Analyse en Composantes Principales (ACP) asymétrique

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1 Analse en Composantes Prncpales (ACP) asmétrque A. El Orrak 1, Drss Aboutadne, M. Elhachlouf 1, M.N. Kaddou 1 1 Faculté des scences Semlala, Dept Informatque, LISI, Marrakech, Maroc orrak@ahoo.fr Faculté des scences de Rabat Résumé Dans ce traval on souhate caractérser une mage par un descrpteur nvarant sous l effet de transformatons affnes et facteur d échelle. Pour attendre ce but on procède de la manère suvante: Etant donnée une mage et l mage transformée par affnté, on etrat les contours des ces deu mages, ensute on propose une ACP asmétrque sur les mages contours on obtent les matrces de covarances qu sont nvarantes par affnté. L ACP classque permet seulement d obtenr une nvarance sous rotaton. A partr des matrces de covarances on peut effectuer une transformaton par ondelettes nvarante elle auss par changement d échelle. L mage résultante peut servr comme représentaton nvarante pour les deu mages, auss l peut être utlsé pour etrare des descrpteurs numérques (les descrpteurs de Fourer, les moments, ) Mots clés Invarant, ACP asmétrque, Images de covarances, Ondelettes de Haar 1 Introducton Une étape essentelle en nterprétaton de scènes concerne la stratége de reconnassance d'obets ou de cbles pouvant apparaître dans une mage a dfférents endrots, à dfférentes orentatons ou échelles [1], []. Pluseurs travau ont été consacres à la défnton de descrpteurs de formes nvarants par un groupe de Transformatons [3], [4], [5], [6]. La fgure 1 montre des eemples d'obets a reconnaître apparassant avec dfférentes orentatons.

2 Fgure 1. Dfférentes vues d'un obet La plupart des travau ont été dédés au groupes de Smltudes (rotaton, translaton). Dans ce traval on combne deu notons mathématque pour réalser l nvarance sous affnté : les ondelettes et l Analse en Composantes Prncpales (ACP). Inventée par Jean Morlet (1981), un ngéneur franças, la transformée en ondelettes est une technque consstant à décomposer un sgnal en sous bandes. Autrement dt un sgnal est décomposé en un ensemble de sgnau de résolutons nféreures. A l heure actuelle, la transformée en ondelettes (de l anglas Dscrete Wavelet Transform, ou DWT) est la technologe de compresson utlsée dans la norme JPEG. Elle est consdérée comme la plus grande rvale de la DCT. Elle offre une melleure fnesse que ce derner dans la descrpton du sgnal analsé. En effet, la transformée en ondelettes (utlsée dans la DWT) présente l avantage de fare ressortr à la fos les grandes varatons et les détals de l obet analsé, ce que ne permet pas la transformée de Fourer (utlsée dans la DCT). Par alleurs, elle permet de caractérser à la fos en temps et en fréquence un sgnal. L ACP est une technque utlsée pour rédure la dmenson des données, l ACP classque permet seulement d obtenr une nvarance sous rotaton. Dans ce traval on propose une ACP asmétrque valable pour le cas de forme D, et elle sera utlsée comme moen pour se débarrasser de la transformaton affne. Le paper est organsé de la manère suvante : Dans la secton une ACP asmétrque est utlsée pour élmner les paramètres de la transformaton affne. Dans la secton 3 on applque la transformée de Haar sur l mage de covarance obtenu dans la secton précédente. Les résultats epérmentau sur contours snthétques de dfférentes résolutons seront présentés dans la dernère secton.

3 3 Invarance sous affnté par utlsaton d une ACP asmétrque sur les contours d une mage Sot {( ))} X =, un ensemble de ponts représentants les contours d une mage. Sous rotaton un pont se transforme en : = α cos τ = α sn τ α sn τ + α cos τ + b + b 1 Dans ce cas V = XX t est suffsant pour etrare un nvarant qu n autre que les valeurs propres n de V et les vecteurs propres correspondants, en effet pour la forme transformée : 1 La matrce V se transforme elle en V = XX t n En développant le produt : = α + ( + ) = α ( snτ )( snτ ) + α ( snτ + )( snτ + ) cos τ snτ snτ = α + sn τ + + sn τ snτ + snτ + cos τ (=1..n, et =1..n) D où l nvarance. Sous transformaton général: = a = a a 1 + a On va utlser une ACP asmétrque, on effectue une légère modfcaton sur X et notons cette nouvelle matrce Y = {(, ))}. 1 Les valeurs propres et les vecteurs propres de V = YY t sont nvarants sous affnté (en n supposant A =1) En effet

4 et V { ( ) } + = 1.. n, = 1.. n = a 11 + a 1 = a 1 + a V = a11a a1a 1 V = = ans ( ) AV avec A = det(a) 3 Transformée en ondelettes de Haar Sot deu mesures V= (v, v). On note av la moenne et dv la dfférence de ces deu mesures. Pour calculer la transformée en ondelettes de Haar d'une matrce de n = k données, l faut: Moenner chaque pare de données (n / moennes). av= (v + v) / = la foncton d'échelle Calculer la dfférence entre chaque donnée et sa moenne (n / dfférences). dv = v - av = av - v = (v - v) / = la foncton d'ondelette Placer les moennes dans la premère moté de la matrce Placer les dfférences dans la seconde moté de la matrce; Répéter le processus sur la premère moté des données (c'est pourquo le nombre de données n dot être une pussance de ). La transformée nverse s eprme par le calcul suvant: v = av + dv; v = av - dv ; 4 Résultats epérmentau Dans ces epérmentatons on a smulé deu contours transformées l une de l autre (fgure ). Sur la fgure 3 est présentée les matrces de covarance on peut constater la dsparton de la transformaton à ce nveau. (a) (b)

5 5 Fgure. Deu contours transformées l une de l autre par une affnté : le contour.b (aant 4 ponts) est deu fos plus grand que le contour.a (aant seulement ponts) (a) (b) Fgure 3. Les deu matrces de covarances pour les contours.a et.b (l mage 3.a à une talle tands que l mage 3.b à une talle 44) (a) (b) Fgure 4. Les mages de moennes et dfférences après applcaton d une transformaton de Haar à deu nveau.

6 (a) (b) (c) Fgure 5. L mage 5.a est obtenue au premer nveau et à une talle 11,l mage 5.c est l mage bna rsée de l mage 5.a tands que l mage 5.b est obtenue au nveau et elle a une talle 11 auss. 5 Concluson Ce traval état l occason de découvrr d autres technques permettant le tratement d mages. La talle ou facteur d échelle (Zoom) au nveau mage se tradut par une augmentaton ou dmnuton des ponts de contours suvant le Zoom utlsé c.à.d changement dans la résoluton. La modfcaton effectué sur l ACP a permet de se débarrasser de la transformaton affne D. La transformée de Haar a permet de donner deu mages de covarance de talles dentques. On peut utlser le rapport entre les deu plus grandes valeurs des matrces de covarances pour calculer le facteur d échelle pratquement. L estmaton de la matrce de covarance n est pas une tâche facle lorsque la talle de l mage est mportant, où nous observons une accumulaton des erreurs du calcul [7]. Mas ce problème est évté en calculant cette matrce à partr des contours. Références [1] S. Adam, J.-M. Oger, C. Carou, R. Mullot, J. Gardes, and Y. Lecourter. Utlsaton de la transformée de Fourer-melln pour la reconnassance de formes mult-orentees et mult-echelles : applcaton a l'analse automatque de documents technques. Tratement du Sgnal, 18:17-33, 1. [] C. Rosenberger, A. Rakotomamon, and B. Emle. Generc target recognton. n Proceedngs Internatonal Euspco, pages , Sept. 4. [3] M. K. Hu. Vsual pattern recognton b moment nvarants. IEEE Transactons Informaton Theor, 8: , 196 [4] A. K. Jan, R. P.W. Dun, and J.Mao. Statstcal pattern recognton: A revew. IEEE Transactons on Pattern Analss and Machne Intellgence, (1):4-37,. [5] C.-W. Chong, P. Raveendran, and R. Mukundan. A comparatve analss of algorthms for fast computaton of zernke moment. Pattern Recognton, 36:731-74, 3. [6] M. Petrou and A. Kadrov. Affne nvarant features from the trace transform. IEEE Transactons on Pattern Analss and Machne Intellgence, 6(1):3{44, 4. [7] Salm Chtroub, Analse en composantes prncpales d mages optques de télédétecton Approche neuronale, Car 4