SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

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1 SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets de chaque lige de A est égale à, o a AU U Puique U, est valeur propre de A et U est vecteur propre associé 3) P A est de degré 4, de coefficiet domiat ) 4 et admet pour racie double et et pour racies Doc P A XX )X + ) 4) Soit k 4 La divisio euclidiee de X k par P A s écrit X k Q k XX )X + ) + a k X 3 + b k X + c k X + d k où Q k est u polyôme et a k, b k, c k et d k sot des réels O évalue les deux membres de cette égalité e, et puis o dérive les deux membres de cette égalité et o évalue de ouveau e O obtiet d k a k + b k + c k a k + b k c k ) k 3a k b k + c k k ) k d k b k + )k ) a k + c k )k ) 3a k + ) k ) + c k k ) k d k b k + )k ) d k b k + )k ) a k + c k )k ) 3a k + c k k ) ) k a k 4 k 3) )k ) c k 4 + k 5) )k ) Le reste de la divisio euclidiee de X k par P A est 4 k 3) )k )X ) k )X + + k 5) ) k X) 5) D après le théorème de Cayley-Hamilto, o a P A A) et doc pour k 4 A k Q k A) P A A) + 4 k 3) )k )A ) k )A + + k 5) ) k A) 4 k 3) )k )A ) k )A + + k 5) ) k A) k 4, A k 4 k 3) )k )A ) k )A + + k 5) ) k A) http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

2 Exercice II ) a) Pour tout etier aturel, o a α x β et quad ted vers + o obtiet α x β Puisque f est cotiue sur [α, β] et doc e x, o e déduit que ) fx) f lim x lim fx ) lim b) Pour N, o pose a Mi{x, x + } et b Max{x, x + } Puisque x x +, o a a < b Soit N f est cotiue sur [a, b ], dérivable sur ]a, b [ et fa ) fb ) D après le théorème de Rolle, il existe y ]a, b [ tel que f y ) y est u zéro de f strictemet compris etre x et x + c) Puisque lim x lim x +, le théorème des gedarmes permet d affirmer que lim y x Puisque f est cotiue sur [α, β] et doc e x, o e déduit comme e a) que f x) d) x est le réel de [α, β] défii e a) Les foctios a et b sot cotiues sur [α, β] et d après le théorème de Cauchy, il existe ue et ue seule solutio g sur [α, β] vérifiat de plus gx) g x) à savoir la foctio ulle Doc f est la foctio ulle ) Si la suite x ) N diverge, la suite x ) N reste éamois borée D après le théorème de Bolzao-Weierstrass, o peut e extraire ue sous-suite covergete x ϕ) ) N x ) N La suite x ) est ue suite covergete de zéros deux à deux disticts de f ce qui ous ramèe à la situatio du a) f est ecore ue fois la foctio ulle 3) O pred a : t et b : t L équatio E) s écrit y t) + yt) Cette équatio admet pour solutio sur R la foctio t sit) qui a ue ifiité de zéros deux à deux disticts mais est pas la foctio ulle Partie A : Règle de Raabe-Duhamel Exercice III ) Supposos λ < u + u λ + E particulier, u + > pour grad La suite u ) est doc strictemet u croissate à partir d u certai rag et e particulier, il existe tel que, u u > La suite u ) e peut doc pas tedre vers et la série de terme gééral u est grossièremet divergete ) Soit β R et doc v + v + ) β β + ) β β ) +, u + u v + v + β λ ) 3) a) Puisque λ < β, o a β λ < Mais alors u + v + u v O a motré qu il existe N tel que N, u + v + u v b) Soit N + + β λ < et pour grad, u + u v + v u u N kn u k+ u k u N kn v k+ v k u N v N v Le réel K u N v N est u réel strictemet positif tel que N, u Kv c) K >, β >, N /, N, u K β Puisque β >, la série de terme gééral K coverge et il e est β de même de la série de terme gééral u http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

3 4) Si λ <, e choisissat u réel β tel que λ < β <, o motre comme e 3)a) l existece d u etier N tel que N, u + v + puis comme e 3)b) l existece d u réel strictemet positif K tel que N, u Kv K u v β Comme β <, la série de terme gééral v diverge et il e est de même de la série de terme gééral u 5) x + + x ) ) + puis l l + ) l + l + l ) ) + l l + l l + )) + )) + l l + ) et doc y + + ) l y l + ) )) + )) + ) Les deux suites x ) et y ) appartieet au cas λ La série de terme gééral x diverge Vérifios que la série de terme gééral y coverge La foctio x x l x est croissate et strictemet positive sur ], + [ e tat que produit de foctios strictemet positives et croissates sur ], + [ et doc la foctio x x l est décroisate sur ], + [ Par suite, pour 3 x k k l k k x l x dx x l x dx l l l k3 k3 ) Aisi, la suite l est positive et la suite des sommes partielles de la série de terme gééral l est majorée O e déduit que la série de terme gééral l coverge Fialemet, quad λ, il est possible que la série de terme gééral u coverge ou diverge Partie B ) Pour et k,, < k π et doc si k ) > Par suite, pour, w > Puis w + w ) si )) ) Ici, λ 6 < et doc la série de terme gééral w diverge d après la règle de Raabe-Duhamel ) a) Soit N La foctio t t 4 + ) + existe b) Soiet N et A > A t 4 + ) est cotiue sur [, + [ et est égligeable e + devat t car t 4 avec 4 4 > O e déduit que la foctio t t 4 + ) est itégrable sur [, + [ et doc I [ ] A t 4 + ) dt t t 4 + ) A A 4 + ) 4 A A t Quad A ted vers +, o obtiet I 4I I + ) 4t3 t 4 dt + ) + t 4 + t 4 + ) + dt A A 4 + ) 4 N, I 4I I + ) A ) A t 4 + ) dt t 4 dt + ) + http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

4 c) Pour tout N, I est l itégrale d ue foctio cotiue positive et o ulle sur [, + [ et doc I > De plus, I + I 4 ) + 4 Ici, λ 4 < et doc la série de terme gééral I diverge d après la règle de Raabe-Duhamel 3) a) O sait que le rayo de covergece de la série etière proposée est et que x ], [, Sx) + x) α b) Puisque α / Z, la suite a ) N e s aule pas De plus, pour N, a + a a + a + α + α + α ) + ) α ) + + )) et e particulier α + + Puisque α, α + et doc, d après la règle de Raabe-Duhamel, la série de terme gééral a coverge si et seulemet si α + > ou ecore α > c) Pour x ], [ et N, posos f x) a x Puisque la série de terme gééral a coverge, les séries de termes gééraux respectifs a et a ) coverge La série de foctios de terme gééral a f coverge doc simplemet vers S sur [, ] Chaque foctio f est cotiue sur [, ] Pour tout N et tout x [, ], f x) a x a Par suite, pour tout N, f sup{ f x), x [, ]} a Aisi, la série umérique de terme gééral f coverge ou ecore la série de foctios de terme gééral f coverge ormalemet sur [, ] vers S O e déduit que la série de foctios de terme gééral f coverge uiformémet sur [, ] vers S Fialemet, la foctio S est cotiue sur [, ] e tat que limite uiforme sur [, ] d ue suite de foctios cotiues sur [, ] E particulier, ) et a S) lim Sx) lim + x) α α, x x< x x< ) a S ) lim x x> Sx) lim x x> + x) α d) Si α <, α + < et d après A)a), la suite a ) e ted pas vers Das ce cas, la série de terme gééral a diverge grossièremet ) e) i) Pour N ak+, l a ) l a ) + l a k+ ) l a k )) l Mais a k l ) a+ a k l + α + k )) α + ) + ) a+ Comme α + >, l est strictemet égatif pour grad De plus, l a ) a+ terme gééral l diverge vers ou ecore, au vu de la remarque iitiale a lim l a ) + ) a+ a α + + et la série de ii) O e déduit ecore que lim a lim + + el a ) D autre part, puisque a + a α + < et doc + a + < a pour grad La suite a ) est doc décroissate à partir d u certai rag D autre part, pour N, a αα )α ))! α) α) ) α) )! http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

5 avec α) α) ) α) > car α < E résumé, la suite a ) est alterée e sige, décroissate à partir d u certai rag et de limite ulle O e déduit que la série de terme gééral a coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées iii) Motros que la série de foctios de terme gééral f otatios de la questio c)) coverge uiformémet vers S sur [, ] Pour N et x [, ], o pose R x) k+ a x k+ f x) R ) existe d après b)) Pour tout x [, ] et N, a x a x a ce qui motre que x [, ], lim a x + D autre part, la suite a x ) a x ) est décroissate à partir d u certai rag e tat que produit de deux suites positives décroissates à partir d u certai rag Efi, Pour tout x [, ] et N, a x ) a x Aisi, pour chaque x [, ], la série de terme gééral a x est ue série alterée Soit N O sait que pour tout x [, ], la valeur absolue de R x) est majorée par la valeur absolue de so premier terme Doc, pour tout x [, ], R x) a + x + a +, et o e déduit que R sup{ R x), x [, ]} a + Puisque a + ted vers quad ted vers +, il e est de même de R O a motré que la série de foctios de terme gééral f coverge uiformémet vers S sur [, ] Mais alors, comme e c), la foctio S est cotiue sur [, ] et ) Soit λ,,λ p ) R p p λ i x i a S) lim Sx) lim + x) α α i,j p x x< x x< Exercice IV λ i λ j x i x j i,j p Supposos x,,x p ) libre Soit λ,, λ p ) R p p p p λ i y i λ i y i λ i x i et la famille y,, y p ) est libre E échageat les rôles, o obtiet p λ i λ j y i y j λ i y i p λ i x i i, p, λ i, x,, x p ) libre y,, y p ) libre ) Puisque x,,x ) est libre de cardial p dime, x,, x ) est ue base de E Soit f l edomorphisme de E tel que i,, fx i ) y i Motros que f est u automorphisme orthogoal Soit x λ i x i, λ,, λ ) R, u vecteur quelcoque fx) λ i fx i ) λ i y i i,j λ i λ j y i y j i,j λ i λ j x i x j λ i x i x Aisi, f coserve la orme et doc f OE) O a motré qu il existe u automorphisme orthogoal f tel que i,, fx i ) y i 3) a) Le cardial d ue famille libre de E est iférieur ou égal à la dimesio de E et doc p O a même p < car p dimf) cardx i ) i p p et dimf ) p De même, dimg) p et dimg ) p b) F est de dimesio p > et il existe ue base orthoormale x k ) p+ k de F De même, il existe ue base orthoormale y k ) p+ k de G O peut doc choisir q p Soit i, j), Si i p et j p, o a x i x j y i y j Si p + i et p + j, o a x i x j δ i,j y i y j Si i p et p + j ou p + i et j p, o a x i x j y i y j http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés

6 Fialemet, i, j),, x i, x i y i y j c) La famille x,,x p ) est ue base de F et la famille x p+,, x ) est ue base de F Doc la famille x,, x ) est ue base de E D après la questio ), il existe u automorphisme orthogoal f tel que i,, fx i ) y i E particulier, f est u automorphisme orthogoal tel que i, p, fx i ) y i 4) Si tous les x i sot uls, le résultat de la questio ) appliquée aux différets p-uplets λ,, λ p ),,,,,, ) motre que tous les y i sot uls Das ce cas, importe quel automorphisme orthogoal f vérifie i, p, fx i ) y i Sio, o pose r rgx,,x p ), r p Quite à reuméroter les vecteurs x i, o peut supposer que la famille x,,x r ) est libre et que i r +, p, x i F Vectx,,x r ) La questio ) motre d ue part que la famille y,, y r ) est libre et d autre part que la famille y,, y p ) est de rag r, car si rgy,,y p ) > r o peut extraire de la famille y,,y p ) ue sous-famille libre de cardial strictemet plus grad que r et doc e correspodace o peut extraire ue sous-famille libre de x,, x p ) de cardial strictemet plus grad que r ce qui est pas E résumé, la famille y,, y r ) est libre et que i r +, p, y i G Vecty,, y r ) La questio 3) motre qu il existe u automorphisme orthogoal f tel que i, r, fx i ) y i Soit i r +, p Il existe λ,, λ r ) R r tel que x i λ k x k Puisque x i Vectx,,x r ) F, fx i ) ff) G et de même, fx i ) y i G Vérifios que fx i ) y i G Soit j, p k fx i ) y j fx i ) y j y i y j, λ k fx k ) y j λ k y k y j λ k x k x j λ k x k x j x i x j et doc fx i ) y i y j Aisi, j, r, fx i ) y i y j Puisque y,, y r ), est ue base de G, o a motré que fx i ) y i G E résumé, i r +, p, fx i ) y i G G {} et doc i r +, p, fx i ) y i Fialemet, l automorphisme orthogoal fouri plus haut vérifie i, p, fx i ) y i http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, 9 Tous droits réservés