EPREUVE DE MATHEMATIQUES

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1 EXAMEN PROBATOIRE D ADMISSION DES ETRANGERS DANS LES ECOLES DE FORMATION D OFFICIERS EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE DE L EPREUVE : 4 Heures Matériel autorisé : Calculatrice Circulaire 9986 du 6 ovembre 999 : Le matériel autorisé compred toutes les calculatrices de poche y compris les calculatrices programmables, alphaumériques ou à écra graphique à coditio que leur foctioemet soit autoome et qu il e soit pas fait usage d imprimate Le cadidat utilise qu ue seule machie sur la table Toutefois, si celle-ci viet à coaître ue défaillace, il peut la remplacer par ue autre Les échages de machies etre cadidats, la cosultatio des otices fouries par les costructeurs aisi que les échages d iformatios par l itermédiaire des foctios de trasmissio des calculatrices sot iterdits Chaque cadidat doit traiter ciq exercices La qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies Tourez la page SVP

2 EXERCICE I (35 poits) U mélage de graies de fleurs cotiet : 50 graies de type A, 90 graies de type B, 60 graies de type C L'expériece motre que toutes les graies 'ot pas le même pouvoir de germiatio Ue graie germe correctemet si elle doe aissace à ue plate qui fleurit Ue étude statistique, portat sur la germiatio d u échatillo des graies de ce mélage coduit aux hypothèses suivates : La probabilité qu'ue graie germe correctemet est égale à : 0,5 pour ue graie du type A, 0,8 pour ue graie de type B, 0,6 pour ue graie de type C O sème ue graie prise au hasard das le mélage O otera : A l'évéemet : «la graie choisie est de type A», B l'évéemet : «la graie choisie est de type B», C l'évéemet : «la graie choisie est de type C» et G l'évéemet : «la graie choisie germe correctemet» Calculer la probabilité de l'évéemet A ; 2 Calculer la probabilité de l'évéemet : «la graie choisie est de type A et germe correctemet» ; 3 Motrer que la probabilité de l'évéemet G est égale à 0,665 4 Calculer la probabilité de l'évéemet : «la graie choisie est du type C et e germe pas correctemet» ; 5 Calculer la probabilité suivate : celle que la graie soit du type C sachat qu'elle 'a pas germé correctemet 6 O cosidère das cette questio l esemble des graies O choisit au hasard 8 graies das cet esemble ; o admet que ces choix sot idépedats, calculer la probabilité d avoir au mois deux graies qui germerot correctemet parmi ces 8 graies choisies O doera 3 le résultat à 0 près 2

3 EXERCICE II (45 poits) r r Le pla est mui d u repère orthoormal direct (O ; u, v), uité graphique : 2cm O appelle A le poit d affixe 2i A tout poit M du pla d affixe z, o associe le poit M d affixe z = 2 z + 2ioù z désige le ombre cojugué de z O cosidère le poit B d affixe b = 3 2i Détermier la forme algébrique des affixes a et b des poits A et B associés respectivemet aux poits A et B Placer ces poits e utilisat le repère précédet 2 Motrer que si M appartiet à la droite d équatio y = 2 alors M appartiet aussi à 3 a Motrer que pour tout ombre complexe z, o a : z + 2i = z + 2i b Démotrer que pour tout poit M d affixe z, o a : z + 2i = 2 z + 2i Iterpréter graphiquemet ce résultat 4 Pour tout poit M distict de A, o appelle θ u argumet de z + 2i a Iterpréter géométriquemet ce ombre réel θ b Démotrer que (z + 2i) (z + 2i) est u réel égatif ou ul c E déduire u argumet de z + 2i e foctio de θ d Que peut-o e déduire pour les demi-droites [AM) et [AM )? EXERCICE III (3 poits) r r j k r L espace E est rapporté à u repère orthoormé ( O ; i,, ) C de coordoées respectives ( ; 0 ; 2 ), ( ) ;; 4 et ( ;;) a Motrer que les poits A, B et C e sot pas aligés b Soit r le vecteur de coordoées ( 3 ; 4 ; 2) O cosidère les poits A, B et Vérifier que le vecteur r uuur uuur est orthogoal aux vecteurs AB et AC E déduire ue équatio cartésiee du pla (ABC) 2 Soit t u réel positif quelcoque O cosidère le barycetre G des poits A, B et C affectés des coefficiets, 2 et t a Justifier l existece du poit G pour tout réel positif t Soit I le barycetre des poits A et B affectés des coefficiets respectifs et 2 Détermier les coordoées du poit I Exprimer le vecteur IG uur e foctio du vecteur IC uur b Motrer que l esemble des poits G lorsque t décrit l esemble des ombres réels IC privé du poit C positifs ou uls est le segmet [ ] Pour quelle valeur de t, le milieu J du segmet [ IC ] coïcide-t-il avec G? 3

4 EXERCICE IV (3 poits) Soit E l'esemble des foctios solutios de l'équatio différetielle : y' = y Soit E 2 l'esemble des foctios solutios de l'équatio différetielle : y" = y Doer l'élémet h de E telle que h ( 0) = Vérifier que les foctios défiies sur R par : xa e x et x a e x sot élémets de E 2 2 Soit f ue foctio deux fois dérivables sur R, o pose u = f + f ' Démotrer que si f appartiet à E 2, alors u appartiet à E Démotrer que si u appartiet à E, alors f appartiet à E 2 3 Soit f u élémet de E 2 O pose, pour tout x réel, g( x) = f ( x) e x Démotrer que si f vérifie f ( 0) = et ( ) 2 f ' 0 = 0, alors g '( x ) = e x 4

5 EXERCICE V (6 poits) Partie A O cosidère la suite ( u ) défiie par : pour tout etier aturel o ul, Motrer que la foctio f : t a (2 t)e t est ue primitive de g : t ( t) e t E déduire la valeur de u ( ) e t u d = t t 0 0 ; a sur [ ] 2 Motrer à l aide d ue itégratio par parties que, pour tout o ul, u = ( + + ) u Cette relatio sera otée (R) Partie B Das cette partie o se propose d étudier la suite ( u ) à partir de la relatio de défiitio : pour tout etier aturel o ul, ( ) e t u d = t t 0 Motrer que, pour tout etier aturel o ul, u 0 2 a Motrer que pour tout réel t de l itervalle [ 0 ;] et pour tout etier aturel o ul, ( ) t t e e ( t) b E déduire que, pour tout o ul, u e + 3 Détermier la limite de la suite ( u ) Partie C Das cette partie, o se propose d exploiter la relatio de récurrece (R) vérifiée par la suite u : ( ) u = ( + + ) u État doé u réel a, o cosidère la suite ( v ) défiie par : v = a et pour tout etier aturel o ul, v = ( + + ) v O s itéresse à l ifluece du terme iitial a de cette suite sur so comportemet à l ifii E utilisat u raisoemet par récurrece, motrer que, pour tout etier aturel o ul, v = u + (!)( a + 2 e) où! désige le produit des premiers etiers aturels o uls 2 Étudier le comportemet de la suite ( v ) à l ifii suivat les valeurs de a (O rappelle que lim! = + ) + 5

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