Ressources pour le lycée général et technologique

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1 éduscol Ressources pour le lycée gééral et techologique Ressources pour la classe termiale géérale et techologique Probabilités et statistique Ces documets peuvet être utilisés et modifiés libremet das le cadre des activités d'eseigemet scolaire, hors exploitatio commerciale. Toute reproductio totale ou partielle à d autres fis est soumise à ue autorisatio préalable du Directeur gééral de l eseigemet scolaire. La violatio de ces dispositios est passible des sactios édictées à l article L.335- du Code la propriété itellectuelle. Février 0 MENJVA/DGESCO eduscol.educatio.fr/prog

2 Itroductio Le documet ressource pour la partie du programme de la classe termiale «Probabilités et statistique» doe des élémets détaillés permettat aux professeurs de costruire leur propre cours. Il e s agit pas d u modèle reproductible tel quel mais d u support théorique sur les otios itroduites pour la première fois das les programmes du secodaire. Ces otios sot eseigées das différets cursus de l eseigemet supérieur mais le poit de vue adopté das le programme de la classe termiale est assez différet. Les fodemets de théorie des probabilités idispesables pour compredre les otios de statistique iféretielle présetes das le programme sot développés aussi précisémet que possible à ce iveau d eseigemet. La loi ormale est itroduite e termiale S comme loi-limite d ue suite de variables aléatoires grâce au théorème de Moivre-Laplace. Bie qu admis, ce théorème se visualise facilemet grâce à des aimatios avec u logiciel de géométrie dyamique ou sur tableur et c est sous cette forme que la loi ormale doit être itroduite e termiale ES. La otio d itervalle de fluctuatio d ue variable aléatoire a été itroduite e secode et développée e première das le cadre de la loi biomiale à l aide de calculs sur tableur. Elle est erichie par la otio d itervalle de fluctuatio asymptotique d ue variable aléatoire fréquece qui présete l itérêt de pouvoir se détermier par u simple calcul. La otio d itervalle de cofiace pour ue proportio est itroduite grâce à l itervalle de fluctuatio asymptotique. Tous les ouveaux items sot présetés avec des activités. Celles-ci sot souvet mises e œuvre sur calculatrices ou avec u algorithme. Des exemples d exercices sot égalemet proposés. U complémet sur les lois uiforme et expoetielles est proposé, leur approche ayat été modifiée. L aexe présete u historique du théorème de Moivre-Laplace e motrat que le cocept de fluctuatio d ue variable aléatoire autour de so espérace est apparu très tôt avec Jacques Beroulli et a gagé e précisio avec Moivre puis Laplace. L aexe doe des complémets sur les lois ormales, e particulier sur la foctio de répartitio. Cette derière est pas u attedu du programme mais est utilisée par les calculatrices pour les calculs de probabilités sur les lois ormales. L aexe 3 propose ue itroductio à la théorie des sodages et doe quelques méthodes courammet utilisées. L aexe 4 doe le descriptif des fichiers tableurs, des aimatios et des algorithmes écrits das différets lagages (Algobox, Scilab, R,...) figurat das le documet. Tous ces fichiers sot téléchargeables. Ue aide à la prise e mai du logiciel R est égalemet fourie. L aexe 5 doe ue approche du calcul umérique d ue itégrale par la méthode de Mote-Carlo. L aexe 6 fourit des élémets de justificatio à propos de la otio de différece sigificative et du critère de disjoctio des itervalles de cofiace préseté das le programme de la filière STID- STL. Ces élémets ot pas à être abordés avec les élèves. U documet aexe propose ue démostratio du théorème de Moivre-Laplace, élaborée de telle sorte que seuls des outils de termiale y sot utilisés. Bie etedu cette démostratio est pas au programme mais le théorème de Moivre-Laplace e état le socle théorique fodametal pour la partie probabilités, il a semblé itéressat d e faire ue propositio de démostratio. Le théorème de Moivre-Laplace état u cas particulier d u théorème gééral cou sous le om de théorème-limite cetral, ue approche de ce théorème est proposée à partir de la loi des erreurs. À l exceptio d u chagemet de variable (liéaire) icotourable... Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Février 0 Mathématiques Probabilités et statistique

3 Table des matières Itroductio... I. Variable cetrée réduite 4 A. Commet cetrer et réduire... 4 B. Pourquoi cetrer et réduire?...4 II. La loi ormale cetrée réduite 5 A. Activité : Itroductio au théorème de Moivre-Laplace... 5 B. Théorème de Moivre-Laplace... 7 C. La loi ormale cetrée réduite Premières propriétés Espérace d ue loi ormale cetrée réduite (uiquemet e termiale S)... 0 III. Lois ormales 0 A. Gééralités... 0 B. Exemples d exercices... IV. Itervalle de fluctuatio 8 A. Cas biomial... 8 B. Activité : recherche et utilisatio d u itervalle de fluctuatio à l aide d u algorithme... 8 C. Itervalle de fluctuatio asymptotique... 0 D. Exemples d utilisatio.... Prise de décisio.... Problème de la surréservatio (surbookig) Echatillo représetatif d ue populatio pour u sodage... 4 E. Itervalle de fluctuatio simplifie doé e secode... 5 Exemples d exercices... 8 V. Itervalle de cofiace 30 A. Itroductio Activité... 3 B. Pricipe gééral de l itervalle de cofiace C. Défiitio D. Itervalle de fluctuatio ou itervalle de cofiace : lequel utiliser? E. Autre itervalle de cofiace F. Étude de la logueur de l itervalle de fluctuatio et coséquece pour l itervalle de cofiace G. Détermiatio de la taille miimale de l échatillo pour avoir ue précisio doée H. Applicatios Exemple de détermiatio d u itervalle de cofiace Simulatios Exemples d exercices Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page sur 70

4 VI. Complémets sur les lois uiforme et expoetielle 4 A. Loi uiforme... 4 B. Lois expoetielles Aexe Itroductio au théorème de Moivre-Laplace 45 A. La loi des grads ombres de Jacques Beroulli B. La démarche d Abraham de Moivre C. Ue approche du résultat de Moivre D. Le théorème de Moivre-Laplace E. Covergece e loi Aexe Complémets sur les lois ormales 50 A. Loi ormale cetrée réduite B. Lois ormales... 5 Aexe 3 Approche simplifiée de la théorie des sodages 5 A. Qualités d u échatillo permettat de répodre à ue questio posée... 5 B. Echatilloage o-probabiliste ou o aléatoire... 5 C. Echatilloage probabiliste Aexe 4 Utilisatio des Tice 54 A. Tableau des fichiers du documet ressource Probabilités et Statistique du programme de Termiale B. Prise e mai rapide du logiciel R Aexe 5 Méthode de Mote-Carlo 66 A. Méthode dite du «rejet»...66 B. Méthode de l espérace Aexe 6 Comparaiso de deux frequeces et differece sigificative 69 A. Ue situatio tres fréquete e scieces experimetales et e ecoomie B. Comparaiso de deux frequeces C. Itersectio de deux itervalles de cofiace Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 3 sur 70

5 I. Variable cetrée réduite A. Commet cetrer et réduire Ue variable aléatoire est dite cetrée et réduite si so espérace est ulle et si so écart type vaut. Soit X ue variable aléatoire discrète d espérace E(X) = m, de variace V(X) et d écart type V( X ) o ul. La variable aléatoire ( X m) a ue espérace ulle X m La variable aléatoire Z a ue espérace ulle et ue variace égale à, doc u écart type égal à. Attetio L écart-type d ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale e fait pas partie des coteus metioés das le programme des classes de première ES et L. Il coviet doc, avat d aborder le chapitre sur la loi ormale e termiale, de l itroduire e lie avec l écart-type d ue série statistique et d e faire percevoir les effets das le cadre d ue activité de simulatio. Si ue variable X pred ses valeurs etre 0 et, ( X m) les pred etre m et m doc X m m m Z les pred etre et. Si la variable aléatoire X est représetée par u diagramme e bâtos, o obtiet la représetatio de la variable ( X m) par traslatio de vecteur m i de ce diagramme. Puis o obtiet la représetatio de la variable aléatoire Z par «réductio» du ouveau diagramme. Les abscisses sur lesquelles sot costruits les bâtos sot les valeurs de X m et les hauteurs des bâtos sot les mêmes que celles obteues pour la variable X, cela coduit à ue cocetratio si. Sur le graphique ci-dessous, o a à droite le diagramme e bâto d ue variable X, à gauche e clair le diagramme de ( X m) et e plus focé celui de Z. Figure : Effet graphique du cetrage et de la réductio sur ue variable X suivat ue loi B (45 ; 0,65) Documet associé : cetrer et réduire ue biomiale.ggb B. Pourquoi cetrer et réduire? Lorsqu o passe de X à Z, o obtiet ue variable aléatoire dot les paramètres (espérace et variace) e dépedet plus de ceux de X. Rappel Ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B (, p) peut s iterpréter comme u ombre de succès lors de la répétitio de expérieces de Beroulli idépedates. Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale B (, p) ; o a : Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 4 sur 70

6 E(X ) = p, V(X ) = p ( p), et σ (X ) = p( p). La variable aléatoire Z X p a pour espérace 0 et pour variace, idépedates de et de p. p( p) X La variable aléatoire F correspod à la proportio de succès, so espérace est p et sa variace p ( p) est. O costate que F a ue espérace qui e déped pas de et ue variace qui dimiue quad augmete c'est-à-dire que les réalisatios de F «ot tedace à se resserrer» autour de p lorsque augmete. C est cette cocetratio des valeurs les plus probables de F qui permettra d améliorer la prise de décisio à partir des observatios. Figure : Diagrammes e bâtos de F pour = 5 et = 60 Documet associé : diagramme e bâtos de F.ggb X Sur les graphiques ci-dessus, o a représeté le diagramme e bâtos d ue variable F où X suit la loi biomiale de paramètres 5 et 0,4 puis 60 et 0,4. Les valeurs prises par F sot etre 0 et quel que soit. Le paragraphe suivat va permettre de costater que la variable Z «ted» vers ue variable uiverselle idépedate de p. La coaissace de la loi de cette variable uiverselle permet de X préciser la fluctuatio de autour de so espérace p. II. La loi ormale cetrée réduite A. Activité : Itroductio au théorème de Moivre-Laplace Das la représetatio de la figure 3, o cosidère ue variable aléatoire X suivat ue loi biomiale B (, p) et Z est la variable cetrée réduite associée. O pred deux valeurs a et b et o s itéresse à P ( Z ). Pour le cas visualisé ci-dessous, o a pris 00 et p 0,5. Doc P( Z 00 ) P( 45 X 00 60). k 50 Les valeurs prises par Z 00 quad Z 00 sot de la forme avec 45 < k < L idée est d associer la loi (discrète) de Z 00 à des aires de rectagles, comme o le fait pour l histogramme d ue variable cotiue. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 5 sur 70

7 À chaque valeur de k o fait correspodre u rectagle vertical dot l aire est égale à k 50 P( X 00 k) P( Z00 ) et dot la base est u segmet de l axe horizotal de logueur, 5 5 k 50 cetré sur ( état l écart etre deux valeurs cosécutives prises par Z). La hauteur de ce 5 5 rectagle est doc 5P( X k). La réuio des rectagles obteue pour 45 < k < 60 a doc pour aire P( Z ). 00 Figure 3 : Visualisatio de P( a Z b) Documet associé : biomiale et ormale.ggb Les bords supérieurs des rectagles fot apparaître ue courbe régulière et symétrique délimitat ue aire qui est voisie de celle de la réuio des rectagles. Le mathématicie Abraham de Moivre, protestat fraçais émigré e Agleterre après la révocatio de l édit de Nates (685), a découvert que cette courbe est la courbe représetative de la foctio x² x e. Le cours de termiale sur l itégratio permet d écrire que l aire située sous cette π x² courbe vaut e dx. Pour comparer l aire de la réuio des rectagles et celle sous la courbe, π o peut remplir le tableau suivat : k (X k) 0,048 0,058 0,067 0,073 0,078 0,080 0,078 0,073 0,067 0,058 0,048 0,039 0,030 0,0 0,06 0,00 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 6 sur 70

8 La somme des aires des rectagles vaut 0,85 à 0 près et la valeur de obteir avec ue calculatrice, est 0,8 à 0 près. À partir de l aimatio proposée, o costate que : x² e d x, qu o peut π Lorsque deviet grad, à p fixé, la largeur des rectagles est de plus e plus petite car elle vaut. p( p) L aire correspodat à P( Z a, b) se rapproche de l aire etre a et b sous ue courbe fixe, Exercice (TS) qui est la courbe représetative de la foctio x² x² x e. π Soit la foctio g défiie par gx ( ) e.. Motrer que la foctio dérivée g ' est miimale pour x.. Motrer que la foctio x x g( x) est croissate sur [0, [. 3. E déduire que si 0 a b alors a b g( b) g( a) 0 et que si a b 0 alors 0 g( b) g( a) b a. 4. E déduire que pour tous réels a et b o a : gb ( ) ga ( ) b a. B. Théorème de Moivre-Laplace Le résultat suivat est au programme de la classe de termiale S uiquemet et il est admis. Théorème O suppose que, pour tout etier, la variable aléatoire X suit ue loi biomiale B (, p). X p O pose Z, variable cetrée et réduite associée à X. p( p) b Alors, pour tous réels a et b tels que a b, o a : lim ( a Z ) e b dx a π x². Voici ce que dit Laplace à propos des travaux de Moivre : «Moivre a repris das so ouvrage [The doctrie of Chaces] le théorème de Jacques Beroulli sur la probabilité des résultats détermiés par u grad ombre d observatios. Il e se cotete pas de faire voir, comme Beroulli, que le rapport des évéemets qui doivet arriver approche sas cesse de celui de leurs possibilités respectives, il doe de plus ue expressio élégate et simple de la probabilité que la différece de ces deux rapports soit coteue das des limites doées.» Ce résultat est la loi des grads ombres. E secode, o a doé ue forme simplifiée de la loi des grads ombres, à savoir : la probabilité que la variable fréquece s écarte de p dimiue quad le ombre d observatios augmete. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 7 sur 70

9 L aexe doe des développemets sur ce théorème fodametal. C. La loi ormale cetrée réduite Défiitio Ue variable aléatoire X suit la loi ormale cetrée réduite 3 otée N (0,) si, pour tous réels a et b tels que a b, o a : La foctio f défiie sur IR par ( a X b) f( x)d x= e π. Premières propriétés f est cotiue sur IR. x² b a x² b e d x. a π est appelée la foctio de desité de la loi N (0,). L aire totale sous la courbe de f est égale à, elle représete la probabilité P( X, ). La foctio f est paire ; sa courbe représetative est doc symétrique par rapport à l axe des ordoées. L aire sous la courbe sur [0, [ est égale à. Pour tout réel u, P(X u ) = P(X u ). Sur la figure, où représetative. u 0, les aires grisées sot égales e raiso de la symétrie de la courbe Figure 4: Représetatio graphique de la foctio de desité de la loi ormale cetrée réduite Théorème (au programme de termiale S) Si X est ue variable aléatoire suivat la loi ormale N (0,) alors, pour tout réel 0, existe u uique réel positif u tel que P( u X u )., il Démostratio (faisat partie des exigibles e termiale S). Cette démostratio est itéressate car elle permet de réivestir le cours sur les foctios et l itégratio. 3 Cette loi est égalemet ommée "loi ormale stadard", e particulier das les tableurs courats, mais cette déomiatio e figure pas au programme. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 8 sur 70

10 D après la symétrie de la courbe, o a pour tout réel u positif, ( u X u) (0 X u) f( x)d x = H(u), où H est la primitive de f sur IR qui s aule e 0. La foctio H est doc cotiue et strictemet croissate sur 0,. O a lim H ( u) puisque cela correspod à l aire sous la courbe pour u u 0,, c'est-à-dire à P( X 0). La foctio H admet doc le tableau de variatios et la courbe représetative ci-dessous : u 0 t 0 H(t) 0 Figure 5 : courbe de la foctio H Pour tout réel compris strictemet etre 0 et, le réel ( ) est égalemet compris strictemet etre 0 et et doc, d après le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, il existe u uique réel u strictemet positif tel que H( u ) c'est-à-dire tel que u X u. Il y a deux valeurs approchées très utilisées qu il faut coaître : u 0,05,96 et u 0,0,58 (à 0 - près) u 0,05 est le réel pour lequel ( u0.05 X u0.05) 0,95 et o a doc : (,96 X,96) 0,95 de même, (,58X,58) 0,99. Cela doe ue idée de la répartitio des valeurs de X. Eviro 95% des réalisatios de X se trouvet etre,96 et,96. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 9 sur 70

11 . Espérace d ue loi ormale cetrée réduite (uiquemet e termiale S) Selo la défiitio doée das le programme : Si X suit la loi N (0,), alors l espérace de X est défiie par : E(X) = lim 0 t f ( t)dt + lim t f ( t)dt. x 0 x y y (o fera le lie avec ce qui est vu avec les lois uiformes et expoetielles). L espérace d ue variable aléatoire X suivat la loi N (0,) est ulle. E effet : t² t² y² y y y tf(t)t d = te dt 0 = t e d t 0 e 0 π π π 0 De même, tf(t)t d = x π x² e Par passage à la limite, o obtiet E(X) = 0. La variace de X est défiie par l espérace du carré de l écart etre X et so espérace soit E(( X E( X )) ) et o admet qu elle vaut. O peut proposer le calcul de la variace e exercice, selo ue méthode aalogue à celle utilisée pour le calcul de l espérace d ue loi expoetielle. III. Lois ormales A. Gééralités O dispose d u échatillo de tailles (e cm) d hommes adultes dot voici u résumé statistique et u histogramme 4 : Moyee Écart type Nombre Miimum Maximum Médiae Iterquartile Tailles 75,0 8, , 08,5 75,0 0,8 Figure 6 : Répartitio des valeurs de la taille Si o cetre et réduit la variable «taille», l histogramme obteu présete ue aalogie évidete avec la figure 3 5 ; cela motive la défiitio suivate. 4 Cet exemple est empruté au documet d accompagemet publié e 00. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 0 sur 70

12 Ue variable aléatoire X suit ue loi N (μ, σ ) si la variable aléatoire N (0,). X suit la loi ormale L espérace de X vaut μ et sa variace vaut σ². La otatio N (μ, σ ) est justifiée à l aexe. Remarque Il s agit d ue loi à desité c'est-à-dire qu il existe ue foctio g défiie sur IR telle que, pour tous b réels a et b vérifiat a b, o a P( a X b) g( t) dt. L expressio de la foctio de desité de X a est pas au programme. O peut costater que est à la fois l espérace et la médiae 6 de X. Exemple La masse e kg des ouveaux és à la aissace est ue variable aléatoire qui peut être modélisée par ue loi ormale 7 de moyee μ = 3,3 et d écart type σ = 0,5. La probabilité qu u ouveau é pèse X 3,3 mois de,5 kg à la aissace est doc : P(X <,5). La variable Z = suit la loi N (0,). 0,5,5 3,3 O a alors : P(X <,5) = P(Z < ) = P(Z <,6) = P(Z <,6) 0,055. 0,5 La probabilité cherchée est doc égale à 0,055 à 0 3 près. O peut aussi obteir directemet la valeur de P(X <,5). O doe das le paragraphe B la méthode pour obteir cette valeur à la calculatrice. Les itervalles «U, deux, trois sigmas» Les résultats suivats sot utilisés das de ombreux cotextes ; ils peuvet être visualisés sur la figure 7 ci-dessous : P( X ) 0,68 ( à 0 près) P( X ) 0,95 ( à 0 près) P( 3 X 3 ) 0,997 (à 0 3 près). 5 Il faut oter qu il s agit ici d u histogramme car la variable «taille» est cotiue alors que sur la figure 3 les rectagles e sot pas ceux d u histogramme car la variable biomiale est pas cotiue. 6 U réel m est ue médiae d ue variable aléatoire si X m 05, 7 Le poids d u ouveau é e pred pas de valeurs égatives mais o peut vérifier que P(X < 0) est égligeable de même que P(X > 5). Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page sur 70

13 Représetatios graphiques motrat l importace de la valeur de l écart type σ Courbes représetatives des desités de la loi ormale N (0,/4) e rouge (maximum voisi de 0,8), de la loi ormale N (0,) e bleu et de la loi ormale N (0,4) e vert. Figure 8: Ifluece de l'écart type B. Exemples d exercices. Motrer que si X suit la loi N (0,), alors X suit la même loi.. La sélectio chez les vaches laitières de race «Fraçaise Frisoe Pis Noir» La productio laitière auelle e litres des vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée par ue variable aléatoire à desité X, de loi ormale de moyee µ = 6000 et d écart-type σ = 400. La foctio g désige la foctio de desité de cette loi ormale. Afi de gérer au plus près so quota laitier (productio maximale autorisée), e détermiat la taille optimale de so troupeau, u éleveur faisat aître des vaches de cette race souhaite disposer de certaies probabilités. a) Calculer la probabilité qu'ue vache quelcoque de cette race produise mois de 5800 litres par a. Solutio Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page sur 70

14 E utilisat calculatrices ou logiciels, o trouve : P(X < 5800) 0,3085. Certaies calculatrices et logiciels de calcul umérique proposet ue foctio dédiée à ce type de calcul (porm() das R, ormalfrép chez Texas (ormafrép pour foctio de répartitio de la loi ormale), meu Ncd chez Casio (Ncd pour Normal cumulative desity). Il y a u faux ami : P(X x) qui est la foctio de répartitio, e fraçais est appelé "distributio fuctio" e aglais, alors que otre foctio de distributio pour ue variable discrète est classiquemet P(X = x). Attetio! Les calculatrices e fourisset pas X x mais seulemet a X b Pour le calcul de X x suivate : Si x Si x. das le cas où X suit ue loi N (μ, σ ), la règle pratiquée est doc la, o utilise X x 0,5 X x, o utilise X x 0,5 x X. Pour etrer les paramètres, il faut saisir les valeurs de et de (et o ²). R répartitio ormale pré programmée porm(5800, mea = 6000, sd = 400, lower.tail = TRUE) ou porm(5800, 6000, 400) [] ou Complémet pour l eseigat : itégratio umérique de la desité d ue loi ormale de paramètres mu sigma. (-If sigifie mois l'ifii et If plus l'ifii. $value sigifie que l'o e pred que la valeur umérique de l'objet résultat de la foctio itegrate. La foctio gauss est la desité d'ue loi de Gauss d'espérace mu et d'écart type sygma, g e est u cas particulier) gauss <- fuctio(x, mu = moy, sigma = et){dorm(x, mu, sigma)} moy < ; et <- 400 itegrate(gauss, -If, 5800)$value [] TEXAS(83Plus) et + répartitio ormale pré programmée ormalfrép(5800,6000,6000,400) ou Complémet pour l eseigat : itégratio umérique après chagemet de variable pour se rameer à la loi ormale cetrée réduite. itégrfoct(/ (П)*e^(- t²/), t,-5,( )/400) CASIO(35+) et + répartitio ormale pré programmée meu stat dist NORM Ncd Lower : 5800 ; Upper : 6000 σ : 400 ; μ : Normal C.D. prob = ou Complémet pour l eseigat : itégratio umérique après chagemet de variable pour se rameer à la loi ormale cetrée réduite SET UP Itegratio : Simpso meu RUN OPTN CALC dx( / (П)*e^(- x²/), -5, ( )/400) b) Calculer la probabilité qu'ue vache quelcoque de cette race produise etre 5900 et 600 litres de lait par a. Solutio : P(5900 < X < 600) 0,974. c) Calculer la probabilité qu'ue vache quelcoque de cette race produise plus de 650 litres par a. Solutio : P(X > 650) 0,660. Das so futur troupeau, l éleveur souhaite coaître : a) la productio maximale prévisible des 30% de vaches les mois productives du troupeau. Il s agit de détermier la valeur x de X telle que P(X < x) = 0,30. Répose : x 5790 litres de lait par a. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 3 sur 70

15 Certaies calculatrices et logiciels de calcul umérique proposet ue foctio dédiée à ce type de calcul (qorm() das R pour ormal quatile, FracNormale chez Texas pour fractiles de la loi ormale, meu IN chez Casio pour loi ormale «iverse». R répartitio ormale réciproque pré programmée qorm(.30, 6000, 400) [] TEXAS(83Plus) et + répartitio ormale réciproque pré programmée FracNormale(.30,6000,400) CASIO(35+) et + répartitio ormale réciproque pré programmée meu stat dist NORM IvN Area :.3 σ : 400 ; μ : Iverse Normal x = b) la productio miimale prévisible des 0% des vaches les plus productives. Il s agit de détermier la valeur x de X telle que P(X > x) = 0,0. Répose : x 6336 litres de lait par a. 3. Processus idustriel 8 Le schéma ci-cotre représete ue pompe de directio assistée d automobile. Le processus idustriel étudié est ue presse d emmachemet de la poulie sur l axe de la pompe. Les performaces de la presse sot variables, cette variabilité ayat de ombreuses causes possibles : mai d œuvre, matériel, matière première. Sur le schéma ci-cotre est spécifiée par le costructeur ue cote de 39,9 mm. O a mesuré cette cote sur 40 esembles poulie-pompe issus du processus de fabricatio e série. Les variatios sot représetées sur le graphique suivat :. Ce type de processus idustriel iduit la modélisatio de la variable aléatoire «cote» par ue variable suivat ue loi ormale N (μ, σ ) 9. Doer par lecture graphique ue valeur estimée 0 de l espérace et de l écart-type σ à partir de la série des 40 valeurs. (Répose : eviro 39,9 et 0,05) 8 Cet exemple est empruté à la brochure IREM : Eseiger la statistique au lycée. 9 O peut vérifier la validité d u tel modèle par des tests de ormalité, mais c est hors de propos ici. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 4 sur 70

16 . L itervalle de tolérace pour cette cote est de 39,9 ± 0,5. Doer, à l aide des 40 mesures effectuées, ue valeur approchée de la probabilité que la variable cote soit das cet itervalle. (Répose : eviro 0,997). 4. Masse d'alerte pour cartes de cotrôle Ue coopérative produit du beurre e microplaquettes de,5g pour des collectivités et des chaîes hôtelières. Les microplaquettes sot coditioées das des boîtes de 40. La masse des microplaquettes peut être modélisée par ue variable aléatoire suivat ue loi ormale d espérace µ =,5 et de variace σ = 0, et o admet que la variable aléatoire X égale à la masse d ue boîte de 40 microplaquettes suit alors ue loi ormale d espérace 500 et de variace σ =,6 (les otios relatives à la variace d ue somme de variables e sot pas au programme, quelques otios sot abordées e aexe ). La boîte est jugée coforme si sa masse est comprise etre 496, g et 503,8 g (soit eviro ).. Calculer la probabilité qu ue boîte prélevée aléatoiremet e fi de chaîe de coditioemet soit o coforme. (Répose : 0,003 à 0 3 près). Pour cotrôler le réglage de la machie, o détermie des poids d'alerte µ h et µ + h tels que P(µ h < X < µ + h) = 0,99. Ces poids d alerte sot iscrits sur ue carte de cotrôle et correspodet à ue marge de sécurité e lie avec des ormes de coformité. Calculer les poids d'alerte. Solutio X 500 Notos Z =. Z suit ue loi ormale cetrée réduite doc ous savos que,6 P(,58 < Z <,58) 0,99. Il e reste plus, pour trouver µ h et µ + h, qu'à résoudre h 500 h 500,58 et,58 ce qui doe h 503,3 et h 496,7., 6, 6 Grâce à des échatillos prélevés e sortie de chaie ces masses d alerte permettet de déceler des aomalies e temps réel. 5. Réglage d'ue machie d'embouteillage das ue coopérative Sur ue chaîe d'embouteillage das ue brasserie, la quatité X (e cl) de liquide fourie par la machie pour remplir chaque bouteille de coteace 0 cl peut être modélisée par ue variable aléatoire de loi ormale de moyee µ et d écart-type =. La législatio impose qu'il y ait mois de 0,% de bouteilles coteat mois d'u litre. À quelle valeur de la moyee µ doit-o régler la machie pour respecter cette législatio? Solutio Il s agit détermier la valeur de µ telle que P(X < 00) < 0,00. O détermie d'abord la valeur z (o dit aussi quatile) de la loi ormale cetrée réduite, telle que P(Z < z) = 0,00. O trouve (logiciels ou calculettes) z 3,09. Comme Z = (X µ ) /, il e reste plus, pour trouver µ, qu'à résoudre 3,09 = (00 µ) /. O trouve µ 06,8. 0 Il existe des méthodes d estimatio par itervalle de cofiace de ces paramètres, mais ici il s agit simplemet d ue valeur empirique. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 5 sur 70

17 R qorm(p) est la foctio qui permet de trouver t tel que P(T<t) p, T état de loi ormale (c est la répartitio ormale réciproque pré programmée) qorm(.00) [] TEXAS(83Plus) et + FracNormale() est la foctio qui permet de trouver t tel que P(T<t) p, T état de loi ormale (c est la répartitio ormale réciproque pré programmée) FracNormale(.00,0,) CASIO(35+) et + IvN est le meu qui permet de trouver t tel que P(T<t) p T état de loi ormale (c est la répartitio ormale réciproque pré programmée) meu stat dist NORM IvN Area :.00 σ : ; μ : 0. Iverse Normal x = La coteace des bouteilles état de 0 cl, quelle est alors la probabilité qu'ue bouteille déborde lors du remplissage? Solutio : Avec µ 06,8, o obtiet P(X > 0) 0,08. 4 Le directeur de la coopérative veut qu'il y ait mois de % de bouteilles qui débordet au risque de e plus suivre la législatio. a) Quelle est alors la valeur de µ? Solutio Il s agit cette fois de détermier µ tel que P(X > 0) < 0,0. O trouve µ 05,34. b) Quelle est das les coditios de la questio a) la probabilité que la bouteille cotiee mois d'u litre? Solutio Avec cette valeur de µ, o obtiet P(X < 00) 0,0038, ce qui est plus élevé que das le cas précédet. c) Détermier µ et σ afi qu il y ait mois de 0,% de bouteilles de mois d'u litre ET mois de % de bouteilles qui débordet. Solutio O cherche doc à détermier les valeurs de µ et de σ de sorte que : P(X < 00) < 0,00 et P(X > 0) < 0,0. Les deux cotraites sur les probabilités fourisset les deux coditios suivates. O détermie d'abord la valeur z sup de la loi ormale cetrée réduite telle que P(Z > z sup ) = 0,0. O trouve (logiciels ou calculettes) z sup,33. O détermie esuite la valeur z if telle que P(Z < z if ) = 0,00. O trouve z if 3,09. Les deux cotraites se traduiset doc par les deux iégalités suivates : 0 00,33 et 3, 09. O obtiet doc u domaie de solutios et ue discussio pourra être meée quat aux choix pertiets que le directeur de coopérative pourrait faire. 6. Durée de vie d u appareil La durée de vie d'u certai type d appareil est modélisée par ue variable aléatoire suivat ue loi ormale de moyee et d écart-type icous. Les spécificatios impliquet que 80 % de la productio des appareils ait ue durée de vie etre 0 et 00 jours et que 5% de la productio ait ue durée de vie iférieure à 0 jours.. Quelles sot les valeurs de et? Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 6 sur 70

18 . Quelle est la probabilité d avoir u appareil dot la durée de vie soit comprise etre 00 jours et 30 jours? Solutio. O ote X la variable durée de vie. Les spécificatios se traduiset par : P(0 X 00) 0,8 et P( X 0) 0, 05. E otat toujours Z X la variable cetrée réduite, o obtiet : P( Z ) 0,8 et P( Z ) 0, 05 E utilisat logiciel ou calculatrice, o obtiet : µ = 0 +,65 et µ = 00,04. La résolutio du système doe : 69 et ² X 30 ( X 30) ( X 00) 0,3. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 7 sur 70

19 IV. Itervalle de fluctuatio A. Cas biomial Soit X ue variable suivat ue loi B (, p) et u réel das l itervalle ]0, [. Das u cadre gééral, tout itervalle tel que : u itervalle de fluctuatio de X au seuil. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 8 sur 70 a, b P( a, b) X peut être cosidéré comme Aisi l itervalle 0, est u itervalle de fluctuatio évidet au seuil mais il est de toute évidece sas itérêt. O peut chercher : celui qui a l amplitude miimale (IF) le plus petit itervalle cetré autour de l espérace p comme das le théorème de Moivre- Laplace (IF) celui qui symétrise les probabilités que X soit à l extérieur, comme proposé das le documet ressource de première (IF3) Das le programme de secode, o doe u itervalle de fluctuatio approché au seuil X F 0,95, valable sous certaies coditios, de la variable fréquece : p, p (IF4) À titre d exemple voici les itervalles obteus pour = 00 et p =0,3 au seuil 0,95. IF () le plus petit : [, 39] de probabilité 0,950 IF () cetré sur 30 : [, 39] de probabilité 0,965 IF(3) (première) : [, 39] avec ue probabilité iférieure à 0,05 que X soit à gauche et iférieure à 0,05 que X soit à droite de l itervalle. IF(4) (secode) : [0, 40] de probabilité 0,970. O peut vérifier que, pour ue même valeur de p, ces différets itervalles sot de plus e plus proches lorsque augmete. B. Activité : recherche et utilisatio d u itervalle de fluctuatio à l aide d u algorithme Le resposable de la maiteace des machies à sous d'u casio doit vérifier qu'u certai type de machie est bie réglé sur ue fréquece de succès de 0,06. Pour cela il veut établir u programme qui lui fourira, e foctio de (ombre de coups joués) et de p (probabilité de succès), u itervalle de fluctuatio, au seuil de 95%, de la fréquece de succès. Cela lui permettra de predre la décisio de régler chaque machie pour laquelle il aura observé, das l'historique des jeux, ue fréquece de succès se situat e dehors de cet itervalle de fluctuatio. Voici u exemple d'algorithme e Algobox et sa traductio das le logiciel R permettat de détermier l itervalle de fluctuatio d ue variable biomiale selo la méthode exposée das le documet ressource de première. O cherche le plus petit etier a pour lequel P( X a) est strictemet supérieur à 0,05 et le plus petit etier b pour lequel P( X b) est supérieur ou égal à 0,975. État doé que a deviet a + e fi de «tat que», il faut faire afficher a, et de même pour b. Avec Algobox, cet algorithme e foctioe que pour < 70. Avec le logiciel R il 'y a pas cette limite. Le programme R fourit la propositio de décisio e foctio de la valeur observée (kobs) du ombre de succès.

20 Lors du cotrôle d'ue machie, le techicie costate qu'elle a fouri 8 succès sur 65 jeux, soit ue fréquece observée de succès d'eviro 0,. L'itervalle de fluctuatio de la variable fréquece fouri par l u des deux programmes précédets est [0,05 ; 0,3]. Bie que la fréquece observée de succès soit de 0,, la règle de décisio amèe pas à remettre e questio le réglage de la machie. Si le même pourcetage de succès (0,, kobs = ) avait été observé sur 00 jeux, l'itervalle de fluctuatio aurait été de [0,0 ; 0,], ce qui aurait coduit à remettre e questio le réglage de la machie. Le techicie aurait pris la décisio de régler la machie. Algorithme Algobox : # Fotio R : # IF biomial doc. ressour. ère : IF symétrique (équilibré) e proba # est la taille de l'échatillo, p est la probabilité de succès # kobs est le ombre de succès observé das l'échatillo # proba est le seuil de probabilité de l'itervalle de fluctuatio # a est le plus petit etier tel que P(X <= a) > 0,05 # b est le plus petit etier tel que P(X <= b) >= 0,975 IFexact = fuctio( = 65, p =.06, kobs = 8, proba =.95){ a <- 0 ; b <- 0 reparti <- pbiom(0:,, p, lower.tail = T) ames(reparti) <- 0: pif <- 0 while(pif <= ( - proba) / ){ pif <- pbiom(a,, p, lower.tail = T) a <- a + } pif <- 0 while(pif < ( - ( - proba) / )){ pif <- pbiom(b,, p, lower.tail = T) b <- b + } probaab <- sum(dbiom((a - ):(b - ),, p)) if(kobs >= (a - ) & kobs <= (b - )) { hypothese <- "ACCEPTÉE" } else {hypothese <-"REFUSÉE"} #*******Affichage des résultats et des graphiques******* cat("\l'if exact des comptages symétrique e proba est :\[", a -,",",b -,"] de probabilité :", probaab, "\\L'IF exact des proportios symétrique e proba est :\[", (a - ) /,",",(b - ) /,"]\\", "Hypothèse p théorique = ", p, ": cofrotée à f observé =",kobs /, " : ", hypothese,"\") } # Applicatio et résultats:---- IFexact( = 50, p = /, kobs = 9) IFexact( = 65, p =.06, kobs = 8) L'IF exact des comptages symétrique e proba est : [, 8 ] de probabilité : L'IF exact des proportios symétrique e proba est : [ , ] Hypothèse p théorique = 0.06 : cofrotée à f observé = : ACCEPTÉE Documet associé : itervalle de fluctuatio première.alg Le théorème de Moivre-Laplace va permettre de doer u itervalle de fluctuatio calculable directemet, sous réserve que soit assez grad. Comme il est obteu grâce à ue covergece, o le qualifie d itervalle de fluctuatio asymptotique. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 9 sur 70

21 C. Itervalle de fluctuatio asymptotique Théorème Si la variable aléatoire X suit la loi B (, p), avec p das l itervalle ]0, [, alors pour tout réel das l itervalle ]0, [ o a : X p( p) p( p) lim P I, où I désige l itervalle pu, pu et u désige l uique réel tel que u Z u où Z suit la loi ormale N (0,). Démostratio (exigible e termiale S) D après le théorème de Moivre-Laplace, o a lim ( u Z u ) ( u Z u ) où Z X p p( p). Or : P( u Z u ) Pp u p( p) X p u p( p) Applicatio = p( p) X p( p) P p u p u. Quad o sait qu ue suite coverge vers ue limite L, o peut cosidérer que pour assez grad le terme de rag costitue ue approximatio de L. Ici, o iverse les rôles. O coaît la limite, mais pas les valeurs des termes de la suite. O admet doc que, sous certaies coditios, o peut approcher le terme de rag de la suite X I par sa limite α. Ces coditios commuémet admises pour pratiquer l approximatio sot : 30, p 5, ( p) 5. p( p) p( p) L itervalle I pu, pu est u itervalle de fluctuatio X «approché» de la variable fréquece au seuil. La suite de terme gééral P( X I) état pas mootoe, o e peut pas savoir si la probabilité de l itervalle est supérieure ou iférieure à la limite (cf ote ). Cette situatio peut être illustrée à l aide d u tableur ou du logiciel R. Voici u exemple das le cas où p et 0,05. Pour les valeurs de etre 0 et 000, o calcule la probabilité que la variable X appartiee à l itervalle I. Das la pratique o parle de seuil, les écarts par rapport à cette limite état miimes (voir fig 0). Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 0 sur 70

22 O peut costater que le uage de poits obteu a u aspect symétrique autour de la droite d équatio y = 0,95 et que lorsque est grad les poits se rapprochet de cette droite. X Figure 9: visualisatio de la probabilité P( I ) Lie vers : exploratio itervalle de fluctuatio asymptotique.xls Défiitio U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F = X au seuil est u itervalle détermié à partir de p et de et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de que est grad. L itervalle I du théorème précédet est doc u itervalle de fluctuatio asymptotique de F au seuil. Seul l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% est au programme des classes de termiale autre que la termiale S ; c est celui qui est mis e œuvre das l exemple ci-dessous. Remarque Quad 30, p 5, ( p) 5, il est courat de faire les calculs impliquat ue variable biomiale e la remplaçat par ue variable suivat ue loi ormale de mêmes espérace et variace. Seul le programme de STID-STL metioe cette pratique, qui e doit doc pas être mise e œuvre das les autres filières où tous les calculs de probabilités se fot à la calculatrice e utilisat la loi exacte (au programme), quelle qu elle soit. Les calculs d itervalles de fluctuatio et d itervalles de cofiace se fot avec les formules doées das le programme. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page sur 70

23 D. Exemples d utilisatio Das les exemples qui suivet, les tirages sot effectués sas remise. Toutefois, la taille des échatillos cosidérés état faible par rapport à la taille de la populatio totale, o apparete les tirages à des tirages avec remise, correspodat alors à u schéma de Beroulli et permettat d appliquer les résultats théoriques précédets.. Prise de décisio O admet que das la populatio d efats de à 4 as d u départemet fraçais le pourcetage d efats ayat déjà eu ue crise d asthme das leur vie est de 3%. U médeci d ue ville de ce départemet est surpris du ombre importat d efats le cosultat ayat des crises d asthme et e iforme les services saitaires. Ceux ci décidet d etrepredre ue étude et d évaluer la proportio d efats de à 4 as ayat déjà eu des crises d asthme. Ils sélectioet de maière aléatoire 00 jeues de à 4 as de la ville. La règle de décisio prise est la suivate : si la proportio observée est supérieure à la bore supérieure de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% alors ue ivestigatio plus complète sera mise e place afi de rechercher les facteurs de risque pouvat expliquer cette proportio élevée. ) Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la proportio de jeues de à 4 as ayat eu ue crise d asthme das u échatillo de taille 00. (solutio : [0,06 ; 0,0]) ) L étude réalisée auprès des 00 persoes a déombré 9 jeues ayat déjà eu des crises d asthme. Que pouvez-vous coclure? Solutio : la valeur 0,9 est à l itérieur de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95%, O e coclut que la règle de décisio choisie e prévoit pas de réaliser ue equête supplémetaire. 3) Le médeci est pas covaicu par cette coclusio et déclare que le ombre de persoes iterrogées était isuffisat pour mettre e évidece qu il y avait plus de jeues ayat eu des crises d asthme que das le reste du départemet. Combie faudrait-il predre de sujets pour qu ue proportio observée de 9% soit e dehors de l itervalle de fluctuatio asymptotique? Solutio : il faut et il suffit que la bore supérieure de l itervalle asymptotique de fluctuatio soit 0,3 0,87 iférieure à 0,9 ce qui équivaut à 0,3,96 0,9, soit 0. La taille doit doc être de sujets au miimum si o souhaite mettre e évidece ue proportio aormalemet élevée das la ville étudiée. 4) Représeter graphiquemet la taille de l échatillo écessaire e foctio de la valeur psup de la bore supérieure de l itervalle de fluctuatio au seuil de 95%. Solutio L expressio de e foctio de p sup est,96 0,30,87. psup 0,3 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page sur 70

24 effectif ,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0, bore superieure Figure 0 : Représetatio de la taille écessaire e foctio de la bore supérieure de l itervalle de fluctuatio asymptotique. Problème de la surréservatio (surbookig) Ue compagie aériee possède des A340 (logs courriers) d ue capacité de 300 places. Cette compagie a vedu billets pour le vol 0. La probabilité pour qu u acheteur se présete à l embarquemet est p et les comportemets des acheteurs sot idépedats les us des autres. O ote X la variable aléatoire désigat le ombre d acheteurs d u billet se présetat à l embarquemet. La compagie cherche à optimiser le remplissage de l avio e vedat évetuellemet plus de places que la capacité totale de l avio (surréservatio ou surbookig) soit ici > 300. Comme il y a évidemmet u risque que le ombre de passagers muis d u billet se présetat à l embarquemet excède 300, la compagie veut maîtriser ce risque.. Détermier la loi de X. X. O suppose que 0,5 p 0, 95. Écrire l itervalle de fluctuatio asymptotique I de au seuil de 0, Motrer que si I 0, alors la probabilité que le ombre de passagers se présetat à l embarquemet excède 300 est proche de 0, O cherche à détermier la valeur de maximale permettat de satisfaire la coditio de 300 l iclusio I 0,. 300 a. Motrer que I 0, p,96 p( p) b. O pose f ( x) px,96 x p( p) 300. Motrer qu il existe u etier 0 uique tel que si 0 alors f ( ) 0 et si 0 alors f ( ) 0. c. Tracer la courbe représetative de f pour les valeurs p = 0,85 ; p = 0,9 ; p = 0,95. d. Détermier à la calculatrice les valeurs de pour p = 0,85 ; p = 0,9 ; p = 0,95. 0 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 3 sur 70

25 Solutio. X suit ue loi biomiale de paramètres et p.. Comme 300 et 0, 5 p 0,95 o a p 5 et ( p) 5 o peut utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 0,95 : I p, 96 p( p), p, 96 p( p). 300 X 3. Si I 0, alors X 300 I. X Comme I 0, 05 alors o peut dire que X 300 est proche égalemet de 0,05 voire iférieur (l évéemet ( X 300) état iclus das la partie droite du complémetaire de I o pourrait vérifier avec le tableur que sa probabilité est e fait iférieure à 0,05 pour 300 et 0,5 p 0, 95 ) a. I 0, p( p) 300 p,96 p,96 p( p) b. E posat y x, o se ramèe à ue iéquatio du secod degré que l o résout pour x 300. Les solutios de l iéquatio ( ) 0 300, x où,96 p( p) 00 p, 96² p( p) x0 p f x sot doc les réels de l itervalle L etier 0 cherché est la partie etière de x 0. c. p 0,85 e bleu, p 0,9 e rouge, p 0,95 e vert.. 0 d. Pour p =0,85 o trouve 337, Pour p = 0,9 o trouve Pour p = 0,95 o trouve Echatillo représetatif d ue populatio pour u sodage Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 4 sur 70

26 La première partie de l activité proposée page 9 peut être traitée das ce cadre. E vue de coduire ue equête sur certaies caractéristiques physiologiques d ue populatio, u échatillo de persoes a été sélectioé et o souhaite e coforter la représetativité. E. Itervalle de fluctuatio simplifie doé e secode O repred les otatios du paragraphe C. Das le cas où 0, 05, o a u, 96. La foctio p p( p) admet u maximum pour p = égal à 4. O peut doc majorer u O e déduit que l itervalle p( p) par. p( p) p( p) J p,96, p,96 (approximatio de l itervalle I liée à l approximatio de u 0, 05 par,96) est iclus das l itervalle p, p et doc o a : X P( J Cette iégalité prouve que l itervalle ) P( p p à u seuil au mois égal à celui de l itervalle X, p p ) est u itervalle de fluctuatio asymptotique (proche de 0,95) et justifie le résultat éocé e secode sous ue forme simplifiée, e preat pas e compte le caractère asymptotique. J Compte teu du caractère asymptotique de l itervalle de fluctuatio p, p, il serait X iexact d affirmer que la probabilité que la variable aléatoire pree ses valeurs das cet itervalle est supérieure à 0,95 pour toute valeur de, même lorsque les coditios usuelles d approximatio sot vérifiées. Ce poit a déjà été clairemet explicité das le documet ressource de la classe de première. Nous le repreos ici. X O peut visualiser ci-dessous les valeurs des probabilités P( p p ) suivat les valeurs de p et de et costater que le résultat éocé e classe de secode, s il est pas tout à fait exact, fourit éamois e gééral ue probabilité très proche de 0,95, ce qui justifie so utilisatio das la pratique. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 5 sur 70

27 Figure : Visualisatio des probabilités de l itervalle de fluctuatio de secode pour p = 0,3 (figure de gauche) et p = 0,5 (figure de droite). Documet associé : itervalle de fluctuatio secode.r Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 6 sur 70

28 O peut costater que : pour p =0,3 P( p X p ) 0, 95 pour p =0,5 P( p X p ) 0, 95 semble vérifiée pour tout etier, semble être vérifiée pour tout etier 600. Cela coduit au résultat suivat : Théorème Si la variable aléatoire X suit la loi B (, p) alors, pour tout p das ]0, [, il existe u etier X 0 tel que si 0 alors P( p p ) 0, 95. Démostratio Pour ue variable biomiale X de paramètres et p, le théorème de Moivre-Laplace prouve que, e otat Z la variable cetrée réduite associée à X, la limite de a ( Z ) est égale à PZ ( ) où Z suit ue loi N (0,). Or o a L P( Z ) 0,9544., si o cosidère l itervalle ouvert Doc, pour 0,004 L, L coteat L, il existe u etier 0 tel que si 0, o a : a L, L doc a 0,95 puisque L 0, X Or a p p( p) p p( p) ce qui doe, e majorat ( ) p p par /4, u itervalle de fluctuatio plus large doc de probabilité supérieure ou égale à. Doc pour tout etier, o a : 0 Exemple d activité Selo la valeur de p, la valeur de 0 X p p 0,95. peut varier cosidérablemet. Il est d ailleurs difficile de détermier avec certitude cette valeur de valeurs de 0 grâce à u algorithme de calcul. 0 a. O peut cepedat doer des P 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,4 0,4 0,4 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0, O peut remarquer que la plus grade valeur de est atteite pour p. C est effectivemet pour cette valeur que la fluctuatio est la plus importate puisque la variace est maximale pour cette valeur de p. 0 Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 7 sur 70

29 Algorithme Algobox : Remarque : Cet algorithme e permet d obteir 0 que pour des valeurs de p etre 0 et 0,39 car Algobox e calcule pas de valeurs avec la loi biomiale pour des valeurs de supérieures à 70. Or pour p 0, 4 la valeur de 0 est supérieure à 80. Pour le cas gééral il faut utiliser les logiciels R ou Scilab par exemple. Documet associé : recherche du 0.alg Programme SCILAB : Remarque : La lige elève à la première valeur de pour laquelle Fsup Fif < 0,95. Or, o cherche la plus petite valeur de 0 à partir de laquelle FSup-Fif 95 doc o doit faire afficher +. Documet associé : recherche du 0.sce Exemples d exercices. Les efats sot dits prématurés lorsque la durée gestatioelle est iférieure ou égale à 59 jours. La proportio de ces aissaces est de 6%. Des chercheurs suggèret que les femmes ayat eu u travail péible pedat leur grossesse sot plus susceptibles d avoir u efat prématuré que les autres. Il est décidé de réaliser ue equête auprès d u échatillo aléatoire de 400 aissaces correspodat à des femmes ayat eu pedat leur grossesse u travail péible. Les chercheurs décidet a priori que si la proportio d efats és prématurés das cet échatillo est supérieure à la bore supérieure de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 0,95 alors leur hypothèse sera acceptée. Fialemet le ombre d efats prématurés est de 50. Quelle est doc la coclusio? Solutio : Sous l hypothèse que la proportio de prématurés das l échatillo est la même que das la populatio géérale, o détermie l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 0, , 094, 006, 094, 006, 96, ; 006, 96, , ;, O calcule la valeur observée de proportio de prématurés das l échatillo et o obtiet 0,5. Cette valeur appartiet pas à l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95%, doc avec la règle de décisio choisie, o rejette l hypothèse posée. Les chercheurs cocluet doc que la proportio d efats prématurés est plus élevée chez les femmes ayat eu u travail péible pedat leur grossesse. Miistère de l éducatio atioale, de la jeuesse et de la vie associative (DGESCO) Page 8 sur 70