HYDROLOGIE STATISTIQUE

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1 HYDROLOGIE STATISTIQUE Elémets d Hydrologie Statistique par R.Ababou, d après le cours professé à l INP-ENSEEIHT (Toulouse), Départemet de Formatio «Hydraulique & Mécaique des Fluides». R. ABABOU Documet «PDF» e couleur dispoible sur site web. Décembre 006 / Javier 007 (versio v)

2 HYDROLOGIE STATISTIQUE R. Ababou Sommaire Décembre 006 / Javier 007 (versio v) CH.0. INTRODUCTION, BIBLIO, DONNEES HYDROLOGIQUES CH.. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE EN HYDROLOGIE Ch.-A. Ch.-B. TD. Aalyse uivariée Momets et lois de probabilité Aalyse uivariée (suite) Crues auelles et valeurs extrêmes ; crues rares et loi de Poisso. CRUES GARONNE (LOI DE GUMBEL & LOI DE POISSON) CH.. ANALYSE STATISTIQUE MULTIVARIEE EN HYDROLOGIE TD. COVARIANCES, REGRESSION, ACP (6 statios pyréées) CH.3. ANALYSE STATISTIQUE DE PROCESSUS HYDROLOGIQUES Ch.3-A. Chroiques hydrologiques & Processus aléatoires (Bases) Ch.3-B. Aalyse croisée de chroiques hydrologiques (pluie-débit) TD3 IDENTIFICATION STATISTIQUE D UNE FONCTION DE TRANSFERT PLUIE P(t) DEBIT Q(t) : HYDROGRAMME UNITAIRE (avec jeux de doées : pluies-débits bassis karstiques, etc ) REFERENCES ANNEES i

3 HYDROLOGIE STATISTIQUE R. Ababou Table des Matières Décembre 006 / Javier 007 (versio v) Pla du Cours et des Travaux Dirigés CH.0. INTRODUCTION, BIBLIO, DONNEES HYDROLOGIQUES 0.0. Bibliographie (voir liste des référeces) 0.. Doées hydrologiques (bases de doées, illustratios) 0.. Objectifs, méthodes et «modèles» e hydrologie statistique 0.3. Objectifs types d applicatios de l hydrologie statistique CH.. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE EN HYDROLOGIE Ch.-A. Aalyse uivariée Momets et lois de probabilité A.0. Bases élémetaires de probabilité(s) et statistique(s) Probabilité «axiomatique», theorème de Bayes, exemples Géératio de variables (pseudo)-aléatoires Desité de Proba & Foctio de Répartitio (v.a. cotiues) Estimateurs statistiques (DdP, FdR, Momets) A.. Lois de proba classiques, momets, et ajustemets Cf. ANNEE «Lois de proba uivariées : relatios momets-paramètres». A.. Exemples d ajustemets de lois de proba (pluies, débits) A.3. Types de lois de proba (pluies, débits) selo le pas de temps t A. ANNEES Histogrammes de fréqueces liés à la morphologie des bassis Algorithmes de calcul d ue Foctio de Répartitio empirique Itervalle de cofiace et bade de cofiace («erreurs» gaussiees) ii

4 Ch.-B. TD. Aalyse uivariée (suite) Crues auelles et valeurs extrêmes ; crues rares et loi de Poisso. -B. Notio de «crue» -B. Crues auelles et loi(s) des valeurs extrêmes -B. Evèemets rares et loi de Poisso Défiitio axiomatique de la loi de Poisso Applicatio de la loi de Poisso à l estimatio de crues «rares» Note sur la fiabilité de l estimatio d ue crue «déceale» -B. A NNEE : «Crues, temps de retour, évèemets rares et loi de Poisso». CRUES GARONNE (LOI DE GUMBEL & LOI DE POISSON) CH.. ANALYSE STATISTIQUE MULTIVARIEE EN HYDROLOGIE TD..0. Itroductio, objectifs, méthodes.. Loi de proba multivariée d u vecteur de v.a. s (,, ) Foctio de Répartitio & Desité de Proba multivariées (joites) Loi de Gauss multivariée : cas d u vecteur aléatoire gaussie de taille N.. Cas de v.a. s : covariace, corrélatio, et régressio liéaire.. Utilisatio de la régressio liéaire pour la critique de doées EERCICE/EEMPLE : «Recostitutio de doées par régressio liéaire : pluies mesuelles e deux statios alpies». Test d homogéééité par la méthode des résidus cumulés (ellipse de cofiace) : exemple de trois statios pluviométriques au Sri Laka..3. Gééralisatios aalyses statistiques multi-statios : aalyse corrélatoire multivariée, régressio multiple, et A.C.P. Matrice de covariace à K+ variables (K explicatives, expliquée) Exercice sur ue matrice de covariace 3x3 (exemple de piège à éviter) Régressio liéaire multiple à K+ variables (K explicatives, expliquée) Aalyse e Composates Pricipales (A.C.P) : cf. TD COVARIANCES, REGRESSION, ACP (6 statios pyréées) CH.3. ANALYSE STATISTIQUE DE PROCESSUS HYDROLOGIQUES Ch.3-A. Chroiques hydrologiques & Processus aléatoires (Bases) 3-A. Structure temporelle des chroiques hydrologiques (exemples) 3-A. Les processus aléatoires auto-corrélés (t-cotiu ; t-discret) Itroductio aux foctios aléatoires (t) Processus aléatoire (t), statioarité, ergodicité Foctios d auto-corrélatio de processus statioaires iii

5 Iterprétatios de foctios d auto-corrélatios (exemples : chroiques de débits jouraliers et bi-mesuels au Sri Laka) 3-A. Modélisatio et recostructio de chroiques hydrologiques : étude du modèle AR (Auto-Régressif du er ordre). Les équatios du modèle AR pour u processus (t()) Relatio d équivalece etre (t)-lagevi et (t())-ar Extesio : le modèle «AR saisoier» de Thomas-Fierig Idetificatio statistique des paramètres du processus AR (statioaire) Exercice de cours : pour ue séquece d observatios (t()) e déduire u critère et ue méthode d ajustemet des paramètres du modèle AR. Ch.3-B. Aalyse croisée de chroiques hydrologiques (pluie-débit). Théorie des modèles de covolutio pluie-débit (P(t) Q(t)) : cf.tableau SYNOPTIQUE Détermiiste vs. Statistique Causal vs. No-causal Temps cotiu Temps discret TD3 IDENTIFICATION STATISTIQUE D UNE FONCTION DE TRANSFERT PLUIE P(t) DEBIT Q(t) : HYDROGRAMME UNITAIRE (avec jeux de doées : pluies-débits bassis karstiques, etc ) REFERENCES ANNEES Lois de probabilité uivariées : relatios momets-paramètres et méthodes d ajustemet. NB : d autres aexes sot isérées directemet das chaque chapître iv

6 Cours «Hyd.Stat.» 3Hy Idetifiat = HY3ASE303 Titre : Hydrologie Statistique Sous-titre : Traitemets de doées hydrologiques : aalyses uivariées, temps de retour, évèemets extrêmes, évèemets rares, aalyses corrélatoires multivariées et ACP, chroiques hydrologiques et processus aléatoires, doées spatialisées et géostatistique. R. Ababou : ababou@imft.fr Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar. Cours «Hyd.Stat.» 3Hy Idetifiat = HY3ASE303 Documets e lige: ( \\CRI\spi_com\be\hy\... ) Documets polycopiés imprimés: Pour les bases statistiques, voir le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar.

7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Pla / Syllabus PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» ID : HY3ASE303 DATE DE MISE À JOUR : 7/06/005 TITRE : HYDROLOGIE STATISTIQUE (STOCHASTIC HYDROLOGY) COURS : H TD : 8 H TP : H TRAVAIL PERSONNEL : H OBJECTIFS Approfodir le cours d'hydrologie géérale à l'aide d'ue approche statistique et probabiliste des processus pluies-débits, avec des méthodes de traitemet de doées spatio-temporelles adaptées aux problèmes de l'hydrologie. Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar. 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Pla / Syllabus PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PROGRAMME (COURS & TD) Itroductio, doées, et modélisatio statistique e hydrologie;. A. Aalyse statistique uivariée, momets et lois de probabilité ; B. Evèemets rares, loi de Poisso, estimatio de crue de projet.. Aalyse statistique multivariée : régressio liéaire, régressio multiple gééralisée, corrélatio multiple, et aalyse e composates pricipales (ACP). Applicatios à la critique, recostitutio, et/ou cartographie de doées hydrologiques. 3. Aalyses statistiques de séries chroologiques proveat de réseaux de mesures hydro-météorologiques et hydro-géologiques. Aalyse et recostructio de chroiques pluies-débits ; hydrogramme uitaire statistique. [Estimatio géostatistique (x,y)]. NB : Ue étude de cas sera traitée das le cadre d u «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la modélisatio ou la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar. 4

8 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Pla / Syllabus PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PLANNING DES TRAVAU DIRIGÉS (À TITRE INDICATIF) Date N o. TD Chapître Ititulé & coteu du TD TD /4 I.A & I.B Crues auelles, crues rares, temps de retour (Garoe ; Oued Mdez). TD /4 II. Recostitutio et critique de doées pluviométriques par corrélatio et régressio etre statios ; et/ou : Corrélatios multiples & Aalyse e Composates Pricipales pour l étude des redodaces etre statios hydrologiques. TD 3/4 III. Idetificatio statistique de la foctio de trasfert pluie-débit e temps discret, durée fiie (formulatio algébrique et applicatio de la théorie développée e cours). TD 4/4 III. Mii Bureau d Etude. Utilisatio de programmes Matlab e salle iformatique pour la décovolutio umérique pluie-débit (Hydrogramme Uitaire statistique). 5 RAPPEL : Ue étude de cas sera traitée e «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Cours Hydro.Stat. 3Hy: Pla / Syllabus BIBLIOGRAPHIE : PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» Bras R. et I.Rodriguez-Iturbe: «Radom Fuctios i Hydrology», Dover, NY. Chow, Maidmet, et al : «Applied Hydrology», 988. SUPPORTS DE COURS : Polycopiés et documets e lige : (\\CRI\spi_com\be\hy\...) ; Polycopié imprimé : Pour les bases statistiques, cf. le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Autres documets : Diapositives de cours distribués chaque aée. Documets de TD et Projet distribués chaque aée. 6

9 Cours Hydro.Stat. 3Hy: Pla / Syllabus PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» DÉTAILS ORGANISATIONNELS : Evaluatio : Ecrit : BE : Oral : Evaluatio : Ecrit : h ou BE : week-ed Oral : Eseigats : R. Ababou Cours : h A. Al-Bitar Cours : TD : TD : 8 h TP : h TP : h Semestre : 3 Hy Semestre E Chroologie: ère séace Nov.005 / derière séace 4 Ja.006 7

10 CHAP. 0 (INTRO)

11 Cours «Hyd.Stat.» 3Hy Idetifiat = HY3ASE303 Titre : Hydrologie Statistique Sous-titre : Traitemets de doées hydrologiques : aalyses uivariées, temps de retour, évèemets extrêmes, évèemets rares, aalyses corrélatoires multivariées et ACP, chroiques hydrologiques et processus aléatoires, doées spatialisées et géostatistique. R. Ababou : ababou@imft.fr Hydrologie Statistique Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar. Cours «Hyd.Stat.» 3Hy Idetifiat = HY3ASE303 Documets e lige: ( \\CRI\spi_com\be\hy\... ) Documets polycopiés imprimés: Pour les bases statistiques, voir le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Hydrologie Statistique Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar. Web local R.A. free

12 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PROGRAMME (COURS & TD) Itroductio, doées, et modélisatio statistique e hydrologie;. A. Aalyse statistique uivariée, momets et lois de probabilité ; B. Evèemets rares, loi de Poisso, estimatio de crue de projet.. Aalyse statistique multivariée : régressio liéaire, régressio multiple gééralisée, corrélatio multiple, et aalyse e composates pricipales (ACP). Applicatios à la critique, recostitutio, et/ou cartographie de doées hydrologiques. 3. Aalyses statistiques de séries chroologiques proveat de réseaux de mesures hydro-météorologiques et hydro-géologiques. Aalyse et recostructio de chroiques pluies-débits ; hydrogramme uitaire statistique. [Estimatio géostatistique (x,y)]. NB : Ue étude de cas sera traitée das le cadre d u «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la modélisatio ou la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar. Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Coteu: bibliographie, doées hydrologiques, modélisatio statistique, exemples 0.0. BIBLIOGRAPHIE (EN CONSTRUCTION) R.Ababou 004: Hydrologie Statistique - Cours et exercices (élémets) : documets électroiques sur le site web : Gaudu R.: Cours d'hydrologie : Hydrologie Statistique (Polycopié, circa 990). Chow V.T., Maidmet, Mays : Applied Hydrology, 988. Bras R., I.Rodriguez-Iturbe : Radom Fuctios i Hydrology, Dover, New York. Miquel J. : Guide pratique d'estimatio des probabilités de crues. Eyrolles (EDF-DER), 984, 60 pp. Réméiéras G., 965 : Hydrologie de l'igéieur. Eyrolles (EDF-DER). Dubad D., 97: Hydrologie statistique approfodie. Cours polycopié (EDF-DER & ENS d'hydraulique de Greoble). Yevjevich: Delleur: Guides de l OMM B.Cautrot et al.: Les méthodes de prévisio. PUF "Que Sais-Je?". H.Vetsel : Théorie des probabilités. Editios Mir, Moscou. Ph.Tassi : (Proba-stat) J.Bass: Elémets de calcul des proba Blac-Lapierre : (Théorie des foctios aléatoires) W.Feller: A itroductio to probability theory ad applicatios. M.Kedall: Advaced theory of statistics ( vols.) Hydrologie Statistique

13 0.0. BIBLIOGRAPHIE (EN CONSTRUCTION) Coteu: Etude bibliographique : les doées hydrologiques, la modélisatio statistique, les études et applicatios. Voir liste de référeces (prélimiaire) à la fi de ce documet

14 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Coteu: bibliographie, doées hydrologiques + exemples, modélisatio statistique 0.. DONNÉES HYDROLOGIQUES Sources de doées («BD»=Baque de Doées) RNDE : Réseau Natioal des Doées sur l Eau : BD HYDRO : Baque HYDRO, SCHAPI, Aveue Gaspar Coriolis, 3057 TOULOUSE. Tél.: +33 (0) hydro@eviroemet.gouv.fr Web : Etc Types de doées Chroiques hydrologiques horaires, jouralières, mesuelles, auelles. Exemples : précipitatios P(t) mm/h avec t = h; débit Q(t) m3/s avec t = j. Régimes hydrologiques : débits de la ère décade du mois de Jui des aées Doées spatialemet distribuées : pluies e 3 statios pluviométriques Exemples de doées et de réseaux de mesures Voir figures suivates Bulleti Hydro Hydrologie Statistique Détails: BD Hydro 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Exemples de doées (et réseaux de mesures) Voir figures suivates Réseau de mesure pluviométriques das le bassi versat d Eel River Dérive des précipitatios auelles sur 80 as (Tabucaya, D.F., Mexique) Recostitutio de précipitatios sur plus de 000 as (Mexique) : «dedro-hydrologie». Observatios sur les crues historiques toulousaies sur 700 as Débits de crues auelles du Rhôe Débits de crues auelles de l Oued Mdez (Moye Atlas) Module auel de la Loire à Blois Régime de débits mesuels - cartographie par régios (U.S.A) Régime des pluies et débits par quizaie traitemet statistique (Gi Gaga, Sri Laka) Chroiques pluies-débits semi-horaires et jouralières (sources karstiques) Etc Bulleti Hydro Hydrologie Statistique Détails: BD Hydro 6

15 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique

16 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Facteur de fluctuatios climatiques a l échelle pluri-auelle: El Nio South Pacific Oscillatio Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Précipitatios extrêmes das le R.Ababou mode (P et e al., mm) INP/ENSEEIHT: e foctio de la durée D (h ou m): Hydrologie Statistique P(mm) 388.6*D (h). NB: sur le graphique log-log, P est e mm et D e m. 0

17 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique Source: C Thirriot d après R Lambert et al (cf Atlas Hydraulique Garoe)

18 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Source karstique d Aliou Hydrologie (Pyréées): Statistique pluie et débit semi-horaires ( t=0.5h). 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Pluie P(t) et débits Hydrologie Q(t) jouraliers Statistique pour source karstiques (Pyréées). 4

19 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Régime des débits spécifiques bimesuels R.Ababou ( t=5j) et al., INP/ENSEEIHT: à la statio d Agaliya (Sri Laka): aalyse statistique des doées iterauelles Hydrologie par quatiles, Statistique et courbe du débit moye iterauel. 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Comparaiso de aées de chroiques R.Ababou de et pluie al., INP/ENSEEIHT: (histogramme bleu) et de débit spécifique (courbe rouge) agrégées sur t=5j Hydrologie (bimesuelles) Statistique : P-Talawama / Q-Jesmi (Sri Laka). 6

20 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Comparaiso de aées de chroiques R.Ababou de et pluie al., (histogramme INP/ENSEEIHT: bleu) et de débit spécifique (courbe rouge) agrégées sur t=5j Hydrologie (bimesuelles) Statistique : P-Aigkada / Q-Jesmi (Sri Laka). 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Statios pluviométriques e bleu; R.Ababou statios de et jaugeage al., INP/ENSEEIHT: de débits e rouge. Bassi versat Hydrologie Statistique de la Gi Gaga (Sri Laka). Etude D.E.A. de Karie DESNOS 00 (IMFT/R.Ababou). 8

21 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures The PDSI is obtaied from precipitatio, air temperature, ad local soil moisture, alog with prior values of these measures. PDSI values rage from -6.0 (extreme drought) to +6.0 (extreme wet coditios), ad have bee stadardized to facilitate comparisos from regio to regio (USA). This drought idex has bee used to evaluate drought impact o agriculture. Cartographie aiméee du PDSI (Palmer Drough Severity Idex) Hydrologie Statistique The aimatio [show to the left] demostrates the distributio of drought from istrumetal data for the Dust Bowl Drought (top), Drought (bottom). Both droughts affected much of the U.S. Southwest & Souther Great Plais. Red idicates areas of extreme drought, while blue idicates very wet coditios. Notice how extesive a area is uder severe drought as the 930 s decade progresses. Texas is a key area for the 950 s drought. Source: USGS (légedes modifiées -- R.A.) 0

22 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) 0.. OBJECTIFS, MÉTHODES & MODÈLES STATISTIQUES EN HYDROLOGIE Etape 0: Choix d'ue approche de type statistique Supposos que ous ayos à traiter u problème hydrologique tel que : prédire le régime des débits e différets poits d'u bassi, pour l'implatatio de microcetrales hydro-électriques, prédire les crues extrêmes sur le futur site de costructio d'u barrage (par exemple e Asie). Après exame du problème posé, des doées et des moyes dispoibles, l'hydrologue peut avoir à recoaître l'utilité (ou même la écessité) d'ue descriptio probabiliste / statistique des phéomèes. La raiso e est l extrême complexité des situatios et mécaismes physiques : processus hydro-météorologiques et hydrodyamiques spatio-temporels (précipitatios, débits de ruissellemets, ); les milieux géophysiques hétérogèes (propriétés de surface des bassis hydrologiques: perméabilité, topographie, végétatio, sols, ). Par exemple, il peut sembler très difficile de proposer ue modélisatio puremet hydrodyamique pour estimer les chroiques de débits e u poit d'u cours d'eau o jaugé ( ). Ue "modélisatio statistique" est alors proposée, e adaptat celle-ci étroitemet aux doées et moyes dispoibles. Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) Exemples: Le terme "modélisatio" s'applique aussi bie à l'approche statistique que mécaiste. Das les deux cas, la modélisatio est utilisée pour la prédictio, l'iterpolatio, ou l'extrapolatio, par exemple lorsqu'il s'agit de coaître les débits o observés (scéarios climatiques; crues de projet; etc). Voici exemples spécifiques justifiat le terme "modélisatio" das l'approche statistique. Ex. : Iterpolatio d'u modèle statistique : régressio liéaire simple (doc corrélatio) permettat d'estimer ou recostituer ue doée (débit de Mai 976 à la statio S6), ue série de doées (débits mesuels de 976 à la statio S6), ou même ue variable ("débit mesuel de Mai à la statio S6"), o directemet observée. Ex. : Extrapolatio d'u modèle statistique : estimatio du débit d'ue crue extrême o observée (e.g. crue déca-milléale) par extrapolatio de sa loi de probabilité, estimée par ajustemet des doées crues auelles. Hydrologie Statistique

23 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) Etape : Mise e forme et critique des doées Choix des variables hydrologiques pertietes. Formattage, umérisatio (aalogique digitale) et codesatio de l'iformatio. Choix d'u pas de temps ou, plus gééralemet, tests de résolutio spatio-temporelle. Trasformatios préalables des doées (log, puissace) : e.g., log-débits Y=l(Q). Relatios détermiistes ou mécaistes etre variables : courbe de tarage Q=T(H). Visualisatios graphiques prélimiaires : chroiques (t), uages de poist (,Y), etc. Aalyses statistiques prélimiaires : moyees, écarts-types, coefficiets de variatio. Recostitutio statistique de doées maquates : par régressio liéaire.* Critique de doées aberrates : élimiatio des "horsis" (aglais : outliers).* *Remarque : E fait, les étapes «recostitutio de doées maquates» et «critique de doées aberrates» peuvet être cosidérées comme aalyses statistiques à part etière, faisat partie itégrate du modèle statistique. Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) Etape : Aalyse statistique des doées / modélisatio des variables Cette étape cosiste e l'applicatio d'ue aalyse statistique aux doées dispoibles, ou même, l'applicatio d'u modèle probabiliste vis-à-vis des variables icoues ou icertaies (les variables à "expliquer", à modéliser). Le modèle probabiliste formalise l'iformatio coteue das les doées (cf. Dubad 98), mais aussi, le modèle probabiliste propose ue estimatio prédictive de variables/doées o directemet observées (c'est le poit de vue adopté ici). Exemples: Ajustemet d'ue foctio de répartitio au doées de pluies auelles à Agadir: applicatio pour prédire les "sécheresses" de temps de retour déceal et ceteal. Régressio liéaire etre deux variables hydrologiques: la variable à expliquer est Y=Q, le débit mesuel de Mars à la statio S; la variable explicative est =Q, le débit mesuel de Mars à la statio S das le même (petit) bassi versat. La modélisatio porte sur l'estimatio de Y coaissat. Ce peut être u problème de recostitutio de doées maquates e S. Plus gééralemet, la corrélatio multiple et l'acp (Aalyse e Composates Pricipales) est utilisée pour aalyser les relatios etre variables hydrologiques observées e plusieurs statios de mesures. Hydrologie Statistique

24 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) Etape 3: Exploitatio du modèle statistique (modélisatio, estimatio, iterprétatio) Après des tests de validatio évetuels du modèle statistique, la derière étape cosiste e l'exploitatio du modèle (avec au préalable des tâches de post-traitemet), e vue de répodre aux objectifs (questios posées par les "décideurs"). Exemples (questios posées): quelles statios de mesures sot redodates? quel est le débit de la crue de projet déca-milléale? géérer ue chroique de débits jouraliers ou horaires, et sa bade de cofiace, sur le site S d'ue rivière o jaugée; proposer ue cartographie optimale de la pluviométrie sur le bassi versat B; etc Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0.3. EEMPLES D APPLICATIONS DE L HYDROLOGIE STATISTIQUE, Ratioalisatio, optimisatio, redodaces d'u réseau de statios de mesures Recostitutio totale ou partielle d'ue série de doées maquates Prédictio statistique de débits d'étiage (e liaiso avec le Débit Objectif d Etiage) Prédictio statistique de débits de crues extrêmes (déca-milléal) Par exemple, estimer le débit de la crue de projet déca-milléale (Q ). Celle-ci peut être défiie comme le débit jouralier (moyee ou poite jouralière) de la crue auelle (maximum des 365 débits jouraliers sur l'aée caledaire) de temps de retour dix mille as. Par défiitio, la probabilité de retour d'ue crue auelle plus forte que Q est seulemet de /0 000 ème ; la probabilité de dépassemet de la crue déca-milléale est doc de 0-4 seulemet. Applicatio à la protectio d'ouvrages d'art tels que pots, digues de protectio, barrages (évacuateurs de crues). Gestio de reteues à usages multiples Gestio de réservoirs e teat compte des iputs ("offre"), des outputs ("demade") des cotraites (e.g. Débit Objectif d'etiage), et de foctios objectifs, teat compte de tarificatios e vigueur (eau irrigatio, eau potable, électricité). Les iputs de la reteue peuvet être modélisés par ue approche stochastique / processus aléatoires (e.g. processus ARMA : cf. Box & Jekis). Prévisio hydrométéo et alerte de crues e temps réel Protectio de l'eviroemet, études d'impact, études de risques Iodatios (altitudes, petes). Pollutio distribuée agricole : «o poit source» Erosio (géomorpho, petes). Pollutio accidetelle, idustrielle : «poit source». Hydrologie Statistique _ETUDE_PQ_BV-GiGaga-Sri_7pp.pdf 6

25 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0.4. EEMPLES DE MODÈLES STATISTIQUES EN HYDROLOGIE Types de modèles statistiques (ou probabilistes, stochastiques, géostatistiques ) Tout d'abord, voir la remarque ci-dessous sur la termiologie(*). Ici, o a choisi de regrouper les différets types de modèles e trois grads groupes, qui correspodet grosso modo au pla d'esemble de ce cours: i. Les modèles statistiques uivariés (ue seule variable hydrologique) ii. Les modèles statistiques multivariés (plusieurs variables multi-corrélées) iii. Les modèles statistiques spatio-temporels (processus hydrologiques, etc) Voici, das chaque cas, u exemple d'utilisatio possible du modèle statistique: Modèle uivarié: Ajustemet et extrapolatio d'ue loi de probabilité Modèle multivarié: Corrélatios multiples et ACP; régressio multiple Modèle (spatio)temporel: Idetificatio statistique d'u HU(t) pluie débit. (*) Termiologie. «Statistique" se réfère au traitemet statistique de doées (costructio d'ue foctio de répartitio empirique, estimatio de momets sur échatillos de taille fiie, etc). "Probabiliste" se réfère à la modélisatio d'ue variable hydrologique vue comme ue variable aléatoire (loi de probabilité). "Stochastique" se réfère plutôt à la modélisatio probabiliste de processus temporels (chroiques hydrologiques). "Géostatistique" se référère à la modélisatio de variables hydrologiques spatialemet distribuées: théorie de Mathero (variables régioalisées); théorie Bayesiee de l'estimatio (foctios aléatoires). Autre exemple : u modèle d itesité de pluies P(t) mi-statistique, mi-mécaiste : Le modèle d impulsios rectagulaires de Neyma-Scott géère u processus d itesité de précipitatios P(t) (mm/h) qui peut être ajusté de faço à satisfaire certaies propriétés observées (itesités, itermitteces, durées des averses ). Modele P(t) Neyma-Scott Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Doées hydrologiques, modélisatio statistique e hydrologie, exemples 0.3. EEMPLES D ETUDES D HYDOLOGIE STATISTIQUE Régimes hydrologiques. Exemple : régime itra-auel des pluies et des débits das u bassi du Sri Laka Problème de la «régioalisatio» des débits. Exemple : extrapolatio spatiale des débits à partir de doées pluies & débits au Sri Laka. Idetificatio de la foctio de trasfert pluie-débit (hydrogramme uitaire statistique) Exemple : idetificatio de la foctio de trasfert pluie-débit par décovolutio pour des sources karstiques. Applicatio à la recostitutio des débits, aalyse des structures temporelles des débits et foctioemet hydraulique des massifs karstiques. Foctio de trasfert pluie-débit pour de sources karstiques (Midi- Pyréées). Regimes hydrologiques et régioalisatio des débits (Sri Laka) Hydrologie Statistique

26 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace FIN DU CHAP.0 «INTRODUCTION» Hydrologie Statistique

27 CHAP.-A

28 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 Cours «Hyd.Stat.» 3Hy Idetifiat = HY3ASE303 Titre : Hydrologie Statistique Sous-titre : Traitemets de doées hydrologiques : aalyses uivariées, temps de retour, évèemets extrêmes, évèemets rares, aalyses corrélatoires multivariées et ACP, chroiques hydrologiques et processus aléatoires, doées spatialisées et géostatistique. R. Ababou : ababou@imft.fr Hydrologie Statistique Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar. Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 Cours «Hyd.Stat.» 3Hy Idetifiat = HY3ASE303 Documets e lige: Web local R.A. free ( \\CRI\spi_com\be\hy\... ) Documets polycopiés imprimés: Pour les bases statistiques, voir le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Hydrologie Statistique

29 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PROGRAMME (COURS & TD) Itroductio, doées, et modélisatio statistique e hydrologie;. A. Aalyse statistique uivariée, momets, lois de probabilité B. Evèemets rares, loi de Poisso, estimatio de crue de projet.. Aalyse statistique multivariée : régressio liéaire, régressio multiple gééralisée, corrélatio multiple, et aalyse e composates pricipales (ACP). Applicatios à la critique, recostitutio, et/ou cartographie de doées hydrologiques. 3. Aalyses statistiques de séries chroologiques proveat de réseaux de mesures hydro-météorologiques et hydro-géologiques. Aalyse et recostructio de chroiques pluies-débits ; hydrogramme uitaire statistique. [Estimatio géostatistique (x,y)]. NB : Ue étude de cas sera traitée das le cadre d u «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la modélisatio ou la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Hydrologie Statistique Eseigats : R.Ababou, A. Al-Bitar. 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Variables aléatoires, lois de probabilité, momets (rappels) Voir itroductio et exercices de bases du cours «Probabilité et Statistique» (R.Ababou) sur le site web Voir le polycopié «Hydrologie : Tome : Statistique» (R.Gaudu) : o pp.-3 : (I.I à I.IV) Foctios de Répartitio o pp.7-9 : (II.III) Momets o p. : (II.VII) Coeff. de corrélatio (voir aussi VI) o pp.3-3 : (III.II) Lois de probabilité Normale, etc (cf. Tableau p.3) Estimatios et ajustemets (momets et loi de probabilité) Voir la «méthode des momets» das le cours «Probabilité et Statistique» (R.Ababou) sur le site web Voir le polycopié «Hydrologie : Tome : Statistique» (R.Gaudu) : o pp : (IV.I à IV.III) Estimateurs statistiques des momets o pp.4-45 : (IV.VIII et V.I-V.II) Estimatio d ue foctio de répartitio (Méthode des momets) (Formule de Haze) Hydrologie Statistique

30 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE HYD STAT : PLAN DES SEANCE +3 (à titre idicatif) -A. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE (A).0. Bases élémetaires de «Proba-Stat»... : Probabilité, V.A.'s, F. d. Répartitio, Momets, Estimateurs.. Lois de proba classiques & ajustemets (momets; Khi) Loi(s) des valeurs extrêmes de type «crues» (Gumbel...).. Exemple d'aalyse, ajustemet &utilisatio de lois de proba: débits de crues auelles (Oued Mdez).x. Les lois des pluies et débits à différetes échelles de temps; -B. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE (B) : EVENEMENTS RARES & LOI DE POISSON.3. Loi(s) des valeurs extrêmes de type «crues» (Gumbel...).4.a Evèemets rares : dépassemets de seuils; crues de projet.4.b Evèemets rares : loi de Poisso (défiitio; propriétés).5. Exemples d'applicatios : estimatio d'ue crue de projet (le temps de retour; les probabilités d'occurece...) => cf.td Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE HYD STAT : PLAN DE LA SEANCE + (détails) Pla Détaillé de la Sectio.0: Bases «Proba-Stat.» BASES ÉLÉMENTAIRES DE «PROBA-STAT»... : PROBABILITÉ, V.A.'S, F. D. RÉPARTITION, MOMENTS, ESTIMATEURS Notios de probabilités, fréqueces, icertitudes, th. de Bayes (axiomatique des probabilités; iterprétatio; exemples...) Géérateurs de Nombres Aléatoires & Variables Aléatoires... Défiitio d'ue loi de proba pour ue V.A cotiue: FdR/DdP Estimatio d'ue Desité de Proba (histogramme fréqueces) Estimatio d'ue Foctio de Répartitio : ) par histogramme ) par poits (Haze) Estimateurs statistiques de momets (*) moyee; variace; covariace; coefficiet de corrélatio... (*) NB: O trouvera des aspects de la théorie de l'estimatio (Bayesiee) das les Chap. "Aalyse Multivariée" et Chap.3 «Processus Hydrologiques». Voir par ex. les modèles de régressio liéaire simple et multiple, dot diverses gééralisatios pourrot être utilisées e TD : estimatio Bayesiee d'u vecteur d'état représetat u processus aléatoire; estimatio géo-statistique d'ue variable spatialisée D... Hydrologie Statistique

31 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Itroductio proba-stat. et axiomatique des probabilités : probabilités «esemblistes», iterprétatio fréquetiste, icertitudes, Bayes Exemple U esemble discret ifii (déombrable) d évèemets das u jeu de pile ou face o truqué, de durée ifiie : Ω = {Réalisatio d ue séquece de «piles» successifs, IN} Exemple Hydrométéorologie u «esemble cotiu» d évèemets à valeurs sur IR+ ; voici u exemple d évèemet : Ω = {«La lame d eau précipitée à Toulouse le Mars ( aée) à Toulouse est P (mm)»} état etedu que P IR+ Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace Itroductio proba-stat. Soit maiteat A ue «tribu» de parties de Ω : ( Ω) A. Défiitio Ue tribu est u esemble de parties de Ω stable par les opératios de passage au complémetaire, de réuio, et d itersectio déombrable. Ue tribu A peut être e particulier (mais pas écessairemet) costituée de l esemble de toutes les parties de Ω, soit A = ( Ω). Exemple Das l exemple de pile ou face simple, o obtiet la tribu egedrée par Ω : A = {, pile, face, pile ou face}. La tribu A egedrée par Ω={pile, face} est costituée de 4 évèemets. Le premier est «vide», et le derier, (pile ou face), est u évèemet composite costitué de l uio de deux évèemets élémetaires, ce qui équivaut ici à l esemble Ω tout etier. Efi, ue loi de probabilité est défiie par ue mesure de probabilité, qui est ue mesure positive P sur l espace probabilisable (Ω, A), telle que la mesure de l esemble Ω tout etier est l uité. Celà se traduit formellemet par les propriétés suivates (mesure de probabilité) : P(Ω)=, P(ωA ωb)=p(ωa)+p(ωb), pour tout couple d évèemets (ωa,ωb) mutuellemet exclusifs ou icompatibles, c est-à-dire ecore disjoits, tels que ωa ωb =. Comme tous les évèemets élémetaires sot par défiitio disjoits (mutuellemet exclusifs deux à deux) o a doc aussi : ΣP(ωi) = P( ωi) = P(Ω) =, pour tout esemble fii, ou ifii déombrable, d évèemets élémetaires ωi. Hydrologie Statistique

32 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace Itroductio proba-stat P(Ω)=, P(ω A ω B )=P(ω A )+P(ω B ), ΣP(ωi) = P( ωi) = P(Ω) =, Exemple Par exemple, pour le jeu de pile ou face o truqué, o a pour chaque jet : Proba{ } = 0 Proba de avoir aucu évéemet (i pile i face) Proba{pile} = / Proba du premier évéemet élémetaire (pile) Proba{face} = / Proba du secod évéemet élémetaire (face) Proba{pile ou face} = Proba d avoir l u des évèemets (soit pile soit face) Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace Exemple - u problème de probabilité «fréquetiste» : tirage de boules & applicatio du théorème de Bayes. A B AB P O P A P B P AB Figure Tirage de boules avec remise & probabilités coditioelles de Bayes U sac cotiet quatre types de boules : o marquées, marquées A, marquées B, marquées AB. La proportio du ombre de boules de chaque type est doée par P 0, P A, P B, P AB. Ces proportios sot iterprétées comme des probabilités. Lorsqu o puise des boules das le sac, o idetifie chaque boule tirée du sac et o la replace das le sac avat de tirer la boule suivate. Il s agit d u tirage avec remplacemet : il y a bie «répétitio», les répliques multiples sot toutes tirées de la même «populatio». Et l o a P 0 +P A +P B +P AB = comme il se doit. Questio. Das cette iterprétatio «fréquetiste» des probabilités, quelle est la probabilité de tirer ue boule coteat la marque «A» si o sait que la boule tirée cotiet la marque «B»? Hydrologie Statistique

33 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace Exemple - u problème de probabilité «fréquetiste» : tirage de boules & applicatio du théorème de Bayes. A B AB P O P A P B P AB Figure. Tirage de boules avec remise & probabilités coditioelles de Bayes Répose. La répose est obteue par les probabilités coditioelles (théorème de Bayes) : Pr oba { } { A I B} Pr oba A B = Pr oba B Pr oba { A B} Pr oba = Pr oba { } { AB} PAB = { Bou AB} PB + PAB où Proba{A B} déote la probabilité coditioelle que A se produise si B s est produit (de faço détermiiste, sas icertitude). Le sige sigifie «et», «AND». Le sige sigifie «ou» o exclusif («OR») à e pas cofodre avec le «ou» exclusif («OR»). Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Itroductio proba-stat. et axiomatique des probabilités : probabilités «esemblistes», iterprétatio fréquetiste, icertitudes, Bayes Quelques théorèmes de covergece Loi additive des grads ombres (covergece vers la moyee) : lim N N N = m Théorème cetral limite (covergece additive vers la loi de Gauss): (NB : les i sot N v.a. s «i.i.d.») N lim = Z ( ) N où Z : Ν 0, σ suit ue loi de Gauss N La somme d u grad ombre de V.A. s réelles i a doc tedace à suivre ue loi de Gauss. Remarque sur les processus multiplicatifs (à partir des processus additifs ci-dessus) : Il suffit de poser i = l(yi), avec Yi positive, pour voir apparaître le produit des Yi (Yi=exp(i)) au lieu de la somme des i. Noter que, si Z est gaussiee, la variable exp(z) est dite log-ormale. Le produit d u grad ombre de VA s Yi réelles positives a doc tedace à suivre ue loi log-ormale. Hydrologie Statistique

34 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES -- SUITE GÉNÉRATEURS DE NOMBRES ALÉATOIRES & VARIABLES ALÉATOIRES... Géérateurs d etiers aléatoires. Géérateurs etiers multiplicatifs cogruetiels. Ceux-ci permettet de géérer ue séquece de ombres etiers Ni puremet aléatoires etre [0,M], ce qui permettra esuite de géérer ue séqueces de v.a. réelles uiformémet distribuée das l itervalle [0,]. Géérateurs recommadés. Exemples de «bos» géérateurs d etiers 3 bits [et 64 bits] bie testés. Problèmes et pièges. Cycle du géérateur. Sous-cycles, auto-corrélatios, et autres propriétés idésirables. U géérateur particulier d etiers aléatoires (etiers 3 bits, avec u cycle de **8 ¼ millio). Spécifier u grai (seed) «N 0» : N 0 doit être ici u etier positif de la forme 4k+(ex : N 0 = ). Calculer le produit modulo M : N ( L * N + C) mod( M ) i = i, avec ici : Multiplicateur : L = 3+(**0) (Noter: **0 = 04) Costate etière : C = 0 Module : M = **0 Géératio d ue variable aléatoire réelle uiforme das [0,] : U = float( N M ) i i / Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES -- SUITE GÉNÉRATEURS DE NOMBRES ALÉATOIRES & VARIABLES ALÉATOIRES...(SUITE) Géératio de variables aléatoires o-uiformes Objectif. Géérer ue V.A. ayat ue foctio de répartitio F (x) quelcoque doée, par exemple biaire, expoetielle, gaussiee, ou autre. La plupart des méthodes utiliset les répliques d ue V.A. uiforme U[0,], que l o sait géérer par la méthode vue plus haut. Différetes méthodes. Méthode de la FdR iverse. Méthode du cercle (Box-Muller). Méthode(s) de rejet (Vo Neuma). La méthode de la FdR iverse O obtiet les répliques désirées (i) à partir des répliques de la VA uiforme U(i), comme suit : THÉORIE (CF. SCHÉMA) EEMPLE : Loi Expoetielle pour x 0 (avec β = m =σ ) ( ) () i ( i) F U x = β f ( x) = e β x β F ( x) = e ( i ) ( i = β l U ) ( ) Désavatages : la foctio réciproque F - (u) peut être difficile à expliciter : par ex., pour la gaussiee, F (x) s écrit e termes d ue foctio spéciale, erf(x), dot il faut obteir la réciproque (tables umériques, ou approximatios ratioelles cf. Abramowitz et Stegu). Géérateurs dispoibles das les logiciels Voir par exemple les librairies et les foctios Fortra, ou ecore, les foctios dispoibles das MATLAB : la foctio «rad» de MATLAB géère ue V.A. uiforme U[0,] ; la foctio «rad» de MATLAB géère ue V.A. ormale N(0,), i.e., loi gaussiee cetrée réduite. Hydrologie Statistique

35 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES -- SUITE LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques Soit ue VA (Variable Aléatoire) à valeurs das IR ou IR+. o Foctio de Répartitio (FdR) Cumulated Distributio Fuctio (CDF) FdR : F ( x) = Pr ( x), où est la VA elle-même, et «x» ue valeur qu elle peut predre. o Desité de Probabilité (DdP) Probability Desity Fuctio (PDF) DdP : f df ( x) ( x) = f dx ( x) dx = = df ( x) = F ( x + dx) F ( x) = Pr( x + dx) Pr( x). = Pr( x x + dx) o Note : f (x)dx représete u icrémet de probabilité [adimesioel], tadis que f (x) est ue desité de probabilité e uités iverses de x : [uités de x - ]. La relatio etre la desité f (x) et la fréquece «f%» d u histogramme de fréqueces est : f% 00 f (x) x. Utiliser cette relatio pour comparer sur u même graphe l histogramme de fréqueces à la desité de proba. Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques Voir algorithmes extraits du programme Matlab «STAT_PDF.m» o Estimatio empirique d'ue Desité de Proba (histogramme de fréqueces). Choisir ue résolutio x (largeur des bâtoets d histogramme) telle que : Taille x suffisate pour éviter les «bruits» Mi x x << x << x j+ j MA MIN x Taille x pas trop grade pour éviter u excès de lissage (biais).. Compter le ombre de valeurs de la VA comprises das chaque itervalle I j-/ : Soit les itervalles défiis par : I j-/ = [(j-). x, j. x] Soit x j-/ = (j-/). x, le cetroïde de l itervalle I j-/ Soit j-/ le ombre d observatios (i) [(j-). x, j. x] Soit f j-/ = j-/ /N, la fréquece empirique pour l itervalle I j-/ cetré sur x j-/ 3. L histogramme des fréqueces et la DdP empirique s obtieet alors comme suit : Histogramme des fréqueces : j / f j / = N (et : f% = 00 f). Desité de proba empirique : f j f ˆ / ( x), x [ x j, x j ] x NB : Ceci peut ecore s écrire formellemet : j= N x x fˆ j / j / ( x) = Π j= x x N, où Π(x) est la foctio créeau uitaire (box fuctio) cetrée sur l origie, de largeur uité et hauteur uité. Hydrologie Statistique

36 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Desité de Probabilité (histogramme) : Desité de Proba (Q crues Mdez e m3/s) Nbre d occureces (Q crues Mdez e m3/s) Histo de fréqueces (Q crues Mdez e m3/s) NB: Choix de la largeur des histogrammes (ici): Q=50m3/s. Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Foctio de Répartitio : () par histogramme Voir plus haut l histogramme des fréqueces : il suffit de le cumuler O obtiet la courbe des fréqueces cumulées, qui est aussi la FdR empirique estimée, soit : Fréqueces cumulées : k= j k= j j / = fk / = k= k= k / F N (F% = 00 F). F. de Répartitio empirique : F ˆ ( x) Fj /, x [ x j, x j ] Note. Das cet exemple (voir figures), le x d histogramme est trop petit, et/ou il y a pas assez d observatios (N trop petit). DdP: f FdR: Σf Hydrologie Statistique

37 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Foctio de Répartitio : () méthode par poits (Haze) explicatio de la méthode NB. Le pb de l estimatio d ue FdR empirique est distict du pb de l ajustemet d ue loi de probabilité théorique à cette FdR empirique. O doit d abord disposer d ue estimatio de la FdR empirique, avat de proposer l ajustemet d ue FdR «modèle» théorique doée (gaussiee, expoetielle, etc). La procédure d estimatio de la FdR par poits est décrite ci-dessous (variate dite méthode de Haze):. Classer les N observatios {x, x, x N } par ordre croissat (voir algorithme e aexe) : Foctio de Répartitio F(x) Foctio de Répartitio Empirique (Formule de Haze) ZOOM x Courbe empirique F(xj) par poits (Q crues Mdez) ZOOM Ordre aturel (t) t t t3 t5 Temps t reclassé Idices des doées classées tc = t7 jc = 7 tc = t8 jc = 8 tc3 = t4 jc3 = 4 tc5= t jc5 = Doées classées xc = x7 xc = x8 xc3 = x4 xc5 = x Exemple fictif: x MIN =x7 x8 x4 x=x MA ˆ j = F ( x ) ( j N ). Appliquer la formule de Haze poit par poit : j =,,..., N NB. Ituitivemet, cela doe bie : F ˆ ( x j ) Pr( x j ), ( j =,..., N ). Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Foctio de Répartitio : () méthode par poits (Haze) exemple des crues de l Oued Mdez sur 3 as (Q m3/s) Foctio de Répartitio Empirique (Formule de Haze) Foctio de Répartitio F(x) x Hydrologie Statistique

38 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Foctio de Répartitio : () par poits (Haze) Exemple de comparaiso Haze / histogramme (doées = débits spécifiques ) Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE.0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES -- SUITE LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Théorie de l'estimatio. O trouvera des aspects de la théorie Bayesiee de l estimatio Ch. "Aalyse Multivariée" et Ch.3 «Processus Hydrologiques». Voir les modèles de régressio liéaire simple et multiple, et le modèle de covolutio pluie-débit, dot diverses gééralisatios pourrot faire l objet de Bureaux d Etudes : estimatio Bayesiee d'u vecteur d'état, d u processus aléatoire; d'ue variable spatialisée D (géostatistique) o Estimateurs statistiques de momets : moyee; variace (et : covar.; coeff de corrél. ; etc ) Soit ue VA réelle : o observe N réalisatios de, qu o otera : {x, x,, x N }. O suppose ici que la «populatio» (le ombre de répliques théoriquemet dispoibles) est ifiie. O dispose doc de N réalisatios (observatios) tirées d ue populatio théoriquemet ifiie. Estimateur de la moyee d ue V.A. réelle à partir d u échatillo de taille fii N i Estimatio : = = N mˆ x i «RMS»=«Root-Mea-Square» = Erreur Quadratique Moyee N i= σ ˆ σ Erreur d estimatio : ε RMS ( mˆ ) = N N où (par défiitio) : ε RMS( mˆ ) Var( mˆ ) Estimateur de la variace d ue V.A. réelle à partir d u échatillo de taille fii N (estimateur sas biais, e supposat la moyee coue, pour N grad >>) : i N Estimatio : σ = ( xi mˆ ) = N i= σ R.Ababou et Nal., INP/ENSEEIHT: N Hydrologie Statistique σˆ = d où : i = N N i= ( x mˆ ) σ ˆ σ Erreur d estimatio : ε RMS ( ˆ ) = Ex : N(0,) : si N=50, ε RMS ( ˆ σ ) 0. i ( ).

39 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES -- SUITE LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimateurs statistiques de momets (moyee, variace, ) Exemple. Précipitatio auelles à Agadir (semi-aride) de 94/5 à 974/75 (N = 58 observatios) Moyee: i N mˆ = = xi = N i= mm ˆ Ecart-type : σ i N = = ( xi mˆ ) =. mm N i= 9 NB : l écart-type est estimé ici e preat la racie carrée de l estimateur sas biais de la variace %. Coeff. de Variatio estimé : ˆ ˆ σ C = mˆ =. Le coeff de variatio des pluies auelles est 50% (forte variabilité iterauelle, climat semi-aride). Itervalle de cofiace à 80% de la vraie moyee iterauelle? O cherche l itervalle de cofiace à 80% de la vraie moyee iterauelle m (icoue) autour de moyee estimée mˆ (coue). O utilise pour cela le résultat suivat. Pour N suffisammet gra (supposos ici que N=58 est suffisammet grad), la variable mˆ suit ue loi gaussiee N(m,ε ) où ε l écart-type d erreur d échatilloage, ou erreur ε RMS, doée plus haut. O e déduit que : I N ˆ σ 80% mˆ ± mm ( m ) = [ mˆ ±.8 ε ] = mˆ ±.8 = Hydrologie Statistique Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. LOIS DE PROBA CLASSIQUES, MOMENTS, AJUSTEMENTS Momets (uivariés) Notatios : E(x) = < x > = m. Les momets cetrés d'ordre sot défiis par la relatio : (3) µ=<(x-m)>, Le momet cetré d'ordre, «µ», représete la variace σ : (4 ) µ =σ =<(x-m)>. Uités physiques de σ = uités de [x ] d où l o déduit l écart-type σ (c est la racie carrée de la variace) : (4 ) σ = µ Uités physiques de σ = uités de [x]. Le coefficiet de variatio est quatifie le degré de variabilité d'ue variable aléatoire positive : (5) CV ou C = σ/m. Efi, les momets cetrés d'ordre 3 et 4 sot aussi utiles pour les ajustemets ; ils sot défiis par : (6) µ3=<(x-m)3>. (7) µ4=<(x-m)4> Hydrologie Statistique