Correction Bac ES Liban juin 2010

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1 Correctio Bac ES Liba jui 2010 EXERCICE 1 (4 poits) Commu à tous les cadidats 1) A et B sot deux évéemets idépedats et o sait que p(a) = 0,5 et p(b) = 0,2. La probabilité de l évéemet A B est égale à : Répose B : 0,6 E effet, p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) et comme A et B sot idépedats, p(a B) = p(a) p(b) = 0,5 0,2 = 0,1. Par suite, p(a B) = 0,5 + 0,2 0,1 = 0,6. 2) Das u magasi, u bac cotiet des cahiers soldés. O sait que 50 % des cahiers ot ue reliure spirale et que 75 % des cahiers sot à grads carreaux. Parmi les cahiers à grads carreaux, 40 % ot ue reliure spirale. Adèle choisit au hasard u cahier à reliure spirale. La probabilité qu il soit à grads carreaux est égale à : Répose C : 0,6 E effet, e otat S l évéemet «Obteir u cahier à spirale», G l évéemet «Obteir u cahier à grads carreaux» o peut traduire les doées par les probabilités suivates : p(s) = 0,5 ; p(g) = 0,75 et p G (S) = 0,4. O cherche à détermier p S (G). Or, p S (G) = p(s G) p(s) = p(g) p G(S) p(s) = 0,75 0,4 0,5 = 0,6 Das les questios ) et 4), o suppose que das ce magasi, u autre bac cotiet ue grade quatité de stylos-feutres e promotio. O sait que 25 % de ces stylos-feutres sot verts. Albert prélève au hasard et de maière idépedate stylos-feutres. Aisi, o a u schéma de Beroulli à épreuves dot le succès V : «Obteir u stylo-feutre vert» a pour probabilité p(v) = 0,25. ) La probabilité, arrodie à 10 près, qu il pree au mois u stylo-feutre vert est égale à : Répose C : 0,578 E effet, p(«obteir au mois u stylo-feutre vert») = 1 p(«obteir aucu stylo-feutre vert») = 1 (1 0,25) = 0,578 à 10 près. 4) La probabilité, arrodie à 10 près, qu il pree exactemet 2 stylos-feutres verts est égale à : Répose C : 0,141 2 E effet, p(«obteir exactemet deux stylos-feutres verts») = 0,25 0,75 = 0,141 à 10 près. ES-Liba-jui10 correctio Page 1 sur 6

2 EXERCICE 2 (5 poits) Commu à tous les cadidats 1) a) g(0) = 6. b) g (0) = 2. E effet, g (0) est le coefficiet directeur de la tagete (EF) soit, y F y E x F x E c) g(x) = 1 + ak e ax. d) g(0) = 0 + ke a 0 = k. Doc, k = 6. g (0) = 1 + ake a 0 = 1 + ak = 1 + 6a = 2 doc, a = 0,5. 2) g(x) x = 6e 0,5x. O a : lim ( 0,5x) = et lim e x = 0 doc, par composée, lim e 0,5x = 0. x Doc, lim [g(x) x] = 0 et aisi, la droite D est asymptote à la courbe e +. ) a) Hachurer S sur le graphique. Voir ci-dessous. 4 b) O a : A = (g(x) x) dx uités d aire et 1 u.a. = 2 1 cm². 4 Or, (g(x) x) dx = e 0,5x = 12 e = 12(1 e 2 ) Par suite, A = 24(1 e 2 ) 20,8 cm². dx = F(4) F(0) avec F(x) = 12e 0,5x primitive de (x) = 6e 0,5x. 4) Comme la tagete à la courbe C au poit B est parallèle à l axe des abscisses, l abscisse du poit B est solutio de l équatio g(x) = 0. g(x) = 0 1 e 0,5x = 0 e 0,5x = 1 0,5x = l( 1 ) 0,5x = l() x = 2l(). Aisi, le poit B a pour abscisse 2l(). ES-Liba-jui10 correctio Page 2 sur 6

3 EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Partie A O cosidère la foctio, défiie sur l itervalle ]0 ; 20] par (x) = (e 2 x)l x ) a) lim (e 2 x) = e 2 et lim l x = doc, par produit, lim (e 2 x)l x =. x 0 x 0 Aisi, par somme, lim (x) =. x 0 b) (e 2 ) = (e 2 e 2 )l(e 2 ) + 10 = 4e ,56. 2) O a : (x) = u(x)v(x) + k avec u(x) = e 2 x, v(x) = l x et k = 10. Aisi, (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) avec u (x) = 1 et v (x) = 1 x D où, (x) = l x + (e 2 x) 1 x soit, (x) = l x + e2 x 1. ) a) La foctio est strictemet décroissate sur ]0 ; 20] et s aule pour x = e 2. Aisi, (x) > 0 sur ]0 ; e 2 [, (x) = 0 pour x = e 2 et (x) < 0 sur ] e 2 ; 20]. b) De la questio précédete, o déduit que la foctio est croissate sur ]0 ; e 2 ] et décroissate sur [e 2 ; 20]. O a doc le tableau de variatio suivat : x 0 e 2 + sige de (x) + 0 4e (20) Avec (20) = (e 2 20)l(20) ,5. 4) a) Sur [0,6 ; 0,7], la foctio est cotiue et strictemet croissate. Par ailleurs, (0,6) 1,017 < 0 et (0,7) 2,4 > 0. Doc, d après le théorème de la bijectio, l équatio (x) = 0 admet ue uique solutio sur l itervalle [0,6 ; 0,7]. E utilisat les tables de valeurs de la calculatrice, o trouve : α = 0,629 à 10 près par excès. b) Sur l itervalle ]0 ; e 2 ], la foctio est strictemet croissate et s aule e α, doc, la foctio est égative sur ]0 ; α] et positive sur [α ; e 2 ]. De plus, sur [e 2 ; 20] la foctio a pour miimum (20) et ce miimum est positif, et doc, la foctio est positive sur [e 2 ; 20]. Fialemet, (x) est égatif pour tout x ]0 ; α[ et (x) est positif pour tout x ]α ; 20]. Partie B Ue etreprise produit et ved chaque semaie x milliers de DVD, x apparteat à ]0 ; 20]. Le bééfice réalisé est égal à (x) milliers d euros où est la foctio étudiée das la partie A. 1) O a : (x) > 0 pour x > α et α = 0,629 à 10 près par excès. Aisi, il faut fabriquer au miimum 629 DVD pour obteir u bééfice positif. 2) La foctio atteit so maximum pour x = e 2 = 7,89 à 10 près et (e 2 ) = 4e = 9,56 à 10 2 près. Doc, pour ue productio de 7 89 DVD, l etreprise atteit u bééfice maximal de ES-Liba-jui10 correctio Page sur 6

4 EXERCICE 4 (5 poits) Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité 1) a) Etre le 1 décembre 200 et le 1 décembre 2008, o a l évolutio suivate : Doc, le coefficiet multiplicateur global est : 1,047 1,106 1,041 1,058 1,075. E otat x le coefficiet multiplicateur associé au pourcetage auel moye d augmetatio, o a : x 5 = 1,047 1,106 1,041 1,058 1,075 doc, x = 5 1,047 1,106 1,041 1,058 1,075 1,065 Doc, le pourcetage auel moye d augmetatio est de 6,5 %. b) O a : 59,5 1, ,49 Doc, e 2010, avec cette croissace auelle de 6,5 %, o peut prévoir u chiffre d affaire de 67,5 milliards d euros. 2) a) O a le uage suivat : b) L équatio de la droite d ajustemet par la méthode des moidres carrés est : y = 2, x + 61,8. c) L aée 2010 a pour rag x = 10. Par lecture graphique, o a : y = 84,8. ES-Liba-jui10 correctio Page 4 sur 6

5 Aisi, o peut estimer qu e 2010, la société Aupré aura pour chiffre d affaires 84,8 milliards d euros. ) a) 59,5 1,065 > 82,1 1,0 1,065 1,0 > 82,1 59,5 1,065 1,0 82,1 l 59,5 > l 1,065 1,0 > 82,1 59,5 l 1,065 1,0 > l 82,1 59,5 b) Le chiffre d affaire du groupe Eville progresse chaque aée de 6,5 %, il est doc multiplié chaque aée par 1,065. Aisi, le chiffre d affaire du groupe Eville suit ue suite géométrique de raiso 1,065. Doc, l aée 2008+, le chiffre d affaire sera de : 59,5 1,065. De même, le chiffre d affaire du groupe Aupré progresse chaque aée de % et doc, l aée 2008+, le chiffre d affaire sera de : 82,1 1,0. O cherche doc l aée telle que : 59,5 1,065 > 82,1 1,0. l 82,1 l 82,1 59,5 59,5 Or, d après la questio cette iéquatio est vérifiée dés que > l et 1,065 l 9,6. 1,065 1,0 1,0 C est doc, à partir de 2018, que le chiffre d affaires du groupe Eville dépassera celui du groupe Aupré. ES-Liba-jui10 correctio Page 5 sur 6

6 EXERCICE 4 (5 poits) Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité 1) a) O a le graphe probabiliste suivat : b) La matrice de trasitio associée à ce graphe est : M = 0,85 0,15 0,1 0,9. 2) M = 0,65 0,47 0,21 0,769 où les coefficiets sot arrodis à 10 près. O a : P 4 = P 1 M = (0,7 0,) 0,65 0,47 0,21 0,769 = (0,5264 0,476) Aisi, la 4 ème semaie, 52,64 % des téléspectateurs ot regardé la chaîe A et 47,6 % ot regardé la chaîe B. ) O cosidère la matrice lige P = (a b), où a et b sot deux réels tels que a + b = 1. a) P = PM (a b) = (a b) 0,85 0,15 0,1 0,9 (a b) = (0,85a + 0,1b 0,15a + 0,9b) Aisi, a = 0,85a + 0,1b soit, 0,15a 0,1b = 0. Or, a + b = 1 et doc, b = 1 a. Par suite, 0,15a 0,1(1 a) = 0 0,25a = 0,1 a = 0,4 et aisi, b = 0,6. b) La matrice P = (0,4 0,6) est telle que P = PM, doc P est la matrice stable du graphe probabiliste. Aisi, à log terme, 40 % des téléspectateurs regardet la chaîe A et 60 % regardet la chaîe B. 1 4) O admet que pour tout etier aturel > 0, o a : a = 0,4 + 0, 0, a) a < 0,5 0,4 + 0, 0,75 < 0,5 0, 0,75 < 0,1 0,75 < 1 1 l0,75 = l( 1 l() ) ( 1)l(0,75) < l() 1 > l(0,75) l() > 1 l(0,75) car l(0,75) < 0. b) O cherche le plus petit etier tel que : b > a a < 0,5 car a + b = 1. l() D après la questio précédete, cette iéquatio a pour solutio > 1 l(0,75) l() Or, 1 l(0,75) 4,81 C est doc à partir de la 5 ème semaie que l audiece de la chaîe B dépassera celle de la chaîe A. ES-Liba-jui10 correctio Page 6 sur 6