MATHEMATIQUES. La Merci. Frédéric Laroche. Terminale S TABLE DES MATIERES

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1 La Mrci MATHEMATIQUES Frédéric Laroch Trmial S5 6-7 TABLE DES MATIERES ANNALES BAC 5 Natioal rmplacmt Nouvll Calédoi 6 Nouvll Calédoi rmplacmt 9 Amériqu du Sud rmplacmt 5 Polyési rmplacmt 6 6 Natioal 8 7 Podichéry 8 La Réuio 5 9 Polyési 9 Liba Ctrs étragrs 6 Asi 9 Atills Amériqu du Nord ANNALES BAC 6 9 Podichéry 9 Natioal 5 Polyési 5 Liba 57 5 La Réuio 6 6 Amériqu du Nord 6 7 Atills 69 8 Asi 7 9 Ctrs étragrs 75 CONCOURS 78 Cocours Fsic 6 79 Cocours Fsic 5 86 Cocours Gipi t ENI 6 9 Cocours EPF 5 97 RESUME DE COURS 99 Suits Aalys Epotill Logarithm 5 Equatios différtills 6 Itégratio 7 Nombrs compls 8 Baryctr 5 9 Géométri d l spac 6 Probabilités 8 5 RESTITUTION ORGANISEE DES CONNAISSANCES 5 5 Aalys 5 5 Géométri 5 Probabilités 6 5 Spécialité : arithmétiqu Spécialité : géométri 6 CALCUL INTEGRAL EXERCICES 55 6 Cours : équatios différtills 55 6 Calcul 55 6 Divrs 56 6 Itégral t suit Itégrals Equatios différtills 6 7 NOMBRES COMPLEXES EXERCICES 67 8 FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES 87 9 FONCTION LOGARITHMES EXERCICES 9 SUITES EXERCICES GEOMETRIE EXERCICES 57 PROBABILITES EXERCICES 69

2 ANNALES BAC 5 A : z B : z = 8 8i C : z = 6 6i D : z = 6 + 6i = 8 + 8i Natioal rmplacmt Ercic (7 poits) Parti A La foctio f st défii sur l itrvall [ ; + [ par f( ) = ( + ) O ot C la courb rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthoormal ( O ; i, j ) cm) Étudir la limit d la foctio f + Étudir ls variatios d la foctio f t drssr so tablau d variatios (uité graphiqu Établir qu l équatio f() = admt u uiqu solutio strictmt positiv α das l itrvall ] ; + [ Dor u valur décimal approché à près d α Tracr la courb C 5 Calculr l itégral f( ) d Parti B O ot y(t) la valur, dgrés Clsius, d la tmpératur d u réactio chimiqu à l istat t, t état primé hurs La valur iitial, à l istat t =, st y() = O admt qu la foctio qui, à tout rél t appartat à l itrvall [ ; + [ associ y(t), st solutio d t l équatio différtill (E) : y ' + y = Vérifir qu la foctio f étudié das la parti A st solutio d l équatio différtill (E) sur l itrvall [ ; + [ O s propos d démotrr qu ctt foctio f st l uiqu solutio d l équatio différtill (E), défii sur l itrvall [ ; + [, qui prd la valur à l istat a O ot g u solutio qulcoqu d l équatio différtill (E), défii sur [ ; + [ vérifiat g() = Démotrr qu la foctio g f st solutio, sur l itrvall [ ; + [, d l équatio différtill (E ) : y ' + y = b Résoudr l équatio différtili (E ) c Coclur Au bout d combi d tmps la tmpératur d ctt réactio chimiqu rdscd-ll à sa valur iitial? L résultat sra arrodi à la miut La valur θ dgrés Clsius d la tmpératur moy à ctt réactio chimiqu durat ls trois prmièrs hurs st la valur moy d la foctio f sur l itrvall [ ; ] Calculr la valur act d θ, puis dor la valur approché décimal d θ arrodi au dgré Ercic (5 poits, o spécialists) Pour chaqu qustio, u sul ds quatr réposs proposés st act L cadidat idiqura sur la copi l uméro d la qustio t la lttr corrspodat à la répos choisi Chaqu répos act rapport poit, chaqu répos fauss lèv,5 poit U absc d répos st compté poit Si l total st égatif, la ot st ramé à zéroaucu justificatio st dmadé Soit z l ombr compl d modul t d argumt π O a alors : O cosidèr, das l pla compl rapporté à u rpèr orthoormal, l poit S d affi t l poit T d affi i Soit (E) l smbl ds poits M d affi z tls qu z = i A : (E) st la médiatric du sgmt [ST] B : (E) st la droit (ST) ; C : (E) st l crcl d ctr Ω d affi i, t d rayo ; D : (E) st l crcl d ctr S t d rayo 5 O cosidèr u hago régulir ABCDEF, dot ls côtés sot d loguur L produit scalair AC CE st égal à : A : B : C : D : U foctio g st défii sur l itrvall ] ; ] par g( ) = das u rpèr du pla A : Γ admt u asymptot d équatio y = B : Γ admt pas d asymptot C : Γ admt u asymptot d équatio y = D : Γ admt u asymptot d équatio y = t ; soit Γ sa courb rpréstativ 5 Soit la foctio f défii sur R par f( ) = dt La foctio f, dérivé scod d la foctio f sur R, st défii par : t A : f ''( ) = t dt C : f ''( ) = B : f( ) = d D : f ''( ) = Ercic (5 poits, spécialists) Pour chaqu qustio, u sul ds quatr réposs proposés st act L cadidatidiqura sur la copi l uméro d la qustio t la lttr corrspodat à la répos choisi Chaqu répos act rapport poit Chaqu répos fauss lèv,5 poit U absc d répos st compté poit Si l total st égatif, la ot st ramé à zéro Aucu justificatio st dmadé O cosidèr das l smbl ds tirs rlatifs l équatio : A : touts ls solutios sot ds tirs pairs B : il y a aucu solutio C : ls solutios vérifit (6) D : ls solutios vérifit (6) ou 5(6) + (modulo 6) O s propos d résoudr l équatio (E) : + y =, où t y sot ds tirs rlatifs A : Ls solutios d (E) sot touts d la form : ( ; y) = (k 7 ; 5 k), k Z B : L équatio (E) a aucu solutio C : Ls solutios d (E) sot touts d la form : ( ; y) = (7k 7 ; 5 k), k Z D : Ls solutios d (E) sot touts d la form : ( ; y) = ( 7k ; 5k), k Z

3 O cosidèr ls du ombrs = 789 t p = O a alors : A : (7) t p (7) C : p (7) B : p st u ombr prmir D : p (7) O cosidèr, das l pla compl rapporté à u rpèr orthoormal, ls poits A t B d affis rspctivs a t b L triagl MAB st rctagl isocèl dirct d hypotéus [AB] si t sulmt si l poit M d affi z st tl qu : b ia A : z = i C: a z = i(b z) π i B : π z a = ( b a) D : b z = ( a z) 5 O cosidèr das l pla orité du poits disticts A t B ; o ot I l miliu du sgmt [AB] Soit f la similitud dirct d ctr A, d rapport t d agl π ; soit g la similitud dirct d ctr A, d rapport t d agl π ; soit h la symétri ctral d ctr I A : h g f trasform A B t c st u rotatio B : h g f st la réflio ayat pour a la médiatric du sgmt [AB] C : h g f st pas u similitud D : h g f st la traslatio d vctur AB Ercic (5 poits) L spac st mui d u rpèr orthoormal ( O ; i, j, k ) O cosidèr l pla P passat par l poit B( ; ; ) t d vctur ormal ( ; ; 5 ) d équatio cartési + y 7 = a Démotrr qu ls plas P t R sot prpdiculairs 5 t l pla R b Démotrr qu l itrsctio ds plas P t R st la droit passat par l poit C( ; ; ) t d vctur dirctur u ( ; ; ) c Soit l poit A(5 ; ; ) Calculr la distac du poit A au pla P, puis la distac du poit A au pla R d Détrmir la distac du poit A à la droit a Soit, pour tout ombr rél t, l poit M t d coordoés ( + t ; t ; t) Détrmir foctio d t la loguur AM O ot ϕ ( t) ctt loguur O défiit aisi u foctio ϕ d R das R b Étudir l ss d variatios d la foctio ϕ sur R ; précisr so miimum c Itrprétr géométriqumt la valur d c miimum Ercic 5 ( poits) Parti A O dispos d u dé form d tétraèdr régulir, possédat u fac blu, du facs rougs t u fac vrt ; o suppos l dé parfaitmt équilibré U parti cosist à ffctur du lacrs sucssifs t idépdats d c dé À chaqu lacr o ot la coulur d la fac caché O cosidèr ls évèmts suivats : E st l évèmt «à l issu d u parti, ls du facs otés sot vrts», F st l évèmt «à l issu d u parti, ls du facs otés sot d la mêm coulur» Calculr ls probabilités ds évèmts E t F aisi qu la probabilité d E sachat F O ffctu di partis idtiqus t idépdats Calculr la probabilité d obtir au mois du fois l évèmt F au cours d cs di partis (o dora u valur approché décimal à près) Parti B O souhait savoir si l dé utilisé put êtr cosidéré comm parfaitmt équilibré Pour cla o umérot d à ls quatr facs d c dé, puis o lac c dé 6 fois otat l ombr i d fois où chaqu fac st caché ; o obtit ls résultats suivats : O ot f i la fréquc rlativ à la fac i t fac i ffctif i 8 6 d obs l rél 6 i= fi O simul suit fois l péric cosistat à tirr u chiffr au hasard 6 fois parmi l smbl ( ; ; ; ) puis, pour chaqu simulatio, o calcul d = Fi, où F i st la fréquc d apparitio du ombr i L 9 èm décil d i= la séri statistiqu ds valurs d d st égal à,98 Au vu d l péric réalisé t au risqu d %, put-o cosidérr l dé comm parfaitmt équilibré? Nouvll Calédoi Ercic 6 (5 poits, spécialists) L pla st rapporté au rpèr orthoormal ( O ; u, v) Uité graphiqu : cm Parti I Placr ls poits I, J, H, A, B, C, D d affis rspctivs : z I =, z J = i, z H = +i, z A =, z C = i t z D = zb = + i, Soit E l symétriqu d B par rapport à H La prpdiculair à la droit (AE) passat par C t la parallèl à la droit (OC) passat par D s coupt F Placr E t F t vérifir qu l poit F a pour affi zf = + i Motrr qu ls triagls OAB t OCF sot isométriqus Parti II O cosidèr la trasformatio f du pla, d écritur compl : z ' = iz + i Détrmir ls imags ds poits O, A, B par f a Motrr qu f st u similitud Est-c u isométri? b Détrmir l smbl ds poits ivariats par f c La trasformatio f st-ll u symétri aial? Soit t la traslatio d vctur IJ Dor l écritur compl d t t cll d sa réciproqu t O pos s = f o t a Motrr qu l écritur compl d s st : z ' = iz + + i b Motrr qu I t J sot ivariats par s E déduir la atur d s c E déduir qu f st la composé d u traslatio t d u symétri aial à précisr Ercic 7 (5 poits, o spécialists) L pla st rapporté au rpèr orthoormal ( O ; u, v) Uité graphiqu : cm À tout poit M d affi z du pla, o associ l poit M d affi z par l applicatio f qui admt pour ( + i) z + 5z écritur compl : z ' = 6

4 O cosidèr ls poits A, B, C d affis rspctivs z A = + i, z B = t z C = i Détrmir ls affis ds poits A, B, C imags rspctivs d A, B, C par f Placr ls poits A, B, C, A, B, C O pos z = + iy (avc t y réls) Détrmir la parti réll t la parti imagiair d z foctio d t y Motrr qu l smbl ds poits M ivariats par f st la droit (D) d équatio y = Tracr (D) Qull rmarqu put-o fair? Soit M u poit qulcoqu du pla t M so imag par f Motrr qu M appartit à la droit (D) z ' z z + z z z 5 a Motrr qu, pour tout ombr compl z : = + i z 6 z' z E déduir qu l ombr st rél z b E déduir qu, si M ' A M, ls droits (OA) t (MM ) sot parallèls A 6 U poit qulcoqu N état doé, commt costruir so imag N? (o étudira du cas suivat qu N appartit ou o à (D)) Effctur la costructio sur la figur Ercic 8(5 poits) O cosidèr ls suits (u ) t (v ) défiis, pour tout tir aturl o ul, par : u = t v = u l pour u = u +, a Calculr u, u t u b Motrr qu, pour tout tir aturl o ul : u = k k= k+ a Motrr qu, pour tout tir aturl k o ul : d k + k k b E déduir qu, pour tout tir supériur ou égal à, o a ls iégalités suivats : c E déduir l ss d variatio d la suit (v ) u l u t v Motrr qu la suit (v ) covrg O ot γ la limit d la suit (v ) (o chrchra pas à calulr γ ) Qull st la limit d la suit (u )? Ercic 9 (5 poits) Ct rcic comport du partis idépdats La parti I st la démostratio d u résultat d cours La parti II st u QCM Parti I : Qustio d cours Soit A t B du évèmts idépdats Démotrr qu A t B sot idépdats Parti II Pour chacu ds qustios suivats, u t u sul ds quatr propositios st act L cadidat idiqura sur sa copi l uméro d la qustio t la lttr corrspodat à la répos choisi Aucu justificatio st dmadé U répos act rapport poit, u répos fauss lèv,5 poit, l absc d répos st compté poit Si l total d ctt parti st égatif, la ot corrspodat à la parti II st ramé à zéro U ur comport ciq bouls oirs t trois bouls rougs idiscrabls au touchr O trait simultaémt trois bouls d l ur Qull st la probabilité d obtir du bouls oirs t u boul roug? A 75 5 B 56 Au cours d u épidémi d gripp, o vacci l tirs d u populatio Parmi ls grippés, u sur di st vaccié La probabilité qu u prso choisi au hasard das la populatio soit grippé st,5 Qull st la probabilité pour u idividu vaccié d ctt populatio d cotractr la gripp? A U jouur lac u fois u dé bi équilibré B Il gag si l dé marqu Il gag si l dé marqu ou Il gag ri das ls autrs cas Soit X la variabl aléatoir égal au gai du jouur Qull st la variac d X? C C 5 6 D D 5 8 A B C 6 D 7 La duré d attt T, miuts, à u péag d autorout avat l passag caiss st u variabl aléatoir qui suit u loi potill d paramètr λ = O a doc pour tout rél t > : 6 où t désig l tmps primé miuts t λ λ P( T < t) = d avc λ = 6 Sachat qu u automobilist a déjà attdu miuts, qull st la probabilité (arrodi à près) qu so tmps total d attt soit ifériur à 5 miuts? Ercic (5 poits) A,89 B,95 C,565 D,665 U lapi désir travrsr u rout d mètrs d largur U camio, occupat tout la rout, arriv à sa rcotr à la vitss d 6 km/h L lapi décid au drir momt d travrsr, alors qu l camio st plus qu à 7 mètrs d lui So démarrag st foudroyat t o suppos qu il ffctu la travrsé lig droit au maimum d ss possibilités, c st à dir à km/h! L avat du camio st rprésté par l sgmt [CC ] sur l schéma ci-dssous L lapi part du poit A dirctio dd Ctt dirctio st rpéré par l agl θ = BAD π avc θ ( radias) Détrmir ls distacs AD t CD foctio d θ t ls tmps t t t mis par l lapi t l camio pour parcourir rspctivmt ls distacs AD t CD 7 O pos f( θ ) = + taθ cosθ Motrr qu l lapi aura travrsé la rout avat l passag du camio si t sulmt si f(θ ) > Coclur Rappl : 7 8

5 π La foctio ta st dérivabl sur, t a pour dérivé la foctio cos Nouvll Calédoi rmplacmt Ercic ( poits) L rcic comport qustios Pour chaqu qustio, o propos affirmatios Pour chacu d lls, l cadidat doit idiqur si ll st vrai ou fauss cochat la cas corrspodat Aucu justificatio st dmadé Ls réposs à ct rcic sot à iscrir sur la fuill joit a Tout répos ambiguë sra cosidéré comm u absc d répos Chaqu répos act rapport,5 poit U boificatio d,5 poit st ajouté chaqu fois qu u qustio st traité corrctmt tir (c st-à-dir lorsqu ls réposs au affirmatios sot acts) réposs iacts das u mêm qustio traît l rtrait d,5 poit L absttio st pas pris compt, c st-à-dir rapport i rtir aucu poit Si l total ds poits d l rcic st égatif, la ot st ramé à zéro Das l rcic, l pla compl st rapporté au rpèr orthoormal ( O ; u, v) Q Q Q Q Pour tout tir aturl o ul, i pour tout rél θ, ( θ ) st égal à : La parti imagiair du ombr z st égal à : Soit z u ombr compl tl qu z = + iy ( t y réls) Si z st u imagiair pur, alors z st égal à : A, B t C sot ds poits d affis rspctivs a, b t c tlls qu b a = i, alors : c a Ercic (5 poits) cos 9 i θ ( θ ) isi ( θ ) Fau Vrai + Fau Vrai cos( θ ) + isi( θ ) Fau Vrai ( ) z + z z z i z z y Fau Vrai Fau Vrai Fau Vrai Fau Vrai y Fau Vrai z Fau Vrai BC = AC Fau Vrai π AB, AC = + kπ, k Z CA CB = CA Fau Vrai Fau Vrai U compagi d trasport désir optimisr ls cotrôls afi d limitr l impact ds frauds t ls prts occasioés par ctt pratiqu Ctt compagi ffctu u étud basé sur du trajts par jour pdat ls vigt jours ouvrabls d u mois soit au total quarat trajts O admt qu ls cotrôls sot idépdats ls us ds autrs t qu la probabilité pour tout voyagur d êtr cotrôlé st égal à p L pri d chaqu trajt st d di uros, cas d fraud l amd st d ct uros Claud fraud systématiqumt lors ds quarat trajts soumis à ctt étud Soit X i la variabl aléatoir qui prd la valur si Claud st cotrôlé au i-èm trajt t la valur sio Soit X la variabl aléatoir défii par X = X + X + X + +X Détrmir la loi d probabilité d X Das ctt parti o suppos qu p = a Calculr l spérac mathématiqu d X b Calculr ls probabilités P(X = ), P(X = ) t P(X = ) c Calculr à près la probabilité pour qu Claud soit cotrôlé au plus du fois Soit Z i la variabl aléatoir qui prd pour valur l gai algébriqu réalisé par l fraudur Justifir l égalité Z = X puis calculr l spérac mathématiqu d Z pour p = 5 O désir maitat détrmir p afi qu la probabilité qu Claud subiss au mois trois cotrôls soit supériur à 99% a Démotrr qu P( X ) ( p ) 8 ( 7p 8p ) = + + b Soit f la foctio défii sur [ ; ] par : f( ) ( ) 8 ( 7 8 ) = + + Motrr qu f st strictmt décroissat sur [ ; ] t qu il ist u uiqu rél appartat à + l itrvall [ ; ] tl qu f ( ) =, Détrmir l tir aturl tl qu < < c E déduir la valurmiimal qu il faut attribur à p afi qu la probabilité qu Claud subiss au mois trois cotrôls soit supériur ou égal à 99% (O primra p foctio d ) Ercic (6 poits) L pla st rapporté à u rpèr orthoormal ( O ; i, j ) Soit f la foctio défii sur ] ; + [ par : f( ) =, +,l( + ) Fair apparaîtr sur l écra d la calculatric graphiqu la courb rpréstativ d ctt foctio das la fêtr, 5 y 5 Rproduir sur la copi l allur d la courb obtu grâc à la calculatric D après ctt rpréstatio graphiqu, qu pourrait-o cojcturr : a Sur ls variatios d la foctio f? b Sur l ombr d solutios d l équatio f () =? O s propos maitat d étudir la foctio f a Étudir l ss d variatio d la foctio f b Étudir ls limits d la foctio f t +, puis drssr l tablau d variatios d f c Déduir d ctt étud, précisat l raisomt, l ombr d solutios d l équatio f () = d Ls résultats au qustios a t c cofirmt-ils ls cojcturs émiss à la qustio? O vut rpréstr, sur l écra d u calculatric, la courb rpréstativ d la foctio f sur l itrvall [, ;,], d faço à visualisr ls résultats d la qustio a Qulls valurs trêms d l ordoé y proposz-vous pourmttr évidc ls résultats d la qustio c das la fêtr d votr calculatric? b À l aid d la calculatric dtrmir u valur approché par défaut à près d la plus grad solutio α d l équatio f () = 5 Soit F la foctio défii sur ] ; + [ par F( ) =,, +, ( + )l( + ) a Démotrr qu F st u primitiv d f sur ] ; + [ b Itrprétr graphiqumt l itégral α f( ) d

6 α c Calculr f ( ) d t primr l résultat sous la form bα + cα (b t c réls) Ercic (5 poits) Pour ls cadidats ayat pas suivi l sigmt d spécialité PARTIE A État doés du poits disticts A t B d u droit, o défiit ls poits : A miliu du sgmt [A B ] t B baryctr d {(A, ) ; (B, )} Puis, pour tout tir aturl, A + miliu du sgmt [A B ] t B + baryctr d {(A, ) ; (B, )} Placr ls poits A, B, A t B pour A B = cm Qull cojctur put-o fair sur ls poits A t B quad dvit très grad? O muit la droit (A B ) du rpèr ( A ; i ) avc i = A B Soit u t v ls abscisss rspctivs ds poits A t B Justifir qu pour tout tir aturl strictmt positif, o a PARTIE B u + v u + v u + = t v + = u + v u + v O cosidèr ls suits (u ) t (v ) défiis par u = ; v = ; u + = t v + = Démotrr qu la suit (u ) défii par w = v u st u suit géométriqu covrgt t qu tous ss trms sot positifs Motrr qu la suit (u ) st croissat puis qu la suit (v ) st décroissat Déduir ds du qustios précédts qu ls suits (u ) t (v ) sot covrgts t ot la mêm limit O cosidèr la suit (t ) défii par t = u + v Motrr qu ll st costat PARTIE C À partir ds résultats obtus das ls partis A t B, précisr la positio limit ds poits A t B quad td vrs + Amériqu du Sud rmplacmt Ercic 5 ( poits) Ls partis A t B sot idépdats Alai fabriqu, amatur, ds apparils élctroiqus Il achèt pour cla, das u magasi, ds composats apparc tous idtiqus mais dot crtais préstt u défaut O stim qu la probabilité qu u composat vdu das l magasi soit défctuu st égal à, Parti A O admt qu l ombr d composats préstés das l magasi st suffisammt importat pour qu l achat d 5 composats soit assimilé à 5 tirags idépdats avc rmis, t o appll X l ombr d composats défctuu achtés Alai achèt 5 composats Qull st la probabilité qu actmt du ds composats achtés soit défctuu? Dor u valur approché d ctt probabilité à près Qull st la probabilité qu au mois u ds composats achtés soit défctuu? Dor u valur approché d ctt probabilité à près Qul st, par lot d 5 composats achtés, l ombr moy d composats défctuu? Parti B O suppos qu la duré d vi T ( hurs) d chaqu composat défctuu suit u loi potill d paramètr λ = 5 t qu la duré d vi T ( hurs) d chaqu composat o défctuu suit u loi potill d paramètr λ = (o pourra s rportr au formulair ci-dssous) Calculr la probabilité qu la duré d vi d u composat soit supériur à hurs : a si c composat st défctuu ; b si c composat st pas défctuu Dor u valur approché d cs probabilités près Soit T la duré d vi ( hurs) d u composat achté au hasard Démotrr qu la probabilité qu c composat soit cor état d march après t hurs d foctiomt st : 5 t t P( T t) =, +,98 (o rappll qu la probabilité qu u composat vdu das l magasi soit défctuu st égal à,) Sachat qu l composat achté st cor état d foctior hurs après so istallatio, qull st la probabilité qu c composat soit défctuu? Dor u valur approché d ctt probabilité à près Formulair : Loi potill (ou d duré d vi sas viillissmt) d paramètr λ sur [ ; + [ : Pour a b, P([ a ; b]) = λ λ d ; pour b a c, ( ) c λ λ P [ c ; + [ = d Ercic 6 (5 poits, o spécialists) L pla compl st rapporté à u rpèr orthoormal dirct ( O ; u, v) Uité graphiqu cm Soit f l applicatio qui à tout poit M du pla d affi z o ull associ l poit M d affi z tll qu z ' =, où z désig l ombr compl cojugué d z z Détrmir l smbl ds poits ivariats par f Détrmir l smbl ds poits dot l imag par l applicatio f st l poit J d affi Soit α u ombr compl o ul Démotrr qu l poit A d affi α admt u atécédt uiqu par f, dot o précisra l affi OM, OM ' Itrprétr géométriqumt c résultat a Dor u msur d l agl ( ) b Eprimr z ' foctio d z Si r désig u rél strictmt positif, déduir l imag par f du crcl d ctr O t d rayo r c Choisir u poit P du pla compl o situé sur ls as d coordoés t tl qu OP =, t costruir géométriqumt so imag P par f 5 O cosidèr l crcl C, d ctr J t d rayo Motrr qu l imag par f d tout poit d C, distict d O, appartit à la droit D d équatio = Ercic 7 (5 poits, spécialists) L pla compl P st rapporté à u rpèr orthoormal dirct ( O ; u, v) O prdra pour uité graphiqu cm O cosidèr ls poits A, B, C t D d affis rspctivs a, b, c t d tlls qu : a = i, b = + i, i π c = t d = + i O cosidèr la similitud dirct s qui trasform A B t C D Soit M u poit d affi z t M, d affi z, so imag par s Eprimr z foctio d z Détrmir ls élémts caractéristiqus d s

7 U Soit (U) la suit umériqu défii par : U = pour tout N = U + + Motrr qu, pour tout tir aturl, U + tu sot prmirs tr u Itrprétr géométriqumt, utilisat la similitud s, ls trms dla suit (U ) Motrr qu pour tout tir aturl, U = 5 Motrr qu, pour tous tirs aturls t p o uls tls qu p, U = U ( U + ) + U p p p La otatio pgcd(a ; b) st utilisé, das la suit, pour désigr l plus grad divisur commu à du tirs aturls a t b Motrr pour p l égalité pgcd( U, Up ) = pgcd( Up, U p ) 6 Soit t p du tirs aturls o uls, motrr qu : pgcd( U, U ) = Upgcd(, ) Détrmir l ombr : pgcd(u 5, U 5 ) Ercic 8 ( poits) p p Das ct rcic, u répos par «VRAI» ou «FAUX», sas justificatio, st dmadé au cadidat rgard d u list d affirmatios Tout répos coform à la réalité mathématiqu do, poit Tout répos rroé lèv, poit L absc d répos st pas comptabilisé L total saurait êtr égatif O do l cub ABCDEFGH, d arêt d loguur, t ls miliu I t J ds arêts [AB] t [CG] Ls élémts utils d la figur sot doés ci-cotr L cadidat st applé à jugr chacu ds di affirmatios suivats O utilisra pour répodr la fuill a, qui sra rdu avc la copi E A I Affirmatio AC AI = AC AI = AI AB AB IJ = AB IC F π AB IJ = AB AC cos A ; AB, AD, AE O utilis à prést l rpèr orthoormal ( ) Affirmatio 5 U rpréstatio paramétriqu d la droit (IJ) st : B D H G J C Vrai ou Fau Vrai ou Fau Ercic 9 (7 poits) Parti A = t + y = t, l paramètr t décrivat R z = t U rpréstatio paramétriqu d la droit (IJ) st : = t + y = t +, l paramètr t décrivat R z = t+ 6 7y + 8z = st u équatio cartési d la droit (IJ) L itrsctio ds plas (FIJ) t (ABC) st la droit passat par I t par l miliu d l arêt [DC] L vctur d coordoés ( ; ; ) st u vctur ormal au pla (FIJ) L volum du tétraèdr EFIJ st égal à 6 O cosidèr ls foctios f t g défiis sur R par f( ) = t g( ) = O ot rspctivmt C f t C g ls courbs rpréstativs d f t g das u rpèr orthogoal ( O ; i, j ), dot ls tracés s trouvt sur la fuill a La figur sra complété t rdu avc la copi Idtifir C f t C g sur la figur fouri (justifir la répos apporté) Étudir la parité ds foctios f t g Étudir l ss d variatiod f t d g Étudir ls limits évtulls d f t d g + Étudir la positio rlativ d C f t C g Parti B O cosidèr la foctio G défii sur R par G( ) = t dt Qu rprést G pour la foctio g? t Dor, pour >, u itrprétatio d G() trms d airs Étudir l ss d variatios d G sur R O défiit la foctio F sur R par : pour tout rél, F( ) = dt t Démotrr, qu, pour tout rél, G( ) = F( ) ; (o pourra commcr par comparr ls foctios dérivés d G t d F( ) O admt qu la foctio F admt u limit fii l +, t qu ctt limit l st égal à l air, uités d air, du domai A limité par la courb C f t ls dmi-droits [ O ; i ) t [ O ; j ) 5 a Démotrr qu la foctio G admt u limit + qu l o précisra t b Itrprétr trms d airs l rél = ( ) N t dt

8 c E admttat qu la limit d G + rprést l air P uités d air du domai D limité par la dmi-droit [ O ; i ) t la courb C g justifir graphiqumt qu : ( ) t l N = t dt (o pourra illustrr l raisomt sur la figur fouri) Ercic Ercic Documt à rdr avc la copi - A Affirmatio ,,8,6,, Vrai ou fau -,5 -,5 -,5 -,5,5,5,5,5 y 5 Polyési rmplacmt Ercic (5 poits) O étudi l mouvmt aléatoir d u puc Ctt puc s déplac sur trois cass otés A, B t C À l istat, la puc st A Pour tout tir aturl : si à l istat la puc st A, alors à l istat ( +), ll st : soit B avc u probabilité égal à ; soit C avc u probabilité égal à ; si à l istat la puc st B, alors à l istat ( +), ll st : soit C, soit A d faço équiprobabl ; si à l istat la puc st C, alors ll y rst O ot A (rspctivmt B, C ) l évèmt «à l istat la puc st A» (rspctivmt B, C) O ot a (rspctivmt b, c ) la probabilité d l évèmt A, (rspctivmt B, C ) O a doc : a =, b = c = Pour traitr l rcic, o pourra s aidr d arbrs podérés Calculr a k, b k t c k pour k tir aturl tl qu k a+ = b a Motrr qu, pour tout tir aturl, a + b + c = t b+ = a b Motrr qu, pour tout tir aturl, a+ = a 6 a c E déduir qu, pour tout tir aturl p, b = t a = 6 p p+ p = t b = 6 p p+ Motrr qu lim a = O admt qu lim b = Qull st la limit d c lorsqu td vrs +? Ercic (7 poits) L pla st rapporté à u rpèr orthoormal dirct ( O ; u, v) (uité graphiqu : cm) Parti A Das l rpèr ( O ; u, v ), o cosidèr la courb H d équatio y = 6 Motrr qu H st la réuio d du courbs C t C où C st la courb rpréstativ d la foctio f défii sur R par précisra f( ) = + 6 t où C st l imag d C par u trasformatio simpl qu l o Étudir la foctio f (limits au bors d l smbl d défiitio t ss d variatio) a Motrr qu la droit d équatio y = st u asymptot d C b Tracr H das l rpèr ( O ; u, v) O omm A t B ls poits d la courb H d abscisss rspctivs t O cosidèr l domai D du pla costitué ds poits M( ; y) vérifiat t + 6 y 5 Hachurr l domai D t primr l air d D à l aid d u itégral qu l o chrchra pas à calculr Parti B p O appll r la rotatio d ctr O t d agl π 5 6

9 a Dor l écritur compl d r b O désig par t y ls coordoés du poit M, imag par r du poit M( ; y) du pla ' = ( + y ) Vérifir qu Détrmir ls coordoés ds poits A t B, imags rspctivs d A t B y' = ( y ) par la rotatio r Placr ls poits A t B das l rpèr ( O ; u, v) Soit H l hyprbol d équatio y = 8 a Tracr H das l rpèr ( O ; u, v) b Motrr qu H st l imag d H par la rotatio r Soit D l imag d D par la rotatio r O admt qu D st l smbl ds poits M( ; y) du pla vérifiat t 8 y 5 a Hachurr D b Calculr l air d D primé cm E déduir u valur approché à près d l air d D Ercic ( poits) Pour chacu ds qustios, u sul ds trois propositios st act L cadidat idiqura sur la copi l uméro d la qustio t la lttr corrspodat à la répos choisi Aucu justificatio st dmadé U répos act rapport poit ; u répos iact lèv,5 poit ; l absc d répos st compté poit Si l total st égatif, la ot st ramé à zéro Das tout l rcic, l pla compl st rapporté à u rpèr orthoormal dirct ( O ; u, v) L poit M st situé sur l crcl d ctr A( ; 5) t d rayo So affi z vérifi : a z + 5i = ; b z + 5i = ; c z + 5i = O cosidèr trois poits A, B t C d affis rspctivs a, b t c, du à du disticts t tls qu l triagl ABC st pas équilatéral L poit M st u poit dot l affi z st tll qu ls ombrs compls z b t z c sot imagiairs purs c a b a a M st l ctr du crcl circoscrit au triagl ABC ; b M appartit au crcls d diamètrs rspctifs [AC] t [AD] ; c M st l orthoctr du triagl ABC Soit A t B ls poits d affis rspctivs + i t 5 + i, t C u poit du crcl d diamètr [AB] O appll G l isobaryctr ds poits A, B t C t o ot z G so affi a zg 7 5, 5i = ; b zg ( + i) = ( + i) ; c zg ( +, 5 i) = ( + i) 6 Ercic (5 poits) L a s rapport à ct rcic Ell sra complété t rmis avc la copi à la fi d l épruv L pla st rapporté à u rpèr orthogoal ( O ; i, j ) Soit la foctio f défii sur [ ; + [ par f( ) = cos( ) t Γ sa courb rpréstativ tracé das l rpèr ( O ; i, j ) d l a O cosidèr égalmt la foctio g défii sur [ ; + [ par g( ) = t o omm C sa courb rpréstativ das l rpèr ( O ; i, j ) a Motrr qu, pour tout rél appartat à l itrvall [ ; + [, f( ) b E déduir la limit d f + Détrmir ls coordoés ds poits commus au courbs Γ t C O défiit la suit ( u ) sur N par u = f π a Motrr qu la suit ( u ) st u suit géométriqu E précisr la raiso b E déduir l ss d variatio d la suit ( u ) t étudir sa covrgc a Motrr qu, pour tout rél appartat à l itrvall [ ; + [, f '( ) = [ cos( ) + si( ) ] b E déduir qu ls courbs Γ t C otmêm tagt chacu d lurs poits commus 5 Dor u valur approché à près par cès du cofficit dirctur d la droit T tagt à la courb Γ au poit d absciss π Complétr l graphiqu doé a, y traçat T t C A : rcic,5 -,5 - y,5,5,5,5 6 Natioal Ercic ( poits) Ct rcic costitu u rstitutio orgaisé d coaissacs PARTIE A : QUESTION DE COURS O suppos cous ls résultats suivats : () du suits (u ) t (v ) sot adjacts lorsqu : l'u st croissat, l'autr st décroissat t u v td vrs quad td vrs + ; () si (u ) t (v ) sot du suits adjacts tlls qu (u ) st croissat t (v ) st décroissat, alors pour tout appartat à N, o a u v ; () tout suit croissat t majoré st covrgt ; tout suit décroissat t mioré st covrgt Démotrr alors la propositio suivat : «Du suits adjacts sot covrgts t lls ot la mêm limit» 8

10 PARTIE B O cosidèr u suit (u ), défii sur N dot aucu trm 'st ul O défiit alors la suit (v ) sur N par v = u Pour chaqu propositio, idiqur si ll st vrai ou fauss t proposr u démostratio pour la répos idiqué Das l cas d'u propositio fauss, la démostratio cosistra à fourir u cotr mpl U répos o démotré rapport aucu poit Si (u ) st covrgt, alors (v ) st covrgt Si (u ) st mioré par, alors (v ) st mioré par Si (u ) st décroissat, alors (v ) st croissat Si (u ) st divrgt, alors (v ) covrg vrs zéro K M N P Ercic 5 (5 poits, spécialists) L but d l rcic st d étudir qulqus propriétés d la figur doé a Ctt a sra à rdr avc la copi O muit l pla d u rpèr orthoormal dirct ( O ; u, v) L quadrilatèr MNPQ st u quadrilatèr o croisé t d ss dirct Ls triagls MRN, NSP, PTQ t QUM sot ds triagls rctagls isocèls, tériurs au quadrilatèr MNPQ t d ss dirct (ls sommts ds agls droits état rspctivmt ls poits R, S, T t U) Parti A O désig par m,, p t q, ls affis rspctivs ds poits M, N, P t Q Soit f la similitud dirct d ctr M qui trasform N R a Détrmir l rapport t l agl d la similitud f + i i b O désig par r l affi du poit R Démotrr qu r = m + où i désig l ombr compl d modul t d argumt π (o pourra évtullmt utilisr l écritur compl d la similitud f ) + i i O admttra qu l o a égalmt ls résultats s = + p, où s, t t u désigt ls affis rspctivs ds poits S, T t U + i i + i i t = p + q t u = q + m, Démotrr qu ls quadruplts (M, N, P, Q) t (R, S, T, U) ot l mêm isobaryctr a Démotrr l égalité u s = i(t r) b Qu put-o déduir pour ls loguurs ds sgmts [RT] t [SU], d u part, t pour ls droits (RT) t (SU), d autr part? Parti B Ctt parti sra traité sas utilisatio ds ombrs compls Démotrr, utilisat ls résultats établis das la parti A, qu il ist u uiqu rotatio g qui trasform R S t T U Décrir commt costruir géométriqumt l poit Ω, ctr d la rotatio g Réalisr ctt costructio sur la figur d l a Ercic 6 (5 poits, o spécialists) L O Das l pla orité, o cosidèr ls poits O t A fiés t disticts, l crcl C d diamètr [OA], u poit M variabl appartat au crcl C t distict ds poits O t A, aisi qu ls carrés d ss dirct MAPN t MKLO La figur st rprésté ci-dssus L but d l'rcic st d mttr évidc qulqus élémts ivariats d la figur t d motrr qu l poit N appartit à u crcl à détrmir O muit l pla compl d'u rpèr orthoormal dirct d sort qu ls affis ds poits O t A soit rspctivmt t O désig par i l ombr compl d modul t d'argumt π O ot k, l, m, t p ls affis rspctivs ds poits K, L, M, N t P Démotrr qu, qul qu soit l poit M choisi sur l crcl C, o a Établir ls rlatios suivats : l = im t p = im + l + i O admttra qu l'o a égalmt = ( i) m + i t k = ( + i) m A m = a Démotrr qu l miliu Ω du sgmt [PL] st u poit idépdat d la positio du poit M sur l crcl C b Démotrr qu l poit Ω appartit au crcl C t précisr sa positio sur c crcl a Calculr la distac KN t démotrr qu ctt distac st costat b Qull st la atur du triagl Ω NK? 5 Démotrr qu l poit N appartit à u crcl fi, idépdat du poit M, dot o détrmira l ctr t l rayo Ercic 7 (5 poits) Pour ls qustios t, o dora ls résultats sous form d fractio t sous form décimal approché par défaut à près U fat jou avc bills : rougs t 7 vrts Il mt rougs t vrts das u boît cubiqu t rougs t vrts das u boît cylidriqu 9

11 Das u prmir ju, il choisit simultaémt trois bills au hasard das la boît cubiqu t il rgard combi d bills rougs il a choisis O appll X la variabl aléatoir corrspodat au ombr d bills rougs choisis a Détrmir la loi d probabilité d X b Calculr l'spérac mathématiqu d X U duièm ju st orgaisé d tll sort qu l'fat choisiss d'abord au hasard u ds du boîts, puis qu'il pr alors u bill, toujours au hasard, das la boît choisi O cosidèr ls évémts suivats : C : "L'fat choisit la boît cubiqu", C : "L'fat choisit la boît cylidriqu", R : "L'fat prd u bill roug", V : "L 'fat prd u bill vrt" a Rpréstr par u arbr podéré la situatio corrspodat à c duièm ju b Calculr la probabilité d l'évémt R c Sachat qu l'fat a choisi u bill roug, qull st la probabilité qu'll provi d la boît cubiqu? L'fat rproduit fois d suit so duièm ju, rmttat à chaqu fois la bill tiré à sa plac a Eprimr, foctio d, la probabilité p qu l'fat ait pris au mois u bill roug au cours d ss choi b Calculr la plus ptit valur d pour laqull p,99 u( t) u( t) u'( t) = (E ) : u() = pour tout ombr rél t positif ou ul, où u' désig la foctio dérivé d la foctio u a O suppos qu, pour tout rél positif t, o a u(t) > O cosidèr, sur l'itrvall [ ; + [, la foctio h défii par h = Démotrr qu la foctio u satisfait au coditios (E ) si t sulmt si la foctio u h'( t) = h( t) + h satisfait au coditios (E ) : pour tout ombr rél t positif ou ul, h() = où h' désig la foctio dérivé d la foctio h b Dor ls solutios d l'équatio différtill y' = y + t déduir l'prssio d la foctio h, puis cll d la foctio u c Das c modèl, commt s comport la taill d la populatio étudié lorsqu t td vrs +? ANNEXE À rdr avc la copi, figur d l rcic d spécialité T Ercic 8 (6 poits) PARTIE A P Soit f la foctio défii sur R par f( ) = a Démotrr qu f( ) = + + U Q M S b Étudir ls limits d la foctio f + t N c Étudir ls variatios d la foctio f PARTIE B O a étudié laboratoir l'évolutio d'u populatio d ptits rogurs La taill d la populatio, au tmps t, st oté g(t) O défiit aisi u foctio g d l'itrvall [ ; + [ das R La variabl réll t désig l tmps, primé aés L'uité choisi pour g(t) st la ctai d'idividus L modèl utilisé pour décrir ctt évolutio cosist à prdr pour g u solutio, sur l'itrvall y [ ; + [, d l'équatio différtill (E ) y ' = a Résoudr l'équatio différtill (E ) b Détrmir l'prssio d g(t) lorsqu, à la dat t =, la populatio comprd rogurs, c'st-à-dir g() = c Après combi d'aés la populatio dépassra-t-ll rogurs pour la prmièr fois? E réalité, das u sctur obsrvé d'u régio doé, u prédatur mpêch u tll croissac tuat u crtai quatité d rogurs O ot u(t) l ombr ds rogurs vivats au tmps t (primé aés) das ctt régio, t o admt qu la foctio u, aisi défii, satisfait au coditios : 7 Podichéry Ercic 9 ( poits) O cosidèr la foctio f, défii sur [ ; + [ par f( t) = t a Justifir la cotiuité d f sur [ ; + [ b Motrr qu f st croissat sur [ ; + [ Rstitutio orgaisé d coaissacs O pourra raisor s appuyat sur l graphiqu fouri R Pour tout rél d [ ; + [, o ot A( ) l air du domai délimité par la courb rpréstat f das u rpèr orthogoal, l a ds abscisss t ls droits d équatios = t = t

12 a Qu vaut A()? b Soit u rél qulcoqu d [ ; + [ t h u rél strictmt positif Justifir l cadrmt suivat : A( + h) A( ) f( ) f( + h) h c Lorsqu, qul cadrmt put-o obtir pour h < t tl qu + h? d E déduir la dérivabilité d la foctio A aisi qu l ombr dérivé d la foctio A Coclur Ercic (5 poits, o spécialists) L pla compl P st rapporté à u rpèr orthoormal ( O ; u, v) O désig par I l poit d affi z I =, par A l poit d affi za = i, par B l poit d affi + i t par (C) l crcl d diamètr [AB] O fra u figur qu l o complètra avc ls différts élémts itrvat das l rcic O prdra pour uité graphiqu cm Détrmir l ctr Ω du crcl (C) t calculr so rayo Soit D l poit d affi z du crcl (C) Sur l crcl (C), o cosidèr l poit E, d affi E a Précisr l modul t u argumt d z E + b E déduir qu ze 5 y + h D + 9i = Ecrir z D sous form algébriqu puis démotrr qu D st u poit + i 5 5 = + i z, tl qu u msur radias d ( ΩI, ΩE ) st π Soit r l applicatio du pla P das lui-mêm qui à tout poit M d affi z associ l poit M d affi z π i tl qu ' z + = z + a Détrmir la atur d r t ss élémts caractéristiqus b Soit K l poit d affi z K = Détrmir par l calcul l imag d K par r Commt put-o rtrouvr géométriqumt c résultat Ercic (5 poits, spécialists) L pla compl P st rapporté à u rpèr orthoormal ( O ; u, v) O cosidèr l applicatio f qui au + i i poit M d affi z fait corrspodr l poit M d affi z tl qu z ' = z y + ' = 5 O ot t, y t y ls partis rélls t imagiairs d z t z Démotrr qu y y' = 5 a Détrmir l smbl ds poits ivariats par f b Qull st la atur d l applicatio f? Détrmir l smbl D ds poits M d affi z tls qu z soit rél O chrch à détrmir ls poits d D dot ls coordoés sot tièrs a Dor u solutio particulièr ( ; ) y appartat à Z d l équatio y = b Détrmir l smbl ds solutios appartat à Z d l équatio y = 5 O cosidèr ls poits M d affi z = + iy tls qu = t y Z L poit M ' = f( M) a pour affi z Détrmir ls tirs y tls qu R( z ') t Im( z ') soit tirs (o pourra utilisr ls cogrucs modulo 5) Ercic (5 poits) L spac E st rapporté à u rpèr orthoormé ( O ; i, j, k ) O cosidèr ls poits A, B t C d coordoés rspctivs ( ; ; ), ( ; ; ) t ( ; ; ) b Soit l vctur d coordoés ( ; ; ) a Motrr qu ls poits A, B t C sot pas aligés Vérifir qu l vctur st orthogoal au vcturs AB t AC E déduir u équatio cartési du pla (ABC) Soit P t P ls plas d équatios rspctivs + y + z + = t y + 6 z = a Motrr qu ls plas P t P sot sécats suivat u droit D dot o détrmira u systèm d équatios paramétriqus b La droit D t l pla (ABC) sot-ils parallèls? Soit t u rél positif qulcoqu O cosidèr l baryctr G ds poits A, B t C affctés ds cofficits, t t a Justifir l istc du poit G pour tout rél positif t Soit I l baryctr ds poits A t B affctés ds cofficits rspctifs t Détrmir ls coordoés du poit I Eprimr l vctur IG foctio du vctur IC b Motrr qu l smbl ds poits G lorsqu t décrit l smbl ds ombrs réls positifs ou uls st l sgmt [IC] privé du poit C Pour qull valur d t, l miliu J du sgmt [IC] coïcid-t-il avc G? Ercic (6 poits)

13 Pour tout tir aturl, o pos u = O défiit aisi u suit ( u ) N Prouvr, pour tout tir aturl o ul, l équivalc suivat : u+,95u si t sulmt si +,9 O cosidèr la foctio f défii sur [ ; + [ par f( ) = + a Etudir l ss d variatio t la limit + d la foctio f b Motrr qu il ist das l itrvall [ ; + [ u uiqu ombr rél α tl qu f( α ) =,9 c Détrmir l tir aturl tl qu α d Motrr qu, pour tout tir aturl supériur ou égal à 6, o a : +,9 a Détrmir l ss d variatio d la suit ( u ) à partir du rag 6 b Qu put-o déduir pour la suit? E utilisat u raisomt par récurrc, prouvr, pour tout tir aturl supériur ou égal à 6, l cadrmt : u,95 u E déduir la limit d la suit ( u ) N 8 La Réuio Ercic ( poits) 6 6 Ls quatr qustios d ct rcic sot idépdats t sot otés sur u poit chacu Pour chaqu qustio, il y a actmt du propositios corrcts L cadidat doit idiqur sur sa copi ls du propositios vrais Aucu justificatio st dmadé Chaqu répos act rapport,5 poit, chaqu répos fauss lèv,5 poit Dor trois propositios ou plus d u qustio, ou bi dor aucu, rapport aucu poit Si, par applicatio d c barèm, l total ds poits d l rcic st égatif, il st ramé à zéro Ls suits suivats sot covrgts : a 5 > + ( ) b + N 5 c si > d l O cosidèr trois suits (u ), (v ) t (w ) ayat, pour tout tir aturl, ls propriétés suivats : u v w, lim ( u ) = t lim ( w ) = Alors : a lim ( v ) = + + b La suit (u ) st mioré + c Pour tout d N, o a : v d O sait pas dir si la suit (v ) a u limit ou o u =, 5 U suit (u ) st défii sur N par pour tout tir aturl u+ = u a La suit (u ) covrg vrs, absciss du poit d itrsctio ds droits d équatios y = t y = b La suit (v ), défii sur N par v = u, st géométriqu c La suit (v ) st majoré d La suit (w ), défii sur N par w = l (u ), st arithmétiqu > Du suits ( ) t (y ) sot défiis pour > par ls rlatios : = t + a Ls suits ( ) t (y ) sot touts ls du croissats 9 7 b = t y = 6 c Ls suits () t (y ) sot pas majorés d Ls suits () t (y ) sot adjacts Ercic 5 (5 poits, o spécialists) O cosidèr trois urs U, U t U y 6 = L ur U cotit du bouls oirs t trois bouls rougs ; l ur U cotit u boul oir t quatr bouls rougs ; l ur U cotit trois bouls oirs t quatr bouls rougs U péric cosist à tirr au hasard u boul d U t u boul d U, à ls mttr das U, puis à tirr au hasard u boul d U Pour i prat ls valurs, t, o désig par N i, (rspctivmt R i ) l évèmt «o tir u boul oir d l ur Ui» (rspctivmt «o tir u boul roug d l urui») Rproduir t complétr l arbr d probabilités suivat a Calculr la probabilité ds évèmts N N N, t N R N b E déduir la probabilité d l évèmt N N c Calculr d faço aalogu la probabilité d l évèmt R N Déduir d la qustio précédt la probabilité d l évèmt N Ls évèmts N t N sot-ils idépdats? 5 Sachat qu la boul tiré das U st oir, qull st la probabilité qu la boul tiré d U soit roug? Ercic 6 (5 poits, spécialists) Das ct rcic, o pourra utilisr l résultat suivat : N R N R N R «État doés du tirs aturls a t b o uls, si PGCD(a ; b) = alors PGCD(a ; b ) =» N R N R N R N R

14 U suit (S ) st défii pour > par S p= o ul, l plus grad commu divisur d S t S + Démotrr qu, pour tout >, o a : S = p O s propos d calculr, pour tout tir aturl ( + ) = Étud du cas où st pair Soit k l tir aturl o ul tl qu = k a Démotrr qu PGCD( S k ; Sk+ ) = (k + ) PGCD( k ;( k + ) ) b Calculr PGCD (k ; k +) c Calculr PGCD(S k ; S k+ ) Étud du cas où st impair Soit k l tir aturl o ul tl qu = k + a Démotrr qu ls tirs k + t k + sot prmirs tr u b Calculr PGCD(S k+ ; S k+ ) Déduir ds qustios précédts qu il ist u uiqu valur d, qu l o détrmira, pour laqull S t S + sot prmirs tr u Ercic 7 ( poits) O s propos d démotrr qu il ist u sul foctio f dérivabl sur R vérifiat la coditio : f( ) f '( ) = pour tout ombr rél, (C) f() = (où f désig la foctio dérivé d la foctio f ) t d trouvr ctt foctio Osuppos qu il ist u foctio f satisfaisat la coditio (C) t o cosidèr alors la foctio g défii sur R par g () = f ( ) f () a Démotrr qu la foctio f s aul pas sur R b Calculr la foctio dérivé d la foctio g c E déduir qu la foctio g st costat t détrmir sa valur d O cosidèr l équatio différtill (E) équatio t qu ll vérifi f ()= Qustio d cours : y ' = y Motrr qu la foctio f st solutio d ctt 6 a O sait qu la foctio 6 st solutio d l équatio différtill (E) Démotrr alors qu l smbl ds solutios d l équatio (E) st l smbl ds foctios, défiis sur R, d la form K 6, où K st u ombr rél qulcoqu b Démotrr qu il ist u uiqu solutio d l équatio différtill (E) prat la valur Déduir ds qustios précédts qu il ist u sul foctio dérivabl sur R satisfaisat la coditio (C) t précisr qull st ctt foctio Parti B Das l spac mui d u rpèr orthoormal ( O ; i, j, k ) o do ls poits A( ; ; ), B( 6 ; ; ), C( ; ; ) t D( ; 5 ; ) a Vérifir qu u équatio cartési du pla (BCD) st : y +z = b Détrmir ls coordoés du poit H, projté orthogoal du poit A sur l pla (BCD) c Calculr l produit scalair BH CD d L tétraèdr ABCD st-il orthoctriqu? O défiit ls poits I( ; ; ), J(; ; ), K( ; ; ) L tétraèdr OIJK st-il orthoctriqu? Ercic 9 ( poits) L rcic comport u a à rdr avc la copi O cosidèr ls foctios f t g défiis, sur l itrvall [ ; + [, par f () = l( +) t g( ) = O désig par C f t C g ls courbs rpréstativs ds foctios f t g das u rpèr orthoormal ( O ; i, j ) Cs courbs sot tracés sur la fuill a, dot l cadidat disposra comm il l jugra util ; ctt a sra à joidr à la copi, avc ls évtuls ajouts ffctués par l cadidat, Vérifir qu ls courbs C f t C g ot u tagt commu au poit O( ; ) Précisr la positio d la courb C f par rapport à ctt tagt Démotrr qu ls courbs C f t C g sot symétriqus par rapport à la droit d équatio y = Soit a u ombr rél strictmt positif O s propos d calculr d du faços différts l ombr a I( a) = l( + ) d l( a+ ) a E utilisat ds cosidératios d airs, démotrr qu I( a) = al( a+ ) ( ) d b E déduir la valur d I (a) c Rtrouvr la valur d I (a) ffctuat u itégratio par partis Courbs d l rcic 5 Ercic 8 ( poits) O appll hautur d u tétraèdr tout droit cotat l u ds sommts d c tétraèdr t prpdiculair au pla d la fac opposé à c sommt U tétraèdr st orthoctriqu si ss quatr hauturs sot cocourats Parti A O cosidèr u tétraèdr ABCD t o ot H l projté orthogoal du poit A sur l pla (BCD) Démotrr qu, si ls hauturs du tétraèdr ABCD issus ds poits A t B sot cocourats, alors la droit (BH) st u hautur du triagl BCD 7 8

15 9 Polyési,5,5,5,5 Ercic ( poits) y,5,5,5,5 U usi d horlogri fabriqu u séri d motrs Au cours d la fabricatio puvt apparaîtr du typs d défauts, désigés par a t b % ds motrs fabriqués préstt l défaut a t % l défaut b U motr st tiré au hasard das la productio O défiit ls évèmts suivats : A : «la motr tiré prést l défaut a» ; B : «la motr tiré prést l défaut b» ; C : «la motr tiré prést aucu ds du défauts» ; D : «la motr tiré prést u t u sul ds du défauts» O suppos qu ls évèmts A t B sot idépdats Motrr qu la probabilité d l évèmt C st égal à,88 Calculr la probabilité d l évèmt D Au cours d la fabricatio, o prélèv au hasard succssivmt ciq motrs O cosidèr qu l ombr d motrs fabriqués st assz grad pour qu l o puiss supposr qu ls tirags s fot avc rmis t sot idépdats Soit X la variabl aléatoir qui, à chaqu prélèvmt d ciq motrs, associ l ombr d motrs préstat aucu ds du défauts a t b O défiit l évèmt E : «quatr motrs au mois ot aucu défaut» Calculr la probabilité d l évèmt E O dora u valur approché à près Ercic (5 poits, o spécialists) Pour chacu ds ciq qustios, u sul ds trois propositios st act 9 L cadidat idiqura sur la copi l uméro d la qustio t la lttr corrspodat à la répos choisi Aucu justificatio st dmadé U répos act rapport poit ; u répos iact lèv,5 poit ; l absc d répos st compté poit Si l total st égatif, la ot st ramé à zéro L spac st rapporté à u rpèr orthoormé ( O ; i, j, k ) O cosidèr ls poits A( ; ; ) t B( 6 ; ; ) L pla P admt pour équatio cartési +y +z = 5 L smbl ds poits M d l spac tls qu MA MB = st : a u pla d l spac ; b u sphèr ; c l smbl vid Ls coordoés du poith, projté orthogoal du poit A sur l pla P sot : a ; ; La sphèr d ctr B t d rayo : 8 7 b ; ; 7 5 c ; ; a coup l pla P suivat u crcl ; b st tagt au pla P ; c coup pas l pla P u ; ; t la droit D O cosidèr la droit D d l spac passat par A t d vctur dirctur ( ) = + t d équatios paramétriqus y = + t, t R Ls droits D t D sot : z = t a coplaairs t parallèls ; b coplaairs t sécats ; c o coplaairs 5 L smbl ds poits M d l spac équidistats ds poits A t B st : = t a la droit d équatios paramétriqus y = 7 t, t R, z = + t b l pla d équatio cartési 9 y + z + =, c l pla d équatio cartési + 7y z 7 = Ercic (5 poits, spécialists) O cosidèr la suit (u ) d tirs aturls défii par u =, u + = 5u 6 pour tout tir aturl Calculr u, u, u t u Qull cojctur put-o émttr cocrat ls du drirs chiffrs d u? Motrr qu, pour tout tir aturl, u+ u (modulo ) E déduir qu pour tout tir aturl k, u k (modulo ) t u k + (modulo ) a Motrr par récurrc qu, pour tout tir aturl, u = b E déduir qu, pour tout tir aturl, u 8(modulo ) Détrmir ls du drirs chiffrs d l écritur décimal d u suivat ls valurs d 5 Motrr qu l PGCD d du trms cosécutifs d la suit (u ) st costat Précisr sa valur Ercic (7 poits) La pag a sra à complétr t à rmttr avc la copi à la fi d l épruv Parti A O cosidèr la foctio f défii sur l itrvall ] ; + [ par f () = +l O omm Γ sa courb rpréstativ das u rpèr orthogoal ( O ; i, j ) du pla

16 a Détrmir ls limits d la foctio f au bors d so itrvall d défiitio b Motrr qu la foctio f st strictmt croissat sur l itrvall ] ; + [ a Motrr qu, pour tout tir aturl, l équatio f () = admt u uiqu solutio das ] ; + [ O ot α ctt solutio O a doc : pour tout tir aturl, α + lα = b Sur la pag a, o a tracé Γ das l rpèr ( O ; i, j ) Placr ls ombrs α, α, α, α, α t α 5 sur l a ds abscisss laissat apparts ls traits d costructio c Précisr la valur d α d Démotrr qu la suit ( α ) st strictmt croissat a Détrmir u équatio d la tagt à la courb Γ au poit A d absciss b Étudir ls variatios d la foctio h défii sur ] ; + [ par h() = l + E déduir la positio d la courb Γ par rapport à c Tracr sur l graphiqu d la pag a Démotrr qu, pour tout tir aturl o ul, + α Détrmir la limit d la suit ( α ) Parti B O cosidèr u foctio g cotiu, strictmt croissat sur ] ; + [ t tll qu lim g( ) = t lim g( ) = + + O admt qu l o put, comm o l a fait das la parti A, défiir sur N u suit ( β ) d réls tls qu g( β ) =, t qu ctt suit st strictmt croissat Démostratio d cours : Prérquis : défiitio d u suit tdat vrs + «U suit td vrs + si, pour tout rél A, tous ls trms d la suit sot, à partir d u crtai rag, supériurs à A» Démotrr l théorèm suivat : u suit croissat o majoré td vrs + Motrr qu la suit ( β ) td vrs + Ercic (5 poits) L pla compl st rapporté a u rpèr orthoormal ( O ; u, v) Uité graphiqu : cm O rappll qu, pour tous ombrs compls a t b, l smbl C ds ombrs compls l équatio z = 8 a b = ( a b)( a + ab + b ) Résoudr das O désig par A, B t C ls poits d affis rspctivs a, b t c défiis par : a =, b = + i t c = i π π O appll r la rotatio d ctr A t d agl t r la rotatio d ctr A t d agl O pos B' = r '( B) t C ' = r( C) t o ot b t c ls affis rspctivs d B t C a Placr ls poits A, B t C das l rpèr ( O ; u, v) Das la suit d l rcic, o complètra ctt figur b Motrr qu b' = + + i c Motrr qu b t c sot ds ombrs cojugués O appll M, N, P t Q ls miliu rspctifs ds sgmts [CB], [BB ], [B C ] t [C C] O ot m,, p t q lurs affis a Motrr qu l affi du poit N st égal à + ( i ) aligés b Motrr qu + = i(q + ) Qu put-o déduir pour l triagl MNQ? c Motrr qu l quadrilatèr MNPQ st u carré Liba Ercic 5 ( poits) Pag a + E déduir qu ls poits O, N t C sot Ctt pag sra complété t rmis avc la copi à la fi d l épruv y Ercic Pour chacu ds huit affirmatios (tr guillmts) ci-dssous, précisr si ll st vrai ou fauss L cadidat idiqura sur sa copi l uméro d la qustio t lamtio «vrai» ou «fau» U répos corrct rapport,5 poit, u répos icorrct lèv,5 poit, l absc d répos rapport i lèv d poits U évtul total égatif sra ramé à zéro

17 «Si a st u ombr rél qulcoqu t f u foctio défii t strictmt décroissat sur [a ; + [, alors lim f( ) =» + Soit f t g du foctios défiis sur [ ; + [, g s aulat pas : «Si lim f( ) = t si lim g( ) = + alors + + f( ) lim =» + g( ) «Si f st u foctio défii sur [ ; + [ tll qu f( ) sur [ ; + [ alors lim f( ) =» O cosidèr u rpèr ( O ; i, j ) du pla + «Si f st u foctio défii sur R * alors la droit d équatio = st asymptot à la courb rpréstativ d f das l rpèr ( O ; i, j )» 5 «La foctio f défii sur R par f( ) = ( + + ) st u solutio sur R d l équatio différtill y ' y = ( + )» 6 Soit A, B, C trois poits du pla O appll I l baryctr ds poits A t B affctés rspctivmt ds cofficits t «Si G st l baryctr ds poits A, B t C affctés rspctivmt ds cofficits, t alors G st l miliu du sgmt [CI]» 7 Soit A, B, C trois poits du pla t G l baryctr d A, B t C affctés rspctivmt ds cofficits, t «L smbl ds poits M du pla tls qu MA MB + MC = st l crcl d ctr G t d rayo» 8 Soit A t B du poits disticts du pla O désig par M u poit qulcoqu du pla «L produit scalair MA MB st ul si t sulmt si M = A ou M = B» Ercic 6 ( poits) U fabricat d écras plasma tst u prmièr fois ss apparils à la sorti d la chaî d fabricatio Si l tst st positif (c st-à-dir si l écra foctio corrctmt), l écra st achmié chz l clit Sio l écra rtour usi où il st réparé puis tsté u scod fois Si c duièm tst st positif, l écra st achmié chz l clit, sio il st détruit U étud statistiqu a prmis d motrr qu l tst st positif pour 7 % ds écras ufs sortis dirctmt ds chaîs d fabricatio, mais qu parmi ls écras réparés, sulmt 65 % d tr u passt l scod tst avc succès O ot T l évèmt : «l prmir tst st positif» O ot C l évèmt : «l écra st achmié chz l clit» O choisit u écra au hasard à la sorti d la chaî d fabricatio Détrmir ls probabilités ds évèmts T t C La fabricatio d u écra rvit à au fabricat si l écra st tsté qu u fois Cla lui coût 5 d plus si l écra doit êtr tsté u scod fois U écra st facturé a uros (a état u rél positif) au clit O itroduit la variabl aléatoir X qui, à chaqu écra fabriqué, associ l «gai» (évtullmt égatif ) réalisé par l fabricat a Détrmir la loi d probabilité d X foctio d a b Eprimr l spérac d X foctio d a c À partir d qull valur d a, l trpris put-ll spérr réalisr ds bééfics? Ercic 7 (8 poits) Parti A O cosidèr la suit (u ) défii par : pour tout tir aturl o ul, u ( ) t = t dt Motrr qu la foctio f : t ( t) t st u primitiv d g : t ( t) t sur [ ; ] E déduir la valur d u Motrr à l aid d u itégratio par partis qu, pour tout o ul, u+ = ( + ) u (R) Parti B O rgard d abord c qu afficht du calculatrics différts pour ls valurs approchés ds 5 prmirs trms d la suit (u ) utilisat pour l calcul la rlatio d récurrc (R) ci-dssus Voici ls résultats affichés par cs du calculatrics : Valur d Valur d u affiché par la prmièr calculatric Valur d u affiché par la duièm calculatric 7,88885E- 7,88886E-, E-, E-, E-, E-,87688E-,87688E- 5,98958E-,9895E- 6,69695E-,6969E- 7,558E-,58E- 8,6869E-,57E- 9,9988E-,99568E- 9,9885E- 9,9568E- 9,8E- 9,78E- 8,8896E- 8,6556E- 7,655785E- 8,5968E- 7,8999E-,5755E- 5 6,698966E-,986E+ 6 5,97886E-,868E+ 7 7,86E-,96566E+ 8 8,76799E- 6,8589E+ 9,759E-,6996E+5,566885E-,88859E+6 7, E-,877985E+7,69777E-,75699E+9,778879E-,68598E+ 8,9699E- 5,9897E+ 5,7585E-, E+ Qull cojctur put-o fair sur la covrgc d la suit (u) quad o ami ls résultats obtus avc la prmièr calculatric? Et avc ls résultats obtus avc la duièm calculatric? Parti C Das ctt parti o s propos d étudir la suit (u ) à partir d la défiitio : pour tout tir aturl o ul, u ( ) t = t dt Motrr qu pour tout tir aturl o ul, u