Une technique multidimensionnelle d imputation multiple des valeurs manquantes à l aide d une séquence de modèles de régression

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1 Technques d enquête, un 00 9 Vol. 7, N o, pp Statstque Canada, N o 00 au catalogue Une technque multdmensonnelle d mputaton multple des valeurs manquantes à l ade d une séquence de modèles de régresson Trvellore E. Raghunathan, James M. Lepows, John Van Hoewy et Peter Solenberger Résumé Le présent artcle décrt et évalue une procédure d mputaton des valeurs manquantes pour une structure relatvement complexe des données lorsque celles c manquent au hasard. On obtent les mputatons en austant une séquence de modèles de régresson et en trant les valeurs des dstrbutons prédctves correspondantes. Les types de modèle de régresson utlsés sont les suvants : lnéare, logstque, de Posson, logt généralsé, ou encore un mélange qu dépend du type de varable mputé. Deux autres caractérstques communes du processus d mputaton sont ntégrées : la restrcton à une sous populaton pertnente pour certanes varables et des lmtes ou contrantes logques pour les valeurs mputées. Les restrctons comportent la créaton de sous ensembles d untés d échantllon répondant à certans crtères au moment de l austement des modèles de régresson. Les lmtes supposent que l on tre des valeurs d une dstrbuton prédctve tronquée. L élaboraton de cette méthode s est nsprée en parte de l analyse de deux fchers de données utlsés à ttre d llustraton. On applque la procédure de régresson séquentelle à l analyse d mputatons multples pour les deux problèmes applqués. Les proprétés d échantllonnage des nférences trées de fchers de données polymputées créés à l ade de la méthode de régresson séquentelle sont évaluées en foncton de fchers de données smulées. Mots clés : Non réponse partelle; manquant au hasard; mputaton multple; mécansme de données manquantes nongnorable; régresson; smulatons et proprétés d échantllonnage.. Introducton Les données ncomplètes sont un problème fréquent dans la plupart des recherches applquées. On a élaboré pluseurs méthodes permettant de trer des nférences de fchers de données comportant des valeurs manquantes (Lttle et Rubn 987), et ce traval se poursut. Le schéma d mputatons multples proposé par Rubn (978, 987a, 996) est une possblté ntéressante s un fcher de données est destné à pluseurs chercheurs ayant dfférentes compétences en statstque. Cette façon de procéder suppose l mputaton de pluseurs ensembles plausbles de valeurs manquantes dans le fcher de données ncomplètes de façon à fournr pluseurs fchers de données complètes. Chaque fcher de données complètes est analysé séparément, par exemple en austant un modèle de régresson partculer. Les nférences qu en résultent (estmatons ponctuelles et matrces de covarances) sont alors combnées à l ade de la formule de Rubn (987a, chaptre 3) et de perfectonnements de cette formule (L, Raghunathan et Rubn 99; L, Meng, Raghunathan et Rubn 99; Meng et Rubn 99; et Barnard 995). De façon générale, les stratéges de tratement des données manquantes par mputaton sont fort utles dans la pratque, car une fos les valeurs manquantes mputées, on peut avor recours à des logcels de données complètes exstants pour analyser les données. Pusque l élaboraton de logcels pour l analyse des données complètes évolue en foncton de l ntroducton de nouvelles méthodes statstques, les personnes qu s adonnent à des recherches applquées, sans connaître les ressources ou technques partculères leur permettant de créer leur propre code de mse en oeuvre de nouvelles procédures pour les données manquantes, seront en mesure d auster des modèles fonctonnels peaufnés en présence d un problèmes précs. Un autre avantage de la stratége d mputatons multples, c est que l applcaton répétée d un logcel pour les données complètes permet d obtenr des estmatons ponctuelles et des estmatons d ntervalles valdes pour une sére de condtons assez générales (Rubn 987a). Pluseurs chercheurs (vor par exemple la bblographe de Rubn 996) ont applqué cette technque dans dfférentes stuatons et ont montré, en analysant des fchers de données smulées et réelles, le ben fondé de cette stratége. D autres possbltés comme l mputaton unque en foncton d une procédure d estmaton de la varance approprée, par exemple la technque de répétton répétée de type acnfe modfée (Rao et Shao 99), offrent également cet avantage. La stratége d mputaton décrte dans le présent exposé peut également servr à créer une mputaton unque avec une autre procédure d estmaton de la varance. L élaboraton de méthodes d mputaton en foncton de dvers ponts de vue a un long passé (Madow, Nsselson, Oln et Rubn 983). Un schéma théorquement élégant pour l élaboraton de méthodes d mputaton est la stratége bayésenne. Celle c exge un modèle explcte pour des. Trvellore E. Raghunathan, James M. Lepows, John van Hoewy et Peter Solenberger, Unversty of Mchgan, Insttute for Socal Research, Survey Methodology Program, P.O. Box 48, Ann Arbor, MI , États Uns.

2 9 Raghunathan et coll: Une technque multdmensonnelle d mputaton multple des valeurs manquantes varables comportant des valeurs manquantes, lé aux varables observées ntégralement et à certans paramètres nconnus, une dstrbuton a pror pour les paramètres nconnus et un modèle du mécansme des données manquantes, qu l n est pas nécessare de précser dans le cadre d un schéma de données manquantesgnorables (Rubn 976). Ce modèle explcte donne alors leu à une dstrbuton prédctve a posteror des valeurs manquantes, lée aux valeurs observées. Les mputatons sont trées de cette dstrbuton prédctve a posteror. Il exste pluseurs programmes et algorthmes nformatques pour l mputaton des valeurs manquantes en présence d une normalté multdmensonnelle (Rubn et Schafer 990), de la dstrbuton t multdmensonnelle (Lu 995) et de dverses varatons du modèle d emplacement général (Schafer 997, Raghunathan et Grzzle 995, Raghunathan et Sscovc 996). Ce derner modèle permet de trater la dstrbuton composée de varables catégorques et contnues; l a d abord été proposé par Oln et Tate (96) et a été utlsé par Lttle et Schluchter (985) en foncton précsément de problèmes de données manquantes. Une proprété mportante de ces stratéges, c est qu elles dépendent entèrement de toute l nformaton observée. Pluseurs études de smulaton (Raghunathan et Grzzle 995, par exemple) ndquent que les nférences trées de ce genre de données mputées offrent des proprétés d échantllonnage souhatables. Les fchers de données d enquête comportent souvent de très nombreuses varables ayant dfférentes dstrbutons. Typquement, ces fchers de données ont des centanes de varables, les unes contnues, les autres de type comptage, souvent dchotomques ou polytomques, et même parfos dépendantes et sem contnues ou lmtées. De plus, les varables contnues peuvent comporter une dstrbuton normale, normale logarthmque ou autre. Il peut être très dffcle dans une telle stuaton de postuler un modèle bayésen ntégral. De plus, les données d enquête ont souvent deux autres caractérstques qu rendent la modélsaton encore plus complexe. Tout d abord, certanes restrctons sont mpératves. Ans, la varable «nombre d années depus la cessaton de l usage du tabac» est défne unquement pour des personnes qu ont déà fumé; par conséquent, le processus d mputaton pour cette varable devrat se lmter aux personnes qu ont déà fumé. Certanes restrctons relèvent d nstructons «passez à» dans un questonnare. Ans, certanes questons sur le revenu d un deuxème emplo sont posées unquement lorsque le répondant ndque qu l ou elle a un deuxème emplo. L mputaton de ce genre de varable exge un tratement hérarchque. Deuxèmement, l exste des lmtes logques ou des lmtes de cohérence pour les valeurs manquantes qu l faut ntégrer au processus d mputaton. Une telle nterdépendance des varables rend la créaton du modèle dffcle. Ans, «années d usage du tabac» se lmte aux personnes qu fument ou qu ont fumé, et les valeurs mputées dovent être nféreures à Âge x années, où x peut relever d autres caractérstques comme le fat d avor fumé au cours de l adolescence. Dans le cas d une personne qu a déà fumé, x englobe également les années écoulées depus la cessaton de l usage du tabac. Un autre exemple de lmtes est abordé dans Heernga, Lttle et Raghunathan (997). Ces auteurs examnent l mputaton de questons comportant des réponses entre crochets lorsque le répondant ne peut pas ou ne veut pas donner une réponse exacte (au suet du revenu ou de l avor, par exemple), tout en défnssant les lmtes à l ntéreur desquelles les valeurs mputées dovent se stuer. Le présent exposé a comme obectf de proposer et d évaluer une procédure d mputaton multdmensonnelle générale permettant de trater une structure de données relatvement complexe lorsque des modèles multdmensonnels complets explctes ne se lassent pas faclement formuler, les valeurs mputées pour chaque unté étant toutefos entèrement lées à toutes les valeurs observées pour l unté en queston. La stratége consste à consdérer l mputaton, une varable à la fos, mas en foncton de toutes les varables observées. La stratége de base permet de créer des mputatons en vertu d une sére de régressons multples, le type de modèle de régresson varant selon le type de varable mputée. Les covarables englobent toutes les autres varables observées ou mputées pour l unté en queston. Les mputatons sont défnes comme des trages de la dstrbuton prédctve a posteror exgée par le modèle de régresson avec une dstrbuton a pror plate ou non nformatve pour les paramètres du modèle de régresson. La séquence d mputaton des valeurs manquantes peut se poursuvre d une façon cyclque, se superposant chaque fos aux valeurs trées antéreurement, entraînant une nterdépendance des valeurs mputées et msant sur la structure corrélatve des covarables. Pour la créaton d mputatons multples, on peut applquer la même procédure avec dfférents ponts de départ aléatores ou en pree nant chaque P sére de valeurs mputées des cycles mentonnés c dessus. Les varables du fcher de données sont consdérées comme relevant de l un ou l autre de cnq types : ) contnu, ) bnare, 3) catégorque (polytomque avec plus de deux catégores), 4) de type comptage, 5) mxte (varable contnue à masse de probablté non nulle de 0). Du pont de vue des calculs, les varables bnares et catégorques se lassent trater de façon dentque, mas le fat de les dstnguer faclte la conceptualsaton et la descrpton de l algorthme de base. De plus, la populaton est consdérée comme essentellement nfne, l échantllon étant smple et aléatore et le mécansme de données manquantes étant gnorable (Rubn 976). Le recours à une mputaton multple en présence d un plan complexe n a touours pas été étudé à fond et dépasse le cadre du présent exposé. Nous décrvons c dessous la stratége d mputaton multdmensonnelle par régresson séquentelle (IMRS) à la secton et, aux sectons 3 et 4, nous en évaluons deux applcatons. Il est dffcle, pour la premère applcaton, de postuler une dstrbuton multdmensonnelle composée à Statstque Canada, N o 00 au catalogue

3 Technques d enquête, un cause des lens systématques complexes entre les varables et les restrctons. Pour la deuxème applcaton, on peut utlser un modèle d emplacement général pour créer des mputatons multples (Oln et Tate 96 et Lttle et Schluchter 985). Nous comparons donc des nférences d mputatons multples résultant de la stratége IMRS à des nférences résultant d un modèle multdmensonnel composé. La secton 5 content les résultats d une étude de smulaton portant sur les proprétés d échantllonnage d nférences trées de données mputées. Pour termner, nous dscutons de l orentaton des recherches à venr à la secton 6.. Méthode d mputaton Pour un échantllon de talle n, nous notons X un plan ou une matrce explcatve n p contenant toutes les varables n ayant pas de valeurs manquantes. X comporte des varables contnues, bnares, de type comptage ou mxtes, ans que des varables fctves approprées représentant des varables catégorques. De plus, X peut comporter une colonne de uns afn de modélser un paramètre de coordonnée à l orgne, des varables de décalage et certanes varables de plan. Sot Y, Y,..., Y, des varables comportant des valeurs manquantes, ordonnées, en toute généralté, selon le nombre de valeurs manquantes, des mons nombreuses aux plus nombreuses. Le schéma n est pas nécessarement monotonque. (Dans un schéma monotonque de valeurs manquantes, Y est observée unquement pour un sous ensemble de suets pour lesquels Y est observée, tands que Y 3 est observée unquement pour un sous ensemble de ceux pour lesquels Y est observée, et ans de sute.) Pour des mputatons modélsées, la densté condtonnelle composée de Y, Y,..., Y compte tenu de X peut être factorsée comme sut f ( Y, Y,..., Y X, θ, θ,..., θ ) = f ( Y X, θ ) f ( Y X, Y, θ )... f ( Y X, Y, Y,..., Y, θ ) où f, =,,..., sont les fonctons de densté condtonnelle et θ est un vecteur de paramètres de la dstrbuton condtonnelle (par exemple, coeffcents de régresson et paramètres de dsperson). Dans le contexte d une enquête sur échantllon, on peut consdérer cela comme un modèle de superpopulaton. Nous modélsons chaque densté condtonnelle à l ade d un modèle de régresson appropré comportant des paramètres nconnus, θ, et nous pusons dans la dstrbuton prédctve correspondante des valeurs manquantes compte tenu des valeurs observées. Nous supposons que la dstrbuton a pror pour les paramètres θ = ( θ, θ,..., θ ) est π( θ) (dffuse relatvement à la vrasemblance). Toutefos, la () méthode se lasse faclement modfer pour certanes dstrbutons a pror convenables. Chaque régresson condtonnelle se fonde sur un des modèles c dessous :. un modèle de régresson lnéare normale à une échelle approprée (par exemple, une transformée exponentelle de Box Cox peut servr à attendre la normalté) s Y est contnue;. un modèle de régresson logstque s Y est bnare; 3. un modèle de régresson logt polytomque ou généralsée s Y est catégorque; 4. un modèle lnéare logarthmque de Posson s Y est une varable de comptage; 5. un modèle à deux degrés dont la valeur nulle non nulle est mputée par régresson logstque; pour une valeur non nulle, un modèle de régresson lnéare normale sert à mputer des valeurs non nulles, s Y est composée. Chaque mputaton est consttuée de c «cycles». On commence le cycle par régresson de la varable comportant le plus pett nombre de valeurs manquantes, Y sur X, par mputaton des valeurs manquantes en foncton du modèle de régresson appropré. S l on suppose une dstrbuton a pror plate pour les coeffcents de régresson, les mputatons, pour les valeurs manquantes en Y sont les trages de la dstrbuton prédctve a posteror correspondante (on trouvera à l annexe A des détals sur le trage de valeurs pour dvers modèles de régresson). Il s agt alors de mettre X à our en annexant Y de façon approprée (par exemple des varables fctves, s elle est catégorque) et de passer à la prochane varable, Y, occupant le rang suvant parm les valeurs manquantes les mons nombreuses. Le processus d mputaton est répété à l ade de X mses à our à ttre de varables explcatves usqu à ce que toutes les varables aent été mputées. Autrement dt, l y a régresson de Y sur U = X ; de Y sur U = ( X, Y ) où Y comporte des valeurs mputées; de Y 3 sur U = ( X, Y, Y ) où Y et Y comportent des valeurs mputées, et ans de sute. Le processus d mputaton est alors répété pour les cycles à c, la sére de varables explcatves étant modfée pour nclure toutes les varables Y sauf celle qu sert de varable dépendante. Ans, l y a régresson de Y sur X et Y, Y3,..., Y ; l y a régresson de Y sur X et Y, Y3,..., Y ; et ans de sute. Les cycles répétés se succèdent un nombre de fos détermné d avance, ou usqu à ce que l on at des valeurs mputées stables. La procédure décrte c dessus dot être modfée s l on veut ncorporer des restrctons et des lmtes. Les restrctons sont tratées par austement des modèles à un sous ensemble appropré d untés. Par exemple, un modèle de régresson de Posson peut être applqué à l mputaton de valeurs manquantes pour la varable «nombre de grossesses». L mputaton se lmtera aux femmes de Statstque Canada, N o 00 au catalogue

4 94 Raghunathan et coll: Une technque multdmensonnelle d mputaton multple des valeurs manquantes l échantllon. À ttre de covarable, toutefos, cette varable pourra être tratée dfféremment lors de l mputaton de varables subséquentes. Ans, certanes varables fctves pourront être créées en foncton de cette varable, pus annexées à la matrce U avant que l mputaton de la varable suvante ne se poursuve. Consdérons un autre exemple, «années d usage de la cgarette», l échantllon se lmtant à des personnes qu fument ou qu ont fumé. En l absence d ndcaton que ces personnes ont fumé au cours de leur adolescence, «années d usage de la cgarette» devra pour une personne qu fume actuellement satsfare la lmte (0, Âge 8). S l y a leu de crore que la personne a fumé au cours de son adolescence, on pourra restrendre l étendue, par exemple : (0, Âge ). Pour une personne qu a déà fumé, ces étendues seront (0, Âge 8 YRSQUIT) et (0, Âge YRSQUIT), respectvement, où YRSQUIT représente le nombre d années qu se sont écoulées depus que la personne a cessé de fumer. Le modèle de régresson appropré pour cette varable est une verson tronquée du modèle de régresson lnéare normale (possblement en foncton d une échelle transformée). Les paramètres, les coeffcents de régresson et la varance résduelle dovent être trés des dstrbutons a posteror correspondantes. Les mputatons sont alors trées de la dstrbuton normale tronquée correspondante en foncton de la valeur trée des paramètres. Il est dffcle de trer des valeurs de paramètres drectement de leur dstrbuton a posteror selon des vrasemblances normales tronquées. Toutefos, le calcul est facle pour une valeur de paramètre donnée. L algorthme SIR (échantllonnage mportance rééchantllonnage) (Rubn 987b; Raghunathan et Rubn 988) permet de puser dans la dstrbuton a posteror elle même. Tout d abord, on tre pluseurs valeurs de paramètre d essa de la dstrbuton a posteror sans applquer les lmtes (modèle de régresson lnéare normale non tronquée). Deuxèmement, on rattache un coeffcent d mportance à chaque valeur d essa, défn comme le rapport entre la densté a posteror réelle avec lmtes et la densté d essa (la densté a posteror sans lmtes), les deux étant évaluées à la valeur trée. Enfn, on échantllonne de nouveau une même valeur de paramètre avec probablté proportonnelle aux coeffcents d mportance. Cette méthode exge une survellance sognée de la dstrbuton des coeffcents d mportance (Gelman, Carln, Stern et Rubn 995). Les lmtes s applquent également à des varables polytomques. Ans, supposons qu une varable Y pusse avor une valeur quelconque, mas que les données observées ndquent que la valeur manquante pour un suet partculer peut être sot ou l. Le rôle de ce suet dans la vrasemblance correspond à la dstrbuton bnomale condtonnelle. Les trages de l étape multnomale (vor l annexe A) se font à partr de la dstrbuton condtonnelle pour ces deux catégores. Autrement dt, la valeur mputée est avec probabltés s = * P * /( P * + P * ) et l avec la probablté s *. l À la fn du premer cycle d mputatons, on a le premer fcher de données complètes sans valeurs manquantes. La factorsaton à l équaton () défnt une dstrbuton condtonnelle composée de Y, Y,..., Y ; étant donné X. S le profl des données manquantes est monotone, les mputatons du premer cycle sont des trages approxmatfs de la densté prédctve a posteror composée des valeurs manquantes compte tenu des valeurs observées. À noter que les trages des varables logstques, polytomques et de comptage provennent d approxmatons (pour de grands échantllons) de la densté a posteror des coeffcents de régresson. Il est possble d amélorer ces approxmatons en ayant recours, par exemple, à l algorthme SIR ou à un autre algorthme de reet à chaque cycle subséquent. Lorsque le profl des données manquantes n est pas monotone, l est possble d élaborer un algorthme d échantllonnage de Gbbs (Geman et Geman 984, Gelfand et Smth 990) qu correspond au modèle (). Ans, moyennant les valeurs trées des paramètres θ, θ3,..., θ et les valeurs manquantes trées du premer cycle, le deuxème cycle trerat des valeurs de θ de la densté a posteror condtonnelle approprée qu est proportonnelle au premer terme de l équaton (). Il s agt ensute de trer les valeurs manquantes en Y moyennant cette valeur trée du paramètre θ, toutes les autres valeurs observées ou mputées pour ce suet et d autres paramètres θ, θ3,..., θ du modèle. Autrement dt, les valeurs manquantes en Y au cycle ( t + ) dovent être trées de la densté condtonnelle ( t + ) ( t + ) ( t + ) ( t) ( t) ( t ) ( t ) + + f ( Y θ, Y,..., θ, θ, Y,..., θ, Y, X ), () calculée en foncton de la dstrbuton composée en (), où ( t) Y l représente les valeurs mputées ou observées pour la varable Y l au cycle t. Ben que cela sot conceptuellement possble, l est dffcle de calculer même cette densté dans la plupart des stuatons concrètes vu les restrctons, les lmtes et le type de varables à l étude. Nous proposons un trage des valeurs manquantes en Y au cycle ( t + ) à partr d une dstrbuton prédctve correspondant à la densté condtonnelle, ( t + ) ( t + ) ( t + ) ( t ) ( t ) + g ( Y Y, Y,..., Y, Y,..., Y, X, φ ), (3) où la densté condtonnelle g est défne par l un des modèles de régresson décrts antéreurement qu dépend du type de varable pour Y, et ϕ représente les paramètres de régresson nconnus ayant une dstrbuton a pror dffuse. Autrement dt, les nouvelles valeurs mputées pour une varable dépendent des valeurs mputées antéreurement pour d autres varables, et des valeurs nouvellement mputées de varables qu ont précédé la varable mputée présentement. Cette proposton peut être consdérée comme une approxmaton d un échantllonnage réel de Gbbs où la densté condtonnelle (3) fournt une approxmaton de la densté condtonnelle (). De plus, on peut amélorer cette approxmaton en consdérant l algorthme SIR ou un autre algorthme de type reet s la densté condtonnelle en () peut être calculée usqu à une constante. Statstque Canada, N o 00 au catalogue

5 Technques d enquête, un Il exste d autres cas partculers dans lesquels cette approxmaton est l équvalent du trage de valeurs d une dstrbuton prédctve a posteror relevant d un modèle complètement paramétrque. S donc toutes les varables sont contnues et s chaque modèle de régresson condtonnelle est un modèle de régresson lnéare normale à varance constante, l y a convergence de l algorthme vers une dstrbuton prédctve composée relevant d une dstrbuton normale multdmensonnelle comportant une dstrbuton a pror rrégulère pour la moyenne et la matrce des covarances. Il est théorquement possble qu une sére de trages fondés sur les denstés en (3) ne converge pas vers une dstrbuton statonnare, car ces denstés condtonnelles ne sont peut être compatbles avec aucune dstrbuton condtonnelle composée multdmensonnelle de Y, Y,..., Y étant donné X (Gelman et Speed 993). Nos études emprques fondées sur pluseurs fchers de données concrètes n ont touours pas perms d dentfer ce genre d anomale. Dans pluseurs grands fchers de données, les denstés condtonnelles () et (3) parassent assez semblables. Comme l a été mentonné aux sectons 4 et 5, les trages axés sur cette stratége sont comparables à ceux qu se fondent sur un modèle bayésen explcte. 3. Effet de l usage du tabac sur l arrêt cardaque prmare Dans notre premère llustraton, la stratége IMRS est applquée à une étude de cas témons portant sur la relaton entre l usage de la cgarette et l ncdence de l arrêt cardaque prmare (Sscovc, Raghunathan, Kng, Wenmann, Wclund, Albrght, Bovberg, Arbogast, Kush, Cobb, Copass, Psatsy, Retzlaff, Chlds and Knopp 995). Dans cette étude, l est dffcle de formuler un modèle explcte qu englobe toute la complexté des données. Les suets de cas étaent tous des résdents de Kng County, Washngton, ayant sub un arrêt cardaque prmare à l extéreur de l hôptal entre 988 et 994. Les suets de cas ont été dentfés à l ade d un examen des rapports d ncdents paramédcaux. Les suets témons ont été sélectonnés à l ade d un sondage téléphonque au hasard (Kng County) et apparés à des suets de cas en foncton du sexe et de l âge (à sept ans près). Pour être admssbles, les suets (cas et témons) devaent être âgés de 5 à 74 ans, marés et lbres de toute malade du coeur (dagnostc clnque) ou de tout autre pérl comme un cancer, une malade du foe, une malade des poumons, ou encore une nsuffsance rénale termnale. Pusque l arrêt cardaque prmare comporte un taux de létalté supéreur à 80 %, le fat d être maré a été aouté comme crtère d admssblté afn que l nformaton sur l exposton au facteur de rsque (état de fumeur, années d usage) pusse être confrmée par les répondants substtuts (cononts). Parm les suets témons et les suets de cas de surve, on a ntervewé des suets et des substtuts afn de recuellr des données sur l exposton. On a ntervewé les suets témons et les suets de cas de surve prncpalement afn d étuder la fablté des mesures obtenues de leurs substtuts. Parm les varables consdérées dans le présent exposé, l n y avat pratquement aucune dfférence entre les mesures obtenues des suets et de leurs substtuts pour les témons et les suets de cas. Le tableau content les moyennes, les écarts types et les valeurs manquantes en pourcentage pour des varables clés selon l état de cas témons. Les varables d exposton sont des varables ndcatrces pour les personnes qu ont déà fumé ( X ), les personnes qu fument actuellement ( X ) et les années d usage du tabac ( X 3 ). Les varables explcatves consdérées sont l âge, l ndce de masse corporelle (BMI = Pods [en g]/talle [en mètres]) et les varables bnares Femme (Female) et Éducaton (dplôme d études secondares). Le modèle de fond qu nous ntéresse est le modèle de régresson logstque, log[pr( C = ) / Pr( C = 0)] = α + α X + α X + α X X α X X + α Age + α BMI α Femme + α Éducaton, 7 8 où C est un ndcateur de l arrêt cardaque. Les résultats prélmnares ndquent que des termes lnéares pour l âge et l ndce de masse corporelle sont approprés. Tableau Moyennes et proportons (en %) des varables clés et pourcentage manquant Varable Témon ( n = 55 ) Cas ( n = 347 ) % manquant Moyenne (ET) % manquant Moyenne (ET) Âge 0,0 58,4 (0,4) 0,0 59,4 (9,9) Indce de masse corporelle 8, 5,8 (4,),6 6,4 (4,6) Années d usage du tabac 6,8 4,8 (4,7) 5,4 3,7 (3,8) Proporton Proporton Femme 0,0 3, 0,0 9,9 École sec. 0,0 76,8 0,0 6,9 État de fumeur N a amas fumé 0,0 47, 0,0 7,3 A déà fumé 0,0 4, 0,0 38, Fume actuellement 0,0 0,7 0,0 34,5 Il n y a pas de valeurs manquantes pour les varables Âge, Femme, Éducaton, État de fumeur ( X, X ), et C. Ans, pour ce qu est de l mputaton, défnssons X = (, Âge, Femme, Éducaton, X, X, C ). Log (BMI), avec le mons de valeurs manquantes, a d abord sub une régresson sur X en foncton d un modèle de régresson lnéare normale. Des dagnostcs résduels ont ndqué qu une transformaton logarthmque amélorat la normalté des résdus. Statstque Canada, N o 00 au catalogue

6 96 Raghunathan et coll: Une technque multdmensonnelle d mputaton multple des valeurs manquantes Ensute, les années d usage du tabac ont sub une régresson sur U = (X, log (BMI)). Pour cette varable, l échantllon se lmtat à des personnes qu fumaent ou qu avaent déà fumé. De plus, les valeurs mputées pour les années d usage du tabac étaent lmtées par AGE 8, sauf lorsque le répondant avat fumé à l école (SCHSMK), et elles étaent alors lmtées par AGE. Pour les personnes qu avaent déà fumé, les valeurs mputées étaent également lmtées par le nombre d années écoulées depus la cessaton (YRSQUIT). Ans, les valeurs mputées pour les personnes qu avaent déà fumé, mas non à l école, étaent lmtées par AGE 8 RSQUIT, tands que les valeurs mputées pour les personnes qu avaent déà fumé, y comprs à l école, étaent lmtées par AGE YRSQUIT. Certans suets (5 %) avaent des valeurs manquantes pour les deux varables auxlares (SCHSMK, YRSQUIT) mputées avant que l on ne défnsse les lmtes supéreures des années d usage du tabac. À cause de la structure nhérente de ce fcher de données, l est dffcle d élaborer explctement une dstrbuton composée des varables ayant des valeurs manquantes dépendant des varables observées complètement. La stratéges IMRS est donc une façon attrayante de trater ce genre de données. Pour l mputaton des valeurs manquantes, 000 cycles ont été exécutés pour chacun des 5 ponts de départ aléatores, ce qu a donné M = 5 mputatons. Le modèle de régresson logstque a été austé à chaque fcher de données mputées de façon à donner des estmatons correspondant à un maxmum de vrasemblance pour les coeffcents de régresson et les matrces de covarances asymptotques. Nous avons utlsé la formule de varance par mputaton multple standard (Rubn 987a, chaptre 3) afn de calculer l estmaton polymputée des coeffcents de régresson et de ( ) la matrce des covarances. En résumé, supposons que α ˆ l est l estmaton du vecteur de coeffcents de régresson α ( l ) du modèle logstque, et V sa matrce des covarances, en foncton du fcher de données mputées l. L estmaton polymputée de α est MI M l = ( l ) α ˆ = α ˆ / M et sa matrce des covarances est où B M M ( l ) M + VMI = V / M + B M M l = l = ( l ) ( l) t MI MI = ( αˆ αˆ )( αˆ αˆ ) /( M ). Le nombre d mputatons dépasse la valeur recommandée. Nous avons exécuté 5 mputatons avec dfférents ponts de départ aléatores afn de détermner s les cycles de type Gbbs mènent à une régon des valeurs mputées qu est très dfférente des valeurs observées. Des affchages graphques des valeurs mputées et observées ont ndqué qu aucune des mputatons des cycles n état ncompatble avec la dstrbuton des données observées. Le tableau, l analyse de cas complets, content les estmatons ponctuelles et leurs erreurs types fondées sur des suets dont toutes les valeurs sont observées. Au total, 03 suets (,5 %) avaent des valeurs manquantes pour une ou pluseurs varables explcatves. Une analyse de cas complets, qu n est généralement valde que lorsque les données sont manquantes tout à fat au hasard, a été exécutée après l élmnaton de ces 03 suets (vor la colonne, tableau ). Des analyses de régresson logstque comportant un ndcateur de données manquantes à ttre de M Tableau Estmatons ponctuelles (erreurs types) des coeffcents de régresson logstque pour le modèle de l arrêt cardaque prmare pour des cas complets, méthodes IMRS * et ** Varables explcatves Cas complets IMRS (n = 795) Méthode (n = 898) Méthode (n = 898) Estmaton (ET) Estmaton (ET) Estmaton (ET) Ordonnée à l orgne,9 (0,79),60 (0,757),348 (0,67) Âge 0,05 (0,009) 0,05 (0,009) 0,04 (0,008) Femme 0,007 (0,03) 0,5 (0,89) 0,9 (0,77) Éducaton 0,448 (0,73) 0,467 (0,66) 0,444 (0,33) Indce de masse corporelle 0,056 (0,08) 0,049 (0,03) 0,055 (0,009) Personne qu fume,693 (0,569),00 (0,543),998 (0,448) Personne qu a fumé 0,003 (0,84) 0,09 (0,6) 0,0 (0,3) Personne qu fume Années d usage 0,003 (0,05) 0,008 (0,03) 0,005 (0,0) Personne qu a fumé Années d usage 0,09 (0,009) 0,04 (0,009) 0,04 (0,009) * Méthode Imputaton lmtée à des varables de modèle ** Méthode Imputaton comprenant des varables modélsées et auxlares Statstque Canada, N o 00 au catalogue

7 Technques d enquête, un varable dépendante et un certan nombre de varables observées complètement à ttre de varables explcatves ont ndqué que les données ne manquent pas complètement au hasard. On peut donc s attendre à ce que les estmatons de cas complets et les erreurs types soent basées. Le tableau (IMRS, méthode ) content des estmatons et leurs erreurs types pour l IMRS d après les varables du modèle de fond seulement. Ces estmatons sont assez semblables à celles de l analyse de cas complets. Les erreurs types de l mputaton multple sont plus pettes à cause des suets addtonnels ayant des données mputées. Il y a de fables changements du rapport entre l usage du tabac et l arrêt cardaque prmare. L analyse de cas complets ndque un rapport statstquement sgnfcatf entre les années d usage du tabac et l arrêt cardaque prmare pour des personnes qu ont déà fumé, tands qu une telle assocaton n est pas révélée par l analyse des données polymputées. Un des avantages de la stratége d mputaton multple est que le processus d mputaton peut fare appel à des varables addtonnelles qu ne se trouvent pas dans l analyse de fond. De telles stuatons se présentent lorsqu une base de données de recherche commune comportant pluseurs varables est utlsée par dfférents chercheurs, ayant chacun recours à un sous ensemble des varables. L mputaton peut se fare pour la base de données entère, la prédcton des valeurs manquantes pour chaque varable étant renforcée par toutes les autres varables du fcher de données. On a pu montrer que de telles mputatons amélorent l effcacté comparatvement à celles qu se fondent unquement sur les varables d un modèle de fond partculer (Raghunathan et Sscovc 996). Le tableau (IMRS, méthode ) content des estmatons de l mputaton multple et leurs erreurs types obtenues lorsque le fcher de données enter a été mputé en foncton de 50 varables addtonnelles. Celles c comprenaent des ndcateurs dététques, des mesures physologques, des stuatons socoéconomques et des varables de comportement. Les estmatons ponctuelles sont légèrement dfférentes pour toutes les varables. Les erreurs types, par contre, sont apprécablement plus pettes comparatvement à la stratége d mputaton multple fondée unquement sur des varables du modèle de fond (IMRS, méthode ). Il n y a là ren de surprenant car pluseurs des varables addtonnelles, par exemple la tenson artérelle, le compte de cholestérol, la consommaton d alcool et l actvté physque, étaent fortement prédctves de l ndce de masse corporelle et des varables lées à l usage du tabac. 4. Troubles psychologques parentaux et développement chez l enfant Une deuxème llustraton examne les effets des troubles psychologques parentaux sur pluseurs mesures du développement chez l enfant. Lttle et Schuchter (985) ont analysé les données à l ade d un modèle d emplacement général afn d obtenr des estmatons correspondant à un maxmum de vrasemblance des paramètres de la dstrbuton composée. On a utlsé ce modèle d emplacement général pour créer des mputatons multples en employant des méthodes de Monte Carlo à chaînes marovennes (Schafer 997), ce qu a donné des fchers de données polymputées entèrement à base de modèle bayésen. Nous avons également créé des mputatons multples à l ade de la procédure IMRS. Les données de l étude se rapportent à 69 famlles ayant chacune deux enfants. Chaque famlle a été classée dans une des tros catégores de rsque suvantes : ) rsque normal : aucun trouble psychatrque parental; ) rsque modéré : dagnostc chez un parent d un trouble psychatrque ou d une malade physque chronque; 3) rsque élevé : dagnostc chez un parent de schzophréne ou de trouble mental affectf. Il y avat tros varables dépendantes prmares d ntérêt : Y c, nombre de symptômes psychatrques (dchotomsaton : élevé/fable) chez l enfant c; Y c, test de lecture normalsé chez l enfant c; et Y 3 c, test normalsé de compréhenson verbale chez l enfant c. Nous consdérons tros modèles pour l étude de l effet des troubles psychologques parentaux sur le développement des enfants. Le premer est un modèle de régresson logstque à effets mxtes : logt[pr ( Y = )] = β + β U + β U + γ, c 0 où Y c = s un enfant c d une famlle est consdéré comme ayant un nombre élevé de symptômes et 0 autrement; U = s une famlle est consdérée comme étant exposée à un rsque modéré et 0 autrement; U = s une famlle est consdérée comme étant exposée à un rsque élevé et 0 autrement; et γ sont des effets aléatores consdérés comme étant des varables aléatores normales dstrbuées de façon dentque et ndépendante avec une moyenne 0 et une varance ϕ γ. Cet effet aléatore tent compte d une corrélaton ntraclasse entre deux enfants au sen d une même famlle. Pour des données complètes, on peut auster ce modèle en maxmsant la foncton de vrasemblance numérquement ntégrée de ( β0, β, β, ϕ γ ) à l ade de l algorthme de Newton Raphson et de la méthode de quadrature gaussenne pour l ntégraton numérque de la foncton de vrasemblance. Il est facle d auster ce type de modèle avec des données complètes, mas dffcle de le fare avec des valeurs manquantes. Les deuxème et trosème modèles de régresson établssent le rapport entre les notes de l enfant en lecture et en compréhenson verbale, respectvement, et le groupe de rsque après austement selon le nombre de symptômes ( Y ). Une étude des valeurs résduelles après quelques cycles prélmnares ou mputatons de notes en lecture et en compréhenson verbale a ndqué qu une échelle logarthmque état approprée. Ans, en notant Y c et Y 3c comme logarthme des notes en lecture et en compréhenson verbale, respectvement, pour un enfant c d une famlle, Statstque Canada, N o 00 au catalogue

8 98 Raghunathan et coll: Une technque multdmensonnelle d mputaton multple des valeurs manquantes nous avons énoncé le modèle de régresson à effets mxtes c dessous, Yc = α 0 + α U + α U + α 3Y c + δ + є c. où δ et є c sont des varables aléatores normales ndépendantes l une de l autre avec une moyenne 0 et des varances σ et σ respectvement. Encore une fos, en δ ε l absence de données manquantes dans les covarables, l est facle d obtenr les estmatons correspondant à un maxmum de vrasemblance des paramètres nconnus en utlsant, par exemple, la procédure PROC MIXED de SAS. Il n y avat pas de valeurs manquantes dans la classfcaton des groupes de rsque, et nous avons donc défn X = (, U, U ). Les varables comportant des valeurs manquantes, Y, Y, Y 3 et Y 3 ont été mputées par régresson lnéare normale, et les valeurs manquantes en Y et Y ont été mputées par régresson logstque. Nous avons créé M = 5 IMRS, en répétant le processus pour 000 cycles et 5 ponts de départ dfférents. Les fchers de données polymputées IMRS ont été analysés et combnés à l ade des méthodes décrtes antéreurement. Afn de comparer ces résultats aux nférences polymputées lorsque les mputatons sont trées de la dstrbuton prédctve a posteror relevant du modèle d emplacement général, nous avons créé 5 mputatons relevant d un modèle entèrement bayésen à l ade d un logcel préparé par Schafer (997). Le tableau 3 content les estmatons ponctuelles et les erreurs types des tros modèles fondés sur stratéges d mputaton multple IMRS et de Bayes. Il n exste pas de dfférences réelles sgnfcatves entre les estmatons et les erreurs types IMRS d une part et celles qu résultent de l mputaton bayésenne d autre part. Les enfants de parents du groupe à rsque élevé ont envron 7,8 [exp(,048)] fos plus de chances d avor un nombre élevé de symptômes que les enfants de parents du groupe normal dans le cadre de l IMRS. L ntervalle de confance de 95 % pour ce rsque relatf est de (3,8, 6,0). Pour le groupe à rsque modéré, les estmatons ponctuelle et d ntervalles correspondantes sont de 3,7 et de (,8, 7,8). Ces estmatons peuvent être comparées à celles que fournt l analyse de cas complets (non ndquées); 7,4 (,3, 4,) pour le groupe à rsque élevé, et 3,5 (,0,,9) pour le groupe à rsque modéré (données non ndquées). Même s les estmatons ponctuelles des rsques relatfs sont semblables, les ntervalles de confance de cas complets sont plus grands parce qu ls se fondent unquement sur 60 % des observatons. D après les coeffcents de régresson estmés du tableau 3, on peut nférer, après austement, pour le nombre de symptômes, que les enfants des groupes à rsque modéré et élevé ont des notes plus fables en lecture, de ponts envron [exp(4,654) exp(4,654 0,0)], comparatvement au groupe normal. D autre part, l analyse de cas complets donne comme estmaton pour les enfants du groupe à rsque modéré une note nféreure de 6 ponts à celle de leurs homologues du groupe normal, et pour les enfants du groupe à rsque élevé une note nféreure de 9 ponts envron à celle du groupe normal. L analyse IMRS des notes en compréhenson verbale ndque que les enfants des groupes à rsque modéré et élevé ont des notes nféreures de 0 et de 4 ponts envron, respectvement, à celles de leurs homologues du groupe normal. Toutefos, l analyse de cas complets ndque que les notes du groupe à rsque modéré sont nféreures de 36 ponts et celles du groupe à rsque élevé de 39 ponts envron comparatvement au groupe normal. Ans, les estmatons pour les cas complets des effets des troubles psychologques parentaux sur les notes de l enfant en lecture et en compréhenson verbale sont assez dfférentes de celles que l on obtent par l analyse des données polymputées. Cela n est pas surprenant car les données sur les notes en lecture et en compréhenson verbale ne manquent pas tout à fat au hasard; elles sont lées au groupe à rsque auss ben qu au nombre de symptômes chez l enfant. Tableau 3 Estmatons ponctuelles (erreurs types) des coeffcents de régresson pour tros modèles de développement chez l enfant dans le cadre d une mputaton IMRS et de Bayes Varables explcatves Méthode d mp. Varable dépendante Symptômes Note en lecture Note en compréhenson verbale Ordonnée à l orgne IMRS 0,678 (0,56) 4,654 (0,03) 4,873 (0,00) Bayes 0,688 (0,57) 4,556 (0,03) 4,99 (0,0) Groupe à rsque élevé IMRS,048 (0,356) 0,09 (0,0) 0,9 (0,03) Bayes,033 (0,350) 0,08 (0,0) 0,80 (0,033) Groupe à rsque modéré IMRS,89 (0,366) 0,0 (0,0) 0,6 (0,033) Bayes,300 (0,360) 0,09 (0,03) 0,67 (0,035) Symptômes IMRS 0,03 (0,0) 0,083 (0,03) Bayes 0,03 (0,09) 0,080 (0,030) Statstque Canada, N o 00 au catalogue

9 Technques d enquête, un Étude par smulaton Les analyses décrtes aux sectons 3 et 4 ndquent que l on peut obtenr des résultats rasonnables en applquant la stratége IMRS au tratement des données manquantes. Néanmons, l est dffcle de détermner, d après de telles études de cas, s la stratége donnera des nférences valdes dans des applcatons courantes. Une étude de smulaton a été conçue afn d examner les proprétés d échantllonnage répété des nférences trées de fchers de données mputées créés à l ade de la stratége IMRS. On a tré de populatons hypothétques des fchers de données complètes et on a supprmé des éléments en vertu d un mécansme de données manquantes gnorables. On a mputé les valeurs supprmées et on a évalué les dfférences de statstques sommares d après les fchers de données mputées et les fchers de données antéreures à la suppresson ou complètes. Plus précsément, la stratége a serv : () à préparer un fcher de données complètes qu ne correspondat pas tout à fat à notre stratége d mputaton multple, () à estmer des paramètres de régresson choss, (3) à supprmer certanes valeurs à l ade d un mécansmes de données manquantes gnorables, (4) à utlser l IMRS en vue de la polymputaton des valeurs manquantes, et (5) à obtenr des estmatons polymputées pour les paramètres de régresson estmés à l étape. Les dfférences du paramètre sont examnées pour pluseurs répéttons ndépendantes de cette stratége. Au total, on a préparé 500 fchers de données complètes comportant tros varables ( U, Y, Y ) et une talle d échantllon de 00 à l ade des modèles c dessous :. U Normal (0, );. Y Gamma avec une moyenne µ = exp ( U ) et une varance µ / 5; et 3. Y Gamma avec une moyenne µ = exp ( + 0,5U + 0,5 Y ) et une varance µ /. Le modèle pour Y à l étape 3 est le modèle de régresson prmare d ntérêt avec de vras coeffcents de régresson β 0 =, β = β = 0,5, et un paramètre de dsperson ϕ = 0,5. Pour les données complètes, on peut auster ce modèle à l ade de progcels statstques comme GLIM ou Splus. Les mécansmes de suppresson ou de données manquantes étaent les suvants : () aucune valeur manquant en U ; () des valeurs manquantes en Y qu dépendent de U suvant une foncton logstque logt[pr( Y manquant)] =,5 + U ; et (3) des valeurs manquantes en Y qu dépendent de U et de Y suvant une foncton logstque logt[pr( Y manquant)] =,5 0,5 Y 0,5 U. Ces mécansmes de données manquantes ou ont généré % de données manquantes en Y et 9 % de données manquantes en Y. L analyse de cas complets n aurat utlsé que 48 % des données. Pusque l IMRS nous permet seulement d auster un modèle de régresson lnéare normale, les mputatons ont été exécutées comme sut. Supposons que Y a mons de valeurs manquantes, et notons Z = ( Y λ ) / λ, la transformée de Box Cox de la varable contnue. Dans le premer cycle d mputatons, supposons que Z a une dstrbuton normale avec une moyenne a0 + a U et une varance σ, où l on estme λ à l ade de la stratége du maxmum de vrasemblance, et que Z = ( Y λ ) / λ a une dstrbuton normale avec une moyenne b0 + b U + b Z et une varance σ, où l on estme λ à l ade du maxmum de vrasemblance. Pour les cycles subséquents, U et Z sont des varables explcatves pour Z, et U et Z sont des varables explcatves pour Z. L estmaton d une transformée exponentelle à l ade du maxmum de vrasemblance a été automatsée au moment d auster chaque modèle de régresson. Pour chacun des 500 fchers de données smulées comportant des valeurs manquantes, on a créé au total 50 cycles ayant M = 5 dfférents ponts de départ aléatores à l ade de l IMRS. Pour chaque répétton, on a analysé les M = 5 fchers de données mputées résultants et le fcher de données complètes (avant la suppresson) en austant le modèle Gamma pour Y à l ade du maxmum de vrasemblance. L estmaton polymputée a été construte comme la moyenne des cnq estmatons des données mputées. Afn d évaluer les dfférences des estmatons ponctuelles, nous avons calculé les dfférences normalsées entre l IMRS et des estmatons de données complètes, ( β ) = 00 abs(estmaton IMRS estmaton de données complètes) ET (estmaton IMRS). Le tableau 4 ndque la moyenne et l écart type de ( β ) pour tros coeffcents de régresson β0, β et β dans le modèle. Les estmatons IMRS se stuent typquement à 8 % près des untés standard complètes. Pour les coeffcents de régresson, on a calculé la couverture réelle et la grandeur moyenne des ntervalles de confance de 95 % de l IMRS à l ade de la dstrbuton de référence t décrte dans Rubn (987b). Pour chaque fcher de données smulées et chaque paramètre, on a détermné s la vrae valeur (β = 0,5 par exemple) se trouve à l ntéreur de l ntervalle correspondant. On a calculé la proporton d ntervalles contenant les vraes valeurs pour les 500 répéttons (vor le tableau 4). Pour ce qu est des fchers de données complètes, la couverture réelle pour β, par exemple, état de 94,9 % et pour l IMRS de 95,4. De plus, on a calculé la grandeur moyenne des ntervalles de confance. La largeur moyenne Statstque Canada, N o 00 au catalogue

10 00 Raghunathan et coll: Une technque multdmensonnelle d mputaton multple des valeurs manquantes de l ntervalle de confance des données complètes pour β état de 0,9 et pour l IMRS la grandeur moyenne état de,. Autrement dt, les données de l IMRS ont donné des estmatons d ntervalles ben calées. On a utlsé la même étude de smulaton afn de comparer les proprétés dstrbutves des mputatons de l IMRS et d une méthode entèrement bayésenne. Pour les hypothèses modélsées servant à préparer des données complètes, nous avons élaboré un algorthme de Monte Carlo à chaînes marovennes afn de trer des valeurs de la dstrbuton prédctve a posteror réelle des valeurs manquantes compte tenu des valeurs observées. Chaque étape du trage fasat appel à l algorthme de Metropols Hastngs et exgeat apprécablement plus de temps d ordnateur que la méthode IMRS. Par conséquent, seuls les 500 premers fchers de données smulées ont été utlsés pour cette comparason. Nous avons calculé deux statstques de Kolmogrove Smmoff (KS) à partr de chaque fcher de données smulées : une pour comparer les mputatons de la méthode IMRS et les valeurs cachées réelles, l autre pour comparer les mputatons bayésennes et les valeurs cachées réelles. Il n y avat aucune dfférence dscernable entre ces deux statstques pour les 500 fchers de données smulées. Un nuage de ces 500 pares de statstques KS a ndqué un étrot nuage de ponts autour d une pente de 45 degrés. Tableau 4 Moyennes et écarts types de la dfférence normalsée entre les estmatons IMRS et les estmatons de données complètes d une part et la couverture réelle d ntervalles de confance de 95 % nomnaux d autre part Coeffcent de régresson Écart type Confance Couverture Données Moyenne ET IMRS complètes β 0 8,,0 96, 95,4 β 8,8,7 95,4 94,9 β 8,0, 95,3 94,7 6. Dscusson Nous avons décrt et évalué une procédure d mputaton multdmensonnelle par régresson séquentelle pouvant servr à mputer les valeurs manquantes d un chox de structures de données complexes comportant de nombreux types de varables, de restrctons et de lmtes. Cette procédure devrat être utle lorsqu l est dffcle de défnr une dstrbuton composée de toutes les varables ayant des valeurs manquantes. Un réel avantage de la stratége est sa souplesse lorsqu l s agt de trater chaque varable ndvduellement. Ans, afn de conserver toutes les corrélatons entre deux varables, l faut nclure tous les termes à effet maeur à ttre de varables explcatves, et pour conserver, par exemple, tros nteractons factorelles, l faut nclure toutes les nteractons à deux facteurs à ttre de varables explcatves dans le modèle d mputaton. La mse en oeuvre de cette procédure exge unquement un bon générateur de nombres aléatores et des programmes d austage pour un chox de programmes de régresson multple. Une applcaton à base de SAS permettant d exécuter cette stratége peut être téléchargée d un ste Web ( umch.edu/ src/smp/ve). Dans certans cas, l est possble de modfer l algorthme de façon à en fare un échantllonnage de Gbbs à partr de la dstrbuton prédctve composée des valeurs manquantes compte tenu des valeurs observées. Toutefos, la procédure IMRS sera plus utle lorsqu l est dffcle de formuler un modèle explcte. Tant pour les llustratons que pour la smulaton, dfférents ponts de départ aléatores ont serv à surveller les valeurs mputées, aspect mportant dans de nombreuses applcatons concrètes. Il s agt d une bonne pratque lorsqu un échantllonnage de Gbbs est utlsé dans le cadre d un modèle bayésen explcte (Gelman et Rubn 99), et elle devat être utlsée lorsqu on a recours à la méthode de régresson séquentelle décrte dans le présent exposé. L étude de smulaton décrte à la secton 5, ben que lmtée, est favorable pour ce qu est des nférences fondées sur l IMRS. Les mputatons relevant des modèles IMRS et de Bayes étaent comparables. Il s agssat c, toutefos, d élaborer une stratége d mputaton qu sot peaufnée une varable à la fos et complètement en foncton de toutes les nformatons observées, plutôt qu une dstrbuton multdmensonnelles composée explcte de toutes les varables. De plus, on peut rédure la sensblté du modèle en ayant recours à un modèle de régresson sem paramétrque pour chaque régresson condtonnelle. L nterprétaton bayésenne des modèles de lssage de type splne (Slverman 985) peut servr à trer des valeurs mputées de la dstrbuton prédctve. De telles modfcatons mértent également une recherche plus poussée. Pour certans grands fchers de données comportant de nombreuses varables, l IMRS peut exger beaucoup de temps d ordnateur. On peut modfer l algorthme de façon à applquer une méthode de sélecton des varables pour chaque régresson de chaque cycle. Nous avons comparé les nférences avec et sans la sélecton de varables pour pluseurs grands fchers de données, par exemple la Natonal Health Intervew Survey et la Natonal Medcal Expendture Survey, à l ade de pluseurs centanes de varables. Les nférences descrptves auss ben que les nférences fondées sur des modèles de régresson lnéare et logstque étaent très semblables, mas l subsste un beson de recherches plus détallées. Il est également possble d utlser la stratége d mputaton décrte dans la présent exposé en même temps que, par exemple, la technque JRR (répétton répétée de type acnfe) pour l estmaton de la varance. Plus précsément, l s agt ) d mputer de nouveau, ndvduellement, les valeurs manquantes de chaque IMRS répétée de type acnfe, ) d analyser le fcher de données répétées mputées et, enfn, 3) de combner les estmatons répétées Statstque Canada, N o 00 au catalogue