Fiche 6 : Nombres complexes

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1 Nº : 3006 Fiche 6 : Nombres complexes Pla de la fiche I - Esemble des ombres complexes II - Nombre complexe cojugué III - Module et argumet IV - Les différetes écritures d u ombre complexe o ul V - Equatio du secod degré das à coefficiets réels VI - Nombres complexes et géométrie VII - Ecriture complexe de trasformatios géométriques I - Esemble des ombres complexes Théorème (admis) et défiitios Il existe u esemble oté et appelé esemble des ombres complexes, qui vérifie les propriétés suivates : L esemble cotiet l esemble des ombres réels ; Il existe das ue additio et ue multiplicatio qui ot les mêmes propriétés que leurs homologues das ; Il existe das u ombre complexe oté i tel que i = 1 ; a,b de réels tel que z = a + ib Pour tout ombre complexe z il existe u uique couple ( ) Forme algébrique d u ombre complexe L égalité z = a + ib est la forme algébrique du ombre complexe z Partie réelle, partie imagiaire : Le ombre réel a s appelle la partie réelle de z, le ombre réel b s appelle la partie imagiaire de z O ote : a = Re(z) et b = Im(z) Par coséquet z = Re(z) + i Im(z) Re(3 5i) = 3 et Im(3 5i) = 5 Calculs avec les complexes Les calculs se fot comme avec les ombres réels avec la covetio i = 1 ( ) ( ) 5 + i 3 5i = i + i 3 i 5 i = 15 5i + 6i 10i = 15 5i + 6i + 10 = 5 19i Nombres réels et ombres imagiaires purs U ombre complexe est réel si et seulemet si sa partie imagiaire est ulle O appelle imagiaire pur tout ombre complexe dot la partie réelle est ulle Le réel 0 est le seul ombre complexe qui est réel et imagiaire pur Egalité de deux ombres complexes a + ib = a + ib équivaut à a = a et b = b' x + iy = 3 5i équivaut à x = 3 et y = 5 Tous droits réservés Studyrama 008 Fiche téléchargée sur wwwstudyramacom 1

2 Nº : 3006 Nullité d u ombre complexe E particulier a + ib = 0 équivaut à a = 0 et b = 0 Le pla complexe O cosidère u pla rapporté à u repère orthoormal ( O,e 1,e) Ce pla est «le pla complexe» dès lors que : tout poit M de coordoées ( x M,y M) o associe le complexe xm + iym, oté z M et appelé affixe de M tout complexe x iy appelé image du ombre complexe x + iy + (avec x et y réels) o associe le poit M dot le couple de coordoées est ( x,y, ) oté M( x iy) + et Coséquece : affixe d u vecteur Pour tout vecteur u il existe u poit M et u seul tel que OM = u C est pourquoi l affixe z du poit M est aussi l affixe du vecteur u Pour tous poits et, il existe u poit M et u seul tel que OM = Le poit M et le vecteur ot doc pour coordoées ( x x,y y) et pour affixe ( x x) + i( y y) De ( x x ) + i( y y) = ( x + iy) ( x + iy) il résulte que a pour affixe z z Soit ( 1, 3 ) et ( ) 4, 7 lors : z = 1 + 3i et z = 4 + 7i z = z z = 4 + 7i 1 + 3i = 5 + 4i ( ) ( ) Vocabulaire L axe des abscisses est aussi déommé «axe réel» car il est l esemble des poits pour lesquels y = 0 L axe des ordoées est aussi déommé «axe imagiaire» car il est l esemble des poits pour lesquels x = 0 II - Nombre complexe cojugué Soit z = x + iy u ombre complexe avec x et y réels Le cojugué de z est le ombre complexe z = x iy Le cojugué de 3 5 i est i Le cojugué de 7 est 7 car 7 = 7 + 0i et so cojugué sera 7 0i = 7 Nombre complexe cojugué, ombre réel et imagiaire pur Soit z u ombre complexe : z est réel si et seulemet si z = z ; z est u imagiaire pur si et seulemet si z = z À SVOIR Opératios sur les ombres complexes cojugués Pour tous complexes z et z ( z+ z ) = z + z' ( z) = z ( ) ( z) ( z ) = avec 1 1 =, avec z 0 z' z z = z z' z z =, avec z 0 z' Produit zz z = x + iy, avec x et y réels, etraîe zz= x + y, ombre réel positif Tous droits réservés Studyrama 008 Fiche téléchargée sur wwwstudyramacom

3 Nº : 3006 Pour tout z 0, ce produit est u ombre réel strictemet positif Iverse d u ombre complexe Soit z = x + iy u complexe o ul, avec x et y réels Pour détermier partie réelle et partie imagiaire de 1 = 1 1 z x iy z x + iy le umérateur et le déomiateur par le cojugué de z : = = z zz x + y La forme algébrique de 1 z est doc 1 x y = + i z x + y x + y i 3 + 5i 3 + 5i 3 5 = = = = + i 3 5i 3 5i 3 + 5i ( ) ( ) 3 ( 5i), o multiplie III - Module et argumet Coordoées polaires (rappels) Etat doé u poit O et u vecteur uitaire 1 e tout poit M du pla distict de O est repéré par ses coordoés polaires ( r,θ ) où le réel strictemet positif r est égal à la distace OM et le réel θ est ue mesure de l agle e1, OM le repère orthoormal direct ( O,e 1,e) ( ) das le pla orieté par Les couples ( r,θ ) et ( r ', θ ' ) repèret le même poit si et seulemet si r = r et θ = θ' [ ] Le poit M de coordoées polaires ( ) O, e 1 a pour coordoées cartésiees ( ) ( O,e 1,e) avec x = r cos θ et y = r si θ Le poit M de coordoées cartésiees ( ) ( O, e 1) avec r = x + y et x y cos θ = et si θ = r r r,θ par rapport à ( ) x,y das le repère ( O,e 1,e) x,y das le repère a pour coordoées polaires ( r,θ ) par rapport à Module d u ombre complexe Le module du ombre complexe z est le ombre réel positif zz O ote : z = zz Lorsque z = x + iy avec x et y réels o a : z = x + y Das le pla complexe, le module du ombre complexe z est égal à la distace OM, où M est le poit d affixe z O, e, alors o a z = r Lorsque le poit M d affixe o ulle z a pour coordoées polaires ( ) 3 5i = ( 3) + ( 5) = = 34 r,θ par rapport à ( 1) Module et valeur absolue Lorsque le complexe z est réel, il viet z = a = a, avec les otatios ci-dessus Das ce cas le module est égal à la valeur absolue Le module est ue extesio aux ombres complexes de la otio de valeur absolue À SVOIR Opératios sur les modules Pour tous complexes z et z z z = z z z = z 1 1 = avec z 0 z z z z = z z z = z avec avec z 0 z = z Tous droits réservés Studyrama 008 Fiche téléchargée sur wwwstudyramacom 3

4 Nº : 3006 rgumet d u ombre complexe o ul Soit z u complexe o ul et M le poit d affixe z das le pla complexe Toute mesure θ de ( e 1, OM) ote arg z = θ [ ] Coséquece : tout poit M d affixe z o ulle a pour coordoées polaires ( ) formules suivates : Re z = z cos( arg z ) et Im z = z si ( arg z) Soit z = 1+ i 3 E désigat par θ u argumet de z il viet cos( θ ) = = = c est-à-dire si( θ ) = = = Rez cos θ = z Im z si θ = z Le réel état ue solutio de ce système, o coclut que arg(z) = [ ] 3 3 z, arg z par rapport à ( 1) est u argumet de z O O, e Il e résulte les rgumet d u réel o ul, d u imagiaire pur Le complexe z est u réel strictemet positif si et seulemet si arg(z) = 0 [ ] Le complexe z est u réel strictemet égatif si et seulemet si arg(z) = [ ] Le complexe z est u imagiaire pur si et seulemet si arg z = [ ] À SVOIR Opératios sur les argumets Pour tous complexes z et z o uls et pour etier relatif = + [ ] arg(z ) = arg(z) [ ] arg arg(z) [ ] arg(zz ) arg(z) arg(z ) z arg = arg(z) arg(z ) [ ] 1 = z arg(z) = arg(z) [ ] arg( z) = arg(z) [ ] Méthode : «Evaluer la mesure d u agle à l aide d u quotiet de ombres complexes», fiche exercices 6 «Nombres complexes» IV - Les différetes écritures d u ombre complexe o ul Formes trigoométriques z = r cos θ+ isi θ est ue forme trigoométrique du ombre complexe o ul z, avec r z L égalité ( ) = et θ = arg z [ ] Nombre complexe de module 1 (ombre complexe uitaire) Tout ombre complexe de module 1 a pour forme trigoométrique cos θ+ i si θ où θ est u de ses argumets i O coviet de désiger le ombre complexe uitaire cos θ+ i si θ par la otatio e θ (o lit : e puissace ) Cette ouvelle otatio coduit aux formules ci-dessous, avec θ et θ ' réels et etier relatif : i( θ+θ ) e e = e e i( θ θ ) = e e Tous droits réservés Studyrama 008 Fiche téléchargée sur wwwstudyramacom 4

5 Nº : 3006 ( ) e = e ( e ) = e s i i i0 i e = 1 e = 1 e = i e = i Formes expoetielles i L égalité z = r e θ est ue forme expoetielle du ombre complexe o ul z, avec r z s a) Détermier la forme algébrique du complexe i 3 e i e = 3 cos + i si = 3 i = i 4 4 b) Détermier formes trigoométrique et expoetielle du complexe z = 3 + i Il viet : 3 + i = = 3 1 cos θ = et si θ = θ = 6 [ ] Par suite : 3 i cos isi e i + = 6 + = 6 6 = et θ = arg z [ ] Méthode : «Ecriture des solutios sous forme algébrique, trigoométrique», fiche exercices 6 «Nombres complexes» pplicatios de ces trois écritures aux calculs das O utilise la forme algébrique pour les additios et soustractios, la forme trigoométrique (ou expoetielle) pour les produits, quotiets, puissaces Pour détermier la forme algébrique du complexe ( 1 i 3) 0 + il est préférable d utiliser les formes expoetielles plutôt que d effectuer des multiplicatios successives 1+ i 3 = ( ) [ ] arg 1 + i 3 = etraîe 3 1 i 3 e i = O e déduit ( ) 0 0 i i i 3 = e = e 3 + = 3 3 Or 0 = ( 18 + ) = 6+ = 3 ( ) +, et ( ) [ ] D où( ) 0 i i 3 = e = cos + i si = + i 3 3 Coclusio : ( ) i 3 = + i 3 Tous droits réservés Studyrama 008 Fiche téléchargée sur wwwstudyramacom 5

6 Nº : 3006 À SVOIR Formules de Moivre et Euler Formules de Moivre : ( cos θ+ i si θ ) = cos( θ ) + i si( θ) Pour tout réel θ et tout etier relatif : ( cos θ i si θ ) = cos( θ) i si( θ) Formules d Euler : e + e e e Pour tout réel θ : cos θ = et si θ = i V - Equatio du secod degré das à coefficiets réels O cosidère ue équatio du secod degré ax + bx + c = 0 avec a réel o ul, b et c réels Le discrimiat de l équatio est le réel = b 4ac b Lorsque = 0 alors l équatio admet pour uique solutio le réel a Lorsque 0 alors l équatio admet exactemet deux solutios : b b + - si > 0 alors ces deux solutios sot les réels et a a - si < 0 alors ces deux solutios sot les complexes cojugués b i b+ i et a a Le discrimiat de l équatio x + x + = 0est 7 Cette équatio a doc pas de solutio das, mais a deux solutios das, qui sot les deux complexes cojugués 1+ i 7 et 1 i 7 VI - Nombres complexes et géométrie Coliéarité et orthogoalité de vecteurs O cosidère des vecteurs o uls u et u' d affixes respectives z et z z lors : arg = argz argz' = ( e,u 1 ) ( e,u' 1 ) = ( u',u) [ ] Par suite les vecteurs o uls u et u' sot : coliéaires si et seulemet si le complexe z est réel, z orthogoaux si et seulemet si le complexe z z est imagiaire pur Distace de deux poits La distace de deux poits et est z z La distace des deux poits ( 1, 3 ) et ( 4, 7 ) ( 4, 7 ) est z z = 5 + 4i = = 41 Méthode : «Calculer des distaces», fiche exercices 6 «Nombres complexes» Tous droits réservés Studyrama 008 Fiche téléchargée sur wwwstudyramacom 6

7 Nº : 3006 Méthode : «Evaluer ue distace à l aide d u quotiet de ombres complexes», fiche exercices 6 «Nombres complexes» ffixe d u barycetre O cosidère u système de poits podérés ( 1,a 1),(,a ),,(,a ) avec a1 + a + + a 0 a1z + a 1 z + + a z lors le barycetre G de ce système de poits podérés a pour affixe : zg = a + a + + a 1 Méthode : «Détermier u barycetre», fiche exercices 6 «Nombres complexes» VII - Ecriture complexe de trasformatios géométriques Das toute cette partie, à u poit M d affixe z, o associe le poit M d affixe z Traslatio La traslatio de vecteur associe au poit M( z ) le poit M' ( z' ) tel que z = z+ z Homothétie L homothétie de cetre Ω( ω ) et de rapport k (k réel o ul ) associe au poit M( z ) le poit M' ( z' ) tel que z ω = k( z ω ) Méthode : «Ecriture complexe d ue homothétie», fiche exercices 6 «Nombres complexes» Rotatio La rotatio de cetre Ω( ω ) et d agle θ associe au poit M( z ) le poit ( ) z ω = e ( z ω ) M' z' tel que : Méthode : «Ecriture complexe d ue rotatio», fiche exercices 6 «Nombres complexes» Méthode : «Recoaître ue trasformatio géométrique», fiche exercices 6 «Nombres complexes» Tous droits réservés Studyrama 008 Fiche téléchargée sur wwwstudyramacom 7