Travail, Puissance et Energie

Transcription

1 Chaite IV Tavail, uissane et negie I Tavail d une foe I 1 oe onstante su un délaement etiligne Soit une foe onstante agissant su un oint matéiel Sous l effet de, se délae ente les oints et a définition, le tavail de la foe su le délaement etiligne est donné a : w = = osα, α est l angle que fait ave α Cha IV: Tavail, uissane et negie 1

2 Remaque Le tavail est soit ositif, nul ou négatif selon la dietion de la foe a aot au délaement w f = 0 w f < 0 L unité de tavail, dans le système KS, est le Joule I Tavail élémentaie Dans le as où la foe vaie au ous de délaement qui eut ête quelonque, il n est lus ossible d utilise l eession éédente On déomose le tajet en une suession de délaements élémentaies dl = ' infiniment etits et don etilignes dl ( ' ( Su ', la foe eut ête onsidéé omme onstante ; alos on définit le tavail élémentaie donné a : dw = dl I 3 oe vaiable su un délaement quelonque ou obteni le tavail total su le délaement total, il suffit d additionne les tavau élémentaies w = dl Cha IV: Tavail, uissane et negie

3 I 4 Tavail de la foe de esanteu h = z z ' = ' w dl et = k, dl = i + dy j + dz k z z z dl = dz ' ' don, w dl = dz = ( z z = w = z z = h = mg h ( ' I 5 Tavail d une foe élastique ' i k j y y = k li = k l l i ( 0 l 0 l G = k i i l dw = dl = ki i 1 = k = d( k Losque asse d une osition 1 à, on a : w 1 = dl = k = k 1 1 ( II uissane d une foe La uissane d une foe est le aot du tavail de elle-i au tems mis ou l aomli Selon la duée onsidéée, ette uissane est dite moyenne ou instantanée L unité de la uissane, dans le système KS, est le Watt uissane moyenne : uissane instantanée : moy w = t dw ( t = 1 Cha IV: Tavail, uissane et negie 3

4 III negie III 1 negie inétique On définit l énegie inétique d un oint matéiel, de masse m et animé ave une vitesse v, a la gandeu, telle que, 1 = m v Soit un oint matéiel, de masse m, en délaement ente les oints et sous l ation d une foe etéieue Selon le inie fondamental de la dynamique, on a : d v d v et = m = m Le tavail élémentaie de est donné a : a dw = dl = dl v ( t = dl = v ( t d v m 1 il vient dw = dl = d mv Le tavail effetué ente les oints et sea : v v w 1 = dl = d mv = = ( ( III Théoème de l énegie inétique Dans un éféentiel galiléen, la vaiation d énegie inétique d un oint matéiel soumis à un ensemble de foes etéieues ente une osition et une aute osition est égale à la somme des tavau de es foes ente es deu oints ( C ( = w ( et III 3 oes onsevaties et non onsevaties Les foes sont dites onsevaties losque leu tavail ne déend as du hemin suivi mais que du oint de déat et du oint d aivée Cha IV: Tavail, uissane et negie 4

5 emles - foe de esanteu ; - foe du oids ; - foe de ael des essots Les foes sont dites non onsevaties ou foes vives losque leu tavail déend du hemin suivi emle oe de fottement III 4 negie otentielle a définition, le tavail des foes onsevaties ne déend as du hemin suivi mais uniquement de l état initial et de l état final Le tavail de es foes eut s eime à ati d une fontion d état aelée énegie otentielle ave : foe onsevatie ( ( = w (, = w ( Losque la vaiation est tès faible, n utilisant la notion du tavail élémentaie, on a : = dl D aute at, soit le gadient ( gad d une fontion f défini a : gad f = i + j + y z La difféentielle totale de f est donnée a df = + dy + dz y z k On définit un oint, eéé dans le éféentiel Oyz a son veteuo, tel que, los O = i + y i + z k do = i + dy i + dz k gad f do = i + j + k y z = + dy + dz y z ( i + dy j + dz k Cha IV: Tavail, uissane et negie 5

6 Il vient, gad f do = df ati de l équation (, on eut failement emaque que uisque = dl ave dl = i + dy i + dz k alos, = gad IV 5 emles de foes onsevaties oe gavitationnelle g est une foe onsevatie g ave m ( = G m = G u = u m = G g 3 u g m g d = gad m = G ( = d u m ( = G d m ( = G + ste oe élastique = k i = gad = i = k 1 = k = k + ste i G Cha IV: Tavail, uissane et negie 6

7 oe életique Q u 1 Q q Q q = = K 4πε 0 n suivant le même aisonnement que éédemment, on aua : 1 = k Q q + ste III 6 negie méanique Soit un système se délaçant, ente les oints et sous l effet de foes onsevaties et non onsevaties D aès le théoème de l énegie inétique, on a : ( ( = w ( w C : oe onsevatie ; NC : oe non onsevatie C C + los ( C ( = ( ( ( + w ( NC uisque w ( = ( ( ( C ( il vient ( ( ( + ( = w ( NC ( + C NC On intoduit une nouvelle quantité qu on va l aele negie Total du système Symbolisée a (, telle que, = + = negiecinétique + negie otentielle los, ente les deu oints et ( ( = w ( NC q Théoème de l énegie méanique totale La vaiation de l énegie méanique totale d un système, en mouvement ente deu oints et, est égale à la somme des tavau des foes etéieues non onsevaties aliquées à e système, ( ( = w ( Ceendant, losque le système est isolé ( est die, il ne subit auune foe etéieue non onsevatie l énegie totale se onseve NC Cha IV: Tavail, uissane et negie 7

8 V Stabilité d'un système V 1 Définition de la stabilité ou un système soumis uniquement à une foe onsevatie, il est intéessant de savoi s'il eiste ou as des états d'équilibe La fome loale de l'énegie otentielle emet d'éie que: = gad Dans le as où l'énegie ne déend que d'une vaiable, ela evient à die que: = i La ondition d'équilibe, ou l'imote quel système soumis à un ensemble de foes, est que la somme ou la ésultante de l'ensemble des foes est égale à zéo ( = 0 Dans le as d'un système soumis uniquement à une foe onsevatie, elle-i devait ête nulle, il vient: = 0 = 0 Une osition d'équilibe se taduit don a un etemum de la fontion énegie otentielle n d'aute teme, l'énegie otentielle devait ête maimale ou minimale ou qu le système soit en équilibe Un équilibe est dit stable si, à la suite d'une etubation qui a éloigné le système de ette osition, elle-i y etoune sontanément Dans le as ontaie, l'équilibe est dit instable V Condition de stabilité Soit le as de la figue i-dessous, as où l'énegie otentielle ne déend que d'une vaiable i < 0 =0 0 T i T < 0 =0 osition d'équilibe 0 =0 Cha IV: Tavail, uissane et negie 8

9 Suosant que la déivée de l'énegie otentielle à 0 est nulle ( = 0 ou une etubation amenant le système à < 0, la valeu algébique de la foe doit ête ositive ou amene le système ves 0 > 0 don, = 0 < 0 uisque = Dans le as ontaie > 0, la foe doit ête négative et don > 0 L'énegie otentielle déoît avant 0 et est oissante aès 0 lle ésente don un minimum ou = 0 Dans e as, la fontion est une fontion oissante qui s'annule ou = 0 La d ondition de stabilité, 'est-à-die, minimale, eut don se taduie a > 0 au voisinage de 0 et don ou = 0 Dans le as ontaie, la osition sea une osition d'équilibe instable quilibe stable ou = 0 ( 0 minimale = 0 et = 0 = 0 d > 0 quilibe instable ou = 0 ( 0 maimale = 0 et = 0 = 0 d < 0 Un système, livé à lui-même, évolue sontanément ves un état d'équilibe qui oesond à une osition ou laquelle l'énegie otentielle est minimale Cha IV: Tavail, uissane et negie 9

10 VI liations eie 01 Un solide de masse m=500 g eut glisse sans fottement su une iste iulaie de ayon =1 m (ig 01 Il at d'un oint sans vitesse initiale 1 Détemine la vitesse du solide au oint n éalité, la vitesse en est de 3,5 ms -1 Détemine le tavail des foes de fottement uis en déduie l'intensité, suosée onstante, de la ésultante des es foes de fottement O ig 01 eie 0 Dans un éféentiel galiléen, un oint matéiel, de masse m, onsidéé omme ontuel, eut oulisse sans fottement su une tige igide hoizontale fie O (ig 0 Cette masse est attahée à l etémité d un essot, de masse négligeable, fié en un oint fie, distant de O = h0 de l ae O La osition instantanée de la masse su la tige est notée O = La longueu au eos du essot est l0, et sa aideu est k On se lae dans un as où : l0 < h0 1 Donne l eession de l énegie otentielle U( de la masse m, en fontion de k, h0, l0 et On enda U( = 0 ou = 0 Reésente shématiquement la fontion U( en fontion de Détemine la osition d équilibe de e de la masse m Cet équilibe est-il stable ou instable? ig 0 Cha IV: Tavail, uissane et negie 10