Signe de ax + b Premières Applications

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1 Signe de + Premières Applictions Ojectifs L étude des fonctions est un point centrl des progrmmes u lycée, quelque soit votre section L ojectif ser, l nnée prochine, de déterminer les vritions d une fonction juste pr des méthodes lgériques (ucune lecture grphique!) L étude du signe d une fonction s inscrit dns cette optique : à l ide du signe de +, nous llons être cple de déterminer le signe de l pluprt des fonctions rencontrées u lycée A plus court terme, l étude du signe d une fonction permettr pr eemple de svoir lorsqu une entreprise est rentle ou lorsqu elle produit à perte (si l fonction étudiée représente le énéfice d une entreprise) - - D PINEL, Site Mthemitec : Seconde : Cours Signe de + : Applictions

2 Note Tous les eercices ou les démonstrtions des propriétés de ce chpitre se trouvent à l fin de ce document I Signe d une fonction ffine f désigne une fonction ffine d éqution f() = + vec non nul (son signe est sinon évident) Le résultt fondmentl est le suivnt Je vous conseille de ne ps l pprendre (!) mis de svoir le retrouver, à l ide de l remrque qui suivr Propriété I- Lorsque est non nul, le tleu de signe de f() = + est donné pr : - + signe de - 0 signe de + Nous llons voir comment se souvenir de ce résultt sns l pprendre, l ojectif étnt de pouvoir le retrouver même dns plusieurs semines, tnt il est importnt f() = + est une fonction ffine, donc elle est représentée pr une droite (non verticle) Il est connu que «pour > 0, l droite monte» et «pour < 0, l droite descend» Pour > 0 L droite monte, donc f psse forcément des nomres négtifs u nomres positifs Pour < 0 L droite descend, donc f psse forcément des nomres positifs u nomres négtifs Ainsi, son signe est : Ainsi, son signe est : D PINEL, Site Mthemitec : Seconde : Cours Signe de + : Applictions

3 II Applictions Le point fondmentl ici est l règle des signes connue depuis longtemps : «+ pr + = +», «- pr - = - «et «+ pr - = -» Pr eemple, pour déterminer le signe de l fonction f ( ) ( )( 3 ) = +, il suffir de dresser un tleu de signes des termes - et 3+ f ( ) = ( + ) , il suffir de dresser un Pour déterminer le signe de l fonction ( )( ) tleu de signes des termes +, +3 et -4+ L méthode ser l même pour les quotients : pour déterminer le signe, pr eemple, de ( + ) l fonction f ( ) =, il suffir de dresser un tleu de signes des termes +, et -4+ ( )( ) Eercice II- Déterminer le tleu de signe de l fonction f ( ) ( )( 3 ) Résoudre l inéqution g( ) 0 où g( ) = Résoudre l inéqution h( ) > 0 où h( ) = ( + ) ( + 3)( 4 + ) = + Eercice II- Résoudre l inéqution > 3 4 Trouver tous les nomres supérieurs à leur inverse 0 3 On cherche à résoudre l inéqution (I) : + 3 Montrer que résoudre (I) est équivlent à résoudre Vérifier que 3 0 ( )( 5) + = + c En déduire les solutions de (I) D PINEL, Site Mthemitec : Seconde : Cours Signe de + : Applictions

4 Corrigé des eercices ou démonstrtions I Signe d une fonction ffine Démonstrtion propriété I- Supposons que soit non nul, et que soit positif : > + = 0 = = > + 0 cr qund on divise pr un nomre positif, le sens de l inéglité ne chnge ps > le résultt est donc démontré pour non nul, > 0 Supposons que soit non nul, et que soit négtif : > + = 0 = = > + 0 cr qund on divise pr un nomre négtif, le sens de l inéglité chnge > le résultt est donc démontré pour non nul, < 0 II Applictions Corrigé eercice II- Soit f ( ) = ( )( 3 + ) : = 0 = = et On en déduit le tleu de signe de f : 3 + = 0 3 = = f() Illustrtion grphique (pour vérifier) D PINEL, Site Mthemitec : Seconde : Cours Signe de + : Applictions

5 Soit g( ) = ( + ) ( + 3)( 4 + ) : + = 0 = = 0 = 3 = 4 + = 0 = 4 = 4 Ainsi, le tleu de signe de g est : g() Attention u vleurs interdites (doule rre) : lorsque le dénominteur s nnule, g n est ps définie (on ne sit ps diviser pr 0) Ainsi 3 g( ) 0 ] ; [ [ ; [ Soit h( ) = : 4 + = 0 4 = = = 0 = 0 : remrquons ussi qu un crré est toujours positif! On lors : ² h() D PINEL, Site Mthemitec : Seconde : Cours Signe de + : Applictions

6 Ainsi h( ) > 0 ] ;0[ [0; + [ Vérifier que 3 0 ( )( 5) + = + c En déduire les solutions de (I) Eercice II- Résoudre l inéqution > 3 4 Trouver tous les nomres supérieurs à leur inverse 3 On cherche à résoudre 0 l inéqution (I) : + 3 Montrer que résoudre (I) est équivlent à résoudre Corrigé eercice II- Pour résoudre une telle inéqution, il fut rmener l un des deu memres à 0 3( 4 ) + 3 > 3 3 > 0 > 0 > 0 () Notons f ( ) = : + 3 = 0 3 = = = 0 4 = = Ainsi : f() Les solutions de () sont donc les nomres de ] ; [ 4 (en leu, on trcé y = 3, en rouge, y = 4 ) D PINEL, Site Mthemitec : Seconde : Cours Signe de + : Applictions

7 Les nomres supérieurs à leur inverse sont solutions de ( )( + ) ( )( + ) Notons f ( ) = : f() Ainsi, tous les nomres supérieurs à leur inverse sont les réels de [ ;0[ [; + [ (en rouge, on trcé y =, en leu, y = ) 0 3 On cherche à résoudre l inéqution (I) : ( + 3) = = On ( )( ) c Pr conséquent, ( )( + 5) f() L ensemle des solutions est donc [ 5;0[ [; + [ (en rouge, on trcé y = +3, en leu, 0 y = ) D PINEL, Site Mthemitec : Seconde : Cours Signe de + : Applictions

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