiguat au besoi les cas : >, et : <, et e majorat e t sur [,] ou [,] par e Si maiteat, o fait tedre vers, l itégrale (à fié) ted vers et la somme partielle k ted doc vers e, d où l égalité k k! Pour sius et cosius, o remarque tout d abord que les foctios sot de classe C sur, et que :,, si () () si( + π ), et : cos () () cos( + π ) O utilise alors la formule de Taylor avec reste itégral, et o remarque que :,, ( t)! si ( + ) ( t) dt ( t)! dt +, de même pour cosius ( + )! Autremet dit, le reste itégral ted vers (pour fié) quad ted vers, et la somme partielle ted vers si() (ou cos()), lorsque ted vers Et comme, pour pair, avec : p, si () (), cos () () (-) p, et pour impair, avec : p +, o a de même : si () () (-) p, et : cos () (), o e déduit les deu développemets proposés après réideatio des deu séries Théorème 33 : développemets e série etière obteus par combiaisos liéaires Les foctios suivates sot développables e série etière (o ote R leur rayo de covergece) : ch ( ), R ( )! + sh ( ), R ( + )! Démostratio : O obtiet le développemet de ch et de sh sur grâce au égalités :, e + e + ( ) ch ( ), e e ( ) sh ( )!,! et o distigue alors deu cas : + ( ) ( ) si est pair, avec : p, alors :, et : + ( ) ( ) si est impair, avec : p +, alors :, et : Il suffit alors de réideer les termes de la somme (avec p) pour obteir les epressios proposées Théorème 34 : développemets e série etière obteus par dérivatio ou itégratio Les foctios suivates sot développables e série etière (o ote R leur rayo de covergece) : Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

11 p! p+ ( ) ( + p)!!, R, pas de covergece e ± + l( + ) ( ) ( ), R, covergece et égalité e l( ), + R, covergece et égalité e - ( ), + R, pas de covergece e ± + arcta( ) ( ), + R, covergece et égalité e ± Démostratio : La série géométrique, pour réel doe : ]-,+[,, et il suffit de calculer les dérivées p ièmes de ces foctios (par eemple par récurrece) pour obteir les égalités proposées Le rayo de covergece vaut et il y a divergece grossière pour : ± l( + ) s obtiet e itégrat terme à terme, sur ]-,+[ + Pour :, o peut remarquer que la série de foctios coverge uiformémet sur [,] E effet, pour tout : [,], la série umérique ( ) est alterée, vérifie le critère spécial doc coverge, et : [,], *, k + ( ) k k k D où : *, sup R ( ), et la covergece uiforme de la série de foctios sur [,] [,] + La somme S est alors cotiue sur [,], e particulier elle est défiie et cotiue e Fialemet : S() lim S( ) lim l( + ) l() l( ) s obtiet e remplaçat par das l égalité précédete Pour, o pose : u, et : + ]-,+[, u ]-,+[, et : ( ) u ( ) + + u Pour : ±, il y a divergece grossière de la série Pour arcta, o itègre la série précédete et pour la valeur e (e -,o utilise l imparité de la foctio), o travaille comme pour l( + ), grâce à ue covergece uiforme et ue limite Théorème 35 : développemets e série etière obteus à l aide d ue équatio différetielle Les foctios suivates sot développables e série etière (o ote R leur rayo de covergece) : α α( α )( α + ) ( + ) +, R, (α )! R, (α ) + ( )! arcsi( ), R covergece et égalité e ± (!) + Démostratio : Pour la foctio : a ( + ) α, o va utiliser ue équatio différetielle Cette foctio f α, défiie sur ]-,) est u polyôme si : α Elle est évidemmet das ce cas développable e série etière sur puisqu u polyôme est ue série etière particulière Si : α, f α est cotiue et dérivable sur ]-,+[ et vérifie : Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

12 ]-,), (E) ( + )f α () αf α () D après le théorème de Cauchy-Lipschit, cette équatio admet des solutios sur tout itervalle I iclus das ]-,), de la forme : y() λ( + ) α, et e particulier ue seule qui vaut e, correspodat à la valeur : λ Par ailleurs, soit : y ( ) a, ue série etière de rayo de covergece R supposé o ul Alors y (qui est de classe C sur ]-R,+R[) est solutio sur ]-R,+R[ de l équatio (E) si et seulemet si : ]-R,+R[, ( + ) a α a O développe alors les produits, o regroupe les termes de puissaces idetiques, e réideat au besoi les séries et o aboutit à : ]-R,+R[, [( + ) a + ( α ) a ] + Or ue série etière est ulle sur ]-R,+R[ si et seulemet si tous ses coefficiets sot uls, d où : α, a + a + E résumé, ue série etière (de rayo de covergece a priori o ul) est solutio de (E) sur u itervalle si et seulemet si ses coefficiets vérifiet les égalités au-dessus α Réciproquemet, soit : la série etière S défiie par : a,, a + a + Puisque : α, tous ses coefficiets sot o uls, elle a u rayo de covergece égal à d après la règle de d Alembert, vérifie l équatio différetielle (E), et : S() α Doc S coïcide avec f α sur ]-,+[, et : ]-,+[, α( α )( α + ) ( + ) +! Si maiteat, o écrit cette égalité pour : α, o obtiet : 3 u ( )! u ]-,+[, + ( ) u + u! (!) Puis : ]-,+[, u ]-,+[, et : ( )! (!) E itégrat alors terme à terme avec : arcsi(), o termie avec : ]-,+[, + ( )! arcsi( ) (!) + ( )! ( ) e 4 π Puis, grâce à la formule de Stirlig o a : ~ ~ 3 (!) + [ e π ] π + ( )! ( )! Doc : sup ~ 3 [, + ] (!) + (!) + π La série etière coverge doc ormalemet sur [-,+], sa somme y est cotiue, tout comme la ( )! π foctio arcsi, et : lim S( ) lim arcsi( ) arcsi() (!) + E -, o a le même résultat ou o utilise l imparité des foctios Théorème 36 : lie etre epoetielle complee, sius et cosius Pour tout :, a + ib, avec : (a,b), o a : t, e t ep(t) e ta (cos(tb) + isi(tb)) O a doc e particulier : t, t e t! Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - -

13 Démostratio : Pour : a + ib, (a,b), t, t (at) + i(bt), avec : (at, bt) Doc : ep(t) ep(at)ep(ibt), puisque cette relatio a été démotrée das le théorème 9 Mais t état réel, o a : ep(at) e at, du fait de l égalité des epressios des séries etières + + ( b t) ( b t) ( i b t) ( i b t) De même : cos(tb) + isi(tb) ( ) + i ( ) +, ( )! ( + )! ( )! ( + )! et e regroupat les deu sommes (quitte au besoi à repasser par les sommes partielles), o a doc : ( i b t) cos(bt) + isi(bt) ep( i b t)! Autremet dit, o a bie : ep(t) e at (cos(bt) + isi(bt)) E réécrivat la série de l epoetielle, o costate bie par ailleurs que : t, t e t! Remarque : La défiitio de l epoetielle complee par la formule :, ep( ), permet de défiir! propremet les foctios sius et cosius sur, et de motrer aisi leurs pricipales propriétés par : t, ep(it) cos(t) + isi(t), autremet dit par : t, cos(t) Re(ep(it)), et : si(t) Im(ep(it)) Les foctios sius et cosius ot aisi comme défiitio le fait d être sommes de séries etières Eemple 37 : sommatio de séries etières La plupart des séries etières dot o demade la sommatio eplicite se calculet à partir des séries géométriques et epoetielles et des séries qui e sot déduites Par eemple : ( ), ( ) e,! + ]-,+[, ( + ) 3 ( ) Démostratio : L idée das les deu cas est de se rapprocher de séries etières coues O commece par écrire :,, et doc :! ( )!!, ( )! ( )! ( )!!!! ( ) e Même chose, mais avec d autres séries e perspective :, + ( ) + +, d où : ]-,+[, ( + + ) ( ) + + ( )'' + ( )' + ( ) 3 ( ) Das les deu cas, il faut surveiller les idices de départ das les sommes qui apparaisset et justifier que toutes les séries itermédiaires sot covergetes Efi, si le coefficiet de la série à sommer est du type fractio ratioelle e, o essaiera de se rapprocher d ue série géométrique (ou de séries qui e découlet), et s il est du type iverse d ue factorielle (et ses variates) o essaiera de se rapprocher d ue série de la famille des epoetielles (ep, si, cos, ch, sh, etc ) Chapitre 9 : Séries etières Cours complet - 3 -

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Suites et séries numériques

Suites et séries numériques Maths MP Cours Table des matières Suites et séries umériques Quelques prélimiaires. Les yeux fermés........................................... De quoi parle-t-o?........................................3

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

Chapitre 16 : Espaces vectoriels

Chapitre 16 : Espaces vectoriels PCSI Préparatio des Khôlles -4 Chapitre 6 : Espaces vectoriels Exercice type Soit E=R[X] et F ={P E, P(X)=XP (X)+P()}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. : O a bie F E. Si P =est le polyôme

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

SERIE D EXERCICES N 21 : FORMATION DES IMAGES DANS LES CONDITIONS DE GAUSS

SERIE D EXERCICES N 21 : FORMATION DES IMAGES DANS LES CONDITIONS DE GAUSS Nathalie Va de Wiele - Physique Sup PCSI - Lycée les Eucalyptus - Nice Série d exercices SERIE D EXERCICES N : FORMATION DES IMAGES DANS LES CONDITIONS DE GAUSS Propagatio rectilige. Exercice. Das le cas

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé

Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé www.almohadiss.com Exercice - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit

Plus en détail

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ECOLE DE HUTES ETUDES COMMERCILES DU NORD Cocors d'admissio sr classes préparatoires MTHEMTIQUES Optio scietifiqe Mardi 9 mai 6 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qalité de la rédactio,

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE

CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) PROGRAMME (A partir de Septembre 2) MATHEMATIQUES Secode aée (Ce ouveau programme présete des modificatios par rapport à l'acie programme) ALGÈBRE LINÉAIRE

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état

Approximation de la solution d une équation différentielle ordinaire avec impulsions qui dépendent de l état Approximatio de la solutio d ue équatio différetielle ordiaire avec impulsios qui dépedet de l état F. Dubeau A. Ouasafi A. Sakat CRM-276 Jauary 21 Départemet de mathématiques et d iformatique, Uiversité

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

Correction EDHEC 2007 Voie scienti que

Correction EDHEC 2007 Voie scienti que EDHE 7 ES Exercice Page orrectio EDHE 7 Voie scieti que La correctio comporte 4 pages. Exercice. Pour tout etier o ul, la foctio x 7! e x x est cotiue sur R e tat que quotiet (dot le déomiateur e s aule

Plus en détail

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008

Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS1 2007-2008. 4 septembre 2008 Prépa HEC Sait-Jea de Douai Probabilités Poly des exercices ECS1 2007-2008 Christia Skiada 4 septembre 2008 Spriger-Verlag Berli Heidelberg NewYork Lodo Paris Tokyo Hog Kog Barceloa Budapest Préface Voici

Plus en détail

Analyse de structures de données et d algorithmes

Analyse de structures de données et d algorithmes Uiversité Paris 3 Istitut Galilée Master Math-Ifo Aalyse de structures de doées et d algorithmes Polycopié 2006-2007 Christia Lavault Table des matières Combiatoire et déombremet. Permutatios, arragemets

Plus en détail

Licence informatique - L3 Année 2012/2013. Conception d algorithmes et applications (LI325) COURS 1

Licence informatique - L3 Année 2012/2013. Conception d algorithmes et applications (LI325) COURS 1 Licece iformatique - L Aée 0/0 Coceptio d algorithmes et applicatios (LI) COURS Résumé. Ce cours est ue iitiatio à quelques grads pricipes algorithmiques (Diviser pour Réger, Programmatio Dyamique, Algorithmes

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

Intégration et calcul de primitives

Intégration et calcul de primitives École polytechique Itégrtio et clcul de primitives Tble des mtières Les foctios usuelles. Foctios primitives et foctios réciproques................... Les foctios logrithme et epoetielle......................3

Plus en détail

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x /RJLTXHERROpHQQH I. Défiitios I.. Variable biaire O appelle variable biaire (ou logique), ue variable preat ses valeurs das l esemble {0, }. Eemple : état d u iterrupteur, d u bouto poussoir, la présece

Plus en détail

Analyse Numérique K.GHENIA. GC201-GM203 Cours et Exercices

Analyse Numérique K.GHENIA. GC201-GM203 Cours et Exercices Aalse Numérique HENIA GC-GM Cours et Eercices Istitut Supérieur de l Educatio et de la Formatio Cotiue TABLE DES MATIERES Résolutio d ue équatio algébrique Méthode d Itératio - Méthode du poit ie 5 Formules

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

Introduction : Mesures et espaces de probabilités

Introduction : Mesures et espaces de probabilités Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,

Plus en détail

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D

LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D PRÉPARATION À L AGRÉGATION EXTERNE DE MATHÉMATIQUES DE L UNIVERSITÉ RENNES 1 1 ANNÉE 2009/2010 1. ESPACE PROBABILISÉ - VARIABLE ALÉATOIRE 1.1 ESPACE PROBABILISÉ

Plus en détail

Modèle de pointage et correction des dérives

Modèle de pointage et correction des dérives Ges de la Lue Observatoire astroomique de Plougastel Tél : 0 98 40 69 73 http://www.gesdelalue.org Modèle de poitage et correctio des dérives 1. Présetatio du problème Le poitage d u astre par u télescope

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation 1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus

Plus en détail

Suites arithmétiques et Géométriques. Exemple 1. La suite des nombres 1, 3, 5, 7, 11, 13. ou la suite des nombres 100, 110, 121, 133.1, 146.41...

Suites arithmétiques et Géométriques. Exemple 1. La suite des nombres 1, 3, 5, 7, 11, 13. ou la suite des nombres 100, 110, 121, 133.1, 146.41... Sites arithmétiqes et Géométriqes Nos allos cosidérer des sites de ombres réels Exemple La site des ombres,, 5, 7,, o la site des ombres,,,, 464 Défiitio/Notatio : La site est e gééral oté ( ) (o ( v )

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation

Chap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires

Plus en détail

ANNALES BACCALAURÉAT 2013 MATHÉMATIQUES TERMINALE S. 1. Suites

ANNALES BACCALAURÉAT 2013 MATHÉMATIQUES TERMINALE S. 1. Suites ANNALES BACCALAURÉAT 03 MATHÉMATIQUES TERMINALE S ANNALES 03 TERMINALE S Suites Foctios 9 3 Probabilités 4 Géométrie 9 8 5 Spécialité 34 6 Cocours 44 Suites - : Amérique du Nord 03, 5 poits, o spécialistes

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir

Plus en détail

Terminale S. 1. Divers

Terminale S. 1. Divers Termiale S 1 Divers Bézout 3 Quadratique 4 Divisibilité 5 Equatio diophatiee 6 Equatio diophatiee (, Caracas 01_04) 7 Base de umératio 8 Base de umératio 3 9 Somme des cubes 10 PGCD 11 Somme des diviseurs

Plus en détail

Chapitre 1: Calcul des intérêts

Chapitre 1: Calcul des intérêts Chapitre 1: Calcul des itérêts Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les otios suivates : Itérêt Taux d itérêt omial Taux d itérêt périodique Valeur acquise Valeur actuelle Capitalisatio Le lecteur

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles BTS Mécaique et Automatismes Idustriels Statistiques iféretielles, Aée scolaire 2005 2006 Statistiques iféretielles 1. Itroductio vocabulaire Pour étudier ue populatio statistique, o a recours à deux méthodes

Plus en détail

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes 2 1.1 Permutatio................................ 2 1.2 Arragemet............................... 3 1.3 -liste.................................... 4

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

Organisme de recherche et d information sur la logistique et le transport LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS

Organisme de recherche et d information sur la logistique et le transport LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS Les logiciels utilisés pour la gestio des stocks itègret de ombreuses foctios de calcul. L ue des plus importates est l exécutio des prévisios des cosommatios futures d

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

Arbres et dérivée d une fonction composée

Arbres et dérivée d une fonction composée Abes et déivée d ue foctio composée Nous allos voi ici commet l o peut epésete les déivées successives d ue foctio composée pa u esemble d abes fiis. f et g désigeot deux foctio idéfiimet déivables, et

Plus en détail

CHAPITRE 22. Machines à sous

CHAPITRE 22. Machines à sous CHAPITRE 22 Machies à sous 22. Corrigé possible du texte 22.. Eocé du problème et défiitio du modèle statistique associé O étudie ici u modèle statistique avec observatios icomplètes : o dispose d observatios

Plus en détail

Les symboles Σ et Π. Le binôme de Newton

Les symboles Σ et Π. Le binôme de Newton Les symboles Σ et Π Le biôme de Newto Nous cosacros ici u log chaitre au symbole Σ et au symbole Π A terme, la maîtrise de ce symbole est ue cométece essetielle à acquérir et ous esos qu il faut y cosacrer

Plus en détail

Probabilités et Statistique

Probabilités et Statistique Probabilités et Statistique Jea-Michel JOLION Départemet Géie Idustriel 3ème Aée Versio électroique : http://rfv.isa-lyo.fr/ jolio/stat/poly.html May 26, 2006 INSA Lyo - Bât. J. Vere - 69621 Villeurbae

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................

Plus en détail