ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Durée : 2 heures

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1 Baque d épreuves FESIC Samedi 4 mai 06 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : heures INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS L'usage de la calculatrice ou de tout appareil électroique est iterdit L'épreuve comporte 6 exercices idépedats Vous e devez e traiter que maximum Si vous e traitez davatage, seuls les premiers serot corrigés U exercice comporte 4 affirmatios repérées par les lettres a, b, c, d Vous devez idiquer pour chacue d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F) U exercice est cosidéré comme traité dès qu'ue répose à ue des 4 affirmatios est doée (l'abstetio et l'aulatio e sot pas cosidérées comme répose) Toute répose exacte rapporte u poit Toute répose iexacte etraîe le retrait d'u poit L'aulatio d'ue répose ou l'abstetio 'est pas prise e compte, c'est-à-dire e rapporte i e retire aucu poit Ue boificatio d'u poit est ajoutée chaque fois qu'u exercice est traité correctemet e etier (c'est-à-dire lorsque les réposes aux 4 affirmatios sot exactes) L'attetio des cadidats est attirée sur le fait que, das le type d'exercices proposés, ue lecture attetive des éocés est absolumet écessaire, le vocabulaire employé et les questios posées état très précis

2 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice Lecture-iterprétatio éocé Soit f ue foctio défiie, dérivable et e s aulat pas sur l itervalle I=[0 ; 4] O pose Cf la courbe représetative de f das le repère orthoormé O;, i j et g la foctio défiie sur [0 ; 4] par gx ( ) f( x) La tagete TA au poit A( ;) passe par le poit B( ;0) a) f ' b) f ' f c) Ue équatio de TA est y = x + d) g '() B Exercice Logique Soit x u réel doé a) Si x alors x 4 b) La réciproque du a) est toujours vraie Soit f ue foctio défiie et dérivable sur u itervalle I = [- ;7] c) Si, pour tout xi, f '( x) 0 et f ( ) alors, pour tout, f( x) 0 d) Si ue suite est croissate et admet ue limite fiie alors elle est écessairemet borée xi CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page

3 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice Probabilités coditioelles O joue avec deux dés dot les faces sot umérotées de à 4 Le premier dé, D, est u dé «hoête» c est-à-dire pour lequel la sortie de chacue des faces est équiprobable ; Le deuxième dé, D, est truqué de faço que : la face umérotée et la face umérotée 4 ot ue chace sur douze de sortir ; la face umérotée a ue chace sur quatre de sortir a) O lace le dé, la probabilité de l évéemet «o a obteu la face 7 umérotée» est égale à Das toute la suite, o lace u dé pris au hasard b) La probabilité d obteir l évéemet «o a obteu la face umérotée» est égale à 9 c) Les évéemets «o a obteu u uméro pair» et «o a utilisé le dé D» sot idépedats d) Sachat qu o a obteu la face umérotée, la probabilité qu o ait utilisé le dé D est égale à 4 CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page

4 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice 4 Lie etre tableau et arbre de probabilités Das u lycée, les 00 élèves de Termiale se répartisset suivat les activités : sport (S), théâtre (T) et dessi (D) O doe les iformatios suivates : 0 garços choisisset le théâtre et 4 garços choisisset le dessi 8 filles choisisset le sport et 7 filles choisisset le dessi Le ombre total de garços représete 0% de l effectif total Le sport est choisi par 0% des garços et par 0% des filles O pose x le ombre total de filles O ote G l évéemet «l élève est u garço», F l évèemet «l élève est ue fille», S l évéemet «l élève fait du sport», T l évéemet «l élève fait du théâtre» et D l évéemet «l élève fait du dessi» O rassemble les iformatios précédetes das le tableau et l arbre ci-dessous a) La probabilité qu u garço fasse du sport est égale à 0, b) x = 60 c) La probabilité qu u élève fasse du théâtre est égale à 0, d) PT F 5 CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page

5 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice 5 Calcul du ombre d aboés d ue société Le service commercial d ue société possédat plusieurs salles de sport das ue grade ville a costaté que l évolutio du ombre d aboés était défiie de la maière suivate : chaque aée, la société accueille 400 ouveaux aboés ; chaque aée, 40% des aboemets de l aée précédete e sot pas reouvelés E 00 cette société comptait 500 aboés La suite a modélise le ombre d aboés pour l aée 00 + O défiit la suite a) a 00 v par v a 000 b) a 0, 6 a 400 c) La suite est ue suite géométrique de raiso q = 0,4 d) v a 500 0, Exercice 6 Calculs de limites a) lim x 4x 7 x b) Si, pour tout x *, f( x) 0, alors lim f( x) 0 x x c) lim d) lim ( ) CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page 4

6 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice 7 Notios de base sur les complexes a) 4 ( i) 6 b) La forme trigoométrique de i est cos isi 6 6 c) Soit, z z z z d) z, z i 7 arg 6 i Exercice 8 Calculs d itégrales a) b) c) d) dx x x dx 0 x si x l dx cos x 6 4 x dx x CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page 5

7 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice 9 Étude de foctio O cosidère la foctio f défiie sur par f( x) x O ote Cf sa représetatio graphique das u repère orthoormé (fig ci-cotre) ; O;, i j 5 4 C f a) La dérivée de f est défiie sur ; par f '( x) x x b) La tagete à la courbe Cf au poit A d abscisse x = 0,5 est parallèle à la droite (D) d équatio 6x 9y 7 = 0 c) La foctio F défiie sur x par F( x) l x est ue primitive de f ; d) L aire du domaie (hachurée sur la figure) compris etre les droites d équatios l axe des abscisses et la courbe Cf vaut, e uités d aires du repère, l() 0,5 0 0,5 x, x, Exercice 0 Problème autour de la foctio expoetielle x x O cosidère la foctio f défiie sur R par f ( x) e e 5x 4 O défiit la dérivée de et la dérivée de f ' x x x x a) f '( x) e e 5 et f ''( x) e e x b) e 0 x l c) La foctio f ' est croissate sur0; d) f est décroissate sur 0; f f '' f ' CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page 6

8 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice Problème autour de la foctio l O cosidère la foctio f défiie sur 5; I par f ( x) l(x ) l( x 5) 5 O ote Cf sa représetatio graphique das u repère orthoormé O;, i j 4x a) f '( x) (x)(5 x) b) Cf admet la droite d équatio 5 e x c) f( x) l x 5 d) Cf admet la droite d équatio y 5 comme asymptote horizotale e + x 5 comme asymptote verticale Exercice Utilisatio des algorithmes das ue suite Soit N u etier aturel O cosidère l algorithme ALGO ci-cotre : Par exemple, si o saisit la valeur pour N, l algorithme affiche le ombre 9 comme valeur de U Variables N I U Iitialisatio --- Boucle Pour 4 9 O cosidère la suite aturel, u u u défiie par u 0 et, pour tout etier a) L algorithme ALGO permet d afficher la valeur de coaissat N b) u4 6 c) L algorithme ALGO permet d afficher la valeur de u N coaissat N d) Pour tout etier aturel, u u N ALGO Début programme Lire N U pred la valeur Pour I allat de à N Début Pour U pred la valeur U + I + Fi Pour Afficher U Fi du programme ALGO Début programme Lire N U pred la valeur I pred la valeur 0 Tat que I < N Faire Début Tat que U pred la valeur U + I + I pred la valeur I + Fi Tat que Afficher U Fi du programme CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page 7

9 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice Probabilités cotiues La durée de vie (exprimée e aées) d u appareil électroméager avat la première pae est ue variable aléatoire X qui suit ue loi expoetielle de paramètre > 0 p X t e t a) Pour tout réel t strictemet positif, b) Si la probabilité d avoir ue pae la première aée est égale à 0,, alors Soit Y ue variable aléatoire suivat la loi ormale 0 ; avec 0 Pour tout u, o pose () u PY u ( u) représete l aire de la surface hachurée ci-cotre c) P Y d) 0 0,4 0 5 l 4 Exercice 4 Géométrie aalytique Das l espace mui d u repère orthoormé O; i, j, k, o doe les plas (P) et (Q) d équatios cartésiees respectives (P) : x y z et (Q) : y z 4 (D) est la droite dot ue représetatio paramétrique est a) Le pla (Q) est orthogoal à l axe des abscisses b) Les plas (P) et (Q) sot sécats suivat ue droite c) Ue équatio cartésiee de est x5z 5 d) D est parallèle à x 5t y t z t pour tout t réel CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page 8

10 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice 5 Utilisatio des complexes e géométrie Le pla complexe est mui d u repère orthoormé O désige par A, B, C et D les poits d affixes respectives : z i, z i, z 6 i et z 5i A B C D O; u, v zb za a) i zc za b) Le triagle ABC est équilatéral x et y désiget deux ombres réels, o ote f la foctio qui, à tout poit M d affixe z = x + iy distict de i z i i, associe le poit M' d affixe z ' z i c) La partie imagiaire de z' est x x y y x y d) L esemble γ des poits M d affixe z tels que z' soit u réel est ue droite CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page 9

11 Baque d épreuves FESIC 06 Exercice 6 Utilisatio des algorithmes e géométrie O effectue le programme de costructio ci-dessous : Etape : O divise chaque côté d u triagle équilatéral de côté e segmets de même logueur (par exemple les segmets : [A; C ], [C ; C ] et [C ; C]) Sur chacu des côtés du triagle, o costruit, à l extérieur du triagle, u triagle équilatéral ayat pour base le secod segmet (par exemple le triagle C C C ayat pour base le segmet [C ; C ] pour le côté [A; C]) Etapes suivates : Sur chaque triagle obteu à l étape précédete, o costruit deux ouveaux triagles équilatéraux selo le même procédé de costructio que celui de l étape Etape 0 Etape Etape Etape Pour tout etier aturel, o pose : le ombre de triagles costruits à l étape, u l h s la logueur du côté du triagle équilatéral costruit à l étape, la hauteur du triagle équilatéral costruit à l étape, la surface que l o colore à l étape a) h b) La suite 0 l est ue suite géométrique de raiso q c) h 9 d) Si alors s 8 CPE Lyo ESAIP ESCOM ESEO ESIEE Amies ESIEE Paris ESIGELEC HEI ISEN Brest ISEN Lille ISEN Toulo ISEP LASALLE Beauvais page 0