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1 Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice **I Moyees arithmétique, géométrique et harmoique Soiet x et y deux réels tels que 0 < x y. O pose m = x+y (moyee arithmétique), g = xy (moyee géométrique) et h = ( x + y ) (moyee harmoique). Motrer que x h g m y. Correctio [0054] Exercice *I Iégalité de BERNOULLI Motrer que, pour a réel positif et etier aturel doés, ( + a) + a. Correctio [00547] Exercice *** O veut motrer de maière élémetaire (c est-à-dire e se passat du logarithme épérie et e e travaillat qu avec les deux opératios + et ) que pour N, ( + ) <. Pour cela développer, puis majorer u k = Ck e commeçat par majorer v k k = u k+ u k par. Correctio [00548] Exercice 4 ***I Soiet N et a, a,..., a, réels strictemet positifs. Motrer que (a + a a )( a a ) (développer et peser à f (x) = x + x ). Correctio [00549] Exercice 5 ***I Iégalité de CAUCHY-SCHWARZ Soiet N et a, a,..., a, b, b,..., b, réels. Motrer que a k b k a k. b k a k b k. (Idicatio. Cosidérer le polyôme f (x) = (a k + b k x), développer puis ordoer suivat les puissaces décroissates puis utiliser, das le cas gééral, les coaissaces sur le secod degré). Retrouver alors le résultat de l exercice 4. Correctio [00550] Exercice *** Soiet a, b et c trois réels positifs. Motrer que l u au mois des trois réels a( b), b( c), c( a) est iférieur ou égal à 4. Correctio [0055] Exercice 7 **I

2 . Motrer que : x R, E(x + ) = E(x) +.. Motrer que : (x,y) R, E(x) + E(y) E(x + y).. Motrer que : (x,y) R, E(x) + E(y) + E(x + y) E(x) + E(y). Correctio [0055] Exercice 8 **I Tout etier aturel o ul s écrit de maière uique sous la forme = a 0 + 0a p a p, où p est u etier aturel et les a i sot des etiers élémets de {0,...,9}, a p état o ul. Détermier p e foctio de. Correctio [0055] Exercice 9 **I Soiet x u réel. Détermier lim + E(x)+E(x)+...+E(x). Correctio [00554] Exercice 0 **I Soiet u etier aturel et x u réel positif.. Combie y a-t-il d etiers aturels etre et? etre et x?. Combie y a-t-il d etiers aturels etre 0 et? etre 0 et x?. Combie y a-t-il d etiers aturels pairs etre 0 et x? Combie y a-t-il d etiers aturels impairs etre 0 et x? 4. Combie y a-t-il de multiples de etre 0 et x? 5. Combie l équatio x + y =, etier aturel doé et x et y etiers aturels icous, a-t-elle de couples solutios?. De combie de faços peut-o payer 0 euros avec des pièces de 0 et 0 cetimes d euros? 7. (***) Combie l équatio x + y =, etier aturel doé et x et y etiers aturels icous, a-t-elle de couples solutios? Correctio [00555] Exercice **** Motrer que : N, x R, E(x + k ) = E(x) (poser la divisio euclidiee de E(x) par ). Correctio [0055] Exercice **** Motrer que pour N, E( ( + E( ))) = E( 5 ). Correctio [00557] Exercice ****I Soit N.. Motrer qu il existe (a,b ) (N ) tel que ( + ) = a + b, puis que b = a.. Motrer que E(( + ) ) est u etier impair (peser à ( ) )). Correctio [00558] Exercice 4 **

3 Motrer que N, x R, E( E(x) ) = E(x). Correctio [00559] Exercice 5 *** Soit N et (x,x,...,x ) [,] tels que x + x x = 0. Motrer que x + x x E( 4 ). Correctio [0050] Exercice ***I Motrer que N, ( <!). (commecer par vérifier que pour k =,,...,, o a : ( k + )k > ). Correctio [005] Exercice 7 *** Motrer que N, cosk 4 (remarquer que si x [0;], x x). Correctio [005] Exercice 8 **I Motrer que N, x R, si(x) six. Correctio [005] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

4 Correctio de l exercice Soiet x et y deux réels tels que 0 < x y.. O a déjà x = x+x x+y = m y+y = y et doc x m y. (o peut aussi écrire : m x = x+y x = y x 0).. O a esuite x = x.x xy = g y.y = y et doc x g y.. m g = x+y xy = (( x) xy + ( y) ) = ( y x g m y x) 0 et doc,. 4. D après ), la moyee arithmétique de x et y est comprise etre x et y, ce qui fourit y h x, ou ecore x h y. 5. D après ), la moyee géométrique des deux réels x et y arithmétique. Ceci fourit x. y ( x + y ) ou ecore g h et fialemet ( ) x h g m y où h = x + y, g = xy et m = x+y. est iférieure ou égale à leur moyee Remarque. O a h = xy x+y, mais cette expressio e permet pas de compredre que h est la moyee arithmétique de x et y. Remarque. O peut visualiser l iégalité etre moyee arithmétique et géométrique. Si (ABC) est u triagle rectagle e A et A est le pied de la hauteur issue de A, o sait que AA = A B.A C. O se sert de cette remarque pour costruire g et la comparer graphiquemet à m. O accolle deux segmets de logueurs respectives x et y. O costruit alors u triagle rectagle d hypothéuse ce segmet (de logueur x + y) oté [BC], tel que le troisième sommet A ait ue projectio orthogoale A sur (BC) vérifiat BA = x et CA = y. A g m B x A x + y y C La moyee arithmétique de x et y est m = x+y, le rayo du cercle, et la moyee géométrique de x et y est g = xy = A B.A C = AA, la hauteur issue de A du triagle (ABC). Correctio de l exercice ( + a) = ( + a)...( + a) = + a a. Correctio de l exercice Pour N, ( + ) = C k. Pour k {0,...,}, posos u k k = Ck puis v k k = u k+ u k. Pour k {,..., }, o a alors 4

5 v k = Ck+. k C. k k+ =. + + = <!k!( k)!!(k + )!( k )! = (car k ) k ( + ) (k + ) = = (k + ) (k + ) + + (k + ) Aisi, pour k {,..., }, u k+ u k et doc, immédiatemet par récurrece, u k k u = k = k. E teat compte de u 0 =, o a alors pour N, ( + ) = u k + k = + = + ( ) = <. Correctio de l exercice 4 Soiet N et a, a,..., a, réels strictemet positifs. ( i= )( ) a i = j= a j i, j a i a j = a i i= a i + i< j ( a i + a j ) = + a j a i i< j ( a i + a j ) a j a i Pour x > 0, posos alors f (x) = x + x. f est dérivable sur ]0,+ [ et pour x > 0, f (x) = = (x )(x+). f x x est doc strictemet décroissate sur ]0, ] et strictemet croissate sur [, + [. f admet aisi u miimum e. Par suite, x > 0, f (x) f () = + =. (Remarque. L iégalité etre moyee géométrique et arithmétique permet aussi d obteir le résultat : (x + x ) x. x =.) O e déduit alors que i i=a j= + a j i< j = + =. Correctio de l exercice 5 Pour x réel, posos f (x) = (a k + b k x). O remarque que pour tout réel x, f (x) 0. E développat les carrés, o obtiet, f (x) = (b kx + a k b k x + a k) = ( b k)x + ( a k b k )x + ( er cas. Si b k 0, f est u triôme du secod degré de sige costat sur R. So discrimiat réduit est alors égatif ou ul. Ceci fourit 0 = ( a k b k ) ( b k)( a k), a k). 5

6 et doc a k b k a k b k. ème cas. Si b k = 0, alors tous les b k sot uls et l iégalité est immédiate. Fialemet, das tous les cas, a kb k a k b k. Cette iégalité est ecore valable e remplaçat les a k et les b k par leurs valeurs absolues, ce qui fourit les iégalités itermédiaires. Retrouvos alors l iégalité de l exercice 4. Puisque les a k sot strictemet positifs, o peut écrire : ( i= )( ) a i = i= a i ( i= )( ) ( ) ai ai =. i= a i i= a i Correctio de l exercice Si l u des réels a, b ou c est strictemet plus grad que, alors l u au mois des trois réels a( b), b( c), c( a) est égatif (puisque a, b et c sot positifs) et doc iférieur ou égal à 4. Sio, les trois réels a, b et c sot das [0,]. Le produit des trois réels a( b), b( c) et c( a) vaut a( a)b( b)c( c). Mais, pour x [0,], x( x) est positif et d autre part, x( x) = (x ) Par suite, a( a)b( b)c( c) 4. Il est alors impossible que les trois réels a( b), b( c) et c( a) soiet strictemet plus grad que 4, leur produit état das ce cas strictemet plus grad que 4. O a motré das tous les cas que l u au mois des trois réels a( b), b( c) et c( a) est iférieur ou égal à 4. Correctio de l exercice 7. Soit x R. Alors, E(x) x < E(x) + puis E(x) + x + < (E(x) + ) +. Comme E(x) + Z, o a bie E(x + ) = E(x) +.. Soiet (x,y) R. O a E(x) + E(y) x + y. Aisi, E(x) + E(y) est u etier relatif iférieur ou égal à x + y. Comme E(x + y) est le plus grad etier relatif iférieur ou égal à x + y, o a doc E(x) + E(y) E(x + y). Amélioros. E(x) x < E(x)+ et E(y) y < E(y)+ fourit E(x)+E(y) x+y < E(x)+E(y)+ et doc E(x + y) vaut, suivat le cas, E(x) + E(y) ou E(x) + E(y) + (et est das tous les cas supérieur ou égal à E(x) + E(y)).. Soit (x,y) R. Posos k = E(x) et l = E(y). er cas. Si x [k,k + [ et y [l,l + [, alors x + y [k + l,k + l + [ et doc E(x + y) = k + l, puis E(x) + E(y) + E(x + y) = k + l + k + l = k + l. D autre part, x [k,k + [ et y [l,l + [. Par suite, E(x) + E(y) = k + l. Das ce cas, E(x) + E(y) + E(x + y) = E(x) + E(y). ème cas. Si x [k +,k +[ et y [l,l + [, alors x+y [k +l +,k +l + [ et doc E(x+y) = k +l ou k + l +,puis E(x) + E(y) + E(x + y) = k + l ou k + l +. D autre part, x [k +,k + [ et y [l,l + [. Par suite, E(x) + E(y) = k + l +. Das ce cas, E(x) + E(y) + E(x + y) E(x) + E(y). ème cas. Si x [k,k + [ et y [l +,l + [, o a de même E(x) + E(y) + E(x + y) E(x) + E(y).

7 4ème cas. Si x [k +,k +[ et y [l +,l +[, o a E(x)+E(y)+E(x+y) = k +l + = E(x)+ E(y). Fialemet, o a das tous les cas E(x) + E(y) + E(x + y) E(x) + E(y). Correctio de l exercice 8 p est détermié par l ecadremet : 0 p < 0 p+ qui s écrit ecore p l l0 < p +. Par suite, p = E(log 0 ()). Le ombre de chiffres d u etier e base 0 est doc E(log 0 ()) +. Correctio de l exercice 9 Soiet x R et N. Pour k, o a E sommat ces iégalités, o obtiet kx < E(kx) kx. et aussi, E(x) + E(x) E(x) x + x x ( + )x = = ( + )x, E(x) + E(x) E(x) (x ) + (x ) (x ) ( + )x/ ( + )x > = =. Fialemet, pour tout aturel o ul, ( + )x E(x) + E(x) E(x) ( + )x <. Les deux membres extrêmes de cet ecadremet tedet vers x quad ted vers +. D après le théorème des gedarmes, o peut affirmer que x R, lim + E(x)+E(x)+...+E(x) = x. Correctio de l exercice 0. Par défiitio d u etier, il y a etiers etre et. Esuite, pour tout etier aturel k, o a Il y a doc E(x) etiers etre et x. k x k E(x).. Il y a + etiers etre 0 et et E(x) + etiers etre 0 et x.. Les etiers aturels pairs sot les etiers de la forme k, k N. Or, 0 k x 0 k x. Le ombre des etiers pairs compris etre 0 et x est ecore le ombre des etiers k compris au ses large etre 0 et x. D après ), il y a E( x ) + etiers pairs etre 0 et x. De même, il y a E( x ) + multiples de etre 0 et x. De même, 7

8 0 k + x x k 0 k E( x ). Il y a doc E( x x+ ) + = E( ) etiers impairs etre 0 et x. 4. Il y a E( x ) + multiples de etre 0 et x. 5. Soiet N et (x,y) N. O a x + y = x = y. Doc, (x,y) est solutio si et seulemet si y N et y N ou ecore si et seulemet si 0 y. Il y a doc E( ) + couples solutios.. Si x et y sot respectivemet le ombre de pièces de 0 cetimes d euros et le ombre de pièces de 0 cetimes d euros, le ombre cherché est le ombre de couples d etiers aturels solutios de l équatio 0x +0y = 000 qui s écrit ecore x +y = 00. D après 5), il y a E( 00 )+ = 5 faços de payer 0 euros avec des pièces de 0 et 0 cetimes d euros. 7. Soiet N et (x,y) N. O a Doc, x + y = x = y. (x,y) solutio x = y et y N et y N. Maiteat, comme y = ( y) y et que y est u etier pair, y est pair si et seulemet si y est pair ce qui reviet à dire que y a la parité de. Aisi, (x,y) solutio x = y et y N et 0 y et y a la parité de. er cas. Si est pair, le ombre de couples solutios est ecore le ombre d etiers pairs y compris au ses large etre 0 et. Il y a E( + )) + = E( ) tels etiers. ème cas. Si est impair, le ombre de couples solutios est ecore le ombre d etiers impairs y compris au ses large etre 0 et. Il y a E( + )) + = E( ) tels etiers. Fialemet, le ombre cherché est E( + ) si est pair et E( + ) si est impair. Correctio de l exercice. Par défiitio d u etier, il y a etiers etre et. Esuite, pour tout etier aturel k, o a Il y a doc E(x) etiers etre et x. k x k E(x).. Il y a + etiers etre 0 et et E(x) + etiers etre 0 et x.. Les etiers aturels pairs sot les etiers de la forme k, k N. Or, 0 k x 0 k x. Le ombre des etiers pairs compris etre 0 et x est ecore le ombre des etiers k compris au ses large etre 0 et x. D après ), il y a E( x ) + etiers pairs etre 0 et x. De même, il y a E( x ) + multiples de etre 0 et x. De même, Il y a doc E( x 0 k + x k x x+ ) + = E( ) etiers impairs etre 0 et x. 8 0 k E( x ).

9 4. Il y a E( x ) + multiples de etre 0 et x. 5. Soiet N et (x,y) N. O a x + y = x = y. Doc, (x,y) est solutio si et seulemet si y N et y N ou ecore si et seulemet si 0 y. Il y a doc E( ) + couples solutios.. Si x et y sot respectivemet le ombre de pièces de 0 cetimes d euros et le ombre de pièces de 0 cetimes d euros, le ombre cherché est le ombre de couples d etiers aturels solutios de l équatio 0x +0y = 000 qui s écrit ecore x +y = 00. D après 5), il y a E( 00 )+ = 5 faços de payer 0 euros avec des pièces de 0 et 0 cetimes d euros. 7. Soiet N et (x,y) N. O a Doc, x + y = x = y. (x,y) solutio x = y et y N et y N. Maiteat, comme y = ( y) y et que y est u etier pair, y est pair si et seulemet si y est pair ce qui reviet à dire que y a la parité de. Aisi, (x,y) solutio x = y et y N et 0 y et y a la parité de. er cas. Si est pair, le ombre de couples solutios est ecore le ombre d etiers pairs y compris au ses large etre 0 et. Il y a E( + )) + = E( ) tels etiers. ème cas. Si est impair, le ombre de couples solutios est ecore le ombre d etiers impairs y compris au ses large etre 0 et. Il y a E( + )) + = E( ) tels etiers. Fialemet, le ombre cherché est E( + ) si est pair et E( + ) si est impair. Correctio de l exercice Soit N. La divisio euclidiee de par 5 fourit u quotiet etier q et et u reste r élémet de {0,,...,4} tels que = 5q + r. O a alors et E( ( + E( 5 ))) = E(5q + r + q ) = E(8q + r + + ) = 8q + E(r ), E( ) = E( 5 8(5q + r) + 4 ) = 8q + E( 5 8r + 4 ). 5 Pour motrer l égalité de l éocé, il reste doc à vérifier les 5 égalités E( r+ 8r+4 ) = E( 5 ), 0 r 4, ( ), ce qui peut déjà se vérifier «à la mai». Dimiuos ecore le ombre de vérificatios. La divisio euclidiee de r par s écrit r = k+l avec 0 l. Mais alors, E( r + ) = k + E(l ) et E(8r ) = E( 5 5k k + 8l + 4 ) = k + E( 5 Si l = 0, k varie de 0 à 8 et das ce cas, 0 k+4 5 = k+8l <. Par suite, E( k + 8l + 4 ) = 0 = E( 5 ) = E(l + ). k + 8l + 4 ). 5 9

10 O a aisi vérifié ( ) quad r {0,,, 9,, 5, 8,, 4}. Si l = ou l =, E( l+ ) = et d autre part, k varie de 0 à 7. Das ce cas, et doc = E( k + 8l k + 8l + 4 ) = = E( l + 5 ). O a aisi vérifié ( ) pour les autres valeurs de r. Fialemet, o a motré que N, E( 8+4 ( + E( 5 ))) = E( 5 ). < Correctio de l exercice Soit N.. La formule du biôme de NEWTON permet d écrire ( + ) = = E(/) Aisi, e posat a = E(/) ( ) E(/) k k = k ( ) k k + k ( k ) k k + E(( )/) E(( )/) ( ) k k. k + ( ) k+ k k + ( k) k k et b = E(( )/) ( k+) k k, a et b sot des etiers tels que ( + ) = a + b. E remplaçat par, o a aussi ( ) = a b. Mais alors, a b = (a + b )(a b ) = ( + ) ( ) = (4 ) =.. O ote que ( + ) + ( ) = (a + b ) + (a b ) = a. Mais, Par suite, ou ecore 0 < ( ) <. ( + ) < ( + ) + ( ) = a < ( + ) +, a < ( + ) < a. O e déduit que E(( + ) ) = a et doc quee(( + ) ) est u etier impair. Correctio de l exercice 4 Soiet N et x R. E(x) x < E(x) + E(x) x < E(x) + E(x) E(x) < E(x) + E(x) E(x) E( E(x) ) = E(x). < E(x) + 0

11 Correctio de l exercice 5 Soiet N et (x,x,...,x ) [,] tels que x + x x = 0. O écrit (x + x x ) = (x + x x ) + (x + x x ) + (x x ) (x + x ) + x, avec x x = 0 et doc x x = x... er cas. Si = p est pair, alors 4 = p et doc, E( 4 ) = p = 4. Das ce cas, o peut écrire x + x x x + x x p + x x p x p x p + x p x p... + x p + x p + x p = 0 + x + x x x +... x p + x p x p... + x p + x p + x p p(p ) (p ) + p + (p ) = + p = p = E( 4 ) ème cas. Si = p + est impair, alors 4 = p + p + 4 peut écrire et doc, E( 4 ) = p + p = 4. Das ce cas, o x + x x x + x x p x p x p+ Das tous les cas, o a motré que + x p x p x p+ = 0 + x + x x x +... x p + x p x p x p+ p(p + ) (p ) + p + p + (p ) = = p + p = E( 4 ) N, x + x x E( 4 ). Correctio de l exercice Soit N \ {0,,}.! = ( + k) k = k( + k). Maiteat, la foctio x x( + x) est strictemet croissate sur [0, + ] et strictemet décroissate sur [ +, + ]. Puisque f () = f () =, o e déduit que pour x [, ], f (x) >. Puisque, o a et o peut écrire et doc,! = k( + k) > =, k= k=! = (! ) /() > ( ) / =.

12 Correctio de l exercice 7 Soit N. Puisque, pour tout etier k, cosk [0,], o a alors cosk cos k = ( + cos(k)) = + Re( = + si Re(ei( +) si ) = cos( + )si + si si. Maiteat, si = 0, Par suite, pour, si 0,75 = 4 4, et doc si 4 = 4. e ik ) = + ei Re(ei e i ) Efi, si =, cos = = 4 et si =, cos + cos = = 4. Fialemet, N, cosk 4. Correctio de l exercice 8 Soit x R. Motros par récurrece que : N, si(x) six. - C est clair pour = 0. - Soit 0. Supposos que si(x) six. Alors, si( + )x = sixcosx + cosxsix six. cosx + cosx. six six + six six + six (par hypothèse de récurrece) = ( + ) six O a motré par récurrece que N, x R, si(x) six.

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