LE PRINCIPE DE FERMAT

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Julie Céline Paul
il y a 7 ans
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1 exe 4 page 1 LE PRINCIPE DE FERMT Le but de e omplémet est d itroduire ue iterprétatio plus fodametale de l optique géométrique : du priipe de Fermat déoulet toutes les lois de l optique géométrique. Il s éoe aisi : «Le trajet suii par la lumière d u poit à u poit red statioaire le hemi optique etre es deux poits». Nous allos do défiir la otio de hemi optique et elle de statioarité.. Durée du 1. Das u milieu trasparet, homogèe et isotrope l Fig. 1 : Milieu d idie Das u milieu trasparet, homogèe et isotrope, d idie de réfratio, le temps mis par la lumière pour aller d u poit à u poit est égal à la logueur l du parours diisé par la élérité de la lumière : l L idie de réfratio est défii par la relatio : d où ous tiros : que ous reportos das la durée du trajet : l. Das deux milieux trasparets, homogèes et isotropes 1 I l l 1 Fig. : Deux milieux suessifs

Das u milieu trasparet, homogèe et isotrope l Fig.

2 exe 4 page Nous osidéros u trajet d u poit à u poit I das u milieu d idie 1 suii d u trajet du poit I à u poit das u milieu d idie : l l l l 1 3. Gééralisatio C 1 C dl Fig. 3 : Milieu d idie ariable Nous osidéros u milieu d idie ariable et u trajet de la lumière ifiimet petit dl. La durée d de e trajet s érit : dl d La durée d u trajet queloque d u poit à u poit s érit do : dl d 1 Nous ostatos qu il apparaît toujours au déomiateur des relatios préédetes la élérité de la lumière das le ide.. Chemi optique 1. Défiitio du hemi optique Le hemi optique L est la quatité : L( ). Iterprétatio Il représete le hemi (la logueur) que parourrait la lumière pedat la durée si le trajet se faisait das le ide. 3. Remarque Le hemi optique est proportioel à la durée du trajet. Do le priipe de Fermat éoe aussi que la durée du trajet de la lumière d u poit à u poit est statioaire.

La durée d de e trajet s érit : dl d La durée d u trajet queloque d u poit à u poit s érit do : dl d 1 Nous ostatos qu il apparaît toujours au déomiateur des relatios préédetes la élérité de la

3 exe 4 page 3 4. Statioarité du hemi optique M M (T) Fig. 4 : Statioarité du hemi optique Nous osidéros u trajet (T) suii par la lumière d u poit à u poit et otos L le hemi optique orrespodat. Nous imagios u trajet fitif, toujours du poit au poit, oisi de mais différet et otos L le hemi optique fitif orrespodat. Chaque poit M de (T) a subi u déplaemet M. Le hemi optique L est dit statioaire si la différee L = L L est ifiimet petite par rapport au maximum de M. Cette situatio ilut u miimum ou u maximum du hemi optique ou eore ue situatio semblable à la géométrie d u ol de motage (la route passe par u maximum tadis que les flas de la motage passe par u miimum). C. Premières lois 1. Loi de la propagatio retilige Das le as gééral, le hemi optique s érit : L( ) Das u milieu trasparet, homogèe et isotrope, l idie est uiforme do ous pouos le fatoriser : L( ) L itégrale est alors égale à la logueur du trajet : miimiser le hemi optique reiet à miimiser la logueur du trajet, or ous saos que la plus petite distae d u poit à u autre est parourue e lige droite, d où la loi de propagatio retilige de la lumière.. Exemple de statioarité ue sur u alul de L L Le but de e alul est de motrer l aspet quatitatif de la statioarité. Nous osidéros u milieu trasparet, homogèe et isotrope, d idie. La lumière se propage e lige droite d u poit à u poit. Et ous imagios u trajet fitif M formé de deux segmets. M' M Fig. 5 : La situatio Maiteat ous alulos les hemis optiques L et L. Il iet immédiatemet : L =

Le hemi optique L est dit statioaire si la différee L = L L est ifiimet petite par rapport au maximum de M.

4 exe 4 page 4 L = (M + M ) et e utilisat le théorème de Pythagore : L' M MM ' M MM ' puis e mettat M e fateur sous la première raie et M sous la seode : MM ' MM ' L ' M 1 M 1 M M esuite ous extrayos M de la première raie et M de la seode : MM ' MM ' L ' M 1 M 1 M M alors ous déeloppos e utilisat : x 1/ x 1 x 1 1 (e effet MM doit être petit deat M et M pour que le trajet M soit oisi du ) 1 MM ' 1 MM ' L ' M 1 1 M M M 1 MM ' 1 MM ' L ' M M M M M M 1 MM ' 1 MM ' L ' M M M M L ' M M MM ' M M efi ous formos L L e remarquat que M + M = : M M L ' L M M MM ' L ' L MM ' M M MM est le déplaemet maximum des poits du hemi. Nous ostatos que L L est proportioel à MM. O dit que L L est du seod ordre e MM. Lorsque MM est de l ordre du mm (10-3 m), MM est de l ordre du mm (10-6 m ) est à dire que la ariatio de hemi optique est égligeable deat MM : le hemi optique réel est statioaire. Remarque : Das et exemple très simple, ous aos itroduit qu ue famille de trajets défiis par le déplaemet du poit M qui oditioe les déplaemets des autres poits. E fait le priipe de Fermat s applique à toutes les petites ariatios possibles du. Le but de e alul était que de motrer l aspet quatitatif de la statioarité.

MM ' L ' M 1 1 M M M 1 MM ' 1 MM ' L ' M M M M M M 1 MM ' 1 MM ' L ' M M M M 1 1 1 L ' M M MM ' M M efi ous formos L L e remarquat que M + M = : 1 1 1 M M 1 1 1 L ' L M M MM ' L ' L MM ' M M MM est

5 exe 4 page 5 3. Loi du retour ierse Nous osidéros u trajet queloque das u milieu queloque. Le hemi optique s érit : L( ) Calulos le hemi optique sur le trajet : L( ) L( ) trajet Do si le hemi optique est statioaire, le hemi optique l est aussi, d où la loi du retour ierse. D. U peu d histoire Pierre de Fermat (é e 1601 à eaumot-de-lomage, mort e 1665 à Castres) est u illustre mathématiie fraçais. Fi 1661 il éoe le priipe qui portera so om. Il e publie pas ses traaux, so fils le fera e partie après sa mort. Ue aedote : Lorsqu il ostate qu ue ouelle tehique mathématique permet ue démostratio plus rapide il e regrette pas ses efforts : «Il y a e effet pour la siee u ertai itérêt à e pas dérober à la postérité les traaux eore iformes de l esprit ; l œure d abord simple et grossière se fortifie et gradit par les ouelles ietios. Il est même importat pour l étude de pouoir otempler pleiemet les progrès ahés de l esprit et le déeloppemet spotaé de l art.» (Extrait de Uiersalis 9). Pierre de Maupertuis (é e 1698 à Sait-Malo, mort e 1759 à âle) éoe e 1744 le priipe de moidre atio qui gééralise à tous les mouemets le priipe de Fermat (qui s applique uiquemet à la lumière). E , il a dirigé l expéditio qui mesure u ar de méridie terrestre e Lapoie ; le but de ette expéditio est de saoir si la Terre est aplatie aux pôles ou à l équateur ue autre expéditio est eoyée au Pérou. Les images ot été obteues sur Google Images.

si le hemi optique est statioaire, le hemi optique l est aussi, d où la loi du retour ierse. D.

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1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios