Cours de LICENCE. 1 Introduction

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1 Cours de LICENCE Inégrles générlisées Inroduion Pour l inégrle de Riemnn, on s es limié à onsidérer des fonions qui son définies sur un segmen [, b] de R (ve e b finis) e qui son bornées sur [, b]. Définiion Soi I un inervlle de R don les erémiés son (R { }) e b (R {+ }). Ainsi I = (, b) e qui signifie I = [, b], I = [, b[, I =], b] ou I =], b[. Une ppliion f : I K (ve K = R ou C) es die lolemen inégrble sur I si s resriion à ou inervlle fermé borné [, d] onenu dns I es inégrble u sens de Riemnn. Eemple. Soi f oninue pr moreu sur I. Alors f es lolemen inégrble sur I. Soi minenn une fonion f définie sur un inervlle borné [, b[, bornée sur [, b[ e lolemen inégrble sur [, b[. On noe f un prolongemen quelonque de f à l inervlle [, b]. Ainsi : f() = f() pour [, b[ e f(b) = γ ve γ K rbirire. On peu onsidérer l fonion F : [, b[ K : F () = f(). Proposiion L fonion f es Riemnn-inégrble sur [, b] e son inégrle hoisi. De plus, on lim b F () = f(). Soi M une onsne elle que [, b[, f() M e M γ = m(m, γ ). f() ne dépend ps du prolongemen f Soi ε > e b ε els que < b ε < b e M γ (b b ε ) ε. L resriion de f u segmen [, b ε] én Riemnninégrble, il eise des fonions en eslier u ε, v ε sur [, b ε ] elles que : u ε f v ε e ε (v ε u ε )() ε. Considérons les fonions en eslier sur [, b] définies pr : ũ ε () = u ε () e ṽ ε () = v ε () si [, b ε ] ũ ε () = M γ e ṽ ε () = M γ si [b ε, b]. On lors sur [, b] : ũ ε f ṽ ε e L fonion f es don Riemnn-inégrble sur [, b]. En uilisn l relion de Chsles, pour ou [, b[, on : f() F () = f() (ṽ ε ũ ε )() ε + ε = ε. f() M γ (b ).

2 On en dédui que lim F () eise e vu b f(). De plus, il résule des propriéés de l inégrle de Riemnn que f() ne dépend ps du prolongemen f hoisi de f u segmen [, b] : on ne hnge ps l vleur d une inégrle en modifin l fonion en un nombre fini de poins. Eemple. L fonion f() = sin, ], ], f() = γ es Riemnn-inégrble sur [, ] e u sens de Riemnn. sin eise Inégrle générlisée Soi R e f une fonion lolemen inégrble sur [, b[ (b pouvn égler + ). Alors, pour ou [, b[, l inégrle f() un sens. Pr onre, priori, on ne peu ps fire = b. Pour gérer ee diffiulé, on inrodui l noion d inégrle générlisée sur [, b[. Définiion Soi f une fonion lolemen inégrble sur [, b[, R e b ve b R, ou b = + (resp. sur ], b], b, ve R, ou = ). Pour [, b[ on pose : F () = f() (resp. F () = f() ve ], b]). Alors, si l fonion F () dme une limie qund end vers b pr vleurs inférieures (resp. end vers pr vleurs supérieures), on di que l inégrle e on noe : f() := lim b f() es onvergene (ou eise) en = b (resp. en = ) f() (resp. lim Si, pr onre, ee limie n eise ps, on di que l inégrle = b (resp. en = ). Ainsi une inégrle f() ). f() es divergene (ou n eise ps) en f() es soi onvergene, soi divergene (soi elle eise, soi elle n eise ps). Préiser si elle es onvergene ou divergene, es déerminer l nure de l inégrle. Si f es lolemen inégrble sur [, b[, pour ou [, b[, l nure de f() es l même que elle de f(). Eude de quelques eemples E. f() = e, [, + [ F () = Ainsi, l inégrle e = e end vers qund end vers + e es onvergene e vu. E. f() =, R, ], ] { F () = = + ( +) si ln si =

3 Ainsi l inégrle es onvergene si e seulemen si <. E.3 f() =, R, [, + [ { F () = = + ( + ) si ln si = Ainsi l inégrle es onvergene si e seulemen si >. E.4 f() =, R, ], b] ( ) Comme pour l eemple, l inégrle es onvergene si e seulemen si <. ( ) E.5 f() = ln, ], ] F () = supérieures. Ainsi l inégrle ln = (ln ) = (ln ) end vers qund end vers pr vleurs ln es onvergene e vu. E.6 f() =, R, [, + [ (ln ) ln F () = (ln ) = ds ln s { i.e. F () = + (ln ) + (ln ) + si ln(ln ) ln(ln ) si = Ainsi l inégrle es onvergene si e seulemen si >. (ln ) 3 Cs des fonions définies sur un inervlle ouver ], b[, < b + Définiion Soi f une fonion lolemen inégrble sur ], b[ à vleurs dns K. On di que l inégrle de f sur ], b[ es onvergene si, pour un élémen ], b[, hune des infégrles f() e f() es onvergene e on pose : f() := f() + f(). Si l une u moins des inégrles divergene. f() e f() es divergene, on di que l inégrle f() es On remrque immédiemen, grâe à l relion de Chsles pour les fonions inégrbles u sens de Riemnn, que ee définiion ne dépend ps du poin ], b[. E.7 f() = +, ], + [ Alors F () = = Arg une limie qund end vers +. E don es onvergene e vu π.

4 De même, G() = = Arg une limie qund end vers e + ( ) π onvergene e vu = π. Ainsi, l inégrle es onvergene e vu π. + E.8 f() =, R, ], + [ E.9 Il résule des eemples e 3 préédens que l inégrle + n es ps onvergene. En effe, pour =, on que l inégrle R. On seri don ené d érire + + = es divergene pour ou R. es divergene. Noez ii que lim + + es = pour ou = e qui es fu. L erreur ien à e que les deu erémiés e de l inervlle d inégrion enden simulnémen vers e lors que l définiion requier de les fire endre séprémen vers e (en fin ], b[). 4 Propriéés de l inégrle générlisée Proposiion (Linérié) Si f e g on des inégrles onvergenes sur [, b[ (resp. ], b] ou ], b[) e si λ K, lors f + g e λ f on ussi une inégrle onvergene sur [, b[ (resp. ], b] ou ], b[) e on : (f + g)() = f() + g() λ f() = λ f(). Remrque Si f() es onvergene e si g() es divergene, lors (f + g)() es divergene. Il suffi de voir que, pour [, b[ on : (f + g)() = f() + e de fire endre vers b pr vleurs inférieures. g() e λ f() = λ f() Proposiion (Relion d ordre) Si f e g on des inégrles onvergenes sur [, b[ (resp. ], b] ou ], b[), e si pour ou [, b[ (resp. ], b] ou ], b[), f() g() lors : f() g(). L preuve es immédie puisque, pour [, b[, f() g().

5 Proposiion 3 (Inégrion pr pries) Soien f e g deu fonions de lsse C sur [, b[. Pour ou [, b[ on : f() g () = f() g() f() g() f () g(). Alors, si lim f() g() eise e si l inégrle b onvergene e on : f() g () es onvergene, l inégrle f () g() es f() g () = lim f() g() f() g() b f () g(). E, bien enendu, on des énonés nlogues pour des fonions f e g de lsse C sur ], b] ou ], b[. Eemple L inégrle os es onvergene r, si ], ] on : os = ( sin ) = sin sin + sin e, omme lim sin onvergene e vu sin + = e lim sin. sin = sin eise, on obien que os es Proposiion 4 (Chngemen de vrible) Soien f une fonion oninue sur [, b[ e ϕ une fonion de lsse C sur [, β[ à vleurs dns [, b[. Pour ou [, β[ on : f(ϕ()) ϕ () = ϕ() ϕ() f(s) ds. Alors, si l un des deu membres de ee églié une limie qund end vers β, l ure membre ussi e es limies son égles : β ϕ() f(ϕ()) ϕ () = lim f(s) ds. β ϕ() Eemple L inégrle os es onvergene r, si ], ], on : os = os( ) d e, omme os : [, ] R es oninue, on obien que l inégrle que : os = os( ) d. os es onvergene e 5 Inégrle générlisée d une fonion posiive ou nulle : fonions inégrbles

6 Proposiion Soi f une fonion lolemen inégrble sur [, b[ (resp. ], b]) e posiive ou nulle. Pour que l inégrle de f sur [, b[ (resp. ], b]) onverge, il fu (e il suffi) qu il eise une onsne M posiive elle que : [, b[ (resp.], b]), f() M (resp. f() M). En effe, l fonion F () = f() (resp. qund end vers b (resp. end vers ) si e seulemen si F es mjorée. f() ) es monoone roissne e don une limie Corollire Si f e g son lolemen inégrbles e posiives ou nulles sur [, b[ (resp. ], b]) e si, pour ou ], b[, f() g(), lors : (i) Si (ii) Si (i) [, b[, g() eise, f() eise e on : f() n eise ps, il en es de même de f() (ii) Comme g es posiive, lors une onséquene de g() eqm = f() g(). g() <. g(). g() n eise ps si e seulemen si lim f() g() e de lim b b f() = +. g() = +. Le résul es E. [, b[ = [, + [, f() := e, g() := e Comme, pour ou [, + [, e e, e que + e eise. On en dédui que, pour ou R, E. L inégrle E.3 L inégrle onvergene. π/ + ] es divergene r, pour, e eise (e vu lim X + e X = ), e eise (érire que e = π ], e es onvergene r hune des inégrles π/ e e + e ). es divergene. es Corollire Soien f e g deu fonions lolemen inégrbles e posiives ou nulles sur [, b[ (resp. ], b]). S il eise deu onsnes sriemen posiives k, k elles que, pour ou ], b[ on i : k f() g() k f(). Alors, pour que l inégrle f() eise, il fu e il suffi que l inégrle g() eise.

7 Cel résule direemen de l endremen : [, b[, k f() g() k f(). Définiion Soien f e g deu fonions définies sur un inervlle I d erémies e d. Soi b ve b I ou b = ou b = d. On di que f es équivlene à g en b, ou enore que f() g() lorsque end vers b, si e seulemen si f() = g() ( + ε() ) où l fonion ε : I R end vers lorsque end vers b. Si g ne s nnule ps u voisinge de b, el revien à demnder que lim b f()/g() =. Corollire 3 Soien f e g deu fonions lolemen inégrbles e posiives ou nulles sur [, b[ (resp. ], b]). Si f() g() lorsque end vers b (resp. end vers ), lors l inégrle si l inégrle g() es onvergene. f() es onvergene si e seulemen On hoisi [, b[ de sore que : [, d[, g() f() 3 g(). D près le orollire, les inégrles f() e g() son de même nure. Don preil pour E. [, b[ = [, + [, f() := γ, g() := ln + γ, γ > Alors lim + E. L inégrle E.3 L inégrle f() g() = e don, puisque γ es onvergene si e seulemen si γ >. ln + γ f() e g(). es onvergene si e seulemen si γ >, l inégrle es onvergene r qund end vers ( ) e ln En effe, pour < <, on es divergene r ln = ln l es. ln s ds = (ln ) qund. 6 Condiion néessire e suffisne de onvergene d une inégrle générlisée : rière de Cuhy Théorème (rière de Cuhy pour les inégrles) Soi f une fonion lolemen inégrble sur [, b[ (resp. ], b]). Alors l inégrle f() (resp. si, pour ou ε >, il eise ε [, b[ (resp. ], b]) el que : ε< ( ) < <b = (resp.< < < ε) f() ) es onvergene lorsque end vers b (resp. vers ) si e seulemen f() ε.

8 Soi F () = f(), F dmer une limie qund end vers b, pr vleurs inférieures, si e seulemen si, pour oue suie ( n ) n de poins de [, b[ onvergene vers b, l suie (F ( n )) n es onvergene (f. ours de première nnée), e qui es équivlen à dire que l suie (F ( n )) n es de Cuhy dns K. Or F ( q ) F ( p ) = q p f(). Pr suie, si ( n ) n es une suie de poins de [, b[ onvergene vers b, l ondiion ( ) implique que l suie (F ( n )) n es de Cuhy, e don qu elle es onvergene. Réiproquemen, si lim b <b y [ ε, b[ on i : F () eise, e vu F (y) Ainsi, si on ε < < < b, on ur : F ( ) F ( ) = es-à-dire ( ). f(), pour ou ε >, il eise ε [, b[ el que, pour ou f() ε. f() ε + ε = ε Eemple L inégrle es divergene pour ou. En effe, pour ou enier n : (n+)π (nπ) nπ e qui onredi le rière de Cuhy. (n+)π nπ = (nπ) Définiion Soi f une fonion lolemen inégrble sur [, b[ (resp. sur ], b]). On di que l inégrle f() onverge bsolumen en = b (resp. en = ) si l inégrle f() es onvergene en = b (resp. en = ). De même, si f es lolemen inégrble sur ], b[, on di que l inégrle de f sur ], b[ es bsolumen onvergene si l inégrle de f sur ], b[ es onvergene (i.e. si pour un élémen ], b[ hune des inégrles f() e f() es onvergene). Il résule de ee définiion e du héorème prééden que : Corollire Soi f une fonion lolemen inégrble sur (, b). Si l inégrle es onvergene e on : f() f(). L onvergene résule du rière de Cuhy sur les inégrles e de l inéglié : < < < b, f() f(). f() es bsolumen onvergene, elle

9 L mjorion se dédui pr pssge à l limie dns : < < b, f() (resp. f() f() ). f() 7 Fonions inégrbles Définiion Soien I = (, b) un inervlle de R ve < b + e f : I K une fonion lolemen inégrble sur I. On di que f es inégrble sur I si l inégrle f() es bsolumen onvergene. En priulier, si I es un segmen [, b] de R e f Riemnn-inégrble sur [, b], f es inégrble sur I r lors f es ussi Riemnn-inégrble sur [, b]. L proposiion suivne donne un rière prique ommode pour reonnîre si f : I K es inégrble. Proposiion Soien I = (, b) un inervlle de R e f : I K une fonion lolemen inégrble sur I. Alors f es inégrble sur I si e seulemen si il eise une fonion g : I R inégrble sur I elle que : ( ) I, f() g(). Soi f : I K inégrble sur I. Posons, pour ou I, g() := f(). L fonion g es lolemen inégrble sur I e, pr définiion, l inégrle g() es onvergene. Réiproquemen, supposons que f : I K soi lolemen inégrble sur I e sisfsse à l ondiion de dominion ( ). L fonion g én inégrble sur I, elle sisfi don u rière de Cuhy u erémiés e, ou b de l inervlle I. Dns ous les s, pour ou ε >, il eise des nombres réels A ε, B ε ( < A ε < B ε < b) els que : Aε g() ε e B ε g(). On en dédui immédiemen que l inégrle don onvergene : l fonion f es inégrble sur I. f() sisfi le rière de Cuhy en e b, e qu elle es 8 Eude de quelques eemples E. L inégrle ln sin es onvergene. En effe, ], ], ln sin ln, e omme l inégrle ( ( ln ) = ( ln ) = + (ln )), l inégrle don onvergene. ln es onvergene ln sin es bsolumen onvergene,

10 ln os E. L inégrle ln os 3/ ln 3/ 3/ es onvergene r, pour ou : = ln ε 3/ ε M ε 3/ ε, < ε < ln ln où M ε = sup ε < + (remrquer que lim + ε = ). + E omme es onvergene puisque 3 ε >, il en résule que l inégrle 3/ ε es bsolumen onvergene, don onvergene. E.3 Pour ou enier n N, l inégrle oninue e, en érivn n e = n e / e /, e en remrqun que L inégrle Soi lors X >, e lulons ln os 3/ n e eise e vu n! r n e : [, + [ R es, n e n e / ve n = sup n e / < +. e / én onvergene, l inégrle En fisn endre n vers +, on obien Comme e =, on obien que lim + n e =, il vien que : n e es ussi onvergene. n e. En inégrn pr pries, il vien que : n e = X n e X + n + n e = n n e = n!. n e. n e, n. E.4 L inégrle es onvergene si e seulemen si >. En effe, on si déjà que ee inégrle es divergene pour (rière de Cuhy non sisfi). Pour >, on :, e, omme es onvergene pour >, l inégrle es bsolumen onvergene, don onvergene : l fonion es inégrble sur [, + [ pour >. Pour <, onsidérons pour ou X > l inégrle Comme préédemmen, l inégrle omme lim X + os X X = os os X = os X os. En inégrn pr pries on : os. + + es bsolumen onvergene puisque + >, e don eise, e vu, on en dédui que l inégrle os. + es onvergene e que Remrque Pour >, l inégrle es onvergene si e seulemen si < r l inégrle es onvergene si e seulemen si < r lorsque end vers.

11 E.5 L inégrle es bsolumen onvergene si e seulemen si >. Compe enu de l eemple 4, il nous suffi de vérifier que l inégrle pour. Soi n N, e onsidérons F (nπ) = (k+)π F (nπ) = (k+)π π/4 nπ π. On : n + k= (k+)π Or kπ kπ+π/4 [ ] kπ+π/4 L série k én divergene (puisque ), il en résule que k kπ (k+)π π/4. es divergene π ((k + )π). lim F (nπ) = + e don : n + lim F (X) = X + = +. Remrques () On dédui de e lul que l fonion es inégrble sur [, + [ si e seulemen si >, e ependn l inégrle eise pour ou >. () De même, l fonion es inégrble sur [, + [ si e seulemen si < <, e ependn l inégrle E.6 L inégrle eise pour ou < <. sin es onvergene si e seulemen si >. En effe, pour < <, on : sin = / sin s ds s+ e ee epression une limie qund + si e seulemen si + >, i.e. > (f. eemple 4). 9 Synhèse Ce prgrphe fourni une méhode pour éudier l nure (onvergene ou divergene) d une inégrle générlisée elle que f() ve < b +. - Epe (repérge des diffiulés). Il s gi ii de déomposer l inervlle (, b) en une priion (, b) = (, b ] { N j= ]b j, j ] [ j, b j+ [ } [b N, b) jusée de fçon à e que f soi lolemen inégrble sur hque sous-inervlle de ee priion. L inégrle j f(), b j f(), f() es lors onvergene si les ( N + ) inégrles b N f(), j+ j f(), j {,, N},

12 son onvergenes. L inégrle f() es divergene si l une quelonque de es ( N + ) inégrles es divergene. Il fu don éudier séprémen hune des ( N + ) inégrles iées i-dessus. Pour fier les idées, on rie le s de j+ j sur l inervlle [ j, b j+ [. f() qui (pr onsruion) me en jeu une fonion f qui es lolemen inégrble - Epe (inégrbilié). On ese si f es inégrble sur [ j, b j+ [ es à dire si l inégrle j+ j f() es onvergene. Pour el, on peu uiliser les différens rières (mjorion de f, minorion de f, équivlen de f u voisinge de b j+...) donnés u prgrphe 5. Si l réponse es l onvergene, on en dédui (prgrphe 6) que l inégrle Sinon, on oninue ve : j+ j f() es onvergene. E es fini pour e erme! - Epe 3 (reour à l définiion). On ese si l limie lim f() = F () F ( j ) b j+ j eise e es finie. Pour el, on peu s ppuyer (lorsqu il en eise une) sur une formule epliie de l primiive F ou enore employer une inégrion pr pries ou un hngemen de vribles. Si l réponse es l onvergene de l limie, on en dédui que l inégrle j+ j f() es onvergene. E es fini pour e erme! Sinon, pour lever l indéerminion, on oninue en fisn preuve d imginion (rière de Cuhy,...).