Angles orientés et trigonométrie

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1 GÉMÉTRIE ngles orientés et trigonométrie Les svoir-fire u hpitre 0 Pler sur le erle trigonométrique un point bsisse urviligne onnue 1 Déterminer l mesure priniple un ngle Mîtriser les propriétés reltives ux ngles orientés reltion e Chsles, et Connître le tbleu es vleurs u osinus et u sinus es ngles remrqubles Cluler le osinus et le sinus es ngles ssoiés 5 Résoure une éqution u type osx = os ou sinx = sin Le problème u hpitre L figure i-essous représente un érn rr ; i, j est un repère orthonormé iret u pln orienté D est le point u erle C e ryon tel que i, D = est le point u erle C e ryon tel que i, = L unité hoisie est le kilomètre Un observteur plé en D ns une pline peut-il perevoir un objet situé en si l visibilité est e 10 km? 0 57

2 Repérge 1 Vri ou Fux Ces nombres ont le même point-imge sur le erle trigonométrique 1 5 et 5 1 et et et Sur un erle trigonométrique C, on plé le point M ssoié à Conversion 0 Convertir les mesures es ngles orientés suivnts en egré :, 10, 5, 7 et 7 Conversion 1 Convertir les mesures es ngles orientés suivnts en egré : 5,,, et Pler sur le erle trigonométrique les pointsimges es nombres réels prééents Préiser l mesure e l ngle géométrique orresponnt en egré x r x egré Pler les points N, P et Q ssoiés respetivement à : ; 7, est un repère orthonormé iret et C le erle trigonométrique e entre 9 Donner une mesure en rin es ngles géométriques suivnts x egré x r 10 Soit le point-imge e et le point-imge e Déterminer l ensemble es nombres réels ompris ns ] ; ] ont les points-imges forment l r rouge extrémités omprises 1 J J I I I I 1 Quel est le nombre e l intervlle [0 ; [ ssoié u point N? Quel est le nombre e l intervlle[ ; 0] ssoié u point P? J J J J Donner plusieurs nombres réels qui ont même point-imge que : Donner tous les nombres réels qui ont même point-imge que : 1 5 I J I 11 0 Pler sur le erle trigonométrique les points-imges es nombres réels suivnts :,, 11, 5 I J et 17 I 5 Chpitre G ngles orientés et trigonométrie

3 1 Intervlles Représenter en rouge sur le erle trigonométrique, orienté ns le sens iret, l r e erle orresponnt ux points-imges es nombres réels ompris ns : 1 [ ] [ ] [ ] ; 0 ; 5 7 ; [ ] [ ; ; ] [ ] 0 ; 17 C est un tringle équiltérl tel que C, = HE est un tringle retngle isoèle tel que : H, HE = Donner une mesure es ngles orientés suivnts : 1 C, E H, E, C E, CH Mesures un ngle orienté 1 ;, Compléter : 1 P, M est un repère orthonormé iret P, N M, N, M 1 ; I, J est un repère orthonormé iret n onsière les points,, C, D et E, respetivement point-imges es nombres suivnts :,, 5, et Donner une mesure es ngles orientés suivnts : 1 I, D,, 5 C, E C, E, D 15 CD est un rré e entre Donner une mesure es ngles orientés suivnts : 1,, D, C 5 C, CD, C, C 1 CDEF est hexgone régulier Donner une mesure es ngles : 1, C, CD, E, E 1 1 Déterminer l mesure priniple es ngles orientés suivnts : Déterminer l mesure priniple es ngles orientés suivnts : Dns le pln orienté, les tringles retngles isoèles C et CDE sont isposés omme l inique l figure i-essous Donner l mesure priniple es ngles orientés suivnts : 1 C, CD, DC C, DE C, DE 1 Dns le pln orienté, et sont eux points istints Quelle est l nture u tringle C? Dns le pln orienté, et sont eux points istints Dns hun es s suivnts, représenter l ensemble es points M 1, M = 0 M, M =, M =, M Soit #» u et #» v eux veteurs non nuls tels que : #» u, #» v = Donner une mesure e : 1 #» v, #» u #» u, #» v #» u, #» v #» v, #» u Chpitre G ngles orientés et trigonométrie 59

4 Soit,, C et D qutre points u pln tels que, CD = Donner une mesure e : 1, DC, DC CD, DC, 5 Soit #» u, #» v, #» w, #» r et #» t es veteurs non nuls Compléter 1 #» u, #» v+ #» v, #» w =, #» w+, #» t = #» v, #» t #» t, #» w +, #» t = #» v, #» w Compléter 1, C + C, D =, C + C, =, D, C =, + C, 1 C est un tringle retngle en tel que C, C = 7 1 Justifier l églité :, C =, C C, C + En éuire l mesure priniple e, C CDE est l ligne brisée i-essous C D Les roites et DE sont-elles prllèles? et DE sont olinéires Trouver une mesure e DC, DE E 7 Soit #» u et #» v eux veteurs non nuls tels que : #» u, #» v = Donner l mesure priniple es ngles orientés suivnts : 1 #» u, #» v #» v, #» v #» v, #» u #» v, #» u Soit, et C trois points tels que :, C = 5 Donner l mesure priniple es ngles orientés suivnts : 1, C C, C,, C 9 Soit,, C et D es points u pln tels que, C = et C, D = Démontrer que le tringle D est retngle en 0,, C et D sont es points tels que : C, C =, C est retngle en et iret està-ire C, = et D, = 5 Montrer que les points, C et D sont lignés Soit, et C trois points un erle Γ e entre Soit D le point imétrlement opposé à sur Γ Г Г D C 1 Montrer en utilisnt l reltion e Chsles que, D =, b Exprimer que l somme es ngles u tringle est égle à En éuire que, D D =, n peut montrer e même que : D, C =, C En éuire que, C =, C Compléter l énoné u théorème : «L ngle u est égl u ouble e l ngle insrit intereptnt le même» C 0 Chpitre G ngles orientés et trigonométrie

5 Cosinus et sinus un nombre réel 5 Compléter le tbleu x en rin 7 os x 1 0 sin x 1 Donner les ooronnées es points, et C points-imges es nombres réels, 1 et 5 sur le erle trigonométrique 7 Donner les ooronnées es points, et C points-imges es nombres réels, et 5 sur le erle trigonométrique Soit x un nombre réel tel que os x = 1 et x ] [ ; 0 Cluler sin x 9 Soit x un nombre réel tel que sin x = 1 ] 5 et [ x ; Cluler os x 0 CLC Un élève obtenu les eux érns suivnts ve s lultrie 1 Quelle éqution -t-il résolue ns l érn e guhe? Quelle solution e ette éqution est onnée pr l lultrie? b L éqution prééente -t-elle utres solutions ns ] ; ]? Pourquoi -t-il obtenu une erreur ns l érn e 1 roite? CLC 5 Déterminer ns hque s, s il existe, le nombre réel x tel que : 1 sin x = 0, et x ] [ ] ; 0 [ sin x = 1, et x 0 ; CLC 5 Déterminer ns hque s, s il existe, le nombre réel x tel que : ] 1 os x =, 1 et x 0 ; os x = [ et x ] ; 5 n onsière l éqution os x = 1 Résoure ette éqution ns ] ; ] et pler sur le erle trigonométrique les points orresponnts En éuire l ensemble es solutions ns R 5 n onsière l éqution os x = os [ 5 Résoure ette éqution ns R, puis ns ] ; ] 5 5 Résoure ns R les équtions suivntes : 1 sin x = os x = 1 5 Résoure ns ] ; ] les équtions suivntes : 1 os x = sin x = Résoure ns [0 ; [ les équtions suivntes : 1 os x = 0 sin x = 1 sin x = Prmi les expressions suivntes, lesquelles sont nulles quel que soit x réel? 1 osx+ os x sin x + os x sin x+ sin+x os x + sin+x 9 Cluler quel que soit x réel l expression : os x+ sin x +os x sin x 50 Simplifier les expressions suivntes : 1 sin+x+os x + os x+sinx sin x osx++os x sinx Chpitre G ngles orientés et trigonométrie 1

6 51 1 Cluler sin 5, sin et sin n sit que os = 5 En éuire sin 10 5 En utilisnt les ngles ssoiés, luler l vleur exte es ooronnées u point-imge M es nombres réels suivnts : n sit que sin = En éuire : 1 sin 1 os sin sin CLC L érn suivnt obtenu ve l lultrie orrespon à l résolution une éqution 59 n onsière l inéqution sin x < 1 Représenter sur le erle trigonométrique les solutions e ette inéqution ns ] ; ] Résoure ette inéqution ns ] ; ] Problèmes pprofonissement 0 L vleur exte e sin 1 est 1 Démontrer que l vleur exte e os 1 est + En éuire les vluers extes u sinus et u osinus e : b n souhite résoure l éqution suivnte ns R : os x 1+ os x+ = De quelle éqution s git-il? b Quelle est l solution obtenue? Résoure ette éqution ns ] ; ] puis ns R 55 1 Résoure l éqution sin x = sin ns R Préiser les solutions ontenues ns l intervlle ]0 ; ] 5 Montrer que l éqution os x = 1 qutre solutions ns ] ; ] puis pler sur le erle trigonométrique les qutre points orresponnts 57 n onsière l inéqution os x > 0 1 Représenter sur le erle trigonométrique les solutions e ette inéqution ns ] ; ] Résoure ette inéqution ns ] ; ] 5 n onsière l inéqution sin x 1 Représenter sur le erle trigonométrique les solutions e ette inéqution ns ] ; ] Résoure ette inéqution ns ] ; ] 1 n effetue un hngement e vrible n pose X = os x ve x [ 1 ; 1] Quelle éqution u seon egré est équivlente à 1? b Montrer que son isriminnt peut s érire : 1 Déterminer les solutions e ette éqution u seon egré En éuire les solutions e l éqution 1 ns ] ; ] puis ns R ; i, j est un repère orthonormé iret et C le erle trigonométrique e entre Les points et sont respetivement ssoiés ux nombres et L méitrie u segment [] oupe C en M et N Déterminer l mesure priniple e l ngle #» i, M, puis elle e #» i, N Chpitre G ngles orientés et trigonométrie

7 C est un tringle équiltérl tel que, C = CD et E sont eux tringles isoèles tels que : C, CD = et E, = 1 Quelle est l mesure priniple e E, et elle e, D? Quelle est l mesure priniple e E, D? b Que peut-on en onlure? Résoure ns ] ; ] les équtions suivntes : 1 os x 1 = 0 sin x = 5 1 Sur le erle trigonométriquec, pler le point M tel que os x = 5 et x [ ; 0 ] Cluler : sin x os x b sin x sin+x Le but e l exerie est e résoure ns R l éqution sin x = os 1 Trouver un réel tel que os = sin Résoure l éqution sin x = os 7 Résoure les équtions suivntes : 1 sin x+ = 1 ve x [0 ; [ os x = 1 ve x [ ; [ Chpitre G ngles orientés et trigonométrie

8 Je teste mes onnissnes À l fin e e hpitre, je ois être pble e : Repérer un point sur le erle trigonométrique Cluler une mesure un ngle orienté Déterminer l mesure priniple un ngle orienté Résoure une éqution trigonométrique Cluler le osinus et le sinus e nombres réels et ngles orientés Utiliser les formules ition, e soustrtion et e uplition QCM uto-évlution Pour hque question, plusieurs réponses sont proposées Déterminer elles qui sont orretes Soit #» u et #» v eux veteurs non nuls tels que #» u, #» v = Soit M le point u erle trigonométrique tel que I, M = #» u, #» v Une mesure e l ngle orienté #» u, #» v est : b #» v, #» u pour mesure : b Une mesure e l ngle orienté #» u, #» v est : b Une mesure e l ngle orienté #» u, #» v pour mesure : b Une utre mesure e est : 5 b Les ooronnées u point M telles que I, M = #» u, #» v sont : 1 ; b ; ; ; 1 Chpitre G ngles orientés et trigonométrie

9 D C CD est un rré e entre et I est le milieu e[c] 7 L ngle orienté, C pour mesure : 5 = I b = 75 L ngle orienté I, IC pour mesure : b 7 L ngle orienté I, pour mesure : b 0 77 L ngle orienté D, I pour mesure : b 7 L ngle orienté C, D pour mesure : b 79 L ngle orienté D, pour mesure : 5 b 5 CD est le quriltère i-ontre = C = D = 1 0 L ngle orienté D, C pour mesure : D b 5 5 C 1 L ngle orienté C, D pour mesure : 5 b L ngle orienté CD, C pour mesure : 5 b 1 L ngle orienté C, C pour mesure : 7 b Chpitre G ngles orientés et trigonométrie 5

10 À quelles expressions est égl os? os b os sin sin 5 L éqution sin x = pour solutions ns ] ; ] : x = et x = b x = et x = x = et x = x = et x = L éqution sin x = pour solutions ns R k Z : x = + k b x = + k x = + k x = + k et x = + k et x = + k 7 L éqution os x = x = et x = 11 pour solutions ns ] ; ] : b x = et x = x = et x = x = et x = L éqution os x = 0 pour solutions S = : x = ns ] ; ] b x = et x = ns ] ; ] x = et x = ns [0 ; [ x = et x = ns [0 ; [ 9 L inéqution sin x > 0 pour solutions ns ] ; ] l intervlle : ]0 ; ] b ] ; 0] ]0 ; [ ] ; 0[ 90 L inéqution os x < pour solutions ns [0 ; [ l ensemble S = : ] [ ; 5 ] b ; [ ] [ 5 ; 7 ] 0 ; [ ] [ 5 7 ; 91 L inéqution sin x [ ] ; pour solutions ns ] ; ] l ensemble S = : ] b ; [ ] [ 5 ; 7 [ ; ] Chpitre G ngles orientés et trigonométrie