Universe Ratio Jean-François BOULIER Romain VERDIER Abstract

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1 Uverse Rato B Jea-Fraços BOULIER Head of Euro Fxed Icome ad Credts Crédt Agrcole Asset Maagemet 90 boulevard asteur ars cedex 5 Jea-fracos.bouler@ca-assetmaagemet.fr Roma VERDIER Egeer - EDF, place leel 9300 Sat-Des Roma.Verder@edf.fr Abstract erformace measuremet the ver compettve asset maagemet dustr maes use of selected dces tae as bechmar for the evaluato of the value added b the portfolo maager. For example, the Iformato Rato Sharpe, 99 dvdes the excess performace of a fud relatve to the selected dex b the correspodg tracg error. But the selecto of such a dex brgs some rs of ts d, that oe ca measure b the tracg errors of oe dex vs à vs the other possble dces. Ths artcle suggest to use stead a measure of the value added b the fud b comparg ts performace to all possble portfolos vested the same uverse. Ths leads to a measure of excess retur ad rs that lead to a rato, hch e call Uverse Rato.

2 Rato d uvers B Jea-Fraços BOULIER Resposable de la Gesto de Taux Euro et Crédt, CAAM Roma VERDIER Igéeur, EDF Itroducto La performace d u fods déped e premer leu de l allocato d actfs. L allocato stratégque cosste e tout premer leu à chosr l uvers d vestssemet pus à reter ue allocato moee etre les classes d actfs pour ue pérode de 3 à 5 as et qu reflète les besos de placemet de l sttuto ou de l épargat. Cette allocato se tradut par u portefeulle de référece chos par le clet de l Asset Maager. La valeur aoutée du gérat cosste à gérer le portefeulle e apportat s possble ue valeur supplémetare par des chox tactques et des chox d strumets facers. Tout écart de composto etre le portefeulle de référece et le portefeulle réel se tradut par u rsque de performace ex ate et u écart de performace ex post. Quad, pour smplfer l exposé, le bechmar se résume à u dce, la valeur aoutée de l Asset Maager actf se mesure classquemet par le rato d formato Sharpe, 994. ourtat, cette mesure est pas sas défaut. E premer leu, elle cofère à l dce reteu u rôle de référet, or l est pas certa que les coséqueces du chox de l dce at été complètemet aalsées. E secod leu, tout écart à l dce se tradut par u rsque tracg error. Chager d dce amèerat ue autre mesure de rsque. Le chox d u dce partculer est doc pas exempt de rsque. L obectf de cet artcle cosste précsémet à élargr la oto de rato d formato, e aat le mos possble de part prs à l égard de tel ou tel dce. Af de s affrachr de ce chox, ous ous référos à l uvers plutôt qu à u portefeulle représetat de cet uvers. Nous présetos u ouveau cocept appelé rato d uvers qu vse à mesurer la valeur aoutée du gérat sas fare le chox d u dce partculer.

3 Le chox d u bechmar est pas eutre luseurs élémets etret das le chox d u bechmar d u portefeulle :. L Asset Maager souhate proposer à so clet des fods dot les stles de gesto correspodet à ses souhats d'vestssemet dfféretes tpologes exstet: «gesto prudete, équlbrée, damque»; gesto géographque «actos fraçases, européees, apoases», ou be par tpe de produts «Actos, oblgatos»: le chox du bechmar dépedra doc prmordalemet du stle d'vestssemet evsagé par l'asset maager et de l'allocato stratégque chose.. La otorété de l dce. 3. La faclté à le réplquer. La premère faço de comparer les performaces d u fods ou d u ttre par rapport à u bechmar est de cosdérer les dfféreces de redemets sur ue pérode doée ; le rato d formato de Sharpe [Sharpe, 994] pred e compte les rsques ecourus, e rapportat ce dfféretel de redemet à l écart-tpe de la dfférece de redemet : R R r B R R B La tracg-error, qu, sous sa forme aualsée, s exprme par TE, B M μ T R t RB t R R B t où μ est la moee des redemets, peut auss être utlsée comme mesure de rsque R RB relatve. Toutefos cette mesure reste trbutare du chox d u bechmar, et ce chox est pas eutre. 3

4 Motros-le sur deux exemples smples : er exemple : u portefeulle Bu & Hold U portefeulle «Bu & hold» costtué de 9 actos fraçases talemet équpodérées Vved, Carrefour, Lafarge, Ar Lqude, Daoe, LVMH, Bougues, Mchel, Total vot aturellemet les podératos de ces dfférets ttres fluctuer das le temps fgure. 00% TOTAL 90% MICHELIN 80% BOUYGUES 70% LVMH 60% 50% DANONE 40% 30% AIR LIQUIDE 0% 0% 0% LAFARGE VIVENDI CARREFOUR av-73 av-74 av-75 av-76 av-77 av-78 av-79 av-80 av-8 av-8 av-83 av-84 av-85 av-86 av-87 av-88 av-89 av-90 av-9 av-9 av-93 av-94 av-95 av-96 av-97 av-98 av-99 av-00 av-0 av-0 av-03 av-04 Fgure - odérato des 9 ttres das u portefeulle Bu & Hold. odératos tales de % au 0/0/973 La comparaso de ce portefeulle avec dfférets bechmars e terme de tracg-error motre déà des dfféreces sgfcatves : BUY& HOLD ORTFOLIO CAC 40 SBF 50 EuroNext 00 MSCI Frace Tracg-error aualsée 9.38% 9.9%.78% 9.9% La gesto de ce portefeulle apparaît as ettemet plus rsquée face à l Euroext 00 que face au CAC 40. Chosr u dce europée plutôt qu u dce puremet fraças est doc pas sas coséqueces. Sources: Datastream 4

5 e exemple : u portefeulle à pods costat CR Sur la base des mêmes 9 ttres, ous costrusos u portefeulle costammet équpodéré CR, Costat Rebalaced ortfolo, les rebalacemets état effectués à u rthme auel et ous fasos la même aalse que précédemmet C.R.. CAC 40 SBF 50 EuroNext 00 MSCI Frace Tracg-error aualsée 7.50% 7.33% 7.96% 7.74% Il apparaît là ecore des dfféreces otables etre les dfférets dces. Ce fasat, ous capturos là le rsque spécfque lé au fat que le portefeulle de 9 ttres est pas dversfé. Il est as téressat de comparer etre eux dfférets dces, qu peuvet être cosdérés comme des portefeulles dversfés. 3 e exemple : Cartographe des dces E calculat les tracg-errors des dfférets dces etre eux, o peut dresser ue cartographe de ces dces à l ade d ue aalse factorelle, où les premers axes portet 94% des pods : DJ EURO STOXX AUTO SBF0 DJ EURO STOXX INDEX Nouveau Marché IT CAC 0.05 SBF50 DJ EURO 50 CAC SBF80 MSCI FRANCE EURONEXT Secod Marché -0.5 Fgure Représetato sur les premers axes de l aalse factorelle sur les dstaces etre dces. Cf Aexe pour les résultats chffrés et la méthode emploée. 5

6 La fgure motre claremet que la dsperso etre dces peut être mportate. La proxmté spatale de certas dces provet du fat que des mêmes ttres etret das la composto de pluseurs de ces dces, les redat as très corrélés. Le cas du Nouveau Marché ou de l dce sectorel DJ EURO STOXX AUTO motre a cotraro que le marché e peut pas être résumé par u seul groupe d dces. Dès lors, commet défr ue mesure de rsque qu pree e compte o pas u seul dce, mas pluseurs comme par exemple tous les dces exstats sur u uvers de ttres doé, de maère à doer u melleur aperçu des rsques vértablemet ecourus par l asset maager. Nous sommes as ameés à défr ue mesure de rsque mult-bechmars au se d u même uvers d vestssemet. Le paragraphe qu sut formalse et modélse ue telle mesure de rsque. Mesure de rsque d uvers O cosdère u uvers d vestssemet costtués de actfs de prx A t et de A t retabltés : R t, aat ue espérace μ et ue matrce de corrélato. A t arm l esemble des portefeulles que l o peut costrure sur cet uvers d actfs, ous ous restregos c à des portefeulles où le pods des dfférets actfs reste costat das le temps CR, ce qu revet à dre que l asset maager e chage pas so optque de gesto et reste fdèle à so allocato stratégque [Séquer, 000]. O terdt par alleurs les vetes à découvert 0. Dès lors, l esemble des portefeulles possble est :, K, [0,] tel que U portefeulle, K, de aura doc pour retablté R t R t, c est- à-dre sous forme vectorelle t R t, et aura pour varace. E supposat R 6

7 par alleurs que les redemets suvet ue lo ormale 3, les redemets d u portefeulle de suvrot ue lo ormale N μ,. Dès lors, la tracg-error etre u portefeulle et u bechmar B, tous deux costruts sur, sera : TE, B B B As, s l uvers est rédut à actfs otés x et, {, [0,] tels que 0} tracg-error de par rapport à B s écrt : B B et la x B TE, B x B Et o vérfe que, état doé, le portefeulle de qu mmse la tracg-error est be etedu lu-même. Cet exemple troductf ous permet d appréheder ue ouvelle fos le problème du chox du bechmar : pour u portefeulle doé, tous les bechmars e se valet pas, ce qu revet à dre qu ls e cotrbuet pas tous à parts égales à la tracg-error totale de l uvers par rapport à ce portefeulle ; e pourcetage, u bechmar doé cotrbue que pour TE, B TE, B d Dès lors, pour mesurer le caractère plus ou mos rsqué d u bechmar, ous trodusos ue tracg-error moee sur l uvers des bechmars possble, à comparer avec la tracg-error d u bechmar partculer. E chosssat de podérer les bechmars par ue focto de pods B p : R de faço à ce que l tégrale sur l hpersurface sot défe, c est-à-dre p d <, ous défssos la tracg-error d uvers d u portefeulle par : 3 L hpothèse de ormalté des redemets a été étudée depus logtemps : [Madelbrot, 963], [Fama, 965] et plus récemmet [Aparco et Estrada, 00] sur les actos européees. Ces derers motret que l approxmato ormale e peut être reteue s agssat des redemets ouralers, mas que so utlsato est possble s agssat de redemets mesuels. 7

8 8 d p d p TE, : M E supposat les bechmars équpodérés p, le calcul 4 motre que le pods total porté par l uvers est dx d p!. où que tel [0,],, K est la sphère uté e dmeso -. Explctos cette tracg-error d uvers sur quelques cas partculers. Cas d u uvers de actfs corrélés avec bechmars équpodérés E posat et p, le rsque d uvers d u portefeulle, est : 4, d d p d p TE x x x x M Et le portefeulle aat le rsque d uvers le plus fable est doc le portefeulle / pour lequel x x 4 / M Cas d u uvers de actfs corrélés avec restrctos sur les portefeulles possbles S des cotrates sur l allocato d actfs sot mposés, comme par exemple ue cotrate vsat à terdre les portefeulles trop déséqulbrés c est-à-dre vests à plus de % sur u actf, la focto de pods s écrt, avec >50% : 4 Nous revoos e aexe les détals mathématques

9 9 so 0 s, p Et la mesure de rsque est : d x x x x M qu est touours mmale pour / avec / x x M. Ce mmum est ue focto crossate de, ce qu tradut que, s est grad et qu as des portefeulles très déséqulbrés sot autorsés, cela vet «peser» sur la tracg-error d uvers. Fgure 3 - Tracg error d'uvers e dmesos avec cotrates sur l'allocato d'actfs. Cas d u uvers de actfs décorrélés avec bechmars équpodérés E supposat à ouveau que tous les portefeulles sot possbles et équpodérés, et que les redemets des actfs sot décorrélés,, dag K, o peut calculer asémet la mesure de rsque d uvers d u portefeulle,, K de, e fasat l approxmato fable volatlté des redemets :

10 O motre alors que 5 : TE, M!!! 4! As, la tracg-error moee d u portefeulle par rapport à l esemble des portefeulles possbles est focto De la fracto de rchesse placée sur chaque ttre, De la volatlté des actfs ar dérvato de la formule précédete, o e dédut que le portefeulle aat la tracgerror d uvers la plus fable est le portefeulle équpodéré M m 3 5 pour tout, pour lequel E partculer, le portefeulle de varace mmale déf comme portefeulle de tracg-error d uvers la plus fable. pvm, est pas le Cas d u uvers de actfs corrélés avec bechmars équpodérés E levat la cotrate sur les corrélatos, mas e gardat l approxmato sur la tracgerror, la mesure de rsque d uvers d u portefeulle doé, K, doe :! M, ll, ll 4, l, l l <, l 3!!! Qu est mmale pour les, K, vérfat le sstème : A B 5 Vor le mémore uverstare de R. Verder, Mesure de rsque et Rsque de bechmar, ars IX Dauphe, 004 0

11 où b B M b et b, et par alleurs A avec l l a, a,, s so Rato d uvers ar aaloge avec le rato d formato de Sharpe metoé c-dessus, l est mateat possble de défr u rato d formato qu e sot plus trbutare d u bechmar partculer. our u portefeulle et u uvers d actfs doés, o ote r u le rato d uvers : r u R R u M où Ru est la retablté de l uvers, que l o calcule comme sut avec R u! R p d B p d R! xdx R R K R! p : La retablté d uvers se ramèe doc à la moee arthmétque des retabltés des actfs. Applcatos possbles L troducto d u rato d uvers permet de pouvor comparer des portefeulles etre eux. our effectuer cette comparaso, l est écessare de coaître la retablté des portefeulles e questo, as que leur rsque par rapport à cet uvers. E coassat leur posto sur chacu des actfs de l uvers, cette méthode permet doc d établr u palmarès de fods d vestssemet qu reflètera leur retablté corrgée du rsque. almarès de fods Actos fraçases Af d llustrer cette dée, ous étudos u pael de 9 fods Actos Fraçases :

12 Nous chosssos comme uvers d vestssemet u esemble de 37 ttres 6, prcpalemet prs sur le premer marché d Euroext af de dsposer des doées sur ue pérode suffsammet logue. La retablté R u de cet uvers est calculée à partr des retabltés de chacu des ttres. Nous obteos : R u 3.8 % our calculer le rato d uvers d u fods comme dqué c-dessus, l faudrat coaître la posto du fods sur chaque actf de l uvers à supposer que le fods vestsse uquemet das cet uvers. Or ous e dsposos que de la valorsato totale du fods. Ue alteratve pour refléter le rsque d uvers est alors de calculer la tracg-error du fods par rapport à des CR géérés aléatoremet de maère uforme et d e fare la moee, ce qu est l dée sous-acete aux développemets mathématques c-dessus. 6 Vor e aexe la lste des valeurs

13 Nous obteos alors le classemet suvat, e focto du rato d uvers r u de chacu des fods : Il apparaît que la tracg-error d uvers se stue globalemet etre la tracg-error des fods face au CAC 40 et au secod marché vor aexe 3. 3

14 Cocluso Le chox de l uvers d vestssemet est ue décso captale sous acete à l allocato stratégque. Mesurer la valeur aoutée de la gesto relatvemet à l uvers est le but du rato d uvers. Comme ous l avos motré, le chox d u dce partculer das l uvers a l covéet de spécfer u portefeulle parm d autres possbles. S u tel chox s avère téressat quad o compare les performaces etre les classes d actfs, ce chox est beaucoup plus dscutable tra classe. Le rato d uvers coserve les caractérstques rapport retablté/rsque des ratos de Sharpe et rato d formato, mas lmte le rsque de prvléger u dce parm d autres, qu est, comme ous l avos motré par le calcul des tracg errors etre dces, tout à fat substatel. D alleurs, les classemets sur cq as de fods actos fraçases ot llustré le bas dut par le chox d u dce partculer, qu peut être das certas cas de pure coveace et o fodé sur u chox de l vestsseur. Comme ous l avos dqué, le rato d uvers permet égalemet d corporer des cotrates de placemet pourcetage maxmum de déteto de ttres par exemple ou de lqudté/captalsato. Ue telle dée avat d alleurs été reteue das les aées 90 pour la créato d u dce de comparaso des Casses de esos Susses. L dée peut être raffée das pluseurs dmesos, la mesure de rsque otammet pouvat être plus sophstquée VaR, CvaR, Le umérateur fat apparaître o pas la performace d u dce, mas ue performace moee des portefeulles admssbles das l uvers, coformémet aux cotrates. Le temps de calcul de tel rato eut été rédhbtore l a ue dzae d aées. Tel est évdemmet plus le cas. C est pourquo ous recommados cette mesure plus uste et mos suette au rsque du chox d u dce partculer. 4

15 Bblographe - Aparco F, Estrada J., Emprcal dstrbuto of stoc returs : Europea securtes marets, , Europea Joural of Face, 7, p.-, Bouler J.F., Lardc, Tallard, Ivestr logtemps, Quats 36, Madelbrot B., The varato of certa speculatve rces, Joural of Busess, Vol. 36, 4, p , Séquer., Le pot sur l allocato d actfs, Baques & Marchés 49, p.54-57, ov-dec Sharpe W, The Sharpe Rato, Joural of ortfolo Maagemet,

16 Aexe : aalse factorelle sur tableau de dstace récsos la méthode emploée das otre étude. O ote, les dstaces etre dces e terme de tracgerror. Le problème est alors de représeter chaque dce par u vecteur x de R q tel que pour tout,, dx,x, où d est la dstace eucldee sur R q. O adopte les otatos suvates :, d x, x d avec x, x das R q d, d, g ~ x x x g., d, d,, et d, <.,.> le produt scalare usuel Et pour ue matrce A, o ote sa orme A d,, a,,. O remarque déà que < ~ x, ~ x > d d d d mplque que. Le barcetre des x est alors,,,, s be que l approxmato dx,x, < ~ x, ~ x d d d d >,,,, , Le problème posé revet alors à trouver : m [ < ~ x, ~ x >, ] x,..., x R,, c est-à-dre m X matrce cetrée q cetrée XX Où est la matrce smétrque de terme gééral,. O motre alors que, lorsque les q plus grades valeurs propres de la matrce :,, q sot smples et postves, les seules solutos du problème sot défes par X x,..., x où q x u et les u sot les vecteurs propres orthoormés de la matrce assocés aux valeurs propres,, q. Le rato q q... q, s terprète comme ue mesure de la qualté relatve de l approxmato : s,, l approxmato est alors boe. 6

17 Fgure 4 - Dstaces des dces etre eux e terme de tracg-error aualsée 7

18 Aexe : Lste des valeurs Actos Fraçases 8

19 Aexe 3 : retabltés auelles moees et tracg-error aualsée des fods par rapport à l uvers et 3 dces de marché 9