Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

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1 Probabilités, MATH 44 Feuille de travaux dirigés. Solutios. 1 Exercices Exercice 1. O jette trois dés o pipés. 1. Calculer la probabilité d obteir au mois u 1.. Que vaut la probabilité d obteir au mois deux faces portat le même chiffre.. Calculer la probabilité que la somme des poits marqués sur les trois faces soit paire. 4. Motrer que les deux évèemets cosidérés aux questios et sot idépedats. Solutio. O cosidère l uivers Ω {1,..,6}. Les évèemets sot les parties de Ω. Les dés état o pipé o pred comme probabilité la loi uiforme sur Ω. 1. O cosidère A l évèemet au mois u 1 est obteu. Il est plus aisé de travailler sur l évèemet cotraire aucu 1 est obteu qui est de cardial 5. Le cardial de A est doc 6 5 et sa probabilité est 1 ( 5, 6) eviro O ote B l évèemet au mois deux faces portet le même chiffre. L évèemet cotraire est toutes les faces ot u chiffre distict et so cardial est La probabilité cherchée est doc 1 5 4, c est à dire 6 eviro O ote C l évèemet la somme des poits marqués sur les trois faces est paire. Cet évèemet a lieu das le cas où deux des trois faces ot la même parité et la troisième est paire. Ayat trois dés, écessairemet deux dés ot la même parité, par coséquet la différece se fait sur le troisième. La probabilité de l évèemet C vaut 1/. 4. Il suffit de calculer le ombre de cas où la somme des faces est paire et deux faces sot égales. Là ecore deux faces sot les mêmes la parité de la somme se joue sur la derière face. O e déduit doc que Card (B C) Card B. Par coséquet P(B C) P(B) P(B)P(C). Les évèemets sot doc idépedats. Exercice. O cosidère les deux situatios suivates : 1. Mo voisi a deux efats dot au mois ue fille. Quelle est la probabilité que l autre efat soit u garço.?. U autre voisi a deux efats. Le plus jeue est ue fille. Quelle est la probabilité que l aié soit u garço? Solutio. L esemble Ω choisi est Ω {( f,g),(g, f ),( f, f ),(g,g)} où le premier élémet du couple est l aié. O suppose que l o a équiprobabilité. 1. O cosidère l évèemet F : mo voisi a deux efats dot ue fille. Il y a trois cas favorables par coséquet sa probabilité est 4. O cosidère l évèemet G : mo voisi a deux efats dot u garço. Le cardial de F G est. O cherche la probabilité de l évèemet G sachat l évèemet F ce qui doe doc P(G F) P(G F) P(F). 1

2 . O ote J l évèemet le plus jeue efat de mo secod voisi est ue fille. La probabilité de cet évèemet est 1/. O ote A l évèemet l aié de mo secod voisi est u garço. Le cardial de A J est 1. Par coséquet la probabilité cherchée est P(A J) P(A J) 1 P(J). Exercice. O jette deux dés o pipés, l u est blac l autre est oir. Soit A l évèemet le chiffre du dé oir est pair, B l évèemet le chiffre du dé blac est impair et C l évèemet les deux chiffres ot la même parité. Motrer que A et C, A et B, B et C sot idépedats mais que les trois évèemets A, B, C e le sot pas. Solutio. O cosidère des couples (b,) où b désige le chiffre du dé blac et celui du dé oir. O ote Ω l esemble de tous ces couples. La situatio état équiprobable o cosidère la probabilité uiforme. et 1. L esemble Ω est {1,..,6} {1,..,6} de cardial 6.. L esemble A est {1,..,6} {,4,6} de cardial 18.. L esemble B est {1,,5} {1,..,6} de cardial L esemble A B est {1,, 5} {, 4, 6} de cardial L esemble C est ({1,,5} {1,,5}) {,4,6} {,4,6}) de cardial L esemble A C est {1,, 5} {1,, 5} de cardial L esemble B C est {, 4, 6} {, 4, 6} de cardial L esemble A B C est vide. Aisi ous avos P(A) P(B) P(C) 1/ P(A B) P(A C) P(B C) 1 4. Les couples d évèemets (A,B), (A,C) et (B,C) sot doc idépedats. Cepedat, les trois évèemets e sot pas tous les trois idépedats puisque le produit des trois probabilités est o ul alors que la probabilité de l itersectio est ulle. Exercice 4 (Problème des recotres). O cosidère boules umérotées de 1 à que l o met das boîtes umérotées elles aussi de 1 à. 1. Doer u modèle probabiliste associé au problème.. Quelle est la probabilité qu il y ait au mois ue coïcidece etre le uméro de la boîte et le uméro de la boule? Quelle est sa limite lorsque?. Quelle est la probabilité pour qu il y ait aucue coïcidece? Solutio. Commeços par doer u modèle probabiliste. O ote le résultat d ue expériece par u vecteur [(1,σ(1)),..,(,σ())] où pour u couple (k,σ(k)) correspod à : la boule uméro σ(k) est das la boîte uméro k. L applicatio σ est ue permutatio. L uivers cosidéré est doc Ω {[(1,σ(1)),..,(,σ())] σ permutatio} So cardial est! L esemble des évèemets cosidéré est A P (Ω). Nous sommes das ue situatio d équiprobabilité, par coséquet la probabilité à choisir est la loi uiforme. Soit A l évèemet il y a au mois ue coïcidece etre le uméro de la boule et celui de sa boîte. O ote A i l évèemet la boîte i cotiet la boule i. Par coséquet, A i1 A i et la probabilité de A découle de la formule de Poicaré : P( k1 A k) k1 ( 1) k 1 1 i 1... i k P(A i1... A ik ).

3 Soiet k {1,...,}, et i 1,...,i k tels que 1 i 1... i k. o e déduit doc P(A i1... A ik ) Card (A i 1... A ik ) Card (Ω) P( k1 A k) k1 ( 1) k 1 C k ( k)!! k1 ( k)!! ( 1) k 1 1 k! 1 1 e. L évèemet il y a aucue coïcidece est l évèemet cotraire du précédet, sa probabilité est doc 1 P(A) c est à dire k0 ( 1)k 1 k! qui ted vers 1 e. Exercice 5 (Le paradoxe du chevalier de Méré). Le chevalier de Méré est u persoage marquat de la cour de Louis XIV qui avait très bo esprit, mais étais pas très bo géomètre (cf lettre de Pascal à Fermat du 9 juillet 1654). Ce persoage était toujours à la recherche de règles cachées lui permettat d avoir u avatage sur ses adversaires. Voici deux de ses règles. 1. Il est avatageux de parier sur l apparitio d au mois u 6 e laçat u dé 4 fois de suite.. Il est avatageux de parier sur l apparitio d au mois u double six e laçat deux dés 4 fois de suite. Qu e pesez vous? Quelle faute de raisoemet a pu faire le chevalier, quel est le paradoxe? Solutio. 1. Pour la première règle o cosidère l esemble Ω {1,...,6} 4 avec la loi uiforme. O cosidère l évèemet A : avoir au mois u 6. E utilisat l évèemet cotraire ous obteos que sa probabilité est ( ) > 1 6. Le chevalier a doc raiso.. Pour la secode règle o cosidère Ω ({1,...,6} {1,...,6}) 4, avec la loi uiforme. O cosidère l évèemet A : avoir au mois u double 6 sur 4 lacés de deux dés. E utilisat l évèemet cotraire ous obteos que sa probabilité est Le chevalier a tort. 1 ( ) < 1 6. Exercice 6 (Le problème des trois portes). Vous êtes à u jeu télévisé et le présetateur vous motre trois portes A, B et C. Dérrière ue de ces portes il y a u cadeau. Derrière les autres portes il y a rie. Vous choisissez la porte A, le présetateur ouvre la porte B derrière laquelle il y a rie. Le présetateur vous propose alors de chager votre porte. Que faîtes vous? O e cherchera pas à costruire u modèle probabiliste associé à la situatio. O le suppose costruit et o raisoe avec. Solutio. O ote A, B, C les trois portes et A (resp B et C) les évèemets le cadeau est derrière la porte A (resp B, C). La probabilité de ces trois évèemets est P(A) P(B) P(C) 1/. Soit E l évèemet le présetateur ouvre la porte B. O doit doc examier les probabilités P(A E) et P(C E). Pour cela o utilise les formules P(A E) P(E A)P(A) P(A E), P(E) P(E) et de même P(C E) P(C E) P(E) P(E C)P(C). P(E) Si le cadeau est effectivemet derrière la porte A alors le présetateur a le choix etre les portes B et C, o e déduit doc que P(E A) 1/. Si la voiture est effectivemet derrière la porte C alors le présetateur e peut que choisir la porte B car il e peut ouvrir la porte A. Par coséquet P(E C) 1.

4 Efi, lévèemet E e peut se produire si le cadeau est derrière la porte B. Par coséquet P(E B) 0. Les évèemets A, B et C formet u système complet. O calcule doc P(E) par la formule P(E) P(E A)P(A) + P(E B)P(B) + P(E C)P(C) 1. Aisi, P(A E) 1/ et P(C E) / et il y a doc tout itérêt à chager de porte. Exercice 7. O cosidère u de os étudiats du cours de probabilité. Quad o téléphoe chez lui, etre 18h et 19h, o a euf chaces sur dix de tomber sur so répodeur. Lorsqu il est préset chez lui, il utilise so répodeur deux fois sur trois, précisémet lorsqu il travaille ses cours et e souhaite pas être déragé. Quad il est abset, il utilise toujours so répodeur. O e cherchera pas à costruire u modèle probabiliste associé à la situatio. O le suppose costruit et o raisoe avec. 1. Calculer la probabilité pour qu il soit là chez lui etre 18h et 19h.. O tombe sur le répodeur, calculer la probabilité pour qu il soit préset e trai de travailler. Solutio. O cosidère les évèemets A : tomber sur le répodeur et B : l étudiat est préset. O ote B l évèemet, l étudiat est abset D après l éocé ous avos les probabilités suivates : 1. Par la décompositio ous obteos Par coséquet o a doc P(B) 10.. O calcule P(A) 9 10, P(A B), P(A B) 1. A (A B) (A B) P(A) P(A B) + P(A B) P(B)P(A B) + (1 P(B))P(A B). P(B A) 9 10 P(B) + 1 P(B) P(B A) P(A) P(B)P(A B) P(A) Exercice 8. Motrer que si l o tape de maière aléatoire ue ifiité de fois sur ue machie à écrire avec probabilité 1, votre roma préféré sera tapé ue ifiité de fois. Solutio. O cosidère le modèle probabiliste (Ω, A, P) associé à l expériece où Ω est costitué de l esemble des écrits (ifiis!) possibles et A est l esemble des parties de Ω. Soit R votre roma préféré et L le ombre de caractères le costituat. O cosidère R k l évèemet cosistat e le fait que le roma soit écrit etre les caractères (k 1)L + 1 et kl. Ces évèemets sot idépedats et ot la même probabilité, d où P(R ). Par le lemme de Borel-Catelli, avec ue probabilité égale à 1, ue ifiité d évèemets R k vot se produire. Autremet dit votre roma sera tapé ue ifiité de fois! Exercice 9 (Modèles statistiques. Boules et ures). O cosidère le problème de la répartitio de r boules das ures et l o suppose les répartitios équiprobables. Cepedat o obtiet diverses situatios suivat que l o cosidère les boules et les ures discerables ou idiscerables. Tous les modèles ci-dessous sot utilisés e mécaique statistique. 1. Boules et ures sot discerables (modèles de Maxwell-Boltzma). (a) Proposer u modèle. Quel est le cardial de Ω? (b) Calculer la probabilité de l évèemet A i : la i-ème ure est vide. 9. (c) Calculer la probabilité de l évèemet B chaque boîte cotiet au plus ue boule. (d) Calculer la probabilité de l évèemet C ik : la i-ème ure cotiet exactemet k boules. (e) Calculer la probabilité de l évèemet A parmi m ures fixés à l avace, aucue est vide 4

5 (f) O cosidère des etiers (k 1,...,k ) avec k k r. Calculer la probabilité d avoir k 1 boules das l ure 1,..., k boules das l ure.. Boules idiscerables et ures discerables (modèle de Bose-Eistei) (a) Proposer u modèle. Quel est le cardial de Ω? (b) Calculer la probabilité de l évèemet A k : ue ure fixée cotiet exactemet k boules.. Boules idiscerables, ures discerables et impossibilité d avoir deux ou plus de deux boules das ue même ure (modèle de Fermi-Dirac) (a) Proposer u modèle. Quel est le cardial de Ω? (b) Calculer la probabilité de l évèemet A 1 : ue ure fixée cotiet exactemet ue boule. 5

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