Introduction. Courte introduction historique

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1 Itroductio L optique est la brache de la physique qui s itéresse aux phéomèes lumieux. Elle apporte des réposes aux questios suivates : Qu est-ce que la lumière? Commet décrire sa propagatio? Commet cotrôler sa propagatio de faço utile (commet faire des images claires et fidèles)? Ces trois questios sot itimemet reliées, et l histoire des scieces a vu plusieurs rebodissemets spectaculaires das la faço de les aborder. Courte itroductio historique Depuis l atiquité, la lumière itrigue et fascie les hommes. Voici quelques évéemets-clé. Ptolémée, vers 150, se base sur des expérieces pour étudier la réfractio et établit des tables doat l agle que fait le rayo lumieux das le milieu réfriget e foctio de l agle d icidece. Il établit ces tables das le cas de l eau et du verre. Il exprime pas ces résultats par ue formule, alors que par ailleurs il avait aussi établi les tables de ce qui correspod aujourd hui aux foctios trigoométriques sius et cosius. Il avait e mai les outils mathématiques pour écrire les lois de Sell-Descartes, mais e le fait pas. Il faudra alors attedre 1500 as... Vers 1600, familier des ouvrages d Alhaze, opticie arabe du moye-âge, Johaes Kepler ( ) propose ue loi de la réfractio de la forme i = r. Cette loi est iexacte si l o s e tiet à la rigueur, mais se trouve être approximativemet valide das certaies coditios (voir la suite du cours). À partir de cette loi, il explique le foctioemet des letilles et compred le foctioemet de l œil e motrat que le cristalli sert à faire ue image (iversée, ce qui posa u problème à pas mal de ges qui trouvaiet ça absurde, car o voit à l edroit) sur la rétie qui est l élémet sesible. E 1621, Willebrodd Sell ( ) découvre les lois de la réfractio, et e 1637 Reé Descartes ( ) les publie. Il est pas clair qu il e se soit pas approprié le résultat de Sell (lors de séjours e Hollade) et ses coceptios sur la lumière e sot pas exemptes d icohéreces. Cepedat, sa formulatio de la loi de la réfractio est itéressate, car cotrairemet à celle de Sell, elle s itéresse à ce qui se passe au iveau de l iterface etre les milieux. E 1665, Isaac Newto ( ) décompose la lumière blache e faisceaux colorés grâce à u prisme. Ses ombreuses expérieces d optique le mèet à ue descriptio corpusculaire de la lumière qui prévaudra pedat plus d u siècle. La même aée Fracesco Grimaldi ( ) observe le phéomèe de diffractio. E 1807, Thomas Youg ( ) réalise l expériece des trous d Youg et met e évidece ce qui sera rapidemet recou comme u phéomèe d iterféreces. Vers 1818, Augusti Fresel ( ) propose ue théorie odulatoire de la lumière, déjà suggérée sous ue forme mois élaborée et mois précise par Christiaa Huyges ( ) u siècle plus tôt. 7

2 8 Il propose sa théorie à l Académie des Scieces, das le cadre d u cocours. Parmi les membres chargés d évaluer et de juger le travail de Fresel figure Deis Poisso ( ). Il remarque que si l o e croit la théorie de Fresel, le cetre de l ombre d u objet circulaire devrait être brillat, ce qui lui semble absurde. Le prix est quad même attribué à Fresel. Arago décide de faire l expériece soigeusemet et observe e effet ce poit brillat! C est le premier grad succès de la théorie de Fresel (ce derier itroduira aussi la otio de polarisatio, qui malgré le scepticisme qui etourera so accueil, s avérera ue avacée fodametale). Il e fait guère de doute à partir de ce momet que la lumière est ue ode. Il reste toutefois ue questio fodametale : de quel milieu la lumière est-elle ue vibratio? Vers 1880, James Maxwell ( ) sythétise de maière magistrale ce qu o savait alors de l électromagétisme, ce qui mèe à la prédictio de l existece d odes électromagétiques, dot la vitesse est du même ordre de gradeur que celle de la lumière. La cofirmatio e tardera pas, la lumière est ue ode électromagétique (Hertz). La première des questios a efi trouvé ue répose claire! Au début du xx e siècle, l histoire rebodit. Max Plack ( ), Albert Eistei ( ) et d autres motret que la lumière se comporte aussi de faço corpusculaire. Le cocept de photo est itroduit. Le développemet de la physique quatique cofirmera cette duplicité, la dualité ode-corpuscule. E parallèle, le développemet de la relativité restreite par Albert Eistei, à partir de 1905, s appuie fortemet sur certaies propriétés étrages de la lumière. E particulier, sa vitesse est la même pour tous les observateurs, même si ceux-ci sot aimés d ue vitesse relative! Parallèlemet à ces développemets théoriques, des istrumets d optique de plus e plus performats sot mis au poit. Chaque avacée coceptuelle permettra d améliorer la qualité des images que l o peut former avec ces istrumets. Les lois de Sell-Descartes permettrot de compredre commet se formet les aberratios géométriques et de cocevoir des istrumets qui les limitet. L optique odulatoire révélera les limites imposées par le phéomèe de diffractio sur la formatio des images et sur le pouvoir de résolutio des istrumets d optique. Aujourd hui, o distigue plusieurs approches de l optique, lesquelles se trouvet suivre le chemiemet historique. L optique géométrique décrit la lumière comme u esemble de rayos lumieux, obéissat à u esemble de règles géométriques très simples. Ce sera l objet de ce cours. Elle permet d étudier les phéomèes de réflexio et de réfractio, et fourit les bases pour ue première étude des istrumets d optique. O y spécifie pas la ature de la lumière. L optique odulatoire décrit la lumière comme ue ode (toujours sas spécifier sa ature). Elle permet de compredre le phéomèe d iterféreces lumieuses. E s appuyat sur le pricipe de Huyges-Fresel, elle permet aussi de compredre le phéomèe de diffractio. Efi, elle permet aussi de traiter de faço quatitative les questios liées à la quatité de lumière (photométrie et radiométrie). L électromagétisme permet de compredre les iteractios de la lumière avec la matière, et permet aussi de cerer les limites de validité des deux approches précédetes. L optique quatique ou photoique, brache relativemet récete et e plei essor, permet de décrire les phéomèes lumieux das des coditios où les approches précédetes e sot pas adaptées. Le domaie de l opto-électroique aisi que celui des lasers par exemple, s appuiet fortemet sur cette approche. Mais allos pas trop loi i trop vite, ce cours posera la première pierre de ce gros édifice, e s itéressat à l optique géométrique, qui possède so lot de surprises et de merveilles... Les applicatios de l optique géométrique L optique géométrique a de très ombreuses applicatios. Par exemple, la focalisatio des rayos lumieux, par exemple das les fours solaires (cf la cetrale Thémis) ; le guidage de la lumière (fibres optiques) ; la formatio des images das les istrumets d optique (télescopes, microscopes, projecteurs vidéo, appareils photo, caméra de ciéma, loupe, jumelles, luette astroomique et luette terrestre) ; elle permet de compredre la visio humaie (et des aimaux) et de corriger ses évetuels défauts ; elle permet aussi de compredre les mirages, dot les mirages gravitatioels ;

3 elle est mise e œuvre das les programmes de sythèse d image (raytracig). 9

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5 1 Les bases de l optique géométrique 1 Rayo lumieux 1.1 Défiitio L optique géométrique est basée sur l hypothèse suivate : U faisceau de lumière peut être divisé e sous-faisceaux arbitrairemet fis, que l o peut étudier de faço idépedate. Das la limite où ces sous-faisceaux sot ifiimet fis, o obtiet des liges uidimesioelles appelées rayos lumieux. E toute rigueur, cette hypothèse est fausse, mais l électromagétisme permet de motrer que das certaies coditios, elle permet de redre compte de faço approchée du comportemet réel de la lumière. Elle est d autat mieux vérifiée que la logueur d ode λ de la lumière cosidérée est petite. Cette faço de voir les choses est cepedat pas très utile, car o dispose raremet d u bouto permettat de régler λ sur les sources lumieuses... L hypothèse éocée plus haut est aussi gééralemet très bie vérifiée quad les dimesios des ouvertures qui limitet le trajet de la lumière sot grades devat la logueur d ode, ou que l o e s itéresse pas à ce qui se passe sur des agles plus petits que α λ/. Nous avos pas le temps de développer ce poit ici, vous verrez tout ça l a prochai, patiece! La otio de rayo lumieux est ue doc idéalisatio qui, malgré ses limites (tat qu o essaie pas de les dépasser), costitue u outil puissat pour étudier la propagatio de la lumière. 1.2 Propagatio e lige droite Le pricipe de base de l optique géométrique est le suivat : Das u milieu trasparet homogèe, les rayos lumieux sot des droites. Avat d explorer quelques coséqueces de ce premier pricipe, ous allos éocer les autres phéomèes qui peuvet se produire quad le milieu est pas homogèe ou pas trasparet : Certais matériaux peuvet arrêter la lumière ; les rayos lumieux s y termiet. O dit que ces matériaux sot opaques ; À l iterface etre deux milieux différets, la lumière peut être réfléchie, partiellemet ou itégralemet ; Das certais cas, ue partie de la lumière peut aussi cotiuer à se propager das le secod milieu, o dit qu elle est réfractée. Nous étudieros ces deux deriers phéomèes das ce chapitre. 11

6 12 Chapitre 1. Les bases de l optique géométrique D autres phéomèes se produiset, comme la réflexio diffuse ou l absorptio, mais ous e les aborderos pas ici. 1.3 Sources lumieuses Ue source lumieuse est u système physique émettat de la lumière. Plusieurs processus physiques coduiset à l émissio de lumière (accélératio de charges électriques, trasitio atomique, aihilatio particule/atiparticule, etc.), et il existe de ombreux types de sources différetes : les sources thermiques, par exemple les lampes à icadescece, les bougies, le Soleil ; les sources spectrales, par exemple les lampes à vapeur de sodium, les lampes à décharge e gééral ; les lasers. Das le cadre de l optique géométrique, ue source est simplemet cosidérée comme u dispositif dot sot issus des rayos lumieux. Il est parfois pratique de décomposer ue source étedue e ue multitude de sources poctuelles, ous y reviedros très bietôt. [Petit dessi] 2 La chambre oire Nous allos ous attarder u peu sur la propagatio e lige droite. Cette propriété très simple va ous permettre d itroduire quelques otios qui serot utiles das la suite, das des situatios plus complexes. 2.1 Pricipe Le pricipe de la chambre oire est cou depuis l atiquité, il cosiste e u trou de petites dimesios percé das u écra opaque. O place derrière ce trou u écra d observatio. La lumière issue d ue source A se propage e lige droite jusqu au premier écra, et les rayos e passat pas par le trou sot arrêtés. O observe doc sur le secod écra ue tache lumieuse elliptique. d D S 2 source l S 1 L trou das u écra opaque écra d observatio trou das u écra opaque écra d observatio 2.2 Propriétés La hauteur H de cette tache se calcule facilemet e utilisat le théorème de Thalès [rappel du théorème de Thalès]. O trouve que H =2r D d

7 2. La chambre oire 13 Fig. 1.1: U exemple de stéopé artisaal (à gauche) et ue image qu il a permis d obteir (à droite). E présece de deux sources espacées trasversalemet d ue distace, o observe deux taches sur l écra, séparées d ue distace L = D d d E présece d ue multitude de sources format u objet, o obtiet ue image pourvu que le trou soit suffisammet petit (il e faut pas doer au mot «image» u ses trop précis, ous y reviedros e détail das la suite). [Dessi Mickey] Peut-o utiliser ce dispositif e pratique pour faire des images? E gééral, o cherche à obteir des images qui aiet les propriétés suivates : Les images doivet être ettes ; Elles doivet être lumieuses ; O cherche aussi souvet à ce qu elles soiet de dimesios bie défiies (par exemple de la dimesio du récepteur CCD d u appareil photo). Das le cas de la chambre oire, l image est floue sur ue distace de l ordre de H, qui est proportioelle à la taille du trou r. Pour obteir de meilleures images, ue solutio semble doc s imposer : il faut dimiuer la taille du trou. E fait, cette solutio présete deux défauts. D ue part, plus le trou est petit, plus la quatité de lumière qui compose l image est faible, si bie que celle-ci peut deveir trop faible pour être perçue. D autre part, quad le trou deviet trop petit, le phéomèe de diffractio deviet importat et l image redeviet de plus e plus floue. De plus, la dimesio de l image est fixée par la distace D d, et pour avoir des images de grades dimesios il faudrait ue chambre oire très logue, ce qui est pas très pratique. Ue grade partie de ce cours sera cosacrée à l étude de systèmes permettat de faire des images de meilleure qualité. 2.3 Applicatios Malgré les limitatios que ous veos de sigaler, le pricipe de la chambre oire est mis e œuvre das les stéopés. Ce sot des appareils photographiques costitués d u simple trou das ue boîte obscure, au fod de laquelle o place ue pellicule photosesible. Les stéopés sot ecore utilisés de os jours, car les clichés qu ils permettet d obteir possèdet certaies propriétés appréciées des photographes. Ce pricipe permet aussi de compredre le foctioemet des yeux de certais aimaux maris (par exemple le autile). Das ces yeux, la rétie tapisse le fod d ue cavité, fermée par u orgae qui cotrôle la taille d u trou qui laisse passer la lumière. Les biologistes peset qu il pourrait s agir d ue première étape évolutive vers des systèmes oculaires plus complexes utilisat ue letille.

8 14 Chapitre 1. Les bases de l optique géométrique 3 Les lois de la réflexio Nous allos maiteat aborder le premier type de chagemet que peuvet subir les rayos lumieux, la réflexio. Ce terme désige le phéomèe qui surviet quad u rayo lumieux arrive sur certais types de surface et se voit revoyé vers l arrière. Ces surfaces sot aturellemet appelées surfaces réfléchissates. Il peut s agir de surfaces argetées, comme les miroirs, ou de l iterface etre deux milieux trasparets, comme les vitres habituelles. 3.1 Loi de la réflexio Avat d écrire la loi de la réflexio, il ous faut itroduire quelques termes. O appelle ormale à ue surface la directio perpediculaire à cette surface. Pour ue surface o plae, la directio de la ormale déped du poit cosidéré. O appelle rayo icidet le rayo lumieux auquel o s itéresse et qui doera lieu à u rayo réfléchi. O appelle pla d icidece le pla coteat à la fois le rayo icidet et la ormale à la surface (au poit atteit par le rayo icidet). Si le rayo icidet est dirigé selo la ormale, il y a ue ifiité de plas icidets. O appelle agle d icidece l agle etre le rayo icidet et la ormale. La réflexio obéit à ue règle simple : Le rayo réfléchi est le symétrique du rayo icidet par rapport à la ormale. Il est doc coteu das le pla d icidece. Il s esuit que l agle de réflexio est égal à l agle d icidece. Ceci est illustré sur la figure suivate. O peut oter que quad le rayo icidet est dirigé selo la ormale, le rayo réfléchi l est aussi, la lumière est simplemet revoyé das sa directio iitiale. 3.2 Applicatio : le miroir pla Nous allos ous itéresser au cas le plus simple, d u miroir pla et d ue source lumieuse poctuelle A placée devat. Nous allos détermier les propriétés de tous les rayos réfléchis. Les prologemets de tous les rayos réfléchis sot symétriques des rayos icidets par rapport au miroir. Les triagles AMA sot isocèles e M, si bie que SA = SA. O écrit plutôt où la barre idique que l o a affaire à des distaces algébriques. SA = SA (1.1) Les rayos réfléchis semblet doc tous proveir d u poit A, symétrique de A par rapport au miroir. Pour Aparté sur les approximatios e physique Faire des approximatios est ue activité ormale e scieces, ce est pas u maque de rigueur, bie au cotraire. Les physicies disposet e gééral de moyes pour estimer l ordre de gradeur de l erreur qu ils commettet e faisat ue approximatio, et peuvet aisi se placer das des coditios où ces erreurs sot très faibles. Par exemple, quad o écrit que si α α, cette approximatio se justifie par les développemets limités. De faço géérale, o a si x = x 1 3! x ! x5 1 7! x7... où! ( 1) ( 2) O peut estimer l ordre de gradeur de termes qu o églige e troquat cette série à l ordre 1. Par exemple, pour x =0, 1, le terme x 3 /6 vaut 1, et les suivats qui sot ecore bie plus petits. Exercice 1 : Calculer à la machie le sius de 0,5 e utilisat le développemet limité précédet. De même, les approximatios que l o fait e égligeat les effets odulatoires sot cotrôlés de maière précise.

9 3. Les lois de la réflexio 15 rayo icidet i pla d icidece ormale rayo icidet i r rayo réfléchi surface réfléchissate Fig. 1.2: Défiitios des termes employés et représetatio du rayo réfléchi. A A A A Fig. 1.3: Rayos lumieux réfléchis par u miroir pla, format ue image virtuelle à gauche et ue image réelle à droite. u observateur, tout se passe comme si la lumière avait été émise par A et o par A. Cette observatio doit sembler triviale à quicoque a déjà regardé das u miroir! 3.3 Stigmatisme rigoureux, cojugaiso Il est remarquable que les prologemets des rayos réfléchis se coupet tous exactemet au même poit (ous verros plus tard que c est le cas pour seulemet très peu de systèmes optiques). Cette propriété porte le om de stigmatisme. Plus précisémet, O dit qu u système optique est stigmatique pour le couple de poits (S, S ) quad il trasforme tous les rayos qui le traverset et qui sot issus de A (ou dot les prologemets sot issus de A) e rayos qui se croiset (ou dot les prologemets se croiset) e A. O parle alors de stigmatisme rigoureux, pour différecier cette situatio d ue autre, mois restrictive, que ous itroduiros plus loi. O dit que les poits A et A sot cojugués par le système optique (e l occurrece le miroir pla). Quad les rayos eux-mêmes se croiset, o dit que le poit costitue u objet réel (pour A) ou ue image réelle (pour A ), alors que quad ce sot les prologemets qui se croiset, o parle d objet virtuel (pour A) ou d image virtuelle (pour A ). [Dessi réel /virtuel] La relatio (1.1) est appelée relatio de cojugaiso.

10 16 Chapitre 1. Les bases de l optique géométrique Le miroir doe d u objet virtuel ue image réelle, et vice-versa. 3.4 Autre applicatio : le catadioptre Le catadioptre est u coi de miroirs permettat de revoyer u rayo lumieux das la directio exactemet opposée à sa directio icidete. Détailler l exemple du catadioptre déposé sur la Lue pour réfléchir la lumière laser qu o utilise pour mesurer la distace Terre-Lue. 3.5 Autre applicatio : stéréoscope Voici ue applicatio amusate, das laquelle le miroir est utilisé pour doer ue sesatio de relief, e créat ue image virtuelle destiée à être vue par u œil et qui se superpose à ue autre, correspodat à u poit de vue légèremet différet, vue par l autre œil. 4 Les lois de la réfractio Nous allos maiteat aborder le secod type de chagemet que peuvet subir les rayos lumieux, la réfractio. Ce terme désige le phéomèe qui surviet quad u rayo lumieux arrive sur certais types de surfaces, séparat deux milieux trasparets et se voit partiellemet trasmis das le secod milieu. 4.1 Loi de Sell-Descartes relative à la réfractio Avat d écrire la loi de la réfractio, il ous faut à ouveau itroduire quelques termes. O appelle rayo réfracté le rayo lumieux trasmis das le secod milieu. La séparatio etre deux milieux trasparets différets est appelée u dioptre. La réfractio obéit à la loi de Sell-Descartes : Le rayo réfracté est coteu das le pla d icidece. L agle de réfractio i est relié à l agle d icidece i par la relatio si i = si i [loi de Sell-Descartes] (1.2) faisat iterveir deux gradeurs et caractéristiques de chaque milieu et idépedates de i et i. Les quatités et sot appelées les idices optiques, idices de réfractio ou ecore idices tout court, des milieux. O peut les détermier expérimetalemet e traçat la courbe représetat si i e foctio de si i. Par covetio, l idice du vide vaut 1. Pour tous les milieux, l idice est plus grad que 1. Par exemple, l idice de l eau vaut eviro eau 1, 3 4/3 et l idice des verres courats est de l ordre de verre 1, 5. Distaces algébriques O utilise e optique des distaces algébriques pour repérer des distaces, mais aussi des positios relatives, le log d u axe. Ces distaces algébriques serot otées avec ue barre, par exemple AB. O muit pour cela l axe d u ses positif (o dit qu o oriete l axe), et la distace algébrique AB est affectée d u sige mois si le déplacemet de A vers B se fait das le ses cotraire du ses positif choisi. Le choix de l orietatio est puremet covetioel, il a aucue ifluece sur les coclusios physiques, tat qu o s y tiet et qu o e chage pas e cours de calcul! Das ce cours, ous orieteros les axes de la gauche vers le droite. Les distaces AB serot doc positives si B est à droite de A, et égatives das le cas cotraire. O a alors ue propriété remarquable, pour tous les poits A, B et C de l axe, AC = AB + BC, alors que AC = AB + BC si le poit B est à l extérieur du segmet [AC].

11 4. Les lois de la réfractio 17 Fig. 1.4: Pricipe : placer le miroir verticalemet etre les deux images suivates, côté argeté vers la droite. Mettre sa tâte au-dessus et regarder l image de gauche e ouvrat les deux yeux. L œil gauche voit directemet la photo de gauche, alors que l œil droit voit le reflet de la photo de droite. Fig. 1.5: Images visibles e relief. L idice des gaz est gééralemet proche de 1. C est le cas de l air, par exemple. L approche électromagétique de l optique permet de détermier l idice e foctio des propriétés microscopiques du milieu. Quad <(par exemple au passage de l eau vers l air), le rayo réfracté s écarte de la ormale. Quad >(par exemple u rayo passat de l air à l eau), le rayo réfracté se rapproche de la ormale. O peut remarquer que quad =, le rayo lumieux est pas dévié. das tous les cas, les rayos ormaux (dirigés selo la ormale) e sot pas déviés. 4.2 Loi du retour iverse D après les deux lois précédetes, les rayos lumieux sot les mêmes si o iverse le ses de propagatio de la lumière. C est la loi du retour iverse. Cette loi est parfois utile, mais e doit pas être prise au pied de la lettre, il existe des situatios physiques das lesquelles elle est mise e défaut (les lois précédetes doet les caractéristiques géométriques des rayos lumieux à coditio qu ils soiet réfléchis ou réfractés, mais e doet pas de coditio sur l existece de ces rayos). 4.3 Remarque E gééral, u rayo lumieux est partiellemet réfléchi et partiellemet réfracté ; il doe aissace à deux rayos quad il atteit u dioptre. Nous discuteros ue exceptio importate (la réflexio totale) u peu plus

12 18 Chapitre 1. Les bases de l optique géométrique rayo icidet i i iterface rayo réfracté < i > i Fig. 1.6: Le rayo réfracté das le cas où <(à gauche) et >(à droite). loi. 4.4 Le dioptre pla Nous allos suivre le même chemiemet que das le paragraphe précédet cocerat le miroir pla, et commecer ous placer das le cas d u dioptre pla. Nous allos détermier ce qu il adviet des rayos émis par ue source lumieuse A poctuelle située das le premier milieu d idice, et détermier les propriétés de tous les rayos réfractés das le secod milieu d idice. A d A d > A A d d < h i i i i Fig. 1.7: Les rayos émis depuis A avec l agle i semblet proveir de A. O a les deux relatios si i = si i et d ta i = d ta i = h (1.3) 4.5 Calcul de d O a doc d = d si i cos i cos i si i = d si i 1 si 2 i cos i si i (1.4)

13 4. Les lois de la réfractio 19 = 1 = 1,5 = 1 = 1,5 = 1 = 1,5 Fig. 1.8: marche des rayos réfractés et leurs prologemets. Les deux figures de droite représetet la marche de rayos apparteat à u fi piceau lumieux, perpediculaire au dioptre (au milieu) et avec ue icidece importate (à droite). Ces piceaux lumieux semblet proveir d u poit das les deux cas (stigmatisme), mais ce poit est pas le même das les deux cas. E utilisat la loi de Sell-Descartes, o obtiet d = d si i cos i 1 (/ ) 2 si 2 i si i = d 1 (/ ) 2 si 2 i 1 si 2 i (1.5) Tous les rayos émis das u côe de sommet A et d ouverture i semblet proveir du poit A situé à la distace d du dioptre. Toutefois, la situatio est différete de celle du miroir. Ici, la positio de A, le poit d où semblet proveir les rayos issus de A, déped des rayos lumieux que l o cosidère (de l agle i). Il semble qu o e puisse pas vraimet parler d image virtuelle, et que l œil e verrait pas ue image bie défiie de A mais ue tache. Or, l expériece motre que ce est pas le cas, o voit les poissos rouges assez ets e gééral. 4.6 Stigmatisme approché Ceci est dû au fait que l œil e perçoit pas tous les rayos issus du poisso rouge (que ous appelleros Alfred pour garder la otatio A), mais seulemet ue toute petite partie d etre eux, ceux qui sot émis la directio de l œil et qui peuvet passer par l iris. Das ce cas, o peut trasformer l expressio précédete. Afi d éviter des calculs iutilemet laborieux, plaços-ous das la situatio où l œil est situé sur la ormale au dioptre passat par A. L œil a ue ouverture de quelques millimètres de diamètre. S il est situé à quelques dizaies de cetimètres du dioptre, les rayos qui lui parvieet serot icliés au plus de 0,01 radia, soit mois d u degré. O peut alors faire l approximatio des petits agles et remplacer si i par i et si i par i das l expressio précédete. O troque ce développemet e égligeat les termes d ordre 3 ou supérieurs. Il s agit doc d utiliser u développemet limité valable à l ordre 2 (compris). L expressio 1.5 peut alors se réécrire, à l ordre 2 e i, d d 1 (/ ) 2 i 2 1 i 2 = d 2 1/2 1 i 2 1 i 2 1/2 (1.6) ce qui après développemets, e utilisat la propriété (1 + ) p 1+p + p(p 1) p(p 1)(p 2) (1.7) doe d d ( 1+i 2 ) 2 2 2( ) 2 (1.8) [Aparté sur les DL écessaires pour e arriver là]

14 20 Chapitre 1. Les bases de l optique géométrique Fig. 1.9: Expériece du bâto brisé, depuis plusieurs poits de vue. Pour les petits agles, le terme e i 2 est petit, et les rayos semblet proveir d u seul poit A, situé à d d Cette propriété est appelée stigmatisme approché, et o dit ecore que les poits A et A sot cojugués par le système optique (ici le dioptre). Le poit A est ecore appelé l image de A par le dioptre pla. La relatio 1.9 est appelée relatio de cojugaiso du dioptre pla. O préfère l écrire sous ue forme plus géérale SA où les barres idiquet des distaces orietées. [Aparté sur les distaces orietées]. (1.9) SA (1.10) O aurait aussi pu partir d ue forme approchée de la loi de Sell-Descartes, valable pour les petits agles, et appelée loi de Kepler. i i [loi de Kepler] Nous reviedros das la suite sur ce type d approximatios. U grad ombre de systèmes optiques sot approximativemet stigmatiques, quad o se limite à certais rayos, e particulier ceux proches d u certai axe (l axe optique). 4.7 Applicatio Alfred le poisso rouge et le bâto brisé Quad >, comme c est le cas quad o regarde u poisso à travers la vitre d u aquarium, o a d <d, et le poisso semble plus proche. C est aussi la raiso pour laquelle les rivières ou les piscies semblet mois profodes qu elles e le sot réellemet. Quad au cotraire <, c est-à-dire si o se met à la place du poisso rouge qui regarde l extérieur, o a d >d, le mode extérieur semble plus grad qu il e l est, les distaces y semblet allogées. Les aimaux qui ot besoi de voir à travers u dioptre (les poissos pêcheurs, les greouilles) tieet compte de ce phéomèe, sas coaître les lois de l optique. O peut aussi citer l expériece du bâto brisé. La partie immergée d u bâto apparaît plus proche, ce qui doe ue illusio de cassure. Attetio à l aalyse de cette expériece, le bâto est pas u rayo lumieux! 4.8 Réflexio totale Reveos sur l esemble des rayos émis depuis A, das le cas où >. O voit qu il existe u agle d icidece limite i l pour lequel l agle réfracté vaut π/2 (voir la figure 1.10). Cet agle est doé par si i l = (1.11)

15 5. Pricipe de Fermat 21 Pour les agles d icidece plus grad, la loi de Sell-Descartes si i =(/ ) si i e peut pas être vérifiée, car i>i l et doc (/ ) si i>1, ce qui e peut e aucu cas être le sius d u ombre. Qu adviet-il de ces rayos? < A < A i l i l Fig. 1.10: [gauche] Qu adviet-il des rayos ayat ue icidece plus élevée que la valeur limite i l? [droite] Ils sot seulemet réfléchis. Les rayos issus de A et situés das la zoe hachurés (u côe de sommet A et d ouverture agulaire i l ) sot e partie réfléchis, et e partie réfractés das le secod milieu, ceux situés hors de cette zoe sot seulemet réfléchis. Comme l a découvert Kepler, ces rayos e sot pas réfractés, ils seulemet réfléchis. Ce phéomèe est appelé réflexio totale. Il a lieu que lorsque la lumière est icidete sur u milieu mois réfriget (d idice plus faible). Ce phéomèe peut être utilisé pour estimer l idice des milieux. E effet, la valeur de l agle limite déped des milieux qui formet le dioptre, et sa détermiatio permet de remoter à celle de l idice d u des milieux si o coaît l autre. TD 1, exercice 5, le réfractométre. Il est aussi utilisé pour remplacer les miroirs. O remarque que les bords de l aquarium apparaisset comme des surfaces argetées quad o les regarde trop de biais. L utilisatio de la réflexio totale présete l avatage de s affrachir de l absorptio qui a lieu lors des réflexios sur les surfaces argetées. O les trouve otammet das des prismes pour raccourcir les jumelles. [Metioer la réflexio totale frustrée] 5 Pricipe de Fermat 6 Exemples d applicatio 6.1 Le prisme Rappel : les résultats des exercices traités e séaces de TD sot cosidérés cous, au même titre que le cours... Le prisme permet de bie mettre e évidece le phéomèe de dispersio. L idice optique qui iterviet das la loi de la réfractio déped de la logueur d ode, et u faisceau de lumière blache est décomposé, après passage par le prisme, e plusieurs faisceaux de couleurs différetes, qui émerget avec des agles différets. Ceci est utilisé e spectroscopie. TD 1, exercice 6, le prisme.

16 22 Chapitre 1. Les bases de l optique géométrique 6.2 La sphère réfractate Il existe deux poits pour lesquels la sphère est rigoureusemet stigmatique (les poits de Weierstrass, TD 1). Ceci est mis à profit das certais types de systèmes optiques (il est u peu tôt das le cours pour e dire davatage, ous y reviedros plus loi). L étude de la sphère réfractate permet aussi de compredre le phéomèe d arc-e-ciel. 6.3 Les mirages Mirages usuels, mirages gravitatioels. Fig. 1.11: Exemples de mirages, u mirage supérieur à gauche, u mirage iférieur à droite. Fig. 1.12: À gauche, le premier mirage gravitatioel découvert e Il s agit du quasar Q , vu aux positios A et B. À droite les mirages das l amas de galaxies