Langages et expressions rationnels

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1 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels 1.1 Expressions rtionnelles Chpitre 2 Lngges et expressions rtionnels Une première fmille de lngge est introduite, l fmille des lngges rtionnels. Cette fmille ontient en prtiulier tous les lngges finis, mis églement de nomreux lngges infinis. L rtéristique de tous es lngge est l possiilité de les dérire pr des formules (on dit ussi motifs, en nglis ptterns) très simples. L utilistion de es formules, onnues sous le nom d expressions rtionnelles 1 s est imposé sous de multiples formes omme l «onne» mnière de dérire des motifs représentnt des ensemles de mots. Après voir introduit les prinipux onepts formels (à l setion 2.1), nous étudions quelques systèmes informtiques lssiques mettnt es onepts en pplition. 2.1 Rtionlité Lngges rtionnels Prmi les opértions définies dnsp(σ ) à l setion 1.4, trois sont distinguées et sont qulifiées de rtionnelles : il s git de l union, de l onténtion et de l étoile. A ontrrio, notez que l omplémenttion et l intersetion ne sont ps des opértions rtionnelles. Cette distintion permet de définir une fmille importnte de lngges : les lngges rtionnels. Définition 2.1 (Lngges rtionnels). SoitΣun lphet fini. Les lngges rtionnels surσsont définis indutivement pr : (i){} et sont des lngges rtionnels (ii) Σ,{} est un lngge rtionnel (iii) si L, L 1 et L 2 sont des lngges rtionnels, lors L 1 L 2, L 1 L 2, et L sont églement des lngges rtionnels. Est lors rtionnel tout lngge onstruit pr un nomre fini d pplition de l réurrene (iii). Pr définition, tous les lngges finis sont rtionnels, puisqu ils se déduisent des singletons pr un nomre fini d pplition des opértions d union et de onténtion. Pr définition églement, l ensemle des lngges rtionnels est los pour les trois opértions rtionnelles (on dit ussi qu il est rtionnellement los). 1 On trouve églement le terme d expression régulière, mis ette terminologie, quoique ien instllée, est trompeuse et nous ne l utiliserons ps dns e ours. 18 Extrit de Théorie des Lngges Formels, 2005, Frnçois Yvon & Akim Demille 3(18)

2 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels L fmille des lngges rtionnels orrespond préisément u plus petit ensemle de lngges qui (i) ontient tous les lngges finis, (ii) est rtionnellement los. Un lngge rtionnel peut se déomposer sous l forme d une formule finie, orrespondnt ux opértions (rtionnelles) qui permettent de le onstruire. Prenons l exemple du lngge sur{0, 1} ontennt tous les mots dns lesquels pprît u moins une fois le fteur 111. Ce lngge peut s érire :{0, 1} {111}{0, 1}, exprimnt que les mots de e lngge sont onstruits en prennt deux mots quelonques deσ et en insérnt entre eux le mot 111 : on peut en déduire que e lngge est ien rtionnel. Les expressions rtionnelles définissent un système de formules qui simplifient et étendent e type de nottion des lngges rtionnels Expressions rtionnelles Définition 2.2 (Expressions rtionnelles). SoitΣun lphet fini. Les expressions rtionnelles (RE) surσsont définies indutivement pr : (i)et sont des expressions rtionnelles (ii) Σ, est une expression rtionnelle (iii) si e 1 et e 2 sont deux expressions rtionnelles, lors (e 1 + e 2 ), (e 1 e 2 ), (e 1 ) et (e ) sont églement des 2 expressions rtionnelles. On ppelle lors expression rtionnelle toute formule onstruite pr un nomre fini d pplition de l réurrene (iii). Illustrons e nouveu onept, en prennt mintennt l ensemle des rtères lphétiques omme ensemle de symoles : r, e, d, é, sont des RE (pr (ii)) (re) et (dé) sont des RE (pr (iii)) (((( f )i)r)e) est une RE (pr (ii), puis (iii) ((re)+(dé)) est une RE (pr (iii)) ((((re)+(dé))) ) est une RE (pr (iii)) (((re+dé)) (((( f )i)r)e)) est une RE (pr (iii))... À quoi servent es formules? Comme nnoné, elles servent à dénoter des lngges rtionnels. L interpréttion (l sémntique) d une expression est définie pr les règles indutives suivntes : (i)dénote le lngge{} et dénote le lngge vide. (ii) Σ, dénote le lngge{} (iii.1) (e 1 + e 2 ) dénote l union des lngges dénotés pr e 1 et pr e 2 (iii.2) (e 1 e 2 ) dénote l onténtion des lngges dénotés pr e 1 et pr e 2 (iii.3) (e ) dénote l étoile du lngge dénoté pr e Revenons à l formule préédente : (((re+dé)) f ire) dénote l ensemle des mots formés en itérnt à volonté un des deux préfixes re ou dé, onténé u suffixe f ire : et ensemle dérit en fit un ensemle de mots existnts ou potentiels de l lngue frnçise qui sont dérivés pr pplition d un proédé tout à fit régulier de préfixtion verle. Pr onstrution, les expressions rtionnelles permettent de dénoter préisément tous les lngges rtionnels, et rien de plus. Si, en effet, un lngge est rtionnel, lors il existe une expression rtionnelle qui le dénote. Cei se montre pr une simple réurrene sur le nomre d opértions rtionnelles utilisées pour onstruire le lngge. Réiproquement, si un lngge est dénoté pr une expression rtionnelle, lors il est lui-même rtionnel [de nouveu pr indution sur le nomre d étpes dns l définition de l expression]. Ce dernier point est importnt, r il fournit une première méthode pour prouver qu un lngge est rtionnel : il suffit pour el d exhier une 19 Extrit de Théorie des Lngges Formels, 2005, Frnçois Yvon & Akim Demille 4(19)

3 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels expression qui le dénote. Pour lléger les nottions (et limiter le nomre de prenthèses), on imposer les règles de priorité suivntes : l étoile ( ) est l opérteur le plus lint, puis l onténtion, puis l union (+). Ainsi, + s interprète-t-il omme ((( ))+( )) Équivlene et rédutions L orrespondne entre expression et lngge n est ps iunivoque : hque expression dénote un unique lngge, mis à un lngge donné peuvent orrespondre plusieurs expressions différentes. Ainsi, les deux expressions suivntes : ( ) et ( ) sont-elles en rélité deux vrintes nottionnelles du même lngge surσ={, }. Définition 2.3 (Expressions rtionnelles équivlentes). Deux expressions rtionnelles sont équivlentes si elles dénotent le même lngge. Comment déterminer utomtiquement que deux expressions sont équivlentes? Existe-t-il une expression nonique, orrespondnt à l mnière l plus ourte de dénoter un lngge? Cette question n est ps nodine : pour luler effiement le lngge ssoié à une expression, il semle préférle de prtir de l version l plus simple, fin de minimiser le nomre d opértions à omplir. Un élément de réponse est fourni ve les formules de l Tle 2.1, qui expriment, (pr le signe=), un ertin nomre d équivlenes élémentires : e=e = e=e=e = = e+ f=f+ e e+ =e e+e=e e = (e ) e( f+ g)=e f+ eg (e+ f )g=eg+ f g (e f ) e=e( f e) (e+ f ) = e (e+ f ) (e+ f ) = (e + f ) (e+ f ) = (e f ) (e+ f ) = (e f ) e TAB. 2.1 Identités rtionnelles En utilisnt es identités, il devient possile d opérer des trnsformtions purement syntxiques ( est-à-dire qui ne hngent ps le lngge dénoté) d expressions rtionnelles, en prtiulier pour les simplifier. Un exemple de rédution otenue pr pplition de es expressions est le suivnt : ( +) = ( + ) = ( +) = ( +) L oneptulistion lgorithmique d une strtégie effie permettnt de réduire les expressions rtionnelles sur l se des identités de l Tle 2.1 étnt un projet diffiile, l pprohe l plus utilisée pour tester l équivlene de deux expressions rtionnelles n utilise ps diretement es identités, mis fit plutôt ppel à leur trnsformtion en des utomtes finis, qui ser présentée dns le hpitre suivnt (à l setion 3.2.2). 20 Extrit de Théorie des Lngges Formels, 2005, Frnçois Yvon & Akim Demille 5(20)

4 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels 2.2 Extensions nottionnelles Les expressions rtionnelles onstituent un outil puissnt pour dérire des lngges simples (rtionnels). L néessité de dérire de tels lngges étnt réurrente en informtique, es formules sont don utilisées, ve de multiples extensions, dns de nomreux outils d usge ournt. Pr exemple,grep est un utilitire disponile sous UNIX pour reherher les ourrenes d un mot(if) dns un fihier texte. Son utilistion est simplissime : > grep hine mon.texte imprime sur l sortie stndrd toutes les lignes du fihiermon.texte ontennt u moins une ourrene du mot hine. En fitgrep permet un peu plus : à l ple d un mot unique, il est possile d imprimer les ourrenes de tous les mots d un lngge rtionnel quelonque, e lngge étnt défini sous l forme d une expression rtionnelle. Ainsi, pr exemple : > grep h*ine mon.texte reherhe (et imprime) toute ourrene d un mot du lngge h ine dns le fihiermon.texte. Étnt donné un motif exprimé sous l forme d une expression rtionnelle e,grep nlyse le texte ligne pr ligne, testnt pour hque ligne si elle pprtient (ou non) u lnggeσ (e)σ ; l lphet (impliitement) sous-jent étnt l lphet ASCII ou le jeu de rtère étendu IS0 Ltin 1. L syntxe des expressions rtionnelles permises prgrep fit ppel ux rtères * et pour noter respetivement les opérteurs et+. Cei implique que, pour dérire un motif ontennt le symole *, il fudr prendre l préution d éviter qu il soit interprété omme un opérteur, en le fisnt prééder du rtère d éhppement \. Il en v de même pour les utres opérteurs (,(,))... et don ussi pour\. L syntxe omplète degrep inlut de nomreuses extensions nottionnelles, permettnt de simplifier grndement l ériture des expressions rtionnelles, u prix de l définition de nouveux rtères spéiux. Les plus importntes de es extensions sont présentées dns l Tle 2.2. Supposons, à titre illustrtif, que nous herhions à mesurer l utilistion de l imprfit du sujontif dns les romns de Blz, supposément disponiles dns le (volumineux) fihierblz.txt. Pour ommener, un peu de onjugison : quelles sont les terminisons possiles? Au premier groupe :sse,sses,ât,âmes,ssions,ssiez,ssent. On trouver don toutes les formes du premier groupe ve un simple 2 : > grep -E (ât âmes ss(e es ions iez ent)) Blz.txt Guère plus diffiile, le deuxième groupe :isse,isses,î,îmes,issions,issiez,issent. D où le nouveu motif : > grep -E ([îâ]t [âî]mes [i]ss(e es ions iez ent)) Blz.txt Le troisième groupe est utrement omplexe : disons simplement qu il implique de onsidérer églement les formes enusse (pour oire ou enore vloir ) ; les formes eninsse (pour venir, tenir et leurs dérivés...). On prvient lors à quelque hose omme : 2 L option-e donne ès à toutes les extensions nottionnelles 21 Extrit de Théorie des Lngges Formels, 2005, Frnçois Yvon & Akim Demille 6(21)

5 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels L expression dénote remrque. Σ. vut pour n importe quel symole Répétitions e* e e+ ee e? e+ e{n} (e n ) e{n,m} (e n + e n e m ) à ondition que n m Regroupements [] (++),, sont des rtères [-z] (++...z) utilise l ordre des rtères ASCII [^-z] Σ\{,, } n inlut ps le symole de fin de ligne\n Anres \<e e e doit pprître en déut de mot, ie. préédé d un séprteur (espe, virgule...) e\> e e doit pprître en fin de mot, ie. suivi d un séprteur (espe, virgule...) ^e e e doit pprître en déut de ligne e$ e e doit pprître en fin de ligne Crtères spéiux \.. \* \+ + \n dénote une fin de ligne... + TAB. 2.2 Définition des motifs pourgrep > grep -E ([îâû]n?t [îâû]mes [iu]n?ss(e es ions iez ent)) Blz.txt Cette expression est un peu trop générle, puisqu elle inlut des séquenes ommeunssiez ; pour l instnt on s en ontenter. Pour ontinuer, revenons à notre mition initile : herher des veres. Il importe don que les terminisons que nous vons définies pprissent ien omme des suffixes. Comment fire pour el? Imposer, pr exemple, que es séquenes soient suivies pr un rtère de pontution prmi :[,;.! :?]. On pourrit lors érire : > grep -E ([îâû]n?t [îâû]mes [iu]n?ss(e es ions iez ent))[,;.! :? ] \ Blz.txt indiqunt que l terminison verle doit être suivie d un des séprteurs.grep onnît même une nottion un peu plus générle, utilisnt :[ :punt :], qui omprend toutes les pontutions et[ :spe :], qui inlut tous les rtères d espement (ln, tultion...). Ce n est pourtnt ps ette nottion que nous llons utiliser, mis l nottion\>, qui est une nottion pourlorsque elui-i est trouvé à l fin d un mot. L ondition que l terminison est ien en fin de mot s érit lors : 22 Extrit de Théorie des Lngges Formels, 2005, Frnçois Yvon & Akim Demille 7(22)

6 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels > grep -E ([îâû]n?t [îâû]mes [iu]n?ss(e es ions iez ent))\> Blz.txt Dernier prolème : réduire le ruit. Notre formultion est en effet toujours exessivement lxiste, puisqu elle reonnît des mots ommemsse oupssions, qui ne sont ps des formes de l imprfit du sujontif. Une solution exte est ii hors de question : il fudrit reherher dns un ditionnire tous les mots suseptiles d être improprement dérits pr ette expression : est possile (un ditionnire est près tout fini), mis trop fstidieux. Une pproximtion risonnle est d imposer que l terminison pprissent sur un rdil omprennt u moins trois lettres, soit finlement (en joutnt églement\< qui spéifie un déut de mot) : > grep "\<[-zéèêîôûç]{3,}([îâû]n?t [îâû]mes [iu]n?ss(e es ions iez ent))\>" \ Blz.txt D utres progrmmes disponiles sur les mhines UNIX utilisent e même type d extensions nottionnelles, ve toutefois des vrintes mineures suivnt les progrmmes : est le s en prtiulier de(f)lex, un générteur d nlyseurs lexiux ; desed, un éditeur en th ; deperl, un lngge de sript pour l mnipultion de fihiers textes ; de(x)ems... On se reporter ux pges de doumenttion de es progrmmes pour une desription préise des nottions utorisées. Il existe églement des iliothèques permettnt de mnipuler des expressions rtionnelles. Ainsi, pour e qui onerne C, l iliothèqueregexp permet de «ompiler» des expressions rtionnelles et de les reherher dns un fihier. Une iliothèque équivlente existe en C++, en jv... Attention Une onfusion fréquente à éviter : les shells UNIX utilisent des nottions omplètement différentes pour exprimer des ensemles de noms de fihiers. Ainsi, pr exemple, l ommnde ls nom* liste tous les fihiers dont le nom est préfixé prnom ; et ps du tout l ensemle de tous les fihiers dont le nom pprtient u lngge nom. 23 Extrit de Théorie des Lngges Formels, 2005, Frnçois Yvon & Akim Demille 8(23)

7 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels 1.2 Automtes finis Introdution Les utomtes finis sont un s prtiulier des mhines à nomre finis d étts, dont l mhine de Turing représente l version l plus sophistiquée. On peut les rtériser de fçon purement mthémtique, omme dns l définition donnée plus loin, mis on peut ussi donner l métphore ournte : on dispose d une nde de leture, omposée de ses, et d un lphet de symole qui peuvent hun ouper extement une se. On suppose que l nde est infinie à droite, et qu une tête de leture peut lire les symoles sur l nde, en se déplçnt à hque leture d une se vers l droite. On suppose de plus un orgne de ontrôle, qui est suseptile d être dns un nomre fini d étts (on peut imginer des lmpes différentes selon l étt, pr exemple). Voir l figure 1.1, reprise du ours de Mster 1. $ Fig. 1.1 Comprison grphique AFD/MT Alors le ménisme de reonnissne d un mot peut être dérit de l fçon suivnte : u déprt, l tête se trouve sur le symole le plus à guhe, dns l étt initil. À hque top d horloge, l mhine vne d une se, et lit le symole orrespondnt, e qui (peut) provoque(r) un hngement d étt. L mhine s rrête soit à l fin du mot, soit pour un utre rison, et on déide que le mot est reonnu si l étt dns lequel se trouve l mhine est un étt dit finl. On peut distinguer plusieurs types d utomtes, selon qu ils sont omplets ou non, déterministes ou non, et. Ces différents types d utomtes sont souvent équivlents, e qui se démontre u moyen d lgorithmes, que nous verrons à l setion 2. Pr illeurs, les utomtes forment un domine où peuvent être définies ertines opértions déjà onnues sur les lngges (union, et). Ces opértions permettent de former de nouveux utomtes, et là enore, est le point de vue lgorithmique qui nous guider, dns l setion 3. 9

8 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Définitions Déf. 1 (Automte fini déterministe - AFD) Un utomte à nomre fini d étts (utomte fini) déterministe A est défini pr : A = Q,Σ,q 0,F,δ Q est un ensemle fini d étts Σ est un voulire (ou lphet) q 0 est un élément de Q, ppelé étt initil F est un sous-ensemle de Q, dont les éléments sont ppelés étts terminux δ est une fontion de Q Σ dns Q. On érit δ(q,) = r. Déf. 2 (Reonnissne) Un mot n est reonnu pr l utomte si et seulement si il existe une suite k 0,k 1,...,k n d éléments de Q (ensemle d étts) telle que k 0 = q 0 k n F i [1,n], δ(k i 1, i ) = k i Déf. 3 (AFD omplet) Un utomte à nomre fini d étts déterministe omplet A est défini pr : A = Q,Σ,q 0,F,δ Q est un ensemle fini d étts Σ est un voulire (ou lphet) q 0 est un élément de Q, ppelé étt initil F est un sous-ensemle de Q, dont les éléments sont ppelés étts terminux δ est une fontion de Q Σ dns Q, qui vérifie l propriété : (q,) Q Σ, q Q t.q. δ(q,) = q Déf. 4 (Automte fini non déterministe - AFnD) Un utomte à nomre fini d étts (utomte fini) non déterministe A est défini pr : A = Q,Σ,q 0,F,δ Q est un ensemle fini d étts Σ est un voulire (ou lphet) q 0 est un élément de Q, ppelé étt initil F est un sous-ensemle de Q, dont les éléments sont ppelés étts terminux δ est une fontion de Q Σ {} dns 2 Q. 10

9 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Commentires et exemples AFD Exemple Lngge {,,,, } δ : (1,) 2 (2,) 4 (2,) 3... Reonnissne Différentes situtions (ve un utomte déterministe non (néessirement) omplet) : input onsommé, sur étt terminl : SUCCÈS () input onsommé, sur un étt non terminl : ÉCHEC () input non onsommé, ps de trnsition : ÉCHEC (, ) (à noter que dns e dernier s, on peut être sur un étt terminl, mis on éhoue pre qu il reste de l input ( ), ou ien on peut être sur un étt non terminl ( )). AFD omplet C est quelquefois e qu on ppelle un AFD Il y des utomtes finis déterministes omplets sns puits Trnsformtions Complétion Comment rendre un utomte omplet? File : on rjoute un «puits», ou étt mort. Il suffit de ouher les trous de l tle, et de rjouter des oules sur le puits , 5,,,,, 0,, 11

10 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Déterministion Voii une illustrtion de l lgorithme sur un exemple :. eu X e e u u X e u {0} {0} {0,1} {0} {0} A {0,1} {0} {0,1} {0,2} {0} B {0,2} {0} {0,1} {0} {0,3} C {0,3} {0} {0,1} {0} {0} D X = X \ {e,,u} X,,u e A X,u e B X, e X,,u e C u D En exerie, fire l même hose à prtir de l utomte omplété. Conlusion : pour et lgo, e n est ps une onne idée de ompléter l utomte Elimintion des -trnsitions Prmi les utomtes non déterministes, on peut inlure (quelque fois, ils ne sont ps distingués) des utomtes à -trnsitions. Même définition : X,Q,q 0,F,δ, mis δ hnge : δ : Q X {} Q Exemple : ( ) Reonnissne : il peut y voir des trnsitions pr dns le hemin. Elimintion Étnt donné un -utomte X,Q,I,F,δ, on peut onstruire un utomte non déterministe qui reonnît le même lngge. 12

11 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Pour el, on définit l pplition + de l mnière suivnte : 1. Si q j δ(q i,) lors q j + (q i ) 2. Si q j + (q i ) et q k δ(q j,) lors q k + (q i ) On onstruit l utomte non déterministe X,Q,I,F,δ omme suit : Déut F := F pour tous les q i Q fire pour tous les x X fire δ (q i,x) := δ(q i,x) pour tous les q i tels que + (q i ) fire pour tous les q j + (q i ) fire pour tous les x et q r tels que q r δ(q j,x) fire δ (q i,x) := δ (q i,x) {q r } si q j F lors F := F {q i } Fin Idée de l lgorithme : on enlève toutes les trnsitions lphétiques, et on fit un lul d tteignilité. On peut représenter el sous forme d une mtrie. Exemple : Algo ve l mtrie (p. 631 Aho) : Dns le nouvel utomte, il existe une trnsition de l étt i vers l étt j dont l étiquette ontient le symole x s il existe un ertin étt k tel que 1. L étt k est essile à prtir de l étt i en suivnt un hemin de zéro -trnsitions ou plus. On noter que k = i est toujours utorisé. 2. Il existe, dns l nien utomte, une trnsition de l étt k vers l étt j, étiquetée pr x. Il reste ensuite à modifier éventuellement les étts d epttion. Exemple Soit l utomte reonnissnt ( ) (déjà vu). 13

12 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Tle de trnsition initile : δ 1 2,6, Tle près lul : δ Propriétés de fermeture Comme on défini des opértions (internes) sur les lngges, on peut envisger des opértions internes sur les utomtes. Voii les plus ourntes. 14

13 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Union Pour réliser une utomte qui reonnît l union de deux lngges, il suffit de fire en sorte que le nouvel utomte omprenne tous les hemins du premier utomte et tous eux du seond. Un moyen simple de proéder est de réer un nouvel étt initil, duquel prtent des -trnsitions vers les étts initiux des deux utomtes à réunir, et de réer un nouvel étt d epttion, qui ser l ile pr une -trnsition de tous les (niens) étts d epttion des deux utomtes. Le résultt est ien sûr non déterministe. Noter qu on peut ussi grder les étts d epttion sns un réer de nouveu. Exemple : , , = 0 1 3, , Formultion mthémtique : f. l setion Théorème de Kleene Conténtion, étoile Il est file d imginer, sur l même se que préédemment, omment réer un utomte rélisnt l onténtion de deux utomtes, ou l étoile d un utomte. C est en fit extement e que l on fit dns l lgorithme de trdution d une expression rtionnelle en utomte Complémenttion Le omplément d un lngge L 1 est l ensemle de tous les mots du monoïde qui n pprtiennent ps à e lngge. En terme d utomte, il s git don de tous les mots qui n ont ps de hemin outissnt à un étt finl dns l utomte reonnissnt L 1. L lgorithme pour onstruire le omplément d un utomte est reltivement intuitif : il suffit que tous les étts d éhe de l utomte initil deviennent des étts de réussite, et réiproquement. Prtiquement, il suffit de rendre terminux les étts non terminux et réiproquement (on éhnge Q et Q \ F). Mis ttention, il est néessire que tous les hemins possiles soient présent dns l utomte, et don qu il soit omplet ; de même il est néessire que l utomte initil soit déterministe. exemple : 15

14 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Complété Complémenté En exerie, le leteur est invité à se figurer e qui se produit lorsque es ontrintes ne sont ps vérifiées, et que l on pplique l lgorithme (éhnge de Q et Q \ F) Intersetion Théorie : on sit que L 1 L 2 = L 1 L 2. On pourrit don utiliser les lgorithmes préédents. Mis il y une utre méthode, moins fstidieuse (ne ps oulier que l omplémenttion néessite d ord une déterministion). Intuitivement, l idée est de prourir en prllèle les deux utomtes, et de ne grder que les hemins qui existent dns les deux utomtes. Pour el, les étts du nouvel utomte sont des ouples (q i,q j ), où q i pprtient u premier utomte et q j u seond. Pour hque lettre de trnsition, on rée le nouvel étt-ouple tteint, et on ontinue (1,1) (2,2) (4,5) (2,2) (4,5) (3,3) (4,5) (4,5) (4,5) (3,3) (3,4) (3,5) (3,4) (3,1) (3,4) (3,1) (3,2) (3,4) (3,2) (3,4) (3,3) (3,5) (3,5) (3,5) Les mêmes ontrintes que préédemment s ppliquent : on prt de deux utomtes déterministes omplets. À noter ussi qu un tel lgorithme, omme l lgorithme de déterministion, le mérite de ne ps onserver les étts non tteint depuis l étt initil. 1.3 Théorèmes d équivlene Le théorème tringulire On étli (Kleene y ontriué) une ensemle de résultts d équivlene que l on peut résumer de l fçon suivnte 1 L Re = L Rt = L Reg où L Re est l lsse des lngges reonnissles pr un utomte à nomre fini d étts ; L Rt est l lsse des lngges que l on peut dérire ve une expression rtionnelle ; 1 Le théorème de Kleene orrespond à l éqution : L Re = L Rt. 16

15 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels L Reg est l lsse des lngges engendrés pr une grmmire régulière. On symolise en générl e résultt sous l forme du tringle représenté à l figure 1.2. Fig. 1.2 Théorème d équivlene Rt ( ).* Re Reg S > X X X > X L démonstrtion du thèorème peut se fire de mnière onstrutive : pr exemple, pour montrer que tout lngge rtionnel est reonnissle, il suffit d exhier un lgorithme qui prennt une expression rtionnelle quelonque en entrée, produit en sortie un utomte qui reonnît le même lngge. Outre l diffiulté de définir l lgorithme, il fut pour que l démonstrtion soit vlide, d une prt grntir que l lgorithme fournit une réponse pour toute entrée possile, et d utre prt démontrer que l utomte fourni reonnît ien le même lngge. Nous ne verrons ps ii es deux derniers spets de l démonstrtion (qui sont ssez tehniques), nous nous ontenterons de donner (sous forme d exemples) les lgorithmes pour ertines des flèhes pointillées de l figure (en leu). Les lgorithmes mnqunts existent, mis ils sont théoriquement inutiles si les deux utres équivlenes sont étlies. Plus préisément, nous définirons les lgorithmes permettnt de démontrer : L Re L Reg Algorithme onstruisnt une grmmire régulière à prtir d un utomte, en identifint les non-terminux de l grmmire et les étts de l utomte. ( ) L Reg L Re Algorithme très prohe du préédent, toujours sé sur l identité entre symole non-terminl et étt. ( ) L Rt L Re Algorithme sé sur l déomposition syntxique de l expression rtionnelle, et l omposition d utomtes orrespondnts. ( ) L Re L Rt Algorithme de M Nughton et Ymd, qui onstruit itértivement, en prtnt de l utomte initil, un utomte fini générlisé qui finit pr ne ontenir qu une trnsition étiquetée pr une expression rtionnelle équivlente. ( ) 17

16 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Grmmires et utomtes Prinipe Rppel une grmmire régulière (dite ussi linéire) est une grmmire dont toutes les règles de prodution sont sous l une des formes suivntes 2 : A xb A x A Note On peut toujours proposer une définition sns -prodution, ou plutôt sns utre -prodution qu une règle S, où S est l xiome, et S est inessile. Le prinipe de orrespondne entre utomtes et grmmires régulières est très intuitif : il orrespond à l oservtion que hque trnsition dns un utomte produit extement un symole, de même que hque dérivtion dns une grmmire régulière. Le tleu 1.2 résume ette orrespondne, qui donne les ses des lgorithmes dns les deux sens. A A x B A xb Axiome = A B B A x A (A nouvel étt) A x T. 1.1 Correspondnes utomte grmmire régulière L pplition de l lgorithme est illustrée à l figure 1.3 ve un utomte non déterministe S 1 S 2 S 3 S 2 S 2 S 5 S 3 S 2 S 4 S 3 S 4 S 3 S 5 S 5 Fig. 1.3 Exemple Re Reg (utomte non déterministe) 2 Où, onformément ux onventions hituelles, A et B sont des non-terminux, et x est un symole terminl. L définition donnée ii orrespond à une grmmire linéire/régulière guhe. Définition nlogue possile à droite. 18

17 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Automtes grmmires régulières On peut prtir d un utomte quelonque (non déterministe, non omplet), il suffit de onsidérer une à une toutes les trnsitions et de produire les règles orrespondntes d près le tleu 1.1. Si l utomte ontient des trnsitions vides, on peut ien sûr s en dérrsser (lgorithme déjà vu), ou ien les trduire en produtions singulières ( A B devient A B). Mis il fut ensuite supprimer les produtions singulières (qui ne sont ps permises dns une grmmire régulière), ve un lgorithme qui ressemle euoup à l lgorithme de suppression des -produtions dns un utomte Grmmires régulières utomtes Prtnt d une grmmire régulière, il suffit de réer un étt pour hque non-terminl, et de trduire hque règle de prodution en utilisnt le même tleu de orrespondne. Le seul s un peu prtiulier onerne les règles de l forme A x, pour lesquelles il suffit de remrquer que e sont des règles terminles (l dérivtion s rrête néessirement dès qu une prodution de ette forme est délenhée). Il fut réer un nouvel étt, terminl (A dns le tleu). Pour omprendre ette orrespondne, on peut oserver que l dérivtion A x est équivlente à une dérivtion ve les deux règles A xa, et A Automtes et expressions rtionnelles Expression rtionnelle Automte On peut montrer (voir setion Propriétés de fermeture ) que l réunion, l onténtion, et l étoile peuvent être définis sur les utomtes ; il est don possile, pr exemple, de onstruire un utomte qui reonnît L 1 L 2 pr l réunion de l utomte qui reonnît L 1 et de l utomte qui reonnît L 2. Ces onsidértions permettent de définir filement un lgorithme de trdution d une expression rtionnelle quelonque en un utomte reonnissnt le même lngge. Voii et lgorithme, spéifié d ord sous forme mthémtique, puis sous l forme d un tleu de orrespondne grphique, dns le même esprit que le tleu 1.1 donné plus hut (mis orienté ette fois-i). Trdution réursive d une expression rtionnelle en un utomte 1. Au mot vide, on ssoie l utomte X, {q 0 }, {q 0 }, {q 0 }, 2. À l expression rtionnelle x (x X), on ssoie l utomte X, {q 0, q 1 }, {q 0 }, {q 1 }, {(q 0, x, q 1 )} 3. Soit R une expression rtionnelle, ssoiée à l utomte X, Q R, I R, F R, δ R ; à R, on ssoie l utomte X, Q R {Q 0 }, {Q 0 }, {Q 0 }, δ R 3, où δ R = δ R q I R (Q 0,, q) q F R (q,, Q 0 ) 4. Soient R et S deux expressions rtionnelles uxquelles ont été ssoiés respetivement X, Q R, I R, F R, δ R et X, Q S, I S, F S, δ S, dont on suppose que tous les étts sont distints (Q S Q R = ). 3 Q 0 est un nouvel étt t.q. Q 0 Q. 19

18 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels () () À RS on ssoie l utomte X, Q R Q S, I R, F S, δ R δ S q F R À R S on ssoie l utomte X, Q R Q S, Q 0, F R F S, δ R δ S q I S (q,, q ) q I R I S (Q 0,, q) RR R+R R* T. 1.2 D une expression rtionnelle vers un utomte Automte expression rtionnelle Il s git de l lgorithme le plus sophistiqué de l série présentée ii, est l lgorithme de MNughton et Ymd. L lgorithme est divisé en deux étpes. Lors de l première étpe, l utomte est trnsformé en un utomte d un utre type, ppelé utomte (fini) générlisé. Cet utomte est ensuite trnsformé (itértivement) en expression régulière lors d une seonde étpe. Un utomte générlisé est un utomte dont les trnsitions sont étiquetées pr des expressions rtionnelles (plus le symole, voir plus loin) et non ps simplement pr des symoles ou. L utomte générlisé lit le mot à reonnître pr los de symoles. Les utomtes générlisés que nous llons mnipuler vérifient les ontrintes suivntes : 20

19 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels L étt initil possède une trnsition vers tous les utres étts (éventuellement une trnsition non psssnte, étiquetée pr ) ; Auun étt n de trnsition vers l étt initil Il existe un et un seul étt d epttion, distint de l étt initil, qui n uune trnsition vers les utres étts qui est tteint pr tous les utres étts Tous les étts (suf initil et epttion) possèdent une et une seule trnsition vers tous les utres étts. L première étpe de l lgorithme, qui onsiste à trnsformer l utomte initil en utomte générlisé, revient à jouter un étt initil et un étt finl vérifint les ontrintes préédentes (reliés pr des -trnsitions ux étts initil et finux de l utomte initil) ; puis à fire en sorte que tous les étts soient reliés à tous les étts, soit pr une trnsition mrquée (lorsqu il n existe ps de hemin entre les deux étts), soit pr une trnsition unique portnt l étiquette de l utomte initil (ou l union des étiquettes s il y plusieurs trnsitions entre deux étts). Il est file de vérifier que l utomte générlisé reonnît le même lngge (les trnsitions sont non pssntes ). L seonde étpe est une rédution itértive du nomre d étts de l utomte générlisé, jusqu à otenir un utomte n ynt que deux étts, et une trnsition qui ser étiquetée pr l expression rtionnelle orrespondnt u lngge reonnu. Il est lir que ette rédution doit onserver à hque étpe le lngge reonnu. Chque étpe de ette rédution onsiste en l suppression d un étt en rérrngent l utomte de fçon à reonnître le même lngge. Soit q e l étt à supprimer, il fut onsidérer tous les ouples d étts (q 1,q 2 ), et fire en sorte que les trnsitions llnt de q 1 à q 2 en pssnt ou non pr q e soient synthétisées sur une seule trnsition représentnt tous les hemins possiles. Cette élimintion est représentée pr l figure 1.4. Fig. 1.4 Elimintion d un étt, Algorithme de MNughton & Ymd E" E E q q q 1 e 2 R q E E * E" + R 1 q 2 Il est importnt de noter que l élimintion d un étt onduit à onsidérer tous les ouples d étts de l utomte, y ompris les ouples (q i,q i ) (mis en tennt ompte de l définition d un utomte générlisé, don le ouple (q 0,q i ) est onsidéré, mis ps le ouple (q i,q 0,) (où q 0 est l étt initil)). 21

20 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Un exemple détillé Le point importnt est de ien déterminer l ensemle des ominisons à onsidérer. Soit l utomte représenté à l figure 1.5. À l issue de l première étpe, on psse à l utomte générlisé représenté à l figure 1.6 (pour rendre l figure plus lisile, on représenté les rs non pssnts pr des trits pointillés). Fig. 1.5 MNughton & Ymd, exemple. Automte initil Fig. 1.6 Exemple d pplition de MNughton & Ymd. Automte générlisé 2 I 1 F 3 L rédution onsiste don à éliminer suessivement les étts de l utomte, en ne lissnt que I et F. Commençons pr l suppression de l étt 1. Le tleu 1.3 liste l totlité des triplets de l forme (q i,1,q j ) ; pour hque triplet, on onstruit l étiquette de l trnsition (q i,q j ) qui reonnît le même lngge. L troisième olonne donne l forme simplifiée de l expression rtionnelle 4. Cette tle nous donne diretement le nouvel utomte générlisé, dérrssé de l étt 1, mis reonnissnt le même lngge. Il est représenté à l figure 1.7. On reommene lors pour l étt 2, le nomre de ominisons à onsidérer est ien sûr euoup plus réduit. L utomte résultnt est représenté à l figure 1.8. Il ne reste plus qu à supprimer l étt 3, e qui se fit en ppliqunt diretement l règle 4 Les définitions ourntes de l sémntique du lngge des expressions rtionnelles donnent isément, pour r une expression rtionnelle quelonque : r =, r =, =, et enfin r = r = r. 22

21 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels I 1 I ps à onsidérer, I n ps d rs entrnts I 1 2 I 1 3 I 1 F 2 1 I ps à onsidérer, I n ps d rs entrnts F 3 1 I ps à onsidérer, I n ps d rs entrnts F T. 1.3 Les triplets impliqunt l étt 1 Fig. 1.7 MNughton & Ymd, exemple. Automte générlisé près suppression de 1 2 I F 3 illustrée plus hut. L expression résultnte est : ( (( ) ) (( ) ) ) I 2 3 I 2 F ( ) 3 2 F ( ) T. 1.4 Les triplets à onsidérer impliqunt l étt 2 23

22 Université Pris Diderot LI324(1) 08/09 Ch1. Lngges rtionnels Fig. 1.8 MNughton & Ymd, exemple. Automte générlisé près suppression de 2 * I F * 3 ( )* ( )* 24