BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR INFORMATIQUE DE GESTION

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1 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR INFORMATIQUE DE GESTION Optios : - Développeur d applicatios - Admiistrateur de réseaux locaux d etreprise SESSION 2011 SUJET ÉPREUVE E2 MATHÉMATIQUES I Durée : 3 heures coefficiet : 2 Calculatrice autorisée, coformémet à la circulaire du 16 ovembre 1999 : «Toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphaumériques ou à écra graphique, à coditio que leur foctioemet soit autoome et qu il e soit pas fait usage d imprimate, sot autorisées Les échages de machies etre cadidats, la cosultatio des otices fouries par les costructeurs aisi que les échages d iformatios par l itermédiaire des foctios de trasmissio des calculatrices sot iterdits» Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Il compred : 6 pages umérotées de la page 1/6 à 6/6 le formulaire de mathématiques composé de 4 pages Page 1/6

2 Exercice 1 (3 poits) Alai et Catherie orgaiset ue soirée pour des membres de leur club iformatique Ils décidet que pour être ivité il faut : être ami d Alai et de Catherie ; ou e pas être ami d Alai, mais être ami de Catherie ; ou e pas être ami de Catherie, mais jouer au bridge Pour u membre quelcoque, o défiit les variables booléees suivates par : a = 1 s il est u ami d Alai, b = 1 s il joue au bridge, c = 1 s il est u ami de Catherie 1 Écrire la foctio booléee f ( a, b, c ), qui traduit le fait qu u membre du club soit ivité 2 Doer le tableau de Karaugh de cette foctio 3 a) Xavier est u ami d Alai, mais pas de Catherie Est-il écessairemet ivité? Justifier b) Vicet est pas u ami d Alai, mais joue au bridge Est-il écessairemet ivité? Justifier 4 Simplifier au maximum la foctio booléee f ( a, b, c ), à l aide du tableau de Karaugh 5 Écrire la règle de décisio d iviter u membre du club iformatique de la faço la plus simple possible Exercice 2 (7 poits) Partie A : probabilités élémetaires et coditioelles Afi d optimiser la fiabilité des cartes de fidélité d ue grade eseige de distributio, ue procédure de vérificatio a été mise e place Cepedat, il peut se produire deux types d erreurs de cotrôle : des cartes de fidélité sas défaut peuvet être rejetées ; des cartes de fidélité avec défaut peuvet être acceptées Sur les derières cartes fabriquées, o a observé que : 0,5 % des cartes de fidélité présetet u défaut ; 0,6 % des cartes de fidélité sas défaut sot rejetées ; 99 % des cartes de fidélité avec défaut sot rejetées BTS INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 2/6

3 1 Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivat : Avec défaut Sas défaut Total Cartes rejetées Cartes acceptées Total O prélève au hasard ue carte parmi ces cartes O cosidère les évéemets suivats : D : «la carte de fidélité présete u défaut» ; A : «la carte de fidélité est acceptée après cotrôle» O rappelle que P B (A) est la probabilité que l évéemet A soit réalisé, sachat que l évéemet B est réalisé D Doer le résultat sous forme décimale, arrodi au dix millième a) Calculer ( ) P A b) Calculer la probabilité qu ue carte qui a été rejetée ait u défaut Doer le résultat sous forme décimale, arrodi au dix-millième Quelle remarque suggère ce résultat? Partie B : loi de Poisso U magasi de l eseige orgaise u tirage au sort pour l aiversaire de so ouverture, et distribue durat plusieurs jours des cartes à gratter dot certaies permettet de gager u cadeau Le ombre de cadeaux «grads gagats» est e moyee de 5 par jour O cosidère la variable aléatoire X qui comptabilise le ombre de «grads gagats» par jour O admet que la variable aléatoire X suit ue loi de Poisso de paramètre λ = 5 Les résultats de calculs de probabilités serot arrodis au cetième 1 Calculer P ( X = 5) 2 Détermier P ( X > 10) 3 Soit N le ombre de cadeaux «grads gagats» que le magasi a e stock chaque jour a) Détermier la plus petite valeur de l etier N tel que P ( X N ) 0, 85 b) Iterpréter ce résultat Partie C : loi ormale O iterroge u cliet choisi au hasard parmi l esemble des cliets possédat la carte de fidélité Soit Y la variable aléatoire qui doe le motat de ses achats par semaie O admet que la variable aléatoire Y suit la loi ormale de moyee 40 et d écart-type 6 Tous les résultats de calculs de probabilités serot doés sous forme décimale, arrodie au cetième, e utilisat la calculatrice ou la table 1 Calculer ( 34 Y 46) P 2 Calculer la probabilité pour que le motat des achats dépasse 30 BTS INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 3/6

4 Exercice 3 (10 poits) U procédé de fabricatio idustrielle d u produit écessite l icorporatio régulière d u adjuvat, qui se dégrade au cours du temps La quatité d adjuvat das le produit varie doc e foctio du temps Au début du procédé (à t = 0 ), o icorpore 4 litres de cet adjuvat Au bout du temps t, exprimé e heures, la quatité d adjuvat, exprimée e litres, présete das le produit est doée par : t l 2 f ( t) = 4e Partie A 1 Calculer la quatité d adjuvat das le produit au bout de 1 heure, puis au bout de 2 heures 2 a) Détermier lim f ( t) t + b) Détermier ue expressio de '( ) dérivée de la foctio f f t sur l itervalle [ ;+ [ 0, f ' désigat la foctio c) Étudier les variatios de la foctio f sur l itervalle [ 0 ;+ [ et dresser so tableau de variatio 3 a) Sur la feuille aexe, à redre avec la copie, compléter le tableau de valeurs et représeter la foctio f sur l itervalle [ 0 ;4] b) Détermier graphiquemet à partir de quel istat, oté t 1, la quatité d adjuvat présete das le produit deviet iférieure à 0,5 litre O laissera apparets les tracés permettat cette lecture c) Détermier, par le calcul, à partir de quel istat, oté t 2, la quatité présete das le produit deviet iférieure à 0,125 litre Partie B O cosidère la suite ( ) u défiie pour tout etier aturel par : u = f () 1 a) Établir que, pour tout etier aturel, u 4 = 2 b) Motrer que la suite ( u ) est ue suite géométrique de raiso du premier terme 2 Pour tout etier aturel, o ote R = u0 + u1 + + u 1 q = O précisera la valeur 2 O rappelle que la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso q disticte de 1 est égale à : q u0 + u1 + + u = u0 1 q BTS INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 4/6

5 Établir que, pour tout etier aturel, 3 Détermier lim R + 1 R = Partie C : applicatio au procédé de fabricatio Toutes les heures, o icorpore à ouveau 4 litres d adjuvat das le mélage O admet que la quatité d adjuvat présete das le produit au bout de heures est modélisée par le ombre défii das la partie B Aisi, la quatité d adjuvat présete das le produit au bout d ue heure est R 1 = u0 + u1 1 Détermier à partir de quel ombre d heures de ce traitemet, la quatité R d adjuvat atteit 7,75 litres 2 O estime que si la quatité d adjuvat présete das le produit dépasse 9 litres, alors le produit a plus les propriétés requises E icorporat, comme décrit ci-dessus, 4 litres d adjuvat toutes les heures, y a-t-il u risque d atteidre cette quatité? Expliquer brièvemet R BTS INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 5/6

6 ANNEXE à redre avec la copie t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 f (t), arrodi au dixième BTS INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 6/6