1 er Problème. Thermodynamique

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1 Concous Natonal Commun Sesson 11 Flèe TSI On vellea à une pésentaton et une édacton claes et sognées des copes. Il convent en patcule de appele avec pécson les éféences des questons abodées. S, au cous de l épeuve, un canddat epèe ce qu lu semble ête une eeu d énoncé, l le sgnale su sa cope et pousut sa composton en ndquant claement les asons des ntatves qu l est amené à pende. L épeuve se compose de deux poblèmes ndépendants. Données : 1 e Poblème Themodynamque 1 èe pate : étude d une cogénéaton Constante des gaz pafats : R = 8,3 J.K -1.mol -1 ; Masse molae de l a : M a = 9, g.mol -1 ; Masse molae du méthane : M m = 16, g.mol -1 ; Masse molae de l eau : M e = 18, g.mol -1 ; Capacté themque massque de l eau supposée constante : c e = 4,18 kj.kg -1.K -1 ; 1 ba = 1 5 Pa. La cogénéaton est une technque qu consste à podue, avec une même machne et à pat d un seul combustble (en généal le gaz natuel), de l électcté et de la chaleu. Elle pemet d obten un endement global (électcté-themque) plus élevé que celu ésultant d une poducton pa flèe sépaée. L économe d énege pmae est de l ode de %. Le synoptque de fonctonnement du dspostf est donné pa la fgue 1. gaz d échappement eau chaude énege électque échangeu altenateu moteu themque à gaz échangeu fgue 1 almentaton gaz eau de efodssement du moteu Le moteu, almenté en gaz natuel consdéé comme du méthane, est couplé à un altenateu pou la fountue du couant électque. Les deux échangeus themques Epeuve de Physque I 1/8 Tounez la page S.V.P.

2 Concous Natonal Commun Sesson 11 Flèe TSI pemettent de écupée la chaleu dégagée pa le moteu et les gaz d échappement et podue l eau chaude destnée au chauffage Généaltés su les moteus themques Un moteu dtheme est un système femé échangeant un taval W avec l extéeu, une chaleu Q F avec une souce fode (tempéatue T F) et une chaleu Q C avec une souce chaude (tempéatue T C) Repésente pa un schéma de pncpe un moteu dtheme en fasant appaaîte, les souces de chaleu, et le sens des échanges d'énege Expme le endement η du moteu dtheme en foncton de Q C et Q F Quelle est l'expesson du endement maxmal η max du moteu dtheme dont le fonctonnement est déct pa le cycle de Canot. On défna le cycle de Canot Exste-t-l à po, un moteu de plus gande pefomance, à T F et T C données? 1.. Second pncpe de la themodynamque Enonce le second pncpe de la themodynamque. Donne sa fomulaton mathématque. Explque pouquo ce pncpe est un pncpe d évoluton Donne l expesson de la vaaton ds de l entope d un gaz pafat au cous d une tansfomaton élémentae en foncton de dt et dv On appelle l équaton de Laplace lant la tempéatue T et le volume V pou un gaz pafat : TV (γ -1) = constante. Retouve cette elaton et pécse les condtons de sa valdté Etude du moteu themque Le moteu themque de la cogénéaton, analogue à ceux des automobles à essence, fonctonne selon le cycle théoque de Beau de Rochas : - peme temps : de A à B, admsson à pesson constante P A = P B =, ba du mélange {a, gaz natuel}, à la tempéatue T B = 3 K ; - deuxème temps : de B à C, compesson adabatque évesble ; - tosème temps : de C à D, combuston ntene du mélange à volume constant ; de D à E, détente adabatque évesble des gaz d échappement ; - quatème temps : de E à B, efodssement sochoe gâce aux échangeus ; de B à A, échappement des gaz bûlés à pesson constante. Le moteu est consttué de 16 cylndes epésentant une cylndée totale V B V A = 71, L. Le appot de compesson volumétque est cv = V B/V A = 11,7. La vtesse de otaton de son abe est ω = 15 tous/mn. Un cycle coespond à deux tous de l abe moteu. Les tansfomatons sont supposées quas statques. Les gaz sont assmlés à un gaz pafat dont le appot des capactés themques massques à pesson et volume constants vaut γ = c p/c v = 1,3. On admet que la combuston ne modfe pas le nombe de moles de gaz. Epeuve de Physque I /8 Tounez la page S.V.P.

3 Concous Natonal Commun Sesson 11 Flèe TSI Repésente l allue du cycle dans le dagamme de Clapeyon P = P(V). Place su ce dagamme les ponts A, B, C, D et E en pécsant le sens de pacous du cycle Calcule la duée τ c d un cycle Calcule la masse m a d a admse dans les cylndes à chaque cycle. Pou fae ce calcul et unquement pou cette queston, on néglge la masse de gaz natuel ntodute. En dédue le débt massque d a d a à l admsson Le débt massque de gaz natuel à l admsson est d gn = 7,8.1 - kg.s -1 et le débt massque des gaz d échappement est d gé =,14 kg.s -1. En effectuant un blan de masse, etouve le débt massque d a d a à l admsson obtenu en queston Calcule la tempéatue T C du mélange gazeux {a, gaz natuel} en fn de compesson Calcule les nombes de moles de gaz natuel n gn et d a n a admses dans les cylndes à chaque cycle Etabl l expesson pus calcule la valeu numéque du taval W BC eçu pa le mélange supposé déal au cous de la compesson pou un cycle La combuston ntene du mélange lbèe une pussance themque P C = 347 kw. Le taval W DE cédé pa les gaz d échappement au cous de la détente pou un cycle est W DE = -155,1 kj Calcule le endement themodynamque η du moteu Sachant que l altenateu podut P E = 1 kw de pussance électque, calcule le endement η CE de la conveson énege chmque de combuston -> énege électque Etude des échangeus themques Le peme échangeu, haute tempéatue, efodt dectement le moteu gâce à une cculaton d eau sous pesson qu ente dans le moteu à θ e = 8 C et en sot à θ s = 9 C. Etabl l expesson de la pussance themque P th écupéée pa l eau gâce à cet échangeu. En dédue le débt volumque D e de l eau dans l échangeu pou écupée une pussance themque P th = 656 kw. On donne la masse volumque de l eau à la tempéatue moyenne d échange µ e = 968 kg.m -3. flude 1 flude fgue Le deuxème échangeu, basse tempéatue, est un échangeu à plaques où les gaz d échappement et l eau cculent à conte couant. Il pemet de écupée une pussance themque P th = 967 kw. Explque qualtatvement pouquo la cculaton des fludes à conte-couant (fgue ) augmente l effcacté de l échangeu pa appot à une cculaton à co-couant. Tace l allue des gaphes donnant l évoluton de la tempéatue le long de l échangeu pou chaque flude. On les notea T f1 et T f. Epeuve de Physque I 3/8 Tounez la page S.V.P.

4 Concous Natonal Commun Sesson 11 Flèe TSI Calcule le endement η é de la conveson énege chmque de combuston -> énege themque pou les deux échangeus. ème poblème Electomagnétsme Le pésent poblème popose l étude du dpôle électque en égme statque pus en égme vaable. Aucune connassance su le ayonnement dpolae n est nécessae pou tate la deuxème pate de ce poblème. On s ntéesse dans une tosème pate à la éflexon d une onde électomagnétque su une cble moble. Il est à sgnale que les pates composant ce poblème sont lagement ndépendantes ente elles. Données : Vtesse de la lumèe dans le vde : c = m.s -1 ; -7 µ = 4π.1 H.m -1 ; µ ε c = ; 1 π 3 4 (sn(θ)) dθ =. 3 Les vecteus e x, e y, e z désgnent les vecteus untaes selon les axes Ox, Oy, Oz du epèe R(O, x, y, z). Les vecteus e, eθ, eϕ désgnent les vecteus untaes de la base assocée aux coodonnées sphéques (, θ, ϕ ) d un pont M de l espace. 1. Dpôle électostatque Un dpôle électostatque est consttué de deux chages ponctuelles -q et +q placées su l axe Oz. La chage -q est stuée en N(z = -a/) et l aute chage +q est placée en P(z = +a/), a > Donne l'expesson du moment dpolae électque p de la dstbuton décte c-dessus en foncton des données. Quelle est son unté? 1.. Donne l expesson du potentel électostatque V + ( M ) céé au pont M de l espace pa la chage ponctuelle +q En fxant, pa conventon, le potentel à l nfn égal à, donne l expesson du potentel électostatque V ( M ) céé pa les deux chages au pont M Justfe claement que le champ électostatque céé pa les deux chages au pont M s éct sous la fome E( M ) = E (, θ ) e + E (, θ ) eθ et que V ( M ) = V (, θ ) Les deux chages sont mantenant tès poches l une de l aute, et l on s ntéesse à l expesson du potentel électostatque en un pont M tel que >> a. Etabl alos l expesson appochée du potentel V ( M ). On se lmtea à l ode 1 en a/ Etabl l équaton des équpotentelles lon du dpôle en coodonnées sphéques. Epeuve de Physque I 4/8 Tounez la page S.V.P. θ

5 Concous Natonal Commun Sesson 11 Flèe TSI 1.7. Détemne les composantes adale et othoadale du champ électostatque céé pa le dpôle lon de celu-c Etabl l équaton des lgnes de champ lon du dpôle en coodonnées sphéques Dessne l allue des équpotentelles et des lgnes de champ dans le plan ϕ = constante en n oublant pas d oente ces denèes.. Dpôle électque oscllant On modélse un dpôle électque oscllant pa une chage q fxe à l ogne O du éféentel R(O, x, y, z) et pa une chage +q au pont P de l axe Oz. La chage +q est anmée le long de cet axe d un mouvement snusoïdal de pulsaton ω et d équaton : z( t) = a cos( ωt) = R a exp - jωt, a > et j = -1. e ( [ ]) On défnt, en égme vaable, le moment dpolae du dpôle électque oscllant pa p( t) = p( t) ez, avec p( t) = p cos( ωt) et p = qa. Le calcul du champ électomagnétque ( E, B ) céé pa le dpôle p( t) en un pont M de coodonnées sphéques (, θ, ϕ ) donne, en notaton complexe et dans les condtons où >> a et λ >> a ; λ étant la longueu d onde assocée à l onde électomagnétque émse pa le dpôle : p E = (1- jk)cos( θ ) e (1- - ( ) )sn( ) exp - ( - ) 3 + jk k θ eθ j ωt k 4πε et µ ω p B = - j (1- jk)sn( θ ) exp [- j( ωt - k) ] eϕ ; 4π k étant le module d onde assocé à l onde électomagnétque émse. On pose π ω k = = avec c la vtesse de l onde dans le vde. λ c.1. Commente qualtatvement les deux appoxmatons : >> a et λ >> a... Justfe le teme k dans la phase nstantanée du champ électomagnétque..3. Monte que l expesson du champ électomagnétque est en accod avec la syméte du poblème..4. Que devent le champ électomagnétque en égme quas statonnae?.5. Que devent le champ électomagnétque en égme statonnae? Commente. [ ].6. On s ntéesse dans la sute de cette pate au champ électomagnétque au vosnage d un pont stué à gande dstance du pont O où se touve le dpôle. Dans cette zone, appelée zone de ayonnement, le champ électomagnétque a pou expessons : µ pω µ pω sn( θ )exp[- j( ωt - k) ] eϕ et - sn( θ )exp[- j( ωt - k) ] eθ 4π c 4π.6.1. Identfe pam les deux expessons c-dessus, celle du champ électque E et celle du champ magnétque B. Justfe vote éponse..6.. Donne l expesson de l ampltude E (, θ ) du champ électque en un pont M en foncton de et θ. m Epeuve de Physque I 5/8 Tounez la page S.V.P.

6 Concous Natonal Commun Sesson 11 Flèe TSI.6.3. Que vaut le appot E B? Monte que dans la zone dte de ayonnement, le champ électomagnétque céé pa le dpôle électque oscllant a localement la stuctue d une onde électomagnétque plane pogessve. Pécse sa decton de popagaton et son état de polasaton Calcule le vecteu de Poyntng Π e coespondant à l onde ayonnée ans que sa valeu moyenne < Π e > dans le temps. Monte que cette moyenne s éct sous la fome 1 Ima sn( θ ) < Π e > = µ c 8 λ e. Expme la gandeu m donne son unté. Déce la vaaton spatale de I en foncton de a, ω et p et < Π e >, module de < Π e > Calcule la pussance électomagnétque moyenne < Pe > ayonnée dans tout l'espace à taves la sphèe de cente O et de ayon. On l expmea en foncton de I, m π λ, a, µ et c, pus en foncton de Em( ) = Em(, θ = ),, µ et c On défnt la ésstance de ayonnement du dpôle pa la ésstance R e du conducteu ohmque qu, pacouu pa un même couant de valeu maxmale I, m dsspeat la même pussance pa effet Joule. Donne l expesson de R e en foncton de λ, a, µ et c Sachant que l'ampltude du champ électque détecté pa un écepteu stué à la dstance, dans le plan xoy, est Em( ), calcule la pussance < Pe > nécessae d'émsson pou = 1 km pus pou = 1 km. On donne : Em( ) = 1 V. m Applcaton : éflexon d une onde électomagnétque su un conducteu pafat Un ada a pou but de détemne la poston d une cble, mas auss sa vtesse gâce à l effet Dopple. La féquence f de l onde électomagnétque éfléche pa la cble moble est dfféente de la féquence f de l onde émse pa l antenne émettce du ada. Dans le vosnage d un pont stué à gande dstance du pont O où se touve l émetteu, le champ électomagnétque est patquement unfome. D aute pat, en tenant compte du ésultat de la queston.6.3., on peut caactése l onde électomagnétque ayonnée dans cette zone pa le champ électque : E = E exp - j( ωt - k. ). Afn de smplfe, on chost E = Ee y et k = k ex. Cette onde, dte ncdente, se popage dans l a assmlé au vde et tombe en ncdence nomale su un plan conducteu pafat de côte X (fgue 1). Epeuve de Physque I 6/8 Tounez la page S.V.P.

7 Concous Natonal Commun Sesson 11 Flèe TSI y plan conducteu pafat onde ncdente x O onde éfléche X O fgue Rappele l équaton de popagaton du champ électque et véfe que le champ E satsfat cette équaton. En dédue la elaton ente k et ω. 3.. Quel est l état de polasaton de l onde ncdente? Quelle est sa decton de popagaton? 3.3. Détemne l expesson du champ magnétque B de cette onde Quelle est la défnton d un conducteu pafat? Justfe que le champ électomagnétque est nul dans un tel conducteu Rappele en se sevant d un schéma cla les elatons de passage des champs électque et magnétque à l nteface a-conducteu pafat Comment justfe l exstence d une onde électomagnétque éfléche? On admet que cette onde est plane pogessve monochomatque de champ électque : E = E exp - j( ωt - k. ). En explotant la elaton de passage, détemne E, ω et k. En dédue le champ magnétque B de l onde éfléche. Le plan conducteu pafat est en éalté une cble moble le long de l axe Ox à la vtesse constante v = vex (v << c) pa appot au éféentel R(, x, y, z) supposé galléen lé à l émetteu fxe. On note R (, x, y, z) le éféentel lé à la cble (assmlée à un plan conducteu pafat) en tanslaton pa appot à R. L onde ncdente de champ E = E exp[ - j( ωt - kx) ] e y est éfléche pa la cble et donne nassance à une onde E = E exp - j( ω t + k x) e y. Ces deux champs sont éfléche de champ [ ] mesués dans le éféentel fxe R. a 3.7. Etabl, dans le cade de la mécanque non elatvste, l expesson des champs électques ncdent E ' et éfléch E ' mesués dans le éféentel moble R. v Monte que ces deux champs se mettent sous la fome : E ' = 1- E et c v E ' = 1 + E. c 3.8. Etabl l expesson de X en foncton du temps t. Epeuve de Physque I 7/8 Tounez la page S.V.P.

8 Concous Natonal Commun Sesson 11 Flèe TSI 3.9. Ece la elaton de passage du champ électque en x = X dans le éféentel moble R. En dédue le coeffcent a de éflexon de l onde pou l ampltude et la féquence f de l onde éfléche mesuée dans le éféentel R. On expmea ces deux gandeus en foncton de la féquence f de l onde ncdente, de v et de c. Commente Expme la dmnuton elatve de féquence pa éflexon su le conducteu moble Un détecteu d onde électomagnétque convett l onde éfléche pa la cble en un sgnal électque u (t) = U cos(π f t + Φ). Un oscllateu de éféence fount un sgnal électque synchone du sgnal d émsson u (t) = U cos(π f t). Ces deux sgnaux sont ensute applqués à un multpleu de constante k qu délve en sote le sgnal u s(t) = k u (t)u (t) Donne le specte de la tenson u s(t) Le multpleu est-l un composant lnéae? Justfe vote éponse Le sgnal u s(t) est envoyé su un flte électque. Détemne la natue de ce flte pou que l on écupèe en sote un sgnal pemettant la mesue de la féquence f = f f. Popose un schéma smple de ce flte en pécsant les condtons de son bon fonctonnement Applcaton numéque : Un véhcule cculant en aggloméaton (vtesse lmtée à 6 km/h) est contôlé pa un ada Dopple de la polce ( f = 4,15 GHz). Au passage du véhcule l'onde écho est de féquence f = f 5 Hz. On suppose que l angle ente l'axe du fasceau ada et l'axe de déplacement du véhcule mesué est nul Calcule la longueu d onde λ de l onde émse pa le ada A pat de quelle dstance peut-on se stue dans la zone de ayonnement du ada? Ce véhcule est-l en nfacton? Epeuve de Physque I 8/8 Tounez la page S.V.P.