CHAPITRE 16 : CALCUL INTEGRAL

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1 Clcul inégrl Cours CHAPITRE 6 : CALCUL INTEGRAL L noion d inégrle éé définie u chpire 9. Rppelons que l on oujours. Propriéés de l inégrle.. Relion de Chsles Soi f coninue sur I, rois réels, e c quelconques de l inervlle I, c f ( d ) = f( d ) + f( d ) c Démonsrion dmise (dns le cs générl, on peu fcilemen l démonrer lorsque f es posiive sur I ) Eemple Clculer π sin d On uilise l relion de Chsles π π π π π [ ] [ ] sin d= sin d+ ( sin ) d= cos + cos = 4 π π Gérrd Hirsch Mhs54

2 Clcul inégrl Cours.. Linérié... Inégrle e ddiion des foncions Propriéé ( f ( ) + g ( )) d= f( d ) + gd ( ) Démonsrion En effe, si F e G désignen une primiive sur I de f e g respecivemen, lors [ ] [ ] [ ] ( f( ) + g( )) d= F( ) + G( ) = F( ) + G( ) F( ) + G( ) = [ ] [ ] F ( ) F ( ) + G ( ) G ( ) = f( d ) + gd ( )... Inégrle e consne muliplicive Propriéé k R, k f( ) d= k f( ) d Démonsrion Si F désigne une primiive de f, lors [ ] [ ] [ ] [ ] k R, kf( d ) = kf ( ) = k F ( ) k F ( ) = k F ( ) F ( ) = k f( d ) Remrque En ppliqun les deu propriéés précédenes, on oien ; Si f e f son des foncions coninues sur [, ], lors [ ] k R, k R, k f ( ) + k f ( ) d= k f ( ) d+ k f ( ) d Gérrd Hirsch Mhs54

3 Clcul inégrl Cours... Inerversion des ornes Propriéé f ( d ) = f( d ) Démonsrion f ( d ) = F ( ) F ( ) e f( d ) = F ( ) F ( ).. Ordre e inégrion Propriéé si,, f ( ) lors f ( ) d i). [ ] si,, f ( ) lors f ( ) d ii). [ ] si,, f ( ) g( ) lors f ( d ) g( d ) iii). [ ] Démonsrion i) f ( d ) représene une ire, qui pr définiion es un réel posiif ii) f ( d ) es égle à l opposé de l ire iii) [ ] si,, f ( ) g( ) lors f ( ) g( ) e d près ii) [ ] lors f ( d ) g( d ) f( ) g( ) d, soi en ppliqun l linérié de l inégrle. Gérrd Hirsch Mhs54

4 Clcul inégrl Cours.4. Vleur moyenne d'une foncion e inéglié de l moyenne..4.. Vleur moyenne d une foncion Définiion f une foncion coninue sur un inervlle I, on ppelle vleur moyenne de f sur [, ] le nomre réel égl à f ( ) d Eemple π Clculer l vleur moyenne de l foncion f : cos sur, π / Nous vons d [ ] π/ cos = sin = L vleur moyenne de l foncion f : cos sur π, es égle à = π π.4.. Inéglié de l moyenne Théorème Soi f es une foncion coninue sur un inervlle I e e deu réels I i) Si I, il eise deu réels m e M vec m f ( ) M lors m ( ) f ( d ) M ( ) ii) Si I, il eise un réel M > vec f ( ) M f ( d ) M ( ) Gérrd Hirsch Mhs54 4

5 Clcul inégrl Cours Démonsrion Si I, il eise deu réels m e M vec m f( ) M, en inégrn enre e, puisqu il y conservion de l ordre, on oien : md f( ) d M d Puisque md= ( ) m e M d= M( ) On ien m ( ) f( ) d M( ) Eemple Comprer les deu inégrles 4 I = d e J = + d On R, < l foncion ϕ : X X es sricemen croissne sur [,+ [ e donc, en priculier [ ] 4,, < + e 4 I = d < J = + d.5. Inégrles de foncions pires, impires, périodiques Propriéé i) Si f es une foncion pire e si f es coninue sur [, ] lors f ( d ) = f( d ) ii) Si f es une foncion impire e si f es coninue sur [, ] lors f( ) d= iii) Si f es coninue sur R e de période T lors quel que soi le nomre réel α α+ T α f ( d ) = f( d ) T Gérrd Hirsch Mhs54 5

6 Clcul inégrl Cours Eemple Clculer π π L foncion Donc sin sin d f : sin sin π sin sin d= π es coninue sur [, ] π π e impire De même π /4 π/4 n d = ( coninuié e imprié) π π L foncion f : n es coninue sur, 4 4 e impire Eemple Clculer L foncion d es coninue sur [, ] f : e pire 4 d = d= = 4 Eemple Clculer l inégrle I = π sin + cossin d sin L foncion f : es coninue sur + cossin R, donc I eise Puisque R, f( + π ) = f ( ), l foncion f es de période T = π En ppliqun l propriéé iii) vec α= π on π π sin sin d = + cos sin + cos sin π d Gérrd Hirsch Mhs54 6

7 Clcul inégrl Cours L foncion f es ussi impire e son inégrle sur [ ππ, ] es nulle donc π sin I = d= + cossin. Lien enre inégrle e primiive Théorème f une foncion coninue sur un inervlle I e I L foncion F définie sur I pr : F( ) = f( ) d es l unique primiive sur I de l foncion f qui s nnule sur I. Applicion ) Monrer que, pour ou, + + ) En déduire que pour, ln( + ) + On éudie le signe des différences ( ) ( ) + = = Donc >, + De même qui es un nomre posiif lorsque ( + )( + ) + = = Donc >, + + qui es un nomre posiif lorsque Uilisons le héorème : l foncion F définie sur I = [, ] pr : primiive sur [, ] de l foncion f qui s nnule en. F( ) = f( ) d es l unique Gérrd Hirsch Mhs54 7

8 Clcul inégrl Cours Si, les inégliés précédenes son vlles sur [, ], e donc soi d d d + ( ) ( + ), ln( + ) + Applicion d F es l foncion définie sur R pr F( ) = + Déerminer le sens de vriion de F sur R L foncion f : + es coninue sur R, donc F eise e F es l unique primiive de f qui s nnule pour =. d F es dérivle sur R e R, F'( ) = = + + donc R, F'( ) > Fes sricemen croissne sur R. Clcul de volume L espce es muni d un repère orhonormé ( O; i r, r j, k r ) L unié de volume es le volume du cue yn pour rêe l unié de longueur définie pr le repère Théorème On considère un solide délimié pr les plns d équions respecives z = e z =. On désigne pr B() z l secion plne de ce solide vec le pln perpendiculire à Oz de coe z ( z ) Gérrd Hirsch Mhs54 8

9 Clcul inégrl Cours On noe Sz ( ) l ire de l secion B() z Le volume V, en uniés de volume, de ce solide es égl à : V = S( z) dz Eemple Volume d une sphère Considérons l sphère de cenre O e de ryon R. Elle es siuée enre les plns de coes -R e R Soi z un réel de [ R, R] ryon. L inersecion de l sphère e du pln de coe z es le disque B( z ) de r = R z don l ire es égle à S z r R z ( ) =π =π( ) L foncion f : z S( z) es une foncion coninue sur [ R, R] Le volume de l sphère es donc égl à : R R R z R R 4 V = S( z) dz = π( R z ) dz =π R z ( ) R R R =π = π R Gérrd Hirsch Mhs54 9