Quelques inégalités classiques

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1 Quelques iégalités classiques O se propose de motrer, sous forme d exercices, quelques iégalités classiques. Les preuves de ces iégalités e écessitet que quelques coaissaces élémetaires.. Exercices classiques et mois classiques L iégalité suivate est souvet utilisée. Exercice. Motrer que pour tous réels positifs a, b o a : Das quel cas l égalité est-elle réalisée? Solutio. Il suffit de remarquer que : ab a + b. a b = a ab + b 0 l égalité état réalisée si, et seulemet si, a = b. E e déduit la suivate. Exercice. Motrer que pour tous réels strictemet positifs a, b o a : Das quel cas l égalité est-elle réalisée? a + b ab. Solutio. Cette iégalité s écrit : a b a + b et l égalité état réalisée si, et seulemet si, a = b. Exercice.3 Motrer que :. pour tous réels positifs a et b o a a + b a + b ; 3

2 4 Quelques iégalités classiques. pour tous réels a et b o a a b a b. O étudiera les cas d égalité. Solutio.3. O a : a + b = a + b a + ab + b a + b ce qui équivaut à a + b a + b puisque toutes les quatités mises e jeux sot positives. L égalité est réalisée si, et seulemet si, a + b = a + ab + b, ce qui équivaut à a = 0 ou b = 0.. E utilisat la questio précédete, o a : { a = a b + b a b + b b = b a + a a b + a doc : ce qui équivaut à : a b a b a b a b a b. Exercice.4. Motrer que pour tous réels x, y o a : x + y 4xy.. Motrer que pour tous réels strictemet positifs a, b, c, o a b + c c + a a + b 8abc. 3. E déduire que a + b + c a + b + 9. c Solutio.4. Pour tous réels x, y o a :. Doc, pour a, b, c positifs : et b + c c + a a + b 8abc. 3. E otat S = a + b + c, o a : x + y 4xy = x y 0. b + c c + a a + b 4bc4ca4ab = 8 a b c b + c c + a a + b = S a S b S c = S 3 a + b + c S + ab + bc + ac S abc = ab + bc + ac S abc 8abc soit : ab + bc + ac S 9abc

3 Exercices classiques et mois classiques 5 et divisat par abc > 0, o obtiet : a + b + a + b + c 9. c O peut aussi utiliser les iégalités etre moyees harmoique, géométrique et arithmétique paragraphe.4 : 3 a + b + c 3 abc a + b + c 3 qui doe directemet : a + b + a + b + c 9. c Exercice.5 O se propose de gééraliser les résultats l exercice précédet. O se doe u etier et des réels strictemet positifs a,, a.. Détermier le ombre de couples i, j d etiers tels que i < j.. Motrer que, pour tout etier, o a : i<j a i a j = a k. 3. Motrer que : i<j a i + a j a k. Solutio.5. L esemble de ces couples est : E = {,,, 3,,,,, 3,,,,,, } et le ombre d élémets de E est : = pour i fixé etre et il y a i possibilités pour j.. O procède par récurrece sur. Pour =, o a : a i a j = a a i<j et supposat le résultat acquis au rag, o a : i<j + a i a j = i<j a i a j = a k a a a + = i= + a i a + a k

4 6 Quelques iégalités classiques 3. Pour i < j, o a : et : ce qui doe : i<j a i + a j 4 i<j a i + a j 4a i a j. a i + a j i<j a i a j = a k a k Pour =, o a l iégalité a + a a a et pour = 3, o retrouve l exercice précédet. 4. E utilisat les iégalités etre moyees harmoique, géométrique et arithmétique paragraphe.4, o peut gééraliser la deuxième iégalité de l exercice précédet. De : a k a k o déduit que : a k a k a k. O peut aussi utiliser l iégalité de Cauchy-Schwarz paragraphe. pour écrire que : = ak a k. ak a k Exercice.6 Motrer que pour tous réels a, b, c, o a b c + c a + a b abc a + b + c. Solutio.6 O a : 0 a b c + b a c + c a b = b c + c a + a b abc a + b + c Exercice.7 Motrer que pour tous réels strictemet positifs a, b, c, o a :. Quad y-a-t il égalité? ab a + b + bc b + c + ca c + a a + b + c. Solutio.7 Pour x, y réels strictemet positifs, o a : xy x + y x + y 4 qui est équivalet à x + y 4xy = x y 0. Il e résulte que : ab a + b + bc b + c + ca c + a a + b + b + c + a + c = a + b + c

5 Exercices classiques et mois classiques 7 Exercice.8 Soit x, x,, x des réels das [0, ]. Motrer que : Solutio.8 Notos : u = x k x k. x k et v = x k. Pour =, o a u = v. Supposat le résultat acquis au rag et teat compte de x + 0, o a : u + = u x + x k x + x k x + + x + puisque tous les x k sot positifs. + x k x k = v +. Exercice.9 Motrer que si a a a > 0 et b b b > 0, alors : k b k a k b k. a Solutio.9 O procède par récurrece sur. Pour =, o a l égalité a b = a b. Supposos le résultat acquis au rag. O se doe deux suites croissates a k k + et b k k + de réels positifs. O a : + + a k b k = k b k a + +a + b k + b + a k + a + b + + a k b k + a + b k + b + a k + a + b + et l iégalité : a k b k + a k b k sera réalisée si : soit si : a + b k + b + a k + a + b + a k b k + + a + b + a + b k + b + a k a k b k + a + b +

6 8 Quelques iégalités classiques ou : ou : ou : qui est bie vérifiée. a + b k + b + a k a k b k + a + b + a + a k b k b + a + a k b + b k a + a k 0. L iégalité de Cauchy-Schwarz Pour tout etier, o ote x, x,, x les coordoées d u vecteur x de R. U tel vecteur sera oté x = x i i. L iégalité de Cauchy-Schwarz se démotre classiquemet comme suit. Exercice.0 O se doe u etier, des réels strictemet positifs ω, ω,, ω et o désige par ϕ la foctio défiie sur R R par : x, y R R, ϕ x, y = ω k x k y k O associe à cette foctio ϕ la foctio q défiie sur R par : x R, q x = ϕ x, x = ω k x k. Exprimer, pour tout réel t et tous vecteurs x, y das R la quatité q x + ty e foctio de t, ϕ x, y, q x et q y.. Rappeler à quelle coditio portat sur les réels a, b, c, le réel a état o ul, u polyôme de degré, P t = at + bt + c, est à valeurs positives ou ulles. 3. E remarquat que pour x, y fixés das R \ {0}, la foctio : P : t q x + ty est polyomiale de degré, motrer l iégalité de Cauchy-Schwarz : ω k x k y k ω k x k ω k yk Préciser das quel cas l égalité est réalisée. 4. E déduire l iégalité de Mikowski : ω k x k + y k Préciser das quel cas l égalité est réalisée. ω k x k + ω k y k

7 L iégalité de Cauchy-Schwarz 9 Solutio.0 Laissée au lecteur. O peut aussi démotrer simplemet cette iégalité, das le cas où tous les ω k valet, comme suit. Exercice.. Motrer que pour tous réels x, y, o a : xy x + y.. O se doe u etier, des réels x,, x o tous uls et des réels y,, y o tous uls. O ote A = x k et B = yk. a Motrer que pour tout etier k compris etre et, o a : x k y k B A x k + A B y k. b E déduire l iégalité de Cauchy-Schwarz : x k y k Solutio. x k yk.. Résulte de x y = x + y xy 0 pour tous réels x, y.. Comme les x k [resp. les y k ] e sot pas tous uls, o a A > 0 et B > 0. xk a Preat x, y = A, y k das l iégalité précédete, o a : B x k y k A B x k A + y k B et multipliat cette iégalité par AB > 0, o e déduit que x k y k B A x k + A B y k. b E additioat ces iégalités, o obtiet : x k y k B x k + A yk A B avec x k = A et yk = B, ce qui doe : x k y k B A A + A B B = AB = x k yk.

8 0 Quelques iégalités classiques Exercice. O se doe u etier et des réels x,, x tous o uls. Motrer que :. E déduire que : Solutio. x k k x k L iégalité de Cauchy-Schwarz ous doe : = x k x k ecore équivalet à l iégalité proposée. x k x k. Preat x k = k pour tout k compris etre et, o e déduit que : k k et avec k = + +, o e déduit que : 6 k Exercice.3 Motrer que pour tout etier, o a : k k Solutio.3 L iégalité de Cauchy-Schwarz ous doe : k k k k avec k = + et k = k k + +, ce qui doe : =

9 Iégalité de Beroulli.3 Iégalité de Beroulli Exercice.4 Motrer que pour tout réel a > et tout etier aturel, o a + a + a iégalité de Beroulli. Préciser das quel cas l égalité est réalisée. Solutio.4 Pour = 0 ou =, o a + a = + a pour tout réel a. O suppose doc que. O désige par P la foctio polyomiale défiie par : P x = x x = x x +. O a P = 0 et, e posat x = a +, il s agit de motrer que P x > 0 pour tout x D = R +, \ {}. Avec P x = x > 0 et : P + x = P x + x x = P x + x x k > P x pour tout et tout x D, le résultat se déduit par récurrece sur. Ue autre démostratio cosiste à remarquer que pour tout x ]0, [ [resp. x ], + [], o a P x = x < 0 [resp. P x > 0]. La foctio P est strictemet décroissate sur ]0, [ et strictemet croissate sur ], + [ avec P = 0, ce qui implique P x > 0 pour tout x D. O peut aussi écrire que pour tout x D o a : k=0 P x = x x = x x k k=0 k = x x j > 0. j=0 Pour et a 0, cette iégalité peut se motrer très facilemet e utilisat la formule du biôme de Newto comme suit : + a = Ca k k Ca Ca = + a. k=0 L iégalité de Beroulli peut être gééralisée comme suit. Exercice.5 Pour tout etier, o désige par D la partie de R défiie par : D = ], 0[ ]0, + [. Motrer que : a = a,..., a D, + a k > + a k. Solutio.5 E posat x k = + a k pour tout etier k compris etre et et : = ]0, [ ], + [

10 Quelques iégalités classiques il s agit de motrer que : Avec : x = x,..., x, P x = x k x k + > 0. P x = x x x + x + = x x > 0 pour tout x D si x ]0, [ alors x et x sot strictemet égatifs et si x ], + [ alors x et x sot strictemet positifs et : P + x, x + = x + x k + P x > P x pour tout x, x + D + le résultat se déduit par récurrece sur..4 L iégalité de Cauchy Pour tout etier et tout x = x,..., x R +,, o ote respectivemet : A x = x k, G x = x k = x k, H x = les moyees arithmétique, géométriques et harmoiques des réels x,..., x. Pour =, o a A x = G x = H x = x pour tout réel o ul x. O suppose doc das ce qui suit que. Remarque. O a : où y = x k. k H x = A y Le théorème qui suit va ous permettre de comparer ces trois moyees. x k Théorème. Cauchy Pour tout etier, et tout -uplet de réels strictemet positifs x,, x, o a : x k x k avec égalité si, et seulemet si, x = = x. Démostratio. E utilisat la stricte cocavité de la foctio l sur R +,, o a : l G x = l x k l x k = l A x, l égalité état réalisée si, et seulemet si tous les x i sot égaux. E utilisat la croissace stricte de la foctio exp, o déduit que G x A x, l égalité état réalisée si, et seulemet si tous les x i sot égaux. Pour = o retrouve l iégalité x x x + x coséquece de la positivité de x x.

11 L iégalité de Cauchy 3 Corollaire. Pour tout etier, et tout -uplet de réels strictemet positifs x,, x, o a : H x G x A x l ue des égalités H x = G x ou G x = A x état réalisée si, et seulemet si, tous les x i sot égaux. Démostratio. E utilisat la remarque., o a : H x = A y G y = G x A x. L égalité H x = G x équivaut à A y = G y soit à l égalité de tous les x i. Exercice.6 Déduire l iégalité de Beroulli de celle de Cauchy. Solutio.6 Pour a > et a 0, o a : ou ecore + a > + a. + a = A,,..., + a > G,,..., + a = + a L iégalité de Cauchy peut aussi se motrer sas référece à la stricte cocavité de la foctio l comme suit : tout d abord o motre l iégalité G x A x pour les etiers de la forme = p e procédat par récurrece sur p, puis o e déduit le cas gééral. Cette démostratio, due à Cauchy, est détaillée avec l exercice qui suit. Exercice.7. Motrer que, pour tout x = x, x R +,, o a G x A x, l égalité état réalisée si, et seulemet si, x = x.. Soit = p avec p et x = x,..., x doé das R +,. O défiit y = y,..., y et z = z,..., z das R +, par : y k = x k + x k = A x k, x k z k = k = p x k x k = G x k, x k, soit : x + x y =, x 3 + x 4,..., x + x z = x x, x 3 x 4,...,. x x Motrer que A x = A y et G x = G z. 3. O suppose que = p avec p et que l iégalité de Cauchy est vérifiée avec so cas d égalité pour = p. a E utilisat la questio précédete, motrer que G x A x. b Étudier le cas d égalité das l iégalité précédete. 4. Si est u etier supérieur ou égal à, o désige par p u etier aturel o ul tel que < p et o défiit le vecteur y = y k k p das R +, p par : { xk si k, y k = A x si + k p.

12 4 Quelques iégalités classiques a Exprimer G p y et A p y e foctio de G x et A x. b Déduire de ce qui précède le théorème de Cauchy das le cas gééral. Solutio.7. Pour =, o a : G x + x x x x + x x = x x = = A x x x l égalité état réalisée si, et seulemet si, = 0, ce qui équivaut à x = x.. Pour = p avec p, o a : A x = x + x + x 3 + x x + x p 3. et : soit : G x = p = p A p x k, x k = A y. p p G x = x k x k = G x k, x k, p p p G x k, x k = G x k, x k = G z a E utilisat l hypothèse de récurrece, o a : avec : G x = G z A z A z = p G p x k, x k p A p x k, x k = A y le cas = et A y = A x, ce qui doe G x A x. b Avec : G x = G z A z A y = A x, o déduit que si l égalité G x = A x est réalisée, o a alors d ue part A z = A y, soit : p A x k, x k G x k, x k = 0 avec A x k, x k G x k, x k 0 pour tout k compris etre 0 et, ce qui équivaut à A x k, x k = G x k, x k et e coséquece x k = x k le cas d égalité pour = pour tout k compris etre 0 et et d autre part G z = A z qui équivaut à l égalité de tous les z k = x k x k l hypothèse de récurrece avec z k = x k = x k. Les x k sot doc tous égaux si G x = A x. La réciproque est évidete.

13 L iégalité de Cauchy 5 4. a O a : soit : et : p G p p y = y k = x k p k=+ A x = G x A x p, G p y = G x p A x p p p A p y = p y k = x k + p k=+ A x = A x + p A x = p A x, soit A p y = A x. b E utilisat l iégalité G p y A p y et les calculs précédets, o obtiet : G x p A x p = G p y A p y = A x, qui etraîe G x A x. L égalité état réalisée si, et seulemet si, tous les y k, et doc tous les x k, sot égaux. Les exercices qui suivet ous doet quelques exemples d utilisatio des iégalités etre moyees harmoiques, géométriques et arithmétiques. Exercice.8 Soit x u réel o ul. Motrer, sas utiliser la foctio l et e utilisat l iégalité de Cauchy, que la suite u = u défiie par :, u = + x est strictemet croissate à partir d u certai rag. Solutio.8 Pour x = 0, la suite u est statioaire sur. Pour x R, il existe u etier aturel o ul x tel que x + x > 0 pour x > 0, x = et pour x < 0 predre x > x = x. E otat x = E x +, où E désige la foctio partie etière, o a + x > 0 pour tout x et : avec : G + = u + = + x + = + x + x + = G +, + x,..., + x G + < A + = A +, + x,..., + x comme x 0, o a + x et l iégalité de Cauchy est stricte, et : A + = + + x x + = + + x = + x + = u +. O a doc u + < u + + pour tout x, ce qui équivaut à u < u + pour tout x puisque la foctio t t + est strictemet croissate. La suite u x est doc strictemet croissate.

14 6 Quelques iégalités classiques Exercice.9 Motrer que : + < k= k < Solutio.9 L iégalité G x < A x pour x = + = qui doe + < H = k + k k= k. De même l iégalité G x < A x pour x = qui doe H < = + k k + < < < H , 3, 4 3,, + s écrit : k + k = + k, 3, 3 4,, s écrit : + k k + = k + = H + +